Problèmes de Cauchy et problèmes mixtes en théorie des distributions

Chapitre

PROBLEMES DE CAUCHY ET PROBLI~MES MIXTES

EN THI~ORIE DES DISTRIBUTIONS

Par

F r a n q o i s T r O v e s

Berkeley, Californie

T A B L E D E S M A T I ~ R E S

In t roduct ion

I. Op6ra teurs diff6rentiels sur lfi droi te fi coefficients

op6ra teurs

1. E-F-op6rateurs diff~rentiels. Position du Probl~me

2. Les espaces D k ( q ; E )

3. Rideaux

4. Op4rateurs propres

5. Le crit~re fondamental

6. Le crit~re fondamental (suite) .

II. E• d ' appl ica t ions

1. Probl~mes aux limites de type mixte

2. Polyn6mes diff4rentiels r&olubles

3. Probl~me de Cauchy pour les polynOmes diff4rentiels

r4solubles

/~ppendice

1. Lemmes Techniques

2. Espaces H f

R6f6rences b ib l iographiques

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Int roduct ion

Le point de d6part du pr6sent travail r6side essentiellement dans les

in6galit6s d6montr&s aux Chapitres II et III des "Relations de domination

entre op6rateurs diff6rentiels" (TrOves [1]).

Dans le Chapitre II et la premiere partie du Chapitre III des

"Relations..." les in6galit& les plus importantes 6talent toutes, grosso modo,

105

106 FRAN(~OIS TREVES

du type suivant: 2

( t ) e-Plt~Plq~ L~,,~ <= A R e ( e-p~t~PW , e--P~OPlq~)L~, x, ~PEDt,", O)

off P--= P (t , x , De, D~) est un op6rateur diff6rentiel sur R~ XR"~, P1 son

d~riv~ dans la direction t: P ~ = P . t - - t . P , p(t) une fonction r~elle

d~rivable de t, ayant la proprietY: il existe p0>0, tel que p ' ( t ) ~ p0 pour

tout t r6el. Nous nous ~tions born6s ~ 6tablir de ces in~galit~s pour des

op6rateurs P hyperboliques et paraboliques, sans en donner aucune application.

La deuxi~me pattie du Chapitre III concernait des op~rateurs diff~rentiels

en une variable, t, ayant comme coefficients des op&ateurs dans un espace

hilbertien E. Les in~galit6s que nous d~montrions &aient encore essentiel-

lement du type (1), avec toutefois une variante utile: on ne se bornait

plus au produit scalaire et ~ la norme de L 2, on introduisait des d~rivations

par rapport ~ t d'ordre entier n6gatif ou positif, ce qui amenait ~ des in~galit~s du genre:

2I_.2 (E) --> "+ -> (2) e-~ D ~ < ARe(e-P Dk(Pcp) , e--P Dk~)L2CE3, q ~ D , ( E ) ,

o~ p (t) a la m6me signification qu'en (1).

Aux in6galit6s (2) faisait suite l'expos6 d'une m6thode permettant de

les exploiter. Nous avions alors en rue la solution de certains probl~mes

mixtes, pos~s pour un op6rateur diff~rentiel P (t, x , D,, D~) dans un ouvert

cylindrique de RJ X R" , . On apercevait bien, cependant, que d'autres

applications pouvaient dtre escompt6es. La m&hode paraissait poss6der une

consid6rable g~n6ralit~, qu'il ne restait qu'~ mettre pleinement en lumi~re

par des adaptations convenables. Les in6galit6s (1) sugg6raient d'ailleurs la

direction de l'effort ~ faire.

Rappelons les grandes lignes de la m~thode en question.

A la base. on pose des in6galit~s du type (1). On introduit le

compl6t6 D* ( p ; E ) de II (E) pour la norme I[ e-~D~~ 1[~2(g~, k &ant un

entier ~ 0 ou < 0, p (t) une fonction r~elle ind6finiment d6rivable, v6rifiant

p ' ( t ) ~ p o 5 0 pour tout g. Ceci fait, 6tant donn6 f ~ I ~ ( p ; E ) , on s'attache

montrer l'existence et l'unicit6 d'un ~Mment u de D t ( q ; E ) v6rifiant . a t . -a t

Pu = f . On y parvient en se servant des in6galit~s (1), bien entendu sous

certaines conditions ~ satisfaire par p , q , k, 1.

On consid~re ensuite la famille Pg(a) des fonctions p (t) qui v6rifient

p ( a ) = 0 et, pour tout t, p ' ( t ) > g ( t ) ; a est un r6el quelconque, g(t) une

PROBLI~M ES DE CAUCHY ET PROBLEMES MIXTES 107

fonction continue > 0 . Et l 'on d~finit l'espace de Banach D~(Pg(a);E): c'est l'ensemble des u appartenant ~ l'intersection de tous les D ~ ( p ; E ) ,

] ~ Pg(a), dont la norme dans chaque D * ( p ; E ) est inf~rieure ~ un nombre

d~pendant de u mais non de p (t). II n'est pas difficile de voir (c'est evident

si k = 0 ) que D k ( P g ( a ) ; E ) est un espace de distributions ~ valeurs dans

E, d'ordre fini et ~ suppoit dans la demi-droite t = a. R~ciproquement,

toute distribution de ce genre peut ~tre incluse dans un espace D k (Pg(a) ; E),

pourvu que l'on choisisse convenablement g(t). Ce fait, joint ~ une sorte

de propri6t~ de filtration des fonctions p (0 et ~i la propri6t~ correspondante

des espaces D~(p;E),(~ permet de passer de l'existence et unicit~ de la --3, --~

solution de l'~quation P u f f dans les D * ( p ; E ) aux m6mes lorsque le

second membre f est donn6 et la solution u cherch6e dans l 'ensemble des

distributions ~ valeurs darts E, ~ support limit~ ~ gauche, d'ordre fini.

Enfin, un proc~d~ standard permet de lever la restriction "d'ordre fini".

On peut 6viter l'introduction des espaces D ~ ( p ; E ) comme le fait

M . J . L . Lions dans [2], Technical Report 1. On raisonne alors sur des

intervalles born6s (er b) et on fait jouer aux exponentielles exp (--~.t) le

r61e que tiennent pour nous les fonctions e x p ( - - p ( t ) ) . En v6rit6, les deux

traitements ne different que formeilement. L'emptoi de D ~ ( p ; E ) a un

d~savantage: en globalisant d'embl6e les raisonnements, il masque l'aspect

"~volution de proche en proche", c'est-~ dire ce fait 616mentaire qui si l 'on

salt r~soudre un probl~me de Cauchy dans un intervalle borne, mais arbitraire,

on saura aussi le r6soudre dans n'importe quelle demi-droite t~to. Cet

inconvenient est contrebalanc~ par la "m~canisation" des proc6d6s. Par

exemple, la manipulation des d6rivations D ~, k > 0 ou < 0 , qui deviennent

des isom6tries surjectives, est rendue purement alg6brique. Les d~monstrations

ne doivent 6tre faites qu'une seule lois, pour k g~n$rique. II n'est plus

besoin de ies faire d'abord pour des fonctions r6guli~res et de remonter

~i ce cas par integrations successives, lorsqu'on a affaire ~ des distributions

d'irr~gularit6 arbitraire. Le caract~re global des in~galit~s r6v~le d'autre part

des propri~t6s de croissance ~ l'infini, moins imm~diates dans la m~thode

des intervalles born6s. Le passage ~ la limite suivant des "ordonn~s filtrants"

de fonctions p ( t ) pr~sente une grande similitude avec la transformation de

1. Voir Proposition 1.15 du pr6sent travail.


Laplace, qu'en un certain sens l 'emploi des I~ ~ (p ; E) g6n6ralise. Mentionnons

aussi l 'avantage qu'il y a ~ retirer au r61e des fonctions poids exp( - -k t )

ou exp (--p (t)) son aspect d'artifice, ~ y reconnaitre le fait profond,

intimement li6 au caract~re d'6volution de l'6quation diff6rentielle, comme

on le volt dans les caract6risations des Chapitres II et I I I de TrOves [1]

ou bien, du point de vue local, dans l'article [1] de M. L. Nirenberg. (2)

Lorsqu'on s'int6resse ~ la position et aux m6thodes de solution des

probl~mes mixtes ou des probl~mes de Cauchy, tels qu'ils se pr6sentent

dans les travaux de Lions (notamment [1] et [2]) et de Mizohata ([I] , [2]),

on ne peut manquer d'etre frapp6 par de profondes analogies. II est hors

de doute que ces analogies tiennent en grande pattie aux in6galit6s qui,

plus ou moins implicitement, conditionnent les deux th6ories. Or nous

disposions d 'un bon stock d'inEgalit6s, et de la m6thode dont nous avons

parl6 plus haut. II s'agissait de trouver une formulation qui unifie les

raisonnements. I1 fallait que, dans un cadre assez abstrait pour inclure les

probl~mes de Cauchy de Mizohata et les probl~mes mixtes de Lions, un

petit nombre de th6or~mes g6n6raux assurent que, sous certaines conditions,

dont la principale est une in6galit6 du type (1), il y a existence et unicit6

de la solution d'une 6quation P u = f , au sens des distributions (vectorielles)

support limit6 ~ gauche.

