par Jérome LAFOND Valorisation économique d’un contrat d

Année Universitaire 2009/2010Année Universitaire 2009/2010Année Universitaire 2009/2010Année Universitaire 2009/2010

Mémoire présentéMémoire présentéMémoire présentéMémoire présenté pour l’obtentionpour l’obtentionpour l’obtentionpour l’obtention

du Diplôme Universitaire d’Actuaire de Strasbourgdu Diplôme Universitaire d’Actuaire de Strasbourgdu Diplôme Universitaire d’Actuaire de Strasbourgdu Diplôme Universitaire d’Actuaire de Strasbourg «««« DUASDUASDUASDUAS »»»»

et du Diplôme du Master et du Diplôme du Master et du Diplôme du Master et du Diplôme du Master mention mention mention mention Finance Finance Finance Finance spécialité spécialité spécialité spécialité «Actuariat et Gestion du Risque»«Actuariat et Gestion du Risque»«Actuariat et Gestion du Risque»«Actuariat et Gestion du Risque»

le 04 octobre 201004 octobre 201004 octobre 201004 octobre 2010

par Jérome LAFOND

Valorisation économique

d’un contrat d’épargne multi-supports

Confidentialité : ■ NON □ OUI (Durée : □ 1 an □ 2 ans) Membres du jury de l’institut des Actuaires : Entreprise : OPTIMINDOPTIMINDOPTIMINDOPTIMIND

_____________________________ Directeur de mémoire en entreprise :

M. Adrien LAFAILLEM. Adrien LAFAILLEM. Adrien LAFAILLEM. Adrien LAFAILLE Membres du jury de l’université de Strasbourg : Invité : Mme Armelle GUILLOU ____________________________ M. Jean-Luc NETZER M. Hansjoerg ALBRECHER M. Philippe ARTZNER M. Frédéric BERTRAND Autorisation de mise en ligne sur un site de Autorisation de mise en ligne sur un site de Autorisation de mise en ligne sur un site de Autorisation de mise en ligne sur un site de Mme Marie-Hélène BROIHANNE diffusion de documents actudiffusion de documents actudiffusion de documents actudiffusion de documents actuarielsarielsarielsariels M. Karl-Théodor EISELE (après expiration de l’éventuel délai de M. Jacques FRANCHI confidentialité) M. Christophe GODLEWSKI Signature du responsable entreprise : M. Bernard HEINKEL M. Nicolas KLUTCHNIKOFF M. Bertrand KOEBEL M. Maxime MERLI M. Patrick ROGER Signature du candidat : Secrétariat : Mme Pierrette XIMENEZ

61 avenue de la Forêt Noire

67085 STRASBOURG

Tél : 03 68 85 20 54

Bibliothèque du PEGE : Tél : 03 68 85 22 23

Valorisation économique d’un contrat d’épargne multi-supports – Jérome LAFOND 2

Remerciements

Avant de commencer tout développement sur mon expérience professionnelle dans la société

d’actuariat conseil OPTIMIND, je tiens à remercier tous ceux qui m’ont permis de rendre ce stage très

profitable.

Ainsi, je remercie Christophe EBERLE, Président d’OPTIMIND, pour m’avoir offert l’opportunité

d’effectuer mon stage de fin d’études au sein de sa société.

De même, je remercie Adrien LAFAILLE pour son encadrement, son suivi et ses conseils pour la

réalisation de ce mémoire.

Je voudrais également remercier Frédérique HENGE, actuaire chargée de la Recherche et du

Développement, pour son aide précieuse sur certains points techniques.

Enfin, mes remerciements s’adressent à tous mes collègues, stagiaires et consultants, qui ont su

m’intégrer dans les différents projets de la société.


Remerciements.................................................................................................................................................................. 2

Résumé ................................................................................................................................................................................ 6

Abstract .............................................................................................................................................................................. 7

Introduction ....................................................................................................................................................................... 8

Partie 1. Le contrat d’épargne multi-supports .................................................................................................. 9

Chapitre 1.Chapitre 1.Chapitre 1.Chapitre 1. Fondamentaux techniquesFondamentaux techniquesFondamentaux techniquesFondamentaux techniques .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 10101010 1.1.1.1. Description générale de l’épargne en assurance vieDescription générale de l’épargne en assurance vieDescription générale de l’épargne en assurance vieDescription générale de l’épargne en assurance vie ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 10101010

1.1. Définition ..................................................................................................................................................................................... 10

1.2. Quelques chiffres en France ................................................................................................................................................. 10

1.3. Les intervenants ....................................................................................................................................................................... 12

1.4. Les supports financiers existant ......................................................................................................................................... 12 2.2.2.2. Fonctionnement d’un contrat d’épargne multiFonctionnement d’un contrat d’épargne multiFonctionnement d’un contrat d’épargne multiFonctionnement d’un contrat d’épargne multi----supportssupportssupportssupports .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 13131313

2.1. Souscription et renonciation ................................................................................................................................................ 13

2.2. Gestion financière .................................................................................................................................................................... 13

2.3. Cotisations .................................................................................................................................................................................. 14

2.4. Structure tarifaire ................................................................................................................................................................... 14 3.3.3.3. Options et garanties des contrats multiOptions et garanties des contrats multiOptions et garanties des contrats multiOptions et garanties des contrats multi----supportssupportssupportssupports ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 14141414

3.1. Taux minimum garanti ............................................................................................................................................................. 14

3.2. Clause de participation aux bénéfices................................................................................................................................ 15

3.3. Option de rachat ....................................................................................................................................................................... 16

3.4. La garantie plancher pour les fonds en unités de compte .......................................................................................... 16

3.5. Droit à l’arbitrage ..................................................................................................................................................................... 17 4.4.4.4. Risques associés aux contrats multiRisques associés aux contrats multiRisques associés aux contrats multiRisques associés aux contrats multi----supportssupportssupportssupports ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 17171717

4.1. Risque lié au comportement des assurés ......................................................................................................................... 17

4.2. Risque des placements financiers ....................................................................................................................................... 18

4.3. Risque de contrepartie ........................................................................................................................................................... 19

4.4. Risque de liquidité .................................................................................................................................................................... 19

4.5. Risque de renonciation ........................................................................................................................................................... 20 5.5.5.5. Conclusion du chapitreConclusion du chapitreConclusion du chapitreConclusion du chapitre .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 20202020

Chapitre 2.Chapitre 2.Chapitre 2.Chapitre 2. RéglementationRéglementationRéglementationRéglementation ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 21212121 1.1.1.1. Réglementations prudentiellesRéglementations prudentiellesRéglementations prudentiellesRéglementations prudentielles ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 21212121

1.1. Le système actuel : Solvabilité I .......................................................................................................................................... 21

1.2. La réforme Solvabilité II ........................................................................................................................................................ 24 2.2.2.2. Uniformisation des normes comptables internationalesUniformisation des normes comptables internationalesUniformisation des normes comptables internationalesUniformisation des normes comptables internationales .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 28282828

2.1. Principes d’application dans le monde assuranciel ........................................................................................................ 28

2.2. Actifs en juste valeur : IAS 32 et IAS 39 ........................................................................................................................... 28


2.3. La norme IFRS 4 « Contrats d’assurance » ....................................................................................................................... 30 3.3.3.3. Conclusion du chapitreConclusion du chapitreConclusion du chapitreConclusion du chapitre .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 30303030

Partie 2. Méthode de valorisation ....................................................................................................................... 31

Chapitre 1.Chapitre 1.Chapitre 1.Chapitre 1. Principes de modélisation stochastique et prospectivePrincipes de modélisation stochastique et prospectivePrincipes de modélisation stochastique et prospectivePrincipes de modélisation stochastique et prospective .................................................................................................................................................................................................................... 32323232 1.1.1.1. Modèles stochastiquesModèles stochastiquesModèles stochastiquesModèles stochastiques .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 32323232

1.1. Des modèles déterministes aux modèles stochastiques .............................................................................................. 32

1.2. Principes...................................................................................................................................................................................... 33 2.2.2.2. Valorisation des passifsValorisation des passifsValorisation des passifsValorisation des passifs ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 33333333 3.3.3.3. Détermination du Best Estimate stochastiqueDétermination du Best Estimate stochastiqueDétermination du Best Estimate stochastiqueDétermination du Best Estimate stochastique ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 34343434 4.4.4.4. Processus de simulationProcessus de simulationProcessus de simulationProcessus de simulation ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 36363636

4.1. Méthode de Monte-Carlo ........................................................................................................................................................ 36

4.2. Modélisation de l’actif stochastique ................................................................................................................................... 37

4.3. Modélisation du passif stochastique .................................................................................................................................. 40 5.5.5.5. Approche Market ConsistentApproche Market ConsistentApproche Market ConsistentApproche Market Consistent ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 40404040 6.6.6.6. Contexte de l’évaluationContexte de l’évaluationContexte de l’évaluationContexte de l’évaluation................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 41414141

6.1. Projections ................................................................................................................................................................................. 41

6.2. Passif ............................................................................................................................................................................................ 42

6.3. Actif............................................................................................................................................................................................... 42

6.4. Interactions ............................................................................................................................................................................... 42 7.7.7.7. Conclusion du chapitreConclusion du chapitreConclusion du chapitreConclusion du chapitre .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 43434343

Chapitre 2.Chapitre 2.Chapitre 2.Chapitre 2. Modèles retenusModèles retenusModèles retenusModèles retenus ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 44444444 1.1.1.1. Méthodologie pour un scénarioMéthodologie pour un scénarioMéthodologie pour un scénarioMéthodologie pour un scénario ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 44444444

1.1. Schéma général de simulation .............................................................................................................................................. 45

1.2. Hypothèses relatives au modèle .......................................................................................................................................... 46 2.2.2.2. Modélisation de l’actifModélisation de l’actifModélisation de l’actifModélisation de l’actif ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 47474747

2.1. Taux courts instantanés ......................................................................................................................................................... 47

2.2. Obligations .................................................................................................................................................................................. 53

2.3. Cours des actions ..................................................................................................................................................................... 54 3.3.3.3. Modélisation du passifModélisation du passifModélisation du passifModélisation du passif ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 57575757

3.1. Mortalité stochastique ............................................................................................................................................................ 57

3.2. Rachats ........................................................................................................................................................................................ 59

3.3. Arbitrage entre fonds Euro et fonds UC ........................................................................................................................... 63 4.4.4.4. Modélisation dynamique des Modélisation dynamique des Modélisation dynamique des Modélisation dynamique des interactions actifinteractions actifinteractions actifinteractions actif----passifpassifpassifpassif .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 69696969

4.1. Allocation stratégique d’actif du fonds Euro ................................................................................................................... 69

4.2. Paiement des prestations ...................................................................................................................................................... 72

4.3. Revalorisation de l’épargne du fonds Euro ....................................................................................................................... 72

4.4. Marge financière....................................................................................................................................................................... 76


Partie 3. Application du modèle avec un portefeuille .................................................................................... 77

Chapitre 1.Chapitre 1.Chapitre 1.Chapitre 1. Implémentation du modèle sur MoSesImplémentation du modèle sur MoSesImplémentation du modèle sur MoSesImplémentation du modèle sur MoSes .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 78787878 1.1.1.1. HypothèsesHypothèsesHypothèsesHypothèses .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 78787878

1.1. Hypothèses du contrat ............................................................................................................................................................ 78

1.2. Hypothèses de projection ...................................................................................................................................................... 79 2.2.2.2. Portefeuilles des assurésPortefeuilles des assurésPortefeuilles des assurésPortefeuilles des assurés .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 79797979 3.3.3.3. Architecture sur MoSesArchitecture sur MoSesArchitecture sur MoSesArchitecture sur MoSes ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 81818181

Chapitre 2.Chapitre 2.Chapitre 2.Chapitre 2. Analyse des résultatsAnalyse des résultatsAnalyse des résultatsAnalyse des résultats .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 83838383 1.1.1.1. Calcul de la provision Best EstimateCalcul de la provision Best EstimateCalcul de la provision Best EstimateCalcul de la provision Best Estimate ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 83838383

1.1. Etude de convergence du résultat ...................................................................................................................................... 83

1.2. Distribution empirique ............................................................................................................................................................ 84

1.3. Détermination d’intervalle de confiance par la méthode Bootstrap ........................................................................ 85 2.2.2.2. Analyse du scénario de référenceAnalyse du scénario de référenceAnalyse du scénario de référenceAnalyse du scénario de référence ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 86868686

2.1. Evolution de la provision mathématique moyenne ......................................................................................................... 86

2.2. Evolution des prestations ...................................................................................................................................................... 87

2.3. Rapprochement du taux servi et du taux cible des fonds Euro .................................................................................. 88

2.4. Evolution des arbitrages entre les fonds .......................................................................................................................... 89 3.3.3.3. Analyse des sensibilitésAnalyse des sensibilitésAnalyse des sensibilitésAnalyse des sensibilités ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 90909090

3.1. Volatilité des actions ............................................................................................................................................................... 90

3.2. Rachats ........................................................................................................................................................................................ 91

3.3. Loi d’arbitrage entre les fonds ............................................................................................................................................. 92

3.4. Composition de l’actif du fonds Euro .................................................................................................................................. 93

3.5. Décalage d’âge des assurés................................................................................................................................................... 95

3.6. Allocation d’actif du fonds Euro ........................................................................................................................................... 95

3.7. Modèle de taux ........................................................................................................................................................................... 98

3.8. Paramètres du modèle de taux ............................................................................................................................................ 99 4.4.4.4. Limites du modèleLimites du modèleLimites du modèleLimites du modèle ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 100100100100 5.5.5.5. ConclusionConclusionConclusionConclusion ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 101101101101

Conclusion ...................................................................................................................................................................... 103

Index des figures ......................................................................................................................................................... 104

Bibliographie ................................................................................................................................................................. 106

Lexique des abréviations............................................................................................................................................ 108

ANNEXE I. Démonstrations concernant le modèle de Cox-Ingersoll-Ross ..................................................... 111

ANNEXE II. Démonstration concernant le modèle de Black et Scholes .......................................................... 114

ANNEXE III. Décomposition de Cholesky ................................................................................................................ 116


Résumé

L’évaluation des contrats d’épargne multi-supports reste un élément clé pour les sociétés d’assurance.

Poussée par les réformes prudentielles avec la directive Solvabilité II et comptables avec les normes

IFRS, la valorisation économique de ce type de passif doit être réalisée le plus justement possible. Il faut

donc avoir recours à des modèles fiables et calibrés précisément afin de représenter au mieux la réalité.

Une valorisation économique et cohérente avec le marché, dite Market Consistent, permet à la

compagnie d’assurance d’avoir une véritable vision sur l’impact des risques qu’elle encourt.

Les différents référentiels ont pour objectif commun de déterminer la provision Best Estimate qui

correspond à la valeur actuelle probable des cash flows futurs avec la meilleure estimation au regard de

l’information disponible.

L’objectif de ce mémoire est de présenter un moyen de calculer cette provision en modélisant les flux de

trésorerie émanant d’un contrat d’épargne multi-supports et en tenant compte des options et garanties

associées à ce produit.

Dans un premier temps, une attention particulière est portée à ce type de contrat, à la réglementation

qui demande ce genre d’évaluation et aux points sensibles des contrats d’épargne multi-supports : les

risques financiers et ceux associés au comportement des assurés.

Par la suite, nous exposons la méthode utilisée pour estimer la valeur économique de ce type de

contrat en ayant recours à des modèles stochastiques et dynamiques.

La modélisation retenue est implémentée dans un outil prospectif de référence dans le milieu actuariel :

MoSes. Elle permettra alors de tenter de déterminer l’impact des paramètres ou hypothèses du modèle

sur la provision Best Estimate.

Mots clésMots clésMots clésMots clés : Valorisation économique, contrats multi-supports, options et garanties, modèles

stochastiques, provision Best Estimate, normes IFRS, Solvabilité II, MoSes, générateur de scénarios

économiques, analyse de sensibilités.


Abstract

The valuation of unit-linked savings contract is a key indicator for life insurance company. Leading by

prudential reforms Solvency II and IFRS standards, economic evaluation of this kind of liabilities has to

be carried out the most exactly possible. We need resort to reliable and precisely graded models.

An economic and market consistent valuation allows company to have clear views about impact of borne

risks.

Standards have the same goal: determining the best estimate of technical reserves which corresponds

to the probability weighted average of future cash-flows.

This report shows a way to calculate the best estimate modeling cash flows from a unit-linked savings

contract bearing options and guarantees in mind.

First, we concentrate on this kind of contracts, on regulations that needs this type of evaluation and on

other points: financial risks and risks linked to insured behavior.

Then, we expose method used to estimate economic value of this kind of contract resorting to stochastic

and dynamic models.

Finally, adopted modeling is implemented on well-known actuarial prospective software: MoSes. It allows

trying to determinate impact of model parameters and assumptions on Best Estimate reserve.

KeywordsKeywordsKeywordsKeywords: Economic value, unit-linked savings contract, options and guarantees, stochastic models,

Best Estimate reserve, IFRS, Solvency II, MoSes, Economic Scenario Generators, sensibility analysis.


Introduction

Dans l’optique d’une diffusion d’informations cohérentes avec le marché, les nouvelles règles

prudentielles avec la directive Solvabilité II, mais aussi comptables avec les normes IFRS et financières

avec l’élaboration de la Market Consistent Embedded Value, encouragent le recours à une valorisation

dite économique des instruments financiers afin de prendre en compte tous les risques encourus par

les sociétés d’assurance.

Cette évaluation n’est pas sans difficulté dans le cas des contrats d’épargne multi-supports de par la

présence d’options et de garanties financières, ainsi que des interactions qui existent entre l’actif et le

passif. La détermination de la valeur économique, et plus précisément de la provision Best Estimate

(valeur actuelle probable des flux futurs actualisés), est donc un exercice qui confronte les assureurs à

la nécessité d’utiliser des modèles dédiés, retranscrivant en une même projection les aléas de

performance des actifs, les comportements des assurés, les politiques de participation aux bénéfices ou

encore les exigences prudentielles et réglementaires.

Pour rendre compte des différentes étapes nécessaires à la valorisation des contrats d’épargne multi-

support, nous allons nous intéresser dans un premier temps aux caractéristiques de ces contrats et à la

législation les concernant. Puis, nous nous pencherons sur la méthode de valorisation en présentant la

modélisation retenue. Enfin, dans une dernière partie, nous effectuerons une analyse de sensibilités afin

de déterminer quel paramètre a un impact significatif sur la provision Best Estimate.

L’outil prospectif MoSes sera utilisé pour modéliser le produit et ainsi projeter les flux futurs.


Partie 1. Le contrat d’épargne multi-supports

L’assurance vie propose des produits souples, différenciés et avantageux fiscalement. Le contrat sur

lequel porte notre étude est un contrat d’épargne multi-supports.

Il convient tout d’abord de présenter les différents éléments importants de ce type de contrat

accompagnés de quelques chiffres illustrant le marché actuel.

Nous nous pencherons ensuite sur la réglementation associée où le recours à la valorisation

économique est nécessaire : la directive Solvabilité II pour les aspects réglementaires et les normes

IFRS pour les aspects comptables.


Chapitre 1. Fondamentaux techniques

1. Description générale de l’épargne en assurance vie

1.1.1.1.1.1.1.1. DéfinitionDéfinitionDéfinitionDéfinition

Le contrat d’assurance vie de type épargne est un placement financier considéré comme un contrat contrat contrat contrat

d’assurance d’assurance d’assurance d’assurance aléatoirealéatoirealéatoirealéatoire au sens du code des assurances. Il est défini comme un « contrat aléatoire par

lequel l’assureur s’engage envers les assurés à couvrir, moyennant le versement d’une somme d’argent

dite prime d’assurance, une catégorie de risques déterminés par le contrat » (article 1964 du code civil).

L'assurance vie repose sur l'approche de capitalisation viagère. En effet, durant la vie du contrat, le

souscripteur ne reçoit pas de revenus, mis à part le versement éventuel des intérêts techniques et de la

participation aux bénéfices. Les produits provenant des primes versées par le souscripteur sont à

chaque fois immédiatement réinvestis et incorporés au montant épargné. Les contrats d'épargne

d'assurance vie ne sont pourtant pas des placements purement financiers puisqu'ils font intervenir à la

fois un paramètre viager et un paramètre financier.

1.2.1.2.1.2.1.2. Quelques chiffres en FranceQuelques chiffres en FranceQuelques chiffres en FranceQuelques chiffres en France

D’après la FFSA, les contrats d’épargne d’assurance vie restent toujours un moyen apprécié pour placer

ses liquidités. En effet, en 2009, ils ont été alimentés par 72 milliards d’euros en France soit plus de

14% par rapport à 2008.

Figure Figure Figure Figure 1111. Collecte en assurance de personnes. (Source : FFSA. Collecte en assurance de personnes. (Source : FFSA. Collecte en assurance de personnes. (Source : FFSA. Collecte en assurance de personnes. (Source : FFSA –––– Rapport annuel 2009Rapport annuel 2009Rapport annuel 2009Rapport annuel 2009))))

99,6 94,2 95,6 103,3117,7

134154,4 152

138,4155

0

50

100

150

200

2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009

Mo

nta

nt

(en

mil

lia

rds

d'e

uro

s)

Année

Evolution de la collecte des assurances de personnes


La collecte en assurance de personnes (tout type de contrat confondu) n’a jamais été aussi importante

depuis 2000 ce qui prouve l’attirance des Français pour l’assurance vie.

Figure Figure Figure Figure 2222. Cotisations des assurances en cas de vie et bons. Cotisations des assurances en cas de vie et bons. Cotisations des assurances en cas de vie et bons. Cotisations des assurances en cas de vie et bons de capitalisation depuis 2000.de capitalisation depuis 2000.de capitalisation depuis 2000.de capitalisation depuis 2000.

(Source : FFSA (Source : FFSA (Source : FFSA (Source : FFSA ---- Rapport annuel 2009)Rapport annuel 2009)Rapport annuel 2009)Rapport annuel 2009)

Les Français restent cependant dans leur majorité très averses au risque et préfèrent placer leur

épargne sur des contrats investis en produits de taux, et plus particulièrement sur des supports

proposant un taux de rendement garanti. Ainsi, la part des cotisations en unités de compte (14% en

2009) reste assez faible par rapport à la part des supports en Euros.

Figure Figure Figure Figure 3333. Comparaison de la part des provisions techniques et encours de. Comparaison de la part des provisions techniques et encours de. Comparaison de la part des provisions techniques et encours de. Comparaison de la part des provisions techniques et encours des fonds s fonds s fonds s fonds EEEEuro et UC depuis 2000uro et UC depuis 2000uro et UC depuis 2000uro et UC depuis 2000....

(Source : FFSA (Source : FFSA (Source : FFSA (Source : FFSA ---- Rapport 2009)Rapport 2009)Rapport 2009)Rapport 2009)

36,3

21,814,8 14,1 16,8

24,4

34,7 34,4

20,4 17,8

48,456,9

64,571,5

81,689

97,7 93,9 92,5

110,9

0

20

40

60

80

100

120

2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009

Mo

nta

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(en

mil

lia

rds

d'e

uro

s)

Année

Cotisations des assurances en cas de vie et bons de

capitalisation

Supports en UC

Supports en euros

136,9 136,4 119,8 131,6 146,3 181,1 225,0 245,2184,8 216,5

677,8 721,5 753,2822,2

897,61000,7

1113,91201,81208,1

1320,0

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009

Pro

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mil

lia

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uro

s)

Année

Comparaison de la part des provisions techniques et encours

des fonds Euro et UC

Supports en UC

Supports en euros


1.3.1.3.1.3.1.3. Les intervenantsLes intervenantsLes intervenantsLes intervenants

Quatre parties interviennent en général dans le contrat d’assurance :

• L’assureurassureurassureurassureur qui s’engage à verser au bénéficiaire le capital constitué en contrepartie de primes

versées (unique ou périodiques).

• Le souscripteursouscripteursouscripteursouscripteur, dont le seul droit durant la vie du contrat est un droit de rachat sur les

montants confiés à l’assureur.

• L’assuréassuréassuréassuré, celui sur lequel repose l’aléa, qui est souvent le même que le souscripteur.

• Le ou les bénéficiairebénéficiairebénéficiairebénéficiaire(s), à qui reviennent les sommes placées sur le contrat en cas de décès de

l’assuré avant l’échéance du contrat.

1.4.1.4.1.4.1.4. Les supports financiersLes supports financiersLes supports financiersLes supports financiers existantexistantexistantexistant

Il existe différents supports d’investissement pour les contrats d’épargne.

