Phénomènes de transfert appliqués à l’élaboration des verres

Phénomènes de transfert appliqués à l’élaboration desverres

Franck PigeonneauSurface du verre et Interfaces, UMR 125 CNRS/Saint-Gobain

39, quai Lucien Lefranc93303 Aubervilliers cedex

Tél. 01 48 39 59 99email : [email protected]

Année universitaire 2011/2012

TABLE DES MATIÈRES i

Table des matières

Introduction 1

1 Les verres industriels 21.1 Définition de l’état vitreux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 21.2 Température de transition vitreuse . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 31.3 Structures des verres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 5

2 Elaboration des verres 82.1 Principe de l’élaboration des verres . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 82.2 Les fours verriers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 9

2.2.1 Les fours à flammes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.2 Les fours électriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12

3 Les phénomènes de transfert dans les fours verriers 133.1 Chambre de combustion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 13

3.1.1 Transfert de chaleur par rayonnement . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 143.2 Bain de verre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2.1 Transfert de chaleur dans le verre . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 183.2.2 Hydrodynamique des bains de verre . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 193.2.3 Etude de cas sur un four simplifié . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 21

3.3 Magnétohydrodynamique dans les fours verriers . . . . . . .. . . . . . . . . . . 253.3.1 Equations du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .253.3.2 Etude de cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4 Mouvements de convection naturelle dans les fours verriers 324.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 334.2 Structures cinématique et thermique dans la cavité . . . .. . . . . . . . . . . . . 344.3 Analyse d’échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 36

4.3.1 Régime conductif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.3.2 Régime convectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.4 Résultats numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 404.4.1 Nombre PÉCLET dans la cavité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.4.2 Nombre de NUSSELT dans la cavité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Cours ODAI Master 1 SDI 2011/2012

TABLE DES MATIÈRES ii

5 Transfert de masse entre des bulles et le verre fondu 445.1 Hydrodynamique d’inclusion sphérique dans un liquide visqueux . . . . . . . . . 44

5.1.1 Etablissement de l’approximation de STOKES . . . . . . . . . . . . . . . 445.1.2 Solution pour une particule solide en ascension . . . . .. . . . . . . . . 475.1.3 Solution pour une goutte ou une bulle en ascension . . . .. . . . . . . . 50

5.2 Transfert de masse autour d’une inclusion en ascension dans un liquide . . . . . 545.2.1 Evolution du nombre de moles dans une bulle . . . . . . . . . .. . . . . 545.2.2 Coefficient de transfert de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 55

Annexe 61

A Approximation de Rosseland 62

B Approximation de Boussinesq 66B.1 Equations générales des fluides dilatables . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 66B.2 Cas particulier des liquides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 68B.3 Adimensionnement des équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 69

C Conditions de saut à l’interface entre deux fluides 72C.1 Conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 72C.2 Conservation de la quantité de mouvement . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 73

D Equations de NAVIER -STOKES en systèmes de coordonnées orthogonales 76D.1 Equations de NAVIER-STOKES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76D.2 Equation de compatibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 77D.3 Formulation en fonction de STOKES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

D.3.1 Opérateurs différentiels dans les systèmes de coordonnées orthogonaux . 78D.3.2 Fonction de STOKES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79D.3.3 Equation de compatibité écrite avecψ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

D.4 Equation de la pression en fonction deψ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81D.5 Equations de STOKES en système de coordonnées orthogonales . . . . . . . . . . 82

D.5.1 Equations de STOKES dans la situation bidimensionnelle . . . . . . . . . 83D.5.2 Equations de STOKES dans la situation axisymétrique . . . . . . . . . . 84


TABLE DES MATIÈRES 1

Introduction

Le verre est un matériau d’usage très courant. Ceci tient à cequ’il associe trois propriétésessentielles : la rigidité mécanique, la transparence et une capacité de formage. On le trouvedans l’alimentaire sous forme de verres pour boire, globelets, bouteilles, pots, plats de cuisson,fenêtres de four, plaques de cuissonetc. Les verres plats sont utilisés dans l’habitat pour équiperles vitrines, les fenêtres, les portes, les meubles, dans l’équipement automobile ou encore dansl’informatique pour faire les écrans d’ordinateur (LCD) ouécran de télévision (LCD, plasma).Le verre est également utilisé pour faire des matériaux isolants comme la laine de verre ou lalaine de roche. On le trouve également pour fabriquer des matériaux composites sous forme defibres. Cette liste bien que loin d’être exhaustive montre à quel point le verre est très répanduaujourd’hui.

Le verre qui est un état de la matière bien particulier nécessite des méthodes d’élaborationparticulières faisant appel à de hautes températures. Ce document a pour objectif de présenter cequ’est un verre et comment il est élaboré de façon industrielle. On insistera sur les phénomènesde transfert qui ont lieu lors de l’élaboration des verres. Il s’agit de problèmes de mécanique desfluides dans des liquides très visqueux couplés à des transferts thermiques ou massiques.

Ces notes de cours sont organisées de la sorte. Une définitionet les principales propriétésdes verres seront abordées dans le chapitre 1. Les principesde l’élaboration des verres serontvus dans la section 2. Le chapitre 3 présentera les phénomènes de transfert dans un four verrier.La suite du rapport sera consacrée à l’exposition de deux problèmes particuliers où des aspestsplus mathématiques seront développés : le premier est celuide la convection naturelle dans lesfours, § 4 et le deuxième à celui des transferts de masse entreles bulles et un verre en fusion, § 5.Quatre annexes sont également rédigées sur des développements plus techniques.

Les prérequis pour ce cours sont les connaissances de base enmécanique des milieux conti-nus, en calcul différentiel très bien présentée par exempledans le livre d’Aris [1]. Nous fe-rons également un grand usage de l’analyse phénoménologique [9] ou encore appelée analysed’échelle évoquée dans le livre de Bejan [4].

Dans ce cours, nous emploirons le système de coordonnées cartésiens(x,y,z) de vecteursunitaires(ex,ey,ez) ou sous forme indicée(x1,x2,x3) avec(e1,e2,e3) comme vecteurs unitaires.Le système de coordonnées cylindriques sera aussi utilisé où les trois coordonnées seront notées($,ϕ,z). Finalement, le système sphérique sera noté(r,ϕ,θ). Ces deux systèmes de coordonnéessont représentés page 45.


Les verres industriels 2

Chapitre 1

Les verres industriels

1.1 Définition de l’état vitreux

La matière présente en règle générale trois états : solide, liquide et gaz. Le passage d’un état àl’autre est défini précisément par des conditions thermodynamiques (pression, température). Lesétats liquide et gazeux sont caractérisés par un certain désordre à moyenne ou longue distance.L’état solide est qu’en à lieu caractérisé par un ordre cristallin. Cet ordre est très bien vu expéri-mentalement en faisant une spectroscopie de diffraction X par exemple, cf. FIG. 1.1. On y voitapparaître des pics permettant de définir les distances interatomiques.

L’état vitreux est un état de solide amorphe qui ne présente pas d’état ordonné à longuedistance. Le graphe de droite de la FIG. 1.1 représente le spectre de difraction X d’un verre desilice. L’état amorphe est clairement établi par l’absencede pics. Ceci peut être également vu encomparant les structures atomiques d’un cristal de silice,SiO2 et d’un verre de silice. Bien queces deux matériaux aient la même formule chimique, leurs états cristallins sont différents. Unevision plane est représentée sur la FIG. 1.2.

Sur cette dernière figure, le silicium est représenté par un cercle plein alors que l’oxygènepar un cercle vide. A gauche de la FIG. 1.2, le cristal de silice présente une structure cristallinede type hexagonale. A l’inverse, sur la partie droite de cette même figure, le verre de silice estplus désordonné ce qui fait qu’il est impossible de prédire la position d’un atome de silicium oud’oxygène à grande distance.

Le verre est un solide amorphe obtenu par trempe thermique ouautre procédé comme parexemple les méthodes sol-gel. Néanmoins, cette définition s’avère trop générale. Il convient doncde préciser ce que nous entendons par «verre». Ceci peut êtrefait en étudiant ce qui se passe lors

FIG. 1.1 –Difraction X d’un cristal et d’un verre de silice, SiO2, selon Zarzycki [42].


1.2 Température de transition vitreuse 3

FIG. 1.2 –Représentations atomiques d’un cristal et d’un verre de silice, SiO2, selon Zarzycki[42].

du refroidissement d’un liquide. Si par exemple on regarde l’évolution du volume molaire enfonction de la température deux types de comportement peuvent se produire comme représentéssur la FIG. 1.3. En partant du point A, faisons subir un refroidissement à l’échantillon. Le pre-mier comportement coloré en rouge (chemin ABCD) correspondà la transition liquide/solide oùarriver à la température de fusion,Tf , l’échantillon change de volume brutalement. L’échantillonpasse alors de l’état liquide à l’état solide à une température fixe. Dans la deuxième situation, sion suit la ligne ABEF, il se passe rien en B, on se trouve pour une température inférieure àTf dansun état de surfusion. Arriver au point E, la variation du volume en fonction deT change de pente.Par contre, il n’y a pas de changement brutal de volume. La températureTg est la température detransition vitreuse. LorsqueT est inférieure àTg, l’échantillon est dans l’état vitreux.

Ceci nous permet de définir plus précisément ce que nous entendons par «verre» :

Définition 1 Un verre est un solide amorphe obtenu par trempe thermique etqui présente unetempérature de transition vitreuse.

1.2 Température de transition vitreuse

La plupart des éléments peuvent être dans un état vitreux. LaTAB. 1.1 présente les tempéra-tures de transition vitreuse de différents composés. La température de transition vitreuse dépendprincipalement de la nature des liaisons entre les atomes oules molécules. Plus les liaisons sontfortes et plus les températures de fusion et de transition vitreuse sont grandes.

Comme indiqué ci-dessus, la formation d’un verre est rendu possible par une trempe ther-mique «suffisamment rapide». La rapidité de la trempe dépendfortement des composés : elledoit être très rapide pour les éléments où les liaisons sont faibles et peut être modérée pour lescomposés aux liaisons fortes. Elle dépend principalement du «temps de relaxation» nécessaireà la réalisation de réarrangements structuraux afin de rétablir l’équilibre à la suite d’une pertur-bation (variation de température, de contrainte, de champ électrique ou magnétique). Lors du


1.2 Température de transition vitreuse 4

A

B

C

D

EF

T

Tg Tf

V

FIG. 1.3 –Volume molaire en fonction de la température pour un échantillon subissant soit unetransition liquide/solide (ligne rouge) soit une transition vitreuse (ligne bleu).

Compositions Liaisons Tf (K) Tg (K)eau van der Waals 273 140

éthanol van der Waals 156 93glycérol van der Waals 291 178

polyéthylène polymériques 483 163polypropylène polymériques 449 259

Pd40Cu30Ni10P20 métalliques 804 572Au80Si20 métalliques 636 290ZnCl2 ioniques 591 375BeF2 ioniques 1076 580B2O3 covalentes 723 521GeO2 covalentes 1386 900SiO2 covalentes 1996 1473

TAB. 1.1 –Températures de fusion et de transition vitreuse de différents composés en fonctionde leur liaisons suivant Barton et Guillemet [2].


1.3 Structures des verres 5

FIG. 1.4 –Influence de la vitesse de trempe sur la valeur de la température de transition vitreuseselon Zarzycki [42].

refroidissement, les réarrangements moléculaires ou atomiques deviennent de plus en plus lentset les temps de relaxation de plus en plus longs. En franchissant la transition vitreuse, les mou-vements de réarrangements structuraux sont gelés et la structure est figée donnant un verre. Al’inverse de la température de fusion qui est très bien définie en fonction des conditions ther-modynamiques, la température de transition vitreuse dépend de la vitesse de trempe. A grandevitesse de trempe, la température de transition vitreuse est plus grande que celle observée à faiblevitesse de trempe.

La FIG. 1.4 représente l’évolution du volume molaire en fonction de la température autourde la transition vitreuse. Trois comportements ont été représentés en fonction de la vitesse detrempe définie commeU = dT/dt. Ces vitesses de trempe sont telles queU1 < U2 < U3.

1.3 Structures des verres

Dans la suite, nous allons nous intéresser uniquement aux verres d’oxydes, composés avecdes liaisons covalentes (dernière catégorie présentée dans la TAB. 1.1). Ces composés ont desviscosités très élevées dans leur état liquide ce qui est un des facteurs favorisant leur passagedans un état vitreux. Le modèle du réseau aléatoire modifié décrit les verres comme un enchaî-nement de polyèdres tétraédriques (cation entouré d’anions d’oxygène, par exemple Si4+ avecles anions O2−) liés par leur sommet en formant un réseau tridimensionnel.Le réseau continudoit son absence d’ordre à longue distance à l’établissement d’enchaînements irréguliers de parles variations d’angles et de longueurs de liaisons possibles. Dans le cas des verres silicatés, lesmotifs structuraux de base sont des tétraèdres SiO4 comme représenté sur la FIG. 1.5.

Le réseau de silicium et d’oxygènes forme ce que l’on appelle«le réseau formateur» du verre.Les oxygènes reliant deux atomes de silicium sont dits «pontants» et les autres «non pontants».



FIG. 1.5 –Représentation tridimensionnelle d’un réseau vitreux selon Di Nardo [29].

FIG. 1.6 –Représentation bidimensionnelle d’un réseau vitreux SiO2 et Na2O.

En dehors du silicium, parmi les éléments qui forment des réseaux formateurs on trouve : le bore,cation B3+, l’aluminium, cation Al3+, le phosphore, cation P5+ ou encore le fer, Fe3+.

Les verres industriels sont souvent composés de plusieurs oxydes où la silice peut être sub-stituée par l’alumine, Al2O3, l’oxyde de bore, B2O3, l’oxyde de calcium (chaux), CaO ou encorel’oxyde de sodium, Na2O. La substitution de la silice par un oxyde avec un cation de charge élec-trique proche conduira à réseau formateur assez similaire.On appelle ces éléments des «com-pensateurs de charge». La situation est très différente lors de la substitution par un oxyde avec uncation de faible charge électrique comme CaO ou encore Na2O. Il sera impossible de remplacerSi par Ca ou Na dans le réseau formateur. Ainsi, ces cations vont s’associer avec des oxygènesnon pontant en réalisant des liaisons ioniques. Ces éléments sont dits des «modificateurs de ré-seau». La structure du verre prend alors la forme schématisée sur la FIG. 1.6.

Les modificateurs de réseau vont donc «casser» le réseau formateur et auront des consé-quences importantes sur les propriétés du verre. Ainsi, l’ajout de modificateurs de réseau per-met de réduire la viscosité du verre sur plusieurs ordres de grandeur ou encore d’augmenter laconductivité électrique. Nous donnerons des exemples au cours du chapitre 3.



Catégorie Domaine de composition ApplicationsSodocalcique SiO2, CaO, Na2O Vitrage, bouteilles, flaconnage, go-

beleterieBorosilicate SiO2, B2O3, Na2O Pharmacie, culinaire, laboratoire

Aluminosilicate SiO2, Al2O3, CaO, B2O3 fibres de renforcementverre au plomb SiO2, PbO, K2O verrerie d’art, flaconnage de luxe,

écrans de protectionSilice SiO2 Fibres optiques

Zircone SiO2, ZrO2, Na2O Renforcement du cimentBioverres Na2O, CaO, SiO2, P2O5 Médicales

Verres fluorés ZrF4 avec d’autres fluorures Fibres optiques de courtes distancesVitrocéramiques Li2O, Al2O3, SiO2 Culinaires, optiquesChalcogénures S, Se, Te avec Ge, Si, Sb, As Optiques infrarouge

Métallique métal de transition Renforcement béton, industrielélectrique

TAB. 1.2 –Verres listés par catégorie, domaine de composition et applications selon Barton etGuillemet [2].

Ces quelques règles sont à la base de la formulation d’un verre. En fonction de propriétésphysiques souhaitées, les ingénieurs cherchent quelles compositions de verre peuvent conveniren utilisant des bases de données et des modèles empiriques ou semi-analytiques.

Pour finir ce chapitre d’introduction aux verres, listons les principaux verres en précisantleurs domaines de composition et leurs applications. Cetteliste empruntée à Barton et Guillemet[2] montre la grande variété de verres. La première catégorie est de loin la plus répandue. Dansla suite, nous allons uniquement nous s’intéresser à l’élaboration des verres correspondant auxquatre premières catégories.


Elaboration des verres 8

Chapitre 2

Elaboration des verres

2.1 Principe de l’élaboration des verres

L’obtention d’un verre sodocalcique requiert la fusion de matières premières. Ces dernièressont en grande partie les suivantes :

– le sable qui est à 95-99 % de la silice SiO2,– des carbonates :

– carbonates de sodium et magnésium,– calcaire CaCO3 et la dolomie CaMg(CO3)2.

– Feldspath, néphéline ou phonolithe apportant l’alumine,– des agents colorants en très faible quantité,– de l’oxyde de bore sous forme de borax ou de colémanite.

Ces matières premières se présentent sous forme granulaireet sont mélangées ensemble.Ensuite, elles sont introduites dans des fours et portées à haute température (de l’ordre de 1500C). Dans ces grandes lignes, la formation d’un verre fondu (liquide) résulte de la réaction globalesuivante :

SiO2 + carbonates → silicate (verre) + CO2. (2.1)

Ainsi, la réalisation d’un verre est bien une réaction chimique et les fours verriers sont des réac-teurs chimiques. L’autre point a noté sur la réaction globale (2.1) est la production de CO2. Laproduction d’une tonne de verre entraîne la libération de 200 kg de CO2, soit 100 Nm3 de gazcarbonique par tonne de verre1. Une grande partie du CO2 s’échappe lors des réactions entre lesmatières premières encore solide. Néanmoins, il en reste une partie piégée dans la phase liquidequi sera dissoute dans le liquide. Cependant, la solubilitédu CO2 qui correspond à la capacité àtrouver ce gaz au sein même du verre fondu est très faible. Il ressort alors une très forte créationde bulles qui conviendra d’éliminer.

1. Nm3 est l’unité de volume dite «normo mètre cube» où la quantité de gaz est ramenée au volume occupé à 25C et à 101325 Pa.


2.2 Les fours verriers 9

Les étapes de l’élaboration d’un verre sont donc les suivantes1. «fusion» : faire réagir entre elles les matières premières pour obtenir un silicate fondu.

Cette étape est réalisée pour une gamme de température de l’ordre de 800 à 1300C.

2. «affinage» : élimination des inclusions gazeuses et dissolution des grains de sable. Cetteétape se fait à haute température, entre 1300 à 1500C.

3. «homogénéisation» : cette étape vise à obtenir un verre qui soit le plus homogène à la foischimiquement et thermiquement.

4. «conditionnement thermique» : refroidissement du verrepour le préparer à son formage.On part de la température la plus élevée (1500C) et on descend à une température del’ordre de 1000C.

La première étape demande beaucoup d’énergie car les matières premières doivent être d’abordchauffées et ensuite les réactions chimiques entre ces matières sont en règle générale endother-miques. Thermodynamiquement, l’énergie nécessaire à la fusion est de l’ordre de 0,7 kWh/kg deverre. La deuxième étape est essentielle dans le procédé carc’est elle qui va permettre d’avoirun verre dépourvu de toutes impuretés qui peuvent être dommageable dans le produit final. Ellerequiert de haute température afin de réduire la viscosité. En effet, l’élimination des bulles estfavorisée par la réduction de la viscosité car comme nous le verrons plus tard au chapitre 5 lavitesse de remontée des bulles augmente avec la diminution de la viscosité. De plus, les hautestempératures favorisent également la dissolution de certaines espèces gazeuses qui permettent lacroissance des bulles par transfert de masse que nous verrons également plus en détail au coursdu chapitre 5. La troisième étape est généralement réaliséepar convection naturelle comme nousle verrons au chapitre 4. Finalement, la dernière étape est réalisée par un refroidissement généra-lement obtenu par une ventilation. Cette dernière doit êtrenéanmoins bien contrôlée pour ne pasproduire d’hétérogénéités thermiques trop importantes.

2.2 Les fours verriers

La réalisation d’un verre est faite dans des fours verriers suivant deux principes : soit defaçon séquentielle dans des fours à pot, soit de façon continue dans des fours à coulée continue.Nous nous limitons uniquement à la deuxième catégorie de fours qui est de loin la plus répandueaujourd’hui. Parmi les fours à coulée continue, deux grandstypes de fours existent :

– les fours à flammes où l’on utilise un combustible fossile pour chauffer le verre contenudans un basin ;

– les fours électriques dans lequel l’énergie apportée pourchauffer le verre est réalisée pareffet JOULE au sein même de la masse de verre.

Ces deux types de four sont maintenant présentés.

2.2.1 Les fours à flammes

Les fours à flammes sont constitués de matériaux réfractaires qui doivent tenir à la chaleur età la forte corrosion provoquée par le verre. Ces fours sont principalement constitués des parties



FIG. 2.1 –Représentation schématique d’un four de production de verre à bouteilles.

suivantes [13] :

– le système de chauffage ;– le basin de fusion ;– un système d’enfournement de la matière première.

