Physique - MPSI-PTSI - Le compagnon.pdf

PhysiqueMPSI-PTSI LE COMPAGNON

DES MMES AUTEURS Physique : Le compagnon PCSI, Dunod, 2011.

Illustrations intrieures : Antony Cristo

Dunod, Paris, 2011 ISBN 978-2-10-056831-4

PhysiqueMPSI-PTSI LE COMPAGNONThibaut CousinProfesseur de physique au lyce Faidherbe (Lille)

Herv PerodeauProfesseur de physique au lyce Marceau (Chartres)

Table des matires4. Miroirs sphriques4.1 4.22 2 4 5 7 8 12 18 18 19 19 21 Tests et exercices Synthse Tests et exercices Corrigs des exercices 23 Corrigs des exercices 24 27 32 32 35 35 37 37 38 39 42 76 71 Gnralits Stigmatisme

Partie 1 Optique gomtrique1. Lumire et rayon lumineux1.1 1.2 1.3Lois de Snell-Descartes Consquences des lois de Snell-Descartes Angle de dviation dun rayon lumineux

48 48 51 52 54 55 57 61 61 64 65 66 67 69 70

4.3 Rgles de constructionSynthse Tests et exercices Corrigs des exercices

Synthse Tests et exercices Corrigs des exercices

5. Instruments doptique5.1 5.2Les sources de lumire Collimateur

2. Formation des images2.1 2.2 2.3 2.4Systme optique centr Notion dobjet et dimage Stigmatisme : conditions de Gauss Foyers

5.3 Lunette de vise 5.4Oculaire

5.5 Lunette auto-collimatrice 5.6 GoniomtreSynthse

3. Lentilles sphriques minces3.1 3.2Gnralits Stigmatisme

Partie 2 lectrocintique Premire priode6. Le diple lectrocintique6.1tat lectrique dun diple 84 84 86 87 88 92 93 96

3.3 Rgles de construction 3.4 Association de lentilles minces accoles 3.5 Focomtrie lmentaireSynthse Tests et exercices Corrigs des exercices

6.2 Conventions dorientation 6.3 Caractristique statique dun diple 6.4 Diples linairesSynthse Tests et exercices Corrigs des exercices

IV

Table des matires

7. Thormes gnraux pour les circuits linaires7.1 7.2 7.3 7.4Associations srie et parallle Associations de diples linaires passifs Associations de diples linaires actifs Associations de diples actifs et passifs

11. nergie100 100 101 101 104 106 107 111

171 171 173 176 177 178 181

11.1 11.2 11.3

Thorme de lnergie cintique Cas des forces conservatives nergie potentielle Thorme de lnergie mcanique



8. Rgime transitoire dans les circuits linaires8.1Aborder un problme de rgime transitoire charge dun condensateur

117 117

12. Systmes conservatifs un degr de libert Oscillateurs12.1quilibre et nergie potentielle Oscillateur en rgime libre Portrait de phase

186 186 188 189 191 192 196

8.2 Rsolution-type du premier ordre :119 121 124 129

12.2 12.3

8.3 Rsolution-type du deuxime ordre :rgime libre dun RLC srie Synthse Corrigs des exercices


Partie 3 Mcanique du point Premire priode9. Cinmatique du point9.1 9.2Rfrentiel et observateur Systmes de coordonnes 138 138 139 141 144 145 147

Partie 4 lectrocintique Deuxime priode13. Diples en rgime sinusodal13.1 13.2 13.3Notation complexe dun signal sinusodal Rsolution dun problme en rgime sinusodal forc Puissance 204 205 207 208 209 210 214

9.3 Exemples simples de mouvementsSynthse Tests et exercices Dunod. La photocopie non autorise est un dlit

Corrigs des exercices

Synthse Tests et exercices

10. Dynamique du point en rfrentiel galilen10.1 10.2 10.3Notion de force Lois de Newton Exemples de mouvements et de forces

150 150 151 152 157 158 163

Corrigs des exercices

14. Rsonance en rgime sinusodal forc14.1 14.2 14.3Prsentation Rsonance en intensit

220 221 221


Rsonance en tension aux bornes du condensateur 223

V

Table des matiresSynthse Tests et exercices Corrigs des exercices 225 226 228 Tests et exercices Corrigs des exercices 288 290 292 293 293 294 295 296 296 297 300

19. Problme deux corps 15. Lamplicateur oprationnel15.1 15.2 15.3tude de lAO Montages simples base dAO en rgime linaire quation diffrentielle 232

19.1232

Notations Grandeurs associes au systme dans (R) Grandeurs associes au mobile ctif Thormes de Knig Revenir au problme initial

19.2234 237 238 239 241 243 244 246 248 249 250 255

19.3 19.4 19.5



16. Filtrage linaire16.1 16.2 16.3Fonction de transfert harmonique Diagramme de Bode asymptotique dun ltre linair Caractrisation des principaux ltres

20. Champ de forces newtoniennes20.1 20.2 20.3 20.4Proprits des forces newtoniennes Invariants du mouvement Mouvements engendrs par des forces newtoniennes Proprits gomtriques et mcaniques des cniques non bornes Proprits gomtriques et mcaniques des ellipses

304 305 305


306

Partie 5 Mcanique Deuxime priode17. Rsonance mcanique17.1Rsolution du problme Synthse Tests et exercices Corrigs des exercices 268 268 271 272 276

308

20.5

309 312 313 318 327 328 331 332 335 336 341


21. Changement de rfrentiel21.1Cinmatique de deux cas particuliers Complments de dynamique Quelques rfrentiels

18. Dynamique des mouvements de rotation18.1 18.2 18.3Moment dune force Moment cintique dun point matriel Thorme du moment cintique

282 282 285 285 287

21.2 21.3


Synthse

VI

Table des matires

Partie 6 Thermodynamique22. Introduction la thermodynamique22.1 22.2Considrations dchelle Paramtres dtat 348 348 349 351 352

25.4 25.5

nergie interne et enthalpie Bilan nergtique pour un gaz parfait

386 388 389 390 395



26. Deuxime principe de la thermodynamique26.1Entropie et rversibilit Identits thermodynamiques Transformations particulires Entropie de systmes particuliers Troisime principe de la thermodynamique

401 402 403 403 405 406 406 407 409

353

26.2

23. Cintique des gaz23.1 23.2 23.3 23.4 23.5Modle du gaz parfait monoatomique Gnralisation au gaz parfait polyatomique Mlange idal de gaz parfait Exemple de uide rel : le gaz de van der Waals Coefcients thermolastiques

354 354 357 357 358 358 360 361 364

26.3 26.4 26.5



27. Changement dtat dun corps pur27.1Outils pour la description des changement de phase Diagramme (P, T) dun corps pur Diagramme de Clapeyron

412

24. Hydrostatique24.1 24.2 24.3 Dunod. La photocopie non autorise est un dlit

368

412 414 416 418 419 422 427 427 428 430 431 432 437

Principe fondamental de la statique des uides Statique dun uide homogne incompressible

27.2368 369

27.3


Statique dun uide homogne compressible 370 Thorme dArchimde 371 372 373 376

24.4


28. Machines thermiques28.1 28.2Gnralits sur un cycle ditherme Gnralisation

25. Premier principe de la thermodynamique25.1 25.2 25.3Premier principe Types de transformation Travail des forces de pression extrieure

380 381 382 384

28.3 Thorme de CarnotSynthse Tests et exercices Corrigs des exercices

VII

Table des matires

Partie 7 lectromagntisme29. Champ lectrostatique29.1 29.2 29.3Distributions de charges Mthodes de calcul du champ lectrique Thorme de Gauss 446 446 452 454 459 460 463 472 472

33.3 33.4 33.5

Calcul du champ magntique rayonn par un conducteur liforme

516

Proprits vectorielles du champ magntique 518 Thorme dAmpre 520 521 522 523 526 533 533 534

33.6 Topographie du champ magntiqueSynthse Tests et exercices Corrigs des exercices


34. Force de Lorentz34.1 34.2 34.3Gnralits Charge dans un champ lectrique permanent uniforme

30. Potentiel lectrique30.1 30.2Potentiel rayonn par une distribution de charge Circulation du champ lectrique le long dun contour

476 477 478 480 481 484 489 490 493 498 498

Charge dans un champ magntique permanent uniforme 534 534 535 537

30.3 nergie potentielle lectrique 30.4Topographie du champ lectrique



31. Analogie formelle avec la gravitationSynthse Corrigs des exercices

Partie 8 Fiches mthode1. Lcrit de concours : face un problme 2. Angles et trigonomtrie 3. Systmes de coordonnes 4. Projeter un vecteur sur un axe542 546 548 551

32. Diple lectrostatique32.1 32.2 32.3Lapproximation dipolaire Potentiel et champ rayonns grande distance Action dun champ lectrique extrieur sur un diple lectrostatique

499 501 502 503 506 512

5. Rsoudre des quations diffrentielles linaires 6. Comprendre ce que reprsentent les diffrentielles 7. Manipuler des intgrales symboliques 8. Dveloppements limits 9. Cniques Index

552


555

558 560 563 565

33. Champ magntostatique33.1 33.2 VIIIChamp magntique rayonn par un conducteur liforme

512

Proprits de symtrie du champ magntique 514

Pour bien utiliser cet ouvrageLa page dentre de chapitre Elle propose une introduction au cours, un rappel des prrequis et des objectifs, ainsi quun plan du chapitre.

Le cours

Le cours aborde les notions du programme de faon synthtique et structure an den faciliter lapprentissage. Des encarts dtaillent tape par tape les mthodes essentielles, et sont suivis dexemples dapplication.

Les pictogrammes

Des commentaires pdagogiques vous accompagnent dans le cours et dans les corrigs dexercices. Ils sont identis par deux pictogrammes :ni MoMo

Dunod. La photocopie non autorise est un dlit

er A

re Monie lgb

r

n ie

om bre G r Alg

n ie Mo

onier tr ie M om onier bre M r Alg

Commentaires pour bien comprendre le cours ou les corrigs dexercices. Mise en garde contre des erreurs frquentes.

G

tr i e Gom

Des vidos dexprriences sont consultables en ligne sur la page de louvrage du site dunod.com. Ces vidos sont repres par le pictogrammme :

La synthse En n de chapitre, elle vous propose un rcapitulatif des savoirs, des savoir-faire et des motsIX cls.

Pour bien utiliser cet ouvrage Tester ses connaissances Quelques Vrai/Faux pour tester votre connaissance du cours. Exercices dapplication Ils vous proposent dutiliser vos connaissances du cours pour rsoudre des problmes simples. Leur difcult est indique sur une chelle de 1 3.

Exercices dapprofondissement Des noncs qui vous proposent de rsoudre des problmes demandant une rexion plus pousse, souvent extraits dannales de concours. Leur difcult est indique sur une chelle de 1 3.

Les corrigs des exercices Tous les tests de connaissances, les exercices dapplication et dapprofondissement sont corrigs. Les solutions sont regroupes en n de chapitre.

