page 1 manuel 1 - Apprendre... Autrement! · 2014-06-23 · 6 Vision 1 Ressources supplémentaires • Corrigé du manuel TS – Vol. 1 © 2010, Les Éditions CEC inc. • Reproduction

Corrigé

Vision: manuel 1

Technico-sciences

3e année du 2e cycle

© 2010, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision 1 ■ Ressources supplémentaires • Corrigé du manuel TS – Vol. 1 1

Réactivation 1

a. 1) Graphique concernant le pays d’Amérique du Nord : domaine : [0, 12] mois ; codomaine : [95, 145] ¢/L.Graphique concernant le pays d’Europe : domaine : [0, 12] mois ; codomaine : [190, 240] ¢/L.

2) Pour le pays d’Amérique du Nord, la valeur initiale est de 115 ¢/L. Pour le pays d’Europe, la valeur initiale est 210 ¢/L.

b.

Réactivation 2

a. Ce modèle correspond à une fonction polynomiale de degré 1.

b. Plusieurs réponses possibles. Exemple :La courbe passe par les points (0, 2200) et (200, 1000).Le taux de variation est � � –6.La valeur initiale est 2200.La règle de la fonction associée à cette situation est donc y � –6x � 2200.Si on remplace y par 0, on obtient x � 367 km.Le zéro de cette fonction est environ de 367 km. Il signifie que lorsque la navette se trouve à une altitude de 367 km,sa consommation de carburant est nulle.

c. Oui, car à chaque valeur de la variable indépendante est associée au plus une valeur de la variable dépendante.

d. y � –6(350) � 2200 � 100 L/sLa consommation de carburant est environ de 100 L/s.

Mise à jour

1. a) 1) 1800 personnes. 2) 500 personnes.b) À 1 h, 3 h, 10 h et 14 h après l’ouverture.c) Entre 1 h et 3 h et entre 10 h et 14 h après l’ouverture.d) 1) Croissante.

2) Décroissante de 2 h à 5 h, puis de 6 h à 9 h et croissante de 5 h à 6 h.

2. Domaine : ]–�, 10] ; codomaine : [–8, 10].Positive sur ]–�, -4] � [4, 8] ; négative sur [–4, 4] � [8, 10].Constante sur ]–�, –6] ; croissante sur ]–�, –6] � [0, 6] ; décroissante sur ]–�, 0] � [6, 10].Zéros : –4, 4 et 8.Valeur initiale : –8.Maximum : 10 ; minimum : –8.

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–1200200

1000 � 2200200 � 0

Page 5

Page 4

1RÉVISION

Les fonctions1

Prix maximal Prix minimal Périodes durant Périodes durant

Endroit à la pompe à la pompe lesquelles le prix lesquelles le prix

(¢/L) (¢/L) à la pompe augmente à la pompe diminue(mois) (mois)

Pays d’Amérique du Nord 145 95 [1, 5] et [7, 8] [0, 1], [5, 7] et [8, 12]

Pays d’Europe 240 190 [0, 3], [4, 6] et [9, 10] [3, 4], [6, 9] et [10, 12]

Prix de l’essence à la pompe en fonction du temps dans deux pays

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Mise à jour (suite)

3. a) Le domaine est [0, 4] s et comprend les moments qui définissent la phase de plongeon. Le codomaine est [–1,5, 2] met correspond à l’ensemble des altitudes possibles des mains de la nageuse durant la phase de plongeon.

b) Le minimum est de –1,5 m et le maximum est de 2 m. Ces extremums correspondent respectivement à l’altitudeminimale et à l’altitude maximale des mains de la plongeuse durant cette phase.

c) La valeur initiale est 0,5 m et correspond à l’altitude des mains de la plongeuse au début de la phase de plongeon.d) Les zéros sont 1,25 s et 4 s, et correspondent aux instants où les mains de la plongeuse sont situées à la surface

de l’eau.e) La fonction est croissante sur les intervalles [0, 0,5] s et [2, 4] s. Ces intervalles correspondent aux périodes où l’altitude

des mains augmente. La fonction est décroissante sur l’intervalle [0,5, 2] s. Cet intervalle correspond à la période oùl’altitude des mains diminue.

f ) La fonction est positive sur l’intervalle [0, 1,25] s et est négative sur l’intervalle [1,25, 4] s. Ces intervalles correspondentaux périodes où les mains de la plongeuse sont respectivement au-dessus de l’eau et dans l’eau, incluant les momentsoù elles sont situées à la surface de l’eau.

4. a) 1) Fonction f : Croissance : ]–�, 1] ; décroissance : [1, +�[.Fonction g : Croissance : �.Fonction h : Croissance : �.Fonction i : Croissance : [–4, –2] � [2, 4] ; décroissance : [–2, 2].

2)

3) Fonction f : Non.Fonction g : Oui.Fonction h : Oui.Fonction i : Non.

b) La réciproque d’une fonction est une fonction seulement si elle est strictement croissante ou strictement décroissantesur tout son domaine.


5. a) Fonction exponentielle. b) Fonction polynomiale de degré 1. c) Fonction périodique.d) Fonction périodique. e) Fonction définie par parties. f ) Fonction en escalier.

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0 2 4

2

4

y

x-2-4-2

-4

Fonction i

0

y

x

Fonction h

2 4

4

2

-2

-4

-2-42 40

4

2

-2

-4

y

x

Fonction g

-2-4

y

x420-4 -2

4

2

-2

-4

Fonction f

Page 11

2



6. a) 1) et 2)

7. Plusieurs réponses possibles. Exemple :

8. a) Les deux représentations graphiques sont symétriques par rapport à la bissectrice.b)

On remarque, dans chaque cas, que la représentation graphique de la fonction est identique à la représentationgraphique de sa réciproque.

c) La courbe de la réciproque d’une fonction dont la représentation graphique est symétrique par rapport à la bissectricedu 1er et du 3e quadrant équivaut à la courbe de la fonction elle-même.

1

10

y

x

Fonction g –1

1

10

y

x

Fonction f –1

x

1

10

y

b) Une fonction polynomiale de degré 2.c) La valeur initiale représente la tension initiale

de la voile quand il n’y a pas de vent.d) Graphiquement, il est possible de constater que

la vitesse maximale du vent qu’elle peut tolérerest environ de 17,3 km/h.

1612840

200180160140120100

80604020

20141062 18

Tension de la voile

(N)

Vitesse du vent(km/h)

Tension de la voile d’un bateauselon la vitesse du vent

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Les opérations sur les fonctions et les paramètres

ProblèmeLa règle de la fonction qui permet de calculer le nombre p de plants infestés par mètre carré selon le nombre n de puceronspar plant est p � 0,15n � 5, alors que celle qui permet de calculer la quantité s de soya détruite par plant (en g) selonle nombre n de pucerons par plant est s � 0,01n � 0,5.La règle de la fonction qui permet de calculer la quantité q de soya détruite (en g/m2) selon le nombre n de pucerons par plantest q � (0,15n � 5)(0,01n � 0,5) � 0,0015n2 � 0,125n � 2,5.

Activité 1

a. 1) La variable dépendante a été multipliée par 2.2) La variable dépendante a été multipliée par 0,5.

b. 1) La courbe a été étirée verticalement d’un facteur 2.2) La courbe a été contractée verticalement d’un facteur .

c. Lorsqu’on multiplie l’expression associée à la variable dépendante d’une fonction par un nombre réel, la courbe associéeà la fonction subit un étirement vertical si la valeur absolue de ce nombre est supérieure à 1, ou une contraction verticale sila valeur absolue de ce nombre est comprise entre 0 et 1.

d. 1) La variable indépendante a été multipliée par 2.2) La variable indépendante a été multipliée par 0,5.

e. 1) La courbe a été contractée horizontalement d’un facteur 2.2) La courbe a été étirée horizontalement d’un facteur .

f. Lorsqu’on multiplie la variable indépendante d’une fonction par un nombre réel, la courbe associée à la fonction subitune contraction horizontale si la valeur absolue de ce nombre est supérieure à 1, ou un étirement horizontal si la valeurabsolue de ce nombre est comprise entre 0 et 1.

g. 1) La variable dépendante a été multipliée par –1.2) La variable indépendante a été multipliée par –1.

h. 1) La courbe a subi une réflexion par rapport à l’axe des abscisses.2) La courbe a subi une réflexion par rapport à l’axe des ordonnées.

i. Lorsqu’on multiplie l’expression associée à la variable dépendante d’une fonction par –1, la courbe associée à la fonctionsubit une réflexion par rapport à l’axe des abscisses. Lorsqu’on multiplie la variable indépendante d’une fonction par –1,la courbe associée à la fonction subit une réflexion par rapport à l’axe des ordonnées.

Activité 1 (suite)

j. 1) On a additionné 3 unités à la variable indépendante.2) On a retranché 2 unités de la variable indépendante.

k. 1) La courbe a subi une translation de 3 unités vers la gauche.2) La courbe a subi une translation de 2 unités vers la droite.

l. Lorsqu’on additionne un nombre réel à la variable indépendante d’une fonction, la courbe associée à la fonction subitune translation vers la gauche si ce nombre est positif, et vers la droite si ce nombre est négatif.

m.1) On a additionné 3 unités à l’expression correspondant à la variable dépendante.2) On a retranché 1 unité de l’expression correspondant à la variable dépendante.

n. 1) La courbe a subi une translation de 3 unités vers le haut.2) La courbe a subi une translation de 1 unité vers le bas.

o. Lorsqu’on additionne un nombre réel à l’expression correspondant à la variable dépendante d’une fonction, la courbeassociée à la fonction subit une translation vers le haut si ce nombre est positif, et vers le bas si ce nombre est négatif.

Page 16

12

12

Page 15

Page 14

1.1section

4


Activité 2

a. Exemple de calcul :À 25 jours, il y a 600 � 150(25) � 4350 conifères, alors qu’il y a 75(25) � 1875 feuillus. Le nombre total de conifèreset de feuillus est donc 4350 � 1875 � 6225.

b. 1)

c. NC � NF � 600 � 150t � 75t� 225t � 600

d. Les deux règles sont identiques.

Activité 2 (suite)

e. Exemple de calcul :À 25 jours, il y a 75(25) � 1875 feuillus. La valeur marchande d’un feuillu est 0,02(25) � 0,50 $. La valeur marchandetotale des feuillus est donc 1875 � 0,50 � 937,50 $.

Page 18

2) La règle est celle d’une fonction polynomiale de degré 1de la forme f (x) � ax � b. La règle de la fonction estNT � 225t � 600, où NT est le nombre total de conifères etde feuillus et t, le temps (en jours).

403020100

12 500

10 000

7 500

5 000

2 500

50

Nombre total de conifères et

de feuillus

Temps(jours)

Nombre total de conifères et de feuillus en fonction du temps

Page 17

Temps Nombre Valeur marchande Valeur marchande totale (jours) de feuillus d’un feuillu ($) des feuillus ($)

0 0 0 025 1875 0,50 937,5050 3750 1 375075 5625 1,50 8437,50100 7500 2 15 000

Valeur marchande de feuillus

Temps Nombre de conifères Nombre de feuillus Nombre total de conifères (jours) et de feuillus

0 600 0 60025 4 350 1875 6 22550 8 100 3750 11 85075 11 850 5625 17 475100 15 600 7500 23 100

Reboisement d’une terre


f. 1)

g. NF � v � 75t � 0,02t� 1,5t 2

h. Les deux règles sont identiques.

i. 1) La règle correspond à une fonction polynomiale de degré 2.2) La règle correspond à une fonction polynomiale de degré 1.

j. 1) p � 20(–2t 2 � 1800) � 18 000� –40t 2 � 54 000

2) La règle obtenue correspond à une fonction polynomiale de degré 2.

Activité 3

a. 1) La variable indépendante est le temps écoulé (en jours).2) La variable indépendante est le nombre de leucocytes (en milliards par litre de sang).

b. Établir la règle de la réciproque de la fonction associée à la situation .n � (t � 4)

n � t � 4

n � 4 � tIl s’agit de la règle de la fonction associée à la situation .Établir la règle de la réciproque de la fonction associée à la situation .

t � n � 4

t � 4 � n

(t � 4) � nIl s’agit de la règle de la fonction associée à la situation .Les règles des situations et sont donc des réciproques l’une de l’autre.

c. 1) On devrait utiliser la règle de la situation .2) On devrait utiliser la règle de la situation .

d. n � 0,75t � 3n � 3 � t

(n � 3) � t

La règle est t � (n � 3).43

43

34

1

2

211

43

34

34

2

2

34

34

43

1

Page 19

2) La règle est celle d’une fonction quadratique de la forme f (x) � ax 2.En substituant les coordonnées d’un point aux variables de cette règle,on détermine que le paramètre a vaut 1,5. On a donc VT � 1,5t 2,où VT est la valeur marchande totale (en $) et t, le temps (en jours).

806040200

20 000

16 000

12 000

8 000

4 000

100

Valeur marchande

($)

Temps(jours)

Valeur marchande totale des feuillus en fonction

du temps

6


Technomath

a. À une fonction polynomiale de degré 2.

b. 1) Les ordonnées peuvent être obtenues en multipliant les ordonnées associées à et à .2) Les ordonnées peuvent être obtenues en divisant les ordonnées associées à par les ordonnées associées à .

c. Un zéro de l’une ou l’autre des fonctions associées à et à engendre un zéro pour la fonction associée à .

d. La division par 0 n’est pas définie et ne peut pas être calculée par la calculatrice.

e. 1) 2) 3)

Mise au point 1.1

1. a) h � 7 k � –3 b) h � –2,5 k � –4 c) h � 0 k � 10d) h � –0,4 k � 3 e) h � –3 k � –8 f ) h � 2 k � 0g) h � –4 k � –5 h) h � 4 k � 0 i ) h � k � –3

2. a) b)

c) � �(x) � d)

�

� 2x � 3

� �(6) � 2(6) � 3� 15

e) f )

3. a) (3, 1), (6, 5), (8, 0), (–5, 10), (–12, 22) b) (0, 0), (1,5 16), (2,5, –4), (–4, 36), (–7,5, 84)c) (–6, –4), (0, –16), (4, –1), (–22, –31), (–36, –67) d) (0,5, 2,3), (–2,5, 3,9), (–4,5, 1,9), (8,5, 5,9), (15,5, 10,7)

e) (6, 11), (2, 10,2), �– , 11,2�, � , 9,2�, (26, 6,8) f ) � , – �, �– , �, �–3, – �, � , �, � , �920635

797

391435

447

49635

170935

117

117

47

503

23

f (f (x )) � 4(4x 2 � 9)2 � 9� 4(16x 4 � 72x 2 � 81) � 9� 64x 4 � 288x 2 � 315

f (f (1)) � 64(1)4 � 288(1)2 � 315� 91

(g � f )(x) � (4x 2 � 9)(2x � 3)� 8x 3 � 12x 2 � 18x � 27

(g � f )(–1) � 8(–1)3 � 12(–1)2 � 18(–1) �27� –8 � 12 � 18 � 27� 25

fg

(2x � 3)(2x � 3)(2x � 3)

f (g(x)) � 4(2x � 3)2 � 9� 4(4x 2 � 12x � 9) � 9� 16x 2 � 48x � 27

f (g(–1)) � 16(–1)2 � 48(–1) � 27� 91

4x 2 � 92x � 3

fg

(f � g)(x) � (4x 2 � 9) � (2x � 3)� 4x 2 � 9 � 2x � 3� 4x 2 � 2x � 6

(f � g)(–2) � 4(–2)2 � 2(–2) � 6� 14

(f � g)(x) � (4x 2 � 9) � (2x � 3)� 4x 2 � 2x � 12

(f � g)(4) � 4(4)2 � 2(4) � 12� 60

74

Page 25

Page 20

5

–5

–6 6

5

–5

–6 6

5

–5

–6 6


4. a) 1) f –1(x) � –0,25x � 3 b) 1) g –1(x) � � �2, x � [0, +�[

2) 2)

3) Oui. 3) Oui.c) 1) h –1(x) � 2x � 8 d) 1) i –1(x) � log4� �

2) 2)

3) Oui. 3) Oui.

5. a) b)

c) d) (x) � , où x � –3.

�

� 2x � 5e) f )

Mise au point 1.1 (suite)

6. a) 1) 2) 3) y

x

2

20

y

x

2

20

y

x

2

20

Page 26

k(h (x)) � 2�x � 4� � 10 � 3� 2�x � 4� � 7

j(k(x)) � 2(x � 3)2 � (x � 3) � 15� 2(x 2 � 6x � 9) � x � 3 � 15� 2x 2 � 12x � 18 � x � 3 � 15� 2x 2 � 13x � 6

(x � 3)(2x � 5)(x � 3)

2x 2 � x � 15x � 3

jk(h � i )(x) � (2�x � 4� � 10) � (–5�x � 4� � 6)

� 2�x � 4� � 10 � 5�x � 4� � 6� 7�x � 4� � 16

(f � g)(x) � (5��x � 3)(5��x � 3)� 25x � 15��x � 15��x � 9� 25x � 9

(f � g)(x) � (5��x � 3) � (5��x � 3)� 10��x

y

x

1

10

i

i –1

y

x

2

20

h

h –1

x3

y

x

4

40

g

g 1

y

x

4

40

f

f –1

x2

8


4) 5) 6)

b) Toutes les courbes obtenues correspondent à des fonctions quadratiques.

7. , , ,


8. a) Une translation de 6 unités vers la gauche et de 2 unités vers le haut.b) Un étirement vertical de facteur 3, puis une translation de 9 unités vers la gauche et de 4 unités vers le bas.c) Un étirement horizontal de facteur 2, puis une translation de 6 unités vers le haut.d) Une contraction verticale de facteur 0,2, une contraction horizontale de facteur , puis une translation de 4 unités vers la

droite et de 2 unités vers le haut.

9. a) g(x ) � –2x b) g(x ) � –0,25(x � 4)2 � 2 c) Plusieurs réponses possibles. Exemple : g (x ) � 2 sin x � 3d) g(x ) � 2�x � 6� � 4 e) g(x ) � ��x � 3 � 1 f ) g(x ) � 0,5(x � 5)2 � 4


10. a)

b) 1) Oui, car les règles obtenues en a) 1) et en a) 2) sont identiques.2) Oui, car les règles obtenues en a) 3) et en a) 4) sont identiques.3) Oui, car les règles obtenues en a) 5) et en a) 6) sont identiques.4) Oui, car les règles obtenues en a) 7) et en a) 8) sont identiques.5) Oui, car les règles obtenues en a) 9) et en a) 10) sont différentes.

11. , , ,


12. a) Si t � 5, alors on a n � 180(5) � 900. Si n � 900, alors, on a p � 3(900) � 1000 � 1700. Le profit est doncde 1700 $.

Page 29

C4A3B2D1

9) y � 3(–2x � 1)2 � 4� 3(4x 2 � 4x � 1) � 4� 12x 2 � 12x � 7

10) y � –2(3x 2 � 4) � 1� –6x 2 � 8 � 1� –6x 2 � 9

7) y � (–6x 3 � 3x 2 � 8x � 4)(0,5x)� –3x 4 � 1,5x 3 � 4x 2 � 2x

8) y � (3x 2 � 4) [(–2x � 1)(0,5x)]� (3x 2 � 4)(–x 2 � 0,5x)� –3x 4 � 1,5x 3 � 4x 2 � 2x

5) y � (3x 2 � 4)(–2x � 1)� –6x 3 � 3x 2 � 8x � 4

6) y � (–2x � 1)(3x 2 � 4)� –6x 3 � 3x 2 � 8x � 4

3) y � (3x 2 � 2x � 3) � (0,5x)� 3x 2 � 1,5x � 3

4) y � (3x 2 � 4) � ((–2x � 1) � (0,5x))� (3x 2 � 4) � (–1,5x � 1)� 3x 2 � 1,5x � 3

1) y � (3x 2 � 4) � (–2x � 1)� 3x 2 � 2x � 3

2) y � (–2x � 1) � (3x 2 � 4)� 3x 2 � 2x � 3

Page 28

13

Page 27

A4B3D2C1

y

x

2

20

y

x

2

20

y

x

2

20


b) 1) 2)

La règle est g(f (t)) � 540t � 1000.c) Les résultats sont identiques.d) La règle permet de calculer le profit réalisé par l’entreprise (en $) en fonction du temps (en h).e) 3590 � 540t � 1000

4590 � 540tt � 8,5

L’entreprise doit confectionner des gâteaux pendant au moins 8,5 h.

13. a) b)

c) d)

14. , , ,


15. a) 1) La règle est g (x ) � (x � 90)2 � 6. 2) La règle est h (x ) � (x � 60)2 � 2.b) Le paramètre k sera modifié. c) Le paramètre a sera modifié.

16. a)

b) 1) 2) x � 5y � 3x � 3 � 5y

� y

(f � g)–1(x) � (x � 3)15

x � 35

(f � g)(x) � (2x � 5) � (3x � 2)� 2x � 3x � 5 � 2� 5x � 3

1300

1900

Page 30

A4B3D2C1

y

x

2

20

y

x

4

20

y

x

2

20

y

x

2

20

g(f (5)) � 540(5) � 1000� 1700

(g ° f )(t) � g(f (t))� 3(180t) � 1000� 540t � 1000

10

Pour la fonction f : x � 2y � 5x � 5 � 2y

� y

f –1(x) � (x � 5)

Pour la fonction g : x � 3y � 2x � 2 � 3y

� yg –1(x) � (x � 2)1

3

x � 23

12

x � 52


c) f –1(x) � g–1(x) � �

�

�

Non, car la règle de la réciproque de la fonction f � g est y � (x � 3) et la règle de la fonction f –1 � g –1 est

y � (5x � 11). Les deux règles sont différentes.

17. a) b)

c) p � 3000��n � 3000p � 3000 � 3000��n

� � 1�2� n

La règle est n � � �2, où p est le profit (en $) et n, le nombre de paires de patins produits.

d) 1) p � 0

� � 1�2 n

1 nL’entreprise doit produire plus de 1000 paires de patins à roues alignées.

2) p � 11 000

� � 1�2� n

n � 21,78L’entreprise doit produire environ 21 778 paires de patins à roues alignées.


18. a) 1) On doit appliquer un étirement vertical de facteur 3.2) On doit appliquer un étirement vertical de facteur 6,5 et une translation de 20 unités vers la droite et de 10 unités

vers le haut.b) Le risque est 3 fois plus élevé pour une personne appartenant au groupe que pour une personne appartenant

au groupe , car la variable indépendante est toujours multiplié par 3.c) h(170) � 6,5(1,01)170 � 20 � 10

� 38,91On enregistre donc environ 39 incidents coronariens sur 100 cas possibles.

d) 1) h(200) � 6,5(1,01)200 � 20 � 10� 48,97

g(200) � 3(1,01)200

� 21,9548,97 21,95 � 2,23Le risque est environ 2,23 fois plus élevé.

AB

Page 31

11 0003000

03000

p � 30003000

p3000

400020000–2000–4000

8

6

4

2

6000

Nombre de paires de patins(milliers)

Profit($)

Réciproque de la fonction

8642

6000

4000

2000

0

–2000

–4000

Profit($)

Nombre de pairesde patins(milliers)

Profit en fonction du nombre de paires de patins

16

15

5x � 116

3x � 15 � 2x � 46

x � 23

x � 52


2) f (200) � 1,01200

� 7,3248,97 7,32 � 6,69Le risque est environ 6,69 fois plus élevé.

La fonction partie entière

ProblèmeLe prêt initial est de 375 000 $. À chaque deux semaines, le prêt diminue de 2500 $.375 000 2500 � 150 périodes de deux semaines.150 � 2 � 300Le prêt sera entièrement remboursé à 300 semaines.

Activité 1

a. Le tarif initial est de 3,30 $.

b. Le tarif en vigueur est de 1,60 $/km.

c. Pour chaque kilomètre parcouru, le coût augmente de 1,60 $.

d. 1) La personne débourse 4,90 $. 2) La personne débourse 8,10 $. 3) 3,30 � 1,60 � 11 � 20,90La personne débourse 20,90 $.

e. 1) [2, 3[ km 2) 3)

Activité 2

a. 1) Le tempo est de 20 battements/min.2) Chaque changement de tempo correspond à une augmentation de 10 battements/min.3) La pièce est jouée au même tempo pendant 2 semaines.

b. 1) Le paramètre a correspond à la distance verticale entre deux segments horizontaux consécutifs.2) La longueur des segments horizontaux correspond à .3) Les coordonnées du point (h, k) correspondent à un point plein d’un segment horizontal.

c. Thomas a raison. Le tempo est le même pour chaque intervalle de temps.

d. 1) Le paramètre a correspond à la distance verticale entre deux segments horizontaux consécutifs.2) Le paramètre b correspond à l’inverse de la longueur de chacun des segments horizontaux.3) Ce sont les coordonnées du point plein situé à l’extrémité gauche du deuxième segment.

e. Les coordonnées du point plein situé à l’extrémité de chacun des segments correspondent aux valeurs possibles de h etde k.

Mise au point 1.2

1. a) 7 b) –19 c) 0,2 d) 43 e) 4,4 f ) 8

Page 37

1�b�

Page 34

24,10 � 3,30 � 1,60xx � 13 km

Donc, [13, 14[ km.

14,50 � 3,30 � 1,60xx � 7 km

Donc, [7, 8[ km.

Page 33

Page 32

1.2section

12

Temps (semaines)Tempo (nombre de battements/min)

[0, 2[ [2, 4[ [4, 6[ [6, 8[ [8, 10[

20 30 40 50 60

Tempo en fonction du temps écoulé depuis le début de l’apprentissage


2. a) Non. Il s’agit d’une fonction polynomiale de degré 1.b) Oui. Le coût est le même pour chaque intervalle de 2 kg et augmente de 3 $ entre chaque intervalle.c) Non. Il s’agit d’une fonction polynomiale de degré 1.d) Oui. Le salaire horaire est le même pour chaque intervalle de 1 an et augmente de 1 $/h entre chaque intervalle.

3.

4. a) 1) a � 3 b � 0,5 b) 1) a � –3 b � 0,5 c) 1) a � 0,5 b � 4h � 6 k � 1 h � 6 k � 1 h � –2 k � –2

2) 2) 2)

d) 1) a � –4 b � –1 e) 1) a � 1 b � 1 f ) 1) a � 1,5 b � –0,1h � 5 k � 3 h � –3 k � –2 h � –5 k � 2,5

2) 2) 2)

5. a)

b) Non, car à certaines valeurs de la variable indépendante est associée plus d’une valeur de la variable dépendante.

0 2 4 6 8 10–2–4–6–8–10

2

4

6

–2

–4

–6

y

x

y

x

1

50

y

x

1

10

y

x

2

10

y

x

0,5

0,50

y

x

2

20

y

x

2

20

y

x

2

10



6. , , ,

7. Non. Plusieurs réponses possibles. Exemple :Graphiquement, la distance entre deux segments horizontaux consécutifs de la courbe associée à la première règle est de 5alors que dans la seconde, elle est de 10. La largeur de chacun des segments horizontaux de la courbe associée àla première règle est de 0,5 alors que dans la seconde, elle est de 1.

8. a)


9. a) 1) Domaine : � ; codomaine : {…, –40, –20, 0, 20, …}. 2) [–10, 10[3) Positif sur ]–�, 10[ ; négatif sur [–10, +�[. 4) Décroissante sur son domaine.

b) 1) Domaine : � ; codomaine : {…, –50, –25, 0, 25, …}. 2) ]5, 20]3) Positif sur ]5, +�[ ; négatif sur ]–�, 20]. 4) Croissante sur son domaine.

c) 1) Domaine : � ; codomaine : {…, –40, –25, –10, 5, …}. 2) Aucun.3) Positif sur [–10, +�[ ; négatif sur ]–�, –10[. 4) Croissante sur son domaine.

d) 1) Domaine : � ; codomaine : {…, –30, –10, 10, 30, …}. 2) Aucun.3) Positif sur ]–�, 5] ; négatif sur ]5, +�[. 4) Décroissante sur son domaine.

10. a) Plusieurs réponses possibles. Exemple :C � 0,1[0,1(i � 5)] � 0,1, où C est la capacité du condensateur (en microfarads) et i, l’intensité (en V) du courantélectrique.

b) 1) La capacité est de 0,7 microfarad.2) C � 0,1[0,1(155 � 5)] � 0,1 3)

� 0,1[15] � 0,1� 1,6

La capacité est de 1,6 microfarad.

c) 1) [35, 45[ V 2) 3,1 � 0,1[0,1(i � 5)] � 0,13 � 0,1[0,1(i � 5)]

30 � [0,1(i � 5)]i � 305

[305, 315[ V

C � 0,1[0,1(221 � 5)] � 0,1� 0,1[21,6] � 0,1� 2,2

La capacité est de 2,2 microfarads.

Page 39

b) Plusieurs réponses possibles. Exemple :P � –350[0,5t] � 22 000, où P est le montant du prêt (en $)et t, le temps (en semaines).

c) P � –350[0,5(52)] � 22 000� 12 900

Le solde du prêt est de 12 900 $.d) 0 � –350[0,5t] � 22 000

–22 000 � –350[0,5t][0,5t] � 62,86

t � 125,71Le temps minimal requis pour rembourser la totalité du prêt estde 126 semaines.

86420

22 500

22 000

21 500

21 000

20 500

10

Solde($)

Temps(semaines)

Solde du prêt en fonction du temps

2D4C1B3A

Page 38

14



11. a) b) Plusieurs réponses possibles. Exemple :

C � –3�– (m � 10) � 5, où C est le coût de la livraison (en $)

et m, la masse du colis (en kg).

c) C � –3�– (535 � 10) � 5� 110

Le coût maximal est de 110 $.d) Non, car il s’agit d’une fonction partie entière dont le codomaine

est {5, 8, 11, 14, …, 35, 38, 41, …, 110}. Il est impossible quele coût soit de 37 $.

12. a) Plusieurs réponses possibles. Exemple : f (x ) � 3[0,25(x � 2)] � 1.b) Plusieurs réponses possibles. Exemple : f (x ) � –3[–0,25(x � 2)] � 1.c) Plusieurs réponses possibles. Exemple : f (x ) � –2[3x] � 17.d) Plusieurs réponses possibles. Exemple : f (x ) � 2[–3x] � 19.


13. a) 1) Plusieurs réponses possibles. Exemple :Q � 2,5[0,2(m � 12)] � 5, où Q est la quantité d’acétaminophène liquide (en mL) et m, la masse de l’enfant(en kg).

2) Plusieurs réponses possibles. Exemple :Q � [0,2(m � 12)] � 2, où Q est le nombre de comprimés de 80 mg et m, la masse de l’enfant (en kg).

3) Plusieurs réponses possibles. Exemple :Q � 0,5[0,2(m � 12)] � 1, où Q est le nombre de comprimés de 160 mg et m, la masse de l’enfant (en kg).

b) 1) 2)

3) Q � 0,5[0,2(34 � 12)] � 1� 0,5[4,4] � 1� 3

La dose recommandée est de 3 comprimés.

14. a)

Q � [0,2(34 � 12)] � 2� [4,4] � 2� 6

La dose recommandée est de 6 comprimés.

Q � 2,5[0,2(34 � 12)] � 5� 2,5[4,4] � 5� 15

La dose recommandée est de 15 mL.

Page 41

115

115

806040200

20

16

12

8

4

100

Coût($)

Masse(kg)

Coût de la livraison en fonction de la masse

Page 40

1) La � –15� � 8� –15[–1,2]� 30°

Lo � 24� � 2 � 180

� 24[4,25] � 180� –84°

2) La � –15� � 8� –15[–1,8]� 30°

Lo � 24� � 2 � 180

� 24[11,75] � 180� 84°

3) La � –15� � 8� –15[4]� –60°

Lo � 24� � 2 � 180

� 24[13,5] � 180� 132°

4) La � –15� � 8� –15[–2,5]� 45°

Lo � 24� � 2 � 180

� 24[8,5] � 180� 12°

424

5510

624

12010

554

6210

254

6810


b)


15. a) 1)

b) Plusieurs réponses possibles. Exemple :Cela dépend de la distance à parcourir. Le tableau ci-contre présente les choix les plus avantageux en fonction de la distance à parcourir.

