Plans D_expériences - Méthode de Taguchi

8/19/2019 Plans D_expériences - Méthode de Taguchi

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Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copieest strictement interdite. – © Editions T.I. F 1 006 − 1

Plans d’expériences

Méthode de Taguchi

par Rachid SABRELaboratoire MAIS Établissement national d’enseignement supérieur agronomique de Dijon (ENESAD)

a méthode de Taguchi vient pour enrichir les méthodes de plans d’expériences en apportant une amélioration considérable aux plans factoriels complets et

fractionnaires détaillés dans le dossier [F 1 005].Elle a pour but de simplifier le protocole expérimental afin de mettre en évi-

dence les effets de facteurs sur la réponse, qui peut être une variable dans un procédé agroalimentaire ou même la mesure de la qualité d’un produit.

La méthode de Taguchi se distingue par une réduction importante du nombre d’essais, tout en gardant une bonne précision. Elle place le modèle comme un élément clef de la stratégie du plan d’expériences. L’expérimentateur choisit librement les facteurs et les interactions à étudier selon le modèle qu’il propose,en étroite adéquation avec ses objectifs.

La place de chaque facteur dans le plan de Taguchi a son importance ; elle est choisie selon la difficulté de réalisation du facteur dans l’expérience. Cette place

dans le plan permettra au facteur le plus difficile à réaliser d’effectuer le moins de changements de niveaux possibles. On peut ainsi regrouper les facteurs par degrés de difficulté de réalisation.

La méthode de Taguchi a connu, dans un premier temps, un succès dans les secteurs industriels et, en particulier, dans le domaine agroalimentaire, puis elle a suscité l’intérêt de la communauté de statisticiens pour un développement et une étude assez larges.

Dans ce dossier, nous commençons par définir les tables orthogonales par rapport à un modèle. Nous donnons également quelques propriétés concernant ces tables que nous utiliserons par la suite pour choisir la table de Taguchi qui

1. Tables orthogonales par rapport à un modèle ............................... F 1 006 – 21.1 Qu’est-ce qu’un modèle ? ........................................................................... — 21.2 Table ou matrice d’expériences ................................................................. — 21.3 Notations...................................................................................................... — 21.4 Propriétés et définitions.............................................................................. — 3

2. Méthode de Taguchi................................................................................ — 42.1 Présentation de la table de Taguchi ........................................................... — 42.2 Comment choisir une table de Taguchi ?................................................... — 42.3 Comment affecter les facteurs aux colonnes de la table de Taguchi

choisie ?........................................................................................................ — 5

3. Calcul des effets...................................................................................... — 63.1 Modélisation ................................................................................................ — 6

3.1.1 Modèle sans interactions................................................................... — 63.1.2 Modèle avec interactions................................................................... — 7

4. Plan « produit »........................................................................................ — 84.1 Produit de deux tables orthogonales......................................................... — 8

Références bibliographiques......................................................................... — 10

Pour en savoir plus .......................................................................................... Doc. F 1 006

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Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copieF 1 006 − 2 est strictement interdite. – © Editions T.I.

convient le mieux au problème étudié. Puis, nous étudions la méthode de Taguchi en montrant comment choisir la table orthogonale appropriée parmi les tables déjà existantes et comment effectuer le calcul des coefficients du modèle per- mettant de mettre en évidence les effets des facteurs étudiés.

Le cas où les facteurs forment 2 groupes de natures différentes (facteurs inté- rieurs et facteurs extérieurs) est abordé en étudiant le plan produit croisant deux

plans d’expériences et en calculant les coefficients du modèle produit.Quelques tables de Taguchi sont données pour exemple en [Doc. F 1 006].

1. Tables orthogonalespar rapport à un modèle

Comme dans le cas des plans factoriels complets et fractionnaires[4] [5] [6] [10], nous donnons ici la définition d’un modèle et d’unematrice d’expériences.

1.1 Qu’est-ce qu’un modèle ?

Après avoir choisi les facteurs que l’on considère comme ayantune influence sur la réponse de l’expérience, l’expérimentateur pro-pose un modèle correspondant à l’hypothèse qui lui semble la plusprobable.

Le modèle est, en général, une expression linéaire de la variableréponse en fonction des facteurs et des interactions que l’on sup-pose avoir un effet sur la réponse. Les coefficients du modèle nepeuvent être calculés qu’après avoir réalisé les expériences. Enl’absence de ces coefficients, nous écrivons le modèle d’unemanière symbolique en vue de préciser les facteurs et les interac-tions pris en compte.

Dans l’exemple suivant, le modèle est noté (M) :

Cette écriture traduit la mise en évidence des effets des facteurspropres F 1, F 2, F 3 et F 4, ainsi que les interactions F 1F 3 et F 2F 4. Lesautres interactions sont supposées négligeables. Le terme constantdu modèle linéaire est symbolisé par .

Nous désignons par éléments du modèle les facteurs et lesinteractions figurant dans l’expression du modèle.

1.2 Table ou matrice d’expériences

Une table (ou matrice) d’expériences est un tableau dans lequelchaque ligne correspond à un essai expérimental indiquant lesniveaux que doivent prendre les facteurs étudiés.

Il a établi la table d’expériences présentée tableau 1.(0)

Si l’on considère la troisième ligne, elle correspond à l’essai danslequel le facteur 1 est au niveau 3 (F 1 est à 30 %), le facteur 2 est auniveau 2 (F 2 est à 25 %) et le facteur 3 est au niveau 1 (F 3 est à 2 %).

y 3 est la valeur de la réponse mesurée lors de cet essai.

