Probabilites Et Calcul Stochastique

AIDE MMOIREPROBABILITES /

CALCUL STOCHASTIQUE

Prof. Pierre Devolder(UCL)

2009

UCL Devolder 2

Table des matires 1. Elments de probabilits 2. Processus stochastiques 3. Le mouvement brownien 4. Intgration stochastique 5. Equations diffrentielles stochastiques 6. Thorme de Girsanov 7. Reprsentation de Feynman- Kac

UCL Devolder 3

1. Probabilits

Notions de base de probabilit : - espace mesurable : ),(

Avec : = un ensemble = une sigma algbre sur

Famille de sous ensembles de telle que :

Ui

ii

c

AalorsAsi)iii(AalorsAsi)ii(

)i(

UCL Devolder 4

1. Probabilits- mesure de probabilit :

Fonction P : ][ 1,0telle que:

=

=

=

=

==

1ii

1ii

i

)A(P)A(P

:sintdisjosont,...)1i(Asi)ii(1)(Pet0)(P)i(

U

-espace de probabilit : triplet )P,,(

UCL Devolder 5

1. Probabilits- variable alatoire ( valeurs relles) :

Une variable alatoire X valeurs relles est une fonction mesurable: R:X

)B(X 1 (B= borrlien de R) - distribution dune variable alatoire :

))B(X(P)B( 1X =

UCL Devolder 6

1. Probabilits- fonction de rpartition dune variable alatoire :

Borrlien : ]x,(B =)xX(P)x(F))B(X(P)B( X1X ===

- densit de probabilit dune variable alatoire :

La densit f(x) dune variable alatoire est la drivede la fonction de rpartition ( si elle existe) :

dxdFf XX =

UCL Devolder 7

1. Probabilits

- exemple 1 :variable alatoire normale ( ou gaussienne) : Une variable alatoire X est distribue normalement

),m(N 2 si sa fonction de densit existe est donne par :

2

2

2)mx(

X e21)x(f

pi=

UCL Devolder 8

1. Probabilits

- exemple 2 :variable alatoire log normale :

Une variable alatoire Y est distribue log normalement

),m(Nlog 2 si il existe une variable alatoire X distribue normalement ),m(N 2 telle que :

XeY =

UCL Devolder 9

1. Probabilits- densit dune log normale :

dy)y(lnfy1)y(lndF)ylnX(dP

)ye(dP)yY(Pd)y(dFdy)y(f

xX

XYY

===

===

)0y(e2y

1)y(f 22

2)my(ln

Y >pi

=

UCL Devolder 10

1. Probabilits- esprance dune variable alatoire:

==R

X )x(dx)(dP)(X)X(E

- variance dune variable alatoire ;

22

22

)EX()X(E

)(dP)EX)(X()X(

=

=

UCL Devolder 11

1. Probabilits- exemples desprance :

1 distribution normale :

m)X(E:alors),m(NXsi 2 ==2 distribution log normale :

2/ba2 2e)Y(E:alors)b,a(NlogYsi +==

UCL Devolder 12

1. ProbabilitsEsprance dune log-normale :

pi==

0 02

2

Y dy)b2)ay(ln(exp

2by1ydy)y(fyEY

Par changement de variable : ln y = x

2b

a

2

42

42222

x

2

2

2

e)b2

bab2exp(

dx))bab2))ba(x((b21

exp(2b

1

dxeb2

)ax(exp

2b1EY

+

+

+

=+

=

+pi

=

pi=

UCL Devolder 13

1. Probabilits- Variance dune variable log normale :

2XX2

22

)Ee()e(E)EY(YEVarY

=

=

Aussilog normal !

)b4,a2(Nlog 2

)1e(eYVar 22 bba2 = +

UCL Devolder 14

1. Probabilits- fonction caractristique :

Si X est une variabl alatoire de fonction de rpartitionF , alors sa fonction caractristique est la fonction sur R:

+

== )x(dFe)e(E)u( iuxiuXX

Exemple : pour une distribution 2/u

X

22

e)u( =),0(NX 2p

UCL Devolder 15

1. Probabilits-norme pL

[ ):pardfinieestXnoteXdeLnormela

,1psietalatoireiablevaruneestXSi

pp

p/1p

p)(dP)(XX

=

UCL Devolder 16

1. Probabilits

- espaces pL

-norme L

});(X{supX =

Espace des variables alatoires de norme finie :

}X:R:X{)(Lp

p

UCL Devolder 17

1. Probabilits-indpendance dvnements et de variables alatoires :

2 vnements A et B sont indpendants ssi :

)B(P)A(P)BA(P:B,A =

2 variables alatoires X et Y valeurs relles sontindpendantes ssi :

)Ry,x()yY(P)xX(P)}yY()xX{(P

=

UCL Devolder 18

1. Probabilits- esprance conditionnelle :

)P,,( + une sous sigma algbre de )*( X une variable alatoire desprance finie

*)X(EY =Y= esprance conditionnelle de X connaissant = variable alatoire mesurable par rapport telle que:

*

*

=A A

)(dP)(Y)(dP)(X

*

)*A(

UCL Devolder 19

1. ProbabilitsProprits de lesprance conditionnelle :

(i) Esprance dune esprance conditionnelle : XE)*X(E(E =

(ii)si Z est une variable alatoire mesurable par rapport *Z*)Z(E =

et: *)X(EZ*)XZ(E =(iii) si: 21

)X(E))X(E(E 112 =

UCL Devolder 20

1. Probabilits-convergence de variables alatoires :

4 grands types de convergence :- convergence presque sre- convergence quadratique- convergence en probabilit- convergence en loi

