Physique et Ingénierie Mécanique du point et du solide – Cours · 2020. 12. 9. · Physique et Ingénierie Mécanique du point et du solide – Cours – Année 2020 – 2021

UE 4TPM102U

L1 MISIPCG

Physique et Ingénierie

Mécanique du point et du solide

– Cours –

Année 2020 – 2021 Resp. : A. Meziane – S. Villain-Guillot

Table des matières

Première partie – Mécanique du point 1 Cinématique du point : études de trajectoires

1.1 Vecteur position et trajectoire ................................................................................. 1 1.2 Le repère cartésien ................................................................................................ 2 1.3 Le vecteur vitesse instantanée ............................................................................... 4 1.4 Le vecteur accélération .......................................................................................... 5 1.5 Mouvement circulaire ............................................................................................. 6 1.6 Annexe 1: approche numérique de la cinématique (Hors-programme).................. 8 1.7 Annexe 2 : l’abscisse curviligne (Hors-programme) ............................................... 9

2 Dynamique I : les lois de Newton – des forces aux trajectoires 2.1 Les lois de Newton ............................................................................................... 10 2.2 L’invariance galiléenne ......................................................................................... 11 2.3 La dynamique en référentiels galiléens : étude des forces et des trajectoires ..... 13 2.4 Forces usuelles en mécanique ............................................................................. 14 2.5 Annexe 1 : La Poussée d’Archimède (Hors-programme) ..................................... 26 2.6 Annexe 2 : Force de frottement fluide (Hors-programme) .................................... 26

3 Dynamique II : les lois de conservation - bilan d'énergies 3.1 Energie cinétique, théorème de l’énergie cinétique ............................................. 29 3.2 Mouvement le long d’un axe et force constante : calcul du travail. ...................... 30 3.3 Forces conservatives. .......................................................................................... 32 3.4 Energie potentielle ................................................................................................ 36 3.5 Energie mécanique ............................................................................................. 37

Deuxième partie – Mécanique du solide

4 De la mécanique du point à la mécanique du solide ................................................... 39 5 Cinématique de la rotation

5.1 Translation vs rotation .......................................................................................... 41 5.2 Mouvement de translation pure ............................................................................ 42 5.3 Mouvement de rotation pure ................................................................................ 42 5.4 Relation entre le vecteur vitesse et le vecteur vitesse angulaire .......................... 48 5.5 Rotation autour d’un axe de direction fixe : exemple du roulement ..................... 51

6 Moment d’une force 6.1 Introduction de la notion de moment d’une force ................................................. 56 6.2 Exemples simples ................................................................................................ 58 6.3 Définition vectorielle du moment d’une force ....................................................... 59 6.4 Notion de couple .................................................................................................. 60

7 Centre de masse d’un solide 7.1 Pourquoi s’intéresser au centre de masse ? ........................................................ 62 7.2 Centre de masse de deux masses ponctuelles rigidement liées ......................... 63 7.3 Généralisation à un solide constitué d’un grand nombre de particules ................ 64

8 Statique des solides 8.1 Principe fondamental de la statique ..................................................................... 66 8.2 Méthode de résolution d’un problème de statique de solides .............................. 67 8.3 Exemple 1 – La balance ....................................................................................... 67 8.4 Exemple 2 – Equilibre d’une échelle .................................................................... 68

9 Bibliographie ................................................................................................................ 70

Première partie : Mécanique du point

1 Cinématique du point : études de trajectoires


kinêma, en grec κίνημα, désigne le mouvement. L’objet de la cinématique du point est

d’étudier le mouvement d’un point matériel au cours du temps, indépendamment des causes

qui produisent ce mouvement. Elle cherche à déterminer à partir des équations horaires1 du

mouvement d’un point sa trajectoire ainsi que ses vecteurs vitesse et accélération le long de

celle-ci.

L’étude du mouvement d’un corps implique un point d’observation, ou un référentiel. Par

exemple, un voyageur assis à bord d’un train est immobile par rapport au référentiel lié au

train ; au contraire d’une personne assise sur le quai qui voit passer le train, et donc le

voyageur, avec une vitesse finie dans le référentiel lié à la gare. Souvent il existe un choix

naturel pour le référentiel : la trajectoire d’une balle sera étudiée dans le référentiel lié à la

surface de la terre, le mouvement des planètes dans celui lié au soleil.

Les objectifs principaux de ce premier chapitre sont ainsi de décrire la position d’un point

matériel dans un repère d’espace, en particulier dans un repère cartésien, et de déterminer

sa trajectoire et ses vecteurs vitesse et accélération.

1.1 Vecteur position et trajectoire

La position d’un point matériel M à un instant t est

donnée par rapport à un point , appelé origine.

Le sens, la direction et la longueur (ou norme) du

bi-point (OM) définit le vecteur position ou

rayon vecteur . Ce rayon vecteur

peut aussi s’écrire : .

C’est le produit d’un scalaire par un vecteur : le scalaire , longueur ou norme de

, par le vecteur direction défini par :

.

Le vecteur ainsi défini est un vecteur de longueur unité qui a la même direction et

le même sens que le rayon vecteur .

Longueur et direction de peuvent évoluer continument en fonction du temps.

L’ensemble des points aux différents instants définit la trajectoire. C’est la courbe

continue, en un seul morceau, dessinée au cours du temps par l’extrémité du vecteur

position . Un point matériel ne peut « sauter » d’une partie de la trajectoire à une autre

: avant de passer par le point , il doit nécessairement être sur la trajectoire à un instant

proche de , par exemple à l’instant - ∆ en prenant ∆ suffisamment petit.

1 Équation horaire du mouvement : ou en coordonnées cartésiennes , , .


Nous sommes libres de choisir n’importe quel point comme origine. Le passage à une

description à partir d’un autre point origine ’ se fait en utilisant la relation de Chasles :

′

La forme de la trajectoire ne dépend pas du choix de l’origine si est un vecteur

constant.

1.2 Le repère cartésien

Un repère dans l’espace tridimensionnel est défini par une origine et trois vecteurs, dit

vecteurs de base. Un repère cartésien (Figure 2) est associé à une base fixe, indépendante

du temps, constituée de trois vecteurs orthonormés : ils sont de norme unité et orthogonaux

deux à deux. Ils définissent par leurs directions fixes les axes de référence cartésiens ,

et .

Le vecteur position d’un point à l’instant dans le repère , , , s’écrit

alors :

, où , et sont les coordonnées ou

composantes cartésiennes de dans le repère

, , , . Cela revient à dire que pour aller du point

au point , il faut marcher sur une distance dans la

direction , une distance dans la direction et une

distance dans la direction .

En notation matricielle (ou colonne) :

Ces coordonnées peuvent dépendre du temps.

Le produit scalaire de deux vecteurs et est défini par : . cos ,

Les vecteurs de la base cartésienne satisfont alors . 1, . . 0, relations

que l’on résume par ⋅ , où la fonction delta de Kronecker est définie par

1 et 0 .

Les coordonnées du point M sont obtenues par la projection du vecteur position sur les

trois vecteurs orthonormés de la base cartésienne , et , en utilisant le produit scalaire :

.

Ou bien, en notant , l’angle entre et , et en se souvenant que par

construction ‖ ‖ 1, ce produit scalaire s’écrit :

cos ,

Figure 2 : repère cartésien

en 3 dimensions


, ou en coordonnées cartésiennes , , , définit les équations

horaires du mouvement. Une conséquence de la continuité d’une trajectoire est que toutes

les composantes seront des fonctions continues : pour aller de à ,

on passera nécessairement par tous les points ∈ , à un certain instant ∈ , .

Comme une coordonnée est obtenue par le résultat du produit scalaire de

avec le vecteur de base et puisque ⋅ , le produit scalaire entre deux vecteurs

et

peut s'exprimer à l'aide de leurs composantes cartésienne par la relation :

.

On peut définir la norme de , c’est à-dire la distance à l’instant t du point M à

l’origine :

.

Notons l’angle , . En remarquant que , , cette définition donne

bien pour un mouvement à deux dimensions dans le plan (xOy) :

cos cos2

cos sin

Alors que les coordonnées , , sont des composantes algébriques, positives ou

négatives, la norme d’un vecteur est la racine carrée du produit scalaire de ce vecteur avec

lui-même : c’est une quantité positive et définie (i.e. qui est nulle si et seulement si 0 ,

soit confondu avec ).

Le vecteur ainsi qu’un produit scalaire, comme par exemple . , sont

indépendant du choix du repère, bien qu’individuellement, les composantes ne le soient pas.

La notation vectorielle, outre sa concision, permet d’exprimer les lois de la Physique

indépendamment des repères ou systèmes de coordonnées. Elle permet aussi d’exprimer

simplement l’invariance des lois de la Physique par rapport aux translations et aux rotations,

soit des repères, soit des expériences elles-mêmes (invariances par symétries).

Exemple 1-1. Exemples de calculs de produits scalaires

1- Calculons le produit scalaire entre deux vecteurs colinéaires et

A. B ab qui est négatif si A et B sont orienté en sens opposés.

2- Si cos sin et cos sin , alors

.

3- Faisons tourner de :

cos sin = sin cos

Alors . cos sin sin cos 0 donc et sont bien orthogonaux.


1.3 Le vecteur vitesse instantanée

La vitesse instantanée de à l’instant dans le référentiel est un vecteur ; c’est la

dérivée temporelle du vecteur position :

, ,

c’est-à-dire : , lim → lim →∆ lim →

La figure ci-contre montre le vecteur position aux temps et et la trajectoire ;

pendant l’intervalle , le point se déplace de

Δ Δ , ∆ .

Pendant , parcourt donc la distance

∆ ∆ ‖ , ‖∆

Pour un intervalle de temps ∆ quelconque mais fini, ∆

définit la vitesse moyenne sur

une fenêtre temporelle ∆ . Lorsque ∆ → 0, le déplacement est dit infinitésimal et

lim∆ → ∆, . Le vecteur vitesse , est donc le déplacement instantané de

par unité de temps. C’est la vitesse locale instantanée, ou vitesse moyenne calculée sur un intervalle de temps très court.

Le déplacement infinitésimal Δ est alors porté par la tangente à la trajectoire au point

. C’est donc cette direction du déplacement infinitésimal qui sera aussi la direction du

vecteur vitesse. Cette direction est donnée par le vecteur tangent , vecteur de norme unité

défini par :

∆

∆

,‖ , ‖

La vitesse peut être obtenue à partir de la décomposition de dans le repère

, , , : . Les trois vecteurs de base du repère

cartésien , , , étant indépendant du temps, on a :

, .

En coordonnées cartésiennes, les composantes du vecteur2 vitesse sont donc les

dérivées des composantes du vecteur position.

La dérivée temporelle d’une fonction g(t) est indiquée par un point : ⁄ . Ainsi :

, ,

2 Notons que dans cette expression, la vitesse est un bi-point qui a pour origine le point .

Or sur le dessin, la vitesse est le vecteur représenté par une flèche épaisse qui a pour origine le point .

Un vecteur, tel que , représente donc plusieurs bi-points équivalents, ou une famille de bi-points équivalents.


ou en notation colonne ou matricielle : , .

Le déplacement élémentaire est Δ Δt Δ Δ Δ . Cela revient à dire

que pour aller du point au point Δt , il faut marcher sur une distance Δ dans la direction , une distance Δ dans la direction et une distance Δ dans la direction .

La direction du vecteur , est donnée par le vecteur tangent défini par :

,‖ , ‖

⁄

⁄

⁄

Les composantes du vecteur vitesse sont des fonctions continues du temps. Nous

verrons en effet que l’on ne peut pas faire varier instantanément ni la norme de la vitesse, ni

sa direction (sauf éventuellement lors d’une explosion ou lors d’une collision avec un objet

de masse infini, comme un mur).

1.4 Le vecteur accélération

L’accélération , d’un point dans le référentiel à l’instant est la dérivée

temporelle du vecteur vitesse , | :

, ,

En coordonnées cartésiennes le repère , , , , les trois vecteurs de base étant

fixes, on obtient directement : , .

ou en notation colonne ou matricielle, ,

Son origine est en (cf note 2). Le vecteur accélération est toujours dirigée vers l’intérieur de la trajectoire.

L’accélération ne correspond pas uniquement à une « augmentation » de la vitesse mais

à un changement du vecteur vitesse : de sa norme et/ou de sa direction.

Une valeur positive du produit scalaire . , donc de . ou de la projection de

l’accélération sur la vitesse, va bien correspondre à une augmentation de la norme de la

vitesse ‖ ‖. En effet3 :

3 On rappelle la dérivée d’une fonction composé :

= ′ ′ où = ′

Ici, il s’agit de la dérivée de la fonction composée : = où = = .

que l’on peut aussi noter , , . La dérivée de la norme carrée de la vitesse s’écrit donc


. 2 . 2 . 2‖ ‖ ‖ ‖cos ,

(i)

Ainsi, si . 0, alors est croissant et le mouvement est dit accéléré.

Au contraire, une valeur négative . de traduit un ralentissement du

mouvement ou décélération.

Nous allons voir dans le chapitre suivant que l’autre composante de l’accélération,

perpendiculaire à et , et donc appelée accélération normale, correspond au changement

de direction du vecteur vitesse .

1.5 M ouvement circulaire

Si un point matériel M se déplace sur un cercle de rayon dont le centre est choisi comme origine du repère cartésien et la base est choisie de sorte que le mouvement soit dans le plan , la position de est alors donnée par :

cos sin .

On vérifie que . . Le vecteur vitesse est alors donnée par

sin cos (cf dérivée d’une fonction composé3)

La norme de ce vecteur est ‖ ‖ | | et sa direction définit la tangente à la

trajectoire : /| | sin cos

On vérifie que . 0 : la vitesse dans le cas d’un mouvement circulaire est

perpendiculaire à (sa direction, tangente au cercle, est bien perpendiculaire au rayon).

On appelle vitesse angulaire le rapport entre la norme de la vitesse | | et la

norme du rayon vecteur . La vitesse angulaire sera positive si le mouvement de

rotation est dans le sens trigonométrique.

1.5.1 Mouvement circulaire uniforme et accélération normale

Si cette vitesse angulaire est constante, on définit la pulsation : .

La période du mouvement est donnée par et sa fréquence par .

La vitesse s’écrit alors = sin cos , de norme constante . L’accélération est alors donnée par

cos sin

Le vecteur accélération a pour norme ‖ ‖ .

Cette accélération est dite centripète (elle est dirigée vers le centre du cercle); elle est dans la direction

dite normale, c'est à dire orthogonale à la tangente.

,

ce qui donne =2 2 . = 2 .


Comme . . 0, d’après la relation (i) du chapitre 1.4, 0.

Ce mouvement norme de la vitesse est constante.

Le vecteur accélération normale correspond au changement de direction du vecteur vitesse,

là où l’accélération tangentielle correspondait au changement de la norme de la vitesse.