1.3 Notations

Notons par :

— T le nombre total d’essais correspondant au nombre de lignesdans la table d’expériences. Dans l’exemple précédent, nous avons :T = 9 ;

— n i , le nombre de niveaux du facteur F i . Nous avons dansl’exemple précédent : n 1 = 3, n 2 = 2 et n 3 = 2 ;

— d i le degré de liberté du facteur F i , égal à n i – 1 ;

— d ij le degré de liberté de l’interaction F i F j , égal au produit(n i – 1)(n j – 1 ) ;

— d M le degré de liberté du modèle, égal à la somme des degrésde liberté des éléments constituant le modèle ;

— N i , j (a,b ) le nombre de fois que le couple (a,b ) se répète dans latable d’expériences où a désigne un niveau du facteur F i et b dési-gne un niveau du facteur F j .

Considérons les facteurs F 1 et F 2 dans l’exemple précédent, c’est-à-dire i = 1 et j = 2, nous avons, pour N i , j (a,b ), les valeurs rassem-blées dans le tableau 2.

Exemple : F 1, F 2, F 3, F 4, F 1F 3 et F 2F 4 sont les éléments dumodèle (M).

Exemple 1 : dans le but de fabriquer un produit répondant à cer-tains critères, l’expérimentateur a choisi de faire varier 3 constituants(trois facteurs) :

— le facteur F 1 prend trois niveaux : 20 %, 25 % et 30 % ; — le facteur F 2 prend deux niveaux : 15 % et 25 % ; — le facteur F 3 prend deux niveaux : 2 % et 5 %.

Y F 1 F 2 F 3 F 4 F 1F 3 F 2F 4+ + + + + += M( )

Tableau 1 – Table des expériences de l’exemple 1

No d’essaiFacteur

F 1

FacteurF 2

FacteurF 3

Réponse

1 1 1 1 y 1

2 2 1 2 y 23 3 2 1 y 34 3 2 2 y 45 2 1 1 y 5

6 1 1 2 y 67 2 2 1 y 78 1 2 2 y 8

9 3 1 1 y 9


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1.4 Propriétés et définitions

■ Définition

On dit que deux facteurs sont orthogonaux dans une tabled’expériences, si tous les couples de niveaux de ces facteurs exis-tent et sont en nombre identique.

Autrement dit, deux facteurs F i et F j sont orthogonaux dans unetable d’expériences si N i , j (a,b ) est égal à une constante non nullequel que soit le couple (a,b ).

On note cette constante par C i , j et on l’appelle la constanted’orthogonalité des facteurs F i , F j .

(0)

(0)

N 2,3 (a,b ) est égal à 2 pour tout couple (a,b ) où a est un niveau deF 2 et b un niveau de F 3. Ainsi, les facteurs F 2 et F 3 sont orthogonaux.

Par contre, les facteurs F 1 et F 2 ne sont pas orthogonaux. En effet :

N 1,2 (1,2) = 1 et N 1,2 (1,1) = 2 et N 1,2(1,2) ≠ N 1,2 (1,1).

Propriété 2

■ Définition

On dit qu’une table d’expériences est orthogonale par rapport àun modèle si tous les éléments de ce modèle sont orthogonauxdans cette table d’expériences.

Comme tous les facteurs sont orthogonaux deux à deux dans unetable orthogonale par rapport à un modèle, nous avons donc :

Ainsi, on peut déduire la propriété suivante que nous utilisons parla suite pour déterminer la table de Taguchi à choisir.

D’autre part, le nombre d’essais T doit être supérieur au degré deliberté du modèle d M.

Tableau 2 – Table de comptage de niveaux de l’exemple 1

Couple de niveau (a ,b ) N 1,2(a ,b )

(1,1) 2

(1,2) 1

(2,1) 2(2,2) 1

(3,1) 1

(3,2) 2

Propriété 1La somme de la c olonne N 1,2 (a, b ) est égale à T = 9.Cette propriété est vraie quels que soient les facteurs F i et F j ,

c’est-à-dire : Σ(a,b ) N i,j (a,b ) = T 4

avec F i et F j deux facteurs quelconques.

Exemple 2 : considérons la table d’expériences du tableau 3 etvérifions si les facteurs F 2 et F 3 sont orthogonaux. Pour cela, comptonsle nombre de fois où chaque couple de niveaux des deux facteurs estprésent dans la table d’expériences (tableau 4).

Tableau 3 – Table d’expériences de l’exemple 2

No d’essaiFacteur

F 1

FacteurF 2

FacteurF 3

Réponse

1 1 1 1 y 1

2 2 1 2 y 23 3 2 1 y 34 3 2 2 y 45 2 1 1 y 56 1 1 2 y 6

7 2 2 1 y 78 1 2 2 y 8

Tableau 4 – Table de comptage de niveaux de l’exemple 2

Couple (a ,b ) N 2,3 (a ,b )

(1,1) 2

(1,2) 2

(2,1) 2(2,2) 2

Si F i et F j sont or thogonaux dans une table d’expérience, alors le nombre d’essais T (nombre de lignes de la table) vérifie l’éga-

lité suivante : T = C i,j n i n j

avec C i,j constante d’orthogonalité des facteurs F i et F j ,

n i nombre de niveaux du facteur F i ,

n j nombre de niveaux du facteur F j .

Propriété 3Le nombre d’essais dans une table orthogonale par rapport àun modèle vérifie :

T = k PPCM (n i n j / i ≠ j )

où k est un entier positif et PPCM désigne le plus petit commun multiple.