- suite de variables alatoires : ,...}1,0n;X{n

=

??Xlim??nn

=

UCL Devolder 21

1. Probabilits- convergence presque sre :

1))(X)(X:(PssiXXn

.s.p

n=

Exemple : loi des grands nombres :

Sin

X est une suite de variables alatoires indpendanteset quidistribues (i.i.d.) desprance finie alors :

)X(EXn

1 n

1i

.s.p

i=

UCL Devolder 22

1. Probabilits- convergence quadratique :

XXn

en moyenne quadratique ( dans 2L )ssi

0XX2n

=

)(dP))(X)(X( 2n

Exemple : loi des grands nombres

UCL Devolder 23

1. Probabilits- convergence en probabilit :

0))(X)(X:(P:0:ssiXX

n

P

n

>

Proprits:- convergence p.s. convergence en proba- convergence quadratique convergence proba

UCL Devolder 24

1. Probabilits- convergence en loi :

))X((E))X((E:borneetcontinuefonctionssiXX

n

n

l

Proprit :- convergence en proba convergence en loi

Thorme central limite : si X = suite de variables alatoires i.i.d. de variance finie :

)1,0(Nn

EXnXn

1ii l

=

UCL Devolder 25

2 .Processus stochastiquesProcessus stochastique en temps continu :

)P,,( Espace de probabilit + le tempsUn processus stochastique X valeurs relles est une application:

),t(X),t(:x:X +

Pour fix, on a une trajectoirePour t fix, on a une variable alatoire

Filtration: famille croissante de sous algbres de lespace de probabilit

tspour},{ ts0

UCL Devolder 26

2 .Processus stochastiquesExemple de filtration et de processus (en temps discret)

Jeu successif de pile ou face ( 3 fois)Processus de gain cumul : +1 si pile -1 si face

)3(X)2(X)1(X0)0(X =

}1,1,1,3,1,1,1,3{)3(X}0,0,2,2,0,0,2,2{)2(X}1,1,1,1,1,1,1,1{)1(X

)}FPP(),FPF(),FFP(),FFF(),PFF(),PFP(),PPF(),PPP{(

=

=

=

=

UCL Devolder 27

2 .Processus stochastiques= departiesdesensemble'l

Filtration : modlise larrive progressive de linformation surle jeu . En t , on peut dire pour chaque lment de

En t=0 : on na aucune information :

},{ =

t( = vnement) sil sest ou non produit .

UCL Devolder 28

2 .Processus stochastiquesEn t=1 : la 1 position est connue

)}FPP(),FPF(),FFP(),FFF{()}PFF(),PFP(),PPF(),PPP{(

},,,{

F

P

FP1

==

=

En t=2 : les 2 premires positions sont connues :

},,,,,,,{ FPFFPFPPFP2 =

UCL Devolder 29

2 .Processus stochastiques

)}FPP(),FPF{()}FFP(),FFF{()}PFF(),PFP{()}PPF(),PPP{(

FP

FF

PF

PP

====

En t=3 : toutes les positions sont connues :

=3

UCL Devolder 30

2. Processus stochastiquesFiltration et processus: notions lies par les 2 dfinitions:

Dfinition 1 : Tout processus stochastique gnre une filtrationappele filtration naturelle du processus et dfinie par:

t)ts);s(X(t =( histoire du processus)

Dfinition 2: Un processus X est dit adapt une filtration si:

trapportparmesurable)t(X:t =

UCL Devolder 31

2. Processus stochastiques

Filtration et esprance conditionnelle : Chaque lment dune filtration tant une sous sigma algbre , on peut lui associer une esprance conditionnelle.

Soit X une variable alatoire desprance mathmatiquefinie. On peut alors dfinir le processus adapt :

)X(E)t(M t=Reprsente lestimation moyenne de X compte tenu de linformation dj rcolte en t

UCL Devolder 32

2. Processus stochastiquesExemple du jeu discret :

esprance conditionnelle du gain final:

}1,1,1,3,1,1,1,3{)3(X)}FPP(),FPF(),FFP(),FFF(),PFF(),PFP(),PPF(),PPP{(

=

=

(i) Esprance conditionnelle en t=00))3(X(E))3(X(E ==

(ii) Esprance conditionnelle en t=3 : )3(X))3(X(E 3 =

UCL Devolder 33


}1,1,1,3,1,1,1,3{EX}0,0,2,2,0,0,2,2{EX}1,1,1,1,1,1,1,1{EX}0,0,0,0,0,0,0,0{EX}1,1,1,3,1,1,1,3{)3(X


3

2

1

0

==

==

=

=

(iii) Esprance conditionnelle aux diffrents instants

UCL Devolder 34


Temps darrt : gnralisation de la notion de temps dterministe:= variable alatoire T valeurs dans telle que:

t}tT{:t

Exemple : premier instant o le cours dune action dpassele double du cours actuel.

Contrexemple:dernier instant avant une certaine date futureo un taux de change atteint un niveau fix

( pas dinformation ncessaire sur le futur pour savoir chaque instant si T sest dj produit).

}{R ++

UCL Devolder 35


Exemple de lien entre temps darrt et processus:notion de processus arrt: - X = processus stochastique - }{ t = filtration naturelle associe XOn dfinit le temps darrt:

}M)t(X:0tinf{T =( M=barrire)

-On peut par exemple dfinir le nouveau processus arrt M :

TtsiM)t(YTtsi)t(X)t(Y

>=

=

UCL Devolder 36

2. Processus stochastiquesExemple : jeu discret / pile ou face :

On arrte le jeu ds que le gain est strictement positif. }0),t(X:tinf{)(T >=

}1,1,1,3,1,1,1,3{)3(X}0,0,2,2,0,0,2,2{)2(X}1,1,1,1,1,1,1,1{)1(X


=

=

=

=

UCL Devolder 37


}3,,,,1,1,1,1{T)}FPP(),FPF(),FFP(),FFF(),PFF(),PFP(),PPF(),PPP{(

=

=

Valeurs du temps darrt :

T=1 mesurable par rapport 1

Vrai sur Faux surP F

UCL Devolder 38

2. Processus stochastiquesContrexemple de temps darrt :

On arrte le jeu au dernier instant o le gain est strictementpositif .