1.5.2 Mouvement circulaire : accélération normale et tangentielle

Dans le cas d’une vitesse angulaire quelconque, l’accélération est alors donnée par3

sin cos cos sin

La première partie correspond à l’accélération tangentielle . et caractérise le

changement de la norme de la vitesse : ‖ ‖

. Une valeur positive, 0,

correspond à . 0 , donc à une augmentation de la norme de la vitesse ‖ ‖, tandis que 0 indique un ralentissement du mouvement : . 0. Dans le cas d’un mouvement à vitesse uniforme : 0 (lorsqu’un conducteur de voiture a enclenché le régulateur de vitesse)

La deuxième partie est la composante normale de l’accélération qui n’influe pas sur la norme (t)=‖ ‖, mais caractérise la variation de la direction du vecteur vitesse (et donc de ) Cette composante est nulle dans le cas d’un mouvement rectiligne. Sinon elle est orientée

selon la direction cos sin , perpendiculaire à , et elle est reliée au

rayon du cercle par la relation / , ou encore / (relation qui définit le rayon de courbure de la trajectoire)

‖ ‖

Si l’accélération tangentielle est la conséquence de l’action d’un conducteur sur les pédales ou les freins, l’accélération normale / correspondra à son action sur le volant : elle sera plus importante si le virage est « serré » ou si la vitesse y est élevée.


(t+Δt)

M(t)(t‐Δt)

1.6 Annexe 1: approche numérique de la cinématique (Hors-programme)

De même que pour une photo, une image est nécessairement découpée en pixels ou

grains élémentaires, de même une trajectoire continue sera discrétisée lors de son

enregistrement. Les positions successives d’un point matériel seront alors données par une

série de coordonnées , , , pour une suite croissante d’instants . Généralement, ∆ où ∆ est le pas de temps. 1/∆ est alors la fréquence

d’échantillonnage. A partir de cet échantillonnage du mouvement, il est possible, pour tous les instants de calculer numériquement de manière approchée la composante de la vitesse

selon à l’aide de l’équation aux différences finies (i) :

,∆ ∆

∆

Notez que cette définition est symétrique par rapport à .

En effet, si on approxime localement la loi horaire pour la

coordonnée par sa tangente en , son coefficient directeur

sera et son équation sera t t , alors :

∆ ∆ et ∆ ∆ .

La différence entre ces deux relations donne alors

∆ ∆ 2 ∆ 2∆

D’un point de vue géométrique, la tangente à la trajectoire en est approximée par la

corde reliant et , donc par la tangente moyenne sur l’intervalle [ , ]

de centre . Cette approximation sera d’autant plus proche de la définition de la vitesse

instantanée (chapitre 1.3) que le pas de temps ∆ sera petit.

Ces formules pour les vitesses correspondent toujours à des vitesses moyennes locales,

calculées pendant des intervalles de temps 2∆ (ou ∓∆ lorsque

0 ou ). Elles sont bien équivalentes à la définition de la vitesse lorsque et

tendent vers t (donc lorsque ∆ tend vers zéro).

Notons que, par cette procédure symétrique, la vitesse ne peut pas être calculée pour

le premier et le dernier point de l’échantillonnage. Pour ces deux points, on prendra donc la

formule approchée (non symétrique par rapport à )

, ∆

∆ et ,

∆

∆ (ii)

Remarquons que pour ces extrémités

, et

, .

Ces formules sont donc symétriques par rapport à = ∆ et non plus par rapport à


1.7 Annexe 2 : l’abscisse curviligne (Hors-programme)

L’abscisse curviligne mesure la longueur du chemin parcouru par le point

jusqu’au temps . C’est la distance mesurée le long de la trajectoire, par exemple à l’aide

d’un lacet posé le long de cette trajectoire dont on mesure ensuite la longueur en l’allongeant

le long d’une règle. L’abscisse curviligne permet de définir une coordonnée intrinsèque selon

la trajectoire, indépendamment du choix d’un repère.

Dans le cas particulier d’un mouvement uniforme, la longueur du chemin parcouru par

vaut ∆ ‖ ‖ car la norme de la vitesse est constante. Dans le cas d’un

mouvement quelconque, ∆ où est la vitesse moyenne de le long de la

trajectoire. Celle-ci s’obtient en calculant la moyenne des normes des vitesses au cours

du temps : 1∆

′ ,

où est la norme de la vitesse instantanée : et où ∆ .

La longueur du chemin parcouru par vaut donc :

∆ ′. Cette longueur correspond à la variation d’abscisse curviligne entre et . Cette

coordonnée intrinsèque est donc définie comme la primitive, ou l’intégrale de la norme de la

vitesse instantanée :

′ de sorte que .

Réciproquement, la norme de la vitesse instantanée est donnée par la dérivée de :

= . Donc l’abscisse curviligne est donc aussi définie par une équation

différentielle :

.

Notez que la norme de la vitesse et l’abscisse curviligne sont des quantités

positives. Notez aussi que est une expression vectorielle

alors que est une expression scalaire.

10 Dynamique : les lois de Newton – des forces aux trajectoires


Du grec δυναμικός, dynamikos, qui signifie « puissant » ou « efficace ».

Ce chapitre présente les trois lois de la dynamique formulées par Isaac Newton en 1687. Nous

les utiliserons ensuite pour traiter quelques exemples de forces physiques pour calculer les

trajectoires qui en résultent, notamment dans le cas de la loi de la gravitation universelle, due elle

aussi à Newton, et dans sa version force de pesanteur, avec ou sans frottements.

Définition de la quantité de mouvement (appelée aussi parfois impulsion) d’un point matériel

de masse inerte :

2.1 Les lois de Newton

2.1.1 Première loi de Newton : le principe de l’inertie

Si aucune force n’agit sur un point matériel dans le référentiel , il reste au repos ou garde la

même vitesse sur une trajectoire rectiligne dans . C’est-à-dire que son accélération est nulle :

0 ⟺ 0

Cette loi est initialement due à Galilée4 (1564-1642) et Descartes (1596-1650).

Elle peut s’exprimer par la conservation de la quantité de mouvement : si la force qui

s’exerce sur un point matériel est nulle, la quantité de mouvement de ce point matériel est

constante dans le temps et son mouvement est rectiligne uniforme.

2.1.2 Seconde loi de Newton : le principe fondamental de la dynamique

La force totale appliquée sur le point matériel est égale au produit de l’accélération par la

masse (ou encore est égale à la dérivée temporelle de la quantité de mouvement) :

Le principe d’inertie est un cas particulier du principe fondamental de la dynamique lorsque la

force est nulle. Si une force extérieure n’est pas requise pour entretenir un mouvement, elle est

nécessaire pour le modifier, notamment pour mettre en mouvement un corps initialement au repos.

L’effet d’une force n’est pas uniquement d’augmenter la vitesse d’un corps, mais de modifier le

4 En énonçant le principe d’inertie, Galilée a marqué une rupture épistémologique importante dans l’histoire des

sciences (et des techniques). Avant lui, on pensait, suivant les idées d’Aristote, que pour qu’un corps soit en mouvement, il fallait nécessairement qu’il y ait une force qui entretienne ce mouvement. Galilée a montré que (dans le cas idéal, en l’absence de frottement, de dissipation) ce n’était pas le cas. De même, on pensait que le mouvement « naturel » était le mouvement circulaire (celui des astres célestes) ; Galilée et Descartes ont montré que le mouvement « naturel » était le mouvement rectiligne et uniforme (Dialogue sur les deux grands systèmes du monde (1632), repris et commenté dans Galilée, Newton lus par Einstein : espace et relativité, Françoise Balibar, PUF). Mais devant la condamnation pontificale de Galilée en 1633, Descartes s’est abstenu de publier ses thèses.


vecteur vitesse : sa direction aussi bien que sa norme5. Pour le sortir non pas de l’état de repos,

mais pour le sortir (ou le dévier) du mouvement naturel : le mouvement rectiligne uniforme.

Plutôt que la vitesse, l’action d’une force modifie plus précisément la quantité de mouvement :

si la masse inerte du point matériel est plus importante, il faut appliquer une force plus

importante pour avoir le même effet sur la vitesse et donc sur la trajectoire.

2.1.3 Troisième loi de Newton : le principe de l’action et de la réaction

Quand deux points matériels et interagissent, la force → exercée par sur est

égale en norme et opposée en direction à la force → exercée par sur :

→ →

Ainsi, si la Terre exerce une attraction gravitationnelle sur la Lune, celle-ci exerce une attraction

gravitationnelle sur la Terre, qui se traduit par les marées océaniques.

2.2 L’invariance galiléenne

2.2.1 Lois de Newton et changement de repère : les référentiels galiléens

Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel le principe d’inertie, ou la première loi de

Newton, est vérifié. La deuxième loi de Newton n’est valable que dans un référentiel galiléen. Considérons un point matériel de masse , de vitesse dans un référentiel galiléen , et

soumis à une force . Nous savons que l’équation du mouvement de est obtenue à partir de la

seconde loi de Newton : . Considérons maintenant un second référentiel , dans

lequel le point a une vitesse .

A quelle condition le référentiel est-il galiléen ?

Ecrivons que si le référentiel est galiléen pour , alors

cela signifie que nous pouvons écrire la seconde loi de

Newton pour la variation de la vitesse par rapport à :

.

En égalant les deux expressions, nous obtenons une

condition sur les vitesses :

, soit

5 Nous avons vu au chapitre précédent qu’une trajectoire était continue par rapport au temps. Le principe fondamental

de la dynamique implique que la vitesse est elle aussi une fonction continue (et donc que l’hodographe sera une courbe continue), sauf dans le cas de choc ou d’explosion (cas où la force peut alors être considérée de norme ou d’intensité « infinie »)

O x

y

R

O1

y1

x1

O1

O1

y1

x1

O1

y1

x1

R1 à t=0

R1 à t=T

R1 à t=2T


Cela signifie qu’à chaque instant au cours du mouvement l’accélération de par rapport

à est égale à l’accélération du même point matériel par rapport à . Donc

l’accélération relative entre les deux référentiels est nulle.

La seule manière de satisfaire cette équation à chaque instant est d’imposer que le référentiel

soit en translation rectiligne uniforme par rapport à , c’est-à-dire que l’origine du référentiel

soit en translation rectiligne uniforme par rapport à (déplacement à vitesse constante, aussi bien

en norme qu’en direction) et que les axes de soient immobiles par rapport à (il n’y a pas de

rotation des axes au cours du temps).

La réciproque est vraie, c’est-à-dire que si on considère un référentiel en translation rectiligne

uniforme par rapport à un référentiel galiléen, alors ce référentiel est lui-même galiléen.

Un tel changement de repère s’appelle une transformation galiléenne et elle est associée à

l’invariance galiléenne des lois de la physique, ou principe de relativité qui s’énonce comme suit : Les lois fondamentales de la physique (ici les trois lois de Newton) sont identiques lorsqu’on se

place dans des systèmes référentiels en translation rectiligne uniforme les uns par rapport aux autres (sans accélération relative).

2.2.2 Composition des vitesses

Comme l’accélération relative entre deux repère galiléens est nulle, l’accélération d’un point

est égale dans les deux référentiels : soit . Donc en intégrant

par rapport au temps :

où est un vecteur constant. C’est la vitesse relative du référentiel d’origine par rapport

au référentiel , ou encore la vitesse de l’origine mesurée dans le référentiel :

2.2.3 Les référentiels galiléens

Depuis les travaux d’Einstein, nous savons que les référentiels galiléens n’ont pas de définitions

absolues : ils ne peuvent que constituer une bonne approximation. En conséquence, les référentiels

galiléens sont définis ad hoc, à savoir qu’un référentiel est dit galiléen pour une expérience donnée

quand les lois de Newton sont une bonne approximation de la réalité (pendant la durée de

l’expérience). On en déduit tous les référentiels galiléens pour cette expérience par invariance

galiléenne.

Dans la pratique, on considère trois référentiels qui suffisent à décrire la majorité des

expériences :

Le référentiel du laboratoire ou terrestre est bien adapté pour des expériences dans un

laboratoire dont la durée est inférieure à une journée (sinon la rotation de la terre sur elle-

même va avoir une influence).


Le référentiel géocentrique – d’origine le centre de la terre et d’axes pointant vers des

étoiles – sera bien adapté pour décrire le mouvement d’un satellite ou dans le cas

d’expériences particulières (mesure de la pesanteur apparente ou expérience du pendule

de Foucault).

Le référentiel héliocentrique6 – d’origine le centre du soleil et d’axes pointant vers des

étoiles – sera lui galiléen pour décrire les trajectoires des planètes ou des comètes du

système solaire.

2.3 La dynamique en référentiels galiléens : étude des forces et des trajectoires

Le principe fondamental de la dynamique appliqué dans un référentiel galiléen à une particule

ponctuelle de masse repérée par le vecteur position se traduit par une équation du

mouvement qui généralement est une équation différentielle du second ordre :

, , ,

où les forces extérieures qui s’exercent sur le point matériel sont fonction des coordonnées

d’espace et, éventuellement, de la vitesse , ou du temps .

Les forces s’additionnent selon la loi d’addition des vecteurs, composante par composante.

L’action de toutes les forces est donc équivalente à l’action d’une force unique, la résultante des

forces extérieures : ∑ , , ). La deuxième loi de Newton s’écrit alors

.

Déterminer l’équation de la trajectoire de la particule revient à résoudre cette équation

différentielle vectorielle en tenant compte des conditions initiales 0 et 0 .

Cette équation différentielle n’a en général pas de solution analytique (sauf dans des cas

particuliers dont certains seront traités dans la suite).

Dans le cas où 0, comme un objet posé sur une table ou un mobile sur une table à

coussin d’air, le point matériel est alors pseudo-isolé. D’après la première loi de Newton, il sera soit

au repos, soit animé d’un mouvement rectiligne uniforme (ce qui, à un changement de référentiel

galiléen près, est équivalent).

6 Voir par exemple http://www.obs.u-bordeaux1.fr/OBcast/Geraldine.m4v


METHODE DE RESOLUTION D’UN PROBLEME EN DYNAMIQUE DU POINT

1- Spécifier le point matériel isolé

2- Faire un bilan des forces : recenser l’ensemble des forces s’exerçant sur ce point. Remarque : la vitesse initiale n’intervient pas dans le bilan des forces!!!

3- Faire un schéma à un instant quelconque de la trajectoire où seront aussi spécifiés les axes du repère choisi. Ce schéma sera une aide précieuse au moment de la projection des forces sur ces axes.

4- Donner le vecteur position dans la base choisie (compte-tenu des éventuelles simplifications contraintes/symétries de l’exercice). En déduire le vecteur vitesse et le vecteur accélération.

5- Donner l’expression des forces exprimées dans la base cartésienne (projection des forces sur les axes). Si l’orientation d’une force est inconnue, elle sera décrite soit par des composantes orthogonales soit, à deux dimensions notamment, par une norme et un angle par rapport au premier vecteur de la base.

6- Ecrire le principe fondamental de la dynamique sous sa forme vectorielle puis le projeter selon chacun des axes du repère choisi. A cette étape, vous obtenez les équations différentielles du mouvement (équations différentielles du second ordre).

7- Ecrire les conditions initiales sur la position et la vitesse.

