Chapter 3

Phénomènes de di�raction:introduction, phénomènesfondamentaux

3.1 ExemplesOn s'intéresse ici à la propagation de la lumière en présence d'obstaclesopaques. Suivant la théorie "géométrique" on a des sources lumineuses quiémettent des "rayons" se propageant en ligne droite (si indice du milieu ho-mogène) et qui sont simplement bloqués par la présence d'objets absorbants.Ceci explique la formation de phénomènes d'ombre "géométrique". Cepen-dant une observation attentive montre l'existence de phénomènes bizarrestout près de la limite ombre-lumière (cf Fig.3.1): la limite ombre-lumièren'est pas nette, l'éclairement oscille avant de s'annuller totalement, mon-trant des "franges" (cf Fig.3.2).

D'autres phénomènes impliquant la lumière sont inexplicables par op-tique géométrique. Par exemple:

• "Arcs en ciel" observés sur CD et DVD (Fig.3.3);

• Déviation des rayons X (et aussi des électrons, des neutrons...) par lescristaux. Ce phénomène s'apparente au précédent(cf cours de cristal-lographie;

• Taille et aspect d'un spot obtenu en focalisant un faisceau laser aumoyen d'une lentille (cf prochains cours);

• Taille et aspect de l'image d'une étoile au foyer d'un téléscope (cfFig.3.4);

• Taille et aspect de l'image d'une molécule �uorescente observée avecun microscope (cf Fig.3.5)

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Figure 3.1: Observation de l'ombre projetée d'une main éclairée par un fais-ceau lumineux assimilable à une onde plane (tiré de E. Hecht, Optique,Pearson Education, 2005).

Figure 3.2: Observation du détail de l'ombre projetée du bord d'un écranéclairé par un faisceau lumineux assimilable à une onde plane.

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Figure 3.3: Aspect d'un CD-ROM éclairé en lumière blanche: de la lumièreest di�usée dans di�érentes directions suivant sa couleur, ce qui permetd'observer ses di�érentes composantes spectrales. Ce phénomène rappellela dispersion de la lumière par un prisme, mais son explication est complète-ment di�érente.

Comme on le verra, la description de ces phénomènes doit prendre encompte la nature ondulatoire de la lumière pour décrire correctement sapropagation.

Dans un premier temps on part donc d'une situation simple où on est enprésence d'une onde de caractéristiques connues, générée par un émetteur,ayant été éventuellement déformée (ou mise en forme) après traversée dedi�érents milieux ou composants optiques. On interpose un écran opaquepercé d'ouvertures, des obstacles transparents ou absorbants. Le problèmeposé est de savoir quel est le champ lumineux obtenu au delà.

Exemples :1. Un point source au foyer d'une lentille " parfaite ", génère une onde

"pratiquement plane". On interpose un écran percé d'un trou carré ou cir-culaire.

2. Un point lumineux (étoile, molécule �uorescente) est observé au moyend'un objectif optique parfait (sans aberrations géométriques notables), maisde diamètre limité de taille d. Quelle est la forme et la taille de l'image dece point objet (c'est ce qu'on appelle la "fonction d'étalement de point")?

Pour répondre à ces questions on est donc amené à résoudre l'équationde propagation en présence d'obstacles.

Il y a d'autres situations semblables en physique (acoustique, mécaniquequantique...). C'est un problème mathématiquement di�cile.

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Figure 3.4: Aspect de l'image de l'étoile "NGC188" observée au moyen dutéléscope spatial Hubble. La forme et la taille de ce spot-image n'est pas liéeà la taille et à la forme de l'étoile, qui est en fait trop éloignée pour qu'onpuisse en distinguer les détails, mais à la forme de l'onde caractéristiquedu téléscope (crédit photo Hubble Space Telescope). Le schéma optiquecorrespond à l'observation au moyen d'une lentille, plus facile à représenter,alors que le téléscope spatial utilise une optique à base de miroirs, mais celane change pas fondamentalement les e�ets physiques liés à la di�raction del'onde incidente par l'ouverture limitée de l'optique d'observation.

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Figure 3.5: Aspect de l'image de molécules �uorescentes isolées détectées parlaser lumière de �uorescence qu'elles émettent lorsqu'elle sont éclairées parun laser sous microscope. La forme et la taille de ces spots-image n'est pasliée à la taille et à la forme des molécules, qui sont en fait trop petites pourqu'on puisse en distinguer les détails, mais à la forme de l'onde caractéristiquedu microscope utilisé (A. Delon, J. Derouard et al, 2010).