Les contrats en euroseuroseuroseuros, parfois désignés par l’appellation « contrats en devises », se caractérisent par le

fait que leur garantie est exprimée en euros. Ces contrats sont les produits les moins risqués pour

l’assuré. Les fonds dédiés à ces contrats sont librement gérés par l’assureur (sous contraintes

réglementaires) et sont majoritairement investis en obligations. La valorisation de ces contrats est

toujours positive, avec garantie du capital à tout moment.

Un contrat en unités de compteunités de compteunités de compteunités de compte, quant à lui, se caractérise par une garantie exprimée par un nombre

de parts. Les fonds sont investis sur le support financier correspondant (OPCVM, actions…).

Durant la vie du contrat, la valeur liquidative évolue à la hausse ou à la baisse en fonction de l’évolution

des marchés. Il n’y a en général pas de garantie sur le capital lors du paiement de la prestation (en cas

de rachat ou décès).

Les contrats d’assurance vie multi-supports sont composés d’une partie support euros et d’une autre

partie supports en unités de compte qui peuvent être différentes. Suivant les contrats, la répartition de

l’investissement est totalement libre ou suit un profil de gestion traduisant un niveau de risque :

prudent, équilibré ou dynamique par exemple. Le souscripteur confie alors à l’organisme d’assurance le

soin de gérer son épargne suivant les répartitions définies. Il peut aussi avoir le choix d’arbitrer entre

ces différents fonds.


2. Fonctionnement d’un contrat d’épargne multi-supports

2.1.2.1.2.1.2.1. Souscription et renonciationSouscription et renonciationSouscription et renonciationSouscription et renonciation

La durée d’un contrat d’épargne est généralement fixée à plus de 8 ans, afin d’optimiser la fiscalité

applicable aux plus-values obtenues. Au-delà de cette période, les contrats sont tacitement

reconductibles année après année en préservant l’antériorité fiscale acquise en date de souscription.

Dans tous les cas, au décès de l’assuré, le contrat prend fin lors du versement de l’épargne constituée

aux bénéficiaires.

L’assuré dispose d’un délai de 30 jours, à compter de la date de remise de la notice d’information de son

contrat, pour renoncer à sa souscription. Cette disposition pousse la plupart des assureurs à ne

permettre l’investissement sur les supports en unités de compte qu’une fois ce délai de renonciation

expiré. Les sommes versées sont ainsi temporairement investies sur un support monétaire d’attente

avant d’être arbitrées sur les supports choisis.

2.2.2.2.2.2.2.2. Gestion financièreGestion financièreGestion financièreGestion financière

Les produits actuels des principales compagnies du marché français proposent un large choix de

supports d’investissements diversifiés tant dans les classes d’actif investies que géographiquement

(Union européenne, pays émergents…).

Depuis peu, les compagnies d’assurance ne se limitent plus aux seuls supports proposés par leurs

propres sociétés de gestion d’actif mais étendent leur offre aux différents gérants de la place. Outre les

supports classiques, les assureurs proposent également des fonds à formule ou à fenêtre dont les

performances offrent un niveau minimum de protection du capital sur un horizon de détention prédéfini

et dont les performances sont calculées à partir des rentabilités d’un panier d’indices de référence.

Malgré ce large choix, il est à noter qu’il reste très peu courant de pouvoir investir son épargne en titres

obligataires directs.

Les assurés peuvent le plus souvent choisir entre trois grands modes de gestion :

• la gestion personnelle ou gestion libre qui laisse une totale liberté d’investissement,

• les gestions profilées, pour lesquelles les versements sont investis entre différents supports

selon une clé de répartition reflétant le goût pour le risque de l’épargnant (prudent, équilibré,

dynamique…) et dont l’épargne est rebalancée périodiquement pour ne pas dévier de cette

allocation d’actif cible. Certains assureurs proposent des profils de gestion qui visent à

sécuriser progressivement l’épargne des assurés et dont les poids varient sur un horizon de

détention donné.


• les gestions pilotées pour lesquelles l’assuré donne mandat à l’assureur pour construire

l’allocation lui paraissant optimale selon les conditions de marché.

2.3.2.3.2.3.2.3. CotisationsCotisationsCotisationsCotisations

Les cotisations peuvent être réalisées sous différents formes. Elles peuvent être périodiques, dans ce

cas le souscripteur verse à intervalles réguliers des montants préalablement définis. Ces versements

n’ont pas un caractère obligatoire. En outre, il peut s’agir aussi d’une prime unique lors de la

souscription. Enfin, les cotisations peuvent être augmentées par des versements libres à la convenance

du souscripteur.

2.4.2.4.2.4.2.4. StStStStructure tarifairructure tarifairructure tarifairructure tarifaireeee

Les frais relatifs aux contrats d’épargne multi-supports peuvent atteindre des niveaux très différents

selon les compagnies d’assurance.

Les frais d’acquisition ou frais d’entrée, sont prélevés pour chaque versement (majoritairement entre

0% à 5% du montant versé).

Les frais de gestion et d’administration, généralement compris entre 0,5% et 1% par an et prélevés sur

l’encours, permettent de prendre en charge le coût de la gestion des contrats et des placements des

fonds.

Les frais d’arbitrage vers d’autres fonds s’appliquent au montant de l’épargne transféré. Ils varient

fortement en fonction du produit et peuvent atteindre 2%. Certaines compagnies offrent un certain

nombre d’arbitrages gratuits par an.

Enfin, l’assureur se rémunère en cas de rachat en mettant en place des pénalités de rachat suivant

l’ancienneté. Toutefois, cette technique est de plus en plus souvent abandonnée.

3. Options et garanties des contrats multi-supports

3.1.3.1.3.1.3.1. Taux minimum garantiTaux minimum garantiTaux minimum garantiTaux minimum garanti

Lors de la souscription d’un contrat d’épargne multi-supports, le contrat indique un taux de rendement

annuel de l’épargne minimum, appelé taux minimum garanti. Il est fixé lors de la souscription.


Les articles A132-2 et A132-3 modifiés par un arrêté du 7 juillet 2010 du code des assurances

contraignent les possibilités données aux assureurs en matière de taux minimum garantis. Il ne leur est

ainsi pas permis de garantir un taux de revalorisation minimale supérieur au minimum entre 150% du

taux d’intérêt technique maximal par référence à 75% du taux moyen des emprunts d’Etats à la date

d’effet de la garantie et la plus élevée des deux taux suivants :

• 120% de ce même taux d’intérêt technique maximal,

• 110% de la moyenne des taux moyens servis aux assurés lors des deux derniers exercices

précédant immédiatement la date d’effet de la garantie.

Cette réglementation a pendant longtemps été détournée par les acteurs du marché Français qui ont

souvent proposé des taux minimum garantis plus élevés que le minimum réglementaire, par exemple sur

des durées plus courtes qu’une année. Ces pratiques ont été plusieurs fois condamnées par l’Autorité de

Contrôle Prudentiel qui, devant la faible retenue dont ont fait preuve les assureurs, a durci son discours

à partir de 2008 et a fini par avertir plusieurs établissements de la place en 2009.

3.2.3.2.3.2.3.2. ClauseClauseClauseClause de participation aux bénéde participation aux bénéde participation aux bénéde participation aux bénéficesficesficesfices

L’article L331-3 du code des assurances indique que « les entreprises d'assurance sur la vie ou de

capitalisation doivent faire participer les assurés aux bénéfices techniques et financiers qu'elles

réalisent. »

La réglementation prudentielle interdit aux assureurs de garantir des taux élevés de revalorisation de

l’épargne. En effet, les taux d’intérêts techniques sont limités. Le législateur a donc introduit un

mécanisme dit de participation aux bénéfices dont l’objectif est de faire en sorte que les bénéfices

attendus de l’assureur, en raison des mesures de prudence imposées, soient en partie réservés aux

assurés. Ainsi, il existe un minimum réglementaire de participation des assurés aux bénéfices.

Aujourd’hui, la plupart des contrats d’assurance vie comporte une clause contractuelle de participation

aux bénéfices.

• Participation aux bénéfices réglementaire :

Le calcul se fait au niveau global du fonds Euro, et non contrat par contrat. La rémunération globale de

la compagnie est au maximum égale à 15 % du résultat financier (hors produits financiers sur fonds

propres) et 10 % du résultat technique (c’est-à-dire, le résultat lié à la mortalité et à la gestion).

• Participation aux bénéfices contractuelle :

La participation aux bénéfices peut être définie au niveau du contrat ou d’un ensemble de contrats. Une

analyse précise des clauses contractuelles de participation des assurés aux bénéfices doit donc être

réalisée lors de la souscription.


• Modalités d’attribution de la Participation aux bénéfices :

La participation aux bénéfices peut être attribuée selon deux modes :

o L’attribution directe : par l’augmentation des prestations futures, à travers l’augmentation des

provisions.

o L’attribution différée : par la mise en réserve au sein de la provision pour participation aux

excédents. Dans ce cas, l’assureur a l’obligation de la redistribuer au terme d’une durée de 8

ans, selon la règle FIFO (First In First Out).

3.3.3.3.3.3.3.3. OptiOptiOptiOption de rachaton de rachaton de rachaton de rachat

Si le souscripteur désire recevoir une partie ou la totalité de son épargne avant le terme du contrat,

plusieurs choix se proposent à lui :

• Il peut effectuer un rachat partielrachat partielrachat partielrachat partiel qui correspond au versement par l’assureur d’une fraction du

capital constitué par le souscripteur. La partie restante continue à être investie.

• Le souscripteur a aussi le choix d’un rachat totalrachat totalrachat totalrachat total qui correspond au versement total par l’assureur

de l’épargne constituée. Un rachat total met fin au contrat.

• Enfin, l’avanceavanceavanceavance permet au souscripteur d’obtenir une partie de son épargne sans mettre fin au

contrat. Elle correspond à un prêt consenti par l’assureur qui devra être remboursé par le

souscripteur avant la date d’échéance et selon des conditions fixées par l’assureur.

3.4.3.4.3.4.3.4. La garantie plaLa garantie plaLa garantie plaLa garantie plancher pour ncher pour ncher pour ncher pour les fondsles fondsles fondsles fonds en unitéen unitéen unitéen unités de comptes de comptes de comptes de compte

Contrairement à la partie euro des contrats multi-supports qui proposent un taux minimum garanti de

0% minimum, le risque des supports en unités de compte est entièrement supporté par l’assuré si

aucune garantie annexe n’est spécifiée. En effet, c’est le nombre d’unités de compte qui est garanti et

non la valeur de ces parts.

Lorsque la garantie planchergarantie planchergarantie planchergarantie plancher est proposée pour le fonds en UC, un montant minimal de prestation,

appelé plancher, est garanti. Généralement, l’événement qui conditionne cette garantie est le décès de

l’assuré, parfois l’entrée en état de dépendance.


3.5.3.5.3.5.3.5. DDDDroit roit roit roit àààà l’arbitragel’arbitragel’arbitragel’arbitrage

L’arbitrage arbitrage arbitrage arbitrage est un élément essentiel à prendre en compte dans les contrats multi-supports. Par ce

biais, le souscripteur a la possibilité de transférer des montants entre le fonds Euro et les fonds en UC.

Ceci, lui permet, au fil du temps, de revoir sa position d’appréciation du risque et ainsi de changer les

pondérations.

4. Risques associés aux contrats multi-supports

Le niveau de risque d’un contrat d’épargne dépend des options et garanties financières présentes dans

ce contrat.

4.1.4.1.4.1.4.1. Risque Risque Risque Risque lié aulié aulié aulié au comportement des assuréscomportement des assuréscomportement des assuréscomportement des assurés

Ce risque est lié au comportement des assurés en termes de rachats, arbitrages, transformations,

prorogation qui peut influencer considérablement les cash-flows du passif. Ce comportement peut

dépendre :

• de caractéristiques socioprofessionnelles (âge, profession, …),

• de la situation économique actuelle (évolution de la fiscalité, …),

• du mode de commercialisation du contrat,

• de la concurrence (interne ou externe),

• de l’environnement institutionnel,

• de l’inertie du portefeuille et de la croissance,

• de la démographie,

• de la performance financière affichée.

De manière générale, le risque de comportement survient en cas de modification sensible du

comportement des assurés qui provoque une modification importante des flux futurs estimés des

contrats. En effet, cela se traduit par une modification de la durée et de la survenance des flux du passif.

En toute logique l’assureur doit alors adapter son allocation d’actifs pour une meilleure adéquation des

flux de l’actif et du passif. Il peut dans ce cadre se trouver contraint à vendre des actifs et

éventuellement à comptabiliser des moins-values.


4.2.4.2.4.2.4.2. Risque des placements financiersRisque des placements financiersRisque des placements financiersRisque des placements financiers

• Risque de taux :

Il s’agit des risques liés aux variations des taux d’intérêts sur le marché obligataire.

� En cas de baissebaissebaissebaisse des taux, le risque de réinvestissementréinvestissementréinvestissementréinvestissement :

En cas de baisse des taux, les flux sont investis ou réinvestis à un taux de plus en plus bas. L’assureur

risque alors de ne pas pouvoir faire face aux engagements de taux qu’il a proposés aux clients à cause de

l’insuffisance de rendement financier. En d’autres termes, l’arrivée à l’échéance d’une obligation conduit

la compagnie d’assurance à procéder à un réinvestissement du nominal remboursé. Cependant, en cas

de baisse des taux, l’entreprise ne trouvera pas de placements (à niveau de risque inchangé) aussi

rentables que le précédent. Ceci implique que nous pouvons obtenir un différentiel négatif entre le taux

de rendement des placements et le taux garanti aux assurés. Ce différentiel diminuera d’autant plus

rapidement que la durée moyenne de détention des placements est inférieure à la durée des

engagements.

Le risque de ne plus pouvoir couvrir les frais de structure et de fonctionnement est aussi un élément

majeur à prendre en compte dans ce type de risque. En effet, la rémunération peut devenir inférieure au

coût de structure.

� En cas de haussehaussehaussehausse des taux, le risque d’exigibilitéexigibilitéexigibilitéexigibilité :

Il s’agit du risque d’avoir à céder les obligations avant leur remboursement, alors que ces obligations

sont en moins-value par rapport à leur prix d’achat. En effet, si les taux d’intérêts ont augmenté, les

obligations achetées antérieurement sont en moins-value latente. Dans ce cas, les sociétés peuvent être

amenées à réaliser des moins-values si elles doivent céder des obligations pour couvrir d’éventuelles

impasses de trésorerie. Si la réserve de capitalisation est insuffisante, elles peuvent se trouver face à

des insuffisances de rendement pour revaloriser les contrats au même niveau que ceux des compagnies

récentes et pour limiter les comportements de rachat anticipé. Ce risque est très important lorsque

l’option de rachat est possible.

En effet, une hausse des taux rapide, marquée et durable peut être une crainte pour la compagnie

d’assurance vie. Dans un tel scénario, les événements s’enchaînent. Ainsi, après la hausse des taux, la

concurrence s’intensifie. Les placements réglementés, tels que le Livret A, deviennent davantage

attractifs et proposent un taux plus élevé. De nouveaux acteurs entrent sur le marché de l’assurance vie

et se lancent dans la conquête de parts de marchés en proposant des taux de rémunération intéressant

pour le fonds Euro. Les assureurs plus anciens sont alors dans l’obligation de puiser dans leur provision


pour participation aux bénéfices pour maintenir un taux de rentabilité suffisant. Si les taux se

maintiennent à de haut niveau, les assureurs épuisent cette provision et n’arrive plus à servir un taux de

rendement compétitif vis-à-vis des nouveaux entrants. Ces taux faibles servis chez les assureurs les

plus anciens impliquent des vagues de rachats massifs ou d’arbitrages vers les fonds UC. Afin de

continuer à payer les prestations, les assureurs sont dans l’obligation de réaliser des moins-values

obligataires qui engendrent une importante baisse des produits financiers une fois la réserve de

capitalisation épuisée. Dans ce cas, le produit devient encore moins compétitif. Si les produits financiers

deviennent nuls voire négatifs, les assureurs devront honorer leurs engagements au taux technique de

0% ce qui engendrera des pertes pouvant mettre en cause la solvabilité de la société d’assurance.

• Risque de baisse du marché des actions :

La baisse du marché des actions entraîne une insuffisance de rendement financier (avec un risque de

devoir doter la provision pour dépréciation durable et la provision pour risque d’exigibilité des

engagements techniques).

La baisse de la performance financière se répercute sur les taux servis aux assurés et peut entraîner

des comportements de vagues de rachat ou d’arbitrage qui vont contraindre l’assureur à céder les

actions « au mauvais moment ».

4.3.4.3.4.3.4.3. Risque de contrepartieRisque de contrepartieRisque de contrepartieRisque de contrepartie

Il s’agit en fait du risque de mauvaise diversification des placements. En effet si la répartition des

placements est trop concentrée sur des actifs de certaines sociétés, la compagnie va faire face au

risque de défaut de sa contrepartie. Concernant l’immobilier, nous pouvons aussi noter le risque de ne

pas percevoir des loyers.

4.4.4.4.4.4.4.4. Risque de liquidiRisque de liquidiRisque de liquidiRisque de liquiditététété

Le risque de liquidité correspond pour l’assureur à l’impossibilité de céder un actif sur les marchés.

Certaines classes d’actifs comme l’immobilier peuvent être ponctuellement illiquides.


4.5.4.5.4.5.4.5. Risque de renonciationRisque de renonciationRisque de renonciationRisque de renonciation

La réglementation autorise les assurés à renoncer à leur contrat dans un délai de 30 jours consécutifs à

l’adhésion. Pour se protéger, lors de la conclusion du contrat, les assureurs n’investissent pas

directement sur le fonds choisi par l’assuré. En effet, les sommes sont temporairement investies sur

des fonds moins risqués durant le premier mois.

5. Conclusion du chapitre

Poussées par la concurrence, les compagnies d'assurance veulent proposer de nouveaux produits à

leurs clients en ajoutant de nouvelles options et garanties. Cependant, l'ajout de nouvelles clauses est

souvent une charge non négligeable que l'assureur devra prendre en compte dans la valorisation du

produit. Dans les contrats multi-supports, les arbitrages sont un exemple d'options données à l'assuré.

Toutefois, cette option ne représente pas un vrai risque pour l'assureur puisque, dans la plupart des

cas, des frais additionnels sont prélevés sur les montants transférés. Cependant, l'option du taux

minimum garanti sur le fonds en Euro aura un impact plus important sur la valeur du produit.

Les référentiels prudentiels et comptables demandent alors une estimation précise du coût de ces

options et garanties.


Chapitre 2. Réglementation

Les sociétés d’assurance ont pour objectif d’évaluer de la manière la plus juste possible leurs activités

afin de rester compétitives, d’avoir une bonne maîtrise des risques et de rester ainsi solvables.

1. Réglementations prudentielles

L’exigence de solvabilité est forte en raison du cycle de production inversé de l’assurance (encaissement

des primes dès le début, versement possible de la prestation plus tard).

La solvabilité d’une compagnie d’assurance correspond à son aptitude à régler ses engagements.

Lorsque ses valeurs d’actif sont insuffisantes ou ne peuvent être réalisées en temps voulu (liquidité)

pour régler les sinistres survenus, la compagnie est qualifiée d’insolvable.

La solvabilité dépend prioritairement de la constitution de réserves techniques. Celles-ci doivent être

suffisantes pour faire face aux engagements contractés. Les exigences de fonds propres doivent être à

même de viser à protéger les droits des assurés.

Depuis 2002, les assureurs doivent se référer aux normes de Solvabilité I. Celles-ci reprennent les

directives européennes de 1973 et 1979. La réglementation va évoluer en 2013 avec la mise en place

de la réforme Solvabilité II.

1.1.1.1.1.1.1.1. Le système actuelLe système actuelLe système actuelLe système actuel : Solvabilité I: Solvabilité I: Solvabilité I: Solvabilité I

Solvabilité I impose aux entreprises pratiquant des opérations d’assurance et de capitalisation de

disposer à tout moment d’une marge de solvabilité destinée à amortir les effets d’éventuels événements

économiques défavorables. La marge de solvabilité correspond à la richesse de l’entreprise. Elle doit

être supérieure à l’exigence de marge de solvabilité réglementaire. Il s’agit du montant en dessous

duquel la marge de solvabilité ne doit pas descendre.

La réglementation française et Solvabilité I fixent plusieurs règles, notamment :

• des exigences de composition des actifs et de couverture des engagements par des actifs

adéquats,

• la présentation annuelle d’un rapport de solvabilité spécifique et d’un rapport de réassurance,


• la réalisation chaque trimestre de simulations normalisées permettant de juger de l’adéquation

actif-passif,

• la détermination d’un niveau minimum de fonds propres.

1.1.1. Besoin en fonds propres

L’article R334-13 du code des assurances définit les exigences de fonds propres réglementaires

imposées aux compagnies à des fins de solvabilité. Pour les contrats d’assurance vie de type épargne

multi-supports, ce montant d’exigences minimales se monte :

• à 4% des provisions mathématiques représentatives d’engagements sur les fonds en euros,

• et à 1% des provisions mathématiques de la part en unités de compte des contrats.

Cette distinction provient de l’ampleur du risque actif/passif porté par la compagnie, important pour le

fonds en euros. Il en résulte, à structure de frais comparable, une rentabilité sur capitaux propres

nettement plus élevée pour les supports en UC que pour le fonds Euro, ce qui pousse les assureurs à des

politiques commerciales d’incitation à la souscription de supports UC. A ces montants s’ajoute une

fraction des capitaux sous risques des éventuelles garanties décès, obligatoire ou optionnelles

proposées (0,10% pour les couvertures d’une durée inférieure à 3 années, 0,15% entre 3 et 5 années,

0,30% au-delà de 5 ans).

Selon la réglementation, la marge de solvabilité doit être supérieure à la marge de solvabilité

réglementaire et au fonds de garantie. Sinon, l’autorité de contrôle peut demander de constituer un plan

de redressement ou sanctionner la compagnie.

1.1.2. Allocation d’actif

L’article R332-2 du code des assurances liste les éléments d’actif éligibles en représentation des

engagements réglementés afin de répondre à l’objectif de détention d’actifs sûrs, diversifiés, liquides et

rentables.

• Règles de limitation :

La diversification de l’allocation d’actif des sociétés d’assurance est réglementée par l’article R332-3

qui fixe un poids maximal pour chaque classe de l’allocation d’actif :

o aucune limite pour les titres obligataires,


o 65% pour l’ensemble des valeurs mobilières de type action,

o 40% pour les immeubles et assimilé,

o 10% pour l’ensemble des prêts et des dépôts.

• Règles de dispersion :

Simultanément aux règles de limitation, l’article R332-3-1 impose des règles de dispersion pour éviter la

concentration de titres d’un même émetteur dans l’allocation d’actif :

o 5 % pour l’ensemble des valeurs émises et des prêts obtenus par une même entreprise à

l’exception des valeurs émises ou garanties par un État membre de l’OCDE (en direct ou via un

OPCVM composé exclusivement de ces valeurs). Le ratio de 5 % peut être porté à 10 % si la

valeur de l’ensemble des titres admis au-delà de ces 5 % n’excède pas 40 %,

o 10 % pour un même immeuble ou pour les parts d’une même société immobilière ou foncière,

o 0,5 % pour les FCPR, les FCP, les actions non cotées et les titres participatifs émis par une

même société ou un même fonds

.

• Pratiques habituelles du marché :

Les allocations d’actifs des fonds en euros des compagnies du marché français peuvent différer assez

sensiblement, néanmoins, il peut sembler réaliste de considérer que l’ordre de grandeur de la part de la

poche obligataire et des produits de taux avoisine les 80% du total de l’actif et qu’actions et immobilier

comptent pour environ 10% chacun.

Cette allocation type traduit une évolution récente dans les pratiques des entreprises d’assurance avec

une tendance à une diminution de la part actions dans l’allocation. Ce constat peut s’expliquer, d’une part

du fait des performances mitigées observées sur les grands marchés actions depuis une dizaine

d’années, avec en particulier les baisses marquées des années 2001/2003 et 2007/2009. D’autre part,

il peut s’expliquer comme une anticipation de l’application de la réforme prudentielle Solvabilité II qui,

dans sa version actuelle, attribue une charge en fonds propres élevée pour la détention d’actions.


1.2.1.2.1.2.1.2. La réforme Solvabilité IILa réforme Solvabilité IILa réforme Solvabilité IILa réforme Solvabilité II

1.2.1. Critiques de Solvabilité I

Solvabilité I inspire quelques critiques quantitatives et qualitatives.

Sur le plan quantitatif, Solvabilité I tient compte uniquement du risque souscription. Elle ignore par

exemple le risque de marché. Actuellement la marge de solvabilité réglementaire (MSR) des organismes

assureurs est mesurée sur la base du volume d’affaires souscrites, sans prendre en compte de manière

actuarielle les risques réellement encourus.