Les fours à boucle

La FIG. 2.1 représente une vue schématique d’un four de productionde verre bouteille. Cesfours sont complètement clos. Le système de chauffage est constitué des conduits de brûleuret des régénérateurs. Ces derniers sont constitués d’empilage de matériaux réfractaires qui sontréchauffés par les gaz produits par la combustion lorsqu’ils sont connectés à la sortie des fumées(partie gauche ou droite des régénérateurs). Après un certain temps, la partie qui a été en contactavec les gaz brûlés est connectée avec l’entrée de l’air servant de comburant. L’air mis en contactavec les empilages se réchauffent jusqu’à des températuresde l’ordre de 1300C. Ceci est ungain important qui contribue fortement au rendement énergétique du four. Ainsi, sur ce type defour, les flammes de combustion se développent depuis l’un des conduits de brûleur et les gazbrûlés sortent par l’autre conduit. Ces fours sont également appelés «fours à boucle» car lesflammes effectuant une trajectoire en boucle. Les anglais utilisent le terme «end-fired furnace».

L’enfournement sur ce type de four est désigné sous le terme de «dog house» (niche). Lamatière première est enfournée par ces ouvertures. La cuve contient le verre en fusion. Ce dernierpasse par une gorge pour arriver ensuite dans un avant-bassin. Le verre chemine finalement dansces canaux avant d’arriver aux machines de formage. Ces canaux sont appelés «feeders». Lesfours à boucle produisent en moyenne entre 200 à 600 tonnes deverre par jour. La puissancedéveloppée par la combustion est de l’ordre de 5 à 15 MW.

Les caractéristiques géométriques des fours à boucle sont les suivantes : leur hauteur est del’ordre du mètre, leur longueur peut varier entre 10 et 15 m etleur largeur de 7 à 10 m. La surfacede combustion est de l’ordre de 70 à 150 m2.



FIG. 2.2 –Représentation schématique d’un four de production de verre plat (vitre).

Les fours float

La FIG. 2.2 représente un autre type de four utilisé pour la production de verre plat. Laformation du verre plat étant réalisée par un procédé particulier où l’on vient faire flotter leverre sur un bain d’étain en fusion, ces fours sont appelés «four float». Cette fois le système dechauffage est réparti sur les deux cotés du four. Les flammes se développent transversalement parrapport à la direction principale du four. Là aussi, les régénérateurs sont utilisés pour préchaufferl’air. On fonctionne alors par alternance où les flammes se développent suivant un coté et les gazbrûlés sortent en face pendant un certain temps ensuite on change de coté. L’enfournement dansce four se fait suivant le pignon amont. La partie fusion est séparée de l’avant-bassin par unepartie plus étroite appelée «corset». Les fours float ont desproductions de l’ordre de 500 à 1000tonnes de verre par jour. La puissance de chauffe est de l’ordre de 25 à 50 MW.

Les fours float sont les plus grands fours verriers. L’espacede combustion peut atteindre unelongueur de 20 m. Les largeurs sont de l’ordre de 10 m conduisant à des surfaces de combustionde l’ordre de 200 m2. La partie corset a une étendue de l’ordre de 5 à 6 m alors que lapartieconditionnement thermique a une longueur typique de 20 m également. La hauteur de verre dansce four reste de l’ordre du mètre.

Il existe d’autres types de four moins répandus que les précédents qui différent par le systèmede récupération de la chaleur ou encore par le comburant qui peut être de l’oxygène pur. Cesderniers sont décrits par ailleurs dans la référence [13] oùles lecteurs intéressés pourront s’yreporter.

Tirée et tirée spécifique

La production d’un four donnée en t/j est couramment appelée«tirée». Elle correspond au dé-bit massique du four et sera notée par la suitem. Le transfert de chaleur se faisant de la chambrede combustion située au dessus du bain de verre. L’efficacitéde chauffe est principalement rap-portée à la surface sur laquelle se développe la combustion.Ainsi, les fours sont caractérisés parla «tirée spécifique» définie par

mS =m

S, (2.2)



FIG. 2.3 –Représentation schématique d’un four électrique.

oùS correspond à la surface où la combustion se développe.La tirée spécifique dépend du verre, de la qualité requise pour les produits finis. Les fours à

boucle ont généralement des tirées spécifiques de l’ordre de3 à 5 t/(jm2) alors que les fours floatles valeurs typiques sont de l’ordre de 1,5 à 2 t/(jm2).

2.2.2 Les fours électriques

Les fours électriques fonctionnent sur un mode complètement différent de ceux à flammes.En effet, le verre qui est connu comme étant un isolant électrique lorsqu’il est solide devientconducteur au dessus de la température de transition vitreuse. La conductivité électrique aug-mente avec la température due à la présence des ions principalement les modificateurs de réseauqui sont de plus en plus mobiles à haute température.

En faisant passer un courant au sein du verre en y disposant des électrodes, on produit uneproduction d’énergie par effet JOULE ce qui permet de chauffer le verre. Une représentationschématique d’un four électrique est donné sur la FIG. 2.3. A l’inverse des fours à flammes, lemélange vitrifiable recouvre complètement l’ensemble de lasurface du four électrique. La ma-tière première voit son énergie nécessaire à son échauffement et à sa fusion apportée par le verreen fusion qui est porté à haute température. La croûte de mélange vitrifiable qui a une étendue del’ordre d’une dizaine de centimètres représente une coucheisolante. Alors que la température ausein du four peut atteindre 1600C, celle au dessus du mélange vitrifiable n’est que de l’ordrede200C. Le fait que la température au dessus du four soit faible entraîne que les fours électriquessont dits «à voute froide». Le schéma de la FIG. 2.3 montre que sur cet exemple les électrodessont introduites depuis le fond du four (appelé sole). Il arrive qu’elles soient introduites depuisle dessus. D’un point de vue technologique, ces électrodes sont généralement en molybdène.


Les phénomènes de transfert dans les fours verriers 13

Chapitre 3

Les phénomènes de transfert dans les foursverriers

Nous allons dresser une liste des phénomènes de transfert qui interviennent dans les foursverriers. Pour cela revenons au four à flammes comme représenté sur la FIG. 3.1. Nous allonssuccessivement voir quels sont les principaux modes de transfert dans la chambre de combustion,appelée «laboratoire» et ensuite dans le bain de verre. Cecinous permettra de voir comment cesphénomènes peuvent être décrit d’un point de vue théorique.

3.1 Chambre de combustion

Le four constitué de la voûte, appelée également superstructure, et du bassin (infrastructure)est une enceinte fermée. Dans l’espace de combustion où se trouvent les brûleurs, les flammess’y développent. Cette combustion qui est comme nous l’avons vu précédemment se fait avecun air préchauffé produit de hautes températures, de l’ordre de 1800C. L’énergie produite parces flammes est ensuite transmise au bain de verre par rayonnement thermique. Ainsi, pour ce

Gorge

Point chaud

Bassin

Voute

Mat. pre.

Bruleurs

Point froid

FIG. 3.1 –Représentation schématique d’un four à flammes avec l’entrée de matière première àgauche, la sortie du verre par la gorge à droite.


3.1 Chambre de combustion 14

qui est de l’atmosphère au dessus du bain de verre, le mode de transfert de la chaleur le plusprépondérant est le rayonnement thermique.

3.1.1 Transfert de chaleur par rayonnement

La chaleur peut être transmise à l’aide de trois phénomènes.Le premier est la conduction liéeà une agitation moléculaire qui est généralement décrite par la loi de FOURIER. Le deuxièmemode de transfert est la convection où la chaleur est transportée par un fluide en écoulement. Letroisième mode est celui par rayonnement. Il correspond à une propagation d’onde électroma-gnétique (transport de photons). Il implique des interactions à longue distance. A l’inverse desdeux premiers modes de transfert qui nécessitent l’existence d’un milieu matériel, le transfertpar rayonnement n’en a pas besoin. Il peut donc avoir lieu dans le vide. L’interaction des ondesélectromagnétiques avec le milieu traversé conduit à troisgrandes catégories de milieux :

– milieu transparent : pas interaction avec le rayonnement,ex. : le vide, l’air sur une courtesdistances ;

– milieu opaque : le rayonnement ne peut pas pénétrer, ex. : les métaux, les murs, les maté-riaux réfractaires ;

– milieu semi-transparent, ex. : le verre, les gaz à effet de serre.Le rayonnement peut être décomposé en un spectre en fréquence f ou en longueur d’onde,

λ. Les ondes électrmagnétiques voyageant à la vitesse de la lumière c induisent les relationssuivantes :

c = λf, (3.1)

c =c0n, (3.2)

où c est le vitesse de la lumière dans un milieu d’indice de refraction n, c0 est la vitesse de lalumière dans le vide, soit299792458 m/s.

Tout corps placé à une température donnée émet un flux d’énergie radiative dépendant dela fréquence du rayonnement, de la direction de transmission, de la surface et de l’étendue spa-tiale. On définit cette densité de flux d’énergie pour un élément de surfacedS orienté suivant lanormalen comme représenté sur la FIG. 3.2 sous la forme suivante

d3qf = L′fn · udΩdfdS. (3.3)

L′f est la luminance dans la directionu émis dans un angle solidedΩ à la fréquencef . Le prime

dans la luminance fait référence à l’aspect directionel alors que l’indicef fait référence à l’aspectchromatique (spectrale). L’unité SI deL′

f est le J·m−2·sr−1 où sr désigne la mesure des anglessolide (stéradian).

Dans un état d’équilibre, un corps placé à une températureT émet un flux de chaleur radiatifrégie par une loi établie par PLANCK [7]. Cette luminance d’équilibre est donnée par

L0f =

2~f 3n2

c20(e~f

kBT − 1), (3.4)



dS

nu

θdΩ

FIG. 3.2 –Définition de la luminance monochromatique.

où ~ = 6,6262 · 10−34 J·s et kB = 1,38066 · 10−23 J/K sont les constantes de PLANCK etBOLTZMANN , n est l’indice de réfraction du milieu. La luminance expriméeen fonction de lalongueur d’onde est la suivante :

L0λ =

2~c2

λ5(e~c

kBTλ − 1). (3.5)

L’unité de cette densité d’énergie est alors W·m−2·sr−1·m−1.L’intégration de la fonction de PLANCK sur toutes les fréquences donne le flux radiatif émis

selon une direction donnée :

L0 =σT 4

π, (3.6)

où σ est la constante de STEFAN-BOLTZMANN égale à5,6704 · 10−8 W·m−2·K−4. La relation(3.6) est connue sous le nom de la loi de STEFAN-BOLTZMANN . Elle montre que le flux dechaleur radiatif est proportionnel à la puissance quatre dela température montrant l’importancedu rayonnement à haute température.

La FIG. 3.3 présente l’évolution de la luminance d’équilibre donnée par la relation (3.5)en fonction de la longueur d’onde enµm pour trois températures,6000, 2000 et 300 K. Lapremière température est celle que l’on trouve à la surface du soleil, la deuxième est typiqued’une température dans une chambre de combustion et la dernière est une température ambiante.

Une des propriétés de la fonction de PLANCK est qu’aucune courbe obtenue à une tempé-rature donnée ne se croise. Par ailleurs, on remarque que ce spectre de puissance passe par unmaximum défini ainsi :

λMT = 2898, (3.7)

oùλM est la longueur d’onde du maximum de puissance donnée enµm etT en K. Ce résultat estconnu sous le nom de la première loi de WIEN. Le maximum est donné par le relation connuesous le nom de la deuxième loi de WIEN :

L0M =

8,3737 · 1011

λ5, (3.8)

Cette solution est représentée sous forme de tirets sur la FIG. 3.3.



5 10 15 20 25 30 35 40 45 50103

104

105

106

107

108

109

1010

1011

1012

1013

1014

L0 λ

(W·m

−2·s

r−1·m

−1)

λ (µm)

T = 6000 KT = 2000 KT = 300 KL0

M = 8,3737 · 1011/λ5

FIG. 3.3 –Evolution deL0λ en fonction de la longueur d’ondeλ pour trois températures.

Ce résultat montre que le rayonnement solaire est centré surune longueur d’onde de l’ordrede0,5 µm qui est dans la gamme du rayonnement du visible (compris entre 0,4 et 0,8 µm). Lerayonnement dans un four est lui centrée sur la longueur d’onde de l’ordre de1,4 µm qui estdans le proche infrarouge. Pour ce qui est du rayonnement à une température ambiante,λM estde l’ordre de10 µm.

Le dernier point à noter sur la fonction de PLANCK est que97 % de la puissance est concen-trée sur la gamme[λM/2; 7λM ]. Ceci donne une règle facile pour estimer la gamme de longueursd’onde impliquée dans la puissance fournie par le rayonnement.

Lorsque qu’un rayonnement se propage dans un milieu, il peutsubir une absorption liée aumilieu caractérisé par un coefficient d’absorption notéeκf . De plus, le milieu ayant une tempé-rature locale, il peut de même émettre un rayonnement suivant la loi de PLANCK précédemmentintroduite. Cette émission est à pondérer par un coefficientd’émission appelé émissivité,εf . Leprincipe de la conservation de l’énergie implique suivant la loi de KIRCHOFF que

εf = κf . (3.9)

Le rayonnement peut également subir une dispersion liée à laprésence d’impuretés dans le milieuque nous allons négliger dans cet exposé.

Ces mécanismes d’absorption et d’émission le long d’un chemin optique conduisent à l’écri-ture de l’équation du transfert radiatif. La variation de laluminance sur un chemin optique d’élé-ment de longueurds est alors donnée par l’équation [38] :

dL′f(s)

ds= −κfL

′f (s) + κfL

0f(T ), (3.10)

Le flux radiatif monochromatique est donné par l’intégrale de la luminance monochromatiquedans toutes les directions :

dqr,f =

∫

Ω=4π

L′f (s) u dΩ, (3.11)



oùdΩ est un angle solide,f la fréquence du rayonnement monochromatique etu est la directiondu rayon déjà introduite sur la FIG. 3.2. Pour obtenir l’expression du flux radiatif total, il fautintégrer l’équation (3.11) sur toutes les fréquences, c’est-à-dire :

qr =

∫ ∞

0

∫

Ω=4π

L′f (s) u dΩdf. (3.12)

Le flux radiatif joue un rôle dans le transfert de chaleur. En effet, si ce flux de chaleur subitdes variations au sein du milieu, ce dernier verra sa température évoluée. Il s’ensuit qu’il convientde modifier l’équation de conservation de l’énergie sous la forme suivante [7] :

ρCpDT

Dt= div (λcond gradT ) − div qr +

DP

Dt+ τ : D. (3.13)

Le membre de gauche est le terme lié à la variation de la température (dérivée particulaire).Le premier terme de membre de droite est le terme de transfertde chaleur par conduction oùλcond est la conductivité moléculaire. Le deuxième terme est lié au flux de chaleur radiatif. Letroisième terme représente le travail des forces de pression lié à la dilatation volumique du mi-lieu. Finalement, le dernier terme est la dissipation visqueuse définie comme le double produitcontracté du tenseur des contraintes visqueuses,τ par le tenseur des taux de déformation,D

défini plus loin, page 20, Eq. (3.22).La résolution générale du problème requiert l’écriture deséquations de bilan de masse et de

quantité de mouvement. Dans la chambre de combustion, les vitesses typiques sont très élevées(de 10 à 50 m/s) ce qui induit que les écoulements gazeux ont caractères turbulents. La turbulenceétant en dehors du cadre de cours introductif nous n’irons pas plus loin.

Pour voir l’importance du transfert radiatif, remarquons que le flux de chaleur transmis parrayonnement à une surface de verre ayant une températureTv s’écrit sous la forme

ϕrad = εσ(T 4∞ − T 4

v

), (3.14)

où ε est l’émissivité de la surface du verre etT∞ la température des flammes. En prenantT∞ =1800 C et une émissivité de0,5, la densité de flux radiatif est de l’ordre de1,7 · 105 W·m−2.Rappelons que l’équation (3.14) est valide avec les températures en Kelvin.

Ce flux peut être comparé à celui obtenu par convection. En effet, l’espace de combustionest également le siège d’intense mouvement de combustion généré par la circulation des gaz.L’écoulement est de nature turbulent. Ainsi, on peut s’attendre à un transfert de chaleur parconvection. Le flux de chaleur convectif s’écrit sous la forme suivante

ϕconv = hconv (T∞ − Tv) , (3.15)

où hconv est le coefficient d’échange convectif donné en W·m−2·K−1. En prenant une valeurtypique en convection forcée dehconv de l’ordre de 100, on trouve avec les mêmes températuresque dans l’application précédente un flux convectif de l’ordre de2 · 104 W·m−2. Ce dernier estd’un ordre de grandeur inférieur à celui produit par rayonnement.


3.2 Bain de verre 18

FIG. 3.4 –Sprectre de transmission de verres. Le Planilux est le verreclassiquement utilisé pourles vitres. Le verre diamant est un verre ayant très peu de fer. Le verre Albarino est un verre avecpartiquement pas de fer et spécialement développé pour les applications photovoltaïques.

3.2 Bain de verre

3.2.1 Transfert de chaleur dans le verre

Le transfert de chaleur dans le bain de verre est également principalement piloté par le rayon-nement. Le verre est un milieu dit «semi-transparent». On sait bien que le verre est transparentaux longueurs d’onde du rayonnement visible, compris entre[400; 800] nm. Par contre, le rayon-nement à d’autres longueurs d’onde peut être absorbé. La FIG. 3.4 présente trois spectres detransmission de verres actuellement développés par SAINT-GOBAIN. Le verre Planilux est leplus répandu. C’est celui utilisé pour les applications vitrage dans l’habitat ou l’automobile. Leverre Diamant est utilisé pour sa fonction de faible absorption. On le trouve par exemple dans lesmusées là où on souhaite mettre un vitrage épais mais qui laisse voir ce qui se trouve derrière.Le dernier verre, Albarino, est un nouveau produit spécialement formulé pour les applicationsphotovoltaïques.

Dans la mesure où le rayonnement est absorbé sur de petites échelles, les phénomènes detransfert radiatif peuvent être modélisés comme un processus diffusif. Cette approximation ditede ROSSELAND s’écrit sous la forme suivante :

qr = −λR gradT, (3.16)

oùλR est la conductivité de ROSSELAND ainsi définie

λR =16n2σT 3

3βR

. (3.17)

Dans cette dernière relation,n est l’indice de réfraction du verre (valeur typique de l’ordre de1,5),σ est la constante de STEFAN-BOLTZMANN , T est la température en Kelvin etβR est lecoefficient d’absorption de ROSSELAND. La justification de cette approximation est donnée dansl’annexe A.



Verre βR (m−1)Verre à vitre 40

Verre bouteille 250

TAB. 3.1 –Coefficients d’absorption deROSSELAND de différents verres industriels.

Ce coefficient d’absorption,βR, dépend de la composition du verre. L’élément qui joue unrôle primordial dans l’absorption du rayonnement dans les verres est le fer. Cet élément est ditpolyvalent car il présente deux états d’oxydation. L’un ditréduit sous la forme FeO où son étatde valence est Fe2+ et l’autre dit oxydé sous la forme Fe2O3. Dans ce dernier cas, sa valence estFe3+. Le rapport entre ces deux états oxydés est le fruit des mécanismes de chimie qui s’opèrentdans le bain de verre lors de son élaboration. Ces derniers seront évoqués dans le chapitre 5. Lefer réduit absorbe à une longueur d’onde de l’ordre de1000 nm et le fer oxydé à400 nm.

Dans la gamme de température à laquelle les verres sont élaborés, l’élément essentiel est lefer réduit. Ainsi, plus un verre est réduit et plus la quantité de fer est importante, plus l’absorptionsera grande. La TAB. 3.1 présente les valeurs typiques deβR pour différents types de verre.

3.2.2 Hydrodynamique des bains de verre

Comme illustrer sur la FIG. 3.1, la matière première recouvre une bonne partie de la surfacedu bain de verre. On appelle cette zone «le tapis de composition». Cette couverture a une hauteurmaximale de l’ordre de quelques dizaines de centimètres quiest à moitié immergée dans lamesure où sa masse volumique est deux fois plus faible que celle du verre. Il s’agit d’un milieugranulaire dans lequel l’énergie y pénètre difficilement. Le mode de transfert thermique y estprincipalement conductif. Il s’agit d’un point froid car lamatière première est introduite à latempérature ambiante. Ce tapis représente un isolant thermique conduisant à des températures deverre sous le tapis de composition assez faible.

En dehors de la zone de composition, les flammes de combustionpeuvent transmettre defaçon plus efficace leur énergie au bain de verre conduisant àde plus hautes températures ensurface du bain de verre. On parle alors de point chaud comme indiqué sur la FIG. 3.1. L’ap-parition de ce gradient thermique selon l’axe longitudinalinduit des mouvements de convectionnaturelle au sein du bain de verre. En effet, le verre est comme la plupart de tous les liquides unfluide dilatable : il voit sa masse volumique baissée lorsquela température augmente. Ainsi, leverre s’élève là où la température est élevée et descend là oùla température est plus faible. Ceciconduit à de grandes circulations dans le bain de verre commeillustrées sur la FIG. 3.1.