}3,,,,1,3,3,3{T)}FPP(),FPF(),FFP(),FFF(),PFF(),PFP(),PPF(),PPP{(

=

=

T=1 pas mesurable par rapport 1

UCL Devolder 39

2. Processus stochastiquesClasses de processus:

1 MARTINGALES :

Un processus stochastique est une martingale par rapport une filtration donne ssi :

tssi)s(X}l)t(X(E)ii(};{rapportparadaptestX)i(

s

t

=

- notion de fair game; en particulier on a : )0(X))t(X(E =

UCL Devolder 40

2. Processus stochastiques2 PROCESSUS GAUSSIENS :

X est un processus gaussien ssi toute combinaison linairedes valeurs de X diffrents instants est distribunormalement:

N)t(Xn

1kkk =

=

Un tel processus X est caractris par sa fonctionmoyenne (t) et sa fonction de covariance(s,t)=cov ( X(s),X(t))

UCL Devolder 41


3 PROCESSUS A ACCROISSEMENTS INDEPENDANTSET STATIONNAIRES :

-Un processus X est dit accroissements indpendants ssi:

tesindpendansont)t(X)t(X),...,t(X)t(X),t(X:t,...,t,t,n 1nn121n21

( indpendance entre les accroissements successifs)-Un processus est dit accroissements stationnaires ssi:

busquidistrisont)h(Xet)t(X)ht(X:t,h +

UCL Devolder 42

2. Processus stochastiques4 PROCESSUS A VARIATION FINIE :

-Un processus adapt X est dit croissant si ses trajectoiressont des fonctions croissantes, finies et continues droite.

-Un processus adapt X est dit variation finie si ses trajectoires sont des fonctions variations bornes sur toutcompact, finies et continues droite.

Tout processus variation finie peut scrire comme diffrencede deux processus croissants.

UCL Devolder 43

3. Le mouvement brownienHistorique :

-1829: Brown : mouvement de particules de pollen en suspension dans leau -1900 : Bachelier: mouvements de cours de bourse-1905: Einstein : modles de particules en suspension-1923 : Wiener: construction rigoureuse du mouvementbrownien-1944: Ito: intgrale par rapport un mouvement brownien

devenu un processus central en finance poursimuler lincertitude sur les marchs.

UCL Devolder 44

3. Le mouvement brownien-Dfinition: un processus stochastique w est un mouvementbrownien standard sur lespace )P,,( ssi

t)t(wvar;0)t(wE:0t)iv(gaussienprocessusw)iii(

resstationnaiettsindpendanentsaccroissemprocessusw)ii(0)0(w)i(

==>=

=

=

Il est possible de construire un tel processus tel que ses trajectoiressoient des fonctions continues.

UCL Devolder 45

3. Le mouvement brownien

- Mouvement brownien issu du point a :

)t(wa)t(Z +=

-Mouvement brownien issu du point a et de drift :

)t(wta)t(Z ++=

t)t(Zta)t(EZ

22 =

+=

Ces 2 processus sont gaussiens.

UCL Devolder 46

3. Le mouvement brownienFonction caractristique dun mouvement brownien standard :

2/t

t2)tix(

t2/xxi)t(wi

2

22/t2

2

e

dxeet2

1

dxt2

ee)e(E)t,(

+

+

=

pi=

pi==

UCL Devolder 47

3. Le mouvement brownienMoments dun mouvement brownien :

0k

k

kk )t,(

dd

i1))t(w(E

==

Calcul des drives successives de la fonction caractristique:

2t

22t

2t

2

2

2t

2t

222

22

e)t(etedd

etedd

+=

=

UCL Devolder 48


2t

32t

2

2t

22t

22t

4

4

2t

32t

22t

3

3

22

222

222

e.t.)t(et)t(3

ett3et3edd

e)t(et3edd

+

=

=

UCL Devolder 49

3. Le mouvement brownienApplication au calcul des moments :

24

3

2

t3))t(w(E0))t(w(Et))t(w(E

0))t(w(E

=

=

=

=

UCL Devolder 50

3. Le mouvement brownienMouvement brownien et martingale :Soient w un mouvement brownien standard et }{ t safiltration naturelle; les 2 processus suivants sont alors desmartingales:

t)t(w)ii()t(w)i(

2

UCL Devolder 51

3. Le mouvement brownienDmonstration:

t)l)s(w)t(w()s(w(E)l)t)t(w((E)ii()s(w)l))s(w)t(w()s(w(E)l)t(w(E)i(

s222

s2

ss

+==+=

)l))s(w)t(w)(s(w2))s(w)t(w((E)l))s(w)t(w((E s22s2 +=Or:

st 0

Donc: s)s(w)lt)t(w(E 2s2 =

UCL Devolder 52


Remarque : la rciproque de ce thorme de martingaleest galement vraie: si X est un processus continu tels que

t)t(Xet)t(X 2 sont des martingales et X(0)=0:alors X est un mouvement brownien standard.

Le mouvement brownien est lexemple fondamentalde martingale continue.

