Optimal Sup-Spé. Le n°1 en Sup-Spé

Polycopié de préparationaux Oraux

Maths Spé - Concours 2018

Quelques conseils généraux pour se préparer

Premier conseil : lire ce polycopié en entier !

Vous trouverez dans ce polycopié nos propres conseils, mais aussi les rapports de jury de l’année 2017 de toutes lesécoles concernées, puis des exercices d’oraux. Ne vous précipitez pas sur les exercices tout de suite : commencez parlire les conseils ainsi que les rapports de jurys des différentes écoles. Ne lisez pas seulement les rapports de jury desécoles que vous préparez en priorité : lisez tout. En effet, vous comprendrez d’autant mieux les attentes des jurys, leserreurs à ne pas commettre et les clés d’un oral réussi qu’en lisant ce qu’ils écrivent. De nombreux candidats, pensantqu’une épreuve orale se résume à la démonstration d’un niveau convenable, commettent l’erreur de n’accorder à cesrapports de jury qu’une attention légère. Cette attitude n’est pas sérieuse. Pour réussir les oraux, vous devez mettretoutes les chances de votre côté et travailler autant la forme que le fond. Quel que soit votre niveau actuel, assimilerles codes des épreuves orales est une des clés de votre réussite à ces épreuves.

Un impératif : réviser le cours

La préparation à l’oral de mathématiques commence nécessairement par la révision complète du cours, et nombreuxsont les rapports de jury déplorant les lacunes dans ce domaine. Il est donc impératif de revoir l’ensemble du programmepour connaître parfaitement l’ensemble des théorèmes du cours et les propriétés en découlant. Précisément, il estimportant de distinguer clairement les hypothèses des conclusions dans l’application d’un théorème, de citer avecprécision les hypothèses minimales des théorèmes utilisés, et de faire la différence entre une définition, une propriétéou une caractérisation. Il est également conseillé de revoir le nom de quelques lettres grecques (voir alphabet grecci-joint).

Réussir la phase de préparation

D’un point de vue pratique, l’épreuve se déroule (mis à part à l’école Polytechnique où il n’y a pas de préparation)en deux temps : la préparation et la présentation. Il faut bien sûr réussir ces deux phases pour réussir l’oral et obtenirune bonne note.

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Les formats d’oraux de chaque école

Le temps de préparation est différent selon les écoles. Ci dessous une synthèse des formats des épreuves, à compléteravec les lectures attentives des rapports de jury correspondants :

— A l’ ENS : 30 minutes de préparation et 30 minutes d’exposé, portant sur un sujet souvent difficile, parfois long.Il peut arriver que l’exercice en lui même ne soit pas difficile mais que son énoncé soit déstabilisant, moyenpour le jury de juger le recul que porte le candidat sur les notions qu’il a apprises durant l’année.

— A l’ Ecole Polytechnique : aucune préparation et 50 minutes d’exposé. Cet temps est tout compris (y comprisle temps de donner à l’examinateur sa convocation, qu’il faut donc avoir en main dès l’entrée dans la salle).Un des principaux attendus du jury est la capacité du candidat à faire preuve d’initiatives intelligentes pourrésoudre des problèmes souvent originaux.

— Aux Mines : chaque candidat tire au sort un sujet comportant un ou plusieurs exercices. Il dispose d’un temps depréparation de 20 minutes. Ensuite, pendant 30 minutes, il présente oralement ses résultats devant l’examinateurqui peut lui poser des questions, ou un autre exercice portant sur d’autres parties du programme.

— A Centrale : les deux oraux de mathématiques sont très différents. Le premier oral ne porte que sur le programmed’algèbre et de géométrie. Il donne lieu à une préparation de 30 minutes, sur un ou deux exercices, et à unpassage de 30 minutes. Le deuxième oral se déroule de la même façon mais l’outil informatique est mis à ladisposition des candidats, qui sont invités à en faire usage.

— Aux CCP Filière MP : 25 minutes de préparation sur deux exercices notés respectivement sur 8 et 12 points,dont l’un est obligatoirement issu de la banque publique d’exercices disponibles sur ccp.scei-concours.fr ou surnotre site www.optimalsupspe.fr/oraux-ccp/

— Aux CCP Filière PC : 30 minutes de préparation sur un exercice "majeur" noté sur 14 points. Après environ 20minutes de passage, un second exercice (exercice "mineur" noté sur 6 points) est donné aux candidats qu’il s’agitde traiter cette fois sans préparation. Cet exercice sans préparation porte sur un thème différent de l’exerciceprincipal. La capacité de réaction du candidat face aux aides données par les examinateurs est essentielle dansce genre d’exercice.

— Aux CCP Filière PSI : 30 minutes de préparation sur deux exercices dont le barème est variable.— Autres écoles : le format des autres épreuves est le plus généralement analogue aux précédents : 30 minutes de

préparation et 30 minutes de passage.

Quelques conseils pour une préparation optimale

Le temps de préparation doit être mis à profit pour préparer l’oral qui suivra. Les examinateurs n’attendent pas unerésolution complète au brouillon, mais plutôt la saisie des idées-clés du problèmes posé, de chacune de ses questions etréponses.Il est conseillé de lire en entier l’énoncé : repérer les questions "faciles", noter les théorèmes auxquels chaquequestion semble renvoyer, et résoudre les questions dans l’ordre. La difficulté des questions est généralement croissanteet l’ordre des questions est respecté lors du passage. Lors de la préparation, il vaut mieux ne pas tout rédiger (saufles calculs) pour pouvoir avancer. Il faut faire attention au temps. Si l’on est sûr que l’on sait résoudre une question,inutile de la traiter durant la préparation, on pourra exposer directement son raisonnement et les résultats au jury.Dans l’idéal, il faut avoir des pistes sur toutes les questions du problème, ce qui suppose de les avoir lues. Comme lorsdes épreuves écrites, il importe de saisir les enchaînements logiques du problème posé, la réponse à une question setrouvant parfois dans les questions précédentes. Numérotez vos pages pour ne pas perdre de temps dans vos notes encas de stress lors du passage. Comme lors du passage en lui-même, si vous ne réussissez pas une question, n’hésitezpas à envisager ou noter quelques pistes : cas particuliers, schémas, exemples... autant de pistes qui pourront vous êtreutiles lors du passage.

Réussir le passage

Après la phase de préparation vient le "passage" à proprement parler. Rappelons d’abord qu’il s’agit d’une épreuveorale : il faut donc veiller à être clair et dynamique, à parler distinctement au jury (en le regardant) et à ne pas resterscotché à ses notes. Veillez à mettre en évidence les méthodes et les idées, la démarche suivie (inspirez-vous de votreprof d’Optimal Sup-Spé !) Il faut trouver un juste équilibre entre un mutisme total et un flot de paroles ininterrompu :le jury apprécie de savoir où en est le candidat de ses réflexions, mais il n’est pas sûr qu’il soit dans l’intérêt du candidatde raconter tout ce qui lui passe par la tête. Nous vous conseillons d’indiquer dès le début quelles questions vous avezrésolues. Sachez aussi qu’il est contre-productif de "ralentir" pour espérer éviter les questions les plus délicates. Cetteattitude sera toujours sanctionnée par le jury, et vous aurez toujours intérêt à traiter (si possible correctement) un

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maximum de questions.

Veiller au langage mathématique employé à l’oral

La précision exigée dans la connaissance du cours doit se retrouver dans la formulation du candidat : même s’ilne lui est pas demandé de toute rédiger (il arrive que l’on demande directement le résultat d’un calcul fastidieux),il faut veiller à la rigueur du vocabulaire. Quelques exemples : ne pas dire "retourner" pour "inverser" ; "en haut eten bas" pour "au numérateur et au dénominateur", "s’annulent" pour "se simplifient", "nécessaire" pour "suffisant"et réciproquement, "supérieur" pour "strictement supérieur", "faire passer de l’autre côté" pour "soustraire membreà membre", etc. Noter également qu’à l’oral, le quantificateur "@x P R ne se lit pas "pour tout x appartient à R",mais "pour tout x appartenant à R", ou plus simplement "pour tout réel x". De façon analogue, n! ne se lit pas "nfactorielle" mais "factorielle n".

Gérer efficacement son tableau

Il est bon de s’écarter régulièrement du tableau pour laisser voir l’examinateur ce qu’on y a écrit. N’hésitez pas àprendre vous mêmes du recul sur votre tableau, et à utiliser une autre partie du tableau pour résoudre une difficultéou un calcul. Enfin, n’effacez pas trop vite ce que vous avez écrit au tableau. De nombreux candidats effacent desméthodes qu’ils croient fausses sous prétexte d’une remarque du jury qu’ils ont mal comprise, avant de tout réécrireune seconde fois, perdant ainsi un temps précieux et énervant le jury.

Prendre du recul

Au-delà du cours lui-même, il est souvent reproché aux candidats de manquer de recul, notamment dans l’interpré-tation des résultats ou dans leur application concrète. Rappelons à toutes fins utiles que certaines difficultés rencontréesrelèvent le plus souvent du bon sens : il est donc fortement déconseillé de s’obstiner à défendre un résultat absurde.En revanche, le jury appréciera un test élémentaire, permettant de vérifier un calcul ou de rectifier une erreur : casparticulier, schéma, signe... et pardonnera alors plus facilement une faute de calcul ou de raisonnement.

Penser à proposer des schémas

Le candidat ne soit pas hésiter à recourir à un schéma pour éclairer une situation ou un argument : suite dela forme "un`1 “ fpunq", solutions d’une équation, comparaison série-intégrale, somme de Riemann, tableau devariations et allure de la courbe représentative, inégalités de convexité, cercle trigonométrique, parties ouvertes etfermées, inclusion de sous-espaces vectoriels, projecteur, procédé d’orthonormalisation de Schmidt, extrema d’unefonction de deux variables... des schémas sont parfois explicitement demandés mais il est toujours fortement appréciéd’en proposer un au jury.

Dialoguer avec le jury de façon constructive

Il faut éviter de multiplier les excuses et amabilités avec le jury ("désolé", "pardon", etc.) Lors de l’oral, vous nedevez pas attendre de l’examinateur ni qu’il valide systématiquement vos résultats ni qu’il fasse l’exercice à votre place.Vous devez commencer par exposer de façon claire, concise et précise ce que vous avez réussi à faire Il est apprécié deproposer une autre méthode, si elle est pertinente, même si l’on a réussi la question.

Pensez que de nombreuses réponses peuvent être données oralement (théorèmes, résultats des calculs, en précisantles arguments importants), et permettent donc d’avancer plus vite. Vous avez le droit de demander au jury s’ils sou-haitent que vous détaillez les calculs, et agir en fonction de leur réponse.

Sur les questions que vous avez partiellement réussies, vous devez présenter votre démarche, vos éventuels résultatsintermédiaires, et vos pistes de recherches. Le jury pourra ensuite vous interroger ou vous guider. Vous devez alorsécouter attentivement les questions posées par le jury pour ne pas répondre "à côté", ce qui est toujours énervant.Vous devez également rebondir sur ce que vous propose le jury. N’hésitez pas à proposer des pistes non pertinentes,mêmes non abouties. Ne répondez pas trop vite ou de façon trop brutale ("oui", "non") aux questions du jury : soyezréfléchi et posé ; apportez des réponses précises, argumentées et structurées. Vous laisserez ainsi une bonne impressionau jury.

Que faire lorsqu’on ne sait pas

En cas de difficulté, le candidat doit avoir la franchise de dire qu’il ne sait pas, et profiter alors des aides éventuellesdu jury. Tous les conseils précédents s’appliquent bien sûr (pistes de recherche, cas particuliers, exemples, schémas...).

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Il ne faut en aucun cas affirmer que votre professeur n’a pas traité tel ou tel point du programme. Le jury accordedavantage d’importance aux réactions du candidat qu’au fait de l’avoir aidé.

Après l’oral...

En sortant de la salle, efforcez-vous de ne plus y penser. Chaque épreuve est unique. Si vous voulez réussir vosoraux, vous devez réussir toutes les épreuves, et même si vous avez le sentiment d’en avoir raté une, voire deux, il fautrester concentré au maximum. C’est ainsi que vous réussirez à gagner le point supplémentaire qui fera peut-être ladifférence au final. Si vous pensez qu’un point de cours vous a manqué, vous pouvez réviser votre cours après l’oral,mais uniquement dans l’objectif de réussir les épreuves suivantes. N’hésitez pas également à nous contacter pour nousposer des questions : maths@optimalsupspe.fr, ou bien 01 40 26 78 78. Dans tous les cas, nous restons disponiblessi vous avez besoin d’un document, d’un conseil, d’un rapport de jury complémentaire ou de toute précision sur ledéroulement des oraux.

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Contenu du polycopié de préparation

Vous trouverez ci-après :

1) Des Rapports de Jury :— Rapport de jury 2017 ENS Ulm MPI— Rapport de jury 2017 ENS Ulm Lyon Cachan MPI - MP Info— Rapport de jury 2017 X MP— Rapport de jury 2017 MINES MP— Rapport de jury 2017 MINES PC— Rapport de jury 2017 MINES PSI— Rapport de jury 2017 CENTRALE MP— Rapport de jury 2017 CENTRALE PC— Rapport de jury 2017 CENTRALE PSI— Rapport de jury 2017 CCP MP— Rapport de jury 2017 CCP PC— Rapport de jury 2017 CCP PSI— Rapport de jury 2017 BANQUE PT— Rapport de jury 2017 E3A - ENSAM PSI

2) Quelques Documents utiles :— Alphabet grec— Mémento Bases Python— Des Exercices posés aux oraux :— Exercices posés au concours des ENS— Exercices posés au concours de l’Ecole Polytechnique— Exercices posés au concours Centrale— Exercices posés au concours des Mines— Quelques exercices posés aux concours CCP, dont vous trouverez a totalité sur www.optimalsupspe.fr/oraux-

ccp/

Candidats de la filière PT : un polycopié spécial existe, nous contacter.

Corrigés : des corrections sont parfois disponibles et peuvent vous être adressées sur demande. Pour recevoir lacorrection d’un exercice (après avoir d’abord cherché à le résoudre), merci de nous préciser la référence du ou desexercice(s) concerné(s) par mail à notre adresse maths@optimalsupspe.fr.

Nous vous souhaitons la meilleure réussite possible pour ces oraux.

Toute l’équipe d’Optimal Sup-Spé.

Épreuve Oral Maths UlmRapport du jury

François Charles et Nicolas Curien

1. Déroulement de l’épreuve

Un des buts de l’oral MPI Ulm est d’évaluer, outre les connaissances et la maîtrise technique

des candidats, leur capacité à comprendre, à interpréter et à réagir dans des situations mathé-

matiques nouvelles. L’oral s’écarte ainsi parfois du format traditionnel et prend généralement la

forme d’un dialogue entre l’examinateur et le candidat. Le candidat est informé dès le début de

l’épreuve que l’exercice de mathématique n’est qu’un prétexte à la discussion et que c’est celle-ci

qui sert de base à l’évaluation. Il n’est donc pas obligatoire de résoudre en entier l’exercice pour

réussir l’oral et certaines questions sont posées sous forme ouverte afin de tester les réactions du

candidat.

Lors de cette session 2017, les candidats étaient confrontés à un problème mathématique,

d’énoncé souvent court, et dont la solution nécessitait un cheminement généralement com-

plexe. Après quelques minutes de réflexion, l’examinateur interroge le candidat sur les approches

possibles, les cas particuliers traitables, les exemples instructifs, etc. Suit un dialogue où l’exami-

nateur questionne le candidat ou propose des pistes de réflexions. L’exercice « principal » était

généralement interrompu quelques minutes avant la fin de l’oral pour poser des questions de

cours ou de petits exercices sur d’autres parties du programme.

2. Commentaires généraux

Niveau général : le niveau mathématique des candidats interrogés lors de cette épreuve

reste très élevé ; la sélection à l’écrit a visiblement été efficace. Cela permet de poser des exercices

au contenu mathématique ambitieux lors de cet oral. Nous tenons à remercier tous les candidats

qui nous ont donné l’occasion d’avoir un échange d’un réel intérêt scientifique.

Sur le cours : les réflexes de taupe et les exercices classiques font partie du bagage d’une

grande majorité des candidats. En revanche, la connaissance en profondeur du cours de MPSI et

MP reste parfois insuffisante. En effet bien que la plupart des candidats connaissent les énoncés

des théorèmes au programme, leurs démonstrations sont parfois floues, imprécises ou oubliées.

Les candidats sont souvent incapables de produire des contre-exemples aux théorèmes au pro-

gramme une fois qu’une des hypothèses est relâchée. Même si la manipulation des objets au

programme est généralement bonne, leur définition précise est parfois oubliée.

à propos du hors-programme : tous les exercises posés étaient accessibles avec le pro-

gramme de MP

et aucun complément hors programme n’était requis dans la compréhension ou

la résolution de l’exercice. Bien sûr, les très bons élèves qui maîtrisent plus que le programme

peuvent occasionnellement être avantagés dans la résolution des exercices. En revanche la mé-

connaissance du programme strict au profit de compléments plus avancés a certainement désa-

vantagé certains candidats. Si par exemple un candidat utilise du hors-programme pour résoudre

une question « facile » et accessible, il s’expose à des questions plus pointues sur les outils utilisés

(si un candidat utilise par exemple le théorème de Jordan pour résoudre une question d’algèbre

linéaire simple, il ne s’étonnera pas qu’on lui en demande la preuve et qu’on le questionne sur la

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nécessité de toutes les hypothèses).

Comment débuter un exercice : l’abord d’un exercice difficile est peut-être la partie la

plus épineuse de cet oral. Les candidats devraient plus souvent avoir le réflexe de prendre des

cas particuliers, faire des dessins, renforcer les hypothèses, établir des résultats partiels. Il est

arrivé plusieurs fois qu’après une dizaine minutes de réflexion du candidat, le jury soit obligé de

proposer l’étude des cas triviaux n = 1 ou n = 2 ou de tenter de faire le lien avec des théorèmes

au programme.

Quelques exemples d’exercices

Nous avons choisi ici quelques exercices posés lors de cette session que nous n’avons pas

retrouvés dans les livres classiques d’exercices de taupe (d’où la sur-représentation des exercices

de probabilités, d’algèbre et de géométrie).

Exercice 1 (Entropie au sens de Shannon). Soit (E, p) un espace probabilisé fini. Pour toutn 1, on munit E

n de la mesure produit p

n(x1, . . . , xn) = p(x1) · · · p(xn). Montrer que pour

tout " 2 ]0, 1[, si on note

S"(n) = infCard(A) | A E

n tel que p

n(A) 1 ",

alors 1n logS"(n) converge lorsque n ! 1 vers une quantité indépendante de " et en donner une

expression.

Exercice 2 (Existence de racines carrées). Soit k un corps et soit (k

)

2 le groupe multiplicatifdes carrés de k

. Une racine carrée est un morphisme de groupe

r : (k

)

2 ! k

tel que pour tout x 2 (k

)

2, on ait r(x)2 = x. Discuter l’existence et l’unicité des racines carréesdans le cas où k = R,C,Q,Z/pZ avec p premier.

Exercice 3 (Un théorème de Kakutani). Soit (Xi)i1 une suite de variables aléatoires indépen-dantes (pas forcément identiquement distribuées) à valeurs dans R

+ et telles que E[Xi] = 1 pourtout i 1. Montrer que

nY

i=1

Xi(P)!

n!10 ()

1Y

i=1

E[p

Xi] = 0.

NB : la notion de convergence en probabilité vers une constante était rappelée en début d’oral.

Exercice 4. Soit L1, L2, L3, L4 quatre droites de R3 en position générale (donner un sens ma-thématique à cette condition faisait partie de l’exercice). Combien peut-on trouver de droites L

qui coupent L1, L2, L3 et L4 ?

Exercice 5. Soit (Xi)i1 une suite de vaiid à valeurs dans 0, 1, 2, . . .. On poseRn = Card(X1, . . . , Xn).

— Montrer que E[Rn] = o(n) en général.— Montrer que si E[X1] < 1 alors E[Rn] = o(

pn).

— Discuter l’optimalité de ces résultats.

Exercice 6. Étant données des matrices X et Y , on note [X,Y ] = XY Y X. Soit A,B 2Mn(C) telles que [A, [A,B]] = 0. Montrer que [A,B] est nilpotente.

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Banque MP inter-ENS

Rapport sur sur l’oral de Mathématiques

Oral commun ENS Paris-Saclay - ENS de Lyon - ENS (Paris) - ENS de Rennes

Session 2017

Coefficients (en % du total d’admission) :

— Paris-Saclay MPI 15,4 % ; Info 13,2 %— Lyon : MPI 10,8 % ; Info/M 12,7 %— Paris : MPI/MP 13,9 % ; Info 13,3 %— Rennes : MPI 15,4 % ;

Le jury de cette épreuve était constitué de Adrien Deloro, Bénédicte Haas, AymanMoussa et Guillaume Poly. 456 candidats ont passé l’épreuve.

1 Déroulement des épreuves

1. Chaque candidat était interrogé au tableau par l’un des examinateurs, sans temps depréparation. La durée officielle d’une interrogation étant de 45 minutes, le tiers-tempsouvrait le droit à un quart d’heure supplémentaire.

2. La question posée et après dix premières minutes sans interagir aucunement, l’examina-teur commençait — si nécessaire — à assister le candidat.

3. Cette phase de résolution supervisée occupait la plupart de la planche ; on retiendra déjàqu’une résolution supervisée n’est pas une résolution guidée.

4. En cas d’achèvement, un deuxième exercice a pu être proposé. C’était toujours bon signe.Inversement, l’abandon complet par le jury d’un exercice est resté rarissime et réservéaux très mauvaises performances.

5. Il arrivait aux examinateurs de conclure par une question de cours.

Détaillons les points ci-dessus.

1.1 Formulation de l’exercice

Le jury pouvait avoir deux attitudes : pour un énoncé long, l’avoir préalablement inscritau tableau ; ou le dicter au candidat. Dans ce second cas l’évaluation commençait dès alors,et pour plusieurs raisons.