L'unification recherch6e est r6alis6e, dans le pr6sent travail, par le biais

de ce que nous appelons les "situations". Une situation consiste essentiellement

en la donn6e de trois suites d'espaces hilbretiens (V , ) , (H~), (K,)

(z = . . . - -1 , O, 1 . . . . ) et d 'un op6rateur diff6rentiel sur la droite, L ( t , D ) ,

dont les coefficients sont des fonctions de t ~ valeurs, pour chaque z, dans

des espaces d'op6rateurs born6s de V~ dans K~. Pour chaque z, H, est

un sous-espace dense de K, et le probl~me que l 'on s'attache ~ resoudre

est le suivant: montrer que, pour toute distribution S sur la droite,

valeurs dans H , , ~ support limit6 ~ gauche, il existe une distribution et

une seule, T, ~ valeurs dans V , , ~ support limit6 g gauche, v6rifiant

L ( t , D ) T = S . Nous prouvons que ceci est bien le cas, sous diverses

2. Une manifestation frappante de ce fait est que dans la tr~s grande majorit6 des articles consacr6s aux Equations hyperboliques ou paraboliques, quel que soit le genre de probl~me EtudiE, ~ un moment ou g un autre apparalt ce "truc" qui consiste ~l multiplier (~ droite ou ~ gauche) l'op6rateur diffErentiel par une exponentielle exp (--X0.

PROBLEMES DE CAUCHY ET PROBLEMES MIXTES 109

hypotheses, assez banales, portant sur les V , , H , , Ks et pourvu qu'une

certaine in6galit6, concemant L( t , D) et un second op6rateur diff6rentiel

M ( t , D), soit vraie. Cette in6galit6 est une g6n6ralisation des in~galit6s

(1) et (2).

Les probl~mes mixtes, pos6s au sens de Lions, peuvent alors s'inter-

pr6ter comme une d6g6n6rescence de la "situation" g6nErale, celle o3 tous

les V~ sont identiques ~ un m6me espace V, tous les H~ ~ un m6me espace

H, les K~ 6tant identiques ~ V. Si le probl~me est parabolique, on peut

m6me prendre H = V . Les inEgalit6s utilis6es sont celles prouv6es dans

TrOves [1].

Les probl~mes de Cauchy, comme les &udie Mizohata, correspondent

un autre type de d~g6nerescence, off entrent effectivement des suites

d'espaces hilbertiens.

La cat6gorie la plus importante de ces espaces est constitute par les

H s, originellement introduits par P. Lax [1]: s est un nombre r~el quel-

conque; u(x)~ tts signifie: u(x) est une distribution temp~r~e et sa trans-

fortune de Fourier ~2 (y) est une fonction telle que

(1 + ]y I~) "12 a (y) ~ L 2 y "

L'application de la th~orie g~n~rale exige alors que l 'on ~tende les in~galit~s

du type (1) au cas o3 la norme et le produit scalaire de L], x sont remplac~s

D, (p ; n~,). par la norme et le produit scalaire de

Disons, pour terminer, que notre "th6orie", du fait m~me qu'eIle

pr&end ~ une grande g~n~ralit~, n'aboutit qu'~ des r~sultats relativement

grossiers. Et ceci en de multiples sens. De ce que les op~rateurs diff~rentiels

sont appliques ~ des distributions, nous sommes contraints de supposer

leurs coefficients ind~finiment d~rivables, du moins par rapport ~ t. Les

probl~mes pos~s et r~solus, l'&ant au sens de la th~orie des distributions,

sont eux-m6mes grossiers. Les conditions de croissance ~ l'infini sont

tellement g~n~rales qu'elles perdent sans doute tout inter& dans la majorit6

des cas particuliers. Etc. Disons cependant que sur ces divers points, de

consid6rables raffinements sont presque toujours possibles. Mais ils relSvent

de techniques ~ttang~res ~ celles dont nous nous sommes servis et pour

cette raison, aussi faute de place, nous n'avons pas du tout abord~ ces

questions.

Soulignons aussi le fait que, dans tout ce travail, les probl~mes de

110 FRANCOIS TREVES

Cauchy consid~rEs sont globaux, relatifs ~ l'avenir, avec donnEes initiales

sur un hyperplan perpendiculaire ~ la direction du temps t.

Le Chapitre I est consacrE ~ la thEorie gEnEra!e ; le Chapitre II contient

des exemples d'applications.

Nous n'avons pas hEsitE ~ exposer des choses connues, afin que cet

article puisse, autant que possible, se lire sans trop frequent recours

d'autres publications. Ainsi nous avons rappeiG au w 1 du Chapitre I, la

position des probl~mes de Cauchy au sens des distributions; au w 1 du

Chapitre II, celle des probl~mes mixtes; au w 2 de l'Appendice, la definition

et quelques propriEtEs ~iEmentaires des espaces HI (dont les H s sont des

cas particuliers). A ces mati~res connues nous avons mEme sacrifiE certains

aspects de notre mEthode. Par exemple, il est facile de voir que les

situations et les thEor~mes gEMraux s'appliquent ~ un grand nombre de

syst~mes diffErentiels. Cependant une tr~s 14g~re modification, qui utilise des

produits cartEsiens de plusieurs espaces D'~I(/~;Ei), permet d'en Elargir

considErablement la portEe dans cette direction. Nous avons cependant

renoncE ~ la dEcrire, nous rEservant de le faire dans un article ult~rieur.

Nous avons aussi consacrE un paragraphe entier (w 2, Chap. I ) a u rappel

des propriEtEs des espaces D ~ ( p ; E ) , sans aucune preuve. Les preuves,

qui sont toutes faciles, peuvent 4tre trouvEes au Chapitre III de TrOves [1],

Deuxi~me partie.

Nous nous sommes concentr~s intentionnellement sur l'essentiel de la

m~thode, en nous effor~ant de la rendre aussi assimilable que possible.

C'est ainsi que la demonstration du tMor~me fondamental, qui occupe la

derni~re partie du w 5, Chapitre I, et qui est techniquement assez compliquEe,

EtE prEcEdEe de la demonstration d'un EnoncE presque trivial, ~ seule

fin de dEgager les lignes principales des raisonnements. Deux lemmes

techniques ont Et~ renvoyEs en Appendice.

Ce souci de simplifier nous a aussi guides dans le choix des exemples

d'applications. Les inEgalitEs qui servent de base ~i la solution des probl~mes

mixtes avaient 4tE d~montrEes dans TrOves [1]; nous nous sommes bornEs

les rappeler, et nous avons porte notre effort sur leur interpretation.

Nous aurions enfin pu exposer une ~tude du probl~me de Cauchy global

pour les opErateurs paraboliques et hyperboliques. L'espace q u e cela e~t

requis nous a incites ~ en faire 1'object d'un article sEparG qui sera publiE

PROBLEMES DE CAUCHY ET PROBLF.MES MIXTES I l i

prochainement. Nous lui avons substitu~ l'~tude d'une classe d'op~rateurs

diff6rentiels ~. coefficients constants (i.e. de polyn6mes diff~rentiels) qui

contient les op~rateurs ~ coefficients constants paraboliques, hyperboliques,

l'op~rateur de Schr6dinger. Nous appelons r ~ s o l u b l e s les polyn6mes

diff~rentiels de cette classe, c3) On a l'int~ressante propri~t~ que si P e t Q sont

r~solubles, il en est de m~me de PQ. Et si P e s t r~soluble, P1 l'est aussi;

ce dernier fait joue d'ailleurs un r61e essentiel dans l'application de la

m~thode g~n~rale.

Je tiens ~ remercier M . J . L . Lions. La correspondance suivie que nous

avons ~chang~e, les manuscrits qu'il a bien voulu me communiquer m'ont

~t~ d'une grande aide dans ce travail.

C H A P I T R E I

OPERATEURS DIFFI~RENTIELS SUR LA DROITE

A COEFFICIENTS OP~RATEURS

w 1. E -F -Op~ ra t eu r s Diff~rentiels. Position du Prob l~me

l . Notat ions.

Darts tout le Chapitre I, t sera la variable r~elle, D la d~rivation d

Z l'ensemble des entiers de tout signe. Nous aurons sans cesse dt '

manipuler des fonctions et des distributions sur la droite, ~ valeurs dans

des espaces de Banach. Sur ce point, nous nous conformerons aux d~finitions

et notations de Schwartz [3] et [4]. En r~gle g~n6rale, les fonctions et .-+ .-~

distributions ~ valeurs vectorielles seront surmont~es d'une fl~che: f , T,

etc. et si par exemple ces valeurs appartiennent ~ l'espace E, les espaces

de fonctions ou distributions dont on consid~re les ~l~ments seront affectSs

de la mention (E): D ( E ) , L 2(E), E ' (E) , etc. (la mention est omise si E

est le corps des complexes). Si E et F sont deux espaces de Banach,

L ( E ; F ) d~signera l'espace de Banach des op~rateurs bombs de E dans F,

muni de la norme usuelle des op6rateurs. Alors un espace fr~quemment

utilis~ sera E ( L ( E ; F ) ) : celui des fonctions ind6finiment d~rivables de t,

~t valeurs op~rateurs de E dans F.

En r~gle g~n6rale, si E est un espace hilbertien, le produit hermitien

dans E sera not~ ( , )E et la norme hilbertienne, H lit. i1 pourra advenir

3. Voir Note .~ la fin du M6moire.

I12 FRAN(~OIS TREVES

que le dual fort de E ne soit pas canoniquement identifi6 ~ E, auquel cas

il sera not6 E'.

Nous aurons besoin des d6rivations par rapport ~ t d'ordre n6gatif.

D a n s le p r 6 s e n t p a r a g r a p h e , si k e s t u n entier > 0 , D -k aura

toujours le sens suivant:

pour tout q0 ~ D~ , D -~ q~ (t) = Y*~ ( t ) , q~ (t),

Y (t) &ant la fonction d'Heaviside.

