PHS3104 - Mécanique quantique II - Polytechnique Montréal

Département de génie physique École Polytechnique de Montréal

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PHS3104 - Mécanique quantique II

Devoir #6 – Automne 2013

(à remettre le 2 décembre au début du cours)

6.1 Transitions électroniques

La théorie des perturbations dépendantes du temps nous a permis de calculer un taux

d’émission spontané (transitions par seconde) donné par l’expression

23

0

3

03

f q iA

c

r.

On admet que la durée de vie de l’état 210 d’un atome d’H est déterminée par la transition

spontanée 210 100 .

a) Calculer la durée de vie de l’état 210 (la valeur de 0 peut être trouvée dans une

référence de votre choix – indiquer la référence – ou elle peut être calculée…),

b) Déterminer l’expression du taux de transition dans l’approximation dipolaire électrique

pour un champ électrique polarisé circulairement 0 0 0ˆ ˆcos sinE t t E x y (la seule

valeur inconnue dans l’expression sera E0).

Solution 6.1

a) Le temps de vie de l’état est donné par

En se référant aux tableaux 4.3 et 4.7 de Griffiths, les états impliqués dans la transition , s’expriment par

et

(on néglige ici les états de spin puisqu’ils n’interviennent pas dans le problème)

Devoir 6 – PHS3104 – Automne 2013

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Afin de calculer le taux d’émission spontané, et donc le temps de vie de l’état , le calcul du terme

en coordonnées sphériques mène à

Calcul de

où nous posons

Calcul de

Calcul de

où , correspond à la fonction gamma

. Ainsi, nous

trouvons

La fréquence associée à la transition correspond, quant à elle, à



Les énergies respectives des états sont

de sorte que

Le calcul du temps de vie de l’état est donc

b) Le taux de probabilité de transition entre les états et se définit comme

où , la probabilité de transition de à , est

avec

tel que , correspond à l’élément de matrice de l’Hamiltonien de perturbation pour la

transition considéré.

En classe nous avons surtout traité la polarisation linéaire. La démarche pour calculer la probabilité de

transition, et donc le taux de probabilité, se généralise pour une polarisation arbitraire en considérant une

perturbation harmonique de la forme générale

avec un vecteur unitaire. Dans ces conditions, la probabilité de transition s’exprime alors comme

avec



En considérant que les états impliqués dans le calcul de l’élément de matrice sont indépendants du temps,

nous avons

Par définition du sinus cardinal,

nous obtenons

La probabilité de transition, généralisée pour une perturbation de la forme , est ainsi

En considérant à présent l’Hamiltonien de perturbation dû au champ électrique

avec , nous exprimons

de sorte que

avec,

et

.



En exprimant les coordonnées spatiale en coordonées sphériques

nous trouvons la probabilité de transition

Le calcul des éléments de matrice est

et

Nous trouvons une probabilité de transition , et donc, un taux de probabilité de transition

.

Ce résultat implique que la transition , par émission stimulée à partir d’un champ

électrique polarisé circulairement, n’est pas permise.



6.2 Structure hyperfine du niveau fondamental de l’atome d’hydrogène

On reprend l’exemple du clivage hyperfin du niveau fondamental de l’atome d’hydrogène.

Dans l’espace non perturbé des 4 états de spin, on ajoute à la perturbation du couplage

hyperfin (traitée en classe), donnée par

6ˆ ˆ ˆ 5.88 10 eV4

e p

hf

AH A σ σ ,

la perturbation due à un faible champ magnétique

0

ˆ e

B B zH B .

On néglige ici l’effet du champ sur le spin du proton, dont le moment magnétique est

d’environ 1836 fois plus petit que celui de l’électron.

a) Déterminer la matrice 4x4 du Hamiltonien perturbatif ;

b) Déterminer l’expression du clivage des niveaux d’énergie (corrections au premier ordre

de l’énergie du niveau fondamental) et les nouveaux états propres du système en

présence du Hamiltonien perturbatif.

On admet que le système est initialement préparé dans l’état de plus faible énergie. On le

soumet au champ magnétique alternatif (perturbation) ˆ ˆcos sinB x yH t B t t ,

pendant un intervalle de temps T. On admet aussi que le champ statique B0 est de 1 Tesla :

c) Déterminer la fréquence du champ alternatif pour maximiser la probabilité de transition

entre l’état fondamental et le premier niveau excité,

d) Déterminer l’expression de la probabilité de transition à l’aide de la méthode des

perturbations dépendantes du temps (pour la fréquence trouvée en c),

e) Énoncer les conditions sur l’intervalle T pour que la méthode des perturbations

dépendantes du temps soit applicable.

Solution 6.2

a) L’Hamiltonien perturbatif du système s’exprime comme

avec la perturbation hyperfine et , celle du champ appliqué.

