Plaques - Partie1

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    14-Jul-2015

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<ul><li><p>5/12/2018 Plaques - Partie1</p><p> 1/46</p><p>TH EO RIE D ES PLA QU ES EL ASTIQ ,U ES.</p><p>INTRODUCTION.</p><p>Dans ee cours, la theorle lineaire des plaques sera presentee d Iunefagon inductive entierement parallele a la theorte des poutres etablie en Resis-tance des Materiaux.Au paragraphe 1.1., on etablira par un raisonnement simple mais ri-goureux La theorie de la flexion pure des plaques; qui est parallele a celle dela theorie de Navier vue au paragraphe 5.1. du eourS de Resistance des Materiaux~</p><p>Contrairement a ce qui a lieu pour les poutres3 cette theorie n'est valable quesi les deplacements transversaux sont faibles vis a vis de J. Ie p a" i ss e ur d e Laplaque.A u p ar ag ra ph e 1.20J on developpera ensuite la theorie technique clas-sique des plaques chargees de forces transversales. Cette theorie postula queles contraintes normales transversales dz et les efforts tranchants transver-saux ont un effet negligeable sur la deformation de la plaque.Ces hypotheses simplificatrices sont la generalisation directe de celles faltesen Resistance des Materiaux pour etablir la theorie technique des poutres soumi-ses a des charges transversales (cf. pa~agraphes 8.4. et 9.4. du cours de Resis-tance des Materiaux).</p><p>.' ..,',</p><p>Le chapitre 1 ci-apres contient la theorie des plaques isotropesqLes resultats obtenus dans ce chapitre sont etendus au chapitre 2 aux plaquesanlsotropes, surtout en vue d'arriver au developpement de la methode de calculdes pants a p ou tr es m ul ti pl es .I.e chapitre 3, consacre a lietude des plaques sollicitees dans leurplan, debouche sur la recherche des contraintes critiques de'voilement des pla-ques raidies, qui presente un intert capital en construction metalliqu~. Latheorie linealre de voilement. represente malheureusement fort mal la realite,car elle neglige les contraintes de membrane qui se developpent dans la plaque</p><p>des que celle-ci flechit. crest pourquoi il nous a semble indispensable d'abor~der dans un darnier chapltre Ia theorie non-lineaire des plaques membranes, quiforme Ia base d'une comprehension complete du cOlnportement des plaques en dangerde voilement. Apres avoir etabli les deux equations de base at discute de leurintegration, on donne quelques notions sur ,Ie probleme du raidissage des paroisdes grandes poutres en tole et sur le calcul des structures en tole mince pliee.</p></li><li><p>5/12/2018 Plaques - Partie1</p><p> 2/46</p><p>CHAPITRE 1 THEORIE DES PAIBLES DEFORMATIONS DES PLAQUES ISCYI'RO?ES.</p><p>1.1. FlliXIONPURE DES PLAQUES.</p><p>1 . 1 . 1 ~ R el at io ns e nt re l e s courbures et moments prindpaux.Cons Ider-ons une plaquerectangulaire flechie par desmoments uruf'ormemerrtdi5tri.-hues sur Les cote.s de cetteplaque comme 1e montre In fj ..gure 1.1.Pr-e nons comme plan :le:-;xy le plan moyen de 1a plaque.Situe a egale distance des fa-</p><p>ces de celJe-ci, et dirigeonsles axes Ox et Oy selor. lasc6tes de la plaque comme il estindique.Fig. 1.1. L1axe des z sera ;e~-pend1culaire au plan de la plaque et dirige vel'S I e bas.