2, Espaces de distributions ~ suppor t limit~ /~ gauche .

Soit E un espace de Banach~ On d~signe par D '+(E) l'espace des

distributions ~ valeurs dans E, dont le support est limit~ ~ gauche, ce qui

veut dire que, pour chaque T ~ D ' + ( E ) , il existe un nombre r6el e > - - o o

telle que T soit nulle dans l'ouvert t < c . DSsignons par D _ l'espace des

fonctions c~(t) (~ valeurs complexes) ind~finiment d~rivables sur la droite

r~elle, ~ support limit~ ~ droite: pour chacune de ces fonctions q3(0, il

existe un r~el b< +oo tel que q0(t)= 0 s i t 7 b. On peut identifier

alg~briquement D '+ (E) ~ l'espace des applications lin~aires continues de

D _ (muni de la topologie limite inductive de Schwartz; cf. Schwartz [1],

T. II, 1-~re Sd., p. 28) dans E.

Une lois effectu~e cette identification, on munit D'+ (E) de la topologie

de la convergence uniforme sur les ensembles born~s de D _ .

Pour tout a r~el, nous d~signerons par D'~+ (E) le sous-espace de .-+

D'+(E) form~ des distributions T ayant leur support darts la demi-droite

ferm6e t ~ a ; D'~+ (E) est un sous-espace ferm~ de D'+ (E) ; il sera muni

de la topologie induite par D'+ (E).

Nous d6signerons par D'~+(E) le sous-espace de D'a+ (E) form6 des . .+ --).

distributions T telles qu'il existe un entier m (d6pendant de T) et, pour - +

chaque 0 ~ j ~ m , une fonction._> gj(t) continue, ~ valeurs dans E, tels que

T = go + Dg, + . . . + D~g , , , les d6rivations 6tant entendues au sens des

distributions. II est ais6 de montrer que dans cette condition, on peut

choisir les gj toutes nulles pour t < a . Pour t donn6, le plus petit entier m .-+

ayant la propri6t6 ci-dessus est appel6 l ' o r d r e de T (par rapport aux

fonctions continues).

Enfin, D'f+ (E) d6signera la r6union des D',f+ (E) lorsque a parcourt


R 1. C'est l'espace des distributions sur la droite, ~ valeurs dane E, de support

limit~ ~ gauche et d'ordre fini.

3. Rappe l s sur les f o r m e s sesqui l in6aires .

Soient deux espaces hilbertiens V, W. On donne, pour chaque t r~el,

une forme sesquilin6aire a ( t ; v , w) sur V X W , pourvue des propri6t6s

suivantes :

(A) P o u r t o u s v ~ V , w ~ W , a ( t ; v , w ) e s t u n e f o n c t i o n i n d 6 -

f i n i m e n t d 6 r i v a b l e d e t d a n s R 1.

(B) P o u r t o u t t r 6 e l , i l e x i s t e u n e c o n s t a n t e f i n i e M ( t ) > O

t e l l e q u ' o n a i r , p o u r t o u s v~V , w ~ W : .-). --). . -+ . -~

1 (t; , )l M(t)llvllv][wllw. II n'est pas difficile de d~montrer que, dans ces conditions, il existe un

~l~ment A(t) de E ( L ( V ; W ) ) tel qu'on air, pour tout t r~el et tous . -+ -.). --). - + 49- . -+ . -~

v ~ V , w ~ W : a ( t ; v , w ) = ( A ( O v , w ) v .

Supposons donc v~rifi~es les hypotheses (A) et (B) et soit 4" 9 " " +

A (t) ~ E (L (V ; W)) associ6 ~ la forme a (t ; v , w) par le r~sultat precedent.

Soit T une distribution ~ valeurs dans V (i. e. une application lin6aire

continue de D dans V). Il est l~gitime (voir Schwartz [4], Chap. II) de . -+

consid~rer le produit A ( 0 T , qui est une distribution ~ valeurs dans W, . o t --). .-).

et, pour chaque w ~ W , le produit hermitien (A(t) T , W)w, qui est une

distribution scalaire. --). -.). --).

D'autre part, ( T , v ) - > - a ( t ; v , w ) T , w ~ W , est une application

bilin~aire continue de D ' X V dans D'. Elle d~finit canoniquement (Schwartz, - + . -+ 49.

loc. cir.) une application lin~aire continue T->- a (t ; T , w) de D ' (V) dans D ' .

II est facile de v6rifier que l 'on a, pour tous T ~ D ' ( V ) et w ~ W: .-). - .+ - + --~

a(t ; T , w) = (A(t) T , w)w.

4. E-F-op6ra teurs diff6rentiels.

Soient E , F deux espaces hilbertiens. Nous appelerons E-F-o p ~ r a-

t e u r d i f f~ r e n t i e I tout op~rateur diff~rentiel sur la droite, ~ coefficients

dans E ( L ( E ; F ) ) , du type suivant:

L ( t , D) = ~ , A,(t) D ' ,

114 t~RAN~OIS TROVES

off m e t l sont des entiers > 0 et, pour tout --I < r G m, A, ~ !~. (L (E ; F)),

L'entier m sera appel6 l'ordre de L ( t , D). En v&it6, nous devrions plut&

parler d'op&ateurs "int~gro-diff~rentiels" puisque nous nous permettons de

consid~rer des derivations D" d'ordre r n~gatif.

Avec la signification qui lui a &~ attribu&, D -~, pour k ~ 0,

d6finit une application lin~aire (resp. lin~aire continue) de D'I+(E) (resp.

ID'+ (E), resp. D'a+ (E)) dans lui-m~me. Par consequent, un E-F-op~rateur

diff&entiel d6finit une application lin6aire (resp. lin~aire continue) de

D'I+(E) (resp. D '+ (E) , resp. D'a+(E)) dans D'I+(F) (resp. D '+(F) ,

resp. D'~+ (F)).

8. Probl~me de Cauchy fin.

Introduisons alors l'espace 1~.+ (E) des fonctions m fois continfiment

d~rivables de t > 0 ~ valeurs dans E. Des ~l~ments de !~.~ (E) convergeront

dans E+(E) s'ils convergent dans E, ainsi que leurs m premieres d&iv&s,

uniform~ment sur tout intervalle ferm~ de la forme 0 <_<_t < M < + oo.

II convient de souligner deux faits : si f ( t ) ~ E + ( E ) , (i) lorque t ~ 0,

quel que soit r-----0, 1 ... . . m, f(')(t) tend (dans E) vers un ~l~ment bien 4--

d&ermin~ de V, qu'il est naturel de rioter f(~)(0); ( i i ) f ( t ) d~finit une

distribution sur la demi-droite f e r m 6 e t > 0 (~ valeurs dans E). Ceci

implique que l'on peut d~finir la distribution f sur toute la droite ~gale

0 pour t < 0 et ~ f ( t ) pour t > 0 .

Nous sommes ainsi en mesure de poser le probl~me suivant, qu'on

pourrait appeler "probl~me de Cauchy fin pour le E-F-op6rateur diff~rentiel

L ( t , D)" : -.).

Probl~me 1.1. E t a n t d o n n 6 s m 6 1 ~ m e n t s eT(o<r~m--1) .-).

de E, t r o u v e r f(t)~P..~(E) v 6 r i f i a n t l e s d e u x c o n d i t i o n s

s u i v a n t e s :

(i) L ( t , D ) f = o d a n s l ' o u v e r t t > 0 ; --).

(ii) p o u r t o u t r = 0 , 1 . . . . , m - - l , f ( o ( 0 ) = e ~ .

Les vecteurs e, sont g6n~ralement appelEs les conditions initiales

du probl~me.

8. Transfert des conditions initia|es au second membre .

Nous allons maintenant incorporer les conditions initiales au second

PROBL~MES DE CAUCHY ET PROBL~MES MIXTES

membre de l'~quation, en nous servant du proc6d6 de Schwartz ([5], p.

131 et sq.). -->

Consid~rons f ( t ) E l l+ (E ) et soit un entier k ~ 0, k <__ m. D'apr~s

une formule classique en Th~orie des distributions, on a:

D a f = [f(k) (t)]" + S a~ (~ f ' k - ' - ' ) (0) , m 0

--).

off, pour tout e E E , 5(o')(~e est la distribution (~ valeurs dans E)

d6finie par : --+ -9.

(~i(00 (~ e) (q0) = (--1)rq~(r) (o )e , cp e l ) , .

Soit alors A(t) E E ( L ( E ; F)) . On peut multiplier par A(t) toute

distribution ~. valeurs dans E : on obtient ainsi une distribution ~ valeurs

dans F. Dans le cas qui nous int6resse, il est ais6 de voir que

A (t) (b(or) (~ e) = ( _ l ) s r 5~o,_S ) (~ A(s) (o)e ( e e E) . S

s=O .-).

Supposons alors que f (t) soit une solution du probl~me de Cauchy

fin pour L ( t , D) , avec donn6es initia!es e, (0 ~ r ~ m - - 1). D'apr~s les

formules pr6c6dentes, il existe m s op6rateurs born6s B: (0 <= i, r < m - - 1 ) ] - _ _

de E dans F tels que: ._~ m - - 1 m - - I _~.

. / = 0 r = O

Les op6rateurs B: sont compl~tement d6termin6s par la donn~e de L (t , D).