UCL Devolder 53

3. Le mouvement brownienMartingale exponentielle :

Le processusest une martingale appele martingale exponentielle

)rel(e)t(X 2/t)t(w 2 ==

Dmonstration :Calculons lesprance conditionnelle suivante:

)ts0:avec()e(Es

)t(w

UCL Devolder 54


2/)st()s(w

)st(w)s(ws

))s(w)t(w()s(w

s

)s(w))s(w)t(w(s

)t(w

2

ee

)e(Ee)e(Ee)ee(E)e(E

=

===

Il en rsulte lgalit de martingale : 2/s)s(w

s

2/t)t(w 22 e)e(E =En particulier :

1)e(E 2/t)t(w 2 =

UCL Devolder 55

3. Le mouvement brownienCorollaire : bruitage additif et bruitage multiplicatif

1 le mouvement brownien est un bruitage additif naturel :

)t(f))t(X(Ebruitphnomne)t(w.)t(f)t(X

istemindterphnomne)t(f

=

=+=

=

2 la martingale exponentielle est un bruitage multiplicatif:

)t(f))t(Y(Ebruitphnomnee).t(f)t(Y

istemindterphnomne)t(f2/t)t(w 2

=

==

=

UCL Devolder 56

3. Le mouvement brownienContrexemple de martingale :

Le processusbien que desprance constante nest pas une martingale.

)t(w)t(X 3=

Il suffit de montrer que : )ts0()s(w))t(w(E 3

s

3

UCL Devolder 57

3. Le mouvement brownienEn dveloppant il vient :

0)st)(s(w3)s(w))t(w(E)s(w)s(w3)st)s(w)(s(w3))t(w(E

)s(w))t(w(E)s(w3))t(w(E)s(w3))t(w(E))s(w)s(w)t(w3)s(w)t(w3)t(w(E)))s(w)t(w((E

3s

3

332s

3

3s

2s

2s

3

s

3223s

3

==++=

+=+=

Il en rsulte :

martingaleunepasdoncest'nw)st()s(w3)s(w))t(w(E

3

3s

3+=

UCL Devolder 58

3. Le mouvement brownienMouvement brownien et variation borne :

tt...tt0soit n10 =

UCL Devolder 59


=

=

=

==

n

1i

2in

n

1i

t

0in

0))t(f(lim

)0(f)t(fdf))t(f(lim

Le mouvement brownien ne peut donc tre variation finie: sestrajectoires sont sur tout intervalle fini non variation borne.

En particulier les trajectoires dun brownien ne sont pas desfonctions drivables et la diffrentielle dw(t) au sens classiquedu calcul diffrentiel trajectoire par trajectoire nexiste pas.

UCL Devolder 60

3. Le mouvement brownienVariation quadratique dun mouvement brownien :

:alors,)t,0(densubdivisioune)2,...,0j(t2j

tSoit nnj ==

t))t(w)t(w(n2

1j

21jj

=

en convergence quadratique.

PROPRIETE :

UCL Devolder 61

3. Le mouvement brownienPreuve :

=

=

n2

1j

21jjn ))t(w)t(w()t(ZSoit:

0))t(Z(Var)ii(t))t(Z(E)i(

n

n

=

=

=

=

==

n

n

2

1j

21jjn

2

1j1jjn

)))t(w)t(w(var()t(ZVar)ii(

t)tt()t(ZE)i(

UCL Devolder 62

3. Le mouvement brownienLemme :

42

2

2Xvar:alors),0(NXsi

=

=

Preuve : 442242 EX)EX(XEXVar ==

Par fonction gnratrice :

0uxn

n

n

2/uX

ux

X

)u(Mu

EX

e)iu()x(dFe)u(M 22

=

+

=

===

44 3EX =

UCL Devolder 63

3. Le mouvement brownienDonc finalement :

=

+==

n2

1jn2

21n2

nn 2t2)

2t(2)t(ZVar

0

UCL Devolder 64

3. Le mouvement brownienAuto-similarit du mouvement brownien :

( scaling effect ou self similarity)

Le mouvement brownien fait partie de la famille des fractalesqui ont des proprits d chelle : mme forme des trajectoiresquelle que soit lchelle laquelle on les regarde.

Dune manire gnrale un processus stochastique X estH- auto similaire si :

)t(X)t(X:0t,0

Hd

=

>>

UCL Devolder 65

3. Le mouvement brownienH est appel lindice de Hurst du processus.

Pour un mouvement brownien standard on a par dfinition:

)t(X)t,0(N)t(w 2/1dd

==

Le mouvement brownien standard est un processusauto similaire dindice .

Rem.: il sagit dune proprit de distributions et non pasde trajectoires

UCL Devolder 66

3. Le mouvement brownienMouvement brownien et temps datteinte :

Pour a > 0 fix on dfinit le temps datteinte :

intattejamaisasiT}a)t(w:0tinf{T

a

a

+=

==

Proprit :

aT est un temps darrt.

UCL Devolder 67


Principes de rflexion :Principe 1 :

)a)t(w(P2)tT(P a >==

=

( processus rflchi partir du temps T )

UCL Devolder 70

3. Le mouvement brownienMaximum dun mouvement brownien :

[ ] )s(wmax)t(M t,0s=

On dfinit le processus maximum dun brownien par :

On peut obtenir la loi conjointe dun mouvement brownienet de son maximum.

UCL Devolder 71

3. Le mouvement brownienPROPRIETE :

)t

xa2(1)x)t(w,a)t(M(P =

Preuve :

}tT{}a)t(M{ a On a en termes dvnement : On utilise alors le principe 2 de rflexion:

Pour a > 0, a > x :

UCL Devolder 72


)t

xa2(1))t(*wxa2(P

))t(*wxa2,tT(P)x)t(w,tT(P)x)t(w,a)t(M(P

a

a

=

==

=

Il vient successivement:

UCL Devolder 73


Applications en finance :

-temps datteinte : premire fois o la valeur dune action atteint une valeurdonne ( par exemple premire fois o la valeurdu titre augmente de 50% ).

