PH3 (Oscillations électriques libres)

uC(t) ; uR0(t)

t

R01

0

uC(t) ; uR0(t)

t 0

R03

0

uC(t) ; uR0(t)

t

R02

0

uC(t) ; uR0(t)

t

R04

0

uC(t) ; uR0(t)

t

R05

[email protected] Proposée par Benaich Hichem

A / Oscillations libres amorties :

I/ Production d’oscillations libres amorties :

On réalise le montage suivant :

On charge le condensateur en plaçant le commutateur en position 1 . En basculant le commutateur en

position 2 , et à l’aide d’un oscilloscope à mémoire , on obtient les oscillogrammes suivants :

L’amplitude des oscillations diminue au cours du temps . De telles oscillations sont dites amorties . Du fait que ces oscillations se produisent dans le circuit RLC sans générateur , elles sont dites libres .

Bien que les extremums de q ou de i soient atteints à des intervalles de temps successifs égaux , de telles oscillations ne peuvent pas être périodiques à cause de la diminution de l’amplitude ,

elles sont dites pseudopériodiques .

II/ Influence de l’amortissement :

On reprend le montage précédent et on refait l’expérience avec des valeurs différentes de R0 tels que R01 < R02 < R03 < R04 < R05 . On obtient alors les oscillogrammes suivants :

♦ Lorsque R0 augmente , les oscillations deviennent de plus en plus amorties ( le nombre total des

oscillations diminue ) et la pseudopériode T augmente légèrement . ♦ Pour des valeurs élevées de R0 , les oscillations cessent d’être pseudopériodiques . Il s’agit d’un nouveau

régime non oscillatoire appelé régime apériodique . ( régime obtenu avec R04 et R05 ) .

1

2

T : pseudo période

1

SERIE DE PHYSIQUE N° 3

R0

Y2

Y1

Masse

E

1

2

K

C

(L;r)

EC ; EL ; E

t 0

EC EL E


III/ Equation différentielle régissant l’évolution d’un circuit RLC série en régime libre :

La loi des mailles s’écrit :

uC + uB + uR0 = 0

⇒ C

q + r.i + L

dt

di+ R0.i = 0

⇒ L 2

2

dt

qd+ ( R0 + r ).

dt

dq+C

q= 0

⇒ 2

2

dt

qd+

L

R

dt

dq+LC

1q = 0

IV/ Energie totale d’un oscillateur RLC série :

1°) Expression de l’énergie totale :

L’énergie électrostatique ( électrique ) est : EC = 2

1

C

q2

=2

1C.uC

2 .

L’énergie magnétique est : EL = 2

1Li2 =

2

120R

LuR0

2 .

L’énergie totale du circuit est : E = EC + EL . A l’aide d’un logiciel adéquat , on trace les courbes suivantes :

2°) Energie totale et sa non conservation :

E = EC + EL =2

1

C

q2

+2

1L.i2 .

dt

dE= 2.

2

1

C

qi + 2.

2

1L.i

2

2

dt

qd = i.(

C

q + L

2

2

dt

qd) = -R.i2 <<<< 0 ⇒ E fonction décroissante du temps .

Donc , l’énergie totale emmagasinée dans le circuit RLC série diminue au cours du temps , elle est

dissipée sous forme de chaleur par effet joule . Cette diminution est d’autant plus rapide que la

résistance est grande . On dit qu’un circuit RLC série en régime libre est un système non conservatif .

R0

i

i i

C

(L;r)

uC

uR0 uB


2

T0

T0

q(t) ; i(t)

qm

-qm -ωωωω0qm

ωωωω0qm

0

t


B / Oscillations libres non amorties :

I/ Nature des oscillations libres non amorties :

1°) Evolution de la charge q du condensateur :

En fermant un condensateur de capacité C initialement

chargé sur une bobine supposée purement inductive , on a

le montage ci-contre La loi des mailles s’écrit :

uL + uC = 0 ⇒ Ldt

di+C

q = 0 ⇒ 2

2

dt

qd+LC

1q = 0 (∗)

Posons 20ω =

C.L

1 ⇒ 0ω =

C.L

1

(∗) devient 2

2

dt

qd + 2

0ω q = 0

C’est une équation différentielle qui admet comme solution q(t) = qm.sin ( 0ω t + ϕϕϕϕq )

Donc , q(t) est une fonction sinusoïdale de période propre 0T = 2ππππ C.L et de fréquence

propre N0 =LCπ2

1 .