De plus les exigences de solvabilité sont déterminées de façon forfaitaire en fonction des provisions, des

primes et des sinistres. Aucune distinction n’est faite entre deux compagnies exposées à des risques

différents ou disposant de processus de gestion et de conformités différents.

Solvabilité I a également l’inconvénient de reposer sur une vision rétrospective et dans les faits, le

passé n’est pas toujours le meilleur estimateur du futur.

Enfin, ces règles pénalisent le sur-provisionnement au lieu du sous-provisionnement, ce qui peut

apparaitre contradictoire avec la prudence.

Sur le plan qualitatif, Solvabilité I n’exerce aucune surveillance sur le contrôle interne. D’autre part, la

prise en compte des nouvelles techniques financières est insuffisante.

Afin de créer un véritable marché unique, il est apparu fondamental de moderniser les règles mais

également d’harmoniser les pratiques de mise en œuvre par les autorités de contrôle au niveau

européen.

1.2.2. Objectifs

Le projet Solvabilité II est piloté par la Commission européenne. Son objectif est de refondre les règles

de solvabilité existantes en Europe pour l’assurance et la réassurance vie et non vie.

Structurée autour de trois piliers, Solvabilité II a pour ambition de réviser en profondeur la

réglementation des compagnies d’assurance en Europe. Ce régime repose sur une approche prospective

des risques. L’accent est également mis sur la gestion des risques.

Les principaux enjeux de cette réforme sont les suivants :

• mieux rendre compte de l’exposition réelle aux différents risques,

• améliorer la protection des assurés,


• mettre en place une norme homogène dans ses principes et ses applications au niveau européen,

• renforcer la cohérence pour l’ensemble des institutions financières.

La réforme de Solvabilité II s’oriente vers une nouvelle culture de la gestion du risque :

• Elle adopte une vision économique du bilan.

• Elle apprécie la solvabilité globale des compagnies.

• Elle vise une approche intégrée des risques encourus par la compagnie.

1.2.3. Un référentiel en trois piliers

La réforme de la solvabilité se fonde sur une structure à 3 piliers, inspirée des directives Bâle 2 pour les

établissements bancaires :

• pilier 1 : Exigences quantitatives en capital,

• pilier 2 : Activités de contrôle et exigences qualitatives,

• pilier 3 : Exigences d’information et de publicité.

Figure Figure Figure Figure 4444.... L'architecture de Solvabilité IIL'architecture de Solvabilité IIL'architecture de Solvabilité IIL'architecture de Solvabilité II sous forme de piliersous forme de piliersous forme de piliersous forme de pilierssss....

• Actifs et passifs :

évaluation market

consistent

• Investissements

• SCR Formule standard ou

Modèle interne

• MCR

• Eléments Eligibles

• Système de gouvernance

• ORSA

• Contrôle prudentiel

• Interventions de l’autorité de contrôle

• Public disclosure : Rapport annuel de solvabilité

• Informations à fournir pour le contrôle

Pilier II

Surveillance prudentielle

Pilier III

Discipline de marché

Pilier I

Exigences quantitatives


• Pilier 1 : Exigences quantitatives en capital

Le premier pilier vise à définir les règles quantitatives dans trois domaines :

o Les provisions techniques avec un objectif d’harmonisation de leur valorisation.

o L’exigence de capital ; deux niveaux de capital sont déterminés :

� Le minimum de capital requisminimum de capital requisminimum de capital requisminimum de capital requis ou MCR (en anglais, Minimum Capital Requirement)

déterminé suivant un calcul simplifié et identique pour toutes les compagnies.

� Le capital de solvabilité requiscapital de solvabilité requiscapital de solvabilité requiscapital de solvabilité requis ou SCR (en anglais, Solvency Capital Requirement) dont

le calcul repose soit sur l’utilisation d’une formule standard (basée sur des facteurs et

des modules de risque) soit sur l’utilisation d’un modèle interne retraçant la situation

propre de chaque compagnie.

o La définition et les règles d’éligibilité des éléments de fonds propres.

Ce premier pilier s’attache donc à établir des outils de mesure de la « suffisance » des provisions

techniques. Il formule également une harmonisation des principes de calcul entre les différentes

compagnies européennes.

Figure Figure Figure Figure 5555.... Bilan Bilan Bilan Bilan économique économique économique économique sous Solvabilité IIsous Solvabilité IIsous Solvabilité IIsous Solvabilité II

ACTIFS

en valeur de marché

SCR

Surplus

Valeur Mark to

Market

Marge pour risque

Best estimate

MCR

Risques réplicables Risques non réplicables


• Pilier 2 : Activités de contrôle et exigences qualitatives

Le deuxième pilier vise à définir les rôles et responsabilités de la gouvernance. Les entreprises

d’assurance et de réassurance doivent mettre en place un système de gouvernance et de contrôle

efficace, pour garantir une gestion proactive de leur activité. De plus, elles doivent procéder à

l’évaluation de leur besoin global de solvabilité dans le cadre de leur système de gestion des risques.

Enfin, il donne aux autorités de contrôles, un droit de regard sur l’ensemble de la gestion et du

fonctionnement d’un organisme assureur.

• Pilier 3 : Exigences d’information et de publicité

Le troisième pilier étudie les éléments d'information devant être publiés par les entreprises

d'assurance :

o information publique dans le cadre de la discipline de marché,

o information à l’usage des superviseurs (dossier annuel),

o règles d'information des assurés.

1.2.4. Etudes quantitatives d’impact

Les QIS (Quantitative Impact Studies) sont des études menées par le CEIOPS pour évaluer les

conséquences financières de la directive Solvabilité II.

Les différentes autorités de contrôles européennes demandent aux sociétés d’assurance de participer à

ses études afin de collecter des informations sur l’adéquation des différents calculs, l’impact probable

de Solvabilité II sur le bilan et sur le calibrage des méthodes de détermination du SCR et MCR. Elles

permettent ainsi de mieux préparer le marché à la mise en place de la réforme.

• Le QIS 1 a eu lieu à l’automne 2005. Il a principalement permis de comparer les provisions

techniques calculées par les compagnies avec la valorisation des engagements décomposée en

un Best Estimate et une marge de risque.

• Le CEIOPS a lancé le QIS 2 au début de l’année 2006. La principale information fut qu’en

moyenne, le niveau de provisionnement diminue avec Solvabilité II du fait de l’introduction de

facteurs d’actualisation adaptés aux conditions de marché.

• Le QIS 3 a été organisé en avril 2007. Il ne s’agit plus d’une simple approche comme pour les

deux QIS passés, mais vraiment d’une étude approfondie. Il a permis de noter que quelques


améliorations étaient encore à effectuer, par exemple pour la méthode de calcul du MCR. Il a

souligné en outre une hétérogénéité dans les résultats à cause des modalités de calcul non

explicites pour le calcul du Best Estimate. Enfin, la prise en compte des facteurs d’atténuation a

été définie comme « floue ».

• Le QIS 4 s’est déroulé d’avril à juillet 2008. Les réponses du marché français ont augmenté de

plus de 50% par rapport à l’étude précédente, ce qui montre que l’enjeu de Solvabilité II est bien

compris par les professionnels français. Le QIS 4 s’est penché davantage sur la calibration et la

structure du calcul du MCR ainsi que sur les modèles internes.

• L’exercice du QIS 5 se déroule d’août à octobre 2010 (mi-novembre pour les groupes) sur la

base des spécifications techniques publiées en juillet. Il s’agit de la dernière étude quantitative

d’impact avant la mise en place de la réforme en 2013. Elle permet de tester l’impact des

derniers ajustements du modèle et de mesurer l’impact du calibrage nécessairement revu suite

à la crise de 2008.

2. Uniformisation des normes comptables internationales

2.1.2.1.2.1.2.1. Principes d’application dans le monde assurancielPrincipes d’application dans le monde assurancielPrincipes d’application dans le monde assurancielPrincipes d’application dans le monde assuranciel

Les normes IFRS sont des normes comptables internationales élaborées par l’IASB (International

Accounting Standards Board) destinées aux sociétés cotées ou faisant appel à des investisseurs afin

d’harmoniser la présentation et la clarté de leurs états financiers.

Les normes concernant le secteur de l’assurance sont principalement les normes IAS 32 « Instruments

financiers : présentation », IAS39 « Instruments financiers : comptabilisation et évaluation » et IFRS 4

« Contrats d’assurance ».

2.2.2.2.2.2.2.2. Actifs en juste valeurActifs en juste valeurActifs en juste valeurActifs en juste valeur : : : : IAS 32 et IAS 39IAS 32 et IAS 39IAS 32 et IAS 39IAS 32 et IAS 39

Les normes IAS 32 « Instruments financiers : présentation » et IAS 39 « Instruments financiers :

comptabilisation et évaluation » ont pour objectif d’établir les principes régissant la présentation, la

comptabilisation et la valorisation des instruments financiers.

Elles ont un impact significatif sur les comptes des sociétés d’assurance à cause du principe de fair

value (juste valeur) qui vient se substituer pour une large part au principe du coût historique. La juste

valeur d’un instrument financier peut être défini comme le montant pour lequel un actif peut être

échangé ou un passif réglé, entre parties informées et consentantes dans des conditions de

concurrence normales.


• Comptes sociaux – Normes françaises

Le code des assurances distingue trois types d’actifs ayant chacun leurs propres règles de

comptabilisation :

o les placements en représentation des contrats de capitalisation à capital variable

(contrats en unités de compte : évalués selon l’article R332-5 du code des assurances),

o les valeurs mobilières amortissables : évaluées selon l’article R332-19 du code des

assurances,

o les autres actifs : évalués selon l’article R332-20 du code des assurances.

Le reclassement oblige les transferts entre catégories lorsque des titres cessent de remplir les

conditions d’appartenance à la catégorie.

La comptabilisation s’effectue au coût historique amorti pour tous les placements. Il existe une valeur

dérogatoire pour la valorisation des placements en représentation des contrats en unités de compte

comptabilisés, après ajustement, en valeur de réalisation.

• Comptes consolidés – Normes IFRS

La norme IAS 39 prévoit de classer en quatre catégories les instruments financiers.

o Les instruments à la juste valeur par le biais du compte de résultat ou HFT (Held For

Trading) : les titres comptabilisés dans cette rubrique sont détenus à des fins de

transaction.

o Les placements détenus jusqu’à leur échéance ou HTM (Held To Maturity) sont des actifs

que l’entreprise a la certitude de conserver jusqu’à leur échéance.

o Les prêts et créances.

o Les actifs financiers disponibles à la vente ou AFS (Available For Sale) sont des actifs

que l’entreprise n’a pas l’intention manifeste de vendre mais qu’elle pourrait être

amenée à vendre.

Les transferts sont fortement limités afin d’éviter les manipulations du résultat.

Tout actif financier ou passif financier peut être désigné comme étant à la juste valeur par le biais du

compte de résultat lors de la comptabilisation initiale pourvu que l’on puisse en déterminer la juste

valeur de façon fiable.


Le principe général dans le référentiel IFRS est la comptabilisation à la juste valeur. En effet, toutes les

catégories d’actif sont évaluées à la juste valeur lors de l’évaluation initiale. Lors des évaluations

ultérieures, seuls les titres HFT et AFS sont évalués à leur juste valeur.

Cependant, la norme IAS 39 est actuellement en cours de remplacement par la norme IFRS 9. Celle-ci

retient une approche unique pour déterminer si un actif financier doit être évalué au coût amorti ou à la

juste valeur. Cette approche est basée sur la façon dont une entité gère ses instruments financiers et

les caractéristiques contractuelles des flux de trésorerie rattachées aux actifs financiers. IFRS 9

prescrit également une seule méthode de dépréciation, remplaçant les différentes méthodes définies

par IAS 39. Ainsi, cette nouvelle norme améliore la comparabilité et facilite la compréhension des états

financiers par les investisseurs et les autres utilisateurs.

2.3.2.3.2.3.2.3. La norme IFRS 4 «La norme IFRS 4 «La norme IFRS 4 «La norme IFRS 4 « ContratContratContratContratssss d’assuranced’assuranced’assuranced’assurance »»»»

L’objectif visé par la norme IFRS 4 est notamment de généraliser le concept de « juste valeur », déjà

utilisé pour les actifs dans les normes IAS 32 et 39. La norme IFRS 4 phase 2 est, au moment de la

rédaction de ce mémoire, en phase d’élaboration. Elle déterminera les règles de comptabilisation selon

des règles cohérentes avec le marché. Elle a pour objectif de définir un cadre unique d’évaluation du

passif d’assurance Market Consistent.

L’évaluation des éléments réplicables est obtenue directement à partir de leur valeur de marché. Le

problème repose d’avantage sur les passifs non réplicables.

Les principes de base, pour de nombreux points similaires à ceux de Solvabilité II, reposent sur :

• une approche économique,

• une vision prospective consistant en une actualisation des cash flows futurs,

• une prise en compte de la valeur temps de l’argent, notamment pour l’évaluation des options et

garanties,

• une prise en compte d’une marge additionnelle.


Dans ces référentiels, la valorisation se fait suivant une approche économique où les concepts de valeur

de marché ou de juste valeur sont les éléments clés.

La valeur économique des actifs est facilement observable sur les marchés financiers alors que celle

des passifs se révèle être un exercice plus difficile puisqu'il n'existe pas de valeur de marché fiable et

observable dans la grande majorité des cas.


Partie 2. Méthode de valorisation

La détermination de la valeur économique du contrat d’épargne multi-supports repose sur des modèles

qui permettent d’estimer les flux de trésorerie futurs. Dans cette partie, nous exposerons la façon dont

nous déterminons la provision Best Estimate. Nous expliquerons dans quelle mesure l’approche

stochastique est importante dans le cadre d’un contrat d’épargne. Enfin, nous nous pencherons sur les

modèles financiers et comportementaux qui ont été retenus pour le développement sous MoSes.


Chapitre 1. Principes de modélisation stochastique et prospective

Les contrats d’épargne multi-supports offrent de nombreuses options et garanties. La projection des

cash flows peut s’avérer très complexe à cause des nombreuses interactions entre l’actif et le passif.

Afin de prendre en compte ces éléments, la modélisation sera réalisée via des modèles stochastiques.

1. Modèles stochastiques

1.1.1.1.1.1.1.1. Des Des Des Des modèles déterministes aux modèles stochastiquesmodèles déterministes aux modèles stochastiquesmodèles déterministes aux modèles stochastiquesmodèles déterministes aux modèles stochastiques

Les modèles déterministes se basent uniquement sur des valeurs moyennes obtenues à la suite d’un

seul scénario jugé le plus probable. Les informations disponibles sont donc en général les seules

statistiques de moyenne et d’écart-type.

Les modèles déterministes ne permettent pas de prendre en considération les options et garanties

détenues par l’assuré. En effet, ce type de modèle sous-estime ou néglige ces droits donnés aux assurés

qui peuvent pourtant avoir un fort impact au niveau des résultats d’une société. Par exemple, si nous

choisissons des taux longs toujours supérieurs au taux minimum garanti (TMG) pour la projection dans

un modèle déterministe, les résultats ne prendront pas en compte cette garantie qui est pourtant

essentielle.

Il faut donc avoir recours à des modèles stochastiques qui prendront ainsi en compte la volatilité liée

aux différentes variables économiques (taux, cours des actions, mortalité, rachats conjoncturels…).

Ainsi, ces variables seront représentées par des processus stochastiques calibrés de façon à

correspondre au marché au moment de l’évaluation. L’actif et le passif devront être évalués sur une

base Market Consistent. Par exemple, pour Solvabilité II, une valeur d’échange sera prise pour les actifs

et une valeur de transfert pour les passifs.

Ces modèles permettent de visualiser et de connaître les fluctuations et donc les quantiles autour de la

valeur tendancielle. Ils s’appuient sur les mêmes données que celles utilisées dans une évaluation

déterministe mais la modélisation stochastique considère de nombreux scénarios représentatifs de

toutes les possibilités de la réalisation du risque.


Ils permettent une analyse plus riche que les modèles déterministes en donnant trois visions :

• Une vision moyenne : celle que l’on obtient avec une approche déterministe.

• Une vision en distribution des valeurs qui renseigne sur la dispersion et la variabilité des

risques.

• Une vision des extrêmes (queues de distribution) : le comportement de la distribution et sa

volatilité sur les valeurs limites de la variable observée.

Pour modéliser la situation économique de l’assureur, on va donc simuler les variables dans le temps

afin d’obtenir la distribution empirique du résultat ou de la perte de l’assureur.

1.2.1.2.1.2.1.2. PrincipesPrincipesPrincipesPrincipes

Un processus stochastique ��, � ∈ �� est une suite de variables aléatoires indexées par le temps �, à

valeurs dans un ensemble. Une réalisation d’un processus stochastique est appelée trajectoire.

Le processus couramment utilisé dans les modèles stochastiques est un processus de Wiener, aussi

appelé mouvement brownien. Ses propriétés lui confèrent un rôle de référence pour la modélisation des

valeurs des actifs notamment.

Soit �Ω,, ℙ� un espace probabilisé, et soit un processus � �, � ∈ �0,∞�� sur cet espace. Le

processus � �, � ∈ �0,∞�� est un mouvement brownien si :

• � � 0presque surement ( ℙ� � � 0� � 1 )

• � est à accroissements stationnaires.

• � est à accroissements indépendants.

2. Valorisation des passifs

Dans Solvabilité II, comme en normes IFRS, les provisions techniques sont évaluées en référence à une

valeur de transfert du portefeuille. Les notions de valeur de transfert ou de réalisation et de Best

Estimate restent la base de ces référentiels.

Un cash-flow est dit réplicable si ses risques peuvent être neutralisés au moyen de l’achat ou de la vente

d’instruments financiers. Cependant, peu de passifs sont réplicables car la couverture du passif doit

être parfaite.


La valeur de transfert correspond au montant que l’assureur devrait payer aujourd’hui à un tiers s’il

transférait immédiatement à ce tiers l’ensemble des droits et obligations contractuels dus au contrat

concerné. Cette transaction a lieu sur un marché hypothétique d’où la nécessité d’évaluer cette valeur à

partir d’un modèle pour les passifs non réplicables.

En d’autres termes, pour les passifs réplicables, la valeur est obtenue à partir des observations du

marché. Pour les passifs non réplicables, l’évaluation de la valeur de transfert se décompose en une

provision Best Estimate, une marge de risque et, parfois, une marge pour service ou marge résiduelle.

• Le Best Estimate : Il est basé sur la projection des cash flows futurs de l’actif et du passif. Il est

égal à la valeur actuelle probable des potentiels flux futurs de trésorerie générés par le contrat

et estimés à partir d’informations courantes et fiables ainsi que d’hypothèses réalistes et

cohérentes avec le marché. Afin de capter au mieux la valeur temps des options et garanties du

contrat, IFRS 4 phase 2 et Solvabilité II encouragent l’évaluation du Best Estimate selon une

modélisation stochastique. Ceci signifie qu’il est obtenu en calculant la moyenne, sur plusieurs

scénarios, des flux de trésorerie futurs actualisés générés par le contrat et pondérés par leur

probabilité d’occurrence. Nous parlons alors de méthode de Monte Carlo.

• La marge de risque correspond au montant additionnel qu’un repreneur éventuel exigerait pour

reprendre les obligations en vers les assurés afin de pallier aux incertitudes concernant les flux

de trésorerie futurs. Dans le référentiel Solvabilité II, le CEIOPS préconise dans les derniers

QIS l’utilisation de la méthode du coût du capital pour définir la marge de risque.

• La marge de service correspond au montant qu’exigerait un acteur du marché pour reprendre

les droits et obligations liés au contrat et continuer à offrir certains services, distincts de la

couverture d’assurance, aux souscripteurs des contrats existants. Un exemple classique est

celui d’un contrat en unités de compte comprenant un service de gestion d’actifs.

Certains acteurs du secteur de l’assurance ne considèrent pas la valeur de transfert comme une

méthode de valorisation pertinente. En effet, ils estiment qu’évaluer une hypothétique transaction, qui

n’a pas de prix de marché observable ne reflète pas la réalité puisque les assureurs, généralement,

règlent leur passif en payant les prestations des contrats quand ils arrivent à échéance plutôt que de

les transférer.

3. Détermination du Best Estimate stochastique

L’évaluation du Best Estimate se déroule en deux étapes.


1. Pour chaque scénario :

• Modélisation stochastique de l’actif ;

• Modélisation stochastique du passif ;

• Modélisation des interactions actif/passif ;

• Projection des cash-flows (prestations décès et rachats) sur la durée de projection ;

• Sommation et actualisation des cash-flows pour toutes les dates de projection.

2. Le Best Estimate est alors égal à la moyenne des cash-flows actualisés pour chaque scénario.

�� !"�� 1#$$ %&'(�1 ) �'�'

*

'+,

-

(+,

Avec

• # le nombre de scénarios,

• . la date d’extinction du portefeuille,

• �' le taux d’actualisation de la courbe des taux correspondant à un engagement de

durée /,

• %&'( est le cash-flow de l’année / pour le scénario 0. Les flux de trésorerie émanant du contrat d’épargne multi-supports sont issus des rachatsrachatsrachatsrachats et des

versements lors des décèsdécèsdécèsdécès.

Figure Figure Figure Figure 6666. Calcul du . Calcul du . Calcul du . Calcul du Best EstimateBest EstimateBest EstimateBest Estimate pour un scénario pour un scénario pour un scénario pour un scénario 1....

%&10 %&20 %&30 %&40

� 01234

�1 �2

�3

Actu

alisa

tion

de

s flux

Scénario 0

�4


4. Processus de simulation

4.1.4.1.4.1.4.1. Méthode de MonteMéthode de MonteMéthode de MonteMéthode de Monte----CarloCarloCarloCarlo

Les simulations stochastiques permettent de générer des réalisations de variables aléatoires. Le

modèle a pour objet de prendre en compte la volatilité des phénomènes étudiés, en tirant aléatoirement

de nombreux scénarios et en évaluant statistiquement les risques.

Une simulation de Monte-Carlo d’un processus stochastique est une procédure permettant de créer un

échantillon aléatoire de ce processus et d’estimer par la suite les caractéristiques de la loi de

probabilité en rapport avec ce processus (par exemple la moyenne, la variance, les quantiles…). La

précision de l’estimation dépend du nombre de trajectoires à simuler. Plus le nombre de tirage sera

important, plus la distribution empirique sera proche de la véritable loi de probabilité. La méthode de

simulation de Monte-Carlo repose sur la loi forte des grands nombresloi forte des grands nombresloi forte des grands nombresloi forte des grands nombres :

Si �,, … , �6désignent � variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées, intégrables et

de moyenne ��, alors :

1�$�767+, → ��

La provision Best Estimate est la moyenne des flux futurs actualisés dans différents scénarios

économiques représentant chacun un caractère aléatoire de l’évolution de l’actif et des prestations. La

méthode de Monte-Carlo est donc bien adaptée pour le calcul de cette provision. Un nombre important

de scénarios possibles sera donc généré sur la partie obligataire, sur la partie actions et au niveau des

prestations (rachats et mortalité).

Ces simulations stochastiques permettent de mesurer la valeur temps des options que sont les rachats,

arbitrages entre les fonds Euro et UC, le taux minimum garanti et la participation aux bénéfices, qu’elles

soient réglementaires, contractuelles ou discrétionnaires.


4.2.4.2.4.2.4.2. Modélisation de l’actif stochastiqueModélisation de l’actif stochastiqueModélisation de l’actif stochastiqueModélisation de l’actif stochastique

4.2.1. Taux court

Une compagnie d’assurance vie doit faire face au risque lié au taux d’intérêt. En effet, en cas de hausse

des taux, la valeur de marché des titres obligataires diminuerait, ce qui pourrait créer un déséquilibre

entre l’actif et le passif. Elle doit donc évaluer ses placements monétaires et reproduire l’évolution des

titres du marché obligataire. Il convient donc de modéliser la structure des taux d’intérêts afin de

traduire les fluctuations des produits de taux (monétaires, obligations…).

Le taux sans risque permet ainsi d’évaluer une large part des actifs de l’assureur. Il peut également

constituer une référence de marché pour la modélisation du taux de rachat des assurés.

Le taux court �� à une date donnée � est le taux continu qui s’applique pour une période de durée

infinitésimale.

Ce taux permet de déterminer, dans certains référentiels, la fonction d’actualisation utilisée aux

différentes dates de projection pour les différents scénarios.

Il s’agit aussi du taux utilisé pour reconstituer la valeur des titres obligataires en portefeuille ainsi que

ceux traités sur le marché par l’intermédiaire des taux zéro-coupons.

Enfin, ce taux intervient également dans le processus de projection de la rentabilité des actifs de type

action. En effet, le rendement des actions peut être égal au taux sans risque (dans le cas d’une

évaluation en univers risque-neutre) augmenté d’une prime de risque (dans le cas d’une évaluation en

univers réel).