T C 1,2 n 1n 2=

T C 1,3 n 1n 3=

⋅

⋅

⋅

T C 1,3 n i n j =

⋅

⋅

⋅


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(0)

■ L’expérimentateur doit écrire le modèle qu’il pense le plusvraisemblable ; par exemple :

y = + F 1 + F 2 + F 3 + F 1F 2

avec y réponse,

F 1, F 2, F 3 trois facteurs ayant chacun 3 niveaux,F 1F 2 interaction entre les facteurs F 1 et F 2.

L’expérimentateur, en proposant ce modèle, doit avoir des raisonspour négliger les interactions F 1F 3 et F 2F 3.

■ Ensuite, l’expérimentateur calcule le degré du modèle d M. Ledegré du modèle de l’exemple précédent est :

d M = (n 1 – 1) + (n 2 – 1) + (n 3 – 1) + (n 1 – 1)(n 2 – 1)

d M = ( 3– 1 ) + ( 3– 1 ) + ( 3– 1 ) + (3 – 1)(3 – 1) = 10

Pour déterminer les dimensions de la table à choisir, l’expérimen-tateur utilise la propriété 3 du paragraphe 1.4. Pour l’exemple précé-dent, le calcul du PPCM est résumé dans le tableau 8.

(0)

Ainsi, le nombre de lignes de la table de Taguchi à choisir, d’aprèsla propriété 3, doit vérifier :

T = 27 k avec k = 1,2,…9 et

T 10

Donc, pour faire le moins d’essais possible, l’expérimentateur doit

prendre k = 1 et donc T = 27 qui vérifie bien T 10.D’autre part, le nombre C de colonnes de la table à choisir est égal

au nombre d’éléments du modèle. Dans l’exemple, C = 4.

■ L’expérimentateur cherche la table de Taguchi de 27 lignes dont lenombre de colonnes est supérieur ou égal à 4 et le nombre deniveaux de tous les facteurs égal à 3 . Il trouve la table : L27(3

13)(cf . tableau A de la Doc. [F 1 006]).

Il n’exploitera que 4 colonnes de cette table choisies selon lesrègles du paragraphe suivant.

2.3 Comment affecter les facteursaux colonnes de la table de Taguchichoisie ?

Les essais sont réalisés dans un ordre chronologique selon leurprésentation dans la table. Pour affecter un élément du modèle àune colonne de la table, nous commençons par classer ces élémentspar ordre de difficulté à changer leurs niveaux. Puis, nous affectonsles éléments les plus difficiles aux colonnes dont le nombre de change-ments de niveau est le plus petit possible.

En pratique, on construit des groupes de colonnes de la table deTaguchi selon leur nombre de changements de niveaux.

Le groupe 1 contient les colonnes dont le nombre de change-ments de niveaux est le plus petit possible. À ce groupe, on affecteles facteurs ayant des niveaux les plus difficiles à changer.

Le groupe 2 est construit de la même manière sur le reste descolonnes auquel on affecte les facteurs ayant des niveaux moins dif-ficiles à changer.

Au groupe 3, on affecte les facteurs ayant des niveaux assez faci-les à changer.

Enfin, au groupe 4, on affecte les facteurs ayant des niveaux faci-les à changer.

Ainsi, la méthode de Taguchi permet de regrouper les facteurs pardegrés de difficulté de leur réalisation [1] [12] [13] [14].

Les tables de Taguchi sont données avec les groupes correspon-dants [10] [11] [14].

■ Calculs

Le réglage de la machine est le plus difficile à mettre en œuvre, carchaque réglage peut causer un retard dans la production. L’expéri-mentateur doit mettre le facteur F 1 dans la colonne où le nombre dechangements de niveaux est le plus faible possible.

Tableau 7 – Table de Taguchi L18(21 37) de l’exemple 4

No d’essai

Facteur

1 2 3 4 5 6 7 8

1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 1 2 2 2 2 2 2

3 1 1 3 3 3 3 3 3

4 1 2 1 2 2 2 3 3

5 1 2 2 3 3 3 1 1

6 1 2 3 1 1 1 2 2

7 1 3 1 1 1 3 2 3

8 1 3 2 2 2 1 3 1

9 1 3 3 3 3 2 1 2

10 2 1 1 3 3 2 2 1

11 2 1 2 1 1 3 3 2

12 2 1 3 2 2 1 1 3

13 2 2 1 3 3 1 3 214 2 2 2 1 1 2 1 3

15 2 2 3 2 2 3 2 1

16 2 3 1 2 2 3 1 2

17 2 3 2 3 3 1 2 3

18 2 3 3 1 1 2 3 1

Tableau 8 – Table de calcul de PPCM

Couple d’éléments du modèle Produit de leurs niveaux

F 1F 2 3 × 3 = 9

F 1F 3 3 × 3 = 9

F 2F 3 3 × 3 = 9

F 3(F 1F 2) 3 × (3 × 3) = 27

PPCM 27

Exemple 5 : pour la fabrication d’un chocolat aromatisé, unmélange a été réalisé. L’expérimentateur veut étudier les effets de cer-tains facteurs :

— facteur réglage d’une machine (3 réglages possibles), ce facteurest noté F 1 ;

— facteur liquide aromatisé qu’on ajoute au mélange (3 façons de lefabriquer) ; ce facteur est noté F 2 ;

— facteur sucre ajouté (3 doses), ce facteur est noté F 3 ; — l’interaction entre le facteur F 1 et le facteur F 2 notée F 1F 2.

Il propose le modèle suivant :

y = + F 1 + F 2 + F 3 + F 1F 2


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Le changement des niveaux du facteur F 2 est plus difficile quecelui du facteur F 3, car le liquide aromatisé demande plus de tempspour le fabriquer.

