PROBLEME 1: Ouverture automatique du vidange d'un barrage

La porte rectangulaire CD de la figure suivante a pour longueur L = 2 m et largeur l= 1,8 m (suivant la

perpendiculaire au plan de la figure). Son épaisseur étant négligeable, on donne la masse surfacique du

matériau homogène s = 5110 kg.m-2. Cette porte a la possibilité de pivoter autour de l'axe C. On se propose

de déterminer la hauteur d'eau H à partir de laquelle la porte s'ouvre pour laisser l'eau s'écouler.

1. Déterminer la force de pression hydrostatique s'exerçant sur la porte.

2. Déterminer la position du point d'application de cette force.

3. Calculer, d'une part le moment de la force hydrostatique par rapport à l'axe de rotation, et d'autre part le

moment du poids de la porte par rapport à l'axe de rotation. En déduire la hauteur d'eau H nécessaire pour

qu'il y ait ouverture automatique de la porte.

1 0dF = -P dSn

2 MdF = P dSn

1- La force exercée par l’air sur la porte :

2- La force exercée par l’eau sur la porte :

1 2dF = dF + dF

S

F = ρg H + z dS n

1. Déterminer la force de pression hydrostatique s'exerçant sur la porte.

Système à étudier est « la porte » . Les forces appliquées sur la porte :

La force exercée sur la porte est donc :

0 M 0 MS

dF = -P + P dS n F = -P + P dS n (1)

Pour cela on applique le T.B. entre la surface libre et M(z), On a :

PM -rgz P0 – rg(-H) = Donc : 0 MP P g H zr

Et d’après la relation (1), on obtient:

O

z

n

Air de pression P0

z .M(z)

Pour calculer cet intégrale, il faut déterminer PM

S

F = ρg H + z dSn

dS = dL dz

où cosα = dL

het on a : cosα =

L

Déterminer :

On a :

car z varie de 0 h, on obtient :

hF = ρg H + Sn

2

S

H + z SF = ρg dz n

h

S

hh 2

0 0

H + z SF = ρg dz n

h

HS S 1F = ρg z + ρg z

h h 2

n

dzdonc dS = S

h

En remplaçant dS par cette expression , La force F s’écrit :

dL

dz

nC

.M(z) z

h L

dS = dL

S

F MA dO O F

F OAOA F OAh

ρg H + S2

S

MO dF

S

OM ρg H + z dSn

z zcosα = OM =

cosαOM

h

Lcos =

et

donc L z

OMh

S

OM ρg H + z dSb ?

S

MO dFH h

LρgS +2 3

(1)

(2)

Et

2. Déterminer la position du point d'application de cette force.

car F est porté par n et OA est dans le plan de porte donc

OA est perpendiculaire à F

1)

2)

dL

dz

nC

.M(z) z

h L

dz on a : dS = dL = L = S car

h

dz dL dz

h L h

(1) = (2)

2H + h

3OA = L

2H + h

Le moment de F par rapport à un l’axe de rotation passant par O :

h ρgLS 2ρg H + S = H + h

2 2 3

OA F b

2

3

2

H h

LH h

PO bG L mgsinα2

2 2L - het on a : sinα =

L2 2L - hL

= mg2 L

(1)

(2)

Pour que la porte s’ouvre, il faut que (1) > (2), on obtient donc :

2 2L - hσ 2H > - h = 2m

ρ L 3

mσ =

Soù

Le moment de P par rapport à un l’axe de rotation passant par O :

3. Calculer, d'une part le moment de la force hydrostatique par rapport à l'axe de rotation, et

d'autre part le moment du poids de la porte par rapport à l'axe de rotation. En déduire la hauteur

d'eau H nécessaire pour qu'il y ait ouverture automatique de la porte.

Une conduite, de diamètre D=30cm, , de longueur L= 200m , amène l’eau (masse volumique r =

103kg/m d’un barrage vers la turbine d’une centrale hydroélectrique située à H=160 m au dessous de la

surface libre de l’eau dans le barrage. Le barrage a une grande capacité si bien que l’on peut considérer

que le niveau de la surface libre est constant. Le départ de la conduite est située à H0= 20m au dessous

de la surface libre. La pression atmosphérique est égale à P0 = 105 Pa, l’intensité du champ de pesanteur

est g = 10 m/s2.

