MP – Physique-chimie. Devoir surveillé

Jean Le Hir, 14 décembre 2009 Page 1 sur 3

DS n°4-1 : corrigé

Premier problème : Chimie

Extrait du concours e3a

La maille élémentaire comprend huit atomes de sommets comptant pour 1/8e et un atome au centre du cube comptant à part entière. Cela fait :

11 8 2 atomes par maille

8n = + × =

33 3

A

8,512

10 kg mM

N a−= × ⋅µ =

Les sphères doivent être tangentes sur une diagonale du cube de longueur 3a . Nous en déduisons :

1Nb

2143 10 m3

4143 pm

ar −= × ==

Définition : la compacité est le rapport du volume occupé par les sphères sur le volume total.

Calcul :

3Nb

No 30,

433

86

28

rC

a

π= =× π

=

L’oxygène a pour nombre d’oxydation -2 et dans une molécule la somme algébrique des N.O. est nulle. Nous en déduisons : N.O.(Nb) 5= +

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En appliquant la règle de Klechkowski : 2 2 6 2 6 2 10 6 2 31 2 2 3 3 4 3 4 5 3

5 électronsde valence

s s p s p s d p s d�����

Les cinq électrons de valence justifient la valeur du nombre d’oxydation et la stabilité de l’oxyde

( ) ( ) ( )2s 2 g 5 s4 2

Nb O Nb O5 5

+ = (1)

( )( )0 0r 1 f 2 5 s

1760 kJ m2

Nb O5

olH H −= − ⋅∆ = ∆

( )( ) ( )( ) ( )( )0 0 0 0r 1 m 2 m m5 s 2 g s

1 12 4Nb O O Nb 179 J mol

5K

5S S S S − −= − ⋅= ⋅∆ − −

La réaction est exothermique ( )0r 1 0H∆ < . D’après la formule de Van’t Hoff :

00r 1

2

ln0

Hd K

dT RT

∆= <

Une augmentation de température implique une diminution de 0ln K et donc, la fonction logarithme étant monotone croissante, une diminution de 0K .

Un tel système n’a pas de paramètre intensif de constitution. Les seuls paramètres intensifs sont p et T, au nombre de 2. À l’équilibre chimique, la relation r 0G∆ = doit être satisfaite, ce qui implique une

relation entre T et p : le système est monovariant. On ne peut donc pas imposer indépendamment la température et la pression sans rompre l’équilibre.

Avec un constituant gazeux inerte supplémentaire, il existe un paramètre intensif de constitution pour la phase gazeuse et la variance est donc égale à 2 : en jouant sur la composition de la phase gazeuse, on peut donc imposer indépendamment p et T.

( )2,eq0 0 0

O 0 r r r0

285 à 298ln ln Kp G H S

K TRT R RP

TT

∆ ∆ ∆= − = + = − =+ − =

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Commentaire : à cette température, la pression d’oxygène à l’équilibre est tellement petite que l’on doit considérer que la réaction est totale.

( ) 2

2,eq

2

O

1O7 10 kJ molln à 298K

pTA T RT

p−= × ⋅ ==

L’air libre correspond précisément à la pression partielle 2O 0,2 barp = : les conditions numériques

précédentes s’appliquent donc : l’oxydation du niobium est très favorisée thermodynamiquement.

L’étude thermodynamique ne permet pas de conclure à la stabilité du métal vis-à-vis de la corrosion. Sans doute se forme-t-il une couche d’oxyde protégeant le métal d’une attaque en profondeur (passivation)

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DS n°4-2 : corrigé

Deuxième problème : Physique

Loi de Biot et Savart : ( ) ( )( ) ( )

20 0 0

3 3/2 3/22 2 2 2

PMM

4 4 4PM

r z z rIa d e ae ze Ia d e Iaz d eI d

dBa z a z

θθ ∧ − +µ µ µ θ + θ∧= = =π π π+ +

��� ��� ��� ��� ������ ������� ℓ

Les contributions radiales se compensent et l’intégration conduit à la forme attendue :

( )( ) ( )

( )2 2

0 03/2 3/22 2 2 2

M4 2

zz z

Ia e IaB d e f z I e

a z a z

µ µ= θ = =π + +∫

C

����� ��� ���

Le plan xOz est un plan d’antisymétrie de la distribution des courants. En un point de ce plan, le champ est donc contenu dans ce plan et donc de la forme annoncée. Le plan zOy est un plan d’antisymétrie de la distribution des courants. En deux points symétriques par rapport à ce plan, les champs sont donc symétriques.