Ceci sugg~re de remplacer le Probl~me 1.1 par le suivant:

Probl~me 1.2. E t a n t d o n n 6 s m 6 1 6 m e n t s Sj ( 0 < = j < = m ~ l )

d e F, t r o u v e r f ( t ) E E + ( E ) v 6 r i f i a n t :

._~ m - - 1 _ff

L ( t , D) f ---- E U~ (~) S j . j = o

2. Probl~me de Cauchy au sens des distributions.

On peut avoir int6r&, du moins provisoirement, ~ 6viter toute condition

de r~gularit~ de la solution par rapport ~ t. Une telle condition apparalt

dans les Probl~mes 1.1 et 1.2 par le fait qu'on y cherche des solutions m

fois continfiment d~rivables par rapport ~ t >= 0. On peut chercher d'abord

116 FRANCOIS TROVES

les solutions distributions de ces probl~mes, quitte ~ prouver ensuite qu'elles

poss~dent de bonnes propri&~s de r6gularit& --5

On remarque d'autre part que la solution f et le second membre

E 8~0J)(~ Sj , dans le Probl~me 1.2, sont des distributions ~ dans s u p p o r t

j = o

la demi-droite t > 0. Une g~n~ralisation naturelle du Probl?:me 1.2 serait -)

donc la suivante: ~ t a n t d o n n ~ e u n e d i s t r i b u t i o n S ~ v a l e u r s

c lans F, ~ s u p p o r t d a n s ( 0 , + ~ o ) , t r o u v e r u n e d i s t r i b u t i o n

T ~ v a l e u r s d a n s E, ~ s u p p o r t d a r t s (0 , +oo) , t e l l e q u e ._~ .-+

L ( t , D ) T = S.

Mais on peut &endre ce dernier probl~me ~ de seconds membres S ~ support .-).

limit~ ~ gauche quelconques; et chercher des solutions T appartenant

D '+ ( E) , en se r&ervant ensuite de prouver qui si le support de S est

contenu dans la demi-droite ( a , +c~) (a r&l), il en est de m~me de celui

de T.

Nous parvenons ainsi au probl~me suivam:

Probl~me 1.3. E t a n t d o n a t e S ~ D ' + ( F ) , t r o u v e r T ~ D ' + ( E )

t e l l e q u e - +

L ( t , D)T -= S . .-+

Montrer que, pour tout second membre S ~ D ' + ( F ) , il existe au ._.).

moins une solution T ~ D ' + ( E ) au ProbI~me 1.3, c'est montrer que .-1, .-).

l'application fin&ire continue U ->- L ( t , D) U de D'+ (E) dans D'+ (F)

est s u r j e c t i v e . Montrer que la solution T est toujours unique, c'est

montrer que cette application est b i u n i v o q u e.

8, Op6ra teurs diff&entiels fi coeff icients o p & a teu r s non born~s.

Malheureusement, il est souvent impossible de prouver que le E-F.

op~rateur diff~rentiel que l'on &udie d~finit une application (lin~aire continue)

biunivoque de D '+(E) s ur D'+ (F). La situation se pr6sente fr~quemment

de la fa~on suivante: on a affaire ~ deux espaces hilbertiens V, H et ~ un

op&ateur diff&entiel L ( t , D) q u i n ' e s t p a s u n V-H-op&ateur diff&entiel ;

cependant on peut trouver un troisi~me espace hilbertien K, dans lequel H

est plong6 continfiment, tel qu'il soit possible de d~finir L ( t , D) comme

V-K-op~rateur diff~rentiel. Ce qu'on cherche /~ prouver alors, c'est que

l'image par L ( / , D ) de D '+(V) dans D ' , ( K ) c o n t i e n t D '+ (H) et de

PROBLEMES DE CAUCHY ET PROBLEMES MIXTES 11.7

plus que, pour tout S ~ D'+ (H), il n'y a qu'un seul Eldment T de D'+ (V) - +

v&ifiant L ( t , D) T ---= S .

On remarque que le r61e de K peut &re tenu par n'importe quel

autre espace hilbertien dans lequel K soit plong~ continfiment (du moins,

dans la formulation du probl~me): dans un certain sens, ce r61e est

inessentiel.

Les coefficients de L(t, D) ne sont pas des opErateurs born& de V

dans H (en pratique, il y aura toujours un sous-espace dense de V qui est

applique par ces coefficients dans H). C'est pourquoi on se r~f~re parfois

ce genre de situation en disant qu'on a affaire A un op~rateur diffErentiel

dont les coefficients sont des op~rateurs non born&.

Soient donc V, H, K trois espaces hilbertiens, H &ant plongE

continhment clans K. Soit L(t, D) un V-K-opffrateur diff&entiel. On peut

doric poser le probl~me: ...+ - +

Prob!~me 1.4. E t a n t d o n n E e SED'+(H), t r o u v e r T E D ' + ( V )

t e l l e q u e L( t ,D)T- - -S . - -+ .._). - +

Soulignons que l'Equation L ( t , D) T ----- S signifie que L ( t , D) T ,

a priori distribution ~ valeurs dans K, est en r~alitE une distribution . -+

valeurs dans H et qu'en tant que telle, elle est Egale ~ S.

g. ProblEmes addit ionnels .

Le present travail constitue une Etude du ProblEme 1.4 dans certaines

situations.

On peut cependant tenir ~ r&oudre des probl~mes moins grossiers

que celui 1.4. On peut chercher, par exemple, la solution d'un probIEme

du type 1.2:

Probl~me 1.2'. S o i t L(t,D) un V - K - o p E r a t e u r d i f f E r e n t i e l . - +

E t a n t d o n n E s m v e c t e u r s h, ( 0 < _ r ~ m - - 1 ) de H, t r o u v e r u n e --.'t

d i s t r i b u t i o n f ( t ) ~ v a l e u r s d a n s V, ~ s u p p o r t d a n s la

d e m i - d r o i t e f e r m E e t>=0, q u i s o i t , d a n s l ' o u v e r t t > 0 , u n e

f o n c t i o n m f o i s c o n t i n f i m e n t d e r i v a b l e ~ v a l e u r s d a n s V,

e t q u i v E r i f i e

L (t , D) f = E 8"vJ) (~ hi" l=0


Ceci conduit ~ adjoindre au Probl~me 1.4 d'autres probl~mes, qui

concernent le support et la r~gularit~ de la solution.

P r o p r i ~ t ~ s d e s u p p o r t .

Sur cette question nous allons obtenir des r~sultats satisfaisants, au

sens suivant: chaque fois que sera r~solu un probl~me de type 1.4, on

montrera que quel que soit le r~el a, si le support du second membre ...r

S est contenu dans la demi-droite t ~ a , il en est de m~me de celui de la ...+

solution T.

P r o p r i ~ t ~ s d e r ~ g u l a r i t ~ .

En ce domaine se rencontrent des difficult~s variSes. Au point de vue

g l o b al, nous obtiendrons d'assez bons r~sultats, du genre suivant : si le . .+

second membre S est une fonction (~ support limit~ ~ gauche) m lois .-+

contin~3ment d~rivable sur toute la droite, alors la solution T e s t n lois

contin~ment d~rivable (aussi sur toute la droite, avec une certaine relation - ) .

entre m e t n). En particulier, si S est ind~finiment d~rivable dans R 1, il en .-9-

sera de m6me de T.

Par contre, rien ne pourra 6tre dit au point de vue l o c a l : dans la .-+

plupart des cas, la r~gularit~ de S au voisinage d'un point n'entra~nera pas

celle de T e n ce voisinage. En particulier, la plupart des op~rateurs ~tudi~s

ne seront pas hypoelliptiques, si l 'on donne ~ hypoelliptique le sens ...-).

suivant: L ( t , D) ~tant un V-K-opSrateur diff~rentiel, toute distribution T

valeurs dans V est une fonction ind~finiment dSrivable de t, ~ valeurs dans --r

V, dans tout ouvert de la droite o3 L ( t , D)1" est une fonction ind~finiment

d~rivable de t, ~ v a l e u r s d a n s H.

Ces faits mettent de s~rieux obstacles sur la voie qui devrait reconduire

du Probl~me 1.4 aux probl~mes fins. Peut-on dire, par exemple, lorsque --). - r --+ - +

S est du type E ~]~ ( ~ hj (h j~ H ) . que la solution T est m - 1 fois j = 0

contin~ment d~rivable dans la demi-droite ferrule t=> 0? Consid~rons par

exemple un V-K-op$tateur du 1-er ordre, ~ coefficients constants, A~ D+Ao .-+

et supposons que l 'on a i t p r o u v ~ q u e pour tout S E D ' + ( H ) , il existe

T ~ D'+ (V) v~rifiant A ~ D T + AoT = S , et que les bonnes conditions de

support sont remplies. Prenons S = ~ 0 ( ~ h . Peut-on affirmer, lorsque h - +

est quelconque dans H, que T e s t une fonction continue de ~ ~ 0 dont la - ~ .-+

limite, pour l--> 0, v~rifie A ~ v 0 = h ? En g~n~ral, rien n'est moins stlr.


Sur ce sujet, voir par exemple Lions [l], Chap. II. w et 16. Nous

n'aborderons pas ici ces probl~mes (de m6me que nous n'aborderons aucun

probl~me de stabilitY).

P r o p r i ~ t ~ s de c r o i s s a n c e ~t l ' i n f i n i .

La m~thode que nous emploierons, qui a de fortes analogies avec la

transformation de Laplace, nous permettra de receuillir des renseignements

sur la croissance ~ l'infini de la solution ~t partir de celle du second membre.