3.2 Decription mathématique approchée: principed'Huyghens-Fresnel ou "comment déduire ψ(t, ~r)à partir de ψ(t, ~rΣ) sur surface Σ"

3.2.1 Théorème intégral de Kirchho�Si on connaît ψ(~r, t) pour l'ensemble des positions ~r appartenant à une sur-face fermée Σ, alors on peut exprimer ψ(~r0, t) pour tout point de l'espace ~r0

à l'intérieur de la surface (cf Fig.3.6). Cela généralise le concept dejà présenten optique géométrique, où la connaissance de la direction de la direction desrayons composant un faisceau lumineux sur une surface su�t pour connaîtrela trajectoire de ces rayons dans le reste de l'espace.

Un cas limite est celui où la surface est un plan d'extension in�nie sé-parant l'espace en deux parties, illustrant une notion assez intuitive qui estque le champ se propageant en aval d'une région de l'espace découle dece qu'il y a en amont. Mais pas besoin de connaître le champ dans toutela région amont pour savoir ce qu'il y a en aval: Contrôler l'amplitude etla phase de la vibration lummineuse suivant un plan su�t pour générern'importe quelle onde se propageant au delà. On verra plus loin en exemplele cas de l'e�et d'une lentille divergente (convergente) sur une onde plane).

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Figure 3.6: Expression de ψ à l'intérieur du volume limité par la surface Σen fonction de la valeur de ψ sur la surface Σ (cf Eq.3.2.1)

Mathématiquement cela revient aussi à dire que la solution d'une équationdi�érentielle est déterminée par les "conditions initiales", ou, plus générale-ment, par les "condition aux limites" 1.

Pour une onde monochromatique se propageant dans le vide k = ω/ccela donne:

ψ(~r0, t) =14π

[∮

Σ

eik|~r0−~r|

|~r0 − ~r|−−→gradψ.d

−→S −

∮

Σψ(~r)−−→grad(

eik|~r0−~r|

|~r0 − ~r| ).d−→S ]e−iωt

(3.1)Il s'agit d'une propriété mathématique propre à l'équation di�érentielle depropagation (cf Hecht, �10-4). Mathematiquement c'est exact, mais en pra-tique pas commode à utiliser du tout.

3.2.2 Principe d'Huyghens-FresnelBien avant Kirchho�, Huyghens puis Fresnel avaient imaginé sans justi�ca-tion mathématique une méthode pour calculer la propagation de la lumièreconsidérée comme une onde, et non comme la juxtaposition de rayons lu-mineux associés à la trajectoire de particules de lumière.

Suivant Huyghens, la surface d'onde (ou surface équiphase d'une phasedonnée) est obtenue en prenant l'enveloppe des surfaces equiphase de mêmephase correspondant à des "ondelettes" émises depuis depuis une surfaceplacée en amont (Fig.3.7). Cette formulation décrit convenablement la prop-agation de la lumière dans des milieux in�nis homogènes, et sa déviation aupassage d'un milieu à un autre.

1Autre situation mathématiquement analogue: équation de Laplace, (ou de Poisson)en électrostatique: le potentiel V est parfaitement déterminé partout si on se donne ladistribution du potentiel sur un ensemble de surfaces (en particulier des conducteurs).

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Figure 3.7: Ondelettes d'Huyghens et construction de la surface d'onde àt > 0 à partir de la surface d'onde à t = 0.

Fresnel complète cette idée en suggérant que les ondelettes doivent in-terférer entre elles, et précise la valeur de l'amplitude des ondelettes. Le"principe d'Huyghens-Fresnel" s'énonce alors de la façon suivante:

Soit ψ(~r, t) l'onde, supposée monochromatique, sur une surface Σ. Alorsψ(r0) s'exprime comme la somme ("l'interférence") d'ondes shériques émisesdepuis tous les points ~r avec une amplitude proportionnelle à celle de ψ(~r, t)et une phase identique à celle de ψ(~r, t).

Alors le champ en un point P (X,Y, z) est donné par (cf Fig.3.8)

ψ(P ) =∫

ΣKψ(Q)

eikQP

QPdxdy (3.2)

où ψ(Q) est donc le champ au point Q(x, y) dans l'ouverture de taille d, etK un coe�cient ne dépendant pas en première approximation 2 de Q et deP.