– Manifester une certaine indépendance de notations n’est pas une mauvaise chose ; lerisque étant néanmoins de renommer à la volée la moitié seulement de l’énoncé. Lescandidats par exemple ayant décidé que la solution de l’équation différentielle s’appelait

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y(x) au lieu de x(t) ont perdu pied dès l’introduction d’un polynôme P (X), la notationde l’examinateur étant pourtant supposée les aider.

– Le candidat qui omet de transcrire certaines des hypothèses (malgré la répétition pres-sante) court toujours le risque de les oublier par la suite. Au demeurant ne pas daignernoter qu’une fonction est continue donne l’impression de tenir pour acquis qu’elles lesont toutes.

– La dextérité dans l’emploi de l’appareil de notations est inégalement partagée. Or lamaturité technique est mesurable aussi d’après le recul face au langage mathématique.Ainsi l’un des postulants a de bonne foi noté L(G) l’ensemble des endomorphismes d’ungroupe G : la double terminologie en algèbre linéaire l’ayant induit en erreur.

1.2 Les dix premières minutes

Le jury s’astreignait à dix minutes de mutisme et même d’impassibilité, n’engageant nine laissant s’engager d’emblée le dialogue. Ce premier temps a toujours fourni des indicationsprécieuses non seulement sur l’autonomie du candidat mais aussi sur son pouvoir d’intuition.Et malgré l’apparente hostilité du procédé (déplaisant autant pour l’examinateur que pour lepostulant), il n’a pas semblé déstabiliser de candidat.

Il est en effet intéressant de voir comment part le candidat face à un problème qu’onsuppose entièrement nouveau pour lui. La résolution directe d’un exercice de type é.n.s. n’estpas nécessaire à l’obtention d’une note correcte ; seule la planche excellente se passe ainsi ; nousy reviendrons. Lors à défaut d’une épiphanie soudaine, on attend du candidat de la méthode,de l’autonomie, et un certain dynamisme.

Méthode. L’assimilation d’un problème se fait souvent par commentaire et simplification,de manière lucide et posée.Un but essentiel de l’oral est de juger de la capacité du candidat à analyser un problème.Comprendre où se situe la difficulté, faire des parallèles avec d’autres problèmes déjàconnus, discuter du problème dans des cas particuliers pertinents est très apprécié. Àce titre, prendre quelques minutes pour étudier l’énoncé sans se lancer tambour battantdans des calculs ou un raisonnement formaté peut être une bonne option. Un énoncécontenant un entier naturel ne s’établit pas toujours par récurrence ; l’introduction d’unebase ne simplifie que rarement un problème d’algèbre linéaire ; on ne dérive pas têtebaissée une fonction seulement supposée continue.Faire des dessins, même dans des cas particuliers, même de façon simpliste, est souventinspirant. Il est frappant de constater que nombre de candidats sont immédiatementdébloqués quand l’examinateur leur suggère de faire un dessin. Ce devrait pourtant êtreune initiative naturelle.Le jury voudrait insister sur la vanité d’une foi trop littérale en cette méthodologie debon sens. Paraphraser l’énoncé, en se contentant de rappeler les définitions ; le simplifierà outrance pour n’aborder qu’un cas manifestement trivial ; esquisser des petits dessinssérigraphiés sans lien avec le problème, sont des « trucs » qui ne feront pas longtempsillusion. Il est aisé de paraître profond et de présenter les caractères extérieurs d’uneméthodologie supérieure pendant deux minutes : or dix minutes sont assez pour que telnuméro tourne à vide.

Autonomie. Le jury attend des candidats un certain sens de l’initiative. Rester muet parcequ’on n’a pas la solution totale de l’exercice dénote un certain manque de maturité

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scientifique. De même proposer de nombreuses pistes différentes afin que le jury enchoisisse une, montre un défaut d’autonomie.Rappelons que le niveau des oraux d’é.n.s. étant élevé, les exercices nécessitent engénéral un raisonnement long et progressif. Le jury en a pleinement conscience et attenddu candidat qu’il lui montre son aptitude à raisonner, même si ce raisonnement estincomplet.

Dynamisme. Les examinateurs ont été surpris de l’attitude passive de certains candidats,qui semblent attendre qu’on leur dise quoi faire. Ne montrer aucune motivation dans sonattitude fait bien sûr mauvaise impression.De même l’emploi d’un ton interrogatif dans l’espoir de déceler chez l’examinateur uneconfirmation ou une infirmation est à proscrire. Le jury attend des affirmations, mo-destes et révocables mais posées ; des affirmations auxquelles le candidat lui-même croitsuffisamment pour désirer les établir.Or le jury a constaté que de nombreux candidats rechignent à écrire leur début depreuve au tableau, préférant discourir et discuter le problème en un assaut d’éloquenceparfois intéressant mais souvent inefficace. Pareil excès de rhétorique ne peut que nuire.Il est louable d’expliquer sa stratégie, mais il importe aussi d’écrire progressivement sasolution, de poser nettement les choses, d’établir fermement les étapes du raisonnement :il importe de savoir canaliser son dynamisme, et de le parer de rigueur.

1.3 Corps de la planche

Un mauvais début d’oral ne disqualifie nullement, la prestation étant jugée sur toute ladurée de l’épreuve. Le candidat est donc invité à montrer persévérance et adaptabilité, qualitésindispensables au métier de chercheur auquel forment les é.n.s.

Tout ce que nous avons dit des dix premières minutes reste vrai du corps de la planche,où le dialogue est engagé. Celui-ci n’est ni la marque d’un échec, ni une planche de salutoù l’examinateur « débloque » le problème pour le candidat : le dialogue est une autre part

de l’évaluation, où l’on mesure également sa réactivité, sa capacité à remettre en doute unestratégie ; et plus généralement, les germes de sa future habileté au débat scientifique. Celaétant mené sans pour autant brader l’exigence de rigueur.

Réactivité. L’aptitude du candidat à juger qu’une piste est mauvaise et à se relancer sur uneautre voie contribue à améliorer la note.Idem, admettre au cours d’un long raisonnement que l’on n’a pas tout à fait saisi uneétape est un signe d’honnêteté scientifique appréciable et qui profite généralement aucandidat pour mener à bien son oral : la découverte en fin de planche d’une incompré-hension profonde (soigneusement camouflée) de l’exercice étant l’une des pires situationspossibles.

Rigueur. Le dialogue n’est pas une simple discussion qualitative.Entretenir un certain flou est la meilleure façon de commettre des erreurs et de ne pasconvaincre l’examinateur. Au contraire, une argumentation claire, progressive, avec uneffort de rédaction est fortement valorisée.Le jury a d’ailleurs toujours exigé tôt ou tard un moment de technicité pure — lesexplications moins drapées de la rigueur la plus stricte, n’étant consenties qu’au candidatayant déjà montré sa valeur technique.

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Rappelons enfin que la résolution complète ne joue pour ainsi dire qu’à la marge, et permetde distinguer les bons candidats des très bons, la note de 15 étant parfaitement accessible surun exercice incomplètement traité.

La perception qu’a le candidat de sa prestation est d’ailleurs souvent fausse ; la notationtient naturellement compte de l’inégale difficulté des exercices posés lors de la session d’oraux.Cette dernière remarque doit encore inciter le candidat à rester jusqu’au bout concentré etmotivé.

Avouons enfin qu’une erreur s’était glissée dans l’un de nos énoncés. Si pareille situationest toujours possible, nous en tenons compte dans la notation de sorte qu’un candidat ayantplanché sur un énoncé faux n’est jamais désavantagé. Un candidat qui décèle le problème esten revanche récompensé.

1.4 Sur le cours

Le jury attend une connaissance et une compréhension impeccable du cours ; ainsi qu’unevision claire des articulations entre ses différentes parties. On attend du recul. Le candidat qui

se contente d’apprendre des théorèmes en vue de les appliquer n’a tout simplement pas le profil

cherché.

Mais encore faut-il les apprendre, et la mention, par un candidat, du théorème de Heinepour les fonctions continues sur des ensembles connexes par arcs fait encore jaser (que seserait-il passé sur un ensemble seulement connexe? les examinateurs sont perplexes). Il nousparaît superflu d’insister sur ce point : le cours doit être su.

À l’inverse, la mention de connaissances hors-programme pertinentes a pu être appréciéede l’examinateur, si elle apportait quelque chose à la discussion et qu’elle était faite avec lesprécautions nécessaires. Un candidat par exemple a dû contourner l’emploi de la mesure deLebesgue dont il voyait bien qu’elle eût simplifié le problème ; un autre a cherché un argumentélémentaire pour faire l’économie du théorème des nombres premiers qui dirigeait son intuition.

Mais une vaste érudition, ou même la manifestation d’un intérêt quelconque pour les ma-thématiques n’est pas exigible. Et d’ailleurs le jury n’était pas prêt à entendre un candidatinvoquer un résultat qu’il n’eût su démontrer ; il doit reconnaître que le cas de figure était rare,et qu’une grande culture mathématique dûment maîtrisée semble être l’apanage des meilleurscandidats. On a néanmoins rencontré un ou deux aspirants — peut-être sur-préparés — ma-quillés de cuistrerie ; la stratégie n’est pas payante, pareille attitude ne disposant guère à laclémence. Le jury peut survivre en milieu hors-programme plus longtemps que le préparation-naire le plus flamboyant ou le mieux entraîné.

2 Difficultés spécifiques

Le jury a pris connaissance, avec étonnement parfois, des lacunes sur des points de coursaussi variés que fondamentaux chez de nombreux candidats. Certains postulants ignoraientpar exemple :

– la caractérisation de la continuité pour une application linéaire par son caractère bornésur la boule unité ;

– l’inégalité de Cauchy-Schwarz pour les probabilités (exemple-type de point où un peude recul sur le programme serait bienvenu) ;

4

– l’énoncé exact du Théorème de Rolle (non, la fonction ne doit pas être C 1 sur l’inter-valle !) ;

– la discussion qualitative du comportement d’une solution d’équation différentielle (qu’oneût préférée à une tentative de résolution par développement en série entière)

– le calcul différentiel dans sa quasi-totalité ; exprimer la différentielle d’une composéed’applications ou faire le lien avec la dérivée en dimension 1 ne devrait pas conduire auxobscénités auxquelles le jury a dû faire face ;

– certains rudiments même d’algèbre linéaire, une question aussi redoutablement naïveque « si deux matrices carrées A et B vérifient AB = I

n

, a-t-on BA = I

n

? » ayant étéétonnamment filtrante.

Enfin le jury a été frappé de la débâcle causée par certains énoncés réputés classiques :il semblerait exigible d’un candidat à une é.n.s. de parfaitement savoir identifier les mor-phismes continus de (R,+) dans lui-même et de reconnaître les avatars de cette descriptionpour d’autres structures (via l’application d’un logarithme par exemple).

Inversement, le jury a été favorablement surpris par la maîtrise globale de questions rela-tives à la non-dénombrabilité, malgré leur absence littérale du programme.

3 Exemples d’exercices et commentaires

Exercice. Soit A une partie de [0,1] et F un sous-espace de C 0([0,1];Rd).1. On suppose que A est fini. Donner une CNS sur F pour que dans cet espace la conver-

gence simple sur A vers 0 soit équivalente à la convergence uniforme sur [0,1] vers 0.2. Reprendre la question précédente en supposant A dénombrable.

Commentaire. L’énoncé mentionne une propriété valide dans l’espace F : on ne peut a priori

rien dire d’une suite d’éléments de F qui convergerait simplement sur A vers une fonctioncontinue f dont on n’a pas vérifié qu’elle appartenait à l’espace en question, quand bien mêmef serait constante. Sur cet exercice (et d’autres), plusieurs candidats ont “flairé” un phénomènerelevant du Théorème de Riesz sur la caractérisation des espaces normés de dimension finiepar la compacité de leur boule unité mais (devons-nous le préciser?) :

• Ce théorème n’est pas au programme.

• Évoquer un résultat élaboré sans en maîtriser les aspects élémentaires est du plus mauvaiseffet.

Le jury a eu par exemple plusieurs fois l’occasion d’entendre qu’en dimension infinie laboule unité x 2 E : kxk 1 n’est pas fermée (ou bornée, au choix).

Solution. Bien qu’effectivement nécessaire, la finitude dimensionnelle de F n’était pas la CNSattendue à la première question : le cas d’une suite constante f

n

= f 2 F impose l’injectivitéde

T : F ! Rdp

f 7! (f(t1), . . . ,f(tp)).

Réciproquement, l’injectivité de l’application précédente assure que F est de dimension finieet que f 7! kf(t1)k + · · · + kf(t

p

)k est une norme sur F , laquelle est donc équivalente à lanorme uniforme.

5

Le cas où A est infini dénombrable ne peut pas se traiter de la même manière : l’injectivitéde T ne fournit pas la finitude dimensionnelle de F et les normes ne sont donc pas équivalentes.En guise de contre-exemple on peut considérer F = Vect(x 7! sin(x) : 2 R), A =Q \ [0,1]. L’injectivité de l’application T est obtenue par continuité et la suite (f

n

)n

:= (x 7!sin(2n!x))

n

converge simplement vers 0 sur A, mais bien sûr pas uniformément sur [0,1]puisque pour tout n 1 on a f

n

(0.25/n!) = 1.

Cela invite à considérer une condition plus forte : T injective et F de dimension finie.Vérifions que cette condition est suffisante. Notons

t

la forme linéaire d’évaluation associée àt 2 A, et r le rang de Vect(

t

: t 2 A), sous-espace de F ? qui est de dimension q = dimF < 1.On dispose ainsi de t1, · · · ,tr 2 A tels que Vect(

t

: t 2 A) = Vect(t1 , · · ·tr). Puisque

l’application T est injective, il en est de même de : f 7! (f(t1), · · · ,f(tr)), laquelle va deF dans Rr : on a donc nécessairement r = q. On est alors ramené à la question précédente enremplaçant simplement A par t1, · · · ,tq.

Réciproquement, il nous reste à démontrer que si la convergence simple sur A = (tn

)n2N

implique la convergence uniforme sur [0,1], alors F est de dimension finie. Supposons donc quece ne soit pas le cas. L’application T : f 7! (f(t

n

))n2N est à valeurs dans l’ensemble `

1(N)des suites bornées (à valeurs dans Rd). On introduit le “projecteur”

p

: `1(N) ! `

1(N)(u

n

)n

7! (u0,u1, · · · ,up1,0,0, · · · ).

Lorsque p est fixé, l’application p

T ne peut pas être injective : cela voudrait dire que F

s’injecte linéairement dans Rdp, et on a supposé F de dimension infinie. On dispose doncd’une suite (f

p

)p

2 F

N d’éléments non nuls telle que pour tout p, p

(fp

) = 0. Par ailleurs,puisque f

p

est non nul, il existe s

p

2 A tel que f

p

(sp

) 6= 0 (injectivité de T , première conditionnécessaire établie). Quitte à remplacer f

p

par fp

/kf(sp

)k, nous avons donc construit une suite(f

p

)p

d’éléments de F et une suite (sp

)p

d’éléments de A telles que : fp

(tn

) = 0 si 0 n p

et kfp

(sp

)k = 1. En particulier, n étant fixé, la suite (fp

(tn

))p

tend vers 0 (puisqu’elle estnulle pour p n) : la suite (f

p

)p

converge donc simplement sur A vers 0. Par hypothèse, celaéquivaut à la convergence uniforme, ce qui voudrait donc dire que (f

p

(sp

))p

converge égalementvers 0, alors que cette suite est à valeurs dans la sphère unité de Rd.

Exercice. On rappelle que G étant un groupe et X G un sous-ensemble quelconque, lecentralisateur de X dans G est C

G

(X) = g 2 G : 8x 2 X,xg = gx. C’est un sous-groupe deG. Les deux questions sont indépendantes.

1. Soient G = GLn

(K) et X G un sous-ensemble quelconque. Montrer qu’il existe unsous-ensemble fini X0 X tel que C

G

(X) = C

G

(X0).2. Soit dorénavant G 6= 1 un groupe dont tous les éléments 6= 1 sont conjugués, i.e.

8(x,y) 2 (G \ 1)2 9g 2 G gxg

1 = y.Montrer que si un élément de G est d’ordre fini > 1, alors G ' Z/2Z.

Commentaire. La première question incarne tout ce que le candidat moyen n’aime pas :un problème de théorie des groupes apparemment abstrait, mais qui se ramène à de l’algèbrelinéaire. Or au moment où l’algèbre linéaire intervient, le candidat a déjà perdu pied. Pourquoi?Parce qu’il y a là plusieurs structures concurrentes. Pareil énoncé paraît pertinent aux é.n.s. :d’aspect fort peu technologique, il demande une certaine maturité algébrique.

La deuxième partie requérait davantage d’ingéniosité et d’initiative ; le traitement infligéa fort déplu à son introducteur.

6

Solution.

1. Idées : déplacer la question à M

n

(K) + là c’est la « théorie de la dimension ».(Déplacer la question à l’algèbre M

n

(K).) Notons M = M

n

(K), qui est une K-algèbreassociative contenant G. Rappelons que si Y M est une partie quelconque, alorsC

M

(Y ) = m 2 M : 8y 2 Y,my = ym est une sous-algèbre, et notamment un K-sous-espace vectoriel. En outre, si Y G, alors C

G

(Y ) = G\C

M

(Y ). En conclusion, il suffitde montrer qu’il existe X0 X fini tel que C

M

(X) = C

M

(X0).(Engendrement fini d’un ev. de dim. finie) Or V = Vect(X) M est de dimension finie n

2, et la partie génératrice X contient une partie génératrice minimale X0 X de V .Mais X0 est une base de V , donc de cardinal fini.

2. Idées : conjuguer à l’inverse + le groupe est en fait d’exposant 2, donc abélien.(Tout élément 6= 1 est de même ordre premier.) Soit g 2 G distinct d’ordre disons n > 1 ;si n n’est pas premier, alors décomposant n = ab en deux facteurs propres, on voit queg

a est d’ordre b. Mais il est conjugué à g, donc d’ordre n : contradiction. Donc n estpremier.(Cet ordre est 2.) Or g1 aussi est conjugué à g : donc il existe x 2 G tel que xgx1 = g

1.Notamment x

2gx

2 = g et x

2 2 C

G

(g). Mais si n 6= 2, alors x 2 hx2i C

G

(g), donc enfait g

1 = xgx

1 = g et n = 2. Cette contradiction montre que n = 2.(Commutativité, classique.) Ainsi tout élément de G vérifie g

2 = 1. Notamment si g,h 2G:

hg = h

1g

1 = (gh)1 = gh

donc G est abélien. Mais tous ses éléments 6= 1 sont conjugués : d’où G ' Z/2Z.

Exercice.

1. Soit X une variable aléatoire positive telle que 0 < E[X2] < 1. Montrer que

P(X > 0) E[X]2

E[X2].

2. Pour n 2 N et p

n

2]0,1[, on considère le modèle aléatoire suivant : pour chaque paired’entiers i,j,i 6= j, i,j 2 1, . . . ,n, les entiers i et j sont liés avec probabilité p

n

et nesont pas liés avec probabilité 1 p

n

, et ce de façon indépendante pour les n(n 1)/2paires. Un entier i est alors dit isolé s’il n’est lié à aucun entier j 2 1, . . . ,n\i. Onnote X

n

le nombre d’entiers isolés parmi 1, . . . ,n.(a) Montrer que P(X

n

> 0) ! 0 quand n ! 1 si pn

lnn/n.(b) Montrer que P(X

n

> 0) ! 1 quand n ! 1 si pn

lnn/n.Commentaire. Peu de candidats ont pensé à utiliser l’inégalité de Cauchy-Schwarz pour lapremière question. Plus étonnant, certains ne savaient pas énoncer cette inégalité en termes devariables aléatoires. L’égalité P(A) = E[1

A

], pour A un événement, n’est pas non plus connuede tous. La question 2 (a) a été assez bien traitée en général. La question 2 (b) a été abordéepar très peu de candidats.

Solution.

1. D’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz

E[X] = E[X1X>0] p

E[X2]P(X > 0),

7

qui donne bienE[X]2

E[X2] P(X > 0).

2. L’entier n étant fixé, on note A

(n)i

l’événement “l’entier i est isolé", 1 i n. Lapropriété d’indépendance dans le processus de liaison implique que

P(A(n)i

) = (1 p

n

)n1 et P(A(n)i

\A

(n)j

) = (1 p

n

)2n3 si i 6= j.

Par ailleurs

X

n

=n

X

i=1

1A

(n)i

. (1)

Notons que cette variable aléatoire ne suit pas une loi binomiale, les événements A(n)i

,1 i n n’étant pas indépendants.(a) Par linéarité de l’espérance E[X

n

] = n(1p

n

)n1. Combiné à l’inégalité de Markov

ceci nous amène à

P(Xn

> 0) = P(Xn

1) E[Xn

] = n(1 p

n

)n1.

Clairement, ce majorant tend vers 0 si pn

lnn/n (utiliser 1 x e

x

,x 2 R).(b) L’idée est d’utiliser l’inégalité établie en 1. Il reste alors à montrer que

E[Xn

]2

E[X2n

]!

n!11 lorsque p

n

lnn

n

.

En utilisant l’expression (1) et en développant le carré on obtient

E[X2n

] =n

X

i=1

E[1A

(n)i

] +n

X

i,j=1,i 6=j

E[1A

(n)i

1A

(n)j

]

=n

X

i=1

P(A(n)i

) +n

X

i,j=1,i 6=j

P(A(n)i

\A

(n)j

)

= n(1 p

n

)n1 + n(n 1)(1 p

n

)2n3.

Par suite,E[X2

n

]

E[Xn

]2=

1

n(1 p

n

)n1+

n 1

n

(1 p

n

)1.

Ce terme converge vers 1 si pn

lnn/n.

