Phénomènes atypiques de propagation d’ondes ultrasonores

Phénomènes atypiques de propagation d’ondes ultrasonores

Bruno Morvan – Fédération Acoustique du Nord OuestLaboratoire Ondes et Milieux Complexes - Université du Havre

Section Régionale du Grand Nord Ouest

On associe à un paquet d’ondes les grandeurs suivantes

• une fréquence ou pulsation

• Une longueur d’onde

• Un nombre d’onde

• Des vitesses de phase , de groupe

2 f v

f

2k v k

Propagation d’une onde ultrasonore dans un milieu élastique

gv k

• Quelques rappels…………


• L’équation de propagation s’écrit sous forme vectorielle : dans le cas général les trois composantes du déplacement sont couplées !!

Si le milieu est isotrope, on peut découpler les composantes longitudinales et transversales. Deux modules d’élasticités c11 et c44 suffisent alors à décrire son comportement mécanique.

x

y

z

Dans un solide élastique, contraintes et déformations sont reliées par les constantes élastiques

ij ijkl klc

(En notation matricielle c1111=c11)

L’onde ultrasonore résulte de la propagation d’un ébranlement mécanique

Analogie avec la constante de raideur d’un ressort qui relie l’élongation à la force appliquée:

F k l

2 244k c

k

X

Y

Elles vérifient l’équation de propagation

On trouve la relation de dispersion suivante

i( t kx)y yu U e

Si on écrit la solution uy du déplacement de l’onde plane monochromatique sous la forme :

Ondes transversales polarisées perpendiculairement à la direction de propagation x.

Propagation d’une onde ultrasonore dans un milieu élastique isotrope :

Ondes transversales

Et la vitesse des ondes transversales s’écrit

44T

cV

La constante élastique c44 et la masse volumique peuvent dépendre de x (exemple empilement de 2 matériaux différents)

2y

44 y2

uc u

x x t

(indépendant de la fréquence)

Si on écrit la solution ux du déplacement de l’onde plane monochromatique sous la forme :

2x

11 x2

uc u

x x t

Ondes longitudinales polarisées selon la direction de propagation x.

i( t kx)x xu U e

2 211k c

Elles vérifient l’équation de propagation

On trouve la relation de dispersion suivante

k

Propagation d’une onde ultrasonore dans un milieu élastique isotrope :

Ondes longitudinalesY

X

Et la vitesse des ondes longitudinales s’écrit

11L

cV

(indépendant de

la fréquence)

Si les longueurs d’onde sont très supérieures à la distance interatomique alors le milieu est continu et non dispersif.

Courbes de dispersion

Ondes non dispersives

Ordre de grandeur

Les distances interatomiques sont de quelques dixièmes de nm. Avec a=0.5nm et V0=5000m/s la fréquence de coupure est de 3200GHz. Le domaine de fréquence que nous considérons dans cet exposé se situe au tout début de la courbe de dispersion (au plus 10GHz).

Pour l’onde le solide apparaît comme continu.

Fréquence de coupure


•Les valeurs |k| sont situées sur des cercles isofréquences.•La vitesse de groupe est normale à ces cercles.

Milieu homogène et non dispersif:

k

Cas 1 D:

Cas 2 D:

kx

ky

Les pentes des courbes de dispersion représentent la vitesse de groupe: c’est la vitesse de propagation du paquet d’onde. Si il n’y a pas d’atténuation, c’est également la vitesse de transport de l’énergie localisée dans le paquet d’onde. Pour un milieu non dispersif la vitesse de phase est égale à la vitesse de groupe.


g kv grad ( ) ��

kx

ky

Dans un milieu élastique borné, les interférences conduisant à un caractère dispersif sont d’origine géométrique et sont produites par des phénomènes de

réflexions multiples.

Exemples d’ondes guidées : Les ondes de plaque (appelées aussi ondes de Lamb, du nom de celui qui les découvrit en 1917), affectent toute l’épaisseur

d’une plaque lorsque cette épaisseur est de l’ordre de quelques longueurs d’onde ;

Il existe deux types de mode de Lamb possibles :

Ces ondes sont des combinaisons d’ondes transverses et longitudinales

Ondes guidées et dispersion

• La vitesse de propagation de ces ondes (cas d’une plaque dans le vide) est obtenue en écrivant les conditions de frontières vide/solide.

0 1000 2000 30000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Nombre d’onde k (1/m)

Fré

quen

ce F

(M

Hz)

A0

A1

A2

S0

S1

S2

• On observe la présence dans les équations d’un facteur FE qui est le produit fréquence*épaisseur.

• Il apparaît ainsi un nouveau phénomène : la vitesse de phase des ondes de plaque dépend de la fréquence.