16. a) Plusieurs réponses possibles. Exemple :La règle est C � 1,5�– (m � 150) � 8,5, où C est le coût (en $/kg) et m, la masse (en kg).

b) 1) C � 1,5�– (325 � 150) � 8,5

� 1,5[–1,17] � 8,5� 5,50

5,50 � 325 � 1787,50Le coût du transport est de 1787,50 $.

2) C � 1,5�– (750 � 150) � 8,5

� 1,5[–4] � 8,5� 2,50

2,50 � 750 � 1875Le coût du transport est de 1875 $.

3) Lorsque la masse est supérieure à 750 kg, le prix est constant à 1 $/kg.1 � 1021 � 1021Le coût du transport est de 1021 $.

c) Il est préférable d’attendre encore une journée. Il y a présentement 450 kg de denrées ; il en coûterait 5,50 $/kgpour les acheminer par train, soit 2475 $. Si la livraison est reportée au lendemain, il y aura 468 kg de denrées.Il en coûtera alors 4,40 $/kg pour les acheminer, soit 1872 $.

1150

1150

1150

2) Plusieurs réponses possibles. Exemple :CA � –1,5[–0,5(d � 2)] � 2 et CB � –4[–0,25(d � 4)] � 1,où C est le coût (en $) et d,la distance (en km).

1612840

16141210

8642

Tarif($)

Distance(km)

Tarification de l’entreprise B en fonction de la distance

1612840

16141210

8642

Tarif($)

Distance(km)

Tarification de l’entreprise A en fonction de la distance

Page 42

16

1) –30 � –15� � 82 � � � 8

100 � m 110La personne a une massecomprise dans l’intervalle[100, 110[ kg.

2) 84 � 24� � 2 � 180

264 � 24� � 211 � � � 2

52 � a 56La personne doit être âgéed’au moins 52 ans et de moinsde 56 ans.

a4

a4

a4

m10

m10

Distance (km) Choix de l’entreprise]0, 4] B

]4, 6] A ou B

]6, 8] B

]8, 10] A

]10, 12] B

]12, +�[ A

Choix de l’entreprise en fonction de la distance



17. a) Selon le graphique, pour 72 personnes, le coût par personne est de 23,50 $.72 � 23,50 � 1692Le coût total est de 1692 $.

b) Si le nombre de personnes se situe sur l’intervalle ]0, 20], le prix par personne est de 28 $.1175 28 � 41,96 personnes, donc impossible.Si le nombre de personnes se situe sur l’intervalle ]20, 40], le prix par personne est de 26,50 $.1175 26,50 � 44,34 personnes, donc impossible.Si le nombre de personnes se situe sur l’intervalle ]40, 60], le prix par personne est de 25 $.1175 25 � 47 personnes, donc possible.

18. a) La règle est N � � � 1, où N est le nombre de fois que le phénomène a été observé et t, le temps écoulé

(en années) depuis la première observation.b)

19. La représentation graphique des salaires de chaque entreprise est la suivante.

20. a) La règle est E � 2� � 4, où E est l’épaisseur (en mm) de la tuile et T, la température (en °C).

b) E � 2� � 4

� 2 [11,125] � 4� 2 � 11 � 4� 26

L’épaisseur minimale d’une tuile est de 26 mm.c) 22 � 2 � � 4

18 � 2� 9 �

T � 1800Une tuile de 22 mm d’épaisseur peut supporter une température d’au moins 1800 °C, mais de moins de 2000 °C.

T200

T200

T200

2225200

T200

De cette représentation graphique, il est possiblede construire le tableau suivant.

20 25151050

50 000

40 000

30 000

20 000

Salaire($)

Temps(années)

Salaire en fonction des années d’ancienneté

Salaire entreprise ASalaire entreprise B

t60

Page 43

1) t � 2637 � 1000 � 1637 années

N � � � 1

� [27,28] � 1� 28

2) t � 2637 années

N � � � 1

� [43,95] � 1� 44

263760

163760

3) t � 2637 � 1534 � 4171 années

N � � � 1

� [69,52] � 1� 70

4) t � 2637 � 1867 � 4504 années

N � � � 1

� [75,07] � 1� 76

450460

417160

Temps (années) Choix de l’entreprise[0, 20[ B

[20, 22[ A et B

[22 et + A


La fonction rationnelle

ProblèmeLa personne de droite a raison.Plusieurs réponses possibles. Exemple :La table de valeurs ci-contre montre que le prix de vente par kilogramme diminue en fonction du temps.Le graphique suivant permet également de faire cette constatation.

Activité 1

a. La valeur initiale est environ de 9,83 bars.

b. 1)

2) La valeur de P diminue de plus en plus au fur et à mesure que la valeur de t se rapproche de 30.3) L’équation de l’asymptote verticale est x � 30.

c. 1) L’équation permet de déterminer le temps d’utilisation pour que la pression à l’intérieur du compresseur soit de 5 bars.

2) � 5, où t � 30.10t � 295 � 5(t � 30)

5t � 145t � 29

Le temps d’utilisation doit être de 29 s pour que la pression à l’intérieur du compresseur soit de 5 bars.

d. 1) L’inéquation permet de déterminer le temps d’utilisation pour que la pression à l’intérieur du compresseur soit d’aumoins 9,5 bars.

2) � 9,5, où t � 30.10t � 295 � 9,5(t � 30)

0,5t � 10t � 20

De 0 s à 20 s, la pression à l’intérieur du compresseur est d’au moins 9,5 bars.

10t � 295t � 30

10t � 295t � 30

Page 45

4 53210

4

3

2

1

Prix de vente($/kg)

Temps(années)

Prix de vente d’une vacheen fonction du temps

Page 44

1.3section

18

Temps (s)Pression (bars)

4 7,6 29,5 29,7 29,9 29,99 30

9,81 9,78 0 –6,67 –40 –490 Non définie

Pression dans le réservoir d’un compresseur en fonction du temps

Temps Prix de vente Masse de la vache Prix de vente(années) ($) (kg) ($/kg)

0 175 50 3,5

1 400 200 2

2 625 350 � 1,79

3 850 500 1,7

4 1075 650 � 1,65

Prix de vente d’une vache en fonction du temps


e. 10t � 295 �t � 30� (10t � 300) 10

05

(10t � 295) (t � 30) � � 10

La règle P � peut donc aussi s’écrire P � � 10.

Technomath

a. Pour : a � –2, h � –5 et k � –6. Pour : a � 5, h � 2 et k � 3.

b. 1) y � –6 2) x � –5 3) y � 3 4) x � 2

c. Plusieurs réponses possibles. Exemple : Les équations des asymptotes à une courbe associée à une fonction rationnelle dont la règle s’écrit sous la forme y � � k sont x � h et y � k.

d. 1) 2) 3)

Mise au point 1.3

1. a) f (x ) � � 4 b) f (x ) � � 2 c) f (x ) � � 3 d) f (x ) � � 1 e) f (x ) � � 1

f ) f (x ) � � 0,5 g) f (x ) � � 4 h) f (x ) � � 1,5 i ) f (x ) � � 1

2. a) 1) f –1(x ) � � 15 2) f –1(x ) � � 2 3) f –1(x ) � � 5

4) f –1(x ) � � 1 5) f –1(x ) � � 4 6) f –1(x ) � � 2,5b) Fonction rationnelle.

3. a) b) c)

d) e) f ) y

x

1

10y � –0,5

x � 1,5

y

x

2

20

y � 1

x � 3

y

x

2

20

x � –3

y � 4

y

x

2

40y � 0

x � 4

y

x

1

10y � 1

x � –4

y

x

2

20

x � 3

y � –2

–1,5x � 3,5

–3x � 7

2x � 1

3x � 4

–13(x � 4)

8x � 3

5x � 3

1x � 0,5

15x � 5

3,25x � 1,5

–4x � 2

2�3

x � 1–5

x � 4–2

x � 236

x � 9

Page 50

ax � h

Page 46

5t � 30

10t � 295t � 30

5t � 30


4. a) 1) y � 12 2) x � 8 3) (8, 12) b) 1) y � –7 2) x � –6 3) (–6, –7)c) 1) y � –10 2) x � 2 3) (2, –10) d) 1) y � 4 2) x � 2 3) (2, 4)e) 1) y � –3 2) x � 4 3) (4, –3) f ) 1) y � 0 2) x � 4 3) (4, 0)


5. a) f (x ) � b) f (x ) � c) f (x ) � � 2

d) f (x ) � � 8 e) f (x ) � � 5 f ) f (x ) � � 3,4

6.

7. a) f (x ) � � 5 b) f (x ) � � 3 c) f (x ) � � 10

8.

–8x � 6

–5x � 2

–100x � 12

2,6x � 2,8

–0,2x � 4

6,25x

–2x � 1

2x � 3

–5x

Page 51

20

a) � 5 � 2

� –3–1 � x � 2x � 1

b) � 2 � 4

� 2–2 � x � 3x � –5

c) –0,5 � � 4

3,5 �

4x � 24 � 2x � –5,5

74x � 24

74x � 24

–4x � 3

–4x � 3

3x � 2

3x � 2

d) � 1

2x � 5 � x � 3x � 8

e) 43 �

43(4 � x) � 12x � 7172 � 43x � 12x � 7

165 � 55xx � 3

f ) � 9

6x � 6 � 9x6 � 3xx � 2

6x � 6x

12x � 74 � x

2x � 5x � 3

g) � –2

5 � 3x � –2(3x � 4)5 � 3x � –6x � 8

3x � 3x � 1

h) 8 �

8(x � 4) � 8x � 28x � 32 � 8x � 2

0x � 30Aucune solution.

i ) 15 �

15(4x � 4) � 10x60x � 60 � 10x

50x � –60x � –1,2

10x4x � 4

8x � 2x � 4

5 � 3x3x � 4

a) y � �

� �

�

b) y � � ��

�

�

c) y �

� � ��

�

�–83x

–8(x � 2)3x (x � 2)

–4(2x � 4)3x (x � 2)

2x � 43x

–4x � 2

3x2x � 4

–4x � 2

–6xx 2 � 4x � 4

–12x2(x 2 � 4x � 4)

–12x2x 2 � 8x � 8

3x2x � 4

–4x � 2

3x � 82x � 4

3x2x � 4

–82x � 4

3x2x � 4

–4x � 2

d) y � �

� �

�

e) y �

�

�

�

�–3x

–124x

–12–8 � 4x � 8

�–12

x � 2�

�–8

x � 2� � �

4(xx � 2

� 2)�

3��–4x � 2

��2��–4

x � 2�� 4

3x � 82x � 4

82x � 4

3x2x � 4

–4x � 2

3x2x � 4



9. a) x � � k b) Le paramètre a demeure inchangé. Les paramètres h et k sont intervertis.

x � k �

y � h �

y � � h

f –1(x ) � � h

10.

i ) � , où x � –3.

7(3x � 9) � 1621x � –47

–3 x � –

–4 –3 –2 –1 0 x–4721

4721

23x � 9

78

–1 0 1 2 3 4 x17

3513

–0,5 –0,4 –0,3 –0,2 –0,1 0 0,1 x–736

–13

0 1 2 3 x–4 –3 –2 –1 0 1 2 x

5 6 7 8 9 10 x2 3 4 5 6 7 x

0 5 10 15 x0 1 2 3 4 5 6 x143

ax � k

ax � k

ax � k

ay � h

ay � h

Page 52

a) � 2 � 8, où x � 3.

� 6

� x � 3

� x

3 x �

b) � –1, où x � 7.

� x � 7

5 � x � 712 � x

x 7 et x � 12

–5–1

–5x � 7

143

143

106

10x � 3

10x � 3

c) � 3 � –1, où x � 5.

� –4

–2 � 2x � 104 � x

4 x 5

d) 6 � � 1, où x � 8.

5 �

8 � x � 17 � x

x � 7 et x � 8

58 � x

58 � x

82x � 10

82x � 10

e) � 2, où x � 0.

3x � 2 � 2xx � –2

–2 � x 0

f ) 9 � , où x � 1,5.

9(2x � 3) � 4x � 114x � 28

x � 21,5 x � 2

4x � 12x � 3

3x � 2x

g) 18 � , où x � – .

18x � 6 �

18x � � 6

x � –

– x –

h) � , où x � .

3(7x � 1) � 4(2x � 8)21x � 3 � 8x � 32

13x � 35

x �

x et x 3513

17

3513

17

2x � 87x � 1

34

736

13

736

52

4518

13

4518x � 6


11. a) (x) � � � x � 4 b) (x) � � �

À une fonction polynomiale de degré 1. À une fonction rationnelle.

12. a) 1) �\{4} 2) �* 3) Aucun. 4) Décroissante sur �\{4}.5) Positif sur ]4, +�[ ; négatif sur ]–�, 4[.

b) 1) �\{5} 2) �\{15} 3) x � 4 4) Décroissante sur �\{5}.5) Positif sur ]–�, 4] � ]5, +�[ ; négatif sur [4, 5[.

c) 1) �\{3} 2) �\{5} 3) x � 3,5 4) Croissante sur �\{3}.5) Positif sur ]–�, 3[ � [3,5, +�[ ; négatif sur ]3, 3,5].

d) 1) �\{3} 2) �\{–2} 3) x � 3,75 4) Décroissante sur �\{3}.5) Positif sur ]3, 3,75] ; négatif sur ]–�, 3[ � [3,75, +�[.

e) 1) �\{–4} 2) �* 3) Aucun. 4) Croissante sur �\{–4}.5) Positif sur ]–�, –4[ ; négatif sur ]–4, +�[.

f ) 1) �\{–5,5} 2) �\{2,5} 3) x � –5,3 4) Croissante sur �\{–5,5}.5) Positif sur ]–�, –5,5[ � [–5,3, +�[ ; négatif sur ]–5,5, –5,3].


13. a) La règle est P � , où P est le profit moyen (en $) par condominium et c, le nombrede condominiums vendus.

b) P � � –20 000 $Il y a une perte moyenne de 20 000 $.

c) 0 �

0 � 50 000c � 3 500 000c � 70Les promoteurs doivent vendre plus de 70 condominiums.

d) 12 000 �

12 000c � 50 000c � 3 500 000c � 92,11

Environ 92 condominiums ont été vendus.

e) 14 000 �

14 000c � 50 000c � 3 500 000c � 97,22

Ils doivent vendre au moins 98 condominiums.f ) Non, car la représentation graphique comporte une asymptote horizontale dont l’équation est y � 50 000. Le profit

moyen tend donc vers 50 000 $, sans toutefois l’atteindre.

14. a) 1) Il s’agit de deux fonctions polynomiales de degré 1.2) La valeur initiale de F est de 14 MHz et celle de B est de 10 kHz.3) F n’a aucun zéro dans le présent contexte. Celui de B est 100 kHz.4) La fonction F est croissante et la fonction B est décroissante.

b) 1) Q � � � � 0,01

C’est une fonction rationnelle.2) Sa valeur initiale est 1,4.3) Cette fonction n’a aucun zéro dans le présent contexte.4) Cette fonction est décroissante.

14,110 � 0,1t

14 � 0,001t10 � 0,1t

FB

50 000c � 3 500 000c

50 000c � 3 500 000c

50 000c � 3 500 000c

50 000(50) � 3 500 00050

50 000c � 3 500 000c

Page 53

1x � 4

2x � 3(2x � 3)(x � 4)

2x � 32x 2 � 5x � 12

gf

(2x � 3)(x � 4)2x � 3

2x 2 � 5x � 122x � 3

fg

22


c) 1) 2,34 � � 0,01, où t � 100.

2,35 �

10 � 0,1t �

0,1t � 4t � 40

À 40 s.2) On sait que si Q � 2,34 alors, t � 40. On sait aussi que t � 100. Donc, lorsque t 40 s et t � 100 s.

3) 4 � � 0,01, où t � 100.

4,01 �

10 � 0,1t �

6,4838 � 0,1tt � 64,84

Donc, lorsque t � 64,84 s et t 100 s.4) Lorsque 40 s t 64,84 s.


15. a) La règle est C � � 30, où C est le coût de production (en $) par appareil et b, le nombre de baladeursproduits.

b) Non, le coût de production minimal tend vers 30 $, mais ne l’atteint jamais puisque la représentation graphiquecomporte une asymptote horizontale d’équation y � 30.

c) Le coût de production maximal est de 20 030 $ si l’entreprise produit 101 baladeurs.

d) C � � 30

� 36,90Le coût de production d’un baladeur est environ de 36,90 $.

e) 46 � � 30, où b � 100.

16 �

b � 100 �

b � 1350Cette entreprise a produit au moins 1350 baladeurs.

16. a) Comme la fonction est décroissante, la production journalière maximale est observée en 2009.

P � � 1500

� 5000La production journalière maximale est de 5 000 000 de barils par jour.

b) La production journalière minimale correspond à l’asymptote horizontale.y � 1500La production journalière minimale tend vers 1 500 000 barils par jour.

c) 1600 � � 1500, où t � –1,5.

100 �

t � 1,5 �

t � 512009 � 51 � 2060Cette crise pourrait avoir lieu en l’an 2060.

5250100

5250t � 1,5

5250t � 1,5

52500 � 1,5

20 00016

20 000b � 100

20 000b � 100

20 0003000 � 100

20 000b � 100

Page 54

14,14,01

14,110 � 0,1t

14,110 � 0,1t

14,12,35

14,110 � 0,1t

14,110 � 0,1t


17. a) b) 85 �

V �

V � 588,24

c) P � , où P correspond à la pression (en kPa) et V, au volume (en mL). d) P �

� 250


18. a) La règle est A � , où A est la somme moyenne (en $/MW) versée à la MRC et m, le nombrede mégawatts produits.

b) 1500 � c)

1500m � 1000m � 30 000500m � 30 000

m � 6060 MW sont produits.

19. a) 1) U � 5 � 3x 2) P � 1 � x 3) R �

b) �+*c) 5d) ]3, 5]e) La valeur de R se rapproche de plus en plus de 3 sans jamais l’atteindre.

f ) 3,2 � , où x � –1.

3,2(1 � x) � 5 � 3x3,2 � 3,2x � 5 � 3x

0,2x � 1,8x � 9

Après 9 mois.


20. a) La règle est R � � 9, où R est le coefficient de résistance de l’air et n, le nombre de bernaches.

b) R � � 9

� 8,74La résistance de l’air est environ de 8,74.

c) 7,75 � � 9

–1,25 �

n � 50 �

n � 50 � –8n � 42

Il y a 42 bernaches devant cette bernache ; la formation compte donc 43 bernaches au total.

10–1,25

10n � 50

10n � 50

1012 � 50

10n � 50

Page 56

5 � 3x1 � x

5 � 3x1 � x

Soit S, la somme totale versée à la MRC.S � 1000m � 30 000S � 1000(109,5) � 30 000S � 139 500La somme totale versée s’élève à 139 500 $.

1000m � 30 000m

1000m � 30 000m

Page 55

50 000200

50 000V

4003002001000

1000

800

600

400

200

500

Volume (mL)

Pression(kPa)

Loi de Boyle-Mariotte

50 00085

50 000V

24


21. a)

b) NT � � 50 � � 300

� � 350

� � 350

La règle est NT � � 350, où NT est le nombre total d’actions et t, le temps (en jours).

c)

d) NT � � 350� 400

Cette investisseuse possède au maximum 400 actions. Le maximum de cette situation correspond à la valeur initialede la fonction qui permet de calculer le nombre total d’actions.


22. a) Les règles sont PCarla � � 10,5 et PDina � � 10, où P est le temps de la course (en s) et t,le temps d’entraînement (en mois).

b) � 10,5 � � 10

� 0,5 �

10 � 0,5(t � 1) � 150,5t � 4,5

t � 9Le temps de la course est le même pour les deux athlètes à 9 mois d’entraînement.

c) PCarla � � 10,5� 11,41

PDina � � 10� 11,36

Écart : 11,41 � 11,36 � 0,05L’écart est environ de 0,05 s.

1510 � 1

1010 � 1

15t � 1

10t � 1

15t � 1

10t � 1

15t � 1

10t � 1

Page 57

2000 � 4

20 25 30151050

440

400

360

Nombred’actions

Temps(jours)

Variation du nombre total d’actionsde deux entreprises

y � 350

200t � 4

200t � 4

700 � 500t � 4

–500t � 4

700t � 4

20 25 30151050

360

240

120

Nombred’actions

Temps(jours)

Nombre d’actions de deux entreprises en fonction du temps

y � 50 Entreprise A

Entreprise By � 300


23. a) La règle est C � , où C est le coût unitaire (en $) et d, le nombre de doses fabriquées.b) La valeur de C diminue.c) La règle est P � 17d � 750 000, où P est le profit (en $) et d, le nombre de doses fabriquées.d) P � 17(500 000) � 750 000

� 7 750 000Les profits sont de 7 750 000 $.

Chronique du passé

1. B2(B1(x)) � �x � �2� �x � � �

� x 2 � x � � x � �

� x 2 � 2x �

2. a) V � 0,45 b) V � 0,45 c) V � 0,45� 6,57 � 6,24 � 4,83

3. a) 6,5 � 0,45 b) 5,2 � 0,45 c) 2 � 0,4514, � 11, � 4, �

208,64 � 300 � p 133,53 � 300 � p 19,75 � 300 � pp � 91,36 p � 166,47 p � 280,25

4. a) F � � 188,95 b) F � � 278,57 c) F � � 812,5

5. On sait que F � .On obtient donc : F � 2l � 3v

l �

Si on double la fréquence, on double la valeur de F.

On obtient donc : 2F �

2F � 2l � 3v

l �

La longueur initiale était de et elle est maintenant de .On veut vérifier si la longueur est 2 fois plus courte.

� 2� ��

Alors, pour produire un son de fréquence deux fois plus élevée qu’un son donné, il faut un tuyau deux fois plus court.

Le monde du travail

1. a) La règle p � –6�– (s � 15) � 4 représente le nombre de puits p en fonction de la superficie s (en km2).

Si s � 188, on obtient :

p � –6�– (188 � 15) � 4

� –6[–11,5 ] � 4� –6 � –12 � 4� 76

Elle devrait y forer 76 puits.

3

115

115

Page 61

3v2F

3v2F

3v4F

3v2F

3v4F

3v2F

3v4F

3v2l

3v2F

3v2l

3 � 3252 � 0,6

3 � 3252 � 1,75

3 � 3252 � 2,58

�300 � p4�300 � p5�300 � p4�300 � p�300 � p�300 � p

�300 � 185�300 � 108�300 � 87

1112

16

12

14

16

12

12

Page 59

1RUBRIQUES PARTICULIÈRES

3d � 750 000d

26


b) Si p � 88, on obtient :

88 � –6�– (s � 15) � 4

84 � –6�– (s � 15)–14 � �– (s � 15)On déduit que la superficie est comprise dans l’intervalle ]210, 225] km2.

2. a) Règle associée au sol de type A : CA � p � 4.

Règle associée au sol de type B : CB � p � 1.

CT � 3� p � 4� � 2� p � 1�� p � 12 � 3p � 2

� p � 14

La règle est CT � p � 14, où CT est le coût total du forage (en millions de dollars) et p, la profondeur des puits (en km).

b) 38,3 � p � 14

24,3 � pp � 5,4

Chaque puits a une profondeur de 5,4 km.

3. � 3, où x � –100.10x � 2500 � 3(x � 100)10x � 2500 � 3x � 300

7x � 2800x � 400

L’oléoduc mesure au plus 400 km.

Vue d’ensemble

1. a) b) c)

d) e) f ) y

x

2

20

y � 1

x � 3

y

x

1

20

y

x

2

10

y

x

2

10

y

x

2

20

y

x

1

10

Page 62

10x � 2500x � 100

92

92

92

92

32

32

12

32

12

115

115

115


g) h) i )

2.

3. a) f (x ) � –5[0,1(x � 5)] � 2 b) f (x ) � � 3 c) f (x ) � –12[–0,25(x � 1)] � 6 d) f (x ) � � 2

4. a � 4 ; b � 2 ; h � 3 ; k � 5

Vue d’ensemble (suite)

5.

6.

Page 63

–10x � 4

5x � 2

y

x

2

20

y

x

2

20

y � –5

x � 2

y

x

2

10

28

a) � 2 � –7

� –5–1 � x � 3x � 2

b) � 4 � 3,5

� –0,51 � x � 5x � –4

c) –28 � � 3

–25 �

4x � 8 � –44x � –12

x � –3

1004x � 8

1004x � 8

–0,5x � 5

–0,5x � 5

5x � 3

5x � 3

d) � 25x � 10 � 2(3x � 9)5x � 10 � 6x �18

x � –8

e) � 23 � 7x � –10x

3x � –3x � –1

f ) 37 �

37(5 � 2x) � 15x � 7185 � 74x � 15x � 7

178 � 89xx � 2

15x � 75 � 2x

3 � 7x–5x

5x � 103x � 9

g) � 018 � 6x � 0

18 � 6xx � 3

h) 0,5 �

0,5(x � 4) � 6x � 50,5x � 2 � 6x � 5

3 � 5,5xx �

i ) –7,5 �

–7,5(0,2x � 2) � –0,5x–1,5x � 15 � –0,5x

x � 15

–0,5x0,2x � 2

611

6x � 5x � 4

18 � 6x3x � 4

a) � 1 � –2, où x � 7.

� –1

3 � –1(x � 7)3 � –x � 7x � 4

4 � x 7

b) � 1, où x � 8.

1 � x � 8x � 9

8 x � 9

c) –7 � � 10,

3 �

3(x � 5) � –93x � 15 � –9

3x � –24x � –8

x –8 et x � –5.

–9x � 5

où x � –5.–9

x � 51

x � 83

x � 7

3x � 7

Coordonnées d’un couple Valeur des paramètres Coordonnées du couple

de la fonction de base a b h kcorrespondant de

la fonction transformée(–5, 7) 2 5 –2 –10 (–3, 4)(8, –6) 0,5 –2 4 2 (0, –1)

(12, 4) –1 –3 2 –4 (–2, –8)

(–2, –8) 0,5 4 –4,5 11 (–5, 7)

(16, 3) –2 8 –5 4 (–3, –2)


7. a) (f � g)(x) � �

�

�

�

8.

2) 2) y

x

2

20

y � –3

x � –5

y

x

3

30

y � 4

x � –3

6x � 46x � 9

3x � 3 � 3x � 16x � 9

3(x � 1) � 3x � 16x � 9

3x � 16x � 9

x � 12x � 3

d) 0 � , où x � 2,5.

0 � 3x �12x � –4

–4 � x 2,5

e) � 5, où x � 0.

6x � 8 � 5xx � –8

–8 x 0

f ) 1,5 � ,

1,5 (–3x � 4) � –7x � 6–4,5x � 6 � –7x � 6

x � 0x et x 0.

–43

–7x � 6–3x � 4

6x � 8x

3x � 122x � 5

g) –2 � , où x � 2.–2(3x � 6) � 30

3x � 6 � –15x � –3

–3 x 2

h) –4 � ,–4(10 � 5x) � 25x

–40 � 20x � 25xx � –8

x � –8 et x � 2.

i ) – � ,–4(8x � 16) � 160

–32x � 64 � 160x � –7

x � –7 et x � –2.

où x � –2.32

8x � 1645où x � 2.

25x10 � 5x

303x � 6

a) 1) x � � 3

x � 3 �

y � 4 �

y � � 4

f –1(x ) � � 4

b) 1) x �

x � � 5

x � 5 �

2y � 6 �

2y � � 6

y � � 3

f –1(x ) � � 32x � 5

2x � 5

4x � 5

4x � 5

42y � 6

42y � 6

–10y � 262y � 6

–5x � 3

–5x � 3

–5x � 3

–5y � 4

–5y � 4

c) 1) x � � 1

x � 1 �

�

� y � 2

� 2 � y

f –1(x ) � � 2

d) 1) x � � 2,5

x � 2,5 �

y � 3,5 �

y � � 3,5

f –1(x ) � � 3,50,5x � 2,5

0,5x � 2,5

0,5x � 2,5

0,5y � 3,5

0,5y � 3,5

–3x � 1

–3x � 1

–3x � 1

y � 2–3

1x � 1

–3y � 2

–3y � 2

b) 6x � 4 6x � 9 ⇒ (f � g)(x) � � 1 ⇒ (f � g)(x) � � 1� 6x � 9 1

5Équations des asymptotes : y � 1 et x � 1,5.

56(x � 1,5)

56x � 9

où x � – .43


2) 2)


9. a) f (x ) � � 5 b) f (x ) � –6[–0,25x] � 2 c) f (x ) � 3[0,5(x � 2)] � 1 d) f (x ) � � 10

e) f (x ) � � 4 f ) f (x ) � –0,6[1,25(x � 0,4)] � 0,2 g) f (x ) � 10[–0,1(x � 5)] � 10 h) f (x ) � � 6


10. a) Les règles sont CA � –5�– (e � 2000) � 4 et CB � –2�– (e � 1000) � 4.

b) 1) CA � –5�– (1000 � 2000) � 4

� –5[0,5] � 4� 0 � 4� 4

CB � –2�– (1000 � 1000) � 4

� 0 � 4� 4

Le coût s’élève à 4 ¢/kWh pour les deux entreprises.

c) 1) CA � –5�– (4000 � 2000) � 4

� –5[–1] � 4� 5 � 4� 9

CB � –2�– (4000 � 1000) � 4

� –2[–3] � 4� 6 � 4� 10

L’entreprise A.

c) 3) CA � –5�– (5500 � 2000) � 4

� –5[–1,75] � 4� 10 � 4� 14

CB � –2�– (5500 � 1000) � 4

� –2[–4,5] � 4� 10 � 4� 14

Les entreprises A et B offrent le même tarif.

11000

12000

11000

12000

11000

12000

11000

12000

Page 65

–0,5x � 4

27,5x � 6

–175x � 20

100x � 15

Page 64

y

x

1

10

x � 2,5

y � 3,5

y

x

2

20

x � –1

y � –2

30

2) CA � –5�– (2000 � 2000) � 4

� 0 � 4� 4

CB � –2�– (2000 � 1000) � 4

� –2[–1] � 4� 2 � 4� 6

Le coût s’élève à 4 ¢/kWh pour l’entreprise A et à 6 ¢/kWhpour l’entreprise B.

11000

12000

2) CA � –5�– (4500 � 2000) � 4

� –5[–1,25] � 4� 10 � 4� 14

CB � –2�– (4500 � 1000) � 4

� –2[–3,5] � 4� 8 � 4� 12

L’entreprise B.

11000

12000

4) CA � –5�– (7500 � 2000) � 4

� –5[–2,75] � 4� 15 � 4� 19

CB � –2�– (7500 � 1000) � 4

� –2[–6,5] � 4� 14 � 4� 18

L’entreprise B.

11000

12000


11. a) 1) T � � 10

La température initiale est de 10 °C.

2) T � � � 300

La température maximale tend vers 300 °C sans jamais l’atteindre, puisque la représentation graphique comporteune asymptote horizontale d’équation y � 300.

b) 1) 50 � , où x � –50. 2) 121 � , où x � –50.50(50 � x) � 300x � 500 121(50 � x) � 300x � 500

2500 � 50x � 300x � 500 6050 � 121x � 300x � 5002000 � 250x 5550 � 179x

x � 8 x � 31,01La température est de 50 °C à 8 s. La température est d’au moins 121 °C à partir de 31 s environ.

12. a) Équations des asymptotes horizontales :

Station A : T � � � 20y � 20

Station B : T � � � 40y � 40

Pour la station A, la température tend vers 20 °C. Pour la station B, la température tend vers 40 °C.

b) TB � TA � �

�

� � 20

La règle est T � � 20, où T représente la température extérieure (en °C) et x, le temps (en h).

c) 1) T � � 20 � 14,23La différence de température est environ de 14,23 °C.

2) T � � 20 � 16,51La différence de température est environ de 16,51 °C.

3) T � � 20 � 17,41La différence de température est environ de 17,41 °C.


13. a) T � , où T représente le temps de réaction (en s) et C, la concentration du réactif (en mol/L).

b) 6,25 � , où C � 0. c) 3,75 � , où C � 0.

C � C �

C � 0,0096 C � 0,016Pour les concentrations supérieures à 0,016 mol/L.

14. a) À une fonction partie entière.b) La règle est N � –4[–0,5(t � 2)] � 3, où N est le nombre de véhicules récréatifs et t, le temps (en mois).c) La règle est N � –6[–(t � 1)] � 5, où N est le nombre de véhicules récréatifs et t, le temps (en mois).d) L’entreprise C a construit 4 véhicules récréatifs pendant les 6 premières semaines (1,5 mois). Les 6 semaines suivantes,

elle a construit 7 véhicules récréatifs. Les 6 semaines suivantes, elle en a construit 10, et ainsi de suite.