X

Pour bien utiliser cet ouvrage

Liste des vidos dexpriences que vous pourrez trouver sur le site www.dunod.com, sur la page rfrenant louvrage.Ces vidos sont signales au cours de louvrage dans la marge, en vis--vis des parties de cours auxquelles elles se rapportent, ou dans les corrigs dexercices par le pictogramme suivant : 1. Rexion et rfraction de la lumire : tude de la rexion sur un miroir plan, tude de la rfraction dun milieu moins rfringent un milieu plus rfringent (avec rfraction limite) et inversement (avec rfraction totale). 2. Goniomtre : rglages et mesures dangle sur un prisme (angle au sommet et minimum de dviation). 3. Spectroscopie prisme : rglages et mesures des longueurs donde des raies dune lampe inconnue. 4. Reconnatre la nature des lentilles et miroirs : par observation de leur forme, par des observations optiques basiques, par leur effet sur un faisceau de lumire parallle. 5. Focomtrie : mesures de distances focales de lentilles convergentes et divergentes par des mthodes classiques (autocollimation, mthode de Bessel, mthode de Badal, mthode de Silbermann) 6. Diple RC : tude en charge et en relaxation, mesures de constantes de temps, inuence de la valeur des diples. 6 bis. Diple RL : tude en charge et en relaxation, mesures de constantes de temps, inuence de la valeur des diples. 7. Circuit RLC srie en rgime libre : oscillations lectriques par dcharge dun condensateur dans un diple RL, diffrents rgimes de fonctionnement, inuence de la valeur de chaque diple sur le phnomne. 8. Circuit RLC srie en rgime forc : rsonance en intensit et en tension, inuence de la valeur des diples sur les phnomnes 9. Filtre passe-bas : mthodes de mesures, trac du diagramme de Bode (gain et phase), caractristiques du ltre (frquences de coupure, bande passante) 10. Filtres passe-bande et coupe bande : trac des diagrammes de Bode (gain et phase), caractristiques des ltres (frquences de coupure, bande passante) 11. Oscillateur pont de Wien : tude des deux tages de loscillateur, ltre de Wien et boucle de rtroaction. Naissance des oscillations. Dunod. La photocopie non autorise est un dlit

12. Calorimtrie : mesure de la chaleur latente de fusion de la glace.

XI

Partie 1

Optique gomtrique

Lumire et rayon lumineux

CHAPITRE

1

Plan1.1 1.2Lois de Snell-Descartes Consquences des lois de Snell-Descartes Angle de dviation dun rayon lumineux 2

IntroductionLoptique gomtrique est ltude des rayons lumineux, interprts comme la trajectoire de particules de lumire appels photons. Cependant, la lumire nest pas toujours descriptible de cette manire ; vous tudierez dautres situations en deuxime anne.

4 5 7 8 12

1.3


Prrequis

Angles orients (voir che mthode 2) Trigonomtrie lmentaire

Objectifs

Prsenter la notion de rayon lumineux Introduire les lois de Descartes

1.1 Lois de Snell-Descartes1.1.1 Dnitions et conventions dorientationUn rayon lumineux arrive sur une surface rfractante ou rchissante en un point appel point dimpact ; la droite perpendiculaire la surface au niveau du point dimpact sappelle la normale.Si le rayon incident et la normale sont confondus, le plan dincidence nest pas dni. Mais, comme le montrent les lois de Snell-Descartes, il nest pas utile dans ce cas. Pour quelques conseils sur la gestion des angles orients, reportez-vous la che mthode 2.

Dnition Le rayon lumineux incident et la normale dnissent le plan dincidence.

ni MoMo

er A

re Monie lgb

r

n ie

om bre G r Alg

n ie Mo


tr i e Gom

En optique gomtrique, linclinaison dun rayon lumineux est gnralement mesure par langle entre la normale et le rayon lumineux. Cet angle est usuellement orient de la normale vers le rayon lumineux.

G

2


COURS & MTHODES

1

1.1.2 Lois de Snell-Descartes de la rexionCes lois sappliquent lorsquun rayon lumineux arrive sur un miroir. 1. Le rayon lumineux rchi appartient au plan dincidence. 2. i1 = i1 : langle de rexion est loppos de langle dincidence (gure 1.1).Plan d'incidence Normale

Rayon incident

Rayon rflchi

i1Point d'impactVoir vido 1 : Rexion et rfraction de la lumire

i'1

Miroir

Figure 1.1 Rexion dun rayon sur un miroir.

1.1.3 Indice optique dun milieun prend des valeurs typiquement entre 1 et 3. Une valeur plus grande est rarement raisonnable. n est sans dimension et sans unit

Lindice optique dun milieu est dni par : n= c , v

ni MoMo

er A

re Monie lgb

r

n ie

om bre G r Alg

n ie Mo


tr i e Gom

avec c = 299 792 458 m.s1 la clrit de la lumire dans le vide et v la vitesse de propagation de la lumire dans le milieu.

G

1.1.4 Lois de Snell-Descartes de la rfractionCes lois sappliquent lorsquun rayon lumineux arrive sur un dioptre, surface sparant deux milieux dindices dirents. 1. Le rayon lumineux rfract appartient au plan dincidence. 2. n1 sin(i1 ) = n2 sin(i2 ) (gure 1.2). Dunod. La photocopie non autorise est un dlit

Rayon rfract

i2Point d'impact

n2 n1

I i1Normale

Dioptre

Rayon incidentVoir vido 1 : Rexion et rfraction de la lumire

Plan d'incidence

Figure 1.2 Rfraction dun rayon la traverse dun dioptre. 3

1

COURS & MTHODES


1.2 Consquences des lois de Snell-Descartes1.2.1 Principe du retour inverse de la lumireLes lois de Snell-Descartes sont indpendantes du sens de propagation des rayons lumineux : si un rayon emprunte un certain chemin pour aller dun point A un point B, il empruntera ce mme chemin en sens inverse pour aller de B A.

1.2.2 Rfraction limiteni MoMo

er A

re Monie lgb

r

n ie

om bre G r Alg

n ie Mo


tr i e Gom

Un milieu est dit, par exemple, trs rfringent sil a un indice lev. Cet adjectif semploie surtout pour comparer des milieux : un milieu est plus rfringent quun autre.

Lorsquun rayon lumineux arrive sur un milieu plus rfringent, il le traverse toujours et se rapproche de la normale. Langle de rfraction reste alors infrieur une valeur limite correspondant un angle dincidence /2 (gure 1.3) : n1 sin = n2 sin(i2max ) 2 i2max = arcsini 2max

G

n1 n2

2

Dioptre

Voir vido 1 : Rexion et rfraction de la lumire

Figure 1.3 n1 < n2 : limitation de langle de rfraction quand langle dincidence devient grand.

1.2.3 Rexion totaleLorsquun rayon lumineux arrive sur un milieu moins rfringent, il y a risque de rexion totale. Il y a rfraction si langle dincidence est infrieur une valeur limite correspondant un angle de rfraction /2 : n1 sin(i1max ) = n2 sin 2 i1max = arcsin n2 n1

Dans ce cas, le rayon sloigne de la normale. Mais si i1 > i1max , le rayon est rchi suivant les lois de la rexion. Cest le phnomne de rexion totale. Cela est illustr gure 1.4.

4


COURS & MTHODES

1

Dioptre

2 i i i 1max

Voir vido 1 : Rexion et rfraction de la lumire

Figure 1.4 n1 > n2 : si langle dincidence est trop grand, langle de rfraction nest plus dni.

Mthode 1 Manipuler les lois de Snell-Descartes 1. Noubliez jamais la premire partie de ces lois : le rayon rchi ou rfract appartient au plan dincidence ! 2. Dans le cas dune rfraction, comparez toujours les indices optiques. Vous devez pouvoir dire sans hsitation que : Si n1 < n2 , le rayon traverse toujours et se rapproche de la normale. Langle de rfraction ne peut jamais atteindre /2 (rfraction limite). Si n1 > n2 , il y a risque de rexion totale : la rfraction na lieu que si i1 < i1 max . La fonction arcsin naccepte que des arguments entre 1 et 1, cela doit vous guider pour crire le rapport des indices optiques dans le bon sens. 3. Les angles dincidence, de rfraction et de rexion sont pris entre le rayon lumineux et la normale au dioptre ou au miroir !

1.3 Angle de dviation dun rayon lumineux Dunod. La photocopie non autorise est un dlit

Dans de nombreux exercices classiques, vous devrez calculer langle de dviation dun rayon lumineux la traverse dun systme complexe (prisme, goutte deau, etc). Cet angle est dni comme langle entre le rayon incident et le rayon mergent, en gnral orient de lincident vers lmergent.

i

i D =p 2 i

Rexion : D = 2i

5

1

COURS & MTHODES


D=ri rDioptre

Rfraction : D = r i

i

Mthode 2 Calculer un angle de dviation 1. Comme la lumire se propage en ligne droite entre deux rexions ou rfractions, la dviation totale subie par un rayon pendant la traverse dune dispositif optique est la somme des dviations subies le long du chemin. 2. Identiez les diverses rexions et rfractions subies par le rayon pendant la traverse et calculez sparment chaque angle de dviation (D = 2i pour une rexion, D = ri pour une rfraction). 3. Additionnez-les. Exemple dapplication Quelle dviation subit un rayon qui se rfracte successivement sur deux dioptres plans parallles entre eux ? Vous prendrez le cas o les indices optiques des trois milieux ainsi dnis vont croissants de la gauche vers la droite. Solution Les angles sont dnis comme indiqu sur la gure 1.5. La premire dviation par rfraction est D1 = i2 i1 et la seconde D2 = i3 i2 . Donc la dviation totale est D = D1 + D2 = i3 i1 .D = D 1 + D2 D2 i3

i1

D1 i2

Figure 1.5 Dviation totale par deux dioptres plans parallles.

Les lois de la rfraction donnent n1 sin(i1 ) = n2 sin(i2 ) et n2 sin(i2 ) = n3 sin(i3 ) donc n1 sin(i1 ) = n3 sin(i3 ). Do le rsultat : D = arcsin n1 sin(i1 ) i1 n3

6


COURS & MTHODES

1

SynthseSavoirs

Dnition de lindice optique dun milieu Lois sur la rexion et la rfraction de Descartes Orienter les angles et les lire sur une gure

Existence dune rfraction limite et dune rexion totale, angle limite. Principe du retour inverse de la lumire

Savoir-faire

Retrouver langle limite de rfraction

Respecter lloignement ou le rapprochement la normale des rayons lors dune rfraction Calculer la dviation (oriente) dun rayon lumineux

Mots-cls

Rayon lumineux, angle orient, rexion,

rfraction, indice optique, dviation.


7

1

TESTS & EXERCICES


Tests de connaissances1.1 Les rayons rchis et rfracts sont tous deux dans le plan dincidence. a. Vrai b. Faux Si n1 > n2 , la rfraction est toujours possible. a. Vrai b. Faux Si n1 < n2 , la rfraction nest jamais possible. a. Vrai b. Faux 1.4 Lors dune rfraction, D = i2 i1 quelle que soit lorientation choisie. a. Vrai b. Faux D = 2i lors dune rexion. a. Vrai b. Faux Aux petits angles, la relation de rfraction devient n1 i1 = n2 i2 avec des angles mesurs en radian. a. Vrai b. Faux

1.2

1.5 1.6

1.3

Exercices dapplication1.7 Principe du catadioptre (Daprs Centrale-Suplec.) La distance Terre-Lune est mesure via le temps de trajet aller-retour dun rayon laser tir depuis la Terre et se rchissant sur un dispositif catadioptrique install sur la surface lunaire. Lobjet de cet exercice est dtudier le principe de ce catadioptre. 1. Pourquoi un simple miroir pour rchir le rayon laser ne ferait pas laaire ? 2. Le catadioptre est un coin de cube , trois miroirs angle droit dlimitant un coin de cube (gure 1.6). Lensemble est muni dun repre Oxyz tel que chaque miroir est lun des plans xOy, xOz et yOz.z

un spot clairant vers le haut dans un cne de demi-ouverture = 60 . tudiez lclairement du fond du bassin : formes et dimensions des zones claires et des zones sombres. 1.9 Dviation de la lumire par un prisme Un faisceau de lumire parallle tombe sous incidence normale sur toute la face dentre dun prisme de petit angle au sommet , de hauteur H et dindice n (gure 1.7).