Ainsi, après avoir hiérarchiser les difficultés de changement deniveaux, l’expérimentateur doit mettre le facteur F 1 dans legroupe 1, le facteur F 2 dans le groupe 2 et le facteur F 3 dans le

groupe 3.

Nous avons vu que la table de Taguchi choisie dans ce cas estL27(3

13).

En regardant la table L27(313), l’expérimentateur constate que le

nombre de changements de niveaux de la première colonne est égalà 2, celui-ci étant le plus faible possible et appartenant au groupe 1.Il affecte donc le facteur F 1 à la première colonne. Puis il affecte lefacteur F 2 à la seconde colonne qui fait partie du groupe 2 (il auraitpu l’affecter à la 3e ou 4e colonne qui font aussi partie du groupe 2).Dans ce cas, les colonnes 3 et 4 correspondent à l’interaction F 1F 2.Enfin, il affecte le facteur F 3 à la colonne 5 appartenant au groupe 3.La table d’expériences est constituée d’une partie de la table L27(3

13)(tableau 9) (cf . Tableau A en doc. [F 1 006] pour la table en entier).

(0)

3. Calcul des effets

3.1 Modélisation

Nous avons donné dans les paragraphes précédents une écriture

symbolique du modèle sans coefficients pour décrire l’influence desfacteurs étudiés. Dans cette partie, nous allons commencer parécrire le modèle en prenant en compte ces coefficients. Pour cela,nous distinguons deux cas : modèle sans interactions et modèleavec interactions.

3.1.1 Modèle sans interactions

Prenons un modèle simple tel que :

avec F 1 facteur à 2 niveaux (niveau bas et niveau haut),

F 2 facteur à 3 niveaux (niveau bas, niveau moyen etniveau haut).

Après avoir réalisé les essais selon une table de Taguchi, nouspouvons écrire le modèle avec ses coefficients calculés à partir desrésultats des essais.

Ces coefficients se calculent en suivant les étapes ci-dessous :

— on calcule la moyenne de la réponse y quand le facteur F 1 estau niveau bas, que l’on note « m 1(F 1) » ;

— on calcule la moyenne de la réponse y quand le facteur F 1 estau niveau haut, que l’on note « m 2(F 1) » ;

— on calcule la moyenne de la réponse y quand le facteur F 2 est

au niveau bas, que l’on note « m 1(F 2) » ;— on calcule la moyenne de la réponse y quand le facteur F 2 estau niveau moyen, que l’on note « m 2(F 2) » ;

— on calcule la moyenne de la réponse y quand le facteur F 2 estau niveau haut, que l’on note « m 3(F 2) ».

En général, on note par « m j (F i ) » la moyenne de la réponse y quand le facteur F i est au j

e niveau ;— on calcule la moyenne totale des réponses y qu’on note « ».

Le coefficient d’un facteur correspondant à un niveau est égal à ladifférence entre la moyenne des réponses quand le facteur est fixé àce niveau et la moyenne totale, d’où :

L’expérimentateur a choisi un plan complet dont la matriced’expérience est celle du tableau 10.

(0)


No d’essai

F 1 F 2 F 1F 2 F 1F 2 F 3

1 2 3 4 5

1 1 1 1 1 1

2 1 1 1 1 2

3 1 1 1 1 3

4 1 2 2 2 1

5 1 2 2 2 2

6 1 2 2 2 3

7 1 3 3 3 1

8 1 3 3 3 2

9 1 3 3 3 3

10 2 1 2 3 1

11 2 1 2 3 2

12 2 1 2 3 3

13 2 2 3 1 1

14 2 2 3 1 2

15 2 2 3 1 3

16 2 3 1 2 1

17 2 3 1 2 2

18 2 3 1 2 3

19 3 1 3 2 1

20 3 1 3 2 221 3 1 3 2 3

22 3 2 1 3 1

23 3 2 1 3 2

24 3 2 1 3 3

25 3 3 2 1 1

26 3 3 2 1 2

27 3 3 2 1 3

Groupe 1 Groupe 2 Groupe 3

Exemple 6 : étudions la fabrication d’un fromage allégé. Il s’agit devérifier l’effet de deux facteurs : F 1 = ferments lactiques etF 2 = présures.

L’expérimentateur a supposé, pour simplifier, que l’interaction F 1F 2est négligeable.


No essai Facteur F 1 Facteur F 2 Réponse y

1 1 1 120

2 1 2 110

3 1 3 100

4 2 1 170

5 2 2 160

6 2 3 150

y

F 1 F 2+ +=

y a1, a2[ ]F 1 b 1, b 2, b 3[ ]F 2+ +=

a1 m 1 F 1( ) a2; m 2 F 2( ) –=–=

b 1 m 1 F 2( ) b 2; m 2 F 2( ) et b 3 m 3 F 2( ) –=–=–=


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Calcul des différentes moyennes :

Les coefficients du modèle s’écrivent donc :

Ainsi, le modèle s’écrit :

y = 135 + [–25, 25] F 1 + [10, 0, –10] F 2

■ Interprétation :

La note maximale est atteinte avec le niveau haut du facteur F 1, etle niveau bas du facteur F 2 car le coefficient a1 est plus petit que a2

et les coefficients b 2 et b 3 sont plus petits que b 1.

3.1.2 Modèle avec interactions

Soit F 1 et F 3 deux facteurs ayant trois niveaux et F 2 un facteurayant deux niveaux.

Considérons le modèle suivant contenant les trois facteurs plusl’interaction F 2F 3 :

Le terme (bc )ij est le coefficient correspondant à l’interaction des

facteurs F 2 et F 3 lorsque F 2 est au i e niveau et F 3 est au j e niveau. Ceterme se calcule selon la formule suivante :

avec m ij (F 2 F 3) moyenne de tous les résultats lorsque lefacteur F 2 est au niveau i et le facteur F 3 estau niveau j .

