Polycope IAP 2011

1

Copyright 2011 © Cours et Exercices de Mécanique Générale – Dr. N.TABTI

MINISTÈRE DE L’ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

2011

Mécanique GénéraleCours et Exercices

Dr. Noureddine Tabti

U N I V E R S I T É M ’ H A M E D B O U G A R A B O U M E R D E S

2

MECANIQUE GENERALECode :VHG : 30HCoefficient :

Objectif :

Dans ce cours, on cherche principalement à permettre aux Ingénieurs Spécialisés de comprendre et pourquoi pas de maîtriser les problèmes de mécanique générale, les notions de cours porteront essentiellement sur la cinématique, la géométrie des masses et la dynamique en rappelant d’abord les rappels sur calculs vectoriels.

SOMMAIRE

Page

1. Rappels de calcul vectoriel 41.1 Produit scalaire 41.2 Produit vectoriel 41.3 Exercices d’application 4

2. Cinématique 52.1 Cinématique du point 52.2 Mouvement rectiligne 102.3 Mouvement curviligne 112.4 Composition des mouvements 152.5 Cinématique du solide 162.6 Mouvement plan sur plan 162.7 Angles d’Euler-vecteur de rotation instantanée 16

3. Géométrie des masses 333.1 Tenseur d’inertie 343.2 Théorème de Huygens 353.3 Moment cinétique 363.4 Moment dynamique 37

4. Dynamique 384.1 Théorème du moment cinétique 384.2 Théorème de la résultante dynamique 39


3

Bibliographie

[1] J.L. Caubarrere, H. Djelouah, J. Fourny et F.Z. Khelladi

Introduction a la mécanique, cours, Exercices et Travaux Pratiques Ed OPU

[2] Annequin et Boutigny

Cours de Physique Mécanique 1 Ed Vuibert 1972

[3] Alonso-Finn

Physique générale tome 1 Mécanique Inter Edition, Paris 1977

[4] J.P. Lecardonnel, P. Tilloy

Exercices et Problèmes résolus Mécanique Ed. Bréal 1991

[5] J.L.Teyssier, J.P.Ducourtieux, J.P.Moliton

Mécanique DEUG Scientifique 1er et 2eme DUT A. Colin 1988

[6] J.L. franchon

Mécanique Générale Nathan

[7] J.L. Querel

Précis de Mécanique bréal

[8] P.Agati, Y.Bémont et G.Delville

Mécanique du solide Dunod

[9] P.Denecte

Mécanique Marketing


4

CHAPITRE 1


5

1. Rappels de calculs vectorielsNotion de vecteur

Un vecteur est un objet qui permet de modéliser une grandeur vectorielle. Il est défini par :-sa direction, c'est-à-dire le support qui porte le vecteur, la droite ,-son sens qui représente l’orientation du vecteur par l’origine et l’extrémité,

-sa norme (son module ou son intensité ) c’est la valeur de la grandeur du vecteur,

graphiquement elle représente la longueur entre l’origine et l’extrémité.

O

A

Origine

ExtrémitéModule

sens

Direction (support)

1.1 Produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs et , noté : , est un scalaire égal au produit des normes

des deux vecteurs par le cosinus de leur angle tel que :

[Equ.1.1]

Le produit scalaire est donc positif pour un angle aigu, négatif pour un angle obtu.

O

A

B

H

V

U

Forme géométrique Cas de deux vecteurs portés par deux axes

Par définition du produit scalaire des vecteurs et est :

Avec [Equ.1.2]

Alors :

Le produit scalaire de deux vecteurs est égal au produit du module de l’un par la mesure algébrique de la projection de l’autre sur lui.


6

Forme analytique

En posant Ux, Uy, Uz et Vx, Vy, Vz les composantes respectives de et , dans la basse orthonormée

), le produit scalaire de ces deux vecteurs est le scalaire défini par la relation :

[Equ.1.3]

D’où [Equ.1.4]

Sachant que :

Disposition pratique

[Equ.1.5]

Remarque : le produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux est toujours nul.

1.1.1 Propriétés

- Commutativité : E est un espace géométrique

- Associativité par rapport à la multiplication par un scalaire a :

- Distributivité par rapport à l’addition :

-

-

1.2 Produit vectoriel

Forme géométrique

Le produit vectoriel de deux vecteurs et , un vecteur perpendiculaire à et sens direct

du trièdre défini par l’expression : et de norme :

[Equ.1.6]

O

A

B

H

W=UxV

V

UP


7

est l’aire du parallélogramme construit sur les représentants et des vecteurs et .

En effet, et l’aire du parallélogramme devient :

Forme analytique

En posant Ux, Uy, Uz et Vx, Vy, Vz les composantes respectives de et , dans la basse orthonormée

, le produit vectoriel de ces deux vecteurs est le vecteur défini par la relation :

[Equ.1.7]

Sachant que :

Disposition pratique

[Equ.1.8]

1.2.1 Propriétés

- Anti commutativité :

- Associativité par rapport à la multiplication par un scalaire a :

-Distributivité par rapport à l’addition :

1.2.3 Règle des sinus dans un triangleSoit un triangle quelconque ABC, nous pouvons établir une relation entre les trois côtés et les trois angles du triangle.

A

D

C

EB

Considérons les triangles ABD et CBD, on a :

[Equ.1.9]

D’où : , [Equ.1.10]

On en déduit :


8

[Equ.1.11]

De même pour les triangles AEC et BEC, nous avons :

[Equ.1.12]

D’où : , [Equ.1.13]

On en déduit :

[Equ.1.14]

On en déduit finalement une relation importante qu’on appelle la règle des sinus dans un triangle quelconque et qui s’écrit comme :

[Equ.1.15]

1.2.4 Le produit mixte

On appelle le produit mixte de trois vecteurs , pris dans cet ordre, le nombre réel défini par

, le produit mixte est donc un scalaire égal au volume du parallélépipède formé par ces

trois vecteurs.Propriétés le produit mixte est nul si

a) Les trois vecteurs sont dans le même plan ;b) Deux vecteurs sont colinéaires ;c) L’un des vecteurs, est nul.

On montre facilement que dans une base orthonormée directe , le produit mixte est un

invariant scalaire par permutation circulaire direct des trois vecteurs car le produit scalaire est

commutatif , une notation simple a été adoptée pour écrire

tout t le produit mixte

1.2.5 Le double produit vectoriel

Le double produit vectoriel de trois vecteurs , pris dans cet ordre, est un vecteur exprimé

par la relation suivante . Le vecteur Y est perpendiculaire au vecteur U et au

vecteur formé par le produit de V et W, il est donc dans le plan formé par les vecteur V et W ; le vecteur y peut s’écrire sous la forma : , nous pouvons exprimer cette relation autrement par identification des scalaires a et b, on obtient alors :

Il faut faire attention à l’ordre des vecteurs car le produit vectoriel n’est pas commutatif pour retenir cette formule il est plus simple de l’écrire sous la forme

Notions d’opérateur, nous citerons quelques opérateurs intéressants et utiles en physique par exemple : le gradient, le rotationnel, la divergence ou le Laplacien.


9

-Opérateur gradient noté delta renversé est défini par : , comme étant la

dérivée dans l’espace suivant les trois directions des vecteurs unitaires.Le gradient d’un scalaire U est défini comme la dérivée vectorielle suivant les trois directions

respectives par rapport aux variables (x, y, z).

[Equ.1.16]

Exemple : Soit une fonction U définie par :

Le gradient d’un scalaire est vecteur.

L’autre opérateur est la divergence noté aussi : , calculons la divergence d’un

vecteur : ,

Donc :

, [Equ.1.17]

La divergence d’un vecteur est un scalaire.Et finalement le dernier opérateur qu’on utilisera est le rotationnel

Calculons le rotationnel d’un vecteur ,

, [Equ.1.18]

La divergence d’un vecteur est un vecteur.

[Equ.1.19]

Le Laplacien est défini par :

Remarque :Si f est un champ scalaire et et deux vecteurs quelconques, les relations suivantes sont vérifiées :

-

-

-


10

-

-

-

1.3 Exercices d’applications

Exercice 1 : Deux points A et B ont pour coordonnées cartésiennes dans la base orthonormée

, A(1,2,-2) ; B(3,4,1). Déterminer les composantes du vecteur , ainsi que son module, sa

direction et son sens.

Exercice 2 : Calculer les trois angles que fait le vecteur : , avec les axes , et

.

Exercice 3 : le produit scalaireReprésenter les points suivants A(1,3); B(4,0); C(3,5), puis les vecteurs ; dans un repère

orthonormé . 1/Trouver les composantes des vecteurs positions des points A, B, C. 2/Donner les composantes des vecteurs , , , et .

3/Trouver les composantes des vecteurs unitaires et des vecteurs et et représenter les

dans le repère .4/ Calculer les modules des vecteurs suivants : , , .

5/ Calculer l’angle que fait le vecteur avec l’axe des x, ainsi que l’angle que fait avec l’axe des y. 6/ En utilisant le produit scalaire, vérifier que le vecteur est perpendiculaire au vecteur .7/Trouver les coordonnées du point D, tels que les points A, B, C et D forment un rectangle.

Exercice 4 : Soient les vecteurs suivants: ;

1/Calculer le vecteur et la norme (module) du vecteur .

2/Trouver le vecteur unitaire parallèle au vecteur , puis la composante du vecteur parallèle au

vecteur (c'est-à-dire la projection de sur ).

Exercice 5 : La résultante de deux forces et est égale à 50N et fait un angle de 30° avec la

force . Trouver le module de la force et l’angle entre les deux forces.

Exercice 6 : le produit vectorielSoient en coordonnées cartésiennes dans le repère (O, , ) les points suivants : A(-2,1,0) et B(2,1,0)

et les vecteurs : ; et ,

1/ Représenter les points A, B et les vecteurs et .

2/ Calculer le produit vectoriel , déterminer la norme du vecteur .

3/ En déduire la surface du triangle AOB, et le sinus de l’angle au sommet O de ce triangle.


11

4/ Calculer : ;

Exercice 7 : Trouver le volume d’un parallélépipède dont les cotés sont les vecteurs suivants : et tel que :

Exercice 8 : Soient les vecteurs :

,

1) Déterminer les valeurs y et z pour que les vecteurs et soient colinéaires ;

2) Déterminer la valeur de y pour que les vecteurs et soient perpendiculaires.