Les modèles de taux d’intérêts reposent généralement sur les mêmes hypothèses de base :

• les coûts de transaction sont négligés,

• les titres sont parfaitement divisibles,

• les agents sont rationnels et disposent du même niveau d’informations,

• les marchés sont efficients, conduisant à une absence d’opportunités d’arbitrage.

Les modèles de taux académiques peuvent être classés selon trois catégories :


• les modèles d’équilibre partiel : ils s’appuient sur un ensemble d’hypothèses et sur les variables

économiques pour en déduire le comportement du taux court. Ils reposent sur un raisonnement

d’arbitrage.

On peut citer le modèle de VasicekVasicekVasicekVasicek (1977). Il s’agit d’un modèle gaussien qui se réfère au

processus d’Ornstein-Uhlenbeck afin d’expliquer l’effet de retour à la moyenne empiriquement

observé sur les courbes des taux. Il admet une discrétisation exacte mais a l’inconvénient de

produire parfois des taux négatifs, ce qui n’est pas compatible avec l’hypothèse d’absence

d’opportunité d’arbitrage.

Figure Figure Figure Figure 7777. Exemple de simula. Exemple de simula. Exemple de simula. Exemple de simulations de taux courts instanttions de taux courts instanttions de taux courts instanttions de taux courts instantanéanéanéanés avec le modèle de Vasicek.s avec le modèle de Vasicek.s avec le modèle de Vasicek.s avec le modèle de Vasicek.

• les modèles d’équilibre général : ils sont basés sur une description globale de l’économie.

Par exemple, le modèle de Cox Ingersoll RossCox Ingersoll RossCox Ingersoll RossCox Ingersoll Ross (1985) se base sur une vitesse de retour à la

moyenne, une moyenne sur le long terme du taux instantané ainsi qu’au paramètre de volatilité.

De plus il fournit, sous conditions, des taux toujours positifs. Il s’agit d’un modèle simple à

mettre en place et qui dispose d’expressions analytiques pour les zéro-coupons et les prix

obligataires.

0%

1%

2%

3%

4%

5%

6%

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61

va

leu

r

temps (en années)

Simulations de taux courts instantanés avec le modèle de

Vasicek

Simulation 1

Simulation 2

Simulation 3

Simulation 4

Simulation 5

Simulation 6


Figure Figure Figure Figure 8888.... Exemple de simulaExemple de simulaExemple de simulaExemple de simulations de taux courts instantanétions de taux courts instantanétions de taux courts instantanétions de taux courts instantanés avec le modèle de CIR.s avec le modèle de CIR.s avec le modèle de CIR.s avec le modèle de CIR.

• les modèles de déformation : ils sont obtenus en effectuant des chocs sur les taux d’intérêt

observés. Le modèle de Ho et LeeHo et LeeHo et LeeHo et Lee (1986) illustre bien ces modèles. Il pallie les principaux

inconvénients des modèles précédents et s’ajuste à la structure par terme observée mais est

plus difficile à mettre en œuvre.

Les modèles de taux doivent respecter certaines exigences. Selon ROGERS (1995), le modèle de taux

idéal doit répondre à différentes exigences : ils doivent être compatibles avec la courbe de taux zéro-

coupon observable à la date d’évaluation. Il faut aussi satisfaire aux hypothèses énoncées

précédemment, fournir des valeurs positives à chaque instant et contenir un phénomène de retour à la

moyenne.

4.2.2. Actions

Les modèles du cours des actions peuvent reposer sur des hypothèses similaires à celles des taux

courts. Selon les modèles, il suffit d’estimer la rentabilité et la volatilité. Ces données peuvent être

supposées constantes ou dépendantes d’autres facteurs comme le temps.

• Le modèle le plus couramment utilisé et le plus simple à mettre en œuvre est le modèle de Black Black Black Black

et Scholeset Scholeset Scholeset Scholes (1973). Le prix de l'actif sous-jacent suit un mouvement brownien géométrique

(processus de Wiener généralisé) avec une volatilité constante et une rentabilité constante.

0%

1%

2%

3%

4%

5%

6%

7%

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60

va

leu

r

temps en années

Simulations de taux avec

le modèle de Cox Ingersoll Ross

Simulation 1

Simulation 2

Simulation 3

Simulation 4

Simulation 5

Simulation 6


Cependant, ce modèle peut sous-estimer le risque de placement. Ses hypothèses sont très

restrictives. La continuité des trajectoires est un inconvénient de ce modèle. En effet, dans la

réalité, nous pouvons observer des sauts dans la valeur des actions en raison d’évènements

exceptionnels.

• Le modèle de MertonMertonMertonMerton (1976), basé sur un processus de Lévy exponentiel, introduit des sauts

gaussiens suivant une loi de Poisson et tente ainsi d’être plus « réalistes » avec le marché.

• Le modèle de KouKouKouKou (2002) se concentre sur des sauts exponentiels doubles. Il a cependant

l’inconvénient d’être difficile à mettre en œuvre dans la pratique.

4.3.4.3.4.3.4.3. Modélisation du passif stochastiqueModélisation du passif stochastiqueModélisation du passif stochastiqueModélisation du passif stochastique

La modélisation des passifs a pour objectif de donner une idée précise de l’évolution des engagements

de l’assureur à l’égard des assurés sur une période de temps définie.

La sortie du contrat est effectuée par rachat total ou décès. Les autres éléments à prendre en compte

dans la modélisation d’un contrat d’épargne multi-supports sont le comportement des assurés (rachats

partiels ou totaux), les versements, les arbitrages entre le fonds Euro et les UC et les nouvelles

souscriptions.

La modélisation stochastique des passifs permet de se rendre compte des fluctuations au niveau de la

valeur tendancielle et de modéliser l’effet de non mutualisation.

5. Approche Market Consistent

Afin de calculer la provision Best Estimate, il faut estimer les rendements des différents actifs et

actualiser les flux projetés.

Pour cela, afin de rester dans une valorisation économique du contrat d’épargne, nous nous plaçons

dans une optique de valeur de marché dite Market Consistent. En effet, nous souhaitons déterminer la

valeur de flux d’actifs et de passifs comme s’ils étaient échangés sur le marché. Ainsi, nous pourrons

obtenir une juste valeur qui soit cohérente avec les risques du marché.

Dans ce cadre théorique, l’hypothèse la plus forte est l’absence d’opportunité d’arbitrage. En d’autre

terme, il est impossible de construire un portefeuille sans risque qui ait un rendement plus élevé que le

taux sans risque.


En assurance vie, nous nous penchons principalement sur deux cadres théoriques pour effectuer les

simulations stochastiques :

• les simulations sous la probabilité réelle avec actualisation des flux sous cette même

probabilité : l’univers monde réel ;

• les simulations sous la probabilité dite « risque neutre » avec actualisation des flux sous cette

même probabilité : l’univers risque neutre.

Il faut donc effectuer un choix :

• les diffusions en « risque neutre » lorsqu’il s’agira de valoriser des postes du bilan ;

• les diffusions historiques lorsqu’il s’agira de projeter des variables aléatoires sans objectif de

valorisation des engagements.

Or, notre objectif est bien une valorisation des engagements Best Estimate. Ainsi, une valorisation en valorisation en valorisation en valorisation en

probabilitéprobabilitéprobabilitéprobabilité risque neutrerisque neutrerisque neutrerisque neutre est préférable.

Dans la pratique, l’évaluation d’un flux selon la théorie risque-neutre se déroule selon les étapes

suivantes :

i. Nous supposons que les actifs liés au flux ont un rendement égal au taux sans risque.

ii. Nous simulons les différentes trajectoires des actifs selon les modèles considérés.

iii. Nous calculons les flux dans chaque scénario.

iv. Nous actualisons l’ensemble des flux au taux sans risque.

v. Nous prenons l’espérance sous la probabilité ℚ de ces flux actualisés : il s’agit de l’estimation de

la valeur actuelle du flux à évaluer.

6. Contexte de l’évaluation

Le modèle a pour objectif de calculer une provision Best Estimate sur un nombre de scénarios fixé. Il est

composé de plusieurs sous-modèles.

6.1.6.1.6.1.6.1. ProjectionsProjectionsProjectionsProjections

L’évaluation est faite dans des conditions de run-off c’est-à-dire que nous ne prenons pas en compte

d’éventuels nouveaux contrats.


De plus, l’objectif étant de déterminer la valeur aujourd'hui de flux futurs incertains, nous menons les

calculs dans un univers risque neutre.

Les cash-flows sont actualisés avec les taux d’actualisation sans risque fournis par la courbe des taux de

l’Institut des actuaires de juin 2010.

Par souci de simplification de la modélisation, nous ne modéliserons pas la prise en compte de la

réassurance et les problématiques fiscales.

La projection des cash-flows peut être effectuée selon deux méthodes :

o Jusqu’à une date déterminée : dans ce cas la durée de projection est fixée et à la fin de cette

période les assurés rachètent intégralement leur contrat.

o Jusqu’à l’extinction du portefeuille : dans ce cas la projection cesse lorsque tous les assurés

sont décédés ou ont racheté intégralement leur contrat.

6.2.6.2.6.2.6.2. PassifPassifPassifPassif

Nous effectuons l’évaluation sur un portefeuille composé de 1000 assurés dont nous connaissons les

caractéristiques suivantes : âge, ancienneté, provisions mathématiques en date d’évaluation pour les

fonds UC et Euro, répartition fonds Euro/UC.

Au cours de la vie du contrat, l’assuré peut soit racheter son contrat, soit décéder, ce qui entrainera la

sortie de l’assuré du portefeuille.

6.3.6.3.6.3.6.3. ActifActifActifActif

L’actif du fonds Euro se décompose en 80% d’obligations et 20% d’actions de prix 1 euro en date

d’évaluation. Le rebalancement de l’actif est effectué chaque année afin de garder les mêmes

proportions.

L’actif du fonds UC est totalement investi en actions.

6.4.6.4.6.4.6.4. InteractionsInteractionsInteractionsInteractions

En cas d’arbitrage, le contrat suit son cours avec les nouvelles proportions. Aucun versement libre ne

sera pris en compte.


Les provisions réglementaires telles que Provisions pour Participations aux Bénéfices (PPB), Provisions

pour Risques d’Exigibilité (PRE) et réserve de capitalisation sont aussi modélisées.

Les investissement et désinvestissements sont aussi à prendre au compte avec une allocation

stratégique d’actifs.


La modélisation stochastique permet de prendre en compte des aspects qu’une modélisation

déterministe négligerait. En ayant recours à des processus stochastiques, nous pouvons déterminer la

valeur de la somme des cash flows futurs actualisés dans une multitude de scénarios. Ensuite, la

méthode de Monte-Carlo permet de réconcilier les résultats des différents scénarios.

Afin de faciliter les calculs de la provision Best Estimate, l’évaluation s’effectue en univers risque-

neutre. Dans ce monde « virtuel », l’hypothèse sous-jacente est la neutralité au risque des agents. Ainsi,

tous les actifs ont la même espérance de rendements : le taux sans risque.


Chapitre 2. Modèles retenus

1. Méthodologie pour un scénario

Tout d’abord, des scénarios économiques vont être simulés en fonction de paramètres calibrés par le

biais des informations disponibles sur le marché.

A partir de ces réalisations, les différents éléments modélisés interagiront et permettront de

déterminer à chaque date leurs valeurs. Lors de cette évaluation, les stratégies de revalorisation et

d’investissement ainsi que le comportement des assurés devront être pris en compte afin d’avoir une

représentation économique.

Figure Figure Figure Figure 9999. Structure du modèle.. Structure du modèle.. Structure du modèle.. Structure du modèle.

Génération de scénarios économiques

Taux courts, cours des actions

Modélisation de l’actif des fonds

Composition : Obligations, actions…

Investissement

Assurés

Caractéristiques (âge, ancienneté, sexe…)

Facteur naturel (rachats structurels et

décès)

Comportement face au marché (rachats

conjoncturels et arbitrage)

Politique de l’assureur

Allocation de l’actif

Politique de revalorisation

Politique d’investissement


1.1.1.1.1.1.1.1. Schéma Schéma Schéma Schéma généralgénéralgénéralgénéral dededede simulationsimulationsimulationsimulation

FiguFiguFiguFigure re re re 10101010. Schéma de simulation. Schéma de simulation. Schéma de simulation. Schéma de simulation....

Initialisation

t=1 et NbAssurés(1)=1000

t < durée de projection et NbAssurés(t) > 0 ?

Rebalancement de l’actif du fonds EURO • Calcul de la duration du

portefeuille obligataire • Calcul de la duration du passif

déterministe • Investissements /

désinvestissements

Evaluation de la VC et VM des actifs après variation des cours

Réalisation des plus-values

automatiques sur actions

Evaluation des liquidités

Evaluation des prestations décès et rachats

Evaluation des arbitrages

Fonds EURO / fonds UC

Calcul des provisions réglementaires

(PRE, Réserve de capitalisation)

Paiement des prestations :

Investissement / désinvestissement sur les fonds

Evaluation des produits financiers

Revalorisation des PM EURO • Taux cible • Taux servi • Marge financière

Evaluation des PM UC

Réinvestissement des produits financiers

Fin de

simulation

NonNonNonNon

OuiOuiOuiOui

Année suivante

t := t+1

Début

d’année

Fin

d’année

FONDS EURO FONDS UC


1.2.1.2.1.2.1.2. Hypothèses relatives au modèleHypothèses relatives au modèleHypothèses relatives au modèleHypothèses relatives au modèle

1.2.1. Actif du fonds Euro

Le fonds Euro est investi en une proportion d’obligations et une proportion d’actions. Ces proportions

sont définies dans l’allocation cible.

Les obligations sont achetées en fin d’année et versent des coupons en fin d’années. Elles sont

remboursées au pair et in fine. On suppose que leur prix d’émission équivaut au nominal afin de faciliter

les calculs et de ne pas prendre en compte de surcote / décote. Le taux de coupon est déterminé de

façon à ce que le prix d’achat égalise la somme des flux actualisés aux taux zéro-coupon. Elles sont de

différents types : leur maturité peut aller de 1 à 30 ans. Elles sont choisies de manière à ce que la

duration du portefeuille obligataire soit égale à la duration du passif déterministe correspondant au

contrat.

Les actions versent un dividende chaque année.

1.2.2. Actif du fonds en unités de compte

Les provisions mathématiques du fonds Euro sont totalement investies en actions du même type que

celles composant le fonds Euro et versent des dividendes.

1.2.3. Contrat

Le modèle s’applique à un portefeuille d’assurés fictif. Il comporte un taux technique fixé à 0% et un taux

de participation aux bénéfices contractuel de 100%. Les frais sont prélevés en fin d’année. Le contrat

inclut également la possibilité pour chaque assuré de racheter son épargne à tout moment sans aucune

pénalité.

Le contrat est à durée viagère. Le contrat et la projection des flux prennent donc fin lorsque les assurés

ont tous racheté totalement leur contrat ou bien lorsqu’ils sont tous décédés. Les rachats ainsi que les

décès donnent lieu aux versements de prestations. L’arbitrage entre les différents fonds est aussi un

choix proposé à l’assuré moyennant un coût d’arbitrage (1% du montant arbitré).

Pour simplifier la modélisation, nous supposerons que les décès, rachats et versements des prestations

ont lieu en fin d’année.


2. Modélisation de l’actif

2.1.2.1.2.1.2.1. Taux courTaux courTaux courTaux courtttts instantanéss instantanéss instantanéss instantanés

2.1.1. Modèle de Cox-Ingersoll-Ross

Le modèle choisi pour simuler la courbe des taux d’intérêt est le modèle de Cox-Ingersoll-Ross,

développé en 1985. En effet, il permet d’obtenir des résultats basés sur la structure initiale observable

sur le marché (pour le calibrage des paramètres), ce qui assure la cohérence des prix produits avec les

valeurs de marché. De plus, ce modèle est reconnu pour ne pas fournir des taux négatifs contrairement

à d’autres modèles présentés précédemment. Il assure aussi un processus de retour à la moyenne ce

qui lui confère un caractère économique.

Dans le modèle de Cox-Ingersoll-Ross, l’évolution du taux court instantané ��est caractérisée par

l’équation différentielle stochastique suivante :

d�� ";< = ��>d� ) ?@��d �

où

• " est la force de retour à la moyenne, c'est-à-dire la vitesse d’ajustement du taux court simulé vers sa moyenne de long terme,

• < est la valeur moyenne de r à long terme

• ? la volatilité telle que ?@�� corresponde à l’écart type instantané du taux court.

Remarque : ", <, et ? sont positifs et � est un mouvement brownien.

Discrétisation du processus :

Pour discrétiser le processus de taux court )(tr et ainsi l’utiliser dans un outil prospectif, nous devons

effectuer une approximation. Dans ce sens, nous allons utiliser le schéma d’Euler qui donne pour

approximation du premier ordre :

�̃�BC� � �̃� ) "�< = �̃��D� ) ?@�̃�D� ∙ F�

Où D� représente le pas de temps de discrétisation et F�une variable aléatoire suivant une loi normale

centrée réduite.

Nous procéderons donc par récurrence pour obtenir les taux des instants suivants.


Avantages du modèle :

Ce modèle a l’avantage de présenter une forme analytique du prix des obligations zéro-coupons. Ceci est

très intéressant du point de vue du calcul du prix d’obligations.

Ce modèle a aussi l’avantage de fournir exclusivement des taux positifs lorsque la condition "< G H²J est

respectée.1

Prix et taux zéro-coupons 2:

Sous le modèle de Cox-Ingersoll-Ross, en univers risque-neutre, le prix des obligations zéro-coupon (en

date � et de maturité résiduelle � = �) peut être déterminé par la formule suivante :

��, �� K��, ��LM��,N�O��∀� Q �

Avec

• K��, �� R JST�UVW��XYZ�[�SB\�;TU�XYZ�L,>BJS][W^_[

• ��, �� J;TU�XYZ�L,>�SB\�;TU�XYZ�L,>BJS

• ` � √"J ) 2?J

Les obligations zéro-coupon sont assimilables à des obligations d’états considérées sans risque. Aucune

prime de risque ne sera ainsi incluse dans le calcul des prix zéro-coupons.

Nous pouvons en déduire la courbe des taux zéro-coupons en établissant cette formule :

b��, �� = ln;��, ��>� = �

Calibrage du modèle :

Afin d’utiliser ce modèle, il faut estimer les paramètres", <, ? et �� de manière à reproduire le plus

fidèlement possible les prix zéro-coupons du marché ��0, ��.

La calibration du modèle est réalisée à l’aide de la méthode des moindres carrés ordinaires. Ainsi, il faut

chercher les paramètres qui minimisent l’écart quadratique entre les prix du marché et les prix estimés.

1 Voir annexe 1 pour la démonstration de cette condition. 2 Voir annexe 1 pour la démonstration de l’égalité.


Pour les prix du marché, nous allons utiliser la courbe de juin 2010 distribuée par l’Institut des

Actuaires. Elle fournit les taux zéro-coupons actuarielsbe��, �� par mois pour une période de 100 ans.

Ainsi, nous en déduisons les prix du marché :

( )TA

MTR

TP),0(1

1),0(

+=

Nous déduisons de cette relation les taux continus correspondant ),0( TRC :

T

TPTR M

C

)),0(ln(),0( −=

Tout d’abord, nous estimons ),0(lim0

0 TRr CT→

= qui est le taux instantané à la date d’évaluation en

procédant à une interpolation cubique en considérant les 4 points de la courbe qui exprime les taux

zéro-coupons en fonction de la maturité, avec la relation :

δγβα +++= TTTTRC23),0(

Sous l’hypothèse que la courbe passe par les quatre points 4...1)),0(,( =iii TRT , les paramètres γβα ,, et

δ peuvent être estimés en résolvant le système suivant :

+++=

+++=

+++=

+++=

δγβαδγβαδγβαδγβα

42

43

44

32

33

33

22

23

22

12

13

11

),0(

),0(

),0(

),0(

TTTTR

TTTTR

TTTTR

TTTTR

C

C

C

C

Or ),0(lim0

0 TRr CT→

= , donc δ=0r .

La volatilité du taux court instantané σ est fixée en fonction des données historiques.

L’estimation de a etbs’obtient par la méthode des moindres carrés. En effet, nous cherchons le couple

( )ba, qui minimise la distance quadratique D :

( )∑=

−=N

iii éPrix estiméPrix marchD

1

2

Avec

• iéPrix march le prix calculé à partir de la courbe fourni par l’Institut des Actuaires,

• iéPrix estim le prix calculé sur la base du modèle CIR,


• N le nombre de zéro-coupons envisagés pour l’ajustement.

En effectuant cette démarche pour la période de juin 2010, nous obtenons les résultats suivants :

a = 36,73%, b= 4,23%, σ = 2%, et 0r = 0,24%.

2.1.2. Modèle de CIR adapté aux conditions actuelles

Lors du calibrage des paramètres du modèle de Cox-Ingersoll-Ross avec les données actuelles, nous

avons obtenu des résultats cohérents avec les prix des obligations zéro-coupon disponibles sur le

marché en date d’évaluation. En effet, la courbe des prix de marché des obligations zéro-coupon en

fonction de leur maturité et celle des prix donnés par le modèle coïncident.

Figure Figure Figure Figure 11111111. Comparaison des taux zéro. Comparaison des taux zéro. Comparaison des taux zéro. Comparaison des taux zéro----coupon fournis par l’Institut des Actuaires en juin 2010 et de la courbe coupon fournis par l’Institut des Actuaires en juin 2010 et de la courbe coupon fournis par l’Institut des Actuaires en juin 2010 et de la courbe coupon fournis par l’Institut des Actuaires en juin 2010 et de la courbe

obtenue aobtenue aobtenue aobtenue avec les paramètres estimés après calibration sans prise en compte de la volatilité des taux.vec les paramètres estimés après calibration sans prise en compte de la volatilité des taux.vec les paramètres estimés après calibration sans prise en compte de la volatilité des taux.vec les paramètres estimés après calibration sans prise en compte de la volatilité des taux.

0,0%

0,5%

1,0%

1,5%

2,0%

2,5%

3,0%

3,5%

4,0%

4,5%

5,0%

juil

.-1

0

juil

.-1

2

juil

.-1

4

juil

.-1

6

juil

.-1

8

juil

.-2

0

juil

.-2

2

juil

.-2

4

juil

.-2

6

juil

.-2

8

juil

.-3

0

juil

.-3

2

juil

.-3

4

juil

.-3

6

juil

.-3

8

juil

.-4

0

juil

.-4

2

juil

.-4

4

juil

.-4

6

juil

.-4

8

Taux zéro-coupon - juin 2010

Courbe donnée par l'Institut des Actuaires

Courbe estimée


Mais, lorsque nous nous penchons sur la projection des taux courts, nous obtenons, pour 200

simulations, le graphique suivant :

Figure Figure Figure Figure 12121212. Exemples de simulation de taux courts avec le modèle de Cox. Exemples de simulation de taux courts avec le modèle de Cox. Exemples de simulation de taux courts avec le modèle de Cox. Exemples de simulation de taux courts avec le modèle de Cox----IngersollIngersollIngersollIngersoll----Ross.Ross.Ross.Ross.

Nous remarquons que le modèle de Cox-Ingersoll-Ross précédent n’est pas adapté aux conditions

actuelles de marché. Le graphique illustre bien ce problème : du fait d’un taux actuel court �� en date

initiale et d’une moyenne à long terme forte < de 4,23%, les taux courts remontent brutalement, en

moins de 5 ans, pour rester dans un couloir allant de 3% à 6%. En effet, les taux actuels sont vraiment

faibles par comparaison aux observations sur le long terme. Le calibrage du modèle n’est pas à remettre

en cause. Il s’agit du poids de la composante déterministe du modèle de taux qui est trop important par

rapport à celui de la composante aléatoire et qui laisse alors peu de liberté aux taux courts quand à

osciller autour de valeurs basses.

De ce fait, le modèle de Cox –Ingersoll-Ross ne permet pas d’être vraiment cohérent avec les prix de

marchés à long terme. Nous allons proposer une méthode visant à tenter de réduire ce phénomène de

rapide retour à la moyenne. L’idée de cette méthode est d’adapter le modèle précédent et d’ajouter une


variabilité dans le mécanisme de retour à la moyenne. C’est donc le coefficient de vitesse de retour à la

moyenne a qui va être remplacé dans la formule :

d�� ";< = ��>d� ) ?@��d �

Le plus intuitif est de calculer, au début de chaque simulation, un nouveau coefficient de retour à la

moyenne K qui suit une variable aléatoire suivant une loi normale :

K~.�", g�

Où " est le coefficient de retour à la moyenne, calibré dans le modèle de Cox-Ingersoll-Ross, et g l’écart-

type fixé.