Ceci, bien entendu, lorsque "Croissance ~ l'infini" aura un sens, c'est-~-dire

dans le cas des distributions d'ordre fini. Les majorations obtenues n'auront

cependant aucune finesse, ce qui se con~oit, ~tant donn~ le point de rue

tr~s g~n~ral auquel nous nous pla~ons.

C e

2e partie,

suivante :

(c 1)

w Les espaces D k ( q ; E )

paragraphe est le resum6 d'une 6tude de TrOves [1] (Chap. III,

w 2). Nous utiliserons des fonctions q(t), soumises ~ la condition

La f o n c t i o n q(t) e s t ~ v a l e u r s r ~ e l l e s e t c o n t i n u e

s u r R 1. E l l e p o s s ~ d e u n e d ~ r i v ~ e (au sens des distributions)

q'(t), q u i j o u i t d e s p r o p r i ~ t ~ s s u i v a n t e s :

(1) q'(t) e s t I o c a l e m e n t i n t 6 g r a b l e ;

(2) q'(O g a r d e le m 6 m e s i g n e s u r la d r o i t e e n t i ~ r e ;

(3) i l e x i s t e u n n o m b r e q0>0 t e l q u e ]q'(t) l>~qo p o u r

t o u t t r ~ e l .

Nous allons maintenant red~finir les d~rivations par rapport ~ t d'ordre

n~gatif ou, plus exactement, nous allons d6finir les op~rateurs e-qD -k, avec k > o et q(t) v6rifiant (C1), On aura, pour q~(t)~Dt:

: le--q(O [Y (t)*1'*tp (t)] si le signe de q' (t) est positif;

eqD-k~ |e--qC')[(--Y(--t))*k*~(t)] si le signe de q'(t) est n6gatif,

Y(t) d6signant la fonction d'Heaviside.

Soit un espace hilbertien E. On peut appliquer l'op6rateur e-qD -k .-+

aux 616ments q0 (0 de D (E), On a le r6sultat suivant:

Proposit ion 1.1. Si q (0 v 6 r i f i e (C1), q u e l s q u e s o i e n t -.~ .-).

k ~ Z e t q ) ~ D ( E ) , o n a e-qD~q:~L2(E). C'est trivial si k > O. Supposons k ~ - -h , h > O . Si q'(O>O,

---}

e -qD-hq~ a son support limit~ ~ gauche. Si q~ a son support dans la demi-

120 FRANCOIS TREVES

-o ,

droite t ~ a (a r~et), Y*h*~0 est, dans l'ouvert t >a , une combinaison lin6aire

finie d'616ments de E dont les coefficients sont des polyn6mes en t de

degr~ ~ h - - 1 . Mais t

q (t) - q (o) = ./" q' (0 dt _> qo t 0

et par cons6quent:

II ~-~ D-*tp I1~ <= ~-~0). ~-,0' . 11Y'*'~ II~.

Puisque q0 est > 0 , le second membre de cette in6galit6 appartient manifes-

tement ~ L~, d'ofi notre assertion dans ce cas, Si q ' ( t )< O, raisonnement

analogue en inversant le sens de l'axe des t.

La Proposition 1.1 nous autorise ~ poser la d6finition suivante:

D~finition 1,1. S o i e n t un e s p a c e h i l b e t t i e n E e t u n e

f o n c t i o n q (0 v 6 r i f i a n t la c o n d i t i o n (C1). N o u s d 6 s i g -

n e r o n s p a r D k ( q ; E ) ( k ~ Z ) l e c o m p 1 6 t 6 de D ( E ) p o u r la

s t r u c t u r e p r 6 h i l b e r t i e n n e d 6 f i n i e p a r le p r o d u i t h e r -

m i t i e n :

(e-q D ktp , e-q D ~ ~)zz(E), q~ (t) , ~ (t) ~ D (E) .

Nous noterons (u , v)E;q,~ et I[ulIB;q,k respectivement le produit . .+

hermitien et la norme dans D k ( q ; E ) . Si q ~ D ( E ) , --+ .-9

][ q0 IIE;q.~ = I[ e-q D k q0 IIL2(~).

Les propri~t6s essentielles des espaces D k ( q ; E ) r~sultent de la proposition

suivante :

Proposi t ion 1.2. S o i e n t d e u x e n t i e r s h, k ~ Z , h < & ;

D * ( q ; E ) e s t p l o n g 6 c o n t i n f i m e n t d a n s D * ( q ; E ) e t o n a,

p o u r r o u t e I ~ D ' ~ ( q ; E ) :

1 7 [[fll~;q,h < ~ ffl~;q.h.

Remarquer que d'apr~s la condition (3) de (C 1),

1 --> - - ~ L ~176 On a, pour toute c p ( t ) ~ D ( E ) : q'

-> --~ 1-,t q' -> Re (e-q Dq) , e--q q~)t'(E) --- (t) [1 e-r tp II~ dt

(noter que le 2-~me membre a un sens parce que q' est localement-D). Or :

PROBLEMES DE CAUCHY ET PROBLI!MES MIXTES 1 2 1

~ .-4" l J �9 "-)" j ~'2 2

i q ' l !e- '~lrE dg = fq'ille-qqgF!~ d t > m ~ ( l ( i ) { l e - ~ r

o~ mo~(lq';) est le m i n i m u m en m e s u r e de iq'l (nous savons

1 - - t

que ce minimum est >q0) ; or m~( ]q ' l ) = ~ - L~ ' d'o~ le r6sultat,

-->

lorsque h = 0, k = I e t f E D (E). On peut cependant, gr~.ce a la Prop. 1.1, ---> -9 ,

remplacer q~ par Dkq0 (h E Z quelconque). On obtient ainsi le r6sultat pour - +

h E Z quelconque et k = h + 1, et f E D (E) . En l'itfrant et en le prolongeant

de D ( E ) ~ D ~ ( q ; E ) , on le d6montre dans sa g~n&alit~.

Ddrouions rapidement les cons6quences de la Proposition 1.2.

Qorollaire. P o u r t o u t k ~ Z e t r o u t e q(t) v 6 r i f i a n t (C 1),

D I ' ( q ; E ) e s t p l o n g 6 c o n t i n t ~ m e n t d o n s D ' ( E ) : c ' e s t un

e s p a c e de d i s t r i b u t i o n s h v a l e u r s d o n s E.

Introduisons le dual fort E' de E.

Proposi t ion 1.3. S o i e a t k E Z , q(t) v ~ r i f i a n t (C1). L ' i n j e c -

t i o n c a n o n i q u e d u d u a l f o r t de D * ( q ; E ) d o n s D ' ( E ' ) e s t

u n e i s o m E t r i e d e ce d u a l f o r t s u r D - k ( - - q ; E ' ) .

C a r a c t E r i s a t i o n d e s 6 1 6 m e n t s d e I}~ (q ; E) (k => 0).

D k ( q ; E ) (k > 0) est l'espace des (classes de) fonctions u (t), dEfinies

et mesurables sur la droite r6elle, ~ valeurs dans E, telles que -9"

e-q D ~ u (t) ~ L z (E) pour tout 0 <_ h _< k (les d&ivations D h devant s'entendre

au sens des distributions en t ~ valeurs dans E).

C a r a c t ~ r i s a t i o n d e s ~ 1 6 m e n t s d e D k ( q ; E ) ( k<0 ) .

Pour que T ~ D ' ( E ) appartienne ~ D - l (q ;E) ( l > 0 ) , il faut et il

suffit qu'existent (I + 1) fonctions ga E L 2 (E) telles que: --4. -9" -4, --+

T : eqg o + D(eqg,) + ... + Dt(eqgt).

Pour la d6monstration de ces faits, et de ceux qui suivent, on pourra

se reporter a Treves i t] (Chap. III, 2-~me partie, w

Proposi t ion 1.4. S o i e n t E e t F d e u x e s p a c e s h i l b e r t i e n s ,

u u n e a p p l i c a t i o n l i n 6 a i r e c o n t i n u e de E d a n s F. L ' a p -

p l i c a t i o n t p ( t ) ~ u q ~ ( t ) de D ( E ) d a n s D ( F ) se p r o l o n g e

c a n o n i q u e m e n t en u n e a p p l i c a t i o n l i n d a i r e c o n t i n u e ~7

d e D ~ ( q ; E ) d a n s D k ( q ; F ) . Si u e s t b i u n i v o q u e (resp. surjective),

i l en e s t de m 6 m e d e a.

Corollaire. S o i t e u n 6 1 6 m e n t q u e l c o n q u e de E ; f + ( f , e ) e

122 FRAN(~OIS TRF.VES

e s t u n e a p p l i c a t i o n l i n ~ a i r e c o n t i n u e de D ~ ( q ; E ) d a n s

D k ( q ; C ) , (C est le corps des complexes).

Proposi t ion 1.5. S o i t un e n t i e r h ~ 0 q u e l c o n q u e ; f -~Dhf e s t u n e i s o m ~ t r i e d e D ~ ( q ; E ) s u r D ~ - h ( q ; E ) ( k ~ Z ) .

L ' i s o m ~ t r i e r ~ c i p r o q u e , q u e n o u s n o t e r o n s D -h, c o i n c i d e ,

s u r D(E) , a v e c l ' o p ~ r a t e u r a i n s i n o t ~ j u s q u ' ~ m a i n t e n a n t .

Proposi t ion 1.6. S o i e n t E e t F d e u x e s p a c e s h i l b e r t i e n s ,

A(O~B(L(E;F)); f-->-A(Of e s t u n e a p p l i c a t i o n l i n ~ a i r e

c o n t i n u e de D ~ ( q ; E ) d a n s D ~ ( q ; F ) .