Exercices sur les opérateurs

Exercice 9 : Soit la fonction scalaire U(x,y,z) telle que U=3xy-2zx+5yz, calculer le gradient de U.

Exercice 10 : Vérifier la première et la seconde relation du cours, le reste à faire en devoir chez vous :


12

CHAPITRE 2


13

2. CINÉMATIQUE DU POINT 2.1 Définition

La cinématique est la partie de la mécanique qui permet d’étudier et de décrire les mouvements des corps dans le rapport avec le temps ; indépendamment des causes qui les produisent. Elle a pour but de préciser les trajectoires et les lois horaires (équations paramétriques ou lois d’espace).

L’état de repos ou de mouvement d’un corps est essentiellement relatif.

Exemple. Un passager dans un avion en vol.

Ceci fait comprendre qu’un mouvement ne peut se faire que par rapport à un repère ou à un système de référence considéré comme fixe (les repères terrestres).

2.2 Définition du repère

C’est une base cartésienne , c’est-a dire un triplet de trois vecteurs unités mutuellement

orthonormés, surtout à ne pas confondre repère et référentiel (système à N points non coplanaires).

Pour définir les grandeurs cinématiques (le vecteur position, le vecteur déplacement, le vecteur vitesse et le vecteur accélération), nous envisageons le cas simple du mouvement d’un point, c'est-à-dire d’un corps M de dimensions assez petites pour être assimilées à un point matériel, nous l’appellerons dorénavant le Mobile M (le système mécanique est donc assimilé à un point géométrique auquel on attribue toute la masse du système).

2.3 Le point matériel

Un point matériel est un objet infiniment petit devant les autres distances caractéristiques du mouvement pour être considéré comme ponctuel.

Soleil

Terre

v

x

yz

d=150.000.000 km

R=6400 km

O

Fig.1

Exemple : l’étude du mouvement orbital de la Terre autour du Soleil, on peut considérer que la Terre comme un point matériel, dont la masse est concentrée en son centre de gravité (centre de masse).

14

2.4 Généralités

2.4.1 Le vecteur position

Soit un repère cartésien et un mobile M dans l’espace rapporté à ce repère, si les

coordonnées du point matériel M sont invariables, on dit que le mobile M est fixe dans

le repère considéré (Fig.1), par contre si elles varient d’un instant à l’autre, alors il est dit en mouvement. A chaque instant correspond une position du mobile M dans l’espace rapporté au repère considéré, on caractérise chacun des instants par un nombre t, appelé date, mesurant l’intervalle de temps qui le sépare d’un instant initial dont la date est prise arbitrairement égale à zéro. A l’instant de date t, la position du mobile M peut être caractérisée par les coordonnes de M.

(Equ. 2.1)

Appelées équations cartésiennes ou équations paramétriques.

Exemple : (Equ. 2.1a)

Mo[x,y,z]

x

y

z

i

j

k

O

Fig.2

2.4.2 La trajectoire

La trajectoire (C) d’un point matériel, c’est le lieu géométrique des positions successives occupées par le mobile M au cours du temps par rapport au repère choisi. Elle est définie par trois fonctions du temps x(t), y(t) et z(t) qui permettent de déterminer l’équation horaire du mouvement appelée aussi équation paramétrique. Nous distinguons deux sortes de trajectoires, l’une est une droite dans ce cas le mouvement est dit rectiligne et dans tous les autres cas le mouvement est dit curviligne.

Ou ce qui revient de même, par les composantes du vecteur-espace (ou vecteur position) :

du mobile M, ou encore si l’on a construit la trajectoire (C) à partir des

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équations paramétriques (Equ.2.1, Equ.2.1a), et que l’on a orientée par l’abscisse curviligne

, abscisse curviligne s=(t) est l’équation horaire du mouvement du mobile M sur sa

trajectoire (C). Le diagramme du mouvement est le graphe de la fonction s=(t).

Mo[x,y,z]

x

y

z

i

j

k

M1[x,y,z]

(C)

O

Fig. 3

Soit O un point fixe dans l’espace, repérons deux points M0 et M1 du point mobile M lors de son déplacement suit une trajectoire curviligne (C) à deux instants t0 et t1, le vecteur position ou vecteur

espace , varie en sens et en module.

Mo

M1

O

O'

point fixe

(C)

Fig. 4

2.4.3 Le vecteur déplacement

Le vecteur déplacement est la différence entre la position finale et la position initiale

, nous remarquons que le vecteur déplacement est indépendant du choix de l’origine pour

repérer la position (Fig.4).

On a d’après la relation de Chasles :


16

, d’où

2.4.3.1 Le vecteur vitesse : vitesse moyenne, vitesse instantanée

Par définition la vitesse moyenne du mobile M entre deux instants t0 et t1, est :

(Equ.2.2)

Le vecteur vitesse instantanée est définie par : , il est tangent à la trajectoire (C)

(Fig.4) dans le sens du mouvement et son module est égale à celui de la vitesse curviligne :

(Equ.2.3)

Expression vectorielle de la vitesse : En introduisant l’abscisse curviligne s, on peut écrire s=OM=s(t),

, : vecteur unitaire de la tangente en M, : vitesse algébrique instantanée.

Remarque : le vecteur vitesse est donc toujours orienté dans le sens du mouvement, sur une trajectoire orientée, si le mobile M se déplace dans les sens positif, le vecteur vitesse est dirigé vers le sens positif. Si le mobile M se déplace dans le sens négatif, le vecteur vitesse est dirigé dans le sens négatif.

Ut

v

M0

M1

(C)

Fig.5

2.4.4 Le vecteur accélération : accélération moyenne, accélération instantanée

Pour caractériser la façon dont change la vitesse (en module et en direction), nous définissons

l’accélération moyenne pendant un intervalle de temps t comme : , le vecteur est la

variation du vecteur vitesse instantanée entre les instants, l’accélération moyenne a comme module

et pour direction .


17

Si nous considérons un intervalle de temps t très faible, nous obtenons à la limite l’accélération à

l’instant t, on l’a note sous la forme :

(Equ.2.4)

v1

v2

v2

-v1

v

a

Fig.6

2.4.5 Les composantes intrinsèques du vecteur- accélération

Le vecteur- accélération est toujours dirigé vers la concavité de la trajectoire (Fig.5, Fig.6). Nous pouvons le décomposer en une composante horizontale tangente à la courbe (trajectoire (C)) que nous notons et une composante normale à la trajectoire (C) notée tel que la somme s’écrit par :

(Equ.2.5)

Fig.7

Ut

Un

an

at

O

Ces deux composantes sont appelées les composantes intrinsèques de l’accélération totale , Chacune à une signification physique particulière bien précise.

- : est liée au changement de module de la vitesse,


18

- : est liée au changement de sa direction.

Vérifions les sens physiques ci-dessus par deux exemples simples, tout d’abord définissons les mouvements rectilignes uniformes et rectilignes uniformément variés :

a) Mouvement rectiligne uniforme Un point matériel M est en mouvement rectiligne uniforme si sa trajectoire est une droite et son vecteur vitesse constant (donc une accélération constante).

b) Mouvement rectiligne uniformément varié

UtUn

v(t)

-v(t)

v(t+dt)

v(t+dt)

a Fig.8

Le mouvement d’un point matériel M est rectiligne uniformément varié si sa trajectoire est une droite et son vecteur accélération constante. Le module de la vitesse varie (Fig.7), sa direction reste constante et le vecteur accélération n’a pas de composante sur l’axe normal.

c) Mouvement circulaire uniforme

v(t+dt)

M

M'

O

a

v(t)

Fig.8a

v(t)

v(t+dt)

v

Ut

Un

Fig.8b

La direction de la vitesse varie, mais non sans module. A la limite, lorsque t tend vers 0, la variation de la vitesse , donc le vecteur accélération est perpendiculaire à la vitesse ce qui implique qu’il n’y a pas de composante tangentielle d’où

l’accélération s’écrit sous la forme .

Calculons maintenant le module de l’accélération totale ,

le module de l’accélération normale est :

,

car on a l’arc : , puis par dérivation par

rapport au temps, on obtient


19

On peut alors exprimer la vitesse et l’accélération d’un point M par : soit

, , si le mouvement est

uniforme, on . L’accélération est normale et centripète.

La description dans le repère polaire ou dans celui de Frenet donne les mêmes résultats. Attention

toutefois, l’équivalence et , n’est valable qu’en mouvement rigoureusement

circulaire !

d) Mouvement circulaire uniformément varié La vitesse varie à la fois en module et en direction, l’accélération a donc deux composantes et

, on admet provisoirement que ces deux composantes sont encore données par ces deux

expressions : [Equ.2.6]

e) Cas général Localement on a un cercle de rayon R = (le rayon de courbure).

2.2.6 Description du mouvement (nature du mouvement)

2.2.6.1 Mouvement rectiligne uniforme

Le mouvement se fait suivant une seule direction, on définit donc un seul axe de référence Ox par

exemple. On dit que dans ce cas la vitesse est constante et ,

est la constante d’intégration, est l’abscisse ou position du point à l’instant initial t=0.

Evidemment l’accélération (dérivée d’une constante), .

2.2.6.2 Mouvement rectiligne uniformément varié

Le choix de l’axe est toujours le même (Ox), l’accélération est constante d’où la vitesse

, est la constante d’intégration, est la vitesse du point à l’instant

initial t=0, le déplacement , d’où finalement on trouve :

.

- Le mouvement est accéléré si le produit scalaire .

- Le mouvement est uniforme si le produit scalaire .


20

- Le mouvement est retardé (décéléré) si le produit scalaire .

a

a

a

v

v

v

(C)

mouvement accéléré (<90°)

mouvement uniforme (=90°)

mouvement décéléré(>90°)

Trajectoire

Fig.9

Applications à quelques mouvements simples

Traitons l’exemple 1 ci-dessous dans un premier temps où le mouvement est donné par ses équations paramétriques (Mouvement dans un plan (xOy)), puis dans un second temps à l’aide un graphe v(t) le cas de l’exemple 2 et nous terminons cette application à un corps qui se déplace sur une droite Ox l’exemple 3.

Exemple 1 : On donne les équations paramétriques de la trajectoire plane d'un point mobile par rapport à un référentiel l’équation (Equ. 2.1a) ;

1/ Déterminer l'équation de la trajectoire et tracer là dans un repère orthonormé.