Pour décrire d’un point de vue formelle les concepts illustrés sur FIG. 3.1 et commentés ci-dessus, les équations couplant l’hydrodynamique et la thermique doivent être écrites. Les équa-tions de l’hydrodynamique sont écrites dans le cadre de l’approximation de BOUSSINESQ. Cettedernière considère que le fluide est incompressible. Néanmoins, la dilatation volumique en fonc-tion de la température du liquide est introduite dans la conservation de la quantité de mouvement.Du fait du couplage avec le champ de température, la description théorique de ce problème re-quiert également l’écriture de la conservation de l’énergie. Ainsi, les équations décrivant la ther-moconvection des bains de verre sont les suivantes :



div u = 0, (3.18)

ρDu

Dt= −gradP ′ + div τ − ρβ(T − T0)g, (3.19)

ρCpDT

Dt= div(λeq gradT ). (3.20)

u correspond à la vitesse locale du liquide définie en un point quelconquex et à l’instantt. ρ désigne la masse volumique du verre définie à la température de référenceT0. P ′ est lapression hydrodynamique.β est le coefficient de dilatation volumique thermique du verre.g estle champ volumique de gravité.Cp est la chaleur spécifique à pression constante.τ est le tenseurdes contraintes visqueuses défini ainsi

τ = 2µD, (3.21)

oùµ est la viscosité dynamique du verre etD est le tenseur des taux de déformation correspon-dant à la partie symétrique du tenseur gradient de vitesse :

D =1

2

(gradu + gradt u

). (3.22)

La viscosité des verres dépend fortement de la température.Comme dans la plupart des li-quides, cette dépendance varie selon une loi exponentielle[7]. Pour les verres, on utilise princi-palement la loi de Vogel-Fulcher-Tammann, où la viscosité dynamique est écrite sous la forme :

logµ = Aµ +Bµ

T − Tµ, (3.23)

où les trois coefficientsAµ, Bµ etAµ sont déterminés à l’aide de données expérimentales. Cescoefficients dépendent fortement de la nature du verre. La FIG. 3.5 présente l’évolution de laviscosité dynamique pour deux verres en fonction de la température. Le premier est un verre desilice pure, le deuxième est un verre sodocalcique à 70 % en masse de silice et le reste constituéde Na2O et CaO. Le rôle modificateur de réseau est clairement identifié.

λeq dans l’équation de conservation de l’énergie correspond à la conductivité totale ou équi-valente somme de celles liées aux phénomènes de conduction et de rayonnement précédemmentprésenté. On l’écrit sous la forme :

λeq = λcond + λR. (3.24)

λcond est la conductivité thermique par conduction etλR la conductivité thermique par rayonne-ment définie par l’équation (3.17).

Finalement, afin d’être complet, rappelons que la dérivée particulaire écrite en repère carté-sien pour une fonction générique,f , s’écrit1

Df

Dt=∂f

∂t+ grad f · u =

∂f

∂t+∂f

∂xiui. (3.25)

1. La convention d’EINSTEIN sur les indices répétés est employée.



1000 1050 1100 1150 1200 1250 1300 1350 1400 1450 15000

2

4

6

8

10

12

14

16

T (C)

logµ

Verre SiO2Verre à vitre

FIG. 3.5 –log(µ) en fonction deT (C) de deux verres.

3.2.3 Etude de cas sur un four simplifié

Ces mouvements de convection sont primordiaux dans la compréhension du procédé. Ilspilotent la façon dont le verre est mélangé et ont une très grande importance sur les temps deséjour. La convection naturelle est assez difficile à étudier car elle n’a pas d’échelle de vitesseconnuea priori .

En guise d’illustration, nous allons étudier les mouvements de convection dans un four sim-plifié. Il s’agit d’une étude numérique faite sur une configuration 2D utilisée pour faire des com-paraisons entre logiciels de calcul décrit dans la référence [28]. La géométrie du four est repré-sentée sur la FIG. 3.6. Il s’agit d’un four faisant une longueur de7 m et d’un mètre de hauteur.L’introduction de la matière se fait par le dessus sur une longueur de2 m. Le reste de la frontièresupérieure est supposée être une surface libre. D’un point de vue thermique, on impose une tem-pérature linéaire par morçeau sur la frontière supérieure dont le profil est donné sur la FIG. 3.6.Les autres frontières correspondant aux parois du four sontisolées. Elles subissent néanmoinsune perte modélisée en utilisant un coefficient d’échange.

Ce problème est traité numérique à l’aide de Comsol Multiphysics où les équations (3.18),(3.19) et (3.20) sont résolues de façon couplée. L’entrée dematière est traitée en imposant lacomposante de la vitesse suivanty ainsi :

v = − m

ρLcompo, (3.26)

oùm est le débit massique par unité de longueur etLcompo est la longueur de la zone d’introduc-tion de la matière, soit2 m. Dans cet exemple,m est pris égal à5 kg/s/m.

La surface libre est imposée en utilisant les conditions suivantes :

u · n = 0, (3.27)

σ · n = 0, (3.28)



7

1 m

2 m

7 m 1 m

0,35

m

Surface libreEntree de matiere

Sortie

1200

1300

14501500

T (C)

x (m)

2 5

FIG. 3.6 –Géométrie du four simplifié. L’introduction de matière se fait sur la partie gauche etl’extraction par une gorge à droite. Le profil de températureappliquée sur la frontière supérieureest donné sous la géométrie.

ρ β µ(kg/m3) (K−1) (Pa·s)2300 6 · 10−5 2,63 · 10−3 exp [9974,8/(T − 521)]

λcond Cp n βR

(W/m/K) (J/kg/K) (-) (m−1)2 1300 1,5 10 ≤ βR ≤ 500

TAB. 3.2 –Propriétés physiques utilisées dans l’étude de cas du four simplifié.

où n représente la normale sortante aux frontières du domaine etσ est le tenseur de contrainte,soit−P ′I + τ . Sur les autres frontières, on utilise des conditions d’adhérence.

Les pertes thermiques sont modélisées en imposant une condition mixte de type FOURIER

sous la forme suivante :

−λeq∂T

∂n= hp (T − T∞) , (3.29)

avechp le coefficient d’échange etT∞ la température d’échange correspondant à celle se trouvantà l’extérieur du four. Le coefficient d’échangehp correspond aux transferts thermiques à traversles matériaux isolant le four et l’échange convective entrela paroi extérieure du four et l’airambiant. Dans les calculs réalisés ici,hp est pris égal à2,5 W/m2/K et T∞ à30C.

Les propriétés physiques du verre utilisées pour cette simulation sont empruntées à celles del’article [28] en dehors de la conductivité thermique où l’on a utilisé la forme précedemmentintroduit à l’aide de l’équation (3.24) où le transfert thermique par rayonnement est traité à l’aidedu modèle de ROSSELAND. La TAB. 3.2 résume les valeurs ou les lois utilisées pour les grandeurspertinentes du problème.

Pour cette étude de cas, nous allons nous focaliser sur l’effet du transfert thermique parrayonnement en utilisant trois valeurs du coefficient d’absorption de ROSSELAND. La premièrevaleur utilisée est égale à10 m−1 correspondant à un verre très transparent. Le deuxième verre



(a)βR = 10 m−1 (b) βR = 50 m−1

(c) βR = 500 m−1

FIG. 3.7 –Champ de température pour (a)βR = 10 m−1, (b)βR = 50 m−1 et (c)βR = 500 m−1.

étudié aura unβR égal à50 m−1 et le dernier sera un verre très sombre ayant unβR de500 m−1.La Figure 3.7 représentent les trois champs de température obtenus pour les trois valeurs de

βR. Ces trois résultats montrent que le champ de température est assez stratifié avec un fondassez froid et une partie haute très chaude. On remarque néanmoins que lorsque le coefficientd’absorption de ROSSELAND est grand, la température dans la partie inférieure du four est plusfaible. Ceci est dû à la moins bonne capacité du verre à transmettre la chaleur.

Pour montrer ce point de façon plus clairement, les profils detempérature en fonction deyont été représentés au niveau du point chaud du four sur la FIG. 3.8. On voit bien l’augmentationdes gradients thermiques avec l’augmentation deβR. La température du fond du four décroît depratiquement de200 K lorsque le coefficient d’absorption passe de10 à 500 m−1. Ce résultatnumérique est une réalité industrielle où les conducteurs de four ont du mal à chauffer les verrestrès sombres. Par contre, les verres très clairs induisent une forte usure des matériaux réfractairesdue aux hautes températures qui nécessite généralement uneissolation moindre afin de faciliterles pertes thermiques.

Les effets deβR sont très visibles sur le champ de vitesse. En effet, comme onpeut le voirsur la Figure 3.9, l’intensité de l’écoulement décroît avecl’augmentation deβR. PourβR = 10m−1, le maximum de la vitesse atteint1,7 · 10−2 m/s. Ce maximum devient7,8 · 10−3 m/s pourβR = 50 m−1 pour finalement atteindre3 · 10−3 m/s pourβR = 500 m−1.



0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 11400

1450

1500

1550

1600

1650

1700

1750

1800

T(K

)

y (m)

βR = 10 m−1

βR = 50 m−1

βR = 500 m−1

FIG. 3.8 –Profils de température à la verticale du point chaud pour les trois valeurs du coeffi-cients d’absorption.

(a)βR = 10 m−1 (b) βR = 50 m−1

(c) βR = 500 m−1

FIG. 3.9 –Champ de vitesse pour (a)βR = 10 m−1, (b)βR = 50 m−1 et (c)βR = 500 m−1.


3.3 Magnétohydrodynamique dans les fours verriers 25

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1-0,006

-0,004

-0,002

0

0,002

0,004

u(m

/s)

y (m)

βR = 10 m−1

βR = 50 m−1

βR = 500 m−1

FIG. 3.10 –Profils de la composanteu de la vitesse à la verticale du point chaud pour les troisvaleurs du coefficients d’absorption.

Comme nous l’avons montrer sur le champ de température, les profils de la composante devitesseu en fonction dey sont représentés sur la Figure 3.10. L’effet du coefficient d’absorptionsur la vitesse est clairement visible sur cette figure.

Cette étude sommaire montre à quel point le couplage entre lathermique et la dynamique esttrès importante. L’augmentation de l’intensité de convection lorsqueβR diminue peut s’expliquerde façon théorique que nous verrons plus en détail dans le chapitre 4.

3.3 Magnétohydrodynamique dans les fours verriers

On a vu dans le précédent chapitre que l’électricité permet la fusion du verre par effet JOULE.Cette sous-section est consacrée à l’écriture des lois fondamentales régissant le couplage d’unchamp électrique présent dans un milieu conducteur. Le couplage entre les champs électroma-gnétiques et ceux de l’hydrodynamique est connu sous le nom de la magnétohydrodynamique.Le but ici n’est pas de faire un exposé complet de ce sujet trèsriche mais de donner les élémentsessentiels à sa mise en œuvre dans le cadre de l’élaboration des verres.

3.3.1 Equations du problème

Lorsque l’on dispose des électrodes dans un four verrier, oncrée un champ électrique,E.Ce dernier entraîne l’apparition d’une densité de courant qui s’écrit suivant la loi d’OHM sous laforme suivante

J = σE, (3.30)



oùσ désigne la conductivité électrique du milieu exprimée en S·m−1 (On a S=Ω−1 où S corres-pond Siemens etΩ à Ohm).

Comme mentionné au cours du chapitre 1, la conductivité électrique dans les verres est favo-risée par la présence d’ions modificateurs plus mobiles au sein du réseau du verre. La variation dela conductivité électrique est généralement introduite suivant un modèle de type ARRHÉNIUS:

σ = Aσ exp

(−Bσ

T

), (3.31)

oùAσ etBσ sont des coefficients dépendant de la nature du verre. Afin d’illustrer ce propos, laFIG. 3.11 représente l’évolution de la conductivité électrique déterminée en S·cm−1 en fonctionde la température. Deux verres ont été utilisés le premier est un verre classique sodocalcique(verre à vitre). Le deuxième est un verre dit hautement résistif utilisé dans les applications élec-troniques où l’on souhaite avoir de bonnes propriétés d’isolation électrique.

1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

T (C)

logσ

Verre à vitreVerre electronique (verre E)

FIG. 3.11 –Conductivité électrique en fonction deT pour deux verres de formulation différente.

Ce champ électrique entraîne l’apparition d’une force ditede LAPLACE supplémentaire dontil faut tenir compte dans le bilan de quantité de mouvement. L’effet le plus important est la nais-sance d’une puissance dissipée par l’effet JOULE. Ces deux effets conduisent à la modificationde l’équation de quantité de mouvement et de celle de l’énergie sous la forme suivante :

ρDu

Dt= −grad P ′ + div τ − ρβ(T − T0)g + J × B, (3.32)

ρCpDT

Dt= div(λ gradT ) + J · E. (3.33)

B correspond au champ magnétique.Il convient maintenant de voir commentE, J etB peuvent être obtenus. Ces quantités sont

régies par les équations de MAXWELL . Afin d’éviter des problèmes d’accumulation au niveau



des électrodes, les champs électriques utilisés dans les fours verriers sont alternatifs de bassesfréquences (typiquement entre 50 à 1000 Hz). Ainsi, les aspects instationnaires des équations deMAXWELL ne sont pas pris en compte. A partir des équations générales de MAXWELL [20], onobtient

rotE = 0, (3.34)

div J = 0. (3.35)

La première équation entraîne queE dérive d’un potentiel

E = −gradV. (3.36)

Ainsi, le problème se réduit à une seule équation scalaire compte-tenu de la loi d’OHM:

div (σ gradV ) = 0. (3.37)

Cette équation doit être complétée par des conditions aux limites sur les électrodes et sur lesfrontières du four. Comme nous imposons des potentiels sur les électrodes, les conditions auxlimites sur ces dernières seront de type DIRICHLET. Sur les autres frontières, on suppose enrègle générale qu’il n’y a pas de courant de fuite signifiant queJ y est nul. Ceci correspond àdes conditions aux limites de type NEUMANN.

Le champ magnétique est qu’en à lui obtenu par la relation suivante :

rotB = µ0µrJ , (3.38)

où µ0 est la perméabilité du vide égale à4π · 10−7 Hm−1 et µr est la perméabilité relative dumilieu qui dépend du caractère magnétique du matériau. Pourles matériaux diamagnétiquescomme l’air, le verre, l’application d’un champ magnétiquene provoque aucune création demoment angulaire des atomes constituant le milieu. Dans ce cas,µr est sensiblement égal àun. Pour mémoire, les matériaux ayant une perméabilité légèrement supérieure à un sont ditsparamagnètiques. La dernière classe de matériaux est celledes ferromagnétiques qui possédentune perméabilité relative très grande [20].

Une des façons de calculerB est d’utiliser le théorème de GAUSS qui implique queB soitun champ vectoriel solénoïde :

div B = 0. (3.39)

L’utilisation du potentiel vectoriel permet d’obtenir uneforme intégrale du champ magné-tique correspondant à une forme intégrale de la relation de BIOT et SAVARD [20] :

B(x) =µ0µr

4π

∫

D

J(x′) × (x − x′)

||x − x′||3 dV (x′). (3.40)

Cette relation est très utile pour déterminer le champ magnétique. Remarquons que le noyau decette intégrale qui semble singulier lorsquex′ tend versx ne l’est finalement pas.



T = T0, ∂V∂n

= 0

∂T∂n

= 0, ∂V∂n

= 0∂T

∂n

=0,

∂V

∂n

=0

∂T

∂n

=0,

∂V

∂n

=0

∂T∂n

= 0, V = V0∂T∂n

= 0, V = 0

L

H

He

FIG. 3.12 –Cavité rectangulaire chauffée par effetJOULE grâce à deux électrodes. Les condi-tions aux limites thermique et électrique sont spécifiées. Des conditions d’adhérence sont impo-sées sur toutes les frontières.

ρ β µ λ Cp σ µr

(kg/m3) (K−1) (Pa·s) (W/m/K) (J/K/kg) (S/m) (-)2350 6 · 10−5 10 50 1300 10 1

TAB. 3.3 –Propriétés physiques du liquide du problème couplant l’hydrodynamique, la ther-mique et l’électricité.

3.3.2 Etude de cas

Cette soussection est consacrée à une étude d’un système particulier. Il s’agit d’une cavitérectangulaire de longueurL et de hauteurH. Sur les deux parois verticales, sont disposées deuxélectrodes assurant le chauffage par effet JOULE du fluide se trouvant au sein de la cavité. Cecas est très proche d’un four électrique. Il a été étudié par Sugigalet al. [40] en focalisant sur leseffets des forces de LAPLACE et de flottabilité. Il s’agit d’un problème multiphysiques couplantl’hydrodynamique, la thermique et l’électricité. Le domaine est représenté sur la FIG. 3.12. Lesconditions aux limites pour la température et le potentiel électrique ont été reportées. La paroihorizontale supérieure est placée à une température uniforme,T0, alors la dérivée normale deVest prise égale à zéro signifiant qu’il n’y a pas de courant. Sur l’ensemble des autres limites ycompris les électrodes, les parois sont supposées adiabatique. L’électrode de gauche est placée àun potentiel égal àV0 alors que celle de droite est à la masse,V = 0. Sur l’ensemble des autresfrontières, une condition de NEUMANN homogène est utilisée pour le potentiel électrique.

Les propriétés du liquide sont prises proches de ce que l’on apour un verre à haute tempéra-ture. Elles sont résumées sur la TAB. 3.3. Pour simplifier, les propriétés sont prises constantes.

Les équations du problème ont été vu précédemment. Elles forment un système constitué de(3.18) et (3.32) pour la partie hydrodynamique, de (3.33) pour la thermique, de (3.37) et (3.30)



x u P V J B ∆T

H νH

ρν2

H2 V0σV0

Hµ0µrσV0

σV 20

ρCpν

TAB. 3.4 –Grandeurs servant à l’adimensionnement des équations (3.18), (3.32), (3.33), (3.37),(3.30) et (3.40).

pour le potentiel électrique et de (3.40). Le problème est mise sous forme adimensionnée. LaTable 3.4 résume les grandeurs utilisées pour la normalisation du problème oùν est la viscositécinématique.∆T représente l’échauffement typique dû à l’effet JOULE où la température estécrite sous la forme

T = T0 + ∆Tθ. (3.41)

θ est la température sans dimension qui vaudra1 sur la paroi supérieure et sera plus grande queun dans le cœur de la cavité.

Le système une fois normalisé prend alors la forme suivante où les variables sans dimensionsont écrites de la même façon que celles dimensionnées afin d’alléger les notations :

div u = 0, (3.42)Du

Dt= −grad P ′ + ∇

2u +Ra

Prθey +H2

aJ × B, (3.43)

Dθ

Dt=

1

Pr∇

2θ + grad2 V, (3.44)

∇2V = 0, (3.45)

B(x) = − 1

4π

∫

D

gradV × (x − x′)

||x − x′||3 dV (x′). (3.46)

Les trois nombres sans dimension,Ra, Pr etHa sont définis par

Ra =gβ∆TH3

νκ, (3.47)

Pr =ν

κ, (3.48)

Ha =σV0H

ν

√µ0µr

ρ, (3.49)

κ est la diffusivité thermique donnée parλ/(ρCp). Le premier de ces nombres est celui de RAY-LEIGH qui compare les forces de flottabilité à celles d’inertie. Ledeuxième nombre est le nombrede PRANDTL qui ne dépend que des propriétés du fluide. Il mesure le rapport de temps de la dif-fusion de la chaleur à celui de la diffusion de la quantité de mouvement. Ces deux premiersnombres interviennent dans tous les problèmes de convection naturelle. On les rencontrera denouveau dans le prochain chapitre. Le dernier nombre est qu’en à lui spécifique aux problèmesde magnétohydrodynamique et s’appelle le nombre de HARTMANN . Il mesure l’importance desforces de LAPLACE à celles d’inertie.



(a) Champ de température (b) Champ de vitesse

FIG. 3.13 –Champs de température et de vitesse pourPr = 200 etRa = 1000 pour t = 5000.

(a) Champ de température (b) Champ de vitesse

FIG. 3.14 –Champs de température et de vitesse pourPr = 5000 etRa = 1000 pour t = 5000.

Le problème complet fait donc apparaître trois nombres. Pour cette étude de cas, nous allonsnous limiter à deux cas où nous avons fait varier le nombre de PRANDTL. Le nombre de RAY-LEIGH est fixé à1000 alors que le nombre d’HARTMANN est pris égal à zéro signifiant que leseffets de forces de LAPLACE ne sont pas pris en compte. Deux valeurs dePr ont été utilisées : lapremière est200 et5000.

La résolution numérique est réalisée à l’aide de Comsol Multiphysics où le calcul est traitécomme dépendant du temps. On cherche à voir si on obtient une solution stationnaire. Pour lepremier nombre de PRANDTL, c’est le cas. La Figure 3.13 représente les champs de températureet de vitesse après un temps sans dimension de5000. L’écoulement est caractérisé par deux cel-lules de convection contrarotatives. Le fluide monte à proximité des électrodes pour redescendreau milieu de la cavité. Ce fait est très bien matérialisé par le champ de température.

L’augmentation du nombre de PRANDTL change de façon très importante la structure del’écoulement et son caractère. En effet, quandPr = 5000, l’écoulement ne reste pas stationnaire.Les champs de température et de vitesse montrés sur la FIG. 3.14 correspondent à des instantanés.L’écoulement devient périodique en temps.

Afin de caractériser l’instationnarité, la normeL2 de la vitesse a été calculée. Cette dernièreest définie par

||u||L2 =

√1

S

∫

S

u2dS, (3.50)

où S est la surface du domaine de calcul. La FIG. 3.15 représente l’évolution temporelle de||u||L2 en fonction du temps. Les résultats pour les deux nombres de PRANDTL ont été utilisés.