Rappelons que si G est un espace de Banach, B (G) est le sous-espace

de E(G) form~ des fonctions g(t) telles que, pour chaque entier r ~ 0 , .-,x

il existe B , < + o o tel que Ilg~')(t)lla<B, pour tout t r~el (ce sont les

fonctions born6es sur route la droite, ainsi que chacune de leurs d~riv~es).

En r~alit~, on a un r~sultat plus fort que la Prop. 1.6:

Proposi t ion 1.7. L ' i n j e c t i o n c a n o n i q u e d e B(L(E;F)) d u n s L ( D ~ ( q ; E) ; D k ( q ; F ) ) e s t c o n t i n u e .

Corollaire. S o i t {A~(t)} une s u i t e de B(L(E F)) c o n v e r g e a n t

v e r s A(t)EB(L(E;F)) au s e n s de E(L(E;F)) e t b o r n 6 e d u n s

B(L(E;F)), A l o r s , p o u r c h a q u e f~Dr'(q;E), la s u i t e {Av(t)f I c o n v e r g e v e r s A(t)j d u n s Dk(q ; F).

Jusqu'ii maintenant, nous n'avons fait varier, duns D ~ ( q ; E ) , que

l'espace E et l'entier k. Qu'obtient-on en faisant varlet q(t)? Proposi t ion 1.8. S o i e n t ql,q2 d e u x f o n c t i o n s v ~ r i f i a n t

(C1). Le s p r o p r i 6 t 6 s s u i v a n t e s s o n t ~ q u i v a l e n t e s :

(a) exp(ql(t)--q2(t)) e s t u n e f o n c t i o n b o r n 6 e s u r la d r o i t e :

(b) D k ( q ; E ) e s t p l o n g 6 c o n t i n f i m e n t d u n s D k ( q 2 , E )

p o u r au m o i n s u n kEZ; (c) D k ( q l , E ) e s t p l o n g 6 c o n t i n ~ m e n t d u n s D ~ ( q 2 , E )

p o u r t o u t kEZ. Proposi t ion 1.9, S o i e n t E , F d e u x e s p a c e s b i l b e r t i e n s ,

A(t) EE(L(E;F)). P o u r t o u t k E Z , i l e x i s t e u n e f o n c t i o n

Gk(t)~O, u n e l o i s c o n t i n f i m e n t d 6 r i v a b l e , t e I l e q u e , p o u r

r o u t e f o n c t i o n q(t) v ~ r i f i a n t (C 1) e t t e l l e q u e q(t)+Gk(t) v ~ r i f i e (C 1), A(t) d ~ f i n i s s e un o p 6 r a t e u r b o r n 6 , d e n o r m e

<=1, de D ~ ( q ; E ) d u n s D~(q+Gk;F).


Corollaire. S o i t P(t ,D) un E - F - o p 6 r a t e u r d i f f 6 r e n t i e l ,

d ' o r d r e m. P o u r t o u t k~Z, i l e x i s t e u n e f o n c t i o n G k ( t ) ~ 0 ,

u n e l o i s c o n t i n f i m e n t d 6 r i v a b l e , t e l l e q u e , p o u r t o u t e q(t)

v 6 r i f i a n t (C1) e t t e l l e q u e q+G~ v 6 r i f i e (C1) , P( t ,D) d 6 f i n i s s e un o p 6 r a t e u r b o r n 6 , d e n o r m e ~ 1 , d e D k ( q ; E )

dans D k- '~ (q+Gk;F) .

La d6finition suivante s'av6re utile:

D~finition 1.2. S o i t u n e f a m i l l e Q d e f o n c t i o n s v 6 r i f i a n t

(C1) . N o u s d 6 s i g n e r o n s p a r D k ( Q ; E ) le s o u s - e s p a c e de

t3 D~(q;E) f o r m 6 d e s f t e l s q u ' i l e x i s t e u n e c o n s t a n t e q~O + f i n i e M (d6pendant de f ) t e l l e q u ' o n a i t , p o u r t o u t e q ~ Q :

.-+

Nous munirons D k ( Q ; E ) de la norme --+ - 9

sup qEQ

qui en s un espace de Banach.

Si Q ' est une deuxi~me famille de fonctions v6rifiant (C 1), contenue

clans Q, D ~ ( Q ; E ) est plong6 continfiment clans D k ( Q ' ; E ) . En langage

imag6, on peut dire que "plus grande est la famiIle Q, plus petit est

l'espace D* ( Q ; E ) et plus fine est sa topologie."

L'int6r~t des espaces D ~ (Q ;E) provient des deux propositions suivantes :

Proposit ion 1.10. S o i e n t kEZ, a r 6 e l . S o i t Ip,(t)} ( n = l , . . . )

u n e s u i t e de f o n c t i o n s v 6 r i f i a n t (C 1), e t a y a n t d e p l u s

l e s d e u x p r o p r i ~ t 6 s s u i v a n t e s :

(i) p o u r t o u t n, p n ( a ) = 0 ,

(ii) p o u r c h a q u e n, p',(t)>=n p o u r t o u t t.

A i o r s Dk(Ip.1 ; E) e s t c o n t e n u c lans D'f+(E). Cette proposition, tr~s simple ~ d6montrer, jouera pour nous, plus

tard, le r61e du th6or~me des supports, clans les applications de la trans-

formation de Laplace.

La proposition suivante constitue une sorte de reciproque de la

pr6c6dente : -->

Proposit ion 1.11. S o i e n t a r 6 e l et T~D'~+(E) d ' o r d r e m.

I1 e x i s t e u n e f o n c t i o n c o n t i n u e g ~ 0 t e l l e q u e , p o u r t o u t e

f a m i l l e P de f o n c t i o n s p(t) v 6 r i f i a n t ~ la f o i s (C1 ) e t :


(i) p ( a ) - - 0 ; (ii) p'(t)>~g(t) p o u r t o u t l r ~ e l , o n a i t --).

T E D - " ( P ; E) .

w R i d e a u x

Nous garderons, au cours de ce paragraphe et des suivants, les

d6finitions et notations du w 2. Mais D -k, k > 0 , aura toujours la signi-

fication D -k q~ = Y***q0.

Nous ferons usage de fonctions p (t) soumises ~ la condition suivante :

(C 2) La f o n c t i o n p(t) e s t r 6 e l l e , i n d 6 f i n i m e n t d 6 r i v a b l e

d a n s R L, e t i l e x i s t e u n h o m b r e p 0 > 0 t e l q u e p'(t)>~po p o u r t o u t t r 6 e l .

Si l 'on compare (C 2) ~t (C 1) (p. 119), on remarquera deux

variantes : (i) la fonction consid6r6e est ind6finiment d6rivable ; (ii) la d6riv6e

p'(t) est assujettie ~ garder toujours le signe + (et non : toujours le

m 6 m e signe).

Certaines circonstances, survenant dans l'~tude du probl~me de Cauchy

pour les op6rateurs paraboliques ~ coefficients variables, nous contraignent

introduire une nouvelle notion, celle de "rideau". Pour simplifier les

6critures, nous utiliserons la notation suivante: 6rant donn6es deux fonctions

r6elles f ( t ) , g ( 0 , continues sur la droite r~elle, " f ~ g " signifiera

" f ( t ) =~ g(t) pour tout t r6el".

D6fini t ion 1.3. N o u s a p p e l l e r o n s r i d e a u t o u t e f a m i l l e

l~. d e f o n c t i o n s v 6 r i f i a n t ( C 2 ) q u i , p o u r t o u t e f o n c t i o n

c o n t i n u e O ) f(t), ~ v a l e u r s r 6 e l l e s , e t t o u t r 6 e l a, c o n t i e n t

u n e f a m i l l e R ~ ( f ) p o s s 6 d a n t l e s p r o p r i 6 t 6 s s u i v a n t e s :

(i) Si p ( t ) E R a ( / ) , a l o r s p(a)==O. (ii) Si p(t) ER~(f), a l o r s p ' ~ f . (iii) P o u r t o u t e f o n c t i o n r 6 e l l e c o n t i n u e g(t), i l e x i s t e

p(t)EIi~(f) v 6 r i f i a n t p'~g. (iv) P o u r t o u t c o u p l e de f o n c t i o n s pl(t),pz(t) a p p a r t e n a n t

l l ~ ( f ) , i l e x i s t e p ( t ) ~ R e t u n h o m b r e c>~0 t e l s q u e

p'>~f, p - - . s u p ( p l , p 2 ) > - - c .

Une consequence immediate de cette d~finition est la proposit ion

suivante :

4. "continue" signifie toujours "continue sur la droite r6elle".

PROBLI~MES DE CAUCHY ET PROBLF, MES MIXTES 1 2 5

Proposi t ion 1.12. S o i e n t R u n r i d e a u , g( t ) u n e f o n c t i o n

r ~ e l l e c o n t i n u e . L ' e n s e m b l e d e s f o n c t i o n s p ( t ) E R q u i

v 6 r i f i e n t p ' > g c o n s t i t u e un r i d e a u .

Exemple 1.t. Soit g( t ) une fonction continue r6elle. L'ensemble des

fonctions p (t) qui v&ifient (C 2) et p ' > g constitue un rideau.

E~lemple 1.2, Soit g(t) une fonction r6elle continue, Notons $ (g)

l'ensemble des fonctions p(t) v6rifiant (C 2) et p ' > g , p , 2 p - ~ 0.

Nous allons montrer que $ (g) est un rideau.