2/ Calculer les composantes vx et vy , en déduire la vitesse totale v, cas particuliers à t=1s.

3/ Déterminer les composantes normale et tangentielle de l'accélération dans un repère de Frenet.

Montrer que son accélération est constante.

4/ Tracer les vecteurs vitesses et accélération sur la trajectoire (C).

5/ Calculer le rayon de courbure à l’instant t=1s.

Solution

éliminer le temps entre x et y : t= ½x ; report dans y : y= x²-2x trajectoire parabolique.vecteur vitesse : dérivée par rapport au temps du vecteur position v (dx/dt = 2 ; dy/dt = 8t-4)


21

valeur (norme) de la vitesse : v² = vx²+vy² =4+(8t-4)² = 64t²-64t-20 en m s-1.

vecteur accélération : dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse a (dvx/dt = 0 ; dvy/dt = 8)

valeur (norme) de l'accélération : a² = ax²+ay² =0+8² soit a = 8 m s-2, indépendante du temps.

vecteur accélération tangentielle, colinéaire au vecteur vitesse :

aT=dv/dt avec v = [4+(8t-4)²]½. aT= dv/dt = 16(8 t -4)*½* [4+(8t-4)²]-½=8(8 t -4) [4+(8t-4)²]-½.

a² = a²T+ a²N soit a²N = a²-a²T= 8² -8²(8 t -4)² [4+(8t-4)²]-1. réduire au même dénominateur [4+(8t-4)²] :

a²N =8²*4 [4+(8t-4)²]-1 soit aN= 16[4+(8t-4)²]-½.

le rayon de courbure est liée à l'accélération normale aN et à la vitesse v : aN = v²/ .

= v² / aN = [4+(8t-4)²]-3/2 /16. Puis remplacer pour t=1s.

Exemple 2 : Soit le graphe vx ci-dessous d’un mobile sur une droite rectiligne

Vx (m/s)

t (s)0 2 4 6 8 10 12

+4

-4

1/ Donner les équations de la vitesse vx pour chaque phase

2/ Tracer le diagramme de l’accélération

3/ Nature du mouvement pour chaque phase

4/ Positions du mobile aux instants t=1s, 3s et 5s, tracer les vecteurs : vitesse et accélération aux instants correspondants

5/ Tracer le graphe de la position en fonction du temps t.

Exemple 3 : Un corps se déplace sur un axe OX avec une vitesse v=2t-6 m/s

- En déduire l’accélération a, l’équation horaire quand t=0s x= 5m (CI)

- Nature du mouvement ?

- Indiquer les étapes (les phases) du mouvement accélérées et décélérées.


22


23

Représentation dans les Coordonnées cartésiennes

La trajectoire du mobile M est définie par les coordonnées de la position en fonction du temps, c’est-à-dire par les coordonnées du vecteur position

,

Le vecteur position s’écrira alors :

[Equ.2.7]

Le vecteur vitesse est défini par les coordonnées du vecteur dérivée de la position par rapport au temps :

, [Equ.2.8]

Son module sera donné par :

[Equ.2.9]

Fig.10

Mo[x,y,z]

x

y

z

i

j

k

O

L’accélération est la dérivée de la vitesse ou la dérivée seconde du vecteur position :


24

[Equ.2.10]

Son module sera donné par :

, [Equ.2.11]

Représentation dans les coordonnées cylindriques

r

r : rayon polaire

(i,e ) : angle polaire

z : la côte

��

x

y

z

O

M

r

m

er

e

ez

j

k

r

i

er

e

ez

- Coordonnées cylindriques

r

Ome

Om

��

Fig.11

Le vecteur position est donné par : , [Equ.2.12]

La vitesse est la dérivée première du vecteur position :

[Equ.2.13]

L’accélération est la dérivée de la vitesse ou la dérivée seconde du vecteur position :

,[Equ.2.14]

Les trois termes de l’accélération s’identifient comme suit : le premier crochet est la composante radiale, le second crochet est la composante orthoradiale et le troisième terme est la composante axiale.


25

Représentation dans les coordonnées polaires

Les coordonnées polaires sont le cas particuliers des coordonnées cylindrique (z=0), donc dans le plan xOy. La trajectoire du mobile M est défini par :

, [Equ.2.15]

Fig.12

ere

x

y

O

M

r(t)

i

j

M'

dl1dl2

d

r(t+t)

dl

[Equ.2.16]

Or on sait que et sont perpendiculaires , [Equ.2.17]

D’où le vecteur vitesse est donné par:

, [Equ.2.18]

Ce qui signifie que le vecteur vitesse est la somme algébrique de deux vecteurs : le premier terme

qu’on note par : [Equ.2.19]

Est le vecteur vitesse radial et le second terme qui est perpendiculaire au premier appelé le vecteur vitesse transversal :

[Equ.2.20]


26

L’accélération : , [Equ.2.21]

le premier terme est appelé la vitesse radiale et le second terme est la vitesse orthoradiale.

Représentation dans les coordonnées sphériques

x

y

z

O

M

r

H

er

e

e

j

k

i

- Coordonnées Sphériques

er

e

e

er

e

Fig.13

Le vecteur position est donné par : [Equ.2.22]

La vitesse est la dérivée première du vecteur position :

, [Equ.2.23]

L’accélération est la dérivée de la vitesse ou la dérivée seconde du vecteur position : [Equ.2.24]


27

Le mouvement rectiligne sinusoïdal (ou mouvement harmonique)

1. Définition On dit qu’un point matériel M est en mouvement rectiligne sinusoïdal quand son abscisse

, sur une droite orientée x’Ox, varie comme le sinus ou le cosinus d’un angle qui est fonction

du temps.

L’équation horaire d’un tel mouvement s’écrit alors sous la forme :

(Equ.2.25)

Où x(t) est l’élongation


28

A est l’amplitude qui donne les limites des variations de l’élongation x(t),

Le terme représente la phase du mouvement, est la phase à l’origine,

est la pulsation du mouvement ; celle ci est reliée soit à la période T ou à la fréquence f par la relation :

(Equ.2.26)

La période T est définie comme l’intervalle de temps constant qui sépare deux passages consécutifs dans le même sens, on démontre que :

(Equ.2.27)

On tire la période : (Equ.2.28)

Où la fréquence : (Equ.2.29)

L’oscillation est par définition le mouvement que le mobile M effectue pendant une période complète.

La vitesse v(t )est la dérivée de l’élongation x(t) par rapport au temps :

(Equ.2.30)

L’accélération a(t) est la dérivée de la vitesse v(t) par rapport au temps :

(Equ.2.31)

Exemple 1 : Soit l’élongation d’une particule , identifier tous les paramètres

citées dans le cours, amplitude, période,…

Exemple 2 : La position d’un mobile M est donnée par : , ou x en mètre, t en

seconde l’angle en radian.

1/ Calculer la position x a l’intervalle de 0.1s de t=0.1s a t=0.8s et tracer le graphe x(t)

2/ Quelle est la vitesse moyenne entre le temps t=0.5s et 0.6s

3/ Déterminer la vitesse instantanée au temps t=0.5s en traçant la tangente a la courbe


29

4/ Utiliser le calcul différentiel pour trouver la vitesse instantanée a t=0.5s


30


31

Le mouvement relatif

Soit un mobile M et deux systèmes d’axes de coordonnées (Fig.9) servant de repères :

,repère R défini par les vecteurs unitaires

, repère R‘ défini par les vecteurs unitaires

M

x

y

z

i

j

k

O

x'

O' y'

z'

i'

k'

j'Repere fixe R

Repere mobile R'

OM = OO' + O''M

Fig.14

Le mobile M étant en mouvement par rapport à R et R‘, les observateurs liés chacun de ces repères mesurent respectivement dans :

R

La position : (Equ.32)

La vitesse : (Equ.33)

L’accélération :

(Equ.34)

On aura donc :

R‘

(Equ.2.32a)

(Equ.2.33a)

(Equ.2.34a)


32

(Equ.2.35) (Equ.2.35a)

Nous remarquons qu’en utilisant la relation de CHASLES entre les positions à chaque instant t on aura :

(Equ.2.36)

Soit:

(Equ.2.37)

La relation qui existe entre les vitesses est obtenue par dérivation de la position (Equ.2.30), on obtient:

M/ R = O’/ R + M/ R’ (Equ.2.40)

Nous pouvons identifier les termes suivants :

Le premier membre à gauche du signe égal est la vitesse absolue , les seconds membres

respectivement la vitesse d’entrainement (c’est à dire le déplacement du repère R‘ par rapport au

repère fixe R) et la vitesse relative (le déplacement du mobile M par rapport au repère mobile R’).

Relation entre les accélérations :

M/ R = M/ R’ + O’/ R + (Equ.2.42)

Nous identifions trois termes d’accélération, le premier crochet est l’accélération relative, le

second est l’accélération d’entrainement et enfin le troisième est l’accélération de Gaspard-Gustave CORIOLIS.

Cas particuliers


33

Si le point matériel M est immobile par rapport au repère R’ (c'est-à-dire ses composantes dans R’ sont constantes). Ce qui implique que la vitesse relative , d’où d’après la relation de la

composition des vitesses : .

Si le repère R’ est fixe par rapport au repère R : . Si est le repère R’ en translation par rapport au repère R (c'est-à-dire la base

est constante). , la vitesse

d’entrainement est indépendante du point matériel M.Exemple d’application :

Soient deux repères : et

Dans le repère Dans le repère

Quel est le mouvement du repère par rapport au repère fixe

Donner les expressions des vitesses et accélération dans chaque repère. Expliquer le résultat.

Autres exemples :

Exemple 1 : Une voiture décapotable est garée au bas d’un immeuble, moteur tournant. Le conducteur levant la tête en l’air, voit un pot de fleur se décrocher du quatrième étage du balcon juste au dessus de lui. Il démarre instantanément avec une accélération a=2m/s2. Décrivez le mouvement du pot de fleur par rapport au conducteur.

Exemple 2 : Un parachutiste saute d'un hélicoptère volant horizontalement. Sa vitesse vp par rapport au sol est constante. A l'instant t0 pris comme origine des temps, un véhicule se trouve juste en dessous de lui; le parachutiste est alors à l'altitude h0. Déterminer les vecteurs : vitesse et accélération ainsi que l'équation de la trajectoire du parachutiste par rapport au véhicule dans les cas suivants:-

- Le véhicule se déplace suivant une droite, à vitesse constante vm.- Le véhicule se déplace suivant une droite à accélération constante a.

