Pers. Laplace dan Poisson.pdf

7/23/2019 Pers. Laplace dan Poisson.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/pers-laplace-dan-poissonpdf 1/24

31

Persamaan Poisson dan Persamaan Laplace

Kita sudah mengetahui medan listrik sebagai gradien dari potensial: V E −∇=ˆ

Demikian juga Hukum Gauss dalam bentuk diferensial:

o

E ε

ρ =∇

r

.

( ) →=∇−∇ oV ε .Jadi:

oV ε

ρ

−=∇2

Ini disebut persamaan Pois-son

Jika tidak ada muatan dan permitivitasnya serba sama atau ρ=0, maka per samaan

Poisson berubah menjadi:

02 =∇ V Ini disebut persamaanLaplace

Kita sudah mengenal juga sifat dari konservatif medan listrik: 0=×∇ E r

Maka: ( ) →=∇−×∇ 0V Sebenarnya, secara vektor selalu berlaku sifatcurl dari gradient=0: 0=∇×∇ f



32

Contoh 01: Persamaan Laplace dalam koordinat Cartesian

Pada bidang (x,y), potensial di y=0 adalah 100 volt, sedangkan di x=0, x=10 cm dany=∞, potensial 0 volt. Tentukanlah potensial di daerah 0<x<10 cm , y>0

xV=100 volt

y

V=0 V=0

V=0

10 cm

002

2

2

22 =

∂∂

+∂∂

→=∇ y

V

x

V V

Pemisahan variabel, misalkan V(x,y)=A(x) B(y)

02

2

2

2

=∂∂

+∂∂

y

B A

x

A B

Bagi dengan AB: 0112

2

2

2

=∂∂+

∂∂

y B

B x A

A

0;konstanta11 2

2

2

2

2

≥−==

∂

∂−=

∂

∂k k

y

B

B x

A

A

kyky

ee B Bk y

B

Bk y

B

kxkx A Ak x

A Ak

x

A

−

=→=−∂

∂

→=∂

∂

=→=+∂∂

→−=∂∂

atau0

cosatausin0

2

2

22

2

2

2

2

22

2

2



33

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

−

−

kxe

kxe

kxe

kxe

y xV

ky

ky

ky

ky

cos

cos

sin

sin

),(

Gunakan syarat batas untuk menentukan V(x,y) yang betul.

kxV xeV y

ky

cos000,→=→=→=∞→ tak bisa dipakai.}

kxe y xV ky sin),( −=Solusi sementara:

,....2,1,10

001sin010 ==→=→=→= nn

k k V x π

)10/sin(),(

10/

xne y xV

yn

π

π −

=



34

)10/sin(),( 10/ xne y xV

yn π π −=

1000 =→= V y

Ini tak dapat dipenuhi oleh persamaan di atas. Jadi, harus diambil kombinasi

liniernya:

)10/sin(),(1

10/ xneb y xV n

yn

n π π ∑∞

=

−=

1000 =→= V yDengan

100)10/sin()0,(1

==

∑

∞

=

xnb xV n n

π

Tentukan bn



35

Deret Fourier untuk sinus:

[ ]

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

−−−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −×=

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ == ∫∫

genapnutk 0

ganjilnutk 400

1)1(200

10cos10

20

10sin100

10

2sin)(

2

10

0

10

00

π

π

π

π

π

n

n

xn

n

dx xn

dxkx x f L

b

n

L

n

[ ].......)10/2sin()10/sin(400

)10/sin(400

),(

10/22

110/

10/

1

++=

=

−−

−∞

=∑

xe xe

xnen

y xV

y y

yn

n

π π π

π π

π π

π Utk n ganjil



36

x

0 5 10

(a) n=1

(b) n=5(c) Jumlah hingga

n=10

(d) Jumlah hingga

n=100



37

Contoh 02: Persamaan Laplace dalam koordinat silinder.

Suatu silinder berjari r=1 cm, memanjang pada sumbu-z. Potensial di dasarnyaV=100 volt; di dinding dan ujung lainnya (z→∞) V= 0 volt. Tentukanlah potensial

di dalam silinder.

x

y

V=100 volt

V=0

011

0

),,(

2

2

2

2

2

2 =∂∂

+∂∂

+⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∂∂

∂∂

→=∇

≡

z

V V

r r

V r

r r V

zr V V

θ

θ

Pemisahan variabel, misalkan V(r,θ,z)=R(r) Θ(θ)Z(z)

011

2

2

2

2

2 =Θ+

Θ+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ Θdz

Z d R

d

d

r RZ

dr

dRr

dr

d

r Z

θ

Bagi dengan RΘZ:

011

2

2

2

2

2 =

∂∂

+Θ

Θ+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ z Z

Z

d

d

r dr

dRr

dr

d

Rr θ Tdk tercampur dg lainnya.



