1

Probabilidades

01. Um aluno prestou vestibular em apenas duas

Universidades. Suponha que, em uma delas, a

probabilidade de que ele seja aprovado de 30%,

enquanto na outra, pelo fato de a prova ter sido mais fcil,

a probabilidade de sua aprovao sobe para 40%. Nessas

condies, a probabilidade de que esse aluno seja

aprovado em pelo menos uma dessas Universidades de:

Soluo:

A probabilidade dele no ser aprovado em nenhuma Universidade :

Universidade 1 p = 30% = 0,3 1 p = 1 0,3 = 0,7 (probabilidade de no passar

na 1 Universidade)

Universidade 2 p = 40% = 0,4 1 p = 1 - 0,4 = 0,6 (probabilidade de no passar

na 2 Universidade)

P1 = p x p 0,7 x 0,6 = 0,42 42% (de no passar em nenhuma)

Logo, a probabilidade de passar em pelo menos uma :

P1 + P2 = 1 P2 = 1 P1 = 1 0,42 = 0,58 ou 58% (letra D)

2

07. No jogo de Lipa sorteia-se um nmero entre 1 e 600

(cada nmero possui a mesma probabilidade). A regra do

jogo : se o nmero sorteado for mltiplo de 6 ento o

jogador ganha uma bola branca e se o nmero sorteado for

mltiplo de 10 ento o jogador ganha uma bola preta. Qual

a probabilidade de o jogador no ganhar nenhuma bola?

Soluo:

De 1 a 600 temos:

= 100 mltiplos de 6 chances do nmero ser mltiplo de 6

= 60 mltiplos de 10 chances do nmero ser mltiplo de 10

= 20 mltiplos simultneos de 6 e de 10 chances do nmero

ser mltiplo de 6 e de 10 simultaneamente

Temos que descontar uma vez os nmeros simultneos para no cont-los duas vezes,

o raciocnio o mesmo de unio de conjuntos com

interseco: .

Chances do nmero ser mltiplo de 6 ou de 10

Portanto, as chances do nmero no ser mltiplo de 6 nem de 10 so

de . Letra C

3

08. Trs estudantes A, B e C esto em uma competio de

natao. A e B tm as mesmas chances de vencer e, cada

um, tem duas vezes mais chances de vencer do que C.

Pede-se calcular a probabilidade de A ou C vencer.

Soluo:

pA = pB

pA = 2pC

pB = 2pC

pA + pB + pC = 1 substituo tudo por pC

2.pC + 2pC + pC = 1 pC = 1/5

Logo: pA = 2.pC pA = 2.1/5 = 2/5

A ou C pA + pC = 2/5 + 1/5 = 3/5 ou 60%.

12. Alguns amigos esto em uma lanchonete. Sobre a

mesa h duas travessas. Em uma delas h 3 pastis e 5

coxinhas. Na outra, h 2 coxinhas e 4 pastis. Se ao acaso

algum escolher uma destas travessas e tambm ao acaso

pegar um dos salgados, qual a probabilidade de se ter

pegado um pastel?

Soluo:

TRAVESSA 1 TRAVESSA 2

3 p e 5 c 2 c e 4p

Escolha das Travessas = 1 em 2

E

Travessa 1 3 pastis / 8 salgados 3/8

OU

Travessa 2 4 pastis / 6 salgados 2/3

R: 1/2.(3/8 + 2/3) 1/2.(25/24) 25/48

4

13. Dois jovens partiram, do acampamento em que

estavam, em direo Cachoeira Grande e Cachoeira

Pequena, localizadas na regio, seguindo a trilha indicada

neste esquema:

Cachoeira Grande

Acampamento Cachoeira Pequena

Em cada bifurcao encontrada na trilha, eles escolhiam,

com igual probabilidade, qualquer um dos caminhos e

seguiam adiante. Ento, correto afirmar que a

probabilidade de eles chegarem Cachoeira Pequena :

Soluo:

Na primeira bifurcao, eles tinham 1/2 de chances de ir para Cachoeira Pequena e

1/2 chances de pegar o outro caminho.

