Oscillateur à 1dl

8/17/2019 Oscillateur à 1dl

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Chapitre 1: Oscillateur mécanique à un seul degré de liberté

OSCILLATEUR MECANIQUE

A UN SEUL DEGRE DE LIBERTE

1. Introduction

En mécanique des vibrations linéaires interviennent des phénomènes tels que la résonance et

l'amortissement. L'oscillateur mécanique à un seul degré de liberté (ddl) constitue une bonne

initiation à ces concepts.

Son intérêt dépasse cependant ces préoccupations purement didactiques. On montre en effet,

dans le cas à plusieurs ddl et lorsque la matrice d'amortissement est proportionnelle, qu'il y a

découplage modale et la réponse relative à un mode donné est celle d'un oscillateur (fictif) à

un seul ddl.

2. Mouvement libre d'un oscillateur à un seul ddl

Figure 1.1: Oscillateur à un seul ddl

x: déplacement de la masse à partir de la position d'équilibre statique

m: masse de l'oscillateur

k: raideur du ressort (constante)

c: coefficient d'amortissement visqueux (constante)

L'application du principe fondamental de la dynamique à l'oscillateur permet d'écrire

mx F cx kx (1.1)

F

x

c

k

m


2/9


2

Le point surmontant une lettre désigne la dérivation par rapport au temps.

En mouvement libre F 0 (absence de forces extérieures), l'équation (1.1) devient

mx cx kx 0 (1.2)

Posons:

0

k

m pulsation propre de l'oscillateur non amorti

0

c c

2m2 km

coefficient d'amortissement

On démontre alors que la solution est donnée par les formules suivantes.

* 1

0t

ax(t) Ae sin( t )

(1.3)

avec

2

a 0 1

et où A et sont déterminées par les conditions initiales:0

x(0) x et0

x(0) v .

* 1

0t

1 2x(t) e (A A t)

(1.4)

où les constantes1

A et 2A sont déterminées par les conditions initiales.

* 1

1 2r t r t

1 2x(t) A e A e (1.5)

avec2

1 0 0r 1 0 ,2

2 0 0r 1 0 et où les constantes 1A et 2A sontdéterminées par les conditions initiales.


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3

Remarques:

* Le cas 1 est rare dans la nature, sauf lorsqu'on fait exprès: dash-pot par exemple.

* Nous vérifions dans tous les cas d'amortissement non nul 0 quetlimx(t) 0

; le

mouvement libre finit par s'atténuer. Le système s'immobilise sans effectuer d'oscillations si

1 et effectue des oscillations qui s'amortissent au bout d'un certain temps lorsque 1 .

3. Mouvement forcé

Lorsque F(t) 0 , le système subit une force d'excitation. Nous considérons dans la suite

différents types de forces excitation afin d'étudier le phénomène de résonance de l'oscillateur.

3.1. Excitation harmonique

Dans ce cas

0F(t) F sin( t) (1.6)

où0F est l'amplitude d'excitation et la pulsation d'excitation.

La solution générale de l'équation différentielle (1.1) est la somme de la solution de l'équation

homogène (1.2) plus une solution particulière. La solution de l'équation homogène est donnée

par les relations (1.3), (1.4) ou (1.5). Elle s'atténue donc au bout d'un certain temps lorsque

0 comme c'est le cas dans tout système réel. Ne subsiste alors que la solution particulière,

dite solution permanente. Cherchons la solution particulière de (1.1) sous la forme:

0x(t) X sin( t ) , où 0X est l'amplitude de la réponse et le déphasage de la réponse

par rapport à l'excitation. En reportant (1.6) dans (1.1), il vient

2

0 0X (k m )sin( t ) c cos( t ) F sin( t) (1.7)

D'où

st0

22 2

0 0

XX

1 2

et 02

0

2

tan( )

1

(1.8)


4/9


4

avec 0st

FX

k qui représente le déplacement statique de l'oscillateur soumis à la force

0F .

Il est intéressant de remarquer la proportionnalité de 0X par rapport à 0F qui découle

simplement de la linéarité du système. Il faut noter aussi l'influence considérable de la

fréquence d'excitation sur la réponse du système. Cette influence dépend du coefficient

d'amortissement. On démontre ainsi que si 1/ 2 , le maximum d'amplitude a lieu pour

une excitation statique 0 . Si 1/ 2 , le maximum d'amplitude 0X se produit pour

2

r 0 01 2 et 2

0 r st stX X X /(2 1 ) X /(2 ) . L'indice r fait référence

à la situation de résonance.

Les applications résumées dans le tableau 1.1 permettent d'apprécier l'amplitude du

déplacement à la résonance.

r

X attacheF

0.1st5.02X 05.02F

0.01st

50X 050 F

0.001st500X 0500F

Tableau 1.1: Amplitude et force d'attache du ressort à la résonance

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

1

2

3

4

5

6

7

8

Fréquence adimensionnelle

A m p l i t u d e a d i m e n s i o n n e l l e

0.001

0.5

0.2

0.1

Figure 1.2: Spectre de la réponse de l'oscillateur


5/9


5

La troisième colonne du tableau 1.1 représente l'amplitude de la force d'attache du ressort à la

résonance. Elle est calculée par:attache r 0

F kX F /(2 ) .

Le tableau 1.1 montre le danger qui se manifeste à la résonance. L'oscillateur mécanique se

trouve dans une situation de crise qui peut entraîner sa ruine; les attaches peuvent se rompre...La figure 1.2 représente sous forme adimensionnelle:

st 0X / X f ( / ) l'amplitude de la

réponse en fonction de la fréquence d'excitation pour différents coefficients d'amortissement.