Application numérique :- On donne vp = 3.6 km/h, vm = 36 km/h, a = 2 m/s2, h0 = 100 m.

1. Définition d’un solide- Torseur cinématique

Soient deux points A et B appartenant à un solide (S) quelque soit l’instant t la distance d(A,B) est

constante soit : .

2. Champ de vitesse des points d’un solide (S)


34

Le champ de vitesse des points d’un solide est le champ noté qui à tout point A du solide associe

le vecteur vitesse , le point A à cet instant est la position.

Considérons deux points A et B du solide (S), nous pouvons appliquer et par dérivation

par rapport au temps t, nous obtenons la propriété d’équiprojectivité du champ de vitesse :

, d’où

On conclut que le champ de vitesse d’un solide est un champ équiprojectif. C’est donc un champ de moment d’un torseur appelé torseur cinématique, nous notons la résultante de ce torseur par

.

Notation : le torseur cinématique est défini en un point A par ses deux éléments de réduction et que l’on représente sous la forme suivante :

3. Dérivation d’un vecteur lié au solide par rapport à un repère R

On considère le vecteur u ayant pour extrémités deux points d’un solide (S) en mouvement dans le repère R tels que :

, dérivons par rapport au temps le vecteur :

Prenons le cas d’une dérivation composée :

On considère le mouvement d’un solide (S) dans un repère mobile ,qui est lui-

même en mouvement par rapport à un autre repère , le vecteur position dans le

repère s’écrira donc : et le vecteur position dans le

repère est le vecteur vitesse s’obtient par dérivation du vecteur

position : ,

,


35

, ce qui nous donne la

composition des vitesses suivantes :

, c’est la loi de composition du vecteur de vitesse.

Nous allons montrer à travers quelques mouvements particuliers que la résultante du torseur cinématique est bien le vecteur de rotation instantanée du solide.

4. Cas de la translation pure

On dit qu’un solide (S) est animé d’un mouvement de translation par rapport à un repère

, si quelque soit le temps t, tous les points du solide ont même vitesse

, par rapport à , en partant à partir de l’expression du champ de

vitesse : , inversement si quelque soit t le vecteur

instantanée de rotation est nul ( ) on a alors les vecteurs vitesses .

5. Cas d’une rotation autour d’un axe fixe

On dit qu’un solide (S) est animé d’un mouvement de rotation autour d’un axe fixe , si

deux M et P distinct ont une vitesse nulle, il s’ensuit :

- tous les points de l’axe ont une vitesse nulle

- le torseur cinématique est un glisseur d’axe parallèle à la résultante du torseur

cinématique .

- tous les points du solide (S) décrivent des trajectoires circulaires autour de l’axe ,

appelé axe de rotation.

Nous définissons le repère lié au solide tel que et l’angle

angle mesuré autour de .


36

(t)

x

y

z

x1

(t)

y1

O

, et ,

Par addition on obtient :

, et en utilisant le double produit vectoriel, on aboutit à :

Dans le cas d’un mouvement de rotation autour d’un axe fixe la relation ci-dessus devient :

car ,

Dans le repère , les vecteurs de la base de s’expriment par en

fonction de l’angle . Les projections des vecteurs

Par dérivation par rapport au temps on trouve :

D’où le résultat : .


37

6. Cas du mouvement hélicoïdal Soit un solide (S) animé d’un mouvement hélicoïdal autour d’un axe fixe , le mouvement hélicoïdal est obtenu par le glissement d’une droite appartenant au solide (S) sur un axe fixe et un point A du solide non situé sur cette droite.

O

H

A

P

z

x

y

La vitesse du point A est obtenu par l’expression suivante :,

par ailleurs d’après la relation de CHASLE on a :,

le point P étant la projection du point A sur le plan , qui décrit une trajectoire circulaire sur ce plan, de ce fait et en vertu des résultats obtenus lors de nos calcul précédents, nous aurons alors :

, d’où le résultat final :

7. Mouvement plan sur plan DéfinitionOn dit qu’un solide (S) est animé d’un mouvement plan sur plan si le solide (S) glisse sur un plan (0) par rapport à un plan () lié au solide par rapport à un repère .Exemples : Mouvement d’un sourie sur le tapis d’un micro ordinateur.

Propriétés :- Un point H quelconque appartenant au solide (S) a le même mouvement que sa projection h

sur le plan ().- Le vecteur vitesse instantané de rotation est orthogonal au plan () et (0).

Sachant que , cette propriété peut être démontrée à l’aide du champ de vitesse de deux

points A et H du plan () donné par avec et deux vecteurs appartenant au plan

(). Ce qui implique que le vecteur appartient aussi au plan (), or quand le point H

décrit le plan (), le vecteur , balaie toutes les directions du plan perpendiculaire à

. Ce plan est donc contenu dans le plan () ce qui donne que le vecteur de rotation

instantané est orthogonal au plan ().

8. Centre instantané de rotation ou CIR le torseur cinématique du mouvement du plan () par rapport au plan (0) s’écrit alors:


38

D’après la propriété du champ de vitesse : , par ailleurs, les points I de l’axe instantané de rotation () du mouvement d’un solide(S) par rapport à un repère vérifient la

propriété suivante : , dans le cas d’un mouvement plan sur plan, si le

point I appartient aussi au plan (p), son vecteur vitesse est tel que , le point I intersection

entre l’axe instantané de rotation et les plans () et (0) a donc une vitesse nulle à chaque instant.

Construction du CIR

On considère par exemple deux points M et M’ appartenant au plan (), leurs vitesses peuvent être calculer en utilisant l’expression du champ de vitesse, soient :

,

, ce qui donne par application du produit scalaire :

et .Le centre instantané de rotation I est situé sur les droites perpendiculaires aux vitesses aux points M e M’.

VM/(0) M M'

M"

VM/(0)

VM"/(0)

'

I

9. Les angles d’Euler Définition On représente le mouvement quelconque d’un solide (S) dans l’espace comme la somme de deux mouvements de translation pure et de rotation autour d’un axe fixe, dans ce qui suit nous nous tenons compte que de la rotation autour d’un axe fixe, nous décomposons le mouvement selon trois rotations possibles qui seront associées aux angles d’Euler.


39

x0

y0

z0

u

v

(t)

(t)

Figure.1

z0

z0

u

wz

(t)

(t)

Figure.2

u

w

z

xy

(t)

(t)

Figure.3

On définit d’abord un repère lié au solide (S) d’origine A, particule associée au solide

(S) et de base , ce repère est construit en tenant compte des propriétés géométriques

de (S), on note le repère de référence. Nous introduisons un vecteur unitaire tel

que les produits scalaires et . On construit de nouveaux repères et

intermédiaires d’origine O et de bases orthonormées respectives : et

. Nous introduisons un angle pour repérer le vecteur unitaire dans le plan

orienté par l’axe tel que (Figure 1).

De la même manière nous introduisons un angle pour repérer le vecteur unitaire dans le plan

orienté par l’axe tel que mesuré autour de (Figure 2) et enfin

nous introduisons un angle pour repérer le vecteur unitaire dans le plan orienté

par l’axe tel que mesuré autour de (Figure 3).


40

(t)x0

y0

u

z0

u

(t)

z

(t)

x

Figure.4Nous avons représenté la figure ci-dessus (Figure.4) montre la représentation dans l’espace. Les angles sont appelés les angles d’Euler. Ces angles définissent complètement toutes les possibilités de rotation du solide (S) dans l’espace.


41


42


43


44


45


46


47


48


49

.


50


51


52


53


54


55


56


57


58


59


60


61


62


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70


71

CHAPITRE 4


72

3. Géométrie des massesRépartition des masses

Un solide rigide (S) est affecté d’une masse m(S) positive, invariante au cours du temps, cette masse m(S) peut être répartie à l’intérieur du solide (S) selon :Une famille de point matériel qui constitue un ensemble fini selon:Si P appartient à (S), dm(P) est l’élément de masse attaché à P, on note :

, [Equ.3.1]

mi : masse du point Mi de la famillen : population de la famille

Ou bien selon une distribution continue linéique [Equ. 3.1], surfacique [Equ. 3.2] ou volumique [Equ. 3.3] selon que le siège de (S) est une ligne, une surface ou un volume.

, [Equ.3.2]

(P): densité linéique de masse du point Mi de la familleL: ligne occupée par (S)

, [Equ. 3.3]

(P): densité surfacique de masse du point Mi de la familleS: surface occupée par (S)

, [Equ. 3.4]

(P): densité volumique de masse du point Mi de la familleV: volume occupé par (S) Les dl(P), DS(P), dV(P) sont respectivement, les éléments de longueur, de surface et de volume.Pour la suite on généralise ces définitions à l’intégrale

, [Equ. 3.5]

f(P): représente une fonction scalaire ou vectorielle de P, définie sur 5S).Remarque on dit qu’un solide est homogène si :(P) = constante , (P) = constante et (P) = constante Un solide présente un élément de symétrie matérielle H (point, axe, plan) si la condition ci-dessous est vérifiée :

Centre de masseLe centre de masse de S, encore appelé centre d’inertie ou centre de gravité, est défini en considérant un solide dans l’espace qui est constitué d’un ensemble de n points matériels M1, M2,..,Mi,…,MN , de masse respective dm1,dm2,…,dmi,…dMn. Ce solide est de volume V le point G appelé centre de gravité de l’ensemble des n points tel que :


73

, [Equ. 3.6]

Où O est un point quelconque de l’espaceS possède un seul centre de masse, quelque soit le choix de O. en conséquence, si G est confondu avec le point O alors :

, [Equ. 3.7]

G bénéficie de deux propriétés suivantes :a) Si S possède un élément de symétrie matérielle H, ;

b) Si S peut être considéré comme la réunion de n fragments rigides Si de

centre d’inertie Gi.