Soit une fonction r6elle continue f ( t ) quelconque. On peut trouver

H ( t ) > 0, ind6finiment d&ivable dans R ~, telle que e n ~ f et qu'iI existe

une constante finie M > 0 telle que H'e-m<~ M . Posons

F ( t ) = H( t ) + log (1 q- 2 M ) .

On aura :

1 1 eF > f ; F' e--F < ~ - H ' e - ~ < - -

~ ~ 2

Soit lVia l'ensemble des fonctions p( t ) v6rifiant (C 2), i b ( a ) = 0 ,

p, > 2e ~, p,2 _ p,, ~ O. Soient p~ (t) , P2 (t) deux fonctions appartenant

lVia. On peut trouver une fonction G (t) ~ 0, ind5finiment d6rivable, v6rifiant :

1 e G ~ s u p ( p ' I , p ' 2 ) ; G ' e - ~ 2 "

II est facile de voir qu'il existe un hombre M > 0 et une fonction

K (t) ~ 0, ind6finiment ddrivable, vdrifiant :

K ( t ) = F ( t ) pour t g - - M ; K( t ) = G(t) pour t>__M;

e t :

K ~ F ; K ' e - ~ < 1. t

p ' ~ . e K Posons alors p ( t ) = f e ~(s) ds. On a: ~ e F ~ f . D'autre ~t

part : i b ' 2 - - p " = e 2 t C ( 1 - - K ' e - - K ) > o . Soit alors un nombre b > o tel

que s u p ( a , M ) ~ b et --b ~ i n f ( a , - - M ) . Pour t > b , on a:

p" (t) = eK('J = eC-(0 ~ sup (p', ( t ) , P'2 (t)).

Et, par cons6quenr :

p (t) - - sup (Pl ( t ) , P2 (t)) ~ p (b) -- sup (pl (b), P2 (b)).

Pour t <__ --b, on a: i f ( t ) -~ eK(O = eO(t) <= inf(p'~ ( 0 , P'2 (t)), d'ofi :

p ( t ) - - sup(pt ( t ) , p2(t)) ~ p ( - - b ) - - sup(p, ( - - b ) , P2(--b)) .

De tout cela rdsulte facilement que S (g) est un rideau.

126 FRAN(~OIS TRJ~VES

D6finition 1.4. S o i e n t R u n r i d e a u , a un p o i n t de la d r o i t e

r ~ e l l e . N o u s d i r o n s q u ' u n e s o u s - f a m i l l e Re de R e s t u n e

f i x a t i o n d e R en a si R~ p o s s ~ d e l e s p r o p r i ~ t ~ s s u i v a n t e s :

(i) Si p(t) ERa, a l o r s p(a)-~ O. (ii) P o u r t o u t e f o n c t i o n r 6 e l l e c o n t i n u e f(t), i l e x i s t e

p ( 0 E R a v ~ r i f i a n t p'>~f. (iii) P o u r t o u t c o u p l e de f o n c t i o n s pl(t),p2(t) a p p a r t e n a n t

/i R~, i l e x i s t e p ( t ) ~ R q u i v 4 r i f i e : p--sup(Pt,p2)~--c (c: constante ~ 0).

I1 r6sulte de la D4f. 1.3 que tout rideau poss~de une fixation en tout

point de la droite r4elle.

Proposi t ion 1.13. S o i t R~ u n e f i x a t i o n en a ~ R d u r i d e a u

R. P o u r t o u t c o u p l e de f o n c t i o n s pt(t),p2(t) a p p a r t e n a n t

R~, i l e x i s t e p ( t ) ~ R t e l l e q u e , p o u r t o u t e s p a c e h i l -

b e r t i e n E, t o u t k~Z e t t o u t e f o n c t i o n r 4 e l l e ~ ( t ) i n d 4 -

f i n i m e n t d 4 r i v a b l e t e l l e q u e p + O , p t + O e t p2+o v 4 r i f i a n t

(C2) , D k ( p t + k b ; E ) e t D ~ ( p 2 + O ; E ) s o i e n t p l o n g 4 s c o n t i n ~ m e n t

d a n s D k ( p + O ; E ) .

Rdsulte directement de la Prop. 1.8 et de la condition ( i i i )de la

D6finition 1.4.

Proposi t ion 1.14. S o i e n t E un e s p a c e h i l b e r t i e n , a u n r 6 e l

e t TED'~+(E) d ' o r d r e m. P o u r t o u t r i d e a u R, i l e x i s t e u n e

f i x a t i o n Ra d e R en a t e l l e q u ' o n a i t TED-m(Ra;E). R4sulte directement des D4f. 1.3 et 1.4 et de la Prop. 1.11.

w Op~ra teu r s p ropres

1. Op~ra t eu r s H-propres . D~finition.

Nous allons consid~rer trois espaces hilbertiens V, H, K. Nous

supposerons que H est plong~ contin~ment dans K.

Soit L ( t , D) un V-K-op~rateur diff~rentiel.

Dafinition 1.5. N o u s d i r o n s q u e le V - K - o p ~ r a t e u r d i f -

f ~ r e n t i e l L(I,D) e s t H - p r o p r e s ' i l e x i s t e f i z z t e l q u e ,

p o u r t o u t k ~ Z , o n p u i s s e t r o u v e r un r i d e a u R ~ e t u n e

f o n c t i o n ffJk(t), i n d ~ f i n i m e n t d ~ r i v a b l e d a n s R 1, ~. v a l e u r s

PROBLI~MES DE CAUCHY ET PROBLEMES MIXTES 127

>-0, t e l s que , p o u r t o u t e

( C 2 ) e t le f a i r c i - d e s s o u s s o i t v r a i :

P o u r t o u t g ~ I l k ( p ; H ) , i l e x i s t e

d e D k - h ( p + ~ l , ; V ) q u i v 6 r i f i e , au s e n s

v a l e u r s d a n s H :

L(t , D)u = g.

O n a:

f o n c t i o n p ( t ) e R k, p + ( I ) , v 6 r i f i e

-.+

un 6 1 6 m e n t u n i q u e u

d e s d i s t r i b u t i o n s

II �9 -+ - ~

Remarquer que si u~Dk--h(p- r -~ j , ; V), Lu est une distribution

valeurs dans K. Si g est ~ valeurs dans H, &rire Lu----g, c'est dire que .-+

Lu est, en r~alit6, une distribution ~ valeurs dans H C K et, qu'en tant que

telle, elle est 6gale ~ g.

Lorsque K est identique ~. H, nous pr6f6rerons dire d'un V-H-op6rateur

diff6rentiel qu'il est propre, s'il est H-propre.

Nous allons montrer, dans ce paragraphe, quelles cons6quences il est

possible de tirer du fait qu'un V-K-op6rateur diff6rentiel soit H-propre

(sous certaines hypotheses concernant V, H, K et l'op&ateur diff6rentiel).

Dans le paragraphe suivant, nous &ablirons un crit~re qui permette de

reconnaltre une cat6gorie de V-K-op6rateurs H-propres (sous les m6mes

hypotheses, concemant V, H, K et l'op~rateur, que ci-dessus).

8, Situations.

Nous appellerons s i t u a t i o n la donn6e de trois suites (V,), (H~),

(ff~) (z E Z) d'espaces hilbertiens et, pour chaque z E Z, d'un V,-K,-op6rateur

diff6rentiel L~ (r D), les conditions suivantes 6tant satisfaites pour tout z E Z.

(S,) V~ ( r e s p . H~, r e s p . K~) e s t p l o n g 6 c o n t i n f i m e n t d a n s

V~_l ( r e s p . H~- I , r e s p . K~-I) .

($2) H~ e s t p l o n g 6 c o n t i n O m e n t d a n s Kz.

($3) S u r V ~ , L , _ I ( t , D ) c o i n c i d e a v e c L , ( t , D ) .

Explicitons les op6rateurs differentiels L , ( t , D): mg

L~ =: ~ , A~,,(t) D" u - - l g

avec m~, l ~ N et pour tout --l~ ~ r <=m,, A , , , ~ E (L(Vz ; Kz)).

La condition ($3) a la signification suivante:


On a ms_ j>~m, , l s - , > l s . Si - lz=<_r_<ms, la restriction (pour

chaque t r~el) de l'opSrateur Az- l . , ( t ) ~. V~ coincide avec As,,(t) .

Si r>rn, ou r < - - l z la restriction de A,_l.r(t) ~. Vz est nulte, pour tout t.

En v~rit~, nous ne nous occuperons que du cas stationnaire: celui off

il existe z ~ Z tel que, pour tout z ' ~ z , ms,--=ms et l , , = l , . Ce sera la

premiere de nos hypotheses portant sur la situation:

(Hyp O) L e s e n t i e r s ms e t lz s o n t i n d ~ p e n d a n t s d e z.

I1 est alors l~gitime de representer t ous l e s op6rateurs diff6rentiels Lz

par un m6me symbole L, et une m6me expression:

L ( t , D ) = ~-], Ar(t) D ' , r - - - - - - /

en convenant que, pour tout z E Z , la restriction de A,(t) ~ V~ en fair un

~l~ment de E (L (V, ; Kz)).

Nous ferons alors une autre hypoth~se sur la situation:

(Hyp 1) P o u r t o u t zEZ, si r~5~0, l a r e s t r i c t i o n de A,(t) ~ V~

en f a i t un 6 1 6 m e n t de E ( L ( V , ;H~_I) ) .

D6finition 1.6. N o u s d i r o n s q u ' u n e s i t u a t i o n e s t r ~ g u l -

i ~ r e si e l l e v ~ r i f i e l e s h y p o t h e s e s (Hyp 0) e t (Hyp 1).