0,063,75

0,066,25

0,06C

0,06C

0,06C

Page 66

–7524 � 5

–7516,5 � 5

–758 � 5

–75x � 5

–75x � 5

20x � 25x � 5

20x � 125x � 5

40x � 150x � 5

–50x � 5

40x � 150x � 5

25x � 5

20x � 125x � 5

300x � 50050 � x

300x � 50050 � x

–14 500x � 50

300x � 50050 � x

300(0) � 50050 � 0



15. a) A � b) 0 � c) A � � � 10 � 3 � �23 � �2�2 � 3 g/cm3

16. a) SA � SB � �

�

�

� � 55 000

La règle est ST � � 55 000, où ST est le salaire total (en $) et a, le temps (en années).

b) Le maximum tend vers l’asymptote horizontale d’équation y � 55 000. Le salaire total maximal tend vers 55 000 $.

c) ST � � 55 000� 51 735, 29

Le salaire total est environ de 51 735,29 $.

d) 51 000 � � 55 000, où a � –2.

–4000 �

a � 2 � 13,875a � 11,875

Lorsque le nombre d’années est supérieur ou égal à 11,875.

17. a)

b) À une fonction rationnelle.

c) 1) 8,5 � � 34 2) 17 � � 34

–25,5 � –17 �

t � 16 � t � 16 �

t � 16 � 16,63 t � 16 � 24,94t � 0,63 t � 8,94

Oui. La concentration est de 8,5 g/L Oui. La concentration est de 17 g/L à environ 0,63 min. à environ 8,94 min.

3) Non, car C � 34 correspond à l’équation de l’asymptote horizontale.

–424–17

–424–25,5

–424t � 16

–424t � 16

–424t � 16

–424t � 16

40

32

24

16

8

80 16 24 32 40

Concentration (g/L)

Temps(min)

Concentration de la substance B dans la solution

selon le temps

–55 500a � 2

–55 500a � 2

–55 50015 � 2

–55 500a � 2

–55 500a � 2

110 000a � 109 0002a � 4

50 000a � 40 000 � 60 000a � 69 0002a � 4

60 000a � 69 0002a � 4

25 000a � 20 000a � 2

33

3 � 03 � 0

3 � �2

3 � �2

3 � �2

3 � �2

Page 67

32


d) 7,5 � � 34

–26,5 �

t � 16 �

t � 16 � 16t � 0

Au début de l’expérience, soit à 0 min.


18. a) V � � � 1000

1) L’altitude minimale est associée à l’asymptote verticale d’équation x � 200. Elle tend donc vers 200 km.2) La vitesse minimale est associée à l’asymptote horizontale d’équation y � 1000. Elle tend donc vers 1000 m/s.

b) 1) V �

� 7493,51La vitesse de la Station spatiale internationale est environ de 7493,51 m/s.

2) Circonférence � 2 � π� 6378 � 40 074,16 km� 40 074 155,89 m

� 5347,85

Il faudra environ 1,5 h (5348 s) à la Station spatiale internationale pour effectuer un tour complet de son orbite.

19. a)

20. a) P � , où P est la production moyenne d’électricité par turbine (en MW) et x, le nombre de turbines,excluant la turbine centrale.

b) L’asymptote horizontale représente la valeur vers laquelle tend la production moyenne d’électricité en fonction dunombre de turbines lorsqu’on augmente le nombre de turbines.

c) 1) P � , où P est la production moyenne d’électricité par turbine (en MW) et x, le nombre de turbines,excluant la turbine centrale.

2) P � , où P est la production moyenne d’électricité par turbine (en MW) et x, le nombre de turbines, excluantla turbine centrale.


21. a) 1) Si CA � 2x ⇒ CV � x

S � 1500� � � � � 750

750 mL/min

15002

1500x2x

2x � x2x

Page 69

250xx � 1

315 � 250xx � 1

350 � 250xx � 1

b) La règle est F � –200[–0,05(t � 20)] � 300, où F estla force exercée (en N) et t, le temps (en s).

c) F � –200[–0,05(98 � 20)] � 300� –200[–3,9] � 300� –200 � –4 � 300� 1100

La force exercée est de 1100 N.d) La distance entre les deux segments horizontaux consécutifs

est de 400 plutôt que de 200.La longueur de chacun des segments horizontaux est de 30plutôt que de 20.

806040200

1000

800

600

400

200

100

Force(N)

Temps(s)

Force exercée sur un matériau en fonction du temps

40 074 155,897493,51

1000(354) � 800 000354 � 200

1 000 000a � 200

1000a � 800 000a � 200

Page 68

–424–26,5

–424t � 16

–424t � 16


2) Si CA � 3x ⇒ CV � x

S � 1500� � � � 1500 � � 1000

1000 mL/min

3) Si CA � 8x ⇒ CV � x

S � 1500� � � � 1500 � � 1312,5

1312,5 mL/minb) La concentration doit être nulle.

22. a) b) Si v � 25 L/s, alors t � � 20.Une molécule d’eau prend 20 s pour parcourir la longueurdu tuyau.

c) 12,5 �

25 � v �

25 � v � 80v � 55

55 L/s

23. a) La règle est C � , où C est le coût de production moyen (en $) par automobile en stock et a,le nombre d’automobiles construites en une semaine.

b) C �

� 9647,06Le coût de production moyen par automobile en stock est environ de 9647,06 $.

c) 9000 � , où a � 15.

9000(a � 15) � 8000a � 20 0009000a � 135 000 � 8000a � 20 000

1000a � 155 000a � 155

Plus de 15 automobiles et au plus 155 automobiles ont été construites.

Banque de problèmes

1. Le graphique suivant présente la masse à soulever en fonction du temps d’entraînement.

Cette haltérophile peut soulever 40 kg dès le début deson entraînement pour une période de 25 jours. La 25e journée,elle devrait augmenter la masse à soulever de 5 kg, et ce, pourune autre période de 25 jours. La 50e journée, elle devraitaugmenter la masse à soulever de 5 kg, et ce, pour une autrepériode de 25 jours, et ainsi de suite.

100 125 1507550250

60

40

20

Masse(kg)

Temps d’entraînement(jours)

Masse à soulever en fonctiondu temps d’entraînement

Page 70

8000a � 20 000a � 15

8000(100) � 20 000100 � 15

8000a � 20 000a � 15

806040200

50

40

30

20

10

100

Temps(s)

Quantité d’air(L/s)

Temps de déplacement de l’eauselon la quantité d’air

100012,5

100025 � v

100025 � 25

78

1500 � 7x8x

8x � x8x

23

1500 � 2x3x

3x � x3x

34


2. On constate que de 0 à 10 h, la fréquence est environ de 80 Hz, de 10 à 20 h, la fréquence est environ de 95 Hz et de 20 à30 h, la fréquence est environ de 110 Hz. Donc, à chaque 10 h, la fréquence augmente de 15 Hz.

F � 15[0,1t] � 80 où F est la fréquence (en Hz) et t, le temps de pratique (en h).155 � 15[0,1t] � 80

5 � [0,1t]On déduit que 50 � t 60.À l’aide de la modélisation d’une fonction partie entière, on détermine que la fréquence sera de 155 Hz pour la périodecomprise sur l’intervalle [50, 60[ h.

3. Le zéro de la fonction peut être déterminé de la façon suivante.

0 � , où n � 40

0 � 48 000 � 2000n2000n � 48 000

n � 24Le graphique suivant représente les profits en fonction du nombre de surgelés vendus.

L’entreprise doit donc vendre plus de 24 000 et moins de 40 000 surgelés afin de réaliser un profit.

Banque de problèmes (suite)

4. Non, le traitement n’est pas efficace. La table de valeurs suivante présente les résultats du traitement.

On réalise que pour les 6 premières heures, le traitement semble fonctionner, mais, par la suite, le nombre de cellules mortesaugmente.

5. CA � � � 6

D’après la tendance observée dans la table de valeurs, on peut déduire que l’équation de l’asymptote horizontale estC � 10. Donc, à l’aide du couple (1, 5), on trouve que :

CB � � 10

5 � � 10

a � –10

CB � � 10

On cherche le moment où CA � CB.

� 6 � � 10

14 � 6(t � 1) � –10 � 10(t � 1)14 � 6t � 6 � –10 � 10t � 10

20 � 4tt � 5

Les concentrations des solutions A et B sont identiques 5 s après le début de l’expérience.

6. Soit N, le nombre de truites et t, le nombre de semaines.NA � 500[0,5t] � 750NB � x[0,25(t � 2)] � 750, où x représente le nombre de nouvelles truites.

–10t � 1

14t � 1

–10t � 1

a1 � 1

at � 1

14t � 1

3t � 100,5t � 0,5

Page 71

40 6020 30 5010

30 000

20 000

10 000

0

Profit(en $)

Nombre de surgelés(en milliers)

Profits en fonction du nombre de surgelés vendus48 000 � 2000n

n � 40

Temps (h)Nombre de cellules mortes (millions)

]0, 2] ]2, 4] ]4, 6] ]6, 8] ]8, 10] ]10, 12]

0 0 0 5 10 15

Nombre de cellules mortes chez une personne en fonction du temps


Au bout de 20 semaines :NA � 500[0,5(20)] � 750

� 500 � 10 � 750� 5750

Comme NB doit être égal à 6750 (5750 � 1000), alors :6750 � x [0,25(20 � 2)] � 7506000 � x [4,5]6000 � x � 4

x � 1500Plusieurs réponses possibles. Exemple :À la fin de la période de 20 semaines, le lac A contient 5750 truites, alors que le lac B doit contenir 6750 truites.Il est possible d’atteindre ce nombre de truites en ensemençant 1500 truites toutes les 4 semaines dans le lac B.


7. Déterminer les deux règles suivantes : C � 1,5�– � 16 et

V � 0,5�– � 22, où C est le coût de production d’un chandail (en $), V, le prix d’un chandail, et n,le nombre de chandails vendus.Le profit P (en $) est calculé à partir de l’équation P � V � C.

P � �0,5�– � 22� � �1,5�– � 16� � –1�– � 6

Le profit réalisé sur un chandail est représenté ci-contre.Le profit minimal est donc de 6 $ par chandail et augmente de 1 $ par chandail par tranche de 2000 chandails additionnels vendus.

8. Déterminer le volume de la boîte .VB � airebase � hauteur � 10 � (2x � 10) � 10 � (200x � 1000) cm3

Déterminer le volume de la boîte .VA � airebase � hauteur � (x � 4) � 20 � h � (20x � 80)h cm3

Le volume de la boîte est le même que le volume de la boîte , donc :(20x � 80)h � 200x � 1000Isoler la variable h.

�

h � � � 10

Les devis techniques sont :

• la règle : h � � 10, où h est la hauteur (en cm) ;

• la représentation graphique ci-contre ;

• la description verbale : La longueur de la boîte est de 20 cm. La largeur varie en fonction de la variable x. La hauteurtend vers 10 au fur et à mesure que la valeur de x augmente.

1612840

15

13

11

9

7

20

Hauteur(cm)

x

Hauteur de la boîte en fonctionde la variable x

10x � 4

10x � 4

200x � 100020x � 80

200x � 100020x � 80

(20x � 80)h20x � 80

BA

A

B

80006000400020000

10

8

6

4

2

10 000

Profit($)

Nombrede chandails

vendus

Profit par chandail en fonctiondu nombre de chandails vendus

n � 20002000

n � 20002000

n � 20002000

n � 20002000

n � 20002000

Page 72

36


9. Joséphine a tort. La règle correspondant à f � g est (f � g)(x ) � 6x � 22. Cette règle correspond effectivement àune fonction polynomiale de degré 1. Toutefois, le domaine n’est pas défini à 2, puisque la représentation graphique de fcomporte une asymptote verticale d’équation x � 2.


10. Plusieurs réponses possibles. Exemple :Cahier de programmation de l’intensité du son I correspond à l’intensité (en %) du son et t, au temps (en min).

–15[–0,5(t � 2)] � 10, si t � ]0, 6].

I (t ) � –10[–(t � 7)] � 60, si t � ]6, 10].

50�– (t � 13) � 100, si t � ]10, 19].

11. Les graphiques suivants présentent le revenu et les pertes de cet agriculteur.

Le revenu net correspond à la différence entre le revenu et les pertes. La représentation graphique du revenu neten fonction du temps est la suivante.

Dans 2,5 ans, le revenu net de l’agriculteur commencera à diminuer et diminuera chaque année. Dans 10 ans, son revenunet sera nul. Par la suite, son revenu net sera négatif.

1284

80 00060 00040 00020 000

0–20 000–40 000–60 000

141062

Revenu net($)

Temps(années)

Revenu net en fonction du temps

129630

150 000

120 000

90 000

60 000

30 000

15

Perte($)

Temps(années)

Pertes en fonction du temps

129630

150 000

120 000

90 000

60 000

30 000

15

Revenu($)

Temps(années)

Revenu en fonction du temps

13

Page 73


Réactivation 1

a. 1) i ) ��2 ii ) iii ) iv)

2) (–5)1,5 � ��(–5)3 � ��–125 La racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas dans l’ensemble des nombres réels.

b. 1) i ) ��15 ii ) iii ) ��33 iv) ��c � d2) ��3 � � 3 � 5

L’exposant associé à chacune des bases du produit n’est pas le même.

c. 1) i ) ��2 ii ) ��3 iii ) iv) 3

2) �

L’exposant associé à chacune des bases du quotient n’est pas le même.

Réactivation 2

a. (6x � y ) m et (y � 4) m.

b. (y2 � 4y � 4) m2

c. Oui, car l’expression sous la forme factorisée est (y � 2)2 m2.

d. (6xy � 24x � 4) m2

e. Oui, car en mettant 2 en évidence, l’expression devient 2(3xy � 12x � 2) m2.

Mise à jour

1. a) ��21 b) ��6 c) ��2 d) ��aπ e) x3��xf ) ��3y g) h) ��x � 3 i ) ��y

2. a) 4 b) 10 c) 2 d) 4 e) 27 f ) 3

3. a) Non, car 1 � 2 � ��1 � ��1. b) Non, car 16 � 2 � ��1 � ��8. c) Oui, car 8 � 2 � ��1 � ��16.d) Oui, car 12 � 2 � ��4 � ��9. e) Non, car 25 � 2 � ��9 � ��16. f ) Oui, car 3,6 � 2 � ��1,44 � ��2,25.

g) Non, car 0,54 � 2 � ��0,36 � ��0,81. h) Oui, car � 2 � ��1 � . i ) Non, car � 2 � � .

4. a) 4bx(2x � 1) b) (g � 2)(g � 4) c) x 2y2(8y � 9x)2 d) (y � 9)2

e) (2x � 3)2 f ) (5b2 � 3)(b � 4) g) (0,6u � 0,5w)2 h) (0,6x � 0,8y )(0,6x � 0,8y )i ) (z � 1)(8y 2 � 3x2) j ) (3x � y )2


5. a) A � b � h b) A � c 2

5ab � 15a � 14b � 42 � (5a � 14)(b � 3) 36m 2 � 60m � 25 � (6m � 5)2

b � 5a � 14 et h � b � 3. c � 6m � 5

Page 81

1649�1

4�157

925�6

5

710�

Page 80

Page 77

71�3

111�9

3��79��11

gh��4 0,6

13

12�3 5

�3 77

�n bm�4 63�3 52

Page 76

2RÉVISION

La fonction polynomiale de degré 2et la fonction racine carrée

2


c) A � d) A �

� 7z 2 � 14az � 8a � 4z �

D � 4a � 5 et d � 4a � 5. apothème � 2z � 4a

6. a) 1) 58y � 7 et 22x � 9. 2) 64y � 7 et 28x � 9.b) 1792xy � 576y � 196x � 63 c) 164xy � 18y � 14xd) 1) 28 441 cm2 2) 7324 cm2


7. a) (6x � 9) cm b) (6x � 3)2 cm2 c) ((6x � 9)2 � (6x � 3)2) cm2

d) (6x � 3)2 � 2256x � 3 � 15

x � 2Carré rouge : 6(2) � 3 � 15 cm.Carré jaune : 6(2) � 9 � 21 cm.Carré bleu : 8(2) � 9 � 25 cm.

8. a) 1) La double mise en évidence. 2) La différence de deux carrés. 3) Le trinôme carré parfait.b) (2a � 5) et (5b � 1). (10xy2 � 6x2y) et (10xy2 � 6x2y). (4v � 5) et (4v � 5).


9. a) Oui, car l’expression qui représente l’aire totale de la table est un trinôme carré parfait.b) 1) (6,25x2 � 7,5x + 2,25) dm2 2) dm 3) (39x2 � 18x) dm2

c) (2,5x � 1,5)2 � 642,5x � 1,5 � 8

x � 2,6Comme la mesure d’un côté de la table est de (8x � 3) dm et que x � 2,6, alors 8(2,6) � 3 � 23,8 dm.Les dimensions de ce dessus de table sont donc de 23,8 dm sur 23,8 dm.

10. a) Prisme droit à base rectangulaire : ��105 cm3. Cylindre circulaire droit : 13πx��17x cm3.b) Prisme droit à base rectangulaire : 2(��15 � ��21) cm2. Cylindre circulaire droit : 2πx��221 cm2.c) Prisme droit à base rectangulaire : 2(��15 � ��21 � ��35) cm2. Cylindre circulaire droit : (2πx��221 � 26πx) cm2.

La fonction polynomiale de degré 2

ProblèmeLa règle H � –5(t � 7)2 � 247 représente la hauteur H (en m) en fonction du temps t (en s). Le maximum correspond àl’ordonnée du point associé au sommet de la courbe, soit (7, 247). Le projectile atteint donc une hauteur maximale de 247 mà 7 s.

Activité 1

a. La baleine a atteint une profondeur maximale de 800 m.

b. Elle atteint la profondeur maximale à 30 min.

c. Non, car 30 � 2 � ��–0,5 � ��350.

d. Oui, car les opérations algébriques effectuées aux étapes et n’ont pas modifié la valeur de l’expression.

e. 60 � 2 � ��1 � ��900

32

Page 85

Page 84

2.1section

�128x2 � 96x � 18

Page 83

321

Page 82

5(1,4z � 0,8) � apothème2

(4a � 5)(4a � 5)2

16a 2 � 252

Périmètre � apothème2

D � d2


Activité 1 (suite)

f. 1) Par la mise en évidence de –0,5.2) Par la soustraction –900 � 700 � –1600.3) En factorisant le trinôme carré parfait x 2 � 60x � 900 obtenu et en effectuant le produit de –0,5 par –1600.

g. 1) 30 2) 800

h. Les valeurs trouvées en g correspondent aux coordonnées du sommet de la courbe.

i.

j. 1) Oui, car c � ah2 � k ; en isolant k dans cette équation, on obtient k � c � ah2.2) k � c � ah2

� c � a�– 2

� c � a� � c �

�

k. 1) i ) –0,5 ii ) 30 iii ) 350

2) – � 30 et � 800.

3) Les valeurs obtenues correspondent aux coordonnées du sommet de la courbe.

Technomath

a. Paramètre a : : 2 ; : 2 ; : –2. Paramètre h : : 0 ; : 6 ; : –4. Paramètre k : : 0 ; : –4 ; : 5.

b. Les coordonnées du sommet sont (h, k).

c. 1) Le sommet de la courbe est situé à la droite de l’axe des ordonnées.2) Le sommet de la courbe est situé à la gauche de l’axe des ordonnées.3) Le sommet de la courbe est situé au-dessus de l’axe des abscisses.4) Le sommet de la courbe est situé au-dessous de l’axe des abscisses.5) Le sommet de la courbe est situé à l’origine du plan cartésien.

Mise au point 2.1

1. a) (4, 9) b) (–7, –12) c) (3, 3) d) (3, 3) e) (5, 6)f ) (2,5, 0,5) g) (0, –4) h) � , – i ) (–1, 4)

2. a) 1) Domaine : � ; codomaine : ]–�, 4]. 2) 3 3) Maximum : 4.4) Croissante sur ]–�, 1] ; décroissante sur [1, +�[.

b) 1) Domaine : � ; codomaine : [–4, +�[. 2) 0 3) Minimum : –4.4) Croissante sur [–2, +�[ ; décroissante sur ]–�, –2].

c) 1) Domaine : � ; codomaine : [2, +�[. 2) 3 3) Minimum : 2.4) Croissante sur [4, +�[ ; décroissante sur ]–�, 4].

d) 1) Domaine : � ; codomaine : [0, +�[. 2) 3) Minimum : 0.4) Croissante sur [–2, +�[ ; décroissante sur ]–�, –2].

3. a) 16 b) x2 c) 8x d) 81 e) 6x f ) 1,44

4. a) (x � 4)(x � 2) b) (x � 4)(x � 6) c) (x � 6)(x � 2)d) 3(x � 1)(x � 3) e) –2(x � 0,1)(x � 0,9) f ) 4(x � 5)(x � 3)g) (x � 10)(x � 1) h) (x � 2,5)(x � 1,5) i ) (x � 1)(x � 1,75)

43

193

23

Page 91

Page 87

4(–0,5)(350) � (30)2

4(–0,5)30

2(–0,5)

4ac � b2

4a

b2

4a

b2

4a2

b2a

–b2a

Page 86

40



5. a) 1) b) 1) c) 1)

2) –13 3) (4, 3) 2) –3,5 3) (–1, –4) 2) –2 3) (–0,5, –4)

d) 1) e) 1) f ) 1)

2) –5,25 3) (–0,5, –6) 2) –18 3) (–6, 18) 2) –115 3) (2, –7)

6. a) 1) Maximum. 2) x � 2 b) 1) Minimum. 2) x � –2 c) 1) Minimum. 2) x � 5d) 1) Maximum. 2) x � 4 e) 1) Minimum. 2) x � –1 f ) 1) Minimum. 2) x � –2

7. a) y � 2(x � 3)2 � 2 b) y � –(x � 2)2 � 4 c) y � 0,24(x � 5)2 – 1 d) y � –0,5(x � 2)2 � 8


8. a) y � 2x 2 � 12x � 23 b) y � 0,25x 2 � 2x � 11 c) y � –8x 2 � 16x � 12

d) y � x 2 � 12x � 54 e) y � –4x 2 � 2x � 0,65 f ) y � 10x 2 � 300x � 2262

9. a) y � 4(x � 2,5)2 � 10 b) y � (x � 8)2 � 47 c) y � 3(x � 0,5)2 � 4,25d) y � (x � 5)2 � 15 e) y � (x � 5)2 � 1 f ) y � 2(x � 4)2 � 35

10. a) y � (x � 1)(x � 5) b) y � –2(x � 1)(x � 5) c) y � –(x � 3)(x � 2)d) y � –x(x � 5) e) y � 6x(x � 2) f ) y � 4(x � 2)(x � 0,75)

11. a) 2 b) 3 c) –3 ou 3. d) –2

12. a) y � –(x � 2)2 � 7 b) y � 4(x � 3)2 � 2 c) y � –3(x � 7)2 � 5

13. a) y � (x � 2)2 b) y � – (x � 7)2 � 3,5 c) y � (x � 1)2 � 9


14. a) 1) 2) (f � g)(x) � 2(x � 3)2 � 8 � (x 2 � 3x � 4)� 2(x 2 � 6x � 9) � 8 � x 2 � 3x � 4� 2x 2 � 12x � 18 � 8 � x 2 � 3x � 4� x 2 � 15x � 14

(f � g)(x) � 2(x � 3)2 � 8 � x 2 � 3x � 4� 2(x 2 � 6x � 9) � 8 � x 2 � 3x � 4� 2x 2 � 12x � 18 � 8 � x 2 � 3x � 4� 3x 2 � 9x � 6

Page 94

798

59

23

Page 93

y

x–4

–8

–12

–16

–20

1 2 3 4 50

y

x

16

8

–8

–16

8 16–8–16 0

y

x

8

4

–4

–8

2 4–2–4 0

y

x

8

4

–4

–8

–2–4 2 40

y

x

8

4

–4

–8

–4–8 4 80

y

x

8

4

–4

–8

2 4 6 80

Page 92


b) 1) f � g : (1,5, –0,75) ; f � g : (7,5, –42,25)2) f � g : [–0,75, +�[ ; f � g : [–42,25, +�[3) f � g : positif sur ]–�, 1] � [2, +�[ ; négatif sur [1, 2].

f � g : positif sur ]–�, 1] � [14, +�[ ; négatif sur [1, 14].4) f � g : croissante sur [1,5, +�[ ; décroissante sur ]–�, 1,5].

f � g : croissante sur [7,5, +�[ ; décroissante sur ]–�, 7,5].

15. La règle de la fonction associée à la courbe en orange est y � 0,5(x � 2)2 � 3.La règle de la fonction associée à la courbe en vert est y � 0,5(x � 8)2 � 1.Les paramètres a des fonctions ont la même valeur. L’énoncé est exact, car la courbe en vert est obtenue parune translation de la courbe en orange.

16. a) La règle de la fonction associée au lancer du poids est y � –1,3(x � 2)2 � 7.La règle de la fonction associée au lancer du javelot est y � –1,12(x � 2,5)2 � 9.

b) 1) 2)

Le poids se trouve à une hauteur de 1,8 m. Le javelot se trouve à une hauteur de 2 m.c) 1) Le poids atteint une hauteur maximale de 7 m. 2) Le javelot atteint une hauteur maximale de 9 m.


17. a) La hauteur de la balle augmente sur les intervalles de temps [0, 0,3] s et [0,6, 0,8] s, et elle diminue sur les intervallesde temps [0,3, 0,6] s et [0,8, 1] s.

b) La règle de la fonction associée au 1er rebond est y � –100(x � 0,3)2 � 9.La règle de la fonction associée au 2e rebond est y � –100(x � 0,8)2 � 4.

c) 1) 2) 3)

18. a) D’après la table de valeurs, l’avion a touché le sol 40 s après le début de la manœuvre.b) La descente a duré 40 s.c) La règle de la fonction associée à cette situation est y � 0,05(x � 40)2, où y est la distance (en m) entre les roues

de l’avion et le sol et x, le temps écoulé (en s) depuis le début de la manœuvre.y � 0,05(90 � 40)2

� 125Les roues de l’avion se trouvent à 125 m du sol.


19. a) Il faut factoriser l’expression 0,5x 2 � 4x � 4,5.0,5(x � 1)(x � 9). Cette expression correspond à la formule du calcul de l’aire d’un trapèze.1) La hauteur est de (x � 1) dm.2) La grande base mesure (x � 4) dm.

b) Le périmètre de cet instrument correspond à environ 16 � 5 � 2(8,14) � 37,28 dm.

Page 96

y � –100(0,85 � 0,8)2 � 4� –100 � 0,0025 � 4� 3,75

La hauteur de la balle estde 3,75 mm.

y � –100(0,55 � 0,3)2 � 9� –100 � 0,0625 � 9� 2,75


y � –100(0,15 � 0,3)2 � 9� –100 � 0,0225 � 9� 6,75


Page 95

y � –1,12(0 � 2,5)2 � 9� –1,12 � 6,25 � 9� 2

y � –1,3(0 � 2)2 � 7� –1,3 � 4 � 7� 1,8

1

42


20. a)

21. 2π(x 2 � 2x � 3) � 2π(x � 1)(x � 3)a) L’expression algébrique qui correspond à la hauteur du contenant peut être x � 1 ou x � 3.b) L’expression algébrique qui correspond au rayon de la base du contenant peut être x � 1 ou x � 3.

La résolution d’équations et d’inéquations du second degré

ProblèmeLe sommet de la parabole a pour coordonnées (3, k). La règle est de la forme y � a(x � 3)2 � k et a 0 d’aprèsl’orientation de la courbe.À l’aide des couples (0, 0) et (1, 130), on trouve :0 � a(0 � 3)2 � k 130 � a(1 � 3)2 � k0 � 9a � k 130 � 4a � kk � –9a k � 130 � 4a

On a donc :–9a � 130 � 4a

–130 � 5aa � –26

On trouve :k � –9(–26) � 234

La règle qui correspond à cette situation est donc y � –26(x � 3)2 � 234, où y est la température de l’alliage (en °C) et x, letemps (en min). La température maximale atteinte par l’alliage est donc de 234 °C, ce qui est inférieur à la températurerecommandée par la norme de qualité. La soudure respecte donc la norme.

Activité 1

a. La résolution de cette équation permet de déterminer les zéros de la fonction f.

b. Oui, car chacun des membres de l’équation a été divisé par –1.

c. (x � 15)(x � 2) � 0

x � 15 � 0 x � 2 � 0x � 15 x � 2

Les valeurs de x qui vérifient l’équation sont 2 et 15.

d. Les valeurs trouvées correspondent aux moments où la bombe volcanique se trouve à une altitude de 0 m.

e. f (x ) � –(x � 15)(x � 2)� –(x 2 � 17x � 30)� –x 2 � 17x � 30

Page 98

Page 97

2.2section

b) v � 0,1(0)2 � 1,5(0) � 9� 9

La vitesse de rotation est de 9000 tours/min.c) v � 0,1t 2 � 1,5t � 9

� 0,1(t 2 � 15t � 90)� 0,1(t 2 � 15t � 56,25 � 56,25 � 90)� 0,1(t � 7,5)2 � 3,375

Les coordonnées du sommet de la courbe sont(7,5, 3,375). La vitesse de rotation diminue doncpendant 7,5 s.

d) Les coordonnées du sommet de la courbe sont(7,5, 3,375). La vitesse de rotation minimale est doncde 3375 tours/min.0

20

16

12

8

4

161284 20

Vitesse de rotation (milliers de tours/min)

Temps(s)

Essai de rotationd’une turbine d’avion


f. 1) La résolution de cette équation permet de déterminer les moments où la bombe volcanique se trouve à une altitudede 36 m.

2) La résolution de cette inéquation permet de déterminer les moments où la bombe volcanique se trouve à une altitudesupérieure à 36 m.

Activité 1 (suite)

g. Plusieurs réponses possibles. Exemples :1) Les solutions sont 6 et 11. 2) L’ensemble-solution est ]6, 11[.

h. x � h � – et x � h � –

� – � – � – � –

� – � – � – � –

� – � � – �

� �

i. Oui, car la 2e équation a été obtenue en soustrayant 36 de chacun des membres de la 1re équation.

j. 1) La valeur de a est –1. 2) La valeur de b est 17. 3) La valeur de c est –66.

k. x � 6 et x � 11.

l. x �

�

x � 6 et x � 11.L’altitude de la bombe volcanique est de 36 m à 6 s et à 11 s.

m.L’altitude de la bombe volcanique est supérieure à 36 m pour l’intervalle ]6, 11[ s.

Activité 2

a. Recherche de la règle à l’aide des coordonnées du sommet et d’un autre point.Substituer les coordonnées connues dans l’équation : 3 � a(16 � 6)2 � 2 ⇒ a � 0,01.L’équation de la courbe frontière est donc y � 0,01(x � 6)2 � 2.

b. y 0,01(x � 6)2 � 2

c. 1) La région colorée est située au-dessous de la courbe frontière et le symbole d’inéquation est .2) La courbe frontière correspond à un trait plein, d’où le symbole plus petit ou égal.

d. 1) Oui. 2) Oui. 3) Non.

e. 1) Oui. 2) Non. 3) Non.

f. 1) Le taux d’inflation peut être de 1,5 % pour les 20 prochaines années.2) Le taux d’inflation peut être de 3 % de 16 ans à 20 ans.3) Le taux d’inflation peut être de 2,25 % au cours de la première année et de 11 ans à 20 ans.

Technomath

a. 1) y � –0,1(x � 12)2 � 9 2) y –0,3(x � 8)2 � 19

b. 1) –7 � –0,1(–10 � 12)2 + 9 2) 6 � –0,3(7 � 8)2 � 19–7 � –0,1(–2)2 + 9 6 � –0,3(–1)2 � 19–7 � –0,4 + 9 6 � –0,3 � 19–7 � 8,6, ce qui est faux. 6 18,7, ce qui est vrai.