, [Equ. 3.8]

3.1 Tenseur (ou Matrice) d’inertieOn appelle moment d’inertie de S par rapport à l’élément géométrique E :

où , [Equ. 3.9]

si r(P) est la distance de P à E, La figure illustre le cas où E est un axe :

, [Equ. 3.10]

H

P(S)

étant considéré comme l’intersection de deux plans rectangulaires () et (’),[Equ. 3.11]

A l’opérateur d’inertie en O de (S) par rapport au repère correspond la matrice :

, [Equ. 3.12]

Pour des raison de commodité, matrice et opérateur sont notés dans la suite à l’aide du même symbole où, si P(x,y,z) appartient à S,

, [Equ. 3.13]


74

, [Equ. 3.14]

, [Equ. 3.15]

, [Equ. 3.16]

, [Equ. 3.17]

, [Equ. 3.18]

Pour ces trois dernières expressions les produits d’inertie de S par rapport à R (de signe quelconque).

Série d’ExercicesExercice 1Deux masses ponctuelles m1 et m2 qui peuvent se déplacer librement dans le plan sont reliés par une tige rigide de masse négligeable et de longueur l (figure.1) :

Montrer que le moment d’inertie J du système par rapport à un axe perpendiculaire au plan et

passant par le centre de masse XG est : J=ma2 où représente la masse réduite.

Exercice 2Déterminer le moment d’inertie Jy par rapport à l’axe Oy, de la plaque rectangulaire de densité surfacique sS de côtés a et b (figure.2) ; Donner l’expression de Jy en fonction de la masse M de la plaqueEn déduire le moment d’inertie Jz de la plaque par rapport à l’axe Oz.


75

3.2 Théorème de Huygens

Soient un repère , un solide S et un repère positionné sur son

centre d’inertie (fig. 1). Les axes des repères R et RG sont parallèles. On rappelle que

l’opérateur d’inertie au point O d’un solide S est l’opérateur qui, à tout vecteur

de l’espace associe le vecteur . On le note :

[Equ. 3.19]

Faisons intervenir le point G, centre d’inertie de S : . On a alors :

En reportant dans l’expression de , on obtient :

Mais par définition, et


76

Le terme peut s’interpréter comme étant dont l’élément

représente l’opérateur d’inertie en O du « point G » affecté de la masse totale m du solide S.En définitive, le théorème de Huygens peut se mettre sous la forme :

[Equ. 3.20]

Expression des termes de Huygens

Posons et . On a alors :

Ceci conduit à :

Qui peut se mettre sous la forme:

Avec :

Et En définitif, l’expression [Equ. 3.20] donne maintenant :

Soit : [Equ. 3.21]


77

CHAPITRE 5


78

4. Dynamique4.1 Théorème du moment cinétique


79


80


81


82


83


84

4.2 Théorème de la résultante dynamique


85

Travaux dirigés

Exercice n° 2

Une voiture A part du repos avec une accélération constante égale à 1m/s2. Au même moment une voiture B la dépasse roulant avec une vitesse initiale v0=8m/s et une accélération donnée par le graphe ci-contre pour les différentes phases de son mouvement. En considérant la position de départ (t=0) de la voiture A comme origine.

1- Représenter graphiquement vA(t) et vB(t).2- A quel (s) instant (s) les deux vitesses sont

elles égales ?3- En se basant sur les graphes vA (t) et vB (t)

quelle voiture est en tête à t=10s ?4- Représenter graphiquement xA (t) et xB (t).5- Trouver l’instant de rencontre des deux voitures dans [0,10s], puis dans [0,20s].


Exercice n°1

Le schéma ci-contre donne la position x(t) d'un mobile en fonction du temps

Quels sont les intervalles de temps où le mobile se déplace vers le sens positif ? (puis négatif ?)A quels instants le mobile subit-il une accélération (décélération) ?Déssiner le graphe v(t) du mobile.

x (m)

t (s)0

5,5

7

-3

-2

1 2

3

3,25

2,25

86

EXERCICE N°3

Exercice n°4

Un mobile M est repéré par ses coordonnées polaires r(t) et (t) dont les variations en fonction du temps sont données par les graphes ci-dessous :


Le diagramme des vitesses d’un mobile, animé d’un mouvement rectiligne, est donné par le diagramme ci-contre. Sachant qu’à t = 0 s ; v(0) = 0 m/s et x(0) = 0 m.Dans l’intervalle de temps [0 , 10s], tracez le diagramme des

accélérations du mobile.Tracez le diagramme des espaces du mobile pour t[0 , 7s] . Quelle

est la position du mobile à t = 10 s ? Evaluez la distance parcourue par le mobile entre les instants t = 0 s et t = 10 s.

Décrivez le mouvement du mobile dans l’intervalle de temps [0, 10s].

Sur la trajectoire, représentez les vecteurs position, vitesse et accélération à l’instant t = 8 s ; Pour cela on donne les échelles de représentation suivantes : (position : 1 cm 1 m) (vitesse : 1 cm 0,5 m/s) (accélération: 1cm 0,5 m/s2).

3

-3

63 7 10

t(s)

v(m/s)

0

/2

2

(rad)

t(s)64

/4

0

2

r(m)

t(s)

45

2 64

87

1- Donner les équations de r(t) et (t)2- Calculer la vitesse et l’accélération du mobile.3- Tracer la trajectoireSolution

Solution

Solution


OX’ X

M

B

Patin

+

EXERCICE 5:

Une manivelle OM, articulée en M à une tige rigide MB, tourne avec une vitesse angulaire constante autours d’un axe fixe passant par O (figure ci-contre).La tige MB set reliée par une articulation en B à un patin astreint à se déplacer la direction (X’OX). Les tiges OM et MB peuvent se croiser et le patin peut passer derrière l’articulation O.

On donne OM = MB = L0 = 1 m. A l’instant initial, le patin se trouve en O et se dirige vers les X positifs avec une vitesse v(0) = v0 = 2 m/s.

Déterminez l’équation horaire du patin B. Précisez son amplitude A, sa phase initiale 0, et sa pulsation .

Dans quels intervalles de temps de [/6, 5/6]s, le mouvement du patin est-il accéléré ou décéléré ?

88

Exercice n°6

Nous lançons une masse ponctuelle m d’une hauteur h avec une vitesse initiale V0 horizontale, comme le montre la figure ci-contre.

La masse m ne subit que l’attraction terrestre (accélération de pesanteur notée g ) et nous négligeons les frottements avec l’air.

1. Ecrire les équations horaires du mouvement suivant les axes OX et OY (de la figure).

2. Donner l’équation de la trajectoire.

Nous notons l’angle entre l’axe OX et le vecteur vitesse V

( = angle(ux ,vy ) )

3. Montrer que le rayon de courbure de la trajectoire en tout point est donnée par :


O

Y

XV0

V

89

Exercice n°7

Deux hommes veulent traverser une rivière de 1km de large, dont la vitesse du courant d'eau est 2 km/h. Le premier homme rame dans une direction perpendiculaire au bord de rivière atteint le point B, l’autre homme rame de façon à atteindre le point C à l'opposé de A.

si les deux hommes ont une vitesse constante par rapport à l'eau v = 4 km/h

1. Décrivez les deux mouvements AB et AC des deux hommes.2. Quel est l’homme qui arrive en premier ?3. Pour quelle vitesse de courant les deux hommes ne peuvent-ils pas atteindre la rive opposée ?

Exercice n° 8

Un cylindre de rayon R roule sans glisser sur un plan horizontal comme le montre la figure ci-dessous. Le repère (OXY) est le repère lié au sol (considéré comme fixe), le repère (O’X’Y’) est le repère lié au cylindre (mobile) d’origine O’ (axe du cylindre) et dont les axes X’ et Y’ sont parallèles respectivement aux axes X et Y.

1. Trouvez les coordonnées x’ et y’ dans le repère (O’X’Y’) d’un point matériel M situé sur la périphérie du cylindre en fonction de l’angle de rotation (t) et de R .

On donne à t = 0 (0) = 0 (extrémité inférieure du cylindre).

2. Exprimez la relation entre les coordonnées (x,y) du repère fixe et les coordonnées (x’,y’) du repère mobile, en fonction de R et de .

3. En déduire les coordonnées x et y dans le repère (OXY) du point matériel M.4. Calculez dans le repère (OXY),en fonction de (t) et de (t) les composantes Vx et Vy de la vitesse

du point M. (Remarque : (t) = d / dt)5. Que deviennent ces composantes aux points où M touche le plan horizontal.


x

Y

X

M

y R

Y’

X’

O

O’

90

la relativité du mouvement

Présentation de l'exercice:

Un automobiliste conduit à vitesse constante sur une portion d'autoroute rectiligne. Il parcourt 250m pendant une durée égale à 7,5 s. Puis à la même vitesse, il aborde un arc de cercle.

1-Calculer la valeur de la vitesse en m.s-1 puis en km.h-1 dans : - le référentiel terrestre puis dans -le référentiel automobile.

2-Quelle est la trajectoire de l'automobiliste dans chacun des deux référentiels ?

3-En déduire la nature du mouvement dans chacun des référentiels

1-Calculer la valeur de la vitesse en m.s-1 puis en km.h-1 dans :

Dans le référentiel terrestre :

v = d /t = 250 / 7,5 = 33,3 m.s-1= 33,3.10-3.3600 = 120 km.h-1 –Dans le référentiel automobile : v = 0 -

2-Quelle est la trajectoire de l'automobiliste dans chacun des deux référentiels ? -

dans le référentiel terrestre : une droite puis un arc de cercle - dans le référentiel automobile : un point

exo 4-le principe d'inertie

Présentation de l'exercice:

Répondre par vrai ou faux. Si la réponse est fausse, justifier.

1-Un référentiel lié à la terre est appelé référentiel terrestre.

2-L'unité de vitesse dans le système internationale est le km.h-1.

3-Lorsque la valeur de la vitesse d'un corps augmente, son mouvement est dit accéléré.

4-Un mouvement rectiligne est un mouvement qui s'effectue à vitesse constante.

exo 4-correction le principe d'inertie

Présentation de la correction:

1. Un référentiel lié à la terre est appelé référentiel terrestre. Vrai

2. L'unité de vitesse dans le système internationale est le km.h-1. faux c'est en m.s-1

4. Lorsque la valeur de la vitesse d'un corps augmente, son mouvement est dit accéléré. Vrai


91

4. Un mouvement rectiligne est un mouvement qui s'effectue à vitesse constante. Faux la trajectoire est une droite et sa vitesse peut changer au cours de temps.

exo6-principe d'inertie ou pas?

Présentation de l'exercice (extrait)

exo6- correction principe d'inertie ou pas?