Exercice. Étant donné d 2 N?, on se donne une application f : Zd ! R et on introduit(~e1,~e2, · · · ,~e

d

) la base canonique de Rd. On dit que f est harmonique si et seulement si

8~n 2 Zd

, f(~n) =1

2d

d

X

i=1

f(~n+ ~e

i

) + f(~n ~e

i

)

Le but de cet exercice est de prouver que si f est à la fois harmonique et bornée alors f

est constante.1. Démontrez l’assertion précédente dans le cas où d = 1.

8

2. On supposera désormais d > 1, on définit alors pour ~h 2 Zd:

~

h

= sup~n2Zd

f(~h+ ~n) f(~n).

Démontrez que ~

h

0 pour tout ~h 2 Zd.3. Démontrez que

~e1 0.

On pourra considérer ~n

tel que ~e1 < f(~e1+ ~n

)f( ~n

)

~e1 .

4. Conclure.Commentaire. Aucun candidat n’a terminé l’exercice. La question 1 a été relativement bientraitée et certains candidats ont proposé une solution alternative en montrant que f(n+1)f(n) est une suite constante. A noter que certains candidats ont eu du mal à répondre à desquestions de cours simples sur les suites récurrentes linéaires et ont été lourdement sanctionnés.La question 2 a été dans l’ensemble bien résolue mais la question 3, qui concentrait la difficultéde l’exercice, n’a pas été menée au bout.

Solution.

1. En dimension un, l’harmonicité de f se réduit à la relation:

8n 2 Z, f(n) = 1

2

f(n+ 1) + f(n 1)

La relation précédente implique que la suite (f(n))n0 vérifie une relation de récurrence

linéaire d’ordre 2 donnée par f(n + 2) = 2f(n + 1) f(n). L’équation caractéristiqueassociée est x

2 2x + 1 = 0 admet 1 comme racine double ce qui implique qu’il existedeux constantes (a,b) 2 R2 telles que f(n) = an + b pour tout n 0. Or f est bornéedonc nécessairement a = 0 et f est constante égale à b sur N. En utilisant la relationd’harmonicité en 0, on montre que f(1) = b puis par une récurrence simple que f estconstante sur Z.

2. Supposons qu’il existe ~

h 2 Zd tel que ~

h

< 0. Ceci implique que pour tout ~n 2 Zd,f(~n + ~

h) f(~n) ~

h

< 0. Par conséquent, en choisissant ~n = k

~

h et en sommant lesinégalités obtenues, on obtient

f(n~h) f(0) n~

h

!n!1

1.

Cela contredit le fait que f est bornée et par conséquent ~

h

0.3. Remarquons qu’un tel ~n

existe par définition de la borne supérieure. En utilisant larelation d’harmonicité en ~n

et ~n

+ ~e1 ainsi que la définition de ~n

on obtient

1

2d

d

X

i=1

f( ~n

+ ~e1 + ~e

i

) + f( ~n

+ ~e1 ~e

i

)

> (~e1 ) +

1

2d

d

X

i=1

f( ~n

+ ~e

i

) + f( ~n

~e

i

)

.

Autrement dit, par soustraction (le 2

vient du fait qu’on a 12d devant la somme) on

récupère:

1

2d

d

X

i=1

n

f( ~n

+ ~e1 + ~e

i

) + f( ~n

+ ~e1 ~e

i

)

f( ~n

+ ~e

i

) + f( ~n

~e

i

)

2~e1

o

>

9

D’autre part, 8i 2 1, · · · ,d,

f( ~n

+ ~e1 + ~e

i

) f( ~n

+ ~e

i

) ~e1

f( ~n

+ ~e1 ~e

i

) f( ~n

~e

i

) ~e1 .

En posant ↵i

= f( ~n

+ ~e1+ ~e

i

)f( ~n

+ ~e

i

)~e1 et

i

= f( ~n

+ ~e1 ~e

i

)f( ~n

~e

i

)~e1

qui sont négatifs par ce qui précède on peut écrire successivement que

1

2d

d

X

i=1

↵

i

+

i

>

1

2d

d

X

i=1

↵

i

i

<

↵1 < 2d (On utilise ici que ↵

i

,

i

> 0)

En particulier, il en découle f( ~n

+ 2~e1) > (~e1 2d) + f( ~n

+ ~e1). Par conséquent ona démontré que

f( ~n

+ ~e1) > (~e1 ) + f( ~n

) ) f( ~n

+ 2~e1) > (~e1 2d) + f( ~n

+ ~e1).

Donc on se retrouve dans la même situation avec remplacé par 2d et ~n

remplacé par~n

+~e1. En itérant le raisonnement précédent on obtient donc f(~n+k ~e1) >

~e1 (2d)k1

+f(~n+ (k 1)~e1)..

Ainsi, en sommant les inégalités obtenues on récupère

p

X

k=1

(f( ~n

+ k ~e1) f( ~n

+ (k 1)~e1)) = f( ~n

+ k ~e1) f( ~n

) > p~e1

p

X

k=1

(2d)k1

!

.

Ainsi, pour tout p 1 et tout > 0 on a 2kfk1 p~e1

P

p

k=1(2d)k1

et néces-sairement 2kfk1 p

~e1 en faisant tendre vers 0. On fait alors tendre p vers l’infinipour conclure.

4. En combinant les deux questions précédentes on récupère que ~e1 = 0 et plus généra-

lement que ~ei = 0. Par ailleurs, il est aussi clair que f est également harmonique et

bornée donc les mêmes conclusions s’appliquent également à f . Donc

sup~n2Zd

f(~n+ ~e

i

) f(~n) = sup~n2Zd

f(~n) f(~n+ ~e

i

) = 0

pour tout i 2 1, · · · ,d: on en déduit que f(~n+ ~e

i

) = f(~n), pour tout ~n 2 Zd. Ainsi fest constante.

10

école polytechnique concours d’admission 2017

Épreuve orale de MATHÉMATIQUES, Filière MP

Les notes des candidats français se répartissent selon le tableau suivant :

Math 1

0 ! N < 4 0 04 ! N < 8 39 9,61%8 ! N < 12 155 38,18%

12 ! N < 16 169 41,63%16 ! N ! 20 43 10,59%Total 406 100 %Nombre de candidats : 406Note moyenne : 11,56Écart-type : 2,97

Math 2

0 ! N < 4 0 04 ! N < 8 38 9,36%8 ! N < 12 161 39,66%

12 ! N < 16 152 37,44%16 ! N < 20 55 13,55%Total 406 100 %Nombre de candidats : 406Note moyenne : 11,63Écart-type : 3,17

Dans l’ensemble les notions d’algèbre linéaire (théorème spectral des endomor-phismes symétriques, polynôme annulateur) et de probabilités (lois discrètes, fonc-tions génératrices, indépendance) sont les mieux maîtrisées. Certaines parties duprogramme, en revanche, sont en retrait, confirmant une tendance qui date dequelques années déjà. Ce sont notamment le calcul différentiel, l’analyse classiqueet la géométrie au sens large. Ces chapitres ont certes perdu de leur poids dansles programmes, mais restent un socle sans lequel bien des raisonnements math-ématiques deviennent inaccessibles. Nous avons été surpris de voir apparaitre denombreuses difficultés avec de simples formules de Taylor, des changements devariable pour des calculs d’intégrales, des méthodes de variation de la constante,etc.

Nous tenons à rappeler que les oraux sont de forme variable, à la fois dans lenombre et la nature des questions posées, mais aussi dans la façon dont le candidatet l’examinateur interagissent. Ces paramètres n’augurent pas, en eux-mêmes, dela réussite ou non de l’épreuve.

Face à un exercice classique, voire proche du cours, le candidat doit avancer defaçon autonome dans ses raisonnements et produire une réponse complète auxquestions posées. Face à un exercice plus difficile, le candidat est censé réagir defaçon cohérente et intelligente compte tenu des situations plus communes qu’il adéjà rencontrées au cours de sa préparation. L’examinateur peut alors choisir dele laisser développer une stratégie de résolution (même si celle-ci n’est pas la plusefficace), ou au contraire l’aiguiller vers des arguments plus adaptés. Dans tousles cas, le candidat a intérêt à rester actif tout en tenant compte des conseils del’examinateur.

1

La grande majorité des candidats manifeste de l’enthousiasme pour les problèmesdifficiles qui leur sont posés et ils savent mettre en œuvre les concepts qu’ils utilisentavec aisance, et, dans les meilleurs cas, avec une grande agilité intellectuelle.

Beaucoup de candidats semblent penser qu’ils doivent abattre le plus grand nombrepossible de questions, le plus rapidement possible ; ils ont tendance à se précipiter,à manifester et à communiquer un grand stress, regardant leur montre toute les 5minutes ... C’est une attitude qui mène le plus souvent vers de grosses erreurs. Il estbien évident que les examinateurs apprécient les candidats réactifs et dynamiques,qui ne mettent pas trop de temps sur les questions faciles, mais ils sont aussiparfaitement bienveillants en voyant le candidat se lancer dans une vraie réflexion,faire des essais, des dessins, des cas simples. Le fait que le silence s’installe pendantquelques minutes n’est en aucune manière un problème, bien au contraire (il estparfois difficile de comprendre comment certains candidats peuvent réflechir, alorsqu’ils ne s’arrêtent pas une seule seconde de parler pendant 50 minutes ...). Nousavons même eu écho que cette attitude de « remplissage » leur était conseillée danscertaines prépas. Nous insistons sur le fait qu’une telle attitude est parfois unpeu exaspérante et que nous préférons voir le candidat s’installer dans une vraieréflexion, plutôt que d’essayer de meubler en permanence.

Dans l’ensemble, le niveau des candidats admissibles en 2017 reste bon mais a étéplus hétérogène que les années précédentes. Il y a eu, comme chaque année, un lottrès important de candidats d’excellent niveau, maitrisant très bien les notions duprogramme ; par contre, nous avons tous noté un nombre conséquent de candidatsayant montré de grosses lacunes.

2

8

1. MATHÉMATIQUES

1.1. Épreuvesorales

1.1.1. FilièreMPLes oraux de la session2017 ont montré un meilleur niveau des candidats admissibles: beaucoup decandidatsexcellentsetassezpeudecandidatsextrêmementfaibles. Onpeutcependantconstaterunebaissesensibledessavoir-faire,aussibiendanslaconstructiondepreuvesthéoriquesquelorsdesmisesenœuvretechniques.Commedanslesannéesprécédentes,lesdifficultésencalcul sont toujours présentes. On voit aussi apparaître des difficultés avec les notions théoriques ouabstraites,notammentenalgèbregénérale(structures),enalgèbrelinéaire(endomorphismes)etenanalysecombinatoire. Néanmoinslamajoritédescandidatssemblentplutôtbienpréparésàl’épreuveorale,puisqueledialogue,l’écoute,levolontarismepourchercheretrésoudrelesexercicesproposéssontassezprésents. Certainscandidats,enfin,méconnaissentlesprincipesdebased’uneépreuveorale.

Rappeldesgénéralités

Ilconvientdonc,toutd’abord,derappelerlesmodalitésdel’oral.

o LesmodalitéspratiquesL’épreuve orale de mathématiques est un entretien d’une heure environ (au minimum, quarante-cinqminutesquellequesoitlaprestationducandidat).L’exposéautableaupeut,suivantl’examinateur,débuterimmédiatementouêtreprécédéd’unepréparationd’unedizainedeminutessurtable,ouaussid’unecourteréflexion de quelques minutes au tableau: chaque examinateur précise les modalités pratiques de soninterrogation(avecousanspréparation,avecousanscalculatrice). Lecandidatattenddevantlasalleindiquéesursaconvocation,puisestappeléparl’examinateur.Ildoitêtremunid’unepièced’identitécomportantunephotographiesurlaquelleildoitêtrereconnaissable,maisaussid’unstylo !Unecalculatriceestparfoisutile.

Pour toute information complémentaire, lire la Notice relative aux Modalités d’Admission auConourscommunMines-Ponts.

o Lesmodalitésd’interrogation

Lecandidatsevoitproposer,auminimum,deuxexercicesportantsurdespartiesdifférentesduprogramme.L’examinateur peut juger nécessaire de poser des questions de cours de façon directe ou bien unéclaircissementd’uneréponseincomplèteounonconvaincantesachantquel’objectifn’estpasdemettreendifficultéouensituationd’écheclecandidat.Unecertaineindulgenceestacquiseàceuxquicommettentdeserreursduesaustress.L’examinateurintervientlorsqu’illejugenécessaire,cequinedoitpasdéstabiliserlecandidat.Enrevanche,onnedoitpasattendreuneapprobationàlafindechaquephrasepourcontinuerson raisonnement. Pour gérer le temps de l’entretien, l’examinateur est parfois amené à proposer aucandidatdetraiterlesecondexercicealorsquelepremiern’estpasencorerésolu,soitparcequ’iljugequelecandidatpossèdesuffisammentdepotentialitéspourfinirl’exercice,soitparcequecedernierestarrivéàuneimpasse,malgrélesindications,soittoutsimplementpourgarderletempsd’aborderlesecondexercice.

o Lesattentesdujury

Lebutdel’oralduConcourscommunMines-Pontsestdeclasserlescandidats.L’objectifdel’examinateur,àtraversdemultiplesquestions,estdepermettreàchaquecandidatdemontrersesqualités.

9

L’attitudequiconsisteàattendrepassivementl’interventiondel’examinateuretcellequiconsisteàresterfaceautableau,muetouenparlantdemanière inaudible,sontsanctionnées. Lecandidatdevraitarrivercommeunfuturingénieurlorsd’unentretiend’embauche.Pourcela,ildevra:

- biencerneretcomprendrel’exerciceproposé; - envisager une ou plusieursméthodes, puis choisir la plus appropriée avant de se lancer dans la

résolutionduproblème; - expliquersadémarcheàl’examinateur; - justifierlesaffirmationsavancéesetdonnerdesénoncésprécisdesthéorèmesdecoursutilisés; - àcepropos,lecandidatdoitêtrecapabled’énoncerchaquethéorème,avectoutesseshypothèses

et les conclusionsdans les termesexactsduprogramme (si un candidaténonceun résultathorsprogramme,ildevraêtrecapabledejustifierleshypothèsesutiliséesetdedonnerlesidéesd’unepreuve).

o NotationLes exercices proposés ne sont pas tous d’égale difficulté. L’examinateur évalue toujours les mêmesparamètres:dansladémarchesuivieparlecandidat,cesontl’expérience,l’intuitionetlatechnicitéquisontobservéesavecgrandintérêtpourladéterminationdelanotefinale.Aussiconvient-ildenepasselaisserimpressionnerparunequestiondélicate:des indicationsoudesconseilsdenotationsadaptéespourrontêtredonnésparl’examinateur,aucandidatdesavoirentirerprofit. Àcepropos,signalonsqu’uneindicationpeutêtreaussidonnéeparl’examinateurpourpermettreàuncandidatdepasseruncapqu’ilneparvientpasàfranchirseuletainsid’évaluerlespointssuivantsdel’exercice.Enrevanche,iln’estpasconseilléaucandidatderéclameruneindication,mais,éventuellement,d’admettreunrésultatpourpouvoirtraiterlasuitedel’exercice. Lanoteattribuéeestunesynthèsedesévaluationsdelaprestationducandidat:

- safaçond’appréhenderl’énoncéetdefairel’inventairedesméthodespossiblespourlarésolution, - l’autonomiedontilfaitpreuveetlapertinenceduchoixdesaméthode, - sonsavoir-faireetsamaîtriseducoursconcernantlesdifférentespartiesduprogramme, - larigueurscientifiqueaveclaquellesadémonstrationestconstruite, - laclartédel’exposé,ycomprislabonnegestiondutableau, - laqualitédel’expressionoraleetl’effortducandidatàexpliquerouàdialoguer, - enfin, l’honnêteté intellectuelle est une qualité importante dans la démarche scientifique et la

franchiseseraappréciéedans l’analysedes insuffisancesd’unedémonstrationoudeshypothèsesd’unthéorème.Lecomportementinverseesttoujoursfortementpénalisé.

• ConseilspratiquesLagestiondutableautraduitlafaçondontlecandidatorganisesontravail.Ilpeutréserverunepartiepourlebrouillon,maisildoitcommenceràécrireenhautàgauche,finirenbasàdroiteetfaciliterlalecturedecequ’ilaécritàl’examinateur,sansresterenpermanencefaceautableauetsanseffacerdèsqu’onluiposeunequestion:l’interlocuteurdumomentestl’examinateur. Celadit,ilfauts’adapterautableau(petitougrand)et iln’estpasnécessairede le remplir. Il s’agitd’uneépreuveorale, cequipeut sediren’estpasnécessairementàécrire. Onl’auracompris,l’épreuveétantorale,lecandidatnedoitpasrestersilencieux.Maisilnes’agitpasd’uneconversationaucoursdelaquelleons’efforced’extorqueràl’examinateurdespistespourlarésolutiond’unexercice.Secontenterd’émettredesidéesoudeproposerdesméthodesenespérantquel’examinateurfasse lechoixn’estpasunetactiquepayante. Il fautaucontrairefairepreuved’autonomieetd’initiative,

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sachantqu’uneapprocheoriginaleestgénéralementappréciée. Souvent,pourdébuter,unefigureaideàserendrecomptedelanatureduproblèmeetàdécouvrirunebonnepiste;l’examendecasparticulierspeutdonnerdesidéessurlesconjecturesàémettreousurlesdémarchespossibles.Évidemment,aucunedecesdeuxdémarchesneremplaceladémonstration. Quandonpressentqu’unepropriétéestfausse,ladonnéed’uncontre-exemplesimpleesttrèsappréciée. Lespassages,enapparence,élémentairesdanslarésolutiond’unexercicenedoiventpasêtrenégligés: si l’onconsidèrequ’un résultatestévident,ondoit savoir lejustifier et ne pas se sentir déstabilisé lorsque l’examinateur demande des précisions. Une bonneconnaissancedesthéorèmesducoursestindispensablepourétayersesraisonnements,passeulementdesnomsdesthéorèmes,quipeuventvarier,maisdeshypothèsesprécisesutiliséesetdesconclusionseffectives.Mieux vaut ne pas nommer un théorème que lui donner un nom farfelu. Unebonne connaissance desformules classiques (primitives usuelles, formules de trigonométrie, développements limités usuels) estincontournable,cequinedispensepasdesavoirlesretrouver. Enfin savoir ne pas se décourager face à de simples, mais inévitables calculs: une petite technicitécalculatoire est un outil essentiel de recherche. Les candidats en difficulté sur ce point sont invités às’entraîner,entoutcasànepaséviterlescalculsqu’ilsrencontrentlorsdeleurpréparation.

• Remarquesparticulières

o Algèbregénérale

L’algèbregénéraleconserveuneattractivitéquirécompenselesplusalertesdescandidats.Cependant,onnote,cetteannéeencore,unebaissedeniveau:certainscandidatsnesaventpascequ’estungroupe,uncorps,unealgèbreoulespropriétésqu’onpeutalorsutiliser. Pourbeaucoup,lesconnaissancesrequisesenalgèbregénéraleselimitentsouventauxnotionsdebasesurlesstructures.Lesconnaissancesutilessurlesgroupes ou les idéaux ne sont pas toujours maîtrisées. Le maniement des polynômes et des fractionsrationnelles reste très inégal chez les candidats. On attend en particulier qu’ils sachent exploiter ourechercher les racines d’un polynôme, factoriser ou faire le lien avec les coefficients, et qu’ils sachentexploiterlesfractionsrationnelles,leurspôlesoudécompositions.Ladécompositionenélémentssimplesestlongueàvenirpourcertainscandidats,parfoislethéorèmededécompositionn’estpassu. Enfin,l’arithmétiqueest,dansl’ensemble,convenablementmaîtrisée.

o AlgèbrelinéaireLesdifficultéssesontaccruesdanscedomaine,lamiseenplaced’unestratégieadaptéeestungrosécueilpourdenombreuxcandidats. Ainsi,cesderniersontdumalàutiliserunpointdevueapproprié(baseadaptéeparexemple)auproblèmeétudié. Plusgénéralement,construireunedémonstrationenalgèbrelinéairen’estpasunechoseaisée. Beaucoupdecandidatsconfondentlesmatricesaveclesendomorphismes,cequilesempêched’utiliserefficacement le secondpointdevueencasdechangementdebase. L’outilmatriciel,notamment le calcul avec des indices, n’est pas particulièrement bien maîtrisé. Les polynômesd’endomorphismesdonnenttoujourslieuàdenombreusessurprises. Nousrappelonsqu’unematriceàcoefficientsréelspeutêtreconsidéréecommeunematriceàcoefficientscomplexes,pourladiagonaliserenconséquencelecaséchéantparexemple,cequetropdecandidatsontdumalàutiliser. Enfinunnombrenonnégligeabledecandidatssemblents’accrocheràlaco-diagonalisationouàlaco-trigonalisation.Toutenotionhorsprogrammeutiliséeàl’oraldevraêtrejustifiée.