Le modèle que l’expérimentateur a choisi est le suivant :

Dans ce cas, seuls les effets propres des facteurs et l’interactionentre le facteur F 3 et le facteur F 4 intéressent l’expérimentateur. Ilsuppose que les autres interactions sont négligeables.

Ensuite, l’expérimentateur calcule le degré du modèle d M. Ledegré du modèle de l’exemple 7 est donné par :

Pour déterminer les dimensions de la table à choisir, l’expérimen-tateur utilise la propriété 3 du paragraphe 1.4. Il calcule le PPCM de

la manière définie dans le tableau 11.(0)

Ainsi, le nombre de lignes de la table de Taguchi à choisir doitvérifier :

Pour réaliser le moins d’essais possible, l’expérimentateur doitprendre k = 1 et donc T = 8 qui vérifie bien T 5.

D’autre part, le nombre C de colonnes de la table à choisir est égal à 5.

L’expérimentateur cherche la table de Taguchi de 8 lignes dont lenombre de colonnes est supérieur ou égal à 5 et le nombre deniveaux des facteurs égal à deux. Il trouve la table L8(2

7)(tableau 12) (voir en [Doc F 1 006] la totalité du tableau D). Iln’exploitera que 5 colonnes de cette table choisies comme suit : on

affecte le facteur F 4 dont les niveaux sont les plus difficiles à changerà la première colonne (seule colonne du groupe 1). Puis le facteurF 3, dont les niveaux ne sont pas faciles à changer, à la secondecolonne (une des colonnes du groupe 2). Comme les facteurs F 1 etF 2 ne posent pas de problème pour le changement de leurs niveaux,l’expérimentateur affecte le facteur F 1 à la quatrième colonne (unedes colonnes du groupe 3). Étant donné que la colonne 5 (respecti-vement la colonne 6) devient la colonne de l’intersection F 4F 1 (res-pectivement F 3F 1), il affecte le facteur F 2 à la colonne 7.

■ Calculs

Les coefficients (encadré ci-dessous) sont obtenus à l’aide des for-mules données dans les paragraphes 3.1.1 et 3.1.2 et, pour la valeur

, à l’aide du tableau 12 ( = 23,25).(0)

Exemple 7 : la fabrication, dans un laboratoire, d’une tarte a néces-sité la variation des pourcentages de 2 constituants de la garniture(deux facteurs F 1 et F 2) et la variation de la méthode de deux autres fac-teurs (F 3 et F 4) :

— F 1 = poivrons rouges entre 12 % et 15 % ; — F 2 = tomates entre 15 % et 17 % ; — F 3 = méthode de conservation (M 1 et M 2) ; — F 4 = méthode de fabrication (S 1 et S 2) d’une sauce ajoutée à

base d’un mélange (crème fraîche, huile d’olive, œufs, arôme, épice…).

La réponse est une note globale, entre 0 et 40, donnée par un jury.

120 110 100 170 160 150+ + + + +( ) /6 135= =

m 1 F 1( ) 120 110 100+ +( ) /3 110 ;= =

m 2 F 1( ) 170 160 150+ +( ) /3 160 ;= =

m 1 F 2( ) 120 170+( ) /2 145 ; m 2 F 2( ) 110 160+( ) /2 135;= = = =

m 3 F 2( ) 100 150+( ) /2 125= =

b 1 145 135– 10 ; b 2 135 135– 0 ; b 3 125 135– 10–= == = = =

a1 110 135– 25– ; a2 160 135– 25 ;= = = =

y a1, a2, a3[ ] F 1 b 1, b 2[ ] F 2 c 1, c 2, c 3[ ] F 3+ + +=

bc ( )11 bc ( )12 bc ( )13

bc ( )21 bc ( )22 bc ( )23F 2 F 3+

bc ( )ij m ij F 2 F 3( ) b i c j 1 i 2 et 1 j 3 ;–––=

y a1, a2[ ] F 1 b 1, b 2[ ] F 2 c 1, c 2[ ] F 3 d 1, d 2[ ] F 4 + + + +=

dc ( )11 dc ( )12dc ( )21 dc ( )22

F 4 F 3+

Tableau 11 – Table de calcul du PPCM de l’exemple 7

Couple d’élements du modèle Produit de leurs niveaux

F 1 F 2 2 × 2 = 4

F 1 F 3 2 × 2 = 4

F 2 F 3 2 × 2 = 4

F 4 F 1 2 × 2 = 4

F 4 F 2 2 × 2 = 4

F 4 F 3 2 × 2 = 4

F 1(F 4F 3) 2 × (2 × 2) = 8

F 2(F 4F 3) 2 × (2 × 2) = 8

PPCM 8

m 1(F 1) = 24 a1 = 0,75

m 2(F 1) = 22,5 a2 = –0,75

m 1(F 2) = 23,75 b 1 = 0,5m 2(F 2) = 22,75 b 2 = –0,5

m 1(F 3) = 20 c 1 = –3,25

m 2(F 3) = 26,5 c 2 = 3,25

m 1(F 4) = 16,75 d 1 = –6,5

m 2(F 4) = 29,75 d 2 = 6,5

m 11(F 4F 3) = 14,5 dc 11 = 1

m 12(F 4F 3) = 19 dc 12 = –1

m 21(F 4F 3) = 25,5 dc 21 = –1

m 22(F 4F 3) = 34 dc 22 = 1

d M n 1 1–( ) n 2 1–( ) n 3 1–( ) n 4 1–( ) n 4 1–( ) n 3 1–( )+ + + +=

d M 2 1–( ) 2 1–( ) 2 1–( ) 2 1–( ) 2 1–( ) 2 1–( ) 5=+ + + +=

T 8 k avec k 1,2, …, 9==

et T 5


8/10



(0)

d’où

■ Interprétation

On considère que seuls les effets correspondant aux paramètresdont les valeurs sont inférieures à 1 sont négligeables. Ainsi, les fac-teurs F 3 et F 4 (la méthode de conservation et la méthode de prépa-ration de la sauce) ont un effet sur la note du jury. La meilleure noteest atteinte lorsque le facteur F 3 est au niveau haut (méthode deconservation M2) et le facteur F 4 est au niveau haut (méthode de lafabrication de la sauce S2).