</p><p>Appelonse 11epaisseur de 1a plaque 9 supposeC. faible par rapport a ses aut re sdimensions .,</p><p>le moment de flexion par unite de longueur sur les cates par-a Lte Le s ~ Oy ;Ie moment de flexion par unite de longueur sur les cotes par'a.Ll.e Le s ~ 0:-:.~</p><p>Ces moments s "expr-i merrt, par exemp.l.e en kgm par metre courant etant done la dimension d'une force.En accord avec la convention generale des signes u~ilisee dans cecours~ nous eompterons ces moments positivement slils tendent a comprime'r':;_aface superieure de la plaque et"a tendre l'inferieure.Considerons un element decoupe hors de 1a plaque par deux paires ie</p><p>plans parall8 1es aux plans coordonnes Oxz et Oyz respectlvement. (Figure l.2.).Dans l'etude de la fle~ion pure des poutres prismatiques, faite e~Resistance des Materiaux, nous avons demontre, aIr aide de conside-rations de s flTI~-trie ..que s!la poutre etait infiniment longue, ses sections droites re st.atentplanes pendant la flexion et tournaient autour d "un axe neutre passarrt par Lerraxe de gravi t e. Dans lecas d 'une plaque. qui s 'etend' Lndef'Lru.nent. en tous se ns ,on peut faire une demonstration tout a fait semblable. On peut done affirmer queles cotes latera~x de l'element dx dy dz (Fig. 1,2.) restent plans au ~ours ie1a deformation et tournent autour des axes neut r es correspondants "nn" de ma !" ,i e-re a resternormaux au feuillet moyen deforme de la plaque. On constate que,dans ce cas, ce feuillet ne subit aucune deformation et constitue par consequent</p><p>une surfacf neutre.</p></li><li><p>5/12/2018 Plaques - Partie1</p><p> 3/46</p><p>Appelons J C et ) C les courbures des sections fai tes dans cettesurface neutre par les xplans Para11eles a Oxz et Oyz respectlvement;les dilatations dans les directions x et y d1une lame elementaire abcd(Fig. 1.2.) situee a 1a distance z de la surface neutre s'obtiennent commedans 1e cas d'une poutre et valent:E x = = z : &gt; G : x ; z } 0 y (a)</p><p>D'apres la 10i de Hooke~ on a</p><p>E x 1= = ECy 1= = E</p><p>(6 - Y C 5 )x y(b)</p><p>(6 - V (f )y xet les contraintes dans 1a lame abcd valent</p><p>d .. E.z C k : x + v X )= .1 . _ y2 YE.z (Xy + y)i )J' = = 2 Y 1 -. j x</p><p>(c)</p><p>El le s s on t p ro por ti on ne ll es a la df.stance z de 1a lame abcd a.la surface neutre et dependent de 1a grandeur des deux courbures principa1esde la plaque flechie.Ecrivons maintenant quelibre, clest-a.-dire que les couplesments exterieurs Mx.dy et My.dxment ; il vient</p><p>1e parallelipipede e.dx.dy est en equi-des forces interieures sont egaux aux mo-agissant sur les faces laterales de 1'618 -.f </p></li><li><p>5/12/2018 Plaques - Partie1</p><p> 4/46</p><p>4.-.:(J z. dy.dz = Mx' dy- e/2 xf + 0/2 (J z. dx.dz "" M dx-e/2 y y . )en y r em pl aga nt a et (J par leurs valeurs (0), on trouvex y</p><p>M := D. ()Lx + 1 &gt; X )x YM := Do (~y +Y x : : . )y x</p><p>o u l'on a poseD E f + e/2 2~ ~2' _ e/2 z. dzLa q uan ti te D joue un r61e analogue au produit EoI. d e l 'e qua ti onde l'e1astique ; c'est pourquoi on l'appelle la rigidite flexionnelle de la pla-que.On peut resoudre les formules (1.1.) par rapport aux courbures, ce quidonne</p><p>(1.2. )~ = (M - o J M )/D'x x yX - y :::::I (M -i ) M )/D tY X</p><p>avec D' := Ee3/12 (1 _ V 2) D=3i nous supposons que les deplacements transversaux w dela plaquesont faibles, nous pouvons, comme au paragraphe 9 . 