2Pour être cohérent avec Kirchho� il faudrait en fait prendre K ∝ −i(cos θ+cos θi)/(2λ)où θ et θi sont respectivement les angles d'inclinaison par rapport à la normale à Σ de ladirection d'émission de l'ondelette et de la normale à la surface d'onde incidente cf Hecht�10.4. On note que cette condition impose K = 0 si θi = θ + π, traduisant le fait qu'il n'ya pas d'onde émise vers l'arrière.

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Figure 3.8: Géométrie correspondant à l'Eq.3.2.2.

Dans le cas du calcul de la lumière transmise par un écran percé d'ouvertureson prend pour surface Σ le plan de l'écran, et on complète ce principe parles hypothèses suivantes:

Hypothèses supplémentaires• 1. Juste derrière l'écran ψ = 0. Semble raisonnable.

• 2. Dans le plan de l'écran à l'intérieur des ouvertures ψ est le mêmeque si il n'y avait pas d'écran. Nettement moins évident!: Clairementil doit se passer des choses " au voisinage " du bord des ouverturesoù le rayonnement interagit avec la matière. Mais à condition que lesouvertures soient assez grandes devant la distance caractéristique quidé�nit ces " voisinages " l'expérience de la vie courante suggère que cese�ets sont petits. On imagine que cette distance caractéristique doitêtre de l'ordre de λ.

• 3. Les deux cas précédents peuvent se généraliser au cas où le planΣ contient des parties absorbantes ou réfringentes. Donc d'une façongénérale on écrira que l'onde ψ(x, y) juste après le plan Σ est le produitde l'onde incidente ψi(x, y) par une "fonction d'ouverture" T (x, y); Lecas 1 correspond à T = 0, Le cas 2 correspond à T = 1. Et pour unelame d'indice n, épaisseur e atténuant l'amplitude d'un facteur t < 1on aura T = t exp(ikzne) où kz est la projection du vecteur d'ondeincident sur la normale à Σ.

Rappellons que ce "principe" n'est qu'une approximation de la réalitéphysique, dont le domaine de validité n'est pas facile à préciser. Clairement,

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le domaine de la "nanophotonique" actuellement en plein développementqui concerne l'étude de la propagation de la lumière dans et au voisinagede structures de l'ordre ou plus petites que la longueur d'onde λ sort dudomaine de validité de cette approximation. On avait déjà souligné ce pointdans le chapitre précédent en indiquant que "l'approximation scalaire" étaitégalement en défaut dans ce cas et que l'étude de ces situations passait parla résolution numérique des équations de Maxwell.

Sa formulation peut être considérée comme "un truc" dont la principalejusti�cation est que 1) elle est mathématiquement simple, et 2) elle est enaccord avec l'expérience dans un grand nombre de situations pratiques. Ona pu montrer depuis que dans le cas de la propagation dans un milieu ho-mogène, l'Eq.3.2.2 peut être déduite de l'expression du théorème intégral deKirchho� Eq.3.2.1 moyennant certaines hypothèses (cf Hecht �10-4 et noterelative à l'Eq.3.2.2) sur la valeur du coe�cient K.

L'utilisation de cette formule implique d'exprimer QP . La suite de ladiscussion va porter sur l'expression qu'on va prendre pour QP .

Soit z la distance entre Σ et le plan d'observation où se trouve P . Icion va se placer à des distances z beaucoup plus grandes que la taille del'ouverture d, et considérer des points P répartis sur une extension latéralepetite devant z, situation connue sous le nom de "conditions paraxiales".Dans ces conditions on pourra prendre 1/QP ∼ 1/z. Par contre l'argumentde l'exponentielle demande un examen plus précis.

Dé�nissons les coordonnées x, y; z = 0 de Q dans le plan Σ et X,Y, zcelles de P dans le plan d'observation.

Alors

QP = z[1 +(X − x)2 + (Y − y)2

z2]1/2 ∼ z +

(X − x)2 + (Y − y)2

2z(3.3)

En substituant cette expression dans l'Eq(3.2.2) on obtient

ψ(P ) =eikz

z

∫

ΣKψ(x, y)eik

(X−x)2+(Y−y)2

2z dxdy (3.4)

On pose alorskx = k

X

zet

ky = kY

z

et l'Equation précédente devient

ψ(P ) =eikz

zexp(ik(X2+Y 2)/2z)

∫

ΣKψ(x, y). exp[−i(kxx+kyy))]. exp[i

k(x2 + y2)2z

]dxdy

(3.5)

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En pratique on prendra K ∼ constante.On remarque que le facteur exp(ik(X2 + Y 2)/2z) est de module 1 et

n'intervient donc pas dans la répartition de l'éclairement qui est proportion-nel à |ψ|2. Egalement pour eikz/z qui est une constante pour une distance zdonnée.