2°) Charge q et intensité i du courant :

q(t) = qm.sin ( 0ω t + ϕϕϕϕq )

i =dt

dq= 0ω .qm.sin ( 0ω t + ϕϕϕϕq +

2

π)

⇒ i(t) = Im.sin ( 0ω t + ϕϕϕϕi )

avec Im = 0ω .qm et ϕϕϕϕi = ϕϕϕϕq +2

π

Donc , i(t) est aussi une fonction sinusoïdale du temps de même période que q(t) .

i(t) est en quadrature avance de phase par rapport à q(t) .

3°) Energie totale d’un oscillateur LC :

a) Energie électrostatique EC(t) :

EC(t) =2

1

C

q2

=2

1

C

q2m sin2( 0ω t + ϕϕϕϕq ) =

4

1

C

q2m [ 1 - cos( 2 0ω t + 2ϕϕϕϕq )]

Donc , EC(t) est une fonction périodique du temps de période T = 2

T0 .

b) Energie magnétique EL(t) :

EL(t) =2

1Li2 =

2

1L 2

0ω C

q2m cos2( 0ω t + ϕϕϕϕq )

=2

1

C

q2m cos2( 0ω t + ϕϕϕϕq ) =

4

1

C

q2m [ 1 - cos( 2 0ω t + 2ϕϕϕϕq )]

Donc , EL(t) est aussi une fonction périodique du temps de période T = 2

T0 .

i i

i C

L

uC

uL

Cas où ϕϕϕϕq =2

πrad

3



c) Energie totale et sa conservation :

E = EC(t) + EL(t) =2

1

C

q2m sin2( 0ω t + ϕϕϕϕq ) +

2

1

C

q2m cos2( 0ω t + ϕϕϕϕq )

=2

1

C

q2m [sin2( 0ω t + ϕϕϕϕq ) + cos2( 0ω t + ϕϕϕϕq )] =

2

1

C

q2m =

2

1LIm

2 =2

1CUCm

2

Donc , l’énergie totale emmagasinée dans le circuit LC série est constante au cours du temps .

On dit qu’un circuit LC série en régime libre est un système conservatif .

4°) Diagrammes des énergies :

4

T0 2

T0 34

T0 T0

EC ; EL ; E

0

t

2

1

C

q2m =2

1LIm

2 =2

1CUCm

2 EL EC

E

Cas où ϕϕϕϕq =2

πrad

EC ; EL ; E

EC

EL E

0 qm

-qm

q

2

1

C

q2m

q2

EC ; EL ; E

E

EC ( droite de pente C2

1 > 0 )

EL ( droite de pente -C2

1 < 0 )

0

qm

2

2

1

C

q2m

E

0

Im

2

i2

EC ; EL ; E

EL ( droite de pente 2

1L > 0 )

EC ( droite de pente -2

1L < 0 )

2

1L.Im

2

EC ; EL ; E

EL

EC E

0 Im

-Im

i

2

1L.Im

2

EC = 2

1

C

q2

E = 2

1

C

q2+

2

1L.i2

Pour q = qm , i = 0 ⇒ E =2

1

C

q2m

E = 2

1

C

q2+

2

1L.i2

Pour i = Im , q = 0 ⇒ E =2

1L.Im

2

E = EC + EL ⇒ EL = E – EC

⇒ EL = –2

1

C

q2+

2

1

C

q2m

E = EC + EL ⇒ EC = E – EL

⇒ EC = –2

1L.i2 +

2

1L.Im

2

EL =2

1L.i2

4


0

4,56V

10V

uAB(t) en V

5T = ππππ.10-3s

t en s

figure -2


EXERCICE 1 ( Contrôle 97 ancien régime )

On réalise le montage expérimental schématisé sur la figure -1 . Données: C = 1 µF ; (G) est un générateur idéal de f.é.m. E = 10 V

et de résistance interne négligeable .