PROBLEME 2: Phénomène de cavitation

1- Calculer la vitesse en A en déduire le débit volumique Qv .

2- Déterminer la pression PM au point M de la conduite de coté z en fonction de P0, r, g, z et H.

3-Monter que la vitesse est constante tout le long de la conduite et son expression est 2gH

4-Déterminer PM en fonction de P0, r, g, z et VA .

5- Quelle est la relation entre PM et PVS pour éviter le phénomène de cavitation, en déduire une

condition sur z ( région de la conduite) que l’on déterminera en fonction de r, g, H, P0 et PVS. (on

donne la pression de vapeur saturante de l’eau : Pvs = 2300 Pa à 20 °C)

6- Pour éviter ce phénomène de cavitation, on visse à l’extrémité de la conduite une tubulure de

section décroissante (injecteur), de diamètre d.

D'après la conservation du débit, déduire la vitesse VA en fonction de g, H, d et D.

7- D'après les questions 5 et 6, montrer que la cavitation disparaît si d

Problème : vidange d’un barrage : Phénomène de cavitation

Solution

1°) Appliquant le TDB , entre A et B : 2B B B A

2

A A

1 1P gz V P gz

2V

2r r r r

atmP 0 0 atmP H

Soit : 2

A

10 gH V

2 r r Donc :

AV 2gH

) b- A 56,5 sV 7 m/

) c-

2

v A

DQ V S 2gH.

4

A.N. : 3

vQ 4 m / s2°) L’eau est supposé incompressible donc VS est une constante et puisque c’est la même section S donc V est une constante Le long de la conduite

3°) Appliquant le TDB , entre B et M : 2

atm MM M

1P P gz

2V r r

atm M

1P P gz

22gH r r M 0P P g z H r

Donc :

4°) M 0 VSP P g z H Pr VS 0P Pz Hg

rPhénomène de cavitation

5°) Appliquant le TDB , entre B et C: 2

B B B C

2

C s

1 1P gz V P gz

2V

2r r r r

B

2

s

21 1V gH2 2

Vr r rB

2

S

21 1V gH2 2

Vr r r SV 2gH

6°) Appliquant le TDB , entre M et S: 2

M M M C

2

C S

1 1P gz V P gz

2V

2r r r r

2

MM 0

2

S

1 1gz V H

2P P g V

2r r r r

2

M 0MP1

gz V P g2

HgHr r r r

SV 2 gH rEt d’après 5°)

2

M M 0

1gz V P

2P r r

0M

2

M

1P gzP V

2 r r Et d’après 2°) : V est cte dans la conduite M AV V

0M

2

A

1P gzP V

2 r rDonc

7°) M VSP P

On a donc : AM2

0 vs

1P gz V P

2P r r

0 vsA

2 P PV 2gz

r

AN: AV 24,5 m/s Pour z= H0 =20m

8°) a- On a : A CV S V s2 2

A

D dV 2gH.

4 4

2

A 2

dV 2gH.

D

8°) b-

2

A 2

dV 2gH.

D

0 vsA

2 P PV 2gz

r[7°)]

[8°) a-]

1

40 vsP P z

d DgH H

r

1

40 vs

0

P P zd D

gH H

r A.N. pour z=H0= 20 m 0d 19,70cm

On a :

F P( )

d V n b)sV (

( )

F P n ds (a)et

(D)

P g dV

S est un contour fermé Dans ce cas (S) = S1 + S2 + Sc

1 2 (Sc( ) ( )S ) (S )

P n ds P n P nds P n F d sds

1 1 2 2 F'F PSi PS i

F P( )

VV dsn P gVk

1 2( ) (S ) (S ) (Sc)

V n Vds ds ds dsn V n V nV V V V

où

On détermine (a):

(1)

et

F’

4) Déterminer la force exercée par le fluide sur le convergent( F’ ) en fonction de Pa, g, h, S1, S2 et v (volume du convergent)

On détermine (b):

x

n1 n2 (S1) (S2)

Sc z

0

1 2( ) (S ) (S ) (Sc)

V n Vds ds ds dsn V n V nV V V V

1 2

21 1 2 0

( ) (S ) (S )

V n Vi ( i )ds ds V i dV V V i sii

2 2

1 1 2

( )