Ainsi, à chaque début de simulation �, un paramètre K7 est simulé suivant la loi de K. La dynamique des

taux pour le scénario � peut alors s’écrire de cette façon :

d�� "7;< = ��>d� ) ?@��d �

Avec

"7 � min jmax �K7 , "�1 = m�� , "�1 ) m�n

On note m le paramètre permettant de borner "7 et ainsi de garantir un coefficient positif appartenant à

l’intervalle �" = m. ", " ) m. "� et une espérance de "7 égale à ".


Figure Figure Figure Figure 13131313. Exemples de simulations de taux courts avec le modèle adapté aux conditions actuelles du marché.. Exemples de simulations de taux courts avec le modèle adapté aux conditions actuelles du marché.. Exemples de simulations de taux courts avec le modèle adapté aux conditions actuelles du marché.. Exemples de simulations de taux courts avec le modèle adapté aux conditions actuelles du marché.

Sur le graphique précédent, nous pouvons remarquer que la courbe moyenne des taux n’est que très

peu modifiée par rapport aux observations obtenues avec le modèle de Cox-Ingersoll-Ross. Cependant,

cette fois-ci, lors de certaines simulations, les taux courts restent faibles et ne se stabilisent pas dans

un couloir. Le caractère aléatoire du coefficient de retour à la moyenne permet ainsi de donner plus de

chances à des taux courts de rester faibles.

Pour notre modèle, nous retiendrons, les paramètres suivants : g=0,2 etm=0,9.

2.2.2.2.2.2.2.2. ObligationsObligationsObligationsObligations

Les taux obtenus lors des différentes simulations du modèle de taux permettent de reconstruire la

valeur de marché des obligations :

( ) ( ) Nm

Nm

ii NmNZC

nominal

iNZC

couponNVMobligFin −

−

= −++

+= ∑

),(1),(1)(

1


Où

• m est la maturité de l’obligation,

• ),( TtZC est le taux zéro-coupon calculé à la date t et de maturité T .

En ce qui concerne la valeur comptable de l’obligation, celle-ci correspond à sa valeur lors de

l’acquisition du titre c’est-à-dire le montant du nominal.

2.3.2.3.2.3.2.3. Cours des actionsCours des actionsCours des actionsCours des actions

2.3.1. Black & Scholes

Le modèle de Black et Scholes (1973) est le modèle de référence pour la simulation des cours futurs

des actions. Il repose sur la résolution d’une équation différentielle stochastique, en supposant que le

cours d’une action suit un mouvement brownien géométrique (processus de Wiener généralisé).

Le modèle repose sur plusieurs hypothèses :

• Le prix de l’actif sous-jacent suit un mouvement brownien avec une volatilité constante.

• Il y a Absence d’Opportunités d’Arbitrage (AOA).

• Il est possible d’effectuer des ventes à découvert.

• Il n’existe pas de coûts de transaction.

• Il existe un taux d’intérêt sans risque, connu à l’avance et constant.

• Tous les sous-jacents sont parfaitement divisibles.

Le prix d’une action versant des dividendes évolue suivant le processus suivant :

d#��#�� p = q�d� ) ?d��

Où

• #�� est le prix de l’action à la date �,

• µ est la rentabilité espérée,


• q est le taux de dividende versé,

• σ est la volatilité,

• )(tB est un mouvement brownien.

La solution de cette équation est la suivante3 :

+

−−⋅= )(2

2exp)( 0 tBtqStS σσµ

Calibrage du modèle :

Nous raisonnons en univers risque neutre alors µ = r (t) à chaque instant t. En effet, dans cet univers,

on considère que tous les actifs rapportent le même rendement, le taux sans risque. Seule la volatilité

est donc à paramétrer.

Pour calibrer ce modèle, nous nous intéressons à l’historique du cours du support. Dans ce modèle, nous

nous basons sur le logarithme du rendement journalier qui a pour moyenne p = H²J et variance ?². En utilisant la méthode des moments, qui suggère de remplacer les moments théoriques par les

moments empiriques déduits de l’échantillon, nous obtenons :

?r² � 1.$�b�� = bs�*7+�

Où . est le nombre d’observations, b�� le logarithme du rendement journalier et bs le rendement

journalier moyen.

Dans notre étude, nous retiendrons une volatilité de 20%.

2.3.2. Black & Scholes avec corrélation aux taux d’intérêt

Le modèle de Black et Scholes avec corrélation au modèle de taux d’intérêt permet de se rapprocher au

plus près de la réalité en tenant compte des corrélations existantes entre les différentes actifs et donc

entre les différents mouvements browniens entrant en jeu dans l’évolution des actifs.

Comme nous l’avons dit précédemment, nous raisonnons en univers risque neutre. Ainsi, tout actif a le

même rendement espéré : le taux sans risque.

3 Voir annexe 2 pour la démonstration de la solution de l’équation.


Ainsi, le prix d’une action évolue suivant le processus suivant :

( ) )(dd )()(

)(dtBtqtr

tS

tS σ+−=

Où

• )(tS est le prix de l’action à la date t ,

• )(tr est le taux court simulé avec le modèle de taux utilisé,

• q est le taux de dividende versé,


• )(tB est le mouvement brownien de l’univers risque-neutre.

Le processus de prix est log normal et permet de déterminer la solution explicite suivante :

+

−−= ∫

t

tBsqsrStS0

2

0 )(d2

)(exp)( σσ

Nous tenons compte de la corrélation entre les taux courts et le cours des actions en utilisant la

décomposition de Cholesky4 qui permettra de corréler les dynamiques des taux et du prix de l’action

avec un coefficient de corrélation t. Nous obtenons la solution suivante dans l’univers risque neutre :

−++

−−= 2,

21,

2

0 12

)(exp)( tt WWtqtrStS ρσσρσ

Avec 1,tW et 2,tW des mouvements browniens indépendants.

Discrétisation du processus :

Comme pour la discrétisation dans le modèle de Cox Ingersoll Ross, nous utilisions la méthode

d’Euler pour discrétiser le processus :

−++⋅

−−=+ 2,

21,

2

12

~exp~~

tttttt tttqrSS εδρσεδσρδσδ

Où

4 Voir annexe 3 pour la démonstration.


• tr~ représente le taux court instantané obtenu avec le modèle de taux,

• tδ représente le pas de temps de discrétisation,

• 1,tε est la variable aléatoire gaussienne centrée réduite utilisée dans le modèle de tauxutilisée dans le modèle de tauxutilisée dans le modèle de tauxutilisée dans le modèle de taux,

• 2,tε est une variable aléatoire gaussienne centrée réduite indépendante de 1,tε .

3. Modélisation du passif

Afin de rester dans une approche Market Consistent, le passif lui aussi doit être modélisé de façon

stochastique. Les flux du passif (décès, rachats, arbitrages et marges assureurs) reposent aussi sur

des variables aléatoires.

La mise en place de méthodes stochastiques pour le passif permettra une gestion dynamique des

interactions actif-passif.

3.1.3.1.3.1.3.1. Mortalité stochastiqueMortalité stochastiqueMortalité stochastiqueMortalité stochastique

L’objectif des modèles stochastiques de mortalité est de modéliser les décès pour se rendre compte de

ses fluctuations autour de la valeur tendancielle.

3.1.1. Mortalité prospective : Bernoulli

L’approche la plus intuitive pour modéliser la mortalité de façon stochastique est de se pencher sur le

tirage d’une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur l’intervalle [ ]1,0 et de comparer ce résultat

au taux de décès xq donné par la table de mortalité considérée comme représentative du portefeuille.

La variable de réalisation finale est une variable de Bernoulli qui renvoie 1 si l’assuré reste en vie et 0 si

celui-ci décède.

Le schéma suivant explique la modélisation retenue.


Figure Figure Figure Figure 14141414.... Modélisation stochastique de la mortalitéModélisation stochastique de la mortalitéModélisation stochastique de la mortalitéModélisation stochastique de la mortalité

3.1.2. Modèle de Lee-Carter

Les analyses prospectives de mortalité conduisent à anticiper les évolutions futures des taux de

mortalité aux différents âges. Dans les modèles de construction de tables prospectives, comme le

modèle de Lee-Carter, la dérive de mortalité future est anticipée à partir des observations passées.

Ainsi, la méthode met en place deux niveaux stochastiques :

• Reconstitution d’une table de mortalité aléatoire à chaque simulation / et à chaque période t

pour chaque âge u :

Nous utilisons le modèle de Lee qui indique l’égalité suivante :

ktxx

thktx

ktx

sto qq ,,,

~~ βα +=

Où

� ktx

stoq , est le taux de mortalité utilisé dans l’itération de la simulation stochastique k

pour l’année de simulation t pour les assurés d’âge x à la date t.

� ktx,

~α est le coefficient de modification aléatoire appliqué à la mortalité théorique suivant

une loi normale N(1, xσ ). Il est simulé à chaque itération k pour chaque année de

Année de simulation

Individu d’âge

Tirage d’une variable aléatoire de loi uniforme

~ U[0,1]

? ?

: L’assuré décède en

: L’assuré survit en

Si ? ?


simulation t et pour tous les âges x de la table de mortalité. xσ est calculé d’après

l’historique du portefeuille.

� xthq est le taux de mortalité théorique d’un individu d’âge x donné par la table de

mortalité retenue.

� ktx,

~β représente une déformation anormale de la mortalité. On considère ici que ce

coefficient est nul.

• On applique ensuite la méthode de Bernoulli (vue précédemment) sur la table nouvellement crée.

Figure Figure Figure Figure 15151515.... Taux de mortalité avec modèle de LeeTaux de mortalité avec modèle de LeeTaux de mortalité avec modèle de LeeTaux de mortalité avec modèle de Lee----Carter.Carter.Carter.Carter.

En prenant un xσ de 20%, nous obtenons l’histogramme précédent qui nous permet d’observer l’écart

entre les taux de mortalité théoriques et simulés pour un scénario donné à une date donnée.

3.2.3.2.3.2.3.2. RachatsRachatsRachatsRachats

Dans notre étude, nous nous penchons uniquement sur les rachats totaux. Le taux de rachat total d’une

année peut se décomposer en deux catégories : le taux de rachat structurel et le taux de rachat

conjoncturel.


3.2.1. Rachats structurels

Les rachats structurels sont les rachats observables par l'assureur dans un contexte économique dit

« classique ». Ce type de rachat est indépendant de la volonté de l'assureur et ne peut donc pas être

réduit par des opérations de revalorisation à la hausse des contrats : il est incompressible.

Le taux de rachat structurel dépend essentiellement de la fiscalité et donc de l’ancienneté. Sachant que

la fiscalité est moindre à partir de 8 ans d’existence du contrat, nous pouvons prévoir un pic de rachat

au bout de 8 ans.

En effet, pour ce type de contrat, les rachats sont davantage pénalisants lorsqu’ils sont effectués avant

huit ans d’ancienneté : les plus-values sont imposées soit par le biais de l’impôt sur le revenu soit par le

biais de prélèvement libératoire. Si l’assuré rachète une partie ou la totalité de son contrat avant la

quatrième année du contrat, le taux de prélèvement libératoire est de 35%. Si le rachat s’effectue entre

la quatrième et huitième année, il s’élève à 15%. Pour un contrat de plus de huit ans d’existence, le

prélèvement libératoire n’est plus que de 7,5% couplé à un abattement de 4600 euros par an (9200

dans d’autres cas).

Il faut cependant compter aussi des prélèvements sociaux (CSG, CRDS, prélèvement social let RSA) qui

s’appliquent (12,1%).

L’allure générale de la courbe des rachats utilisée en fonction de l’ancienneté est la suivante :

Figure Figure Figure Figure 16161616.... Taux de rachat structurelTaux de rachat structurelTaux de rachat structurelTaux de rachat structurel

Taux de rachat structurel

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

ans et

plusAncienneté du contrat (ans)

Ta

ux d

e r

ach

at


3.2.2. Rachats conjoncturels

Le taux de rachats conjoncturels est modélisé grâce au modèle donné par l’ACP dans les Orientations

Nationales Complémentaires aux Spécifications Techniques (ONCST) pour le QIS 5.

Le comportement de rachat conjoncturel dépend de l’écart entre le taux de revalorisation servi par

l’assureur et le taux de marché observé.

Si le taux servi est inférieur au taux attendu, les assurés auront tendance à racheter plus que ne

l’indique le taux de rachats structurels. A l’inverse, si les assurés se voient offrir un taux supérieur à

leurs attentes, ils rachèteront moins que par le passé.

Nous prendrons le taux moyen d’emprunt d’Etat (TME) comme estimateur du taux attendu par les

assurés.

( )

( )

>−

<−<−

−−<−<

<−<−

−−<−

=

δ

δγγδ

γγβ

βαβα

βα

TMERRC

TMERTMER

RC

TMER

TMERTMER

RC

TMERRC

TMERoncturelRachatConj

si

si

si 0

si

si

),(

min

min

max

max

• α est le seuil en-deçà duquel les rachats conjoncturels sont constants et fixés à maxRC . Dans

ce cas là, ce n’est plus l’écart de taux qui explique le comportement des assurés.

• β etγ sont respectivement les seuils d’indifférence à la baisse et à la hausse du taux servi.

Entre ces 2 seuils, le comportement de l’assuré n’est pas modifié.

• δ est le seuil en-delà duquel la diminution du taux de rachat structurel est constante et fixée à

minRC . Dans ce cas, ce n’est plus l’écart de taux qui explique le comportement des assurés.

Les ONCST préconisent ainsi d’utiliser cette fonction avec des paramètres bornés. Nous prendrons la

moyenne de ces paramètres pour notre modélisation.


AssuréAssuréAssuréAssuré v w x y z{|}~ z{|��

Plafond supérieurPlafond supérieurPlafond supérieurPlafond supérieur -4% 0% 1% 4% -4% 40%

Plafond inférieurPlafond inférieurPlafond inférieurPlafond inférieur -6% -2% 1% 2% -6% 20%

MoyenneMoyenneMoyenneMoyenne -5% -1% 1% 3% -5% 30%

D’après ces valeurs, nous pouvons tracer les trois courbes dans le graphique suivant :

Figure Figure Figure Figure 17171717.... Taux de rachat conjoncturelTaux de rachat conjoncturelTaux de rachat conjoncturelTaux de rachat conjoncturel....

3.2.3. Rachats totaux

Ces deux taux seront additionnés de façon à ce que le taux reste positif ou nul. Ainsi, pour le contrat i :

))),()(,0max(,1min()( TMERoncturelRachatConjicturelRachatStruilRachatTota +=

Comme pour la mortalité stochastique, une variable aléatoire suivant une loi uniforme U[0,1] sera tirée

pour chaque assuré à chaque instant t de chaque itération stochastique. Si la valeur tirée est inférieure

-10%

0%

10%

20%

30%

40%

50%

-8% -7% -6% -5% -4% -3% -2% -1% 0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8%

Taux de rachat

conjoncturel

R-TME

Lois de rachats conjoncturels maximales définies par les

ONCST

Plafond minimum Plafond maximum Avec moyenne des paramètres


ou égale au taux de rachat total, nous considérons que l’assuré rachète son contrat. Sinon, le contrat

reste en cours.

Figure Figure Figure Figure 18181818.... Taux de rachatTaux de rachatTaux de rachatTaux de rachat

Le comportement des assurés est un point clé à prendre en compte pour l’assureur car il existe une

forte interaction entre les rachats et le taux de revalorisation. En effet, si le taux servi par l’assureur

est en dessous de leur attente, les assurés auront tendance à racheter. C’est pourquoi le taux de

revalorisation doit prendre en compte le comportement des assurés.

3.3.3.3.3.3.3.3. Arbitrage Arbitrage Arbitrage Arbitrage entre fonds Eentre fonds Eentre fonds Eentre fonds Euro eturo eturo eturo et fonds UCfonds UCfonds UCfonds UC

Les contrats étudiés sont des contrats d’épargne multi-supports avec deux fonds proposés. L’assuré a

donc le choix de répartir son capital entre

• un fonds Euro qui comporte un taux minimum garanti (TMG),

• un fonds en unités de compte où l’assuré prend tout le risque.

Nous considérons que, moyennant des frais, il peut arbitrer librement une fois par mois. Nous allons

donc développer un modèle qui prend en compte le comportement de l’assuré.

Imposition Cours des actions

Taux obligations

Facteurs explicatifs : Taux servi et TME Facteur explicatif : Ancienneté

Taux rachat structurel Taux rachat conjoncturel

Taux rachat total


3.3.1. Remise en cause de l’hypothèse de rationalité

La théorie micro-économique repose sur l’hypothèse de rationalité des agents qui est le socle de

l’hypothèse d’efficience des marchés. Cependant, cette hypothèse a fait l’objet de nombreuses remises

en cause. En effet, comme l’a souligné F. BLACK en 1986, de nombreux investisseurs s’appuient sur des

informations non pertinentes pour leurs ordres d’achats ou de ventes d’actifs. La finance

comportementale, théorie financière récente, propose une alternative où le comportement des agents

n’est plus supposé parfaitement rationnel.

Ce phénomène peut se retrouver dans le comportement des assurés vis-à-vis des arbitrages. Tout

d’abord, selon une étude de TNS Sofres de 2006, il s’est avéré que les assurés ne sont pas au courant

des frais d’arbitrage (plus d’un tiers de la population sondée selon l’étude). Il en ressort donc que le

niveau de frais ne sera pas considéré comme un critère de choix d’arbitrage.

De plus, les assurés agissent de façon retardée par rapport au marché. En effet, les assurés ont

tendance à investir sur un fonds en unités de compte quand celui-ci a réalisé de bonnes performances

(par rapport au fonds Euro) sur les dernières années et à désinvestir quand le rendement a été moins

important. Ainsi, les assurés considèrent que l’historique des rendements des différents fonds est un

indicateur de l’évolution à venir.

Nous allons donc proposer un modèle simple de rachats dynamiques où les assurés ne se comportent

pas de façon optimale et n’ont pas forcément conscience des frais d’arbitrage.

3.3.2. Modèle mis en place

Nous estimons que le rendement espéré pour une année par l’assuré pour les différents fonds

correspond à la moyenne des rendements sur les trois dernières années. Nous considérons aussi que

l’assuré peut effectuer au maximum un arbitrage par an.

Pour chaque période �, la proportion du capital, �"��"��, à investir sur le fonds euro est donnée

par (sans tenir compte des frais d’arbitrage) :

�� "��"�� min�/ ) �;��6��T�O�Zssssssssssssss = ��6��Zssssssssssss>; 1� si��6��T�O�Zssssssssssssss � ��6��Zssssssssssssmax�/ ) �;��6��T�O�Zssssssssssssss = ��6��Zssssssssssss>; 0� si��6��T�O�Zssssssssssssss Q ��6��Zssssssssssss


Avec

• ��6��T�O�Zssssssssssssss le rendement attendu du fonds Euro c’est à dire la moyenne des rendements des

trois dernières périodes,

• ��6��Zssssssssssss le rendement attendu du fonds en UC c’est à dire la moyenne des rendements des

trois dernières périodes,

• / ∈ �0,1� la proportion à investir sur le fonds Euro quand le rendement espéré de du fonds en

UC est inférieur à celui du fonds Euro,

• � le facteur de sensibilité à la prime de risque lorsque le rendement espéré de du fonds en UC

est inférieur à celui du fonds Euro,

• � le facteur de sensibilité à la prime de risque lorsque le rendement espéré de du fonds en UC

est supérieur à celui du fonds Euro,

En appliquant l’égalité ��Z�\�7�\�Z � 1 = ��O�Z�\�7�\�Z , nous obtenons la proportion du capital à investir sur le

fonds en unités de compte (sans tenir compte des frais d’arbitrage) :

��%��"��"�� max�1 = / ) �;��6��Zssssssssssss = ��6��T�O�Zssssssssssssss>; 0� si��6��T�O�Zssssssssssssss � ��6��Zssssssssssssmin�1 = / ) �;��6��Zssssssssssss = ��6��T�O�Zssssssssssssss>; 1� si��6��T�O�Zssssssssssssss Q ��6��Zssssssssssss

Dans le premier cas, le rendement espéré du fonds Euro est supérieur à celui du fonds en UC. Suivant

son degré d’aversion au risque, l’assuré va investir son capital sur le fonds à taux minimum garanti. Si le

rendement attendu du fonds en UC n’est pas trop faible, il laissera une certaine partie sur ce fonds.

Dans le second cas, le rendement espéré du fonds Euro est inférieur à celui du fonds en UC. En fonction

du niveau d’aversion au risque, l’assuré va transférer une plus grande partie de son montant investi sur

le fonds Euro vers les unités de compte.

3.3.3. Calibrage du modèle

� , � et / sont les facteurs prenant en compte l’aversion au risque de l’assuré, à calibrer pour obtenir

un modèle cohérent.


En effet, / détermine l’aversion au risque. Plus ce paramètre sera élevé et proche de 1, plus l’assuré

sera averse au risque que représente le fonds en UC. A rendements espérés des deux fonds égaux, le

facteur / détermine la proportion investie dans le fonds Euro. Ainsi, dans cette optique, un assuré dont

le facteur / est plus important qu’un autre aura une plus grande proportion de son capital investie dans

le fonds Euro. Un individu averse au risque aura un / proche de 1 alors que celui d’un individu riscophile

sera plus proche de 0.

Les facteurs � et � permettent de favoriser le fonds qui a le meilleur rendement et retranscrivent ainsi

le niveau de risque pris par l’assuré en fonction de l’écart des rendements attendus. Plus � ou � sont

élevés plus l’assuré va favoriser le fonds avec le plus fort rendement attendu. On différencie tout de

même ces deux paramètres du fait du caractère sans risque du fonds Euro et du caractère plus risqué

du fonds en UC.

Ainsi, un assuré riscophobe préfèrera investir davantage dans le fonds Euro que dans un fonds en UC.

En cas de baisse du rendement des unités de compte sous le rendement du fonds Euro, il transférera

une plus grande proportion dans le fonds Euro pour une même baisse du rendement du fonds en unités

de compte. Le phénomène sera inversé pour un assuré riscophile. En d’autres termes, les facteurs � et � traduisent la dissymétrie de l’appétence au risque. Le schéma ci-dessous illustre ce phénomène pour

les trois catégories d’assurés : riscophile, neutre au risque et riscophobe.


Figure Figure Figure Figure 19191919. Evolution des proportions du fonds Euro en fonction du différentiel de rendements espérés des fonds . Evolution des proportions du fonds Euro en fonction du différentiel de rendements espérés des fonds . Evolution des proportions du fonds Euro en fonction du différentiel de rendements espérés des fonds . Evolution des proportions du fonds Euro en fonction du différentiel de rendements espérés des fonds

Euro et UC pour trois catégories d'agents : riscophobeEuro et UC pour trois catégories d'agents : riscophobeEuro et UC pour trois catégories d'agents : riscophobeEuro et UC pour trois catégories d'agents : riscophobe, neutre au risque et riscophile., neutre au risque et riscophile., neutre au risque et riscophile., neutre au risque et riscophile.

Le calibrage des trois facteurs doit normalement porter sur des données historiques. En l’absence de

telles données, nous nous appuyons sur le raisonnement suivant qui peut être discutable : la proportion

fonds Euro / fonds UC définie par l’assuré lors de la souscription du contrat définit l’attitude face au

risque de l’assuré. Ainsi, les assurés peuvent être classés suivant leur choix initial:

• Catégorie 1 (75% fonds Euro – 25% fonds UC) : assuré riscophobe,

• Catégorie 2 (50% fonds Euro – 50% fonds UC) : assuré neutre au risque,

• Catégorie 3 (25% fonds Euro – 50% fonds UC) : assuré riscophile.

La catégorie à laquelle l’assuré appartient définit le facteur / comme étant la proportion investie dans

le fonds Euro au départ.

-40,00%

-30,00%

-20,00%

-10,00%

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

-7% -6% -5% -4% -3% -2% -1% 0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7%

Va

ria

tio

n d

e l

a p

rop

ort

ion

du

fo

nd

s E

uro

rendement attendu du fonds UC- rendement attendu du fonds Euro

Evolution des proportions du fonds Euro en fonction du différentiel

de rendements espérés des fonds Euro et UC

Assuré riscophobe Assuré neutre au risque Assuré riscophile

=�

=�


Les paramètres � et � sont ensuite définis de façon à être cohérent pour chaque catégorie d’attitude

face au risque.