3.3 Conditions de Fraunho�er: z très très granddevant d ("di�raction à l'in�ni")

Di�raction de FresnelLe cas où z n'est pas très très grand devant d conduit à des calculs compliqués(cf Hecht �10.3 ou Perez �30.II) à cause du facteur exp(ik(x2 + y2)/2z) dansl'intégrale et correspond à ce qu'on appelle la "di�raction de Fresnel", qu'onne traitera pas dans ce cours. Ce cas correspond en particulier à la di�ractionpar le bord d'un écran (Figs.3.1 et 3.2).

Di�raction de Fraunho�erSupposons maintenant qu'on se place très loin de Σ, z >> d, de telle sorteque exp(ik(x2 + y2)/2z) ∼ 1. Cela nécessite d2 << λ.z (soit d/λ << z/d).3Ces conditions correspondent à ce qu'on appelle les "conditions de Fraun-ho�er" ou "di�raction à l'in�ni". Cette situation correspond en fait à untrès grand nombre de situations expérimentales et à l'intérêt de simpli�erconsidérablement l'Eq.3.5.

Rappelons que ces deux cas, di�raction de Fresnel et di�raction de Fraun-ho�er reposent eux-même sur la validité de l'Eq.3.5 qui comme on l'a men-tionné n'est valable que si λ << d.

Dans les conditions de Fraunho�er l'Eq.3.5 se réduit à

ψ(X, Y ) ∝∫

Σψ(x, y). exp[−i(kxx + kyy)]dxdy (3.6)

Notons ~k le vecteur d'onde de composantes4 kx et ky suivant les directionsx et y. Si O est le point origine dans le plan Σ l'Eq.3.6 peut alors se réécrire:

ψ(X, Y ) ∝∫

Σψ(Q). exp(−i~k. ~OQ)dxdy (3.7)

Les composantes de ~k peuvent également s'exprimer au moyen des angles(en fait de leur sinus) que font avec l'axe Oz les projections de ce vecteurdans les plans xOz et yOz:

3cf λ = 500nm, d=0,1mm, z = 100mm alors d/λ = 200 et z/d = 10004La composante suivant z s'en déduit puisque k2

x + k2y + k2

z = k2

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sinα =kx

k(∼ α ∼ X

zdans les conditions paraxiales)

etsinβ =

ky

k(∼ β ∼ Y

zdans les conditions paraxiales)

ce qui permet de réécrire l'Eq.3.6 sous une troisième forme:

ψ(X,Y ) ∝∫

Σψ(Q). exp(−ik(αx + βy))dxdy (3.8)

Dans tous cas on note que P (X, Y ) est directement relié à ~k, ou demanière équivalente à α et β: l'onde di�ractée peut être considérée commeune superposition d'ondes planes et on recueille en P celle dont le vecteurd'onde est ~k. L'onde di�ractée sera alors caractérisée indi�éremment par lesamplitudes qu'on notera ψ(X, Y ), ψ(~k), ou ψ(α, β).

La signi�cation physique de l'approximation de Fraunho�er est expriméesur la Fig.3.9. Elle revient à dire que les di�érents rayons QP obtenus enprenant di�érents points Q à l'intérieur de l'ouverture de Σ peuvent êtreconsidérées comme pratiquement parallèles, faisant des angles α et β pra-tiquement identiques.

De fait, une situation très souvent rencontrée expérimentalement est celleoù le plan d'observation est en fait le plan focal d'une lentille. Dans ce cas onrecueille au point P du plan focal l'onde plane émise suivant une directiondonnée par la position du point P (cf Fig.3.9).

D'une façon générale, le calcul de la di�raction de Fraunho�er revient àcalculer d'abord l'amplitude de l'onde di�ractée suivant la direction dé�niepar un vecteur d'onde ~k, auquel sont associés les angles α et β. L'amplitudedans le plan d'observation s'en déduit ensuite en associant à ces angles lescoordonnées X = fα ou X = zα, et Y = fβ ou Y = zβ, suivant les 2 casreprésentés sur la Fig.3.9.