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o AlgèbrebilinéaireNousrappelonsquepourqu’unvecteurdansunespaceeuclidiensoitnulilsuffitquesanormesoitnulle,ouencorequ’ilsoitorthogonalàtouslesvecteurs,ceàquoibeaucoupdecandidatsnepensentpas. Lethéorèmed’orthonormalisation de Schmidt pose toujours des problèmes à certains étudiants. Concernant lesendomorphismesremarquablesd’unespaceeuclidien,lethéorèmespectralsembleêtrebienassimilépourlesmatrices,maisnettementmoinspourlesendomorphismessymétriques. Lescaractérisations,ainsiquecertainespropriétés,desendomorphismesorthogonauxrestentunmystèrepourcertainscandidats.

o Analyse

Ilestregrettabledeconstaterque: - lesvaleursabsoluesetlesinégalitéssonttraitéesparfoisavecdésinvolture; - lesformulesdebasedelatrigonométrienesontsouventpassues.C’estunhandicapàl’oraldans

différentsdomaines.Ainsi,lalinéarisationducarréd’uncosinus,larelationentrelescarrésdetangenteetducosinus,lesrelationsdeduplicationrestentméconnuespourcertains;

- lacontinuitén’estpasunenotionpasse-partoutàinvoqueràtoutboutdechamp.Dire,sanslejustifier,qu’unepropriétéestvraie,ou« passedetelensembleàtelautreparcontinuité »,resteinsuffisantengénéral;

- ladérivationdefonctionsusuelles,lecalculdeprimitivessimples,devientungrosproblèmepourquelquescandidats,heureusementpeunombreux.Lesprimitivesusuellesnefontd’ailleurspastoujourspartiedubagagedecertainscandidatsadmissibles;

- denombreuxétudiantsconfondentdéveloppementslimitésetéquivalents.Laconnaissancedesdéveloppementslimitésusuelsn’estpasbonne.Pourtropd’étudiants,leserreursdesigneoudecoefficientsdanslesdéveloppementslimitéssonthabituelles.

o TopologieLesdéfinitionsd’uncompact,d’unouvert,d’unferménesontpastoujourscorrectementdonnées.Certainscandidatsneconnaissentquelecritèreséquentielpourmontrerqu’unepartied’unespacevectorielnorméestfermée. Reconnaîtreunenormepréhilbertienneposetropsouventproblème.

o Suitesetséries

Lesméthodesutilisantlesdéveloppementslimités(ouasymptotiques)pourétudierlanatured’unesériedesigne non constant, ou pour étudier une suite somme d’une série télescopique, sont mal connues. Denombreuxcandidatsontdesdifficultésaveclessuitesdéfiniesparunerelationrécurrence.

o Suitesetsériesdefonctions

Danslamanipulationdessériesdefonctions(recherched’équivalentd’unesomme,estimationdureste...)denombreuxcandidatscommettentdesconfusionsentrelavariableutiliséeet l’indicedesommation.Lejuryrappellequ’ilfautprécisersurquelensemblealieutelleoutelleconvergence.

o Sériesentières

Dans le calcul du rayonde convergence, il semble que l’utilisation abusive de la règle ded’Alembert aitrégressé. Cependant toutes les méthodes pour déterminer le rayon de convergence ne sont pas sues.Quelquescandidatsignorentmêmeladéfinitiondurayondeconvergence ! Certainscandidatsconfondentl’intervalleouvertdeconvergenceetledomainedeconvergenced’unesérieentière.Beaucoupd’entreeuxpensentquelaconvergenceestuniformesurtoutl’intervalleouvertdeconvergence.

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o Intégration

Onrappelleànouveauquel’étudedel’intégrabilitéd’unefonctionneseréduitpasàétudierlafonctionauvoisinagedesbornesdel’intervalled’intégrationetquelacontinuité(parmorceauxéventuellement)devraêtre considérée. Pour beaucoup de candidats l’étude de l’intégrabilité d’une fonction sur un intervallequelconque commence toujours par: « Il y a un problème en... ». La continuité de la fonction estcomplètement occultée et il n’est pas rare d’entendre: « Il n’y a pas de problème donc la fonction estintégrable ». Lesénoncésdesthéorèmesdechangementdevariablessonttoujoursmalconnus. La formule de Taylor avec reste intégral est mal écrite et ses hypothèses d’application sont souventméconnues. EnfinlethéorèmedessommesdeRiemannestinconnudecertainscandidats.

o Équationsdifférentielles

La pratique sur les équations différentielles linéaires du premier et deuxième ordre est en généralconvenable,maisiln’estpastoujourspossibled’avoirunénoncéclairetprécisdesthéorèmesduprogrammesur ce paragraphe. On rencontre cependant des étudiants désirant à tout prix utiliser une équationcaractéristique,mêmesil’équationétudiéen’estpasàcoefficientsconstants. Lerecoursàl’exponentielleoules méthodes de variations de constantes ne sont pas toujours dominés. Pourtant cela peut permettred’expliciterlessolutionsetpermetd’analyserdespropriétésqualitativesdessolutions.

o FonctionsdeplusieursvariablesLe jurynotetoujours laconfusionentrecontinuitéglobaled’uneapplicationetsacontinuitépartielle. Laformuledeladérivationenchaîneestsouventmalassimilée:ilestanormalqueladérivationposeautantdedifficultés. L’étude des extremums des fonctions de plusieurs variables reste délicate pour bien descandidats:ilsseruentsurl’étudedespointscritiquessanss’assurerdelapertinencedecetteméthodeetsansêtrecapablesdecitercorrectementlemoindrethéorèmesusceptibledelalégitimer. Enfinilpeut-êtreutile de décomposer une fonction de plusieurs variables en composée de fonctions plus simples, ce quipermetparfoisdetraiterrapidementcertainesquestions.

o Probabilités

Lesprobabilités sont, dans l’ensemble, convenablementmaîtrisées, enparticulier en cequi concerne lesvariablesaléatoires. Cependant,pourcequiestdelapartiemodélisationduproblèmeprobabilisteétudié,ilsemble qu’il y ait un décalage entre deux catégories de candidats: ceux qui sont dans une démarchetemporelle et qui ont du mal mettre en place leurs idées et ceux qui arrivent à gérer globalement lamodélisationde l’expérience et qui s’en sortent souventmieux. Les candidats ne font pas suffisammentl’effort de décrire les événements ou les systèmes complets adaptés à la situation. On note de grossesdifficultésavecl’analysecombinatoire.

o Géométrie

Lesraresexercicesdegéométrieproposés(conformesàcequirestedansleprogramme)ontjustepermisdeconstaterladisparitiondefaitdetoutepratiquesurlesujet. Pire:pourcertainscandidatslesdroitesduplansonttoujoursreprésentéespardeséquationsdutypey=ax+b.

• Vocabulaire

Pour éviter une perte de temps, le jury tolère l’utilisation des abréviations usuelles à l’épreuve d’oral.Cependant,écriredesabréviationsnedispensepasdeprononcerlatotalitédesmots.Ainsi,lecandidatqui

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note« CV »devraprononcer« lasérieconverge ». Àcetitre,tropd’étudiantsprennentlamauvaisehabitudede saupoudrer la locution « il faut » tout au long de leur exposé, et confondent bien souvent conditionnécessaireetconditionsuffisante.

• Conclusion

L’oralestunexercicedifficileetdifférentdel’écritencequ’ilrévèled’autresqualités.Ilestnaturelquelesperformances des candidats ne soient pas exactement les mêmes dans les deux types d’épreuves. Lesrésultatsdel’oralpeuventbouleverserleclassement,ilestdoncimportantdebiens’ypréparer. Lafaçonlaplusefficacedeseprépareràl’épreuveoraledemathématiquesest:

- d’unepart,réviserintelligemmentsoncours,nepasignorerlesexercicesthéoriquesoutechniquesetprendreconnaissanceduprogrammeenvigueur;

- d’autrepart,prendreconnaissancedecerapportainsiquedesprécédents.

1.1.2. FilièrePC

• IntroductionLeprésent rapport se veutuneaide constructive aux futurs admissiblesde ce concours. En répondant àl’exerciceque constitue la rédactiond’un rapportde jury,nous sommesbien sûr conscientsde recenseressentiellementdesdéfauts,deserreursoudesréactionsinappropriéesdecertainscandidats ;lecaractèrerécurrentdequelques-unesdecesfautesjustifieàluiseullanécessitéetlalecturedecerapport.Toutcelanenousfaitpasoublierlaproportionnonnégligeabledecandidatsbrillantsetquasimentexemptsdetoutecritique.

• Formatdel’oralL’épreuveduregénéralement(etenviron)uneheureavecuneéventuellepréparationquin’excèdepas15minutes. Elle porte sur au moins deux sujets distincts pouvant toucher à tout point du programme deseconde,maisaussidepremièreannée.L’examinateurpeutaussidéciderdebasculersurlesecondsujetmêmesilepremierrestenonrésolu,ceafindeménageràladeuxièmepartiedelaplancheuntempssuffisantpouruneévaluationefficace.

• Gestiondel’oralCommençonsparquelquesfondamentaux:

- ilfauts’approprier(etdonc,comprendre)lesujetetnepaslesimplifierpourleviderdesonsens,- letableaudoits’utiliserdefaçonrationnelle,- onattenddu candidatuneapproche structuréede laproblématiqueetnonuneapplicationnon

réfléchied’unerecetteapproximative,- l’expressiondoitêtreclaireetéviterlestournuresfamilières(lefameuxducoupnotamment...),- lecandidatdoitrespecterlaterminologieusuelle(quepenserdutermegénérald’uneintégrale ?).

Levolontarisme,l’initiative,lacapacitéàétablirundialoguesubstantieldemeurentdesqualitésappréciéesetvalorisées,ilenvademêmepourlaréactivitéauxsollicitationsdel’examinateur.Àl’inverse,toutequêteexcessiveouartificielled’indicationspeutêtrejugéesévèrement.

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• Remarquesd’ordremathématique

o Généralités

- Ladifférenceentreconditionnécessaireetsuffisantesembledemoinsenmoinscomprise.

- Lescalculs,aussisimples(raressontceuxquinecalculentpassystématiquementundiscriminant

pourrésoudreuneéquationbanaleduseconddegréouquines’empêtrentpasdansuncalculde

dérivée de produit ou de quotient ) soient-ils, mettent certains candidats dans un embarras

indescriptible.

- Latrigonométrieélémentairedevientunesourced’hésitationpourbeaucoup.

- Lesnotionsdepolynômeannulateur,dedifféomorphisme,de convergenceuniforme,denormes

équivalentesetdedoublelimitesont,sansplusd’explicationdelapartducandidat,horsprogramme.

- Lavérificationdubien-fondé,del’étudedecertainsobjetsmathématiquesnerelèveplusduréflexe

(lacontinuitéd’uneintégrande,l’existenced’unmaximum,d’unebornesupérieure,d’uneespérance

mathématiquenesontjustifiéesqu’aprèsdemandeexpressedel’examinateurengénéral).

o Probabilités

Ellesconstituenttoujoursunpointduprogrammeassezbienassimilé,deuxpointsrestentfragiles:

- ledénombrementqueseulslesmeilleursarriventàcomprendreetàexposeravecclarté,

- laconfusionchezlescandidatslesmoinssûrsentreévénementetprobabilité.

o Algèbre

- L’algèbre (linéaire) de première année ne ressemble plus qu’à un vague souvenir pour quelques

candidats ;projecteursetsymétriessonttropsouventinterchangeables.

- Lescalculsdedéterminantsclassiquesposentdésormaisdesproblèmes.

- Lanotiondesous-espacestableparunendomorphismen’estpastoujoursmaitrisée.

- Ladéterminationdesélémentsproprespassequasisystématiquementparlecalcul,cequipeutbien

souventêtreévitéetmontre,biensûr,uneanalysepluslucideducontexte.

- Lesautomorphismesorthogonauxd’unplaneuclidiensontassezmalcernés.

• Analyse

- Lesfonctionscirculairesréciproquessubissentlesmêmesoutragesqueleursgénitrices.

- On rappelle que les sommes de Riemann, comme toute l’analyse de première année, sont au

programmeetpeuventfairel’objetdequestions.

- Lecalculintégralélémentairen’estpastoujoursdominéavecaisance.

- Lanotiondélicatedumodedeconvergenced’unesuite,d’unesériedefonctionsopère,commeà

l’accoutumée,sonrôlediscriminantauprèsdescandidats.Néanmoinstropd’entreeuxnefontpas

l’effortdesedemandersil’objetd’étudeestunesuiteouunesériedefonctions.

- LarecherchedesolutionsDSEd’uneéquationdifférentiellesetraitesouventsanssoinetn’estque

rarementmenéeàterme.

• Conclusion

Tous les défauts mis en évidence précédemment proviennent essentiellement d’une connaissance

insuffisanteouapproximativeducours(ycomprisceluidepremièreannée) ;cederniernepeutserésumer

àuncataloguedeméthodesplusoumoinsopérantes.

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Une nouvelle fois ces critiques ne s’adressent bien sûr pas à tous les candidats interrogés cette année ;

beaucoupd’entreeuxmaîtrisentleprogrammedanssaglobalité,exposentavecclartéetassurance,savent

meneruncalculdeboutenboutsanslamoindreassistance.

Notresouhaitestqu’ilssoientencoreplusnombreuxlasessionprochaine,c’estdanscebutquecerapport

aétérédigé.

1.1.3. FilièrePSI

• Remarquesgénérales

L’oraldemathématiquesfilièrePSIsedéroulesuruneduréede45minà1hautableau.Ilestproposéau

candidatobligatoirementdeuxexercices(avecousanspréparationselonl’examinateur)quirecouvrent

l’ensembleduprogrammedesdeuxannéesdepréparationPCSIetPSI(algèbre,analyseetprobabilités).

Cetoralconsisteenundialogueentrelecandidatetl’examinateur.Lerôledecedernierestdejugerdes

connaissancesetdescapacitésmathématiquesducandidat(réflexion,intuition,miseenformeetprécision

delarédaction).

Afindejugerdelaperformanceducandidat,l’examinateurprendencomptelesélémentssuivants(liste

nonexhaustive):

- lacompréhensionduproblèmeposé,

- lesinitiativesprises(cernerlesdifficultés,lesnommer,donnerdesdirectionspourlessurmonter),

- lacapacitéd’envisagerdifférentesméthodesetàréfléchiràleursutilisations,

- l’organisationdutableau,laqualitédel’expressionorale,laprécisiondulangageetlaconnaissancepréciseducours.

Lejurypeutféliciterquelquestrèsbonscandidatsmaîtrisantbienleprogrammeetcapablesd’unegrandeautonomie.Néanmoinsdenombreuxpointsrestentàaméliorer.

• Remarquesparticulières.

o Tenueglobaledel’épreuve- Letempsdepréparationn’estpastoujoursbienutilisé:peudeproduction,cequin’estpas

forcémentpénalisant,maissurtoutpeud’effortspourmobiliserlesconnaissancesrelativesau

thèmedel’exercice. - Onobservesouventunenettebaissedelaperformancelorsdupassagedupremieraudeuxième

exercice.Unepréparationspécifiquedoitêtreenvisagéedansl’annéedepréparationauxconcours.- Quelquescandidatsavancentdesrésultatshorsprogramme(qu’ilsnesaventengénéralpas

justifier),maisnemaîtrisentpasleshypothèsesdesthéorèmesquisont,eux,explicitementau

programme.Cetteattitudeestlourdementsanctionnée.Ilfautcomprendrequelesexercicessont

conçuspourêtrerésolublesàl’aidedesrésultatsduprogrammeofficiel,lesrésoudreàl’aidederésultatsplusgénérauxn’apportepasdepointssupplémentaires.

- Ilarrivequedescandidatsdemandentàl’examinateurdevaliderchaqueétapedecalcul,ou

chaqueétapeduraisonnement,refusantpresqued’avancersansl’approbationdel’examinateur.Il

fautbiencomprendrequelerôledel’examinateurn’estpasdevalidercesétapes.Silecandidatadesdoutessurlavaliditédesescalculsoudesonraisonnement,illuiappartientd’envérifierlacohérenceetdeprendredurecul.

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Une nouvelle fois ces critiques ne s’adressent bien sûr pas à tous les candidats interrogés cette année ;beaucoupd’entreeuxmaîtrisentleprogrammedanssaglobalité,exposentavecclartéetassurance,saventmeneruncalculdeboutenboutsanslamoindreassistance.Notresouhaitestqu’ilssoientencoreplusnombreuxlasessionprochaine,c’estdanscebutquecerapportaétérédigé.

1.1.3. FilièrePSI

• RemarquesgénéralesL’oraldemathématiquesfilièrePSIsedéroulesuruneduréede45minà1hautableau.Ilestproposéaucandidatobligatoirementdeuxexercices(avecousanspréparationselonl’examinateur)quirecouvrentl’ensembleduprogrammedesdeuxannéesdepréparationPCSIetPSI(algèbre,analyseetprobabilités).Cetoralconsisteenundialogueentrelecandidatetl’examinateur.Lerôledecedernierestdejugerdesconnaissancesetdescapacitésmathématiquesducandidat(réflexion,intuition,miseenformeetprécisiondelarédaction).Afindejugerdelaperformanceducandidat,l’examinateurprendencomptelesélémentssuivants(listenonexhaustive):

- lacompréhensionduproblèmeposé,- lesinitiativesprises(cernerlesdifficultés,lesnommer,donnerdesdirectionspourlessurmonter),- lacapacitéd’envisagerdifférentesméthodesetàréfléchiràleursutilisations,- l’organisationdutableau,laqualitédel’expressionorale,laprécisiondulangageetlaconnaissance

préciseducours.Lejurypeutféliciterquelquestrèsbonscandidatsmaîtrisantbienleprogrammeetcapablesd’unegrandeautonomie.Néanmoinsdenombreuxpointsrestentàaméliorer.

• Remarquesparticulières.o Tenueglobaledel’épreuve

- Letempsdepréparationn’estpastoujoursbienutilisé:peudeproduction,cequin’estpasforcémentpénalisant,maissurtoutpeud’effortspourmobiliserlesconnaissancesrelativesauthèmedel’exercice.

- Onobservesouventunenettebaissedelaperformancelorsdupassagedupremieraudeuxièmeexercice.Unepréparationspécifiquedoitêtreenvisagéedansl’annéedepréparationauxconcours.

- Quelquescandidatsavancentdesrésultatshorsprogramme(qu’ilsnesaventengénéralpasjustifier),maisnemaîtrisentpasleshypothèsesdesthéorèmesquisont,eux,explicitementauprogramme.Cetteattitudeestlourdementsanctionnée.Ilfautcomprendrequelesexercicessontconçuspourêtrerésolublesàl’aidedesrésultatsduprogrammeofficiel,lesrésoudreàl’aidederésultatsplusgénérauxn’apportepasdepointssupplémentaires.

- Ilarrivequedescandidatsdemandentàl’examinateurdevaliderchaqueétapedecalcul,ouchaqueétapeduraisonnement,refusantpresqued’avancersansl’approbationdel’examinateur.Ilfautbiencomprendrequelerôledel’examinateurn’estpasdevalidercesétapes.Silecandidatadesdoutessurlavaliditédesescalculsoudesonraisonnement,illuiappartientd’envérifierlacohérenceetdeprendredurecul.

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- Inversement,lorsquel’examinateurintervient,quecesoitpourdonneruneindicationoudemanderdepréciserunpointdel’exposé,lescandidatsgagneraientàtenircomptedecesremarques.

- Afind’améliorerlespointsprécédents,lejuryconseilleauxétudiantsdes’entraînerplusdansl’annéeàchercherdesexercices,pareux-mêmes,etnonenécoutantleurscamaradesouleurprofesseurenfaireunecorrection.

o Expressionorale- L’emploiduconditionnelestàéviter.Defaçongénérale,ilfauts’exprimerauprésentetutiliser

convenablementlesconnecteurslogiques(onsupposeque,si...alors,donc,ainsi...).Iln’estpasnécessaired’utiliserunlangagesoutenunimêmeunvocabulairevarié,maisêtreprécisetclairestunattenduévidentdel’oral.

- Dansl’espritdupointprécédent,desexpressionscomme"çaconverge","çatendvers","çadonne",doiventêtreremplacéespardesphrasesprécises.

- Desexpressionscomme"ducoup","aufinal",nesontpastoujoursappropriées.Lejurysouhaiteraitquelescandidatsneparlentplusde"problèmes"oude"soucis"auxbornesd’uneintégrale.

o Calculsetraisonnements- Les candidatsnedoiventpas renonceràutiliser, àbonescient, lesquantificateurs. Leurabsence

conduitsouventàdesraisonnementsfaux,ouàuneformulationtropvagued’unproblème,cequinuitàsarésolution.

- Touteslesrécurrencesnesontpasimmédiates.Ilestsouventnécessairedepréciserrigoureusementl’hypothèsederécurrence(ycomprisenutilisantdesquantificateurs).Cetypederaisonnementdoitêtreplussoigné.

- Onobserveencoredeserreursdecalculaveclespuissances,desconfusionsentrelacompositionetlamultiplicationvoireentrel’additionetlamultiplication.Lestressdel’épreuveexpliquesûrementune grande partie de ces erreurs,mais de l’avis du jury elles traduisent souvent unmanque depratiqueducalcul.

- Lesvaleursabsoluesetlesmodulessontsouventmalmanipulés.Onobservesouventdesinégalitésentrecomplexesetlesrèglesdemajoration(dutypeinégalitétriangulaire)sontmalappliquées.

- Leserreursdesignessontnombreuses.Demêmedesprobabilitéssontparfoisannoncéesnégativesoustrictementsupérieuresà1.Ilestsouhaitablequelescandidatss’interrogentsurl’interprétationdeleursrésultats,laplupartdeserreursdecetypepourraientêtredétectées.

- Leserreursdecalcullorsdelarecherchedesolutionsdéveloppablesensérieentièred’uneéquationdifférentielle linéairesontellesaussi trèsnombreuses.Demanièregénéralecetypedecalculesttraitéavecpeudesoinetfinitparprendrebeaucoupdetemps,cequiesttrèspénalisantpourlecandidat.

- Rechercherunensemblededéfinitionavantd’étudierunefonctionestsouventunebonneidée.Demêmeencequiconcerneledomainedecontinuitéd’unefonctionquel’onsouhaiteintégrer.Surces points particuliers, l’usage d’un vocabulaire précis, de quantificateurs, la précision dans laformulationdeshypothèsessontessentiels.

- Lejuryapuobservercetteannéequeladémonstrationd’unepropositiondutype"[A=>B]<=>C"posedegrandesdifficultés:lecandidatnesaitpluscequ’ilfautsupposeretcequ’ilfautdémontrer.

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- La recherche des racines d’un trinôme comme 3X²-1 ne nécessite pas le calcul du discriminant,surtoutsicelaconduitàdonnerunrésultatnonsimplifiéet/oufaux.

o Analyse- L’étudedessuites récurrentesdutypeu_ n+1=f (u_n)est rarementbienmenée.Si l’autonomie

n’estplusunattendu,ilestimportantdepouvoirsuivrelesindicationsdel’examinateur.Parailleurs,raressontceuxquienvisagentl’utilisationdel’inégalitédesaccroissementsfinislorsdecetteétude(méthodepourtantmiseenavantparleprogramme).

