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INFLUENCE D’UN CHAMP MAGNÉTIQUE SUR LES

NIVEAUX D’ÉNERGIE QUANTIFICATION

SPATIALEGuy Collin,, 2008-04-09

Chapitre 9

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Préambule

• On a vu que pour chacun des atomes le moment magnétique de spin vient s’ajouter au moment orbital. Si l’on immerge un atome dans un champ magnétique intense, comment interagit ce champ magnétique avec le moment magnétique de l’atome ?

• Ce dernier s’oriente-t-il dans le sens du champ uniquement comme le fait l’aiguille d’une boussole dans le champ magnétique terrestre ? Peut-il prendre d’autres orientations ?

• Comment peut-on observer ces orientations ?• Que peut-on déduire de ces observations ?

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Rappels

Dans le cas des atomes hydrogénoïdes, la solution de l’équation de SCHRÖDINGER introduit trois nombres quantiques n, et m : n quantifie l’énergie ; quantifie le moment angulaire orbital ; et le nombre m fixe la projection du moment

cinétique sur l’axe Oz par la relation :

Pz = m h 2

= m

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Rappels : nombres quantiques

Nombre Grandeur quantifiée

n

m

Entier positif n 1 0

+ m

Énergie : En = h c RH /n2 Moment angulaire orbital

L = [ ( + 1) ] 1/2 Moment angulaire orbital selon

un axe Oz

En l’absence de toute intervention extérieure, les niveaux

d’énergie correspondant aux valeurs possibles de m sont dégénérés, c’est-à-dire qu’ils possèdent la même énergie.

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Moment magnétique associé au moment orbital

Un électron qui tourne autour du noyau sur une orbite sous l’action de la force centrale de COULOMB développe un moment cinétique L constant :

L

r me uL

= r

me

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Vecteur moment cinétique

Noyau

dSe-

M M'u dt

r

me u

En valeur absolue, ce vecteur L est égal à l’aire du parallélogramme construit sur les vecteurs me u et r .

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noyau

dSe-

M M ’u dt

r

me uL = r me u et

2dS = r u dt

D’où L/2 dS = me /dt

ou dS/dt = L / 2 me

dS/dt vitesse aérolaire

dS/dt = n S

L’orbitale est équivalente à une spire, de surface S, parcourue par un électron n fois par seconde. Dans ce cas, le moment magnétique est égale à : M = I S = - n e S et n S = - M / e.

Vecteur moment cinétique

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Moment cinétique et moment magnétique

À un moment cinétique p de l’électron est associé un moment magnétique dont la valeur est donnée par :

M = L e

2 me

Le vecteur M est un vecteur colinéaire à L mais de sens opposé.

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Magnéton de BOHR On se souvient de l’unité de moment cinétique h / 2 p On peut associer à cette unité de moment cinétique

une unité de moment magnétique appelée magnéton de BOHR dont la valeur absolue est :

où µB = 0,927 3 × 10-23 J/(Wb/m2) Suivant la valeur du nombre quantique orbital : 0, 1, 2, 3, etc.,

le moment magnétique associé au mouvement orbital d’un électron sera : 0, µB , 2 µB , 3 µB, etc.

La valeur exacte du moment magnétique associé est donc :

µB = h

2 . e

2 me =

h e4 me

(SI)

ML = L (L + 1) µB

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Moment magnétique associé au spin de l’électron

S’il ne peut être calculé théoriquement, le moment magnétique associé au spin peut être mesuré directement.

Au moment cinétique (1/2) (h/2 p) est associé 1 magnéton de BOHR :

MS = 2 S (S + 1) µB

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Moment magnétique et champ magnétique

+ µ- µ

H q

µ ( H + H/ z)

W = - M H = - M H cos q

Fz = - dW/dz et

Fz = - M dH/dz cos q

Fz

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Jet atomique et champ magnétique

Source d’atomes

vers la pompe à vide

Pièce polaire sud

Pièce polaire nord

écran refroidit

jet atomique en présence de champ

magnétique

jet atomique en l’absence de champ

magnétique

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Expérience de STERN et GERLACH

avec des atomes ayant un spin = 1/2

+ 1/2

- 1/2faisceau d’atomes

En l’absence de champ, les atomes d’argent, de sodium,… viennent se condenser en une seule tache.

En présence de champ, le faisceau se sépare en deux faisceaux distincts.

pôles magnétiques

sud

nord

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L’interprétation pour des atomes dans un état S1/2

L’expérience de STERN et GERLACH montre donc que le moment magnétique de spin peut s’orienter dans deux positions seulement par rapport à un champ magnétique : dans le sens du champ et dans le sens opposé au champ.

L’expérience permet de mesurer le moment magnétique associé au spin.