PourPr = 200, on constate une phase transitoire avant d’atteindre un régime stationnaire.PourPr = 5000, l’évolution est tout autre. La phase transitoire se poursuit par une phase insta-



0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 50000

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

||u|| L

2

t

FIG. 3.15 –Evolution en fonction du temps de la normeL2 de la vitesse dans la cavité pourPr = 200 (courbe en noir) et5000 (en rouge).

tionnaire quasi-périodique.Le fait que l’écoulement devient instationnaire avec l’augmentation du nombre de PRANDTL

est lié au renforcement des gradients thermiques engendréspar les faibles valeurs des diffusivitésthermiques.

L’apparition de ces régimes instationnaires peut être dommageable pour les fours verrierscar ils rendent la conduite des fours difficiles. Néanmoins,ces mouvements non permanents ontun avantage car ils permettent un mélange plus efficace. Une caractérisation complète de cesécoulements sort du cadre de ce cours.


Mouvements de convection naturelle dans les fours verriers 32

Chapitre 4

Mouvements de convection naturelle dansles fours verriers

Les équations permettant de décrire la thermohydaulique dans les fours verriers ont été don-nées §3.2.2. Après complément des conditions aux limites nécessitant une connaissance précisede la conception du four et des conditions de fonctionnement, ces équations peuvent être résoluesà l’aide d’un logiciel de mécanique des fluides. De nos jours,la conception des fours s’appuiefortement sur la simulation des fours. Néanmoins, bien que les puissances de calcul sont de plusen plus importantes, ces calculs restent assez longs et nécessitent des allers-retours entre lesconcepteurs et les modélisateurs. C’est pourquoi qu’il estindispensable d’avoir quelques outilspour guider le raisonnement des concepteurs. Dans le cas de la convection des fours, le problèmeconsiste à savoir quels sont les paramètres essentiels qui pilotent les mouvements de convectiondans les fours. Comment change la structure de l’écoulementquand on augmente la profondeurd’une cuve? Quelle influence a la teinte du verre? Est-ce que la viscosité dynamique a une im-portance vitale? Quel impact sur la consommation du four aura tel changement géométrique?Voilà un ensemble de questions que se pose un concepteur de four.

Les fours verriers ont des caractéristiques géométriques particulières. Comme nous l’avonsvu dans la section 2.2, les fours ont des profondeurs assez faibles comparées à leurs étendues lon-gitudinales et transversales. De plus, les simulations complètes des fours montrent qu’il y a peude variation transversale dans les champs d’écoulement. Une façon d’aborder le problème théo-rique de la convection des fours verriers est d’étudier une situation plus simple : il s’agit d’unesituation où on suppose l’écoulement bidimensionnel dépourvu d’entrée et de sortie de matière.Le moteur de la convection doit être imposé : l’une des façonsest d’appliquer une différence detempérature sur les parois verticales [6, 11]. Bien que cette situation permet de rendre comptede la physique, elle reste éloignée de la situation des foursqui sont chauffés depuis la surface.L’autre façon d’imposer un gradient de température est d’appliquer sur la partie supérieure dudomaine un profil de température variable. Ce que nous allonsétudier maintenant. Ce chapitreest structuré de la façon suivante : la position du problème est présenté dans la section 4.1. Lesstructures thermique et cinématique sont présentées dans la section 4.2. Une analyse d’échelleest faite en section 4.3. Finalement une analyse numérique est faite dans la section 4.4.


4.1 Position du problème 33

4.1 Position du problème

Soit une cavité rectangulaire de hauteurH et de longueurL placée dans un champ de gravitég. Cette cavité est remplie d’un fluide incompressible de viscosité cinématiqueν et de diffusivitéthermiqueκ constantes. La FIG. 4.1 indique les conditions aux limites cinématique et thermique.Un profil de température est imposé sur la frontière supérieure suivant la fonction

T (x) = T− +∆T

2

[1 − cos

(πx

L

)]. (4.1)

La différence de température est définie ainsi∆T = T+ − T− avecT+ > T−. Sur les autresfrontières, des conditions adiabatiques sont appliquées.L’équation (4.1) assure la continuité del’absence de flux thermique le long des parois verticales gauche et droite. Des conditions denon-glissement sont employées sur toutes les frontières.

Les équations de conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l’énergieécrites dans le cadre de l’approximation de BOUSSINESQen régime stationnaire sont rappeléesci-dessous :

∂u

∂x+∂v

∂y= 0, (4.2)

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= −1

ρ

∂P

∂x+ ν

(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2

), (4.3)

u∂v

∂x+ v

∂v

∂y= −1

ρ

∂P

∂y+ ν

(∂2v

∂x2+∂2v

∂y2

)+ βg(T − T−), (4.4)

u∂T

∂x+ v

∂T

∂y= κ

(∂2T

∂x2+∂2T

∂y2

), (4.5)

oùu andv représentent les composantes longitudinale et verticale de la vitesse,P est la pressionhydrodynamique etT la température.β est le coefficient d’expansion thermique.ρ est la massevolumique définie enT−.

Ce problème est gouverné par trois nombres sans dimension (Batchelor [3]) : le nombre dePRANDTL Pr, le rapport d’aspectA et le nombre de RAYLEIGH Ra donnés ci-dessous :

Pr =ν

κ, (4.6)

A =H

L, (4.7)

Ra =gβ∆TH3

νκ. (4.8)

Pr est une quantité dépendant uniquement des propriétés physiques du liquide. Il a été montrédans les références [25, 15] que lorsque le nombre de PRANDTL est suffisamment grand, l’écou-lement ne change pas avecPr. Or, dans les verres liquides, le nombre de PRANDTL est toujourssupérieur à 1. Ainsi,Pr a été fixé à103 sans être modifié par la suite. Le rapport d’aspectA estpurement géométrique. De part la forme très allongée des fours, nous nous limiterons au cas oùA est petit devant un. Le nombre de RAYLEIGH contrôle les transferts de masse et de chaleur.


4.2 Structures cinématique et thermique dans la cavité 34

x

y

0 L

0

H

∂T∂n = 0 ∂T

∂n = 0

∂T∂n = 0

T (x) = T− + ∆T2

[1 − cos

(π x

L

)]

u = v = 0 u = v = 0

u = v = 0;

u = v = 0;

g

T−

T+

∆T

FIG. 4.1 –Cavité rectangulaire avec les conditions aux limites cinématique et thermique.

4.2 Structures cinématique et thermique dans la cavité

Une description qualitative des structures cinématique etthermique est présentée pour unrapport d’aspect donnée. Ces résultats sont issus d’une simulation numérique faite à l’aide deFLUENTr. Les isothermes et les lignes de courant sont montrées sur les FIG. 4.2 et FIG. 4.3pourA = 1/10 etRa égal à1, 104, 105 et 108. A faible nombre de RAYLEIGH , Le champ detempérature est similaire à celui en absence de convection.En écrivant la température sous formeréduite

θ =T − T−

∆T, (4.9)

la température en absence de convection est donnée par

θ(x,y) =1

2

[1 − cosh(πy/L)

cosh(πH/L)cos(πx/L)

]. (4.10)

Ce champ scalaire est symétrique par rapport au plan median vertical :

θ(x,y) = 1 − θ(L− x,y). (4.11)

Cette propriété est observée sur le champ de température obtenu pourRa = 1, FIG. 4.2(a). Leslignes de courant montrent la même symétrie (voir FIG. 4.3(a)). L’écoulement est complètementdéveloppé dans l’ensemble de la cavité.

La FIG. 4.2(b) représente la température àRa = 104. La structure thermique change qua-litativement puisque la symétrie est brisée par la convection comme le montrent l’inclinaisondes isothermes dans le cœur de la cavité. Sur la FIG. 4.3(b), les lignes de courant àRa = 104

présentent un aspect similaire à celui obtenu à faible nombre de RAYLEIGH .


4.2 Structures cinématique et thermique dans la cavité 35

(a)Ra = 1

(b)Ra = 104

(c)Ra = 105

(d)Ra = 108

FIG. 4.2 –Isothermes pourA = 1/10 et des nombres deRAYLEIGH de (a)Ra = 1 ; (b) Ra =104 ; (c) Ra = 105 ; (d) Ra = 108.

(a)Ra = 1

(b)Ra = 104

(c)Ra = 105

(d)Ra = 108

FIG. 4.3 –Lignes de courant pourA = 1/10 et des nombres deRAYLEIGH de (a)Ra = 1 ; (b)Ra = 104 ; (c) Ra = 105 ; (d) Ra = 108.


4.3 Analyse d’échelle 36

PourA = 1/10, l’écoulement change fortement lorsque le nombre de RAYLEIGH atteint105. Les isothermes (cf. FIG. 4.2(c)) sont quasi-horizontales à proximité du point chaud. Deplus, ces isothermes sont très denses dans cette même zone traduisant la présence d’une couchelimite. PourRa = 105 (FIG. 4.3(c)) le cœur de l’écoulement se décale vers le point froid (versla gauche de la cavité). Quand le nombre RAYLEIGH passe de104 à105 les structures thermiqueet cinématique changent. Dans cette gamme deRa, les transferts de chaleur sont de plus en pluspilotés par l’advection.

PourRa = 108 (FIG. 4.2(d)) la thermique exhibe une couche limite en dessous de la limitesupérieure. Dans le reste de la cavité, la température est pratiquement uniforme et vaut sensible-ment 0,2. Les lignes de courant (FIG. 4.3(d)) montrent également une couche limite cinématiqueen dessous de la frontière supérieure initiée au point chaud. Cette couche croît en direction dupoint froid. En dehors de cette couche limite, l’écoulementse fait de la zone froide vers la chaudeà faible vitesse.

Cette observation des structures convective et thermique suggère que deux types d’écoule-ment ressortent. Le premier est observé à faible nombre de RAYLEIGH . Puisque le transfert ther-mique est dominé par la conduction, nous dirons que ce régimeestconductif. A grand nombrede RAYLEIGH , l’écoulement est caractérisé par la présence de couches limites sous la ligne su-périeure. Ce deuxième régime dominé par la convection est appelé régimeconvectif.

Nous allons utiliser ces premières conclusions pour mener une analyse d’échelle sur ces deuxrégimes.

4.3 Analyse d’échelle

Suite à ce que nous avons vu à la section précédente, deux régimes ressortent. Dans cettesection, les lois d’échelle pour la vitesse et le flux de chaleur sont déterminées pour ces deuxrégimes. Nous utilisons ici les principes de l’analyse phénoménologique des écoulements ensei-gnée par exemple dans le cours de Darrozès et Monavon [9]. Ce type d’analyse est égalementprésenté et abondamment utilisé par Bejan [4].

4.3.1 Régime conductif

En convection naturelle, aucune échelle n’est connuea priori. L’analyse phénoménologiqueest basée sur l’écriture des équations de conservation sousune forme sans dimension. Dans lerégime conductif, l’écoulement est développé dans l’ensemble de la cavité en conséquence dequoi les échelles spatiales sont choisies de façon proportionnelle à la taille de la cavité. Ainsi, lesvariables d’espace sont normalisées de la sorte

x =x

L, (4.12)

y =y

H. (4.13)

Cette normalisation est pertinente dans le cœur de la cavité. Pour les composantes de vitesse,



la forme sans dimension suivante est utilisée

u =u

u0

, (4.14)

v =v

v0

. (4.15)

Les quantités,u0 et v0, représentent les vitesses caractéristique dans le cœur del’écoulement etsont à ce stade indéterminées. La température est normalisée suivant l’équation (4.9). La pressionest réduite sous la forme

P =P

P0. (4.16)

Les ordres de grandeur deu0, v0 etP0 sont trouvés en équilibrant les termes dominants dansles équations de conservation. Premièrement, l’équation de continuité (4.3) donne directement larelation entre les deux échelles de vitesse :

v0 =H

Lu0. (4.17)

Puique le rapport d’aspectA = H/L est supposé petit,v0 est beaucoup plus petit queu0: L’écou-lement est pratiquement uniquement suivant l’axex à l’exception de la proximité des paroisverticales.

Il est pratique d’introduire un nombre de PÉCLET :

Pe =u0L

κ, (4.18)

et le nombre de RAYLEIGH donné par (4.8) pour écrire les équations de conservation sous laforme sans dimension suivante :

∂u

∂x+∂v

∂y= 0, (4.19)

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= − P0

ρu20

∂P

∂x+

Pr

PeA2

(A2∂

2u

∂x2 +∂2u

∂y2

), (4.20)

A2

(u∂v

∂x+ v

∂v

∂y

)= − P0

ρu20

∂P

∂y+Pr

Pe

(A2 ∂

2v

∂x2 +∂2v

∂y2

)+RaPr

P 2eA

2θ, (4.21)

u∂θ

∂x+ v

∂θ

∂y=

1

PeA2

(A2 ∂

2θ

∂x2 +∂2θ

∂y2

). (4.22)

Dans le régime conductif, le temps de diffusion thermique suivant la vertical,H2/κ, estsupposé plus petit que le temps caractéristique d’advection suivant la direction horizontale,L/u0.Une perturbation thermique a le temps de s’atténuer verticalement grâce à la diffusion thermiqueavant d’être advecté longitudinalement. Le nombre de STROUHAL définit comme le rapport dutemps caractéristique de convection suivantx au temps de diffusion vertical est très grand devantun dans le régime conductif :

St =κL

H2u0

=1

PeA2. (4.23)



Avec cette hypothèse, la convection est non pertinente pourdécrire les transferts thermiques.Le terme visqueux dans l’équation de quantité de mouvement suivant l’axex, Eq. (4.21), estégalement plus grand que un carPr 1. L’équilibre de ce terme avec celui de pression donnel’ordre de grandeur de la pressionP0 :

P0

ρu20

∼ Pr

PeA2. (4.24)

Afin d’équilibrer les termes dans l’équation de quantité de mouvement suivant l’axey, le termede flottabilité est du même ordre de grandeur que celui de pression donnant la relation suivante :

PeA2 ∼ RaA

2. (4.25)

Par conséquent dans le régime conductif le nombre de STROUHAL est égal à1/(RaA2).

Ainsi, le régime conductif est observé lorsque le produitRaA2 est petit devant 1.

Il convient maintenant de regarder l’ordre de grandeur du flux de chaleur. Dans la mesure oùon applique un profil de température sur la limite supérieurede la cavité, un flux de chaleur s’endéduit. La normalisation du flux de chaleur définit un nombre sans dimension appelé nombre deNUSSELT. Il est défini comme le rapport du flux de chaleur tenant comme de l’advection au fluxde chaleur purement conductif. Localement, il est défini de la sorte :

Nu =

(∂T∂y

)

y=H

∆TH

=∂θ(x,1)

∂y. (4.26)

Pour évaluer le flux de chaleur, l’équation de conservation de l’énergie, Eq. (4.22), est écrite sousla forme

RaA2

(u∂θ

∂x+ v

∂θ

∂y

)= A2 ∂

2θ

∂x2 +∂2θ

∂y2 , (4.27)

est utilisée avec le terme convectif. L’intégration suivant la direction verticale donne le flux dechaleur normalisé (nombre de NUSSELT) sur la paroi verticale compte-tenu des conditions auxlimites :

Nu(x) = −A2 d2

dx2

∫ 1

0

θ(x,y)dy +RaA2 d

dx

∫ 1

0

uθdy. (4.28)

Puisque le profil de température estC∞, le nombre de NUSSELT est proportionnel àA2 porles faibles valeurs deRaA

2.

4.3.2 Régime convectif

Comme montré dans la section 4.2, le régime convectif est caractérisé par l’existence d’unecouche limite sous la paroi supérieure horizontale. Ecrivonsδ l’épaisseur de cette couche limite.La coordonnée verticale est maintenant normalisée à l’aidedeδ :

y =y

δ. (4.29)



Puisque l’écoulement est pleinement développé suivant la direction longitudinale, comme ob-servé dans la section 4.2, la coordonné suivantx reste normalisée à l’aide deL.

Si u0 andv0 sont les échelles de vitesse suivant les deux directions, l’équation de continuitéentraîne :

v0 ∼ (δ/L)u0. (4.30)

A l’aide de ce résultat, la forme sans dimension des équations de conservation devient :

∂u

∂x+∂v

∂y= 0, (4.31a)

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= − P0

ρu20

∂P

∂x+

Pr

PeA2

(H

δ

)2(δ2

L2

∂2u

∂x2 +∂2u

∂y2

), (4.31b)

δ2

L2

(u∂v

∂x+ v

∂v

∂y

)= − P0

ρu20

∂P

∂y+Pr

Pe

(δ2

L2

∂2v

∂x2 +∂2v

∂y2

)+RaPr

P 2eA

2

δ

Hθ, (4.31c)

u∂θ

∂x+ v

∂θ

∂y=

1

PeA2

(H

δ

)2(δ2

L2

∂2θ

∂x2 +∂2θ

∂y2

). (4.31d)

A partir de l’équation surθ, (4.31d),δ etPe sont reliés par

1

PeA2

(H

δ

)2

∼ 1. (4.32)

Cette relation signifie que le temps de diffusion thermique suivant la direction verticale est pro-portionnel au temps caractéristique d’advection suivantx. En effet, si la définition dePe estemployée, la dernière relation est équivalente àu0/L ∼ κ/δ2. En utilisant cette échelle, lesordres de grandeur des termes visqueux suivantx ety sont respectivement

Pr

PeA2

(H

δ

)2

∼ Pr, (4.33)

Pr

Pe

∼(δ

L

)2

Pr. (4.34)

Dans le cas oùPr 1 et en utilisant (4.33), le gradient de pression est donné par

P0

ρu20

∼ Pr. (4.35)

Comme dans la précédente sous-section, l’équation de quantité de mouvement suivanty donnel’équilibre entre le terme de pression et la force de flottabilité :

RaPr

P 2eA

2

δ

H∼ Pr. (4.36)

Maintenant, en combinant cette relation avec l’équation (4.32), l’expression suivante de la couchelimite est obtenue

δ

H∼ (RaA

2)−1/5. (4.37)


4.4 Résultats numériques 40

Par conséquent, la vitesse sans dimension dans le régime convectif est :

PeA2 ∼ (RaA

2)2/5. (4.38)

Suivant la définition, Eq. (4.26), le nombre de NUSSELT peut aussi s’exprimer suivant lerapport d’échelle de longueur suivant :

Nu =H

δ. (4.39)

A partir de (4.37), l’expression deNu dans le régime convectif est donnée par

Nu ∼ (RaA2)1/5. (4.40)

Ceci termine dans partie consacrée à l’analyse d’échelle. Il ressort que le produitRaA2 ap-

paraît comme le paramètre de contrôle. Afin de vérifier et d’affiner les résultats, nous allonsprésenter une étude numérique du problème afin de vérifier lesconclusions dressées dans cettesection.

4.4 Résultats numériques

Le problème présenté dans la section 4.1 est maintenant étudié en faisant une résolution nu-mérique à l’aide de FLUENTr. Le problème est résolu de façon réduite. Une cavité rectangulairede hauteur1 et de longueur1/A est remplie d’un fluide de viscosité dynamiquePr/RaA, deconductivité thermique1/RaA, et de coefficient d’expansion thermiquePr/RaA

2. La masse vo-lumique ainsi que la chaleur spécifique valent1. Cette normalisation est obtenue en utilisant leséchelles obtenues précédemment dans le régime conductif. Une centaine de cas ont été réaliséspour lesquelsA varie de1/50 à 1/5 etRa de1 à 109. Dans la suite, l’intensité convective et leflux de chaleur sont développés successivement.

4.4.1 Nombre PÉCLET dans la cavité

L’intensité convective est caractérisée par l’échelle de vitesse dans la cavité. Le maximum dela composantex de la vitesse est prise pour mesurer cette intensité. Si le nombre de PÉCLET estdefini par

Pe =|u|maxL

κ, (4.41)

où |u|max est le maximum de la composante longitudinale de la vitesse en variable dimensionnée(m/s). Suivant la normalisation utilisée pour résoudre le problème numériquement, le maximumdeu est égale au rapportPe/Ra.

Le produitPeA2 est représenté en fonction deRaA

2 sur la FIG. 4.4 pour sept rapports d’as-pects. La très bonne concordance entre les divers résultatsnumériques confirme pleinement lapertinence du produitRaA

2 comme paramètre de contrôle.



10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

104

105

106

107

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

1

1

5

2

PeA2

RaA2

A = 1/50A = 1/40A = 1/30A = 1/20A = 1/10A = 1/7A = 1/5

Sol. asymp., Eq. (4.42)

Eq. (4.43)

Moy. harm., Eq. (4.44)

FIG. 4.4 –PeA2 fonction deRaA

2 pourA égal à1/50, 1/40, 1/30, 1/20, 1/10, 1/7 et1/5.

PourRaA2 plus petit102, PeA

2 est proportionnel àRaA2 comme nous l’avons montré dans

§4.3.1. A l’aide d’une solution asymptotique présentée dans la référence [31],PeA2 peut être

écrit ainsi

PeA2 =

π√

3

432RaA

2. (4.42)

La ligne continue sur la FIG. 4.4 représente cette solution.QuandRaA

2 est plus grand que104, PeA2 est proportionel à(RaA

2)2/5 confirmant ainsi laprédiction de §4.3.2. Une solution approchée obtenue numériquement par une régression linéairedonne le comportement suivant

PeA2 = 4,6 · 10−1(RaA

2)2/5. (4.43)

Cette dernière solution est représentée sur la FIG. 4.4 en tirets.Finalement, afin d’avoir une rapide estimation de l’intensité convective, une moyenne har-

monique de (4.42) et de (4.43) écrite sous la forme

(PeA

2)−1

=432

π√

3RaA2+

1

4.6 · 10−1(RaA2)2/5(4.44)

peut être utilisée. La courbe en ligne mixte tirets-pointillets sur la FIG. 4.4 représente cette solu-tion. L’erreur par rapport aux résultats numériques est au maximum de15 %.

