Nombres complexes :

Terminale S 1 Janvier 2013

Présentation historique

Introduction

Ce sont les tentatives successives de résolution des équations du troisième degré qui ont conduit peu à peu à la découverte des nombres complexes.

Première équation du troisième degré

Al-Biruni Savant et philosophe arabe (973 - 1050)

Ses tentatives de construction d’un ennéagone régulier l’ont conduit àl’équation x3 = 1+3x.Il donne une valeur approchée très précise de la solution.

Première résolution géométrique

Dans ses Démonstrations de problèmes d'algèbre de 1070, Omar Khayyam, qui est poète, philosophe, astronome et mathématicien, démontre que les équations cubiques peuvent avoir plus d’une racine. Il fait état aussi d’équations ayant deux solutions, mais n'en trouve pas à trois solutions.

Première résolution géométrique

Khayyam propose une méthode graphique pour estimer le nombre et les valeurs des racines, qui est la suivante : Prenons l'équation x3-2x-3=0, que l'on peut transformer en x3-2x=3, puis en x(x2-2)=3, et enfin x2-2=3/x.

Première résolution géométrique

Mais le membre de gauche de l'équation précédente est l'équation d'une parabole, le membre de droite celle d'une hyperbole.

Les solutions de l'équation de départ sont donc les abscisses des points d'intersection de la parabole et de l'hyperbole.

Première résolution géométrique

Premières formules

Niccolo Tartaglia (1499 – 1557).

En 1535, lors d'une confrontation avec Maria Fiore (élève de Scipione del Ferro), on lui propose trente équations du troisième degré du type x3 + p.x = q.

Premières formules

Les résolutions ne se font, à l'époque, qu'à tâtons. Dans la nuit du 12 au 13 février, juste avant la date limite, Tartaglia trouve la résolution générale de ce type d'équation et il résout les trente équations en quelques heures.

Premières formules

Cardan (1501- 1576)médecin, physicien, astrologue et mathématicien, mis au courant de ce succès, fait venir Tartaglia à Milan et le persuade de lui révéler sa méthode, en promettant de ne jamais la dévoiler et a fortiori la publier. Celui-ci cède. Cardan trouve alors la solution générale des équations du troisième degré.

Premières formules

Il apprend plus tard que Scipione del Ferro a donné la solution avant Tartaglia, se sent délié de sa promesse et publie le résultat dans Ars magna en 1545.

La formule qui permet de calculer l’une des solutions de l’équation x3 = px + q :

est connue sous le nom de formule de Cardan.

x=3√ q

2+√(q

2 )2

−( p3 )

3

+3√ q

2−√(q

2)2

−( p3 )

3

Premières formules

Exemple : appliquer la formule de Cardan à chacune des équations :

a) x3 = 36x + 91

b) x3 = 15x + 4

x=3√ q

2+√(q

2 )2

−( p3 )

3

+3√ q

2−√(q

2)2

−( p3 )

3

Conséquences de cette formule

Rafaël Bombelli (1526-1572)

Après qu'en 1546 la controverse entre Cardan et Tartaglia devient publique, Bombelli, admirateur de Cardan, décide d'écrire un traité d'algèbre. Ce traité, rédigé entre 1557 et 1560, expose les connaissances algébriques de l'époque.

Conséquences de cette formule

En ce qui concerne les équations de degré supérieur à deux, Bombelli comme ses contemporains, traite un grand nombre de cas, ne considérant que les coefficients positifs, mais son habileté et sa maîtrise à utiliser les racines de nombres négatifs le rendent capable de démontrer que la formule de Cardan est valable dans tous les cas.

Conséquences de cette formule

On peut donc dire que la solution du cas irréductible de l'équation cubique lui revient.

Il appelle les racines carrées d'une quantité négative, piu di meno et meno di meno.

Il donne de plus des règles de calcul sur ces nombres.

De nouveaux nombres?

Albert Girard (1595 – 1632)

affirme que toutes les équations de degré n ont exactement n solutions, si on accepte les solutions impossibles, et les négatives, et si on tient compte des solutions multiples.

Il considère par exemple l’équation x4=4x-3, et donne pour solutions :

De nouveaux nombres?

René Descartes (1595 – 1632)

Donne en 1637 dans sa « Géométrie » le nom d’imaginaires à ces nouvelles solutions.

Ces nombres, de même que les nombres négatifs, vont mettre très longtemps avant d’être accepté en tant que nombres.

De nouveaux nombres?

Gottfried Leibniz (1646 – 1716)

philosophe et mathématicien écrit à ce sujet en 1702 :

« Ces notions d’imaginaires ont ceci d’admirable que, dans le calcul, elles n’enveloppent rien d’absurde ou de contradictoire et que cependant elles ne peuvent être présentées dans la nature des choses »

De nouveaux nombres?

Leonhard Euler (1707 - 1783) mathématicien et physicien, écrit en 1774 :    « Toutes les expressions comme

etc… sont des nombres impossibles ou imaginaires, puisqu’ils indiquent des racines de quantités négatives…/… pourtant ces nombres se présentent à l’esprit, ils ont lieu dans notre imagination, et nous ne laissons pas d’en avoir une idée suffisante, par exemple est un nombre qui multiplié par lui même fait –4.

De nouveaux nombres?

C’est pourquoi rien ne nous empêche d’appliquer le calcul à ces nombres imaginaires et de les employer.»

Euler constate plus tard que l’écriture conduit à des contradictions, il propose alors de remplacer par i (début d’imaginaire).

i est donc un nombre tel que i²=-1

De nouveaux nombres?

Gauss (1777-1855)Il fut le premier à démontrer rigoureusement le théorème fondamental de l'algèbre Il donne le nom de nombre complexe aux nombres de la forme a +bi et propose en 1811 dans une lettre de représenter un tel nombre par le point de coordonnée (a;b) dans le plan.

Les nombres complexes aujourd’hui

Zn = (Zn-1 ) ² + C

Benoît Mandelbrot, (1924-2010) mathématicien français, a développé une nouvelle classe d’objets mathématiques : les objets fractals, ou fractales.

L’objet ci-contre est obtenu à partir de suites de nombres complexes :

FIN