O

y

Figure 1.7 Prisme de petit angle au sommet. Donnes numriques : = 2,90.103 rad ; n = 1,500 ; H = 2,00 cm. 1. 2. Reprsenter sur un schma le faisceau mergeant du prisme, dans un plan de section principale. Exprimer langle de dviation D du faisceau par le prisme en fonction des paramtres et n du prisme en tenant compte de la faible valeur de langle . Calculer numriquement langle de dviation D. On place tte-bche deux prismes identiques celui quon vient dtudier (gure 1.8). Lensemble est toujours clair sous incidence normale. Reprsenter la zone dans laquelle les deux faisceaux mergents se croisent. Dterminer alors sa longueur L.

x

Figure 1.6 Coin de cube utilis comme catadioptre. Un rayon lumineux arrive sur le miroir avec un vecteur directeur (a, b, c). Prenons lexemple o le rayon frappe dabord le miroir xOy, puis xOz, puis yOz. a) Que devient le vecteur directeur aprs chaque rexion ? b) Concluez sur lutilit du catadioptre. 1.8 clairage dun bassin Un bassin deau (indice n = 1,33) circulaire de rayon R = 4 m et de profondeur h = 80 cm possde, au fond et en son centre, 8

3. 4.


TESTS & EXERCICES

1

tence simultane dun rayon rchi et dun rayon rfract partir dun seul rayon incident. Pour quelle valeur de langle dincidence le rayon rchi est-il perpendiculaire au rayon rfract ? 1.12 Principe de fonctionnement dun rfractomtre (Daprs DEUG.) Un rfractomtre est un appareil permettant de mesurer lindice optique dun liquide en exploitant le phnomne de rfraction limite. Lappareil, reprsent gure 1.9, est plac dans lair dindice unit n0 = 1. Sur la face suprieure horizontale en verre (indice nv ), dposons une goutte de liquide dindice n < nv . Linterface verre-liquide est considre comme un dioptre D2 . La face latrale verticale D1 est claire par un faisceau lumineux cylindrique monochromatique (de couleur donne). Langle dincidence sur D1 est not i. Liquide L Air (indice n 0 = 1) Dioptre D1

n

Figure 1.8 Biprisme. 1.10 Interprtation simplie du mirage La couche dair qui est juste au-dessus dune route bitume trs chaude possde un indice optique trs lgrement dirent de lair ordinaire. Un rayon lumineux dirig vers la route subit une rexion totale sur cette couche dair surchau si son angle dincidence est suprieur 89 . 1. Lindice de lair surchau est-il suprieur ou infrieur celui de lair ordinaire ? 2. Lair ordinaire a un indice n = 1,00029, dterminez lindice de lair surchau. 3. quelle distance D du point dincidence doit se tenir une personne haute de h = 1,65 m, sachant que la couche dair est dpaisseur ngligeable, pour observer le phnomne ? Interprtez alors le mirage de la route mouille et commentez. 1.11 Incidence de Brewster Un dioptre plan spare lair (dindice unit) dun milieu dindice n = 1,5. Pour cet exercice, prenons en compte lexis-

Verre (indice n v)

Lumire parallle incidente ( )

Dioptre D2Figure 1.9 Principe dun rfractomtre. Seuls les rayons incidents tels que imin < i < imax peuvent tre transmis dans le liquide (aprs rfractions successives sur les dioptres D1 et D2 ). 1. Supposons que la surface de D2 est de petites dimensions. Proposez qualitativement le trac des deux rayons limites dnis par i = imin et i = imax . Exprimez imin en fonction de n et nv . Application numrique : calculez lindice n du cyclohexane sachant que imin = 47,81 et nv = 1,607.

2. 3.


Exercices dapprofondissement1.13 Fibre optique saut dindice (Daprs CCP TSI.) Une bre optique est un guide de lumire (dispositif capable de guider des rayons dans un trajet non rectiligne). Le modle de la gure 1.10 est le cas simple de la bre saut dindice : le milieu de la bre, appel cur, est un milieu cylindrique et dindice nc , et le matriau lentourant, appel gaine, est un milieu dindice ng avec nc > ng . La bre est tudie dans lair, milieu dindice unit.

r u O Gaine Cur Gaine ng nc ng z

Figure 1.10 Fibre optique saut dindice.

9

11.

TESTS & EXERCICES


Considrons un rayon lumineux arrivant en O sur le cIJur avec un angle dincidence . La normale au dioptre en O est repre comme laxe Oz. Ce rayon est rfract avec un angle de rfraction et vient frapper la gaine en M1 . a) Pour quelles valeurs de le rayon subit-il une rexion totale en M1 ? b) Aprs rexion totale en M1 , le rayon se propage dans le cur et vient frapper la gaine en M2 . Que se passe-t-il alors ? a) Exprimez la valeur maximale de , note max , pour laquelle le rayon subit une rexion totale une fois arriv en M1 . b) Calculez numriquement max avec nc = 1,53 et ng = 1,49. Interprtation ? Quel est lintrt de ce dispositif ?

b) Quelle relation y a-t-il entre i et i dune part, entre r et r dautre part ? c) Montrez alors que lindice optique du prisme vrie : sin A Dm 2 A sin 2

n=

2.

1.15 La goutte deau (Daprs Caps.) Un rayon lumineux traversant une goutte deau peut tre notablement dvi. Ce phnomne, coupl au caractre dispersif de leau, peut conduire un arc en ciel. Une goutte deau (indice n) est assimile un dioptre sphrique. Le rayon lumineux incident S arrive avec un angle dincidence i comme indiqu gure 1.11. 1. S est rfract avec un angle de rfraction r. Dterminez r. Tracez le rayon rfract R1 aprs pntration de S dans la goutte. Son point dimpact sur la surface intrieure de la sphre sera not N. Combien vaut langle dincidence de R1 en N ? En admettant que R1 subit une rexion en N, tracez son rayon rchi R2 . Le point dimpact de R2 sur la surface intrieure de la sphre est not P. Que vaut son angle dincidence en P ? En admettant que R2 est rfract, que vaut langle de rfraction en P ? Calculez langle de dviation total D du rayon lumineux ressortant de la goutte avec deux rfractions et une rexion interne. Vous donnerez le rsultat en fonction de i, r et n. Calculez la valeur minimale que peut prendre D. La valeur de i correspondante est note im . Discutez cette valeur. Application numrique pour n = 1,33.M i S

3.

1.14 Le prisme (Daprs Concours communs polytechniques.) Le prisme est un milieu dlimit par deux dioptres plans non parallles appels face dentre et face de sortie formant un angle A appel angle du prisme. En pratique, cest un cylindre base triangulaire dont lun des sommets est dangle A. Le matriau du prisme est dindice n et lindice de lair ambiant est pris gal 1. 1. tablissement des relations fondamentales du prisme. a) Faites une gure montrant un rayon lumineux arrivant sur la face dentre du prisme avec un angle dincidence i et sortant par la face de sortie avec un angle i , aprs deux rfractions. Vous noterez r langle de rfraction sur la face dentre et r langle dincidence sur la face de sortie. Pour les besoins de la gure, vous prendrez un prisme de base isocle avec un angle A relativement petit, par exemple entre 45 et 60 . Vous orienterez les angles dincidence et de rfraction de manire conventionnelle (de la normale vers le rayon) et prendrez A dans le sens trigonomtrique. b) Soit D langle de dviation du rayon lumineux incident la traverse du prisme. En utilisant les lois de Snell-Descartes, tablissez deux relations appeles relations fondamentales du prisme, lune entre A, r et r , lautre entre D, A, i et i . c) Argumentez brivement sur le fait que le rayon mergent nexiste pas forcment. Exprimentalement, nous constatons quil existe un minimum de dviation unique, cest--dire une valeur minimale de D, note Dm , obtenue pour une certaine incidence im . 2. a) Justiez sans calcul que, dans cette situation particulire, le rayon incident et le rayon mergent sont symtriques par rapport au plan bissecteur de langle A.

2. 3.

4.

5.

Figure 1.11 Rayon lumineux se rfractant dans une goutte deau.

10


TESTS & EXERCICES

1

1.16 Petit halo (Daprs concours commun Mines-Ponts PSI)

B A60

C120

D F E

Les cirrus sont des nuages peu pais, structure lamenteuse, composs de petits cristaux de glace en forme de btonnets cylindriques de section principale hexagonale rgulire (gure 1.12). Les plus petits de ces cristaux (par exemple de taille infrieure 20 m) sont le sige dun mouvement erratique provoqu par le choc des molcules dair sur eux ; ils ont donc toutes les orientations possibles dans lespace. On considrera dans le dbut de lexercice que la glace possde un indice optique n = 1,31.

Figure 1.13 Section dun btonnet. 2. 3. Les rayons sortant de la face DE sont-ils dvis ? Peut-il y avoir mergence par la face BC ? On constate quil existe un minimum de dviation pour le rayon entrant sous lincidence i et sortant par la face CD. Montrer que dans ce cas i = i (gure 1.14). Donner alors i0 , langle permettant dobtenir ce minimum de dviation et Dm , le minimum de dviation atteint. D i i r

r

Figure 1.12 Btonnet hexagonal. Figure 1.14 Dviation par un prisme. 1. Montrer quun rayon lumineux entrant sous incidence quelconque sur la face dentre dun prisme dangle au sommet > 100 et dindice 1,31 ne peut merger de lautre face du prisme dlimitant langle . On considre la section hexagonale ABCDEF des btonnets de glace. On envisage la rfraction simple (sans rexion intermdiaire) de rayons incidents dincidence variable, appartenant au plan de section principal entre A et B (voir gure 1.13). 4. Sur un voile nuageux entourant le soleil, on peut apercevoir un halo : une couronne brillante autour de lastre. Le rayon angulaire de ce halo est voisin de 20 . Les calculs prcdents rendent-ils compte de cette observation ? En ralit, lindice optique de la glace est plus faible pour le rouge que pour le bleu. Dterminer si le halo est iris de rouge ou de bleu lintrieur (vers le soleil). Cette irisation est semblable celle que produit larc-enciel par rexion de la lumire dans les gouttes deau liquide.

5.


11

11.1

CORRIGS


ni MoMo

er A

re Monie lgb

r

n ie

om bre G r Alg

Vrai, daprs les lois de Descartes.

n ie Mo


tr i e Gom

1.2Faux, pas au-del de langle limite.

Les proprits de ce coin de cube trouvent des applications dans des domaines plus proches de nous : phare de vlo, dtecteur de mouvement. . . autrement dit tout appareil qui rcupre un rayon lumineux aprs rexion sans avoir besoin dun rglage trop dlicat.