5 . du courS de R.d.M., adopterpour les courbures 1es expressions simplifiees</p><p>2 2;t: o w )/y ;) \1= . , .x a x 2 dye( hy po th es e N 1es pentes faibles) Remplagons dans les equations (1.1.), nous obtenons</p><p>M :=X2 2- D. (a w + V (l w )o x 2 ~l (1.3. )2 2</p><p>- D. ( . 2 ! . + . y q w) ~2 . 2oy a xM .,.yces equations definissent la forme que prend apres deformation Ie feuillet moyende 1a- plaque quand on donne 1es moments Mx et My'</p><p>Dans 1e cas particulier ou M = 0, la plaque est flechie commeune poutre par la deuxieme equation (1.3~),on a dans oe cas :</p><p>./.</p></li><li><p>5/12/2018 Plaques - Partie1</p><p> 5/46</p><p>: ..)</p><p>clest-a.-dire que la plaque a en chaque point deux courbures princ1.pales opposees( s ur f ac e a n ti c la s t1 q ue ) .31 1 'on f'Lechf.t,a plaque de mant sre a lui donner une forme cylindri-que (Fig. L3.), sa courbure dans Le sens des y est nulle et les formulas</p><p>(1.1.) se re dui se nt aM = D . x : : : : _ E. e3 ~x x 12. (1 _v 2) x ( 4)1..M = ,)D x :Y x</p><p>31 lion avait considere une bande1s01ee de largeur unitaire (Fig.1.3.) e t a ppl iq ue a cetta bandela fonnule classique de la flexiondes poutres, o n aurait trouveE.e3 1/"Yxx = 12puisque le moment d'inertie de Iabande est- Fig. 1.3. -</p><p>Irigide que1--,2'1-v</p><p>En comparant les deux resultats, on constate que la plaque est plusne l'indique la theorie des poutres; cette augmentation de rigidlte1vaut, dans Ie cas de llaeier, 0 , 9 1 = 1,10 ; el1e est due au fait que,..:</p><p>dans une poutre, la dilatation transversale peut s'effectuer librament tan-dis que dans 1a plaque, elle est empohee par ~uite de In continuite dans Iesens des y. II natt de oe fait des contraintes ay qu'on peut deduire de las ec ond e f orm ule (1~4.).31 M x = = My = M. les eourbures du feuillet moyen dans les deux di-rections perpendiculaires sont egales at 1a plaque prand une forme spher1queIa courbure de .cette sphere est,.par l'equation (l~l.) : ~</p><p>) C = = D. (~ + v)II est facile de voir qu'on obtient une tel1e surface spheriquepour une plaque de forme quelconque, pourvu que les moments de flexion soientdistribue~ uniformement le long de son contour.</p><p>1.1.2. Domaine de validite de 1a theorie lineaire des plaques.Dans la theorie faite ci-dessus, on a suppose que 1e feui1let moyen</p><p>ne subissait aucune deformation pendant Ia fIex1pn de la plaque.Cette condition ne peut etre rigoureusement satisfa1te que s1 ce</p><p>feuillet moyen deforme devient une surface developpable telle qu1un cy1indreou un c6n8\..r .</p></li><li><p>5/12/2018 Plaques - Partie1</p><p> 6/46</p><p>6.-En general, 1a surface 9U feuillet d e forme nlest pas developpable,de ~orte que cs feui11et ne peut constituer une surface neutre que s1 les de~p la ce me nt s t ra ns ve rs au x x de 1a plaque sont faibles vis-a-vis de son epaiss~~r</p><p>e.