1°) (K2) est ouvert et (K1) est fermé :

Après une brève durée , la plaque (a) porte la charge

maximale Q0 et l'énergie emmagasinée par le condensateur est W0 .

Calculer Q0 et W0 .

2°) On ouvre (K1) et on ferme (K2) à une date t = 0 .

A l'aide d'un système d'acquisition adéquat , nous obtenons la courbe représentant les variations

de la tension uAB(t) entre les bornes du condensateur en fonction du temps (figure-2) .

Cette courbe montre que le circuit est le siège d’oscillations faiblement amorties .

La tension uAB(t) est solution de l’équation différentielle :

2

AB2

dt

)t(ud +

L

r.

dt

)t(duAB + 20ω .uAB(t) = 0

où ω0 est la pulsation propre de l’oscillateur libre non amorti ( L,C ) telle que 20ω =

LC

1 .

a) Quelle serait cette équation si on élimine le facteur d'amortissement ?

b) Déduire , à partir de la figure-2- , la valeur moyenne de la pseudo-période de la décharge

oscillante en utilisant l'intervalle de temps correspondant à 5 oscillations .

c) Déterminer la valeur de l'inductance L de la bobine en admettant que la pseudo-période est donnée

par la même expression que la période propre du dipôle ( L , C ) .

d) Calculer la perte d’énergie par effet Joule subie par l’oscillateur libre amorti ( r , L, C ) entre

t = 0 et t = π.10-3s .

Rép. Num.: 1°) Q0=C.E=10-5C ; 2°) a) 2AB

2

dt

)t(ud + 2

0ω .uAB(t) = 0 ; b) T0=2.π10-4s ; c) L=C.π.4

T

2

2

=10-2H ;

d) ∆E=E2-E1= 2

1C.( 2

Cm2u - 2

Cm1u )=-3,96.10-5J

EXERCICE 2 ( Contrôle 2005 ancien régime )

Le circuit électrique de la figure-1- comprend :

- Une pile de f.é.m. E = 6 V et de résistance interne négligeable . - Un condensateur de capacité C .

- Une bobine d'inductance L et de résistance propre r .

- Une résistance R variable . - Deux interrupteurs (K1) et (K2) .

(K1)

(K2)

E

A B

C

L,r

q i

Figure -1-

R

K1 K2

A

B

(a)

figure -1

C L,r E


5


Expérience-1 (K2) ouvert , (K1) fermé : le condensateur se charge à travers la résistance R . Suite à cette charge ,

la tension aux bornes du condensateur est UAB = 6 V et l'énergie emmagasinée est W .

1°) a) Calculer W sachant que C = 5.10-6 F.

b) Déterminer la valeur de la charge portée par l'armature (A) du condensateur. Justifier son signe .

Expérience-2 Le condensateur étant chargé , on ouvre (K1) et à l'instant de date t = 0 s on ferme (K2) : des oscillations électriques libres s'établissent dans le circuit (R , r , L et C) .

2°) Préciser , en le justifiant , si les oscillations sont amorties ou non amorties .

3°) L'équation différentielle traduisant cet état électrique est :

Ldt

)t(di +

C)t(q

+ (R+r).i(t) = 0 où i(t) = dt

)t(dq .

a) Exprimer l'énergie totale E du circuit (R , r, L , C) en fonction de L , C , q (t) et i (t) .

b) En déduire que la variation élémentaire dE pendant une durée dt s'exprime par la relation :

dE = - (R + r).i2.dt

4°) Un dispositif approprié permet de visualiser la courbe donnant la variation au cours du temps de la

tension uAB(t) aux bornes du condensateur et correspondante à la figure -2- .

a) La résistance totale du circuit électrique étant faible , on admet que la pseudo-période T est égale

à la période propre T0 de l'oscillateur (L , C) . Calculer la valeur de L .

b) Calculer l'énergie électrique dissipée par effet Joule entre les instants de dates t = 0 s et t' = 4T.