1.8

G

clairage dun bassin

1.3Faux. Au contraire, elle lest toujours.

Mthode mise en jeu : n 1. Pour ce genre de petit exercice o lon manipule des rayons lumineux, commencez par ttonner au brouillon : prenez quelques rayons diffrents et regardez ce qui leur arrive. Ici, ils commencent leur propagation dans leau puis atteignent un dioptre (la surface de leau). Il y a donc normalement rfraction, mais lindice de leau est suprieur celui de lair : il y a donc risque de rexion totale. Donc certains rayons lumineux vont tre rfracts et passer dans lair : ceux-l nclaireront donc pas le fond. Mais dautres vont se rchir sur la surface de leau et aller clairer le fond.

1.4Vrai, si les angles sont orients !

1.5Faux, D = 2i.

1.6Vrai, Lapproximation sin(i) si i est exprim en radian. i pour i petit nest valable que

1.7

Principe du catadioptre

Ne considrons que les rayons qui partent vers la moiti droite du spot. Par symtrie, la situation du ct gauche sera identique. Un rayon partant du spot avec un angle arrive sur la surface avec un angle dincidence (gure 1.16). Si < il = arcsin(1/n) 48,8 , le rayon est rfract. Sinon, il subit une rexion totale. Les rayons capables dclairer le fond du bassin sont donc tels que il < < , soit 48,8 < < 60 . La zone claire au fond est donc un anneau de rayon intrieur R1 et de rayon extrieur R2 .

Mthode mise en jeu : n 1. Lexercice fait appel de manire trs basique aux lois de la rexion. Rafrachissez vos souvenirs sur le vecteur directeur dune droite et nhsitez pas faire quelques schmas pour saisir le principe, par exemple deux dimensions avec un coin de carr .

1. Avec un simple miroir, lorientation du miroir devrait tre absolument parfaite, pour que le rayon laser arrive perpendiculairement sur lui. La distance Terre-Lune tait grande, la moindre dviation cette perpendicularit ferait que le rayon laser reviendrait sur Terre trs loin de son point de dpart, rendant la mesure impossible. 2. a) Sur le plan xOy, la rexion change le signe de la composante perpendiculaire au plan, donc selon z (voir gure 1.15). Donc aprs trois rexions, les trois composantes ont chang de signe et le vecteur directeur devient (a, b, c) : il est chang en son oppos.y (a , b , c)

il

60 R1 R2

Figure 1.16 Rpartission de lclairement au fond dun bassin. R1 correspond au rayon tel que = il : tan(il ) = R1 /2 h R1 = 2h tan(il ) 1,8 m

(a , b , c)

(a , b , c) x

De mme, R2 correspond au rayon tel que = : tan() = R2 /2 h R2 = 2h tan() 2,8 m

Figure 1.15 Principe du catadioptre. b) La triple rexion sur le catadioptre assure que le rayon laser revient exactement do il est parti, mme sil narrive pas avec un angle dincidence bien contrl. 12

Les zones non claires sont donc un disque centr sur le spot de rayon R1 = 1,8 m et lanneau situ entre le rayon R2 = 2,8 m et le rayon R = 4 m.


CORRIGS

1

ni MoMo

er A

re Monie lgb

r

n ie

om bre G r Alg

n ie Mo


tr i e Gom

Si vous faites rellement cette observation, la partie non claire de la surface nest pas vraiment noire. Lors dune rexion, une petite partie du rayon lumineux est en fait rfracte. En outre, les rayons rchis vont ensuite se rchir nouveau sur le fond, etc.

4. On obtient la gure 1.19 :

G

H

(n-1)

1.9

Dviation de la lumire par un prisme

Mthode mise en jeu : n 2. Il sagit de calculer une dviation en tenant compte des angles faibles dincidence et dmergence (DL lordre un de la fonction sinus). Un peu de gomtrie permet alors de dterminer la zone de croisement des faisceaux mergents. Vous pourrez remarquer que les angles ne sont pas orients dans cet exercice comme a se pratique parfois dans les problmes de concours : tenez simplement compte du caractre positif des angles utiliss lors de la rsolution.

LFigure 1.19 Croisement des faisceaux. On lit sur cette gure tan((n 1))=H/L (en ngligeant lpaisseur du prisme) et donc, en tenant compte du fait que (n 1) est un angle faible pour dvelopper la fonction tangente, on obtient : H , L= (n 1) soit numriquement 13,8 m. La zone de croisement est donc trs longue et on pouvait bien ngliger lpaisseur du prisme). Ce dispositif (biprisme de Fresnel) est utile pour produire des interfrences lumineuses : les faisceaux produits crent une zone dinterfrence lumineuse comme vous pourrez le voir en deuxime anne.

1. Le faisceau nest pas dvi sur la face dentre puisquil arrive en incidence normale. Sur la face de sortie, tous les rayons arrivent avec le mme angle et ressortent donc parallles entre eux (gure 1.17).

(n-1)

1.10

Interprtation simplie du mirage

Mthode mise en jeu : n 1. Cet exercice trs simple nest quune utilisation de la formule i1max = arcsin(n2 /n1 ) et de relations trigonomtriques de base.

Figure 1.17 Dviation du faisceau. 2. Comme on sen aperoit sur la gure 1.18, langle de dviation est (i r) avec r, angle dincidence sur la face de sortie et i, angle de sortie du prisme. r = , comme vu en 1. et i est obtenu grce la loi de Snell-Descartes de la rfraction : sin(i) = n.sin(r). Comme nous sommes ici aux petits angles, on obtient par dveloppement limit des sinus : n. = i. Finalement, on obtient : D = (n 1). 1. Cest seulement au passage dun milieu plus rfringent (lair ordinaire, indice n) un milieu moins rfringent (lair surchau, indice n ) quil y a risque de rexion totale. Donc lindice de lair surchau est infrieur celui de lair ordinaire. 2. Il y a rexion totale si langle dincidence satisfait i1max = arcsin(n /n). Donc ici : 89 = arcsin n n n = n sin(89 ) 1,00014


r = i D

Figure 1.18 Angle de dviation. 3. Numriquement, on obtient D = 1,45.103 rad.

3. Tous les rayons mis en jeu dans le phnomne se rchissent sur la route avec un angle suprieur ou gal 89 . Le rayon qui se rchit exactement 89 est celui qui remonte le moins vite (pente la plus faible). Donc une personne de hauteur donne doit ncessairement voir ce rayon pour pouvoir observer le phnomne. Cest donc ce rayon quil faut considrer pour dterminer la distance dobservation. La gure 1.20 donne alors directement : h 95 m D= tan i1max 2 13

1z

CORRIGS


1.12h

Principe de fonctionnement dun rfractomtre

Mthode mise en jeu : n 1. Il sagit dune application des connaissances de cours sur la rfraction limite.

Figure 1.20 Interprtation du phnomne de mirage. Pour cet observateur, lobjet ayant mis le rayon semble se trouver au niveau du point dimpact I, donc beaucoup plus proche quil ne lest rellement : cest un mirage. Ltude montre aussi que lobservateur ne voit plus le mirage sil se rapproche.

1.11

Incidence de Brewster

1. La gure 1.22 montre lexemple dun point dimpact I sur le premier dioptre. Le rayon arrivant en I avec langle imin correspond la situation o la deuxime rfraction (sur D2 ) est limite : le rayon merge rasant dans la goutte (nous sommes au bord de la rexion totale). Par contre, le rayon arrivant en I avec langle imax est tout simplement le plus inclin qui peut atteindre le bord de la goutte. La valeur de imin ne dpend pas du choix du point I, par contre celle de imax en dpend.

Mthode mise en jeu : n 1. Il faut combiner les lois de Snell-Descartes de la rexion et de la rfraction laide des relations trigonomtriques usuelles. La possibilit davoir simultanment rexion et rfraction ne doit pas vous choquer. Regardez travers une vitre : outre la rfraction qui vous permet de voir ce qui se trouve derrire, il y a aussi une petite rexion qui fait que vous apercevez votre reet !

I

i min

i max

Figure 1.22 La situation est celle de la gure 1.21.

Rayons extrmes sur le rfractomtre.

2. Les deux rfractions se traduisent, pour le cas i = imin , par : sin(imin ) = nv sin ilim = nv cos(ilim ) 2 nv sin(ilim ) = n sin =n 2

i

r

r'

En combinant les deux quations, il vient : sin(imin ) = n2 n2 v n2 n2 v

Figure 1.21 Incidence de Brewster. Nous avons donc simultanment i = r (rexion) et sin(i) = n sin(r ) (rfraction). Langle entre les rayons rfracts et rchi tant droit, il vient : r + r = 2 r =r+ 2

imin = arcsin

3. Le rsultat prcdent peut se rcrire : n= n2 sin(imin )2 v 1,426

La combinaison des trois relations conduit : = n cos(i) tan(i) = n sin(i) = n sin i + 2 i 0,98 rad 56 Ds que tan(i) = n, la condition de Brewster est satisfaite et les deux rayons mergents sont orthogonaux.ni MoMo

1.13

Fibre optique saut dindice

Mthode mise en jeu : n 1. Il faut bien matriser les conditions ncessaires une rexion totale : une condition sur les indices optique et une condition sur langle dincidence. La gestion des angles orients est particulirement dlicate dans cet exercice, appliquez donc la mthode n 1 avec rigueur.

er A

re Monie lgb

r

n ie

om bre G r Alg

onier tr ie M om ier bre Mon Alg n ier Mo

Vous dcouvrirez en deuxime anne les proprits remarquables de cette situation.

G

tr i e Gom

14


CORRIGS

1

1. a) La gure 1.23 montre le paramtrage. Langle dincidence en M1 , not, i, vaut /2 + . Il y a rexion totale si nc > ng , ce qui est le cas ici, et si i > ilim = arcsin(ng /nc ). Do :

ni MoMo

er A

re Monie lgb

r

n ie

om bre G r Alg

n ie Mo


tr i e Gom

Cette bre optique montre par contre ses limitations si elle est coude. Les bres relles sont dites gradient dindice et liminent cette restriction.

O

M2 ' /2 + ' M1 z

1.14

G

Le prisme

Mthodes mises en jeu : n 1 et 2. Le prisme est souvent tudi exprimentalement, dans le cadre de travaux pratiques, mais vous devez tre capable de ltudier thoriquement. Les erreurs classiques apparaissent lors les confusions sur le rle des faces du prisme. Un prisme rel a trois faces, mais seules deux sont utilises dans ltude thorique. Si le rayon lumineux incident se rfracte sur la face dentre, subit une rexion totale sur la face de sortie et merge par rfraction sur la troisime face, alors il est considr comme nmergeant pas . Autrement dit, seuls les rayons subissant une double rfraction et rien dautre sont tudis.

Figure 1.23 Paramtrage de la bre optique.ni MoMo

er A

re Monie lgb

r

n ie

om bre G r Alg

n ie Mo


tr i e Gom

Avec des angles non orients, |i| = /2 | |. Comme i est dans le sens trigonomtrique et dans le sens horaire, cela donne la relation ci-contre. > lim = arcsin ng nc 2

G

ni MoMo

er A

re Monie lgb

r

n ie

om bre G r Alg

n ie Mo


Langle est donc toujours ngatif, ce qui est conforme au choix dorientation (sens horaire).