4. Plan « produit »

4.1 Produit de deux tables orthogonales

Soit le modèle symbolique défini par :

où les 4 facteurs ont 2 niveaux.

Considérons le plan d’expériences défini par la table «T1 » dutableau 13 déduite de la table de Taguchi L8(2

7) donnée dans [10] (cf .tableau D en doc. [F 1 006]).

(0)

D’autre part, considérons un autre modèle symbolique défini par :

où les facteurs F 5 et F 6 ont deux niveaux, et le plan d’expériences 22

défini par la table «T2 » du tableau 14.(0)

Le plan produit est un plan basé sur le produit des deux tables T 1et T2. La table d’expériences plan produit consistant à réaliser4 × 8 = 32 essais est celle du tableau 15.

(0)

Dans ce tableau :

• y ij désigne le résultat de l’essai dans lequel les facteurs F 1, F 2, F 3et F 4 prennent les niveaux de la ligne i et les facteurs F 5F 6 prennentles niveaux de la colonne j .

Par exemple y 53 correspond au résultat de l’essai dans lequel lefacteur F 1 est au niveau 2, le facteur F 2 est au niveau 1, le facteur F 3est au niveau 1, le facteur F 4 est au niveau 2, le facteur F 5 est auniveau 2 et le facteur F 6 est au niveau 1.

• y i . désigne la moyenne des résultats correspondant à la i e ligne.

Par exemple :

• y . j désigne la moyenne des résultats correspondant à la j e colonne.

Par exemple :

y .4 = (y 14 + y 24 + y 34 + y 44 + y 54 + y 64 + y 74 + y 84)/8

Le nouveau modèle produit est donc :

Tableau 12 – Partie de la table L8(27) pour l’exemple 7

No essai

F 4 F 3 F 4F 3 F 1 F 2 Réponse

1 1 1 1 1 1 15

2 1 1 1 2 2 143 1 2 2 1 2 20

4 1 2 2 2 1 18

5 2 1 2 1 2 25

6 2 1 2 2 1 26

7 2 2 1 1 1 36

8 2 2 1 2 2 32

Tableau 13 – Table T1

No essai F 1 F 2 F 3 F 4 F 2F 3

1 1 1 1 1 1

2 1 1 2 2 2

3 1 2 1 2 2

4 1 2 2 1 1

5 2 1 1 2 1

6 2 1 2 1 2

7 2 2 1 1 2

8 2 2 2 2 1

y 23,25 0,75 ; 0– ,75[ ]F 1 0,5 ; 0,– 5[ ]F 2+ +=

3– ,25;3,25[ ]F 3 6, 5– ; 6 ,5[ ]F 41 1–

1– 1

F 4F 3+ + +

y F 1 F 2 F 3 F4 F 2F 3+ + + + +=

Tableau 14 – Table T2

No essai F 5 F 6

1 1 1

2 1 2

3 2 1

4 2 2

Tableau 15 – Table d’expériences du plan « produit »

F 5 1 1 2 2Moyennes

F 6 1 2 1 2

F 1 F 2 F 3 F 4

1 1 1 1 y 11 y 12 y 13 y 14 y 1.1 1 2 2 y 21 y 22 y 23 y 24 y 2.1 2 1 2 y 31 y 32 y 33 y 34 y 3.1 2 2 1 y 41 y 42 y 43 y 44 y 4.2 1 1 2 y 51 y 52 y 53 y 54 y 5.2 1 2 1 y 61 y 62 y 63 y 64 y 6.2 2 1 1 y 71 y 72 y 73 y 74 y 7.2 2 2 2 y 81 y 82 y 83 y 84 y 8.

Moyennes y .1 y .2 y .3 y .4 y ..

y F 5 F 6+ +=

y 3. y 31 y 32 y 33 y 34+ + +( ) /4=

y a1, a2[ ]F 1 b 1, b 2[ ]F 2 c 1, c 2[ ]F 3bc ( )11 bc ( )12bc ( )21 bc ( )22

F 2F 3+ + + + +=

d 1, d 2[ ]F 4 e 1, e 2[ ]F 5 t 1, t 2[ ]F 6+ +


9/10



avec

La réponse mesurée est une note donnée par un jury sur la varia-ble Moelleux.

Le modèle produit proposé est :

Pour les facteurs intérieurs (F 1, F 2, F 3 et F 4), l’expérimentateur adéterminé, grâce à la méthode de Taguchi, la table d’expériencesappropriée ; il s’agit de la table de Taguchi L27(3

7). Il a choisi égale-ment le plan 22 pour les facteurs extérieurs F 5, F 6.

La table d’expériences du plan produit est donnée dans letableau 16.

Les résultats des essais réalisés selon le plan produit sont donnésdans le tableau 17.