- maximum : valeur maximale atteinte par une actionsur une certaine priode.

UCL Devolder 74

3. Le mouvement brownienSimulation dun mouvement brownien :

-En thorie mouvement brownien non reprsentablecompte tenu de ses proprits de non drivabilit.

- Discrtisation possible permettant de se faire une ide de laforme des trajectoires

- Principe de base : on choisit un pas t

- Pour simuler la valeur de w(t) on dcompose : ))tt(w)t(w(...))t(w)t2(w()t(w)t(w +++=

UCL Devolder 75

3. Le mouvement brownienPar dfinition du mouvement brownien, tous les lmentsde cette somme :

- sont des variables iid- distribues normalement desprance nulle et de variance t

Algorithme : simulation du brownien sur (0,T) :

t

Tn

0ttchoose

0

=

=

UCL Devolder 76


jnextt.Z)t(w)t(w

)1,0(NZchoosettt

nto1jFor

j1jj

j

1jj

+=

+=

=

On a ainsi gnr les valeurs du mouvement brownienaux points intermdiaires

Pour dfinir des trajectoires continues il suffit de relier ces points par des fonctions linaires:

jt

UCL Devolder 77

3. Le mouvement brownien:tttPour j1j

UCL Devolder 78

4. Intgration stochastiqueMOTIVATION :

Les trajectoires dun mouvement brownien ntant pas variations bornes, on ne peut utiliser les outils du calculdiffrentiel et intgral.Lobjectif du calcul stochastique est de dfinir une autreforme dintgrale ( lintgrale stochastique) qui permet dedvelopper des quations dvolution stochastiques entemps continu. La mthodologie consiste passer dune convergence trajectoire par trajectoire une convergence quadratique.

UCL Devolder 79

4. Intgration stochastique1)Promenade alatoire discrte :

)n(W.n.n.))0(S/)n(Slog(n

1ii +=+=

=

2)Subdivision de la promenade :

)n(W.n.x.n.))0(S/)n(Slog( jt/t

1iij

jj

+=+=

=

3)Diffrences finies du processus: notation:)tn(X)n(X)n(X jj =

UCL Devolder 80

4. Intgration stochastique)n(W.t.x.t))0(S/)n(Slog( jjjjjj +=+=

4) Passage la limite : ???)t(dw.dt.))0(S/)t(S(log(d +=

Mais le processus w a des trajectoires non variationsbornes; cette diffrentielle nexiste pas au sens classique.

CALCUL STOCHASTIQUE : donner quand mme un sens cette diffrentielle.

UCL Devolder 81

4. Intgration stochastiqueConstruction de lintgrale classique : Soit f une fonction de (0,T) valeurs relles Intgrale de Riemann :

T

0

ds)s(f

Construction par limite de sommes de Riemann :

=

+

1n

0jj1jj )tt()s(f

Avec : [ ]1jjjn10 t,tsetTt...tt0 +=

UCL Devolder 82

4. Intgration stochastiqueIntgrale de Riemann Stieltjes :

Soit g une fonction variations bornes de (0,T) valeurs relles

T

0

)s(dg)s(f

Construction par limite de sommes de Riemann :

=

+

1n

0jj1jj ))t(g)t(g()s(f

Avec : [ ]1jjjn10 t,tsetTt...tt0 +=

UCL Devolder 83

4. Intgration stochastiqueEssai de gnralisation en stochastique : On essaie de dfinir un objet du type :

T

0

)s(dw)s(X

Avec :

Le rsultat devrait tre une variable alatoire !

dardtansbrownienmouvement:wuestochastiqprocessus:X

UCL Devolder 84

4. Intgration stochastique

On peut toujours dfinir des sommes de Riemann qui deviennentdes variables alatoires :

=

+ =

1n

0jj1jjn ))t(w)t(w()s(XZ

[ ] )t,tsetTt...tt0( 1jjjn10 +=

UCL Devolder 85

4. Intgration stochastiquePremire possibilit : vision trajectoire par trajectoire: on dfinit lintgrale stochastique comme une intgrale deRiemann Stieltjes classique , trajectoire par trajectoire:

=T

0

),s(dw),s(X)(Y:

Premire anomalie : les trajectoires du mouvement browniensont partout non variation borne .

Ces intgrales nexistent donc gnralement pas .

UCL Devolder 86

4. Intgration stochastiqueLutilisation dune intgrale trajectoire par trajectoire revient travailler, en terme de mode de convergence de variables alatoires, en convergence presque sre.

En vue de dfinir une intgrale on va passer un mode de convergence plus faible , la convergence quadratique ( ).

Cette exigence moins forte de convergence va permettre de passer la limite dans les sommes de Riemann mais :

Deuxime anomalie : la limite va dpendre des points

2L

js

UCL Devolder 87

4. Intgration stochastiqueIllustration : essai de dfinition de lintgrale :

T

0

)s(dw)s(w

Equivalent en calcul intgral classique :

VBfet0)0(f:avec

)s(df)s(fT

0

=

=T

0

2

2)T(f)s(df)s(f

UCL Devolder 88

4. Intgration stochastiqueCalcul en stochastique : premier choix : dbut de lintervalle

( choix canonique en calcul stochastique )

Soit la suite de partitions de lintervalle (0,T) gnrespar les points :

[ ] jj1jjj ts:t,ts = +

)n,...,1,0i(n

iTt )n(i ==

Avec passage la limite : n

UCL Devolder 89

4. Intgration stochastiqueThse : on a dans : 2L

T21)T(w

21))t(w)t(w)(t(wlim 2njn 1j

1n

0j

n

jn =+

=

Lemme :

