PROBLEME
PROBLEME 1Les calculs relatifs la loi normale doivent tre
dtaills et effectus en utilisant la table fournie.
Des billes sont produites en grande srie, dans le but de
fabriquer des roulements billes constitus chacun de 15 billes. Les
15 billes dun roulement doivent tre toutes sans dfaut.
Chaque bille produite peut avoir deux sortes de dfaut:
Dfaut de diamtre, lorsque le diamtre est infrieur 15,98 mm ou
suprieur 16,02 mm;
Dfaut de surface, lorsque la surface de la bille prsente des
microcavits.Pour une bille choisie au hasard, on note:
D lvnement: la bille prsente le dfaut de diamtre;
S lvnement: la bille prsente le dfaut de surface.
1) Le diamtre dune bille choisie au hasard, exprim en
millimtres, est une variable alatoire qui suit une loi normale
desprance mathmatique 16 et dcart type .
TRAVAIL A FAIRE
a) Si = 0,01 quel est prs, le pourcentage de billes ayant le
dfaut de diamtre?
b) Que doit valoir, prs, si on veut que 2,5 % seulement des
billes aient le dfaut de diamtre?
2) On suppose dans cette question que 2,5 % des billes ont le
dfaut de diamtre que 1,6 % des billes ont le dfaut de surface, et
que les vnements D et S sont indpendants.TRAVAIL A FAIRE
On choisit une bille au hasard.
a) Calculer prs, la probabilit de lvnement E: la bille prsente
les deux dfauts.
b) Calculer prs, la probabilit de lvnement F: la bille prsente
au moins un des deux dfauts.3) On suppose que 4 % des billes sont
dfectueuses. Les billes sont conditionnes en lot de billes. On
dsigne par le nombre de billes dfectueuses parmi les billes dun
lot, et on suppose que la variable alatoire suit la loi binomiale
de paramtres et.
TRAVAIL A FAIRE
a) Si on admet que la loi de peut tre approche par une loi de
Poisson. En utilisant cette approximation, calculer prs, la
probabilit quil soit possible de faire 6 roulements avec les 100
billes dun lot.b) Si on admet que la loi de peut tre approche par
une loi normale. En utilisant cette approximation, calculer prs, la
probabilit quil soit possible de faire au moins 65 roulements avec
les 1000 billes dun lot.
4) Un nouvel abrasif ultra fin est essay dans la phase finale de
fabrication des billes, dans le but de diminuer le pourcentage de
billes ayant un dfaut de surface, lancien pourcentage tant jug
excessif.Pour cela, on a test le nouvel abrasif sur un chantillon
alatoire non exhaustif de 630 billes.
On y a trouv 7 billes prsentant le dfaut de surface.
TRAVAIL A FAIRE
A laide dun test dhypothse au niveau et des rsultats de
lchantillon, dcider si le nouvel abrasif diminue ou non la
proportion de billes ayant le dfaut de surface.
On notera la proportion de billes ayant le dfaut de surface avec
le nouvel abrasif (sur lensemble de toutes les billes
produites).PROBLEME 2:
Les deux parties de ce problme sont indpendantes.
Dans tout le problme, les probabilits demandes seront donnes
prs.
La socit Chocolor produit pour Pques des ufs en chocolat garnis
dun assortiment de bonbons.
PARTIE A
Avant dtre garnis et emballs, les ufs sont soumis un contrle
visuel. On suppose que 5 % des ufs prsentent des dfauts qui les
rendent impropres la commercialisation. Ces ufs sont rejets au
contrle avec une probabilit de 96 %. Il arrive aussi, avec une
probabilit de 2 %, que des ufs sans dfaut soient rejets au
contrle.
Travail faire
1. Quelle est la probabilit quun uf soit accept au contrle?
2. Sachant quun uf a t accept au contrle, quelle est la
probabilit quil prsente des dfauts qui le rendent impropre la
commercialisation?
On supposera pour la suite que cette probabilit vaut exactement
0,002.
3. On note la variable alatoire qui, tout lot de 100 ufs pris au
hasard parmi ceux accepts au contrle associe le nombre dentre eux
qui prsentent des dfauts les rendant impropres la
commercialisation.a. Dterminer la loi suivie par et prciser ses
paramtres.
b. Quelle est la probabilit que, sur 100 ufs pris au hasard
parmi ceux accepts au contrle, au moins un prsente des dfauts qui
le rendent impropre la commercialisation?
PARTIE B
La masse de chocolat, en grammes, dun uf vide est une variable
alatoire qui suit la loi normale desprance mathmatique 50 et dcart
type 3.
La masse de garniture pour un uf est une variable alatoire qui
suit la loi normale desprance mathmatique 78 et dcart type 4.
On suppose que les variables alatoires et sont indpendantes.
Le chocolat utilis pour la fabrication des ufs vides cote
10.000F le kg, et le cot unitaire de fabrication, hors matire
premire, est estim 150 F .La garniture de bonbons cot 18.000F le
kg.
Lemballage dune bote de 20 ufs cote 200 F .
Les ufs garnis sont vendus aux dtaillants au prix de 50.000F la
bote de 20.
On suppose que les masses des ufs garnis, dans une bote, sont
des variables alatoires indpendantes.
On note: le cot unitaire dun uf vide;
le cot de la garniture pour un uf;
Et le cot unitaire (en tenant compte du cot de lemballage) dun
uf garni.
On admet que les variables alatoires, , suivent des lois
normales.Travail faire
a. Donner lexpression de , de et de en fonction de et .
b. Dterminer, en justifiant les rponses, les paramtres de et
.
c. Dmontrer que a pour esprance mathmatique 2064 F et pour cart
type 78 F.
d. Calculer la probabilit.e. Quelle est la probabilit que la
marge sur la vente dun uf garni soit suprieure 40 F?
2. On note le cot total de fabrication dune bote de 20 ufs
garnis (tenant compte du prix de lemballage).a. Expliquer pourquoi
suit une loi normale et dterminer ses paramtres.
b. Quelle est la probabilit que la marge sur une bote de 20 ufs
garnis soit suprieure 8000 F_1298452486.unknown
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