(0)

(0)

Exemple 8 : pour fabriquer un nouveau cake, un expérimentateur aconstruit un plan pour faire varier les doses de quatre constituants :

— facteur F 1 : huile de tournesol ayant 3 niveaux : 12 %, 16 % et20 % ;

— facteur F 2 : coco râpé à 3 niveaux : 15 %, 20 % et 27 % ; — facteur F 3 : pépites de chocolat à 3 niveaux : 8 %, 10 % et 12 % ; — facteur F 4 : nature de farine à 3 niveaux : farine 1, farine 2 et

farine 3.

L’expérimentateur désire également contrôler d’autres facteursextérieurs :

— facteur F 5 : condition de conservation après la fabrication ; ilexiste deux façons de le faire (deux niveaux notés « 1 » et « 2 ») ;

— facteur F 6 : l’emballage est considéré comme un facteurimportant ; il existe deux sortes d’emballages (deux niveaux notés« 1 » et « 2 »).

Tableau 16 – Table produit L27(37) 22

F5 1 1 2 2Moyennes

F6 1 2 1 2

F 1 F 2 F 3 F 4

1 1 1 1 y 11 y 12 y 13 y 14 y 1.1 2 2 1 y 21 y 22 y 23 y 24 y 2.1 3 3 1 y 31 y 32 y 33 y 34 y 3.1 1 2 2 y 41 y 42 y 43 y 44 y 4.1 2 3 2 y 51 y 52 y 53 y 54 y 5.

1 3 1 2 y 61 y 62 y 63 y 64 y 6.1 1 3 3 y 71 y 72 y 73 y 74 y 7.1 2 1 3 y 81 y 82 y 83 y 84 y 8.1 3 2 3 y 91 y 92 y 93 y 94 y 9.2 1 2 1 y 10,1 y 10,2 y 10,3 y 10,4 y 10.2 2 3 1 y 11,1 y 11,2 y 11,3 y 11,4 y 11.2 3 1 1 y 12,1 y 12,2 y 12,3 y 12,4 y 12.2 1 3 2 y 13,1 y 13,2 y 13,3 y 13,4 y 13.2 2 1 2 y 14,1 y 14,2 y 14,3 y 14,4 y 14.2 3 2 2 y 15,1 y 15,2 y 15,3 y 15,4 y 15.

a1 y 1. y 2. y 3. y 4.+ + +( )[ ] /4 y ..–= b 1 y 1. y 2. y 5. y 6.+ + +( )[ ] /4 y ..–=

a2 y 5. y 6. y 7. y 8.+ + +( )[ ] /4 y ..–= b 2 y 3. y 4. y 7. y 8.+ + +( )[ ] /4 y ..–=

c 1 y 1. y 4. y 5. y 8.+ + +( )[ ] /4 y ..–= d 1 y 1. y 4. y 6. y 7.+ + +( )[ ] /4 y ..–=

c 2 y 2. y 3. y 6 y 7.+ + +( )[ ] /4 y ..–= d 2 y 2. y 3. y 5. y 8.+ + +( )[ ] /4 y ..–=

e 1 y .1 y .2+( )[ ] /2 y ..–= bc ( )11 y 1. y 5.+( ) /2[ ] y ..–=

e 2 y .3 y .4+( )[ ] /2 y ..–= bc ( )12 y 2. y 6.+( ) /2[ ] y ..–=

t 1 y .1 y .3+( )[ ] /2 y ..–= bc ( )21 y 3. y 7.+( ) /2[ ] y ..–=

t 2 y .2 y .4+( )[ ] /2 y ..–= bc ( )22 y 4. y 8.+( ) /2[ ] y ..–=

y F 1 F 2 F 3 F4 F 1F 2+ + + + +( ) F 5 F 6+ +( )=

2 1 1 3 y 16,1 y 16,2 y 16,3 y 16,4 y 16.

2 2 2 3 y 17,1 y 17,2 y 17,3 y 17,4 y 17.2 3 3 3 y 18,1 y 18,2 y 18,3 y 18,4 y 18.3 1 3 1 y 19,1 y 19,2 y 19,3 y 19,4 y 19.3 2 1 1 y 20,1 y 20,2 y 20,3 y 20,4 y 20.3 3 2 1 y 21,1 y 21,2 y 21,3 y 21,4 y 21.3 1 1 2 y 22,1 y 22,2 y 22,3 y 22,4 y 22.3 2 2 2 y 23,1 y 23,2 y 23,3 y 23,4 y 23.3 3 3 2 y 24,1 y 24,2 y 24,3 y 24,4 y 24.3 1 2 3 y 25,1 y 25,2 y 25,3 y 25,4 y 25.3 2 3 3 y 26,1 y 26,2 y 26,3 y 26,4 y 26.3 3 1 3 y 27,1 y 27,2 y 27,3 y 27,4 y 27.

Moyennes y .1 y .2 y .3 y .4 y ..

