Montage de traitement du signal n°19 -Échantillonnage des signaux : réalisation, spectres

et restitution

François Caire - Thomas Lepetit

10 mars 2010

Table des matières

1 Échantillonnage d'un signal analogique 31.1 Échantillonnage idéal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Échantillonnage réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1 Limites du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2 Réalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.2.1 Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.2.2 L'interrupteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2.3 Nécessité du blocage . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Échantillonnage blocage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.1 Modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.2 Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.3 Dimensionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.3.1 Durée des impulsions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.3.2 Mesure de Rdson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.3.3 Choix de la capacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.4 Améliorations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.4.1 Isolation du signal d'entrée . . . . . . . . . . . . . . 101.3.4.2 Impédance de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Restitution, analyse spectrale 112.1 Cadre de l'étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1 Le repliement de spectre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Inuence du ltrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3 Inuence de la désynchronisation des générateurs . . . . . . . . . . . 122.4 Eet du blocage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4.1 Perte d'information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4.2 Amplitude des raies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4.3 Quantication de la distorsion (Taux de Distortion Harmonique 17

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Introduction

Les récents et fulgurants développements de l'informatique, à travers l'augmen-tation considérable de la capacité de stockage et de l'échange d'informations viainternet rendent capitale la numérisation de l'information dans tous les domaines(audio, video...). De surcoît, l'utilisation grandissante de commandes numériques deprocessus ou de traitements numériques du signal placent le procédé de numérisationde l'information au coeur de nombreux systèmes industriels.

L'échantillonnage est la première opération consistant à transformer un signalanalogique en un signal pouvant être interprété par une unité de numérisation.Il constitue donc la première transformation du signal et donc la première sourcepotentielle de détérioration.

Son étude apparaît donc essentielle et est l'objet de ce montage.

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Chapitre 1

Échantillonnage d'un signalanalogique

1.1 Échantillonnage idéal

Ce type d'échantillonnage, comme son nom l'indique, n'est pas réalisable en pra-tique mais permet de prédéterminer l'allure des signaux observés en pratique, tantdu point de vue spectral que temporel comme nous allons le voir.

Considérons un signal analogique s(t) que l'on souhaite numériser. Pour cela ilest nécessaire, comme nous l'avons vu dans l'introduction, de transformer ce signal àtemps continu en un signal à temps discret permettant une quantication des valeurs.

L'étude théorique de cette transformation, communément appelée échantillon-nage, nécessite l'introduction de diérents paramètres et notions :

la période d'échantillonnage Te et la fréquence correspondante Fe le signal échantillonné idéal, noté s∗(t) le signal échantillonné à temps discret noté sTD [k[On rappelle l'expression du peigne de Dirac : δTe(t) =

∑k δ(t− kTe).

Le signal s∗(t) s'écrit donc :

s∗(t) = s(t).δTe(t) =∑k

δ(t− k.Te).s(kTe)

Le signal à temps discret, quant à lui, s'écrit directement :

sTD[k] = s(kTe),∀k ∈ ZL'analyse spectrale des diérents signaux précités permet de mettre en évidence

des propriétés importantes des signaux échantillonnés, notamment à travers la com-paraison avec le spectre initial. Calculons la transformée de Fourier du signal échan-tillonné idéal. Le peigne de Dirac étant une fonction périodique, on peut calculerson développement en série de Fourier d'où l'on déduit l'expression suivante :

δTe(t) =1

Te

∑k

exp(j2πkt

Te)

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On en déduit directement, par linéarité de la TF, l'expression de sa transforméede Fourier, notée ∆Te(f) :

∆Te(f) =1

Te

∑k

δ(f − k

Te) =

1

Teδ 1

Te

(f)

Ainsi, l'impulsion de Dirac étant l'élément neutre du produit de convolution, etla TF d'un produit étant le produit de convolution des TF, on en déduit directementle spectre du signal échantillonné idéal en fonction de celui du signal s(t) :

S∗(f) =1

Te.∑k

S(f − k.Fe)

On voit donc que l'opération d'échantillonnage a conduit à une périodisation duspectre du signal initial autour des fréquences multiples de Fe et à une modication

de l'amplitude des composantes spectrales (multiplication par1

Te).