Nous retenons les valeurs suivantes pour le calibrage du modèle :

AssuréAssuréAssuréAssuré � v w

RiscophobeRiscophobeRiscophobeRiscophobe 0,75 3,50 2,50

Neutre au risqueNeutre au risqueNeutre au risqueNeutre au risque 0,50 3 3

RiscophileRiscophileRiscophileRiscophile 0,25 2,50 3,50

Les figures suivantes donnent des exemples des comportements des assurés face aux arbitrages dans

un cas particulier de scénario économique. Le premier graphique permet de visualiser les arbitrages

d’un assuré dit riscophobe. Dès la fin de la première année, celui-ci arbitre en faveur du fonds en UC

dans l’espoir de bénéficier d’un rendement de 8%. Le rendement de l’unité de compte se dégrade vers la

cinquième année (entre 0 et 2% entre les années 5 et 7), l’assuré se reporte massivement sur le fonds

Euro plus sécuritaire.

Figure Figure Figure Figure 20202020. Exemple d'évolution de la répartition du capital d'un assuré riscophobe dans le cas où . Exemple d'évolution de la répartition du capital d'un assuré riscophobe dans le cas où . Exemple d'évolution de la répartition du capital d'un assuré riscophobe dans le cas où . Exemple d'évolution de la répartition du capital d'un assuré riscophobe dans le cas où � � ��%, v � �, �

et et et et w � , �....

0,00

200,00

400,00

600,00

800,00

1000,00

1200,00

0 2 4 6 8 10 12

Va

leu

r e

n €

Durée (en années)

Exemple de l'évolution de la répartition du

capital d'un assuré riscophobe

Fonds UC

Fonds Euro

Valeur de

l'unité de

compte


Ce second graphique montre des variations plus importantes lors des bonnes performances de l’UC.

L’assuré souhaite bénéficier des bonnes performances de l’unité de compte et veut ainsi conforter

chaque année sa position. Lors de la baisse de performance de l’UC vers la cinquième année, l’assuré

arbitre très légèrement vers le fonds Euro.

Figure Figure Figure Figure 21212121.... Exemple d'évolution de la répartition du capital d'un assuré riscophile dans le cas où Exemple d'évolution de la répartition du capital d'un assuré riscophile dans le cas où Exemple d'évolution de la répartition du capital d'un assuré riscophile dans le cas où Exemple d'évolution de la répartition du capital d'un assuré riscophile dans le cas où � � �%, v � , �

et et et et w � �, �....

4. Modélisation dynamique des interactions actif-passif

4.1.4.1.4.1.4.1. AAAAllocatllocatllocatllocation ion ion ion stratégique stratégique stratégique stratégique d’actifd’actifd’actifd’actif du fonds Edu fonds Edu fonds Edu fonds Eurourourouro

4.1.1. Allocation d’actif

L’allocation d’actif du fonds Euro est définie par une allocation cible en actions et obligations. Une

certaine proportion d’actions et d’obligations est investie dans le portefeuille de l’assureur, la part

d’obligations étant prépondérante pour répondre à la législation.


L’allocation cible est respectée tout au long de la projection en valeur comptable. Chaque début d’année

l’assureur effectue des investissements et des désinvestissements dans le but de se rapprocher de

cette allocation cible. Cette phase est appelée le rebalancement de l’actif.

De plus, l’assureur réalise tous les ans un pourcentage des plus values latentes sur actions qu’il détient

dans son portefeuille afin d’augmenter les produits financiers. Elles sont réalisées en fin d’année après

la variation des cours et permettent de revaloriser en partie l’épargne des assurés.

4.1.2. Rebalancement de l’actif stratégique

Chaque début d’année, nous rebalançons l’actif par le biais de désinvestissements et d’investissements

dans le but de retrouver l’allocation cible définie initialement. Cependant, cette allocation d’actif est

stratégique, afin d’affiner l’adossement entre le passif et l’actif pour avoir les « bons flux d’actif » au

« bon moment », nous n’investissons pas dans des obligations de même maturité pour toutes les

périodes. Ainsi, les obligations sont choisies de façon à ce que la duration du portefeuille obligataire soit

égale à la duration du passif déterministe.

• Duration du portefeuille obligataire :

La duration mesure la durée de vie moyenne des flux actualisés générés par un actif financier ou un

portefeuille. C’est la période à l’issue de laquelle le rendement financier du portefeuille devient

approximativement égal à son taux de rendement actuariel quelle que soit l’évolution des taux de

marché.

La duration (au sens de Frederick Macaulay) d’une obligation / de maturité � et de taux actuariel à la

date d’achat �\ servant les flux �&�¡� est égale à :

¢' � ∑ �7 ¤ &�¡�1 ) �\��¡N7+�∑ &�¡�1 ) �\��¡N7+�

Nous considérons ensuite que la duration du portefeuille obligataire est la moyenne des durations

individuelles pondérées par leur poids dans leur portefeuille (leur valeur de marché¥¦' ).

Ainsi, la duration du portefeuille obligataire peut s’écrire :

¢§��¨©�7ª\�\7OT � ∑ ¥¦' ¤ ¢'«'+,∑ ¥¦'6'+,


Où ¬ est le nombre d’obligations en portefeuille.

• Duration du passif déterministe :

Au début de la première année de simulation, nous projetons de manière déterministe les flux de passif

correspondant à chaque assuré. Nous déterminons une chronique fictive de flux de passif ;&�¡> basée

sur la durée de simulation, un taux de rachat structurel et un taux moyen d’arbitrage vers le fonds en

unités de compte. Nous supposons aussi qu’il n’y a pas de revalorisation annuelle prise en compte.

Le flux de l’année � � 1 de l’assuré u est alors donné par la formule suivante :

&� � ®�¦��u,0� =$&(�L,(+, ¯ ¤ �b"�°"�#��u, �� ) �u¦�±��K�<��"²��

Avec b"�°"�#��u, �� le taux de rachat structurel pour l’individu u l’année � et �u¦�±��K�<��"²� le taux moyen d’arbitrage du fonds Euro vers le fonds UC.

Par la suite, nous prendrons 5% pour la valeur de ce taux moyen.

Nous sommons ensuite les flux de tous les assurés pour obtenir les flux globaux &�.

Puis chaque début d’année, la duration du passif déterministe ¢��\��7� est calculée avec la formule de la

duration exposée précédemment.

¢��\��7� � ∑ � ¤ &�B7�1 ) ³%��, � ) ��7NL�7+,∑ &�B7�1 ) ³%��, � ) ��7NL�7+,

Où ³%��, � ) �� est le taux zéro-coupon en � de maturité� ) �.

• Investissements et désinvestissements :

Pour atteindre l’allocation souhaitée, chaque 1er janvier, il suffit de calculer la valeur de marché globale

des actifs et de comparer les proportions actuelles des actions et des obligations.

Nous prenons la simplification suivante : les valeurs de marché au 31/12/N sont identiques à celles du

01/01/N+1.

Ainsi, si la valeur de marché des actions est supérieure à la valeur cible, des actions sont désinvesties

pour les réinvestir en obligations dans le but de rétablir la proportion voulue.


Si la valeur de marché des actions est inférieure à la valeur de marché cible des actions, des obligations

sont au contraire désinvesties pour acheter de nouvelles actions.

Dans ces deux cas, les désinvestissements sont réalisés suivant la règle FIFO : Les actifs les plus

anciens sont vendus en premier.

4.2.4.2.4.2.4.2. Paiement des prestationsPaiement des prestationsPaiement des prestationsPaiement des prestations

Les prestations dues aux rachats et décès sont versées en fin d’année. La dernière année de simulation,

si toutefois il reste des contrats en cours dans le portefeuille, la provision pour participation aux

bénéfices et les encours sont ajoutés au montant des prestations.

Pour payer ce flux, l’assureur dispose pour seules liquidités des remboursements des obligations

arrivées à l’échéance (nominaux).

Si ces liquidités suffisent à payer toutes les prestations, l’assureur réinvestit le surplus en actions et

obligations suivant l’allocation cible. Les actifs sont achetés au cours de l’action de fin d’année

(31/12/N). Les obligations sont investies telles que la duration du portefeuille obligataire soit proche de

celle du passif déterministe.

Néanmoins, si les liquidités ne suffisent pas à payer les prestations, nous désinvestissons en actifs

suivant la règle FIFO et suivant les proportions retenues pour l’allocation cible.

4.3.4.3.4.3.4.3. Revalorisation de l’épargneRevalorisation de l’épargneRevalorisation de l’épargneRevalorisation de l’épargne du fonds Eurodu fonds Eurodu fonds Eurodu fonds Euro

4.3.1. Taux cible

Chaque année, l’assureur doit pouvoir offrir à ses assurés un taux de revalorisation sur le fonds Euro

qui soit équivalent à celui de ses concurrents (ou qui s’en rapproche) s’il veut que les assurés ne

rachètent pas leur contrats.

Nous calculons alors le taux cible qui définit le niveau de revalorisation souhaité par l’assureur. Ce taux

est fonction du taux technique, du taux du marché mais également du taux servi par la concurrence qui

est lui-même fonction du taux du marché.

De plus, d’après la fonction de rachats conjoncturels définie par l’ONC et utilisée dans ce modèle, le taux

de rachats conjoncturels est nul ou négatif lorsque le taux servi est supérieur au �¦ = 1%.


Nous déterminons le taux cible de cette façon :

�"�u%�<��.� � max��¦ �.� = 1%; �"�u��°��q��

4.3.2. Politique de pilotage de la participation au bénéfice

La politique de pilotage de distribution de la participation des bénéfices (PB) relève du comportement de

l’assureur. Cet élément doit aussi être modélisé. En effet, la PPB ou Provisions pour Participation aux

Bénéfices permet de lisser les résultats les années où les produits financiers ne sont pas suffisants et

ne permettent pas d’atteindre le taux de revalorisation cible.

Le code des assurances impose que la partie des produits financiers placée dans la PPB soit reversée au

maximum 8 ans après. De plus, la PPB ne peut être utilisée que pour honorer la participation aux

bénéfices. Elle ne peut en aucun cas servir le taux technique.

Chaque année, l’assureur dispose des produits financiers, de la PPB qu’il a dotée il y a 8 ans et qu’il doit

obligatoirement reverser ainsi que, s’il en a besoin, du montant de la PPB constituée il y a moins de 8

ans.

• Détermination du taux servi :

Nous devons calculer le taux servi en fonction de différents paramètres :

o les produits financiers �&�.�,

o le taux de PB contractuel �u�� qui représente un pourcentage des produits financiers,

o le montant des PPB des 8 années précédentes,

o et le montant de revalorisation cible b��"��"��%�<��.� tel que

b��"��"��%�<��.� � �"�u%�<��.� ¤ �¦��´��<"��.�

Si les produits financiers sont positifs :

o Si la PPB constituée il y a 8 ans est suffisante pour atteindre la revalorisation cible, alors cette

PPB est versée et les produits financiers sont dotés en PPB.

o Si la PPB il y a 8 ans n’est pas suffisante, nous prenons la part des produits financiers de l’année

pour revaloriser. S’il reste des produits financiers, ceux-ci sont dotés dans la PPB à verser dans

8 ans. Si le montant est toujours inférieur à la revalorisation cible, nous puisons dans les PPB

constituée plus tardivement pour se rapprocher au mieux du taux cible.


Si les produits financiers sont négatifs :

o La garantie cliquet est activée, la revalorisation ne pourra être inférieure au taux minimum

garanti, c’est-à-dire 0%.

o Les PPB constituées auparavant sont utilisées pour servir le montant de revalorisation cible ou

au moins l’approcher. La PPB joue donc bien son rôle en lissant les résultats.

4.3.3. Produits financiers

Au 31 décembre de l’année ., après le paiement des prestations, nous calculons les produits financiers

réalisés sur l’année. A cette date les obligations entraînent la tombée de coupons. Les actions versent

également des dividendes.

Les produits financiers de l’année. sont donc calculés de cette manière :

�&�.� � %��.� ) ¢��.� ) �¦¥��<"��.� ) �¦¥�é��.�) �b ��.� = �b ��é��.�) min�b��%"��"��"��.�; 0� ) �&_b�%�.� ) �&_��.�

Avec

• %��.� les coupons versés l’année .,

• ¢��.� les dividendes versés l’année .,

• �¦¥��<"��.� les plus ou moins values réalisées sur les actions vendues lors du

rebalancement de l’actif de l’année .,

• �¦¥�é��.� les plus ou moins values réalisées sur les actions vendues lors de la phase de

besoin de liquidités de l’année .,

• �b ��.� le montant de la PRE qui a été repris dans l’année .,

• �b ��é��.� le montant de la PRE qui a été doté dans l’année .,

• b��%"��"��"��.� le montant de la réserve de capitalisation à la fin de l’année .,

• �&_b�%�.� les produits financiers sur la réserve de capitalisation obtenus l’année .,

• �&_��.� les produits financiers sur la provision pour participation aux bénéfices obtenus

l’année ..

• Réserve de capitalisation

La réserve de capitalisation est une provision permettant de se couvrir de la dépréciation des actifs de

l'entreprise. Elle n'est impactée par les plus ou moins values réalisées qu'en cas de cession d'actifs

relevant de l'article R332-19 à l'exception des obligations à taux variables. Elle a alors l'avantage de


lisser les résultats financiers des placements du fonds Euro en cas de variation des taux. Dans

l'hypothèse où la réserve de capitalisation devient nulle, le résultat financier est alors affecté par les

moins values obligataires réalisées.

La réserve de capitalisation est gérée de manière dynamique. Sur chaque année de la projection, en cas

de cessions d’obligations, les plus values réalisées viennent doter la réserve et les moins values

entraînent des reprises.

Ainsi, pour toute année .,

b��%"��"��"��.�� b��%"��"��"��. = 1� ) �¦¥·<��²b�<"��.�) �¦¥·<��²¢é��.�

Avec

o �¦¥·<��²b�<"��.� le montant des plus ou moins values réalisées lors de la vente

d’obligations pour le rebalancement de l’actif du début de l’année .,

o �¦¥·<��²¢é��.� le montant des plus ou moins values réalisées lors de la vente

d’obligations pour payer des prestations de l’année . si les liquidités ne sont pas suffisantes.

• Provision pour Risque d’Exigibilité - PRE

La provision pour risque d’exigibilité est une provision technique destinée à faire face aux engagements

envers les assurés en cas de moins-value de l’ensemble des actifs hors obligataires. Elle doit être

constituée lorsque les placements relevant de l’article R.332-20 du code des assurances (notamment

placements en actions et en biens immobiliers) se trouvent en situation de moins-value latente nette

globale.

Un arrêté du 30 janvier 2009 autorise les entreprises à étaler la PRE sur une période égale à la

duration du passif de l’entreprise dans la limite de 8 ans.

La duration du passif étant supérieure à 8 ans nous décidons de l’étaler sur 8 ans pour toutes les

projections.

Ainsi la PRE dotée l’année . est égale à :

�b ��é��.� � ¦��¥"��.� = �b �. = 1�8

Par simplification, toutes les dotations et reprises sur la PRE affectent les produits financiers.

La PRE finale de l’année . se calcule donc de cette façon :


�b �.� � �b �. = 1� ) �b ��é��.� = �b ��.�

4.4.4.4.4.4.4.4. Marge Marge Marge Marge financièrefinancièrefinancièrefinancière

L’assureur dégage de la marge financière grâce à des prélèvements annuels sur les encours des

épargnants.

4.4.1. Fonds Euro

Dans notre modélisation, pour le fonds Euro, la politique de l’assureur est de tenter de satisfaire la

contrainte commerciale quitte à sacrifier sa marge. Ainsi l’assureur décide s’il peut dégager sa marge

financière en comparant le taux de revalorisation brut de frais et le taux de prélèvement. Si le taux de

revalorisation servi par l’assureur net de frais est supérieur au taux minimmum garanti, il s’accorde une

marge financière égale à :

¦"�²�&��"��è�� b·�.� � �"�u��é�è��!�� b· ¤ �¦��û��"�� b·�.�

Sinon, il abandonne sa marge dans le but de satisfaire la contrainte de taux.

4.4.2. Fonds UC

Nous envisageons un taux de prélèvement sur l’encours en UC quelque soit l’évolution du support.

¦"�²�&��"��è��%�.� � �"�u��é�è��!��% ¤ �¦��û��"��%�.�

4.4.3. Arbitrage entre les fonds

A chaque arbitrage entre les fonds, l’assuré prélève des frais sur le montant arbitré.


Partie 3. Application du modèle avec un portefeuille

Les différents modèles retenus et leurs calibrages ont été détaillés dans la partie précédente. Afin de

donner un aspect pratique à ce mémoire et ainsi d’analyser l’impact des différents paramètres du

modèle, nous développons la méthodologie retenue sous le logiciel actuariel MoSes.

Dans un premier temps, nous présentons les hypothèses retenues pour ce contrat. Nous introduisons

aussi le portefeuille d’assurés avant d’expliquer le fonctionnement de MoSes.

Enfin, une fois le modèle implémenté, nous pourrons faire l’étude de sensibilités des paramètres du

modèle. Ceci permettra de définir dans quelle mesure les paramètres influencent la valeur économique

du contrat d’épargne multi-supports.


Chapitre 1. Implémentation du modèle sur MoSes

1. Hypothèses

L’objectif étant de calculer une provision Best Estimate, nous déterminons, par le bais d’un modèle, les

flux de trésorerie futurs dans différents scenarios. Les flux sortant concernés sont les montants liés

aux prestations dues à un décès ou à un rachat total de l’épargne sur les fonds. Nous considérons que

nous sommes en situation de run-off et qu’aucun versement libre futur n’est pris en compte. Ainsi,

aucun flux de trésorerie entrant ne sera pris en compte.

1.1.1.1.1.1.1.1. Hypothèses du contratHypothèses du contratHypothèses du contratHypothèses du contrat

Les paramètres du contrat ont été choisis afin de correspondre au mieux aux produits que l’on trouve

sur le marché.

Ainsi, nous fixons le taux technique à 0% accompagné d’un taux de participation aux bénéfices de 100%

des produits financiers.

L’assureur se rémunère grâce aux frais prélevés chaque année sur les encours en euros (0,5%), en UC

(0,5%) et sur les montants arbitrés (1%).

Les hypothèses sur les différents modèles d’actifs et du comportement des assurés (mortalité, rachats,

arbitrages) ont été données dans les différentes sections précédentes.

En ce qui concerne le passif, la provision pour risque d’exigibilité est supposée nulle à la date

d’évaluation. La réserve de capitalisation et la provision pour participation aux bénéfices sont égales à

1% de la provision mathématique initiale de la part Euro. Les fonds propres sont égaux à 3% de la même

provision mathématique.

La provision mathématique du fonds Euro est investie en 80% d’obligations et 20% d’actions qui versent

des dividendes annuels de 1% du cours.


1.2.1.2.1.2.1.2. Hypothèses de projectionHypothèses de projectionHypothèses de projectionHypothèses de projection

Nous projetons les flux permettant le calcul du Best Estimate sur 50 ans. Ainsi, si des assurés sont

encore présents dans le portefeuille, nous considérons que ceux-ci rachètent leur contrat cette

dernière année.

Dans l’optique d’actualiser les flux probables des prestations obtenus à chaque simulation, nous

utilisons la courbe fournie par l’Institut des Actuaires de juin 2010.

2. Portefeuilles des assurés

Le fichier de données (model point) nous donne les informations nécessaires pour valoriser le contrat.

Pour chaque assuré, nous connaissons ainsi la provision mathématique placée sur le fonds Euro et celle

sur le fonds en unités de compte à la date d’évaluation (en date dite initiale). Nous avons aussi l’âge,

l’ancienneté du contrat et le sexe de l’assuré.

Chaque assuré dispose d’une provision mathématique de 1000 euros en date d’évaluation. Celle-ci est

partagée sur les deux fonds. Par souci de simplification, nous avons considéré que la proportion de la

provision mathématique du fonds Euro était de 25%, 50% ou 75% la provision mathématique totale

suivant l’assuré.

La provision mathématique totale s’élève à 1.000.000 euros partagée en 507.250 euros investis sur le

fonds Euro et 492.750 euros sur le fonds UC.

Figure Figure Figure Figure 22222222. Répartition des contrats multi. Répartition des contrats multi. Répartition des contrats multi. Répartition des contrats multi----supports suivant l'âgesupports suivant l'âgesupports suivant l'âgesupports suivant l'âge des souscripteurs.des souscripteurs.des souscripteurs.des souscripteurs.

0,0%

0,5%

1,0%

1,5%

2,0%

2,5%

3,0%

18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64 66 68 70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90

Fré

qu

en

ce

âge de l'assuré (années)

Répartition des contrats par âge du souscripteur


Le contrat est détenu par des individus âgés de 18 à 86 ans. L’âge moyen des souscripteurs s’élève à 55

ans. Les plus jeunes sont moins nombreux puisque le comportement « épargne » du cycle de vie

commence après cette période.

FigureFigureFigureFigure 23232323. Pyramide des âges du portefeuille.. Pyramide des âges du portefeuille.. Pyramide des âges du portefeuille.. Pyramide des âges du portefeuille.

Le portefeuille est relativement bien réparti au niveau du sexe du souscripteur puisqu’il est composé de

50,6% de femmes et 49,4% d’hommes.


Figure Figure Figure Figure 24242424. Répartion. Répartion. Répartion. Répartion des contrats dans le portefeuille suivant l'anciennetédes contrats dans le portefeuille suivant l'anciennetédes contrats dans le portefeuille suivant l'anciennetédes contrats dans le portefeuille suivant l'ancienneté....

Le portefeuille est plutôt ancien. 30% des assurés ont plus de 11 ans d’ancienneté.

3. Architecture sur MoSes

Afin d’effectuer notre modélisation, nous choisissons de travailler avec l’outil prospectif MoSes.

Moses est un outil de modélisation et de projection financière, permettant aux actuaires et aux autres

acteurs financiers, de développer des modèles de projections financières et d’évaluations statistiques. Il

est utilisé pour les opérations de pricing, gestion actif-passif, business plan, profit testing dans les

compagnies d’assurance... Les modèles de ce logiciel sont codés dans le langage de programmation de

MoSes, qui est compatible avec le C++. De plus, le concept de fonctionnement de Moses est assez

similaire aux feuilles de calcul de type Excel. En effet, les deux logiciels produisent des résultats qui sont

affichés dans des cellules et utilisent des plages de données.

L’interface de Moses est composée de deux vues, chacune d’entre elles étant utilisée à des moments

différents du processus de modélisation. Nous distinguons ainsi :

• La Task View qui permet de lancer le modèle afin d’obtenir les résultats et de spécifier différentes

hypothèses telles que le nombre de scénarios à lancer, le model point utilisé, les résultats à afficher

et leur périodicité…

• La Design View qui est la vue où sont créées les formules et variables. C’est dans cette vue que l’on

intègre le programme de modélisation en codant en C++ les différents modèles retenus.


Chaque modèle est caractérisé par des variables et des colonnes indexées par le temps avec la variable �. Concernant les variables, on en distingue deux catégories. La première catégorie est stockée dans

une base de données et correspond principalement aux caractéristiques des polices (sexe, âge,

provisions mathématiques…). Nous parlons alors de model point. Quant à la deuxième catégorie, il s’agit

des variables correspondant aux hypothèses de calcul. Nous définissons un fichier Excel d’hypothèses

par type d’hypothèses (lois de rachats, taux techniques, paramètres des modèles de taux et actions…).

Ces fichiers d’hypothèses sont générés à l’aide d’une macro Excel. La figure suivante permet d’illustrer

la prise en compte de ces deux types de variables.

Figure Figure Figure Figure 25252525. Modélisation sous MoSes.. Modélisation sous MoSes.. Modélisation sous MoSes.. Modélisation sous MoSes.

MoSes permet à la fois de créer facilement des modèles déterministes mais aussi stochastiques. En

outre, la plupart des lois utilisées en statistiques sont intégrées dans le logiciel. Ainsi, il est possible

d’effectuer des tirages pseudo-aléatoires avec une grande périodicité. En effet, les algorithmes de

tirage aléatoire en informatique reposent sur des générateurs. Ceux-ci ont parfois l’inconvénient d’être

peu efficace, notamment à cause d’une faible périodicité. Nous pouvons citer l’exemple d’Excel qui utilise

un mauvais de nombres aléatoires périodique. Enfin, les résultats des différentes variables peuvent être

entièrement visualisées après la simulation, scénarios par scénarios et assurés par assurés. Les

résultats sont aussi exportables sur Excel pour les analyser.

Hypothèses

Fichiers

contenant les

hypothèses Variables

Valeurs par défaut ou

lien avec des tables ou

le fichier d’entrée

Data File

Ensemble de model

points

DDF

Données

Base de données

du portefeuille

Moteur de

calcul

Paramètre de calcul

Résultats


Chapitre 2. Analyse des résultats

1. Calcul de la provision Best Estimate

1.1.1.1.1.1.1.1. Etude de convergence du résultatEtude de convergence du résultatEtude de convergence du résultatEtude de convergence du résultat

La valeur du Best Estimate s’obtient par la méthode de Monte-Carlo. Nous générons 8000 scénarios

économiques. Pour chaque scénario, les flux futurs sont déterminés puis actualisés avec la courbe des

taux zéro-coupon.