222

222

)ba(21)ab(

21)ab(b

)ba(21)ab(

21)ab(a

+=

=

UCL Devolder 90

4. Intgration stochastiqueDmonstration :

=

+

=

+

=

++

=

=

=

1n

0j

2nj

n

1j2

1n

0j

2nj

n

1j

1n

0j

n

j2n

1j2n

jn

1j

1n

0j

n

j

))t(w)t(w(21)T(w

21

))t(w)t(w(21

))t(w)t(w(21))t(w)t(w)(t(w

2L njn

1j tt +

UCL Devolder 91

4. Intgration stochastiqueDonc dans on a :

T21)T(w

21lim 2

n=

Conclusion : on va crire en adoptant cette dfinition de limiteen convergence quadratique de lintgrale stochastique :

2L

2T

2)T(w)s(dw)s(w

T

0

2

=

UCL Devolder 92

4. Intgration stochastiquedeuxime choix : fin de lintervalle

[ ] 1jj1jjj ts:t,ts ++ =On peut montrer alors de manire identique ( deuxime partiedu lemme) que cette fois on a :

T21)T(w

21))t(w)t(w)(t(wlim 2njn 1j

n

0j

n

1jn +=+=

+

UCL Devolder 93

4. Intgration stochastiquetroisime choix : milieu de lintervalle( intgrale de STRATONOVICH)

[ ] 2/)tt(s:t,ts 1jjj1jjj ++ +=On peut montrer quon a alors :

)T(w21))t(w)t(w)(t(wlim 2njn 1j

n

0j

n

1jn =+=

+

UCL Devolder 94

4. Intgration stochastiqueTypes dintgrales stochastiques :

-premier choix : dbut dintervalle : choix canonique en calcul stochastique : Intgrale de ITO:on peut dfinir lintgrale indfinie qui devient un processusstochastique :

2t

2)t(w)s(dw)s(w)t(I

t

0

2

==

Corollaire : cette intgrale de ITO est une martingale de moyenne nulle ( bruit ).

UCL Devolder 95

4. Intgration stochastiquetroisime choix : milieu dintervalle :

choix alternatif en calcul stochastique : Intgrale de STRATONOVICH

2)t(wds)s(w)t(I

2

0

t==

Cette intgrale respecte la rgle traditionnelle du calculintgral mais ne gnre plus une martingale:

2/t))t(I(E =

UCL Devolder 96

4. Intgration stochastiqueJustification du choix canonique de dbut dintervalle :( supprmatie de lintgrale de ITO ) :

Avantages :1 mesurabilit : en terme de filtration , la valeur en dbut

dintervalle est la seule mesurable tout au long de lintervalledintgration.

2 martingale : lintgrale de ITO est une martingale desprance nulle .

Dans la suite, Intgrale de ITO

UCL Devolder 97

4. Intgration stochastiqueCONSTRUCTION DE LINTEGRALE STOCHASTIQUE :

But : donner un sens lobjet alatoire suivant:

ds)ds

),s(dw(),s(X),s(dw),s(Xt

0

t

0

uestochastiqprocessusXdardtansbrownienmouvementw

=

=

O:

= Intgrale stochastique dfinie

UCL Devolder 98

4. Intgration stochastiqueProprits de base de lintgration classique :

Si f est une fonction variations bornes , alors on a :

] ]

+=+

UCL Devolder 99


- Dmarche : limite de somme de Riemann mais autrepassage la limite tout en conservant ces proprits de base.

-1 Etape : Intgration de fonctions indicatrices :[ [ )s(1),s(X b,a=

btsi)a(w)b(wbtasi)a(w)t(w

atsi0),s(dw)s(Xt

0

>=

UCL Devolder 100

4. Intgration stochastique-2 Etape : Intgration de fonctions en escaliers :

additivit de lintgrale:

[ [

testanconsc

istemindternsubdivisio:tt....tt0o

)s(1c)s(1c)s(X

i

n10

}t{n

1n

0jt,tj n1jj

=

=

UCL Devolder 101

4. Intgration stochastique-3 Etape : Intgration de processus stochastiques simples :

X est dit un processus stochastique simple sur (0,T) si :

[ [ )t(1)()t(1)(),t(X:quetel

)(E:kmesurable.a.v:k

Tt...tt0

1n

0it,ti}t{1n

2k

tk

n10

1iin

k

=

++=

UCL Devolder 102


Alors : 1kk tttsi +

UCL Devolder 103


Proprit de martingale :Le processus intgrale indfinie est une martingale

)ts0()X(I)I)X(I(E sst

UCL Devolder 104

4. Intgration stochastiquePar exemple si s et t appartiennent au mme sous intervalle :

[ [ :t,tt,ssoit 1kk +

)X(I)l)s(w)t(w(E)X(I)l)X(I(E

:Donc))s(w)t(w(deteindpendan

))s(w)t(w()X(I)X(I

ssksst

k

kst

=+=

+=

UCL Devolder 105

4. Intgration stochastiqueProprit du moment dordre 2 ( proprit disomtrie):

)ds)s(X(E)))X(I((Et

0

22t =

Dmonstration:

)))t(w)t(w())t(w)t(w((E

)))t(w)t(w())t(w)t(w(((E

2k

2k

2i1i

1k

0i

2i

1k

0i

2kki1ii

+=

+

+

=

=

+

UCL Devolder 106


==

+=

=

+

t

0

t

0

22

1k

0ik

2ki1i

)2i

)ds)s(X(Eds))s(X(E(

)tt)((E)tt((E

Remarque : la dfinition de ces processus simplesmontre bien que lon prend une valeur mesurableen dbut dintervalle ( intgrale de ITO ).