8- Intégrer ou résoudre les équations différentielles du mouvement obtenues compte-tenu des conditions initiales. A cette étape, vous obtenez les équations horaires du mouvement.

2.4 Forces usuelles en Physique et en Mecanique

On appelle intensité d’une force la norme de cette force.

2.4.1 Classification des forces

2.4.1.1 Forces fondamentales en Physique.

Il existe dans la nature 4 forces fondamentales dont dérivent toutes les autres. Il s’agit de :

o la force gravitationnelle, responsable de la formation du système solaire,

o la force électromagnétique, responsable entre autres de la cohésion de l’atome,

o la force forte qui assure la cohésion entre protons et neutrons dans le noyau atomique,

o la force faible, responsable de certaines radioactivités.

Dans cette UE, nous allons exclusivement étudier la force gravitationnelle et la force

électromagnétique (cas de la force de Coulomb).


2.4.1.2 Force de gravitation.

Si, en suivant Galilée, le mouvement « naturel » est le mouvement rectiligne uniforme, un

mouvement circulaire résulte nécessairement de l’action d’une force. En réunissant la force qui fait

tomber une pomme et celle qui dévie la trajectoire d’un corps céleste, Newton (et Hooke) a énoncé

la loi de la gravitation universelle :

→ , où

Cette force exprime l’attraction entre deux masses situées en (masse ) et (masse ou pour masse pesante), et décroit

comme l’inverse du carré de la distance entre les deux masses,

. est le vecteur unitaire qui joint les deux centres. Il est

orienté de vers . La constante de gravitation universelle vaut dans le système international 6,67. 10 N.m . kg

Remarque : pour calculer la force de gravitation exercée par la Terre sur un objet à une distance

quelconque (supérieure au rayon de la Terre), on peut considérer que toute la masse est

concentrée au centre de la Terre.

Cas particulier : le poids à la surface de la Terre

Le poids est la force de gravitation exercée par la Terre (masse ) sur un objet de masse au

voisinage de la surface de la Terre, lorsque les variations d’altitude au cours du mouvement sont

négligeables devant le rayon de la Terre = 6366 km. La direction et l’intensité de la force sont

alors considérées comme constantes. On peut ainsi écrire que (la direction verticale) et que

de sorte que :

,

où est le champ de pesanteur terrestre et l’intensité de l’accélération de la pesanteur au

voisinage de la surface de la Terre.

Montrer que la norme de vaut numériquement 9,81 m. s


Exemple 2-1. Chute libre verticale sans vitesse initiale A l’instant 0, une bille de masse est lâchée à l’altitude 0 avec

une vitesse initiale nulle. On néglige les frottements de l’air.

En appliquant la méthode de résolution d’un problème en dynamique (points 1 à 6), montrez que l’on obtient la relation vectorielle

, puis, après projection sur l’axe , l’équation différentielle du mouvement

En intégrant deux fois cette équation par rapport au temps et en tenant

compte des conditions initiales 0 0 0 , montrez que l’on

obtient :

et 2 .

On constate que la vitesse de la bille croît de manière linéaire avec le

temps tandis que varie avec le carré de .


Exemple 2- 2. Chute libre avec une vitess e initiale - trajectoire parabolique

Un joueur de baseball lance une balle

de masse avec une vitesse initiale

faisant un angle avec l’horizontale.

L’objectif est de déterminer la portée

(distance parcourue au sol) et la flèche

(altitude maximale) atteinte par la balle.

Là encore, on négligera les forces de

frottements dues à l’air.

En appliquant la méthode de résolution d’un problème en dynamique (points 1 à 6), montrez que l’on obtient les équations différentielles suivantes :

0

Ecrire le vecteur vitesse initiale dans la base ,

En intégrant deux fois par rapport au temps les équations différentielles

du mouvement et en tenant compte des conditions initiales, montrez

que l’on obtient les équations horaires suivantes: cos

12

sin

La flèche , atteinte à l’instant , correspond à la hauteur

maximale atteinte par l’objet lancé, i.e. au sommet de la trajectoire, pour

lequel la vitesse ascensionnelle s’annule : 0. On en déduit :

puis

ex

a

P

f

p

ey

VO


La portée, atteinte à l’instant , correspond à la distance parcourue

lorsque l’objet retombe sur le sol. Son altitude est alors 0. On

en déduit : 2 puis .

On remarque que 2 et 2 . Cela est dû au fait que la

vitesse suivant l’axe des est constante et donc que la trajectoire est symétrique par rapport à un axe vertical passant par la flèche. Pour une vitesse initiale donnée, la portée est maximale lorsque 45°.

Enfin, nous pouvons écrire l’équation de la trajectoire en éliminant le temps

dans les équations horaires, et en évaluant . On obtient

alors une trajectoire parabolique :

2 costan

2 cos

Remarque 1 : Les équations du mouvement permettent de prédire le mouvement dans le futur (temps croissant) mais aussi, en général (en l’absence de dissipation), dans le passé (temps décroissant ou négatif). Remarque 2: Le poids est pratiquement le même au niveau de la mer et en montagne; la différence d’altitude, quelques mètres, est beaucoup plus petite que le rayon de la Terre 6366km. Par conséquent, nous pouvons considérer que la force de gravitation sur un objet de masse au voisinage de

la surface de la terre est constante : . Cependant, cette

approximation par une accélération de norme constante 9,81m. s cesse d’être valable pour des distances bien au-delà du rayon de la terre ; par exemple l’accélération ressentie par la Lune du fait de l’attraction de la Terre est beaucoup plus faible que nous ressentons à la surface de la Terre. Il en sera de même lors de l’étude des trajectoires des satellites artificiels, lorsque les distances sont de l’ordre de .

2.4.1.3 Force de Coulomb.

La force de Coulomb exprime l’attraction ou la répulsion entre deux charges électriques situées en (charge ) et (charge ). Elle s’écrit de la façon suivante :

→ , où

Comme la force gravitationnelle, elle décroît comme l’inverse du carré de la distance

entre les deux charges électriques. Le vecteur unitaire est porté par l’axe passant par les deux

charges. On note également la constante électromagnétique qui mesure l’intensité de la force de

Coulomb. Elle vaut 9.109 S.I.

Cas particulier : la force subie par une particule chargée dans un champ électrique.

La force subie par une particule chargée de charge dans un champ électrique s’écrit :

Le champ électrique est créé lui-même par une distribution de charges Q suivant la formule :


.

Cette force permet d’accélérer des particules chargées comme dans un accélérateur de particules

ou de les dévier comme dans les anciens oscilloscopes analogiques.

On peut faire l’analogie suivante entre la force de gravitation et la force de Coulomb.

Gravitation Electromagnétisme

Masses et Charges et

Intensité variant en Intensité variant en

Constante de gravitation universelle Constante électrostatique

Force : → Force : →

Champ de gravitation Champ électrique

Poids : Force électrique :

2.4.1.4 Comparaison de l’intensité de la force entre force de gravitation et force de Coulomb.

Considérons l’atome d’hydrogène 1 (1H) composé d’un proton (noyau) de masse et de charge électrique et d’un électron de masse et de

charge électrique ( étant la charge électrique élémentaire). La distance entre proton et électron est 0,5 ∗ 10 m.

1) Calculer l’intensité des 2 forces pour l’atome d’hydrogène.

2) Quelle est la valeur numérique du rapport = (force de gravitation/force

électrique). Conclusion.

3) Ce rapport dépend-il de la distance entre les particules ? Données : 9,11 ∗ 10 kg, 1,67 ∗ 10 kg, 1,6 ∗ 10 C,

Résultat :

1) 4,06 10 N ; 9,2 10 N

2) 4,4 10 ! La force de gravitation est totalement négligeable par

rapport à la force électrique. En réalité ce rapport ne dépend pas de la distance entre l’électron et le

proton. En effet, chacune des forces a son intensité (ou sa norme) qui varie en

fonction de . Donc n’intervient pas dans le rapport.

2.4.1.5 Forces de contact.

Elles résultent du contact de corps matériels. Comme exemples, nous discuterons de la réaction

normale (2.4.3), du frottement solide (2.4.4) et de la force de frottement visqueux (2.6).

2.4.1.6 Force de rappel élastique

Cette force est proportionnelle (ou linéaire) à l’écart à la position d’équilibre stable (loi de Hooke)

comme dans le cas de la force de rappel d’un ressort :

, où est la longueur à vide du ressort (cf paragraphe 2.4.5).


2.4.2 Force de contact

Lors d’une collision entre un point matériel et un autre objet (un mur par exemple), , la

quantité de mouvement du point , va être rapidement modifiée pour devenir . En appliquant la

relation fondamentale de la dynamique, nous pouvons écrire que ∆∆

∆∆ →

où est la durée du contact (temps pendant lequel les objets sont en contact et sont déformés) et

→ est la force s’exerçant sur le point matériel . D’après le principe de l’action et de la réaction

(3ème loi de Newton), la force qu’exerce ce point matériel sur l’objet 2 est

→ →∆∆

2.4.3 Force de réaction

Pourquoi un objet posé sur une table n’est-il pas accéléré mais reste

immobile ? Une force s’oppose au poids , de sorte que l’objet soit

pseudo-isolé : c’est la force de réaction normale.

Elle est perpendiculaire à la surface. Dans le cas d’un support

horizontal, l’objet est immobile, le poids et la force de réaction

normale s’annulent : 0. On en déduit :

.

2.4.4 Force de frottement solide (lois de Coulomb sur le frottement solide ou sec)

Cette force intervient lorsque deux solides sont en contact. Elle s’oppose au déplacement relatif

des deux solides et donc est tangentielle au plan de contact. La définition de cette force dépend de

la nature du mouvement (selon qu’il y ait ou non glissement à l’interface).

2.4.4.1 Frottement de glissement

Examinons la situation d’un objet en mouvement sur une table. On tire sur cet objet avec une

force horizontale orientée vers la droite et on tient compte maintenant du frottement entre l’objet

et le support. Il y a alors quatre forces qui s’exercent sur l’objet dont une force de frottement solide

qui est tangentielle à l’interface (donc horizontale) et qui s’oppose au

glissement.

La loi de Coulomb sur le frottement postule que l’intensité de cette

force (sa norme) est proportionnelle à la réaction normale (ou charge) :

. Le coefficient de proportionnalité est dit coefficient de frottement

cinétique (ou dynamique). Ce coefficient ne dépend que des propriétés

microscopiques des interfaces.

Table

Objet


La force de frottement tangentielle peut ainsi s’écrire :

‖ ‖.

La réaction totale du support a donc maintenant deux composantes et elle s’écrit .

Elle est inclinée par rapport à la normale au support d’un angle tel que tan . Plus la

friction quantifiée par sera importante, plus la réaction totale du support sera inclinée. Cet angle

est nul dans le cas de glissement sans frottement.


Exemple 2-3. Skieur sur un plan incliné en tenant compte de la force de frottement solide

On suppose que le skieur est lancé depuis l’origine avec une vitesse initiale

. Le skieur subit une force de frottement solide en plus de son poids et de la reaction normale.Puisqu’il y a glissement, la force de frottement solide peut s’écrire :

.

En appliquant la méthode de résolution d’un problème en dynamique (points 1 à 6), montrez que l’on obtient la relation fondamentale de la

dynamique suivante :

Montrez qu’en projetant cette relation sur les axes et inclinés respectivement de par rapport à l’horizontale et la verticale, on obtient les relations suivantes :

sin cos


Montrez que l’on obtient cos et une accélération constante : cos tan .

Selon le signe detan , trois cas peuvent se présenter pour le skieur

lancé avec une vitesse :

si l’accélération est positive : on a un mouvement rectiligne

uniformément accéléré.

si l’accélération est nulle : on a un mouvement rectiligne uniforme (le

skieur est pseudo-isolé, car la somme des forces est nulle).

si l’accélération est négative, le mouvement est rectiligne

uniformément décéléré.

Dans le dernier cas, où tan , on peut calculer la distance D parcourue

par le skieur avant de s’arrêter (c’est le cas notamment lorsque 0). En

effet, la vitesse et la position s’écrivent :

cos tan et cos tan

Le mobile s’arrête en quand la vitesse s’annule. On obtient : la durée du glissement : 0 pour 0

la distance parcourue : 0. Notamment,

pour 0, 0 .

On peut faire deux remarques :

On peut définir un angle critique par la relation tan . Le

deuxième cas, qui correspond à un skieur pseudo-isolé glissant à

vitesse constante, est alors donné par . Ainsi, quand l’angle

d’inclinaison est plus grand que , le skieur accélère, sinon il

décélère.

Pour le dernier cas : une fois arrêté, le skieur reste immobile. Une

force de frottement tangentielle (d’adhérence) s’oppose à la remise

en mouvement : la somme des forces est nulle.


2.4.4.2 Cas statique sans glissement

Examinons la situation d’un objet immobile sur une table. On

tire toujours sur cet objet avec une force horizontale orientée vers

la droite mais la force de frottement qui est tangentielle à

l’interface (donc horizontale) s’oppose à la mise en mouvement de

glissement. S’il n’y avait pas de frottement, l’objet glisserait vers la

droite. S’il y a adhérence, la force de frottement tangentielle

s’opposant au glissement est donc orientée vers la gauche. La

somme des forces devant être nulle, on obtient, en projetant selon les deux axes, les relations

suivantes :

et .

Si on augmente l’intensité de la force , l’objet va se mettre à glisser. Il existe un critère

permettant de calculer la force nécessaire pour vaincre l’adhérence et initier un déplacement. On dit

que l’équilibre est stable (donc qu’il n’y a pas de glissement) tant que :

,

où s’appelle le coefficient de frottement statique. Ce coefficient est supérieur au coefficient de

frottement cinétique. En conséquence, le plus difficile est de mettre en mouvement l’objet, en

exerçant une force . Il va ensuite « glisser » avec moins de frottements car le frottement

devient alors dynamique et .

2.4.5 Force de rappel élastique, loi de Hooke

La force exercée par un ressort sur une masse localisée en est proportionnelle à l’écart à la

position d’équilibre stable et à la raideur du ressort, notée . Cette loi a été établie par Robert

Hooke, collaborateur d’Isaac Newton7 :

, où est la position de repos (cf paragraphe 2.4.1.6Erreur ! Source du renvoi introuvable.).

Dans le cas d’un système unidimensionnel (selon ), . En appliquant le

principe fondamental de la dynamique, nous pouvons alors écrire :

M . Après projection sur , on obtient que l’on écrit :

.

C’est l’équation d’un oscillateur harmonique, équation différentielle du deuxième ordre à

coefficients constants. Une solution particulière est x . Elle permet d’éliminer le terme

de droite. Pour trouver la solution de l’équation homogène (i.e. sans second membre de droite)

0, nous pouvons chercher une solution de la forme cos . Comme

7 Mais l’un était d’Oxford, l’autre de Cambridge, donc leur collaboration s’est très mal terminée …


cos , on obtient alors la relation 0, ce qui impose la pulsation8

et la fréquence .