Cas où l'onde incidente est planeSi l'onde incidente sur le plan Σ est plane, caractérisée par le vecteur d'onde~ki, de composantes kix = kαi et kiy = kβi alors:

ψi(Q) ∝ exp(i~ki. ~OQ)

et doncψ(Q) ∝ T (x, y). exp(i~ki. ~OQ)

où l'on fait apparaître la fonction de transmission T dans le plan Σ de tellesorte que

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Figure 3.9: Géométrie de la di�raction de Fraunho�er. a.: La distance entrele plan Σ et le plan d'observation est assez grande pour que les di�érentsrayons QiP puissent être considérés comme parallèles. b.: L'interpositiond'une lentille donne au plan focal les caractéristiques d'un plan d'observation"à l'in�ni", les rayons émis des points Qi étant tous parallèles par dé�nition.

ψ(~k) ∝∫

ΣT (x, y). exp(−i(~k − ~ki). ~OQ)dxdy (3.9)

Dans la suite on aura sauf spéci�cation contraire ~ki perpendiculaire à Σdonc ψi(Q) = constante sur Σ, αi = βi = 0 et donc 5:

ψ(~k) ∝∫

ΣT (xQ, yQ). exp(−i~k. ~OQ)dxQdyQ (3.10)

Cette formule fondamentale s'énonce de la façon suivante:

L'onde di�ractée dans la direction dé�nie par le vecteur d'onde ~k a uneamplitude donnée à un facteur près par la transformée de Fourier spatiale dela fonction de transmission T .

On reviendra longuement sur ce concept de "Transformée de Fourier" quisera par ailleurs traité en détail dans le cours de maths.

5Dans le cas où l'onde incidente est oblique, l'Eq.3.9 peut se réécrire en fonction desangles α et β sous la forme

ψ(α, β) =

∫

Σ

T (x, y). exp[−ik(α− αi)x + (β − βi)y]dxdy

et on note queψαi,βi(α, β) = ψαi=0,βi=0(α− αi, β − βi)

Cela indique que la �gure de di�raction est identique à celle observée dans le cas où l'ondeincidente est normale, mais se trouve simplement décalée angulairement suivant les anglesd'incidence αi et βi.

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3.4 Di�raction de Fraunho�er par une ouverturerectangulaire éclairée par onde plane en inci-dence normale: l'onde est di�ractée suivant lesangles ±λ/d

On considère donc une ouverture rectangulaire de taille a×b (a,b de l'ordre ded) percée dans un écran opaque éclairée par onde plane en incidence normale(Fig.3.10). L'amplitude de l'onde di�ractée dans la direction dé�nie par lescomposantes kx et ky du vecteur d'onde ~k est donc donnée par

ψ(kx, ky) ∝∫

Σexp(−ikxx− ikyy))dxdy (3.11)

soit

ψ(kx, ky) ∝∫ b/2

−b/2

∫ a/2

−a/2exp(−ikxx− ikyy))dxdy

qui se factorise en deux intégrales indépendantes:

ψ(kx, ky) ∝∫ b/2

−b/2exp(−ikxx)dx×

∫ a/2

−a/2exp(−ikyy)dy

se calculant aisément:

ψ(kx, ky) ∝ 1−ikx

[exp(−ikxb/2)−exp(ikxb/2)]× 1−iky

[exp(−ikya/2)−exp(ikya/2)]

soit:

ψ(kx, ky) ∝ [sin(kxb/2)

kxb/2]× [

sin(kya/2)kya/2

] (3.12)

ou en introduisant les variables u = kya/2 et v = kxb/2:

ψ(kx, ky) ∝ [sin(u)

u]× [

sin(v)v

] (3.13)

Concrètement on s'intéresse à la distribution d'éclairement dans le pland'observation, I(X,Y ) ∝ |ψ(kx, ky)|2, en faisant correspondre les coordon-nées X et Y aux composantes kx (associé à l'angle α = kx/k) et ky (associéà l'angle β = ky/k):

• si l'écran d'observation est à une distance z très grande, alors X = zα,Y = zβ donc kx = kX/z, ky = kY/z

• si l'écran d'observation est dans le plan focal d'une lentille de focale f ,alors X = fα, Y = fβ donc kx = kX/f , ky = kY/f

Dans tous les cas la distribution d'éclairement s'exprime au moyen de lafonction | sin(u)/u|2 représentée sur la Fig.3.11.

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Figure 3.10: Géométrie de la di�raction de Fraunho�er d'une onde planemonochromatique par une fente rectangulaire.

