PCSI1 Lycée Michelet

OSCILLATEUR HARMONIQUE

1Le système bloc ressort représenté ci-dessous est soumis à deux expériences. Dans la pre-

mière, le bloc est tiré à une distance d1 de sa position d’équilibre puis relâché sans vitesseinitiale.Dans la deuxième, il est tiré à une une plus grande distance d2 > d1 de sa position d’équilibreavant d’être relâché sans vitesse initiale. On suppose les frottements négligeables.

a. L’amplitude est-elle plus grande, moins grande ou la même dans la deuxième expérience,par rapport à la première ?

b. Et la période ?c. La fréquence ?d. L’énergie cinétique maximale ?e. L’énergie potentielle maximale ?

2 Comparaison des vitessesDeux particules A et B possèdent toutes deux un mouvement harmonique : celui de B a

une amplitude deux fois plus grande et une période deux fois plus petite que celui de A. Si laparticule A se déplace à une vitesse de 1 m.s−1 à la position centrale de son oscillation, quelest le module de la vitesse de B à la position centrale de son oscillation ?

Réponse : 4 m.s−1

3 La tour infernalePar une journée de grand vent, un gratte-ciel de 400 m de hauteur oscille de manière appré-

ciable. Un accéléromètre placé en haut de la tour indique que la norme de l’accélération causéepar l’oscillation atteint une valeur maximale am = 0,345 m.s−2 à intervalles réguliers espacésde ∆t = 5,94 s. Déterminer l’amplitude des oscillations (supposées harmoniques) du sommetde la tour.

Réponse : 1,23 m

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4 Oscillations d’un haut parleur.Un haut parleur est branché à un GBF qui l’alimente avec un signal sinusoïdal. Le centre

du haut parleur oscille de manière harmonique avec une vitesse maximale de vm = 6,0 cm.s−1etune accélération maximale de am = 360 m.s−2. Répondre, dans l’ordre qui vous conviendra,aux deux questions suivantes :

1) Quelle est l’amplitude xm de l’oscillation du centre du haut parleur ?2) Quelle est la fréquence f du son émis par le haut parleur ?

Réponses : xm = 1,0.10−2 mm; f = 955 Hz.

5 Sept instantanés d’un mouvement sinusoïdalSur le schéma ci-dessous, on a repéré sept positions successives d’une particule possédant

un mouvement sinusoïdal. Chaque carré mesure 10 cm de côté et l’intervalle de temps entredeux images successives est de 0,10 s. Les points A et G correspondent aux positions extrêmesde la particule, où la vitesse s’annule. Quel est le module de la vitesse instantanée au point D ?au point F ?

Réponses : vD = 2,6 m.s−1 ; vF = vD2

= 1,3 m.s−1.

6 QCMUn oscillateur harmonique oscille autour de x = 0 avec une amplitude A. Comparée à la

durée pour passer de −A à 0, la durée pour aller de −A/2 à A/2 est-elle :

� (a) inférieure � (b) égale� (c) supérieure � (d) on ne peut pas conclure

Question subsidiaire : calculer les deux temps de parcours en fonction de la période T .

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7 Principe d’un pèse astronaute.Dans la station spatiale internationale (ISS), les missions durent en moyenne six mois

et il convient de vérifier que les astronautes ne perdent pas trop de masse corporelle à causede l’atrophie de leurs muscles peu sollicités en microgravité. En effet, sur seulement quelquessemaines, ils peuvent perdre jusqu’à 15% de leur masse initiale et pour limiter cette perte, ilspassent généralement 2h par jours à faire de l’exercice physique.

1) Expliquer pourquoi une balance traditionnelle de terrien n’est pas utilisable pour obtenirla masse d’un astronaute.

Un astronaute et médecin américain, William Thornton, a mis au point en 1965 un dispositifpermettant la mesure de la masse d’un corps en microgravité : il s’agit d’un support relié parun ressort à la station spatiale et auquel l’astronaute s’agrippe. Écarté de l’équilibre, le supportoscille à une fréquence dépendant de la masse de l’astronaute.

à gauche : l’astronaute Tamara Jernigan (navette Columbia lors de la mission STS-40, 5-14 juin1991) se pèse dans l’espace ;

à droite : l’astronaute de la NASA Tom Marshburn utilise une version plus moderne, à bord del’ISS (23/12/2012)

2) À vide, le support oscille avec une période T0 = 1,28 s. L’astronaute s’agrippant ausupport, on mesure la période T = 2,33 s. En déduire la masse m de l’astronaute, sachant quela masse du dispositif à vide est ms = 25 kg.

Réponse : m = ms

(T 2

T 20− 1)

= 58 kg

8 Détermination graphique de conditions initiales.

On enregistre le mouvement horizontalsans frottement d’une masse m = 250 gaccrochée à un ressort de constante de rai-deur k non connue.

Déterminer les conditions initiales dumouvement : x0 = x(0) et x0 = x(0).Suggestion : on pourra utiliser une mé-thode énergétique.Réponses : x0 = 0,54 m.s−1 ;

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9La loi reliant la force de rappel à l’étirement d’un ressort, souvent appelée loi de Hooke par

les anglo-saxons, est, pour la plupart des ressorts, mieux vérifiée en détente qu’en compression.Or, au cours des oscillations horizontales d’une masse accrochée à un ressort, ce dernier est

comprimé durant la moitié du temps. C’est pourquoi on préfère souvent utiliser deux ressortspour réaliser des oscillations horizontales. On ajuste la longueur totale du dispositif de manièreà ce que les deux ressorts soient toujours étirés.

Deux ressorts R1 et R2 de longueur à vide lo1 = 15 cm et lo2 = 25 cm de masse négligeable,de raideurs respectives k1 = 50 N.m−1 et k2 = 200 N.m−1 sont fixés à un point matériel M demasse m = 1,25 kg, qui repose sur un plan horizontal. Les autres extrémités des ressorts sontfixées en A1 et A2. Les points A1, A2 et M sont toujours alignés. On donne A1A2 = L = 60 cm.On néglige les frottements du corps sur le plan. Déterminer :

a) les longueurs le1 et le2 de chaque ressort à l’équilibre.b) l’équation du mouvement de m lorsqu’on écarte son centre de gravité de la quantité

ao = 9 cm à partir de la position d’équilibre parallèlement à A1A2 et qu’on l’abandonne sansvitesse. (on choisira x = 0 à l’équilibre). Déterminer x(t) et calculer la période T des oscillations.

c) Quelle serait la constante de raideur k d’un unique ressort, qui produirait des oscillationsde même période ?

Réponses : le1 = 31 cm ; T = 2π√

mk1+k2

= 0,44 s ; k = k1 + k2.

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