G

tr i e Gom

b) Langle dincidence en M2 est gal langle de rexion en M1 . Il y aura donc aussi rexion totale en M2 . 2. a) En O, les lois de Snell-Descartes donnent sin() = nc sin( ). Quand la rexion totale a juste lieu, = max et = lim daprs la question 1. Donc : sin(max ) = nc sin arcsin ng nc 2 ng = nc cos arcsin nc

1. a) La gure 1.24 montre une coupe principale dun prisme dangle A, ainsi que le trajet dun rayon doublement rfract par le prisme. Les normales sont traces en pointills. b) Les deux rfractions se traduisent les lois de SnellDescartes : sin(i) = n sin(r) n sin(r ) = sin(i ) Dans le triangle II K, la somme des angles est gale pi : K+rr = K =r+r

Utilisons la relation cos(x)2 + sin(x)2 = 1 avec x = ilim . Comme ilim est toujours entre /2 et /2, son cosinus est toujours positif, do : cos arcsin ng nc = = Dunod. La photocopie non autorise est un dlit

La somme des angles dun quadrilatre est gale 2, donc pour le quadrilatre AIKI : A + + K + = 2 2 2 A=rr A A J D I' r' K i'

1 sin arcsin 1 ng nc2

ng nc

2

Do : sin(max ) = n2 n2 c g n2 n2 c gi I r

max = arcsin

b) max 20,3 . Tout rayon lumineux arrivant sur la bre avec un angle dincidence infrieur 20,3 sera donc prisonnier du cIJur de la bre et sera donc guid correctement (par rexions totales successives). 3. Grce ce dispositif, tout rayon lumineux pas trop inclin sera guid dans la bre par des successions de rexion totale, alors quavec un l ordinaire seul un rayon dinclinaison nulle serait guid.

B

C

Figure 1.24 Schma de principe dun prisme. 15

1

CORRIGS


Le rayon lumineux est dvi deux fois. Soit D1 sa dviation (par rfraction) sur la face dentre et D2 sa dviation (par rfraction) sur la face de sortie : D = D1 + D2 = (r i) + (i r ) ni MoMo

M R1 r

i

S

D=i i+A

N

-r r

-rer Are Monie lgb

r

n ie

om bre G r Alg

onier tr ie M om ier bre Mon Alg n ier Mo

Ces deux relations fondamentales du prisme sont trs importantes. Vous devez savoir les retrouver rapidement.

tr i e Gom

PSi les angles ne sont pas orients, ces relations deviennent D = i + i A et A = r + r .

-i

Q

G

c) Il apparat que ces relations peuvent ne pas tre satisfaites : par exemple, un rayon incident peut subir une rexion totale la place de sa deuxime rfraction et ne pas merger du prisme par sa face de sortie. 2. a) Supposons quau minimum de dviation les deux rayons ne soient pas symtriques, par exemple i > i . En retournant le prisme, par retour inverse de la lumire, nous aurions alors un nouvel angle de dviation plus petit, donc la situation initiale naurait pas t le minimum de dviation.ni MoMo

Figure 1.25 Trajet dun rayon lumineux subissant une rexion interne (partielle) dans la goutte deau. Comme le triangle NOM est isocle en O, on retrouve ce mme angle comme angle dincidence en N. Avec les conventions dorientation, il est gal r. 2. Voir gure 1.25. 3. Daprs les lois de Snell-Descartes de la rexion, langle de rexion en N vaut r. Le triangle NOP tant isocle en O, on retrouve ce mme angle (au signe prs) comme angle dincidence en P. Langle de rfraction i en P est donn par les lois de Snell-Descartes de la rfraction : n sin(r) = sin(i )

er A

re Monie lgb

r

n ie

om bre G r Alg

n ie Mo


Cette proprit de symtrie au minimum de dviation est un rsultat que vous devez absolument connatre.

G

tr i e Gom

b) Par symtrie, i = i et r = r . c) En combinant A = r r et r = r , il vient A = 2r. La loi de Snell-Descartes pour la premire rfraction donne alors sin(im ) = n sin(A/2). Lautre relation fondamentale donne Dm = 2im + A. En combinant les deux, il vient le rsultat cherch : sin A Dm 2 A sin 2

Donc i = i. 4. Lors de la rfraction en M, le rayon subit une dviation D1 = r i. En N la rexion ajoute la dviation D2 = 2(r) = +2r. En P la rfraction ajoute la dviation D3 = i (r) = r i. Do la dviation totale : D = D1 + D2 + D3 = 2i + 4r 5. Drivons D par rapport i et annulons cette drive : dD dr (i) = 2 + 4 (i) di di dr 1 dD (im ) = 0 (im ) = di di 2 La drive sobtient partir de la loi de Snell-Descartes en M, sin(i) = n sin(r) : cos(i) di = n cos(r) dr cos(im ) dr (im ) = di n cos(r) En combinant les deux relations, il vient : cos(im )2 = n2 1 3

n=

1.15

La goutte deau

Mthodes mises en jeu : nc irc1 et 2. Ne vous laissez pas impressionner par la gomtrie de lexercice. Rappelez-vous que la normale un point dun cercle est un diamtre. Cet exercice alterne rexions et rfractions.

1. Voir gure 1.25. Langle de rfraction en M vaut r, qui est donn par les lois de Snell-Descartes de la rfraction : sin(i) = n sin(r) 16 r = arcsin sin(i) n


CORRIGS

1

Cette solution ne peut exister que si elle est infrieure ou gale 1, donc si n 2. Dans le cas contraire, langle D nadmet pas de minimum et a donc un comportement monotone, ici strictement croissant. Cette condition est ici ralise, elle conduit im = 60 et Dm = 137 .

1.16

petit halo

Mthodes mises en jeu : n 1 et 2. Cet exercice propose dans un cadre original de revisiter le problme de la dviation de la lumire par un prisme. Les angles ne sont pas orients et il faut y prendre garde. Il faut alors reprendre ce que vous connaissez en ladaptant la situation particulire tudie ici. Successivement, on rencontre les conditions dmergence faisant appel langle limite, le minimum de dviation, puis une application un phnomne naturel proposant une rexion physique sur la coloration du halo.

non pour la valeur de langle dincidence gale i, on retrouve i en sortie et donc la mme dviation : un deuxime minimum). On a donc aussi r = r et comme = r + r , on en dduit r = = r au minimum de dviation. De 2 la loi de Snell-Descartes de la rfraction : sin i = n sin r, on tire : i0 = arcsin n sin( ) . La dviation scrit alors : 2 Dm = 2i0 . n Applications numriques : i0 = 2 arcsin( 2 ) = 0,714 3 rad = 40,9 (langle vaut ici 60 ), et Dm = 2i0 = 0,381 rad = 21,8 . 4. Les cristaux tant trs nombreux et orients alatoirement, ils dvient la lumire dans toutes les directions mais avec une surintensit pour la valeur Dm . Le physicien doit donc observer un halo circulaire de rayon denviron 21,8 autour du soleil (gure 1.27), soit de rayon gal 44 fois le diamtre du soleil. Son paisseur angulaire doit correspondre louverture angulaire du soleil soit environ 0,5 .Nuage Dviation

1. On se reportera la gure 1.26 pour les notations.

A i r -A r'

i'

D

Soleil

Oeil

Figure 1.26 Prisme de grand-angle au sommet. Langle dincidence i est compris entre 0 et /2. La loi de Snell-Descartes (sin(i) = n sin(r)) donne pour le rayon rfract dans le prisme 0 < r < arcsin( 1 ), soit 0 < r < 49,8 = n 0,763 rad. Dans le triangle incluant les angles r et r, la somme des angles vaut : r + r + = et donc r + r = , on en dduit que 50,2 < r < 90 avec un angle au sommet du prisme de 100 au moins. Or, langle limite pour que le rayon puisse sortir est r < arcsin( 1 ) = 49,8. Aucun rayon n entrant par la face dentre ne peut merger directement du prisme ainsi form. 2. Les deux faces AB et DE formant une lame faces parallles, les rayons sont seulement dcals et non dvis. Lmergence par la face BC est impossible daprs la question 1. car langle au sommet du prisme ainsi form est suprieur 100 (120 ). 3. Question classique ; sil existe un unique minimum, daprs le retour inverse de la lumire, il se produit pour i = i (siFigure 1.27 Observation du halo. 5. Comme Dm = 2 arcsin( n ) et que lindice optique du bleu 2 3 est suprieur celui du rouge, on en conclut que la dviation est plus forte pour le bleu. Le bord interne du halo est donc iris de rouge et le bord externe de bleu (gure 1.28).


Dviation pour le rouge

Figure 1.28 Irisation du halo.

17

Formation des images

CHAPITRE

2

Plan2.1 2.2 2.3 2.4Systme optique centr Notion dobjet et dimage Stigmatisme : conditions de Gauss Foyers 18 19 19 21 23 24 27

IntroductionCe chapitre est riche en dnitions dont la connaissance conditionne la matrise des chapitres suivants. Veillez donc les apprendre et en comprendre la logique : Un systme optique centr fait dun objet ponctuel une image nette si cette image est aussi ponctuelle (et donc unique). Cela nest assur que dans les conditions de Gauss. Alors, la relation entre la position de lobjet et celle de limage est appele relation de conjugaison. Enchaner plusieurs systmes revient combiner leurs relations de conjugaison. Dans le cadre du programme de premire anne, les systmes lmentaires les plus importants seront le miroir plan, la lentille mince et le miroir sphrique.


Prrequis

Notion de rayons lumineux Dveloppements limits lordre 1 de sin, cos et tan au voisinage de 0 (voir che mthode 8)

Objectifs

Dnir systme centr, objet, image, rels, virtuels, axe optique, stigmatisme, aplantisme Connatre les conditions de Gauss et leurs consquences : le stigmatisme et a laplantisme approchs

2.1 Systme optique centrUn systme optique est dit centr sil admet un axe de rvolution, alors appel axe optique. Par convention, cet axe est en gnral orient dans le sens de propagation de la lumire. Tout dioptre ou miroir constituant le systme optique centr admet un plan tangent perpendiculaire laxe optique. Donc un rayon arrivant suivant laxe optique nest pas dvi.18


COURS & MTHODES

2

2.2 Notion dobjet et dimage2.2.1 Objet et image ponctuels : dnitions fondamentalesDnition Un objet ponctuel est un point dintersection des rayons lumineux incidents sur le systme optique. Une image ponctuelle est un point dintersection des rayons lumineux mergents du systme.

2.2.2 Point rel, point virtuelDnition Un objet sera dit rel sil est situ dans lespace objet du systme optique, cest-dire en amont de la face dentre du systme. Sinon, il sera dit virtuel. Une image sera dite relle si elle est situe dans lespace image du systme optique, cest--dire en aval de la face de sortie du systme. Sinon, elle sera dite virtuelle. Une image relle peut tre observe directement sur un cran, tandis quune image virtuelle ne peut tre observe qu travers un instrument doptique.

ni MoMo

er A

re Monie lgb

r

n ie

om bre G r Alg

n ie Mo


tr i e Gom

Les positions respectives de lespace objet et de lespace image seront indiques pour chaque type de systme optique, page 33 pour les lentilles minces et page 49 pour les miroirs sphriques.