Conclusions :

( ) ( ), ,x xB x z B x z− = −

( ) ( ), ,z zB x z B x z− = +

M

P

θ

z

x( )M ,x z ( )M ,x z−

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En coordonnées cylindrique r est défini positif et a priori l’angle θ est défini dans l’intervalle 0 2≤ θ < π . Nous pouvons tout aussi bien définir r algébrique avec la convention

( ) ( ), , , ,r z r zθ = − θ + π . La fonction ( ),rB r z apparaîtra alors comme fonction paire de r tandis que

la fonction ( ),zB r z apparaîtra comme fonction impaire de r. Ces fonctions sont continues à dérivées

continues et admettent donc des développements limités en 0r = impair pour ( ),rB r z et pair pour

( ),zB r z .

L’équation locale traduisant la conservation du flux de B���

s’écrit : div 0B =���

. En coordonnées

cylindriques, nous avons ( ) ( ) ( ) ( )2, ,1 1

div r zz r IrB r z f z IB r z

Br r z r r z

∂ α∂ ∂ ∂ = + = +∂ ∂ ∂ ∂

���. Soit :

( )2 0df

zdz

α + = ou encore : ( ) ( )( )

20

5 22 2

1 1 3

2 2 4

a zdfz f z

dz a z

µ′α = − = − =+

La forme locale du théorème d’Ampère s’écrit : 0rot B j= µ��� ��� ��

, soit rot 0B =��� ��� ���

en un point où la densité

de courant est nulle. Dans le cas d’un champ de vecteur B���

n’ayant pas de composante orthoradiale

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Bθ et dont les composantes rB et zB ne dépendent pas de θ, le rotationnel s’écrit :

rot r zB BB e

z r θ∂ ∂ = − ∂ ∂

��� ��� ���.

Avec ( )rB z r I= α et ( ) ( ) 2zB f z I z r I= + β , cela s’écrit ( ) ( )2 0r zB B

z r I r z Iz r

∂ ∂ ′− = α − β =∂ ∂

, soit :

( ) ( ) ( )( )

( )2

2 207 22 2

1 1 34

2 4 8

az z f z a z

a z

µ′ ′′β = α = − = −+

Il s’agit ici du flux dû à la composante ( ),zB z r ayant pour expression ( )0

2 ,b

zr B z r drφ = π∫ et dont

la valeur limitée au second ordre en b s’écrit : ( ) ( ) ( )2 2, 0zb B z b f z I tφ π = π≃

La f.e.m. induite dans le circuit ( )C′ est composée de l’auto-induction dI

Ldt

′′− et de l’induction de

Neumann ( )2d dIb f z

dt dt

φ− = −π due au champ magnétique créé par la spire ( )C . Dans l’hypothèse

ARQS, nous pouvons donc écrire :

( )2dI dIL b f z RI

dt dt

′′ ′− − π =

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L’équation différentielle s’écrit donc ( )2 0dI dI

L b f zdt dt

′′− − π = et s’intègre simplement en

( ) ( ) ( )2

teb f zI t I t C

L

π′ = − +′

. Les intensités étant initialement nulles dans les deux spires, la constante

est nulle et l’on a : ( ) ( ) ( )2b f z

I t I tL

π′ = −′

Nous en déduisons : ( )2

0 0

b f zI I

L

π′ = −′

( ) ( )( )0 0 , ,r r z zdF I d e B I d e B b z e B b z eθ θ′ ′= ∧ = ∧ +���� ��� ��� ��� �� ��

ℓ ℓ . La force élémentaire de Laplace a donc une

composante radiale ( ) 0,r zdF B b z I d′= ℓ et une composante axiale ( ) 0,z rdF B b z I d′= − ℓ .

Du fait de l’invariance par rotation, les contributions radiales ont une résultante nulle par intégration sur la spire tandis qu’au contraire les contributions axiales s’ajoutent :

( )( )

( )( )

( )0 0 0, , 2 ,

2 0

r z z r r zC C

F B b z I e d B b z I e d bB b z I e

b

′ ′′ ′ ′= − + = − π

π

∫ ∫��� �� �� ��

ℓ ℓ

����� �����

Soit finalement : ( ) ( ) ( )2 2 4 20 0 02 2z z

f zF z b I I e z b I e

L′= − πα = π α

′��� �� ��

Nous avons démontré que ( ) 1

2

dfz

dzα = − . La force résultante de Laplace s’exprime donc comme une

dérivée :

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( ) ( ) ( ) ( )2 4 2 4

22 4 2 20 0 02

2z z z

f z df b b dF z b I e f z I e f z I e

L dz L L dz

π π = π α = − = − ′ ′ ′

��� �� �� ��

ou encore ( )2 4

2p02z z

dE d bF e B z e

dz dz L

π= − = − ′

��� �� ��

Nous avons bien identifié une énergie potentielle de la forme ( )2

p 0E K B z= , avec 2 4

2

bK

L

π=′

.