Rép. Num.: 1°) a) W=2

1C. 2

ABu =9.10-5J ; b) q=C.uAB=3.10-5C>0 ; 2°) Osc. amorties ; 3°) a)E =2

1C

)t(q 2

+2

1L 2)t(i ;

4°) a) L=C.π.4

T

2

2

=0,51H ; b) ∆E=E’-E=2

1C.( 2

AB2u - 2

AB1u )=-6,248.10-5J

EXERCICE 3 ( Bac 2008 nouveau régime )

Avec un générateur délivrant une tension

constante E = 6 V , deux résistors de résistances respectives R1 et R2 , un

condensateur de capacité C = 4 µf , une

bobine d’inductance L = 0,63 H et de résistance interne r et un commutateur K ,

on réalise le montage schématisé sur la figure 1 .

Figure -2-

L , r

R2

R1

E

(1)

(2)

K

B

A

C

Figure 1 6


uC(t) (V)

t (ms)

0

50

100

150

200

1

2

3

4

5

6

(∆∆∆∆)

(C)

(∆∆∆∆) : tangente au chronogramme (C) à t0 = 0


Un oscilloscope à mémoire permet l’étude de l’évolution de la tension uC aux bornes A et B du condensateur au cours du temps .

I-Questions préliminaires :

1°) Compléter , sur la figure 1 « à remettre avec la copie » , les branchements avec l’oscilloscope qui

permettent de visualiser uC(t) sur la voie Y1 .

2°) Montrer que l’étude de la tension uC(t) permet de faire celle de la charge q(t) du condensateur .

II-A un instant t0 choisi comme origine des temps , on ferme l’interrupteur K . La visualisation de uC(t) sur

l’écran de l’oscilloscope a permis d’obtenir le chronogramme (C) de la figure 2 .

1°) Etablir l’équation différentielle qui régit l’évolution de la tension uC(t) .

2°) Sachant que la solution de l’équation différentielle établie précédemment s’écrit uC(t) = E.( 1 – τ

t-

e ) ,

où τ est la constante de temps du dipôle RC , déterminer graphiquement :

a) La valeur U0 de la tension aux bornes du condensateur à la fin de la charge et la comparer à la

valeur de la tension E aux bornes du générateur .

b) La valeur de τ et en déduire celle de R .

3°) Si l’on veut charger plus rapidement le condensateur , doit-on augmenter ou bien diminuer la valeur

de la résistance R ? Justifier la réponse .

4°) Calculer l’énergie WC emmagasinée dans le condensateur à la fin de la charge .

III-Le commutateur K qui était en

position (1) est basculé en position (2) . Le chronogramme

de la figure 3 illustre la décharge oscillante du condensateur .

1°) Les oscillations enregistrées

sont dites libres amorties . Justifier les dénominations :

a) Oscillations libres .

b) Oscillations amorties .

2°) Déterminer , graphiquement ,

la valeur de la pseudo-période T des oscillations et la comparer à celle de la période

propre T0 = 2π LC .

Figure 2

uC(t) (V)

t (ms)

5 10 15

20

6

4

2

0

-2

-4,13

Figure 3

7



3°) L’énergie totale E de l’oscillateur électrique considéré s’écrit : E =

2

1CuC

2 +2

1Li2 .

A l’aide du graphique de la figure 3 :

a) Montrer qu’à l’instant t1 = 5 ms , l’énergie E1 de l’oscillateur est purement électrique .

b) Montrer qu’à l’instant t2 = 12,5 ms , l’énergie E2 de l’oscillateur est purement magnétique .

c) Calculer les énergies E1 et E2 de l’oscillateur .

A quoi est due la différence entre les deux valeurs trouvées ?

Rép. Num.: I-1°) A→Y1 ; B→Masse ; 2°) q(t)=C.uC(t) ; II-1°) uC+RCdt

duC =E ; 2°) a) U0=E=6V ; b) τ=40ms ;

R=C

τ=104Ω ; 3°) Si R , τ=RC ; 4°) WC=

2

1CU0

2=72.10-6J ;

III- 1°) a) Absence d’excitateur ; b) Diminution d’amplitude ; 2°) T=10ms ; T0=9,97ms ; T≈T0 ; 3°) a) A t=t1 , uc=-UCmax1⇒i=0⇒EL=0⇒E=EC ; a) A t=t2 ,uc=0⇒EC0⇒E=EL ,

c) E1= 2

1C UCmax1

2=34.10-6J ; E2= 2

1Li 2=12,9.10-6J avec i=

dt

dq=C

dt

duC ; E2<E1 à cause de l’amo.