G

2.3 Stigmatisme : conditions de Gauss2.3.1 Conjugaison objet-image : stigmatisme et aplantismeMo

n ie

Mo

n ie

r e Monie gbr r Al om bre G r Algonier tr ie M om onier bre M r Alg

n ie Mo

tr i e Gom

Si A est sur laxe optique, alors A lest aussi, daprs la symtrie de rvolution. Quand vous cherchez limage dun objet AB perpendiculaire laxe optique avec A sur laxe, cherchez seulement limage de B. Celle de A sen dduira par aplantisme.

ni MoMo

er A

re Monie lgb

r

n ie

om bre G r Alg

Si un objet ponctuel est associe une image non ponctuelle, cette image est dite oue. Mais si limage est ponctuelle (donc unique et nette), le systme optique est dit stigmatique pour lobjet A. Alors, tout rayon lumineux issu de A merge du systme optique en passant (rellement ou virtuellement) par A . Soit un objet AB perpendiculaire laxe optique avec A sur laxe. Le systme optique est dit aplantique pour cet objet sil est stigmatique pour A et si son image A B est aussi perpendiculaire laxe (voir gure 2.1).

G G

n ie Mo


tr i e Gom


B A' A B'

Figure 2.1

Aplantisme avec un objet rel AB et une image relle A B par une lentille. 19

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2

COURS & MTHODES


2.3.2 Conditions de GaussTravailler dans les conditions de Gauss revient nutiliser que les rayons lumineux qui sont peu inclins par rapport laxe optique (angle infrieur 10 ) et peu carts de laxe optique (environ 1 cm avec le matriel usuel). Dans ces conditions, tous les systmes optiques centrs sont stigmatiques. Il sagit dune approximation ncessaire car trs peu de systmes prsentent un stigmatisme rigoureux.

Mthode 1 Bncier des conditions de Gauss Les conditions de Gauss orent un cadre dans lequel le stigmatisme et laplantisme sont assurs. En dcoulent plusieurs astuces classiques pour la manipulation et la construction de limage (unique) A dun objet A :

Deux rayons susent construire A , qui est par dnition leur intersection. Tout autre rayon issu de A passera automatiquement par A aprs traverse du systme. Le systme admet une relation de conjugaison qui lie la position de lobjet A sur laxe avec celle de son image A (sur laxe galement). Pour des objets et des images hors de laxe, utilisez laplantisme pour vous ramener au cas sur laxe. Un petit angle dans les conditions de Gauss satisfait les approximations sin() cos() 1.er Are Monie lgb

, tan()

et

r

ni MoMo

n ie

om bre G r Alg

Ces formules dapproximation sappellent des dveloppements limits. Reportez-vous la che mthode 8.

n ie Mo


G

tr i e Gom

Mthode 2 Rdiger un problme de stigmatisme Dans les conditions de Gauss, limage dun point est un point, donc tout peut tre ramen une tude de points. Quand vous cherchez limage dun objet ponctuel par un systme optique compos de plusieurs sous-systmes, nommez chaque sous-systme (par exemple D1 , D2 , D3 ) et crivez une quation stigmatique sur le modle suivant : A A1 A2 A Dterminer la relation de conjugaison du systme global revient tablir une relation entre la position de A et celle de A sans faire intervenir les images intermdiaires. Combinez donc les relations de conjugaison de chaque sous-systme pour liminer les images intermdiaires (ici A1 et A2 ). Exemple dapplication Voyons le cas simple du miroir plan. Construisez limage A dun objet rel A et commentez.20D1 D2 D3


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2

Solution Reportez-vous la gure 2.2. Le rayon issu de A et arrivant sur le miroir sous incidence normale nest pas dvi dans sa rexion, donc A est sur cette droite. Prenons ensuite un autre rayon, quelconque cette fois. En utilisant les lois de Snell-Descartes de la rexion, nous construisons son rchi et A par intersection.

A

H I I'

M

A'Figure 2.2 Construction dune image par un miroir plan.

Comme A et A sont symtriques par rapport au miroir, il vient : A A : M

HA + HA = 0

o H est le projet orthogonal de A sur le miroir. Prenons un autre rayon quelconque. Par construction, il donne la mme image A . Cela tait prvisible dans les conditions de Gauss, mais cela montre en outre que les conditions de Gauss ne sont pas ncessaires pour le miroir plan : un miroir plan M est rigoureusement stigmatique et rigoureusement aplantique partout.Surtout ne gnralisez pas ! Le miroir plan est le seul systme optique possder cette proprit. Les conditions de Gauss sont ncessaires pour tous les autres.

2.4 Foyers2.4.1 Dnitions Dunod. La photocopie non autorise est un dlit

Sauf dans le cas trs particulier dun systme afocal, A et A ne sont pas conjugus lun de lautre !

Notant A un objet linni sur laxe optique et A une image linni sur laxe optique, les foyers principaux dun systme optique S sont dnis par les quations stigmatiques suivantes :

Dnition Foyers principaux dun systme optique centr S : A F F A S S

F foyer principal image F foyer principal objet

Le plan transverse contenant F est appel plan focal image et celui contenant F plan focal objet.21

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2.4.2 PropritsReportez-vous au tableau ci-dessous. Les rayons issus dun objet situ linni sur laxe optique arrivent sur le systme optique centr parallles entre eux et laxe optique. Si lobjet est hors de laxe optique, les rayons sont encore parallles entre eux mais pas laxe optique. Limage est donc aussi hors de laxe, par aplantisme elle est situe dans le plan focal image. Les notions correspondantes ct objet sen dduisent par retour inverse de la lumire.

A

F'

F

A'

Objet linni sur laxe, image en F

Objet en F, image linni sur laxe

B' F' B F

Objet linni hors de laxe, image dans le plan focal image

Objet dans le plan focal objet, image linni hors de laxe

22


COURS & MTHODES

2

SynthseSavoirs

Dnir un systme centr, laxe optique Dnir les conditions de Gauss Dnir stigmatisme et aplantisme

Relation de conjugaison du miroir plan, son stigmatisme rigoureux Dnir les foyers dun systme optique Caractre parallle des rayons provenant dun objet linni, allant vers une image linni

Savoir-faire

Reconnatre la nature relle ou virtuelle des objets et images Utiliser les conditions de Gauss sur un systme optique

Utiliser des conjugaisons successives Dans le cas du stigmatisme, utiliser deux rayons particuliers pour trouver la position dune image

Mots-cls

Axe optique, systme centr, conditions de Gauss, objet,

image, rel, virtuel, stigmatisme, aplantisme.


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TESTS & EXERCICES


Tests de connaissances2.1 Les rayons provenant dun point linni sont forcment parallles laxe optique. a. Vrai b. Faux Les gures sont invariantes par rotation autour de laxe optique. a. Vrai b. Faux Les images que fournit un miroir plan se trouvent sur sa surface. a. Vrai b. Faux On ne peut avoir de stigmatisme hors des conditions de Gauss. a. Vrai b. Faux Les foyers dun systme sont conjugus entre eux. a. Vrai b. Faux Dans les conditions de Gauss, tous les rayons qui passent par un point A passent par son image A . a. Vrai b. Faux 2.7 Si le faisceau issu de A est convergent la sortie dun systme optique, limage est relle. a. Vrai b. Faux Si le faisceau dnissant A est convergent en entre dun systme optique, lobjet est rel. a. Vrai b. Faux Les lunettes de vue donnent une image relle. a. Vrai b. Faux Limage que peroit lil sur la rtine est virtuelle. a. Vrai b. Faux Au cinma, limage quon voit est relle. a. Vrai b. Faux Limage observe au travers dun microscope est relle. a. Vrai b. Faux

2.2

2.8

2.3

2.9

2.4

2.10

2.5 2.6

2.11

2.12

Exercices dapplication2.13 Rotation dun miroir plan Considrons un rayon lumineux arrivant sur un miroir plan, ainsi que son rayon rchi. De quel angle le rayon rchi tourne-t-il lorsque le miroir tourne dun angle perpendiculairement au plan dincidence ? 2.14 Le miroir plan (Daprs CCP) 1. Un rayon lumineux issu dun point A se rchit en I sur une surface plane {P} et parvient au point B (gure 2.3).

Figure 2.4 Rayons rchis issus de A. crire les quations des droites reprsentatives des rayons rchis (1) et (2) en fonction des tangentes des angles 1 = (AO, AJ) et 2 = (AO, AK) puis calculer les coordonnes du point C, intersection des rayons (1) et (2). Quelle est alors limage du point A ? En dduire une proprit caractristique du miroir plan. 2.15 Observation travers une vitre et une lentille Une source lumineuse ponctuelle S est place en A. Un exprimentateur lobserve travers une lentille mince et une vitre en verre (n = 1,5) dpaisseur e = 1 cm. Lensemble est reprsent gure 2.5 : lobjet A est situ d1 = 10 cm en amont de la vitre et la lentille, repre par son centre O, d2 = 30 cm en aval de la vitre.

Figure 2.3 Rayons reliant A B. partir des lois de Snell-Descartes, montrer, par un raisonnement de gomtrie, que le chemin optique [AIB] (distance AI + IB parcourue par la lumire) est minimal, la position des points A et B tant xe. Application : Dans le plan xOy, deux rayons lumineux issus du point A(0,+a) se rchissent sur {P} aux points J et K (gure 2.4).

2.

24


TESTS & EXERCICES

2

V

L

S O

Les images obtenues S1 et S2 de la source ponctuelle S travers le systme optique sobservent dans la direction Oy par un observateur situ dans les y ngatifs. On note : S1 : limage de S travers (m1 ) S1 : limage de S1 travers (L) S : limage de S travers (L) S2 : limage de S travers (m2 ). 1. Prciser les axes sur lesquels se trouvent les images S, S1 , S1 et S2 puis dterminer leurs positions en exprimant les valeurs de : OS , OS 1 , OS 1 et OS 2 Le miroir (m1 ) est translat de 1 cm vers les x positifs. Recalculer les quatre valeurs prcdentes. Le miroir (m1 ) ramen sa position initiale, subit une rotation dun angle = 5 (sens inverse du sens trigonomtrique). Reprsenter schmatiquement les positions des images S, S1 S1 et S2 .

d1

n e

d22. 3.

Figure 2.5 Image dune source ponctuelle par une vitre suivie dune lentille. Localisez limage A de A par ce systme en calculant OA en fonction de OA, e, n et f . On donne les relations de conjugaison pour les systmes tudis : Vitre : Lentille : AA = e 1 1 OA 1 OA 1 n 1 f

=

o f = 0,5 m est une valeur caractristique de la lentille. 2.16 Miroirs en position Michelson (Daprs CCP) Dans le tridre Oxyz, les points S, O, M1 et M2 appartiennent au plan Oxy. On donne : OS = 15cm, OM1 = OM2 = +5cm.