</p><p>o Pour nous en ren-dre compte, considerons tmeplaque c1rcula1re de rayona flechie par des moments Muniformement distribues sursa circonference (Fig. 1.4.).II suit de ce qui precedeque la plaque se trans formeen une portion de spherdont Ie rayon est dOIDle par1a formule ( 1 . 5 0 ) .</p><p>0~cM</p><p>- Fig. 1.4. -</p><p>Soit AOE 1a sec-tion diametra1e de 1a plaqueflechie, et c f Ie dep'Iacemerrtde son point milieu.SupposonsJ p o ur s im :e _l J1 I.rI"' analls~ que Ie feuilletn e s ub is se a UC ll ll ed ef or ma -tion dans 1a direction me-ridienne. A1ors:</p><p>aarc OB :0&gt; a , i=: fCB = a1 ." J. sin i</p><p>La deformation de 1 a plaque produit necessairement des dilatationsde r acco urci ssem ent dan s Ie sens circonferentiel. La grandeur de ces dilata-tions pour Ie contour de la plaque est= 1'1- J sin ~.y .~</p><p>s1 Jest faible, ~ est tres Petit etsin</p><p>d10u t: : : 6En remarquant que 2(' 1:~c) ::I J. (1 - cos 1).t:::: 2nou s o bten ons (e)</p><p>, Cette expression represente 1a limite super1eure de 1a dilatationcirconferentielle,-parce qulon a suppose que 1a dilatation meridienne etaitnulle. .r .</p></li><li><p>5/12/2018 Plaques - Partie1</p><p> 7/46</p><p>7.-En realite, il se produira une extension du feuillet moyen dans ladirection meridienne, oe qui aura pour effet de reduire la compress~on ci~on-ferientielle donnae par la formule (e).Dans la theorie classique des plaques, on neglige entierement lesdilatations du feui11et moyen et on considere uniquement les dilatations donnees</p><p>par les equations (a), dont la valeur maximum est ici ~.Lterreur ainsi commise nlest faib1e que si ~ reste faible vis-a-</p><p>vis de e~. ce qui exige que Ie dep1acement ~ soit faible vis-a-vis de lle_i:i:?seur e de la plaque. (Hypothese N 2 ) . C'est sous cette condition seule-ment que la theorie approchee des plaques donne des resultats corrects.1.1.3. Etat de sollicitation en un point.</p><p>Considerons a present les contraintes agissant sur une section pa-rallele a 11axe Oz et inclinee sur les axes Ox et Oy (Fig. 1.5.). S o i ta 1'angle entre la normale n a cette section et llaxe des x, angle comptepositlvement dans Ie sens horlogique.</p><p>Si acd represente une portion d e la lame abcd de la fig. 1.2.,coupee par une telle section, cette lame est en etat plan de contrainte (par.~~. cours de Resistance des Materiaux) sous l'effet des contraintes Prlncipales= (jx = I SY</p><p>Par consequent, lesgentielle ~ t sur la section(page 77 du 8 0urs de Resistancetions actuelles :</p><p>(Jn</p><p>grandeurs des contraintes normale IS et tan-ac sont donnees par les formu1es (~.2.)des Materiaux)1 qui steorivent avec 1es nota-cos2 0; + &lt; Jy sin2 0; }</p><p>IS _ (j (f)y x2 sin 2 0; </p><p>dx</p><p>1: ...nt</p><p>O , ~ - - ~</p><p>dxd l 6 '1- , . - - - ~ ~ - - - - - - - - - - - - - - L - - - - - - - - - - - ~ cdy</p><p>I-- lit</p><p>- Fig. 1.5. .r ,</p></li><li><p>5/12/2018 Plaques - Partie1</p><p> 8/46</p><p>8.-Considerons maintenant toutes las lames telles que aod empilees surllepaisseur e de la plaque et cherchons les moments resultants des contrainteson et Tnt' Les contraintes normales O'n nous donnent Ie moment de flexio:'1agissant par unite de longueur sur la section ac:+ J + e/2= O'n0 z. dz- e/2 M 2 M . 