2 2 2 2 2 2T L T

2

22 2 2 2L T

1 1 1 1 1 1tan 4v v v

1 1 2 1tan vv

v v vFE

Fv

Evv


• Ceci conduit pour les modes symétriques à l’équation de dispersion suivante:

Solide isotrope

Vide

Vide

E

0 1000 2000 30000

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Fré

quen

ce F

(M

Hz)

S1

On s’intéresse à l’onde S1 qui présente une courbe de dispersion particulière …..


0 1000 2000 30000

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Fre

quen

ce F

(M

Hz)

S1


0 1000 2000 30000

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Fre

quen

ce F

(M

Hz)

S1


0 1000 20000

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Fre

quen

ce F

(M

Hz)

S1


0 1000 20000

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Fre

quen

ce F

(M

Hz)

S1

Vitesse de phase et longueur d’onde infinies !!


La vibration locale d’une plaque excitée par impulsion laser est dominée par la résonance ZGV (zero group velocity), celle-ci décroît très lentement en fonction du temps.

Une application de l’onde à vitesse de groupe nulle

Durée 4ms pour un signal de fréquence de l’ordre de 6MHz !!

Signal temporel

0 1000 20000

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Fre

quen

ce F

(M

Hz)

S1

• La position en fréquence de la résonance du mode S1 à vitesse de groupe nulle est fonction de l’épaisseur de la plaque.

Très grande précision sur la mesure de la fréquence de la résonance liée à l’onde S1 (ZGV)

Les variations d’épaisseur d’une plaque d’aluminium corrodée sont déterminées avec une grande précision grâce à la mesure de cette fréquence ZGV.

Une application de l’onde à vitesse de groupe nulle

Sir Horace Lamb : 1849-1934

LAMB : “Il est difficile d’imaginer que la notion de vitesse négative de groupe n’aura pas d’application physique importante ”

Nous verrons par la suite comment des ondes pour lesquelles les vitesses de groupe et de phase sont opposées peuvent contribuer à obtenir la réfraction négative …….

Et si on considère un empilement périodique de matériaux différents??

x

y

d

Onde incidente

Ondes réfléchies

Ondes transmises

Exemple : une onde longitudinale incidente sur un empilement 8 motifs aluminium et eau.

1 2 3 4 5 6 7 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

f (MHz)

Apparition de bandes interdites

Coe

ffic

ient

de

réfle

xion

Onde ultrasonore et milieu périodique

D’où viennent ces bandes interdites et quelles sont leur influence sur les courbes de dispersion ?

Il faut faire appel à la description faite par Gaston Floquet (1883) des ondes se propageant dans un milieu périodique

Son célèbre théorème nous dit que les solutions de l’équation de propagation des ondes dans un milieu périodique sont elles aussi périodiques.


• Solution de la forme

avec le théorème de Floquet qui impose

i( t kx)yu (x, t) F(x) e

F(x) F(x d)

d

x

y

Théorème de Bloch-Floquet


i(2 n d) xn

n

F(x) c e

• La fonction F étant périodique, on peut la décomposer en série de Fourier

nik x i ty n

n

u (x, t) c e e

n 0

2 nk k

d

n

• On obtient les solutions appelées ondes de Floquet, dont le déplacement s’écrit:

Un système d’équations linéaires est obtenu en substituant la solution du déplacement des ondes de Floquet dans l’équation de propagation.

L’équation caractéristique du système nous donne la relation de dispersion qui relie la pulsation et le nombre d’onde k de l’onde de Floquet.

n 0

2 nk k

d

f ( ,k) 0

2y

11 y2

uc (x) (x) u

x x t

c11

x

d

x

y


Théorème de Bloch-Floquet

x

d

nik x i ty n

n

u (x, t) c e e

Théorème de Bloch : Si le système est périodique, les valeurs du vecteur d'onde doivent l'être aussi

n 0

2 nk k

d

k


• Reprenons la courbe de dispersion d’une onde élastique longitudinale ou bien transversale dans un milieu homogène non-dispersif.

Onde se propageant suivant les x>0

Onde se propageant suivant les x<0


n 0

2k k

d

k

Translation de2

d


Reprenons la courbe de dispersion d’une onde élastique longitudinale ou bien transversale dans un milieu homogène non-dispersif

n 0

2k k

d

k

Translation de2

d


Reprenons la courbe de dispersion d’une onde élastique longitudinale ou bien transversale dans un milieu homogène non-dispersif


k

En réalité, ce n’est pas tout à fait ce qu’on obtient lorsqu’on résout l’équation caractéristique du système :


k

1ère zone de Brillouin

d

d


En réalité, ce n’est pas tout à fait ce qu’on obtient lorsqu’on résout l’équation caractéristique du système :

Le croisement des courbes de dispersion introduit un couplage des ondes.

On passe continûment d’une branche correspondante à une onde se propageant suivant les x>0 à celle d’une onde se propageant suivant les x<0 .

Couplage de deux ondes contra-propagatives!