La vitesse instantanée est alors donnée par t sin . Elle oscille donc

avec la même fréquence que la position, mais avec un déphasage de 2 ; elle est en quadrature9

avec . L’équation différentielle étant du deuxième ordre, la solution générale de l’équation homogène

sera une combinaison de deux solutions linéairement indépendantes. Comme il n’y a pas de contrainte sur le déphasage , nous pouvons prendre deux valeurs quelconques de pour obtenir

ces solutions, par exemple 0 et pour lequel cos sin . La solution générale

peut ainsi se mettre sous la forme : cos sin .

Comme Acos cos ωt cos φ sin ωt sin φ , on a cos φ et sin φ .

La position est une fonction périodique du temps, c’est à dire

où la période (durée) d’une oscillation est indépendante des conditions initiales et donnée par le

temps10 mis pour faire un aller et retour, donc pour que la phase de l’oscillation évolue de 2

2 .

8 D’après la loi de Hooke, la raideur du ressort a la dimension = donc 2 2

9 Dans l’espace des phases, le couple , décrit une trajectoire elliptique et périodique de demi grand axes et .

10 L’expression de est bien homogène à un temps.


2.5 Annexe 1 : La Poussée d’Archimède (Hors-programme)

Quand un objet est immergé dans un gaz ou dans un liquide, il subit une force ascendante

opposée au poids du volume de fluide déplacé :

où est le volume de l’objet, la masse de fluide déplacé et la masse volumique du fluide.

Cette force peut compenser partiellement le poids si , donc dans le

cas où la densité de l’objet est inférieure à 1, ou même avoir une intensité supérieure au

poids si , i.e. 1.

La poussée d’Archimède résulte de la pression qu’exerce le fluide sur l’objet : cette pression

(notée P) augmente avec la profondeur ou avec le poids de la colonne de liquide selon

la loi de l'hydrostatique ∆ ∆ .

La pression est donc plus importante sous l’objet qu’au-dessus de lui, ce qui se traduit par une

force ascendante qui contrebalance le poids et maintiendrait le volume de liquide déplacé à

l’équilibre.

2.6 Annexe 2 : Force de frottement fluide (Hors-programme)

Quand un objet solide se déplace dans un gaz ou dans un liquide, le milieu exerce une force de

frottement visqueux qui s’oppose au mouvement et qui est proportionnelle à la vitesse relative de

l’objet avec le fluide :

, où le coefficient de frottement a la dimension d’une masse divisée par un temps ,

est ici la vitesse de l’objet et est la vitesse d’écoulement du fluide11. Ainsi :

si le fluide est au repos (cas d’un cycliste, d’un skieur ou d’une chute libre)

si l’objet est immobile dans un fluide qui s’écoule à la vitesse moyenne fv

(exemple : la pile d’un pont, le mat d’une éolienne ou une voiture dans une soufflerie).

Le coefficient de frottement μ dépend de la viscosité du fluide et de la géométrie du solide (par

exemple, 6 pour une sphère de rayon (loi de Stokes)).

Exemple 2-4. Chute d’une bille dans un fluide visqueux

On lâche verticalement (selon ) en 0 0 un solide sphérique de

masse dans un fluide de coefficient de frottement visqueux μ (on ne tient pas

compte ici de la poussée d’Archimède). Le solide est assimilé à une masse

ponctuelle localisée en .

La résultante des forces extérieures est : .

Comportement asymptotique : Aux temps longs, le solide va atteindre une vitesse limite (ou vitesse en

11 est la vitesse de l’objet dans le repère où le fluide est immobile. En notant un point immobile par

rapport au fluide (advecté par l’écoulement du fluide)


régime stationnaire) pour laquelle . C’est-à-dire que pour ,

la résultante des forces sera nulle12 : 0 et donc 0.

D’où il résulte que : (i) la vitesse sera stationnaire (indépendante du

temps en norme et en direction), (ii) le mouvement sera rectiligne et

uniforme, (iii) il sera dirigé selon l’axe vertical, indépendamment de la

vitesse initiale.

Trajectoire complète :

Considérons d’abord, pour simplifier, le cas où l’on lâche l’objet sans vitesse

initiale : le mouvement se fera alors uniquement suivant selon l’axe vertical (le

cas avec vitesse initiale fait l’objet d’un exercice dans le fascicule de TD). Le principe fondamental de la dynamique implique :

. La projection sur l’axe z donne l’équation différentielle suivante :

.

Une solution particulière correspond au régime stationnaire,

i.e. 0 lorsque .

Cherchons la solution de l’équation sans second membre,

0.

C’est une équation différentielle homogène du premier ordre en (ou , que nous pouvons réécrire :

.

Remarquons que la quantité à la dimension de l’inverse d’un temps que

nous noterons . Le terme de gauche étant la dérivée de ln par

rapport à , nous obtenons en intégrant par rapport au temps les deux membres de cette équation :

ln soit

où est une constante d’intégration13 homogène à une vitesse.

La solution générale de l’équation avec second membre est donc :

La condition initiale à 0 : t 0 0 0 , impose et on

obtient finalement comme solution :

1

12 Remarquons que cette vitesse stationnaire proportionnelle au poids semblerait prendre en défaut le principe

fondamental de la dynamique qui relie force et accélération. Vérifie-t-on alors les idées aristotéliciennes selon

lesquelles pour qu’un corps soit mouvement, il faudrait nécessairement qu’il y ait une force (ici le poids) pour

entretenir ce mouvement ? En raisonnant de la sorte, nous oublions la force de frottement qui, en compensant le

poids, rend le mobile pseudo-isolé et le place bien, d’après Galilée, en régime inertiel ( cste) ; là où, en raisonnant

suivant Aristote, l’objet pseudo-isolé devrait rester immobile.

13 On peut aussi présenter cette solution sous la forme ln où ln


Le module de cette vitesse est représenté dans le schéma ci-contre. Nous retrouvons qu’aux temps longs, c’est-à-dire des temps plus grand que le

temps caractéristique , le

solide atteint asymptotiquement

la vitesse limite

pour laquelle 0. C’est bien le régime stationnaire vu

précédemment pour lequel =0.

En intégrant par rapport au temps, nous trouvons

, où est une constante.

Enfin, en prenant comme altitude à l’origine 0 0, nous obtenons

et ainsi

1

Comportement aux temps courts Jusqu’à , la vitesse est supposée faible, de sorte que l’on puisse

négliger la force de frottement. On peut alors considérer que le mouvement de l’objet est uniformément accéléré. La vitesse croit uniquement du fait de la pesanteur, donc linéairement avec le temps, . Pour le temps , on atteint alors la vitesse . Le temps caractéristique est donc bien le temps au bout duquel la force de frottement devient comparable au poids.

Remarque : Cette expression de la force de frottement fluide n’est valable que lorsque les écoulements autour du solide sont laminaires. Dans le cas d’écoulements turbulents, la force de frottement est proportionnelle au carré de la vitesse et s’appelle alors la force de trainée :

.

Pour les temps longs, le solide atteint une vitesse limite pour laquelle la résultante totale des forces exercées sur l’objet est nulle (accélération nulle en

régime stationnaire, ou système pseudo-isolé) : = de sorte que .

Vitesse limite

Temps caractéristique

v(t)

t

29 Dynamique II: lois de conservation et bilan d’énergies

A

B

mV

F


3.1 Energie cinétique, théorème de l’énergie cinétique

L’énergie cinétique d’un point matériel de masse en mouvement avec une vitesse

instantanée de module est donnée par :

.

Son unité est le joule (1J 1kg.m . s

L’énergie cinétique de la particule dépend du temps, puisque dépend du temps.

Dérivons cette énergie par rapport au temps : 12

12

. . . . . .

Donc :

.

Or, d’après le principe fondamental de la dynamique : , où est la résultante

des forces. D’où la relation : . .

On appelle puissance instantanée la quantité . . Son unité est le Watt (le watt est homogène à des joules par seconde).

On définit le travail de la force entre deux instants comme étant :

→ .

Le travail d’une force a la dimension d’une énergie

et son unité est le Joule. On obtient alors :

→ B A

On obtient alors le théorème de l’énergie

cinétique :

Soit une trajectoire suivie par une masse

ponctuelle entre A et B, alors la variation

d’énergie cinétique est égale au travail de la

résultante des forces entre A et B.

Remarques :

a) Si la résultante des forces est la somme de plusieurs forces : (deux forces par exemple), alors le travail de la résultante est égal à la somme des

travaux de chaque force : → → → . Ceci se démontre facilement grâce à la linéarité de l’intégrale.

b) Le travail peut être positif (le travail est dit moteur), négatif (travail résistant) ou nul (la force ne travaille pas). Si le travail est moteur, alors l’énergie cinétique augmente et donc le module de la vitesse augmente. Si le travail est résistant, c’est l’inverse. Et si le travail est nul, la vitesse est conservée. Le signe du travail


xA

m

xB

xx

FN

P

est donné par le signe du produit scalaire . , c’est-à-dire à l’angle entre et ,

puisque . . Donc si /2 (comme sur le dessin), le travail est moteur. Si /2, le travail est résistant et si /2 (la force est perpendiculaire à la vitesse), la force ne travaille pas.

Exemple 1 : Le travail d’une force de frottement solide est toujours négatif.

Exemple 2 : Considérons une balle lancée verticalement soumise à son poids.

On sait que la balle va monter puis redescendre. Le travail du poids est résistant

pendant la phase ascensionnelle puis moteur pendant la phase de descente.

c) L'utilisation du théorème de l'énergie cinétique permet d'accéder directement à la norme du vecteur vitesse et non au vecteur accélération, sa dérivée. Il est donc parfois d'usage plus facile que la relation fondamentale de la dynamique : pas de projection sur une base vectorielle et pas d'intégration. Nous verrons en outre dans le paragraphe suivant que le calcul du travail est très simple pour une certaine catégorie de force.

3.2 Mouvement le long d’un axe et force constante : calcul du travail.

Considérons une masse matérielle qui se déplace le long d’une trajectoire rectiligne entre

un point A et un point B (axe ) soumise à une force constante alignée le long de l’axe

(dans le sens du mouvement comme sur le dessin ou dans le sens opposé).

A un instant quelconque entre A et B, la force s’écrit (avec 0 ou 0)

et la vitesse instantanée . Le travail se calcule alors facilement :

→ . .

Le travail est donc le produit de la force par la distance parcourue. Il se calcule alors

aisément et donne aisément la variation d’énergie cinétique entre A et B.

Ce travail peut être moteur ou résistant suivant le signe de , c’est-à-dire suivant le signe de

la projection de sur l’axe orienté du mouvement.

Compliquons la situation. Regardons un objet en mouvement sur une table tiré avec une

corde inclinée d’un angle avec l’horizontale. Il n’y a pas de frottement. Si on regarde les

forces en présence à un instant quelconque de la trajectoire, on peut faire le schéma suivant.

xA

m

xB

xx

F


Les forces sont : le poids, la réaction normale (toutes les deux verticales) et la force de

traction inclinée. Si . sin alors la masse ne décolle pas et le mouvement est

rectiligne selon et la vitesse de l’objet est donnée par : . Calculons maintenant le

travail des forces : le poids et la réaction normale ne travaillent pas, car ces deux forces

sont orthogonales au déplacement (et donc au vecteur vitesse). Seule travaille :

→ . cos sin . cos

donc → cos cos cos

Les deux cas traités peuvent se réécrire sous forme condensée : le travail d’une force

constante le long d’une trajectoire rectiligne est donné par :

→ .

Remarque : Si /2, on retrouve bien que le travail est nul.

Exemple 3-1.On lance une masse avec une vitesse initiale sur une table horizontale.

On appelle le coefficient de frottement solide de la table. A l’aide du théorème

de l’énergie cinétique, déterminez la distance que parcourt la masse avant

de s’arrêter. Solution : Les forces en jeu sont le poids et la réaction normale (verticaux) et la force de frottement qui est horizontale, de norme constante ( ) et de direction opposée à la vitesse. C’est la seule force dont le travail est non nul. Il est négatif. En appelant l’axe horizontal orienté dans le sens du parcours, et

le point initial et le point d’arrêt, on peut écrire : .

Le théorème de l’énergie cinétique donne alors : 0

Soit

Commentaire : Cet exemple montre que le théorème de l’énergie cinétique peut être très

utile. Pour s’en convaincre, il faut comparer le nombre de lignes nécessaires au calcul de D,

et le nombre de lignes nécessaires lorsqu’on utilise le principe fondamental de la dynamique

(cf exemple 2.4). Ceci est permis car le travail des forces se calcule facilement.


A

BM

V(t)

P

3.3 Forces conservatives.

Pour certaines forces dites conservatives, le travail

de la force se calcule aisément.

Commençons par un exemple simple. Soit une

particule ponctuelle qui suit une trajectoire entre un

point et et qui est soumise à des forces dont le

poids et calculons le travail du poids. Prenons un

repère avec un axe z vertical et vers le haut. Le poids s’écrit : et la vitesse

instantanée : . Le travail du poids entre et est donnée par :

→ . .

La trajectoire est quelconque, donc l’expression ci-dessus est générale.

Le travail du poids est donné simplement et dans tous les cas par : .

Il ne dépend que de la différence d’altitude entre et .

Une propriété du poids très intéressante est la suivante : le travail du poids est

indépendant du trajet suivi entre les points et .

Ceci est illustré par la seconde trajectoire en pointillés entre et sur le dessin.

Le travail du poids sur cette trajectoire est le même que pour la première trajectoire.

On appelle une telle force une force conservative, dont la définition générale est la

suivante :

Une force est dite conservative si le travail de cette force entre 2 points ne dépend

pas de la trajectoire suivie entre ces deux points.

Le poids est donc une force conservative.

Exemple 3-2.On lance verticalement une balle avec une vitesse de 10 m/s. On suppose que

les frottements de l’air sont négligeables. Quelle hauteur maximale atteint la

balle avant de retomber ? Quelle est sa vitesse lorsqu’elle repasse devant

vous. Solution : On appelle le point initial (la vitesse est notée ) et le point d’altitude maximale (la vitesse est nulle en ce point). La hauteur que l’on cherche est la distance . Le poids est la seule force en présence et le travail

du poids entre et vaut – . Le théorème de l’énergie cinétique donne alors :

2

soit une hauteur approximative de 5 m environ (avec 10m. s )

Remarque : Le terme conservatif vient de la propriété suivante : considérons une

trajectoire fermée, c’est-à-dire que , la trajectoire forme une boucle.

Que vaut sur cette trajectoire, le travail d’une force conservative ?

Comme la force est conservative, et donc indépendante du chemin suivi, on peut

considérer le chemin de à où la particule est immobile. Sa vitesse est nulle et le


travail de la force est donc nul. Revenons à une trajectoire quelconque bouclée ( ),

le travail est donc nul. Et donc, quand la particule repasse par le point , elle a la même

énergie cinétique qu’au moment de son premier passage.

Est-ce qu’il existe d’autres forces conservatives ? La réponse est oui.

Nous allons faire une liste. Considérons la force de rappel exercée par un ressort dans le cas d’un mouvement

unidimensionnel (selon l’axe ). La force s’écrit : , où est la raideur du ressort et sa longueur à vide. L’origine du repère est prise à l’extrémité attachée du ressort ; donc l’abscisse de la masse est aussi la longueur du ressort. Calculons le travail de la force de rappel entre deux points et de coordonnées et .