Ainsi, il apparait que pour un spectre de raies (ex : sinusoïde),si les raies defréquences maximales du signal échantillonné sont trop proches de Fe, les raies se-condaires introduites par l'échantillonnage seront repliées et apparaîtront dans lespectre basse fréquence du signal échantillonné, conduisant à une incapacité à res-taurer le signal initial par un simple ltrage passe-bas. La limite haute, permettant

de reconstruire la sinusoïde basse fréquence par ltrage passe-bas est fmax =Fe2.

Ceci constitue le théorème de Shannon qui quantie la limite théorique d'unereconstruction sans pertes d'informations.

Remarque : le théorème de Shannon n'est qu'une condition susante de recons-truction sans pertes puisque, dans le cas d'un signal sinusoïdal, on peut imaginer,lorsque cela est possible, récupérer le contenu spectral (raie en f) par un ltragepasse-bande même si la condition précitée n'est pas vériée.

1.2 Échantillonnage réel

La réalisation pratique de l'échantillonnage idéal nécessiterait de pouvoir créerdes impulsions inniment brèves (Dirac) et qui auraient donc une énergie innie(spectre constant pour chaque raie). Ainsi, il apparaît que le modèle présenté dans lapartie précédente ne saurait représenter nement la transformation réellement subitepar le signal et ne permet qu'une première approche grossière de l'échantillonnageen pratique.

1.2.1 Limites du modèle

Ainsi, dans le cadre de l'étude expérimentale de l'échantillonnage, on travailleraà l'aide d'impulsions carrées de largeur minimale (pour les générateurs basses fré-quences Agilent, la valeur extrême est de quelques ns). Or, le fait d'utiliser de telles

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signaux va avoir pour eet de modier l'amplitude des composantes spectrales dusignal échantillonné (par rapport au résultat attendu dans la théorie). En eet, unesinusoïde échantillonnée via le procédé précédent peut être vue comme le produitde la sinusoïde initiale par un signal carré de période Te et de largeur τ (rapport

cyclique τTe), d'amplitude 1 et centrée en

τ

2Ce signal carré peut, quant à lui s'écrire comme le produit de convolution d'un

peigne de Dirac de période Te convolué avec une porte de largeur τ et d'amplitude1.

Ainsi, sa transformée de Fourier s'écrira :

X(f) =τ

Te.sinc(π.τ.f).

∑k

δ(f − k

Te)

Et donc, le spectre de la sinusoïde échantillonnée s'écrira :

Sreel(f) =τ

Te.sinc(π.τ.f).

∑k

S(f − k

Te)

Remarque : ce résultat peut se démontrer sans faire appel à la notion de distri-bution de Dirac mais en utilisant la décomposition en série de Fourier su signal.

Or, τ Te et donc la pseudo-période du sinus-cardinal est très grande et n'estdonc pas visible à l'analyseur de spectre, comme le montre le schéma de la gure1.1. La seule vérication possible de ceci portera sur l'amplitude des raies commenous le verrons dans la deuxième partie.

Figure 1.1 Spectre du signal echantillonné réel dans le cas d'une sinusoïde

1.2.2 Réalisation

1.2.2.1 Structure

La structure utilisée pour la réalisation de l'échantillonnage est celle de la gure1.2 qui est très simple.