EXERCICE 4

Dans le montage de la figure ci-dessous , on donne :

E = 15 V ; C = 0,4 µF; L = 40.10-2 H . L'interrupteur K2 est ouvert , on ferme K1 puis , après quelques

secondes , on l’ouvre à nouveau .

1°) Quelle est la valeur de la charge Q0 portée par l'armature

supérieure du condensateur ?

Calculer dans ces conditions l'énergie électrostatique EC

et l'énergie magnétique EL emmagasinées respectivement dans le condensateur et la bobine .

2°) On ouvre K1 et à l'instant t = 0 , on ferme l'interrupteur K2 et on note :

i l'intensité algébrique du courant dans le circuit ;

q la charge de l'armature supérieure du condensateur .

- Quelle relation existe-t-il entre i et dt

dq ?

- En exprimant de deux façons différentes la tension aux bornes de la bobine , établir l'équation

différentielle du circuit : 2

2

dt

ud+

LC

1u = 0 .

On admet que la solution de cette équation s'écrit sous la forme: u = Um sin( ω0t + ϕ ) . Calculer numériquement um sachant qu'à l'instant initial , l'intensité i est nulle .

3°) a) Déterminer la valeur numérique de la pulsation ω0 , de la période propre T0 du circuit et écrire

l'expression de la tension instantanée u .

b) Calculer à l’instant t =4

T0 , les valeurs numériques de :

- la tension u ; - la charge q de l’armature supérieure ;

- l’intensité i dans la bobine ; - l’énergie électrostatique EC’ et l’énergie magnétique EL’ présents dans le circuit .

Rép. Num.:1°) Q0=C.E=6.10-6C ; Ee= 2

1

C

Q20 =45.10-6J ; EL=0 ; 2°) i=

dt

dq ; um=E=15V ; 3°) a) ω0=

LC

1=2500rad.s-1 ;

T0=8π.10-4s ; u=15sin(2500t+2

π) (V) ; b) A t=

4

T0 , on a u=0 , i=-15mA , EC’=0 et EL’=45.10-6J .

8

K1 K2

q

C L E



EXERCICE 5 On étudie les oscillations d'un circuit comportant : -Un condensateur de capacité C préalablement chargé .

-Une bobine d'inductance L et de résistance négligeable .

1°) a) Etablir l'équation différentielle vérifiée par la tension instantanée uC(t) existant entre les bornes du

condensateur .

b) Donner l'expression de la fréquence propre No de cet oscillateur .

2°) a) Exprimer l'énergie totale E emmagasinée par le circuit en fonction de la tension uC (t) et dt

)t(duC .

b) Déduire que l'oscillateur est non amorti .

3°) On propose ci-dessous les représentations de l'énergie totale E et de l'énergie électrostatique EC

emmagasinée par le condensateur en fonction de 2Cu .

a) Déterminer l'amplitude uC max de la tension uC (t) .

b) Calculer la valeur de la capacité C du condensateur .

c) Calculer l’énergie magnétique EL emmagasinée par la bobine pour uC = 5 2 V .

Comparer EL et Ee .

4°) On prend L = 0,1 H . On choisit l'origine des temps de manière à exprimer uC(t) sous la forme :

uC (t) = uC max.sin ( ω0t ) .

a) Ecrire uC (t) en remplaçant les grandeurs uC max et ω0 par leurs valeurs numériques .

b) Déterminer les expressions de la charge q(t) et de l’intensité instantanée i(t) en fonction du

temps en précisant les valeurs numériques des différents paramètres .

c) Comparer les grandeurs uC (t) , q(t) et i(t) de point de vue déphasage .

Rép. Num.:1°) 2C

2

dt

)t(ud+

LC

1uC(t)=0 ; 2°) N0=

LCπ2

1 ; 2°) a) E=

2

1C )t(u2

C +2

1LC2 ( )

2

C

dt

)t(du ;

b) dt

dE=0⇒E=cste ; 3°) a) uC max=10V ; b) C=10µF ; c) EC=EL=2,5.10-4J=

2

E ;

4°) a) uC(t)=10sin(103t) (V) ; q(t)=10-4sin(103t) (C) ; i(t)=0,1sin((103t+2

π) (A) ; b) iφ =

Cuφ +

2

π= qφ +

2

π.