→ . .

→

Ici, également le travail du ressort ne dépend que des extrémités et non du détail

de la trajectoire. La force de rappel du ressort est donc une force conservative.

Exemple 3-3.On considère une masse accrochée à un ressort vertical de raideur

10N.m et de longueur à vide 5cm. On écarte la masse de sa

position d’équilibre de 1cm (vers le bas) et on la lâche. Quelle est la

vitesse de la masse lorsqu’elle passe par la position d’équilibre ? Solution : Attention, il y a un piège. Quand la masse est en position d’équilibre (où la résultante des forces est nulle), la longueur du ressort n’est pas égale à sa longueur à vide. Déterminons-la en écrivant justement que la résultante doit être nulle. En prenant un axe vertical orienté vers le haut et d’origine l’extrémité fixe du ressort (le ressort est vertical et l’extrémité où est accrochée la masse est le bas), on peut écrire facilement :

Les deux forces en jeu sont le poids et la force de rappel du ressort. Le travail se calcule aisément pour ces deux forces entre la position d’écartement

maximal et la position d’équilibre : on trouve pour le poids – et pour la

force de rappel du ressort . Le théorème de

l’énergie cinétique permet de trouver la vitesse quand la masse passe par la

position d’équilibre. L’expression se simplifie beaucoup : On obtient :

Considérons une force constante. Par exemple, la force exercée par un champ

électrique constant (et orienté suivant l’axe ) sur une particule de charge .

La force qui s’exerce sur la particule est donc . Le travail entre deux

points et d’une trajectoire quelconque se calcule aisément, on trouve :

→


La force électrique exercée sur une particule chargée est une force conservative. Notez l’analogie avec le travail du poids qui est aussi une force constante

Pour aller plus loin, un dernier exemple est donné par la force d’attraction gravitationnelle.

Cette force s’écrit : /

Donc le travail est donné par :

→ . .

La force d’attraction gravitationnelle est une force conservative.

Si le travail est résistant car la gravitation s’oppose au déplacement.

Exemple 3-4.La Terre suit une trajectoire légèrement elliptique autour du soleil. Lorsqu’elle

est au plus près du soleil (périhélie), sa vitesse est de 30,3km. s et sa

distance au soleil de 147 10 km. Sa distance maximale (aphélie) au soleil

est de 152 10 km, quelle est alors sa vitesse ?

On donne 6.67 10 ∗ 2 10 m . s Réponse : On trouve une vitesse de 29,3 km. s

Est-ce que toutes les forces sont conservatives ? Non, toutes les forces ne sont pas conservatives, notamment les forces de frottement.

AB

P

T

NF(t)

Schéma des forces à l'aller pour une trajectoire entre A et B. Pour aller de B vers A la force F change de sens de même que la force de frottement.

A

B

V(t)

F

Om(t)

M mu

RA

RB


mT

P

l

z

O

V0

B

A

Pour le montrer, considérons une trajectoire simple sur une table horizontale. Imaginons

la trajectoire suivante : un point matériel part d’un point , va jusqu’à un point distant de D

et revient en . La trajectoire est assurée grâce à une force extérieure horizontale .

On montre simplement que le travail de la force de frottement est donné par :

→ 2

Le travail est négatif. La force de frottement s’oppose toujours au déplacement, mais

surtout le travail n’est pas nul sur une trajectoire fermée. La force de frottement n’est donc

pas conservative (le travail de la force de frottement est toujours résistant).

Exemple d’utilisation du théorème de l’énergie cinétique :

Il existe de nombreux exemples où l’utilisation du

théorème de l’énergie cinétique est simple.

Prenons un pendule de masse et de longueur en

position verticale. On communique une vitesse initiale

horizontale à la masse et la question est : de quel angle

maximal le pendule va-t-il s’écarter ? Faisons une analyse énergétique entre (le point

départ) et (le point d’écartement maximal). L’énergie

cinétique en est donnée par : .

En , l’énergie cinétique est nulle. Il y a deux forces qui agissent sur . La tension du fil est une force orthogonale à la vitesse, donc elle ne travaille pas. Le poids est une force conservative, dont on sait que le travail est donné par :

→ .

Le théorème de l’énergie cinétique permet donc d’écrire :

012

Un peu de trigonométrie, dans le triangle rectangle d’hypoténuse OB et d’angle , permet de montrer que 1 . D’où la relation donnant l’angle maximum, où le pendule inverse le sens de ses oscillations (point de rebroussement) :

cos 1

Par exemple, on peut se poser la question de savoir quelle vitesse faut-il donner à un

pendule de longueur 0,5m pour atteindre la position avec un angle maximal de 90°.

La réponse est 1m/s (si on prend 10m. s ) :

Remarque : Ce résultat peut être bien sûr obtenu directement à partir du principe

fondamental de la dynamique car le théorème de l’énergie cinétique pour une masse

ponctuelle découle du principe fondamental de la dynamique. Cependant, le calcul est

beaucoup plus complexe, car c’est une relation vectorielle qu’il faut projeter sur les axes d’un

repère et qui fait intervenir l’accélération, dérivée seconde du vecteur position.


3.4 Energie potentielle

Considérons une force conservative. Le travail de la force entre deux points et ne

dépend pas de la trajectoire suivie mais ne dépend que des coordonnées de et .

Autrement dit, nous avons le droit d’écrire pour de telles forces conservatives qu’il existe une

fonction (analogue à une primitive) telle que :

→

On appelle énergie potentielle d’une force conservative, la fonction .

Pour une force conservative, on a donc :

W → ∆

Le travail d’une force conservative est opposé à la variation de l’énergie potentielle

associée. Si le travail est moteur, l’énergie potentielle associée diminue. Si le travail est

résistant, le mouvement s’effectue à rebours de la force et l’énergie potentielle s’accroit.

Grâce au chapitre précédent, nous pouvons donner les expressions

des énergies potentielles associées aux différentes forces conservatives.

Energie potentielle de pesanteur d’un objet de masse

à une altitude :

Attention, l’axe vertical est orienté vers le haut.

Energie potentielle d’un ressort unidimensionnel (l’origine du repère est telle que soit la longueur du ressort, est la longueur à vide) :

Energie potentielle d’un champ électrique :

Avec le champ électrique orienté suivant

Energie potentielle de gravitation :

où est la distance entre et .

Remarque : L’énergie potentielle est définie à une constante près. Cette constante est

arbitraire puisque c’est toujours la variation d’énergie potentielle qui va être utilisée. On la

choisit habituellement de sorte que l'expression de l'énergie potentielle soit la plus simple,

c'est à dire qu'elle s'annule à l'origine ou à l'infini.

xE

m,qy

x

Om

z

xO

mz


A

B

V(t)

F1

m

M(t)F

2

3.5 Energie mécanique :

Intéressons-nous à une masse matérielle qui suit

une trajectoire entre et et qui est soumise à un

ensemble de forces conservatives (2 pour l’exemple).

Ecrivons le théorème de l’énergie cinétique en

introduisant les énergies potentielles :

→ →

,1 ,1 ,2 ,2

On peut réécrire cette équation en regroupant les termes :

, , , ,

On remarque qu’à gauche, les quantités ne dépendent que de et à droite que de .

On appelle énergie mécanique, en un point quelconque de la trajectoire, la somme de

l’énergie cinétique et des énergies potentielles :

,

L’énergie mécanique peut être évaluée en chaque point de la trajectoire. Et on peut écrire

le théorème de l’énergie mécanique.

Soit un point matériel soumis uniquement à des forces conservatives et se

déplaçant le long d’une trajectoire entre un point A et un point B.

Dans ce cas l’énergie mécanique se conserve le long de la trajectoire : .

Remarques : 1) Si le système est soumis à des forces conservatives et à d’autres forces qui ne

travaillent pas (car perpendiculaire à la trajectoire), alors le théorème reste vrai. C’est le cas de la réaction du sol (du support) lorsque le glissement est sans frottement

2) Le théorème de l’énergie mécanique est simplement une reformulation du théorème de l’énergie cinétique dans le cas où les forces qui travaillent sont toutes conservatives. Il n’apporte pas d’informations supplémentaires. Cependant, il donne un éclairage intéressant : considérons une trajectoire d’une masse ponctuelle soumise à des forces conservatives, alors le point précédent s’écrit le long de la trajectoire : .

L’énergie cinétique et l’énergie potentielle varie au cours du temps, mais l’énergie mécanique, la somme de ces deux formes d’énergie, reste constante. Le bilan d’énergie nous indique qu’il y a seulement échange, ou transformation de l’énergie potentielle en énergie cinétique lorsque le travail de la force est moteur (et vis-et-versa), le bilan énergétique total restant « neutre » dans le cas de forces conservatives.

3) Supposons une masse soumise à des forces conservatives et à une autre force non-conservative. On peut fabriquer une énergie mécanique, mais pour ce système celle-ci ne conservera pas, car la force non-conservative pourra la faire varier. Par exemple, pour un système où il y a une force de frottement, alors l’énergie mécanique décroît au cours de la trajectoire du fait du travail résistant de la force non conservative de frottement, le bilan d’énergétique étant alors négatif.


Revenons au théorème de l’énergie mécanique : est une constante le long de la

trajectoire dans le cas où seul des forces conservatives travail. On peut donc écrire que le

long de la trajectoire : 0. Regardons deux exemples :

Exemple 3-5. Une balle lancée verticalement vers le haut Dans cet exemple, la seule force agissant sur la balle est le poids (qui est une

force conservative) et la trajectoire est rectiligne selon . Sa vitesse instantanée

est : . A un instant quelconque de la trajectoire, son énergie

mécanique est donc :

En dérivant par rapport au temps, on obtient alors :

0

En simplifiant par (t), nous retrouvons l’équation différentielle du mouvement de la balle en chute libre, et vérifions qu’elle est indépendante de sa masse .

Exemple 3-6. Une masse accrochée à un ressort horizontal Par le même raisonnement, on obtient l’équation différentielle du mouvement :

0.

Ces deux exemples illustrent une propriété importante. On peut obtenir l’équation

différentielle du mouvement à partir du théorème de l’énergie mécanique (à condition qu’il

s’applique, c’est-à-dire que les forces en jeu soient uniquement des forces conservatives ou

des forces qui ne travaillent pas).

Remarque : Ceci n’est intéressant que si la trajectoire est décrite uniquement par un seul

paramètre (respectivement et dans les deux exemples) : on parle d’un seul degré

de liberté. Si la trajectoire est décrite par deux paramètres (ou degrés de liberté) - par

exemple une trajectoire parabolique - alors le théorème de l’énergie mécanique ne suffit pas

à trouver l’équation du mouvement. La raison est que ce théorème est une équation scalaire,

alors que le principe fondamental est une équation vectorielle.

Un exemple très important d’utilisation de ce théorème est le cas du pendule traité en TD

(ou le degré de liberté est l’angle du pendule).


Deuxième partie : Mécanique du solide

39 De la mécanique du point à la mécanique du solide


Dans la première partie de ce cours, nous nous sommes intéressés à des situations où il

n’était pas nécessaire de tenir compte de la taille et de la forme du corps considéré pour

comprendre et prédire son mouvement. Cependant, cette hypothèse n’est pas toujours

valable. Ainsi, alors que la trajectoire d’un électron dans un champ magnétique comme celle

de la Terre autour du Soleil peuvent être prédites en réduisant l’électron ou la Terre à des

corps ponctuels, le mouvement d’une toupie ou d’un boomerang, la stabilité d’un vélo ou la

rotation de la Terre sur elle-même ne peuvent être compris qu’en considérant le volume fini

de ces corps. Notons que la nécessité ou non de tenir compte du volume fini d’un solide ne

vient donc pas de la taille de l’objet mais des propriétés de cet objet que l’on souhaite

étudier. A titre d’exemples, le gyrocompas, l’horizon artificiel en aviation, un stabilisateur de

caméra ou encore le contrôle de l’altitude de la station spatiale internationale sont autant

d’exemples d’applications reposant sur l’effet gyroscopique, effet qui ne peut être compris

que dans le cadre de la mécanique des solides. L’objet de cette partie du cours est de fournir

une introduction à la mécanique des solides.

Tandis que les premiers fondements de la mécanique des solides remontent à l’époque

d’Archimède, la mécanique du solide est aussi à la base de problèmes plus récents comme

la modélisation des grandes molécules diffusant dans le gel d’une électrophorèse (technique

servant par exemple à séparer différents fragments d’ADN en fonction de leur longueur), la

robotique… Par ailleurs, des concepts abordés en mécanique du solide se retrouvent dans

d’autres domaines de la physique. Ainsi par exemple en imagerie par résonance magnétique

(IRM), où la dynamique du spin d’un atome constituant les tissus peut être décrite en faisant

appel à des concepts similaires à ceux servant à décrire le mouvement de la Terre

(précession, nutation).

Tout solide réel présente une certaine élasticité, c’est-à-dire qu’il est sujet à se déformer

suite à l’application d’une force extérieure. Cependant, dans les exemples cités ci-dessus

ces déformations sont très petites devant les dimensions du solide. Nous supposerons donc

dans la suite du cours que le solide est indéformable. Un solide est un objet constitué d’un

ensemble de points matériels. Ce solide est dit indéformable si sa forme et ses dimensions

restent inchangées lorsqu’il est soumis à une force extérieure. En d’autres termes, les

distances relatives des particules qui constituent le solide restent constantes dans le temps.

Comme pour toute approximation, l’hypothèse d’un solide indéformable présente un

domaine de validité et ne s’appliquera par exemple pas au cas d’un ressort ou du

caoutchouc. Elle sera en revanche suffisante pour analyser tous les exemples mentionnés

ci-dessus.

En guise d’introduction pour montrer le nécessaire passage de la mécanique du point à la

mécanique du solide, nous étudierons dans un premier temps la cinématique de la rotation

d’un solide. Cette étude cinématique mettra en effet en évidence que chaque point du solide

ne se déplace pas à la même vitesse au cours d’une rotation et donc que le solide ne peut

être ramené à une masse ponctuelle. Puis nous nous limiterons ensuite à l’étude de la

statique du solide, c’est-à-dire à l’étude des forces qui agissent sur un corps en équilibre et

au repos. On pense tout naturellement à l’intérêt de cette problématique pour la conception


de pont ou de bâtiment, ces structures devant garder leur intégrité en présence de

sollicitations externes ordinaires (passage de véhicules sur un pont) ou extraordinaires

(tremblements de terre, vents violents…). Mais les concepts abordés en statique du solide

sont aussi extrêmement important dans d’autres domaines, comme par exemple la

biomécanique. Au repos, le corps humain est en effet une structure mécanique complexe en

équilibre statique et le moindre déséquilibre peut avoir des conséquences importantes.