Présentation de la correction (extrait)

Vitesse et principe d'inertie


92

Soit une boule d'acier de masse m =150g est lâchée sans vitesse initiale. Elle se dirige donc vers le bas suivant un axe z dirigé vers le bas (voir schéma qui n'est pas à échelle et les valeurs sont données en mètre!). On nous donne les valeurs de z tous les instants Δt = 0,5s.

1- On travaille dans le référentiel terrestre. Quelle est la trajectoire de la boule ?

2- Calculer les vitesses instantanées aux points M1 , M2 et M3 . En déduire la nature du mouvement.

3- Faire le bilan des forces exercées sur la boule.

4- Calculer la valeur du poids P (donnée : g0=9,80 kg.N-1)

5- Après avoir donnée la relation littérale de la force gravitationnelle. Calculer sa valeur lorsque la boule est au niveau du sol.(donnée : G = 6,67.10-11 S.I ;

MTerre = 5,98.1024kg ;RTerre = 6400km).

Conclure.

6- Enoncer le principe d'inertie. Le mouvement de la boule respecte-t-il le principe d'inertie ?

Vitesse et principe d'inertie


93

1- Trajectoire de la boule : c'est une droite. Calculons les vitesses instantanées aux points M1 , M2 et M3 .

V1 = M0M2 / 2Δt = (z2-z0) / (2.0,5) = (4,900-0) = 4,90 m.s-1

V2 = M1M3 / 2Δt = (z3-z1) / (2.0,5) = (11,02-1,225) = 9,80 m.s-1

V3 = M2M4 / 2Δt = (z4-z2) / (2.0,5) = (19,60-4,900) = 14,7 m.s-1

Nature du mouvement : c'est un mouvement rectiligne accéléré.

2- Faire le bilan des forces exercées sur la boule.

Poids P (peu de force de frottement donc on les négligera)

3- Calculer la valeur du poids P (donnée : g 0=9,80 kg.N -1 )

P = m.g0 = 150.10-3.9,80 = 1,47 N

4- Après avoir donnée la relation littérale de la force gravitationnelle

Fg= G.m.MT / RT2

Fg = 6,67.10-11 . 150.10-3 . 5,98.1024 / (6400.103)2 = 1,46 N

On trouve la même valeur que celle du poids : Fg = P

6- Enoncer le principe d'inertie.

Principe d'inertie : un corps est en mouvement rectiligne uniforme ou au repos lorsqu'il subit des forces qui se compensent.

Ici , le corps est en mouvement rectiligne mais accéléré donc le principe d'inertie n'est pas respecté.

Principe d'inertie ou pas ?

Etude du mouvement d'un livre sur une table.

PARTIE A :

Un livre est posé sur une table horizontale. Il est immobile.

1-Dans le référentiel terrestre, nommer les deux forces exercées sur le livre ainsi que leurs caractéristiques, à l'aide du principe d'inertie.


94

2-Représenter les vecteurs forces sur le schéma.

PARTIE B

On incline maintenant la table d'un angle de 20°. Le livre reste encore immobile.

3- Dans le référentiel terrestre, les caractéristiques des deux forces citées dans la question 1- sont-elles toujours les mêmes ? Si non, redonner leurs caractéristiques.

4-Le principe d'inertie est-il toujours respecté ?

5-Citer l'existence d'une autre force qui s'exerce sur le livre ainsi que ses caractéristiques.

6-Placer sur le schéma les trois vecteurs forces qui s'exercent sur le livre.

PARTIE C

L'inclinaison de la table est plus importante et l'angle devient égal à 30°. Le livre glisse maintenant le long de la table avec une vitesse qui augmente.

En déduire les forces qui s'appliquent sur le livre et les représenter sur le schéma.

EXERCICE N°37 PHYSIQUE SECONDE


95

CORRIGE

Principe d'inertie ou pas ?

Etude du mouvement d'un livre sur une table.

PARTIE A :

1-Deux forces exercées sur le livre : le livre est immobile donc il respecte le principe d'inertie. Il subit des forces qui se compensent : le poids P et la réaction normale de la table R.

Caractéristiques du poids P :

-point d'application : centre d'inertie G du livre

-direction :verticale

-sens :vers le bas.

-valeur : P = m.g (masse non donnée ici donc on ne calcule pas P).

Caractéristiques de la réaction normale R:

-point d'application : point de contact (table-livre)

-direction :verticale

-sens :vers le haut.

-valeur : R= P (les vecteurs forces sont opposés car les forces se compensent)

2-Vecteurs force :

PARTIE B

3-Bilan des forces :

-le poids P garde les mêmes caractéristiques.


96

-la réaction R de la table étant normale ses caractéristiques sont différentes :

le point d'application est toujours le points de contact (livre-table) mais la direction est la normale à la table donc perpendiculaire à celle-ci. La direction n'est plus verticale. Le sens est vers le haut et sa valeur est R (non calculable ici).

4-Le principe d'inertie est respecté car le livre est immobile.

5-Autre force : La somme vectorielle représentant les forces R et P ne peut pas être nulle. Puisque le principe d'inertie doit être respecté (car le livre est immobile) alors il doit y avoir une troisième force qui compensent les deux citées.

Cette troisième force est opposée à la résultant de R et P. C'est la force de frottement. Elle empêche le livre de glisser.

La force de frottement est une force qui s'oppose au déplacement. Elle est représentée par un vecteur parallèle à la table et s'oppose au mouvement.

Ses caractéristiques sont :

-point d'application : point de contact (livre-table)

-direction : droite parallèle à la table

-sens : vers le haut

-valeur : f

6-

Les trois vecteurs sont tracés de manière à ce que leur somme s'annule. Les forces se compensent donc le livre peut être au repos donc immobile.

PARTIE C :

Le livre ne glisse pas avec une vitesse constante. Le mouvement n'est donc pas rectiligne uniforme. Le livre ne respecte plus le principe d'inertie. Les forces qui s'exercent sur le livre ne se compensent pas.

La somme vectorielle des forces représentant R, P et f n'est plus nulle.


97

Puisque le livre avance et a un mouvement accéléré alors la somme

retour à l'énoncé

La grue et le principe d'inertie

Soit une grue soulevant un bloc de béton de masse m = 1500kg. Cette grue soulève le morceau de béton, à l'aide d'un cable d'acier, rigide et tendu, à vitesse constante verticalement.

1-Dans quel référentiel vous vous placez pour étudier le mouvement du bloc de béton ?

2-Calculer le poids P subit par le bloc de béton. Donner les caractéristiques du vecteur poids.

3-Le bloc de béton vérifie-t-il le principe d'inertie ? Justifier.

4-Donner le nom et les caractéristiques d'une autre force subie par le bloc de béton.

5-Représenter ces deux forces sur un schéma simplifié avec une échelle approprié


98

Donnée: g = 10 N.kg-1

voir la correction

EXERCICE PHYSIQUE SECONDE N°36

CORRIGE

La grue et le principe d'inertie

1-Référentiel : on choisit le référentiel terrestre.

2-Poids P : P = m.g = 1500.10=1,5.104N Caractérisitques: -point d'application: centre d'inertie du bloc de béton -direction :verticale -sens :vers le bas -valeur :P=m.g=1,5.104N

3-Le bloc de béton a un mouvement rectiligne et uniforme : il est tiré vers le haut verticalement donc la trajectoire est une droite et sa vitesse est constante (donc mouvement uniforme)

Principe d'inertie : dans un référentiel galiléen, tout corps est immobile ou animé d'un mouvement rectiligne et uniforme si les forces qu'il subit se compensent. Puisque le bloc est animé d'un mouvement uniforme alors il doit respecter ce principe.

4-deuxième force : puisque le blog est soumis au poids P il ne peut pas y avoir que cette force exercée sur celui-ci car une seule force ne peut pas se compenser d'après le principe d'inertie.

Pour compenser le poids P il y a une force F qui le compense : c'est la force exercée par le cable sur le bloc.

Caractéristiques de la force F :

-point d'application: point d'attache entre le bloc et le cable -direction : verticale

-sens :vers le haut

-valeur : F = P = 1,5.104N (le vecteur sera donc opposé à celui du poids P).

5- Schéma : 1cm représente 1,0.104N alors les vecteurs auront une longueur de 1,5cm.


http://www.intellego.fr/doc/17543

99

On rappelle ici les définitions de la position, de la vitesse et de l’accélération d’un point M par

rapport à un repère .

Le vecteur position du point M dans le repère , à l’instant t , est le vecteur OM(t).

La trajectoire T du point M est l’ensemble des points P de R avec lesquels coïncide M au cours de son mouvement au cours du temps t.Le vecteur vitesse du point M par rapport au repère R, à l’instant t , est la dérivée du vecteur position OM (t) par rapport à t dans R. La dimension physique de la vitesse est LT−1. Le vecteur vitesse du point M à l’instant t est tangent à la trajectoire en M(t).

V (M/R) =dOM(t )/dtR.Le vecteur accélération du point M par rapport au repère R, à l’instant t , est ladérivée du vecteur vitesse V (M/R) par rapport à t , dans R. La dimension physique de l’accélération est LT−2.

G(M/R) =dV (M/R)/dtR.


http://www.intellego.fr/doc/17523

100

moment cinétiquethéorème de Koënig

Les vecteurs sont écrits en gras et en bleu

On considère les points matériels de masses respectives m1 = 1 kg; m2 = 2 kg , m3 = 3 kg ; repère galiléen (O, i, j, k). Leurs coordonnées sont :

M1 (2t ; 3t² ; 1) ; M2 ( t²-1 ; -t ; 2t ) ; M3 ( -2 ; t-1 ; 1-t²)

1. Calculer les moments cinétiques en O des trois points matériels ainsi que celui du système.

2. Appliquer le théorème de Koënig pour en déduire le moment cinétique L* dans le référentiel barycentrique.

3. Donner les expressions littérales des forces F1, F2, F3 agissant respectivement sur chaque point ; exprimer F résultante des forces appliquée au système.

4. Déterminer le moment en O des forces F1, F2, F3 et F.

corrigé

Calcul des moments cinétiques en O point de l'espace galiléen:

le vecteur vitesse vi est la dérivée du vecteur position OMi par rapport au temps.

