PPF mars 2006 1/24

Modélisation numérique de la propagation et du déferlement d’un soliton

F. GolayP. Helluy

Université de Toulon, FranceANAM/MNC

PPF mars 2006 2/24

• Présentation

• Déferlement d’un soliton

• Quadtree

• Solveur 3D // isotherme

Plan

PPF mars 2006 3/24

ANAM

laboratoire d’Analyse Non-linéaire Appliquée et Modélisation

Directeur: Guy Bouchitte

Présentation

MNC

Equipe

Modélisation Numérique et Couplages

• Paola GOATIN

• Frédéric GOLAY

• Philippe HELLUY

• Sylvain MAIRE

• Jacques SCHNEIDER

ANLA

Equipe

d’Analyse Non-linéaire Appliquée

PPF mars 2006 4/24

Philippe HelluyMC 26 Hdr http://helluy.univ-tln.fr

Thèmes de recherche:Modélisation mathématique et numérique des écoulements multiphasiques compressibles

Mots clés: systèmes hyperboliques, volumes finis, écoulements multiphasiques, changement de phase, …

Frédéric GolayMC 60 http://freddy.univ-tln.fr

Thèmes de recherche:Modélisation numérique par EF de problèmes physiques couplés

Mots clés: Éléments et/ou volumes finis, raffinement de maillage, écoulements multiphasiques, …

Logiciels

Divaxi: Euler, biphasique, 2D axisymétrique, maillage non structuréBalot: Euler 2D, biphasique, maillage structuré V3D: Euler 3D, //, biphasique énergétique ou isotherme, maillage structuré SIC: Éléments et/ou volumes finis Solide (Élasticité, Plasticité, Sols ….), Fluide (NS, Transport, Euler biphasique, …), Thermique, Milieux Poreux, Optimisation topologique, Raffinement de maillage, …

PPF mars 2006 5/24

Déferlement d’un soliton

PPF mars 2006 6/24

Numerical simulation of wave breaking: Mathematical model

0ut

ugu)pE(divt

E

g)Ipuu(divt

u

0)u(divt

2

(x,y,t) is the density

u(x,y,t) is the velocity

g is the gravity

1E u is the energy

2is the internal energy

0 1 is the fraction of fluid

p( , , ) is the pressure

where

Equation Of State: stiffened gaz

(Abgrall-Saurel, 1996)

1)1(

11)(

)()(

1

1)1(

1

1

1)(

1

)()(1)(p

a

aa

w

ww

aw

)p(

c

Sound velocity

P. Helluy, F. Golay:”Mathematical and Numerical aspects of Low Mach Number Flows”, Porquerolles 2004

PPF mars 2006 7/24

The system has the form of a system of conservation laws

11 2

1 2

( ).

( )

: approximation of in the volume at time ,

: numerical flux (exact Godunov),

( ), ( ) : length of , volume of .

i

n n ii i

i C

ni i n

i i i i

L Cw w t F G

V C

w w C t

F G

L C V C C C

1 2

21 1 1 2 1 1

22 1 2 2 2 2

2

( ) ( ) ( ),

( , , , , ),

( ) ( , , , , ( ) , ),

( ) ( , , , , ( ) , ),

( ) (0,0, , ,0).

t x yw F w G w H w

w u u E

F w u u p u u E p u u

G w u u u u p E p u u

H w g gu

We solve it by a standard finite volume scheme

Ci

Cj

•Second order extension:MUSCL•No pressure oscillation thanks to a special non-conservative discretisation of the fraction evolution.

