Poitier (juin 1999)problème du brevet

Bruno DELACOTEANIM'Math : http://perso.wanadoo.fr/bruno.delacote/ Groupe tableau virtuelhttp://lamia.lille.iufm.fr/cv/

PROBLEME Poitiers 99 (12 points)

L'unité de longueur est le centimètre. La figure ci-contre représente un trapèze rectangle ABCD. On donne : AB = 3 AD = 4 CD = 5 Les droites (AB) et (CD) sont parallèles. Les droites (AC) et (BD) se coupent en O.

Première partie 1. Reproduire la figure en vraie grandeur. On pourra commencer la construction au centre d'une feuille de papier millimétré et compléter au fur et à mesure du problème. 2. Démontrer que le triangle BCD est isocèle. 3. Montrer que l'aire en centimètres carrés du trapèze ABCD est égale à16. On rappelle que l'aire d'un trapèze de bases B et b, de hauteur correspondante h, est égale à : ( B + b ) h

4. Montrer que

5. Les droites (AD) et (BC) se coupent en S. Placer le point S. Démontrer que les angles CBD et ABS ont même mesure.

Deuxième partie 1. a) En posant SA = x , démontrer que :

b) En déduire la distance SA. 2. Déterminer la valeur arrondie à un degré près de la mesure de l'angle ASB . 3. Construire le point B', symétrique du point B par rapport à la droite (AD). Construire le point S', image du point B' par la translation de vecteur AB

4. Tracer le segment [S'D]. On considère maintenant la figure comme une partie d'un patron de la pyramide de base ABCD, de sommet S et de hauteur [SA]. Terminer le patron de cette pyramide en prenant soin de coder sur la figure les segments de même longueur. 5. Calculer le volume de cette pyramide.

A

D C

B3

4

5

2OA

OC OD

OB

x

x + 4 5

3

L'unité de longueur est le centimètre. La figure ci-contre représente un trapèze rectangle ABCD. On donne : AB = 3 AD = 4 CD = 5 Les droites (AB) et (CD) sont parallèles. 2. Démontrer que le triangle BCD est isocèle.

A

D C

B3

4

5Le Triangle ABD est rectangle en A, la relation de Pythagore s ’écrit :

BD² = AD² + AB²

BD² = 4² + 3² On substitue puis

on calculeBD² = 16 + 9BD² = 25

BD = 5cm

Le triangle BCD est bien isocèle en D car BD = DC

3. Montrer que l'aire en centimètres carrés du trapèze ABCD est égale à 16. On rappelle que l'aire d'un trapèze de bases B et b, de hauteur correspondante h, est égale à : ( B + b ) h /2

A

D C

B3

4

5

Il suffit d ’appliquer la formule donnée :

A = ( DC + AB) x AD / 2 = ( 5 + 3 ) x 4 / 2 = 16 cm²

Les droites (AB) et (CD) sont parallèles. Les droites (AC) et (BD) se coupent en O.

OA

OC OD

OB4. Montrer que

5. Les droites (AD) et (BC) se coupent en S. Placer le point S. Démontrer que les angles CBD et ABS ont même mesure.

A

D C

B3

4

5

OLes droites (AB) et (CD) sont parallèles, donc les triangles AOB et DOC sont en situation de Thalès et l’égalité est immédiate.

S

Les angles DCB et ABS sont deux angles correspondants déterminés par deux droites parallèles, donc ils ont même mesure.

Le triangle BCD est isocèle en D donc ses angles à la base ont même mesure : DCB = CBD.

Finalement ABS = DCB = CBD

( voir question 2)

x + 4

A

D C

B3

4

5

O

S

x

Deuxième partie 1. a) En posant SA = x , démontrer que : b) En déduire la distance SA.

x

x + 4 5

3

Les droites (AB) et (DC) sont parallèles donc l ’égalité de thalès s ’écrit :

SA SB AB

SD SC DC= =

Je choisis

x + 4

x5

3

5x = 3(x + 4)5x = 3x +122x = 12x= 6

Finalement AS = 6cm

A

D C

B3

4

5

O

S

6

2. Déterminer la valeur arrondie à un degré près de la mesure de l'angle ASB .

Dans le triangle ASB rectangle en A, on a

tan ASB =AB

AS

tan ASB = 3/6tan ASB = 0,5

Finalement la mesure de ASB est proche de 27°

A

D C

B3

4

5

O

S

6

On considère maintenant la figure comme une partie d'un patron de la pyramide de base ABCD, de sommet S et de hauteur [SA]. Terminer le patron de cette pyramide en prenant soin de coder sur la figure les segments de même longueur.

B ’S ’

Construire le point B', symétrique du point B par rapport à la droite (AD).

Construire le point S', image du point B' par la translation de vecteur BA4. Tracer le segment [S'D].

Et calculer le volume de cette pyramide

V = aire de la base x hauteur / 3 = 16 x 6 /3 ( voir question 3)

= 32cm3

C’est fini !!!