UCL Devolder 107

4. Intgration stochastique-4 Etape : Intgration de processus de carr intgrable :

X est dit un processus de carr intgrable sur (0,T) si:- X est un processus adapt la filtration

UCL Devolder 108

4. Intgration stochastiqueProprit : si X est un processus de carr intgrable alors:

=

T

0

2)n(n

2)n(

0)ds))s(X)s(X((Elim:avec

simplesprocessus:)(L}X{

Pour chaque processus simple de la suite on peut dfinir:

=t

0

)n()n(t )s(dw)s(X)X(I

UCL Devolder 109


Cette suite de processus converge dans la norme 2Lvers un processus appel intgrale stochastique

=

t

0t

n)n(t notationpar)s(dw)s(X)X(I)X(I

Cest dire :

0))X(I)X(I(Elim 2nttn =

UCL Devolder 110


continuesestrajectoirprocessusunest)X(I)iV(martingaleuneest)X(I)iii(

)ds)s(X(E))X(I(E)ii(

0))X(I(E)i(

t

t

t

0

22t

t

=

=

Proprits de lintgrale stochastique :

(Isomtrie de ITO)

UCL Devolder 111

4. Intgration stochastiqueCaractrisation des espaces 2

TM

-analogie de la proprit classique dexistence de lintgralepour des fonctions continues : lintgrale classique de RIEMAN existe pour toute fonction continue.

PROPOSITION :

Si f est un processus stochastique trajectoires continues p.s.adapt la filtration du brownien.alors lintgrale de ITO de f sur (0,T) existe si :

UCL Devolder 112


=

>=

( accord sur les scnarios possibles mais pas sur leur proba).

UCL Devolder 144

6. Thorme de GIRSANOVDensit de RADON NIKODYM :

cest une variable alatoire appele densit de la mesureP* par rapport la mesure P et donne par :

i

i

i

i

pq

})({P})({*P)(Z =

=

Par dfinition cette variable alatoire est desprance unitaire sous la mesure initiale P :

= =

===

N

1i

N

1ii

i

ii 1qpqpEZ

UCL Devolder 145

6. Thorme de GIRSANOVCalcul desprance :

Si Y est une autre variable alatoire dfinie sur cet espace,alors on a :

)YZ(E)Y(*E =Preuve :

i

N

1i

N

1i i

iiii p)p

q)(Y(q)(Y)Y(*E = =

==

UCL Devolder 146

6. Thorme de GIRSANOVExemple : modle binomial sur une priode :

March boursier la hausse ou la baisse :

}d,u{=- mesure de probabilit initiale = mesure relle

Par exemple :

21pp du ==

Taux sans risque : 3%

UCL Devolder 147

6. Thorme de GIRSANOVVariable alatoire : cours dune action dans une priode

S(0)=1S(1)=Y

Avec :

01,1)d(Y09,1)u(Y

=

=

Autre mesure de probabilit : mesure risque neutre :

udu q1qetdudr1q =

+=

UCL Devolder 148

6. Thorme de GIRSANOVDonc :

43qet

41

01,109,101,103,1q du ==

=

La densit est donne par :

23

2/14/3

pq)d(Z

21

2/14/1

pq)u(Z

d

d

u

u

===

===

UCL Devolder 149

6. Thorme de GIRSANOVCalcul des esprances :

05,12/)01,109,1(EY =+=Monde rel :

Monde risque neutre :

Calcul direct : 03,14/3*01,14/1*09,1Y*E =+=

Calcul par densit : 03,12/1*)2/3*01,1(2/1*)2/1*09,1(Y*E =+=

UCL Devolder 150

6. Thorme de GIRSANOVMotivation : brownien gomtrique : nouvel univers tel que tous les actifs financiers aient aussi un return moyengal au taux sans risque r ; ceci implique un changement de drift du processus.

)t(dw)t(Sdt)t(S)t(dS +=Soit:

t)r()t(w)t(wavec)t(dw)t(Sdt)t(Sr)t(dS

dt)t(S)r()t(dw)t(Sdt)t(Sr)t(dS

*

*

+=

+=

++=

UCL Devolder 151

6. Thorme de GIRSANOV

Le processus w* nest plus un mouvement brownien sousla mesure relle de probabilit.

GIRSANOV: comment changer de mesure pour obtenirquand mme un brownien ?

On introduit pour ce la notion de changement de mesure et de densit de RADON-NIKODYM .

UCL Devolder 152

6. Thorme de GIRSANOV),(soit un espace de probabilit muni de deux mesures

21 PetPDEFINITION: la mesure P2 est dite absolument continuepar rapport la mesure P1 si:

0)B(PquetelB0)B(P 12 ==THEOREME de RADON-NIKODYM :la mesure P2 est absolument continue par rapport la mesure P1 ssi il existe une variable alatoire non ngative et mesurable telle que:

UCL Devolder 153


==B

BP12 )1(E)(dP)()B(P 1

La variable est appele densit de Radon Nikodym.