Numerical simulation of wave breaking: Numerical model

PPF mars 2006 8/24

Numerical simulation of wave breaking: Test case

In the air sound velocity c=20m/s, p=105 Paa=-99636 Pa, a=1.1

In the water sound velocity c=20m/s, p=105 Paw=263636 Pa, w=1.1

PPF mars 2006 9/24

Mesh: 2000x150

Numerical simulation of wave breaking: Numerical results wave propagation

PPF mars 2006 10/24

Numerical simulation of wave breaking: Numerical results wave breaking

PPF mars 2006 11/24

• Intégration dans SIC

• Quadtree

• Critère entropique

Premier développement: le raffinement de maillage

PPF mars 2006 12/24

FV & FE: Finite Volume formulation

0ut

ugu)pE(divt

E

g)Ipuu(divt

u

0)u(divt

x

ye

u

uU

E

e

ee

1U(x) U U(x)dx

e

e e

l rlre e

e eef (U , U , n )dx

t tU (t t) U (t d) S x

Geometrical node with no dof

Centroid node with 5 dof

1

2

4 3

Compute numerical flux exact Godunov schemeHelluy, Barberon, Rouy 2003

1

24

3

5N+1

Compute nodal load vector Estimation of U with slope limiter Display the result

PPF mars 2006 13/24

• time cpu improved

• best precision

• « static » front captured

• but conformity!

• local unrefinement is difficult

PPF mars 2006 14/24

Mesh refinement: Quadtree mesh refinement

Hierarchical approach on quadrilateral

PPF mars 2006 15/24

Mesh refinement: Quadtree (un/)refinement criteria

Croisille1990

e

t x

e(t t) (t) (t)

, U Lax's entropy and G=Uu, we have

as U=- s, the entropy's production per c

U (w) G (w) 0

-P

ellule per unit of time is approximated by

In our case the en

e= s s ( su) ndl

Lax Cr t r

t

i e ia

ptropy is defined by s=ln

Remarks:• If w is regular, the Lax criteria vanish• Pe vanish across a contact discontinuity• Pe vanish across an expansion• Pe is strictly negative across a shock

(un)refinement criteria for each cell:• If -Pe<Pmin unrefinement• If Pmin<-Pe<Pmax we do nothing• If Pmax<-Pe refinement

PPF mars 2006 16/24

Mesh refinement: Proof

x y2 , p 2 , u 0 , u 0 x y1 , p 1 , u 0 , u 0

PPF mars 2006 17/24

Mesh refinement: Example

Entropy production per unit of time

Initial mesh t=0.05

First mesh refinement t=0.05

Second mesh refinement t=0.05

PPF mars 2006 18/24

mesh t=0.10

mesh unrefinement t=0.10Criteria < 10%

mesh refinement t=0.1020% < Criteria

mesh refinement AND unrefinement t=0.10Criteria < 10% & 20% < Criteria

PPF mars 2006 19/24

• Modèle isotherme

• Calcul //

Deuxième développement: 3D // Isotherme

PPF mars 2006 20/24

0ut

g)Ipuu(divt

u

0)u(divt

wa200 )1(cpp

Modèle isotherme

-5 m 22m-1m

2m

0

0.6 m3.92 m/s

Water

Air

-5 m 22m-1m

2m

0

0.6 m3.92 m/s

Water

Air

Reef

5.225m

V3DVolume fini 3D par sous domainesSolveur Riemann exact énergétique ou isothermeOrdre 1 ou 2: Euler, Hancock, Barth, Weno

PPF mars 2006 21/24

Propagation du soliton

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

10 12 14 16 18 20

Soliton

8x75x90

8x150x180

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

10 12 14 16 18 20

Isotherme ordre 1Isotherme + BarthIsotherme + Barth + EulerEnergétique ordre 1Energétique + BarthEnergétique + Barth + EulerSoliton

Hancock, Weno

PPF mars 2006 22/24

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

(i)

Déferlement du soliton

PPF mars 2006 23/24

Modèle Isotherme

Modèle Énergétique

Premier ordre 0h 39 min 1h 28 min

Euler & Barth 2h 30 min 6h 14 min

1h 20 min 3h 17 minBarth

PPF mars 2006 24/24

Wave breaking

To be continued …..