4.4.2 Nombre de NUSSELT dans la cavité

Pour étudier le flux de chaleur dans une large gamme de nombre de RAYLEIGH , une ex-pression globale du nombre de NUSSELT doit être construire. Puisque la moyenne du flux dechaleur doit être nulle sur la frontière horizontale supérieure, cette mesure ne peut pas être uti-lisée. Ainsi, la mesure que nous allons utiliser est basée lemaximum le long de l’axex évaluée



10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

104

105

106

10710

-3

10-2

10-1

100

101

51

Nu, max

RaA2

A = 1/50A = 1/40A = 1/30A = 1/20A = 1/10A = 1/7A = 1/5

Nu, max = 0,385(RaA2)1/5

Appro. sol. (4.46)

Moyenne harmonique

FIG. 4.5 –Nu, max versusRaA2 pourA égal à1/50, 1/40, 1/30, 1/20, 1/10, 1/7 et1/5.

suivant la relation :

Nu, max = max0≤x≤1/A

(∂θ

∂y

∣∣∣∣y=1

). (4.45)

Nu, max obtenu numériquement est tracé en fonction deRaA2 sur la FIG. 4.5. Une fois de

plus,RaA2 est le paramètre pertinent pour décrire le comportement du nombre de NUSSELT. A

l’aide des simulations numériques, trois régimes pour le nombre de NUSSELT sont observés.Le premier régime, observé pourRaA

2 inférieur 10, correspond au régime conductif pourlequel le nombre de NUSSELT est indépendant deRaA

2 comme il a été démontré dans l’analysephénoménologique.Nu, max augmente avec le carré deA.

PourRaA2 compris entre10 et 103, le nombre de NUSSELT augmente fortement due à l’ad-

vection. Comme le montre la solution asymptotique proposéedans la référence [31], le flux dechaleur doit être une fonction deRaA

2 quand l’advection devient important. A partir des résultatsnumériques, la relation décrivant au mieuxNu, max est donnée par :

Nu, max =π2A2

2

(1 − π2A2

3

)+ (RaA

2)2f(A), (4.46)

avecf(A) = 2,59 · 10−5 − 1,37 · 10−3A2 + 9,43 · 10−2A4. (4.47)

Le premier terme est issue de la solution asymptotique proposée dans la référence [31]. La fonc-tion f(A) a été obtenue par régression en utilisant les résultats numériques.

La solution (4.46) est représentée en ligne continue sur la FIG. 4.5 reproduisant correctementle régime de transition. Lorsque le rapport d’aspect croît,la gamme deRaA

2 où se produit latransition se réduit. Puisque pour les rapports d’aspects1/7 et 1/5 le zone de transition estvraiment étroite, la solution approchée (4.46) n’est pas utilisée pour ces deux rapports d’aspects(FIG. 4.5).



LorsqueRaA2 est plus grand que103, toutes les nombres de NUSSELTsuivent la loi d’échelle

établie §4.3.2. Dans ce régime, le flux de chaleur est piloté par la couche limite obtenue sous laparoi horizontale supérieure.

Cette étude numérique permet de voir comment les prédictions obtenues par l’analyse d’échellesont très bien vérifiées. L’analyse numérique permet d’affiner les lois de comportement. Ces ré-sultats sont un guide très important pour l’étude de la convection dans les fours.

Compte-tenu de la loi trouvée dans le régime convectif, l’ordre de grandeur de la vitesseécrite en variable dimensionnée est la suivante

u0 ∼(β∆Tg

ν

)2/5

κ3/5L1/5. (4.48)

Le premier point à noter est la disparition de la dépendance en H. Ainsi, l’intensité convectivedevient indépendante de la hauteur de la cavité. Ce résultatpeut s’expliquer de la façon suivante.Dans le régime convectif, nous avons vu que le transfert thermique s’effectue sur une hauteurtrès faible par rapport à la hauteur de la cavité. Tous les phénomènes de transfert se font sur cetteéchelle de longueur donnée par l’expression (4.37). En exprimantRa etA en fonction deH etL, H disparaît de l’expression deδ. Ainsi, les phénomènes de transfert se font sur des échellestelles que la profondeur de la cavité est une donnée non pertinente.

Le deuxième point à noter est que la vitesse augmente avec la longueur de la cavité avecune dépendance faible :uo varie avecL1/5. Ce résultat est très différent de la situation rencontréedans le régime conductif. On remarque également dans l’expression deu0 ci-dessus que la vitessedépend de la diffusivité thermique :u0 croît avecκ. Pour le verre et dans le cadre de l’approxi-mation de ROSSELAND, l’intensité de la convection augmente avec la diminution du coefficientd’absorption. Plus le verre est clair plus la convection naturelle est activée. Ce résultat est en trèsbon accord avec ce que nous avions trouvé dans l’étude de cas faite dans le chapitre précédent,§ 3.2.3.


Transfert de masse entre des bulles et le verre fondu 44

Chapitre 5

Transfert de masse entre des bulles et leverre fondu

Comme nous l’avons évoqué dans le chapitre 2, une grande quantité de bulles est produite aucours de l’élaboration du verre. L’élimination de ces bulles requiert une description chimique dece procédé qui ne sera pas vue dans ce cours. Ici, nous allons nous focaliser sur l’hydrodynamiquedes bulles, §5.1 et des mécanismes de transfert de masse, §5.2.

5.1 Hydrodynamique d’inclusion sphérique dans un liquidevisqueux

Dans cette section, nous allons déterminer l’hydrodynamique d’inclusion sphérique (parti-cule solide, goutte ou bulle) en ascension dans un liquide demême que la force de traînée qu’ellesubit. Ceci nous permettra de déterminer sa vitesse d’ascension. Le problème est illustré sur laFIG. 5.1. On rapporte le problème à un repère centré sur la sphère. Dans la mesure où la sphèrese déplace à une vitesse constante, ce repère est galiléen. La sphéricité nous permet de prendreun système de coordonnées sphériques(r,θ,ϕ) représenté sur la FIG. 5.2.

5.1.1 Etablissement de l’approximation de STOKES

Afin d’établir l’approximation de STOKES, valide lorsque les phénomènes visqueux do-minent, l’ordre de grandeur des différents termes de l’équation de quantité de mouvement doiventêtre précisés. Pour cela, les équations de NAVIER-STOKES doivent être écrites sous une formeadimensionnée. Nous nous plaçons une situation uniforme spatialement signifiant que les va-riables d’espace seront normalisées par une seule échelle,ici le diamètre de la particuleD. Lavitesse caractéristique,U , est égale à la vitesse d’ascension de l’inclusion. Le gradient de pres-sion doit être normalisé par une quantité notée,δP qui à ce stade reste inconnue.

En gardant les mêmes notations pour les grandeurs normalisées, les équations adimension-


5.1 Hydrodynamique d’inclusion sphérique dans un liquide visqueux 45

D

U

z

$

FIG. 5.1 –Représentation d’une inclusion en ascension dans un milieuinfini et animée d’unevitesseU dirigée suivant l’axez. La sphère est rapportée sur cette figure au repère cylindrique($,z,ϕ).

(a) Repère sphérique (b) Repère cylindriquez

xy

$

r

ϕ

θ

er eϕ

eθ

z

xy

$ϕ

eϕez

e$

FIG. 5.2 –Représentation des systèmes de coordonnées (a) sphérique et (b) cylindrique.



nées de NAVIER-STOKES s’ecrivent :

div u = 0, (5.1)ρU2

D

Du

Dt= −δP

DgradP +

µU

D2∇

2u. (5.2)

Dans l’équations de quantité de mouvement, le terme de forcevolumique a été supprimé. Dansla mesure où ce dernier dérive d’un potentiel, il est toujours possible de le faire rentrer dansle terme de gradient de pression. Dans cette situation, la pression correspond uniquement à lapression dynamique.

Les équations de NAVIER-STOKES étant à deux inconnues, la recherche des termes prépon-dérants doit conserver cette particularité. En d’autres termes, la pression doit toujours être pré-sente car elle est la seule à nous garantir la contrainte d’incompressibilité. Physiquement, celaveux dire que quel que soit le phénomène prépondérant, le gradient de pression s’adaptera à cedernier. Ici, on se place dans la situation où les forces de viscosité dominent. Ce qui veux direque :

ρU2

D µU

D2⇒ Re =

ρUD

µ 1, (5.3)

oùRe désigne le nombre de REYNOLDS.Dans cette situation, le gradient de pression doit s’équilibrer avec le terme de viscosité, ce

qui montre queδP est de l’ordre de

δP =µU

D. (5.4)

Les équations de NAVIER-STOKES s’écrivent alors

div u = 0, (5.5)

ReDu

Dt= −gradP + ∇

2u. (5.6)

L’approximation de STOKES consiste à proposer une forme dégénérée valide lorsqueRe 1.Ainsi, si on néglige le terme d’inertie, les équations de STOKES se réduisent à

div u = 0, (5.7)

∇2u = gradP. (5.8)

La particularité de ces équations est leur linéarité. Il estpossible de montrer qu’elles ne sontpas uniformément valides. En effet, si au lieu de prendre comme échelle caractéristique celle del’objet étudié (par exemple le diamètre de la sphère) on prend une échelle plus grande, on peut setrouver dans la situation où le nombre de REYNOLDS devient d’ordre un [27]. Ceci veux dire queles phénomènes d’inertie peuvent se faire sentir à plus longue distance. Ainsi, l’approximationde STOKES est uniquement valide proche de l’objet où la vitesse varie de façon significative.En fait, il est possible de donner un cadre mathématique plusstricte à ces affirmations qui sontdéveloppées en détail dans le livre de van Dyke [10]. Il est remarquable que l’utilisation del’approximation de STOKES ne pose pas de problème pour décrire l’écoulement autour d’une



sphère dans un milieu infini. Ceci n’est plus vrai dans le cas bidimensionnel. En effet, il estimpossible d’écrire l’écoulement autour d’un cylindre en milieu infini. Ce constat s’appelle leparadoxe de STOKES. En fait, ceci tient au fait que les solutions fondamentalesdes équations deSTOKES ne présentent pas les mêmes caractéristiques en trois et deux dimensions.

5.1.2 Solution pour une particule solide en ascension

Nous allons utiliser les équations de STOKES pour rechercher la solution des champs de vi-tesse et de pression autour de la particule. Les équations deSTOKES sont écrites en coordonnéessphériques en utilisant les variables en grandeurs dimensionnées (unité SI). Seules deux compo-santes de la vitesse sont considérées :ur etuθ. La symétrie de révolution implique que toutes lesvariables sont indépendantes deϕ. Les équations de STOKES s’écrivent alors [1]

∂

∂r

(r2 sin θur

)+

∂

∂θ(r sin θuθ) = 0, (5.9)

µ

[1

r

∂2

∂r2(rur) +

1

r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂ur

∂θ

)− 2ur

r2− 2

r2 sin θ

∂

∂θ(sin θuθ)

]=∂P

∂r,(5.10)

µ

[1

r

∂2

∂r2(ruθ) +

1

r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂uθ

∂θ

)− uθ

r2 sin2 θ+

2

r2

∂ur

∂θ

]=

1

r

∂P

∂θ. (5.11)

Ces équations doivent être complétées par des conditions aux limites. A l’infini loin de laparticule, l’écoulement doit s’annuler :

limr→∞

ur = limr→∞

uθ = 0, (5.12)

limr→∞

P = 0. (5.13)

Ici on a imposé que la pression disparaisse à l’infini ce qui n’est pas obligatoire. Formellement,la pression doit uniquement tendre vers une constante. Maiscomme cette constante peut êtrechoisie arbitrairement le plus simple est de prendre zéro.

Sur la particule, les conditions de non-glissement s’appliquent :

u = Uez. (5.14)

Maintenant pour résoudre ce problème, l’équation de continuité (5.9) est utilisée. Cette der-nière permet de montrer qu’il existe une fonctionψ appelée fonction de STOKES (ou fonction decourant) dont la forme différentielle s’exprime sous la forme

dψ = −r sin θuθdr + r2 sin θurdθ. (5.15)

Ainsi ur etuθ sont reliées àψ par les relations suivantes :

ur =1

r2 sin θ

∂ψ

∂θ, (5.16)

uθ = − 1

r sin θ

∂ψ

∂r. (5.17)



L’utilisation de ces deux dernières relations et en éliminant la pression des équations de quan-tité de mouvement donne une équation différentielle vérifiée parψ prenant la forme suivante :

E2(E2ψ

)= 0, (5.18)

oùE2 est un opérateur différentiel du second ordre donné par

E2 =∂2

∂r2+

sin θ

r2

∂

∂θ

(1

sin θ

∂

∂θ

). (5.19)

Le développement d’une équation unique portant sur la fonction de courant est très pratiquedans les problèmes bidimensionnels ou axisymétriques. Il est possible d’écrire une forme géné-rale dans la mesure où on utilise un système de coordonnées orthogonales. Pour être complet surce sujet, nous avons développé l’obtention de ce type d’équation en annexe D qui peut être trèspratique.

L’utilisation de la condition de non-glissement donne que la fonction de courant vérifie à lasurface de la particule la forme suivante (avec2a = D):

ψ(r = a,θ) =U

2a2 sin2 θ. (5.20)

La solution générale deψ est alors sous la formef(r) sin2 θ. En reportant cette forme dans (5.18),on a :

E2(E2ψ

)=

(d

dr2− 2

r2

)2

f(r) sin2 θ. (5.21)

Si f(r) est prise sous la forme d’une fonction de puissance der sous la formern, on voit quendoit vérifiée l’équation :

[n(n− 1) − 2] [(n− 2)(n− 3) − 2] = O, (5.22)

qui possède quatre solutions réelles :n = −1, 1, 2 et4. Ainsi la forme générale def(r) est

f(r) =A

r+Br + Cr2 +Dr4, (5.23)

oùA,B, C etD sont quatre constantes à déterminer.La forme générale deψ entraîne que les deux composantes de vitesse s’écrivent :

ur = 2 cos θ

(A

r3+B

r+ C +Dr2

), (5.24)

uθ = − sin θ

(−A

r3+B

r+ 2C + 4Dr2

). (5.25)

L’annulation de la vitesse lorquer → ∞ entraîne nécessairement queC = D = 0. A etB sontétablies en utilisant les conditions de non-glissement surla particule :

A+Ba2 =Ua3

2, (5.26)

−A +Ba2 = Ua3. (5.27)



Ce qui donne comme solution pourψ et les deux composantes de vitesse :

ψ(r,θ) =Ua2

4

(−ar

+3r

a

), (5.28)

ur(r,θ) =U

2cos θ

(−a

3

r3+

3a

r

), (5.29)

uθ(r,θ) = −U4

sin θ

(a3

r3+

3a

r

). (5.30)

On voit que le champ de vitesse décroît en1/r ce qui est une des grandes caractéristiques deséquations de STOKES. Ceci signifie que l’effet du mouvement d’un corps va se ressentir à trèslongue distance.

Cette solution générale de l’écoulement nous permet de calculer la force de traînée exercéesur la particule. La force par unité de surface subie par la particule est donnée par

f = − (σrrer + σrθeθ) , (5.31)

où les composantes du tenseur de contrainte sont données par:

σrr = −P + τrr = −P + 2µ∂ur

∂r, (5.32)

σrθ = τrθ = µ

[r∂

∂r

(uθ

r

)+

1

r

∂ur

∂θ

]. (5.33)

De par la symétrie du problème, seule la composante suivant l’axe z persiste. En projectant laforce par unité de surface suivantez, la force de traînée est donnée par

Fz = −∫

S

−P cos θ + 2µ

∂ur

∂rcos θ − µ

[r∂

∂r

(uθ

r

)+

1

r

∂ur

∂θ

]sin θ

dS. (5.34)

La force est composée de deux contributions : l’une liée à la pression exercée sur la particule etla deuxième liée aux forces de tension visqueuse.

La solution exprimée en terme de la fonction de courant ne nous donne pas accès au champ depression. A partir de ce qui est présenté dans l’annexe D, le champ de pression peut être calculé.On obtient :

P =3µUa

2r2cos θ. (5.35)

La partie visqueuse liée à la composante normale à l’interface,τrr, est nulle pourr = a. L’autrepartieτrθ est égale à

τrθ =3µU

2asin θ. (5.36)

En reportant ces deux dernières relations dans l’expression deFz on obtient la force de traînéeégale à

Fz = −6πµaU, (5.37)



qui a été établie pour la première fois par Stokes [39]. Cetteforce est dite «force de STOKES».On constate que cette force est linéaire en fonction dea et de la viscositéµ.

Finissons cette section en calculant la vitesse de sédimentation de la particule plongée dansun liquide de masse volumiqueρ. On considère un champ de gravité dirigée suivant la direc-tion descendante. La particule a une masse volumiqueρp. L’équilibre des forces appliquées à laparticule suivant la directionz donne en négligeant les forces d’inertie :

−4πa3

3ρpg +

4πa3

3ρg − 6πµaU = 0, (5.38)

Le premier terme est la force de gravité agissant sur la particule, la deuxième est la forced’A RCHIMÈDE et la dernière la force de traînée. Ceci donne comme vitesse :

U =2g (ρ− ρp) a

2

9µ. (5.39)

U ici est une grandeur signée. Si la masse volumique de la particule est plus grande que celle duliquide,U est négative signifiant que la particule sédimente. SinonU est positive et la particuleévolue en direction dez positif.

5.1.3 Solution pour une goutte ou une bulle en ascension

Dans le cas des gouttes, les écoulements au sein de la goutte et à l’extérieur doivent êtreétablis. Ici, le liquide au sein de la goutte a une masse volumiqueρ′ et une viscosité dynamiqueµ′. On emploie les équations de STOKES pour les deux écoulements. Les deux fonctions decourant doivent vérifier les équations suivantes

E2(E2ψ(e)

)= 0, (5.40)

E2(E2ψ(i)

)= 0. (5.41)

L’exposant(e) est utilisé pour désigner l’écoulement extérieur et(i) pour l’écoulement intérieur.Les conditions à l’infini pour l’écoulement extérieur restent les mêmes que celles utilisées

pour la particule solide. Pour l’écoulement interne, nous devons seulement imposer que ce der-nier doit rester fini. Les conditions aux limites au niveau del’interface entre les deux fluidesnécessitent plus de travail. Sur des frontières correspondant à des interfaces entre deux fluides,on doit exprimer des conditions en accord avec les principesde conservation. Dans le cas d’unécoulement incompressible, il faut tenir compte de la conservation de la masse et de la quan-tité de mouvement. La forme générale de ces conditions est établie dans l’annexe C. Elles sedéclinent sous la forme suivante :

u(e) · n = U · n, (5.42)

u(i) · n = U · n, (5.43)

u(e) · t = u(i) · t, (5.44)

t · (τ (e) · n) = t · (τ (i) · n). (5.45)



u(e) etu(i) sont les vitesses dans le fluide à l’extérieur et à l’intérieur de la goutte respectivement.U correspond à la vitesse de l’interface (dans notre cas on aU = Uez). n est le vecteur unitairenormal à l’interface.τ (e) et τ (i) sont les tenseurs de contrainte visqueuse ett est un vecteurtangentiel à l’interface. Les deux premières relations ci-dessus assurent la conservation de lamasse alors que la troisième traduit la continuité des vitesses tangentielles. La dernière traduit lacontinuité des contraintes tangentielles visqueuses.