Desses 1/2 de chances de pegar o caminho errado, eles ainda acham mais uma

bifurcao, e podiam ter 1/2 chances de acertar e 1/2 chances de errar.

Mas esses 1/2 representam 1/4 do total. Ento, 1/4 + 1/2 (da primeira bifurcao) =

3/4. Letra C

5

14. O jogo de domin composto de peas retangulares

formadas pela juno de dois quadrados. Em cada

quadrado h a indicao de um nmero, representado por

uma certa quantidade de bolinhas, que variam de nenhuma

a seis. O nmero total da combinaes possveis de 28

peas. Se pegarmos uma pea qualquer, qual a

probabilidade dela possuir ao menos um 3 ou 4 na sua

face?

Soluo:

De 0 a 6 so sete nmeros.

N de Peas 28

0 e 3; 1 e 3; 2 e 3; 3 e 3; 3 e 4; 3 e 5; 3 e 6

0 e 4; 1 e 4; 2 e 4; 4 e 4; 4 e 5; 4 e 6

OBS.: 3 e 4 - 4 e 3 so iguais ou seja, a interseo dos conjuntos.

P = 13 / 28

6

15. Considere uma prova de Matemtica

constituda de quatro questes de mltipla

escolha, com quatro alternativas cada uma, das

quais apenas uma correta. Um candidato decide

fazer essa prova escolhendo, aleatoriamente, uma

alternativa em cada questo. Ento, CORRETO

afirmar que a probabilidade de esse candidato

acertar, nessa prova, exatamente uma questo :

Soluo:

N de questes: 4

N de alternativas por questo: 4

Apenas uma alternativa est correta.

Acertar - 1/4

Errar 3/4

O candidato deve acertar exatamente 1 e somente 1 questo das 4.

Logo: A, E, E, E em 4 ordens possveis

Assim, 4. (1/4).(3/4).(3/4).(3/4) = 108/256 = 27/64 (LETRA A)

7

16. Em uma escola de idiomas com 2000 alunos,

500 alunos fazem o curso de ingls, 300 fazem o

curso de espanhol e 200 cursam ambos os cursos.

Selecionando-se um estudante do curso de ingls,

qual a probabilidade dele tambm estar cursando

o curso de espanhol?

Soluo:

Probabilidade Condicional

P(A/B) =

n(AUB) = n(A) + n(B) n(AB) = 500 + 300 200 = 600

P(AB) = n(AB )/n(AUB) = 200/600

P(A) = 500 / 600 (ingls)

R: P (A/B) =

200/600 / 500/600 = 2/5

8

19. O quadro funcional de uma empresa composto de 35

pessoas efetivas e 15 pessoas prestadoras de servios. Do

pessoal efetivo 20 so homens e do pessoal prestador de

servio 5 so mulheres. Escolhendo aleatoriamente uma

pessoa dessa empresa, a probabilidade dessa pessoa ser

homem ou prestar servio :

Soluo:

35 pessoas efetivas = 20 homens e 15 mulheres

15 pessoas prestadoras de servios = 5 mulheres e (15-5) = 10 homens

Ph (probabilidade de ser homem) (ou) + Pps (probabilidade de prestar servio)

Total de pessoas = 35 + 15 = 50

Ph = n total de homens / n total de pessoas =30/50 = 3/5

Como os homens utilizados na Ph j foram todos usados, a Pps ficar sem os 10

homens prestadores de servios.

Pps = 5 / 50 = 1/10

Assim a probabilidade pedida ser:

Pps + ph = 3/5 + 1/10 = 35/50 = 7/10 Letra B

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21. Em uma populao de aves, a probabilidade de um

animal estar doente 1/25. Quando uma ave est doente,

a probabilidade de ser devorada por predadores 1/4, e,

quando no est doente, a probabilidade de ser devorada

por predadores 1/40. Portanto, a probabilidade de uma

ave dessa populao, escolhida aleatoriamente, ser

devorada por predadores de:

Soluo:

Usaremos Base 1000 para facilitar os clculos.