2ds V n V V Si V S i

F 2 21 1 2 2V Si V S i gVk (2)

Et les relation (1) et (2), nous donne :

x(i)

n1 n2 (S1) (S2)

Sc z

0

1 2aPS S i' PF2 2

2 1 12V S V S i gVk

En utilisant les relation trouvées précédemment, Avec P1 = P et P2=Pa :

21 2

1

1S

Pa gh( ) S S gVS

F' i k

2 2gV h

21

1

2gS

V hS

2

2

1

1aS

ghS

P

P

On obtient: F’ en fonction de Pa, g, h, S1, S2 et V (volume du convergent)

2 2g g1

z1

2z

2C C D DC DV V

P P

Même pression pour z=constante si v = o ou même vitesse

Remarque :

Problème 2 Considérons un siphon en U de section droite circulaire de diamètre d. Le siphon est plongé dans une cuve de grandes dimensions pleine d’un fluide parfait pesant et incompressible de masse volumique r. ( voir figure )

1°) Déterminer le débit volumique du fluide dans le siphon en fonction de d, g, h2. ( g accélération de la pesanteur supposée constante) 2°) Déterminer la pression au point A du siphon en fonction de p0,r, g,h1,h2. 3°) Déterminer la pression au point B du siphon en fonction de p0,r, g,h2.

h1

h2

*

A z

*

B

o

P0

D *

* C

La vitesse du fluide de la surface libre est supposée négligeable. L’écoulement du fluide dans le siphon est supposé permanent. La pression et la vitesse sont supposés uniformes sur une section droite du siphon.

Solution : 1°) Déterminer le débit volumique du fluide dans le siphon en fonction de d, g, h2. ( g accélération de la pesanteur supposée constante)

h1

h2

*

A z

*

B

o

P0

D *

* C

Qv= V S Où S= d2/4

Donc il faut calculer V dans le siphon : en C ,A, ou B ??

On a :

Appliquons pour cela le Théorème de Bernoulli

Entre D et C :

2 21 1gz g2

z2

D CD D C CP PV V

=P0 zD=0 VD=0 =P0 zC=-h2

2

21

20 gh CV

22ghCV

2°) Déterminer la pression au point A du siphon en fonction de p0,r, g,h1,h2.

Le Théorème de Bernoulli entre D et A ou bien entre A et C

Attention : PB #PD malgré que les points ont même côte (zB=zD), car on est en dynamique

2 21 1gz g2

z2

AAD AD DP PV V

P0 VA=VC car QV=cte zA=h1 zD=0 VD=0 Soit :

10

21 102 2

g0 gA Ch V

P P

20 1g

12

2A h gh

P

P

10 2gA h h

P P

3°) Déterminer la pression au point B du siphon en fonction de p0,r, g,h2.

le Théorème de Bernoulli entre D et B :

2 2g gz z1 1

2 2B BD BD DV V

P

P

20 0 2

1

2 CB BV gh

P P P

P

Car VB = VC d’après la conservation de débit : Qv = SV= constante

Attention : PB est différente de PD malgré que les points ont même côte (zB=zD), car en B il y a mouvement du liquide (on est en dynamique (P+rgz+1/2 rV2 =cte))

h1

h2

*

A z

*

B

o

P0

D *

* C

2 21 1gz g2

z2

AAD AD DP PV V

P0 VA=VC zA=h1 zD=0 VD=0

Exercice 2 :

Une portion d'une canalisation étanche est constituée de deux tuyaux cylindriques (I et II) inclinés à

45°par rapport à l'horizontale (voir dessin).

Un liquide incompressible s'y écoule de façon laminaire et stationnaire, en allant du point A vers le point

B, avec un débit constant de 3 10-3m3/s.

Sa masse volumique vaut 1000 kg/m³. La distance entre le point A et le point B est de 3 m. La surface de

la section vaut 50 cm² au point A et 8 cm² au point B.

La pression en A vaut 2 105Pa et la pression en B est inconnue. On donne g=10 m/s2 .

I- On suppose que le fluide est parfait

1. Déterminer et calculer la vitesse en A (noter VA) et celle en B (noter VB).

2. Déterminer et calculer la pression en B

3- Déterminer la force exercée par le fluide sur la paroi du tuyau cylindrique II

II- On suppose que le fluide est visqueux. La perte de charge entre A et B vaut DP=20100 Pa

1. Que vaut la pression en B?

2. Si le liquide s'écoulait dans le sens opposé (donc de B vers A) avec le même débit, la pression en B

serait-elle la même que celle calculée en 2-a., alors que l'on impose toujours en A une pression de 2 105Pa?

