Montage préparé par :

André Ross

Professeur de mathématiques

Cégep de Lévis-Lauzon

Plein Gaz!Plein Gaz!

?

Robert Boyle a réalisé des expériences sur le vide et la pression atmosphérique à l’aide d’une pompe pneumatique telle que l’avait conçue Otto Von Guericke de Magdebourg en 1650. À l’aide de cette pompe, qu’il a perfectionnée avec Robert Hooke, il a obtenu un vide partiel dans un contenant de verre, ce qui lui a permis de faire certaines cons-tatations. L’air est essentiel :

• à la vie, car privées d’air les souris meurent;• à la combustion car, sans air le feu s’éteint; • et à la transmission du son, car on n’entend plus le

son d’une cloche après avoir fait le vide.

Introduction

Boyle a également réalisé diverses expériences qui vont mener à une étude systématique des gaz et de leurs propriétés.

Boyle emprisonne de l’air dans un tube de verre en y versant du mercure.Il constate qu’en ajoutant du mercure dans le tube, il peut faire diminuer le volume occupé par l’air dans le tube.

Expérience de Boyle

Cette constatation va mener à la première loi sur les gaz. Boyle prend des mesures de la hauteur de la partie occupée par le gaz et de la différence de niveau du mercure dans les deux branches du tube. Cette différence de niveau est une mesure de la pression exercée sur le gaz emprisonné.

Les données recueillies par Boyle sont analogues à celles compilées dans le tableau ci-contre.

Données de l’expérience

Pression Volume(po de Hg) (po3)

29,1 48,0

35,3 40,0

44,2 32,0

58,8 24,0

70,7 20,0

87,2 16,0

117,5 12,0

Le tube étant cylindrique, il peut calculer le volume occupé par le gaz en mesurant la hauteur de la partie occupée par celui-ci. En effet, le volume d’un cylindre et donné par V = πr2h, où r est le rayon du cylindre et h, la hauteur.

Interprétation des résultats

Boyle, cherchant une explication au phénomène observé, a émis l’hypothèse que les gaz sont constitués de poils fins et flexibles comme une toison de mouton, chacun agissant comme un petit ressort qui peut être plié et enroulé.

Cette description est une analogie qui n’explique rien et il n’est nul besoin d’être en sciences pour imaginer une telle analogie.

C’est cet effet ressort qui expliquerait que le gaz peut être comprimé par la pression et qu’il se dilate lorsqu’on diminue la pression.

Interprétation des résultatsNewton a également tenté une explication. Selon lui, les particules gazeuses sont immobiles dans l’es-pace et se repoussent mutuelle-ment.

La compression d’un gaz serait analogue à la compression d’un ressort. Il complète cette analogie par une description quantitative, supposant que la force de répulsion est inversement proportionnelle à la distance entre les particules gazeuses.

Interprétation des résultatsDans cette tentative d’explication, en diminuant de moitié la distance entre les particules gazeuses, la force exercée par les particules l’une sur l’autre est doublée.

Cette explication ne tient cependant pas compte de l’ensemble des faits observables sur les gaz.

C’est le physicien anglais Richard Towneley qui va réussir à donner une description correcte du phénomène en délaissant les analogies pour le langage mathématique.

Pression Volume Produit(po de Hg) (po3) (po de Hg)

(po3)29,1 48,0 ≈ 140035,3 40,0 ≈ 141044,2 32,0 ≈ 141058,8 24,0 ≈ 141070,7 20,0 ≈ 141087,2 16,0 ≈ 1400117,5 12,0 ≈ 1410

En analysant ces données, Towneley a constaté que le produit de la pression et du volume était relativement constant.

Analyse des données

En représentant graphique-ment les données, on com-prend mieux la signification de ce que Towneley a cons-taté.

Représentation graphique des données

En doublant la pression, le volume est divisé par 2.

On dit que le volume occupé par le gaz est inversement proportionnel à la pression exercée.

En triplant la pression, le volume est divisé par 3. En quadruplant la pression, le volume est divisé par 4.

La découverte de Boyle a été réalisée à nouveau en 1661 par le Français Edmée Mariotte. C’est pourquoi la relation entre le volume et la pression d’un gaz est désignée sous le nom loi de Boyle-Mariotte.

Loi de Boyle-Mariotte

L’approche de Mariotte est différente de celle de Boyle. Dans son Discours sur la nature de l’air publié en 1676, il se propose d’étudier l’influence de la pression sur le volume de l’air.