1000 aves

N de doentes 1/25 x 1000 = 40 doentes

N de aves doentes que podem ser devoradas 1/4 x 40 = 10

N de aves saudveis 1000 - 40 = 960

Aves Saudveis que podem ser devoradas 1/40 x 960 = 24

Probabilidade de uma ave qualquer ser devorada:

Aves saudveis devoradas + aves doentes devoradas = 10 + 24

P = 34/1000 x 100% = 3,4% LETRA D

22. Uma moeda viciada, de forma que as coroas so

cinco vezes mais provveis de aparecer do que as caras.

Determine a probabilidade de num lanamento sair coroa.

Soluo:

K coroa

C cara

Pk = 5.Pc (substitui sistema de equaes do 1 grau

Pk + Pc = 1

5Pc + Pc = 1 Pc = 1/6

Pk = 1 1/6 = 5/6

10

23. A linha de produo de uma fbrica produz milhares de

peas por dia e apresenta, em mdia, quatro peas

defeituosas a cada cem peas produzidas. Um inspetor de

qualidade sorteia cinco peas de modo aleatrio e verifica

a quantidade de peas defeituosas. De acordo com as

informaes acima, considere as seguintes afirmativas:

1. A probabilidade de o inspetor encontrar no mximo uma

pea defeituosa (0,040

x 0,965

) + (5 x 0,041

x 0,964

).

2. A probabilidade de o inspetor encontrar pelo menos uma

pea defeituosa 1 (0,040 x 0,965).

3. impossvel o inspetor encontrar 5 peas defeituosas.

Assinale a alternativa correta:

a. Somente a afirmativa 1 verdadeira.

b. Somente as afirmativas 1 e 2 so verdadeiras.

c. Somente as afirmativas 2 e 3 so verdadeiras.

d. Somente as afirmativas 1 e 3 so verdadeiras.

e. As afirmativas 1, 2 e 3 so verdadeiras.

Soluo:

Na equao acima P representa a probabilidade procurada. n o total de tentativas, k o nmero

de tentativas que resultam em sucesso, p a probabilidade de obtermos um sucesso

e q representa a probabilidade de obtermos um fracasso.

Veja que a probabilidade do inspetor encontrar no mximo 1 pea defeituosa igual a

probabilidade de encontrar 5 peas perfeitas + a probabilidade de encontrar 4 peas

perfeitas. Aplicando a frmula binomial para os dois casos:

P = C5,5 x (

) (

)

P = 1 x

P =

P = C5,4 x (

) (

)

P' = 5 x (0,04)1 x (0,96)

4

11

Ento: Pfinal = + 5 x (0,04)1 x (0,96)4

Logo, a assertiva 1 verdadeira.

A probabilidade de encontrar pelo menos uma pea defeituosa, igual a 1 - a

probabilidade de no encontrarmos peas defeituosas, ou seja:

1 -

Logo, a assertiva 2 tambm verdadeira.

A probabilidade de encontrar 5 peas defeituosas :

P = C5,5 x (

) (

)

P = 1 x 0,045 x 0,96

0

P = 0,045.

Logo, a assertiva 3 falsa porque no impossvel 5 peas defeituosas em 5 sorteadas.

1 V 2 V 3 F Letra B.

12

25. Uma determinada fbrica produz peas do tipo A e B

nas propores 1/3 e 2/3, respectivamente. A probabilidade

de ocorrncia da pea defeituosa do tipo A de 20% e do

tipo B 10%. Retirando-se, ao acaso, uma pea produzida

na fbrica, a probabilidade de ela ser defeituosa de:

Soluo:

Vamos usar uma base mltipla de 3 para facilitar o clculo:

300 peas totais

A = 1/3 x 300 = 100

B = 2/3 x 300 = 200

Probabilidade de ocorrer pea A Defeituosa:

Pad = 20% ou 20/100 ou 1/5

N provvel de peas A defeituosas: 1/5 x 100 = 20

Probabilidade de ocorrer pea B defeituosa:

Pbd = 10% ou 10/100 ou 1/10

N provvel de peas B defeituosas: 1/10 x 200 = 20

Total de peas defeituosas provveis = 20 + 20 = 40

Total de peas = 300 (estipulado com base)

P = 40 / 300 = 4 /30 = 2/15 (Letra E)