Elle est composée d'un interrupteur commandable et d'une résistance R reliéeà la masse. On ferme l'interrupteur pendant un bref instant à des intervalles ap-pelés intervalles d'échantillonnage. Ces derniers peuvent être xes (fermeture de

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Figure 1.2 Structure générale de l'échantillonneur

l'interrupteur tous les Te période d'échantillonnage) ou variables. Dans le cadre dece montage nous nous limiterons à l'étude de l'échantillonage à intervalles xes. Larésistance R permet de relier la sortie à la masse lorsque l'interrupteur est ouvert.Nous avons donc un signal à temps continu qui est nul quasiment tout le temps saufpendant les durées τ durant lesquelles l'interrupteur est fermé et pour lesquelles lasortie vaut s(t) = R

R+Rdsone(t). La résistance R doit être très supérieure à Rdson (qui

est comme nous le verrons de l'ordre de la dizaine d'ohms) mais pas trop grandepour qu'un courant puisse circuler dans l'interrupteur (l'impédance d'entrée de l'os-cilloscope étant de 1 MΩ) et pas trop faible an de ne pas atteindre un courantmaximal trop important. En pratique nous avons choisi une résistance de 1kΩ.

1.2.2.2 L'interrupteur

Le choix de la technologie Metal Oxyde Semiconductor ou technologie MOS s'estimposé à nous de part la simplicité de sa mise en oeuvre et par le fait que l'impédanceà l'état passant Rdson soit à peu près constante quelle que soit la valeur de latension d'entrée e(t).

Commande de l'interrupteur La commande de l'interrupteur est réalisée parun train d'impulsions espacées de Te et de largeur τ la plus faible possible (pourtendre vers l'échantillonnage idéal. L'amplitude de ces impulsions devait être supé-rieure à une tension de seuil (3V) xée par le constructeur du composant DG303Aque nous avions choisi pour réaliser la fonction interrupteur commandé.

Finalement, le signal obtenu est représenté sur la gure 1.3 :On observe bien des raies "nes" dont les amplitudes à chaque instant corres-

pondent à celle de la sinusoïde au même instant. De plus, la manipulation a ici étéréalisée en synchronisant les deux GBF ensembles et donc, les deux signaux appa-raissent xes. En eet, dans le cas général, les instants de fermeture de l'interrupteurne correspondent pas toujours à la même valeur durant une période du signal.

1.2.2.3 Nécessité du blocage

Nous avons vu que la nalité de l'échantillonnage consiste en une numérisation dusignal analogique pour un traitement quelconque, c'est-à-dire la quantication des

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Figure 1.3 Sinusoïde pure échantillonnée (Fe = 20kHz, f = 1kHz)

valeurs prises par le signal aux diérents instants d'échantillonnage. Cette opérationest réalisée par un Convertisseur Analogique Numérique (qui ne sera pas présenté ici)nécessitent une stabilisation durant une durée minimale du signal, an d'en eectuerle codage sur n bits. On voit alors la nécessité de stabiliser le signal échantillonnéan de permettre sa numérisation.

1.3 Échantillonnage blocage

La solution choisie an d'eectuer cette stabilisation est un bloqueur d'ordrezéro qui aura pour fonction de maintenir le signal échantillonné à sa valeur courantedurant toute une période d'échantillonnage.

1.3.1 Modélisation

L'opération que va donc subir le signal échantillonné créé précédemment peutêtre considérée comme un ltrage linéaire dont la réponse impulsionnelle est uneporte de largeur Te et d'amplitude 1 :

La réponse en fréquence de ce ltre s'écrit donc :

H(f) = Teexp(−jπf.Te).sinc(π.f.Te)

Ce "ltrage" a donc deux conséquences importantes :

introduction d'un retard pur de valeurTe2

distorsion du spectre par multiplication par un sinus cardinalNous verrons par la suite comment ces phénomènes vont détériorer la qualité de

la reconstruction.

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Figure 1.4

1.3.2 Structure

La structure de l'échantillonneur-bloqueur d'ordre 0 utilisé est celle de la gure1.5 :

Figure 1.5 Montage échantillonneur-bloqueur

On remplace donc la résitance placée en sortie de l'interrupteur par une capacitéqui va assurer le maintien de la tension à ses bornes (tension de sortie) durant lesinstants où l'interrupteur sera ouvert. De plus, pour s'assurer que cette capaciténe se décharge pas dans la résitance d'entrée du dispositif placé en aval (unité demesure, CAN, etc), on place un montage suiveur en sortie.