- Leserreurssontassezfréquentesdansl’énoncédesformulesdeTaylor,leshypothèsesnesontpastoujours citées. Les choix entre les différentes formules ne sont pas toujours très pertinents. EnparticulierlelienentreformuledeTaylorYoungetdéveloppementslimitésn’estpastoujoursclairpourlescandidats.

- Lescritèresdecomparaisonpourétablirlaconvergenced’unesérieoud’uneintégralegénéraliséenesontpastoujoursbienutilisés,surtouts’agissantdesuitesoufonctionséquivalentes:mentionnerlesigneconstantestessentiel.

- Le critère des séries alternées est connu, le signe et lamajoration des restes sont souvent bienprécisés.Enrevanche,cecritèren’estpasuneconditionnécessaireetsuffisante.

- Defaçongénérale,l’étudedessériessemi-convergentesquinevérifientpaslecritèreprécédentestassezmalfaite.L’utilisationd’undéveloppementlimitédevraitplussouventêtreenvisagée.

- LessériesdeBertrandsonthorsprogramme.Àlaplace,lescandidatsdoiventutiliserlesrelationsdecomparaisons.

- Beaucoupdecandidatsoublientd’évoquerl’intervalledecontinuitéd’unefonctionquel’onintègreavantdepasseràl’étudeauxbornes.C’estsouventpénalisantpourlasuite.

- Leschangementsdevariablesdansuneintégralesontsouventmalgérés(oublidesbornesoudeshypothèses...).Lesprimitivesusuellessontparfoisméconnues.

- Les théorèmes relatifs aux intégrales à paramètres sont globalement bien maîtrisés. Il arrivecependant que les candidats confondent le cas où l’on restreint l’étude au cas d’un paramètreappartenantàunsegmentavecuneversionoùladominationnesefaitquepourlecasoùlavariabled’intégrationappartientàunsegmentinclusdansl’intervalled’intégration:cettedernièreversionn’estpasvalable.

- Par ailleurs, lorsqu’il s’agit de citer les hypothèses des théorèmes de convergence dominée,l’hypothèseessentielleestladomination.Lesautreshypothèsesdoiventêtrerapidementcitées.Lescandidatsquiprennentdenombreusesminutesàtoutécrireexplicitement,souventpourretarderl’étapeimportante,maisplusdifficilededomination,s’autopénalisent.

- Les différents modes de convergences sont parfois mélangés: il convient de différencier lesconvergences simple, uniforme et normale. Ces dernières notions n’ont par ailleurs aucun senslorsqu’ils’agitdesériesnumériques.Enfin,quelquescandidatsmajorentlessommespartiellesdessériesaulieudeleurtermegénéral.

- Endehorsdeladéfinitiondurayondeconvergenced’unesérieentièreetdelarègledeD’Alembert,descritèressimplespermettantdeminoreroumajorerlerayondeconvergencesontàconnaître.Nepasconfondrerayondeconvergenceetdisquedeconvergenceestimportant.Lesdomainesdeconvergencenormalenesontpastoujoursbienprécisés.

- Attention,enunpointcritiquelafonctionn’atteintpasforcémentunextremum.

18

o Algèbre- Lescalculsdanslecorpsdescomplexessontsouventmalmenés.- Ladivisioneuclidiennedepolynômesestsouventmalutilisée,enparticulierleshypothèsesvérifiées

parlerestesontparfoispasséessoussilence.- Lescandidatsdoiventpouvoirdonneruneformuleexpliciteduproduitmatricieldedeuxmatrices,

plutôtqu’un« schéma ».- Iln’estpasinutiledesavoirinverserdirectement,lecaséchéant,unematricecarréed’ordre2.- Peudecandidatsconnaissentleshypothèsesnécessairespouraffirmerquelatraced’unematrice

estégaleàlasommedesesvaleurspropres(comptéesavecmultiplicité)etsondéterminantestégalàleurproduit(avecmultiplicitéaussi).Secontenterducascomplexen’estpassatisfaisant.

- Lesconditionsnécessairesetsuffisantespourqu’unematricesoitdiagonalisablenesontpastoujoursbienconnues(confusionentreconditionsuffisanteetCNSenparticulier).Lescaractérisationsàl’aidedepolynômesannulateurssontrarementcitées.Lescandidatspeinentaussiàchoisiruneméthodeadaptéeauproblèmeposé.

- Lacaractérisationmatricielledesendomorphismessymétriquesestmalmaîtrisée.- Plusgénéralement,lescandidatssemblentavoirbienplusdedifficultésaveclesendomorphismes

qu’aveclesmatricescarrées;enparticulierlanotionderestrictionàunsous-espacestablen’estpastoujoursbiencomprise.

- Lorsqu’uncandidatindiquequel’indicedenilpotenced’unematriced’ordrenestmajoréparn,ilestindispensablequ’ilenconnaisseunedémonstration(simple).

o Géométrie

Mêmesicettepartieestréduite,rappelonsqu’ilsubsistel’étudedescourbesparamétréesduplan(globaleetlocale)ainsiquequelquesnotionssurlessurfaces,voirelescourbestracéessurunesurface.

o ProbabilitésOnobservedesprogrès.Néanmoinsdesaméliorationssontattendues:

- Plusieurscandidatsconfondentévénementsetprobabilités,événementsetvariablesaléatoires.Cesconfusionssontlourdementsanctionnées.

- Il faut justifier les calculs: argument d’indépendance ou formule des probabilités composées,argumentd’incompatibilité,utilisationdelaformuledesprobabilitéstotalesenprécisantlesystèmecompletd’événementsassocié...demêmedirequ’unevariableestbinomialeougéométriquesanspouvoirlejustifierestsanctionné.

- Unraisonnementrigoureux,avecéventuellementl’usagedequantificateurs,estsouventnécessairepour établir l’égalité de deux événements (particulièrement pour écrire un événement commeréunionoucommeintersectiond’autresévénements).

- Il est indispensable de savoir réaliser des dénombrements simples. Les listes, arrangements,permutations, combinaisonsdoivent être reconnusdirectement.Dansdenombreuses situations,souventélémentaires,citerl’équiprobabilitéetutiliserundénombrementsimpleestlafaçonlaplusefficacedecalculeruneprobabilité.

• Conclusion

Lejury,quiaappréciélaprestationdequelquescandidatsbrillantsetlabonnequalitéglobaledelaformationdebeaucoupd’étudiantsen2017,espèrequelesfutursadmissiblessauronttirerprofitdecerapport.

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RAPPORT SUR L’ÉPREUVE ORALE 2017 DE MATHÉMATIQUES DE LA FILIÈRE MP

Les oraux des CCP filière MP, de la session 2017, se sont déroulés, comme l’année précédente, au lycée Claude Bernard, 1 avenue du Parc des Princes, Paris 16. Chaque candidat admissible a été convoqué, entre le 26 juin et le 22 juillet 2017, sur trois demi-journées consécutives pour passer les trois épreuves du concours : mathématiques, sciences physiques et langue vivante. Ce rapport clôture en quelque sorte l’oral de mathématiques des CCP, filière MP de la session 2017. Il s’adresse essentiellement aux enseignants de mathématiques de MPSI et de MP, aux futurs candidats des oraux des CCP filière MP et aux colleurs de ces classes. Ce rapport a pour objectif : - d’apporter aux enseignants de mathématiques de MPSI et de MP les informations

essentielles relatives à l’oral de mathématiques des CCP : déroulement de l’épreuve, consignes, erreurs ou lacunes fréquentes relevées, évolution de la banque, éventuels changements par rapport aux sessions précédentes…

- d’aider les futurs candidats dans leur préparation à l’oral de mathématiques : erreurs à éviter, lacunes à combler, points à consolider, conseils de préparation à l’oral et conseils pour l’oral lui-même...

En ce qui concerne le rapport détaillé des erreurs ou des points faibles en analyse, en algèbre et en probabilités, il se veut non exhaustif. Il répertorie, volontairement, pour une meilleure lecture, seulement les erreurs et points faibles les plus couramment relevés par les examinateurs de mathématiques.

Ce rapport est une fois de plus l’occasion de remercier sincèrement les enseignants de CPGE pour leur travail admirable de préparation des élèves aux concours pendant ces deux années. Et même si ce rapport est essentiellement axé sur les erreurs et points à améliorer des candidats, le niveau des candidats reste globalement satisfaisant. Nous comptons également sur les enseignants des CPGE et les colleurs de ces classes pour inciter les élèves de MPSI et MP à profiter de ce rapport pour se préparer au mieux à l’oral de mathématiques. La partie de ce rapport, relative aux erreurs fréquentes des candidats et points à consolider en analyse, algèbre et probabilités, peut également s’avérer utile aux candidats lors de leurs révisions pour les épreuves écrites de mathématiques.

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QUELQUES CHIFFRES POUR LA SESSION 2017 4802 candidats admissibles aux oraux sur 7152 élèves inscrits aux épreuves écrites des CCP. 3960 candidats présents aux oraux. La moyenne de l’épreuve orale de mathématiques est de 11,63 avec un écart-type de 4,04. DÉROULEMENT DE L’ÉPREUVE L’épreuve de mathématiques des CCP filière MP se déroule de la manière suivante : - 30 minutes consacrées à l’installation du candidat et à la préparation sur table. - 30 minutes consacrées au passage à l’oral et aux formalités de fin d’épreuve

(récupération de la feuille de passage signée par l’examinateur et des effets personnels, récupération du sujet et des brouillons par l’examinateur…).

Dès son entrée dans la salle, un sujet est proposé au candidat. Ce sujet est constitué de deux exercices : - un exercice sur 8 points issu de la banque publique accessible sur le site :

http://ccp.scei-concours.fr. - un exercice sur 12 points.

Les deux exercices proposés portent sur des domaines différents. Remarques importantes - Les calculatrices sont interdites pendant toute la durée de l’épreuve. - Le candidat pourra commencer sa présentation orale par l’exercice de son choix mais sera

interrogé sur les deux exercices. - Les questions de cours sont fréquentes dans la banque. Consignes et conseils - Tout théorème utilisé ne figurant pas explicitement au programme sera énoncé

correctement et démontré. - Sur une question non traitée, ne pas hésiter à faire part de sa démarche à l’examinateur

même si elle n’a pas abouti. Les futurs candidats peuvent également, par le lien :

https://www.youtube.com/watch?v=SeOMKh3NpyI, visionner une vidéo qui leur permettra d’obtenir des informations supplémentaires sur le déroulement de l’oral de mathématiques et de physique. CRITÈRES D’ÉVALUATION Sont pris en compte dans l’évaluation les critères suivants : - La maîtrise des définitions et théorèmes du programme. - Les capacités techniques et calculatoires. - Les prises d’initiatives durant l’épreuve et le degré d’autonomie. - La pertinence de la réflexion. - La justesse et la clarté des réponses. - La rigueur du raisonnement. - La réactivité aux éventuels conseils et indications de l’examinateur. - La qualité de la prestation orale et la bonne utilisation du vocabulaire mathématique.

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BANQUE PUBLIQUE POUR LA SESSION 2018 La banque publique de la session 2018 comptera, comme pour la session 2017, 112 exercices : 58 exercices d’analyse, 36 exercices d’algèbre et 18 exercices de probabilités. Cette banque est publiée sur le site : http://ccp.scei-concours.fr .

Chaque exercice de la banque est proposé avec un corrigé. Pour la session 2018, des modifications de la banque de la session 2017 pourront être apportées. Si tel est le cas, la date de mise à jour sera modifiée sur la banque en ligne. Cette date de mise à jour figure sur la page de garde de la banque et au pied de chaque page de la banque. Les modifications (par rapport à la mise à jour du 08/09/16) seront détaillées dans le paragraphe « mises à jour ». La banque pour la session 2018 sera mise en ligne en septembre 2017. Nous vous conseillons donc de vous connecter, en cours d’année, sur le site des concours pour vous tenir au courant des éventuelles mises à jour. REMARQUES D’ORDRE GÉNÉRAL SUR L’ORAL 2017 Points positifs - Globalement, les candidats gèrent correctement leur oral : ils ne se contentent pas de lire

leurs notes, profitent de l’oral pour n’écrire au tableau que les éléments essentiels et essayent dans la mesure du possible d’être clairs dans leurs explications orales.

- Il semblerait également que les candidats soient globalement conscients de l’importance des éventuelles indications orales fournies par l’examinateur. À ce sujet, il semble judicieux de rappeler que l’examinateur est censé intervenir le moins possible durant la prestation du candidat et que le candidat doit donc, à ce titre, être à l’écoute de la moindre question, remarque ou indication de l’examinateur.

- Le facteur stress, même s’il est toujours présent, semble moins handicapant que sur certaines sessions des années précédentes.

Points négatifs - Trop de candidats ne connaissent pas des définitions de base : sous-espace vectoriel,

application linéaire, norme, produit scalaire… - Trop de candidats ne savent pas formuler correctement une définition ou énoncer

correctement un théorème fondamental du programme (hypothèses oubliées...). - Les candidats ne sont, en majorité, pas très solides au niveau calculatoire et perdent alors

beaucoup de temps. - Manque de rigueur fréquent dans le raisonnement et dans les démonstrations. - Les candidats étrangers gèrent très souvent l’épreuve orale comme une épreuve écrite en

écrivant tout au tableau et parfois même en ne parlant pas… Leur manque d’expérience à l’oral est notable.

- Globalement, les candidats manquent de recul sur le cours. Les résultats importants sont rarement synthétisés et hiérarchisés. La connaissance du cours reste souvent superficielle.

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Rappelons à ce sujet que savoir comment se démontrent certains résultats du cours permet de réaliser l’importance des hypothèses et de ne pas les oublier.

- Certains candidats n’ont pas intégré le fait qu’ils sont évalués en temps limité : leur présentation est très lente et ils sont alors pénalisés.

REMARQUES SUR LES EXERCICES DE LA BANQUE POUR LA SESSION 2017 Globalement, les candidats semblent avoir travaillé les exercices de la banque. Cela dit, ils ne les ont pas toujours travaillés en profondeur : manque de rigueur fréquent dans les questions de cours, imprécisions, oublis de cas particuliers… Et, si on creuse un peu dans le domaine de l’exercice proposé, on a parfois de mauvaises surprises. Ce constat est regrettable car les exercices de la banque devraient constituer un support essentiel de révision et de réflexion pour le candidat et l’occasion de s’assurer qu’il maîtrise bien les concepts sous-jacents à l’exercice. Les candidats restent faibles, comme les années précédentes, dans les domaines suivants : fonctions à plusieurs variables et dans une moindre mesure, équations différentielles. Des progrès considérables par contre en topologie cette année sur les exercices de la banque. Les exercices de probabilités ont été, globalement, bien préparés et bien réussis. ERREURS FRÉQUENTES, POINTS NON MAITRISÉS ET REMARQUES EN ANALYSE Topologie La topologie était sur la session précédente un point faible de taille !! Même si la topologie reste une discipline abstraite, les examinateurs en sont conscients, on note, cette année, un réel effort de la part des candidats. Et, comme les exercices proposés sont souvent des démonstrations de cours ou des applications quasi-immédiates du cours, les efforts fournis par les candidats sont globalement payants. Cela dit, certains candidats restent tout de même confrontés à des soucis de rigueur : mauvaise manipulation des quantificateurs, mélanges fréquents entre implication et équivalence... Equations différentielles - Problèmes de raccords des solutions survolés et non compris parfois. - Manque de technicité dans la recherche de primitives. De ce fait, les candidats sont

souvent pénalisés dans leur résolution. Rappelons par exemple que pour intégrer une fraction rationnelle, il est souhaitable de

penser à la décomposer en éléments simples. - Méconnaissance fréquente de la structure de l’ensemble des solutions d’une équation

différentielle. Séries numériques - Très mauvaise maîtrise du vocabulaire et des notations : mélange quasi-systématique

(voire systématique, même chez les bons candidats) des notions de série, somme d’une

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série, somme partielle et suite des sommes partielles. Et de ce fait, de nombreux candidats manquent de rigueur également dans de nombreux exercices de probabilités.

- Dans le critère spécial des séries alternées, trop de candidats oublient une des trois hypothèses qui assurent la convergence de la série. Par ailleurs, le critère spécial des séries alternées est une condition suffisante de convergence mais non nécessaire.

- Manque fréquent de technique pour étudier l’éventuelle convergence de séries, même sur des exemples très simples. L’outil essentiel pour justifier la convergence d’une série à termes positifs reste l’utilisation d’un équivalent. De nombreux candidats n’y pensent pas ou peinent à trouver un équivalent simple.

- Trop de candidats pensent encore que si un+1un

<1 (oubli de la limite) alors, d’après

d’Alembert, la série de terme général un converge. Contre-exemple simple : la série

harmonique. Rappelons au passage que les séries de Bertrand ne sont toujours pas au programme.

Mais, les candidats peuvent être amenés à étudier, par eux même, la convergence d’une série de Bertrand donnée, si une question de l’exercice le requiert.

Par conséquent, la connaissance des résultats sur les séries de Bertrand, à travers des exercices d’entraînement, peut s’avérer tout de même utile car elle permet au candidat d’orienter son raisonnement : partir sur une preuve de convergence ou sur une preuve de divergence.

Intégrabilité sur un intervalle quelconque - Oubli quasi-systématique d’évoquer la continuité par morceaux sur l’intervalle concerné. - Manque inquiétant de technique pour justifier l’intégrabilité d’une fonction sur un

intervalle : en majorité, les candidats ne pensent même pas, si la fonction est positive, à utiliser un équivalent et lorsqu’ils en trouvent un, ils peinent souvent à comparer l’équivalent à une fonction de Riemann qui convient, surtout si la fonction n’est pas intégrable. Ces difficultés sont à mettre sur le compte d’un manque d’entraînement.

Séries de fonctions - De grosses lacunes sur la convergence uniforme. Beaucoup de candidats pensent à

considérer le reste mais ne le majorent pas indépendamment de x... Certains arrivent à rectifier lorsqu’on leur demande de reformuler la définition de la convergence uniforme et qu’ils la connaissent.

- Pour la convergence normale sur A, les candidats sont rapidement en difficulté s’il ne suffit pas de majorer indépendamment de x sur A. Ils ne pensent pas

systématiquement, dans ce cas-là, à chercher en étudiant les variations d’une

fonction par exemple. - Ne pas oublier que, lorsqu’on parle de convergence uniforme ou normale, il est

indispensable de préciser sur quel domaine sinon cela n’a aucun sens. - Confusion parfois entre la convergence absolue et la convergence normale quand on se

place ailleurs que sur ou . - En ce qui concerne l’interversion limite et intégrale, encore trop de candidats pensent à

utiliser un argument de convergence uniforme lorsqu’ils ne sont pas sur un segment. Plus généralement, en ce qui concerne les théorèmes d’interversion, les candidats

s’emmêlent les pinceaux très rapidement en mélangeant ceux pour les suites de

)(xfn

)(sup xfnAx

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fonctions, ceux pour les séries de fonctions, ceux sur un segment et ceux sur un intervalle. Nous leur conseillons de synthétiser ces théorèmes dans un simple tableau.

Et quand ils savent quel théorème utiliser, il est rare d’obtenir toutes les hypothèses pour l’appliquer…

Séries entières - La recherche du rayon de convergence ne se limite pas à l’utilisation de la règle de

d’Alembert. La règle de d’Alembert pour les séries entières reste inutilisable pour les séries lacunaires

ou par exemple les séries du type ∑(cos 𝑛) 𝑧𝑛 . Il est donc fondamental de connaitre d’autres techniques présentées en cours ou en séances d’exercices pour déterminer le rayon de convergence : utiliser la règle de d’Alembert pour les séries numériques, déterminer les valeurs de z pour lesquelles est bornée, majorer ou minorer ,

repérer une valeur de z intéressante pour laquelle converge ou diverge...

- La règle de d’Alembert n’est pas une équivalence : une série entière de rayon de

convergence R ne vérifie pas forcément .

- Une erreur courante : pour la série entière , de nombreux candidats écrivent que

si 1

1limn

nnn

n

a zl z

a z

of alors n

na z¦ converge si et seulement si <1l z .

L’erreur provient du fait que la règle de d’Alembert assure la convergence absolue pour

<1l z et la divergence pour 1l z ! mais le cas 1l z est le cas douteux (cas pour lequel

on ne peut conclure). Par contre, dans une telle situation, on peut conclure quant à la valeur du rayon. Reste à le présenter correctement à l’oral, comme à l’écrit d’ailleurs.

- Une série entière converge normalement donc uniformément sur tout disque fermé inclus dans le disque de convergence mais pas forcément sur le disque de convergence comme le pensent encore la majorité des candidats.

- Mauvaise connaissance des développements en série entière usuels. De ce fait, les candidats sont souvent en difficulté sur des exercices-type de calculs des sommes de séries entières ou numériques.

Intégrales à paramètres Globalement, les candidats connaissent mieux les hypothèses des théorèmes de continuité et de dérivabilité que sur les sessions précédentes mais ils ne pensent pas, quand c’est nécessaire, à se placer localement pour l’hypothèse de domination. Et certains continuent, pour l’hypothèse de domination, à majorer, trop souvent, par une fonction qui dépend encore des deux variables de la fonction initiale. Pourtant, si on leur demande alors l’énoncé du théorème, ils évoquent bien une domination par une fonction qui ne dépend plus que de la variable d’intégration. Fonctions à plusieurs variables Cette partie du programme est très mal maîtrisée par les candidats. On constate que quasiment aucun candidat n’est capable, par exemple, de prouver qu’une fonction à deux variables admet une dérivée partielle par rapport à une de ses deux variables en un point particulier.

nn za n

n zan

n za¦

Ruu

n

n

n

1lim 1

fo

nn za¦

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C’est regrettable car le contenu de ce chapitre du programme est restreint et les exercices proposés dans la banque sur cette partie restent basiques. Ils demandent juste une bonne connaissance des définitions et théorèmes du cours qui sont peu nombreux. ERREURS FRÉQUENTES, POINTS NON MAITRISÉS ET REMARQUES EN ALGÈBRE Arithmétique Beaucoup moins d’impasses sur cette partie du programme que les années précédentes. Algèbre linéaire - En dimension infinie, pour prouver que deux sous-espaces vectoriels sont

supplémentaires sur E, peu de candidats pensent rapidement à raisonner par analyse et synthèse ou quand ils y pensent, la phase de synthèse ou vérification que la décomposition obtenue convient, est très souvent oubliée. Enfin, précisons que si on utilise cette méthode par analyse-synthèse pour prouver que A et B sont supplémentaires

sur E alors il n’est pas nécessaire de vérifier en plus que ^ `0A B .