On trouve un magnéton de BOHR pour les atomes dans l’état 2S1/2.

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Atomes dans un état quelconque

Que se passe-t-il si on fait l’expérience de STERN et GERLACH avec un atome dont le moment cinétique total est J ? On observe 2 J + 1 taches disposées

symétriquement par rapport à la tache centrale. La valeur du moment magnétique déduite de la

mesure n’est pas J mB mais g J mB.

Le magnétisme a deux origines : les moments cinétiques orbitaux et de spin

J

= L

+ S

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Calcul du facteur g (facteur de LANDÉ)

Les deux vecteurs moments magnétiques orbitaux et de spin n’ayant pas la même valeur absolue, on montre que leur somme fait intervenir un facteur de proportionalité que l’on peut calculer :

Rappel :

g = 1 + J(J + 1) + S(S + 1) L(L + 1)

2 J(J + 1)

ML = L (L + 1) µB

MS = 2 S (S + 1) µB

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Cas particuliers du facteur de LANDÉ

Si S = 0, on a J = L et g = 1. Si L = 0, on a J = S et g = 2. Si g = 1 + 0/0, (L = - S), l’atome n’a pas de moment

magnétique propre. Si g = 0, le niveau correspondant n’est pas subdivisé en sous

niveaux en présence de champ magnétique.

g = 1 + J(J + 1) + S(S + 1) L(L + 1)

2 J(J + 1)

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Quelques facteurs de LANDÉ

Spin S J État P L = 1

État D L = 2

État F L = 3

1/2 L + 1/2 L 1/2

4/3 2/3

6/5 4/5

8/7 6/7

1 L + 1

L L 1

3/2 3/2 0/0

4/3 7/6 1/2

5/4 13/12 2/3

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Effet ZEEMAN normal

Lorsque l’atome émetteur est placé dans un champ magnétique, on assiste à un dédoublement des raies d’émission.

L’effet normal est observé lorsque le niveau d’énergie correspond à un spin S = 0, c’est-à-dire lorsqu’il s’agit d’un niveau simple (2 S + 1 = 1).

Rappelons que dans ce cas, le facteur g = 1 . On montre que M = L cos q et que

M = - L, - L + 1, ...... ,+ L.

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Dédoublement d’un niveau dans un champ magnétique

Énergie

Niveau primitif

1P1

Niveau dans le champ magnétique.

µB H

M

+1

0

-1

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Dédoublement d’un niveau

Énergie

Niveau primitif

1D2

Niveau dans le champ magnétique.

µB H

M

+ 2

+1

0

-1

-2

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Effet ZEEMAN normal sur l’atome d’hélium

Ehn0

1P1

1S0

sans champ avec champ

Ehn0

M+ 10- 1

0

Rappel : + M -

µB H

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Effet ZEEMAN normal sur une transition du Cd

Ehn0

1D2

1P1

sans champ

Ehn0

µB H

M+ 2+ 10- 1- 2

M+ 10- 1

E0

E0 + µB H

E0 - µB H

Règle de sélection : D M = 0, ± 1

hn En0

2P1/2

2S1/2

sans champ

M+ 1/2- 1/2

Mg+ 1/3- 1/3

M+ 1/2

- 1/2

Mg+ 1

- 1

E

n0

avec champ

Rappel : + J M - J

Effet ZEEMAN anormal sur la transition D1 du Cd

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Effet ZEEMAN anormal sur la transition D2 du Cd

M+ 1/2

- 1/2

Mg+ 1

- 1

+ 3/2

+ 1/2

- 1/2

- 3/2

+ 6/3

+ 2/3

- 2/3

- 6/3

E

n0

Ehn0

2P3/2

2S1/2

sans champ

hn0

g µBH

Règle de sélection : D M = 0, ± 1

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Notation atomique

XJ = L + S

2 S + 1

Multiplicité du niveau

Moment cinétique orbital

Somme vectorielle des moments

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Conclusion Le moment magnétique de l’atome, en présence d’un

champ magnétique externe prend des orientations privilégiées de telle manière que le moment magnétique de l’atome est égal à un nombre entier de magnéton de BOHR.

La mise en évidence de cette quantification spatiale est observée lors de la déviation subie par un faisceau d’atomes de sodium, par exemple, circulant entre les mâchoires d’un électroaimant développant un champ intense.

Le faisceau originel se dédouble en 2J + 1 faisceaux.

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Conclusion

Par ailleurs, l’effet ZEEMAN normal (et anormal) permet de « voir » ces orientations à travers le dédoublement de raies d’émission résultant d’un saut électronique.

Ces expériences permettent de caractériser les niveaux d’énergie impliqués dans les transitions.