Le dimensionnement des diérents éléments nécessite une étude plus précise dufonctionnement.

1.3.3 Dimensionnement

1.3.3.1 Durée des impulsions

L'analyse de la structure a mis en évidence la nécessité d'une capacité qui main-tient la valeur du signal échantillonné pendant le temps nécessaire à la conversioneectuée par le CAN. Il convient à présent de s'intéresser au régime transitoire pen-dant lequel la capacité se charge et se décharge. En eet, si la durée τ pendantlaquelle l'interrupteur est fermé est insusante pour que la capacité atteigne la va-leur du signal d'entrée à l'instant d'échantillonnage considéré, alors la valeur nalede la tension aux bornes de la capacité (signal échantillonné bloqué) ne correspondrapas à la valeur du signal d'entrée que nous voulions échantillonner. Ceci se traduira

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par un facteur multiplicatif global (<1) entre le signal échantillonné bloqué et lesignal de départ. Ces limitations sont illustrées sur les gures 1.6 et 1.7.

Figure 1.6 Signal échantillonné avec τ = 200ns

Figure 1.7 Signal échantillonné avec τ = 50ns

1.3.3.2 Mesure de Rdson

La mesure de Rdson a été faite à l'aide d'un pont diviseur de tension. Nous avonschoisi une résistance R de 51Ω (mesurée à l'anaylseur d'impédance) et à partir d'une

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tension constante à l'entrée de 10V nous avons mesuré une tension de sortie de 6Vsoit une résistance à l'état passant de 33Ω ce qui correspond bien à la valeur donnéepar le constructeur.

1.3.3.3 Choix de la capacité

La valeur de la capacité doit être choisie telle que sa charge puisse être eectuéeen un temps τ correspondant à la durée d'un pulse, donc au temps durant lequell'interrupteur sera fermé. Il est donc clair que la constante T ( = RDSon.C ) devraêtre faible devant la largeur d'un pic de la commande.

On choisit donc (RDSon = 33Ω) C = 1.5nF , ce qui nous assure un facteur 10entre les deux temps considérés ( on prend τ = 100ns ).

1.3.4 Améliorations

1.3.4.1 Isolation du signal d'entrée

L'impédance de sortie du générateur étant de 50Ω, et celle de l'entrée du circuit àtransitor MOS n'étant pas innie, on place en sortie du générateur un étage suiveuran de ne pas induire d'atténuation du signal (pont diviseur de tension) avant sonéchantillonnage.

1.3.4.2 Impédance de charge

Comme on l'a vu, pour s'aranchir de l'impédance de charge susceptible deprovoquer la décharge de la capacité et donc un mauvais maintien du signal, onplace un autre montage suiveur en sortie de l'échantillonneur-bloqueur.

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Chapitre 2

Restitution, analyse spectrale

2.1 Cadre de l'étude

Nous nous sommes intéréssés jusqu'ici à l'échantillonnage de signaux analogiqueset à leur mise en forme en vue d'une conversion analogique numérique. Une foisnumérisés et après avoir subi des traitements numériques, ces signaux sont à leurtour convertis en signaux analogiques à l'aide d'un bloqueur d'ordre zéro. Nousdisposons alors de signaux ayant la même forme (nous ne nous intéresserons pas icià l'opération de quantication qui est présente dans la pratique) que les signauxéchantillonnés bloqués à l'entrée du convertisseur analogique numérique. Le but iciest de restituer (par ltrage) le signal original. Nous allons donc quantier la perted'information liée à l'échantillonnage bloquage, tant d'un point de vue temporel quefréquentiel et comparer le signal restitué au signal de départ (retard, diminution del'amplitude...)

