C. R. Acad. Sci. Paris, t. 328, Skrie I, p. 557-562, 1999 Thkorie des nombresf Number Theory (Analyse mathCmatiquelMathemafica/ Analysis)

Preuve d’une conjecture de Hardy et Littlewood

Ihiss ESSOUABRI

R&urn& Soient H un nombre irrationnel quadratique positif et I’. (2 E R[S,, .Y?], On pose Z,,(I? C): ,A) = crf,;=, c;;‘:yl Q(u,, m,) I’ ,‘( IU,. ‘u/~). En 1930, K. Mahler [X] a dCmontrC, sow des hypothkses asset fortes sur I’ (ellipticitt?), un th&orkme d’existence de prolongement mkromorphe au plan complexe de telles skries. Le but de ce travail est de prouver un rCsultat aussi prick mais pour une classe de polynbmes plus gCn&ale (dans un si:ns m&me optimal) et d’obtenir, comme application, une dknonstration d’une conjecture de Hardy-Littlewood Clh]. 151) concernant I’existence et les proprietk du prolongement mkomorphe de In skie de Dirichlet :

oti /la (t) = bk ( { f } ) = br (1 - [f] ) est la k-i&me fonction de Bernoulli. Nous donnons aussi une extension foible du thCor&me de Mahler au cas oti 0 est un nombre alpkbrique quelconquc. 0 Acadkmie des Sciences/Elsevier. Paris

Proof 0.f n Hardy and Littlewood’s conjecture

Note prksentke par Bernard MA~.c:RAN(:E.

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D. Essouabri

A bridged English Version

Let H > 0 be an irrational algebraic number. and for any X: E N* let Rb be the A:-th Bernoulli’s function defined by Bk(t) = bk({t}). where {i’} = t - [t] d enotes the fractional part of t and the I),.( .Y) E R[X] are the polynomials of degree X: generated by the formula:

We also define, for s E 43 satisfying !RP(s) > 1 and for :I: E 53, .II > 1:

The study, when .I‘ + +<x;, of S’$(.r) = x,lC,r I?,. (no), IS intimately related to the analytic properties - of the Dirichlet’s series c,“(s).

In [6]. Hardy and Littlewood gave a survey of this problem and formulated several conjectures ([6]. p. 526). One of this conjectures concerns the meromorphic continuation of the Dirichlet’s series <i(s) to the complex plane when H is quadratic and X: > 2. The case k = 1 was resolved by E. Hecke in [7] (?;PP also [4]). In the same way K. Mahler ]8] proved the existence and gave a precise description of the poles of the meromorphic continuation of the following Dirichlet’s series:

He assumes that H :, 0 is quadratic, P and tJ are polynomials with 1’ elliptic. Even though c,“(s) is a finite sum of Zo(I? Q: s) for some suitable polynomials I’ and d), Hardy-Littlewood’s conjecture is not a consequence of Mahler’s theorem because P and I) need not satisfy the assumptions of Mahler.

The goal of this work is first to generalize Mahler’s theorem: we prove as precise a result as Mahler’s but under more general assumptions on P and C) which are probably optimal. In a second time. we show that our generalization of Mahler’s theorem gives a positive answer to Hardy-Littlewood’s conjecture and implies the Hecke-Hardy and Littlewood’s theorem with the same precision.

In the first part we essentially prove that the Dirichlet series Ze(P: Q; ,s) admits a meromorphic continuation to the IL./Z& ca~r~le.~ $~tn C with moderate growth and with poles of order at most 2 and contained in:

for some A4 = A{(#. P. Q) E N*, and some unit rl > 1 of Z[H] and when CJ() is the abscissa of convergence. We assume that B is a quadratic number, P, Q E R[Xl, X2] and that P satisfies the following assumptions:

1. P(x) - +(x when llxll _ +xj. x E AH and d(&. {z E C’ 1 P(z) = 0)) > 0; 2. P is nondegenerated on S,, = { (:/,I, H:r:l) 1 J*I > i} (i.e. if F’(x) = ~C,Ch,,,)r)CP) r&,,x” and if

we set P*(x) = CI,F,I,,‘I’C ,,) x”, then P(x) =: P*(x) on So).