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Avec ( )( )

3 42 3 2 20

p 0 32 20

0,4

R aE B z R N I

a z

µπ= = πµ +

, nous avons donc :

( )( ) ( )

p 3 2 4 2 20 0 04 42 2 2 2

3

2

dE z zF z R N a I I

dz a z a z= − = πµ = γ

+ + avec 3 2 4

0

3

2R N aγ = πµ

Dérivons le logarithme de ( )F z : ( )2 2

2 2 2 2

1 1 2 74

dF z a z

F dz z a z z a z

−= − × =+ +

( )F z est une fonction croissante pour 7

az < et décroissante pour

7

az > . ( )F z présente donc un

maximum pour m7

az z= = . La force maximale a pour valeur :

( )4

2 2 2mm 0 0 04 772 2

m

7

8 7

z cF I I I

aaa z

γ γ = γ = = +

avec 4

7 10,22

8 7c

=

≃

z

( )F z

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Pour qu’un équilibre soit possible, il faut bien sûr que cette force maximale mF soit supérieure au

poids : 2m 07

cF I mg

a

γ= > , soit

( )73 27

0 m 13

5 10 9,8 5 1011,8 A

2,77 10

mgaI I

c

− −

−

× × × ×> = = =

γ ×

Les deux valeurs de z correspondant à ( )F z mg= sont mises en évidence graphiquement sur le

schéma suivant :

À partir de la cote 1z , une diminution de z provoque une diminution de la poussée verticale la sphère

tombe sous l’effet de son poids. Au contraire, à partir de la cote 2z , une diminution de z provoque une

augmentation de la poussée verticale qui ramène à sa position d’équilibre : la position la plus haute est une position d’équilibre stable.

Nous prenons pour expression de l’énergie potentielle 3

2p

0

RE B

π=µ

, soit

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )3 3

222 2 2p 0 0 0

0 0

, ,r z

R RE B r z B r z z r NI f z NI z r NI

π π = + α + + β µ µ≃ .

z

mF

mg

1z 2z

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En nous limitant à l’ordre 2 en r, cela donne :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )32 22 2 2

p s 0 s s s s0

, 2R

E r z N I f z z f z z rπ + α + β

µ≃

La force radiale ( ) ( ) ( )( )3

2p 2 20 s s s

0

2 2r

E RF N I z f z z r

r r

∂ π ∂= − = − α + β∂ µ ∂

est bien nulle pour 0r = , ce

qui démontre que la position axiale est une position d’équilibre et cette force est centripète, c’est-à-dire que l’équilibre est stable vis-à-vis des petits déplacements latéraux, dès lors que

( ) ( ) ( )2

s s s2 0z f z zα + β > .

Je n’ai pas trouvé de solution plus élégante que de simplifier l’expression ( ) ( ) ( )2

s s s2z f z zα + β par

un développement, réduction au même dénominateur, etc. Ce qui conduit à :

( ) ( ) ( )( )

2 22 2 4 s

s s s 0 52 2s

2 532

16

a zz f z z a

z a

−α + β = µ+

.

La condition définissant la stabilité latérale s’écrit donc : 2 2s2 5 0a z− > , soit : s

2

5z a<

Rappelons que la condition de stabilité verticale impose m7

az z> =

Nous avons ainsi démontré l’existence d’un intervalle de stabilité : s

2

57

az a< < soit, en valeurs

approchées s0,378 0,632a z a< <

La position d’équilibre est définie par la relation ( )( )

2ss 042 2

s

zF z I mg

a z= γ =

+. Nous obtenons la

sensibilité en effectuant une simple dérivation à 0I constant :

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( )52 2 2 2ss s s

2 2 22 20 ss

s

1

77

a zdz z a zm

dg I g z aa zdg

dz

+ +ε = = = =γ −−

Notons tout d’abord que cette valeur de sz est bien comprise dans l’intervalle de stabilité. Nous avons

alors : 5

6

a

gε =

Application numérique : 3 24,25 10 s−ε = ×

On veut atteindre 910g

g−δ = , cela implique 12

s

58,3 10 m

6

a gz

g−δδ = = × .

Cette mesure serait extrêmement fine, elle est à comparer à la dimension caractéristique de l’atome

qui est d’un ordre de grandeur dix fois plus grand ( )1010 m− . Une telle précision semble bien difficile

à atteindre !

Imaginons une compensation de la variation de g par une variation du courant 0I en maintenant sz

constant. Nous avons alors : 0

0

2I g

I g

δ δ=

Application numérique : 900 0,5 13 10 6,5 nA

2

I gI

g−δδ = = × × =