2= x' cos a + y ' Sln a .Les contraintes tangentielles , nous donnent Ie moment de torsionagissant par unite de longueur sur la section ac :</p><p>M ""-nt J + e/2 1Tnt' z.dz = 2 sin 2 a (Mx - M y ) .- e/2 (1.7 )Les signes de M h et M~t sont choisis de maniere que les valeurspositives de oes moments soient representees par des vecteurs diriges dans les</p><p>directions positives n et t (Fig. 1.5.).Les equations (1.6.) at (1.7.) sont entierement semblables aux equa-tions (f) de llatat plan de contrainte. Par consequent, on peut leur appliquertout ce qui a ete dit aux paragraphes 4 . 3 . et 4 . 4 . du cours de Resistance desMateriaux.En particulier, les moments de torsion sur deux sections perpendicu~lairas sont egaux et opposes (Mtn "" - Mnt).</p><p>Pour a "" 0 ou n I M := M , M , = 0n x vnPour a ::: l[ ou II . M =M Mtn := 02 2 , n y</p><p>Quand Mn et M t sont donnas sur deux sections perpendiculaires,on peut en deduire par Ie cecle de Mohr (Fig. 1.6.) les sections principales,c'est-a-dire celles dans lesquel1es n'agissent que des moments de flexion Mxet ~ (appeles moments prin~ipaux), et pour lesquelles les moments de torsionsont nuls.Les moments principaux sont d'habitude designes par les nota~ionsMl ' M2 et les 'oonrbures cor-reapondarrtes (pr incip ales) par les notat ions) \, X : 2 0On notera que, vu Ie signe adopte pour Mnt, cette grandeur doit~tre comptee positivement vers Ie bas (Fig. 1.6.).</p><p>1 . 1 . 4 . Expression des mome.nts de flexion et de torsion en fonction des deplace-ments. .~. .'</p><p>On sait par la theorie des surfaces (theoreme d'Euler), que la cour-bure t d' u ne section que L conque faite normalement a la surface dans La direc- dtion faisant l'angle a avec la direction x (Fig. 1.7.) est liee aux courburesprincipales ~x et ~y par llequation :X n</p><p>2cos 0: + v . 2IV san a.y (g)./.</p></li><li><p>5/12/2018 Plaques - Partie1</p><p> 9/46</p><p>9.-De mgmel on a, en changeant e x en ( e x + ~)</p><p>(g)</p><p>- Fig. 1.6.()</p><p>Ii/////1 1 3 : ///</p><p>a:</p><p>- F i g . 1 . 7 0 -En remplagant dans llexpression (1.6.) de Mn I ~ et M parleur s val eurs ( 1 . 1 . ) et en tenant compte des relations ( g ) , on obtient :</p><p>~ 2 2 v 2 "'/ 2]Mn = D o ( . t : : 0 cos e x + x : . sin ex) + ..; 0 (IV'. sin e x +", cos a )x y x you bien, en vertu des relations (g),</p><p>Mn .. D o (X -n + o J ~ t)3i l es d ef or ma ti on s sont falb1es, ona sensiblement</p><p>\ ; iw .2t-n = = _- x t = . . . ~c m 2 Jt2 .r,</p></li><li><p>5/12/2018 Plaques - Partie1</p><p> 10/46</p><p>et la formule ci-dessus slecritM - = - D.n</p><p>10.-</p><p>(1.8. )</p><p>Cette expression est entierement semblable aux formules 1.3.~ saufque n remplace x et t, y. II faut souligner que n et t sont deuxdirections queLconques , alors que x, y, etaient les di r ections principales.</p><p>o Pour obtenir l'ex-pression du moment de tor-sion Mnt, considerons ladistorsion de la lame abcddont les c8 tes ab et ads on t_ re sp ec ti ve me nt p ar al le -les aux directions n et tet qui est situee a l a d is ta nc ez du feuillet moyen. (Fig.l.8 .)</p><p>Pendant la flexionde la plaque, les points a, b,.o et_ d subissent de petits de-placements. Appelons u et vles composantes...</p></li></ul>