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Preuve d’une conjecture de Hardy et Littlewood

The main result of the second part is the existence of the meromorphic continuation (with moderate growth) to the whole complex plun C of the Dirichlet series

+r*: R((H71)) <0(X: .s) = c

n+ (R E [w[.Y, , 521) and H quadratic number).

,l = 1

The poles are simple and are contained in a set of the form:

SH = 1 /( + ?K (A:, A.*) E N x yf Ill ‘rj

for

We finally give a weak extension of Mahler’s theorem to number not necessarily quadratic.

some r/ > 1 an unity of Z[H].

the case when H is an irrational algebraic

Soit H un nombre a1gCbrique irrationnel positif. L’Ctude du comportement, quand :r + +CG, de m.I.) = Cl,<.r Ukc~rf)), est intimement like ?I celle des propri&?s analytiques de la s&ie de Dirichlet : -

Dans 161, Hardy et Littlewood dressent un tableau rCsumant les enjeux et les progrks rkalids sur le sujet et formulent un certain nombre de conjectures ([6], p. 526) parmi lesquelles le problkme du prolongement mCromorphe de s +-+ c:(s) au plan complexe quand H est quadratique et X: 2 2. Le cas X: = 1 a dkjSi Ctk r&olu par E. Hecke (71 (Gr aussi 143).

Dans le m&me ordre d’idees, K. Mahler 181 a demontre l’existence du prolongement mCromorphe au plan complexe et y a d&rit la rkpartition des pGles des series de Dirichlet de la forme :

sous les hypothPses : H est un nombre irrationnel quadratique positif, P et Q sont deux polyn8mes avec f’ dliptiqw.

Or il se trouve. comme nous l’avons montre dans ce travail, que chacune des series de Dirichlet c(s) s’exprime comme somme finie de fonctions qui se dCduisent facilement de la fonction < de Riemann et de sCries de type ZQ( P. CJ: s) pour des polyn6mes P et Q adCquats. Le problkme est que ces J’ et Q adkquats ne Grifient pas les hypothkses du thCorirme de Mahler et par consequent la conjecture de Hardy-Littlewood n’en dCcoule pas.

L’objet de ce travail est d’abord de @n&aliser le theorkme de K. Mahler. Plus prCcisCment, nous montrons (thCorkme 1) qu’on a un rCsultat aussi p&is avec, cependant. des hypothkses plus &n&ales sur f et C) et, dans un certain sens. m&me optimales.

Une fois l’affaiblisscment des hypothttses est obtenu, nous montrons que cette fois-ci le cadre est assez gCnCral pour en dCduire la conjecture de Hardy-Littlewood (corollaire I) et permet mCme de retrouver le theorkme de E. Hecke-Hardy et Littlewood avec le m&me de,@ de precision (fin du corollaire I ).

I\‘ous donnons aussi (thCorkme 2) une extension faible du theorkme de K. Mahler au cas oti H est un nombre irrationnel algCbrique non nCcessairement quadratique.

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1. bonds des rCsultats

Dans toute cettc partie H dksigne un nombre irrationnel algkbrique positif. On posera :

‘AH = {

(Xl. x2) E R” 1 1

.rl > - et - < x2 < H.rI . 2 2 1

On a alors les rksultats suivants :

THEORME 1 . - .Soient H un nombr~~ irrationnrl quodratiqur pnsitljc et I’, C) E W[.Yl, -Yz] \ { 0). On ~suppose que P ver!‘fie les hyporhhrs suivunres .