La méthode de Monte-Carlo permet de calculer une provision mathématique avec une précision

croissante en fonction du nombre de simulations. En effet, c’est la loi des Grands Nombres qui agit.

Figure Figure Figure Figure 26262626. Convergence de la provision Best Estimate en fonction du nombre de simulations.. Convergence de la provision Best Estimate en fonction du nombre de simulations.. Convergence de la provision Best Estimate en fonction du nombre de simulations.. Convergence de la provision Best Estimate en fonction du nombre de simulations.

700 000

750 000

800 000

850 000

900 000

950 000

1 501 1001 1501 2001 2501 3001 3501 4001 4501 5001 5501 6001 6501 7001 7501

Be

st E

stim

ate

Nombre de simulations

Convergence du Best Estimate en fonction du nombre de simulations


Ce graphique permet de nous donner une indication sur le nombre de simulations à retenir pour obtenir

un Best Estimate stable. Un faible nombre d’itérations permettra de réduire le temps d’exécution qui

peut être de plusieurs heures pour 8000 scénarios. Le graphique précédent permet d’indiquer qu’à

partir de 1500 simulations, le Best Estimate reste dans un couloir de 10000 euros.

Nous pouvons tracer l’écart relatif des Best Estimate par rapport à la valeur calculée après 8000

simulations.

Figure Figure Figure Figure 27272727. Ecart relatif entre la provision Best Estimate à un nombre de simulation. Ecart relatif entre la provision Best Estimate à un nombre de simulation. Ecart relatif entre la provision Best Estimate à un nombre de simulation. Ecart relatif entre la provision Best Estimate à un nombre de simulationssss et celle obtenue après 8000 et celle obtenue après 8000 et celle obtenue après 8000 et celle obtenue après 8000

simulations.simulations.simulations.simulations.

Après 2000 simulations, l’écart relatif oscille entre 0 et 0,50% en valeur absolue soit +/- 4421 euros.

Nous estimons que cet écart est négligeable. Ainsi, par la suite, nous nous tiendrons à un nombre de

2000 simulations pour notre étude.

Nous retiendrons alors une provision Best Estimate de 884 713 euros.

1.2.1.2.1.2.1.2. DistributionDistributionDistributionDistribution empiriqueempiriqueempiriqueempirique

Dans le graphique suivant, nous présentons la fonction de densité empirique de la somme des flux futurs

actualisés en segmentant les différentes valeurs obtenues. Nous en déduisons la fonction de répartition.

-3,0%

-2,5%

-2,0%

-1,5%

-1,0%

-0,5%

0,0%

0,5%

1,0%

1,5%

2,0%

2,5%

3,0%

1 501 1001 1501 2001 2501 3001 3501 4001 4501 5001 5501 6001 6501 7001 7501

Nombre de simulations

Ecart relatif


Cette représentation permet de nous faire une idée de la loi que suit la somme des flux futurs

actualisés.

Figure Figure Figure Figure 28282828. Fonctions de densité et de répart. Fonctions de densité et de répart. Fonctions de densité et de répart. Fonctions de densité et de répartition de la somme des flux futuition de la somme des flux futuition de la somme des flux futuition de la somme des flux futurs actualisés pour 8000 simulations.rs actualisés pour 8000 simulations.rs actualisés pour 8000 simulations.rs actualisés pour 8000 simulations.

1.3.1.3.1.3.1.3. Détermination d’intervalle de confiance par la méthode BootstrapDétermination d’intervalle de confiance par la méthode BootstrapDétermination d’intervalle de confiance par la méthode BootstrapDétermination d’intervalle de confiance par la méthode Bootstrap

Afin de définir un intervalle de confiance pour le paramètre inconnu Best Estimate, nous pouvons

effectuer une technique de rééchantillonage appelé méthode Bootstrap non paramétrique sur

l’échantillon des données des flux futurs actualisés des 2000 scénarios simulés. En effet, cette méthode

de type Monte Carlo crée de nouveaux échantillons à l’aide de permutations aléatoires avec remise des

données issues d’un échantillon initial unique. L’intérêt majeur de cette méthode est le fait qu’elle ne

repose sur aucune distribution statistique préalablement définie. Elle ne se base que sur un seul

échantillon connu.

Ainsi, nous créons .=2000 nouveaux échantillons à partir de notre échantillon de taille 2000 avec

remise. Ensuite, nous calculons la provision Best Estimate pour chacun des échantillons créés.

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0,03

0,035

0,04

0,045

520 000 770 000 1 020 000 1 270 000 1 520 000 1 770 000 2 020 000 2 270 000 2 520 000 2 770 000 3 020 000

Fo

nct

ion

de

ré

pa

rtit

ion

Fo

nct

ion

de

de

nsi

té

Sommes des flux futurs actualisés

Fonction de répartition et densité de la somme des flux futurs actualisés

Densité Fonction de répartition


L’intervalle de confiance à 95% est alors obtenu en calculant les quantiles à 2,5% et à 97,5% de

l’échantillon des 2000 Best Estimate nouvellement calculés.

Nous obtenons alors un intervalle de confiance à 95% de [873 851;896 002]. Nous remarquons que le

Best Estimate calculé auparavant appartient à cet intervalle.

2. Analyse du scénario de référence

2.1.2.1.2.1.2.1. Evolution de la provision mathématiqueEvolution de la provision mathématiqueEvolution de la provision mathématiqueEvolution de la provision mathématique moyennemoyennemoyennemoyenne

Le graphique suivant montre l’évolution moyenne des provisions mathématiques en fonction des années

de projection.

Figure Figure Figure Figure 29292929.... Evolution des provisions mathématiques des fonds Euro et UC en comparaison au nombre de contrats en Evolution des provisions mathématiques des fonds Euro et UC en comparaison au nombre de contrats en Evolution des provisions mathématiques des fonds Euro et UC en comparaison au nombre de contrats en Evolution des provisions mathématiques des fonds Euro et UC en comparaison au nombre de contrats en

cours.cours.cours.cours. Moyenne réalisée sur 2000 scénarios.Moyenne réalisée sur 2000 scénarios.Moyenne réalisée sur 2000 scénarios.Moyenne réalisée sur 2000 scénarios.

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1 000

0

100 000

200 000

300 000

400 000

500 000

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80

No

mb

re d

'ass

uré

s

Mo

nta

nt

en

eu

ros

Années de projection

Evolution des provisions mathématiques d'ouverture

Provisions mathématiques fonds Euro

Provisions mathématiques fonds UC

Nombre de contrats en cours


Les provisions mathématiques totales des deux fonds diminuent au cours des années en fonction du

nombre d’assurés encore présent dans le portefeuille. Cette diminution est due aux rachats et décès qui

entrainent le paiement de la provision mathématique. Les provisions mathématiques des deux fonds

diminuent moins fortement que le nombre de contrats en cours. En effet, ceci s’explique par la

revalorisation des provisions mathématiques qui a lieu chaque année.

2.2.2.2.2.2.2.2. Evolution des prestationsEvolution des prestationsEvolution des prestationsEvolution des prestations

Les prestations moyennes (rachats et en cas de décès) ont l’allure suivante :

Figure Figure Figure Figure 30303030.... Evolution des prestations des fonds Euro et UC. Moyenne réalisée sur 2000 scénarios.Evolution des prestations des fonds Euro et UC. Moyenne réalisée sur 2000 scénarios.Evolution des prestations des fonds Euro et UC. Moyenne réalisée sur 2000 scénarios.Evolution des prestations des fonds Euro et UC. Moyenne réalisée sur 2000 scénarios.

Les prestations du fonds Euro augmentent les premières années jusqu’à atteindre un maximum la

cinquième année pour le fonds Euro. Après ce pic, les prestations à payer diminuent progressivement

0,00

10 000,00

20 000,00

30 000,00

40 000,00

50 000,00

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80

Mo

nta

nt

en

eu

ros


Evolution des prestations moyennes

Prestations décès fonds Euro Prestations rachats fonds Euro Prestations totales fonds Euro

Prestations décès fonds UC Prestations rachats fonds UC Prestations totales fonds UC


jusqu’à la fin du contrat. D’une manière générale, l’évolution des prestations moyennes à verser chaque

année est à mettre en relation avec l’évolution de la provision mathématique. Les premières années les

prestations sont plus importantes car l’assiette d’épargne disponible est plus importante. Puis, au fil des

rachats et versements des prestations décès, l’épargne est consommée et les prestations à payer sont

moindres.

2.3.2.3.2.3.2.3. RRRRapprochement du taux servi et du taux cibleapprochement du taux servi et du taux cibleapprochement du taux servi et du taux cibleapprochement du taux servi et du taux cible des fonds Eurodes fonds Eurodes fonds Eurodes fonds Euro

L’évolution simultanée du taux cible et du taux servi par l’assureur a l’allure suivante :

Figure Figure Figure Figure 31313131.... Comparaison des taux moyens servis et cibles.Comparaison des taux moyens servis et cibles.Comparaison des taux moyens servis et cibles.Comparaison des taux moyens servis et cibles. MoyenMoyenMoyenMoyennnnneeee réalisée sur 2réalisée sur 2réalisée sur 2réalisée sur 2000 simu000 simu000 simu000 simullllations.ations.ations.ations.

Nous pouvons observer que le taux servi par l’assureur est en moyenne inférieur au taux cible les 8

premières années. Nous pouvons rapprocher ce résultat aux nombreux rachats que nous avons

observés dans la section précédente. Les années suivantes, le taux servi par l’assureur est toujours au-

dessus du taux cible et ne cesse de croître. La forte hausse du taux servi sur les années suivantes

s’explique par l’augmentation de la part de provision pour participations aux bénéfices dans le bilan tout

au long de la projection. Le versement de la provision pour participation aux bénéfices étant obligatoire

au bout de 8 ans maximum, le taux servi par l’assureur augmente lui aussi.

0%

1%

2%

3%

4%

5%

6%

7%

8%

9%

10%

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70

Va

leu

rs


Evolution des taux servis et taux cibles

Taux cible Taux servi


2.4.2.4.2.4.2.4. Evolution des arbitrages entre les fondsEvolution des arbitrages entre les fondsEvolution des arbitrages entre les fondsEvolution des arbitrages entre les fonds

Figure Figure Figure Figure 32323232.... Evolution du montant des arbitragesEvolution du montant des arbitragesEvolution du montant des arbitragesEvolution du montant des arbitrages. Moyenne réalisée sur 2000 scénarios.. Moyenne réalisée sur 2000 scénarios.. Moyenne réalisée sur 2000 scénarios.. Moyenne réalisée sur 2000 scénarios.

Les arbitrages des deux fonds évoluent assez similairement puisque, comme nous sommes en univers

risque-neutre, le rendement moyen des actifs est le taux sans risque. Après la première année, les

arbitrages diminuent au cours du temps puisque la provision mathématique totale diminue.

0,00

10 000,00

20 000,00

30 000,00

40 000,00

50 000,00

60 000,00

70 000,00

80 000,00

90 000,00

100 000,00

110 000,00

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80

Mo

nta

nt

en

eu

ros


Evolution des arbitrages moyens

Arbitrage vers fonds Euro Arbitrage vers fonds UC


3. Analyse des sensibilités

Afin de déterminer les paramètres qui ont un réel impact sur la valeur de la provision Best Estimate,

nous allons effectuer une analyse de sensibilités.

3.1.3.1.3.1.3.1. VVVVolatilité des actionsolatilité des actionsolatilité des actionsolatilité des actions

Pour cette sensibilité, nous faisons varier la volatilité des actions de 10% à 30% avec un pas de 5%. Sur

2000 itérations, nous obtenons les résultats suivants :

Figure Figure Figure Figure 33333333.... Evolution de la provision Best Estimate en fonction de la volatilité des actions.Evolution de la provision Best Estimate en fonction de la volatilité des actions.Evolution de la provision Best Estimate en fonction de la volatilité des actions.Evolution de la provision Best Estimate en fonction de la volatilité des actions.

Nous observons que la provision Best Estimate augmente lorsque la volatilité des actions augmente. Ceci

provient du fait qu’avec une volatilité supérieure, les actions atteignent des valeurs plus extrêmes. Ainsi,

dans les scénarios les plus favorables, lorsque le prix de l’action augmente de façon importante, son

rendement profite nettement à l’assuré puisque les produits financiers du fonds Euro sont largement

augmentés par la réalisation de plus-values et de dividendes. La provision mathématique du fonds en

unités de compte de l’assuré est elle aussi augmentée de ce rendement.

Cependant, dans le cas où le rendement des actions est insuffisant et négatif, l’assureur garantit un

taux minimum de revalorisation sur le fonds Euro. Ainsi, la revalorisation étant faible, les assurés

rachètent davantage ou arbitrent en faveur du fonds Euro, fonds plus sécuritaire. Les prestations


seront plus importantes mais le taux de revalorisation restera néanmoins supérieur au taux minimum

garanti. L’assureur subira alors en moyenne davantage de charges lorsque la volatilité augmente.

La dissymétrie existante entre les rendements extrêmes des actions dans les cas les plus favorables et

défavorables explique donc l’augmentation de la provision Best Estimate lorsque la volatilité de l’actif

augmente.

3.2.3.2.3.2.3.2. RRRRachatsachatsachatsachats

Afin d’étudier l’incidence des rachats sur la provision Estimate, nous nous proposons de distinguer les

deux types de rachats et d’étudier leur impact sur le Best Estimate indépendamment puisque les

facteurs explicatifs de ses phénomènes sont totalement différents.

3.2.1. Rachats structurels

Ces rachats sont incompressibles et principalement expliqués par la fiscalité mise en place dans le pays

d’exploitation du produit. Pour analyser cette sensibilité, nous utilisons la loi de référence à laquelle

nous allons appliquer une variation de -2% à +2%.

Figure Figure Figure Figure 34343434.... Evolution de la provision Best Estimate en fonction de la loi de rachats structurels.Evolution de la provision Best Estimate en fonction de la loi de rachats structurels.Evolution de la provision Best Estimate en fonction de la loi de rachats structurels.Evolution de la provision Best Estimate en fonction de la loi de rachats structurels.

Plus le taux de rachats structurels est élevé plus la provision Best Estimate est importante. Cela

s’explique par le fait que le montant des rachats est plus important dès les premières années et que

l’actualisation est faible lors des premières années. En effet, la courbe d’actualisation utilisée est


croissante. L’encours global diminue donc plus rapidement. Le taux de rachat l’emporte sur le taux

d’actualisation des premières années

De plus, les assurés subissent moins de prélèvements sur leur encours de la part de l’assureur.

3.2.2. Rachats conjoncturels

Dans cette étude de sensibilité, nous nous appuyons sur la variation de la provision Best Estimate

lorsque nous utilisons les plafonds des lois de rachats conjoncturels préconisés par l’ACP (présentés

dans la partie 2 chapitre 2).

Figure Figure Figure Figure 35353535.... Evolution de la provision Best Estimate en fonction de la loi de rachats conjoncturels.Evolution de la provision Best Estimate en fonction de la loi de rachats conjoncturels.Evolution de la provision Best Estimate en fonction de la loi de rachats conjoncturels.Evolution de la provision Best Estimate en fonction de la loi de rachats conjoncturels.

Les mêmes conclusions données pour les rachats structurels se retrouvent ici. En cas de durcissement

de la loi de rachats conjoncturels (plafond supérieur), chaque année, dans chaque scénario et en vision

« moyenne », les taux de rachats totaux sont plus élevés que ceux observés dans le scénario de

référence, quelque soit l’écart entre le taux servi et le taux du marché.

3.3.3.3.3.3.3.3. LoiLoiLoiLoi d’arbitraged’arbitraged’arbitraged’arbitrage entre les fondsentre les fondsentre les fondsentre les fonds

La spécificité des contrats multi-supports est d’offrir un droit d’arbitrage entre les différents fonds.

Nous pouvons voir l’impact de ces arbitrages sur la provision Best Estimate sur le graphique suivant :


Figure Figure Figure Figure 36363636.... Evolution de Evolution de Evolution de Evolution de la provision Best Estimate en fonction des arbitrages.la provision Best Estimate en fonction des arbitrages.la provision Best Estimate en fonction des arbitrages.la provision Best Estimate en fonction des arbitrages.

En l’absence d’arbitrage, la provision Best Estimate augmente. En effet, lors des arbitrages des frais

sont prélevés ce qui réduit l’encours et donc les prestations. De plus, nous sommes en univers risque-

neutre, donc tous les actifs ont la même espérance de rendement. Ainsi, en moyenne les deux fonds sont

autant attractifs l’un que l’autre puisqu’ils revalorisent au taux sans risque. Par conséquent, plus il y a

d’arbitrage, plus les frais prélevés pour l’assureur sont importants et viennent diminuer les provisions

mathématiques des assurés. Lors de la sortie de l’assuré du portefeuille, la provision mathématique

totale versée sera donc diminuée des frais de chaque année.

3.4.3.4.3.4.3.4. CCCComposition de l’actif du fonomposition de l’actif du fonomposition de l’actif du fonomposition de l’actif du fonds Eurods Eurods Eurods Euro

Nous nous penchons sur l’impact du choix de la composition de l’actif du fonds Euro sur les différents

supports. Dans le scénario de référence, 20% du fonds est investi en actions, le reste étant investi en

obligations.


Figure Figure Figure Figure 37373737.... Evolution de la provision Best Estimate en fonction de la composition de l’actif.Evolution de la provision Best Estimate en fonction de la composition de l’actif.Evolution de la provision Best Estimate en fonction de la composition de l’actif.Evolution de la provision Best Estimate en fonction de la composition de l’actif.

Sur le dernier graphique, nous observons que la composition a une légère incidence sur la provision Best

Estimate.

En effet, l’évaluation s’effectue en univers risque-neutre. Ainsi, tous les actifs ont la même espérance de

rendement. Toutefois, la volatilité des actifs les plus risqués, c’est-à-dire les actions, est supérieure à

celle des obligations. Ainsi, comme un taux de revalorisation minimum est garanti, dans les scénarios les

plus défavorables pour le cours de l’action, la somme des flux futurs actualisés reste peu modifiée

puisque la garantie cliquet s’active. Cependant, dans les scénarios les plus favorables, l’assuré profite

entièrement du rendement élevé de revalorisation sans limitation, ce qui implique la tendance à la

hausse du Best Estimate lorsque la part d’actions dans le portefeuille du fonds Euro augmente.

De plus, nous pouvons noter que les actions ont un impact plus fort que les obligations puisque les plus-

values réalisées lors de leur cession sont prises en compte directement dans les produits financiers

alors que celles réalisées sur les obligations n’impactent que la réserve de capitalisation. En effet, celle-

ci a une influence sur les produits financiers seulement dans le cas où elle devient négative.

En conclusion, plus la stratégie est risquée, plus l’optionalité présente dans le contrat est coûteuse, et

plus la provision Best Estimate augmente.


3.5.3.5.3.5.3.5. DDDDécalage d’âge des assurésécalage d’âge des assurésécalage d’âge des assurésécalage d’âge des assurés

La table de mortalité permet de déterminer la date des prestations décès selon l’âge atteint de l’assuré.

Il est intéressant de constater l’impact d’un décalage d’âge des assurés sur la provision Best Estimate.

Figure Figure Figure Figure 38383838.... Evolution de la provision Best Estimate en fonction de l’âge des assurés.Evolution de la provision Best Estimate en fonction de l’âge des assurés.Evolution de la provision Best Estimate en fonction de l’âge des assurés.Evolution de la provision Best Estimate en fonction de l’âge des assurés.

Plus les assurés sont âgés plus la provision Best Estimate augmente. En effet, les taux de mortalité

étant croissants avec l’âge, plus les assurés sont âgés plus les prestations décès sont importantes et

arrivent tôt. Ainsi, les flux sortants du début de la simulation concernant les prestations en cas de décès

sont plus importants lorsque la population est vieillie. Le taux d’actualisation étant inférieur au taux de

revalorisation sur les premières années, la revalorisation de ces prestations est plus importante que

l’actualisation ce qui a pour effet d’augmenter la provision Best Estimate.

3.6.3.6.3.6.3.6. AAAAllocation d’actif llocation d’actif llocation d’actif llocation d’actif du fonds Eurodu fonds Eurodu fonds Eurodu fonds Euro

Nous pouvons observer dans quelle mesure l’allocation d’actifs stratégique mise en place impacte la

provision Best Estimate. En effet, lors des investissements des fonds, l’allocation stratégique consiste

en l’achat d’obligations de maturités résiduelles différentes de façon à ce que le portefeuille obligataire

et les flux du passif déterministe aient la même duration.


En vue d’une comparaison, nous mettons en place une allocation d’actif statique où nous investissons

dans des obligations de maturité de 8 ans.

Figure Figure Figure Figure 39393939.... Evolution de la provision Best Estimate en fonction du type d’allocation d’actif.Evolution de la provision Best Estimate en fonction du type d’allocation d’actif.Evolution de la provision Best Estimate en fonction du type d’allocation d’actif.Evolution de la provision Best Estimate en fonction du type d’allocation d’actif.

La variation de la provision du Best Estimate entre les deux types d’allocation d’actifs n’est pas très

importante. L’allocation stratégique permet de réduire les moins-values obligataires éventuelles des

premières années de projection en ayant un meilleur adossement actif-passif. En effet nous constatons

une légère baisse du Best Estimate à cause des scénarios où la réserve de capitalisation est négative et

vient impacter la provision par le montant des produits financiers. Cet adossement permet à l’assureur

de disposer des remboursements des obligations quand le besoin de liquidités se fait ressentir.


Figure Figure Figure Figure 40404040.... Distribution de la somme des flux futurs actualisés pour deux types d’allocation d’actif.Distribution de la somme des flux futurs actualisés pour deux types d’allocation d’actif.Distribution de la somme des flux futurs actualisés pour deux types d’allocation d’actif.Distribution de la somme des flux futurs actualisés pour deux types d’allocation d’actif.

Nous pouvons aussi observer sur le graphique précédent que la distribution de la somme des flux futurs

actualisés des différents scénarios est plus volatile lorsque la stratégie d’allocation est fixe. Cet élément

est aussi confirmé lorsque nous regardons les quantiles à 0,5% et 99,5% :

Allocation statiqueAllocation statiqueAllocation statiqueAllocation statique Allocation stratégiqueAllocation stratégiqueAllocation stratégiqueAllocation stratégique

Quantile à 0,5%Quantile à 0,5%Quantile à 0,5%Quantile à 0,5% 547 599 587 599

MoyenneMoyenneMoyenneMoyenne 890 668 884 713

Quantile à 99,5%Quantile à 99,5%Quantile à 99,5%Quantile à 99,5% 2 165 863 2 149 055

L’allocation stratégique des actifs permet donc de réduire la volatilité des résultats mais n’améliore pas

considérablement la provision Best Estimate. En effet, la gestion actif-passif en fonction de la duration

n’est pas suffisante pour avoir un réel matching. Des portefeuilles obligataires peuvent être

0,0%

0,5%

1,0%

1,5%

2,0%

2,5%

3,0%

3,5%

4,0%

500 000 700 000 900 000 1 100 000 1 300 000 1 500 000 1 700 000 1 900 000

Fréquence

Somme des flux futurs actualisés

Comparaison des distributions de la somme des flux futurs actualisés pour

15000 scénarios en fonction de l'allocation de l'actif

Allocation statique Allocation stratégique (Référence)


complètement différents et avoir une duration similaire. Le meilleur moyen de résoudre ce problème est

d’avoir une véritable gestion où les flux des liquidités tombent lorsque les prestations ont été prévues,

année par année. Cette méthode est plus difficile à mettre en place mais permettrait de réduire la

provision Best Estimate en évitant la revente d’actif obligataire avant son échéance.

3.7.3.7.3.7.3.7. ModèleModèleModèleModèle de tauxde tauxde tauxde taux

Nous pouvons aussi nous intéresser à l’apport du modèle que nous avons développé, le modèle de Cox-

Ingersoll-Ross associé à une variabilité supplémentaire dans le mécanisme de retour à la moyenne.

Figure Figure Figure Figure 41414141.... Evolution de la provision Best Estimate en fonction du modèle de taux.Evolution de la provision Best Estimate en fonction du modèle de taux.Evolution de la provision Best Estimate en fonction du modèle de taux.Evolution de la provision Best Estimate en fonction du modèle de taux.

Le modèle adapté du modèle de Cox-Ingersoll-Ross réduit considérablement la provision Best Estimate.