Page 101

Page 100

–17 � 5–2

–17 � ��172 � 4(–1)(–66)�2(–1)

–b � ��b2 � 4ac2a

–b � ��b2 � 4ac2a

��b2 � 4ac2a

b2a

��b2 � 4ac2a

b2a

4ac � b2

4a2�b2a

4ac � b2

4a2�b2a

4ac�

� b2

4a�

a�b

2a

4ac�

� b2

4a�

a�b

2a

ka�k

a�

Page 99

44


c. 1) Plusieurs réponses possibles. Exemple : (–20, –20) 2) Plusieurs réponses possibles. Exemple : (10, 30)

d. 1) 2) 3)

Mise au point 2.2

1. a) 1) –4 et 2. 2) Positif sur ]–�, –4] � [2, +�[ ; négatif sur [–4, 2].b) 1) 1 et 3. 2) Positif sur [1, 3] ; négatif sur ]–�, 1] � [3, +�[.c) 1) –1 2) Positif sur � ; négatif sur {–1}.d) 1) –6 et 4. 2) Positif sur [–6, 4] ; négatif sur ]–�, –6] � [4, +�[.

2. a) 1) –4 et 1. 2) Positif sur ]–�, –4] � [1, +�[ ; négatif sur [–4, 1].b) 1) –2,5 et 1. 2) Positif sur ]–�, –2,5] � [1, +�[ ; négatif sur [–2,5, 1].c) 1) Aucun zéro. 2) Positif sur �.d) 1) Aucun zéro. 2) Négatif sur �.e) 1) 1 et 9. 2) Positif sur [1, 9] ; négatif sur ]–�, 1] � [9, +�[.f ) 1) –9 et –5. 2) Positif sur [–9, –5] ; négatif sur ]–�, –9] � [–5, +�[.g) 1) 2 2) Positif sur � ; négatif sur {2}.h) 1) 0,5 et 5,5. 2) Positif sur ]–�, 0,5] � [5,5, +�[ ; négatif sur [0,5, 5,5].i ) 1) –2 et 0. 2) Positif sur [–2, 0] ; négatif sur ]–�, –2] � [0, +�[.

3. a) 1 et 3. b) ]1, 3[ c) ]–�,1[ � ]3, +�[


4. a) Aucun zéro. b) Un zéro. c) Deux zéros. d) Deux zéros. e) Deux zéros. f ) Aucun zéro.

5. , , , , , , ,

6. a) 1) Deux zéros. 2) y � –(x � 2)(x � 8) b) 1) Deux zéros. 2) y � 0,5(x � 2)(x � 4) c) 1) Deux zéros. 2) y � 4(x � 1,5)(x � 0,5) d) 1) Aucun zéro. 2) Impossible.e) 1) Deux zéros. 2) y � 2(x � 1)(x � 2) f ) 1) Aucun zéro. 2) Impossible.

7. a) 1) 0 et – . 2) 0 et . 3) 0 et 7.b) Les zéros d’une fonction polynomiale de degré 2 de la forme y � ax 2 � bx sont 0 et – .


8. a) 3 et 9. b) 3 et –7. c) Aucun zéro. d) Aucun zéro. e) –4 f) Aucun zéro.

9. a) x � –5 et x � 9. b) x � –9 et x � 5. c) x � 1 et x � 6.d) x � 0 et x � . e) x � 3 et x � 4. f ) x –0,28 et x 1,61.g) x � 3 et x � 6. h) x � 2 et x � 6. i ) x � 0,5 et x � 1.j ) x � – et x � 1. k) x � 1 et x � 2. l ) x � –9 et x � –1.

10. a) 1) y � –3,5(x � 3)2 � 7 2) x –4,41 et x –1,59.b) 1) y � 0,9(x � 1)2 � 3 2) x –0,83 et x 2,83.c) 1) y � 0,05(x � 1)2 � 14 2) x –15,73 et x 17,73.d) 1) y � –0,3(x � 10)2 � 16 2) x –17,30 et x –2,70.

23

23

Page 106

ba

75

34

2H8G3F5E4D7C6B1A

Page 105

Page 104

10

–10

–10 10

10

–10

–10 10

10

–10

–10 10


11. a) b)

c) d)

e) f )

g) h)

i )


12. a) b) c)

d) e) f )

13. a) y � 0,48(x � 3)2 � 6 b) y –0,5(x � 4)2 � 18 c) y –(x � 5)2 � 9d) y � (x � 4)2 e) y � –2(x � 2)2 � 8 f ) y 0,25x 2 � 63

16

y

x

4

2

–2

–4

–2–4 2 40

y

x

8

4

–4

–8

–4–8 4 80

y

x

8

4

–4

–8

–4–8 4 80

y

x–4

–8

–12

–16

–4–8 4 80

y

x

8

4

–4

–8

–2–4–6–8 20

y

x

12

8

4

–4

–2–4 2 40

Page 107

–2 5

–10 20–5 4

–4 23 7

1 40 1,5

–4 6–2 6

46


14. a)


15. a) La règle y � (x � 6)2 � 7 permet de calculer la vitesse y en fonction du temps x pour la manœuvre .16 � (x � 6)2 � 7

9 � (x � 6)2

3 � x � 6 –3 � x � 6x � 9 x � 3

9 � 4 � 5La manœuvre a duré 5 s.

b) La règle y � –0,4(x � 22)2 � 26 permet de calculer la vitesse y en fonction du temps x pour la manœuvre .16 � –0,4(x � 22)2 � 2625 � (x � 22)2

5 � x � 22 –5 � x � 22x � 27 x � 17

17 � 9 � 8Il s’est écoulé 8 s.

c) 1) 11 (x � 6)2 � 74 (x � 6)2

2 x � 68 x

11 –0,4(x � 22)2 � 2637,5 (x � 22)2

��37,5 x � 22 28,12 x

28,12 � 8 � 20,12La vitesse a été supérieure à 11 m/s pendant environ 20,12 s.

2

1

2

1

1

Page 108

86420

100

80

60

40

20

10

Salaire (k$)

Vente(M$)

Salaire annuel d’un vendeurselon le montant des ventes

b) s � 0,1(0)2 � 2(0) � 48� 48

Son salaire de base annuel est de 48 000 $.c) 1) 57,6 � 0,1v 2 � 2v � 48

0 � 0,1v 2 � 2v � 9,6

v �

�

v � 4 et v � –24 (à rejeter).Le montant annuel des ventes s’élève à 4 millions de dollars.

2) 66,9 � 0,1v 2 � 2v � 480 � 0,1v 2 � 2v � 18,9

v �

�

v � 7 et v � –27 (à rejeter).Le montant annuel des ventes s’élève à 7 millions de dollars.

3) 72,225 � 0,1v 2 � 2v � 480 � 0,1v 2 � 2v � 24,225

v �

�

v � 8,5 et v � –28,5 (à rejeter).Le montant annuel des ventes s’élève à plus de 8,5 millions de dollars.

–2 � 3,70,2

–2 � ��22 � 4(0,1)�(–24,225)2(0,1)

–2 � 3,40,2

–2 � ��22 � 4(0,1)(–18,9)�2(0,1)

–2 � 2,80,2

–2 � ��22 � 4(0,1)(–9,6)�2(0,1)


2) 19,6 –0,4(x � 22)2 � 2616 (x � 22)2

4 x � 22 –4 x � 2226 x 18 x

0 � –0,4(x � 22)2 � 2665 � (x � 22)2

��65 � x � 22x 30,06

Donc v 19,6 de 0 à 18 s et de 26 à 30,06 s.18 � 4,06 � 22,06La vitesse a été inférieure à 19,6 m/s pendant environ 22,06 s.

d) Cet essai routier a duré environ 30,06 s.

16. a) 1) Terre : h � –4,9(0)2 � 20(0) � 1 � 1.Jupiter : h � –13(0)2 � 20(0) � 1 � 1.Mercure : h � –1,9(0)2 � 20(0) � 1 � 1.L’objet est lancé d’une hauteur de 1 m sur chacune de ces planètes.

2) Sur la Terre, l’objet atteindra de nouveau sa hauteur initiale à environ 4,08 s, sur Jupiter, à environ 1,54 s, etsur Mercure, à environ 10,53 s.

3) Sur la Terre, l’objet touchera le sol à environ 4,13 s, sur Jupiter, à environ 1,59 s, et sur Mercure, à environ 10,58 s.b) Terre : –4,9t 2 � 20t � 1 � 9

–4,9t 2 � 20t � 8 � 0

t �

�

t 0,45 et t 3,63.

–20 � 15,6–9,8

–20 � ��202 � 4(–4,9)(–8)�2(–4,9)

2

1

48

Jupiter : –13t 2 � 20t � 1 � 9–13t 2 � 20t � 8 � 0

t �

�

Impossible.

–20 � ��–16–26

–20 � ��202 � 4(–13)(–8)�2(–13)

Mercure : –1,9t 2 � 20t � 1 � 9–1,9t 2 � 20t � 8 � 0

t �

�

t 0,42 et t 10,11.

–20 � 18,42–3,8

–20 � ��202 � 4(–1,9)(–8)�2(–1,9)

L’objet atteindra une hauteur d’au moins 9 m sur la Terre et sur Mercure.


17. a) b) La région entre les deux courbes correspond aux températurespossibles selon l’heure de la journée.

c) 1) Tmax 0,05(x � 8)2 � 122) Tmin � 0,04x 2 � 0,56x � 10,96

d) 1) Tmax � 0,05(12 � 8)2 � 12� 12,8

Tmin � 0,04(12)2 � 0,56(12) � 10,96� 10

La température maximale prévue à midi est de 12,8 °C etla température minimale, de 10 °C.

2) Tmax � 0,05(18 � 8)2 � 12� 17

Tmin � 0,04(18)2 � 0,56(18) � 10,96� 13,84

La température maximale prévue à 18 h est de 17 °C etla température minimale, de 13,84 °C.

0

24

20

16

12

8

4

4 8 12 16 20 24

Température (°C)

Temps écoulé

(h)

Températures minimale et maximale au cours d’une journée

Page 109


e) 1) 0,04x 2 � 0,56x � 10,96 100,04x 2 � 0,56x � 0,96 0

x �

�

x � 2 et x � 12.L’ensemble-solution est [0, 2[ h � ]12, 24] h, c’est-à-dire que la température est supérieure à 10 °C pendantenviron 14 h.

2) 0,05(x � 8)2 � 12 170,05 (x � 8)2 � 5 0

(x � 8)2 100x � 8 10 x � 8 –10

x 18 x –2L’ensemble-solution est [0, 18[ h, c’est-à-dire que la température est inférieure à 17 °C pendant environ 18 h.

18. a) La règle de la fonction est h � –2(t � 0,25)2 � 1,125, où h est la hauteur (en m) et t, le temps (en s).b) Le domaine est [0, 1] s.c) Le codomaine est [0, 1,125] m.d) Hauteur initiale : h � –2(0 � 0,25)2 � 1,125

� 1Moitié de la hauteur : 1 � 2 � 0,5 m

0,5 � –2(t � 0,25)2 � 1,1250,3125 � (t � 0,25)2

0,56 � t � 0,25 –0,56 � t � 0,25t � 0,81 t � –0,31 (à rejeter)

La balle atteint la moitié de sa hauteur initiale à environ 0,81 s.

La fonction racine carrée

ProblèmePlusieurs réponses possibles. Exemple :La règle y � 4��x � 10 représente la quantité maximale y dissoute en fonction de la température x du solvant.La règle de la réciproque de cette fonction est la suivante.

x � 4��y � 10x � 10 � 4��y

� ��y

y � (x � 10)2

Si x � 100, y � 4��100 � 10� 4 � 10 � 10� 50

Le nuage de points correspond à une fonction racine carrée. La solubilité de ce sel est environ de 50 g lorsque la températuredu solvant est de 100 °C.

Activité 1

a. 1) On a multiplié par une fraction-unité. Or, l’unité est l’élément neutre de la multiplication.

2) i ) ii ) iii ) iv)a��b

b5��7

7��22

11��33

Page 111

116

x � 104

Page 110

2.3section

0,56 � 0,40,08

0,56 � ��0,562 � 4(0,04)�(0,96)2(0,04)


b. 1) On a multiplié par une fraction-unité. Or, l’unité est l’élément neutre de la multiplication.2) Effectuer le produit de la somme par la différence de deux mêmes termes revient à effectuer la différence des carrés

de ces termes. Le carré de la racine carrée d’un nombre est égal à ce nombre.

3) i ) ii ) ��3 � ��2 iii ) ou .

iv) v) vi )

Activité 2

a. L’épaisseur minimale d’asphalte est de 90 mm.

b. L’épaisseur d’asphalte nécessaire est de 92 mm.

c. 1) La valeur de h est 100. 2) La valeur de k est 90.

d. Les valeurs trouvées à la question c correspondent aux coordonnées du sommet de la courbe.

Activité 2 (suite)

e. La résolution de cette équation permet de déterminer le DJMA pour une épaisseur d’asphalte de 94 mm.

f. 1) En soustrayant 90 de chaque membre de l’équation de l’étape à l’étape .En divisant chaque membre de l’équation par 0,2 de l’étape à l’étape .

2) 400 3) n � 100 � 4004) n � 100 � 400

� 500La résolution de cette équation permet de déterminer que pour une épaisseur d’asphalte de 94 mm, le DJMA estde 500.

g. La résolution de cette inéquation permet de déterminer le DJMA possible pour une épaisseur d’asphalte inférieure ou égaleà 96 mm.

h. 1) De l’étape à l’étape , on soustrait 90 de chaque membre de l’inéquation. De l’étape à l’étape , chaquemembre de l’équation est divisé par 0,2.

2) i ) Non, car il est impossible d’extraire la racine carrée d’un nombre négatif. ii ) Oui.iii ) Non, car ��2500 � 50 et 50 30.

3) L’inéquation ��n � 100 30 existe si ��n � 100 � 0.

��n � 100 � 0n � 100 � 0

n � 1004) 9005) n � 100 9006) n 1000 : pour une épaisseur inférieure ou égale à 96 mm, le DJMA doit être inférieur ou égal à 1000.

Technomath

a. Pour , h � 1 et k � 2. Pour , h � 4 et k � –3. Pour , h � –3 et k � 4. Pour , h � –2 et k � –1.

b. Dans le cas d’une fonction dont la règle est de la forme y � a��±(x � h) � k, les paramètres h et k correspondentrespectivement à l’abscisse et l’ordonnée du sommet de la courbe associée à cette fonction.

c. Il faut choisir x � –2.

d. 1) 2) 3)

Page 114

3221

32

21

Page 113

Page 112

��a � ��ba � b

��a � ��ba � b

��11 � ��56

��32 � ��266

��26 � ��32–6

��12 � ��75

50

10

–1

–2 8

5

–1

–1 20

8

–2

–9 1


Mise au point 2.3

1. a) b) –��3 c) ��5 � ��3 d)

e) ��5 � ��3 f ) ��8 � ��12 g) h)

2.

a)b)c)

3. a) 1) [–6, +�[ 2) [2, +�[ 3) Croissante sur [–6, +�[. 4) Positif sur �.b) 1) [–4, +�[ 2) [–3, +�[ 3) Croissante sur [–4, +�[. 4) Positif sur [–3, +�[ ; négatif sur [–4, –3].c) 1) ]–�, 0] 2) ]–�, 3] 3) Croissante sur ]–�, 0]. 4) Positif sur [–1, 0] ; négatif sur ]–�, –1].d) 1) ]–�, 8] 2) [–6, +�[ 3) Décroissante sur ]–�, 8]. 4) Positif sur ]–�, 4] ; négatif sur [4, 8].

4. a) 4��6 b) –5��10 c) 24��3 d) 2��11b e) 12c��5b f ) –22d��2d


5. a) y � 16��x � 2 � 1 b) y � –10��–(x � 4) � 5 c) y � 6��x � 2 � 12d) y � 7,5��–(x � 2) � 4,5 e) y � –8,75��x � 1,76 f ) y � 100��–(x � 2,25) � 3

6. a) 1) b) 1) c) 1)

2) 6 3) (–9, 3) 2) –11 3) (–8, –3) 2) 4 3) (2, 2)d) 1) e) 1) f ) 1)

2) 3 3) (2,25, –4,5) 2) N’existe pas. 3) (6,25, 8) 2) 0,4 3) (–0,72, 1)

y

x

2

–2

–4

–6

–8

10 20 30 40–10 0

y

x

20

16

12

8

4

4 8 12 16 200

y

x

24

18

12

6

–6

–4–8–12 40

y

x

8

4

–4

–8

–4–8–12 40

y

x

4

–4

–8

–12

–16

4 8–4–8 0

y

x

8

6

4

2

–4–8 4 80

Page 119

(��c � ��d)2

c � dm��n � n��m

m � n

��6 � ��24

2��63

Page 118

a b h k1 1 4 5

–2 3 –2 –3

1 –2 –3 –1


g) 1) h) 1) i ) 1)

2) 1,13 3) (3, 2) 2) –0,07 3) (–0,75, –7) 2) 4,43 3) (–2, 5)

7. a) 1) 13 2) Positif sur [–3, 13] ; négatif sur [13, +�[. 3) Maximum.b) 1) 28 2) Positif sur [28, +�[ ; négatif sur [1, 28]. 3) Minimum.c) 1) –5 2) Positif sur ]–�, –5] ; négatif sur [–5, 0]. 3) Minimum.d) 1) Aucun zéro. 2) Négatif sur �. 3) Maximum.e) 1) –8 2) Négatif sur [–8, +�[. 3) Maximum.f ) 1) Aucun zéro. 2) Positif sur �. 3) Minimum.

8. a) (f � g)(x) � (3��x � 4 � 6) � (–2��x � 4 � 4) b)� 3��x � 4 � 2��x � 4 � 6 � 4� ��x � 4 � 10

c) (f � g)(x) � (3��x � 4 � 6) � (–2��x � 4 � 4)� –6(x � 4) � 12��x � 4 � 12��x � 4 � 24� –6x � 24 � 24� –6x � 48

e) x � –2��y � 4 � 4 f )

x � 4 � –2��y � 4

� ��y � 4

(x � 4)2 � y � 4

g –1(x ) � (x � 4)2 � 4

9. a) x � 254 b) � c) x � –16 d) x � 2,75 e) �

f ) x � –30,25 g) x � h) x � 37,5 i ) x � –95,5


10. , , , , , , ,


11. a) b)

c) d)

e) f )–372,5

–5 –1–11 –2

–36–3 61

Page 121

B8A7E6D5C4H3F2G1

Page 120

3427

14

14

x � 4–2

g (h (x )) � –2��9(x � 4)2 ��4 � 4 � 4� –2��9(x � 4)2 � 4� –2 � 3 � (x � 4) � 4� –6(x � 4) � 4� –6x � 28

(f � g)(x) � (3��x � 4 � 6) � (–2��x � 4 � 4)� 3��x � 4 � 2��x � 4 � 6 � 4� 5��x � 4 � 2

y

x

5

4

3

2

1

6 12 18 24–6 0

y

x

18

12

6

–6

–12

4 62–2 80

y

x

4

3

2

1

–1

–4–8–12 40

52

d) x � 3��y � 4 � 6

x � 6 � 3��y � 4

� ��y � 4

(x � 6)2 � y � 4

f –1(x ) � (x � 6)2 � 419

19

x � 63


12. , , , , ,

13. a) y � 2��x � 6 � 2 b) y � ��–(x � 8) � 2 c) y � –2,5��x � 4 � 4 d) y � –3��–(x � 3) � 4


14. a) Oui. b) Oui. c) Non. d) Non.

15. a) y � 2��x � 4 � 5 ; y � 3��–(x � 2) � 6 ; y � 0,25��–(x � 4) � 1 ; y � –2,5��x � 4 � 3b) 7,83 ; � ; � ; –10,91c) � ; � ; � ; [–4, +�[

16. f2 f4 f3 f1


17. a) 10 000 $b) 1) 2)

c) 5000 –1500��x � 10 000–5000 –1500��x

3,3� ��xx 11,1� et x 0.

Pendant environ 11,11 mois.d) 0 � –1500��x � 10 000

–10 000 � –1500��x6,6� � ��x

x 44,4�Le zéro est environ 44,44 mois et il représente le moment où la valeur de l’investissement est nulle.

18. a) La règle qui exprime la viscosité du liquide A est V � –0,15��t � 20 � 1,5, où V est la viscosité du liquide A(en Pa � s) et t, la température (en °C).La règle qui exprime la viscosité du liquide B est V � –0,2��t � 10 � 1,8, où V est la viscosité du liquide B(en Pa � s) et t, la température (en °C).

b) Résoudre les inéquations suivantes.Liquide A Liquide B

–0,15��t � 20 � 1,5 0,6 –0,2��t � 10 � 1,8 0,6La viscosité est supérieure La viscosité est supérieureà 0,6 Pa � s pour des températures à 0,6 Pa � s pour des températuresinférieures à 16 °C. inférieures à 26 °C.

c)

La viscosité est nulle à 80 °C pour le liquide A et à 71 °C pour le liquide B.

0 � –0,2��t � 10 � 1,8–1,8 � –0,2��t � 10

9 � ��t � 1081 � t � 10

t � 71

0 � –0,15��t � 20 � 1,5–1,5 � –0,15��t � 20

10 � ��t � 20100 � t � 20

t � 80

4000 � –1500��x � 10 000–6000 � –1500��x

4 � ��xx � 16

À 16 mois.

2000 � –1500��x � 10 000–8000 � –1500��x

5,3� � ��xx 28,4�

À environ 28,44 mois.

Page 123

DCBA

DCBA

DCBA

DCBA

Page 122

4F2E6D1C5B3A



19. a) Produit A : y � ��x � 30, où y représente les profits (en k$) et x, l’investissement en publicité (en k$).

Produit B : y � 51��x � 3 � 40, où y représente les profits (en k$) et x, l’investissement en publicité (en k$).b) Produit A : 0 � ��x � 30

30 � ��x

� ��xx 0,385

L’investissement minimal en publicité est environ de 385 $ pour le produit A et environ de 3615 $ pour le produit B.

c) Produit A : y � ��13,5 � 30 Produit B : y � 51��13,5 � 3 � 40 147,59 125,26

Le produit A génère un profit supérieur à celui qui est généré par le produit B.

d) Produit A : 120 ��x � 30

150 ��x

��xx 9,631

Il faut que le montant de l’investissement en publicité soit supérieur à environ 9631 $ pour le produit A, et supérieur àenviron 12 842 $ pour le produit B.

20. a) Si t � 1825 : e � 0,08��1825 � 100 3,32

e � 0,1��1825 � 200 4,03

e � 0,06��1825 � 60 2,52

Le métal .

c) 0,65 � 0,13��150 � h5 � ��150 � h

25 � 150 � hh � 125


21. a) b) Plusieurs réponses possibles. Exemple :La règle associée à la courbe tracée en a) est y � 2��x � 2, oùy représente la valeur (en $) et x, le temps (en jours).

c) y � 2��20 � 2 10,94

La valeur de l’action sera d’environ 10,94 $.d) 16 2��x � 2

14 2��x7 ��x

49 xLa valeur de l’action sera inférieure à 16 $ pendant moins de49 jours.86420

10

8

6

4

2

10

Valeur($)

Temps(jours)

Valeur d’une action en fonction du temps

Page 125

C

C

B

A

9029

1453

1453

1453

1829

1453

1453

1453

Page 124

54

Produit B : 0 � 51��x � 3 � 4040 � 51��x � 3

� ��x � 3x 3,615

4051

Produit B : 120 51��x � 3 � 40160 51��x � 3

��x � 3x 12,842

16051

b) Si e � 2 : 2 � 0,08��t � 100t � 7252 � 0,1��t � 200t � 6002 � 0,06��t � 60t 1171,11

Le métal .C

C

B

A


22. a) Dréelle � 50��xb) À l’aide du couple (49, 350), on trouve :

350 � 120 � 49

350 � 120 ��49

350 � 840

�

�

L � � 5,76

Puisque Dbassin � 120 s et que Dréelle � 350 s lorsque x = 49 m, on en déduit que la longueur L du modèle réduit estde 5,76 m.

c) À l’aide du couple (49, 350), on trouve :

350 � Dbassin � 49

Dbassin 158,11Puisque L � 10 m et que Dréelle � 350 s lorsque x � 49 m, on en déduit que la durée de cette manœuvre dansle bassin Dbassin est environ de 158 s.

d) Dréelle � 50��x� 50��65 403,11

Cette manœuvre dure environ 403,11 s, soit presque 7 min.

Chronique du passé

1. 300 �

60 000 � 500v 2

120 � v 2

10,95 vLa vitesse d’une voiture est environ de 10,95 m/s.

2. La règle de la fonction associée à la table de valeurs est E � 3v 2 � 25.a) L’énergie cinétique est de 457 J. b) L’énergie cinétique est de 745,75 J.c) La vitesse est de 23 m/s. d) La vitesse est de 2,5 m/s.

Le monde du travail

1. La règle de la fonction associée à cette situation est y � –2,5��10x � 100, où y représente l’efficacité (en %) et x,la distance du trajet (en km).Résoudre l’équation 25 � –2,5��10x � 100.La distance maximale qu’un signal doit parcourir avant d’être réamplifié est de 90 km.

2. a) Résoudre l’équation 0 � 0,001r 2 � 0,04r � 0,6.Les solutions sont environ –51,62 (à rejeter) et 11,62.Le rayon maximal est environ de 11,62 cm.

b) Résoudre l’équation 2,1 � 0,001r 2 � 0,04r � 0,6.Les solutions sont environ –75,68 (à rejeter) et 35,68.Le rayon maximal est environ de 35,68 cm.

Page 129

500v 2

200

Page 127


110�

14425

1L

25144

1L�5

12

1L�1L�1L�


3. La règle de la fonction associée à la table de valeurs « Quantité de fibres de carbone en fonction de la pression exercée »est y � 0,005(x � 1)2 � 0,1, où y représente la quantité de fibres de carbone (en g/cm3) et x, la pression exercée(en MPa). La quantité de fibres de carbone est de 0,42 g/cm3.La règle de la fonction associée à la table de valeurs « Coefficient de glisse en fonction de la quantité de fibres de carbone »est y � 10x � 4,5, où y représente le coefficient de glisse et x, la quantité de fibres de carbone (en g/cm3). Le coefficientde glisse d’une planche à neige est 8,7.

Vue d’ensemble

1. a) (5, 8) b) (–2, –7) c) (–3, 1) d) (1,5, 1,75) e) (–4, 0)f ) (0,5, –12,5) g) (5, 4) h) (2, 3) i ) (–4, 1)

2. a) -4 et –1. b) –1,42 et –2,58. c) –4,54 et 1,54. d) –12 et 9.e) –234 f ) Aucun zéro. g) –27 h) –21 et 15.i ) Aucun zéro. j ) 1,16 et 3,09. k) –0,61 l ) –7 et 11.

3. a) y � (x � 1)2 � 3 b) y � 0,5(x � 3)2 � 1 c) y � –2(x � 4)2 � 8 d) y � –3(x � 6)2 � 27

4. a) 1) x –6,73 et x –3,27. 2) ]–�, –6,73[ � ] –3,27, +�[ 3) ] –6,73, –3,27[b) 1) x � –7 et x � –1. 2) ]–7, –1[ 3) ]–�, –7[ � ]–1, +�[c) 1) x –4,94 2) [–5, –4,94[ 3) ] –4,94, +�[d) 1) x � 7 2) ]7, +�[ 3) [3, 7[

5. a) b) c)

d) e) f )


6. a) 1) � 2) ]–�, 4] 3) Maximum : 4. 4) Croissante sur ]–�, 4] ; décroissante sur [4, +�[.5) 2 et 6. 6) Positif sur [2, 6] ; négatif sur ]–�, 2] � [6, +�[.

b) 1) [–4, +�[ 2) [0,5, +�[ 3) Minimum : 0,5. 4) Croissante sur [–4, +�[.5) Aucun zéro. 6) Positif sur [–4, +�[.

c) 1) [2, +�[ 2) ]–�, 2] 3) Maximum : 2. 4) Décroissante sur [2, +�[.5) 6 6) Positif sur [2, 6] ; négatif sur [6, +�[.

d) 1) � 2) [0, +�[ 3) Minimum : 0. 4) Croissante sur [5, +�[ ; décroissante sur ]–�, 5].5) 5 6) Positif sur � ; négatif sur {5}.

Page 131

y

x0 4–4–8 8

16

8

–8

–16

y

x0 2–2–4 4

4

2

–2

–4

y

x0 2–2–4 4

4

2

–2

–4

y

x0 2–2–4 4

4

2

–2

–4

y

x–2–4–6–8 0

–2

–4

–6

–8

y

x2–2–4 4

4

2

–2

–4

0

Page 130

56


e) 1) ]–�, 2] 2) ]–�, 2] 3) Maximum : 2. 4) Croissante sur ]–�, 2].5) –2 6) Positif sur [–2, 2] ; négatif sur ]–�, –2].

f ) 1) � 2) ]–�, 4] 3) Maximum : 4. 4) Croissante sur ]–�, 0] ; décroissante sur [0, +�[.5) –4 et 4. 6) Positif sur [–4, 4] ; négatif sur ]–�, –4] � [4, +�[.

7. a) f : 0 � 2x � 4–4 � 2xx � –2

g : 0 � –3x � 63x � 6x � 2

h : 0 � 1,5x � 4,54,5 � 1,5x

x � 3

d) Les deux zéros du produit des fonctions correspondent au zéro de chacune des fonctions impliquées dans le produit.

8. a) y � –2x 2 � 4x � 6 et y � –2(x � 1)(x � 3).b) y � 2(x � 0,75)2 � 0,125 et y � 2(x � 1)(x � 0,5).c) y � 0,5x 2 � 4x � 3,5 et y � 0,5(x � 7)(x � 1).d) y � x 2 � 8x � 15 et y � (x � 4)2 � 1.e) y � 2(x � 1)2 � 8 et y � 2(x � 1)(x � 3).f ) y � 3x 2 � 54x � 240 et y � 3(x � 8)(x � 10).g) y � x 2 � 3x � 10 et y � (x � 1,5)2 � 12,25.h) y � –2(x � 0,75)2 � 3,125 et y � –2(x � 0,5)(x � 2).i ) y � 2x 2 � 8x � 6 et y � 2(x � 2)2 � 2.


9. a) Positif sur ]–�, –0,5] � [2, +�[ ; négatif sur [–0,5, 2].

b) Positif sur �–�, – � � [3, +�[ ; négatif sur �– , 3�.c) Positif sur � , +�� ; négatif sur �2, �.d) Positif sur ]–�, 0,5] � [5, +�[ ; négatif sur [0,5, 5].e) Positif sur ]–�, –225] ; négatif sur [–225, 400].f ) Positif sur ]–�, –9,66] � [ 4,66, +�[ ; négatif sur [ –9,66, 4,66].g) Positif sur ]–�, –4].h) Positif sur �.i ) Positif sur [–43, –2,5] ; négatif sur ]–�, –43].j ) Positif sur ]–�, –2] � [–1, +�[ ; négatif sur [–2, –1].k) Positif sur [13, 29] ; négatif sur [29, +�[.

l ) Positif sur �–�, � � � , +�� ; négatif sur � , �.10. a) y � ��x � 1 � 3 b) y � –0,5��x � 5 � 4 c) y � –��–(x � 3) � 6

d) y � 2��–(x � 35) � 8 e) y � –3��–(x � 12) � 1 f ) y � –2��x � 20 � 36

11. a)

34

23

34

23

4116

4116

58

58

Page 132

xf (x)g(x)

0 1 2 3 4 5 6 7

15,5 8 3,5 2 3,5 8 15,5 26Non défini. Non défini. –3 –4 –4,41 –4,73 –5 –5,24

b) 1) (f � g)(x) � (2x � 4)(–3x � 6)� –6x 2 � 12x � 12x � 24� –6x 2 � 24

2) (f � h)(x) � (2x � 4)(1,5x � 4,5)� 3x 2 � 9x � 6x � 18� 3x 2 � 3x � 18

c) f � g : 0 � –6x 2 � 246x 2 � 24

x 2 � 4x � –2 et x � 2

f � h : 0 � 3x 2 � 3x � 18

x �

x �

x � 3 et x � –2.

3 � 156

3 � ��9 � 4(3)(–18)�2(3)


b) 1) 2)

c) Non, car une même valeur de la variable indépendante est associée à plus d’une valeur de la variable dépendante.