I. P(x) - +x2 quand llxll f +px,, x E ilfj et (I(-&% {z E C2 j P(z) = 0)) > 0 ; 2. P est non d+Pnlt+ sur SH = { (:/:I. HII) ) 2.1 > i} (C i)As). i.e., si P(x) = ~,rEsr,p,,cPj u,,x”

e’t .vi on p0.w P*(x) = C,,E-hu ,,,, cP, X”. &rs P(X) X P*(x) sur Sfl. Alors : 1. ZH( p, C); s) c~tn~~rgr &w~lument et d$nit une jimctioti holomorphe dans un demi-plan dr la

,fiwmr { !I?e(s I > /j}. On noterct oII son &wisse de convergence ; 2. s w ZH(P. C); s) posskr’e un prolongemen~ mkromorphe ci tout le plan cotnp/exe c avec des

@es d’ordre au plus 2 c’t contenus clans un ensemble de IN ,forme :

I-,, = i

x: 2k* n% fl(l - - + ni

lu (x:,x:*) E tA* x z u {q,}. I

oii M = n/1(0, I-‘, I)) E N* et ~1 est une unik > 1 de iZ[H]. De plus, les piiles non Gels de Zd snnt simples.

3. Si de plus CJ ve’rjfie Q(m) 2 0, pour tout m E ‘40 n P’, colors I’~hscis.se de convergence crU est qjfec~ivemenf un pcile de Zd et appctrtient ir Q,.

4. Le prolongernent mr’romorphe .?o dc ZH \+r$e :

3 D = D(i? F’. t)) > 0 tel que. VJ;. n, N > 0. 3 C = C’(,s, 6, H, N. I? C)) > 0 tel que (“)

I&( P. C): s)( < c (1 + JTID(+fl)+r)

unijkn-m&merit en s = 17 + ir ~+r$iflnt IT > ffl, - N et d(.r, ITH) 2 h. 5. Si de plus le pol?;nBme CJ \+r$e lo condition : d( A”, Z( CJ)) > 0, ulors cro = cr& 02 CT,!, r,yt

l’obscisse de c’onvergence de l’int&grale Yi(F? (2; .s) = ,/=I, CJ(x)P-“(x) (lx.

COROLLAIKE 1 (conjecture de Hardy-Littlewood). - Soient 0 un twmbre irr&ionnel quadr&ique positif et X E R[.Ti] un polyncim~~. On pose crlor.s, pour s E C ve’rijant !Kc(s) >> 0,

Alors C( R: s) conwrgr absolument et d$nir une ,fonc.tion holomorphe dcms Ie dcmi-plan {s E C 1 !%I( cs) > I}. Elle possede un prolnngement mlromorphe &( R; cs) 2 tout le pln~l complexe Cc aver des pciles simples et conlenus das un ensemble de 10 ,fortne :

&= l-x:$--- {

~7r~~w (k,k*) E N x 7 , 111(v) / 1

oil ~1 > I est une with positive de z[H].

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Preuve d’une conjecture de Hardy et Littlewood

De plus,

3/j = /j(H.R) > 0 tel qur. VN E IV, CI > 0, E > 0: 3C’ = Cr(N,b,~,H,fi) > 0 tel que :

uniformPment en s = CT + %r vkrijant (T > 1 - N et cl(s, Se) 2 b. En outre, si on supp~we que le polyncime I? est de degre’ infgrieur ou @aI ir 1, alors on peut remplacer

l’ensemble des candidats pBles Se ci-dessus par le sui\lant :

En fait la conjecture de Hardy-Littlewood concerne le cas oti R( {ne}) = tjk(nH), Bk. Ctant la k-i&me fonction de Bernoulli. et elle dkcoule done de notre corollaire.

Voici maintenant l’extension faible du thkorkme de K. Mahler :

THI~OR~ME 2. - Soit H 1412 nombre algr’hrique irrationnel positif (non nkcessairement quadratique). Soient I’, Q E R[Xl , .UJ. On suppose que F’ vr’ri$e lrs hypothdses du the’orkme 1 et que Q ve’rije : Vrn E AH fl Z”, I)(m) 2 0. Alors la sPrie de Dirichlet Z@(P, Q. .) , ,b ve’rije les conclusions I, 3 et 5 du th&r?me 1. Elle poss~~dr en outre 1411 prokngement mkromorphe ci UFI demi-plan de la ,fr,rme :

{ ?Re(s) > “0 - /r> (/j > O),

oA elle vkrije la relntion (*) (voir le point 4 du th&r&ne 1) un(forn@ment en s = (T + ir v&ri$ant (5 > r() - 1) et 1s - erg/ > ?I.