Ces conditions peuvent s’écrire sous une forme scalaire suivante :

u(e)r = U cos θ, (5.46)

u(i)r = U cos θ, (5.47)

u(e)θ = u

(i)θ , (5.48)[

r∂

∂r

(u

(e)θ

r

)+

1

r

∂u(e)r

∂θ

]

r=a

= µ

[r∂

∂r

(u

(i)θ

r

)+

1

r

∂u(i)r

∂θ

]

r=a

. (5.49)

µ correspond au rapport de viscosités défini par

µ =µ′

µ. (5.50)

Comme pour la particule solide, les fonctions de courant sont recherchées sous la mêmeforme suivante :

ψ(e)(r,θ) = f (e)(r) sin2 θ, (5.51)

ψ(i)(r,θ) = f (i)(r) sin2 θ. (5.52)

Il s’ensuit que les fonctions der ont la forme générale suivante

f (e)(r) =A(e)

r+B(e)r + C(e)r2 +D(e)r4, (5.53)

f (i)(r) =A(i)

r+B(i)r + C(i)r2 +D(i)r4. (5.54)

Les composantes de vitesse pour les deux écoulements sont :

u(e)r = 2 cos θ

(A(e)

r3+B(e)

r+ C(e) +D(e)r2

), (5.55)

u(e)r = − sin θ

(−A

(e)

r3+B(e)

r+ 2C + 4D(e)r2

), (5.56)

u(i)r = 2 cos θ

(A(i)

r3+B(i)

r+ C(i) +D(i)r2

), (5.57)

u(e)r = − sin θ

(−A

(i)

r3+B(i)

r+ 2C(i) + 4D(i)r2

). (5.58)



L’écoulement extérieur devant s’annuler à l’infini, on a comme pour la particule solide,C(e) = 0et D(e) = 0. L’écoulement interne doit rester fini ce qui induit queA(i) = B(i) = 0. Il nousreste plus que quatre inconnues obtenues en utilisant les conditions aux limites à l’interface de lagoutte données par

A(e) + a2B(e) =Ua3

2, (5.59)

C(i) +D(i)a2 =U

2, (5.60)

2C(i)a3 + 4D(i)a5 + A(e) − a2B(e) = 0, (5.61)

A(e) − µD(i)a5 = 0. (5.62)

Ce système peut être résolu sans aucune difficulté pour donner la solution générale pour les deuxécoulements sous la forme :

ψ(e) =Ua2

4

[(2 + 3µ)r

(1 + µ)a− aµ

(1 + µ)r

]sin2 θ, (5.63)

u(e)r =

U

2cos θ

[(2 + 3µ)a

(1 + µ)r− a3µ

(1 + µ)r3

], (5.64)

u(e)θ = −U

4sin θ

[(2 + 3µ)a

(1 + µ)r+

a3µ

(1 + µ)r3

], (5.65)

pour l’écoulement externe et

ψ(i) =Ua2

4

[(2 + 3µ)r2

(1 + µ)a2− r4

(1 + µ)a4

]sin2 θ, (5.66)

u(i)r =

U

2cos θ

[(2 + 3µ)

(1 + µ)− r2

(1 + µ)a2

], (5.67)

u(i)θ = −U sin θ

[(2 + 3µ)

2(1 + µ)− r2

(1 + µ)a2

]. (5.68)

Cette solution a été obtenue pour la première fois par Hadamard [17] et Rybczynski [35] en 1911indépendamment l’un de l’autre.

La force de traînée sur la goutte s’obtient de la même façon que pour la particule solide. Nousdonnons ici que le résultat donné par

F = −2(2 + 3µ)

1 + µπµaU. (5.69)

L’étude du comportement en fonction du rapport de viscosités, µ, montre que lorsque cerapport tend vers l’infini, la solution de l’écoulement externe tend vers la solution établie pour uneparticule solide. La solution pour l’écoulement interne tend vers la solution pour le déplacementd’un corps solide. De même la force de traînée tend vers la force de STOKES.

Le cas d’une bulle correspond à la situation inverse oùµ tend vers zéro. Dans cette limite,l’écoulement à l’intérieur de la bulle ne peut pas être obtenu en faisant le passage à la limite. En



effet, pour établir la solution présentée ci-dessus, nous avons supposé que l’écoulement au seinde l’inclusion été régi par les équations de STOKES ce qui n’est plus le cas si on considère ungaz où sa viscosité devient négligeable devant celle du liquide. Formellement, le problème doitêtre reformulé clairement. Les seules modifications sont que les conditions à une surface libre neportent que sur la composante normale de vitesse. Néanmoins, le passage à la limite deµ → 0donne la bonne solution de l’écoulement externe qui prend alors la forme suivante :

ψ(e) =Uar

2sin2 θ, (5.70)

u(e)r =

Ua

rcos θ, (5.71)

u(e)θ = −Ua

2rsin θ. (5.72)

Cette solution présente la particularité d’être différentde zéro à la surface de la bulle ce quicomme nous le verrons sur les transferts de masse à des conséquences importantes.

La force de traînée pour une bulle devient :

F = −4πµaU, (5.73)

montrant que la traînée est plus faible pour une bulle que celle pour une particule. Ceci estla conséquence de la condition aux limites sur la frontière de l’inclusion. Dans le cas d’uneparticule solide, l’imposition de non-glissement contraint le champ de vitesse beaucoup plus quele cas d’une goutte voire d’une bulle.

Finissons cette section en donnant la vitesse d’ascension d’une goutte ou d’une bulle. Enprocédant de la même façon que celle effectuée pour la particule solide, on trouve pour unegoutte la vitesse suivante :

U =2(1 + µ)g (ρ− ρp) a

2

3(2 + 3µ)µ, (5.74)

et pour une bulle

U =g (ρ− ρp) a

2

3µ. (5.75)

La solution pour les gouttes ou les bulles a été obtenue en supposant une interface propre.Mais dans beaucoup de situations, des impuretés viennent s’adsorber à la surface provoquant desmodifications de la tension de surface par exemple. Ainsi, comme il est discuté dans les livresde Clift et al. [8] et de Sadhalet al. [36] des expériences effectuées sur des bulles montrent quela vitese d’ascension de ces inclusions gazeuses sont mieuxdécrite par la solution de STOKES.Ceci provient que les impuretés présentes au niveau des interfaces provoquent une immobilisa-tion de l’interface. Néanmoins, remarquons que le verre fondu est un liquide particulier où il y apeu d’adsorption en surface. Les expériences effectuées par Juchaet al. [21], Hornyak et Wein-berg [19] et Li et Schneider [24] montrent que la solution d’Hadamard-Rybczynski s’appliquepleinement.


5.2 Transfert de masse autour d’une inclusion en ascension dans un liquide 54

5.2 Transfert de masse autour d’une inclusion en ascensiondans un liquide

Les bulles dans le verre liquide sont le siège de phénomènes de transfert de masse dus auxgradients de concentrations entre le verre liquide et les bulles elles-mêmes. L’étude des transfertsde masse nécessite de prendre en compte plusieurs gaz. En effet, nous avons vu que les réactionschimiques produites au sein d’un verre provoque la libération de CO2. Cette espèce gazeuse à unesolubilité très faible ce qui provoque la génération importante de bulles. En dehors de cet espècegazeux, l’air emprisonné dans le mélange vitrifiable entraîne que de l’azote, N2 sera présent dansle verre. De plus, l’atmosphère de combustion provoque une forte présence de vapeur d’eau. Ontrouve également d’autres espèces comme l’oxygène, O2, et le dioxygène de souffre, SO2.

5.2.1 Evolution du nombre de moles dans une bulle

Suite à ce qui a été précisé ci-dessus, les bulles sont constituées deNg gaz. Le rayon de labulle est notéea. Si ni désigne le nombre de moles de l’espècei présente au sein de la bulle, lavariation temporelle deni s’écrit sous la forme

dni

dt=

∫

S

Di gradCi · ndS, (5.76)

oùDi est le coefficient de diffusion de gazi au sein du liquide etCi sa concentration molaire.L’intégrale est rélisée sur l’ensemble de la surface de l’inclusion. Cette équation est généralementréécrite sous la forme

dni

dt= 4πa2ki(C

∞i − CS

i ), (5.77)

oùki est le coefficient d’échange molaire qui dépend de la nature des transferts autour de la bulle.Les concentrationsC∞

i etCSi correspondent respectivement aux concentrations à l’infini et à la

surface de la bulle respectivement.A la surface de la bulle, les concentrations doivent être reliées aux propriétés au sein du gaz.

L’équilibre entre les potentiels chimiques des gaz à l’interface liquide/bulle [33] permet d’obtenirces relations que l’on écrit sous la forme

CSi = LiPi, (5.78)

oùLi est le coefficient de solubilité etPi est la pression partielle de l’espècei au sein de la bulle.Le coefficient d’échangeki est obtenu en déterminant le profil de concentration deCi autour

de la bulle. Il dépend de la diffusion mais également du déplacement de la bulle. Dans ce qui suit,nous supposerons que la concentration au sein de la bulle reste homogène. Ainsi, le problème seprésente schématiquement comme sur la FIG. 5.3.

Avant de présenter comment les coefficients d’échange peuvent être obtenus, finissons cettesous-section en remarquant que la variation du nombre de moles dans la bulle induit nécessaire-ment des variations de volume. Le changement de taille peut être obtenu en exprimant la pression



Ci

CSi = LiPi

C∞i

$

FIG. 5.3 –Représentation schématique du profil de concentration d’une espèce gazeusei autourde la bulle.

régnant au sein de la bulle. En supposant les gaz comme parfait, on a la relation algébrique sui-vante :

3

Ng∑

i=1

niRT

4πa3= P0 + ρg(H − z) +

2γ

a. (5.79)

Le membre de gauche correspond à la pression obtenue suivantla loi des gaz parfaits. Le membrede droite est la pression dans la bulle en prenant la partie hydrostatique (les deux premiers termes)et la pression liée à la tension de surface.R est la constante absolue des gaz parfaits,P0 est lapression atmosphérique au dessus du bain de verre,H est la hauteur de bain de verre,z est laposition verticale du centre de la bulle etγ est la tension de surface.

5.2.2 Coefficient de transfert de masse

Le coefficient de transfert de masse dépend grandement du mode de transfert de masse soitpar diffusion soit par convection. Après avoir rappelé l’équation de diffusion, les cas sans et avecmouvement sont examinés. Nous présenterons ensuite les lois de transferts de masse d’une inclu-sion immobile en régime transitoire. L’influence de l’advection sera ensuite étudiée en régimesstationnaire où l’influence de la mobilité de l’interface sera étudiée. Afin d’alléger l’écriture,nous supprimons l’indice faisant référence à l’espèce gazeuse.

Equation de diffusion

Considérons un élément chimique caractérisé par sa concentration molaire ou massique notéeC. Son coefficient de diffusion, supposé constant, est notéD. L’évolution deC est régie parl’équation d’advection-diffusion suivante

DC

Dt= D∇

2C. (5.80)

Le membre de gauche correspond à la dérivée particulaire dont la définition est rappelée ci-dessous :

DC

Dt=∂C

∂t+ u · gradC. (5.81)



L’équation (5.80) doit être complétée par des conditions aux limites et initiales. L’origine durepère est prise au centre de la bulle. Les conditions aux limites sont :

C(x,t) = Cs, à la surface de l’inclusion, (5.82a)

C(x,t) → C∞, pourx → ∞. (5.82b)

Cs correspond à la concentration en surface etC∞ la concentration loin de la particule. Initiale-ment, on suppose que le milieu à une concentration uniforme et égale àC∞ :

C(x,0) = C∞. (5.83)

La résolution de l’équation (5.80) associée aux conditions(5.82) et (5.83) permet de connaîtrela concentrationC en tout point de l’espace. Par suite, le flux de masse à la surface de l’inclusionest donné par la relation suivante

J = D∂C∂n

∣∣∣∣r=a

. (5.84)

n correspond ici à la dérivée normale à la surface de l’inclusion.Avant de présenter les résultats, il est commode de traiter le problème en utilisant le système

de coordonnées sphériques. De plus, nous supposerons que leproblème admet une symétrie derévolution. L’équation surC dans un système de coordonnées sphériques s’écrit sous la formesuivante

∂C

∂t+ ur

∂C

∂r+uθ

r

∂C

∂θ=

Dr2

[∂

∂r

(r2∂C

∂r

)+

1

sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂C

∂θ

)]. (5.85)

Inclusion immobile en régime permanent

Dans cette situation, l’inclusion est placée dans un milieuau repos. Le problème admet unesymétrie sphérique.C ne dépend plus que der. L’équation régissantC est donnée par la relationsuivante

d

dr

(r2dC

dr

)= 0. (5.86)

Compte-tenu des conditions aux limites données précédemment, la solution de cette équation estla suivante

C(r) = C∞ − (C∞ − Cs)a

r. (5.87)

Le flux de masse à la surface de la bulle est alors

J =D(C∞ − Cs)

a. (5.88)

Les transferts de masse dans des situations plus générales sont classiquement comparés àcelui obtenu en absence de mouvement et en régime permanent.On définit ainsi le nombre deSHERWOOD comme le rapport du flux de masse dans la situation étudiée à celui obtenue en



absence de mouvement. L’échelle caractéristique généralement utilisée est le diamètre de l’in-clusion. Le nombre de SHERWOOD, notéSh, est donc donné par

Sh =D(

∂C∂r

)r=a

D (C∞−Cs)2a

(5.89)

A partir de cette équation, le flux de masse s’écrit sous la forme

J =ShD2a

(C∞ − Cs) = k(C∞ − Cs). (5.90)

k est le coefficient de transfert de masse qui s’écrit en fonction du nombre de SHERWOOD sousla forme suivante :

k =ShD2a

. (5.91)

Pour une inclusion immobile en régime permanent, le nombre de SHERWOOD est constant etégal à :

Sh = 2. (5.92)

Inclusion immobile en régime instationnaire

Nous considérons ici la situation où l’évolution de la concentration dépend du temps. Ce casest rencontré lorsque le coefficient de diffusion est suffisamment faible. L’équation surC dansce cas s’écrit sous la forme :

∂C

∂t=

Dr2

∂

∂r

(r2∂C

∂r

). (5.93)

En introduisant les variables sans dimension suivantes :

t =tDa2, (5.94a)

r =r

a, (5.94b)

C =C − C∞

Cs − C∞

. (5.94c)

l’équation de diffusion s’écrit sous la forme

∂C

∂t=

1

r2

∂

∂r

(r2∂C

∂r

). (5.95)

En introduisant le changement de variables suivant :

f = rC, (5.96a)

ζ = 1 + r, (5.96b)



l’équation (5.95) se transforme en équation classique de diffusion :

∂f

∂t=∂2f

∂ζ2. (5.97)

Les conditions initiale et aux limites de ce problème sontA t = 0 :

f(ζ,0) = 0. (5.98a)

En ζ = 0 :f(0,t) = 1. (5.98b)

et pourζ → ∞ :f(ζ → ∞,t) → 0. (5.98c)

La solution de cette équation est donnée par la relation [37]:

f(ζ,t) = erfc

(ζ

2√t

). (5.99)

En revenant aux variables initiales,C est alors donnée par

C(r,t) =1

rerfc

(r − 1

2√t

). (5.100)

Le flux de masse à la surface de l’inclusion s’obtient facilement à partir de cette relation. Ontrouve en utilisant les variables dimensionnées la relation suivante :

J =D(C∞ − Cs)

a

[1 +

a

2√Dt

]. (5.101)

Le flux de masse dans cette situation devient une fonction du temps qui admet une singularitépour t = 0. Lorsque le temps devient très grand, la relation précédente tend vers la solutionétablie au paragraphe précédent.

Finissons cette sous-section en donnant l’expression du nombre de SHERWOOD défini plushaut. On a ici l’expression suivante :

Sh = 2 +a√Dt

. (5.102)

Inclusion en mouvement en régime permanent

Nous considérons dans cette sous-section la situation où l’inclusion se déplace avec unevitesse constante suivant l’axez, notéeU . Le nombre de REYNOLDS de l’écoulement est supposépetit. Nous considérons le cas général d’inclusions fluidesde viscosité dynamiqueµ′. Le fluideexterne a une viscosité dynamiqueµ. Nous avons fait le calcul du champ de vitesse dans lasection 5.1.



Le problème est étudié sous forme adimensionnée oùC est défini de la même façon que dansle paragraphe précédent. La vitesse est normalisée parU . La distance radiale à l’inclusion estadimensionné para. L’équation régissant l’évolution deC est la suivante

Pe

[ur∂C

∂r+uθ

r

∂C

∂θ

]=

1

r2

[∂

∂r

(r2∂C

∂r

)+

1

sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂C

∂θ

)]. (5.103)

Pe est le nombre de PÉCLET basé sur le rayon de la particule :

Pe =Ua

D . (5.104)

Deux cas limite peuvent être étudiés : le premier correspondà la situation où le nombre dePÉCLET est petit ; le deuxième oùPe est grand. La première situation correspond au cas où lecoefficient de diffusion est grand. Le traitement dePe = 0 a été fait dans les deux précédentessections. Une solution approchée pourPe 1 peut être obtenue par une méthode de perturba-tion (cf. [8]). Dans le cadre de nos applications, la situation la plus pertinente est celle oùD esttrès faible. Les coefficients de diffusion typique dans un verre sont de l’ordre de10−10. Ainsi,seul le cas de grand nombre de PÉCLET nous intéresse.

Lorsque le nombre de PÉCLET est grand, il se forme une couche limite de diffusion autourde l’inclusion. Nous allons voir comment établir l’ordre degrandeur de cette couche limite dediffusion. Pour cela, nous utilisons le changement de variable suivant :

r = 1 + δζ, (5.105)

δ est une quantité sans dimension caractérisant l’ordre de grandeur de la couche de diffusion.L’équation régie parC exprimée à l’aide de la nouvelle variableζ devient

ur

δ

∂C

∂ζ+

uθ

1 + δζ

∂C

∂θ=

1

Peδ2(1 + δζ)2

∂

∂ζ

[(1 + δζ)2∂C

∂ζ

]+

δ2

sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂C

∂θ

).

(5.106)Pour établir l’ordre de grandeur deδ, le développement deur/δ et deuθ/(1+δζ) en fonction

deδ est nécessaire. Ici, il est préférable de travailler en fixant la bulle au centre de repère. Dansce cas, l’écoulement à l’infini tend vers−ez sous forme normalisée. Les deux composantes de lavitesse deviennent alors en utilisant les équations (5.64)et (5.65) :

ur =1

2cos θ

[(2 + 3µ)

(1 + µ)r− µ

(1 + µ)r3 − 2

], (5.107)

uθ = −1

4sin θ

[(2 + 3µ)a

(1 + µ)r+

a3µ

(1 + µ)r3− 4

], (5.108)

Les développements limités de ces deux composantes sont lessuivants :

ur

δ= −cos θ

2

[2ζ

1 + µ+

3µ− 2

2(1 + µ)δζ2 + O(δ2)

], (5.109)

uθ

1 + δζ= −sin θ

4

[− 2

1 + µ− 4 + 10µ

1 + µδζ +

6 + 19µ

1 + µδ2ζ2 + O(δ3)

]. (5.110)



Pour des inclusions fluides, les développements ci-dessus montrent queur/δ est une fonctionaffine deζ à proximité de la particule alors queuθ/(1 + δζ) y est constant. En utilisant cesrésultats, l’ordre de grandeur deδ s’obtient sans difficulté. On utilise ici le principe de moindrede dégénérescence stipulant que les dégénérescences significatives sont celles où l’on conservele maximum de termes [14, 43, 9]. Ainsi, en utilisant la méthode dans le cas oùµ est fini,Peδ2

doit être d’ordre un. Ce qui veut dire

δ =1√Pe

. (5.111)

En utilisant la définition du nombre de SHERWOOD, éq. (5.89), son ordre de grandeur peut s’ex-primer sous la forme

Sh ∼ a

δ. (5.112)

Ainsi, Sh pour le cas des gouttes ou des bulles à interface mobile est proportionnel à la racinecarré du nombre de PÉCLET. Ce résultat est à la base des solutions de type couche limite. Levich[23] et Ruckenstein [34] ont résolue ce problème pour des bulles. Le nombre de SHERWOOD estdonnée par l’expresion suivante :

Sh = 0,651√Pe, (5.113)

où le nombre de PÉCLET est basé sur le diamètre de l’inclusion,

Pe =U2a

D . (5.114)

Dans le cas de particule solide ou d’inclusion à interface fixe, le champ de vitesse à proxi-mité de la surface change. En effet, en faisant tendreµ vers l’infini, ur/δ et uθ/(1 + δζ) sontproportionnelles àδ. ur/δ devient une fonction quadratique etuθ/(1 + δζ) une fonction affinedeζ . Ceci est naturel dans la mesure où la vitesse doit s’annulerà la surface des particules. Ceschangements ont des conséquences importantes sur la couchelimite de diffusion autour de laparticule. En effet, dans ce cas,Peδ3 doit être d’ordre unité conduisant à l’ordre de grandeursuivant pourδ :

δ =1

3√Pe

. (5.115)

Pour des particules solides, le nombre de SHERWOOD est donc proportionnel à la racine cu-bique du nombre de PÉCLET. Un calcul de couche limite donne comme nombre de SHERWOOD

[23] :Sh = 0,991

3√Pe. (5.116)

Pour avoir les nombres de SHERWOOD sur une grande gamme de nombre de PÉCLET larésolution par une méthode numérique est nécessaire. On trouve dans le livre de Cliftet al. [8]diverses corrélations pour déterminer les coefficients de transfert.

L’important ici est de bien voir l’influence de la mobilité del’interface de l’inclusion. Nousavions déjà vu que la force de traînée était modifiée par cettemobilité d’interface. Sur les trans-ferts de masse, l’effet est encore plus important. Dans le cas de l’immobilité interfaciale, letransfert de masse est beaucoup moins efficace en comparaison avec celui où l’interface est tota-lement mobile. Ceci tient au fait que lorsque l’interface est mobile, les vitesses tangentielles n’y



sont pas nulles, induisant un renouvellement de la concentration en surface ce qui est favorableau transfert de masse.

Nous n’irons pas plus loin à ce stade. Sachez néanmoins que les réactions peuvent être aussifavorables au transfert de masse (voir [30, 32]).


Approximation de Rosseland 62

Annexe A

Approximation de Rosseland

Cette annexe établit une approximation pour traiter les transferts radiatifs très utilisés pourles bain de verre. On prend comme point de départ l’équation du transfert radiatif présenté dansla sous-section 3.1.1.

Pour simplifier l’exposé, on se place dans un cadre monodimensionnel. Le rayon incidenttraverse un milieu d’épaisseurl, repéré par une directionx. Ce rayon forme un angleθ avec l’axex (fig A.1). On a alorsdx = cos θds.