2.17 Lame faces parallles Considrons une lame faces parallles dpaisseur e, taille dans le verre (n = 1,5) et plonge dans lair (dindice unit). Soit A un objet ponctuel. Dterminez AA en fonction de n et e, sachant que la relation de conjugaison dun dioptre plan est donne par : A1 A2 :D

HA2 HA1

=

n2 n1

o H est le projet orthogonal de A1 et A2 sur le dioptre. 2.18 Dioptre plan Un plan sparant deux milieux dindices respectifs n1 et n2 sappelle un dioptre plan. 1. Faites une gure, en vous donnant un axe optique et un objet A1 sur cet axe. Vous noterez H le projet orthogonal de A1 sur le dioptre. Soit trois rayons issus de A1 arrivant sur le dioptre avec un angle dincidence respectivement nul, gal i1 et i1 . Le deuxime rayon merge avec un angle de rfraction i2 et le troisime i2 . Construisez gomtriquement la position de limage A2 de A1 par le dioptre. Que constatezvous ? Calculez sans approximation HA2 en fonction de i1 et i2 , puis terminez ce calcul dans les conditions de Gauss. Conclusion ? Indication : tan(x) x si x est un angle susamment petit (condition automatiquement satisfaite pour tout angle dinclinaison par rapport laxe optique dans les conditions de Gauss).

Les miroirs (m1 ) et (m2 ) sont respectivement parallles aux plans Oyz et Oxz (gure 2.6).

2. Dunod. La photocopie non autorise est un dlit

3. Figure 2.6 Miroirs en conguration Michelson . Une lame semi-rchissante (L), dpaisseur ngligeable, est situe dans le plan bissecteur des plans des deux miroirs : les rayons lumineux transmis par (L) ne sont pas dvis et les rayons rchis sur (L) se comportent comme dans le cas du miroir plan.

25

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2

TESTS & EXERCICES


2.19 Association de deux miroirs (Daprs CCP) Il sagit dune exprience ralisable en Travaux Pratiques o lobjet ponctuel A est lumineux. Les miroirs sont parallles et distants de d (gure 2.7).

Dterminer les positions angulaires N = (OA, OAN ) et N = (OA, OAN ) des images AN et AN pour N pair et impair. Quel est le nombre dimages distinctes observes si = /p avec p entier pair ? 2.21 Image par un prisme de petit angle au sommet (Daprs Ecrin) On considre une source ponctuelle A dans lair dindice 1. Elle est place une distance d en avant dun prisme au niveau de sa base dpaisseur h (gure 2.9). Le prisme est de petit angle au sommet faible et dindice n. Lpaisseur de sa basse est h.

Figure 2.7 Miroirs parallles. Un objet ponctuel A situ entre les miroirs la distance x de (m1 ) donne par rexions successives sur les miroirs (m1 ) et (m2 ) une srie dimages sur laxe xx. On note A1 limage de A par rexion sur (m1 ), puis A2 limage de A par rexion sur (m1 ) puis sur (m2 ), etc. Dterminer, en fonction de x et d, les abscisses AA1 , AA2 , AA3 et AA4 dorigine A, des images A1 , A2 , A3 et A4 et en dduire celles des images AN suivant que N est pair ou impair. Quel est le nombre dimages que lon observe ? 2.20 Miroirs formant un angle (Daprs CCP) Deux miroirs (m1 ) et (m2 ) sont placs pour former un coin dangle (gure 2.8) :(m1)

Figure 2.9 Objet A devant le prisme. La relation de conjugaison du dioptre plan lors du passage dun milieu dindice n1 vers un milieu dindice n2 (dans les conditions de Gauss) est : A1 A2 ;D

HA2 HA1

=

n2 n1

(o H est le projet orthogonal de A1 sur le dioptre).

A O (m2)

Donnes numriques : d = 20 cm ; A = 3,00.103 rad ; n = 1,500, h = 5,00 mm. 1. Dterminer la position de limage A1 de A par la face dentre. Est-elle relle ou virtuelle ? On appelle A2 limage nale au travers du prisme. Faire un schma o gurent les trois points A, A1 et A2 . Dterminer la position de A2 par rapport A1 puis par rapport A. En tenant compte de la faible valeur de , dterminer numriquement le dplacement vertical de A2 par rapport A puis leur distance horizontale.

Figure 2.8 Miroirs en coin. Un objet ponctuel A situ entre (m1 ) et (m2 ) est repr par langle (OA,m1 ) = (gure 2.8). La srie dimages (A1 , A2 , ..., AN . . . ) correspond aux rayons rchis dabord sur (m1 ), tandis que la srie (A1 , A2 , . . . .., AN , ... ) correspond aux rayons rchis dabord sur (m2 ). 2. 3.

26


CORRIGSent

2

2.1Faux, ils sont parallles entre eux. Il faut que lobjet soit sur laxe pour quils soient parallles laxe optique

incidi1 i2 -i1

2.2Vrai car laxe optique est un axe de symtrie de rvolution

(1) (2)

2.3Faux, elles sont symtriques de lobjet par rapport au plan du miroir

2 1

-i2r fl

rfl chi 1

i2 ch

2.4Faux, le miroir plan en est un exemple mais il existe aussi des points de stigmatisme rigoureux pour certains autres systmes optique

Figure 2.10 Rotation dun miroir plan. Soit langle dont a tourn le rayon rchi : = i2 + (i2 + 2i1 ) = 2i1 2i2 . Par ailleurs, = i1 i2 , do le rsultat : = 2.

2.5Faux sauf pour les systmes afocaux (foyers linni)

2.6Vrai : il y a stigmatisme approch

2.14

Le miroir plan

Mthode mise en jeu : n 2

2.7Vrai, elle se trouve dans le demi espace objet

2.8Faux, limage nest pas encore forme alors que les rayons entrent dans le systme

Lexercice porte dabord sur un point qui nest pas au programme mais qui ne ncessite que des connaissances gomtriques pour tre trait. On ne doit donc pas se laisser impressionner par la premire question. La deuxime nest que lutilisation de considrations gomtriques pour retrouver la relation de conjugaison du miroir plan et permet de constater son stigmatisme rigoureux.

2.9Faux, on regarde au travers des lunettes : limage est donc vira tuelle

2.10Faux, la rtine forme un cran, limage est donc relle Dunod. La photocopie non autorise est un dlit

1. Daprs les lois de Snell-Descartes, les angles de rexion et dincidence sont gaux. On a donc A (symtrique de A par rapport au plan {P} : gure 2.11), I et B qui sont aligns. Comme AI et AI sont gales et que le plus court chemin de A B est la ligne droite, [AIB] est bien minimal si on dplace le point I sur le miroir {P}.

2.11Vrai, il sagit dune projection

2.12Faux car on doit regarder au travers du dispositif.

2.13

Rotation dun miroir plan

Figure 2.11 Chemin minimal. 2. Les abscisses de J et K sont respectivement atan(1 ) et atan(2 ). Les droites (1) et (2) ont donc comme quations respectives y1 = cotan(1 )[x atan(1 )] et y2 = cotan(2 )[x atan(2 )] car les pentes des droites sont de /2 . Leur point dintersection vrie y = cotan(1 )x a = cotan(2 )x a ce qui est obtenu pour x = 0 et y = a. 27

Exercice lmentaire fournissant un rsultat bien utile ! Un bon schma permet de visualiser les relations entre les angles.

Sur la gure 2.10, langle entre les deux normales est .

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2

CORRIGS


On en dduit donc que tous les rayons issus de A ont des rayons rchis qui passent par ce point A(indpendance du rsultat par rapport ) qui est limage de A par le miroir. On vrie ici le stigmatisme rigoureux du miroir plan car il nest pas ncessaire de limiter le faisceau pour obtenir ce point de croisement.

2.15

Observation travers une vitre et une lentille

Mthodes mises en jeu : n 1 et 2. Lexercice introduit deux systmes optiques inconnus , la vitre (appele, techniquement, lame faces parallles) et la lentille mince. Une foie leur relation de conjugaison donne, ces systmes sont parfaitement connus, ce qui vous suft ici : dans les conditions de Gauss, un systme optique centr est entirement caractris par sa relation de conjugaison. Lexercice 17 aborde la dmonstration de la relation de conjugaison de la vitre. Celle de la lentille mince ne sera aborde que dans le chapitre 3.

1. Les images obtenues le sont par symtrie plane par rapport aux plans des miroirs concerns. S est sur laxe Oy en dessous de O ; S1 est sur laxe Ox droite de (m1 ) ; S1 est sur laxe Oy au-dessus de O ; enn, S2 est sur laxe Oy audessus de O galement. Plus prcisment, en tenant compte du dcalage de 5 cm entre O et les miroirs, OS = 15cm, OS 1 = 25 cm et OS 1 = +25 cm = OS 2 : S1 et S2 sont en eet confondus (gure 2.12).

Utilisons les notations suivantes : A A1 A Do les relations de conjugaison : AA1 = e 1 1 n 1 1 1 = OA f OA1 La premire donne : AA1 = AO + OA1 = e 1 OA1 = e 1 1 nvitre L

Figure 2.12 Images successives. 2. Seules les images en rapport avec (m1 ) sont modies : OS 1 = +27 cm et OS 1 = +27 cm. 3. Le point S1 se trouve dcal de 5 par rotation de sa position prcdente autour de M1 . De mme, S1 va se trouver dcal de +5 par rapport sa position prcdente autour de O (gure 2.13). Il est plus pratique pour obtenir cette position nale de considrer limage (m1 ) du miroir (m1 ) par rapport (L). Les rayons arrivant sur (m1 ) semblent provenir de S. La normale de (m1 ) ayant tourn de 5 , on place aisment S1 symtrique de S par rapport (m1 ).

1 + OA n En injectant ce rsultat dans la seconde, il vient : 1 1 1 = f OA OA1 1 1 1 = + f OA e 1 1 + OAn

1 n = 182 cm OA = 1 f + OA + e 1 n f OA + e 1 Miroirs en position Michelson

2.16

Bien quil sagisse dun dispositif interfromtrique (au programme de deuxime anne), les questions poses ici ne relvent que de loptique gomtrique. La seule difcult est de comprendre le rle de la lame semi-rchissante. Il sagit ensuite uniquement dutiliser les conjugaisons par miroir plan.

Figure 2.13 Images aprs rotation de (m1 ).

28


CORRIGS

2

2.17

Lame faces parallles

2.18

Association de deux miroirs

Mthode mise en jeu : n 2. Lnonc demande tout simplement dtablir la relation de conjugaison dune lame faces parallles. Il faut donc dabord remarquer que ce systme optique est constitu de deux dioptres plans parallles, le premier air-verre et le second verre-air. La dmonstration de la relation de conjugaison du dioptre plan est aborde dans lexercice 2.1. Suivez donc bien la mthode n 2 pour la rdaction et le raisonnement. Et restez rigoureux avec les notations : dans la relation (2.1), H est le projet de lobjet sur le dioptre. Comme il y a ici deux dioptres diffrents, il y a deux projets diffrents.

Mthode mise en jeu : n 2 On doit utiliser les relations de conjugaison du miroir plan pour des images successives puis les relations de Chasles pour changer dorigine. Il faut surtout tre rigoureux dans les applications conscutives des lois et ne pas se perdre en chemin. Il faut surtout prendre garde ce que certaines grandeurs sont des distances (positives) et dautres des abscisses (algbriques).