2.1.1 Le repliement de spectre

Comme il est prévu par la théorie, le repliement de spectre est l'un des phénomèneles plus limitant dans l'échantillonnage. En eet, l'expansion spectrale du signal quel'on souhaite numériser devra nécessairement être inférieure à la moitié de Fe, souspeine d'obtenir un signal complètement dénaturé après reconstruction, comme lemontre la gure 2.1 où l'on a essayé d'échantillonner une sinusoïde de fréquence18kHz à la fréquence Fe = 20kHz. Après reconstruction par ltrage passe-bas,nous nous retrouvons donc logiquement avec une sinusoïde de fréquence 2 kHz (onimagine aisément l'eet sur un signal sonore tel que de la musique) :

An de s'aranchir de ce phénomène, nous avons utilisé un ltre passe-bas (ap-pelé ltre anti-repliement placé en amont de tout le système d'échantillonnage etdont la fréquence de coupure a été choisie de façon à atténuer toutes les fréquencesparasites (non souhaitées, ex : bruit, etc) supérieures à la valeur limite de la bandeutile choisie.

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Figure 2.1 Illustration temporelle du repliement de spectre

2.2 Inuence du ltrage

La reconstitution du signal échantillonné-bloqué nécessite un ltrage passe-bas.Le ltre choisi est un ltre du second ordre, de fréquence de coupure fc = 3kHz.Ce ltre va avoir pour rôle d'éliminer les fréquences supplémentaires introduitespar l'échantillonnage via la périodisation du spectre et le blocage d'ordre 0 an derécupérer le signal analogique initial ou, en tout cas de s'en approcher.

Ce retard va donc introduire une première distorsion du signal reconstruit.

2.3 Inuence de la désynchronisation des généra-teurs

An de créer le signal à échantillonner et le signal d'horloge qui commandel'interrupteur, nous avons utilisés deux GBF qui, dans le cas général n'étaient passynchronisés entre eux. Ceci a pour eet d'échantillonner le signal sinusoïdal à desfractions diérentes de sa période et conduit donc à une variation de l'amplitude dusignal échantillonné bloqué comme l'illustrent les gure 2.2, 2.3 et 2.4 :

Ceci peut également être observé au niveau spectral puisque si l'on se place à la

limite du théorème de Shannon (f =Fe2), où l'on s'attend à voir l'amplitude de la

raie de la sinusoïde initiale et celle de la raie repliée (due à l'échantillonnage) qui

sont confondues pour une sinusoïde de fréquenceFe

2se sommer. On remarque que

l'amplitude du pic à cette fréquence varie au cours du temps. En eet, il s'agit de lasomme de la composante basse fréquence du sinus et de celle du spectre transposépar échantillonnage qui vont, selon le déphasage entre les GBF former aléatoirement

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Figure 2.2 signal échantillonné-bloqué observé avec GBF désynchronisés

Figure 2.3 capture d'écran à un instant donné (achage de l'oscilloscope stopé)

des interférences constructives ou destructives.

2.4 Eet du blocage

Une autre cause de distorsion est le blocage qui, comme on l'a vu, va introduire un

retard constant (de valeurTe2) par rapport au signal initial en plus d'une distorsion

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Figure 2.4 capture d'écran à un instant t2

du spectre en sinus cardinal.

2.4.1 Perte d'information

An de pouvoir visualiser l'eet seul du blocage sur le signal reconstruit, il estnécessaire de le comparer au signal d'entrée, après avoir fait subir à celui-ci lemêmeltrage passe-bas. Il est donc nécessaire d'utiliser deux ltres identiques. Une ma-quette réalisant cette fonction est disponible, sur laquelle sont montés deux ltresdu second ordre de caractéristiques proches sur lesquels les réglages du coecientd'amortissement m et de la fréquence propre non-amortie ω0 sont possibles.