Figure 3.11: Graphe de la fonction | sin(u)/u|2 intervenant dans l'éclairementde la �gure de di�raction par une fente éclairée par une onde plane monochro-matique.

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Figure 3.12: Eclairement observé dans le plan d'observation correspondantà la �gure de di�raction par une fente �ne verticale éclairée par une ondeplane monochromatique. L'échelle horizontale est graduée suivant la variableréduite u reliée à la coordonnée Y = [fλ/(πa)]u (cf texte).

3.4.1 Cas particulier où b →∞Dans ce cas qui correspond à celui d'une fente �ne verticale la fonction| sin(kxb/2)/(kxb/2)|2 n'est non nulle que pour kx ∼ 0: on n'observe alorsd'éclairement que sur l'axe horizontal Y = 0. L'éclairement suivant la direc-tion OX est donné alors par la fonction | sin(u)/u|2 avec u = kya/2.

Cette fonction montre un maximum central égal à 1 pour suivi d'une séried'oscillations s'atténuant de plus en plus (cf Fig.3.12): Le premier maximumsecondaire est obtenu pour u = ±3π/2 et vaut [sin(3π/2)/(3π/2)]2 ∼ 1/20)de telle sorte que la majorité de l'éclairement est concentrée entre les deuxpremiers minima nuls situés de part et d'autre du maximum central pouru = ±π, soit ky = ±2π/a, α = ±2π/(ka) = ±λ/a, Y = ±2πz/(ka) =±zλ/a ou Y = ±2πf/(ka) = ±fλ/a.

3.4.2 Cas général

I(X, Y ) ∝ [sin(u)(u)

]2 × [sin(v)(v)

]2

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Figure 3.13: Figures de di�raction de Fraunho�er observées dans le cas defentes rectangulaires quelconques.

avec u = kya/2, v = kxb/2. La �gure de di�raction à la forme d'une espècede croix/damier. Chacune des branches de la croix rappelle la �gure dedi�raction par des fentes �nes respectivement verticale et horizontale delargeur a ou b. (cf Fig.3.13)

3.4.3 Cas d'une fente large, a, b >> λ

Dans ce cas l'éclairement est concentré en une région de l'espace de taillepetite: l'onde plane incidente n'est que faiblement di�ractée autour de α, β ∼0 et se retrouve focalisée au foyer de la lentille.

Noter que dans tous les cas l'éclairement observé ne ressemble pas dutout à l'ouverture, et que la taille de la partie éclairée varie en raison inversede la taille de l'ouverture

3.5 Di�raction par une ouverture circulaire éclairéepar onde plane en incidence normale: l'onde estdi�ractée suivant les angles ±1, 22λ/d

On considère maintenant une ouverture circulaire de rayon r = d/2. Ce n'estplus aussi simple que le cas de l'ouverture rectangulaire, car on va tombersur des intégrales qui ne s'expriment en fonction d'aucune fonction mathé-matique élémentaire. D'où l'introduction de certaines "fonctions spéciales",les "fonctions de Bessel.

On e�ectue un changement de variables cartésiennes x, y -> polaire ρ, φ,kx, ky -> kθ, Φ adapté à la symétrie du problème (cf Fig.3.14):

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Figure 3.14: Géométrie de la di�raction de Fraunho�er d'une onde planemonochromatique par un trou circulaire.

x = ρ cosφ, y = ρ sinφ

,dxdy = ρdρdφ

kx = kθ cosΦ, ky = kθ sinΦ

avec kθ = k. sin θEn substituant ces expressions dans l'Eq.3.6 on obtient:

ψ(kθ,Φ) ∝∫ r

0

∫ 2π

0exp[−ikθρ cos(φ− Φ)]ρdρdφ

Par symétrie, cette intégrale ne doit pas dépendre de Φ, qu'on peut prendreégal à zéro et ψ ne dépend que de l'angle θ ∼ sin θ = kθ/k que fait le vecteurd'onde avec l'axe Oz:

ψ(kθ) ∝∫ r

0

∫ 2π

0exp[−ikθρ cosφ]ρdρdφ

Dans cette expression on voit apparaître une première intégrale du type:∫ 2π

0exp(it cosφ)dφ

qui est égale à 2πJ0(t), où J0 est la " fonction de Bessel " d'ordre zéro.Il existe toute une famille de "fonctions de Bessel" possédant un tas depropriétés mathématiques, et reliées entre elles par di�érentes relations (cf