Les notions abordées dans ce cours serviront de base à de futurs enseignements en

physique ou en mécanique. Le prolongement naturel de la statique du solide sera l’étude de

sa dynamique. Puis la prise en compte des déformations d’un solide sera abordée en

mécanique des milieux continus, encore appelée résistance des matériaux, et permettra de

comprendre tant les efforts internes subis par l’armature d’un pont que le principe de la

microscopie à force atomique. L’hydrodynamique décrira quant à elle les très grandes

déformations subies par un fluide tel que l’eau. Ces notions seront approfondies au sein de

la Licence mention Sciences pour l’Ingénieur.

41 Cinématique de la rotation


5.1 Translation vs rotation

Considérer qu’un solide à un volume fini autorise un nouveau type de mouvement : le

mouvement de rotation. Le mouvement d’un solide peut alors être de différentes natures :

Mouvement de translation pure (Figure 1a et Figure 1b) : un solide est animé d’un

mouvement de translation pure si une ligne joignant deux points quelconques du

solide (ronds gris) reste parallèle à elle-même au cours du mouvement (traits

pointillés fin). Si le solide se déplace sur une droite (Figure 1a : trait pointillé épais),

alors il s’agit d’une translation rectiligne. Si le solide se déplace sur une courbe

(Figure 1b : trait pointillé épais), alors il s’agit d’une translation curviligne.

Mouvement de rotation pure (Figure 1c et Figure 1d) : un solide est animé d’un

mouvement de rotation pure si tous les ponts du solide suivent des trajectoires

circulaires centrées sur l’axe de rotation (traits pointillés fins). Cet axe peut appartenir

au solide (Figure 1c) mais il peut aussi se situer hors du solide (Figure 1d).

Dans le cas général, le mouvement d’un solide est un mélange de translation et de

rotation (Figure 1e).

Figure 1


5.2 Mouvement de translation pure

Soit le solide en forme de bateau animé d’un mouvement de translation pure entre les

instants et ∆ dans le référentiel (Figure 2). Repérons trois points du solide à

l’instant : , et . A l’instant ∆ ces trois points se sont déplacés respectivement en ’, ’ et ’.

Figure 2

La translation pure se traduit par l’égalité . Or la vitesse du point appartenant au solide par rapport à , notée / est égale à :

/ lim∆ →

∆ .

Ainsi / / / .

Par conséquent, dans le cas d’une translation pure, tous les points du solide ont la même

vitesse. Autrement dit, parler de la vitesse d’un des points du solide est équivalent à parler

de la vitesse du solide. On peut donc décrire le mouvement du solide comme s’il s’agissait

d’un objet ponctuel.

5.3 Mouvement de rotation pure

Soit un solide dans un référentiel d’inertie . Un mouvement de rotation pure a lieu

lorsque l’axe de rotation est fixe par rapport à (cf Figure 1c et Figure 1d).

Reprenons le raisonnement du paragraphe précédent dans le cas d’une rotation pure du

solide en forme de bateau (Figure 3). Repérons deux points du solide à l’instant : et

. A l’instant ∆ ces deux points se sont déplacés respectivement en ’, ’.


Figure 3

Il apparaît clairement sur la vue de dessus que la distance parcourue par le point le long

de l’arc de cercle ’ pendant l’intervalle de temps ∆ est inférieure à la distance parcourue par le point le long de l’arc de cercle ’ pendant ce même intervalle de temps. Par

conséquent / / .

En revanche, comme illustré sur la Figure 4, l’angle dont a tourné le segment

pendant l’intervalle de temps ∆ est égal à l’angle dont a tourné le segment pendant

ce même intervalle de temps.

Figure 4

Ainsi, dans le cas d’une rotation pure, tous les points d’un solide tournent d’un même

angle par rapport à l’axe de rotation pendant un intervalle de temps donné. Autrement dit la

donnée d’un angle suffit pour décrire globalement la rotation du corps.


5.3.1 Variables angulaires

La position angulaire utilisée pour décrire une rotation est l’analogue de la position

utilisée pour décrire une translation en mécanique du point. Or deux informations sont

nécessaires pour définir complètement un axe des : son origine 0 et son orientation

(qui indique le sens des croissants). Il est en de même pour la position angulaire : affecter

une valeur à un angle impose de se fixer une origine des angles ( 0) et un sens associé

aux croissants. Par convention (cf Figure 5), le sens des croissants est le sens

trigonométrique (sens inverse des aiguilles d’une montre) tandis que le sens des

décroissants est le sens anti-trigonométrique (sens des aiguilles d’une montre).

Figure 5

Il existe une relation entre l’angle de rotation d’un solide et la distance parcourue par un

point du solide au cours de cette rotation. Sur la Figure 6, le point du bateau est situé à

une distance de l’axe de rotation et est repéré par la position angulaire à l’instant .

Suite à la rotation du solide, ce point du solide se retrouve en ’ à l’instant , toujours à une

distance de l’axe de rotation mais repéré par la position angulaire . Notons Δ la longueur

de l’arc de cerce ’ et Δθ θ θ . Lorsque les angles sont exprimés en radians, il

existe une relation très simple entre Δ et Δθ :

ΔθΔ

Remarques :

Pour un point A ayant parcouru exactement un tour complet entre les instants et ,

Δ 2 (périmètre d’un cercle de rayon ) et on obtient naturellement Δθ 2π.

Attention, Δ et Δθ sont des grandeurs algébriques : Δ (et donc Δθ) est positif si l’arc

de cercle ’ est parcouru dans le sens des θ croissants mais Δ (et donc Δθ) est

négatif si l’arc de cercle ’ est parcouru dans le sens des θ décroissants.

On appelle diamètre apparent l’angle sous lequel est vu un objet.

La lune, située à 3,8. 10 m de la Terre, a un diamètre 3,4. 10 m. Le

diamètre apparent Δθ de la Lune vue depuis la Terre est donc Δθ ⁄ et vaut

environ 9. 10 rad, soit environ 0.5°. Le Soleil, de diamètre 1,4. 10 m, est certes

environ 1000 fois plus grand que la Lune mais il est aussi bien plus loin de la Terre

(distance 1.5. 10 m). Étonnamment, son diamètre apparent Δθ ⁄ vaut

aussi environ 9. 10 rad. Ainsi, observés depuis la Terre, la Lune et le Soleil semble

avoir la même taille.


Figure 6

5.3.2 Vitesse angulaire

De même que lim → indique de combien se déplace un point par seconde,

nous allons définir l’analogue angulaire de , que nous appellerons vitesse angulaire et qui sera noté . Soit Δθ le déplacement angulaire d’un solide pendant un intervalle de temps Δ :

lim→

ΔθΔ

θ.

La vitesse angulaire est le taux de variation de la position angulaire par rapport au temps.

Plus la vitesse angulaire est élevée, plus le solide tourne rapidement, plus rapidement

change l’angle.

Remarques :

Dans les unités du système international, la vitesse angulaire s’exprime en rad. s .

D’autres unités sont rencontrées dans la vie quotidienne : tours par seconde, tours

par minute…

La vitesse angulaire , comme le déplacement angulaire Δθ, peut être positive ou

négative. Si le solide tourne dans le sens trigonométrique, θ augmente, Δθ 0 et

donc 0. A l’inverse, si le solide tourne dans le sens anti-trigonométrique, θ

diminue, Δθ 0 et donc 0.

Supposons la vitesse angulaire constante. La période du mouvement, exprimée en

secondes, est alors définie comme la durée que met le solide à effectuer un tour et la

fréquence , exprimée en Hertz (Hz) ou en , est le nombre de tours par seconde :

2

2 .


5.3.3 Relation entre vitesse et vitesse angulaire

Les paramètres angulaires (déplacement angulaire, vitesse angulaire) présentent

l’avantage de décrire la rotation de l’ensemble du solide. Cependant, lorsqu’on s’intéresse au

mouvement spécifique d’un des points du solide, il peut être utile de connaître sa vitesse de

déplacement.

Reprenons l’exemple de la Figure 6 et notons Δ . A tout instant, le point

appartenant au solide (le bateau) est situé à une distance constante de l’axe de rotation.

La distance Δ parcourue par le point pendant l’intervalle de temps Δ et son déplacement

angulaire Δθ sont reliés par :

ΔθΔ.

Divisons l’équation précédente par Δ : ΔθΔ

1ΔΔ.

Prenons alors la limite de l’expression ci-dessus lorsqueΔ → 0 :

lim→

ΔθΔ

1 lim

→

ΔΔ.

On reconnaît dans le membre de gauche la vitesse angulaire définie au paragraphe

5.3.2. La limite apparaissant dans le membre de droite est par définition la vitesse de

déplacement du point , notée :

/ ,

où est la distance à l’axe de rotation. Ainsi, lors d’un mouvement de rotation,

toutes les particules qui composent le solide ont la même vitesse angulaire mais chaque

particule se déplace à une vitesse proportionnelle à sa distance à l’axe de rotation. On note

que a le même signe que .

Remarque : Dans une course de patinage sur piste, supposons que deux patineurs 1 et 2

avancent à la même vitesse , le patineur 1 étant à la corde à une distance du centre et le

patineur 2 sur l’extérieur de la piste à une distance du centre, avec . Notons et

les vitesses angulaires respectives des patineurs 1 et 2. Les deux patineurs ont la même

vitesse donc . Or donc , i.e. . Pour une vitesse donnée, un

patineur à la corde met moins de temps pour faire un tour et est donc avantagé par rapport à

un patineur sur l’extérieur de la piste.

5.3.4 Différence fondamentale entre vitesse et vitesse angulaire

Lorsqu’un solide tourne autour d’un axe à une vitesse angulaire , cette grandeur suffit à

caractériser le mouvement de l’ensemble du solide. En revanche, la vitesse d’un point du

solide dépend de sa distance à l’axe de rotation et est égale au produit de cette distance par

la vitesse angulaire.

De plus, la vitesse angulaire d’un solide en rotation est la même par rapport à n’importe

quel point de ce solide, pas seulement par rapport à l’axe de rotation. Il suffit de se référer à


un exemple de la vie quotidienne pour s’en convaincre : il n’est pas nécessaire d’être à un

des deux pôles pour observer que la Terre fait un tour en 24h par rapport aux étoiles fixes.

Ainsi, il n’est pas nécessaire de préciser par rapport à quel point est calculée la vitesse

angulaire alors qu’il est impératif d’expliciter le point auquel est calculée une vitesse de

déplacement.

5.3.5 Ordres de grandeur

Le tableau ci-dessous donne des ordres de grandeur de vitesse et de vitesse angulaires

de différents mouvements connus.

Rotation … rad. s Hz Période m. s

… du Soleil autour du centre de la voie lactée

8. 10 1,3. 10 250. 10

années 2. 10

… de la Terre autour du Soleil 2. 10 3,2. 10 1 an 3. 10 … de la Lune autour de la

Terre 2,7. 10 4,2. 10 27,3 jours 3. 10

… d’un satellite géostationnaire 7,27. 10 1,16. 10 1 jour 3. 10 par rapport au

centre de la Terre

… de la Terre sur elle-même 7,27. 10 1,16. 10 1 jour 460 à l’équateur

(Guyane) … d’un patineur artistique sur

lui-même 30 4,8 210 ms

8 au niveau de l’épaule

… d’un disque dans un lecteur CD

40 6,4 160 ms 2,5 au bord du disque

… d’une lame de tondeuse 300 48 21 ms 75 au bord de la lame

5.3.6 Vecteur vitesse angulaire

Nous avons vu jusqu’à présent une très forte similitude entre les mouvements de

translation et les mouvements de rotation. Un dernier pas reste à franchir pour avoir une

analogie complète. De même que nous avons attribué une nature vectorielle à la vitesse de

translation d’un point matériel, nous allons définir un vecteur vitesse angulaire . Un vecteur

est caractérisé par une norme, une direction et un sens.

Dans le cas de la translation d’un point matériel appartenant à un solide dans un

référentiel selon l’axe par exemple, le vecteur vitesse est tel que :

- la norme de / est la vitesse du point,

- la direction de / indique la direction selon laquelle se déplace le point (ici

l’axe ), - le sens de / précise si le point matériel se dirige vers les positifs ou

négatifs.


Le vecteur vitesse angulaire associé à la rotation d’un solide autour d’un axe est défini

de la façon suivante :

- la norme de est la valeur de la vitesse angulaire du solide,

- la direction de indique la direction de l’axe de rotation,

- le sens de précise si la rotation du solide se fait dans le sens trigonométrique ou

anti-trigonométrique.

La définition du sens de nécessite l’adoption d’une convention. Cette convention peut

se résumer dans la règle de la main droite : le pouce de la main droite est dans la direction

de si les autres doigts sont courbés dans le sens de rotation, comme illustré Figure 7.

Figure 7

5.4 Relation entre le vecteur vitesse et le vecteur vitesse angulaire

5.4.1 Rappel : produit scalaire de deux vecteurs

Nous avons utilisé dans la partie sur la mécanique du point la notion mathématique de

produit scalaire entre deux vecteurs et , noté . . Comme son nom l’indique, le résultat

de cette opération est un scalaire dont la valeur peut s’exprimer de deux façons différentes :

en fonction de la norme des vecteurs et et de l’angle entre ces deux vecteurs :

. cos , ,

en fonction des composantes respectives , , et , , des vecteurs

et dans une base orthonormée directe , , :

.


5.4.2 Produit vectoriel de deux vecteurs

5.4.2.1 Définition

Par définition, le produit vectoriel entre deux vecteurs et , noté ∧ , est un

vecteur perpendiculaire au plan contenant et et égal à :

∧ sin ,

avec :

l’angle le plus petit entre les deux vecteurs quand leur origine coïncide (Figure 8).

Toutefois, l’angle 180 (en degrés) ou (en radians) peut aussi être utilisé car

sin sin .

Figure 8

est perpendiculaire au plan contenant et mais connaître son sens nécessite

de se donner une convention. Mathématiquement, la convention choisie impose que

le trièdre , , ∧ soit direct. Dans la pratique, le sens de peut être obtenu en

utilisant la règle de la main droite, règle qui a déjà été évoquée lors de la

détermination du sens du vecteur vitesse angulaire au paragraphe 5.3.6. On enroule

les doigts de la main droite à partir du premier vecteur apparaissant dans le produit

vectoriel, ici , vers le second vecteur , en parcourant le plus petit angle qui les

sépare. Le pouce indique alors le sens de .

5.4.2.2 Propriétés et cas particuliers

Soient trois vecteurs , et et un scalaire . Le produit vectoriel possède les propriétés

suivantes :

Linéarité : ∧ ∧ ∧

Distributivité par rapport à l’addition : ∧ ∧ ∧

Anti-commutativité : ∧ ∧

Remarque : à l’inverse du produit vectoriel, le produit scalaire est commutatif : . .

L’expression du produit vectoriel se simplifie dans les cas particuliers suivants :

∧ 0 si et sont colinéaires, i.e. 0 .

∧ si et sont orthogonaux, i.e. .


5.4.2.3 Calcul dans une base cartésienne

Comme pour le produit scalaire, le produit vectoriel entre deux vecteurs et peut aussi

s’exprimer en fonction des composantes de chaque vecteur exprimés dans une base

orthonormée directe , , . Il faut pour cela connaître le produit vectoriel deux à deux des

vecteurs de la base. Ces produits vectoriels sont en réalité des applications directes des cas

particuliers présentés ci-dessus :

∧ 0 ∧ ∧

∧ ∧ 0 ∧

∧ ∧ ∧ 0

Un moyen rapide de retrouver ces égalités repose sur le diagramme de la Figure 9.