On fait le changement de variable suivant :

x =x

l. (A.1)

L’équation (3.10) se réécrit alors :

dL′f

dxcos θ = −κf lL

′f + κf lL

0f (T ). (A.2)

On appelleaf = κf l, l’épaisseur optique et en posant

εf =1

af

=1

κf l, (A.3)

l’équation (A.2) se réécrit alors :

εf

dL′f

dxcos θ = −L′

f + L0f (T ). (A.4)

εf est supposé suffisamment petit (i.e.af est suffisamment importante) pour que l’on puisseutiliser une technique de perturbation. On pose alors :

L′f = L′

(0)f + εfL′(1)f + ε2

fL′(2)f + · · · . (A.5)

En remplaçant l’expression (A.5) de la luminance dans l’équation de transfert (A.4) et en identi-fiant les corrections du même ordre, il vient :



X

θds

l

FIG. A.1 –Rayon traversant un milieu d’épaisseurl.

ordre 0 −L′(0)f + L0

f (T ) = 0, (A.6)

ordre 1 cos θdL′

(0)f

dx= −L′

(1)f , (A.7)

...... (A.8)

ordre i cos θdL′

(i−1)f

dx= −L′

(i)f .

D’après l’équation (3.11) et le changement de variable (A.1), il vient :

dqrx,f =

∫

Ω=4π

L′f (x) cos θdΩ, (A.9)

ce qui donne pour la première correction de la luminance :

dqrx,(0)f = −∫

Ω=4π

L0f (T ) cos θ dΩ, (A.10)

= −L0f (T )

∫

Ω=4π

cos θ dΩ,

= −L0f (T )

∫ 2π

0

[∫ π

0

cos θ sin θ dθ

]dΦ,

= 0,



et pour la seconde correction :

dqrx,(1)f = −∫

Ω=4π

dL0f (T )

dxcos2 θdΩ, (A.11)

= −dL0

f (T )

dx

∫

Ω=4π

cos2 θdΩ,

= −dL0

f (T )

dx

∫ 2π

0

[∫ π

0

cos2 θ sin θdθ

]dΦ,

soit :

dqrx,(1)f = −4π

3

dL0f (T )

dx. (A.12)

Il découle de l’équation (A.12) l’approximation du flux radiatif monochromatique :

dqrx,f = −εf4π

3

dL0f(T )

dx+ O(ε2

f). (A.13)

Ce qui donne en fonction dex :

dqrx,f = − 4π

3κf

dL0f (T )

dx, (A.14)

soit, pour le flux total,

qrx = −4π

3

∫ ∞

0

1

κf

dL0f(T )

dxdf,

= −4π

3

∫ ∞

0

1

κf

dL0f(T )

dT

dT

dxdf, (A.15)

= −(

4π

3

∫ ∞

0

1

κf

dL0f(T )

dTdf

)dT

dx.

Cette dernière relation peut se réécrire sous la forme d’uneloi de FOURIER pour le fluxradiatif total (écrite en variables dimensionnées) :

qrx = −λRdT

dx, (A.16)

oùλR est la conductivité équivalente de ROSSELAND, donnée par :

λR =4π

3

∫ ∞

0

1

κf

dL0f(T )

dTdf. (A.17)

Dans le cas où l’indice de réfractionn est indépendant de la fréquence et de la température,la conductivité de ROSSELAND se réécrit [38] sous la forme :

λR =16n2σT 3

3βR, (A.18)



oùn désigne l’indice de réfraction (constant),σ la constante de STEFAN-BOLTZMANN etβR estle coefficient d’absorption moyen de ROSSELAND, donné par :

1

βR=

π

4n2σT 3

∫ ∞

0

1

κf

dL0f(T )

dTdf. (A.19)


Approximation de Boussinesq 66

Annexe B

Approximation de Boussinesq

Cette annexe détaille l’établissement de l’approximationde BOUSSINESQà l’aide de l’em-ploi de technique de perturbation.

B.1 Equations générales des fluides dilatables

Considérons un fluide soumis à des variations de température. Ce dernier peut se mettre enmouvement. Il convient alors de lever les indéterminationssur les variables suivantes : massevolumiqueρ, vitesse du fluideu, pressionP , énergie internee, températureT . On exprime lesconservations de la masse, de la quantité de mouvement et de l’énergie :

∂ρ

∂t+ div(ρu) = 0, (B.1)

∂(ρu)

∂t+ div(ρu ⊗ u) = −grad P + div τ + ρg, (B.2)

∂

∂t

[ρ

(u2

2+ e

)]+ div

[ρ

(u2

2+ h

)u

]= div(λ grad T ) + div(u · τ ) + ρg · u.(B.3)

τ est le tenseur des contraintes visqueuses. Il est donné danssa forme la plus générale dans lecadre des fluides newtoniens par la relation [22] :

τij = µ

(∂ui

∂xj+∂uj

∂xi− 2

3δij∂uk

∂xk

)+ ζδij

∂uk

∂xk, (B.4)

oùµ est la viscosité dynamique etζ est appelée viscosité seconde.h est l’enthalpie donnée parla relation thermodynamique

h = e+P

ρ. (B.5)

g est le champ de force volumique.


B.1 Equations générales des fluides dilatables 67

Ce système d’équations n’est pas complet. Il est nécessairede lui associer les relations d’étatpour la pression et l’énergie interne que l’on écrira sous laforme générale suivante :

P = F (ρ,T ), (B.6)

e = G(ρ,T ). (B.7)

L’équation sur l’énergie totale peut être transformée en utilisant la relation thermodynamiqueissue des deux premiers principes

de = Tds− Pdv, (B.8)

où s est l’entropie etv le volume massique. Après quelques manipulations élémentaires, onobtient l’équation suivante :

ρT

(∂s

∂t+ u · grad s

)= τ : grad u + div(λ grad T ). (B.9)

On a donc une équation de transport pour l’entropie où l’on constate qu’en absence de viscosité etde conduction thermique, l’entropie se conserve le long destrajectoires du fluide. Cette dernièreéquation peut encore se transformer en utilisation la relation

ds =Cp

TdT +

h′

TdP, (B.10)

sous la forme suivante

ρCp

(∂T

∂t+ u · grad T

)= −ρh′DP

Dt+ τ : grad u + div(λ grad T ). (B.11)

Cp est la chaleur spécifique à pression constante.h′ est un coefficient calorifique qui peut s’ex-primer à l’aide du coefficient de dilatation thermique

β =1

v

(∂v

∂T

)

P

, (B.12)

sous la forme (deuxième formule de Clapeyron)

h′ = −Tρβ. (B.13)

Cette dernière relation permet d’écrire l’équation sur la température sous la forme [16] :

ρCp

(∂T

∂t+ u · grad T

)= βT

DP

Dt+ τ : grad u + div(λ grad T ). (B.14)

L’équation obtenue ci-dessus est la forme la plus générale permettant de décrire l’évolutionspatiale de la température pour un fluide homogène quelle quesoit sa nature (liquide ou gaz).Trois contributions sont à l’origine de la variation de la température : i) le travail des forces depression, ii) la dissipation visqueuse et iii) la diffusionthermique. Dans le cas des gaz parfaits, le


B.2 Cas particulier des liquides 68

coefficientβ est égal à1/T permettant de retrouver la forme classique de l’équation régie par latempérature [7].

Signalons pour finir ce paragraphe, que la variation de massevolumique peut s’écrire sous laforme suivante :

dρ

ρ= −βdT + χTdP, (B.15)

χT est la compressibilité isotherme définie par

χT = −1

v

(∂v

∂P

)

T

. (B.16)

B.2 Cas particulier des liquides

On se place maintenant dans le cadre restreint des liquides.Dans cette situation, la variationde la masse volumique en fonction de la pression peut être négligée (χT β). A partir de larelation (B.15), et en supposantβ constant, on a :

ρ = ρ0 exp(−β(T − T0)), (B.17)

oùT0 est une température de référence à laquelleρ0 est définie. En tenant compte du fait queβest petit, il est possible de développer cette dernière équation sous la forme

ρ = ρ0[1 − β(T − T0)]. (B.18)

Afin de s’affranchir de la pression hydrostatique,P est écrite sous la forme

P = P ′ + Ps, (B.19)

oùPs vérifie l’équation de l’hydrostatique

grad Ps = ρ0g. (B.20)

A partir de ces données, il possible de récrire les équationsde la dynamique sous la forme :

div u = βDT

Dt, (B.21)

ρ0[1 − β(T − T0)]Du

Dt= −grad P ′ + div τ − ρ0β(T − T0)g, (B.22)

ρ0Cp[1 − β(T − T0)]DT

Dt= βT (

DP ′

Dt+ ρ0g · u) + div(λ grad T ) +

τ : grad u. (B.23)

A partir de ces relations générales, il devient possible d’établir l’approximation de BOUSSI-NESQ trouvée en 1903. Pour se faire les équations sont adimensionnées.


B.3 Adimensionnement des équations 69

B.3 Adimensionnement des équations

Plaçons nous dans la situation où l’écoulement étudié subitune variation de la températurede l’ordre de∆T . Le domaine dans lequel évolue le fluide est supposé avoir unelongueur de ré-férenceL. Dans les problèmes de convection naturelle, l’ordre de grandeur de la vitesse est géné-ralement assez difficile à connaître. Ici, nous allons prendre comme vitesse caractéristique cellequi exprime l’équilibre entre les forces d’inertie et de flottabilité donnée parU =

√β∆TgL.

L’échelle caractéristique de temps est prise égale àL/U . Pour la pression, on prend comme ordrede grandeur de variationρ0U

2 = ρ0β∆TgL. Les variables adimensionnées sont alors définiessous la forme suivante

x =x

L, (B.24)

u =u√

β∆TgL, (B.25)

t = t

√β∆Tg

L, (B.26)

P =P ′

ρ0β∆TgL(B.27)

θ =T − T0

∆T. (B.28)

La viscosité, la conductivité thermique sont adimensionnées par rapport à leur valeur obtenueà la températureT0 :

µ =µ

µ(T0), (B.29)

λ =λ

λ(T0). (B.30)

En introduisant ces quantités dans les équations de la dynamique (B.21), la forme adimen-sionnelle de ces relations est

div u = εDθ

Dt, (B.31)

(1 − εθ)Du

Dt= −grad P +

√Pr

Radiv τ − θ

g

g, (B.32)

(1 − εθ)Dθ

Dt=

T0Ec

∆T(εDP ′

Dt+

g

g· u) +

1√RaPr

div(λgrad θ) +

√Pr

RaEcτ : grad u. (B.33)



ε, Ra, Pr etEc sont des quantités sans dimensions définies ci-dessous :

ε = β∆T, (B.34)

Ra =gβ∆TL3

ν0κ0, (B.35)

Pr =ν0

κ0

, (B.36)

Ec =gβL

Cp

. (B.37)

Ra est le nombre de RAYLEIGH , Pr est le nombre de PRANDTL etEc est le nombre d’ECKERT.Ce dernier nombre est beaucoup moins courant que les deux autres nombres précédemmentdéfinis. Il est défini comme étant le rapportU2/(Cp∆T ) [43]. En utilisant l’échelle de vitesseindiquée au début de ce paragraphe,Ec prend la forme donnée ci-dessus. Dans les relations(B.35) et (B.36),ν0, κ0 sont respectivement la viscosité cinématique et la diffusivité thermique àla températureT0.

Le paramètreε, produit entre le coefficient de dilatation cubique et l’échelle de variation de latempérature, est une quantité généralement petite devant un. L’établissement de l’approximationde BOUSSINESQest fondé sur ce fait. Dans le cas de la fusion du verre,∆T est de l’ordre de102

etβ de l’ordre de10−5. Ainsi, ε vaut sensiblement10−3. En négligeant les termes proportionnelsà ε, les équations de la dynamique se réduisent à

div u = 0, (B.38)

Du

Dt= −grad P +

√Pr

Radiv τ − θ

g

g, (B.39)

Dθ

Dt=

T0Ec

∆T

g

g· u +

1√RaPr

div(λgrad θ) +

√Pr

RaEcτ : grad u. (B.40)

Ainsi, l’écoulement s’avère isovolume. Le seul terme traduisant l’écart de la masse volu-mique par rapport à sa valeur de référence,ρ0, est le terme source−θg/g dans l’équation dequantité de mouvement. Dans le cadre de la convection naturelle, ce terme est le moteur del’écoulement. Par contre, à la différence de l’approximation de fluide incompressible, la tempé-rature n’est plus un scalaire passif. On constate un couplage entre la dynamique et la thermique.

Pour finir, les équations de la dynamique peuvent être encoresimplifiées en tenant compte dufait que le nombre d’ECKERT est très petit devant un. En effet, dans le cadre des applications à lafusion du verre, avecL ≈ 1 m,Cp ≈ 103, Ec est de l’ordre de10−7. Ainsi, les travaux dissipéspar les frottements visqueux et les forces de gravité peuvent être négligés. Ainsi, l’équation surla température se réduit à

Dθ

Dt=

1√RaPr

div(λgrad θ). (B.41)

Pour finir, l’écriture sous forme dimensionnelle des équations de la dynamique en approxi-



mation de BOUSSINESQest la suivante :

div u = 0, (B.42)

ρ0Du

Dt= −grad P ′ + div τ − ρ0β(T − T0)g, (B.43)

ρ0CpDT

Dt= div(λ gradT ). (B.44)

Bien que cette approximation soit bien connue et largement utilisée. Il est important de pré-ciser son établissement. Nous avons pu voir qu’il n’y a pas que la variation de masse volumiquequi est négligée mais également les travaux de dissipation visqueuse et des forces de pressionsdynamique et statique. Une discussion sur la validité de l’approximation de BOUSSINESQestdonnée dans l’article de Gray et Giorgini [16].


Conditions de saut à l’interface entre deux fluides 72

Annexe C

Conditions de saut à l’interface entre deuxfluides

Lorsque deux fluides sont en contact, une interface d’épaisseur négligeable les sépare. Surcette surface, des conditions satisfaisant les conservations de la masse, de la quantité de mouve-ment et de l’énergie doivent être satisfaites. Nous nous limitons ici aux conservations de la masseet de la quantité de mouvement.

C.1 Conservation de la masse

On considère une interface sans masse séparant deux fluides1 et2 notéeS comme représen-tée sur la FIG. C.1. Cette interface est limitée par une frontière,C. Sur cette frontière on repèrecette courbe à l’aide de trois vecteurs unitaires deux à deuxorthogonaux.n représente la nor-male à l’interface,t est le vecteur tangent à la courbeC. Finalement, on définit un vecteur quiest tangent à la surface défini par

b = t × n. (C.1)

Pour exprimer les bilans, on construit un volume englobant l’interface. Les normales sor-tantes à ce domaine sont notéesn1 lorsque l’on se trouve du coté du fluide1 et n2 du coté du

C

n

nn1

n1

n2

n2

t

b

S

S1

S2

Σ1

Σ2

fluide 1

fluide 2

FIG. C.1 –Représentation schématique d’une interface fluide entre deux liquides.


C.2 Conservation de la quantité de mouvement 73

fluide 2. Sur la surfaceS, par convention,n est orientée du fluide1 vers le fluide2. Le volumeest limité par les surfacesS1 etΣ1 dans le fluide1 et parS2 etΣ2 pour le fluide 2.

Exprimons maintenant la conservation de la masse à ce domaine sous forme intégrée :∫

S1

u1 · n1dS +

∫

Σ1

u1 · n1dS +

∫

S2

u2 · n2dS +

∫

Σ2

u2 · n2dS = 0, (C.2)

oùu1 etu2 sont respectivement les vitesses dans les fluides1 et2. En rendant le volume de plusen plus petit, les surfacesΣ1 et Σ2 ont des aires qui deviennent nulles. Ainsi, les intégrales surces deux surfaces dans l’équation ci-dessus s’annulent. Deplus, les trois surfacesS, S1 etS2 seconfondent et on nous avons la relation suivante

n = n2 = −n1. (C.3)

Ainsi, le bilan de masse s’exprime ainsi :∫

S

(u1 − u2) · ndS = 0. (C.4)

CommeS est choisie de façon arbitraire et suivant le théorème de l’intégrale nulle, nous obtenonsle résultat local suivant :

u1 · n = u2 · n. (C.5)

La conservation de la masse impose que les vitesses normalesau sein des deux fluides doiventêtre continue à l’interface.

L’interfaceS est une surface matérielle qui peut avoir sa propre vitesse,notéeV . Le principede la conservation de la masse que nous avons appliqué à un volume englobant cette interface,peut être répété de part et d’autre deS. En suivant la même démarche que celle produite ci-dessuset en supposant que l’interface est sans masse, on trouve lesrésultats suivants :

(u1 · n − V · n) + (u2 · n − V · n) = 0. (C.6)

Ces deux dernières équations peuvent se réécrirent :

u1 · n = V · n, (C.7)

u2 · n = V · n. (C.8)

C.2 Conservation de la quantité de mouvement

Le bilan de quantité de mouvement requiert l’introduction d’une nouvelle force agissant auniveau de l’interface. Lorsqu’on découpe une surface, il s’exerce une force dirigée dans le plantangent à cette interface et normale au contourC, soit suivant la directionb. Cette force est liéeau phénomène de capilarité. Elle est raportée à la longueur de contour. Il s’agit donc une force



par unité de longueur (N/m) notéeγ. Cette quantité est appelée tension de surface. Elle peut êtrevue comme ce que nous venons de voir ou encore comme une énergie de surface. La tensioncapilaire peut alors s’écrire

dfγ = γbdl, (C.9)

oùdl est l’élément de longueur le long deC.Exprimons le bilan de forces sur le volume englobantS :

∫

S1

σ1 · n1dS +

∫

Σ1

σ1 · n1dS +

∫

S2

σ2 · n2dS +

∫

Σ2

σ2 · n2dS +

∫

C

γbdl = 0. (C.10)

σ1 etσ2 sont les tenseurs de contrainte respectivement donnés par

σ1 = −P1I + τ 1, (C.11)

σ2 = −P2I + τ 2, (C.12)

où P1 et P2 sont les pressions dans chaque fluide etτ 1 et τ 2 sont les tenseurs de contraintesvisqueuses.I est tenseur unité.

En pratiquant comme précédemment, où l’on réduit le volume englobant l’interface à unemesure nulle, le bilan de forces devient :

∫

S

(σ2 − σ1) · ndS +

∫

C

γbdl = 0. (C.13)

L’intégrale de contour doit être maintenant transformée enune integrale de surface. Pour celaon utilise le théorème de STOKES :

∫

C

a · tdl =

∫

S

rota · ndS, (C.14)∫

C

aitidl =

∫

S

εijkak,jnidS. (C.15)

a de composantes cartésiennes,ai, est un vecteur quelconque. Nous avons utilisée la formevectorielle et la forme indicielle oùεijk est le tenseur antisymétrique de LEVI-CIVITTA .

Le théorème de STOKES peut être généralisé sous la forme suivante∫

C

a × tdl =

∫

S

(div(a)n − n · grad a)dS, (C.16)∫

C

εijkajtkdl =

∫

S

(al,lni − nkak,i)dS. (C.17)

En appliquant ce résultat à l’intégrale de contour portant sur les forces capilaires, on a∫

C

γbdl = −∫

C

(γn) × τdl, (C.18)∫

C

γbdl = −∫

S

[div(γn)n − n · grad(γn)] dS. (C.19)



En développant les opérateurs differentiels,div etgrad, on obtient∫

C

γbdl = −∫

S

[γ div(n)n − (I − nn) · grad γ] dS, (C.20)

Le bilan de forces se résume alors∫

S

[(σ2 − σ1) · n − γ div(n)n + (I − nn) · grad γ] dS = 0. (C.21)

Finalement, en invoquant de nouveau le théorème de l’intégrale nulle, on obtient le saut decontainte suivant

(σ2 − σ1) · n = γ div(n)n − (I − nn) · grad γ. (C.22)

L’effet des forces capilaires induit deux composantes, l’une dirigée suivant la normale à l’in-terface. Cette composante est connue sous le nom de force de LAPLACE. Cette force existeuniquement en présence d’une courbure de l’interface. Mathématiquement, la courbure est di-rectement reliée à la divergence de la normale à la surface. On définit la courbure totale sous laforme [1] :

div n = −2H = −(

1

R1+

1

R2

), (C.23)

où2H correspond à la courbure totale etR1 etR2 sont les deux rayons de courbure principaux.Pour une sphère de rayonR, on a2H = −2/R. La projection de l’équation (C.22) suivant lanormalen donne la relation suivante

n · (σ2 − σ1) · n = −2Hγ. (C.24)

En absence de mouvement, cette dernière relation exprime lesaut de pression :

P1 − P2 = −2Hγ, (C.25)

=2γ

R, pour une sphère de rayonR. (C.26)

Le deuxième composante de l’équation (C.22) est dirigée de façon tangentielle à la surfacecar l’opérateurI − nn projete toute quantité tensorielle sur le plan tangent deS. En faisant leproduit scalaire avec le vecteur tangentt, on a la relation suivante

t · (σ2 − σ1) · n = −t · grad(γ). (C.27)

Ce terme est lié à des variations de tension de surface qui peut être due à la température ouà un changement de composition surfacique. L’existence d’un gradient de tension de surfaceentraîne nécessairement la création d’un mouvement car il agit sur la composante tangentielle dela contrainte dépendant uniquement du gradient de vitesse.Ces mouvements engendrés par desgradients de surface sont appelés écoulements de MARANGONI.