3.2 Excitation périodique

Dans le cas d'une excitation périodique de période T, il est intéressant de considérer le

développement de la force d'excitation en série de Fourier. La linéarité de l'équation (1.1)

permettra ensuite d'obtenir la réponse en superposant les réponses associées aux termes de lasérie précédente. Quelle que soit la force périodique, elle s'écrira sous la forme

0 n nn 1

aF(t) a cos(n t) b sin(n t)

2

(1.9)

avec 2 / T et pour n , les coefficients de Fourier na et n b sont définis par

Tn

02a F(t) cos(n t) dtT

,T

n0

2 b F(t) sin(n t) dtT

(1.10)

L'égalité (1.9) n'est pas toujours ponctuel et doit s'entendre dans le cas général au sens de la

norme de l'énergie L2.

Considérons l'exemple de la fonction périodique définie par:

0

TF si t [0, [

2F(t) T0 si t [ , T]

2

(1.11)

Son développement en série de Fourier s'écrit

0 0n 0

sin (2n 1) tF 2FF(t)

2 (2n 1)

(1.12)

où 2 / T .


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6

La réponse de l'oscillateur non amorti ( 0 ) sous l'excitation périodique F(t) est

st 2 2 2

n 0 0

sin (2n 1) t1 2x(t) X

2 (2n 1) (2n 1)

(1.13)

Les possibilités de résonance correspondent donc à:

2 2 2

0 (2n 1) 0 0

2n 1

0T (2n 1) T (1.14)

où0 0T 2 / est la période propre de l'oscillateur.

La résonance se produit ainsi pour la force périodique définie par (1.11) lorsque la fréquence

d'excitation est un sous-multiple impair de la fréquence propre ou de manière équivalente

lorsque la période d'excitation est un multiple impair de la période propre.

3.3 Excitation quelconque

Dans le cas d'une excitation quelconque, la solution de (1.1) est défini par l'intégrale de

Duhamel

0

0 0

t(t )

00

a

t t

0 0a a

2a

1x(t) F( ) e sin (t ) d

m

x e v ecos( t ) sin( t)

1

(1.15)

avec

2

a 0 1 et1

2tan

1

En supposant0x 0 , 0v 0 et un amortissement faible 0 , la réponse de l'oscillateur

peut être approchée par celle de l'oscillateur non amorti associé

t

000

1

x(t) F( )sin (t ) dm (1.16)


7/9


7

Considérons le cas particulier où F(t) at avec a 0 (la force d'excitation augmente

linéairement en fonction du temps).

La réponse approchée de l'oscillateur faiblement amorti s'écrit

0

0

sin( t)ax(t) t

k

(1.17)

Dans ce cas le phénomène de résonance ne se manifeste pas et la réponse reste bornée dans

tout intervalle max0,t et ce même dans le cas non amorti comme celui considéré ici,

puisqu'on a:st

x(t) X , avecst max max

X (a t ) / k F / k .

Le phénomène de résonance ne se produit pas forcément dans le cas d'une excitation

quelconque. Ainsi si l'excitation F(t) est une fonction L1 sur , on démontre que

01x(t) F /(m ) et il n'y a pas de résonance au sens où l'amplitude du déplacement devient

infinie. On peut cependant s'intéresser à la réponse maximale du système comme c'est le cas

d'une excitation de type impulsion brève dans le temps dite aussi choc.

3.4 Excitation de choc

Un cas intéressant est celui où la force d'excitation F(t) ne s'exerce que sur une durée finie

notée icic

T .

Considérons le cas particulier défini par

0 c cF sin( t) t 0, T / 2F(t)

0 ailleurs

(1.18)

oùc c

T 2 / .

Dans le cas faiblement amorti, l'intégrale de Duhamel permet de montrer que

st cc 0 c2

c 0 0

st 0 c 0 c

0 c20 c

Xsin( t) sin( t) si t 0, T / 2

1 ( / )x(t)

X / (2t T )

sin( t) sin si t T / 2,1 ( / ) 2

(1.19)


8/9


8

D'où l'amplitude maximum du déplacement qui est donnée par

0 c 0 c 0max st 2 2

0 c 0 c c 0 c

2q 2x X max sin ; cos

2

(1.20)

avec q qui représente la partie entière dec 0 c

( ) /(2 ) .

Ici on démontre que lorsquec 0

, la réponse est maximum mais reste finie. La fréquence

de résonance de l'oscillateur permet ici de déterminer la durée critique du choc. Celle-ci est

égale à la période propre de l'oscillateur.

4. Système sur une assise

Le principe fondamental de la dynamique permet d'écrire dans ce cas

mx c(x u) k(x u) mx cx kx cu ku (1.21)

Si l'on considère le mouvement relatif par rapport à l'assise: y x u , l'équation différentielle

(1.21) s'écrit

my cy ky mu (1.22)

Prenons le cas d'un mouvement harmonique de la base: u(t) Usin( t) , on démontre alors

que la réponse en régime permanent s'écrit sous la forme

x(t) Xsin( t ) (1.23)

avec

2

0

22 2

0 0

1 2

X U

1 2

,

3

01

2 2

0 0

2

tan

1 2

(1.24)


9/9


9

Remarquons que le cas d'un oscillateur sur assise correspond à la situation d'un immeuble en

cas de séisme. Le spectre de la réponse1 0

X / U f( / ) est représenté sous forme

adimensionnelle sur la figure 1.3 pour différents coefficients d'amortissement. Ce spectre est

différent de celui représenté par la figure 1.2 qui est associé à une excitation harmonique enforce.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

1

2

3

4

5

6

7

8

Fréquence adimensionnelle

A m p l i t u d e a d i m e n s i o n n e l l e

0.5

0.2

0.1

0.001

Figure 1.3: Spectre de l'oscillateur sous un mouvement imposé à sa base

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