Ce nouveau modèle mis en place permet de jouer son rôle : suivant les scénarios, les taux courts ne

remontent pas forcément en moins d’une dizaine d’années vers sa moyenne à long terme. Ainsi, lors de

la vente d’obligations dans les premières années de la simulation, les obligations vendues ne se

retrouvent pas obligatoirement en situation de moins-values ce qui ne diminue pas les produits

financiers (par l’intermédiaire d’une possible réserve de capitalisation négative). Nous pouvons donc

prétendre à une revalorisation correcte et étant de l’ordre de celles des concurrents pour limiter les

prestations de rachats. Nous avons donc moins de rachats conjoncturels au début des projections (où

l’actualisation a peu d’effet) ce qui diminue les prestations à payer et donc la provision Best Estimate.


3.8.3.8.3.8.3.8. PPPPaaaaramètresramètresramètresramètres du modèle de tauxdu modèle de tauxdu modèle de tauxdu modèle de taux

3.8.1. Volatilité du taux court

Dans cette sensibilité, nous faisons varier la volatilité du taux court entre 1% et 5%.

Figure Figure Figure Figure 42424242.... Evolution de la provision Best Estimate en fonction de la volatilité du taux court.Evolution de la provision Best Estimate en fonction de la volatilité du taux court.Evolution de la provision Best Estimate en fonction de la volatilité du taux court.Evolution de la provision Best Estimate en fonction de la volatilité du taux court.

D’après nos simulations, nous pouvons dire que plus la volatilité du taux court est importante plus le

Best Estimate augmente. En effet, plus la volatilité est grande, plus le taux court peut atteindre des

valeurs éloignées de sa moyenne. Or, en cas de scénario d’une très forte hausse des taux à long terme,

les produits financiers obtenus seront largement augmentés par des coupons élevés alors que dans un

scénario de taux courts très faibles, l’assureur devra garantir quoiqu’il en soit le taux technique de 0%.

Cette dissymétrie au niveau des gains pour l’assuré entraîne une hausse de la provision Best Estimate

lorsque la volatilité augmente.

3.8.2. Moyenne du taux court à long terme

Nous pouvons aussi nous intéresser au taux court à long terme. Nous allons regarder l’évolution du Best

Estimate si nous ajoutons une variation de -2% à +2% à ce paramètre.


Figure Figure Figure Figure 43434343.... Evolution de la provision Best Estimate en fonction du taux court moyen à long terme.Evolution de la provision Best Estimate en fonction du taux court moyen à long terme.Evolution de la provision Best Estimate en fonction du taux court moyen à long terme.Evolution de la provision Best Estimate en fonction du taux court moyen à long terme.

Toute chose égale par ailleurs, plus le taux à long terme est important plus la provision augmente très

fortement. En effet, plus le taux court à long terme est important, plus les produits financiers seront

importants ce qui dopera les produits financiers à long terme. Le taux de rendement servi pour ces

années pour le fonds Euro l’emportera sur l’effet de l’actualisation. La provision Best Estimate sera donc

beaucoup plus importante.

L’impact de ce paramètre est loin d’être négligeable puisque la provision Best Estimate augmente de

+24% lorsque le taux long terme est majoré de 2%.

4. Limites du modèle

Les limites du modèle reposent sur les hypothèses mais aussi les concepts utilisés pour modéliser au

mieux le produit.

• Le Taux Minimum Garanti reste fixé à 0% pour toutes les simulations et toutes les années de

projection. Il pourrait varier en fonction de la situation économique de la société d’assurance au

fil des années.

• L’imposition et la réassurance n’ont pas été prises en compte.

• Les fonds modélisés se limitent à un fonds Euro composé d’actions et d’obligations et à un fonds

en unités de compte composé entièrement de la même action que le fonds Euro. Il peut être

intéressant d’ajouter de nouvelles actions ou des nouveaux fonds. En outre, dans la réalité, le

portefeuille est composé d’actifs très diversifiés (Obligations à taux variables, OPCVM,

Immobilier…).


• Les rachats, arbitrages et décès pourraient survenir à un autre moment qu’en fin d’année. Les

rachats pourraient être seulement partiels.

• Des versements libres pourraient être ajoutés à la modélisation.

• Le pas de temps utilisé pourrait être mensuel et non annuel.

• Le modèle de taux choisi et le taux court à long terme du modèle de Cox-Ingersoll-Ross peuvent

fortement faire évoluer les résultats. Le choix du modèle de taux et son calibrage sont donc

primordiaux mais ne sont pas des exercices aisés.

• Le modèle d’actions que nous utilisons est le modèle de Black et Scholes. Il est plutôt simple à

mettre en œuvre mais il présente l’inconvénient de produire des trajectoires continues. De plus,

il ne tient pas compte de la possibilité de sauts boursiers et ses queues de distribution sont

assez lourdes. Un autre modèle d’actions pourrait être envisagé.

5. Conclusion

Grâce à l’étude des sensibilités, nous avons pu déterminer les paramètres qui influencent la valeur de la

provision Best Estimate. Ces résultats sont présentés dans le tableau suivant.

Il faut noter que l’impact a été jugé en constatant les résultats des sensibilités. Ce jugement reste

relatif et est spécifique à ce produit.


ImpactImpactImpactImpact RemarqueRemarqueRemarqueRemarque

Taux court Taux court Taux court Taux court moyen moyen moyen moyen à long termeà long termeà long termeà long terme Très

fort

Variation de +24% de la provision BE pour une

augmentation de 2% du taux de référence.

Loi de rachat structurelLoi de rachat structurelLoi de rachat structurelLoi de rachat structurel Fort Variation de +3% de la provision BE pour une

augmentation de 1% pour la loi de rachat structurel.

Loi de rachat conjoncturelLoi de rachat conjoncturelLoi de rachat conjoncturelLoi de rachat conjoncturel Fort Variation de +6,7% de la provision BE lorsque la loi

« plafond supérieure » des ONC est utilisée.

Volatilité des actionsVolatilité des actionsVolatilité des actionsVolatilité des actions Fort Variation de +3,2% de la provision BE pour une volatilité

de référence majorée de 10%.

Age des assurésAge des assurésAge des assurésAge des assurés Fort Variation de +3,7% de la provision BE pour un décalage

d’âge positif de 10 ans.

Modèle de taux choisiModèle de taux choisiModèle de taux choisiModèle de taux choisi Fort Variation de +2,6% si nous utilisons le modèle de Cox-

Ingersoll-Ross standard.

Loi d’arbitrageLoi d’arbitrageLoi d’arbitrageLoi d’arbitrage Moyen Variation de +1,5% si pas de droit d’arbitrage.

Volatilité du taux courtVolatilité du taux courtVolatilité du taux courtVolatilité du taux court Moyen Variation de +1,6% si la volatilité de référence est

augmentée de 3%.

Composition de l’Composition de l’Composition de l’Composition de l’actifactifactifactif du fonds Eurodu fonds Eurodu fonds Eurodu fonds Euro Moyen Variation de +1,6% si la part action de référence

augmente de 10.

Type d’allocation d’actifType d’allocation d’actifType d’allocation d’actifType d’allocation d’actif Faible Variation de +0,7% si l’allocation d’actif est statique.

En conclusion, nous remarquons que les paramètres qui ont une forte influence sur le Best Estimate

sont les paramètres les plus difficiles à estimer :

• La loi de rachat structurel : on l’estime le plus souvent en se basant sur l’historique des rachats

du portefeuille.

• La loi de rachat conjoncturel : nous avons testé le modèle avec les lois de rachats extrêmes

donnés par l’ACP dans les ONC. Il en résulte que le choix de la loi à l’intérieur de ce couloir a un

impact important sur le Best Estimate.

• La volatilité des actions : nous la déterminons soit sur l’historique ou de façon implicite. C’est aussi un paramètre assez difficile à calibrer.


Conclusion

La valorisation économique d’un contrat d’épargne multi-supports consiste en la détermination d’une

provision Best Estimate. Celle-ci correspond à la valeur actuelle probable des flux de trésorerie futurs

émanant du contrat d’épargne.

Par le biais de modèles stochastiques et dynamiques, nous avons pu déterminer la provision Best

Estimate d’un contrat d’épargne multi-supports. L’approche stochastique permet de prendre en compte

toutes les options et garanties financières proposées par le contrat tel que le taux minimum garanti ou

les différents arbitrages entre les fonds Euro et UC. Elle a aussi l’avantage d’inclure la politique de

management de l’assureur en termes de distribution de la participation aux bénéfices aux assurés.

Cependant, cette évaluation n’est parfaite que lorsque les hypothèses données dans le modèle sont

celles observées dans la réalité. Par une analyse des sensibilités, nous avons pu nous apercevoir que la

moindre modification dans le calibrage d’un paramètre peut avoir des répercussions importantes sur la

valeur du Best Estimate. Le choix des hypothèses est donc une étape primordiale dans la valorisation,

notamment pour limiter le risque de modèle.

La principale faiblesse de ces modèles de valorisation réside, d'une part, dans la complexité d'estimation

des nombreux paramètres utilisés, en particulier pour ce qui concerne les hypothèses

comportementales (lois de rachat ou d'arbitrage, politique de participation aux bénéfices), et d'autre

part dans la sensibilité des résultats au choix des méthodes et à leurs calibrages.

Les actuaires ne disposent ainsi pas, à ce jour, de méthodologies suffisamment robustes s’imposant

comme standards de marché. Leur capacité à savoir prendre du recul sur ces modélisations et en

connaitre les limites en devient primordiale. Ils doivent également faire preuve de pédagogie et être en

mesure de construire des indicateurs de suivi et de pilotage complémentaires, notamment par la biais

de stress test déterministes mieux maitrisés et mieux compris par les décideurs.


Index des figures

Figure 1. Collecte en assurance de personnes. (Source : FFSA – Rapport annuel 2009) .............................. 10

Figure 2. Cotisations des assurances en cas de vie et bons de capitalisation depuis 2000 ......................... 11

Figure 3. Comparaison de la part des provisions techniques et encours des fonds Euro et UC depuis

2000 ................................................................................................................................................................................... 11

Figure 4. L'architecture de Solvabilité II sous forme de piliers. ......................................................................... 25

Figure 5. Bilan économique sous Solvabilité II ........................................................................................................ 26

Figure 6. Calcul du Best Estimate pour un scénario j. ............................................................................................ 35

Figure 7. Exemple de simulations de taux courts instantanés avec le modèle de Vasicek. ........................... 38

Figure 8. Exemple de simulations de taux courts instantanés avec le modèle de CIR. .................................. 39

Figure 9. Structure du modèle. .................................................................................................................................... 44

Figure 10. Schéma de simulation. ............................................................................................................................... 45

Figure 11. Comparaison des taux zéro-coupon fournis par l’Institut des Actuaires en juin 2010 et de la

courbe obtenue avec les paramètres estimés après calibration sans prise en compte de la volatilité des

taux. .................................................................................................................................................................................... 50

Figure 12. Exemples de simulation de taux courts avec le modèle de Cox-Ingersoll-Ross. .......................... 51

Figure 13. Exemples de simulations de taux courts avec le modèle adapté aux conditions actuelles du

marché. .............................................................................................................................................................................. 53

Figure 14. Modélisation stochastique de la mortalité ............................................................................................ 58

Figure 15. Taux de mortalité avec modèle de Lee-Carter. .................................................................................... 59

Figure 16. Taux de rachat structurel ......................................................................................................................... 60

Figure 17. Taux de rachat conjoncturel. .................................................................................................................... 62

Figure 18. Taux de rachat ............................................................................................................................................. 63

Figure 19. Evolution des proportions du fonds Euro en fonction du différentiel de rendements espérés

des fonds Euro et UC pour trois catégories d'agents : riscophobe, neutre au risque et riscophile. .......... 67

Figure 20. Exemple d'évolution de la répartition du capital d'un assuré riscophobe ..................................... 68

Figure 21. Exemple d'évolution de la répartition du capital d'un assuré riscophile ....................................... 69

Figure 22. Répartition des contrats multi-supports suivant l'âge des souscripteurs. .................................. 79

Figure 23. Pyramide des âges du portefeuille. ........................................................................................................ 80

Figure 24. Répartion des contrats dans le portefeuille suivant l'ancienneté. ................................................. 81

Figure 25. Modélisation sous MoSes. ......................................................................................................................... 82

Figure 26. Convergence de la provision Best Estimate en fonction du nombre de simulations. ................. 83


Figure 27. Ecart relatif entre la provision Best Estimate à un nombre de simulations et celle obtenue

après 8000 simulations. ................................................................................................................................................ 84

Figure 28. Fonctions de densité et de répartition de la somme des flux futurs actualisés pour 8000

simulations. ...................................................................................................................................................................... 85

Figure 29. Evolution des provisions mathématiques des fonds Euro et UC en comparaison au nombre de

contrats en cours. Moyenne réalisée sur 2000 scénarios. ................................................................................... 86

Figure 30. Evolution des prestations des fonds Euro et UC. Moyenne réalisée sur 2000 scénarios. ........ 87

Figure 31. Comparaison des taux moyens servis et cibles. Moyenne réalisée sur 2000 simulations. ....... 88

Figure 32. Evolution du montant des arbitrages. Moyenne réalisée sur 2000 scénarios. ............................ 89

Figure 33. Evolution de la provision Best Estimate en fonction de la volatilité des actions. ........................ 90

Figure 34. Evolution de la provision Best Estimate en fonction de la loi de rachats structurels. ............... 91

Figure 35. Evolution de la provision Best Estimate en fonction de la loi de rachats conjoncturels. ........... 92

Figure 36. Evolution de la provision Best Estimate en fonction des arbitrages. ............................................. 93

Figure 37. Evolution de la provision Best Estimate en fonction de la composition de l’actif. ....................... 94

Figure 38. Evolution de la provision Best Estimate en fonction de l’âge des assurés. ................................... 95

Figure 39. Evolution de la provision Best Estimate en fonction du type d’allocation d’actif. ........................ 96

Figure 40. Distribution de la somme des flux futurs actualisés pour deux types d’allocation d’actif. ....... 97

Figure 41. Evolution de la provision Best Estimate en fonction du modèle de taux. ....................................... 98

Figure 42. Evolution de la provision Best Estimate en fonction de la volatilité du taux court...................... 99

Figure 43. Evolution de la provision Best Estimate en fonction du taux court moyen à long terme. ....... 100


Bibliographie

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Lexique des abréviations

ACP : Autorité de Contrôle Prudentiel.

AFS : Available For Sale.

BE : Best Estimate.

CEIOPS : Committee of European Insurance and Occupational Pensions Supervisors.

CIR : Cox-Ingersoll-Ross.

CRDS : Contribution au remboursement de la dette sociale.

CSG : Contribution sociale généralisée.

FCP : Fonds Commun de Placement.

FCPR : Fonds Commun de Placement à Risque.

FFSA : Fédération Française des Sociétés d'Assurance.

FIFO : First In First Out.

HFT : Held for trading.

HTM : Held to maturity.

IAS : International Accounting Standards.

IFRS : International Financial Reporting Standards.

MCEV : Market Consistent Embedded Value.

MCR : Minimal capital requirement.

OCDE : Organisation de coopération et de développement économique.

ONCST : Orientations Nationales Complémentaires aux Spécifications Techniques

OPCVM : Organisme de placement collectif en valeurs mobilières.

ORSA : Own risk and solvency assessment.

PB : Participation aux bénéfices.

PPB : Provison pour participation aux bénéfices.


PRE : Provision pour risque d'exigibilité.

QIS : Quantitative impact Studies.

RSA : Revenu de solidarité active.

SCR : Solvency capital requirement.

TME : Taux Moyen des Emprunts d'Etat

TMG : Taux minimum garanti.

UC : Unités de Compte.

Valorisation économique d’un contrat d’épargne multi-supports – Jérome LAFOND Annexes - 110

ANNEXES


ANNEXE I. Démonstrations concernant le modèle de Cox-Ingersoll-Ross

Démonstration Démonstration Démonstration Démonstration 1111 : "< G H²J implique que �� est positif

La dynamique du modèle de Cox-Ingersoll-Ross est la suivante :

d�� ";< = ��>d� ) ?@��d �

Notons ±�� @��.

Considérons le lemme d’Itôlemme d’Itôlemme d’Itôlemme d’Itô :

Soit ��¼� une filtration, c’est-à-dire une suite de ?-algèbres telle que pour tout � G 0, � ⊂ �B,. Soit � �� un mouvement brownien standard par rapport à ��¼� et soit �#��¼� un processus

aléatoire solution de l’équation différentielle stochastique :

d#� �p�d� )?�d � . Les processus �p��¼� et �?��¼� sont supposés adaptés par rapport à la filtration ��¼�.

Soit � une fonction ¾,,J�¿B, ¿� à valeurs réelles.

Alors

��, #�� 0, #�� )À DD� ��, #�� d� )À DDu ��, #��

� �d#� )12À D²Du² ��, #�� d Q # G�

avec Q # G��Á ?�J�� d� .

L’application de ce lemme à ±��donne :

d±�� R2"< = ?²4@�� = "@��2 ]d� ) ?2 d �

Lorsque le taux court �� est suffisamment petit, le premier terme domine les autres.

Ainsi, si "< Q H²J , le premier terme se retrouve négatif et alors le taux va rapidement devenir négatif.


Démonstation 2Démonstation 2Démonstation 2Démonstation 2 :

Sous le modèle de Cox-Ingersoll-Ross, le prix des obligations zéro-coupon (en date � et de maturité

résiduelle � = �) peut être déterminé par la formule suivante :

��, �� Â Ã�LÁ O��d�XZ |�Å � K��, ��LM��,N�O��∀� Q �

Avec

• K��, �� R JST�UVW��XYZ�[�SB\BÆH�;TU�XYZ�L,>BJS][W^_[

• ��, �� J;TU�XYZ�L,>�SB\BÆH�;TU�XYZ�L,>BJS

• ` � @�" ) Ç?�J ) 2?J

La dynamique du taux court est :

d�� p��, ��d� ) ?��, ��d �

Le lemme d’Itô, exposé précédemment, appliqué à la date � d’une obligation zéro-coupon d’échéance �

permet d’écrire sa dynamique sous la forme :

d��, �� R�� ) p��, ��O ) ?²��, ��2 �O,O]d� ) ?��, ��Od � Où �� , �O et �O,O désignent respectivement les dérivées partielles premières par rapport à � et �� et

seconde par rapport à ��.

Nous appliquons le théorème de Gthéorème de Gthéorème de Gthéorème de Giiiirrrrsanovsanovsanovsanov :

Soit �Ω, ��È�ÈN , ℙ� un espace probabilisé filtré, dont la filtration est la filtration naturelle d’un

mouvement brownien standard��, � ∈ �0, ��. Soit �É��È�ÈN un processus adapté vérifiant Á É�Jd�N� Q ∞ presque sûrement, et tel que le processus �Ê��È�ÈN défini par Ê� � exp j=Á É�� d�� = ,JÁ É�Jd�� n soit une martingale.

Alors, sous la probabilité ℙ�Í� de densité ÊN par rapport à ℙ, le processus � ��È�ÈN défini par � � �� )Á É�� d� est un mouvement brownien standard.

Ainsi, nous prenons d Î� � d � ) Ç��, ��d� où Î� est un processus de Wiener dans l’univers

risque-neutre.


Ç��, �� Ï�O��,��LO��H�O��,�� est le prix du marché du risque.

L’équation différentielle stochastique devient :

d��, �� R�� ) �p��, ��=Ç��, ��?��, ��O ) ?²��, ��2 �O,O]d�) ?��, ��Od Î�

Or, dans l’univers risque-neutre,

d��, �� , ��d�

Ainsi,

�� ) �p��, ��=Ç��, ��?��, ��O ) ?J�O��,��2 �O,O � ��, ��

Nous supposons que le prix du marché est supposé constant : Ç��, �� Ç.

La forme particulière de la solution est :

�;�, �, ��> � exp�K�� = �� ) �� = �� Le système obtenu s’écrit :

Ð KÑ�u� � "<��u��Ñ�u� ) �" ) Ç?��u� = ?J2 �J�u� ) 1 � 0

Sous les conditions initiales :

ÒK�0� � 0��0� � 0

Nous vérifions que :

ÓÔÕK�u� � "<?² Ö2 ln × 2`°�u�Ø ) �" ) Ç? ) `�uÙ

��u� � 2°�u� �1 = exp�`u��

Avec ` � @�" ) Ç?�J ) 2?J et °�u� � �" ) Ç? ) `��exp�`u� = 1� ) 2`.


ANNEXE II. Démonstration concernant le modèle de Black et Scholes

d#�#� � pd� ) ?d��

Où

• #� est le prix de l’action à la date �,

• µ est la rentabilité espérée,


• )(tB est un mouvement brownien.

La formule d’Itô appliquée à la fonction logarithmique nous donne :

d ln�#�� 1St d#� =12 ∙ 1#�² d⟨#�, #�⟩ Or,

d⟨#�, #�⟩ � ⟨d#� ,d#�⟩ � ⟨#�pd� )#�?d��, #�pd� ) #�?d��⟩ � ⟨#�pd�, #�pd�⟩ ) 2⟨#�?d��, #�pd�⟩ ) ⟨#�?d��, #�?d��⟩ � ⟨#�?d��, #�?d��⟩ � #�²?²⟨d��,d��⟩ � #�²?²d� Ainsi,

d ln�#�� 1St d#� =12 ∙ 1#�² #�²?²d�

d ln�#�� pd� ) ?d�� =?²2 d�

d ln�#�� Rp = ?²2 ] d� ) ?d��


Or,

ln�#N� = ln� #�� À d ln�#�� ÀRp = ?²2 ]d� )À?d��N�

N�

N�

Nous intégrons :

�ln�#��Þ � ßRp = ?²2 ] �à�Þ ) �?d��Þ

ln ×#N#�Ø � Rp = ?²2 ]� ) ?��

Par conséquent,

#N#� � exp �Rp = ?²2 ]� ) ?��á

Enfin,#N � #�exp �Rp = ?²2 ]� ) ?��á


ANNEXE III. Décomposition de Cholesky

Théorème de CholeskyThéorème de CholeskyThéorème de CholeskyThéorème de Cholesky ::::

Si ¦ est une matrice symétrique définie positive, alors il existe au moins une matrice triangulaire

inférieure Ê telle que :

¦ � ÊÊN

S’il est imposé que les éléments diagonaux de la matrice Ê soient tous positifs, alors la décomposition

est unique.

On appelle Ê la décomposée de Cholesky de ¦.

Utilisation de ce théorème dans le cadre de vecteurs gaussiensUtilisation de ce théorème dans le cadre de vecteurs gaussiensUtilisation de ce théorème dans le cadre de vecteurs gaussiensUtilisation de ce théorème dans le cadre de vecteurs gaussiens ::::

Considérons , et J deux vecteurs gaussiens tels que :

,~.�0, 1�� J~.�!,¦� Où 1� représente la matrice identité de dimension �, ¦ est une matrice symétrique définie positive et ! un réel.

Alors il existe une unique matrice triangulaire inférieure à diagonale positive Ê vérifiant :

¦ � ÊÊN J � ! ) Ê ,

Démonstration du dernier résultat:

Â� J� � Â�! ) Ê ,� � ! ) ÊÂ� ,� � !

¥"�� J� � Â�� J = Â� J�� J = Â� J��N� � Â��! ) Ê , =!��! ) Ê , =!�N� � Â��Ê ,��Ê ,�N� � ÂâÊ; , ,N>ÊNã � ÊÂâ , ,NãÊN

� ÊÊN

� ¦

J étant une fonction linéaire de ,, un vecteur gaussien, alors J est aussi un vecteur gaussien.


Application au cas particulier où Application au cas particulier où Application au cas particulier où Application au cas particulier où ä � ∶ Il s’agit de ce que nous utilisons dans le modèle pour la corrélation des taux courts et des actions au

niveau des mouvements browniens.

Soit � � ×�,�JØ~.�!,¦� où ¦ � × ?,J ?,?Jt?,?Jt ?JJ Ø avec t désignant le coefficent de corrélation

entre les variables �, et �J.

D’après le théorème de Cholesky, il existe une matrice Ê � æ" 0< �ç telle que ¦ � ÊÊN .

Il faut donc résoudre le système :

× ?,J ?,?Jt?,?Jt ?JJ Ø � æ" 0< �ç æ" <0 �ç � ×"² "<"< <² ) �²Ø

Il vient donc les résultats suivants :

Ð ?, � "?J � <?J@1 = tJ � �et Ê � R ?, 0?Jt ?J@1 = tJ]

Si �, et �J sont supposées centrées, alors ×�,�JØ � R ?, 0?Jt ?J@1 = tJ] ×.,.JØ avec., et .J des

variables normales centrées réduites et indépendantes.

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par Jérome LAFOND Valorisation économique d’un contrat d