Tableau 17 – Table produit L27(37) 22

F 5 1 1 2 2

MoyennesF 6 1 2 1 2

F 1 F 2 F 3 F 4

1 1 1 1 27 17 16 15 18,75

1 2 2 1 22 16 13 12 15,75

1 3 3 1 26 18 16 13 18,25

1 1 2 2 26 17 15 13 17,75

1 2 3 2 30 21 21 18 22,5

1 3 1 2 23 16 11 13 15,75

1 1 3 3 30 17 15 16 19,5

1 2 1 3 19 13 17 15 16

1 3 2 3 25 15 15 8 15,75

2 1 2 1 29 21 23 21 23,5

2 2 3 1 22 17 17 18 18,5

2 3 1 1 25 18 17 12 18

2 1 3 2 27 19 17 18 20,25

2 2 1 2 29 21 18 14 20,5

2 3 2 2 28 16 15 15 18,5

2 1 1 3 29 14 23 21 21,75

2 2 2 3 30 19 23 22 23,5

2 3 3 3 32 21 20 15 22

3 1 3 1 29 24 21 20 23,53 2 1 1 23 17 14 10 16

3 3 2 1 26 19 17 25 21,75

3 1 1 2 25 18 15 12 17,5

3 2 2 2 33 23 23 30 27,25

3 3 3 2 28 22 19 15 21

3 1 2 3 34 27 18 15 23,5

3 2 3 3 27 18 24 16 21,25

3 3 1 3 20 22 20 10 18

Moyennes 26,8148 18,740 17,888 16 19,86111

Tableau 16 – Table produit L27(37) 22 (suite)

F5 1 1 2 2Moyennes

F6 1 2 1 2


10/10



■ Calculs

Les coefficients se calculent selon les étapes suivantes :

Ainsi, le modèle devient :

■ Interprétation

La réponse maximale est atteinte avec le facteur F 1 au niveau 3, lefacteur F 2 au niveau 1, le facteur F 3 au niveau 2 et le facteur F 4 auniveau 3, le facteur F 5 au niveau 1 et le facteur F 6 au niveau 1.

La note maximale est donc atteinte avec 20 % d’huile de tournesol,

15 % de coco râpé, 10 % de pépites de chocolat, la farine 3, la condi-

tion de conservation 1 et l’emballage 1.

a1 y 1. y 2. y 3. y 4. y 5. y 6. y 7. y 8. y 9.+ + + + + + + +( ) /9[ ] y ..–=

a1 –2,08333333=

a2 y ( 10. y 11. y 12. y 13. y 14. y 15. y 16. y 17.+ + + + + + +[=

+ y 18. ) /9 ] y ..–

a2 0,86111111=

a3 y 19. y 20. y 21. y 22. y 23. y 24. y 25. y 26.+ + + + + + +[=

+y 27. /9 ] y ..–

a3 1,22222222=

b 1 y 1. y 4. y 7. y 10. y 13. y 16 . y 19. y 21. y 25.+ + + + + + + +( ) /9[ ] y ..–=

b 2 0,80555556=

b 2 y 2. y 5. y 8. y 11. y 14. y 17. y 20. y 22. y 26.+ + + + + + + +( ) /9[ ] y ..–=

b 2 0,27777778=

b 3 y 3. y 6. y 9. y 12. y 15. y 18. y 21. y 23. y 27.+ + + + + + + +( ) /9[ ] y ..–=

b 3 1,08333333–=

c 1 y 3. y 6. y 9. y 12. y 15. y 18. y 21. y 23. y 27.+ + + + + + + +( ) /9[ ] y ..–=

c 1 1,83333333–=

c 2 y 2. y 4. y 9. y 10. y 15. y 17. y 21. y 23. y 27.+ + + + + + + +( ) /9[ ] y ..–=

c 2 0,94444444=

c 3 y 3. y 5. y 7. y 11. y 13. y 18. y 19. y 24. y 26.+ + + + + + + +( ) /9[ ] y ..–=

c 3 0,88888889=

d 1 y 1. y 2. y 3. y 10. y 11. y 12. y 19. y 20. y 21.+ + + + + + + +( ) /9[ ] y ..–=

d 1 0,52777778–=

d 2 y 4. y 5. y 6. y 13. y 14. y 15. y 22. y 23. y 24.+ + + + + + + +( ) /9[ ] y ..–=

d 2 0,25=

d 3 y 7. y 8. y 9. y 16. y 17. y 18. y 25. y 26. y 27.+ + + + + + + +( ) /9[ ] y ..–=

d 3 0,27777778=

a b ( )11 y 1. y 4. y 7.+ +( ) /3[ ] y ..– 1,19444444–= =

a b ( )12 y 2. y 5. y 3.+ +( ) /3[ ] y ..– 1,77777778–= =

a b ( )13 y 3. y 6. y 9.+ +( ) /3[ ] y ..– 3,27777778–= =

a b ( )21 y 10. y 13. y 16.+ +( ) /3[ ] y ..– 1,97222222–= =

a b ( )22 y 11. y 14. y 17.+ +( ) /3[ ] y ..– 0,97222222= =

a b ( )23 y 12. y 15. y 18.+ +( ) /3[ ] y ..– 0,36111111–= =

a b ( )31 y 19. y 22. y 25.+ +( ) /3[ ] y ..– 1,63888889–= =

a b ( )32 y 20. y 23. y 26.+ +( ) /3[ ] y ..– 1,63888889–= =

a b ( )33 y 21. y 24. y 27.+ +( ) /3[ ] y ..– 0,38888889= =

e 1 y .1 y .2+( ) /2[ ] y ..– 2,91666667= =

e 2 y .3 y .4+( ) /2[ ] y ..– 2– ,91666667= =

t 1 y .1 y .3+( ) /2[ ] y ..– 2,49074074= =

t 2 y .2 y .4+( ) /2[ ] y ..– 2,49074074–= =

y 19,8611 2,083– ;0,861;1,222[ ] F 1 [0,805;0,277;+ +=

1– ,083]F 2 1,833– ;0,944;0,888[ ] F 3 0,527– ;0,25;0,277[ ] F 4+ +

1,194– 1,777– 3,277–1,972 0,972 0,361–1 ,638 1,638 0,388

F 2F 3 2,9166; 2,966–[ ]F 5+ +

2,490; 2,940–[ ]F 6+

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Documents

Plans D_expériences - Méthode de Taguchi