Les notations sont celles de la gure 2.14. Le systme est une association de deux dioptres plans successifs D1 et D2 : A A1 AD1 D2

Soient S1 et S2 les sommets respectifs des deux miroirs (gure 2.15). On utilise le fait que limage dun point donne par un miroir plan est son symtrique par rapport au plan du miroir : S 1 A = x donne AA1 = 2x, S 2 A1 = d + x donne AA2 = AA1 + 2A1 S 2 = 2x 2(d + x) = 2d, de mme, on trouve : AA3 = 2d + 2x, AA4 = 4d etc.. . .

n

A1

A

A'

H e

H'

Figure 2.14 Couple objet-image dune lame faces parallles. Nous avons donc deux relations de conjugaison : Dioptre D1 : Dioptre D2 : HA1 HA HA H A1 =n = 1 n

Figure 2.15 Images successives. Une rcurrence se dessine en AAN = Nd pour N pair et AAN = 2x + (N 1)d pour N impair. En eet, ces relations sont vries pour les quatre premiers termes et si AA2n = 2nd, alors AA2n+1 = AS 1 S 1 A2n = x (2nd x) = 2nd + 2x qui vrie la rcurrence. De plus, AA2n = AS 2 S 2 A2n+1 = x d (d x + 2nd + 2x) = 2(n + 1)d.Tous les lments de la rcurrence sont donc bien vris. On devrait donc observer une innit dimages de part et dautre, dautant que lon na pas considr les images obtenues partir de (m2 ) dabord puis (m1 ), etc.. . . mais lorsquon ralise ce montage exprimentalement ; le paralllisme des deux miroirs, imparfait, ne permet pas cette observation.

AA peut scrire : AA = AH + HH + H A Dunod. La photocopie non autorise est un dlit

= H A HA + e Avec les relations de conjugaison : 1 1 H A1 = H H + HA1 n n 1 = e + nHA) n e H A = HA n HA = Do la relation de conjugaison : AA = e 1 1 n

2.19

Miroirs formant un angle

Mthode mise en jeu : n 2. Il sagit ici dun exercice formellement assez semblable celui sur lassociation de deux miroirs parallles. Les distances sont simplement remplaces par des angles et ceux-ci sont orients.

Occupons-nous dabord des N . On utilise le fait que limage dun point par un miroir plan est son symtrique par rapport au plan du miroir. : 1 = 2, langle fait par OA1 avec le miroir (m2 ) est donc + . Celui fait par OA2 est donc . On a donc 2 = 2 (gure 2.16). 29

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2

CORRIGS


I' i' 1 i1 A1 A 2 A' 2

i' 2

i2 I H

Figure 2.17 tude dun dioptre plan. 3. Dans les triangles HIA1 et HIA2 nous avons : Figure 2.16 Images successives. On tablit de mme 3 = 2( + ), 4 = 4 etc.. . . De manire gnrale, N = N si N pair et N = ((N1) + 2) si N impair que lon tablit par rcurrence. On aura intrt pour plus de dtails voir le corrig de lexercice association de deux miroirs . Pour les N , la dmonstration est identique. On peut aussi simplement remplacer par et par dans les expressions prcdentes car le problme est symtrique par rapport aux deux miroirs. On obtient alors : N = N si N pair et N = ((N1) + 2()) = (N+1) + 2 pour N impair. Pour p entier pair, 2p et 2p valent 2 et 2 : on revient donc au point de dpart avec 2p-1 images visibles pour les deux mais elles sont aussi confondues entre elles : 2p-1 images en tout sont donc visibles. tan(i2 ) = HI A2 H et tan(i1 ) = HI A1 H

Attention aux signes des distances algbriques ! Elles ont t toutes prises positives, conformment aux orientations des deux axes sur la gure 2.17.

Avec la deuxime loi de la rfraction, cela donne : HA2 = HA1 tan(i1 ) tan(i2 )

Ceci nest pas une relation de conjugaison acceptable car elle dpend du choix du rayon lumineux issu de lobjet A1 (via langle i1 ), ce qui traduit le non-stigmatisme du dioptre plan. Mais dans les conditions de Gauss, nous pouvons exploiter lapproximation : tan(x) x : HA2 = HA1 tan(i1 ) tan(i2 ) HA1 i1 i2

La loi de Snell-Descartes de la rfraction n1 sin(i1 ) = n2 sin(i2 ) devient ici n1 i1 n2 i2 do : HA2 HA1 n2 n1

2.20

Dioptre plan

Mthodes mises en jeu : n 1 et 2. Cet exercice cherche vous faire tablir la relation de conjugaison du dioptre plan. La premire tentative est mene sans approximation et naboutit pas car ce systme nest pas stigmatique. La deuxime tentative est faite dans les conditions de Gauss et conduit la relation de conjugaison utilise pour tudier, par exemple, une lame faces parallles (exercice 17).

Ceci est une relation de conjugaison acceptable car elle ne dpend plus du choix du rayon issu de A1 . crivons-la sous la forme dnitive : A1 A2 :D

HA2 HA1

=

n2 n1

(2.1)

1. Voir gure 2.17. 2. Voir gure 2.17. Limage A2 doit tre sur laxe optique car A1 y est. Elle doit tre lintersection des trois rayons mergents. Mais lintersection A2 du premier et du deuxime rayon nest pas confondue avec lintersection A2 du premier et du troisime rayon ! Donc limage nest pas unique, le dioptre plan nest pas stigmatique pour lobjet A1 . 30

2.21

Image par un prisme de petit angle au sommet

Mthode mise en jeu : n 2. Il faut utiliser la relation de conjugaison donne et faire des schmas pour placer correctement les projets orthogonaux des points objets sur les dioptres H1 et H2 . Le reste est de la gomtrie et des projections sur les deux axes horizontal et vertical.


CORRIGS

2

1. En utilisant la relation de conjugaison, on obtient H1 A1 = H1 A. n = nd. Limage obtenue est virtuelle car elle nest 1 pas situe dans lespace image (l o se trouvent les rayons mergents). 2. La normale change, tout comme le point H. On obtient le schma suivant :

3. Le nouveau dplacement se produit partir dune distance d1 au deuxime dioptre de nd + h (approximation des petits angles). Elle est alors raccourcie dun facteur n et on obtient une distance d + h/n. On obtient doncA1 A2 = (n 1)d + (1 1 )h. La distance horizontale de A A2 est donc : n y = A1 A2 cos() A1 A (n 1)d + (1 1 )h (n n 1)d = (1 1 )h soit 1,67 mm. La distance verticale est n x = [(n 1)d + (1 1 )h] sin() [(n 1)d + (1 1 )h] soit n n 0,305 mm. Ce dispositif est utile pour produire des interfrences lumineuses : on associe alors un autre prisme identique tte-bche et les faisceaux produits issus des deux images se croisent crant ainsi une zone dinterfrence (biprisme de Fresnel).

Figure 2.18 Positions de A, A1 et A2.


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Lentilles sphriques minces

CHAPITRE

3

Plan3.1 3.2Gnralits Stigmatisme de construction 32 35 35

IntroductionLa lentille sphrique mince, ou lentille mince, est lun des objets lmentaires de loptique de premire anne. Cest un systme optique centr reposant sur une double rfraction (une sur la face dentre, une sur la face de sortie).

3.3 Rgles 3.4 Associationde lentilles minces accoles 37 37 38 39 42

Prrequis

3.5 Focomtrie lmentaire Synthse Tests et exercices Corrigs des exercices

Consquences du stigmatisme et de laplantisme approchs pour un systme optique Axe optique, systme centr, foyers et plans focaux

Objectifs

Apprendre utiliser les trois rayons fondamentaux pour obtenir une image ou tracer un rayon mergent Connatre les relations de conjugaison et le grandissement Positionner les foyers autour dune lentille (divergente ou convergente) Reconnatre les lentilles divergentes et convergentes laspect ou lutilisation Savoir retrouver les formules de conjugaison et de grandissement par un trac

3.1 Gnralits3.1.1 Dcoupage de lespace autour dune lentilleLespace objet est situ gauche de la lentille et lespace image droite (avec un rayon lumineux venant de la gauche), comme indiqu gure 3.1.

32


COURS & MTHODESFace de sortie

3

Face d'entre

Objet rel Image virtuelle

Objet virtuel Image relle

Figure 3.1 Limites des espaces objet rel, objet virtuel, image relle, image virtuelle pour une lentille.

3.1.2 ClassicationMo

n ie

Mo

n ie

r e Monie gbr r Al om bre G r Algonier tr ie M om onier bre M r Alg

n ie Mo

tr i e Gom

f est une longueur, donc V est homogne linverse dun longueur, unit appele dioptrie.

Une lentille sphrique mince admet un centre O et, dans les conditions de Gauss, des foyers F et F symtriques par rapport O. Sa distance focale est dnie par f = OF et sa vergence par V = 1/ f .

G

F

O

F'

f > 0, lentille convergente

F' Dunod. La photocopie non autorise est un dlit

O

F

f < 0, lentille divergente

3.1.3 Reconnaissance rapideLes lentilles convergentes sont bord mince, les lentilles divergentes bord pais. La mthode des lunetiers permet didentier trs rapidement la nature dune lentille : placez la lentille quelques millimtres dun texte crit et dplacez lentement la lentille dans un plan horizontal. Si le texte parat dler dans le sens du mouvement de la lentille, celle-ci est divergente. Sinon, elle est convergente. Enn, une lentille convergente grossit le texte que lon regarde lorsquon len loigne (eet de loupe). Une lentille divergente le rtrcit.33

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(b)

(a)

Photo 3.1a et b Images dobjets proches au travers de lentilles minces.

gauche (a), le texte est vu au travers dune lentille divergente. Il semble bien plus petit que le texte vu directement. Cest au travers de la lentille place droite (b), convergente, que le texte parat le plus grand.

Photo 3.2 Images dobjets lointains ( linni).

34


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Voir vido 4 : Reconnatre la nature des lentilles et miroirs

gauche une lentille divergente, limage est droite et rtrcie. Au travers de la lentille convergente ( droite), limage est inverse, grandie et ou : elle est entre la lentille et lappareil photo, trop prt pour tre nette en mme temps que celle donne par la lentille divergente (derrire la lentille).

3.2 StigmatismeLe grandissement est not :ni MoMo

er A

re Monie lgb

r

n ie

om bre G r Alg

n ie Mo


est par dnition sans dimension.

=L

AB AB

.

G

tr i e Gom

Lquation stigmatique A A peut se rsoudre de deux manires quivalentes : Formule de Descartes : Formule de conjugaison avec origine au centre optique : AA : L

1 OA

1 OA

=

1 f

et =

OA OA

Formule de Newton : Formule de conjugaison avec origines aux foyers : AA :L

FA.F A = f f = f

2

et =

FA f = f FA

3.3 Rgles de constructionIl y a trois rayons fondamentaux dans le cas des lentilles : Dunod. La photocopie non autorise est un dlit

le rayon passant par O, qui nest pas dvi, le rayon passant par F, qui merge parallle laxe optique, le rayon parallle laxe optique, qui merge en passant par F .

Mthode 1 construire une image par une lentille mince Il sut de deux rayons pour construire limage dun objet ponctuel. Vous prendrez ces rayons parmi les trois rayons fondamentaux. Un peu dastuce permet parfois daller plus vite. Prenons par exemple un objet linni hors de laxe. Il sut alors dun rayon lumineux pour la placer : elle sera lintersection du rayon rfract et du plan focal image.35

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COURS & MTHODESExemple dapplication


La gure 3.2 montre la construction de limage dun objet rel AB par une lentille convergente. Cest limage de B qui est construite, celle de A sen dduit par aplantisme.

Documents

Physique - MPSI-PTSI - Le compagnon.pdf