12. a) 1) (f � g)(x) � (3x � 2) � (–2x 2 � 4x � 1)� –2x 2 � 7x � 1

3) f (g (x)) � 3(–2x 2 � 4x � 1) � 2� –6x 2 � 12x � 3 � 2� –6x 2 � 12x � 1

5) h(f (x)) � –��(3x � 2) � 2� � 3� –��3x � 4 � 3

b) 1) À une fonction polynomiale de degré 2. 2) À une fonction polynomiale de degré 2.3) À une fonction polynomiale de degré 2. 4) À une fonction polynomiale de degré 2.5) À une fonction racine carrée.


13. a) Résoudre l’équation x (5 � x) � 176.Les solutions sont x � –16 (à rejeter) et x � 11. Les dimensions du rectangle sont de 11 cm sur 16 cm.

b) Résoudre l’équation 81 � 0,5(2x � 6)(x � 3).Les solutions sont x � –12 (à rejeter) et x � 6. Donc, z 9,22 cm.

c) Résoudre l’équation 3(x � 3)(x � 4) � 180.Les solutions sont x � –9 (à rejeter) et x � 8. L’aire totale du prisme droit est de 222 cm2.

d) Résoudre l’équation 9(x 2 � 6x � 9) � 81.Les solutions sont x � 0 et x � 6. La mesure d’un côté de la base est de 3 cm.

14. a) x � – et x � 0. b) x � 1 c) x � 3 et x � 4. d) x � 27e) x � –0,4 et x � 3. f ) x � –39 g) � h) x � –2,045i ) x � 256,5 j ) �

15. a) 1 x 4 b) x –4 et x � 2. c) –1 x 2,5 d) x –2 et x � 1.e) x –7 et x � 5. f ) 3 x 19 g) 5 x 21 h) �

i ) –7,5 x 0,5 j ) x 24

16. a) 1) Domaine : � ; codomaine [3, +�[. 2) 5 3) Minimum : 3.4) Croissante sur [1, +�[ ; décroissante sur ]–�, 1].

b) 1) Domaine : � ; codomaine [–30,25, +�[. 2) –24 3) Minimum : –30,25.4) Croissante sur [2,5, +�[ ; décroissante sur ]–�, 2,5].

c) 1) Domaine : ]–�, –4] ; codomaine ]–�, –11]. 2) Aucune valeur initiale. 3) Maximum : –11.4) Croissante sur ]–�, –4].

d) 1) Domaine : � ; codomaine [–8, +�[. 2) 1 3) Minimum : –8.4) Croissante sur [3, +�[ ; décroissante sur ]–�, 3].

53

Page 133

4) g(f (x)) � –2(3x � 2)2 � 4(3x � 2) � 1� –2(9x 2 � 12x � 4) � 12x � 8 � 1� –18x 2 � 24x � 8 � 12x � 7� –18x 2 � 36x � 15

2) (f � g)(x) � (3x � 2) � (–2x 2 � 4x � 1)� 3x � 2 � 2x 2 � 4x � 1� 2x 2 � x � 3

y

x

10

8

6

4

2

22468 0

y

x

12

9

6

3

–3

2 4 6 8 100

58


e) 1) Domaine : ]–�, –2] ; codomaine [5, +�[. 2) Aucune valeur initiale. 3) Minimum : 5.4) Décroissante sur ]–�, –2].

f ) 1) Domaine : [3, +�[ ; codomaine ]–�, 2,25]. 2) Aucune valeur initiale. 3) Maximum : 2,25.4) Décroissante sur [3, +�[.

g) 1) Domaine : � ; codomaine [–84,5, +�[. 2) –72 3) Minimum : –84,5.4) Croissante sur [–2,5, +�[ ; décroissante sur ]–�, –2,5].

h) 1) Domaine : ]–�, 0,75] ; codomaine [–3, +�[. 2) ��3 � 3 –1,27 3) Minimum : –3.4) Décroissante sur ]–�, 0,75].


17. Par la relation de Pythagore : x 2 � 242 � (3x � 4)2 ⇒ 8x 2 � 24x � 560 � 0.x � –10 (à rejeter) et x � 7.L’hypoténuse mesure 25 m.

18. a) 1) y � (x � 3,5)2 � 7,25 2) x � ��7,25 � 3,5 ou 6,19 et x � –��7,25 � 3,5 ou 0,81.b) 1) y � 3��x � 2 � 5 2) x �

c) 1) y � 2��–(x � 2) � 7 2) x � –14,25d) 1) y � 0,1(x � 1)2 � 4 2) x � ��40 � 1 ou 7,32 et x � –��40 � 1 ou –5,32.

19. a) I � –0,00005t 2 � 0,04tI � –0,00005(t � 400)2 � 8L’intensité maximale du flash correspond à la valeur du paramètre k de la règle de la fonction, soit 8 candelas.

b) 0 � –0,00005(t � 400)2 � 8160 000 � (t � 400)2

400 � t � 400 –400 � t � 400t � 800 t � 0

800 � 0 � 800Le flash dure 800 millisecondes.

c) 4 � –0,00005(t � 400)2 � 880 000 � (t � 400)2

��80 000 � t � 400 –��80 000 � t � 400t 682,84 t 117,16

Ce flash atteint la moitié de son intensité maximale à environ 117,16 millisecondes et à 682,84 millisecondes.d) 6 –0,00005(t � 400)2 � 8

40 000 (t � 400)2

200 t � 400 –200 t � 400600 t 200 tL’intensité du flash est supérieure à 6 candelas pendant ]200, 600[ millisecondes, c’est-à-dire pendant environ400 millisecondes.


20. a) La règle est y � –28(x � 0,5)2 � 8, où y est la hauteur du ballon (en m) et x, le temps (en s).b) La hauteur maximale est de 8 m.

Page 135

439

Page 134


c) 0 � –28(x � 0,5)2 � 8� (x � 0,5)2

� x � 0,5 – � x � 0,5

x 1,03 x –0,0345 (à rejeter)La gymnaste rattrape le ballon environ à 1,03 s.

d) 4 –28(x � 0,5)2 � 8

(x � 0,5)2

x � 0,5 – x � 0,5x 0,88 x 0,12

0,88 � 0,12 � 0,76La hauteur du ballon est supérieure à 4 m pendant environ 0,76 s.

21. a) Résoudre l’inéquation (3x � 2)2 (2x � 1)2. x � ]0,6, 1[b) Résoudre l’inéquation (3x � 2)2 (2x � 1)2.

Tenir compte du fait que les valeurs inférieures ou égales à 0,5 doivent être rejetées. x � ]0,5, 0,6[ � [1, +�[c) Résoudre l’équation 2(3x � 2)2 � (2x � 1)2. x 0,61 (à rejeter) et x 0,82.


22. a) Règle de la fonction associée à la phase : y � –3(x � 3,5)2 � 36,75.La profondeur maximale atteinte est de 36,75 m.

b) 18 � –3(x � 3,5)2 � 36,75x � 6

La descente débute à 3,5 min et se termine à 6 min.6 � 3,5 � 2,5 minLa descente dure donc 2,5 min.

c) Règle de la fonction associée à la phase : y � –0,96(x � 15)2 � 42.On cherche x quand y � 0.0 � –0,96(x � 15)2 � 42x 21,61La durée totale de la plongée est environ de 21,61 min.

d) –3(x � 3,5)2 � 36,75 35(x � 3,5)2

x � 3,5 – x � 3,5x 4,26 x 2,74

–0,96(x � 15)2 � 42 35(x � 15)2

x � 15 – x � 15x 17,7 x 12,3

Les moments où le plongeur se trouve à une profondeur inférieure à 35 m sont ] 2,74, 4,26[ min et ] 12,3, 17,7[ min.

17524�175

24�

17524

712�7

12�

712

3

1

Page 136

17�1

7�

17

27�2

7�

27

60


23. a) b) Plusieurs réponses possibles. Exemple :

c) À une fonction racine carrée.d) Plusieurs réponses possibles. Exemple : y � 1,5��x � 5e) Plusieurs réponses possibles. Exemple :

12 � 1,5��x � 57 � 1,5��x

� ��xx 21,7�

La valeur de l’action sera de 12 $ au cours de la 22e journée.


24. Plusieurs réponses possibles. Exemple :Quelle est la règle de la fonction associée à cette situation ? y � –0,02(x � 22)2 � 22, où y représente l’énergiedépensée (en kJ) et x, le temps (en s).Quelle est l’énergie dépensée à 43 s ? L’énergie dépensée est environ de 13,18 kJ.

25. a) La règle de la fonction est y � –2��x � 9 � 27, où y est le volume (en millions de m3) et x, le temps (en années).b) 0 � –2��x � 9 � 27

–27 � –2��x � 913,5 � ��x � 9

182,25 � x � 9x � 173,25

Le glacier sera complètement fondu dans 173,25 ans.c) Résoudre l’équation –2��x � 9 � 27 � 11.

Le volume du glacier sera de 11 millions de mètres cubes dans 55 ans.d) Résoudre l’inéquation –2��x � 9 � 27 7.

Le volume du glacier sera supérieur à 7 millions de mètres cubes pendant encore 91 ans.


26. a) La règle associée à la fonction g est g (x) � –0,5(x � 9)2 � 8.On doit trouver les zéros de cette fonction.

0 � –0,5(x � 9)2 � 816 � (x � 9)2

4 � x � 9 –4 � x � 9x � 13 x � 5

Page 138

Page 137

143

86420

10987654321

107531 9Temps(jours)

Valeur de l’action

($)


86420

10987654321

107531 9

Valeur de l’action

($)

Temps(jours)



La règle associée à la fonction h est h(x) � 2��x � 5.La règle associée à la fonction f est f (x) � 2��–(x � 13).On calcule le point d’intersection entre les fonctions h et f.2��x � 5 � 2��–(x � 13)

x � 5 � –(x � 13)x � 5 � –x � 13

2x � 18x � 9

h(x) � 2��9 � 5 � 4Les coordonnées du point d’intersection sont (9, 4).

b) f (x) 32��–(x � 13) 3

–(x � 13) 2,25x � 13 � –2,25

x � 10,75Donc, f (x) 3 sur l’intervalle [10,75, 13].

g (x) 3–0,5(x � 9)2 � 8 3

(x � 9)2 � 10

��10 � x � 9 –��10 � x � 9x 12,16 x 5,84

Donc, g (x) 3 sur l’intervalle ]–�, 5,84] � [ 12,16, +�[.h (x) 3

2��x � 5 3x � 5 2,25

x 7,25Donc, h (x) 3 sur l’intervalle [5, 7,25].

27. La règle de la fonction est y � –2(x � 3)2 � 90, où y représente l’humidité (en %) et x, le temps (en h).–2(x � 3)2 � 90 85

(x � 3)2 2,5

��2,5 � x � 3 –��2,5 � x � 3x 4,58 x 1,42

4,58 � 1,42 � 3,16Cette salle d’entreposage ne respecte pas la norme de qualité, car l’humidité est supérieure à 85 % pendantenviron 3,16 h.

28. Valeur de x : � 2.

Valeur de y : � 4.

a) f (x) � a(x � 2)2 � 84 � a(4 � 2)2 � 8a � –1

f (x) � –(x � 2)2 � 8f (x) � –x 2 � 2x � 4


29. a) La règle de la fonction est y � –6,25(x � 5)2 � 100, où y représente l’efficacité (en %) et x, le temps (en h).

Page 139

b) g(x) � a(x � 2)2

4 � a(4 � 2)2

a � 1g(x) � (x � 2)2

g (x) � x 2 � 4x � 4

0 � 82

0 � 42

62


b) Résoudre l’inéquation –6,25(x � 5)2 � 100 93,75.

c) Résoudre l’inéquation –6,25(x � 5)2 � 100 � 43,75. La douleur est inexistante de la 2e à la 8e heure.

30. a) L’avion roule sur la piste pendant 8 s.b) A � 460��36 � 8

2434,09L’altitude de l’avion est environ de 2434,09 m.

c) 460��t � 8 � 6900t � 8 � 225

t � 233L’avion vole à une altitude de 6900 m à 233 s.

d) 460��t � 8 1500t � 8 10,63

t 18,63L’altitude de l’avion est inférieure à 1500 m pendant environ 18,63 s.

31. a) Si y représente la masse (en kg) et x, l’âge (en années), voici la règle de chacune des courbes.Courbe de 95 % : y � 8��x � 5 Courbe de 75 % : y � 7��x � 4Courbe de 50 % : y � 6��x � 3 Courbe de 5 % : y � 5��x � 2

b) 1) Oui, car en résolvant l’équation y � 6��3,5 � 3, la solution est 14,22 kg. Cela signifie que 50 % des enfants âgésde 3 ans et demi ont une masse inférieure ou égale à 14,22 kg. Par conséquent, plus de 50 % des enfants ontune masse inférieure à 14,5 kg.

2) Oui, car en résolvant l’équation y � 7��3 � 4, la solution est 16,12 kg. Cela signifie que 75 % des enfants âgésde 3 ans ont une masse inférieure ou égale à 16,12 kg. Par conséquent, plus de 75 % des enfants ont une masseinférieure à 17 kg.

3) Non, car en résolvant l’équation y � 8��2 � 5, la solution est 16,31 kg. Cela signifie que 95 % des enfants âgésde 2 ans ont une masse inférieure ou égale à 16,31 kg. Par conséquent, moins de 95 % des enfants ont une masseinférieure à 16 kg.


1. Déterminer les dimensions de la base de chacun des conteneurs afin de calculer leur aire totale.

L’aire totale à repeindre est de 2856 m2. 357 L de peinture seront nécessaires, au coût, avant les taxes, de 3927 $.Pour des taxes en vigueur de 5 % pour la TPS et de 7,5 % pour la TVQ, le coût total de la peinture est de 4432,60 $.

2. Établir la règle de la fonction qui correspond à la situation.Déterminer les valeurs des paramètres a et k à l’aide d’un système d’équations à deux variables.

1 � a(–10)2 � k 2,6 � a(4 � 10)2 � kLa règle de cette fonction est y � –0,025(x � 10)2 � 3,5, où y représente l’altitude (en km) et x, le temps (en s).Résoudre l’inéquation –0,025(x � 10)2 � 3,5 3.L’intervalle de temps pendant lequel la fusée vole à une altitude supérieure à 3000 m est environ de 8,94 s.La fusée ne respecte donc pas les exigences.

21

Conteneur de type BLe périmètre est de 24 m, alors les dimensions de la base sont de x m sur (12 � x ) m.

Résoudre l’équation 2x (12 � x ) � 40.

Les solutions sont x � 2 et x � 10.

Les dimensions de la base sont de 2 m sur 10 m.

L’aire totale du conteneur est de 88 m2.

L’aire totale des 12 conteneurs est de 1056 m2.

Conteneur de type ALe périmètre est de 32 m, alors les dimensions de la base sont de x m sur (16 � x ) m.

Résoudre l’équation 2x (16 � x ) � 56.

Les solutions sont x � 2 et x � 14.

Les dimensions de la base sont de 2 m sur 14 m.

L’aire totale du conteneur est de 120 m2.

L’aire totale des 15 conteneurs est de 1800 m2.

Page 140

4 6



3. Plusieurs réponses possibles. Exemple :Établir la règle de la fonction associée à chacune des situationssi y représente la vitesse du son (en m/s) et x, la températurede l’eau (en °C).Déterminer la vitesse du son dans l’eau douce et celle du sondans l’eau salée à une température de 50 °C.Eau douce : 1527,28 m/s Eau salée : 1598,64 m/sL’écart entre les vitesses du son est environ de 71,36 m/s, ce qui réfute l’affirmation de ce chercheur.

4. Établir la règle de la fonction qui correspond à la courbe en orange. Déterminer les valeurs des paramètres a et h à l’aided’un système d’équations à deux variables.

6 � a��34 � h � 5 7 � a��46 � h � 5La règle de cette fonction est donc y � 0,5��x � 30 � 5.Établir la règle de la fonction qui correspond à la courbe en vert.y � 0,05(x � 20)2, où y est la hauteur (en m) et x, le temps (en s).La valeur initiale de cette fonction correspond à la hauteur de l’aigle pêcheur au début de la manœuvre. L’aigle pêcheur adonc amorcé sa manœuvre à une hauteur de 20 m.


5. Établir la règle de chacune des fonctions associées à la variation de la valeur de chacune des voitures.Voiture A : y1 � 2��x � 1,5. Voiture B : y2 � 1,25��x � 3.La valeur totale des voitures en fonction du temps est déterminée par l’addition des règles.y1 � y2 � 3,25��x � 4,5La valeur totale initiale des voitures est de 4500 $.Résoudre cette équation pour une valeur de 18 000 $.18 � 3,25��x � 4,5Le collectionneur devrait vendre ses deux voitures après environ 17,25 ans.

6. Résoudre les équations ci-dessous afin de déterminer les dimensions minimales et maximales de la piscine.

Les dimensions minimales de la piscine sont supérieures aux dimensions du terrain. Il est donc impossible de construirecette piscine sur ce terrain.


7. Établir l’équation qui correspond au volume d’une rondelle et la résoudre.2π(x � 2)2 � 2π(0,5x � 1)2 � 400π0,75x 2 � 3x � 3 � 200Les solutions sont x –14,33 (à rejeter) et x 18,33.Le diamètre d’une rondelle est environ de 32,66 cm.

8. La phase du lancement se termine à 4 s.y � –5(4)2 � 40(4) � 80

Donc à 4 s, la pièce pyrotechnique se trouve à 80 m de hauteur.Alors, la courbe associée à la phase de l’explosion passe par le point (4, 80).

Page 143

(x � 12)(x � 3) � 136

Les solutions sont –20 (à rejeter) et 5.Les dimensions maximales de la piscine sont de 8 m sur 12 m.Avec le trottoir, les dimensions sont de 18 m sur 22 m.

(x � 12)(x � 3) � 90

Les solutions sont –18 (à rejeter) et 3.Les dimensions minimales de la piscine sont de 6 m sur 10 m.Avec le trottoir, les dimensions sont de 16 m sur 20 m.

Page 142

21

Eau salée

y � 22��x � 2 � 1440

Eau douce

y � 18��x � 1400

Page 141

64


Trouver la valeur de k1.y � 8��x � 4 � k1

80 � 8��4 � 4 � k1k1 � 80

Règle associée à la phase de l’explosion : y � 8��x � 4 � 80La phase de l’explosion se termine à 13 s.

y � 8��13 � 4 � 80y � 104

Donc à 13 s, la pièce pyrotechnique se trouve à 104 m de hauteur.Alors, la courbe associée à la phase de la descente passe par le point (13, 104).Trouver la valeur de k2.

y � –5(x � 13)2 � k2104 � –5(13 � 13)2 � k2

k2 � 104Règle associée à la phase de la descente : y � –5(x � 13)2 � 104Résoudre les trois inéquations suivantes en tenant compte de l’intervalle de temps de chacune des phases.

La pièce pyrotechnique se trouve à une hauteur supérieure à 60 m durant environ 13,97 s. Le pyrotechnicien n’a donc pasraison.

–5(x � 13)2 � 104 60

Solution : ]13, 15,97[ s

8��x � 4 � 80 60

Solution : ]4, 13[ s

–5x 2 � 40x 60

Solution : ]2, 4[ s


Réactivation 1

a. 1) Le rayon d’un grand cercle est de 13,5 cm. 2) L’aire d’un anneau est de 61,25π cm2.

b. 1) La longueur de AB� sur l’anneau bleu est de π cm. 2) La longueur de BC� est de 0,75π cm.

c. DE� sur l’anneau noir mesure 56°.

d. Les angles au centre FO2G et FO5G sont isométriques.

Réactivation 2

a. 1)

2)

3)

b. 1) Les angles homologues sont isométriques. 2) Les mesures des côtés homologues sont proportionnelles.

c. 0,5 ou 2.

d. Puisque les triangles ABF, BCD et FDE sont semblables au triangle ACE, ces trois triangles sont nécessairement semblablesentre eux. Leurs angles homologues sont donc isométriques.

Page 147

449

Page 146

3RÉVISION

Les relations métriques dans le cercleet les relations trigonométriques

3

AFFIRMATION JUSTIFICATION

∠ FAB � ∠ EAC Angle commun.

m � 0,5m Le point F est le point milieu du segment AE.

m � 0,5m Le point B est le point milieu du segment AC.

∆ABF � ∆ACE Deux triangles qui ont un angle isométrique compris entre des côtés homologues de longueursproportionnelles sont semblables (CAC).

ACAB

AEAF


∠ BCD � ∠ ACE Angle commun.

m � 0,5m Le point B est le point milieu du segment AC.

m � 0,5m Le point D est le point milieu du segment CE.

∆BCD � ∆ACE Deux triangles qui ont un angle isométrique compris entre des côtés homologues de longueursproportionnelles sont semblables (CAC).

CECD

ACBC


∠ FED � ∠ AEC Angle commun.

m � 0,5m Le point F est le point milieu du segment AE.

m � 0,5m Le point D est le point milieu du segment EC.

∆ FDE � ∆ACE Deux triangles qui ont un angle isométrique compris entre des côtés homologues de longueursproportionnelles sont semblables (CAC).

ECED

AEEF


� Le point F est le point milieu du segment AE.

∆ABF � ∆ FDE Deux triangles qui ont un côté isométrique compris entre des angles homologues isométriquessont isométriques (ACA).

FEAF


e. 1) Les angles homologues sont isométriques. 2) Les côtés homologues sont isométriques.

f. 1) m 2) m 3) m

g. 10 cm

Mise à jour

1. a) 6,8π cm b) 3,6π cm c) 50π cm

2. a) 80° b) 320° c) 120°

3. a) � b) � c) �

m ABC�� π cm m ABC�

� π cm m ABC�� π cm

d) � e) � f ) �

m ABC�� cm m ABC� � 15,27 cm m ABC� � 6,25 cm


4. a) Deux triangles qui ont deux angles homologues isométriques sont semblables (AA).b) Deux triangles qui ont un angle isométrique compris entre des côtés homologues de longueurs proportionnelles sont

semblables (CAC).c) Deux triangles dont les mesures des côtés homologues sont proportionnelles sont semblables (CCC).d) Deux triangles qui ont deux angles homologues isométriques sont semblables (AA).

5. a) �

x � 2,8 cm

�

y � 2,4 cm


6. a) 1)

Page 153

yy � 2,4

3,16,2

2,82,8 � x

3,16,2

Page 152

133190

m ABC�

2 � π� π114360

m ABC�

2 � π� 7125360

m ABC�

24,2220360

13390

11645

9130

m ABC�

2 � π� 3,870

360m ABC�

2 � π� 3,2145360

m ABC�

2 � π� 4,2130360

Page 151

BCAEEC


� Le point B est le point milieu du segment AC.

∆ABF � ∆BCD Deux triangles qui ont un côté isométrique compris entre des angles homologues isométriquessont isométriques (ACA).

BCAB


� Le point D est le point milieu du segment EC.

∆ FDE � ∆BCD Deux triangles qui ont un côté isométrique compris entre des angles homologues isométriquessont isométriques (ACA).

DCED

b) � �

x � 3,03 cmy � 2,78 cm

5y � 3,8

3,85

2,3x c) � �

x � 4 cmy � 1,25 cm

y2,5

2x

2,24,4 d) x 2 � 4,32 � 5,42

x � 3,27 cm

�

y � 4,1 cm

y5,4

3,274,3


∠ ADE � ∠ CBF Si une droite coupe deux droites parallèles, alors les angles alternes-internes sont isométriques.

∠ DEA � ∠ BFC Angle droit.

∠ DAE � ∠ BCF m ∠ DAE � 90° � m ∠ ADEm ∠ BCF � 90° � m ∠ CBF et m ∠ ADE � m ∠ CBF.

� Les côtés opposés d’un parallélogramme sont isométriques.

∆ADE � ∆BCF Deux triangles qui ont un côté isométrique compris entre des angles homologues isométriquessont isométriques (ACA).

BCAD


2)

b) Non, car la diagonale d’un parallélogramme n’est pas la bissectrice des angles qu’elle partage. Donc,m ∠ ADE � m ∠ CDF.

7. a) 1) 120° 2) 60° 3) 120°b)

8. ∆AGF � ∆HFE (m )2 � 6,242 � 8,42

m � 5,62 m�

�

m � 6,93 mm � m � 6,93 � 5,62

� 1,31 mNon, car m � 1,31 m et le diamètre de la trappe d’aération est de 1,36 m.


9. a) L’arc intercepté mesure 20°. b) La longueur de l’arc intercepté est de cm.

10. L’aire du carré qui correspond au fond de cette boîte est de 900 cm2.

11. a) La mesure d’un des deux arcs de cercle est de 60°. b) L’aire de l’hélice est environ de 978,33 cm2.


12. a) 1)

2)

Page 155

35π9

Page 154

AH

HFAFAF

m AF�6,24

6,245,62

m AF�m EF�

m GF�m HF�

HFHF

68


∠ ABE � ∠ CDF Si une droite coupe deux droites parallèles, alors les angles alternes-internes sont isométriques.

∠ AEB � ∠ CFD Angle droit.

∠ DCF � ∠ BAE m ∠ DCF � 90° � m ∠ CDFm ∠ BAE � 90° � m ∠ ABE et m ∠ ABE � m ∠ CDF.

� Les côtés opposés d’un parallélogramme sont isométriques.

∆ABE � ∆CDF Deux triangles qui ont un côté isométrique compris entre des angles homologues isométriquessont isométriques (ACA).

CDAB


∠ DOC � ∠ AOB Les angles opposés par le sommet sont isométriques.

∠ OAB � ∠ OCD Si une droite coupe deux droites parallèles, alors les angles alternes-internes sont isométriques.

� Les rayons d’un même cercle sont isométriques.

∆ABO � ∆CDO Deux triangles qui ont un côté isométrique compris entre des angles homologues isométriquessont isométriques (ACA).

OAOC


∠ ACD � ∠ EAB Si une droite coupe deux droites parallèles, alors les angles alternes-internes sont isométriques.

∠ ADC � ∠ BEA Angle droit.

∆ACD � ∆ABE Deux triangles qui ont deux angles homologues isométriques sont semblables (AA).


∠ EAB � ∠ EBC Les angles EAB et ABE sont complémentaires.Les angles ABE et EBC sont complémentaires.Donc, les angles EAB et EBC sont isométriques.

∠ AEB � ∠ BEC Angle droit.

∆ABE � ∆BCE Deux triangles qui ont deux angles homologues isométriques sont semblables (AA).


b) (m )2 � 452 � 602

m � 75 cm1) m � 45 cm � �

m � 27 cm m � 36 cm

2) m � 60 cm � �

m � 48 cm m � 36 cm

13. Soit a, l’altitude de l’hélicoptère.

�

a2 � 10 800a � 103,92 m

L’altitude de l’hélicoptère est environ de 103,92 m.

14. � 2πr � � 2πr � � 2πr � � 2πr � 80

(90 � 60 � 60 � 120) � 80

� 80r � 13,89 m

Les cercles qui ont servi à la conception de cette glissade ont tous un rayon d’environ 13,89 m.

15. Longueur de la bordure extérieure : � Longueur de la bordure intérieure : �

x � 43,98 m y � 25,13 mLongueur de la bordure latérale : 35 � 20 � 15 m3 � 43,98 � 3 � 25,13 � 6 � 15 � 297,35 mLa longueur de la bordure de ciment est environ de 297,35 m.

Les relations mettant à profit des arcs, des angles et un cercle

ProblèmeLa mesure du rayon du cercle qui supporte l’arc BC est environ de 1,96 m.

Activité 1a. 1) 2) –

b. Les pentes sont opposées et inverses.

c. Si une droite est tangente à un cercle, alors elle est perpendiculaire à un rayon en son extrémité.

Activité 1 (suite)

d.

Page 158

34

43

Page 157

Page 156

3.1section

y2 � π� 20

72360

x2 � π� 35

72360

2πr � 330360

2πr360

120360

60360

60360

90360

a180

60a

EBAE

m EB�45

6075

m AE�60

6075AB

EBEC

m EB�60

4575

m EC�45

4575BC

ACAC


� Côté commun.


� Par la relation de Pythagore :

(m )2 � (m )2 � (m )2 et (m )2 � (m )2 � (m )2.

Puisque � , alors � .DEBEODOB

DEOEODBEOEOB

DEBE

ODOB

OEOE


e. Deux triangles qui ont leurs côtés homologues isométriques sont isométriques (CCC).

f. 1) Les angles BOE et DOE sont isométriques, alors les arcs BC et DC sont isométriques.2) Puisque est un diamètre, m ABC�

� m ADC�� 180° ;

Puisque m ∠ AOB � 180° � m ∠ BOE et m ∠ AOD � 180° � m ∠ DOE et que m ∠ BOE � m ∠ DOE, les angles AOBet AOD sont isométriques. Les arcs AB et AD sont isométriques.

g. 1) Les deux parties de la corde sont égales. 2) Les deux parties de l’arc sont égales.3) Les deux parties de l’arc sont égales.

h. Deux triangles qui ont leurs côtés homologues isométriques sont isométriques (CCC).

i. Les hauteurs homologues de deux triangles isométriques sont isométriques.

j. La distance qui sépare le centre d’un cercle de chacune des cordes isométriques de ce cercle est toujours la même.

k. Plusieurs réponses possibles. Exemple :

l. Deux triangles qui ont un angle isométrique compris entre des côtés homologues isométriques sont isométriques (CAC).

m.Deux angles au centre isométriques interceptent deux arcs isométriques.

n. Les mesures des arcs interceptés par deux droites parallèles sécantes à un cercle sont les mêmes.

Activité 2

a. 1) L’angle . 2) L’angle . 3) L’angle .

b. m ∠ � 67,5°, m ∠ � 22,5° et m ∠ � 45°.

c. 1) 135° 2) La somme des mesures des arcs BH et DG est le double de celle de l’angle .

d. 1) 45° 2) La mesure de l’arc BC est le double de celle de l’angle .2

1

321

312

Page 159

AC

70


� Côté commun.



(m )2 � (m )2 � (m )2 et (m )2 � (m )2 � (m )2.

Puisque � , alors � .

∆AEO � ∆BEO Deux triangles qui ont leurs côtés homologues isométriques sont isométriques (CCC).

EBAEOBOA

EBOEOBAEOEOA

EBAE

OBOA

OEOE


� Côté commun.



(m )2 � (m )2 � (m )2 et (m )2 � (m )2 � (m )2.

Puisque � , alors � .

∆DOF � ∆COF Deux triangles qui ont leurs côtés homologues isométriques sont isométriques (CCC).

CFDFODOC

DFOFODCFOFOC

CFDF

ODOC

OFOF




∠ AOD � ∠ BOC m ∠ AOE � m ∠ AOD � m ∠ DOF � 180°m ∠ BOE � m ∠ BOC � m ∠ COF � 180°Puisque ∠ AOE � ∠ BOE et ∠ DOF � ∠ COF, alors ∠ AOD � ∠ BOC.

∆AOD � ∆BOC Deux triangles qui ont un angle isométrique compris entre des côtés homologues isométriquessont isométriques (CAC).

ODOC

OBOA


e. 1) 90° 2) La différence des mesures des arcs DH et EG est le double de celle de l’angle .

f. 1) La mesure d’un angle dont le sommet est situé sur un cercle correspond à la moitié de la mesure de l’arc compris entreses côtés.

2) La mesure d’un angle dont le sommet est situé entre un cercle et son centre correspond à la demi-somme des mesuresdes arcs compris entre ses côtés prolongés.

3) La mesure d’un angle dont le sommet est situé à l’extérieur d’un cercle correspond à la demi-différence des mesuresdes arcs compris entre ses côtés.

Technomath

a. 1) Écran 1 : m AB�� 72° Écran 2 : m AB�

� 170°2) Dans chaque cas, la mesure de l’arc AB correspond au double de la mesure des angles ACB et ADB.

b. La somme des mesures, en degrés, des arcs AC et DE correspond au double de la mesure de l’angle ABC.

c. La différence des mesures, en degrés, des arcs AC et DE correspond au double de la mesure de l’angle ABC.

d. 1) 84,5° 2) 34°

Mise au point 3.1

1. a) Deux parallèles sécantes ou tangentes à un cercle interceptent sur le cercle deux arcs isométriques.b) Dans un même cercle ou dans deux cercles isométriques, deux cordes isométriques sont situées à la même distance

du centre, et réciproquement.c) Toute perpendiculaire à l’extrémité d’un rayon est tangente au cercle et réciproquement.d) Tout diamètre perpendiculaire à une corde partage cette corde et chacun des arcs qu’elle sous-tend en deux parties

isométriques.e) Un angle inscrit a pour mesure la moitié de celle de l’arc compris entre ses côtés.f ) L’angle dont le sommet est situé entre un cercle et son centre a pour mesure la demi-somme des mesures des arcs

compris entre ses côtés prolongés.