OM1 ( 2t ; 3t² ; 1) OM2 ( t²-1 ; -t ; 2t) OM3 ( -2 ; t-1 ; 1-t²)

v1 ( 2 ; 6t ; 0 ) 2 v2 : (4t ; -2 ; 4 ) 3 v3 : 0 ; 3 ; -6t )

OM1 ^v1 ( -6t ; 2 ; 6t²) OM2 ^ 2v2 ( 0 ; 4t²+4 ; 2t²+2) OM3 ^ 3v3 ( -3t²+6t -3 ; -12t ; -6)

comment calculer un produit vectoriel ?

Le moment cinétique total en O du système de points est égal à la somme vectorielle des moments cinétiques en O des trois points composant le système.


101

LO = LO1 + LO2+ LO3

LO1 ( -6t ; 2 ; 6t²) ; LO2 ( 0 ; 4t²+4 ; 2t²+2) ; LO3 ( -3t²+6t -3 ; -12t ; -6)

suivant i : -6t +0 -3t² +6t -3 soit -3t² -3

LO : suivant j : 2 + 4t² +4 -12t soit 4t²-12t + 6

suivant k : 6t² + 2t² +2 -6 soit 8t²-4

théorème de Koënig :Dans le référentiel barycentrique R* le moment cinétique est indépendant du point par rapport

auquel on le calcule; ce moment cinétique est noté L*.

Le moment cinétique d'un système de points calculé en un point O dans le référentiel R est égal à la somme vectorielle du moment cinétique en O de son centre de masse affecté de la

masse totale du système et de son moment cinétique dans R*.

vitesse des points matériels :

le vecteur vitesse vi est la dérivée du vecteur position OMi par rapport au temps.

OM1 ( 2t ; 3t² ; 1) donc v1 ( 2 ; 6t ; 0 )

OM2 ( t²-1 ; -t ; 2t) donc v2 ( 2t ; -1 ; 2 )

OM3 ( -2 ; t-1 ; 1-t²) donc v3 ( 0 ; 1 ; -2t )

vecteur quantité de mouvement du système de points :

pS = m1v1 +m2v2 +m3v3 = v1 + 2 v2 +3v3 .

suivant l'axe i : 2 +2*2t-3*0 = 2(1+2t)

suivant l'axe j : 6t-2 +3 = 6t+1

suivant l'axe k : 0+ 2*2+3*(-2t) = 2(2-3t)

pS [ 2(1+2t) ; 6t+1 ; 2(2-3t) ]

barycentre G :

OM1 ( 2t ; 3t² ; 1) ; OM2 ( t²-1 ; -t ; 2t) ; OM3 ( -2 ; t-1 ; 1-t²)


102

suivant i : 1/6( 2t +2(t²-1) +3(-2) ) soit 1/6 ( 2t² +2t-8)

suivantj : 1/6( 3t² +2(-t) +3(t-1) ) soit 1/6 ( 3t² + t -3)

suivant k : 1/6( 1 +2(2t) +3(1-t²) ) soit 1/6 ( -3t² +4t+4)

OG : 1/6( 2t² +2t-8 ; 3t² + t -3 ; -3t² +4t+4)

OG 1/6( 2t² +2t-8) 1/6(3t² + t -3) 1/6(-3t² +4t+4)

pS 2(1+2t) 6t+1 2(2-3t)

OG^pS 1/6(-15t² -6t-16) 1/6(14t² -32t + 40) 1/6(4t² -36 t -2)

LO -3t² -3 4t²-12t + 6 8t²-4

L* = LO - OG^pS -½t² +t -1/3 1/3 ( 5t² -20t -2) 22/3 t²+6t -11/3

forces :

Pour chaque point , appliquer le principe fondamental de la dynamique

v1 ( 2 ; 6t ; 0 ) 2 v2 ( 4t ; -2 ; 4 ) 3 v3 ( 0 ; 3 ; -6t )

F1 (0 ; 6 ; 0) F2 (4 ; 0 ; 0 ) F3 ( 0 ; 0 ; -6 )

F1 +F2 +F3 = F : (4 ; 6 ; -6 )

moments des forces en O :

appliquer le théorème du moment cinétique à chaque point matériel :

LO1 ( -6t ; 2 ; 6t²) ; LO2 ( 0 ; 4t²+4 ; 2t²+2) ; LO3 ( -3t²+6t -3 ; -12t ; -6)

LO1( -6t ; 2 ; 6t²) LO2 ( 0 ; 4t²+4 ; 2t²+2) LO3 ( -3t²+6t -3 ; -12t ; -6)

MO1( -6 ; 0 ; 12t) MO2 ( 0 ; 8t ; 4t) MO3( -6t+6 ; -12 ; 0)

le moment résultant est égal à la somme vectorielle des différents moments :

MO : ( -6t ; 8t-12 ; 16t )

autre méthode :

appliquer le théorème du moment cinétique au système pris dans sa totalité :

LO -3t²-3 4t²-12t + 6 8t²-4

MO -6t 8t-12 16t


103

quantité de mouvementréférentiel barycentrique

On considère les points matériels de masses respectives m1 = 1 kg, m2 = 2 kg , m3 = 3 kg . Repère (O, i, j, k). ( référentiel galiléen) . Leurs coordonnées sont :

M1 (2t ; 3t² ; 1) ; M2 ( t²-1 ; -t ; 2t ) ; M3 ( -2 ; t-1 ; 1-t²)

1. Donner l'expression littérale de la quantité de mouvement du système dans R.2. Quelles sont les coordonnées du centre de masse G des trois points matériels ainsi que

celles de son vecteur vitesse dans R.

3. Quelle est l'expression du vecteur quantité de mouvement de G dans R.

4. On considère le référentiel barycentrique noté R*; repère associé(G, i, j, k). Exprimer les vitesses relatives des points matériels dans ce référentiel.- Calculer la quantité de mouvement du système dans R*. Conclure.

corrigé

vitesse des points matériels : le vecteur vitesse vi est la dérivée du vecteur position OMi par rapport au temps.

OM1 ( 2t ; 3t² ; 1) donc v1 ( 2 ; 6t ; 0 )

OM2 ( t²-1 ; -t ; 2t) donc v2 ( 2t ; -1 ; 2 )

OM3 ( -2 ; t-1 ; 1-t²) donc v3 ( 0 ; 1 ; -2t )

vecteur quantité de mouvement du système de points :

pS = m1v1 +m2v2 +m3v3 = v1 + 2 v2 +3v3 .

suivant l'axe i : 2 +2*2t-3*0 = 2(1+2t)

suivant l'axe j : 6t-2 +3 = 6t+1

suivant l'axe k : 0+ 2*2+3*(-2t) = 2(2-3t)

pS [ 2(1+2t) ; 6t+1 ; 2(2-3t) ]

barycentre G :


104

OM1 ( 2t ; 3t² ; 1) ; OM2 ( t²-1 ; -t ; 2t) ; OM3 ( -2 ; t-1 ; 1-t²)

suivant i : 1/6( 2t +2(t²-1) +3(-2) ) soit 1/6 ( 2t² +2t-8)

suivantj : 1/6( 3t² +2(-t) +3(t-1) ) soit 1/6 ( 3t² + t -3)

suivant k : 1/6( 1 +2(2t) +3(1-t²) ) soit 1/6 ( -3t² +4t+4)

OG : 1/6( 2t² +2t-8 ; 3t² + t -3 ; -3t² +4t+4)

le vecteur vitesse v du centre d'inertie est la dérivée par rapport au temps du vecteur OG :

vG : 1/6 ( 4t+2 ; 6t+1 ; -6t+4 )

vecteur quantité de mouvement du centre de masse dans R :

pG = M vG avec M= m1 + m2 + m3 = 6 kg

pG : ( 4t+2 ; 6t+1 ; -6t+4 )

référentiel barycentrique R* :

vG : 1/6 ( 4t+2 ; 6t+1 ; -6t+4 ) et v1 ( 2 ; 6t ; 0 )

sur l'axe i ( 2-2/3t -1/3) soit (5/3 - 2/3 t )

v1* : sur l'axe j ( 6t -t-1/6) soit (5t-1/6)

sur l'axe k ( t -2/3)

vG : 1/6 ( 4t+2 ; 6t+1 ; -6t+4 ) et v2 ( 2t ; -1 ; 2 )

sur l'axe i ( 2t-2/3t -1/3) soit (-1/3+ 4/3 t )

v2* : sur l'axe j ( -1 -t-1/6) soit (-t-7/6)

sur l'axe k ( 2+ t -2/3) soit ( t +4/3)

vG : 1/6 ( 4t+2 ; 6t+1 ; -6t+4 ) et v3 ( 0 ; 1 ; -2t )

sur l'axe i ( 0-2/3t -1/3) soit (-1/3-2/3 t )

v3* : sur l'axe j ( 1 -t-1/6) soit (-t+5/6)


105

sur l'axe k ( -2t + t -2/3) soit ( -t -2/3)

vecteur quantité de mouvement du système de points dans le référentiel barycentrique R* :

pS* = m1v1

* +m2v2* +m3v3

* = v1* + 2 v2

* +3v3* .

suivant l'axe i : 5/3 - 2/3 t +2(4/3 t -1/3) +3 ( -2/3 t-1/3 ) = 0

suivant l'axe j : 5t-1/6 +2(-t-7/6) +3 (-t+5/6) = 0

suivant l'axe k : t-2/3 +2(t+4/3 ) +3 (-t-2/3) = 0

le vecteur quantité de mouvement du système de points est nul dans le référentiel barycentrique

solide en rotation autour d'un axe fixeOn considère un solide ayant la forme d'un cylindre droit, homogène ( de masse volumique constante), de rayon R, de hauteur H, de masse m. Il est supposé constituer le rotor d'une machine tournante. On appelle J son moment d'inertie par rapport à son axe de symétrie . Ce solide est mobile autour de son axe de symétrie D qui coïncide avec l'axe vertical fixe Oz d'un référentiel supposé galiléen.

S'il est soumis à un couple de moment , celui ci sera supposé moteur lorsque T est positif, résistant dans le cas contraire. La rotation de ce cylindre par rapport à une position d'origine est repérée par l'angle (t) . Elle est positive pour une rotation effectuée dans le sens direct. La vitesse de rotation du solide est donc donnée par la relation (t) = d(t) / dt = '

1. Etablir l'expression du moment d'inertie J de ce solide par rapport à son axe de symétrie en fonction de m et R. Application numérique : R= 5 cm, H= 15,5 cm, J= 0,012 kgm². En déduire la masse volumique du matériau utilisé.