Figure 9

Le produit vectoriel d’un vecteur par son voisin donne le troisième

doté d’un signe « + » si l’opération correspond au sens des flèches

(par exemple ∧ et d’un signe « - » pour le sens contraire (par

exemple ∧ ).

ATTENTION : le calcul précédent n’est pas valable dans une base orthonormée

indirecte. La Figure 10 ci-dessous présente deux exemples de bases

orthonormées directes et un exemple de base orthonormée indirecte.

Figure 10

Les produits vectoriels ∧ , ∧ et ∧ étant nuls, le produit vectoriel ∧ s’écrit alors :

∧ ∧

∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧


5.4.3 Relation entre le vecteur vitesse et le vecteur vitesse angulaire

Reprenons l’exemple de la Figure 6.

Figure 11

Nous avons vu que la vitesse d’un point du solide (le bateau) en rotation autour de

l’axe passant par et perpendiculaire au plan de la feuille est par rapport à :

/ ,

où est la distance à l’axe de rotation ( ) et est le vitesse angulaire bu bateau.

Cette vitesse peut être positive ou négative, selon que le solide tourne respectivement dans

le sens trigonométrique (partie gauche de la Figure 11) et anti-trigonométrique (partie droite

de la Figure 11). Nous avons par ailleurs vu en mécanique du point que la vitesse d’un point

en rotation est tangente à se trajectoire, autrement dit orthogonale au vecteur . Compte

tenu de la définition du produit vectoriel, l’ensemble de ces informations peut être résumé

dans la relation vectorielle suivante :

/ ∧ .

En effet, et étant orthogonaux, la norme du produit vectoriel est bien égale à . De

plus la direction de / est bien orthogonale à et le sens de / , qui peut être

obtenu avec la règle de la main droite, est dicté par le sens de . Par ailleurs, si appartient

à l’axe de rotation du solide, i.e. si et sont colinéaires, alors / 0 : c’est la

définition de l’axe de rotation du solide.

5.5 Rotation autour d’un axe de direction fixe : exemple du roulement

Nous avons vu au paragraphe 5.2 le cas d’un mouvement de translation pure puis au

paragraphe 5.3 celui d’un mouvement de rotation pure. Cependant, dans de nombreux cas,

le mouvement d’un solide résulte d’une superposition de ces deux mouvements. On peut par

exemple penser à une roue roulant sur une surface. Contrairement au paragraphe 5.3, l’axe

de rotation possède alors toujours une direction fixe par rapport au référentiel terrestre mais

se déplace au cours du mouvement.

Considérons une voiture roulant à vitesse constante et sans glisser (i.e. sans déraper) sur

une route. La roue tourne dans le sens indiqué sur la Figure 12, induisant une translation de


la voiture de la gauche vers la droite. La vitesse d’un point quelconque de la roue peut être

vue comme la somme de deux contributions. La rotation de la roue engendre en chaque

point une vitesse tangentielle de norme proportionnelle à la distance au centre de la roue. A

cette composante s’ajoute la vitesse de translation de l’ensemble de la roue. Cette dernière

est identique quel que soit le point de la roue considéré. Le résultat de cette somme est

présenté en bas à droite de la Figure 12.

Figure 12

Nous voyons que la vitesse du point en contact avec le sol est nulle, c’est-à-dire que la

composante en translation du vecteur vitesse de la roue (identique pour tout point de la roue)

et la composante en rotation du vecteur vitesse au niveau du sol sont égales en norme et

opposées en direction. L’odomètre d’une voiture mesure la vitesse angulaire de la roue et

utilise l’égalité de la norme entre ces deux composantes pour déterminer la distance

parcourue par la voiture.

Un autre point particulier de la roue est celui diamétralement opposé au point de contact

avec le sol. En ce point, la composante en translation du vecteur vitesse de la roue et la

composante en rotation du vecteur vitesse sont égales en norme et de même en direction.

Le haut de la roue se déplace donc à une vitesse double de la vitesse de translation. Cette

différence entre le haut et le bas de la roue explique que lorsqu’une voiture en mouvement

est prise en photo (avec un temps de pause suffisamment court), le haut de la roue paraisse

flou tandis que le bas est net (cf Figure 13).


Figure 13

Ce résultat peut se retrouver par le calcul. Nous nous intéressons au cas d’un roulement

sans glissement, telle une roue de voiture sur la route en situation normale. Le centre de la

roue, noté , se déplace à vitesse constante et nous nous intéressons au comportement des

points situés sur la périphérie de la roue, tels les points et : est au sommet de la roue

et est le point de la roue en contact avec le sol (Figure 14).

Figure 14

Le mouvement d’un point de la roue (solide ) se décomposant en un mouvement de

translation et un mouvement de rotation, la vitesse d’un point de la roue peut être obtenue

en utilisant la composition des vitesses introduites en mécanique du point :

/ / / ,

où est le référentiel lié à la roue.


Le vecteur / traduit la translation en bloc de la roue et ne dépend donc pas du point

. Dans le cas présent, est en translation rectiligne par rapport à . Calculer la vitesse relative de par rapport à revient à calculer la vitesse du centre de la roue par rapport à , / . La roue reste en contact avec le sol sans s’y enfoncer : la coordonnée selon

de est constante. Le vecteur vitesse / est donc orienté selon . Le roulement

s’effectuant sans glissement, la centre de la roue a parcouru après un tour, c’est-à-dire pendant un intervalle de temps égal à la période de rotation de la roue, une distance 2

égale au périmètre de la roue. La norme de / est donc égale à / soit

/ . Ainsi, / .

Vitesse du point A au sommet de la roue.

Le point a un mouvement de pure rotation par rapport au référentiel . La

vitesse du point A par rapport à peut donc être calculée avec la relation donnée au

paragraphe 5.4.3 :

/ ∧ ∧

Donc

/ / /

2

Vitesse du point B en contact avec le sol. Comme le point , le point a un mouvement de pure rotation par rapport au

référentiel . La même formule est donc utilisée pour calculer la vitesse du point appartenant au solide par rapport à , la seule différence portant sur l’expression

du vecteur : . Par conséquent :

/ ∧ ∧

La norme et la direction des vecteurs / et / sont donc identiques

mais ces deux vecteurs sont de sens opposés. La vitesse du point appartenant au solide par rapport à est donc :

/ / /

0

Nous retrouvons ainsi que le point du solide en contact avec le sol a une vitesse nulle. Ce

résultat n’est valable que dans le cas d’un roulement sans glissement. Il existe cependant

des cas où la composante en translation du vecteur vitesse de la roue (identique pour tout

point de la roue) et la composante en rotation du vecteur vitesse au niveau du sol ne sont

pas égales en norme et opposées en direction. Par exemple, une voiture qui freine trop

brusquement bloque ses roues et dérape ; la roue est alors animée d’un mouvement de


translation pure. A l’inverse, une voiture coincée dans la neige patine ; la roue est alors

animée d’un mouvement de rotation pure.

Dans le cas le plus général d’un mouvement de rotation, l’axe de rotation peut changer à

la fois de position et de direction. Cette situation plus complexe, à la base du principe du

gyroscope, sera étudiée ultérieurement dans des modules de mécanique du solide.

Nous venons dans cette partie d’introduire la notion de rotation d’un solide indéformable,

notion qui ne peut être comprise avec la mécanique du point et qui nécessite de considérer

le volume fini du solide. Nous allons maintenant aborder un autre concept qui lui aussi ne

peut être appréhendé qu’en ayant recours à la mécanique du solide : le moment d’une force.

56 Moment d’une force


Archimède est principalement connu pour avoir travaillé sur la théorie des corps flottants

qui a donné naissance à la poussée d’Archimède. Mais il s’est aussi intéressé à d’autres

domaines de la mécanique. Il aurait ainsi mis au point un ingénieux système de leviers,

poulies et palans et affirmé qu’en appliquant une petite force, il serait possible avec ce

système de soulever un objet très lourd. L’histoire lui attribue ainsi la mise à l’eau, sous le

règne du roi Hiéron au IIIè siècle av. J.-C., d’un trois-mâts avec à bord tout son chargement.

Suite à cet exploit, il aurait par ailleurs affirmé : « Donnez-moi un point d’appui et un levier, je

soulèverai le monde ». Bien plus tard, au XVè siècle ap. J.-C., Léonard de Vinci s’est

intéressé à la biomécanique et a montré que le corps humain se meut grâce à des systèmes

de leviers similaires. Ces deux exemples repose sur la notion de « moment de force » que

nous allons introduire dans cette partie et qui est à la base de la statique des solides qui sera

abordée dans la dernière partie.

6.1 Introduction de la notion de moment d’une force

Le moment d’une force joue le même rôle en rotation que la force en translation : la force

induit une translation du solide tandis que le moment de la force induit une rotation du solide.

6.1.1 Observation

Considérons le cas d’une personne souhaitant ouvrir une porte (Figure 15a). Les Figure

15b à Figure 15g sont une vue du dessus de la porte et illustrent différents cas où la norme

de la force est constante mais où la direction de la ligne d’action de la force ainsi que son

point d’application varient.

Figure 15 L’expérience nous montre que :

aucun mouvement de rotation n’est induit par une force dont la ligne d’action est

colinéaire à la porte (Figure 15b) ou dont le point d’application est au niveau des

gonds (Figure 15c),


lorsque la ligne d’action n’est pas colinéaire à la porte, il est d’autant plus facile de

l’ouvrir que le point d’application est éloigné des gonds (Figure 15d et Figure 15e),

pour un point d’application donné, la situation la plus favorable pour induire un

mouvement de rotation est lorsque la ligne d’action de la force est perpendiculaire à

la porte (Figure 15e et Figure 15f),

le sens de la rotation engendrée par la force dépend de la direction de la force

(Figure 15f et Figure 15g).

6.1.2 Définition du moment d’une force

Le moment au point induit par la force appliquée au solide en est défini par :

→ sin (unité : N.m) ,

avec et l’angle le plus petit (non orienté) entre les deux vecteurs et quand

leur origine coïncide. Le signe permet de tenir compte du sens de la rotation engendrée par

la force. En effet, imaginons deux personnes situées de part et d’autre de la porte exercent

en un même point des forces de module et de direction identiques mais de sens opposées.

Le résultat est que la porte ne tourne pas. Cela signifie que les moments induits au niveau

des gonds par les deux personnes se compensent, et donc qu’ils sont de signes opposés.

Ainsi il nous faut adopter une convention quant au signe d’un moment de force. Comme pour

la vitesse angulaire, le moment d’une force sera positif s’il tend à engendrer une rotation

dans le sens trigonométrique et il sera négatif dans le cas contraire. Ce sens sera indiqué

sur les schéma par une flèche en arc de cercle avec un signe +, comme sur la Figure 16 ci-

dessous. Dans le cas de gauche, le moment induit par en est positif, tandis qu’il est

négatif dans le cas de droite.

Figure 16

ATTENTION : le moment dépendant de la distance entre le point et le point d’application

de la force, il est impératif de connaître au préalable le point d’application de la force et

d’indiquer en quel point est évalué le moment.

Cette expression permet d’expliquer chacun des cas présentés Figure 15 :

Figure 15b : si 0, alors → 0,

Figure 15c : si 0, alors → 0,


Figure 15d et Figure 15e : à fixé, si ↗, alors → ↗ (d’où l’intérêt de

placer la poignée sur le montant extérieur de la porte…),

Figure 15f : si , alors → est maximum,

Les moments pour (Figure 15f) et (Figure 15g) sont opposés.

6.1.3 Interprétation graphique du moment d’une force

Regardons plus précisément l’expression du moment de la force à l’aide de la Figure 17.

Figure 17

L’équation définissant le moment d’une force peut être interprétée graphiquement selon

deux points de vue équivalents :

La force peut être décomposée en deux composantes : ∥ colinéaire à la porte et

orthogonale à la porte. Seule la composante sin induit un moment à la distance des gonds. Le moment peut alors s’écrire → .

La force agit sur la distance apparente sin , générant ainsi en un moment

→ . La distance , appelée bras de levier, est la distance

perpendiculaire du point à la ligne d’action de la force .

6.2 Exemples simples

Exemple 6-1. Clé droite vs clé tordue

1- Une main exerce sur une clé droite

une force appliquée en .

Calculer le moment résultant au

centre de l’écrou en . Faire

l’application numérique avec

10N et 30°. 2- Reprendre le calcul précédent

lorsque la clé est tordue.


Exemple 6-2. Gratte-ciel

Un gratte-ciel de hauteur 400m et à

base carrée de côté 40m est soumis à

un vent violent arrivant de la gauche. La

vitesse du vent, supposée uniforme sur

l’ensemble de la façade, est 160km. h .

L’action du vent est alors équivalente à une

force horizontale appliquée au point de

norme 20. 10 N.

Déterminer le moment exercé par le vent

en .

6.3 Définition vectorielle du moment d’une force

6.3.1 Moment d’une force

Nous allons maintenant généraliser la notion de moment d’une force par rapport à un

point que nous avons introduite au paragraphe 6.1.2.

Figure 18

Le moment → généré en par la force appliquée à la porte en est par

définition :

→ ∧ .

En utilisant la définition du produit vectoriel basée sur l’angle formé par les vecteurs et sur

leur norme :

→ sin

Sur l’exemple de la Figure 18, la règle de la main droite appliquée aux vecteurs et

conduit à , d’où :

→ sin .


Comme le moment d’une force, d’autres grandeurs physiques que vous rencontrerez par

la suite peuvent s’exprimer sous la forme d’un produit vectoriel tel le moment cinétique, la

force magnétique agissant sur une particule chargée.

6.3.2 Exemple du gratte-ciel traité vectoriellement

Nous venons d’écrire vectoriellement le moment à partir de l’angle formé par les vecteurs

et de leur norme. Une autre méthode, que nous allons voir sur l’exemple du gratte-ciel (noté

S) traité plus haut au paragraphe 6.2, consiste à décomposer les deux vecteurs dans une

base orthonormée directe.

→ ∧ avec et . Donc :

→ 2

∧

∧2

∧

2

Nous retrouvons le module du moment calculé au paragraphe 6.2. Dans le cas présent

0 donc le signe « - » nous indique que le vent induit une rotation en dans le sens anti-

trigonométrique, conformément à ce que l’on attend.

Cette méthode pourrait être déclinée sur tous les exemples vus aux paragraphe 6.2.

6.4 Notion de couple

Nous venons de voir qu’une force induit un moment en un point différent de son point

d’application et que ce moment dépend du point considéré. Il en est de même en général

pour un ensemble de force.

Cependant un cas particulier existe lorsque deux forces de même module, antiparallèles

et non-colinéaires sont appliquées à un solide. L’ensemble de ces deux forces est alors

appelé « couple ». Notons le module des deux forces et la distance séparant leur ligne

d’action. Une propriété intéressante d’un couple de forces est que quel que soit le point

considéré, ce couple exerce en un moment .