La gure 2.5 montre une acquisition des deux signaux que l'on souhaite comparer.On observe bien que leurs fréquences sont identiques, et qu'il apparaît un retard. La

mesure de ce retard permet bien de vérier la valeur théorique (Te2) :

De plus, on peut, à l'aide d'un analyseur de spectre observer, dans un premiertemps le spectre de la sinusoïde pure an de le comparer à celui du sinus échan-tillonné, puis du sinus échantillonné et bloqué. Les gures 2.6 et 2.7 montrent cesdiérents spectres pour une fréquence de la sinusoïde de 3kHz et une fréquenced'échantillonnage de 20 kHz et un temps de pulse ∆t = 100ns.

On vérie ici que l'on a une périodisation du spectre initial (raie en 3 kHz) autourdes multiples de la fréquence d'échantillonnage (Fe = 20kHz). De plus, il est à noter

que l'amplitude des raies a bien été multipliée parτ

Te.

An de mieux visualiser l'allure et les caractéristiques du sinus cardinal introduitpar l'opération de blocage et que l'on devine sur la gure 2.7 il est intéressantd'observer le spectre obtenu pour un signal d'entrée possédant un spectre plus riche,par exemple un signal carré de rapport cyclique inférieur à 0,5 (on pourrait aussi

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Figure 2.5 Signal initial et signal reconstruit (Fe = 5kHz, f = 1kHz)

Figure 2.6 Comparaison des spectres d'un sinus et d'un sinus échantillonné

utiliser une sinusoïde dont on ferait varier la fréquence (sweep)) comme c'est le cassur la gure 2.8 :

On observe alors de façon plus précise l'enveloppe en sinus cardinal et on vériebien que les fréquences d'annulation sont des multiples de Fe.

2.4.2 Amplitude des raies

An de vérier l'armation vue lors de l'étude des limites du modèle (inuencede la largeur des impulsions brèves), une mesure est eectuée à l'aide d'un analyseur

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Figure 2.7 Spectre d'une sinusoïde échantillonnée-bloquée (Fe = 20kHz, f =3kHz)

Figure 2.8 Spectre d'un signal carré (Fe = 20kHz, f = 1, 2kHz, α = 0.17)

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sur l'amplitude du spectre d'un signal sinusoïdal échantillonné.Les paramètres expérimentaux sont les suivants : amplitude de la sinusoïde : 4 V fréquence d'échantillonnage : Fe = 20kHZ durée d'une impulsion : ∆t = 1µsOn mesure une amplitude de la raie du sinus initial pur de 3,90 V à l'aide de

la fenêtre d'apodisation at-top, contre 79 mV pour la sinusoïde échantillonnée. Onvérie bien que

H0 × A =∆t

Te× A =

1.10−6

5.10−5× 3.7 = 79mV.

où H0 est l'amplitude de la première composante du développement en série deFourier du signal carré de rapport cyclique ∆t

Te.

2.4.3 Quantication de la distorsion (Taux de Distortion Har-monique

Le taux de distorsion harmonique peut permettre de quantier la distorsionintroduite par un processus tel que l'échantillonnage. Ici, l'étude de son évolutionen fonction de la fréquence d'échantillonnage a été réalisée et le tracé de la gure2.9 a été obtenu :

Figure 2.9 Tracé du taux de distorsion harmonique pour une sinusoïde (f =1kHz)

On remarque sans trop de surprise que le Taux de Distorsion Harmonique dimi-nue lorsque la fréquence d'échantillonnage augmente.

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Conclusion

L'échantillonnage de signaux analogiques permet une numérisation des informa-tions et donc leur traitement numérique, ce qui rend ce procédé très utile et trèsutilisé dans la pratique. En eet, sa mise en oeuvre simple permet, comme on l'a vud'obtenir des performances honorables à traitement.

En revanche, cette technique présentant des limitations multiples, telles que lerepliement de spectre, elle n'est pas utilisable dans tous les domaines et notammentles transmissions hautes fréquences (utlisisation encore de nos jours de technologiesanalogiques).

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