2. a) � 120 b) � 41,6 c) � 60x � 150° x � 52,4° x � 51°

d) � x e) � x f ) � 53x � 103° x � 40° x � 233°


3. a) � 81 � 180 � 67 � 81x � 162° y � 64°

b) � 35 � 180 � 35 � 75

y � 145° x � 110°c) m FD�

� 2 � 30 � 60° y � 180 � 60 � 120°

� 54° x � 180 � 72 � 108°

m BD�� 72°

d) m ∠ DAC � 180 � 110 � 41 � 29°m DB�

� 2 � 29 � 58° y � 360 � 58 � 140 � 162°� 41

x � 140°

4. a) 4 tangentes. b) 3 tangentes. c) 2 tangentes.

x � 582

180 � m BD�

2

360 � x � x2

360 � y � y2

y2

x2

Page 164

x � (360 � x )2

802

360 � 2 � 772

171 � x2

x � 30,82

x � 902

Page 163

Page 160

3


5. a) 1) Figures , et : 180°. 2) Figures , et : 90°.b) Un triangle inscrit dans un cercle dont le diamètre forme l’un des côtés du triangle est un triangle rectangle.


6.Contre exemple :

et ne sont pas parallèles.

7. a) 8 cm b) 4π cm c) 90° d) 4 cm

8. a) 3 cm b) 0,4 mm c) 3 dm d) 4,5 cm


9. a) � 3,2 cm b) 4,5 cm c) 10 cmd) � 6,37 cm e) 3 cm f ) � 5,03 cm

10. a) 1) 90° 2) 27° 3) 67,5°b) 1) � 1,13 cm 2) � 0,47 cm 3) � 1,45 cmc) 45°

11. a) � 9,71 cm b) 36°

12. a) � �° � 57,3° b) 60° c) cm


13. Mesure de l’angle dans le petit cercle : � 60°

Mesure de l’angle dans le grand cercle : � 36°

� 60° � 36°

m AB�� 48° m CD�

� 12°14. C � 2πr

1,6π � 2πrr � 0,8 m

cos 25° �

x � 1,45 m

cos 20° �

y � 1,5 m

y�2

0,8

x�2

0,8

m CD�� 60

2m AB�

� 722

2 � 72 � 722

3 � 60 � 602

Page 167

πr3

180π

�2

Page 166

�3

�2�2

ADBC

A

B

C

D

E

F

O

C

Page 165

321321

72


15.

m � 8 cm m � 3 cm m ∠ AOC � 30°

cos 30° � cos 30° �

cos 30° � cos 30° �

m � 6,93 cm m � 2,6 cm6,93 � 2,6 � 4,33 cm

La distance entre les deux segments en pointillé est environ de 4,33 cm.

16. La distance entre le centre O de cette douille et le segment qui relie les centres de deux boulons consécutifs est environde 4,45 cm.


17. Soit r, le rayon du cercle.(r � 1)2 � (r � 1,4)2 � � �2

r 2 � 2r � 1 � r 2 � 2,8r � 1,96 � � r � 0,25

0 � � 1,8r � 1,21

r �

r � 6,45 mm et r � 0,75 mm (à rejeter).a) (6,45 � 1) � 2 � 10,9 mm

La distance entre les sommets A et D est environ de 10,9 mm.b) (6,45 � 1,4) � 2 � 10,1 mm

La distance entre les segments AB et DE est environ de 10,1 mm.

18. La mesure du segment AC est environ de 124 273,89 km.

19. a) Largeur extérieure du dôme :80 � 2 � (52,5 � 50) � 85 m85 2 � 42,5 m52,52 � 42,52 � x 2

x � 30,82 m52,5 � 30,82 � 21,68 m50 � 21,68 � 71,68 mLa hauteur totale du stade est environ de 71,68 m.

b) 80 � 2 � (52,5 � 50) � 85 mLa largeur extérieure du dôme est de 85 m.

c) sin ∠ BAC �

m ∠ BAC � 53,13°La mesure de l’angle BAC est environ de 53,13°.

4050

1,8 1,42480,5

r 2

4

r 2

4

r � 12

Page 168

BOAO

m BO�3

m AO�8

m BO�m OD�

m AO�m OC�

ODOC

60° 60°

A C

B D

O

60°


Les relations mettant à profit un point et un cercle

ProblèmeLongueur de la route à : 2,32 � x � 1,6 � 5,8

x � 4 km2,32 � 4 � 6,32 km

Longueur de la route à : 1,6 � 5,8 � 7,4 km

Longueur de la route à : m ∠ � � 36°

m ∠ � � 54°

m ∠ A � 180 � 36 � 54 � 90°5,82 � 42 � y 2

y � 7,05 kmLongueur totale : 6,32 � 7,4 � 7,05 � 20,77 kmCoût total : 20,77 � 62 500 � 1 297 847,87 $Le coût total de la construction des routes de ce parc est environ de 1 297 847,87 $.

Activité 1

a. 1) Les segments OA et OB sont des rayons d’un même cercle et tous les rayons d’un même cercle sont isométriques.2) Ce sont des angles droits, car toute tangente d’un cercle est perpendiculaire à un rayon en son extrémité.3) Par la relation de Pythagore, (m )2 � (m )2 � (m )2 et (m )2 � (m )2 � (m )2. Puisque � ,

alors � .

b. Deux triangles qui ont leurs côtés homologues isométriques sont isométriques (CCC).

c. 1) Le segment PO est la bissectrice de l’angle APB.2) Les mesures des segments tangents l’un à l’autre sont les mêmes.

d. 1) Deux angles inscrits dont les côtés interceptent un même arc sont isométriques.2) Deux angles inscrits dont les côtés interceptent un même arc sont isométriques.

e. Deux triangles qui ont deux angles homologues isométriques sont semblables (AA).

f. �

g. Le produit des mesures des segments de l’une des cordes est égal au produit des mesures des segments de l’autre.

Activité 1 (suite)

h. 1) Deux angles inscrits dont les côtés interceptent un même arc sont isométriques.2) Il s’agit d’un angle commun.

i. Deux triangles qui ont deux angles homologues isométriques sont semblables (AA).

j. �

k. Le produit de la mesure d’un segment sécant par celle de sa partie extérieure est égal au produit de la mesure de l’autresegment sécant par celle de sa partie extérieure.

l. 1) Deux angles inscrits dont les côtés interceptent un même arc sont isométriques.2) Il s’agit d’un angle commun.

m.Deux triangles qui ont deux angles homologues isométriques sont semblables (AA).

n. �m PC�m PB�

m PA�m PC�

m PC�m PB�

m PA�m PD�

Page 171

m DE�m CE�

m AE�m BE�

PBPAOBOAPBOBOPPAOAOP

Page 170

1082

3

722

434

42

31

Page 169

3.2section

74


o. Le produit de la mesure du segment sécant par celle de sa partie extérieure est égal au carré de la mesure du segmenttangent.

Technomath

a. 1) Écran 1 : m � m � 12,96 cmÉcran 2 : m � m � 7,56 cm

2) Écran 1 : m � m � 12,96 cmÉcran 2 : m � m � 7,56 cm

b. Les produits des mesures des segments de chacune des cordes sont égaux.

c. 1) Écran 3 : m � m � 60 cmÉcran 4 : m � m � 60 cm

2) Écran 3 : m � m � 91 cmÉcran 4 : m � m � 91 cm

d. Les produits de la mesure de chacun des segments sécants par celle de leur partie extérieure sont égaux.

e. 1) Oui, la conjecture émise en d s’applique. 2) Oui, la conjecture émise en b s’applique.

Mise au point 3.2

1. a) 0,9 cm b) � 3,13 cm c) 3,25 cm d) 7,7 cm e) � 4,78 cm f ) � 0,38 cm

2. a) b) c) � b

d) � b e) f )


3. a) � 2,33 cm b) 7 cm c) � 3,98 cm d) � 2,47 cm e) � 4,55 cm f ) � 4,41 cm4. a) x 2 � 3(3 � 7)

x � 5,48 cm

d) 3x � 2y x 2 � 2(2 � y ) y � 6 cm

x � � �2� 4 � 2y x �

4y 2 � 36 � 18y x � 4 cm4y 2 � 18y � 36 � 0

y �

y � 6 cm et y � –1,5 cm (à rejeter).f ) x 2 � (x � 2)(x � 2 � x � 3)

x 2 � (x � 2)(2x �1)x 2 � 2x 2 � 3x � 20 � x 2 � 3x � 2

x �

x � 3,56 cm et x � –0,56 cm (à rejeter).

3 ��172

18 308

2 � 63

2y3

2y3

Page 176

c 2 � 2cd � b 2

bb 2 � c 2

2cc 2

b

c (c � d )b

bc3d

bcd

Page 175

PDPCPDPCPAPBPAPB

DEBEDEBECEAECEAE

Page 172

b) (x � 1)(x � 2) � 6xx 2 � 3x � 2 � 6xx 2 � 3x � 2 � 0

x �

x � 1 cm et x � 2 cm.

3 12

c) 3(3 � x) � 2(2 � 2x)9 � 3x � 4 � 4x

x � 5 cmy 2 � 2,5(2,5 � 2 � 5)y � 5,59 cm

e) (x � 2)(x � 6) � x (x � 1)x 2 � 4x � 12 � x 2 � x

3x � 12x � 4 cm



5. a) Soit x, la distance entre le point B et le cercle.62 � 72 � (x � 6)2

36 � 49 � x 2 � 12x � 360 � x 2 � 12x � 49

x �

x � 3,22 cm et x � –15,22 cm (à rejeter).

6. � 7,93 cm

7. a) 6 cm b) 8 cm

8. � 1,37 cm


9. a) � 4,37 cm b) � 4,47 cm c) � 7,07 cm

10. Soit r, le rayon du cercle.

r � � 4 cmSoit x, le rayon de la surface engendrée par la rotation.42 � 52 � x 2

x �

Mesure de la surface : π� 2 � 41π cm2

La mesure de la surface engendrée par la rotation de ce couteau est de 41π cm2.

11.

380 000 � 6377 � 1737 � 371 886y 2 � x (x � 2 � 1737) z 2 � (371 886 � x )(371 886 � x � 2 � 6377)y 2 � x 2 � 3474x z 2 � (371 886 � x )(384 640 � x )Les deux triangles sont semblables.

�

6377x � 11 076 849 � 657 042 831 � 1737x8114x � 645 965 982

x � 79 611,29 kmy 2 � 79 611,292 � 3474(79 611,29)y � 81 329,74 km

z 2 � (371 886 � 79 611,29)(384 640 � 79 611,29)z � 298 583,62 km

m � y � z, soit � 379 913,36 km.La longueur du segment AB est environ de 379 913,36 km.

AB

6377 � 371 886 � xx � 1737

63771737

A

B

6377 km

6377

6377371 886 � x1737

17371737 km

Lune

Terre

z

x

y

�41�41

82

Page 178

–12 ��3402

Page 177

76

b) tan ∠ AOB �

m ∠ AOB � 49,4°m ∠ AOC � 49,4 � 2 � 98,8°

m AC� � 98,8°

76



12. Le diamètre de la roue est environ de 100,63 cm.13. (x � 3)x � 2(x � 2)

x 2 � 3x � 2x � 4x 2 � 5x � 4 � 0

x �

x � 4 dm et x � 1 dm (à rejeter).Soit r, le rayon du cercle.52 � r 2 � r 2 � 2 � r � r � cos 142°25 � 2r 2 � 2r 2 cos 142°25 � 2r 2(1 � cos 142°)

r � 2,64 dmLe diamètre du cercle est environ de 5,29 dm.

14. Le point le plus éloigné de la Terre que les astronautes peuvent observer se trouve à environ 1803,05 km.

15. Non, car m � m � m � m .


16. a) Non. b) Oui.

17. a) La longueur totale de la lampe de poche est environ de 21,29 cm.b) La mesure associée à x est environ de 5,53 cm.

18. La longueur de la planche de bois est environ de 67,92 cm.

La loi des sinus et la loi des cosinus

ProblèmeLa distance qui sépare le point A du point B est environ de 137,69 m.

Activité 1a. L’observation de Michèle est exacte car, dans le triangle ABC,

83° → 2,25 cm, 62° → 2 cm et 35° → 1,3 cm, et dans le triangle DEF,107° → 2,35 cm, 41° → 1,6 cm et 37° → 1,3 cm.

b. Ces égalités sont fausses (la propriété fondamentale des proportions n’est pas respectée).c. Non, car les deux exemples mentionnés infirment cette conjecture.

Activité 1 (suite)

d. L’observation de Félix-Olivier est exacte, car dans le triangle ABC, sin 83° � 0,99, sin 62° � 0,88 et sin 35° � 0,57et dans le triangle DEF, sin 107° � 0,96, sin 41° � 0,66 et sin 32° � 0,53.

e. Ces égalités sont vraies (la propriété fondamentale des proportions est respectée).f. Oui, car les deux exemples mentionnés vont dans le sens de la conjecture.g. 1) � 0,26 et � 0,26. 2) 0,5 et � 0,17.

3) � 0,71 et � 0,71. 4) � 0,87 et � 0,87.5) � 1,00 et � 0,94.

h. 1) Non, car les résultats précédents montrent qu’il y a plusieurs angles dont le sinus est inférieur ou égal à celui d’un anglede plus petite mesure.

Page 183

Page 182

Page 181

3.3section

Page 180

IDFIIEHI

5 32

Page 179


2) Oui, car les résultats précédents ne contiennent aucun contre-exemple qui infirmerait l’observation de John.

Activité 2

a. 1) Plusieurs réponses possibles. Exemple :sin2 10° � cos2 10° � 1sin2 30° � cos2 30° � 1sin2 45° � cos2 45° � 1sin2 60° � cos2 60° � 1sin2 90° � cos2 90° � 1

2) La valeur de l’expression sin2x � cos2x est toujours égale à 1.

b. 1) cos B � ⇒ m � a cos B 2) sin A � ⇒ b � h sin A 3) cos A � ⇒ b � n cos A

c. Pour passer de l’étape à l’étape , substituer c � n à m.Pour passer de l’étape à l’étape , substituer b sin A à h et b cos A à n.Pour passer de l’étape à l’étape , élever au carré chacune des expressions entre parenthèses.Pour passer de l’étape à l’étape , effectuer une mise en évidence simple de b 2.Pour passer de l’étape à l’étape , substituer 1 à l’expression sin2x � cos2x.

d. Il faut connaître soit les valeurs des trois côtés d’un triangle, ou la valeur d’un des angles ainsi que les valeurs des côtés quiforment cet angle.

e. 1) A � arc cos � � 2) B � arc cos � � 3) C � arc cos � �

Technomath

a. 1)

2) Les rapports de la mesure de chacun des côtés d’un triangle au sinus de l’angle opposé à chacun de ces côtéssont égaux.

b. 1) Oui. La conjecture s’applique. 2) Oui. La conjecture s’applique.

Mise au point 3.3

1. a) � 7,93 b) � 15,35° c) � 25,73° d) � 4,84 e) � 108,21° f ) � 113,77°

2. a) � 52,31° b) � 112,83° c) � 108,21° d) � 3,61 cm e) � 6,66 cm f ) � 95,03°


3. a) P �

� 9,1 cmA �

� 13,34 cm2�9,1(9,1 � 5,6)(9,1 � 4,8)(9,1 � 7,8)

5,6 � 4,8 � 7,82

Page 188

Page 187

Page 185

c 2 � a2 � b 2

–2abb 2 � a2 � c 2

–2aca2 � b 2 � c 2

–2bc

65

54

43

32

21

nb

hb

ma

Page 184

78

Rapport Valeur du rapport d’après l’écran 3 Valeur du rapport d’après l’écran 4

5,77 5,52

5,77 5,51

5,77 5,51m BC�sin A

m AB�sin C

m AC�sin B

b) �

x � 27,79°180 � 27,79 � 62 � 90,21°

A �

� 5,23 cm2

4,45 � 2,35 � sin 90,21°2

2,35sin x

4,45sin 62°


c) �

x � 44,17°180 � 44,17 � 135,83°180 � 135,83 � 22 � 22,17°

A �

� 35,09 cm2

4. a) 1) Vraie. 2) Fausse. 3) Vraie. 4) Vraie.b) 1) Le sinus d’un angle et celui de son supplément sont égaux.

2) Le cosinus d’un angle et celui de son supplément sont opposés.3) La tangente d’un angle et celle de son supplément sont opposées.

5. Atriangle �

� 70,91 cm2

(m )2 � 122 � 122 � 2 � 12 � 12 � cos 80°m � 15,43 cm

� 7,71 cm

tan 25° �

r � 3,6 cmAdisque � π� 3,62

� 40,64 cm2

L’aire de la région bleue est 70,91 � 40,64 � 30,27 cm2.


6. a) m ∠ EFD � m ∠ JDC (les angles sont alternes-internes et ) ⇒ m ∠ EFD � m ∠ FEDDonc, ce sont tous des triangles isocèles.

m ∠ AGE � � 72° (la somme des angles extérieurs d’un polygone convexe est égale à 360°)

�

m � 6,18 cm10 � 6,18 � 3,82 cm

b) m ∠ AGE � � 72°

m ∠ EAG � 180 � 72 � 46 � 62°

� �

m � 19,67 cm m � 24,14 cm24,14 � 19,67 � 4,47 cm

EGAG

m EG�sin 62°

26sin 72°

m AG�sin 46°

26sin 72°

3605

JD

m JD�sin 36°

10sin 72°

3605

DCEG

Page 189

r7,71

15,432

ACAC

12 � 12 � sin 80°2

10 � 18,6 � sin 22,17°2

18,6sin x

10sin 22° d) 180 � 59 � 75 � 46°

A �

� 366,86 m2

30 � 34 � sin 46°2


7. a)

sin 55° �

x � 3,28 cmcos 55° �

y � 2,29 cmm � 3,28 � 2, soit � 6,55 cm.m � 2,29 � 2, soit � 4,59 cm.

8. (x � 3)2 � x 2 � (x � 4)2 � 2 � x � (x � 4) � cos 60°x 2 � 6x � 9 � x 2 � x 2 � 8x � 16 � (2x 2 � cos 60° � 8x cos 60°)x 2 � 6x � 9 � 2x 2 � 8x � 16 � x 2 � 4xx 2 � 6x � 9 � x 2 � 4x � 16

2x � 7x � 3,5 cm

Mise au point 3.3 (suite)9. a) m ∠ B � 180 � 87 � 46,5 � 46,5°

Puisque ∆ABC est isocèle, m � m � 91,44 m.(m )2 � 91,442 � 91,442 � 2 � 91,44 � 91,44 � cos 87°

m � 125,89 mLes murs originaux du fort mesurent respectivement 91,44 m, 91,44 m et environ 125,89 m.

b) A �

� 4174,91 m2

La superficie initiale du fort est environ de 4174,91 m2.

10. a) La mesure de cet angle d’élévation est environ de 24,75°.b) L’alpiniste se trouve à environ 1343,67 m du sommet.

11. a) 1) L’angle d’inclinaison de la benne est environ de 29,74°.2) La longueur de la partie hydraulique mobile est environ de 0,94 m.

b) La longueur de la benne est environ de 3,34 m.


12. x 2 � 95,842 � 95,842 � 2 � 95,84 � 95,84 � cos 104,5°x � 151,56 pm

La distance entre les centres des deux atomes d’hydrogène est environ de 151,56 pm.

13. a) La distance est environ de 20,37 m. b) La distance est environ de 13,5 m.

Page 191

91,44 � 91,44 � sin 87°2

ABAB

ACBC

Page 190

DBAC

y4

x4

4 cm

D B

A

C

55°x

y

35°

70°

80

b)

x � x � 80 � 1802x � 260x � 130°

(m )2 � 62 � 4,52 � 2 � 6 � 4,5 � cos 50°m � 4,64 cm

(m )2 � 62 � 4,52 � 2 � 6 � 4,5 � cos 130°m � 9,54 cmBDBD

ACAC

6 cm

50°

130°(x � 80)°

4,5 cm

A

D C

B

x °



14. a) 1) Avion : 900 � 0,5 � 450 kmAvion : 1050 � 0,25 � 262,5 kmDistance :

� 368,64 km2) Avion : 900 � 0,75 � 675 km

Avion : 1050 � 0,5 � 525 kmDistance :

� 569,85 kmb) 1) Avion : 900 � 1 � 900 km

Avion : 1050 � 0,75 � 787,5 kmDistance :

� 785,56 kmMesure de l’angle :

� ⇒ x � 55,2°

L’angle formé par la trajectoire de vol de l’avion et le segment qui relie l’avion à l’avion mesureenviron 55,2°.

2) Avion : 900 � 1,75 � 1575 kmAvion : 1050 � 1,5 � 1575 kmDistance :

� 1454,51 kmMesure de l’angle :

� ⇒ x � 62,5°

L’angle formé par la trajectoire de vol de l’avion et le segment qui relie l’avion à l’avion mesureenviron 62,5°.

c) 1) Avion : 900 � 3 � 2700 kmAvion : 1050 � 2,75 � 2887,5 kmDistance :

� 2585,38 kmLa distance entre les deux villes est environ de 2585,38 km.

2) Mesures des angles :

� ⇒ x � 58,81°

� ⇒ y � 66,19°

Les angles mesurent respectivement 55°, environ 58,81° et environ 66,19°.

15. a) 1) Le segment qui relie le centre de la poulie au centre de la poulie mesure 40 cm.2) L’angle formé par les segments qui relient le centre de la poulie au centre de la poulie ainsi que le centre de

la poulie au centre de la poulie mesure environ 29,74°.b) Les mesures trouvées en a) deviennent respectivement 10 cm et environ 30°.


16. La distance qui sépare les yeux de cette personne de la pièce de monnaie est environ de 4,03 m.

Page 193

�65

34

41

�521

2887,5sin y

2585,38sin 55°

2700sin x

2585,38sin 55°

�27002 � 2887,52 � 2 � 2700 � 2887,5 � cos 55°

2

1

211

1575sin x

1454,51sin 55°

�15752 � 15752 � 2 � 1575 � 1575 � cos 55°

2

1

211

787,5sin x

785,56sin 55°

�9002 � 787,52 � 2 � 900 � 787,5 � cos 55°

2

1

�6752 � 5252 � 2 � 675 � 525 � cos 55°

2

1

�4502 � 262,52 � 2 � 450 � 262,5 � cos 55°

2

1

Page 192


17. a) �

m ∠ CAB � 37,21°180 � 37,21 � 50 � 92,79°

�

m � 49,55 m

18. m � � 50 m

m ∠ ADE � tan–1� �� 36,87°

m � � 66,6� m

m ∠ BDC � tan–1� �� 36,87°

120 � 36,87 � 36,87 � 46,26°(m )2 � 502 � 66,6�2 � 2 � 50 � 66,6� � cos 46,26°

m � 48,32 m

L’actuelle propriétaire a tort, car le côté AB de ce terrain mesure environ 48,32 m.

Chronique du passé

1. a) 1) 90° 2) 90° 3) 90°b) La mesure d’un angle inscrit dont les côtés interceptent un diamètre est toujours égale à 90°.

2. a) m � m � m � m b) 2,5 cm

3. a) a2 � b 2 � c 2. La loi d’al-Kashi correspond à la relation de Pythagore.b) m ∠ A � 49,11° ; m ∠ B � 70,89° ; m � 3 cm, soit � 13,75 cm.c) m ∠ BAC � 44,42°, m ∠ ABC � 57, 12° et m ∠ BCA � 78,46°.

Le monde du travail1. La mesure du rayon du cercle qui supporte l’arc AB est environ de 68,17 m.

2. a) La mesure de chacun des cylindres hydrauliques est environ de 3,8 m.b) 1) La mesure de l’angle formé par les deux cylindres est environ de 39,22°.

2) L’inclinaison par rapport au sol du segment qui relie les points d’attache et est environ de 6,24°.

Vue d’ensemble1. a) 3,75 cm b) � 20,24 cm c) � 0,58 cm

d) � 4,91 cm e) � 2,27 cm f ) � 7,98 cm

2. a) x � 82° et y � 41°. b) x � 47° et y � 73,5°. c) x � 84° et y � 17°.d) x � 42° et y � 134°. e) x � 26° et y � 32°. f ) x � 40° et y � 124°.

Page 198

21

Page 197

�21BC

DEBECEAE

Page 195


ABAB

4053,3�

�402 � 53,3�2BD

3040

�302 � 402AD

AC

m AC�sin 92,79°

38sin 50°

30sin ∠ CAB

38sin 50°

82

b) 49,552 � 452 � 602 � 2 � 45 � 60 � cos ∠ ADCm ∠ ADC � 54,05°

�

m ∠ DAC � 78,62°m ∠ ACD � 180 � 78,62 � 54,05 � 47,33°

60sin ∠ DAC

49,55sin 54,05°



3. a) 3x � 4,4 � 3,3 b) 3,5(3,5 � 5,5) � 3,6(3,6 � x) c) 62 � 3(3 � x � x)x � 4,84 cm x � 5,15 cm 36 � 3(3 � 2x)

x � 4,5 cmd) x (x � x) � 2(2 � 7)

x (2x) � 2 � 92x 2 � 18

x � 3 cm

4. a) x � 68,46° et y � 3,33 cm. b) x � 4,27 cm et y � 3,09 cm. c) x �130,62° et y � 2,33 cm.d) x � 3,13 cm et y � 42,04°. e) x � 76,53° et y � 63,06°. f ) x � 28,96° et y � 104,48°.


5. a) : � 76,74°, : � 129,91° et : � 153,35°.b) : � 121,37°, : � 125,17° et : � 113,46°.

6. a) � 2,46 cm b) � 2,26 cm c) � 3,51 cm

7. a) 105° b) 135° c) 75° d) 30°

8. a) 66° b) 74° c) 126° d) 94°


9. a) m ∠ DFE � 65°, m ∠ DEF � 57,5° et m ∠ FDE � 57,5°.b) m ∠ DFE � 62,5°, m ∠ DEF � 68° et m ∠ FDE � 49,5°.

10. a) � 7,15 cm b) � 6,13 cm c) � 4,13 cm d) � 8,15 cm

11. � 150,75°


12. a) � 106,26° b) � 77,88°

13. L’angle formé par l’arbre et le flanc de la montagne est de 180 � 90 � 18 � 72°.180 � 72 � 59 � 49°

�

h � 17,04 mLa hauteur de cet arbre est environ de 17,04 m.

14. a) 32 � r 2 � r 2 � 2 � r � r � cos 30°9 � 2r 2(1 � cos 30°)r � 5,8 cm

b) 0,52 � 5,82 � 5,82 � 2 � 5,8 � 5,8 � cos θθ � 4,94°

90 � 4,94 � 85,06°sin 85,06° �

x � 5,77 cmb � 2 � 5,77 � 11,55 cm

c) � 4,94°

x5,8

hsin 59°

15sin 49°

Page 202

Page 201

321

321

Page 200

Page 199

e) 2 � 5 � 3 � m m � cm

4,5 � �4,5 � � 3� � 5(5 � x)

x � 4,75 cm

103

103HC

HC f ) 3,6 � (3,6 � 4,2) � 3(3 � d)d � 6,36 cm

x 2 � 3,4 � (3,4 � 6,36)x � 5,76 cm


15. a) Longueur de l’arc rouge : � 34,5°

� 1,7 cm

sin 34,5° �

r � 3 cm�

L � 3,61 cmLa longueur de l’arc rouge est environ de 3,61 cm. La longueur de l’arc bleu est environ de 3,49 cm.

b) Longueur de l’arc rouge : sin � Longueur de l’arc bleu : sin �

r � 5,16 cm r � 3,63 cm� �

L � 7,03 cm L � 8,05 cmLa longueur de l’arc rouge est environ de 7,03 cm. La longueur de l’arc bleu est environ de 8,05 cm.

c) Longueur de l’arc rouge : sin � Longueur de l’arc bleu : sin �

r � 3,47 cm r � 2,56 cm� �

L � 2,24 cm L � 2,27 cmLa longueur de l’arc rouge est environ de 2,24 cm. La longueur de l’arc bleu est environ de 2,27 cm.


16. x � x � 4 � 10 � 2 � 22 � y � 3602x � y � 84 � 360

2x � y � 276Si y � : Si y � x :

2x � � 276 2x � x � 276

4x � x � 552 3x � 2765x � 552 x � 92°x � 110,4° Donc, y � 92°.

Donc, y � � 55,2°.

m ∠ � � 37,6° m ∠ � � 56°

Les mesures possibles de l’angle sont de 37,6° à 56°.

17. a) 752 � 1002 � 1502 � 2 � 100 � 150 � cos ∠ DEBm ∠ DEB � 26,38°La mesure minimale de l’angle DEB est environ de 26,38°.

b) La plus grande longueur de pagaie que ce kayakiste peut utiliser est associée à la mesure de , lorsque le triangleDEB est rectangle en D car dans ce cas, la mesure de est minimale. On a donc m � 150 sin 45°, soit environ106,07 cm, cette mesure est supérieure à la distance minimale sécuritaire. On en conclut que n’importe quellelongueur de pagaie conviendra, car la distance entre le kayakiste et l’extrémité de l’autre kayakiste sera toujourssupérieure à 75 cm, peu importe la longueur de la pagaie utilisée.

DBDBDE

1

92 � 202

155,2 � 20

21

110,42

x2

x2

Page 203

L2 � π� 2,56

51360

L2 � π� 3,47

37360

2,22

�

r512

2,22

�

r372

L2 � π� 3,63

127360

L2 � π� 5,16

78360

6,52

�

r1272

6,52

�

r782

L2 � π� 3

69360

1,7r

3,42

692

84

Longueur de l’arc bleu : sin �

r � 4,44 cm

�

L � 3,49 cm

L2 � π� 4,44

45360

1,7r

452


18. m ∠ ABG � 180 � 95 � 85° (les angles sont alternes-internes et )a) 1) (m )2 � 1,252 � 3,52 � 2 � 1,25 � 3,5 � cos 95°

m � 3,82 m

�

m ∠ ABH � 19,04°m ∠ HBG � 85 � 19,04, soit � 65,96.

(m )2 � 3,822 � 1,752 � 2 � 3,82 � 1,75 � cos 65,96°m � 3,49 m

2) (m )2 � 42 � 2,252 � 2 � 4 � 2,25 � cos 85°m � 4,4152 m

�

m ∠ CBF � 30,5°m ∠ FBG � 95 � 30,5, soit � 64,5°.

(m )2 � 4,422 � 1,752 � 2 � 4,42 � 1,75 � cos 64,5°m � 3,99 m

3) (m )2 � 32 � 32 � 2 � 3 � 3 � cos 85°m � 4,0535 m

�

m ∠ DCE � 47,5°m ∠ ECF � 95 � 47,5 � 47,5°

(m )2 � 4,05352 � 2,252 � 2 � 4,0535 � 2,25 � cos 47,5°m � 3,03 m

b) 1) 3,822 � 3,492 � 1,752 � 2 � 3,49 � 1,75 � cos ∠ BGHm ∠ BGH � 86,8°

2) 4,422 � 3,992 � 2,252 � 2 � 3,99 � 2,25 � cos ∠ CFGm ∠ CFG � 87,8°

3) 4,052 � 3,032 � 32 � 2 � 3,03 � 3 � cos ∠ DEFm ∠ DEF � 80,7°


19. a) � �

m � 113,24 m m � 159,66 mLa distance entre les balises B et F est environ de 159,66 m.

b) ∆BDE : sin 85° � A∆ BDE � , soit � 4230,34 m2.h � 74,71 m

∆BCD : �

m � 130,26 m

sin 25° �

m � 55,05 m

cos 25° �

m � 118,06 m A∆ BCD � , soit � 3249,48 m2.118,06 � 55,052CD

m CD�130,26

CB

m CB�130,26

BD

m BD�sin 85°

75sin 35°

113,24 � 74,712

h75

BFBE

m BF�sin 115°

113,24sin 40°

m BE�sin 60°

75sin 35°

Page 204

FEFE

3sin ∠ DCE

4,0535sin 85°

CECE

GFGF

2,25sin ∠ CBF

4,4152sin 85°

BFBF

HGHG

1,25sin ∠ ABH

3,82sin 95°

BHBH

BGAH


∆BEF : sin 25° � A∆ BEF � , soit � 3820,45 m2.

h � 47,86 m

∆BFG : � sin 59° � A∆ BFG � , soit � 5954,09 m2.

m � 87,01 m h � 136,86 m

∆ABG : � sin 24° � A∆ ABG � , soit � 1970,34 m2.

m � 111,35 m h � 35,39 m

Aire totale � 4230,34 � 3249,48 � 3820,45 � 5954,09 � 1970,34, soit environ 19 224,7 m2.L’aire totale de ce terrain est environ de 19 224,7 m2.