38

002

2

22

2

2

≥⎪⎩

⎪⎨⎧=→=−→=

− k

e

e Z Zk

dz

Z d k

Zdz

Z d kz

kz

0

1

011

22

2

2

2

2

2

2

=+∂

Θ∂

Θ+⎟ ⎠

⎞

⎜⎝

⎛

∂

∂

∂

∂

=+∂

Θ∂Θ

+⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∂∂

∂∂

∴

r k r

R

r r R

r

k r r

Rr

r Rr

θ

θ

Sarat batas z→∞, V=0→ pilih kze Z

−=

Tdk tercampur dg lainnya.

⎩

⎨⎧

=Θ→=Θ+∂

Θ∂→−=

∂Θ∂

Θ θ

θ

θ θ n

nnn

cos

sin0

1 2

2

22

2

2

n=bil bulat

Kalau silinder diputar terhadap sb-z, tidak akan mengubah potensial; maka solusi

ini tak bergantung pada sudut θ, dan boleh diambil 10 =Θ→=n

Gunakan syarat batas untuk:

⎩⎨⎧

=Θθ

θ

n

n

cos

sin



39

( ) 0222 =−+

⎟ ⎠

⎞

⎜⎝

⎛

∂

∂

∂

∂∴ Rnr k

r

Rr

r r

Ini adalah persamaan Bessel; solusinya adalah Jn(kr) dan Nn(kr). Karena

dasar silinder di pusat koordinat, maka dipilih Jn(kr) sedangkan Nn(kr) tak

bisa dipakai karena titik pusatnya di ∞. Jadi

n p

p

p

n

kr

n p pkr J r R

+∞

=

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++Γ+Γ

−== ∑

2

1 2)1()1(

)1()()(

0222 =+−⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂∂∂∂∴ r k nr Rr

r Rr

)!1()( −=Γ nn

0)(0atau01 0 =→==→= k J RV r

Misalkan harga k=km, m=1,2,3,….. 0)(0 =mk J

Jadi, ada banyak solusi; oleh sebab itu V adalah superposisi:



40

Solusi: ∑∞

=

−=1

0 )(m

zmk mm er k J cV

Untuk z=0, V=100 100)(10 ==→ ∑

∞

=mmm r k J cV

Kalikan dengan rJ0(k jr), j=1,2,3… lalu integral suku per suku antara 0 dan 1

dr r k rJ dr r k J r k rJ c jm

m

j j ∫∑ ∫ =∞

=

1

0

00

1

1

0

0 )(100)()(

[ ] dr r k rJ dr r k J r c j j j ∫∫ =

1

0

0

1

0

2

0 )(100)(

Sifat ortogonal



41

Setiap harga j memberikan satu harga koefisien c j. Jadi j boleh

diganti dengan m.

[ ] ( )mm k J dr r k J r 2

121

1

0

2

0 )( =∫

[ ] [ ])(

1

)()()( 1010 r k rJ k dr

d

k r k rJ k x xJ dx

d

x xJ mm

m

mm =→=

)(1

)(1

)( 1

1

01

1

0

0 m

m

m

m

m k J k

r k rJ k

dr r k rJ ==∫

Sifat fungsi Bessel

( ))(

200)(

100

1

1

2

121

mm

mm

m

mmk J k

ck J k

ck J =→=

∑∑ ∞

=

−∞

=

− ==1 1

0

1

0)(

)(200)(m

zmk

mm

m

m

zmk

mm ek J k

r k J er k J cV

km diperoleh dari Jo(km)=0

J0 dan J1 dapat dilihat dalam tabel fungsi Bessel.



42

Contoh 03: Persamaan Laplace dalam koordinat bola

θ

r

φ

x

y

z

Misalkan V tidak bergantung sudut azimut φ

Tidak tercampur



43

Pl adalah polinomial Legendre:



44

Solusi umum:

Ini masih memerlukan syarat batas untuk r dan θ.

Misalkan V(

) tertentu di permukaan bola berlubang, berjari-jari R.

Tentukanlah potensial dalam bola.

Untuk itu Bl = 0 untuk semua l. Jadi

)()(cos),( 0

0

θ θ θ V P R A RV l

l

l

l ==∑∞

=

Di r=R (kulit):



45

Sifat polinom Legendre:

θ θ θ θ

π

d PP R A ll

l

l

l sin)(cos)(cos0 0'

∑ ∫

∞

==

'

'1'2

2 l

l R Al +=

∫+

=π

θ θ θ θ 0

0 sin)(cos)(2

12d PV

R

l A lll

Jadi



46

Misalkan: k= konstanta

Bagaimana potensial di luar bola?