2. Ce solide est soumis à un couple moteur constant de moment Tm et à un couple résistant, de type frottement fluide, ayant un moment de la forme Tr = -.- Etablir l'équation différentielle dont (t) est solution.- Intégrer cette équation sachant qu'à l'instant t=0, la vitesse du rotor est nulle. On introduira la constante de temps caractéristique de ce système et la vitesse angulaire limite 0 ( le nombre de tours/ minute correspondant est noté n0) théoriquement


106

obtenue au bout d'un temps infini.- Tracer la courbe représentative des variation de (t).- Vérifier que la tangente à l'origine coupe l'asymptote au point d'abscisse t = .- application numérique : Tm = 3 N m ; n0= 1500 tr/min ; en déduire la valeur de la grandeur , de la constante de temps et de la puissance mécanique Pm exercée par le couple moteur en régime permanent.

3. On suppose maintenant que ce rotor soumis au couple moteur constant de moment Tm et au couple de frottement fluide de moment Tr, tourne depuis très longtemps à la vitesse angulaire limite 0. A l'instant t=0 on annule brusquement le couple moteur précédent. Le solide n'est alors soumis qu'au couple résistant. Donner la nouvelle expression de (t) . En déduire l'expression du nombre total N1 de tours effectués avant arrêt. Calculer N1.

4. On suppose à nouveau que ce rotor soumis au couple moteur constant de moment Tm et au couple résistant de moment Tr tourne depuis très longtemps à vitesse angulaire constante 0. A l'instant t = 0 on annule brusquement le couple moteur et on applique un frein qui exerce un couple de moment Tf que l'on supposera constant ( et négatif).- Donner la nouvelle expression de (t) .- En déduire le temps t2 que dure le mouvement ainsi que le nombre de tours N2 effectués avant arrêt.- application numérique Tf = -1 N m; calculer t2 et N2.

corrigé

Expression du moment d'inertie par rapport à un axe : en coordonnées cylindriques, le volume élémentaire est dv = rdrddz

Exprimons la masse volumique en fonction de la masse et des dimensions du cylindre :

volume :R²H ; masse m ; masse volumique = m / ( R²H)

repport dans l'expression de J : J= ½ m R4 / ( R²H) = ½ mR².

application numérique :

m = 2J / R² = 2*0,012 / 0,05² = 9,6 kg

volume : 3,14 * 0,05² *0,155 = 1,216 10-3 m3.

masse volumique : 9,6 / 1,216 10-3 = 7889 kg /m3

c'est la masse volumique du fer.


107

Le théorème du moment cinétique appliqué à un solide en rotation autour d'un axe fixe s'écrit :

J d /dt = Tm- soit J' + = Tm.(1)

solution générale de l'équation différentielle sans second membre :

=A exp ( - t / J)

solution particulière de (1) : la vitesse limite est 0 = Tm/ .

solution générale de (1) : =A exp ( - t / J) + Tm/ .

déterminer la constante sachant qu'à t=0 la vitesse angulaire est nulle

0 = A+Tm/ d'où A = -Tm/

par suite : (t)=Tm/ [ 1- exp ( - t / J) ] ; constante de temps = J/ .

la tangente à l'origine a pour coefficient directeur : (d/dt) t=0 = 0 /.

cette tangente coupe l'asymptote =0 à l'abscisse t = .

application numérique :

= 1500 /60 *2 = 157 rad/s.

= 3 / 157 = 0,019 N m rad-1.

= 0,012 / 0,019 = 0,631 s.

puissance mécanique ( en régime permanent ) du couple moteur : Pm = Tm = 3*157 = 471 W.

courbe représentative des variations de :


J d /dt = - soit J' + = 0


108

solution générale de l'équation différentielle :

=A exp ( - t / J)

déterminer la constante sachant qu'à t = 0, la vitesse angulaire est =Tm/

A= Tm/ . d'où (t)=Tm/ exp ( - t / J)

avant arrêt le moteur effectue une rotation d'angle 1 tel que:

nombre de tours avant arrêt : N1 = 1 / (20 / (2

N1 =15,7 tours


J d /dt = Tf- soit J' + = Tf.(2)

solution générale de l'équation différentielle sans second membre :

=A exp ( - t / J)

solution particulière de (2) : = Tf /.

solution générale de (2) : =A exp ( - t / J)+ Tf /. .

déterminer la constante sachant qu'à t = 0, la vitesse angulaire est =Tm/

= A+ Tf/ . d'où A= -Tf/ .

(t)= -Tf/ exp ( - t / J)+ Tf / .

à l'arrêt = 0

0 = -Tf/ exp ( - t2 / )+ Tf / .

remplacer par Tm/et multiplier par :

-Tf / (Tm-Tf ) = exp ( - t2 / )

ln [Tf / (Tf-Tm ) ] = - t2 /

t2 = ln [(Tf-Tm ) / Tf ).

application numérique : t2 = 0,631 ln [(-1-3) / (-1)] = 0,631 ln 4 = 0,874 s.

nombre de tours effectués avant l'arrêt :


109

2 = (Tf t2 + Tm ) / .

N2 = 2 / (2)= (-1 *0,874 + 0,628 *3) / (0,019*6,28)= 8,46 tours.

Une roue pleine et homogène de masse M, rayon R, centre G, roule sans glisser sur un plan incliné d'angle . Nous prenons pour axe OX orienté vers le bas la droite formée par les projetés de G sur le plan incliné. La roue reste verticale. Soit X(t) l'abcisse de A et de G sur OX, avec X=0 à t=0. On se propose de > trouver l'accélération Ax de son centre de masse en appliquant à la roue les principes de la dynamique des solides.

1. Ecrire le théorème de la quantité de mouvement et en déduire deux relations reliant les composants T et N de la réaction R du plan, au poids mg de la roue et à l'angle .

2. On a le droit d'écrire le théorème du moment cinétique par rapport au point G.a) En déduire une troisième relation reliant Tà l'accélération angulaire d/dt.Retrouver la valeur de Ax en fonction de g et de à partir du théorème de l'énergie cinétique.b) Donner la valeur de T et N en fonction de mg et . A partir de quelle valeur de la roue ne peut elle plus rouler sans glisser si le coefficient dynamique est 0,5?

3. La roue est soumise à son poids, à l'action du plan décomposée en une action 4. normale au plan N et une action parallèle au plan T , de sens contraire à la vitesse.

corrigé

somme vectorielle des forces = masse fois vecteur accélération de G

sur un axe perpendiculaire au plan l'accélération est nulle (pas de décollage)N = mg cos (1)sur un axe parallèle au plan orienté vers le bas:-T + mg sin = m Ax (2)le signe moins traduit une force de freinage théorème du moment cinétique en G, centre d'inertie de la roue:T* rayon= I d/dt avec I = ½m r² roue cylindrique pleine.T= ½ mr d/dt avec Ax = r d/dt soit T = ½ mAx (3)les moments des autres forces , poids et N sont nuls car leur direction


110

rencontrent l'axe de rotationrepport ci-dessus en (2)

-½mAx + mg sin = m Ax d'où Ax =2/3 g sin et T = 1/3 mg sin . il n'y a pas de glissement tant que T inférieure ou égale à f N1/3 mg sin <= 0,5 mg cos tan <= 1,5 soit <= 56,3°.

retrouver l'accélération de G à partir du th de l'énergie cinétique :au départ , pas d'énergie cinétique, la vitesse étant nulle à une date t : Ec fin =½ mv² + ½ I².avec I=½ mr² et =v/r d'où : Ec fin = ½ mv² + ½ ( ½mr² v² / r²)= 0,75 mv²variation d'énergie cinétique : 0,75 mv²seul le poids travail tant qu'il n'y a pas glissement

5. W poids = mg AB sin.6. par suite 0,75 mv² = mg AB sin.7. v² = 2(2/3 g sin ) AB8. relation du type : v² = 2Ax AB alors Ax = 2/3 gsin .

Les frottements sont négligés. Le petit solide de masse m se déplace sur l'arc de cycloïde dont les équations paramétriques sont : x= a(+sin) et y=a(1-cos). a est une constante et varie de - à + .

1. Exprimer la longueur d'un déplacement élémentaire ds en fonction de a, et d puis l'abscisse curviligne OM = s en fonction de a et .

2. Exprimer l'énergie mécanique du mobile en fonction de s et s'.

3. Etablir l'équation différentielle relative à s en dérivant par rapport au temps l'expression précédente. En déduire la période T du mouvement.

4. A l'instant initial t=0, =M ( position M0) la vitesse initiale est nulle. Quelle est la vitesse de passage en O ? Quelle est la durée du parcours M0O ?

corrigé

déplacement élémentaire ds = racine carrée (dx²+dy²)


111

x= a(+sin) d'où dx = a(1+cos)d ; y=a(1-cos) d'où dy =a sind ;

ds² =a²[(1+cos)²+ sin²)d ² = a²(2+2cos)d ² =2a²(1+cos)d ² =4a² cos² (½)d ²

ds = 2a cos (½)d .

longueur de l'arc OM: intégrer entre et . (primitive de cos (½) : 2 sin (½) )

énergie mécanique = énergie potentielle + énergie cinétique

Le solide de masse m est soumis à son poids et à la tension du fil ( celle-ci ne travaille pas, elle est perpendiculaire à la vitesse)

énergie potentielle Ep= mgy avec y altitude de M

Ep= mga(1-cos) = 2mg a sin²(½) = 2mga [s/(4a)]2 = mg s2/(8a)

énergie cinétique Ec= ½ms'2 ; énergie mécanique E= ½ms'2 +mg s2/(8a).

équation différentielle :

l'énergie mécanique est constante ( seul le poids travaille) dE/dt = 0

0 = m s" s'+ mg s s'/(4a) ; 0= s"+g/(4a) s.

équation différentielle d'un oscillateur harmonique de pulsation telle que 2 = g/(4a)

période T= 2 = 4 [a/g]½, valeur indépendante de l'amplitude M.

vitesse de passage en O : date de ce premier passage en O : t = 0,25 T = [a/g]½

l'énergie mécanique initiale est sous forme potentielle : 2mg a sin²(½)

l'énergie mécanique finale est sous forme cinétique ( O : origine de l'énergie potentielle) : ½mv²

l'énergie mécanique se conserve : ½mv² = 2mg a sin²(½)

v² = 4g a sin²(½)


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Polycope IAP 2011