20. A∆ ABD � , soit � 7,36 m2.

(m )2 � 2,52 � 6,52 � 2 � 2,5 � 6,5 � cos 65°m � 5,8962 m

�

m ∠ DBC � 114,57°m ∠ BDC � 180 � 114,57 � 50, soit � 15,43°.

A∆ BDC � , soit � 5,49 m2.

AABCD � 7,36 � 5,49, soit � 12,85 m2.V � 12,85 � 5 � 64,25 m3

Le volume de minerai que le camion peut transporter est environ de 64,25 m3.

21. tan 52° �

x � 1171,93 m

tan 45° �

y � 1500 mDistance parcourue � 1500 � 1171,93, soit � 2671,93 m2671,93 m � 2,67193 km3 min � 0,05 h

� 53,44 km/h

Donc, v � � , soit � 53,44 km/h.

La montgolfière se déplace à une vitesse d’environ 53,44 km/h.

22. a) m � , soit � 8,28 m.m � , soit � 7,72 m.

tan ∠ FOD �

m ∠ FOD � 37,15°

tan ∠ DOE �

m ∠ DOE � 68,76°m ∠ AOE � 180 � 37,15 � 68,76, soit � 74,09°.

tan 74,09° �

m � 10,53 mm � 10,53 � 7,72, soit � 18,25 m.La distance qui sépare le lampadaire d’un des coins de la maison est environ de 18,25 m.

ADAE

m AE�3

7,723

56,6

�8,282 � 32ED�6,62 � 52OD

2,671930,05

dt

2,671930,05

1500y

1500x

5,8962 � 7 � sin 15,43°2

7sin ∠ DBC

5,8962sin 50°

BDBD

2,5 � 6,5 � sin 65°2

BA

111,35 � 35,392

h87,01

m BA�sin 108°

87,01sin 48°

BG

87,01 � 136,862

h159,66

m BG�sin 33°

159,66sin 88°

159,66 � 47,862

h113,24

86


b) (90 � 74,09) � 2 � 31,8°La mesure associée à x est environ de 31,8°.

Vue d’ensemble (suite)23. 180 � 135 � 45°

�

x � 62,11°

sin 62,11° �

y � 3,54 mm � 3,54 � 2 � 7,07 mLa distance qui sépare le point A du point B est environ de 7,07 m.

24. a) 1) � 40°

sin 20° �

x � 10,26 md( , ) � 2 � 10,26 � 20,52 mLa distance entre les monuments et est environ de 20,52 m.

b) 1) � 40° 2) � 20°

L’angle d’observation mesure 40°. L’angle d’observation mesure 20°.

c) � sin 40° �

d(A, ) � 27,65 m x � 19,28 md( , ) � 38,57 m

� 20,52 � 111,05 � 131,57 m

d(B, ) � 111,05 m

(m )2 � 27,652 � 131,572 � 2 � 27,65 � 131,57 � cos 80°m � 129,66 mLa distance qui sépare les deux personnes est environ de 129,66 m.


1. Le prolongement du segment qui mesure 55 m passe par le centre du cercle qui supporte l’arc AB.Déterminer la hauteur à partir de ce segment.

� 82,92 mDéterminer la hauteur entre le sol et le segment de 55 m.

� 41,23 mLa hauteur de cet hôtel est environ de 139,15 m.

2. Déterminer la distance x entre les centres de la roue de rayon 0,2 m et de la roue de rayon 0,55 m à l’aide de la loides cosinus.x 2 � 2,22 � 2,52 � 2 � 2,2 � 2,5 cos 20° ⇒ x � 0,87 m

Déterminer la longueur de chacune des 3 parties rectilignes de la chaîne à l’aide de la relation de Pythagore.� 2,19 m, � 2,495 m et � 0,79 m.

�902 � 802

�902 � 352

Page 206

ABAB

1

38,57sin 20°

41

2

x30

20,52sin 40°

120 � 802

120 � 402

21

21

x30

3609

AB

y4

5sin x

4sin 45°

Page 205

2) sin 60° �

x � 25,98 md( , ) � 2 � 25,98 � 51,96 mLa distance entre les monuments et est environ de 51,96 m.

43

43

x30

d(A, )sin 60°

2

d(B, )sin100°

1


Déterminer les mesures des angles formés par les centres des roues à l’aide de la loi des sinus.Roue de rayon 0,4 m : � 60,1° et roue de rayon 0,2 m : � 99,9°.

Déterminer la mesure, en degrés, de l’arc qui supporte la chaîne sur chacune des roues.Roue de rayon 0,2 m : 360° � 95,22° � 113,78° � 99,9° � 51,1°Roue de rayon 0,4 m : 360° � 84,78° � 93,44° � 20° � 161,78°Roue de rayon 0,55 m : 360° � 86,56° � 66,22° � 60,1° � 147,12°

Déterminer la longueur de chacune des chaînes x1, x2 et x3 sur l’arc de chaque roue.

Roue de rayon 0,2 m : � ⇒ x1 � 0,18 m

Roue de rayon 0,4 m : � ⇒ x2 � 1,13 m

Roue de rayon 0,55 m : � ⇒ x3 � 1,41 m

La longueur d’une chaîne est environ de 8,2 m.


3. Déterminer la mesure du segment CO.m � 62 � 22, soit � 5,65 cm.Déterminer la mesure de l’angle COG.

m ∠ COG � 2 � arc sin , soit � 38,94°.

Déterminer la mesure de l’angle COD.

m ∠ COD � , soit � 33,06°.

Déterminer la mesure du segment AB.

� ⇒ x � 6,83 cm, où x représente le diamètre d’un demi-cercle quiceinture la bobine de film.

4. Déduire tous les angles du cadre du tandem et calculer, à l’aide de la loi des sinus, les mesures des tiges du cadre.

La longueur minimale des tiges de fibres de carbone est environ de 609,62 cm.

11

2 2

3

3

8 cm 8 cm

50 cm

50° 75°80°

� 65,27 cm� 55,35 cm

� 51,76 cm

� 64,02 cm

� 23,75 cm� 54,29 cm

� 65,27 cm� 28,01 cm

� 65,27 cm

� 65,27 cm

� 55,35 cm

55°75°

25° 75°

80°

25°

25°75°

80°

100°

55°

105°

100°

sin 73,47°12

sin 33,06°x

360 � 5 � 38,945

13

COA B

O

E

C D F

G

Page 207

x3

2 � π� 0,55147,12°

360°

x2

2 � π� 0,4161,78°

360°

x1

2 � π� 0,251,1°360°

88



5. Deux dents consécutives forment un arc de 360° 20 � 18°.

Les mesures du triangle ABC sont indiquées ci-contre.Déterminer la mesure du segment BC.m BC�

� 2 � 18 � 36°m DE�

� 4 � 18 � 72°m CD�

� 3 � 18 � 54°

m ∠ A � � 54°

m ∠ B � � � 27°

m ∠ C � 180 � 54 � 27 � 99°

�

m � 90,1 mmL’angle au centre COB mesure 36°.Déterminer la mesure du rayon de la lame.

� ⇒ x � 145,79 mm

La machiniste a tort, car la mesure du rayon de la lame est environ de 145,79 mm.

6. Déterminer la mesure de l’arc BC. Celle-ci correspond au double de la mesure de l’angle BOA.m ∠ BOA � arc cos , soit � 70,53°.Donc, la mesure de l’arc BC est environ de 141,06°.

Déterminer la mesure de l’arc FI. Celle-ci correspond au doublede la différence entre les mesures des angles BOA et BOF.70,53° � arc cos � 22,33°Donc, l’arc FI mesure environ 44,68°.

7. � 100 cm � 1 mL’ébéniste a tort. Le segment AE mesure 1 m et ce segment correspond à une corde plus petite que le diamètre.�(85 � 5)2 � (65 � 5)2

23

13

AD

GE

H

F

I

B

CO

A

B

72°

36°

C

O

90,1 mm

sin 72°x

sin 36°90,1

BC

m BC�sin 54°

110 mmsin 99°

A

B

54°

99°

27°

C110 mm

542

m CD�

2

72 � 362

A

B

C

D

E

Page 208



8. Déterminer la mesure du segment BC.m � 4 cmDéterminer la mesure de l’angle à l’aide de la loi des cosinus.

m ∠ � arc cos � �, soit � 44,32°.

Déterminer la mesure du segment AD à l’aide de la loi des cosinus.

m � , soit � 8,36 cm.Déterminer la mesure de l’angle ADC à l’aide de la loi des sinus.

� ⇒ x � 61,33°, où x représente la m ∠ ADC.

Puisqu’il s’agit d’un angle obtus : m ∠ ADC � 119,67°m ∠ ADE � 61,33°.m ∠ � 61,33°, car cet angle intercepte le même arc que l’angle ADE.Déterminer la mesure de l’angle à l’aide de la loi des sinus.

� ⇒ x � 41,54°, où x représente la mesure de ∠ .

Déterminer la mesure de l’arc BD.

� 44,32 ⇒ x � 31,03°, où x représente la mesure de BD�.

Déterminer la mesure de l’angle .

m ∠ � � 75,35°

La personne B a raison, car la démarche mathématique ci-dessus permet de déterminer les mesures des angles à .

9. Déterminer le rayon x du cercle qui supporte les arcs formant les lamelles.

� ⇒ x � 28,79 mm

Déterminer la mesure x du segment qui relie deux pointes de lamelles consécutives.

� ⇒ x � 17,79 mm

Chaque arc formé par deux pointes de lamelles sur le pourtour du diaphragme mesure 60°.Le rayon du diaphragme est environ de 17,79 mm et le segment CF mesure environ 35,59 mm.

sin 72°28,79

sin 36°x

sin 80°x

sin 20°10

41

119,67 � 31,032

2

2

119,67° � x2

1sin x6,5

sin 61,33°8,6

1

4

sin x10,5

sin 44,32°8,36

�3,52 � 10,52 � 2 � 3,5 � 10,5 cos 44,32AD

8,62 � 10,52 � 122

–2 � 10,5 � 123

3

BC

Page 209

90


Réactivation 1

a. 1) 500 000 L/km2 2) 500 000(0,5)6 � 7812,5 L/km2

3) 500 000(0,5)24 � 0,03 L/km2 4) 500 000(0,5)72 � 1,06 � 10–16 L/km2

b. 7 h après le déversement.

c. 1) 10 h après le déversement. 2) 500 000 � 1024 � 488,28 L/km2

Réactivation 2

a. Le nombre de grains de blé double d’une case à l’autre.

b. 1) 512 grains de blé. 2) 524 288 grains de blé.3) 134 217 728 grains de blé. 4) 9,2234 � 1018 grains de blé.

c. 131 072 � 2x � 1

x � 1 � log2131 072

x � 1 �

x � 1 � 17x � 18

Sur la 18e case.

d.

e. 196,83 � 0,01(3)x � 1

19 683 � 3x � 1

x � 1 � log319 683

x � 1 �

x � 1 � 9x � 10

À la 10e journée de travail.

f. Plusieurs réponses possibles. Exemple :La patronne devrait refuser, puisque le salaire de cette personne deviendra rapidement beaucoup trop élevé. Par exemple,uniquement pour la 15e journée de travail, cette personne recevra 47 829,69 $.

Mise à jour

1. a) –54 b) 32 � 73 c) 25 � 32 � 51

d) –210 e) 23 � 32 � 52 � 73 f ) 24 � 35

2. , , , , , , , ,

3. a) 27 b) 29 c) 26 d) 23 e) 20 f ) 210 g) 2–6 h) 2–11

LKHFEDCBA

Page 216

log 19 683log 3

log 131 072log 2

Page 213

Page 212

4RÉVISION

Les fonctions exponentielleset logarithmiques

4

Journée de travailSalaire ($)

1re 2e 3e 4e 5e

0,01 0,03 0,09 0,27 0,81

Salaire journalier d’une personne en fonction du temps


4. a) log6216 � 3 b) 4–3 � c) log 625 � –4

d) 0,55 � e) log84096 � x f ) 2–5 � x

g) logx65 538 � –8 h) 0,13x � 1000 i ) log125x � 2

5. , , , ,


6. a) x � 4 b) x � ±9 c) x � 343 d) x � 9 e) x � 6 f ) x � 1728

g) x � 9 h) x � –7 i ) x � –1 j ) x � k) x � –5 l ) x � –

7. a) a 7 b) a 7 c) 23a d) a–2 ou � �2.

e) 3a � 4 f ) a 2b � 1 g) a 3 h) a 0 ou 1, si a � 0.

8. a) ��3 b) ou . c) ou .d) ��75 ou ��16 807. e) ��33 ou ��27. f ) ��6

9. a) 3 b) 9 ou 3 . c) 5 ou 25 . d) � � ou � � . e) 5– f ) 8 ou 2 .

10. si a � 0, et si a � 0.

11. a) � �8b) � �3

c) 33 d) 53 e) –� �16f ) 53


12. a) a � 4 b) a � 2 c) a � ±3d) a � 8 e) a � 2 f ) a � ±2

13. a) 4a6 b) –10a7 c) a16 d) e) 5a12 � 2a3

f ) 5a5b2 g) 36a h) i ) 89ab2

14. Non. La pyramide de gauche a une aire de x 2 � 4 � � 5x 2, tandis que celle de droite a une aire de (2x )2 � 4 � � 8x 2.

15. a)

b) 100(0,95) , soit � 59,87 % de lumière.c) 1) Non, car seulement 100 � 100(0,95) � 94,76 % de la lumière est bloquée.

2) Non, car seulement 100 � 100(0,95) � 94,90 % de la lumière est bloquée.3) Oui, car 100 � 100(0,95) � 95,02 % de la lumière est bloquée.

16. a) 150 000(1,02)5 � 165 612,12 $ b) 150 000(1,02)12 � 190 236,27 $


17. Le temps requis pour :• le krypton 85 est de 3 � 10,7 � 32,1 années ;• le plutonium 239 est de 3 � 24 000 � 72 000 années ;

Page 219

1172

1162

1152

202

2x � x2

x � 2x2

64b6��a9

10a2

254

Page 218

12

12

13

FCB

34

14

16

128

27

322

315

25

23

13

12

�5 16�5 24�3 25�3 52

1a

16

19

Page 217

C5E4A3D2B1

132

15

164

92

Quantité de lumière selon la profondeur

Profondeur (cm) Quantité de lumière (%) Quantité de lumière bloquée (%)0 100 0

2 95 5

4 90,25 9,756 85,74 14,26 8 81,45 18,55


• l’iode 129 est de 3 � 1,7 � 107 � 5,1 � 107 années ;• l’uranium 235 est de 3 � 7,1 � 108 � 2,13 � 109 années ;• l’uranium 238 est de 3 � 4,5 � 109 � 1,35 � 1010 années.

18. a)

b) 1) 38 � 6561 visiteurs. 2) 312 � 531 441 visiteurs.3) 315 � 14 348 907 visiteurs. 4) 3n visiteurs.

19. a) 45 000 articles. b) � 26 572 articles. c) 50 000(0,9)n � 1 articles.

20. a) 256 plantes. b) 1024 cm2 c) � 99,18 m2

La fonction exponentielle

ProblèmePlusieurs réponses possibles. Exemple :La règle de la fonction associée au nuage de points est y � 0,5(1,02)x � 0,5, où y représente le risque d’avoir un accident(en %) et x, l’alcoolémie (en mg d’alcool/100 mL de sang). À 180 mg d’alcool/100 mL de sang, le risque d’avoir un accidentest environ de 18,16 % pour une personne de 30 ans et plus. Le risque pour une personne de 16 ans est donc d’environ36,32 %. Le risque d’avoir un accident pour un conducteur de 35 ans qui n’a rien consommé est de 1 %. Le risque d’avoirun accident pour un conducteur de 16 ans est donc environ 36,32 fois plus élevé.

Activité 1

a. 50 N

b. La force exercée par le bras robotique diminue de moins en moins rapidement.

c.

Page 221

Page 220

4.1section

Nombre de visiteurs du site en fonction du temps

Temps (jours) Nombre de visiteurs0 1

1 3

2 9

3 27

4 815 2436 729

Temps Calcul Force(s) (N)

0 50 � 0,80 50

4 50 � 0,8 � 50 � 0,81 � 50 � 0,8 40

8 50 � 0,8 � 0,8 � 50 � 0,82 � 50 � 0,8 32

12 50 � 0,8 � 0,8 � 0,8 � 50 � 0,83 � 50 � 0,8 25,6

16 50 � 0,8 � 0,8 � 0,8 � 0,8 � 50 � 0,84 � 50 � 0,8 20,48

20 50 � 0,8 � 0,8 � 0,8 � 0,8 � 0,8 � 50 � 0,85 � 50 � 0,8 16,384

24 50 � 0,8 � 0,8 � 0,8 � 0,8 � 0,8 � 0,8 � 50 � 0,86 � 50 � 0,8 13,1072

… … …

n 50 � 0,8n4

244

204

164

124

84

44

Force exercée par un bras robotique selon le temps


d. Par 0,812.

e. La courbe se rapproche de plus en plus de l’axe des abscisses sans jamais y toucher.

Activité 2

a.

b. La règle est h � 1,8(0,512) � 1,2.

c. Oui, cette déduction est exacte. Les lois des exposants permettent les calculs suivants.h � 1,9(0,81) � 0,8 � 1,9(0,81 )n � 0,8 � 1,9(0,9)n � 0,8

d. h � 1,8(0,512) � 1,2 � 1,8(0,512 )n � 1,2 � 1,8(0,8)n � 1,2

Activité 3

a.

b. 1) 2 2) 2,25 3) � 2,44 4) � 2,61 5) � 2,69 6) � 2,71 7) � 2,72

c. Ce sont les mêmes résultats.

d. Vers une valeur d’environ 2,7183.

e. C’est la même valeur qu’à la question d.

f. � 2,72 $

Technomath

a. : a � 1,5 et k � 4 ; : a � 0,5 et k � 2 ; : a � –0,2 et k � –1.

b. 1) y � 4 2) y � 2 3) y � –1

c. L’équation de l’asymptote de la courbe associée à une fonction exponentielle est y � k.

d. 1) 2) 3)

Page 224

Page 223

13

n3

12

n2

n3

Page 222

94

Nombre de bondsHauteur de la balle A (m)Hauteur de la balle B (m)

0 6 12 18

2,7 1,81 1,34 1,093 1,67 1,32 1,23

Hauteur des balles par rapport au sol en fonction du nombre de bonds

Nombre de périodes Intérêts calculés Calculs Valeur du placement par année à chaque période (%) à la fin de l’année ($)

1 (annuellement) 100 1 � 2 2

2 (semestriellement) 50 1 � 1,52 2,25

4 (trimestriellement) 25 1 � 1,254 2,4412 (mensuellement) 8,3� 1 � (1,083�)12 2,6152 (chaque semaine) 1,92 1 � 1,019252 2,69365 (chaque jour) 0,27 1 � 1,0027365 2,718760 (chaque heure) 0,01 1 � 1,00018760 2,72

n 1 � �1 � �n1n

100n

Valeur d’un placement selon la période de calcul des intérêts

10–10

10

–10

10–10

10

–10

10–10

10

–10


Mise au point 4.1

1. a) f (x ) � 80(2)x � 8 b) f (x ) � –0,2(25)x � 3 c) f (x ) � 2000(10)x � 100d) f (x ) � 16(0,0625)x e) f (x ) � (343)x � 5 f ) f (x ) � 3125(25)x

2. , , , , ,

3. a) 1) Domaine : � ; codomaine : ]8, +�[. 2) 9 3) y � 8 4) Croissante : �.b) 1) Domaine : � ; codomaine : ]–�, –5[. 2) –7 3) y � –5 4) Croissante : �.c) 1) Domaine : � ; codomaine : ]–100, +�[. 2) � –99,996 3) y � –100 4) Décroissante : �.d) 1) Domaine : � ; codomaine : ]–2, +�[. 2) –1,75 3) y � –2 4) Décroissante : �.e) 1) Domaine : � ; codomaine : ]–8, +�[. 2) –7,75 3) y � –8 4) Croissante : �.f ) 1) Domaine : � ; codomaine : ]–�, 4[. 2) 3,875 3) y � 4 4) Décroissante : �.


4. a) b) c)

d) e) f )

5. a) f (x ) � –8(5)x � 6 b) f (x ) � –15(0,1)x � 9 c) f (x ) � 16(4)x � 8

6. a) f (x ) � 20(100)x � 4 b) f (x ) � – � �x� 4 c) f (x ) � 2,5(4)x � 5

d) f (x ) � 50(10)x � 60 e) f (x ) � –64(2)x � 45 f ) f (x ) � 2(100)x � 12

7. a) 1) (f � g)(x ) � 23x � –0,25(2)x � 5 2) � �(x ) �� 23x � –0,25 � 2x � 25

� –4 � 23x � (x � 5)

� –0,25(2)4x � 5� –4(2)2x � 5

b) 1) Domaine : � ; codomaine : ]–�, 0[. 2) Domaine : � ; codomaine : ]–�, 0[.

Mise au point 4.1 (suite) Page 229

23x

–0,25(2)x � 5fg

14

18

y

x

4

2

–2

–4

–2–4 2 40

y

x

12

8

4

–4

–2–4 2 40

y

x

4

2

–2

–4

–2–4 2 40

y

x

4

2

–2

–4

–2–4 2 40

y

x

8

6

4

2

–2

–4–8 4 80

y

x

8

4

–4

–8

–4–8 4 80

Page 228

1F2E2D1C1B2A

116 807

Page 227

8. a) Décroissante. b) Croissante. c) Décroissante.d) Croissante. e) Croissante. f ) Croissante.

9. a) –16 °C b) � –6,6 °C c) � 3,38 °C d) � 17,79 °C


10. a) 1) f (x ) � 4(6)x 2) f (x ) � 3(1,5)x 3) f (x ) � –3x 4) f (x ) � 2(0,5)x

b) 1) f (x ) � 3(2)x � 7 2) f (x ) � 10(5)x � 15 3) f (x ) � 0,5(10)x � 300 000 4) f (x ) � 3(4)x � 5


11. a) � 29,53 % b) � 50,34 % c) � 82,62 %

12. a) Plusieurs réponses possibles. Exemple :Peu importe l’avancement de la technologie médicale, le nombre de décès d’enfants en bas âge au Québec seratoujours supérieur à 150 décès par année.

b) N � 800(0,92)t � 150, où N correspond au nombre de décès et t, au temps écoulé (en années) depuis 1980.c) 1) � 178 décès. 2) � 152 décès.

13. a) 1) 13,5 V 2) � 3,5 Vb) Cette fonction est décroissante.c) Domaine : [0, 216] jours ; codomaine : [4,87 � 10–8, 13,5] V.

14. a) 1) � 740,12 $ 2) � 742,97 $ 3) � 745,68 $

b) Pour un même taux d’intérêt annuel, plus les intérêts sont composés souvent, plus la valeur du placement à l’échéanceest élevée.


15. a)

16. a) La température initiale des deux alliages est de 50 °C.b) c) 1) La température des deux alliages est la même à

environ 3,03 h.2) Plusieurs réponses possibles. Exemple :

Non, car la température de 550 °C correspond à l’asymptotede la courbe associée à la fonction qui permet de calculerla température de l’alliage.

3) Plusieurs réponses possibles. Exemple :Non, car la température de 450 °C correspond à l’asymptotede la courbe associée à la fonction qui permet de calculerla température de l’alliage.

0

600

480

360

240

120

8642 10

Température(°C)

Temps(h)

Températures des alliages en fonction du temps

y � 550Alliage A

Alliage B

y � 450

b) 1) y � –10,52) Même si théoriquement cette température ne sera jamais

atteinte, c’est la température « minimale » du congélateur.c) ]–10,5, 9] °Cd) 9 °C12

8

4

0

–4

–8

–12

800600400200 1000

Températuremoyenne

(°C)

Temps(min)

Température à l’intérieurd’un congélateur

en fonction du temps

Page 231

Page 230

96


17. a) Les règles sont VA � –1100(0,65)t � 1500 et VB � –1300(0,75)t � 1700, où VA et VB correspondent respectivementà la valeur (en $) des actions de l’investisseuse A et à celle des actions de l’investisseuse B, et t, au temps écoulé(en jours) depuis l’achat des actions.

b) 1) � 19,14 $ 2) � 104,90 $ 3) � 165,08 $c) La valeur maximale des actions de l’investisseuse A est environ 1499,98 $ et celle des actions de l’investisseuse B est

environ 1699,02 $.


18. a) Les règles sont PA � –4000(0,8)t � 6000 et PB � –6000(0,8)t � 7000, où PA et PB correspondent respectivement àla production journalière (en kg/jour) de la mine A et à celle de la mine B, et t, au temps (en jours).

b)

c) La règle est PT � –10 000(0,8)t � 13 000.d) 1) 6600 kg/jour. 2) 9723,2 kg/jour. 3) � 12 648,16 kg/jour. 4) � 12 987,62 kg/jour.

La fonction logarithmique

Problème

Réciproque : R � –120(0,99)0,55c � 120R � 120 � –120(0,99)0,55c

� 0,990,55c

0,55c � log0,99

c � log0,99

Activité 1

a. À une fonction exponentielle.

b.

c. Le nombre de visiteurs augmente de moins en moins rapidement.

Page 234

R � 120–120

2011

R � 120–120

R � 120–120

Page 233

4.2section

Page 232

Temps (jours)Production journalière de la mine A (kg/jour)Production journalière de la mine B (kg/jour)Production journalière totale (kg/jour)

0 1 2 3 4 5

2000 2800 3440 3952 4361,6 4689,28

1000 2200 3160 3928 4542,4 5033,92

3000 5000 6600 7880 8904 9723,2

Production journalière des mines en fonction du temps

Temps (années) Nombre de visiteurs0 30001 41062 49673 56384 61615 65676 6884

Évolution du nombre de visiteursdans le parc en fonction du temps


d. 1) � 7131 visiteurs. 2) � 7849 visiteurs.

e. Ces deux graphiques représentent des fonctions réciproques entre elles puisqu’ils sont symétriques par rapport à la droited’équation y � x.

f. 1) f –1 2) f

Technomath

a. : b � 1 et h � 2,4 ; : b � 2 et h � –1,8 ; : b � –2 et h � –4,2.b. 1) x � –4,2 2) x � –1,8 3) x � 2,4c. L’équation de l’asymptote verticale associée à une fonction logarithmique dont la règle s’écrit

sous la forme y � log b(x � h) est x � h.d. 1) 2) 3)

Mise au point 4.2

1. a) x � 6 b) x � 10 000 c) x � –3 d) x � 1,5e) x � 10 f ) x � g) x � 6 h) x �

2. a) f –1(x ) � log8 b) g –1(x ) � log (x � 9) c) h –1(x ) � ln �– � �d) i –1(x ) � log �– � � � 7 e) j –1(x ) � log f ) k –1(x ) � 4 ln

3. a) f –1(x ) � 8 b) g –1(x ) � 10x � 5 c) h –1(x ) � e

d) i –1(x ) � (4) � 4 e) j –1(x ) � – e2x f ) k –1(x ) � (10) � 4

4. a) b) c)

d) e) f )

5. , , , , , 2F2E1D2C1B1A

y

x

2

1

–1

–2

2–2 4 6 80

y

x

4

2

–2

–4

1–1 2 3 40

y

x

8

4

–4

–8

2–2 4 6 80

y

x

8

4

–4

–8

–2–4 2 40

y

x

8

4

–4

–8

–2–4 2 40

y

x

4

2

–2

–4

2–2 4 6 80

–x � 25

12

54

5x3

13

2x25

x12

x60

20x119

59

52

34

3x2

14

x2

34

x5

�5 2251121

Page 238

Page 235

98

4–1

1

–4

1–6

3

–3

4–1

3

–3



6. a) f (x ) � log (x � 4) b) f (x ) � log2(–x � 2) c) f (x ) � log (x � 8)

d) f (x ) � log 2x e) f (x ) � log16� (x � 2)� f ) f (x ) � log (–1,25(x � 12))

7. a) Les deux courbes sont superposées.

8. a) 1) Domaine : ]–16, +�[ ; codomaine : �. 2) 2 3) x � –16 4) Croissante : ]–16, +�[.b) 1) Domaine : ]–�, 2[ ; codomaine : �. 2) 2 3) x � 2 4) Décroissante : ]–�, 2[.c) 1) Domaine : ]–2, +�[ ; codomaine : �. 2) � –4,15 3) x � –2 4) Décroissante : ]–2, +�[.d) 1) Domaine : ]–4, +�[ ; codomaine : �. 2) 2 3) x � –4 4) Croissante : ]–4, +�[.e) 1) Domaine : ]–�, 2[ ; codomaine : �. 2) � 0,14 3) x � 2 4) Croissante : ]–�, 2[.f ) 1) Domaine : ]–�, 13,5[ ; codomaine : �. 2) –15 3) x � 13,5 4) Croissante : ]–�, 13,5[.


9. a) 1) 2) 3)

b) 1) Une réflexion par rapport à l’axe des x. 2) Une réflexion par rapport à l’axe des x.3) Une réflexion par rapport à l’axe d’équation y � 2.

10. a) � 27,38 MJb) 1) E � 10e � 10 2) � 7337,26 tours/min.

E � 10 � 10e� e

ln � ��

v � 4095 ln � �v � 4095 ln 0,1(E � 10)

11. a) 31 000 blogues.b) La règle est b � 1000(10)t � 30 000, où b correspond au nombre de blogues et t, au temps écoulé (en années)

depuis 1990.

E � 1010

v4095

E � 1010

v4095

E � 1010

v4095

v4095

y

x

8

4

–4

–8

4–4 8 12

g

f

0

y

x

4

2

–2

–4

–2–4 2 4

g

f

0

y

x

4

2

–2

–4

–2–4 2 4

g

f

0

Page 240

y

x

4

2

–2

–4

–2–4 2 40

23

14

14

12

Page 239

b) y � –log2x–y � log2x

2–y � x

� �y� x

y � log x12

12


c) 1) b � 1000(10)t � 30 000b � 30 000 � 1000(10)t

� 10t

t � logLa règle de la réciproque est t � log , où t correspond au temps écoulé (en années) depuis 1990 et b,au nombre de blogues.

2) Environ 2,67 ans après le début de l’année 1990.


12. a)

b) 1) C � 22e–0,05t � 30 2) � –24,26 °CC � 30 � 22e–0,05t

� e–0,05t

ln � –0,05t

t � –20 ln

13. a) 1) � 10,35 min 2) � 23,26 min 3) � 44,33 minb) 1) x � 337e–0,005T � 300 2) � –198,50 °C

14. a) D’environ 358 352 m3 de sable à environ 548 480 m3 de sable.b) 1) Q � ln (10t � 1) 2) � 14,74 mois.

eQ � 10t � 1eQ � 1 � 10t

� tt � 0,1eQ � 0,1


15. a) La règle est Q � log –50(t � 9), où Q correspond à la quantité d’eau (en hL) et t, au temps (en années).b) � 2,65 hLc) � 1,7 hL

Page 242

eQ � 110

C � 3022

C � 3022

C � 3022

150

125

100

75

50

25

10 200–10–20–30 30

Consommation (kWh)

Température(°C)

Consommation moyenne journalière d’électricité en fonction de la température extérieure

y � 30

Page 241

b � 30 0001000

b � 30 0001000

b � 30 0001000

100


16. a) [H+] � 10–(pH)

b)


17.

18. a)

b) 1) La longévité de ce poisson est environ de 2,30 ans.2) La longévité de ce poisson est environ de 0,92 an.

c) 1) L � ln (–5c � 10)eL � –5c � 10

eL � 10 � –5cc �

c � –0,2eL � 2La règle de la réciproque est c � –0,2eL � 2.