(justifier sans calculer la pression en B)

REPONSE :

I- On suppose que le fluide est parfait

1. Déterminer et calculer la vitesse en A (noter VA) et celle en B (noter VB).

v A A AQ V S A.N. : V 0,6 m/ s

v B B BQ V S A.N. : V 3,75 m/ s

2. Déterminer et calculer la pression en B

5

B A.N. : P 1,72 10 PaA

B zB

y

2 2

A A A B B B B A

1 1P gz V P gz V avec z AB sin et z 0

2 2 r r r r

d

2 2A A B B1 1

P V P g d sin V 2 2

r r r

2 2B A A B1

P P V V g d sin 2

r r

3- Déterminer la force exercée par le fluide sur la paroi du tuyau cylindrique II

( )

P n dsF( )

V V n dsF P

RAPPEL : T.EULER

(SL( ) (SC) SB) )(

P n ds P n P nds P n F d sds

C B

(SC) (SB)

P -n ds P n F' (Ids ) F

Et puisque : 2 2

C C C B B B

1 1P gz V P gz V

2 2 r r r r

Et on a :

C B C BS S et conservation de débit , implique : V =V

C B B CP P g z -z r

B C on a : z AB sin et z AC sin

C

B zB

y

n

A

zC

0

C BP P g CB sin r

Bl'équation (I) s'écrit : F' g CB sin S (II) F n

( )

V V n d PF s 0F PEt on a: mgK F

BS CB gK (III)F

Et d’après les équation (II) et (III) , on peut écrire : (II)=(III)

Bg CB sin n F' S CB gK

B BS CB gK g CB sin SF' n

B BS CB gK g CB sin S' nF

BS CB g K sinF n'

II- On suppose que le fluide est visqueux. La perte de charge entre A et B vaut

DP=20100 Pa

1. Que vaut la pression en B?

2 2

A A A B B B B A

1 1P gz V P gz V + P avec z AB sin et z 0

2 2 r r r r D

2 2

A A B B

2 2

B A A B

1 1P V P g AB sin V + P

2 2

1 1P P V g AB sin V + P

2 2

r r r D

r r r D

5

B

P 1,52 10 Pa

2. Si le liquide s'écoulait dans le sens opposé (donc de B vers A) avec le même débit,

la pression en B serait-elle la même que celle calculée en 2-a., alors que l'on impose

toujours en A une pression de 2 105Pa? (justifier sans calculer la pression en B)

PB n’est pas la même car , on a dans ce cas où l’écoulement est de B vers A :

2 2

B B B A A A

1 1P gz V P gz V + P

2 2 r r r r D

2 2

B B B A A A

1 1P gz V P gz V + P

2 2

r r r r D

Phénomène de Cavitation = formations de cavités remplies de vapeur ou gaz dans un liquide en mouvement Ce mot décrit un phénomène complexe pouvant exister dans une installation de pompage. Cas d'une pompe centrifuge : quand un liquide coule dans un tuyau d'aspiration et qu'il entre dans l'œil de l'impulseur, sa vélocité augmente ce qui amène un réduction de pression. Si cette pression descend en dessous de la tension de vapeur correspondant à la température du liquide, celui ci va se vaporiser et le courant qui s'écoule consistera à la fois de liquides et de poches de vapeur. Continuant son mouvement dans l'impulseur, le liquide arrive à une zone de pression plus élevée et les cavités de vapeur disparaissent. C'est cette disparition de poches de vapeur qui cause le bruit relié à la cavitation. La cavitation peut varier de très légère à très forte : dans le premier cas le seul effet est une baisse de l'efficacité ; dans le deuxième cas, une forte cavitation est très bruyante et peut briser l'impulseur de la pompe ou d'autres parties (voir photos) . Photos illustrant le phénomène de cavitation sur des hélices de pompe centrifuge.

(D'après une documentation Rhône-Poulenc)

Photos illustrant le phénomène de cavitation sur des hélices de pompe centrifuge.

Piqûres de cavitation