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cours de maths, et graphe, cf Fig.3.15. Ainsi la "fonction de Bessel d'ordreun" J1 est reliée à J0 par la relation:

∫ T

0tJ0(t)dt = TJ1(T )

Faisant le changement de variable t = kθρ, et quelques réductions algébriqueson en tire alors que

∫ r

0

∫ 2π

0exp[−ikθρ cosφ]ρdρdφ = 2πr2 J1(kθr)

kθr

de telle que �nalement

ψ(kθ) ∝ J1(kθr)kθr

(3.14)

Comme dans le cas de la di�raction par une fente, l'éclairement dans leplan d'observation est obtenu en faisant correspondre les coordonnées po-laires q,Φ des points de ce plan avec la composante kθ ou l'angle θ auxquelselles sont associées. Par symétrie la distribution de l'éclairement a la symétriede révolution, ne dépendant que de la distance q à l'axe Oz dans le pland'observation, et donc

I(q) ∝ |J1(u)u

|2

où u = kθr

De manière assez similaire à la fonction | sinu/u|2 rencontrée dans le casde la di�raction par une fente, la fonction |J1(u)/u|2 présente un maximumpour u = 0 suivi d'oscillations amorties (cf Fig.3.16), le premier minimumse produit pour u = 3, 832.... soit pour kθ = 3, 83/r, θ = 3, 83/(kr) =0, 61λ/r = 1, 22λ/2r q = 1, 22zλ/2r ou q = 1, 22fλ/2r.

On observe donc dans le plan d'observation une tache circulaire (cf Fig.3.17)portant le nom de "disque d'Airy" la majeure partie de l'éclairement étantconcentrée dans un rayon q0 correspondant au premier anneau noir associéà u = 3, 832..., soit pour kθ = 3, 832/r, ou

θ = 3, 832/(kr) = 0, 61λ/r = 1, 22λ/d

où on a introduit d = 2r diamètre de l'ouverture circulaire

q0 = 1, 22zλ/d

ouq0 = 1, 22fλ/d

dans le cas ou le plan d'observation est le plan focal d'une lentille.Noter que si le "disque d'Airy" est circulaire "par symétrie", il ne faut

pas le confondre avec l'image de l'ouverture circulaire.

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Figure 3.15: Graphes de quelques fonctions de Bessel Ji(u) intervenant dansle calcul de la �gure de di�raction par une fentr circulaire.

Figure 3.16: Graphe de la fonction |J1(u)/u|2 intervenant dans l'éclairementde la �gure de di�raction par un trou éclairé par une onde plane monochro-matique.

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Figure 3.17: Eclairement observé dans le plan d'observation correspondantà la �gure de di�raction par une ouverture circulaire éclairé par une ondeplane monochromatique. L'échelle horizontale est graduée suivant la variableréduite u reliée à la coordonnée q = [fλ/(π2r)]u (cf texte).

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3.6 Synthèse de ces résultatsConclusion : Que ce soit pour une ouverture rectangulaire de côté a oucirculaire de rayon r, on voit que la tache de di�raction a une taille qui vautenviron 2fλ/a dans le premier cas, et 2, 44fλ/d dans le 2ème cas.

Dans tous les deux cas on voit que le faisceau di�racté est dispersé dansun intervalle angulaire de l'ordre de 2λ/d où d est la taille de l'ouverturedi�ractante.

Chaque fois qu'on veut localiser le rayonnement dans une petite régionde l'espace, il en résulte une divergence δθ qui varie inversement proportion-nellement à la taille d de la région de localisation, le produit δθ× d étant del'ordre de la longeur d'onde. On en verra un autre exemple dans le cas desfaisceaux gaussiens qui seront étudiés dans le prochain cours.

3.7 Fonction d'étalement de point et limite de ré-solution des instruments d'optique

3.7.1 Exemple: cas d'un objectif photographiqueUn objectif photographique forme l'image de points objets éloignées situésà une distance D, sur le détecteur situé dans un plan d'observation à unedistance D′. On peut assimiler cet objectif à un système de 2 lentilles et d'undiaphragme circulaire (cf Fig.3.18): la première transforme l'onde sphériqueémise par un point objet en une onde plane, qui subit une di�raction de typeFraunho�er par le diaphragme, l'onde di�ractée étant ensuite focalisée par ladeuxième lentille de focale f dans le plan du détecteur. La situation est trèssemblable dans le cas de l'oeil, où le détecteur est la rétine. Ainsi l'imaged'un point objet n'est pas un point mais un spot dont le pro�l porte le nomde "fonction d'étalement de point" ("point spread function" ou "PSF" enanglais).