- Si F est un sous-espace vectoriel de E de dimension finie, il y a bien existence d’un supplémentaire mais il n’est pas unique !!!

- Trop de candidats annoncent u injectif u surjectif u bijectif car u endomorphisme (sans évoquer qu’ils sont en dimension finie) ou car on est en dimension finie juste (sans dire que l’espace de départ et d’arrivée ont la même dimension).

- Savoir trouver rapidement une base de l’image pour une application linéaire en dimension finie.

- La formule du rang en dimension finie n’assure pas, comme le pensent encore trop de candidats que ker(f) et Im(f) sont supplémentaires.

Réduction des endomorphismes - Ce chapitre met en évidence, au moment de déterminer le polynôme caractéristique d’un

endomorphisme, le manque fréquent de technicité pour calculer un déterminant. - Les candidats devraient connaitre sur le bout des doigts les différentes équivalences au

fait qu’un endomorphisme soit diagonalisable... Et c’est loin d’être le cas !!! - Erreur courante : « un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si son

polynôme caractéristique est scindé à racines simples » !!! Si le polynôme caractéristique est scindé à racines simples, alors u est diagonalisable, mais la réciproque est bien entendu fausse : il suffit de considérer l’endomorphisme nul comme contre-exemple.

- La donnée d’un endomorphisme u de E et d’un sous-espace vectoriel F de E stable par u devraient assez mécaniquement faire penser au candidat à considérer la restriction de u à F. De nombreux exercices sur le chapitre réduction des endomorphismes (ou algèbre linéaire) s’appuient sur cette idée.

- Problèmes courants de vocabulaire. Exemples :

- est un polynôme annulateur de A au lieu de est un polynôme

annulateur de A. - le polynôme annulateur au lieu d’un polynôme annulateur.

- Confusions fréquentes entre le polynôme minimal, caractéristique et un polynôme annulateur quelconque.

32 3 IAA 132 XX

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- De grosses confusions sur les polynômes d’endomorphismes. Exemple : si on demande de vérifier que est un polynôme annulateur de

l’endomorphisme u, de nombreux candidats tentent de former au lieu de .

Ce constat explique que ces mêmes candidats peuvent difficilement trouver un polynôme annulateur pour un endomorphisme donné.

- Si P est un polynôme annulateur de l’endomorphisme u, la quasi-totalité des candidats annonçaient sur la session 2015, que les racines de P sont alors exactement les valeurs propres de u alors que seule l’inclusion de l’ensemble des valeurs propres dans l’ensemble des racines de P est vraie. Il se trouve que depuis la session 2016, cette erreur est beaucoup moins courante…

- Une erreur fréquente : Si dim Ker u p alors 0 est valeur propre de multiplicité p.

Rappelons que seul le résultat 1 dimE mO Od d est vrai.

En fait, pour de trop nombreux candidats, la confusion entre multiplicité d’une valeur propre dans le polynôme caractéristique et dimension du sous-espace propre associé est fréquente.

Le chapitre réduction des endomorphismes semble survolé par certains candidats alors que c’est une partie cruciale du programme d’algèbre. Espaces vectoriels euclidiens - Confusion entre et . implique juste que et . - De nombreux candidats semblent avoir oublié l’inégalité de Cauchy-Schwarz. - Ne pas oublier que si p est la projection orthogonale sur alors la

formule n’est valable que si est une base orthonormale de F.

Une mauvaise maîtrise de l’expression d’une projection orthogonale rend difficile le calcul de la distance d’un vecteur à un sous-espace vectoriel donné. Et pourtant c’est un point crucial du programme.

À ce sujet, un schéma est toujours le bienvenu pour déterminer le projeté orthogonal d’un vecteur x sur un sous-espace F.

- Difficultés fréquentes pour trouver une base orthonormée d’un sous-espace vectoriel même de dimension 2.

- Manque de technique pour trouver l’orthogonal d’un sous-espace vectoriel F : rappelons qu’une technique efficace en dimension finie reste de trouver une base de F et de traduire que x est orthogonal à chaque vecteur de la base de F.

- Le théorème spectral assure effectivement l’existence d’une base de vecteurs propres pour un endomorphisme symétrique réel mais trop de candidats oublient qu’il assure aussi l’existence d’une base orthonormée de vecteurs propres… et le caractère orthonormé peut s’avérer bien utile.

- Dans le théorème spectral, lien pas toujours établi entre l’existence d’une base orthonormée et le fait que la matrice de passage de l’ancienne base à la nouvelle base puisse être orthogonale. Le cours doit être appris, certes, mais aussi compris en profondeur.

132 XX1)(3))(( 2 xuxu

xxuxuou )(3)(

BA A BAABAA A AB A BA

peeVectF ,..,1

¦

n

iii eexxp

1,)( pee ,...,1

AFx

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- La matrice d’un endomorphisme symétrique est symétrique à condition de se placer dans une base orthonormée.

- Sur cette session, trop de candidats ne se souviennent plus de la définition d’un endomorphisme symétrique (n’ont qu’une version matricielle de la symétrie en tête) ou pensent que u est symétrique si et seulement si pour tout vecteur x de E, (u(x)|x)=(x|u(x)), ce qui est toujours vrai !!

- Trop de candidats ne savent pas trouver une base orthonormée de vecteurs propres pour un endomorphisme symétrique réel dès lors qu’un des sous-espaces propres est de dimension supérieure ou égale à 2.

- Le fait que les sous-espaces propres d’un endomorphisme symétrique réel soient orthogonaux est un résultat important…

- Pour vérifier si une matrice donnée est orthogonale, n’est pas la caractérisation la plus pratique !!! Penser plus souvent que A est orthogonale si et seulement si ses colonnes forment une famille orthonormée.

- Erreur fréquente : A est orthogonale si et seulement si son déterminant vaut 1 ou -1 !!! Rappelons qu’on peut juste annoncer que si A est orthogonale alors .

ERREURS FREQUENTES, POINTS NON MAITRISÉS ET REMARQUES EN PROBABILITÉS Les exercices de probabilités permettent à l’examinateur d’évaluer les capacités de réflexion du candidat. Globalement, les candidats ont préparé les exercices de probabilités de la banque. Cela dit, on constate, très souvent, que les explications orales qui accompagnent les résultats proposés pour les exercices de probabilités, comme la détermination d’une loi par exemple, ne sont pas toujours très claires. À tel point, qu’il est souvent difficile de comprendre où le raisonnement du candidat est défaillant et, de ce fait, il est difficile de l’aider à rectifier… Pourtant, Boileau disait « ce qui se conçoit bien s’énonce clairement et les mots pour le dire arrivent aisément ». Enfin, de nombreux exercices de probabilités font appel au chapitre sur les séries et les soucis de vocabulaire et de techniques rencontrés dans ce registre, se retrouvent dans les exercices de probabilités. Quelques erreurs courantes relevées :

- Quand on demande la loi d’une variable aléatoire X, le premier point à préciser est l’ensemble des valeurs prises par cette loi, noté X : . Très peu de candidats

pensent à le préciser.

- Trop de candidats pensent que la loi de la somme des variables X et Y est donnée par ( ) (( ) ( ))P X Y k P X n Y k n ce qui n’a évidemment aucun sens.

- Il vivement conseillé, quand on demande de trouver l’espérance ou la variance d’une variable aléatoire X, de regarder d’abord si X ne suit pas une loi connue dont on connaîtrait l’existence et la valeur de l’espérance et de la variance. Gain de temps assuré !! À condition bien sûr de connaître par cœur les espérances et les variances des lois au programme.

AA t 1

^ 1,1det A

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CONSEILS POUR LES FUTURS CANDIDATS En ce qui concerne la préparation aux oraux Les attentes fondamentales d’un examinateur restent avant tout : - Une bonne maîtrise des définitions et théorèmes du cours. - Des capacités calculatoires et des techniques de base acquises.

Si vous êtes défaillants sur un de ces points là, vous risquez d’être rapidement bloqués dans les exercices proposés. Autant un examinateur pourra éventuellement vous guider dans votre raisonnement, autant il ne mènera pas un calcul à votre place et ne vous rappellera ni une définition, ni un théorème oublié, ni une technique de base.

- Des explications claires et rigoureuses. Une condition nécessaire à la réussite de l’oral reste donc de : - Savoir formuler correctement les définitions du programme et énoncer rigoureusement,

avec toutes les hypothèses nécessaires, les théorèmes fondamentaux. - Connaitre par cœur ses formules de développement limitées, de trigonométrie, de

développements en série entière usuels... - S’entrainer tout au long de l’année sur des exercices calculatoires. Domaines conseillés : calculs de développements limités, recherche d’équivalents,

recherche des valeurs propres et vecteurs propres d’une matrice, calcul de l’inverse d’une matrice, calculs de déterminants...

- S’entrainer régulièrement, comme un pianiste ferait ses gammes, à des techniques fondamentales : recherche de primitives, étude du caractère intégrable d’une fonction sur un intervalle donné, calcul de la somme d’une série entière en s’aidant des développements en série entière usuels…

- Différencier une bonne fois pour toute les notions suivantes relatives aux séries : somme partielle, suite des sommes partielles, série et somme de la série et les utiliser à bon escient.

Une bonne maîtrise de ces différents points vous permettra d’acquérir des automatismes, de pouvoir consacrer davantage de temps lors de votre oral aux questions de réflexion et de mettre l’examinateur dans de bonnes dispositions pour vous guider éventuellement. Par ailleurs, nous vous conseillons vivement : - De travailler en profondeur les démonstrations du cours pour une meilleure

mémorisation et assimilation. - De vous entrainer à donner des explications orales claires pour les recherches de lois de

variables aléatoires en probabilités. - De travailler sérieusement les exercices de la banque. Ils balayent la quasi-totalité du

programme et constituent donc une bonne base de révisions. Quelques candidats ont tenté de reproduire, sans les avoir bien compris, des corrigés

d’exercices de la banque. L’examinateur le repère très rapidement et n’hésite pas alors à questionner le candidat pour obtenir des éclaircissements.

- D’éviter les impasses.

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Pendant l’oral : La rigueur et la logique sont les mots d’ordre. - Lors de l’utilisation d’un théorème, signaler à l’examinateur toutes les hypothèses

nécessaires, même si elles sont vérifiées de manière évidente. - Quand on pense proposer une équivalence, s’assurer que ça en soit bien une. - Ne pas mélanger condition nécessaire et condition suffisante. - Quand il est demandé de prouver une égalité entre deux ensembles, s’assurer que l’on

n’a pas juste prouvé une inclusion. - Soigner toutes les démonstrations. - Manipuler correctement le vocabulaire mathématique, les quantificateurs, les bornes

supérieures... En termes d’attitude et de stratégie - Bien lire l’énoncé même si cela semble évident. Si une indication est donnée dans

l’énoncé, il est conseillé de la suivre… - Il semble logique de commencer par l’exercice le plus abouti pendant la préparation. Cela

permet une mise en confiance. - Au démarrage d’une question, annoncer à l’examinateur la démarche que l’on compte

suivre. - S’exprimer clairement et ne pas cacher ce que l’on écrit au tableau. - Ne pas se précipiter lorsque l’examinateur pose une question ou demande des

éclaircissements. Se laisser, si nécessaire, un temps de réflexion pour éviter le cumul de fausses réponses.

Rappelons que les mauvaises réponses sont davantage pénalisantes que les temps morts. Éviter de répondre au hasard ou « à côté » de la question posée. Mieux vaut avouer que

la réponse n’est pas connue. - L’examinateur est censé s’exprimer peu pendant l’oral. De ce fait, s’il donne une

indication ou un conseil, il faut les saisir car il y a de fortes chances de ne pas pouvoir s’en sortir sans.

- Éviter de dire que c’est évident au cours d’un raisonnement au cas où ça ne le serait pas. - Si l’examinateur signale une erreur, éviter de tenter de prouver qu‘il n’y en a pas. Essayer

plutôt de trouver l’erreur en question. - Eviter de couper la parole à l’examinateur même si ça paraît être une évidence. - Ne pas attendre que l’examinateur valide chacune des lignes que l’on écrit pour avancer. - Éviter d’être passif durant l’oral. - Même si on ne sait pas traiter une question, faire part à l’examinateur des voies

envisagées et des raisons pour lesquelles elles n’ont pas abouti. Si la situation s’y prête, commencer par étudier des cas particuliers pour une meilleure visualisation (par exemple si la question porte sur le calcul d’un déterminant de taille n, commencer par de petites valeurs de n avant de tenter une généralisation) ...

- Ne pas effacer le tableau avant d’avoir demandé l’autorisation à l’examinateur. Il est censé pouvoir noter tout ce que vous faites pendant l’oral.

Bref, soyez productifs, dynamiques et pertinents dans votre démarche scientifique. L’examinateur saura l’apprécier.

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RAPPORT SUR L’EPREUVE ORALE 2017 DE MATHEMATIQUES DE LA FILIERE PC

1/ BILAN DE L’EPREUVE 2017 ET PRESTATION DES ETUDIANTS Pour le concours PC-physique, la moyenne est de 11,45 et l’écart type de 4,18. A titre de comparaison, en 2016 la moyenne était de 11,30 et l’écart type de 4,25. Pour le concours PC-chimie, la moyenne est de 11,40 et l’écart type de 4,17. A titre de comparaison, en 2016 la moyenne était de 11,22 et l’écart type de 4,28. La répartition des notes sur 20 est la suivante :

• 3 % des notes sont dans l’intervalle ]0,4]. • 20 % des notes sont dans l’intervalle ]4,8]. • 30 % des notes sont dans l’intervalle ]8,12]. • 30 % des notes sont dans l’intervalle ]12,16]. • 17 % des notes sont dans l’intervalle ]16,20].

Si on les compare aux deux précédentes sessions, tous ces chiffres font preuve d’une grande stabilité. Le format de l’épreuve a permis de classer les candidats de manière très satisfaisante. Les candidats sont dans l’ensemble bien préparés, font preuve d’une réelle motivation et communiquent plutôt bien. Le domaine qui est le plus perfectible est sans doute celui de la maîtrise du cours. C’est un enjeu majeur pour le futur candidat car une bonne connaissance du cours garantit presque à coup sûr une note satisfaisante. Pour bien se préparer, le futur candidat est invité à lire attentivement les deux paragraphes qui suivent. 2/ MODALITES DE L’EPREUVE EN 2018 L’épreuve orale de mathématiques comporte deux exercices. L’énoncé du premier exercice est remis au candidat lors de son entrée dans la salle d’interrogation. Pour le résoudre, le candidat dispose d’environ trente minutes de préparation écrite et de vingt minutes d’exposé oral. Ce temps écoulé, un second exercice est donné au candidat qui dispose alors pour sa résolution d’environ dix minutes d’exposé oral. Le premier exercice, que nous appellerons l’exercice majeur, est noté sur 14 points. Il est issu d’une banque d’exercices et est posé au même moment, par tous les examinateurs, à tous les candidats ayant le même horaire de passage. Pour ce qui est de cet exercice majeur, l’objectif est de produire des énoncés progressifs, comportant plusieurs questions, en évitant celles qui sont bloquantes. Le but est clairement de permettre à un candidat correctement préparé d’utiliser efficacement le temps de préparation écrite qui lui est alloué. La banque d’exercices est bien sûr modifiée chaque année et les exercices qui la constituent abordent toutes les parties du programme de première et de seconde années. Le second exercice est, quant à lui, noté sur 6 points. Comme l’exercice majeur, il est issu d’une banque d’exercices. Contrairement à l’exercice majeur qui est choisi par le coordonnateur de l’épreuve, le choix de ce second exercice est laissé à l’examinateur. Des candidats ayant le même horaire de passage ont donc le même exercice majeur mais pas nécessairement le même deuxième exercice. Ce second exercice ne bénéficie pas d’un temps de préparation écrite.

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Il porte sur des thèmes distincts de ceux abordés dans l’exercice majeur, ce qui permet une évaluation des compétences du candidat sur un spectre suffisamment large. 3/ QUELQUES CONSEILS AUX ETUDIANTS POUR LA SESSION 2018 La stratégie qui consiste à faire des impasses lourdes sur certaines parties du programme n’est pas objectivement payante pour les candidats. Il est en effet important de rappeler que les exercices, qu’ils soient majeurs (sur 14 points) ou secondaires (sur 6 points), abordent toutes les parties du programme (première et seconde années). Il y a donc des exercices (majeurs ou secondaires) traitant des fonctions de plusieurs variables, de polynômes ou encore de nombres complexes. Ces exercices sont souvent volontairement plus faciles que les autres et un candidat qui maîtrise les définitions de base peut s’octroyer un nombre appréciable de points. Il y a aussi des exercices (majeurs ou secondaires) portant principalement sur le programme de première année. Il est donc très utile pour un candidat de consolider ses acquis antérieurs. Bien maîtriser le temps de préparation écrite est un enjeu important pour une bonne réussite de l’oral. La chose n’est pas aisée et nécessite sans doute un entraînement spécifique. Il faut notamment veiller lors de la préparation écrite à ne pas rester bloqué au niveau d’une question alors que l’on peut en admettre le résultat et traiter la suite. Il est utile à ce sujet de rappeler que les exercices se veulent non bloquants et que par conséquent, les résultats intermédiaires sont donnés. Ajoutons qu’il est sans doute bon de lire le sujet dans son ensemble avant de se lancer. L’idéal serait qu’un candidat ait réfléchi à toutes les questions lors de son temps de préparation écrite. Au niveau de l’exposé oral, il est conseillé de présenter en priorité les questions que l’on a su traiter. Il ne faut pas perdre de temps à reproduire lentement des calculs déjà effectués lors du temps de préparation écrite. L’intérêt du candidat est donc de présenter de manière précise, concise et rapide tout le travail effectué lors de la préparation écrite et de disposer ainsi d’un maximum de temps pour aborder des questions non traitées avec une aide éventuelle de l’examinateur. Rappelons également que s’agissant d’un oral, il est inutile de recopier au tableau tout ce qui est dit. Il faut aussi insister sur l’importance qu’il y a à faire preuve d’énergie et de volontarisme. Même si la phase de préparation écrite ne s’est pas bien déroulée, tout est encore possible. Le temps alloué à la résolution du second exercice est d’une dizaine de minutes. De plus, cet exercice ne bénéficie pas d’un temps de préparation écrite. Un candidat a donc tout intérêt à faire preuve de vivacité, de réactivité ainsi que d’une bonne maîtrise des notions et savoir-faire de base. Nous espérons que les futurs candidats sauront tirer profit des différentes remarques et conseils qui précèdent et nous leur souhaitons toute la réussite possible.

1

Pa

n

x

n

an+1

an

P

RR

1ax

2+bx+c

Rapport sur l’oral de Mathematiques I

Remarques generales

L’oral de mathematiques I consiste en une interrogation au tableau sans preparation,d’une duree de 30 minutes. L’exercice propose au candidat porte sur l’ensemble du pro-gramme des deux annees de preparation (algebre, analyse, probabilites et geometrie), et estde difficulte graduelle, les premieres questions etant toujours tres abordables. Les exercicessont repartis de facon equilibree entre algebre, analyse, probabilites, geometrie. Lorsqu’undeuxieme exercice est propose, il porte sur une autre partie du programme.

Le but de cet oral est de juger et d’evaluer :

! les connaissances ;

! le savoir-faire technique et les capacites mathematiques ;

! l’imagination et l’adaptabilite dans une situation un peu nouvelle des candidats.

Afin de juger de la performance de ceux-ci, l’examinateur prend en compte les elementssuivants (liste non exhaustive) :

! la comprehension du probleme pose ;

! les initiatives prises (cerner les difficultes, les nommer, donner des directions pourles surmonter) ;

! la precision du langage et la connaissance precise du cours, la capacite d’envisagerdifferentes methodes et de reflechir a leurs utilisations ;

! la justification precise de ce qui est fait ;

! la maıtrise du raisonnement mathematique : la plupart des candidats sont incapablesd’etre precis pour enoncer une condition necessaire et suffisante (cas d’egalite dansl’inegalite de Cauchy-Schwarz, caracterisation des endomorphismes trigonalisables al’aide du polynome caracteristique, par exemple). On a droit a un vague ≪ si ≫, etles investigations revelent que des candidats ne savent meme pas trop dans quel sensils etaient en train de l’enoncer.

1

! l’organisation et la presentation du tableau, la qualite de l’expression orale : nousrappelons que les sujets des phrases doivent etre corrects pour que le raisonnementsoit rigoureux (les phrases qui commencent par ≪ ca converge ≫, finissent assez sou-vent mal quand on demande ce qu’est le ≪ ca ≫).

Certains exercices sont longs, le jury n’attend pas necessairement des candidats qu’ilsfinissent ceux-ci ; un candidat ayant tres bien traite une proportion raisonnable d’un exer-cice long, peut ainsi avoir une note tres satisfaisante.