2. IdCes des dkmonstrations

L’ensemble -40 est un semi-algibrique de Iw* et notre s&e peut s’kcrire sous la forme :

Dans [2], nous avons GtudiC de telles skies dans le cas oti Ati est remplack par un semi-algkbrique ouvert quelconque g&&al -4 et les polyn6mes P et CJ vkrifiant des hypothkses faibles. 11 en dkcoule que la sCrie de Dirichlet associke B un tel semi-algkbrique A, posskde un demi-plan de convergence et d’holomorphie {!Re( s) > (ro}, oti no est son abscisse de convergence, et qu’elle posshde un prolongement mkromorphe A un demi-plan de la forme { !Re(s) > oU - [I} (/j > 0) avec ‘~0 comme seul pale. Comme nous l’avons remarquk, I’existence ou non d’un prolongement mkromorphe B tout le plan complexe dCpend (et reflkte) des propriCt& arithmktiques de 3A.

Le cas trait6 ici nous fournit l’occasion de vkrifier une telle affirmation ; en effet, i3Ae est compktement dCtermin6 par H et dans le cas oti H est quadratique, nous avons dCmontr6 l’existence du prolongement mkromorphe h tout le plan complexe de Z,(P. Q; s) (rksultat qui ne dkoule pas de 121) et la rkpartition des pales du prolongement de ZO( P, Q; a) h en rkseau ne fait que reflkter le caractkre quadratique de 0.

Pour obtenir les rksultats annoncks dans cette Note, nous avons combin des idles gkomktriques avec des mkthodes plus cc ClCmentaires )) exploitant la pt+riodicitC du dCveloppement en fractions

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continues des irrationnels quadratiques. De faGon un peu plus prkise, pour dkmontrer le thCor&me 1 nous commencons par montrer l‘existence d’un demi-plan de convergence de la s&e de Dirichlet Zo (P. Q; s). Ensuite, nous construisons A l’aide des formules de reprksentation intCgrale multi-variables (Bochner-Martinelli, Leray. etc...) une reprksentation inkgrale de notre sCrie. Nous montrons que pour tout -r > f) assez petit, on a uniformkment en !Rf~(.s) >> 0 :

Ott

et

dVeC f = i,“171; ;yx;‘I ; ,‘s;Il(T;;)’

.SJ (Z)dS~ A df - .sz(z)dsl A elf

L + sin(7r:rs)” + sinh(7r?/-/1)2 + sinh(iwk2)2]2’ . ,

) ‘7 Sill x31 ,sln 7rt2 et s = (~1, ~2) = ( sin(7Cl), sin(7rZp)). A l’aide he la d&ingularisation et de I’analyse harmonique, nous montrons ensuite qu’il suffit de

verifier le thCor&me I pour une classe de polynemes I’ et Q adapt& (c’est l’analogue d’une reduction au cas 5 croisements normaux sauf qu’ici ce n’est pas ce dernier cas qui est le plus adCquat !). Les polynBmes P et I) adapt& sont choisis sow la forme :

oh 8’ est le conjuguk de H et I), (I E k4. L’avantage de ces choix est qu’ils permettent d’interpkter la pCriodicit6 du dkveloppement en fractions continues de l’irrationnel quadratique H en une Cquation fonctionnelle A I’aide de laquelle on obtient le prolongement mkromorphe des Zo(P, Q; s) associkes. Et le thCor&me d&coule de ce qui prCc&de. cl

Le corollaire, quant B lui. se dkduit du thkorkme 1 en interprktant les series de Dirichlet c$(.s) comme une sommc finie de skies de type Zo(I’, Q; s). Pour plus de renseignements sur les liens entre les diverses hypothkses Cvoqukes. lvir- [ 11. Pour les d&tails des dhzcrnstrutions des rPsultats de cette Note, IYGV 131.

Remerciements. Je tirns 2 remercier Daniel Barlet et Ben Lichtin pour leurs nombreuses remarques le long de la rkdisation de 1-e travail.

Rkfkences bibliographiques

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