EXERCICE 6 On réalise un circuit électrique à l’aide d’une bobine d’inductance L ,

de résistance négligeable et d'un condensateur de capacité C = 1µF préalablement chargé .

On ferme l'interrupteur K à la date t = 0 . Soit q(t) la charge de l'armature (A) à la date t > 0 .

1°) Etablir l'équation différentielle vérifiée par q(t) .

9

Energies (J)

10 V2

10-4 J

50

100

2Cu (V2)

E

EC

0

C

L

A

B

K


EL(10-3J)

EL(10

-3J)

-2

-1

0

1

2 0

2ππππ

4ππππ

1

2

2

1

i (A)

t (10-4s)

Figure (2-a)

Figure (2-b)


2°) Donner l'expression de l'énergie électromagnétique E dans le circuit en fonction des grandeurs q(t)

et i(t) intensité du courant dans le circuit à la date t . Montrer que cette énergie reste constante au cours

du temps .

3°) On donne la courbe 2Cu = f(i2) , où uC est la tension

instantanée aux bornes du condensateur .

a) Justifier l’allure de cette courbe .

b) En déduire L et E .

4°) Représenter sur le même graphe les courbes q(t) et i(t) .

Rép. Num.:1°) 2

2

dt

qd+

LC

1q=0 ; 2°) E=

2

1

C

)t(q2

+2

1Li 2(t) ;

dt

dE=0⇒ E=cste ; 3°) a) 2

Cu =-C

Li2+2

C

E ;

b) L=0,25H ; E=12,5.10-6J ; 4°) q(t)=5.10-6sin(2.103t+2

π) (C) ; i(t)=10-2sin(2.103t+π) (A) .

EXERCICE 7 Un condensateur de capacité C est chargé à l'aide d'un générateur de tension de f.é.m. E constante et de résistance interne négligeable . Pendant la phase de charge , le commutateur est placé dans la position (1) .

On décharge ensuite le condensateur dans une bobine purement inductive d'inductance L , en basculant à l’instant t = 0 le commutateur dans la position (2) (figure -1-) .

1°) a) Exprimer , à une date t quelconque , l'énergie électromagnétique E emmagasinée dans le

circuit (L , C) en fonction de q ( charge de l'armature supérieure) , C , L et i intensité du courant traversant la bobine .

b) En déduire l'équation différentielle de l'oscillateur .

c) Donner l'expression de sa solution .

2°) On donne sur les figures (2-a) et (2-b) les variations de l'énergie magnétique EL emmagasinée dans la

bobine respectivement en fonction de l'intensité instantanée i du courant qui parcourt le circuit .

a) Montrer que EL est périodique et de période 2

T0 ; ( T0 étant la période propre ) .

0

2Cu (V2)

i2(A2)

2.10-5A2

6,25 V2

C L E

Figure -1-

(1) (2)


10


b) En exploitant les courbes représentatives de EL , déterminer les valeurs de :

- la pulsation ω0 de l’oscillateur ;

- l’inductance L de la bobine ; - la capacité C du condensateur ;

- la valeur maximale Qm de la charge ; - le f.é.m. E du générateur .

3°) Donner les expressions de q(t) et i(t) .

Rép. Num.:1°) a) E=2

1Li 2+

2

1

C

q2

; b) E=cste⇒dt

dE=0⇒ 2

2

dt

qd+ 2

0ω q = 0 ; c) q=qmsin(ω0t+ϕ) ;

2°) a) EL=4

1

C

q2m [1+cos(2ω0t+2ϕ)]⇒T’=

2

T0 ; b) T0=4π.10-4s ; ω0=5.103rad.s-1 ;

2

1L 2

mi =2.10-3J(avec im=2A)⇒ L=10-3H ; C= 20ωL

1=4.10-5F ; qm=

0

m

ω

i=4.10-4C ; E=

C

qm =10V

3°) q(t)=4.10-4sin(5.103t+2

π) (C) ; i(t)=2sin(5.103t+π) (A) .

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PH3 (Oscillations électriques libres)