La taille de ce spot est ultimement �xée par les phénomènes de di�rac-tion. En pratique il arrive fréquemment qu'elle soit plus grande à cause desaberrations géométriques se produisant avec des optiques imparfaites. Pourun objectif parfait le rayon δ du spot est donné par focale×rayon angulairedu disque d'Airy, soit

δ = f × 1, 22λ

doù d est le diamètre du diaphragme de l'objectif.

Exemple λ =550nm; f =35mm; d =12.5mm (ouverture à f/2,8); Alorsδ =1,9µm

Remarquer bien sûr que si l'on ferme le diaphragme pour une raison ouune autre la taille du spot de di�raction augmente et la dé�nition est moinsbonne.

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Figure 3.18: Fonctionnement schématique d'un objectif d'appareil photo:L'image d'un point se formant dans le plan focal d'observation est un spotrésultant de la di�raction de Fraunho�er à travers le diaphragme circulairede diamètre d.

Exercice: Véri�er si le nombre de pixels annoncés par les constructeursd'appareils photo numériques est bien un critère de qualité.

3.7.2 Critère de RayleighAinsi dans tous les cas, pour tous les systèmes d'imagerie optiques, l'imaged'un point est un spot. Par conséquent 2 points objets seront facilement dis-tinguables ("résolus") si leurs images sont séparées d'une distance supérieureà la taille des spots. La limite de résolution des instruments d'optique estsouvent donnée en suivant le "critère de Rayleigh": deux points objets serontréputés distinguables si les centres des spots-images sont séparés d'une dis-tance au moins égale au "rayon" de chacun des spots (pour système limitépar di�raction on prend pour "rayon" le rayon du premier anneau noir) (cfFig.3.19).

3.7.3 Exemple: MicroscopeOn considère un objectif de microscope dont la "pupille" a un diamètre d, etdont on observe les images au moyen d'une "lentille de tube" de focale f ′ (cfFig.3.20). La di�raction forme un spot image de rayon 1, 22f ′λ/d. Suivantle critère de Rayleigh deux points objets espacés de δ seront séparés si leursimages sont espacées de δ′ > 1, 22f ′λ/d.

δ′ est relié à la distance δ entre les points objets (espace objet) via la

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Figure 3.19: Critère de Rayleigh et limite de séparation de deux objets.

"relation d'Abbe" (ou "condition des sinus") (cf Perez �3-II)

nδ sin θ = n′δ′ sin θ′

où θ et θ′ sont les angles que fait avec l'axe optique un rayon issus du pointobjet et où n et n′ sont respectivement les indices des milieux dans lesquelsse trouvent la préparation observée (espace objet) et le détecteur (espaceimage). En général n′ = 1. Par contre on utilise parfois des "objectifs àimmersion" où la préparation est immergée dans un milieu d'indice n oùbaigne l'objectif.

Pour le rayon passant juste au bord de la pupille l'angle θ′ vaut θ′0 = d/2f ′

auquel est associé un certain angle θ = θ0 dans l'espace objet.Les images seront donc séparées si

δ >1

n sin θ0

d

2f ′

soitδmin =

1, 22f ′λd

= 0, 61λ

n sin θ0

La quantité n sin θ0 porte le nom d'"ouverture numérique" de l'objectif,dont c'est une caractéristique �xée par le constructeur. Plus cette ouverturenumérique est grande, plus l'image sera lumineuse, car l'objectif capte unegrande partie de la lumière émise par l'objet. Et plus petit sera δmin doncplus grand sera le "pouvoir séparateur".

D'où l'intérêt des "objectifs à immersion" prévus pour baigner dansun milieu d'indice n > 1, permettant d'avoir une ouverture numériquesupérieure.

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Figure 3.20: Fonctionnement schématique d'un microscope: L'image d'unpoint se formant dans le plan focal d'observation est un spot résultant de ladi�raction de Fraunho�er à travers le diaphragme circulaire de diamètre d.

Exemples

Objectif à sec ouverture numérique = 0,6 θ0 = sin−1(0, 6) = 37o

λ =550nm; δmin = 0, 56µm.

Objectif à immersion dans huile n = 1, 5ouverture numérique = 1,4 θ0 = sin−1(1, 4/1, 5) = 69o

λ =550nm; δmin = 0, 24µm.

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