Al=0

∫+

=π

θ θ θ θ 0

0 sin)(cos)(

2

12d PV

R

l A lll



47

r=R:

Kalikan dengan lalu diintegral

=

Jadi:

k R B Rk B 2431410 ; −==

θ θ θ θ cos4

3)(cos)(cos),(

2

2

12

10

0

r

k R

r

Rk P

r

BP

r

Br V −=+=



48

Contoh 04: Suatu bola padat bermuatan homogen dengan rapat muatan

uniform. Tentukanlah potensial di luar dan di dalam bola.

o

r

dr

dV r

dr

d

r ε

ρ )(1 2

2 −=⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛

=∇ V 2

R

Karena rapat muatan tidak bergantung sudut, maka potensial bersimetri bola:

Di luar bola ρ=0:r

B Ar V

dr

dV r

dr

d

r

ooo +=→=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ )(0

1 2

2

Di dalam bola:o

iii

o

r

r

B Ar V

r

dr

dV r

dr

d

ε

ρ

ε

ρ

6

)(22

2 −+=→−=⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛

0, →∞→ oV r

r

Br V o=)(0

=sehingga A0 0 Andaikan syarat batas:

o

V ε

ρ −=∇ 2

Persamaan Poisson:



49

o

ii

r Ar V ε

ρ 2)( −=

Di pusat bola r=0, sehingga harus berlaku Bi=0.

V(r) harus kontinu di kulit bola, Vi(R)=Vo(R)

o

oi

o

o

i R

R B A

R B R A

ε ρ

ε ρ

66

22

+=→=−

( )o

oi

r R

R

Br V

ε

ρ

6)(

22 −+=

Medan di sebelah dalam dan di sebelah luar permukaan bola harus sama:

o

o

o

o

Rr

i

Rr

R B

R

R

B

r

V

r

V

ε

ρ

ε

ρ

33

3

2

0 =→=→⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∂∂

−=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∂∂

−==

( )o

i

o

o

r Rr V

r

Rr V

ε

ρ

ε

ρ

6

3)(;

3)(

223 −==

Akhirnya:

r

Br V o=)(0

0 R r

Vo(r)

Vi(r)



50

Metoda Bayangan

Tinjau muatan +q di sumbu-z sejauh d dari plat logam yangdibumikan (V=0). Bagaimana menentukan potensial di atas

plat. Potensial tak bisa ditentukan hanya dengan muatan q

saja, tetapi juga dengan muatan negatif yang terinduksi

pada plat itu. Masalahnya, berapa besar dan agaimana

distribusi muatan terinduksi itu.Yang jelas berlaku:

Secara matematik, persoalan di atas dipandang sebagai berikut.

Lupakan plat, dan misalkan V=0 di z=0 dengan mengandaikan ada

muatan -q di z=-d. Potensial di suatau titik adalah

z

d

-dz=0, V=0

2222,dari jauhyangtitik di0

,0di0

d z y xqV

zV

>>++→

==+q

-q

2222

jika0

,0di0

d z y xV

zV

>>++→

==



51

Misalkan σ adalah rapat muatan induksi

Jadi, dengan metoda bayangan dapat ditentukan rapat muatan pada plat

logam.



52

Suatu muatan q ditempatkan sejauh a dari pusat bola logam berjari-jari R

yang dibumikan. Tentukan potensial di luar bola.

Sementara lupakan bola, dan misalkan ada muatan q’ sejauh b (<R) dari

pusat bola pada garis Oa, sedemikian sehingga V=0 di r=R (kulit bola).

Potensial dengan konfigurasi itu adalah

Agar V=0, misalkan q’= -αq

Contoh berikutnya 05:



53

Dengan rumus cosinus, maka

Agar V=0 jika r=R (dipermukaan bola).

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−+−

−+=

θ

α

θ πε θ

cos2cos24

1),(

2222rbbr

q

raar

qr V

o

2

2222 cos2

cos2α

θ θ

Rbb R Raa R

−+=−+

qa Rq

a R

a Rb −=→== ';

2α

( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+−−+= θ θ πε θ cos2/cos24

1

),( 2222ra Rra R

q

raar

q

r V o



54

Misalkan σ adalah rapat muatan induksi

Rr

or

V

=∂∂

−= ε σ

( )

( )( )

( )( )( )

( )( )

( )2/3

2

22

2

2/322

2

2/322

2

2/322

cos2/1

1/

4

cos2

/

4

cos2/

cos/

cos2

cos

4

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+

−−=

−+

−−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+

−+

−+

−−−=

∂∂

−===

θ π

θ π

θ

θ

θ

θ

π ε σ

R

a Ra

Ra

R

q

Raa R

R Raq

ra Rra R

a Rar

raar

ar q

r

V

Rr Rr

o

Documents

Pers. Laplace dan Poisson.pdf