Prévisions météorologiques, projections climatiques : que peut-on prévoir et avec quelle fiabilité ?

Exercice 1: le modèle de Lorenz: synthèse

L’oscillateur harmonique

Résolution de l’équation suivante pour t allant de 0 à 50:

12

221

zdt

dz

zdt

dz

avec 2=10En utilisant les conditions initiales z1=10, z2=-10.

Point d’équilibre z1= z2= 0.

L’oscillateur harmonique

La solution est évidemment une sinusoïde pour z1 et z2.

Evolution temporelle

L’oscillateur harmonique

Dans le plan z1 z2, pour différentes conditions initiales

L’oscillateur harmoniquePour différentes conditions initiales, l’erreur reste bornée et proportionnelle à l’erreur initiale

Equations de Lorenz

Le modèle de Lorenz

11 2

21 3 1 2

31 2 3

dzz z

dtdz

z z r z zdtdz

z z b zdt

avec =10, b=8/3, r=28.En utilisant les conditions initiales z1=10, z2=-10, z3= 20.

Points d’équilibres 1 2 3

3 1 2

3 1 2

0

( 1); ( 1)

et donc ici 27; 8.49

z z z

z r z z b r

z z z

Le modèle de Lorenz

Evolution temporelle pour différentes conditions initiales

Le modèle de Lorenz

Dans le plan z1 z2 et dans le plan z1 z3

La solution semble décrire deux types de comportement dans l’espace des phases: le mouvement autour d’un « centre d’attraction» et le changement d’un centre à l’autre.

Le modèle de LorenzOn peut aussi représenter la distribution de densité de probabilité (pdf), qui comme son non l’indique représente la probabilité de trouver le système dans un état donné.

Avant le calcul, les valeur de z1 on été moyennes sur un temps de 0,5. La pdf est calculée

pour des intervalles de z1 égaux à 0,5.

Le modèle de LorenzPour différentes conditions initiales, l’erreur reste bornée mais n’est pas proportionnelle à l’erreur initiale.

Le modèle de Lorenz

Dans le plan z1 z3 pour le cas standard et avec une perturbation de 50 %.