En fin de planche d’oral, cinq minutes sont reservees a des questions de cours. Parmiles questions posees cette annee - entre autres, et toujours tres, tres classiquement :l’inegalite de Cauchy-Schwarz, la definition d’un produit scalaire, la formule de Taylor-Young (et son utilite), la formule de Taylor avec reste integral, la formule de Taylor-Younga l’ordre 2 pour une fonction numerique de classe C2 sur un ouvert de R2, le theoremedes accroissements finis, la caracterisation d’un endomorphisme diagonalisable a l’aide desdimensions des sous-espaces propres, definition et propriete de la trace, trace d’un pro-jecteur, formules de Frenet (et utilite), suites adjacentes, definition et caracteristiques desisometries, caracterisation des projecteurs, caracterisation des symetries, matrices ortho-gonales, developpements en serie entiere classiques, continuite/derivabilite des integralesdependant d’un parametre, definition et interpretation des lois de probabilite usuelles,esperance et variance, formule des probabilites totales, le theoreme de transfert, enoncer laloi faible des grands nombres, donner les inegalites de Markov et de Bienayme-Tchebychev,...

Cette annee, le jury a note que les candidats sont de moins en moins capables d’utiliserles resultats d’une question anterieure, voire de s’en souvenir, meme dans les cas les plussimples. Au point que certains refont des calculs faits quelques minutes auparavant ... Lamajorite des candidats s’avere incapable de mener a bien des calculs sans grande difficulte.

D’autres ne font aucune simplification (en gardant des4

2). Certains candidats cherchent

visiblement a gagner du temps, ou se montrent incapables de reagir.

Le jury souhaite insister sur les points suivants :

! Le premier contact du candidat avec l’examinateur, c’est, apres les formules de poli-tesse d’usage, de lui remettre piece d’identite et convocation. Si cette derniere n’etaitpas pliee en huit ou plus, chiffonnee, dechiree ou tachee, cela donnerait une meilleureimpression.

! De nombreux candidats agissent comme en colle, en proposant des idees mais enattendant une validation avant de commencer les calculs. On apprecie les candidatsqui reflechissent a haute voix, qui proposent des methodes et qui savent eliminercelles qui n’iront pas au resultat. On apprecie egalement lorsque le candidat ex-plique sa strategie pour resoudre une question ou dans quel but, il fait des calculs.

2

Par contre, donner toutes les methodes possibles, sans en essayer aucune, en esperantque l’examinateur indiquera quelle est la bonne, n’est pas forcement une bonne idee.De meme, il ne faut pas attendre de l’examinateur qu’il valide chaque ligne ecrite(quand ce n’est pas chaque terme ecrit). Ce n’est pas ce qui est attendu un jour deconcours.Rappelons donc les principes de l’oral : il faut parler, etre autonome et dyna-mique. Ne pas tout ecrire au tableau comme sur une copie, ne pas trop regarder lafeuille d’enonce. La gestion du tableau n’est pas toujours optimale. En particulier,ce n’est pas une bonne idee d’effacer les resultats intermediaires.

! Les candidats doivent dialoguer avec l’examinateur. Tous les resultats doivent etreexpliques et/ou justifies sans que l’examinateur ait besoin de le demander. Pour cela,ils sont invites a faire des phrases avec des sujets identifiables. Par exemple eviter≪ ca converge ≫, ≪ elle est integrable donc elle converge ≫, ou encore les expressiondu type ≪ par independance ≫ (≪ de ... ≫ n’etant pas precise).

! Le jury s’est etonne du manque de dexterite de beaucoup de candidats confrontes aun calcul, si petit soit-il. En particulier, les manipulations de valeurs absolues posentbeaucoup de problemes, certains candidats ne pensent pas a modifier le signe d’uneinegalite lorsqu’ils multiplient chaque membre par un nombre negatif, les identitesremarquables reservent parfois des surprises, etc... Il arrive que ceux-ci n’aillent pasau bout et soient remplaces par du ≪ blabla ≫, ou qu’ils soient accompagnes de sou-pirs.

! D’une maniere generale, les candidats ne presentent que rarement les objets mathematiquesqu’ils utilisent (peu de quantificateurs, notamment). Par exemple, si on etudie l’im-

parite sur D = R\Z de x !→ f(x) =cos(π x)

sin(π x), le candidat fixe x ∈ D, calcule f(−x)

sans probleme, mais ne regarde a aucun moment si −x ∈ D ou non. De meme, pourla 1-periodicite de cette fonction. De maniere analogue, un identite matricielle dutype, M P = P D se transforme en M = P DP−1 sans meme que le candidat pensea verifier si P est ou non inversible.

! Le fait que cela soit une epreuve orale ne signifie pas que l’on doit pas respec-ter quelques regles de redaction. En particulier, equations et systemes doivent etreresolus par equivalence et non en essayant de deviner les solutions.

! Meme avec des enonces justes, il n’est pas rare que les notations ne soient pas (oumal) definies (meme oralement) (loi de probabilite, theoreme du rang notamment, ...)

! La question de cours posee par le jury au candidat a la fin de l’oral a souvent reveledes fragilites insoupconnees sur certaines notions importantes du programme.

! Certains tics de language, rendus desagreables par leur frequence plus qu’elevee, ontete constates au cours des oraux : ≪ du coup ≫, ≪ pas de souci ≫, ≪ forcement ≫.

3

! Le jury a ete surpris de constater que certains candidats demandent a la fin de leuroral : ≪ Je peux vous demander comment ca s’est passe ? ≫

! Pour terminer cette liste sur une note positive, le jury a aussi vu des candidats touta fait excellents.

Remarques particulieres

1 Analyse

! Les parentheses ne sont pas optionnelles.

! On resout une equation et non ≪ un polynome ≫.

! De nombreux candidats confondent le fait qu’une fonction soit continue en un point,et prolongeable par continuite en ce point.

! La distinction entre continuite et derivabilite n’est pas toujours tres claire (pourcertains candidats, la fonction est continue donc derivable ...)

! Beaucoup de candidats pensent que si la derivee d’une fonction d’une variable s’an-nule, alors la fonction admet un extremum local en ce point.

! Dans la meme veine, la distinction entre un inf et un min (resp. un sup et un max)est rarement faite au cours de la resolution des exercices.

! Le calcul de limite par recherche d’equivalents ou de developpements n’est pasmaıtrise par de nombreux candidats. Le developpement limite d’un quotient posede gros problemes aux candidats. Ainsi, obtenir le developpement limite au voisi-

nage de zero d’une expression de la formef(x)

1 + u(x), ou u est de limite nulle en zero,

n’est pas evident pour beaucoup.

! Dans l’ecriture du developpement limite a l’ordre deux d’une fonction de deux va-riables, peu de candidats parviennent a donner une definition correcte et completedu terme de reste, lorsqu’ils ne se trompent pas dans la formule.

! Pour les traces de graphe, le jury rappelle qu’il est imperatif de faire figurer le

repere!O; i, j

"avec des vecteurs i et j qui soient bien de norme 1 (le jury les a vus

de temps en temps a la fin des axes).

4

! Le jury a interroge plusieurs candidats sur la definition de certaines fonctions usuellestelles que arccos, arcsin ou arctan et a ete surpris de constater des erreurs impor-tantes.

! Le theoreme de la bijection n’est pas bien connu. beaucoup de candidats ont affirmequ’une fonction f : I ⊂ R → R, continue, strictement monotone, realisait une bijec-tion de I sur R.

! L’enonce du theoreme de Rolle n’est pas souvent donne correctement : des candidatsdisent que le reel c est dans [a, b], que la fonction est de classe est definie ou declasse C1, l’intervalle de derivabilite est errone, etc ...

! Concernant la formule de Taylor avec reste integral, le jury a obtenu des reponsesetranges. Deja, des candidats parlent d’une formule locale ≪ au voisinage de a ≫,l’ordre de derivation sous le signe integral est errone, la factorielle est erronee dansle reste integral, ...Utiliser cette formule pour obtenir un encadrement n’est querarement effectue. Aussi, si f ∈ Cn+1(I), n ∈ N⋆, des candidats donnent une egaliteentre f(x+ h) et

n#

k=0

(x− h)k fk(x)

k !+

$ n+1

n

(t− h)n fn+1(t)

n !dt

ou entre f(a) et

f(b) + (b− a)x+ . . .+(b− a)n xn

n !+

$ 1

0

(b− a)t xt

t !dt

! Les developpements en serie entiere usuels ne sont pas bien connus (x !→ ln(1 + x),x !→ ln(1− x)). Il faut aussi regulierement demander le domaine de validite qui lui,est souvent faux (nombre de candidats sont surpris par cette question).

! Pour le theoreme de derivation des series entieres : le jury a souvent obtenu la for-mule, mais jamais d’information sur les rayons de convergence.

! Lorsqu’on etudie une integrale, il faut regarder la continuite sur tout l’intervalle etpas seulement aux bornes. Peu de candidats semblent le savoir.

! Le changement de variables pour une integrale generalisee n’est pas souvent maıtrise.

! Certains candidats ne savent pas etudier correctement la convergence d’integrales dela forme

$ +∞

0e−a t dt , a ∈ R

ou encore $ 1

0ln t dt

5

Ils ecrivent des egalites entre des expressions de la forme

$ X

0e−a t dt, X > 0, et

%e−a t

a t

&X

0

ou encore entre des expressions de la forme

$ 1

yln t dt, y > 0, et

%1

t

&1

y

! La regle de d’Alembert pour les series numeriques n’est pas correctement connue :de nombreux candidats ecrivent que si les termes un d’une serie sont tels que

un+1

un< 1

alors la serie converge.

! Concernant le produit de Cauchy de deux series absolument convergentes#

an zn

et#

bn zn, certains candidats confondent la formule donnant le coefficient cn et la

formule du binome de Newton.

! Le jury a vu de nombreuses tentatives pour demontrer par recurrence des formulesdont on ne connaıt pas la forme ... (On notera que sur le meme exercice, des candidatsne reconnaissent pas les premiers termes de n ! quand ils obtiennent a1 = 1, a2 = 2,a3 = 6, a4 = 24, a5 = 120)

! Les definitions de boules ouvertes, fermees, parties ouvertes et fermees, etc. sonttrop rarement connues. Un nombre non negligeable de candidats pensent qu’un en-semble U est ouvert s’il est inclus dans une boule ouverte.

! Un nombre non negligeable de candidats a parle de ≪ derivee d’une fonction de plu-sieurs variables ≫.

! Des candidats ne savent pas que le gradient d’une fonction de classe C1 s’annule enun extremum uniquement si on est sur un ouvert. Le gradient a d’ailleurs souventete cite pour des fonctions qui ne sont pas a valeurs dans R.

! On rappelle qu’un extremum pour une fonction est un reel, et non un point.

! Pour determiner les extrema d’une fonction de plusieurs variables, certains candidatscalculent la matrice hessienne, et affirment que ≪ si son determinant est strictementnegatif, on obtient un minimum, si son determinant est strictement positif, on ob-tient un maximum ≫, apres avoir parle de ≪ point de rebroussement de la fonction ≫.

6

! De nombreux candidats ne savent pas deriver par rapport a la variable reelle t desfonctions de la forme :

t !→ f (X1(t), . . . , Xn(t))

2 Algebre

! Des questions simples (definition d’une application lineaire, par exemple) posent par-fois probleme.

! De nombreux candidats ecrivent que la formule de Grassmann permet de calculerdim(F ∪G). Ces memes candidats ne savent pas que F ∪G nest pas en general unespace-vectoriel.

! La dimension d’un hyperplan dans un espace de dimension finie E est connue, maisla definition comme supplementaire dune droite vectorielle ne l’est que rarement. Laminoration de la dimension de (H1 ∪ · · · ∪Hp) lorsque H1, . . . , Hp sont des hyper-plans de E, est peu connue.

! On ne cherche pas le ≪ Ker ≫ d’une matrice, mais son noyau.

! Il convient de connaıtre que ≪ Vect ≫ signifie ≪ sous-espace vectoriel engendre par ≫.

! On constate des confusions entre vecteurs propres (on rappelle a ce sujet que desqu’il y a un vecteur propre, il y en a une infinite) et sous-espaces propres.

! Le lien entre base et determinant n’est pas bien connu.

! Certains candidats ne savent pas donner la valeur correcte en 0 du polynome ca-racteristique d’une matrice carree A de taille n × n, n ∈ N⋆. Souvent, le jury aobtenu comme reponse :

det(−A) = − detA

! Certains candidats affirment que dans R2, le rang d’un systeme de trois vecteurs estegal a trois.

! Certains candidats ne savent pas determiner l’inverse d’une matrice carreeA ∈ GLn(R), n ∈ N⋆, en resolvant un systeme de la forme AX = Y .

! Concernant la methode d’orthonormalisation de Gram-Schmidt, le jury a obtenu ladescription a peu pres correcte du processus operatoire, mais jamais l’enonce, avecdes hypotheses (base de depart absente, notamment).

7

! L’inegalite de Cauchy-Schwarz est bien enoncee, mais rarement bien appliquee surdes exemples particuliers ; il est par exemple complique d’obtenir des candidats que'$ 1

0f(t) dt

(2

≤$ 1

0f(t)2 dt si f ∈ C0([0; 1],R).

! Les candidats ne sont pas a l’aise sur l’orthogonal d’un sous-espace vectoriel.

! Si A = (aij)1≤i≤n,1≤j≤n ∈ Mn(R), n ∈ N⋆, et si (e1, . . . , en) designe la base cano-

nique de Rn, la formule aij = (Aej |ei) pour (i, j) ∈ 1, . . . , n2 est souvent ignoree.

! La reduction des matrices symetriques est bien maıtrisee.

! Les complexes posent souvent probleme. De facon moins grave, a la question ≪ Quelest le sens de |z| = 1 ?≫, des candidats repondent ≪ x2+y2 = 1≫, ou encore ≪ z = ei θ,θ ∈ R ≫, sans penser a z z = 1.

3 Geometrie

! Beaucoup de candidats ne savent pas ce qu’est une surface reglee.

! Les formules de Frenet ne sont pas bien connues. Parfois, c’est meme la definitiondu vecteur T qui est ignoree.

! Le jury apprecierait davantage d’illustrations graphiques.

! L’aspect d’une courbe au voisinage d’un point stationnaire n’est pas bien connu, etle recours a un developpement limite pour l’obtenir, encore moins.

! La reduction des coniques est bien maıtrisee, meme si les candidats ne connaissent pastoujours la definition complete de celles-ci. En revanche, certains candidats veulentexpliciter completement les espaces propres de la matrice symetrique sous-jacentealors que l’on demande parfois seulement de donner la nature de la conique. Au-delade l’etude des coniques, cet automatisme dans les raisonnements peut penaliser lescandidats qui perdent un temps certain alors que le jury l’invite a obtenir le resultatavec un autre argument.

4 Probabilites

! On constate de nombreuses confusions entre variables aleatoires, evenements et pro-babilites, induisant des multiplications d’evenements ou des intersections de probabi-lites, ainsi qu’entre des evenements independants et des evenements incompatibles :les candidats ont regulierement du mal a identifier les situations ou on a l’un oul’autre. Les evenements sont souvent mal definis : ≪ on tire la boule numero 1 ≫,sans preciser a quel tirage.

8

! La definition d’un systeme complet d’evenements n’est pas toujours maıtrisee.

! Des illustrations (arbres...) permettraient a de nombreux candidats d’eviter de diredes betises.

! Dans les lois de probabilite usuelles, n et k designent en general des entiers etp designe un reel appartenant a l’intervalle [0, 1], ce qui est confondu avec l’in-terpretation de ces nombres.

! De nombreux candidats semblent ignorer que si X est une v.a. discrete a valeursdans N, les [X = k]k∈N constituent un systeme complet d’evenements.

! La formule donnant P (X = k), si la v.a. X suit une loi binomiale, est bien connue,mais les candidats confondent souvent Ω et X(Ω) (qui vaut N pour de nombreuxcandidats). De plus, l’evenement [X = k] nest pas toujours bien interprete (nombresd’epreuves au lieu du nombre de succes).

! Beaucoup de candidats ne sont pas capables d’enoncer des hypotheses correctes lors-quils utilisent le theoreme de transfert. Lorsque la formule est correcte, les candidatsne parlent jamais de l’absolue convergence de la serie de terme general f(xk)P (X = xk).Le jury a, par ailleurs, obtenu de nombreuses formules fantaisistes, avec des egalitesentre E (f(X)) et

#f(X)P (X = n)

ou encore #f(xk)P (X = k)

parfois :

#f(Xk)P (X = k)

! La loi faible des grands nombres semble inconnue de la plupart des candidats.

! L’inegalite de Cauchy-Schwarz n’est pas toujours connue.

! Les hypotheses necessaires pour enoncer les inegalites de Markov (X > 0) et Bienayme-Tchebychev sont rarement connues.

! Concernant la formule des probabilites totales : certains candidats oublient systematiquementle fait qu’ecrire P (B|Ak) ne peut se faire si P (Ak) = 0. D’autres, dans de nombreuxcas ou le systeme complet d’evenements est fini (resp indexe par N), ecrivent que lasomme pour le calcul de P (B) est celle d’une serie.

! Pour la loi de Poisson, beaucoup de candidats ecrivent que X(Ω) = R ; d’autresoublient de facon systematique le e−λ dans l’expression de P (X = k), quand ils nele transforment pas en eλ.

9

! La definition de la covariance de deux variables aleatoires reelles discretes X et Yn’est pas connue (ou remplacee par la formule de Konig-Huygens). Certains (pour-tant assez bons) candidats disent meme ne pas connaıtre cette notion. Quant apreciser que X et Y doivent admettre un moment d’ordre 2 pour utiliser la formulede Koenig-Huygens, rares sont les candidats qui le font.

! Globalement, le jury a entendu des choses etranges sur les exercices de probabilites.Pele-mele : P (X), ignorance de ce qu’est [X = a] ou [X ≤ a], apparition d’expres-sions de la forme X∩A, ou X est une variable aleatoire et A un evenement, et memed’expressions du type X ∩ Y , ou X et Y sont des variables aleatoires...

! Souvent, les candidats sont incapables de faire la distinction entre ce que l’on chercheet les hypotheses.

10

EPREUVE DE MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

PRESENTATION DU SUJET Epreuve de quatre exercices d’une durée de 4 heures 4477 copies, avec une moyenne de 9.03 sur 20 et un écart type de 3.81 L’épreuve était constituée de quatre exercices, de profils très différents, destinés à tester plusieurs compétences et divers types de raisonnements. Les candidats devaient utiliser des connaissances relatives à différentes parties des programmes de mathématiques et d’informatique. Il était demandé aux candidats de répartir équitablement leur travail entre les quatre exercices proposés : le barème en a tenu compte. Malheureusement, beaucoup n’ont pas respecté cette consigne et n’ont pas assez abordé les trois exercices de mathématiques. ANALYSE PAR PARTIE Exercice 1 : L’égalité des dimensions est souvent oubliée pour justifier l’équivalence entre injectif et surjectif ; seul est cité le caractère fini des dimensions.Beaucoup d’erreurs sur la matrice de changement de bases dans la question 3.1. Un nombre non négligeable de candidats trouvent des espaces propres nuls, des matrices de passage quivalent l’identité ou avec une ligne ou une colonne nulle : un commentaire sur l’absurdité du résultat serait apprécié. Des candidats parlent de la linéarité des polynômes, ou arguent qu'une somme d'éléments non nuls est forcément non nul. A noter que trop de candidats ont une lecture superficielle de l'énoncé : ils oublient qu'à la question 4.1. on est dans le cas général. Ne pas oublier que la matrice d'un endomorphisme dépend des bases dans lesquelles on l'écrit. Trop de confusions entre le cardinal d'une famille de vecteurs et la dimension du sous-espace qu'elle engendre. Exercice 2 : Pour trop de candidats, l’intégrale d’un produit est le produit des intégrales… ! et la fonction tend vers 0 en l'infini quand l’intégrale est convergente. Les questions d’intégrabilité sont mal traitées : oubli quasi systématique desvaleurs absolues, ou encore que l’inégalité de Cauchy-Schwarz donnerait de l’intégrabilité. Il y a souvent confusion entre intégrabilité et convergence de l'intégrale. Un grand nombre d'étudiants manipulent des intégrales impropres sans en avoir vérifié (et donc justifié) la convergence. Les intégrations par parties ne sont pas toujours justifiées. On regrette des raisonnements du type : n équivaut à n+1 dont l'intégrale Jn équivaut à une intégrale de n à n, donc à 0. Exercice 3 : Nous avons souvent constaté des recopiages de l'énoncé avec des linéarités de l'espérance mal utilisées. Globalement, on voit une énorme confusion dans les objets : des sommes jusqu'à T alors qu'on a pris l'espérance, une confusion entre éléments de l'univers et valeurs de la v.a., etc.

Exercice 4 : Partie A : De façon étonnante, moins de 50 % des candidats ont traité l'existence du point fixe correctement : beaucoup de théorèmes y sont passés ; Rolle, Heine, égalité des AF, inégalité des AF, Bolzano-Weierstrass … Il semble que le manque de rigueur pénalise les candidats : ils connaissent le TVI, la dichotomie et les tris et ont du mal à restituer correctement leurs connaissances. Les programmes manquent de commentaire en général. Rappelons qu'il est dangereux de modifier les arguments d'un programme et cela a été pénalisé. Pour le tri par insertion, trop de candidats appellent la recherche dichotomique avant leur boucle qui ne sert donc à rien. Partie B : Beaucoup de candidats n'ont pas compris ce qu'on leur demandait. Trop peu de copies démontrent la complexité. D'une façon générale, il y a souvent confusion entre écriture mathématique et code (fractions, variables avec indice). CONCLUSION Pour trop de candidats l'assimilation trop superficielle du cours de mathématiques ne leur permet pas de prendre un minimum de recul sur les exercices qui leur sont proposés et manquent par suite de rigueur dans leur rédaction. Beaucoup trop de candidats donnent des résultats (quelquefois bons…) sans preuve : aucun argument, aucune démonstration… Il est bon de rappeler qu’en sciences, en particulier en mathématiques, il ne suffit pas d’énoncer un fait pour qu’il soit vrai… Encore faut-il le prouver…!! Pour les questions d’algorithmique précisons que l’on veut des programmes commentés, préciser quelles sont les données (variables d’entrée) et ce que l’on veut exactement en sortie (une liste, un couple de réels, …). Ainsi, l’épreuve d’exercices permet de balayer le programme de la filière PSI en mathématiques et algorithmique.Elle permet de vérifier les compétences d’adaptabilité des candidats qui doivent mettre en œuvre les compétences acquises au cours des deux années de CPGE Rappelons que chaque exercice possède une progressivité propre qui permet de classer efficacement les candidats. Les futurs candidats qui veulent réussir cette épreuve doivent s’y préparer :

- en apprenant à gérer de façon équilibrée leur temps entre les différents exercices,

- en s’appuyant sur des connaissances solides, - en maitrisant les techniques de calcul élémentaires.