2) On ne peut pas déterminer la concentration de mercure, car la longévité maximale d’un poisson est environde 2,30 ans.

eL � 10–5

0

3

2

1

321

Longévité(années)

Concentration(ppm)

Longévité d’un poisson en fonctionde la concentration de mercure

dans son organisme

Page 243

Caractéristiques de certains liquides

Liquide [H�] (mol/L) pHLait 1,74 � 10–7 6,76

Jus d’orange 1,95 � 10–4 3,71Eau de Javel 1,78 � 10–13 12,75

Café 1,29 � 10–5 4,89

Sang humain 4,57 � 10–8 7,34Acides gastriques 6,17 � 10–2 1,21

Eau distillée 1 � 10–7 7

Thé 3,16 � 10–6 5,5

Intensité d’un son en fonction de la pression acoustique

Nature du son Pression (Pa) Intensité (dB) PerceptionTonnerre 11,25 115,00 Dangereuse

Sirène de pompiers 35,56 125,00 InsupportableConversation normale 0,02 60 Normale

Abords d’une autoroute achalandée 1,12 94,96 DouloureuseDiscothèque 5,02 107,99 DangereuseConcert rock 63,25 130,00 Insupportable


Les situations exponentielles et logarithmiques

ProblèmePlusieurs réponses possibles. Exemple :• Les couples de la table de valeurs montrent une tendance exponentielle.• Recherche de la règle qui est de la forme y � acx � k.

D’après la table de valeurs, on peut déduire que k � 4 et que a � 4 � 6,8, donc a � 2,8. En substituant un autre couplede la table de valeurs à x et à y, on obtient c � 0,95. La règle est donc y � 2,8(0,95)x � 4, où y est le pH et x, le tempsd’affinage.

• À l’aide d’une table de valeurs, on cherche les valeurs de x pour lesquelles le pH se situe entre 4,8 et 5,2.Le temps d’affinage est compris entre environ 16,52 jours et environ 24,42 jours.

Activité 1

a. On peut passer :• de l’étape à l’étape , puisque m � c n ;• de l’étape à l’étape , par la loi des exposants (c n )x � c xn ;• de l’étape à l’étape , par l’équivalence m x � c xn ⇔ xn � logcm x ;• de l’étape à l’étape , puisque n � logcm.

b. 1) 36 2) 7,5 3) –6 4) –6,8

c. Puisque log 95000 est équivalent à 5000 log 9, il suffit de calculer log 9 et de multiplier le résultat par 5000.Ainsi, log 95000 � 5000 log 9, soit 5000 � � 0,95 � 4771,21.

d. On peut passer :• de l’étape à l’étape , puisque m � c n ;• de l’étape à l’étape , puisque logdc n � n logdc (équivalence vue précédemment) ;• de l’étape à l’étape , en divisant les deux membres de l’équation par logdc ;• de l’étape à l’étape , puisque n � logcm.

Activité 1 (suite)

e. À l’aide de l’équivalence logcm � , où d � e ou d � 10, il est possible de calculer le logarithme d’un nombredans n’importe quelle base.

f. 1) log677 2) log50,7 3) log 8

g. 1) y � log5x 2) y � log5,2(x � 4) 3) y � log0,2

Activité 2

a. Les coûts liés à la recherche et au développement correspondent à la valeur initiale, c’est-à-dire qu’ils sont de 5000 $.

b. 1) 0,98x � 0,98 2) Parce que 0,981 � 0,98. Ainsi, x � 1.

c. 1) On peut passer :• de l’étape à l’étape en soustrayant 200 des deux membres de l’équation ;• de l’étape à l’étape en divisant les deux membres de l’équation par 4800 ;• de l’étape à l’étape , puisque � 0,98x ⇔ x � log0,98 ;

• de l’étape à l’étape , par l’équivalence du changement de base : logcm � ;

• de l’étape à l’étape en effectuant � 226.

2) La valeur obtenue à l’étape signifie qu’il faut vendre environ 226 microscopes pour que le prix de vented’un microscope soit de 250 $.

6

log196

log 0,9865

logdmlogdc

54

196

196

43

32

21

Page 247

x5

13

logdmlogdc

Page 246

54

43

32

21

54

43

32

21

Page 245

Page 244

4.3section

102


d. 250 4800(0,98)x � 200

e. 0 � x 226

Activité 3

a. 1) Le zéro.2) On peut passer :

• de l’étape à l’étape , en additionnant 18 aux deux membres de l’équation ;• de l’étape à l’étape , en divisant les deux membres de l’équation par 9 ;• de l’étape à l’étape , puisque log (x � 5) � 2 ⇔ x � 5 � 102 ;• de l’étape à l’étape , car 102 � 100 ;• de l’étape à l’étape , en soustrayant 5 des deux membres de l’inéquation.

b. ]–5, +�[

c. L’intervalle où f est négative.

d. ]–5, 95[

Mise au point 4.3

1. a) 5 b) � –3,55 c) � 3,32 d) 1 e) 0f ) � 1,57 g) –3 h) � 1,11 i ) � –11,14

2. a) 2 log6x b) 5 log12(x � 2) c) –3 log (4x � 1) d) –ln x

e) log4025x f ) y logc z g) 2 ln h) –3 log x ou 3 log .

3. a) x � 0,56 b) x � –0,58 c) x � –2 d) x � –1 e) x � –1,24f ) x � 13,06 g) Aucune solution. h) x � 1 i ) x � 0,74 j ) x � –1,89

4. , , , , , , ,


5. a) x � 93 b) x � 1,71 c) x � 10,25 d) x � –3509,52e) x � 0,21 f ) x � 25,21 g) x � 2,13 h) x � –0,25

6. a) f (x ) � g(x ) � –153(2)3x � 7 � (–5(8)x � 5) � –15

3(2)3x � 7 � (–5(2)3x � 5) � –15–2(2)3x � 2 � –15

–2(2)3x � –1723x � 8,5

log28,5 � 3x

� 3xx � 1,03

c) h(x ) � i (x ) � –172 log (x � 5) � 2 � 5 log (x � 5) � 3 � –17

7 log (x � 5) � 1 � –177 log (x � 5) � –16

log (x � 5) �

10 � x � 5x � 5,01

–167

–167

log 8,5log 2

Page 253

3H4G7F8E1D2C5B6A

1x

xy

12

Page 252

65

54

43

32

21

Page 248

b) f (x ) � g(x ) � 273(2)3x � 7 � (–5(8)x � 5) � 27

3(2)3x � 7 � 5(2)3x � 5 � 278(2)3x � 12 � 27

8(2)3x � 1523x �

log2 � 3x

� 3xx � 0,3

log 158

log 2

158

158

d) h(x ) � i (x ) � 42 log (x � 5) � 2 � (5 log (x � 5) � 3) � 4

2 log (x � 5) � 2 � 5 log (x � 5) � 3 � 4–3 log (x � 5) � 5 � 4

–3 log (x � 5) � –1log (x � 5) �

10 � x � 5x � 7,15

13

13


7. a) 1) x � 6,14 2) Négatif : ]–�, � 6,14] ; positif : [� 6,14, +�[.b) 1) x � 7,04 2) Négatif : ]7, � 7,04] ; positif : [� 7,04, +�[.c) 1) x � 3,74 2) Négatif : [� 3,74, +�[ ; positif : ]–�, � 3,74].d) 1) x � 1,16 2) Négatif : [� 1,16, +�[ ; positif : ]–�, � 1,16].e) 1) x � –1 2) Négatif : ]–2, –1] ; positif : [–1, +�[.f ) 1) x � 0,14 2) Négatif : [� 0,14, +�[ ; positif : ]0, � 0,14].

8. a) x � 0,5 b) x � 1 c) x � 3 d) x � –11 e) x � 1,5 f ) x � 0

9. a) x � 3 b) –4 x � – c) x � � –500 d) x � 52 e) 0 x � 25 f ) 6 x � 7

10.


11. a) x � 8 b) x � 2 c) x � ��10 � 2 d) x � –4 e) x � 1002

f ) x � 6 g) x � e ou x � –e. h) x � i ) x � 5 j ) x � 2 ou x � 5.

12. a) 27 °Cb) 1) 1 m 2) � 2,94 m 3) � 8,7 mc) La longueur du tuyau est comprise entre 5,97 m environ et environ 15,28 m.

13. a) � 6,12 ans.b) � 11,3 ans.c) Il faut entre 15,78 ans environ et environ 23,28 ans.

14. a) La règle est V � 1500�1 � �2t� 1500(1,0175)2t, où V correspond à la valeur (en $) du placement et t,

au temps (en années).b) 3000 � 1500(1,0175)2t

2 � (1,0175)2t

2t � log1,01752

2t �

t � 19,98 ans.La valeur de ce placement aura doublé dans environ 19,98 ans.

c) 2500 � 1500(1,0175)2t

� (1,0175)2t

2t � log1,0175

2t �

t � 14,72 ans.Ce placement dure au moins environ 14,72 ans.

log 53

log 1,0175

53

53

log 2log 1,0175

0,0352

13

Page 254

74

104

Fonction f f –1

Règle f (x) � –0,3(2)x � 3 f –1(x) � log2

Domaine � ]–�, 3[Codomaine ]–�, 3[ �

Valeur initiale 2,7 3,32Zéro 3,32 2,7

Signe Positif : ]–�, 3,32] ; Positif : ]–�, 2,7] ;négatif : [3,32, +�[ négatif : [2,7, +�[

–10x � 303



15. La règle est y � 35 000(0,9932)x, où y représente la valeur du bateau (en $) et x, le temps (en mois).La valeur du bateau vaut 25 000 $ environ 49,45 mois après l’achat.

16. La mise en garde doit être émise environ 11,46 semaines après le 1er mai.

17. a) La règle est A � log1,250,5q, où A correspond à l’âge (en jours) des vers à soie et q, à la quantité cumulative (en kg)de feuilles consommées.

b) 1) Les vers à soie sont âgés d’environ 14,43 jours.2) Les vers à soie sont âgés d’environ 21,64 jours.3) Les vers à soie sont âgés d’environ 27,38 jours.

c) Les vers à soie sont matures à 29,03 jours environ.


18. La règle est M � 600(1,15)3t, où M représente le nombre de membres et t, le temps (en années).a) 1) Il y aura 690 membres. 2) Il y aura environ 740 membres.

3) Il y aura environ 913 membres. 4) Il y aura environ 1388 membres.b) Cet achat se fera après environ 14,62 mois.

19. La règle est D � 200(1,5) , où D représente le nombre de drosophiles et t, le temps (en jours).Cette culture compte plus de 2000 drosophiles après environ 22,72 jours.

20. a) 3 � – ln

e �

p � 93,39 kPaLa pression atmosphérique est environ de 93,39 kPa.

b) A � – ln , soit � 5,23 km.L’altitude de l’alpiniste est environ de 5,23 km.

c) 8,848 � – ln

e �

p � 73,41 kPaLa pression atmosphérique est environ de 73,41 kPa.

21. a) 1) 60 min 2) 42 min 3) � 2,42 minb) 1) Au moins 2 pièces. 2) Au moins 3 pièces. 3) Au moins 5 pièces.


22. La règle est P � –350(0,7)t � 350, où P représente la pression et t, le temps.a) La pression exercée sur la tige d’acier est de 100 MPa à environ 0,94 s.b) La pression exercée sur la tige d’acier est de 250 MPa à environ 3,51 s.c) La pression exercée sur la tige d’acier est de 348 MPa à environ 14,48 s.

23. a) 1) L’épaisseur d’une vitre teintée est environ de 2,23 cm.2) L’épaisseur d’une vitre teintée est environ de 10,5 cm.

b) 1) L’épaisseur d’une vitre teintée est environ de 16,09 cm.2) L’épaisseur d’une vitre teintée est environ de 4,78 cm.

24. a) 1) 7500 � 5000e5r 2) 10 000 � 5000e12r 3) 15 000 � 5000e24r

1,5 � e5r 2 � e12r 3 � e24r

5r � ln 1,5 12r � ln 2 24r � ln 3r � 0,0811, soit � 8,11 %. r � 0,0578, soit � 5,78 %. r � 0,0458, soit � 4,58 %.

Page 257

p103

–82,2864243

p103

2439,3

85103

2539,3

p103

–27,9285

p103

2859,3

t4

Page 256

Page 255


b) 1) � 4,96 ans 2) � 15,4 ans 3) � 24,41 ans

c) 1) r � 2) t �

Chronique du passé

1. a) 717,32 $ b) 129 116,70 $

2. a) 2 584 929 b) 45 c) 262 144d) 16 807 e) 21 f ) 2 585 869

Le monde du travail

1. La règle est C � –5,3(0,81)t � 6, où C représente la concentration et t, le temps.La concentration d’uranium est conforme entre 2,61 h environ et environ 7,64 h.

2. La règle est N � 8(3)5t, où N représente le nombre de neutrons et t, le temps.a) Il y a plus de 1 million de neutrons libérés après environ 2,14 µs.b) Environ 5,74 � 1024 neutrons sont libérés.

3. La règle est T � –46e–0,004x � 26.

Vue d’ensemble

1. a) f –1(x ) � 3 � 8 b) g –1(x ) � 12(10)–2x c) h –1(x ) � –log1,15�– � � 6

d) i –1(x ) � – ln – e) j –1(x ) � log0,85(0,5x � 6) f ) k –1(x ) � 150e

2. a) 1) 2)

3) 4)

b) Malgré les différentes écritures des règles des fonctions, les représentations graphiques sont parfois les mêmes.Ainsi en a), le 1er et le 4e graphique sont identiques, et le 2e et le 3e graphique sont identiques.

y

x

4

2

–2

–4

–2–4 2 40

y

x

4

2

–2

–4

–2–4 2 40

y

x

4

2

–2

–4

–2–4 2 40

y

x

4

2

–2

–4

–2–4 2 40

x200

x15

14

5x11

x4

Page 262

Page 261

Page 259


ln 2r

ln 2t

106


3. a) 1) Domaine : � ; codomaine : ]–�, 0[. 2) � –195,31 3) Aucun.4) Négatif : �.

b) 1) Domaine : ]–�, 7[ ; codomaine : �. 2) � –5,24 3) � –24,624) Négatif : [� –24,62, 7[ ; positif : ]–�, � –24,62].

c) 1) Domaine : � ; codomaine : ]–6, +�[. 2) � –5,78 3) –34) Négatif : [–3, +�[ ; positif : ]–�, –3].

d) 1) Domaine : ]–7, +�[ ; codomaine : �. 2) � 5,77 3) 934) Négatif : [93, +�[ ; positif : ]–7, 93].

e) 1) Domaine : � ; codomaine : ]–1, +�[. 2) � –0,58 3) 1,54) Négatif : ]–�, 1,5] ; positif : [1,5, +�[.

f ) 1) Domaine : ]–8, +�[ ; codomaine : �. 2) 8 3) 84) Négatif : [8, +�[ ; positif : ]–8, 8].

g) 1) Domaine : � ; codomaine : ]–�, 4[. 2) � 3,98 3) � 5,314) Négatif : [� 5,31, +�[ ; positif : ]–�, � 5,31].

h) 1) Domaine : ]3, +�[ ; codomaine : �. 2) Aucune. 3) � 3,504) Négatif : [� 3,50, +�[ ; positif : ]3, � 3,50].

i ) 1) Domaine : � ; codomaine : ]5, +�[. 2) 17,8 3) Aucun.4) Positif : �.

j ) 1) Domaine : ]2, +�[ ; codomaine : �. 2) Aucune. 3) � 2,604) Négatif : [� 2,60, +�[ ; positif : ]2, � 2,60].

k) 1) Domaine : � ; codomaine : ]–8, +�[. 2) 249 992 3) � 1,124) Négatif : [� 1,12, +�[ ; positif : ]–�, � 1,12].

l ) 1) Domaine : ]0,4, +�[ ; codomaine : �. 2) Aucune. 3) � 15,374) Négatif : [� 15,37, +�[ ; positif : ]0,4, � 15,37].

4. a) x � –0,97 b) x � 120 c) x � 3,34d) x � –0,48 e) x � 0,31 f ) x � 4 000 000g) x � –0,025 h) x � 0,9 i ) x � –143

5. a) x � 5 b) x � 729 c) x � 4d) x � 8,66 e) x � 4,73 f ) x � 0,0081


6. a) f (x ) � –0,5(5)x � 8 b) f (x ) � log30,5(x � 2) c) f (x ) � 3(0,5)x � 3

d) f (x ) � log0,5–0,2(x � 4) e) f (x ) � 2000(1,8)x � 500 f ) f (x ) � log0,9 (x � 1000)

g) f (x ) � –2(0,82)x � 1 h) f (x ) � –2(10)x � 1,5 i ) f (x ) � log –0,5(x � 1,5)

7. a) x 1,73 b) x � ]6, 59 055[ c) x � � 6,62d) x � –950 000 e) x � � –8,21 f ) x � � –0,89g) x � ]� 0,46, 1[ h) x � ]0, 8] i ) Aucune solution.

8. a) 16(2)x � 20(2)x � 4(2)x � 102432(2)x � 1024

2x � 32x � log232

x �

x � 5

log 32log 2

15000

Page 263

b) 8(5)x � 2(5)x � 1 � 7(5)x � 6258(5)x � 2(5)x � 51 � 7(5)x � 625

8(5)x � 10(5)x � 7(5)x � 62525(5)x � 625

5x � 25x � log525

x �

x � 2

log 25log 5


c) 4(3)x � 7(3)x � 1 – 3x � 44(3)x � 7(3)x � 31 – 1(3)x � 4

4(3)x � 21(3)x – 1(3)x � 424(3)x � 4

3x �

x � log3

x �

x � –1,63


9. a) La règle est t � 60 log0,97 .b) � 93,5 %c) On doit appliquer l’écran solaire de nouveau après environ 507,88 min.

10. La personne devrait choisir les intérêts composés tous les 6 mois pour obtenir un montant final d’environ 7341,49 $plutôt que d’environ 7276,25 $.

11. Plusieurs réponses possibles. Exemple : y � e .


12. a) La règle est P � 500(0,81) � 25, où P correspond à la population de requins et t, au temps (en années).b) 250 � 500(0,81) � 25

0,55 � 0,81� log0,810,55

�

t � 11,35 années.Cette région compte 250 requins à 11,35 années environ.

c) 100 � 500(0,81) � 250,25 � 0,81

� log0,810,25

�

t � 26,32 années.La population est au moins de 100 requins pendant environ 26,32 années.

d) 0 � 500(0,81) � 250,05 � 0,81

� log0,810,05

�

t � 56,87 années.La population de requins disparaît à 56,87 années environ.

log 0,05log 0,81

t4

t4

t4

t4

log 0,25log 0,81

t4

t4

t4

t4

log 0,55log 0,81

t4

t4

t4

t4

t4

Page 265

13x2000

918910 000

P � 10110

Page 264

log 16

log 3

16

16

108

d) 2x � 12(2)x � 2 – 1 � 481(2)x � 12(2)x � 2–2� 49

1(2)x � 3(2)x � 494(2)x � 49

2x �

x � log2

x �

x � 3,61

log 494

log 2

494

494


13. a) b) 1)

2) Plusieurs réponses possibles. Exemple : l � ,

où l représente l’incidence (en %) et a, l’âge (en années).c) Une personne devrait être soumise à ces tests à partir de 76 ans.


14. a) Le niveau d’eau est d’au moins 2,5 m environ.b) d � 18,5 � 1

d � 1 � 18,5log18,5(d � 1) �

log18,5(d � 1) � nLa règle est n � 1,5 log18,5(d � 1).

15. Le débit associé au seuil critique est environ de 74,3 cm3/s.

16. Les températures possibles de ce mélange sont comprises entre 20,64 °C environ et environ 32,02 °C.

17. a)

b) 5000 L de produits chimiques auront été déversés après environ 89,48 min.c) La fuite a duré entre 47,49 min environ et environ 89,48 min.


18. a) N � 2500e0,6(0) � 2500 abeilles.b) 1) N � 2500e0,6(1), soit � 4555 abeilles.

2) N � 2500e0,6(2), soit � 8300 abeilles.3) N � 2500e0,6(4), soit � 27 558 abeilles.

Page 267

0

5

4

3

2

1

40302010 50

Quantité(milliers de L)

Temps(min)

Quantité de produits chimiques déversés dans l’environnement selon le temps

32

2n3

2n3

2n3

Page 266

e0,1275a

16 666,67

0

8

6

4

2

80604020 100

Incidence(%)

Âge(années)

Incidence de la maladie d’Alzheimer

0

8

6

4

2

80604020 100

Incidence(%)

Âge(années)

Incidence de la maladie d’Alzheimer


c) 50 000 � 2500e0,6t

20 � e0,6t

0,6t � ln 20t � 4,99 semaines.

Donc, environ le 6 mai.

19. a) Au début du processus de vieillissement, l’eau compte pour 30 % de la masse de ce fromage.b) 28 � 30e–0,01t

� e–0,01t

–0,01t � lnt � 6,90 ans.

La quantité d’eau sera de 28 % de la masse de ce fromage dans environ 6,90 ans.

20. a) 1) 450 2) 10,7 3) 225b) 1) 225 � 450ea10,7 2) � –0,06 3) M � 450e–0,0648t

c) 1) M � 5e–0,0001t 2) M � 50e–0,0564t 3) M � M0e


21. a) P � 250e0,7(0) � 250 pissenlits.b) 1) P � 250e0,7(1) , soit � 503 pissenlits.

2) P � 250e0,7(2) , soit � 1014 pissenlits.3) P � 250e0,7(4) , soit � 4111 pissenlits.

c) � 26 pissenlits.

22. a) La règle est Q � 2(0,8)2t.b) Puisqu’il reste 0,8192 L de liquide, 1,1808 L du liquide s’est évaporé.c) On doit arrêter l’ébullition après environ 4,25 h.d) La quantité de sauce produite est de 0,3 L.

23. La règle est f (x ) � log2(x � 1), où f (x ) représente le nombre de visiteurs et x, le temps.a) � 3,46 millions de visiteurs.b) 4 millions de visiteurs.c) � 4,95 millions de visiteurs.


24. a) La règle est C � 300(0,95)t � 10, où C correspond au nombre de colonies et t, à la température (en °C).b) Non. À cette température, la viande contient encore environ 3,82 colonies de bactéries.

25. a) 1) La concentration de CO2 en fonction du temps évolue selon un modèle linéaire.2) La concentration de CO2 en fonction du temps évolue selon un modèle exponentiel.

b) La règle est C � 0,2t � 285, où C correspond à la concentration (en ppm) de CO2 et t, au temps écoulé (en années)depuis 1850.

c) Plusieurs réponses possibles. Exemple :Équation 1 : 310 � ac 110 � 300 Équation 2 : 350 � ac 130 � 300

� a � aRésolution du système formé des équations 1 et 2 :

�

c 20 � 5c � 1,0838

Donc, a � � 0,0014.

La règle est C � 0,0014(1,0838)t � 300, où C correspond à la concentration de CO2 (en ppm) et t, au temps écoulé(en années) depuis 1850.

101,0838110

50c130

10c110

50c130

10c110

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Page 268

–t1 024 313 479

1415

1415

110


d) Plusieurs réponses possibles. Exemples :1) La concentration possible de CO2 est environ de 411,80 ppm.2) La concentration possible de CO2 est environ de 550 ppm.3) La concentration possible de CO2 est environ de 1550 ppm.


26. La règle est P � log0,8 (x � 0,25), où P représente la profondeur (en m) et x, la température (en °C).La température varie de 25,28 °C environ à environ 25,55 °C. L’écart de température de l’eau est donc d’environ 0,27 °C.

27. Le temps nécessaire à la dégradation complète :• d’un sac en plastique est environ de 461,75 années ;• d’un mouchoir de papier est environ de 0,25 année ;• d’un carton de lait est environ de 49,88 années ;• d’une gomme à mâcher est environ de 5 années ;• d’une pile alcaline est environ de 6931,13 années.


28. a)

b) 1)

2) Plusieurs réponses possibles. Exemple : D � 12,342e–0,2025x.c) 1) À la semaine 2. 2) À la semaine 3. 3) À la semaine 4. 4) À la semaine 6.

29. Soit P, la population (en milliers) et t, le temps (en années).Règle associée à la ville A : PA � 8,88(0,75)t � 10Règle associée à la ville B : PB � –13,33(0,75)t � 15Il y a un écart d’environ 4,35 ans entre les moments où chacune de ces villes a reçu cette subvention.

0

12

8

4

8642 10 12 14

Niveau moyen de difficulté perçue

Temps(semaines)

Niveau de difficulté perçue en fonction du temps

0

12

8

4

8642 10 12 14

Niveau moyen de difficulté perçue

Temps(semaines)

Niveau de difficulté perçue en fonction du temps

Page 271

18

Page 270



1. Calculer le nombre de personnes qui sont infectées au début du processus de conception du vaccin en substituant 0 à tdans l’équation.

N � 3000(1,75)0 � 5000 � 8000 personnes.Calculer le moment où la campagne de vaccination massive a commencé en substituant 46 000 à N dans l’équation.

46 000 � 3000(1,75)t � 5000t � 4,67 mois.

À partir de ce moment, le nombre de personnes infectées diminue selon une fonction polynomiale de degré 1 dont la droitepasse par les points (� 4,67, 46 000) et (5, 40 000).

N � –18 337,4t � 131 687On veut connaître la valeur de t lorsque 8000 personnes ou moins sont infectées.

8000 � –18 337,4t � 131 687t � 6,75 mois.

On veut également connaître la valeur de t lorsque plus aucune personne ne sera infectée.0 � –18 337,4t � 131 687t � 7,18 mois.

D’environ 6,75 mois à 7,18 mois après le début du processus de conception du vaccin, le nombre de personnes atteintesdu virus est inférieur ou égal au nombre de personnes qui étaient infectées au début du processus de conception du vaccin.

2. Déterminer la règle de la fonction qui permet de calculer le nombre de cellules souches de type A NA selon le temps t (en h).NA � 2000(3)

Déterminer la règle de la fonction qui permet de calculer le nombre de cellules souches de type B NB selon le temps t (en h).NB � 2000(5)2(t � 2)

On cherche la valeur de t lorsque NA = NB.Après environ 2,41 h, le nombre de cellules souches de type A est le même que le nombre de cellules souches de type B.


3. Soit SP la somme investie au départ par Patrice et VP la valeur de ce placement après t années.VP � SP(1,02)4t

Soit SM la somme investie au départ par Maryse et VM la valeur de ce placement après t années.VM � SM(1,04)t

Sachant que SM � 2SP, modifier la règle précédente comme suit :VM � 2SP(1,04)t

Déterminer à quel moment le placement de Patrice aura quadruplé.

On veut que � 4.

On obtient l’équation : 4 � 1,024t.Donc, t � 17,5 ans.Déterminer la valeur du placement de Maryse dans 17,5 ans.

VM � 2SP(1,04)17,5, soit � 3,97SP.Patrice a raison, car dans environ 17,5 ans, son placement aura quadruplé alors que le placement de Maryse vaudra environ3,97 fois la somme qu’il a placée initialement.

VP

SP

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t2

Page 272

112


4.

Entreprise CLa résistance du béton de l’entreprise C varie selon la règle r � log1,0250,4(t � 2,5).

D’après ces analyses, seul le procédé de l’entreprise C respecte les normes de l’industrie, puisqu’en 27,03 jours environ,le pourcentage de résistance du béton de cette entreprise atteint 100 %.


5. La concentration de chlore dans l’eau de la piscine varie selon la règle C � 2(0,9)t, où C correspond à la concentrationde chlore (en ppm) et t, au temps (en jours).Déterminer le temps requis pour que la concentration de chlore atteigne 1 ppm.

1 � 2(0,9)t

t � 6,58 jours.Au début de la saison, mélanger 2 kg de chlore à l’eau de la piscine. Par la suite, ajouter 500 g de chlore tous les 6,5 jours.Cette façon de procéder nécessite environ 9,5 kg de chlore pour que la piscine fonctionne pendant 100 jours.

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0

100

80

60

40

20

2418126 30

Résistance(%)

Temps(jours)

Résistance du béton selon temps

0

100

80

60

40

20

2418126 30

Résistance(%)

Temps(jours)


0

100

80

60

40

20

2418126 30

Résistance(%)

Temps(jours)


Entreprise BLa résistance du béton de l’entreprise B varieselon la règle r � log1,2100 000(t � 0,000 01).

Entreprise ALa résistance du béton de l’entreprise A varieselon la règle r � log1,140(t � 0,025).


6. Soit V la valeur (en $) des actions et t, le temps écoulé (en mois) depuis l’achat.La valeur des actions de l’entreprise A varie selon la règle VA � 4000(1,05)t.La valeur des actions de l’entreprise B varie selon la règle VB � –1000(1,05)t � 8000.Déterminer à quel moment VA � VB � 15 000.15 000 � 4000(1,05)t � –1000(1,05)t � 800015 000 � 3000(1,05)t � 8000

t � 17,37 mois.Jeanne doit vendre ses actions environ 17,37 mois après l’achat.

7. Au début du traitement, il n’y a pas de médicament dans l’organisme du patient. La règle Q � log2(t � 1) permet doncde calculer la quantité de médicament présente dans son organisme.La première injection de médicament prend 255 s ou 4,25 min.Comme la demi-vie de ce médicament est de 60 min, on obtient l’équation 8(0,5) � 0,75. Résoudre cette équation.

t � 204,9 minPour la deuxième injection, il reste 0,75 g de médicament dans l’organisme du patient. La règle Q � log2(t � 1) � 0,75permet donc de calculer la quantité de médicament présente dans son organisme.La deuxième injection prend environ 151,2 s ou environ 2,52 min.Comme le traitement est terminé lorsque la quantité de médicament présente dans l’organisme du patient est inférieureà 0,01 g, on obtient l’inéquation 8(0,5) � 0,01. Résoudre cette inéquation.

t � 578,63 minLa durée de ce traitement est environ de 790,3 min, soit environ 13,17 h.


8. Plusieurs réponses possibles. Exemple :Ingrid a tort. Soit la table de valeurs associée à cette situation.

On constate que pour une même variation de la variable indépendante, les variations de la variable dépendante ne formentpas une suite arithmétique et que leur différence n’est pas constante.

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t60

t60

114

xf (x)

–3 –2 –1 0 1 2 3

19 683 81 3 1 3 81 19 683

� 19 524 � 76 � 19 524� 4 � 76

� 1

� 19 602

� 1

� 78

� 1

� 2

� 1

� 2

� 1

� 78

� 1

� 19 602

xf (x)

–3 –2 –1 0 1 2 3

19 683 81 3 1 3 81 19 683


9. Pendant le traitement, le pourcentage de cellules saines varie selon la règle P � log1,05

–9,9(t � 5).Déterminer à quel moment 20 % des cellules de la moelle osseuse seront saines.

20 � log1,05–9,9(t � 5)

t � 4,73 semaines.Par la suite, le pourcentage de cellules saines varie selon la règle P � 15(1,43) � 15.Déterminer à quel moment 100 % des cellules de la moelle osseuse seront saines.

100 � 15(1,43) � 15t � 11,39 semaines.

Le graphique ci-contre montre que, au départ, 80 % des cellulessont saines. Le nombre de cellules décroît pendant la chimiothérapiependant environ 4,73 semaines. Les cellules saines augmententensuite pour atteindre 100 % au bout d’environ 11,39 semaines.

10. Déterminer le temps t où le parapentiste atteint une altitude maximale.1500 � –1300(0,85)t � 1600

t � 15,78 minDéterminer le temps t où il atterrira.

0 � 0,5� �t � 100� 522

t � 29,51 minLa durée de la descente est environ de 13,73 min.Le parapentiste n’a pas atteint son objectif, car l’ascension a duré environ 15,78 min alors que la descente a duréenviron 13,73 min.

e3

t2

t2

0

100

80

60

40

20

8642 10 12

Cellules saines(%)

Temps(semaines)

Pourcentage de cellules saines selon le temps

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page 1 manuel 1 - Apprendre... Autrement! · 2014-06-23 · 6 Vision 1 Ressources supplémentaires • Corrigé du manuel TS – Vol. 1 © 2010, Les Éditions CEC inc. • Reproduction