Onde se propageant suivant les x>0

Onde se propageant suivant les x<0

g 0dvdk

g 0

dvdk


k

Cette structure composée d'un empilement multicouche est également appelée

« miroir de Bragg ».

La structure périodique à une dimension est la forme la plus simple d’un cristal phononique.

On peut généraliser à des milieux à 2 ou trois dimensions

C'est Lord Rayleigh en 1887 qui a le premier montré que l'on pouvait ainsi produire un gap ou bande interdite.

Lord Rayleigh (1842-1919)


Réalisation expérimentale: tubes de duraluminium dans une matrice époxy.(Vasseur et al., J. Phys.: Condens. Matter, 10, 6051, 1998)

1 D

x

2 D

Réseau direct Réseau réciproque Courbes de dispersion

d

k2

d

X

M2

a

2a

kx

ky

k

d


• Repliement des courbes de dispersion

• Ondes à vitesses de groupe et de phase opposées et conséquence des lois de la réfraction.


k

a

a

Vg>0 et v0

ω= ω1

Sen

s de

pro

pag

atio

n V

g>

0

Loi de Snell-Descartes

1 1 2 2sin sink k Avec k1>0 et k2>0

Cristal phononique

Les flèches indiquent le sens des rayons


Vg>0 et v0

k

a

a

ω= ω2

Sen

s de

pro

pag

atio

n V

g>

0

• Ondes à vitesses de groupe et de phase opposées et conséquence sur les lois de la réfraction.

Loi de snell-Descartes

1 1 2 2sin sink k Avec k1>0 et k2<0

Cristal phononique

Les flèches indiquent le sens des rayons

• On peut réaliser également des guides d’ondes périodiques…….

E=4.54mm

=8mm

p=180µm

0 100 200 300 4000.3

0.35

0.4

Wavenumber k (1/m)

Freq

uenc

y F

(MH

z)

A0

A1

S0


Les applications

k

Bande interdite

Onde telle que vg<0 et v>0

a

GuidesFiltresMiroirs acoustiques Démultiplexage

………….

Superlentillecape d’invisibilité

………….

Bandes interdites et filtrage

Sculpture de Eusebrio Sempere 1995 (Juan March Fondation à Madrid)

Comme souvent l’artiste précède le scientifique……..

r ar=1.45cm

a=10cm

f=0.066

Réseau 2D de cylindres d’acier dans l’air

Forte atténuation du son autour de la fréquence 1.67 kHz dans la direction X.

Coefficient de transmission avec et sans cristal phononique.

• On diminue les dimensions du cristal et on augmente la fréquence…..

Bande interdite entre 203 et 226 MHz

Bandes interdites et filtrage

Bandes interdites et guidage

L’existence de bandes interdites avec des très forts contrastes d’impédance permet de réaliser des guides d’onde acoustiques très confinés.

Bandes interdites et multiplexage/démultiplexage

Signal fréquence F1

+Signal

fréquence F2+


+…….




……..


• Deux guides d’ondes sont couplés par des cavités dans un Cristal Phononique composé de cylindres d’acier de diamètre 2.5mm dans de l’eau.


• Tout d’abord, on fabrique un guide d’onde

• Ensuite, on créé une bande interdite dans ce guide

• Enfin on couple deux guides


• À une fréquence F=290kHZ, l’onde guidée est déviée du port 1 au port 3. Une opération de démultiplexage est donc réalisée.

Onde plane à la fréquence F=290kHz

Le réseau phononique immergé dans l’eau est constitué de cylindres d’acier de diamètre 1.02mm assemblés en un réseau triangulaire de constante de réseau 1.27mm.

Réfraction négative dans un fluide

Onde telle que vg>0 et v0

source

Image

• Utilisation de la réfraction négative pour réaliser une « lentille parfaite ».

Réfraction négative et superlentille

Source linéique de fréquence 0.55MHz

Au-delà du cristal phononique, on retrouve l’image de la source avec une résolution de 0.5.

Ce type de lentille autorise des résolutions inférieures à la limite de diffraction (de l’ordre de /2) !!!

Square array of holes in bulk isotropic aluminium (f = 0.52876; a = 3.9 mm)

FR

EQ

UE

NC

Y (

kH

z)

0

100

200

300

400

500

600

0

100

200

300

400

500

600

M MX

M

X

Réfraction négative dans un solide

Bloc d’aluminium dans lequel sont percés des trous de diamètre 3.2mm espacés d’une distance a=3.9mm

Le diagramme de bande du cristal phononique fait apparaître une bande de fréquence pour laquelle on peut observer de la réfraction négative

Transducteur ondes transversales de fréquence centrale 500 kHz



Cape d’invisibilité

Cape d’invisibilité

Coque dont la densité (qui est tensorielle!) et le module de compressibilité sont définis de telle sorte qu’une onde acoustique incidente traverse l’objet sans être diffusée. Ce méta-matériau possède entre autres des propriétés de réfraction négative.

MERCI DE VOTRE ATTENTION……

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