L’Hamiltonien hyperfin correspond à



et l’Hamiltonien du champ appliqué, dans l’approximation que seul l’état de l’électron est perturbé,

L’expression de l’Hamiltonien de perturbation total est donc

avec,

et .

b) La diagonalisation de la matrice de perturbation complète est équivalente à résoudre le système de

façon exacte. En d’autres termes, incluant l’Hamiltonien non perturbé, nous avons l’Hamiltonien

total

dont la diagonalisation correspond à la résolution du système

La diagonalisation est donc équivalente à chercher les valeurs propres de l’Hamiltonien de

perturbation. Nous trouvons ainsi les corrections à l’énergie non perturbée

avec,

et .

Les états propres de l’Hamiltonien sont ensuite obtenus en résolvant

tel que, dans la base de l’Hamiltonien non-perturbé,



Les états propres des niveaux d’énergie et (déjà diagonaux) sont obtenus directement par

inspection

Ainsi, nous trouvons l’état propre de

et l’état propre de

Pour les états et , nous retrouvons le système aux valeurs propres

tel que est la valeur propre de l’état propre et ,

celle de l’état propre .

Puisque les états et sont déjà des états propres de l’Hamiltonien de perturbation, nous

pouvons conclure que les états propres des niveaux et sont, soit exactement ou soit une

superposition, des états et . Ainsi, nous posons . Dans ces conditions, le système

obtenu se réduit à



De plus, par la condition de normalisation, , nous pouvons considérer qu’une seule des

deux équations, soit

Nous trouvons ainsi que

En posant , nous exprimons

ou encore,

En utilisant la condition de normalisation

Les états propres de et sont donc respectivement

Solution perturbative telle que discutée en classe :

Considérons un champ magnétique faible, ce qui correspond à K << J. À partir de l’expansion de Taylor des

solutions exactes trouvées plus haut, nous aurons

où

et .



À champ nul (K = 0), on retrouve bien la solution du clivage hyperfin, soit un triplet à +J = A/4 et un

singulet à -3J = -3A/4, tel que travaillé en classe. De même, sin = 0 et cos = 1 et on retrouve la base

À partir de cette base propre pour l’Hamiltonien hyperfin, que nous désignrons par base « hyperfine », nous

allons traiter l’effet du champ magnétique comme une perturbation. Écrivons d’abord l’Hamiltonien de la

perturbation dans la nouvelle base propre.

À partir du Hamiltonien dans la base non perturbé du début,

on trouve les éléments de matrice dans la base hyperfine :

,

tous les autres éléments étant nuls.

L’Hamiltonien total s’écrit donc, dans la base « hyperfine », comme une somme d’un terme non perturbé et

d’un terme perturbé par le champ B :

On obtient donc les corrections, au premier ordre (termes diagonaux de la perturbation) pour les niveaux et :

,

,

et au deuxième ordre pour les niveaux et :

,

,

ce qui correspond bien aux résultats obtenus par l’expansion de Taylor de la solution exacte, ci-dessus.



Note : Si on avait voulu appliquer à la lettre la théorie des perturbations pour le cas dégénéré, il aurait

d’abord fallu diagonaliser le sous espace dégénéré associé au triplet, sous-espace généré par la base . Le problème revient à diagonaliser une sous-matrice 3x3 de la matrice de perturbation. En

réorganisant l’équation

sous la forme

on ramène le problème sous une forme semblable (sous matrice 3x3 dégénérée correspondant aux éléments

1,2,3 de la matrice 4x4) à celle vue en classe lorsqu’on a présenter la théorie des perturbations - cas

dégénéré. Or cette sous matrice est déjà diagonale, donc ses éléments diagonaux, –K, 0 et K, sont les

corrections au premier ordre et les états propres demeurent inchangés : . On procéderait par la

suite à l’application de la méthode pour le cas non dégénéré, ce qu’on a fait à la page précédente….

c) La transition entre l’état fondamental et le premier niveau excité correspond à la transition .

En posant T, le niveau fondamental est

et le niveau premier niveau excité est

La fréquence maximisant la probabilité de transition correspond à la fréquence exacte de transition

entre les niveaux

d) Considérons l’Hamiltonien de perturbation,

En reprenant le formalisme développé au problème 6.1 b), nous exprimons l’Hamiltonien comme



de sorte que la probabilité de transition entre l’état et l’état est

avec

En exprimant les matrices de Pauli en notation , et en rappelant les états et

et

avec

et

tel que

, nous avons

et

Ainsi, nous obtenons

La probabilité de transition est donc



avec

tel que

, et la durée pour laquelle la perturbation est

appliquée. Ce terme est très faible puisqu’il s’agit de la partie non résonante de la perturbation.

On voit que la partie résonante, associée à

, s’annule, ce qui reflète que la

transition est interdite. Dans le traitement simplifié présenté en classe, on néglige la partie anti-

résonante et on aurait obtenu zéro.

e) Il y a deux conditions à respecter : d’une part, la durée de la perturbation doit être suffisamment

longue pour que l’onde monochromatique ressemble à une onde monochromatique (principe

d’incertitude), d’autre part, elle doit être suffisamment courte pour rester dans la limite d’un calcul

perturbatif. Ces conditions s’énoncent

.

Comme la probabilité de transition est petite, le terme de droite peut être très grand…

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