Equations de NAVIER -STOKES en systèmes de coordonnées orthogonales 76

Annexe D

Equations de NAVIER -STOKES en systèmesde coordonnées orthogonales

L’objectif de cet annexe est d’écrire les équations de NAVIER-STOKES dans des systèmesde coordonnées orthogonales. On cherche à réduire le nombred’inconnues en faisant usage desfonctions de STOKES (fonction de courant généralisée). Ceci se fait très facilement dans unsystème de coordonnées cartésien mais demande plus d’efforts dans d’autres systèmes de coor-données qui restent néanmoins orthogonaux comme les systèmes polaire, sphérique, ou encorebisphérique.

D.1 Equations de NAVIER -STOKES

On s’intéresse à un fluide de masse volumique et de viscosité dynamique constantes. Leséquations de NAVIER-STOKES exprimant la conservation de la masse et celle de quantité demouvement sont les suivantes [22]:

div u = 0, (D.1)

ρDu

Dt= −gradP + µ∇

2u + ρf . (D.2)

Dans ces deux équations,u désigne la vitesse,ρ la masse volumique,P la pression,µ la viscositédynamique etf une force de volume (gravité par exemple).div est l’opérateur différentiel dedivergence,grad celui du gradient,∇2 celui de laplacien. L’accélération du fluide est donnéepar la dérivée particulaire de la vitesse qui en coordonnéescartésiennes s’exprime

Du

Dt=∂u

∂t+ u · gradu. (D.3)

En faisant usage de l’identité [1]

u · gradu = rotu × u + grad

(u2

2

), (D.4)


D.2 Equation de compatibilité 77

l’équation de quantité de mouvement devient :

ρ

[∂u

∂t+ rotu × u + grad

(u2

2

)]= −gradP + µ∇

2u + ρf . (D.5)

Cette dernière relation est très importante car elle est vraie quel que soit le système de coordon-nées utilisé alors que l’utilisation de (D.3) est valide uniquement dans le système de coordonnéescartésiennes. L’opérateur laplacien portant sur un vecteur s’écrit de façon générale sous la formesuivante [1]

∇2u = grad (div u) − rot (rotu) = − rot (rotu) , si div u = 0. (D.6)

D.2 Equation de compatibilité

Les développements proposés ici découlent des travaux de Berker [5]. On cherche à établirune équation où seules des grandeurs cinématiques, vitesse, rotationnel, apparaissent. Elle serale point de départ pour établir une équation sur la fonction de courant.

Dans un premier temps, on suppose que le champ de force volumique dérive d’un potentiel.Ainsi, f s’écrit

f = −gradU . (D.7)

L’équation de quantité de mouvement s’écrit dès lors sous laforme :

∂u


(P

ρ+

u2

2+ U

)= ν∇2u, (D.8)

oùν est la viscosité cinématique définie par

ν =µ

ρ. (D.9)

Remarquons que l’équation (D.8) est fondamentale dans l’établissement du théorème de BER-NOULLI dans la limite où l’on suppose la viscosité égale à zéro.

Maintenant en prenant le rotationnel de l’équation (D.8) eten définissant le vecteur tourbillonainsi :

ω =rotu

2, (D.10)

l’équation de compatibilité suivant la dénomination de Berker [5] est donnée par la relationsuivante

∂ω

∂t+ rot (ω × u) = ν∇2ω, (D.11)

Le complément de nom «compatibilité» se justifie par le fait que cette dernière équationcomplétée de l’équation de continuité sont suffisantes pourassurer la cohérence d’un point devue du mouvement d’un fluide visqueux. Ces deux équations ne portent uniquement que sur desgrandeurs cinématiques. Elles sont à la base de méthodes numériques pour résoudre les équationsde NAVIER-STOKES (cf. [12]).


D.3 Formulation en fonction de STOKES 78

Le grand intérêt de cette formulation est que dans les situations à deux dimensions, il estpossible de ramener le problème à la résolution d’une seule et unique équation. Les deux dimen-sions ne limitent pas à la situation plane mais peuvent être aussi rencontrées dans des problèmessupposés axisymétriquei.e. invariant par rotation autour d’un axe donné.

D.3 Formulation en fonction de STOKES

D.3.1 Opérateurs différentiels dans les systèmes de coordonnées orthogo-naux

Afin d’écrire l’équation de compatibilité de façon générale, il est nécessaire de formuler leproblème quel que soit le système de coordonnées envisagé. Pour faire cela, les opérateurs dif-férentiels doivent être écrits quel que soit le système de coordonnées envisagé. On résume iciuniquement la forme de ces opérateurs sans les justifier. Il est possible de trouver les développe-ments mathématiques dans les références suivantes [1, 18].

On considère un système de coordonnées orthogonaux(q1,q2,q3) dont les vecteurs unitairessont(e1,e2,e3). Le fait que le système soit orthogonal entraîne que ces vecteurs vérifient entreeux la relation

ei · ej = δij , (D.12)

où δij est le symbole de KRONECKER.Avant de présenter les opérateurs, il convient de définir lesfacteurs métriques ou encore

appelés coefficients de LAMÉ, hi, qui ont la dimension d’une longueur et dont la définition est

hi =

∥∥∥∥∂x

∂qi

∥∥∥∥ . (D.13)

L’opération gradient portant sur un vecteurA exprimé dans la base(e1,e2,e3) et ayant pourcomposantes(A1,A2,A3) est le suivant

gradA =

(1

h1

∂A

∂q1,1

h2

∂A

∂q2,1

h3

∂A

∂q3

)=

1h1

∂A1

∂q1

1h2

∂A1

∂q2

1h3

∂A1

∂q31h1

∂A2

∂q1

1h2

∂A2

∂q2

1h3

∂A2

∂q31h1

∂A3

∂q1

1h2

∂A3

∂q2

1h3

∂A3

∂q3

. (D.14)

La divergence est donnée par la relation suivante :

div A =1

h1h2h3

[∂(A1h2h3)

∂q1+∂(A2h1h3)

∂q2+∂(A3h1h2)

∂q3

]. (D.15)

Quant au rotationnel, nous avons la relation suivante

rotA =1

h1h2h3

∣∣∣∣∣∣

h1e1 h2e2 h3e3∂

∂q1

∂∂q2

1h3

∂∂q3

h1A1 h2A2 h3A3

∣∣∣∣∣∣. (D.16)

Le laplacien peut être obtenu compte-tenu de l’identité suivante [1] :

∇2A = grad(div A) − rot(rotA). (D.17)



D.3.2 Fonction de STOKES

Nous allons nous placer dans la situation particulière danslaquelle l’ensemble des inconnuesest invariant suivant la directionq3. Ceci veut dire que toutes les dérivées selon cette directionsont nulles. Siq3 est une direction d’un système de coordonnées cartésien, nous sommes enprésence d’un problème purement bidimensionnel. Siq3 est l’angleϕ des systèmes polaire ousphérique, nous aurons un problème axisymétrique. De plus,nous supposerons que la compo-sante suivantq3 est également nulle.

Dans cette situation, l’équation de continuité dégénère ainsi :

∂(u1h2h3)

∂q1+∂(u2h1h3)

∂q2= 0. (D.18)

Selon les régles définissant les différentielles totales exactes, il existe une fonction scalaireψ telque

dψ = −u2h1h3dq1 + u1h2h3dq2. (D.19)

u1 etu2 sont alors exprimées en fonction deψ sous la forme :

u1 =1

h2h3

∂ψ

∂q2, (D.20)

u2 = − 1

h1h3

∂ψ

∂q1. (D.21)

ψ est la fonction de STOKES. Ces isovaleurs correspondent aux lignes de courant comme ilest très facile de le voir. En effet, les lignes de courant sont définies comme des lignes tangentesen chaque point au champ de vitesse. Ceci peut s’écrire formellement sous la forme :

u × dl = 0, (D.22)

où dl est le vecteur élémentaire tangent à la lignes de courant. Cette dernière équation dans lecadre des hypothèses de cette sous-section s’écrit simplement sous la forme

u1h2dq2 − u2h1dq1 = 0. (D.23)

En replaçant par les relations définissant le champ de vitesse en fonction deψ, on obtient que lelong des lignes de courant on a la relation

∂ψ

∂q1dq1 +

∂ψ

∂q2dq2 = 0, (D.24)

montrant queψ reste constant le long des lignes de courant. Il est possiblede définir la fonctionde courant à partir de l’équation (D.22) sans avoir recours àl’équation de continuité comme ilest proposé dans le livre de Meyer [26].

D.3.3 Equation de compatibité écrite avecψ

L’équation de compatibilité (D.11) est vectorielle. Néanmoins, l’utilisation de la fonction deSTOKES permet de se ramener à une équation scalaire. La démarche iciconsiste à écrire chaqueterme de (D.11) à l’aide deψ.



Determination du vecteur tourbillon, ω

Dans la mesure oùu3 est égal à zéro et que le problème est indépendant deq3, seule la com-posante suivante3 est non-nulle. En remplaçant les expressions deu1 etu2 dans la composantedu rotationnel suivante3 par leur expression respective en fonction deψ, on obtient

ω = −E2(ψ)

2h3e3, (D.25)

oùE2 est un nouveau opérateur différentiel défini par

E2(ψ) =h3

h1h2

[∂

∂q1

(h2

h1h3

∂ψ

∂q1

)+

∂

∂q2

(h1

h2h3

∂ψ

∂q2

)]. (D.26)

Détermination du terme, rot (ω × u)

Le produit vectorielω × u est très facile à calculer, il admet deux composantes suivant lesdirectionse1 ete2. Il s’écrit ainsi

ω × u = −E2(ψ)

2h1h23

∂ψ

∂q1e1 −

E2(ψ)

2h2h23

∂ψ

∂q2e2. (D.27)

Le rotationnel de ce vecteur peut s’écrire d’une façon assezcompact sous la forme

rot (ω × u) = − e3

h1h2

∂(E2(ψ)/2h23;ψ)

∂(q1; q2). (D.28)

où l’opérateur∂/∂(q1; q2) est le jacobian.

Détermination du laplacien du vecteur tourbillon

La divergence du rotationnel d’un vecteur quelconque étanttoujours égale à zéro [1], le la-placian du rotionnel est donné par

∇2ω = − rot (rotω) . (D.29)

Dans la mesure oùω est un champ de vecteur solénoïde comme la vitesse, leurs expressionssont similaires. En effet, le calcul du rotationnel deω donne le résultat suivant :

− rotω =1

h2h3

∂

∂q2

[E2(ψ)

2

]e1 −

1

h1h3

∂

∂q1

[E2(ψ)

2

]e2. (D.30)

Ainsi, on constate effectivement la grande similitude entre l’expression de la vitesse est celle durotionnel du vecteur tourbillon.

Finalement, en prenant le rotationnel de cette dernière relation, on obtient pour le laplaciendu vecteur tourbillon l’expression suivante

∇2ω = − 1

h3E2

[E2(ψ)

2

]. (D.31)


D.4 Equation de la pression en fonction deψ 81

Equation sur ψ

En repportant ces trois quantités dans l’équation de compatibilité, la fonctionψ doit vérifierl’équation suivante [41] :

∂

∂t

[E2(ψ)

]+

h3

h1h2

∂ [E2(ψ)/h23;ψ]

∂(q1; q2)= νE2

[E2(ψ)

]. (D.32)

Cette équation est écrite ici dans sa version générale. Elleest très utilisée dans le cadre del’approximation de STOKES. La détermination deψ permet de connaître le champ de vitesse.Néanmoins, la recherche du tenseur de contrainte utile pourfaire le calcul des efforts sur unobstacle par exemple nécessite le calcul du champ de pression. Ce point est présenté dans lasection qui suit.

D.4 Equation de la pression en fonction deψ

A partir de l’équation de quantité de mouvement, il est possible d’établir la relation régissantle gradient de pression en fonction deψ et de ses dérivées. L’approche ici est assez simple elleconsiste une fois de plus à exprimer chaque terme de l’équation de quantité de mouvement enfonction deψ. L’équation du gradient de pression est donnée par :

gradP = µ∇2u − ρ

[∂u


(u2

2

)− f

]. (D.33)

Le gradient de pression présente que deux compasantes et s’obtient facilement grâce à larelation (D.14) :

gradP =1

h1

∂P

∂q1e1 +

1

h2

∂P

∂q2e2. (D.34)

Le laplacien de la vitesse est donné par la relation suivante

∇2u =

1

h2h3

∂

∂q2

[E2(ψ)

]e1 −

1

h1h3

∂

∂q1

[E2(ψ)

]e2. (D.35)

La dérivée partielle par rapport au temps est obtenue facilement et faut

∂u

∂t=

1

h2h3

∂2ψ

∂t∂q2e1 −

1

h1h3

∂2ψ

∂t∂q1e2. (D.36)

Le produit vectoriel du rotationnel par la vitesse a été obtenu précédemment mais exprimé avecle vecteur tourbillon. Il faut :

rotu × u = −E2(ψ)

h1h23

∂ψ

∂q1e1 −

E2(ψ)

h2h23

∂ψ

∂q2e2. (D.37)


D.5 Equations de STOKES en système de coordonnées orthogonales 82

Finalement, le gradient deu2/2 faut

grad

(u2

2

)=

1

2h1

∂

∂q1

[1

h21h

23

(∂ψ

∂q1

)2

+1

h22h

23

(∂ψ

∂q2

)2]

e1 +

1

2h2

∂

∂q2

[1

h21h

23

(∂ψ

∂q1

)2

+1

h22h

23

(∂ψ

∂q2

)2]

e2. (D.38)

Ainsi, les deux composantes du gradient de pression sont données par les relations suivantes :

1

h1

∂P

∂q1= µ

1

h2h3

∂

∂q2

[E2(ψ)

]− ρ

1

h2h3

∂2ψ

∂t∂q2− E2(ψ)

h1h23

∂ψ

∂q1+

1

2h1

∂

∂q1

[1

h21h

23

(∂ψ

∂q1

)2

+1

h22h

23

(∂ψ

∂q2

)2]− f1

, (D.39)

1

h2

∂P

∂q2= −µ 1

h1h3

∂

∂q1

[E2(ψ)

]+ ρ

1

h1h3

∂2ψ

∂t∂q1+E2(ψ)

h2h23

∂ψ

∂q2−

1

2h2

∂

∂q2

[1

h21h

23

(∂ψ

∂q1

)2

+1

h22h

23

(∂ψ

∂q2

)2]

+ f2

. (D.40)

Ceci termine l’établissement des équations à l’aide de la fonction de STOKES. Ils sont ra-rement utilisés sous cette forme générale. Par contre cetteformulation devient très intéressantedans le cadre de l’approximation de STOKES.

D.5 Equations de STOKES en système de coordonnées ortho-gonales

L’utilisation des équations de STOKES simplifie grandement la formulation dans les systèmesde coordonnées orthogonales. En effet, dans cette situation, seule les termes visqueux sont àconsidérer. Ainsi, l’équation régissant la fonction de Stokes se réduit à

E2[E2(ψ)

]= 0. (D.41)

Cette équation est aussi bien écrite en version sans dimension ou en grandeur physique. Leséquations donnant la pression en grandeur physique se réduisent à

1

h1

∂P

∂q1= µ

1

h2h3

∂

∂q2

[E2(ψ)

], (D.42)

1

h2

∂P

∂q2= −µ 1

h1h3

∂

∂q1

[E2(ψ)

]. (D.43)

Maintenant, ces équations doivent être spécifiées pour des situations particulières où des sys-tèmes usuels de coordonnées s’appliquent. Deux situationsseront envisagées par la suite : lecas purement bidimensionnel et la situation axisymétrique. Pour chaque système de coordon-nées envisagé, nous allons écrire l’opérateurE2, les relations liant la fonction de STOKES et lescomposantes de vitesses, de même que les composantes du gradient de pression.



D.5.1 Equations de STOKES dans la situation bidimensionnelle

Bien que nous ayons discuté du manque d’uniformité des équations de Stokes dans la situa-tion bidimensionnelle, cette dernière s’avère néanmoins pertinente si on se limite à des domainesde taille finie. Les équations de STOKES peuvent être écrites en utilisant deux systèmes de coor-données, le premier est le système cartésien et le second le système polaire.

Système de coordonnées cartésiennes

C’est de loin le plus simple à expliciter. Les facteurs métriques sont tous égaux à un. L’opé-rateur d’ordre deuxE2 est équivalent au laplacien. Si on notex et y les deux coordonnées,E2

est donné par

E2 = ∇2 =

∂2

∂x2+

∂2

∂y2. (D.44)

Les deux composantes de vitesse sont données par

u =∂ψ

∂y, (D.45)

v = −∂ψ∂x

. (D.46)

Le gradient de pression est alors écrit :

∂P

∂x= µ

∂∇2(ψ)

∂y, (D.47)

∂P

∂y= −µ∂∇

2(ψ)

∂x. (D.48)

Système de coordonnées polaires

Dans cette situation, les coordonnées,qi, sont

q1 = $; q2 = ϕ; q3 = z. (D.49)

Les relations liant le système cartésien à ce système sont

x = $ cosϕ, (D.50)

y = $ sinϕ. (D.51)

Les facteurs métriques sont donnés par

h1 = h$ = 1, (D.52)

h2 = hϕ = $ (D.53)

h3 = 1. (D.54)



L’opérateurE2 est donné par

E2 =1

$

∂

∂ρ

(ρ∂

∂$

)+

1

$2

∂2

∂ϕ2. (D.55)

Les composantes de vitesse,u$ etuϕ, sont

u$ =1

$

∂ψ

∂ϕ, (D.56)

uϕ = − ∂ψ

∂$, (D.57)

et celles du gradient de pression

∂P

∂$=

µ

$

∂E2(ψ)

∂ϕ, (D.58)

1

$

∂P

∂ϕ= −µ∂E

2(ψ)

∂$. (D.59)

D.5.2 Equations de STOKES dans la situation axisymétrique

Dans ce cas, la variable selon laquelle l’écoulement est invariant estϕ. Cette sous-sectioncommencera par les deux systèmes très communs : polaire et sphérique. Ensuite, le système decoordonnées bisphérique sera présenté.

Système de coordonnées polaires

Ici, les coordonnées sont données par

q1 = $; q2 = z; q3 = ϕ. (D.60)


h1 = 1, (D.61)

h2 = 1, (D.62)

h3 = $. (D.63)

Dans cette situation,E2, les composantes de la vitesse et du gradient de pression sont donnés

E2 = $∂

∂$

(1

$

∂

∂$

)+

∂2

∂z2, (D.64)

u$ =1

$

∂ψ

∂z, (D.65)

uz = − 1

$

∂ψ

∂$, (D.66)

∂P

∂$=

µ

$

∂ψ

∂z, (D.67)

∂P

∂z= − µ

$

∂ψ

∂$. (D.68)



Système de coordonnées sphériques

Ici, les coordonnées sont données par

q1 = r; q2 = θ; q3 = ϕ. (D.69)


h1 = 1, (D.70)

h2 = r, (D.71)

h3 = r sin θ. (D.72)

Dans cette situation,E2, les composantes de la vitesse et du gradient de pression sont donnés

E2 =∂2

∂r2+

sin θ

r2

∂

∂θ

(1

sin θ

∂

∂θ

), (D.73)

ur =1

r2 sin θ

∂ψ

∂θ, (D.74)

uθ = − 1

r sin θ

∂ψ

∂r, (D.75)

∂P

∂r=

µ

r2 sin θ

∂ψ

∂θ, (D.76)

∂P

∂θ= − µ

sin θ

∂ψ

∂r. (D.77)

Système de coordonnées bisphériques

Ce système de coordonnées est beaucoup moins répandu que lesprécédents. Il est particu-lièrement bien adapté à l’étude de deux inclusions sphériques en interaction ou d’une sphère etd’un plan. On note ces coordonnées sous la forme :

q1 = ζ ; q2 = η; q3 = ϕ. (D.78)

La FIG. D.1 représente les isovaleurs deζ et deη dans un plan méridien.Les relations liant le système cartésien et celui bisphérique sont les suivantes :

x =c sin η cosϕ

cosh ζ − cos η, (D.79)

y =c sin η sinϕ


z =c sinh ζ

cosh ζ − cos η. (D.81)



ζ = 0

ζ = −∞

ζ = ∞

ζ

η

η=

0η

=0

η=π $

z

eη

eζ(0,c)

(0,− c)

FIG. D.1 –Représentation du système de coordonnées bisphériques.



A partir de la définition des facteurs métriques définis au début de ce chapitre, nous obtenonssans difficulté les relations suivantes :

hζ =c


hη =c


hϕ =c sin η

cosh ζ − cos η. (D.84)

L’opérateur du second ordreE2 devient alors :

E2 =cosh ζ − cos η

c2

∂

∂ζ

[(cosh ζ − cos η)

∂

∂ζ

]+ sin η

∂

∂η

(cosh ζ − cos η

sin η

∂

∂η

). (D.85)

Les deux composantes de vitesse sont

uζ =(cosh ζ − cos η)2

c2 sin η

∂ψ

∂η, (D.86)

uη = −(cosh ζ − cos η)2

c2 sin η

∂ψ

∂ζ. (D.87)

Finalement, le gradient de pression est donné par

∂P

∂ζ=

µ(cosh ζ − cos η)

c sin η

∂E2(ψ)

∂η, (D.88)

∂P

∂η= −(cosh ζ − cos η)

c sin η

∂E2(ψ)

∂ζ. (D.89)


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Documents

Phénomènes de transfert appliqués à l’élaboration des verres