Démonstration :

En utilisant les résultats vus précédemment, le moment exercé à un endroit

quelconque de la Terre par un couple de forces et aux points d’application respectifs

et diamétralement opposés à la surface de la Terre (Figure 19) est égal à :

→ → →

∧ ∧

Or donc

→ ∧ ∧


∧

∧

Ce vecteur est donc indépendant du point . De plus, le module de est donc égal à

sin = car .

Figure 19

Un couple ne résulte pas forcément d’une seule paire de forces. Il peut résulter de

plusieurs paires de forces, chacune de même grandeur et de signes opposés. C’est le cas

par exemple d’un essieu qui fait tourner une hélice d’avion : chaque élément microscopique

de l’essieu exerce une force sur l’hélice et le nombre de ces forces est nettement supérieur à

deux. Néanmoins, elles peuvent toutes être associées par paires comme sur la Figure 19,

l’ensemble de ces forces étant alors qualifier collectivement de couple.

Comme vous pourrez le voir ultérieurement dans des modules avancés de mécanique du

solide, le moment de force joue le même rôle pour un mouvement de rotation que celui joué

par une force pour un mouvement de translation. Ainsi, de la même manière que

l’accélération d’un solide (i.e. sa mise en translation) est induite par une force, l’accélération

angulaire d’un solide (i.e. sa mise en rotation) est induite par un moment de force.

62 Centre de masse d’un solide


7.1 Pourquoi s’intéresser au centre de masse ?

Parmi tous les points d’un solide, un point particulier présente des propriétés remarquables :

son centre de masse (CM).

La figure ci-contre montre par exemple le mouvement d’une clé en chute

libre représenté tous les 1/30è de seconde. Si l’on focalise notre attention sur

le mouvement du trou dans la poignée à l’extrémité du manche, nous avons

l’impression d’un mouvement assez complexe. C’est en effet le cas pour tous

les points matériels constituant la clé, à l’exception de son centre de masse. A

chaque instant ce centre de masse (que nous allons définir dans cette partie) a

été indiqué par un petit point blanc. Nous voyons que ce point particulier du

solide a une trajectoire simplement rectiligne au cours de la chute. De façon

générale, vous verrez plus tard que le mouvement quelconque d’un solide peut

être décrit comme la superposition d’un mouvement de translation de son CM

et d’un mouvement de rotation du solide autour du CM. Le mouvement de la

clé peut ainsi être vu comme une chute de son CM à laquelle se superpose

une rotation de la clé autour de son CM. La physique du CM est par exemple

très importante pour les athlètes de saut en hauteur ou de saut à la perche.

Les meilleurs sauteurs parviennent ainsi à réussir leur saut même lorsque leur

centre de masse est situé sous la barre ! Sur la chronophotographie ci-

dessous décomposant le saut d’un surfeur, chaque point du corps du surfeur a

au cours du saut une trajectoire complexe mais le CM du surfeur suit une

trajectoire parabolique dont les caractéristiques dépendent uniquement de

l’inclinaison de la pente au départ du saut et de l’accélération initiale du surfeur

au moment du décollage.

Lors de la réalisation de jeux vidéo

ou d’effets spéciaux au cinéma, il est

essentiel de respecter cette propriété du

CM pour que la chute d’un corps

apparaisse « réaliste ». A une toute

autre échelle, en astrophysique, la Terre

et la Lune sont liées par la force de gravité et le mouvement de rotation de la Terre par rapport à

la Lune se fait autour du CM de l’ensemble {Terre+Lune}.

La seconde propriété particulière du CM d’un solide est liée à la force de gravité. Tout solide

de masse peut être considéré comme composé d’un très grand nombre de masses

ponctuelles. Chaque masse ponctuelle subit une force gravitationnelle descendante. Dans le cas

où toutes ces masses ponctuelles sont soumises à un champ de gravitation identique (comme

à la surface de la Terre par exemple), le poids du solide peut être modélisé par une force unique

s’appliquant au centre de masse du solide et égale à .


7.2 Centre de masse de deux masses ponctuelles rigidement liées

Considérons un solide S, représenté Figure 20, constitué de deux masses ponctuelles et

de masses respectives et reliées par une tige de masse négligeable comparée à et

.

Figure 20

Suite à l’action de la gravité, la masse est soumise en à la force et la masse

est soumise en à la force . Soit le centre de masse du solide . Nous venons

de voir que le poids du solide s’applique en son centre de masse. Le moment d’une force en

son point d’application étant nul (cf paragraphe 6.3.1), → 0. Or le moment induit par le

poids en est la somme du moment induit en par le poids de la masse (qui tend à faire

tourner dans le sens « + ») et du moment induit en par le poids de la masse (qui tend à

faire tourner dans le sens « - ») :

→ → →

∧ ∧

∧ ∧

Donc 0

Et donc

La coordonnée du centre de masse est donc la moyenne pondérée des coordonnées des

particules, les facteurs de pondération étant la masse de chaque particule.

Nous venons de faire le calcul dans le cas où une seule coordonnée intervient ( ici). Dans le

cas général où les deux particules et sont repérées respectivement par les vecteurs

positions et , le vecteur position du centre de masse est alors égal à :


7.3 Généralisation à un solide constitué d’un grand nombre de particules

7.3.1 Solide quelconque

La formule précédente s’étend au cas d’un solide composé de particules, pouvant être

très grand. Notons le vecteur position de la è particule, variant de 1 à . Le vecteur position

du centre de masse est alors donné par la moyenne pondéré des vecteurs positions des

particules, les facteurs de pondération étant la masse de chaque particule : ∑∑

.

La seule force ∑ agissant au CM du solide produit exactement le même effet

mécanique que l’ensemble des forces de gravité agissant sur toutes les masses ponctuelles qui

constituent ce solide.

7.3.2 Solide homogène présentant une symétrie

Ce calcul est a priori complexe dans le cas d’objets de formes arbitraires. Cependant, dans le

cas d’un solide présentant une symétrie et avec une répartition de masse homogène (i.e. la

masse volumique est la même en tout point du solide), la position du CM est déterminée très

facilement grâce à la propriété suivante :

Le CM d’un solide homogène et symétrique est confondu avec son centre géométrique.

Ainsi le CM d’une sphère homogène est le centre de la sphère, le CM d’un rectangle

homogène est le centre du rectangle, le CM d’un cerceau uniforme est le centre du cerceau, …

Notons que le CM d’un solide n’est pas nécessairement situé dans l’espace occupé par la

matière. Ainsi, dans le cas d’un cerceau par exemple, le centre de masse est situé au centre du

cerceau, c’est-à-dire à un endroit où il n’y a pas de matière. C’est aussi le cas d’un sauteur en

hauteur adoptant la technique de Dick Fosbury : au moment où il franchit la barre, son CM peut

se situer sous la barre.

7.3.3 Ensemble de solides homogènes présentant une symétrie

Dans le cas d’un solide composé de plusieurs solides homogènes et symétriques, la position

du CM du solide peut être déterminée en considérant chaque solide le constituant comme une

masse ponctuelle possédant la masse de ce solide et positionnée au CM de ce solide, confondu

dans ce cas-là avec son centre géométrique.


Exemple 7-1. Centre de masse d’un bonhomme de neige Illustrons cette propriété dans le cas d’un bonhomme de neige constitué de trois

boules de neige empilées les unes sur les autres et de diamètre respectifs 0.5m,

0.4m et 0.2m.

Nous supposons les trois boules de neige homogène et de masse volumique . Les trois solides constituant le bonhomme de neige sont donc des sphères homogènes de rayon 0.25m, 0.2m et 0.1m et leur centre de masse respectif est situé au centre des sphères, i.e en d’ordonnée 0.25m, en d’ordonnée

0.5 0.42 0.7m et en d’ordonnée 0.5

0.4 0.22 1m. En utilisant la propriété du CM d’un

ensemble de solides homogènes et symétriques, le CM du bonhomme de neige est directement égal à :

,

où , et sont les masses des boules de neige

respectivement centrées en , et .

Or la masse d’une sphère homogène est égale au

produit de sa masse volumique par son volume. Donc :

43

43

43

43

La masse volumique et le facteur se simplifient :

L’application numérique donne 0.42m.

Rappelons que l’ensemble de la partie 7 a été traité dans le cadre de l’hypothèse forte

suivante : le champ de gravitation auquel est soumis le solide considéré est le même en tout

point de ce solide. Cette hypothèse est valide dans la majeure partie des situations rencontrées

dans la vie quotidienne. Mais elle l’est aussi à de toutes autres échelles lorsque l’on s’intéresse à

la force de gravité exercée par une planète sur une autre planète car la distance entre les

planètes est très grande devant le diamètre des planètes. Cependant, lorsque le solide considéré

est un pont ou un gratte-ciel ou tout autre exemple dont les dimensions atteignent plusieurs

centaines de mètres voire le kilomètre, la dimension du solide n’est plus négligeable devant le

rayon de la Terre. Cette hypothèse cesse alors d’être valide et il n’est plus possible de considérer

que tous les points du gratte-ciel sont soumis au même champ de gravitation. L’étude de ces cas

dépasse le cadre de ce cours.

66 Statique des solides


Dans cette dernière section, nous allons énoncer le principe fondamental de la statique. Puis

nous mettrons en application ce principe au travers de divers exemples de complexité croissante.

8.1 Principe fondamental de la statique

Pour qu’un solide initialement au repos dans un référentiel galiléen reste en équilibre, deux

conditions doivent être satisfaites :

La somme vectorielle des forces extérieures agissant sur est nulle (équilibre en

translation) :

→ 0

La somme vectorielle des moments en un point des forces extérieures agissant sur

est nulle (équilibre en rotation) :

→ 0

Ces deux équations vectorielles appellent plusieurs remarques :

La seconde équation est vraie quel que soit le point considéré.

Dans le cas d’un couple appliqué à un solide (cf paragraphe 6.4), nous avons vu que la

somme vectorielle des deux forces composant le couple est nulle. Pourtant, un couple

peut mettre en rotation le solide. La seconde équation vectorielle ci-dessus permet

d’interdire ce mouvement de rotation. Lorsque le solide peut être considéré comme une

particule ponctuelle, seule la première équation vectorielle sur le bilan des forces est

nécessaire (cf 1è partie du cours).

La notion de repos n’a de sens que si elle est définie par rapport à un référentiel : un

solide peut être au repos par rapport à la Terre mais en mouvement par rapport au Soleil.

Dans ces deux équations, la notion d’ « extérieur » au système considéré est primordiale.

Toutes les forces internes à un système et participant à sa cohésion ne doivent pas être

considérées.

Selon le nombre d’inconnues à déterminer, l’utilisation d’une seule des deux équations

vectorielles du principe fondamental de la dynamique peut suffire. En revanche, l’étude de

certains systèmes nécessite l’utilisation combinée de ces deux équations. C’est ce que nous

allons voir dans la suite au travers de divers exemples.


8.2 Méthode de résolution d’un problème de statique de solides

La méthode suivante est valable pour aborder un problème de statique des solides mais elle

le sera aussi pour tout problème de dynamique.

1. Expliciter le système dont on veut étudier l’équilibre. Cette étape primordiale permet de

spécifier ce qui sera considéré comme « extérieur » au système.

2. Recenser alors l’ensemble des forces extérieures s’appliquant sur le système.

Contrairement à la mécanique du point, dans le cas d’un solide il est impératif de spécifier

le point d’application de chacune de ces forces.

3. Résumer ces informations sur un schéma. Ce schéma, sur lequel seront indiqués les

axes du repère choisi, est une aide très précieuse au moment de la projection des forces

ou de la détermination du signe d’un moment de force. Indiquer sur ce schéma une flèche

en arc-de-cercle avec un signe « + » pour fixer le sens d’un moment positif.

4. Ecrire les deux équations vectorielles du principe fondamental de la statique et les

projeter sur les axes du repère choisi

a. Si l’orientation d’une force est inconnue, on la décrit par deux composantes

orthogonales.

b. Pour l’équation relative aux moments des forces, le point par rapport auquel sont

calculés ces moments doit être choisi de façon judicieuse pour simplifier au

maximum les calculs.

5. Il ne reste plus qu’à résoudre les équations pour déterminer les inconnues.

8.3 Exemple 1 – La balance

Considérons maintenant une balance libre de pivoter autour du point . Une

masse , de centre de masse , est placée à une distance à gauche de .

Une masse , de centre de masse , est placée à une distance à droite de .

La balance a une masse négligeable devant et .

Nous cherchons à déterminer le lien entre et pour assurer l’équilibre de la

balance.

1. Effectuer un bilan des forces extérieures agissant sur le plateau de la

balance. Est-il possible d’obtenir une relation entre et ?

2. Effectuer en un bilan des moments des forces extérieures agissant sur le

plateau de la balance. Est-il possible d’obtenir une relation entre et ?

3. Effectuer en un bilan des moments des forces extérieures agissant sur le

plateau de la balance. Est-il possible d’obtenir une relation entre et ?


8.4 Exemple 2 – Equilibre d’une échelle

Une échelle d’épaisseur négligeable, de

longueur et de poids est posée sur un

plancher rugueux et contre un mur lisse, i.e. sans

frottement. Le coefficient de frottement statique

du plancher est 0.6 . Le but de l’exercice est

de déterminer l’angle maximal de l’échelle avec le

mur au-delà duquel l’échelle se met à glisser.

Le système de coordonnées est indiqué sur la

figure ci-contre.

1. Isoler l’échelle et effectuer un bilan des forces extérieures s’exerçant dessus.

On décompose les forces inconnues dans la base , : ,

et . En déduire une relation entre et d’une part, et entre , et d’autre part.

2. Effectuer en un point judicieusement choisi un bilan des moments des forces

extérieures agissant sur l’échelle. Déterminer alors l’angle maximal

entre le mur et l’échelle pour que l’échelle ne glisse pas.

3. Pour cette valeur , la force exercée par le mur représente quelle

proportion du poids de l’échelle ?

9 Bibliographie

Physique / 1- Mécanique (Benson, De Boeck)

Physique / 1- Mécanique (Hecht, De Boeck)

Physique / 1- Mécanique (Séguin, De Boeck)

Mécanique (J.-P. Ansermet, Presses polytechniques et universitaires romandes)

Mécanique générale (Pommier/Berthaud, Dunod) cours et exercices disponibles en ligne

Physique (Kane/Sternheim, Dunod)

Cours de Physique de Feynman – Mécanique 1 (Feynman, Dunod)

Mécanique pour ingénieurs / Volume 1 – Statique (Beer & Johnston, Chenelière/McGraw-

Hill)

Mécanique générale – Mécanique du point et du solide, vibrations, chocs, équations de

Lagrange (Chèze, Ellipses)

Fundamentals of Physics (Halliday, Resnick and Walker, John Wiley & Sons)

.

10

Documents

Physique et Ingénierie Mécanique du point et du solide – Cours · 2020. 12. 9. · Physique et Ingénierie Mécanique du point et du solide – Cours – Année 2020 – 2021