Cette densit est une variable alatoire desprance unitaire:Il suffit de prendre: B= :

=== )(E)(dP)(1)(P1P12

UCL Devolder 154

6. Thorme de GIRSANOVMartingale exponentielle :

)P,,( -espace de probabilit-mouvement brownien standard sous P : w- filtration associe :

Dfinition: le processus Y dfini ci dessous est appelmartingale exponentielle

)tk21)t(wkexp()t(Y 2=

t

UCL Devolder 155

6. Thorme de GIRSANOVProprits :

- les variables alatoires Y(t) sont distribues lognormalement de paramtres :

tk

tk21

m

22

2

=

=

- E Y(t) = 1- Y est un processus non ngatif

Candidat naturel densit de Radon Nikodym

UCL Devolder 156

6. Thorme de GIRSANOVChangement de mesure et mouvement brownien:

Soit {w(t, ); t(0,T);} un mouvement brownien dfini sur un espace de probabilit )P,,( On introduit le processus Z dfini par :

)Rk(tk)t(w)t(Z =Alors le processus w* est un mouvement brownienpar rapport la mesure Q dont la densit est dfinie par:

)T2k)T(wkexp()T(Y

2

T ==

UCL Devolder 157

6. Thorme de GIRSANOVPreuve: par fonctions caractristiques:

??e)e(E? )st(2u

s

))s(Z)t(Z(iuQ

2

=Ou encore :

t2

u)t(Ziu2

e)t(V? += est une martingale sous Q ?

== )(dP),T(Y),t(V)(dQ),t(V))t(V(EQ

UCL Devolder 158


=

=

)(dP),t(Y),T(Y)(dP),t(Y),t(V

)(dP)),t(Y),T(Y(),t(Y),t(V

( car mouvement brownien accroissements indpendants)

= )(dP),t(Y),t(V

(car Y = martingale exponentielle)

UCL Devolder 159

6. Thorme de GIRSANOVIl faut donc montrer que le processus R est une martingalesous P : )t(Y)t(V)t(R =

))iuk(21

exp()t(w)iukexp(

))iukuk(t21

exp()t(w)iukexp(

)tk21)t(wkexp()t

2u)kt)t(w(iuexp(

)tk21)t(wkexp()t

2u)t(iuZexp()t(R

2

22

22

22

++=

++=

+=

+=

Martingale exponentielle

UCL Devolder 160

6. Thorme de GIRSANOV-Gnralisation :

Gnraliser la drive du brownien : )Rk(tk)t(w)t(Z =

=t

0

ds),s(b)t(w)t(Z

O b est prsent un processus stochastique .

UCL Devolder 161

6. Thorme de GIRSANOVHypothses sur le processus b :

(i) Le processus b est adapte la filtration ;( ii) condition de NOVIKOV :

UCL Devolder 162

6. Thorme de GIRSANOVAlors le processus :

=t

0

ds),s(b)t(w)t(Z

est un mouvement brownien par rapport la mesure Q dontla densit de Radon Nykodim par rapport P est donne par:

TdPdQ =

UCL Devolder 163

7. Reprsentation de Feynman-Kac

Lien entre:

quations diffrentielles stochastiques ( EDS)et

quations aux drives partielles ( PDE)

Objectif : calcul de lesprance mathmatique de fonctionsde la solution dune quation diffrentielle stochastique.

UCL Devolder 164

7. Feynman- Kac

)dardtansbrownienunestwo()Tt0()t(dw))t(X,t(dt))t(X,t()t(dX

:EDS'ldesolutionXSoit

+=

On dfinit la fonction de 2 variables relles :

)x)t(X))T(X((E)x,t(F ==

(o est une fonction dune variable relle).

UCL Devolder 165

7. Feynman- KacHyp.(H1) :

UCL Devolder 166

7. Feynman- KacPreuve: Application de la formule de ITO au processus Y :

))t(X,t(F)t(Y =

+

+

+

+

=

T

t

T

t2

22

T

t

)s(dw))s(X,s(x

F))s(X,s(

ds))s(X,s(x

F))s(X,s(21

ds))s(X,s(x

F))s(X,s())s(X,s(s

F))t(X,t(F))T(X,T(F

UCL Devolder 167

7. Feynman- KacOn prend lesprance conditionnelle des 2 membres par rapporta : [ )x)t(X(E =

[ ) )x)t(X)T(X((Ex)t(X))T(X,T(F(E)i( ===

==

T

t

0))x)t(X)s(dw))s(X,s(x

F))s(X,s((E)a)(ii(

(car intgrale stochastique et condition H1)

UCL Devolder 168

7. Feynman- Kac:alorsEDP'ldesolutionestFsi)b()ii(

0ds))s(X,s(x

F))s(X,s(21

ds))s(X,s(x

F))s(X,s())s(X,s(s

F

T

t2

22

T

t

=

+

+

+

))t(X,t(F)x)t(X)t(X,t(F(E)iii( ==

UCL Devolder 169

7. Feynman- KacExemple :

Rsoudre lquation:

)x()x,T(F:avec0x

F21

tF

2

2

==

+

EDS correspondante :

)t(dw)t(dX =

UCL Devolder 170

7. Feynman- Kac

Reprsentation Feynman-Kac :

)x)t(w))T(w((E)x,t(F ==

Distribution normale N(x,T-t)

+

= dy)y()y,x,tT(p)x,t(F

o:))tT(2

)xy(exp(

2)tT(1)y,x,tT(p

2

pi=

UCL Devolder 171

7. Feynman- KacVariante de la formule de Feynman Kac :

Introduction dune actualisation dans la fonctionnelle

)x)t(X))T(X(e(E)x,t(F )tT(r ==

0)x,t(Fr)x,t(

x

F)x,t(21)x,t(

x

F)x,t()x,t(tF

2

22

=

++

est solution de :

UCL Devolder 172

7. Feynman- KacGnralisation- actualisation taux variable :

La fonctionnelle du type :

)x)t(X))T(X()ds))s(X,s(kexp((E)x,t(FT

t

==

0)x,t(F)x,t(k)x,t(

x

F)x,t(21)x,t(

x

F)x,t()x,t(tF

2

22

=

++

est solution de :

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Probabilites Et Calcul Stochastique