EPREUVES DE MATHEMATIQUES 2

Durée : 3 heures

PRESENTATION DU SUJET Epreuve de problème. 4138 copies ont été corrigées avec une moyenne 9.61 sur 20 et un écart-type de 4.15. Le sujet traitait de distances à un cône dans l'espace des endomorphismes symétriques d'un espace euclidien. Il était composé de 6 parties, dont la première constituée de questions de cours sur de l’algèbre linéaire. ANALYSE PAR PARTIE La première partie constituée de questions de cours permet au candidat de se remettre en mémoire les notions utilisées dans la suite du problème. Pour une majorité de candidats, le cours est connu mais parfois trop superficiellement (énoncé fantaisistes du Théorème de Cayley Hamilton) Dans la partie 1 (traitée par un grand nombre de copies) qui étudiait des propriétés élémentaires des matrices nilpotentes, on peut regretter des lacunes dans la manipulation du produit matriciel (AB = O ==> A = O ou B = O) et dans la manipulation des déterminants (det(A^p) = p * det(A)). Beaucoup de candidats oublient que les matrices concernées étaient à coefficients complexes : une lecture attentive du sujet leur aurait évité des erreurs. La partie 2 a été elle aussi abordée par une grande partie des candidats. Rappelons que pour démontrer qu'une propriété est fausse, il suffit souvent de donner un contre exemple : trop d'étudiants se contentent d'affirmer sans prouver. Notons qu'il a été difficile pour beaucoup de trouver une matrice de taille 2-2 de rang 1. Trop de candidats sont encore arrêtés par une équation du second degré ! et confondent inversibilité et diagonalisabilité. Dans la partie 3, on peut regretter que la dimension de Mn(R) ne soit pas toujours connue ainsi que la linéarité de la trace. Le calcul du produit de deux matrices se résume trop souvent à un dessin. Dans la partie 4, il est souvent oublié que l'on travaille avec des matrices strictement triangulaires : cela a engendré bon nombre d'erreurs. La partie 5 est celle qui a été la moins abordée de toutes. Les principales erreurs rencontrées : oubli de citer la continuité, validité des passages à la limite, mauvaises linéarités du déterminant. La partie 6 est souvent abordée. On remarque que les candidats oublient de donner le domaine de validité des DSE qu'ils utilisent et n'hésitent pas à les appliquer aux matrices, ce qui les amène à écrire A^(1/2) : on regrette le manque de recul de ces candidats par rapport à ce qu'ils écrivent.

CONCLUSION L’épreuve de problème, sur un thème complémentaire de ceux choisis pour les exercices, a permis par les questions préliminaires de tester à la fois les connaissances du candidat sur le cours dispensé pendant les deux années de classes préparatoire et la faculté à prendre du recul par rapport à des notions manipulées dans différents contextes. Le problème comportait des questions progressives et de difficultés diverses de façon à classer les candidats. Pour réussir une telle épreuve, les candidats doivent apprendre à répondre à des questions rédigées de façon très progressive sur des notions (ou/et notations) introduites en début d’épreuve, à savoir faire des synthèses des résultats obtenus, d’une partie à l’autre du problème. Tout ceci, évidemment, ne peut se faire qu’en pouvant s’appuyer sur des connaissances solides en mathématiques qui ne peuvent se réduire à un apprentissage approximatif des théorèmes et définitions.

ALPHABET GREC

Nom minuscule MajusculeAlpha ↵ ABeta B

Gamma Delta

Epsilon " EZêta ZÊta H

Thêta Iota I

Kappa KLambda

Mu µ MNu NXi

Omicron o OPi

Rhô PSigma Tau T

Upsilon YPhi ' Chi XPsi

Oméga !

Indexation des listes, tuples, chaînes de caractères...

Types de base

Mémento Python 3©2012-2013 - Laurent PointalLicence Creative Commons Paternité 2

0783 -192int9.23 -1.7e-60.0float

True Falsebool"Un\nDeux" 'L\'âme'str

"""X\tY\tZ1\t2\t3"""

10-6

tabulation

retour à la ligne

multiligne

Types Conteneurs (listes, tuples, chaînes)

list [1,5,9] ["x",11,8.9] ["mot"] []tuple (1,5,9) 11,"y",7.4 ("mot",) ()

= séquences ordonnées, accès index rapide, valeurs répétables

non modifiable

Affectation de variables

x = 1.2+8+sin(0)

y,z,r = 9.2,-7.6,"bad"

valeur ou expression de calculnom de variable (identificateur)

a‥zA‥Z_ suivi de a‥zA‥Z_0‥9' accents possibles mais à éviter' mots clés du langage interdits' distinction casse min/MAJ

expression juste avec des virgulesnon modifiable,séquence ordonnée de caractères

entier, flottant, complexe, booléen, chaîne

conteneur de plusieurs valeurs (ici un tuple)

noms devariables

Identificateurs

a toto x7 y_max BigOne 8y and

x+=3 x-=2incrémentationdécrémentation

Conversions

int("15")

float("-11.24e8")

bool

str(78.3) repr("Texte")

on peut spécifier la base du nombre entier en 2nd paramètre

int(15.56) troncature de la partie décimale (round(15.56) pour entier arrondi)

et pour avoir la représentation littérale

type(expression)

utiliser des comparateurs (avec ==, !=, <, >, …), résultat logique booléenvoir au verso le formatage de chaînes, qui permet un contrôle fin

":".join(['toto','12','pswd']) 'toto:12:pswd'chaîne de jointure séquence de chaînes

"des mots espacés".split() ['des','mots','espacés']

"1,4,8,2".split(",") ['1','4','8','2']chaîne de séparation

list("abc") ['a','b','c']utilise chaque élément de la séquence en paramètre

lst=[11, 67, "abc", 3.14, 42, 1968] lst[1]→67lst[-2]→42

0 1 2 3 54

-6 -5 -4 -3 -1-2

accès individuel aux éléments par [index]index positif

index négatif

0 1 2 3 54 6

-6 -5 -4 -3 -1-2tranche négative

tranche positive

accès à des sous-séquences par [tranche début:tranche fin:pas]

len(lst) 6

lst[1:3]→[67,"abc"]

lst[::2]→[11,"abc",42]lst[-3:-1]→[3.14,42]lst[:3]→[11,67,"abc"]

lst[:-1]→[11,67,"abc",3.14,42]

lst[4:]→[42,1968]

lst[1:-1]→[67,"abc",3.14,42]

lst[:]→[11,67,"abc",3.14,42,1968]Indication de tranche manquante → à partir du début / jusqu'à la fin.

Instruction conditionnelle

if x==42: # bloc si expression logique x==42 vraie print("vérité vraie")elif x>0: # bloc sinon si expression logique x>0 vraie print("positivons")else: # bloc sinon des autres cas restants print("ça veut pas")

Logique booléenne Blocs d'instructions

instruction parente: bloc d'instructions 1… ⁝ instruction parente: bloc d'instructions 2… ⁝

instruction suivante après bloc 1

inde

ntat

ion

!

Comparateurs: < > <= >= == !=≠=≥≤

a and b

a or b

not a

et logique

ou logique

non logiquel'un ou l'autre ou les deux

les deux en même temps

if expression logique: bloc d'instructions

bloc d'instructions exécutéuniquement si une condition est vraie

TrueFalse

valeur constante vraivaleur constante faux

combinable avec des sinon si, sinon si... et un seul sinon final.

lst[-1]→1968

lst[0]→11

le dernier

le premier

x=None valeur constante « non défini »

Maths

reste et quotient

× ÷÷ entière reste ÷

abfrom math import sin,pi…

' échappé

abs(-3.2)→3.2

round(3.57,1)→3.6

nombres flottants… valeurs approchées !

sin(pi/4)→0.707…cos(2*pi/3)→-0.4999…

sqrt(81)→9.0 √log(e**2)→2.0

angles en radians

acos(0.5)→1.0471…

etc. (cf doc)

(1+5.3)*2→12.6

pour noms de variables,fonctions, modules, classes…

Mémento v1.2.2.1

Sur les séquences modifiables, utilisable pour suppression del lst[3:5] et modification par affectation lst[1:4]=['hop',9]

str en tant que séquence ordonnée de caractères

complex 1j2.7+3.1j

"des mots espacés".split()

"Un blanc final \n".strip() "Un blanc final"

Complexesz=1+2jz.realz.imagz.conjugate()abs(z)

Opérations spécifiques aux entiers

17 % 517 // 5

Opérateurs: + - * / **

dans la div. eucl. de 17 par 5

Affichage / Saisieprint("v=",3,"cm :",x,",",y+4)

Options de print: ' sep=" " (séparateur d'éléments, défaut espace) ' end="\n" (fin d'affichage, défaut fin de ligne) ' file=f (print vers fichier, défaut sortie standard)

éléments à afficher : valeurs littérales, variables, expressions

boucle sur dict/set = boucle sur séquence des clés

Instruction boucle conditionnellebloc d'instructions exécuté tant que la condition est vraie

while expression logique: bloc d'instructions

s = 0i = 1

while i <= 100: # bloc exécuté tant que i ≤ 100 s = s + i**2 i = i + 1

print("somme:",s)

initialisations avant la boucle

condition avec au moins une valeur variable (ici i)

s= ∑i=1

i=100

i2 faire varier la variable de condition !

Instruction boucle itérativebloc d'instructions exécuté pour chaque élément d'un conteneur ou d'un itérateur

for variable in séquence: bloc d'instructions

s = "Du texte"cpt = 0

for c in s: if c == "e": cpt = cpt + 1print("trouvé",cpt,"'e'")

Parcours des valeurs de la séquence

Comptage du nombre de e dans la chaîne.

Parcours des index de la séquence' changement de l'élément à la position' accès aux éléments autour de la position (avant/après)lst = [11,18,9,12,23,4,17]perdu = []for idx in range(len(lst)): val = lst[idx] if val> 15: perdu.append(val) lst[idx] = 15print("modif:",lst,"-modif:",perdu)

Bornage des valeurs supérieures à 15,mémorisation des valeurs perdues.

attention aux boucles sans fin !

initialisations avant la boucle

variable de boucle, valeur gérée par l'instruction for

utilisation des tranches pour parcourir un sous-ensemble de la séquencerésultat de calcul après la boucle

Génération de séquences d'entiers

Fichiers

s = input("Directives:")

input retourne toujours une chaîne, la convertir vers le type désiré (cf encadré Conversions au recto).

très utilisé pour les boucles itératives for

range retourne un « générateur », faire une conversion en liste pour voir les valeurs, par exemple: print(list(range(4)))

range(5) 0 1 2 3 4range(3,8) 3 4 5 6 7range(2,12,3) 2 5 8 11

range([début,] fin [,pas])

f = open("fic.txt","r",encoding="utf8")stockage de données sur disque, et relecture

mode d'ouverture' 'r' lecture (read)' 'w' écriture (write)' 'a' ajout (append)…

encodage des caractères pour lesfichiers textes:utf8 ascii latin1 …

nom du fichiersur le disque, chemin, relatifou absolu

variable fichier pourles opérations

f.write("coucou")en écriture

fichier texte → lecture / écriture de chaînes uniquement, convertir de/vers le type désiré

en lectures = f.read(4)

for ligne in f : bloc de traitement de la ligne

si nb de caractères pas précisé, lit tout le fichier

s = f.readline()

lecture lignesuivante

f.close() ne pas oublier de refermer le fichier après son utilisation !

très courant : boucle itérative de lecture des lignes d'un fichier texte :

Définition de fonction

def nomfct(p_x,p_y,p_z): """documentation""" # bloc instructions, calcul de res, etc. return res

nom de la fonction (identificateur)

valeur résultat de l'appel.si pas de résultat calculé à retourner : return None

les paramètres et toutes les variables de ce bloc n'existent que dans le bloc et pendant l'appel à la fonction (« boite noire »)

paramètres nommés

Appel de fonctionr = nomfct(3,i+2,2*i)

un argument par paramètrerécupération du résultat renvoyé (si nécessaire)

Opérations sur conteneurs(listes, tuples, chaînes)

chaîne vide si fin de fichier

len(c)min(c) max(c) sum(c)sorted(c)

reversed(c)

modification de la liste originalelst.append(item)

lst.pop(idx)lst.sort() lst.reverse()

non comprispar défaut 0

c.index(val) c.count(val)

→ nb d'éléments

→ copie triée

→ itérateur inversé→ position → nb d'occurences

lst.extend(seq) ajout d'un élément à la finajout d'une séquence d'éléments à la fin

lst.insert(idx,val) insertion d'un élément à une positionlst.remove(val) suppression d'un élément à partir de sa valeur

suppression de l'élément à une position et retour de la valeurtri / inversion de la liste sur place

Spécifique aux conteneurs de séquences (listes, tuples, chaînes) :

val in c → booléen, opérateur in de test de présence (not in d'absence)

Opérations spécifiques aux listes

c*5 → duplication c+c2→ concaténation

Parcours simultané index et valeur de la séquence:for idx,val in enumerate(lst):

enumerate(c)→ itérateur sur (index,valeur)

contrôle de boucle :break sortie immédiate continue itération suivante

Listes par compréhension

lst = [2*i for i in range(10)]

lst = [i for i in range(20) if i%2 == 0]lst = [0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18] Ce mémento est fourni à titre indicatif. Il ne faut le considérer :

! ni comme exhaustif (en cas de problème sur un exercice particulier, si une fonction ou une commande indispensable était absente de la liste, l'interrogateur pourrait aider le candidat),

! ni comme exclusif (une fonction ou une commande absente de cette liste n'est pas interdite : si un candidat utilise à très bon escient d'autres fonctions MAIS sait aussi répondre aux questions sur les fonctions de base, il n'y a pas de problème),

! ni comme un minimum à connaître absolument (l'examinateur n'attend pas du candidat qu'il connaisse parfaitement toutes ces fonctions et ces commandes).

Les fonctions et commandes présentées doivent simplement permettre de faire les exercices proposés aux candidats.L'examinateur n'attend pas du candidat une connaissance encyclopédique dulangage Python, mais une utilisation raisonnée des principes algorithmiques etune mise en pratique des connaissances de base. L'utilisation de l'aide en ligne est encouragée, mais ne doit pas masquer une ignorance sur ces aptitudes.

help(a)→ aide sur a dir(a)→ liste d'attributs de a F1Aide

help("module.obj")→ aide sur obj de module, sans avoirbesoin d'importer le module

import numpy as np → charge le module numpy sous le nom np

Conversion ndarray <-> liste

V = np.array([1,2,3])

M = np.array([[1,2],[3,4]])

→ V : vecteur ( 1 2 3 )

→ L : liste [1, 2, 3]

→ M : matrice (1 23 4)

→ L : liste [[1, 2], [3,4]]

L = V.tolist()

L = M.tolist()

M.sum()M.min()M.max()

→ somme de tous les éléments de M→ plus petit élément de M→ plus grand élément de M

M.sum(0)M.min(0)M.max(1)

→ somme des lignes→ plus petits éléments, sur chaque colonne→ plus grands éléments, sur chaque ligne

argument axis optionnel : 0 → lignes, 1 → colonnes :

Mémento numérique Python 3

Construction de tableaux (de type ndarray)

np.zeros(n)

np.eye(n)

→ crée un vecteur dont les n composantes sont nulles

→ crée une matrice n×m, dont les éléments sont nuls

→ crée la matrice identité d'ordre n

np.zeros((n,m))

np.linspace(a,b,n)

np.arange(a,b,dx)

→ crée un vecteur den valeurs régulièrement espacées de a à b

→ crée un vecteur devaleurs de a incluse à b exclue avec un pas dx

M.shapeM.sizeM.ndim

→ tuple donnant les dimensions de M→ le nombre d'éléments de M→ le nombre de dimensions de M

import numpy.linalg as la

la.det(M)la.inv(M)la.eigvals(M)la.matrix_rank(M)la.matrix_power(M,n)la.solve(A,B)

→ déterminant de la matrice carrée M→ inverse de M

→ valeurs propres de M→ rang de M

→ (n entier)M n

→ renvoie X tel que A X = B

M2 = M1.copy()Copier un tableau avec la méthode copy :

M[i], M[i,:]Extraction d'une partie de matrice

→ ligne de M d'index i

M[:,j] → colonne de M d'index j

M[i:i+h,j:j+l]→ sous-matrice h× l

import scipy.integrate as spi

spi.odeint(F,Y0,LT)

spi.quad(f,a,b)

→ renvoie une solution numérique du problème de Cauchy Y'(t) = F(Y(t), t ) , où Y est un vecteur d'ordre n, avec la condition initiale Y(t0) = Y0, pour les valeurs de t dans la liste LT de longueur k commençant par t0, sous forme d'une matrice n×k

→ renvoie une évaluationnumérique de l'intégrale : ∫a

bf ( t)dt

Fonctions mathématiques usuelles

np.exp, np.sin, np.cos, np.sqrt etc.→ fonctions qui s'appliquent sur des réels ou des complexes, mais aussi sur des vecteurs et des matrices (s'appliquent à chaque terme), qui sont optimisées en durée de calcul.

Rappel : ce mémento est fourni à titre indicatif. Il ne faut le considérer ni comme exhaustif, ni comme exclusif, ni comme un minimum à connaître absolument (l'examinateur n'attend pas du candidat qu'il connaisse parfaitement toutes ces fonctions et ces commandes).

M1+M2, M1*M2, M**2 → opérations « terme-à-terme »

M1.dot(M2) np.dot(M1,M2)

→ renvoie le produit de deux matrices

M.transpose()np.transpose(M)

→ renvoie une copie de M transposée (ne modifie pas M)

M.dot(V)np.dot(M,V)

→ renvoie le produit d'une matrice par un vecteur

V1.dot(V2) np.dot(V1,V2)

→ renvoie le produit scalaire de deux vecteurs

M.trace() np.trace(M)

→ renvoie la trace de M

M+c → matrice obtenue en ajoutant le scalaire c à chaque terme de Mc*M → multiplication de la matrice M par le scalaire c

Calcul matriciel et vectoriel

sum(M)min(M)max(M)

→ somme de tous les éléments de M→ plus petit élément de M→ plus grand élément de M

sum(M,"r")min(M,"c")max(M,"r")

→ somme des lignes→ plus petits éléments, de chaque ligne→ plus grands, de chaque colonne

deuxième argument optionnel : "r"→ sur chaque colonne, renvoie un vecteur-ligne "c"→ sur chaque ligne, renvoie un vecteur-colonne

Mémento numérique Scilab

Construction de tableaux

zeros(1,n)

eye(n,n)

→ crée un vecteur-ligne dont les n composantes sont nulles→ crée une matrice n×m, dont les éléments sont nuls

→ crée la matrice identité d'ordre n

zeros(n,m)

linspace(a,b,n)

a:dx:b

→ crée un vecteur-ligne den valeurs régulièrement espacées de a à b

→ crée un vecteur-ligne de valeurs de a incluse à b incluse avec un pas dx size(M)

length(M)→ vecteur-ligne des dimensions de M→ le nombre d'éléments de M

Algèbre linéaire

det(M)inv(M)spec(M)rank(M)M^nlinsolve(A,B)

→ déterminant de la matrice carrée M→ inverse de M→ valeurs propres de M→ rang de M→ M n

→ renvoie X tel que A X = B

trace(M) → trace de la matrice carrée M

M(i,:) M(i,1:$)Extraction d'une partie de matrice

→ ligne de M d'index i (vecteur-ligne)

M(:,j) M(1:$,j)→ colonne de M d'index j (vecteur-colonne)

M(i:i+h,j:j+l)→ sous-matrice (h+1) (× l+1 )

Intégration numérique

ode(Y0,t0,LT,F)

intg(a,b,f)

→ renvoie une solution numérique du problème de Cauchy Y'(t) = F(t ,Y(t)) , où Y est un vecteur d'ordre n, avec la condition initiale Y(t0) = Y0, pour les valeurs de t dans la liste LT de longueur k, sous forme d'une matrice n×k

→ renvoie une évaluationnumérique de l'intégrale : ∫a

bf ( t)dt

Remarque sur les fonctions mathématiques usuelles

exp, sin, cos, sqrt etc.→ fonctions qui s'appliquent sur des réels ou des complexes, mais aussi sur des vecteurs et des matrices (s'appliquent à chaque terme), qui sont optimisées en durée de calcul.

Rappel : ce mémento est fourni à titre indicatif. Il ne faut le considérer ni comme exhaustif, ni comme exclusif, ni comme un minimum à connaître absolument (l'examinateur n'attend pas du candidat qu'il connaisse parfaitement toutes ces fonctions et ces commandes).

Définition d'un vecteur, d'une matrice

U = [1,2,3]

M = [1,2;3,4]

→ U : liste = vecteur-ligne ( 1 2 3 )

→ M : matrice (1 23 4)

V = [1;2;3] → V : vecteur-colonne (123)

M1.*M2, M.^2 → opérations « terme-à-terme »

M1*M2 → produit (matriciel) des deux matrices

M1+M2 → somme des deux matrices

M'→ transposée de la matrice MV' → passage d'un vecteur-ligne à un vecteur-colonne, et inversement

M*V

V1'*V2

→ produit d'une matrice par un vecteur-colonne

→ produit scalaire de deux vecteurs-colonnes

c*M → multiplication d'une matrice M par un scalaire c

M+c → matrice obtenue en ajoutant le scalaire c à chaque terme de M