La première question est de savoir si l’air se condense précisément selon la proportion des poids dont il est chargé ou si cette condensation suit d’autres lois et d’autres proportions.

L’expérience de Mariotte consiste à verser du mercure dans un tube tout en laissant une partie emplie d’air. Le tube est d’abord bouché, renversé dans une cuve de mercure puis débouché.

Expérience de Mariotte

Les hauteurs d’air et de mercure sont mesurées avant de renverser le tube (h et a) puis après l’avoir débouché dans la cuve (h’ et a’). Il obtient alors :

Ha = (H – h’)a ’,

où H est le poids de l’atmosphère (po de Hg).

Joseph Charles emprisonne du gaz dans un tube en y insérant un peu de mercure.

Expérience de Charles

Son expérience consiste à faire varier la température et à observer le comportement du piston de mercure.

Le tube étant cylindrique, il peut, lui aussi, calculer le volume occupé par le gaz en mesurant la hauteur du piston dans le tube.

Le tube est d’abord plongé dans un contenant dans de la glace pour mesurer son volume à 0°C, puis il est chauffé.

Résultats de l’expérience

Température Volume relatif(°C) (mesure de la

longueurde l’échantillon)

0° 1,00

50° 1,18

100° 1,37

200° 1,73

En analysant ces données, on constate que le rapport de la variation de volume sur la variation de température est relativement constant.

Analyse des données

Température Volume relatif Rapports(°C) ∆V/∆T

0° 1,00

50° 1,18 0,0036

100° 1,37 0,0038

200° 1,73 0,0036

La constance des rapports signifie que la représentation graphique donne une droite.

Représentation graphique

En utilisant différents gaz pour refaire cette expérience, on obtient les graphiques suivants.

Expérience de Charles

On constate qu’à pression constante, le volume d’un gaz est directement proportionnel à sa température en degrés kelvins, ce qui s’écrit :

Expérience de Charles

V = bT

où V est le volume, T, la température en kelvins et b, une constante de proportionnalité.

En combinant la loi de Boyle-Mariotte et celle de Chasles, on obtient que :

où V est le volume, T, la température en kelvins, p, la pression et c, une constante de proportionnalité.

T

pV = c

L’étude des gaz s’est poursuivie et, en 1811, le chimiste italien Amadeo Avogadro (1778-1850) a postulé, en ana-lysant les travaux de Joseph Gay-Lussac (1778-1850), que des volumes de gaz égaux, maintenus à la même température et à la même pression contenaient le même nombre de particules. C’est la Loi d’Avogadro qui, mathématiquement, s’écrit :

V = anoù V est le volume de gaz en litres (L), a est une constante de proportionnalité et n est le nombre de moles. Cette équation indique qu’à température et pression constante, le volume d’un gaz est directement proportionnel au nombre de moles de gaz.

Loi d’Avogadro

En combinant les trois lois, on a la Loi des gaz parfaits :

pV = nRToù R est une constante de proportionnalité qui regroupe les trois autres et qu’on appelle constante molaire des gaz. Lorsque la pression est en kilopascals (kPa) et le volume en litres, R vaut 8,314 510 kPa.L/K.mol.

Loi d’Avogadro

L’évolution de notre compréhension des gaz illustre de façon intéressante la démarche scientifique et les limites de la science. L’analogie est parfois importante pour comprendre un phénomène mais elle ne donne pas toujours une explication valable.

Dans la théorie des gaz actuellement acceptée, les molécules gazeuses ne sont pas immobiles. Au contraire, elles se déplacent à grande vitesse, s’entrechoquent, rebondissent et frappent la paroi du contenant. Chacune de ces collisions avec la paroi exerce une force sur la paroi et le rapport de la force par unité d’aire est la mesure de la pression. De plus, lorsqu’on augmente la température, la vitesse des molécules augmente et les chocs sur la paroi sont plus forts et plus fréquents, ce qui se manifeste par une augmentation de la pression.

Conclusion

Pour décrire le comportement de gaz, il a fallu recourir à la modélisation mathématique. Les modèles de proportionnalité directe et de proportionnalité inverse ont été utilisés pour décrire les caractéristiques fondamentales des gaz.

Conclusion

Les mathématiques vont, de plus en plus, constituer le langage incontournable des sciences. Grâce à ce langage, il est possible de calculer, de prévoir, de développer des techniques, de vérifier des hypothèses et de confirmer des théories.

FinTexte