L'int~r6t des situations r~guli~res provient du r~sultat suivant:

Proposi t ion 1.15. S o i t u n e s i t u a t i o n r ~ g u l i ~ r e (V, ,H, ,K, ,L) . -.).

S o i e n t z E Z , ct(t) E E t . Si u E D ' + ( V , ) (resp. D ' f (V~) , resp. D+(V,))~sl

e t s i Lu E D' + (Hz) ( r e s p . D ' f+(H, ) , r e s p . D + ( H s ) ) , a l o r s - +

L(au)ED'+(H,_I) ( r e s p . DT+(H,_t) , r e s p . D+(Hz_ , ) ) .

Faisons la preuve pour D+(Vz) , D + ( H s ) , D + ( H s - 0 . Pour tout .-+ - +

r~O, D'(c~u)--aD'u est un 616ment de D+(V~) et donc, d'apr~s (Hyp 1),

A,( t )D'(c~u)--A,( t )aD'u est un ~l~ment de D+(H~_~). Mais ce dernier

fair est trivial si r = 0, puisqu'en ce cas l'~ldment en question est nul.

Par consequent, L (ctu)-- aLu E D+ (H,-1) et comme --3.

aLuE D+ (n , ) C D+ (Hs_,)

par hypoth~se, on a bien le r~sultat.

Dans toutes les applications que nous dtudierons, (Hyp 1) sera

satisfaite. Ces applications correspondront ~ certaines d6g~n~rescences de la

situation r~guli~re gdn~rale:

5. Si E est un espace hilbertien, D+ (E) est l'espace des fonctions ind~finiment d~rivables sur la droite, 8 valeurs dans E, & support limit~ A gauche.

PROBLF.MES DE CAUCHY ET PROBLEMES MIXTES 129

S i t u a t i o n e n 6 c h e l l e .

C'est le cas off, pour tout z, Ks est identique ~l H , - I . Remarquer

qu'alors (Hyp 1) est trivialement v6rifi6e. Dans ce cas rentreront diverses

catdgories de probl~mes de Cauchy avec donn6es sur un hyperplan

/ = constante.

S i t u a t i o n e n t r i a n g l e � 9

C'est le cas o~l t o u s l e s V~ (resp. Hz, resp. K~) sont identiques

(z parcourant Z) ~ un mSme espace hitbertien V (resp. H, resp K ) . La

condition (Hyp 1) signifie que L ( t , D) peut se mettre sous la forme

P(t , D ) + A(t), o~a A ( t ) ~ 1 8 ( L ( V ; K)) et P ( t , D ) est un V-H-op~rateur

diff6rentiel. Dans ce cas rentreront certains probl~mes mixtes de type

hyperbolique.

S i t u a t i o n b a n a l e .

C'est le cas off l 'on ~ affaire ~t deux espaces hilbertiens V , H et

un V-H-opdrateur diff6rentiel. Ceci est 6videmment une "d~g6n6rescence"

de chacun des cas pr6cfdents; (Hyp 1) est trivialement v~rifi~e. Dans ce

cas rentreront certains probl~mes mixtes de type parabolique.

Il est commode de repr6senter les situations par des diagrammes.

Nous repr~senterons la situation r 6 g u 1 i ~ r e g6n6rale par le diagramme

/ Vz 1

/* L ." . ' \ /

v. / ' x / .~ L Hz 1 --+ Kz--~

" x / /

H~ --. K~ / /

et les situations r~guli~res d~g~n6r6es par les diagrammes respectifs

�9 . . - - - ~ V , - - ~ Vz_l ~ . . . V V

L L L L L "x "x "~ "X

�9 . . ---~ Hz - - ~ H,-1 ----* . . . H . . . . K H

en 6 c h e l l e e n t r i a n g l e b a n a l e .

130 FRANGOIS TREVES

3. Le t hdo r~ m e principal.

L'introduction des opSrateurs propres se justifie par le r&ultat suivant:

Th6or&me 1.1. S o i t u n e s i t u a t i o n r ~ g u l i ~ r e (V , ,H, ,K , ,L) .

S u p p o s o n s q u e , p o u r t o u t z~_Z, l e V , - K , - o p d r a t e u r d i f -

f d r e n t i e l L ( t , D ) s o i t H , - p r o p r e . A l o r s , p o u r t o u t z E Z ,

l e f a i t s u i v a n t e s t v r a i : ._> --+

P o u r t o u t S E I ) ' + ( H ~ ) , i l e x i s t e u n 6 1 ~ m e n t u n i q u e T

de I ) '+(V, ) t e l q u ' o n a i t , a u s e n s d e s d i s t r i b u t i o n s

v a l e u r s d u n s H~:

L ( t , D ) T = S .

D e p l u s :

Si S e s t d ' o r d r e f i n i , i l en e s t de m ~ m e d e T. -->

Si S a s o n s u p p o r t d a n s la d e m i - d r o i t e t ~ a (a r&l), i l

e n e s t de m ~ m e d e T.

Tout revient ~ montrer que, pour S ~ D ' ~ + (H~) (resp. D ' g ( H , ) ) , - + --+

l'dquation L(t, D)T S a une solution unique dans I)'a+(V~) (resp. D'f+(V~)).

I. Existence de la solution duns le cas d 'o rd re rink - +

Soit donc S ~D'~+ (H,). Appelons, pour chaque k EZ, R ~ le rideau

associd ~ k et au V,-K,-op6rateur diff&entiel L ( t , D) (qui est H~-propre

par hypoth~se) par la D~f. 1.5. En vertu de la Prop. 1.14, il existe un .-+

entier k ~ Z et une fixation R k de 1~. I~ au point a, tels que S~Dkg]Rk.H,).

D'apr& nos hypoth&es, pour chaque p( t ) E]R2, il existe, puisque

S EI}k(p;H=), un 61~ment unique u/, de D k - - n ( p + ~ k ; V , ) tel que -) , .-).

Lup= S (h est l'entier qui figure duns la D6f. 1.5 off l 'on aura pris

V = V , , H = H~, K = K, ) .

Soient alors p l ( t ) , p 2 ( t ) ~ R 2. En vertu de la Prop. 1.13, on peut

trouver p (t) E ]R ~ telle que :

D ~ (pj ; H~) C D ~ (P ; H~) ; D k-h (pj + ~k ; V,) C D ~-h (p + ~k ; V, )

( j = 1, 2). - >

Les premi&es inclusions font que S E D~(p ; H,). Par consequent, il existe

un ~14ment unique Up de D~-h(p + OPk;V,) tel que Lu l, -= S . Mais --~ - ~ --+ - +

l'unicit6 de Up, jointe aux secondes inclusions, exige ut, L = up2 = up. -->

Autrement dit, lorsque q(t) parcourt ]Rk tous les uq sont identiques: ils t g '

-+

sont 4gaux ~ une m6me distribution, que nous noterons T.

PROBLF.MES DE CAUCHY ET PROBLEMES MIXTES 131

d'ofi :

D'apr~s la condition de la D6finition 1.5 on a, pour toute p ( t ) ~ R ~ : a~

__). .__).

Remarquons que, pour t = a, p ( t ) + d9~ ( t ) - r ( a ) = 0 et que R *. contient

une suite {p2~ I v6rifiant, pour tout n, P'n + ~ k ~ n La Prop. 1.10 montre

alors que T ~D'~+ (V, ) .

I I . Unicit~ de la so lu t ion d a n s le cas d ' o r d r e fini.

Soit T~D' f+(V~) telle que L T = O. I1 existe (par exemple d'apr~s

la PrGp. t .14) un entier k E Z et une fonction p ( t ) ~ R k tels que - +

T ~ D ~ - h ( p ;V~) ; comme (I)k> 0, on a D ~ - h ( p ; V ~ ) C D~-h(p+(I)k ; V~).

En vertu de notre hypoth~se, on doit avoir T-- - -0 .

I I I . Exis tence de ia so lu t ion d a n s le cas gan~ral .

Soit S ~ D ' ~ + (H~). Pour chaque entier n = 0, 1 . . . . . choisissons

arbittairement une fonction q%,EE telle que q0n(t) = 1 pour t ~ n et

qg~(t) = 0 pour t >_ n + 1. Comme cpnS est ~ support compact, donc d 'ordre - +

fini,(6) il existe (d'apr~s I et lI) un 61Ement unique T,, de D '~+(V,) tel

que LT~ = q3~ S. S i m > n, on a L (Tin - - T,,) = (~Pm - - q3~) S dont le support - + - +

est contenu dans la demi-droite t > n . En vertu de I e t II, T , ~ - - T , (qui

est d 'ordre fini) doit avoir son support darts cette demi-droite, autrement

dit T ,~= T , dans l 'ouvert t < n . Nous pouvons alors appliquer le principe

du recollement des morceaux (Schwartz [I] , T. I. 1-~re 6d., p. 26) : il

existe une distribution unique T sur la droite qui, pour chaque n, coincide

avec T , dans l 'ouvert t < n . On a 6videmment L T = S sur toute la droite,

et le support de T est contenu dans la demi-droite t ~ a .

IV. Unicit~ de la so lu t ion dans le cas g~n~ral .

Reprenons la suite {~n} que nous venons d'utiliser. Soit T ~ D ' + (V~) --~ --9.

telle que L T = O. Pour tout n, q3, T e s t d 'ordre fini, puisqu'~ support compact.

Prouvons que L (cpnT)= Sn a son support darts la demi-droite t ~ n. . -+ __~

Ii suffit de prouver que cela est vrai de D ~ (~p~ T ) - q% D ~ T, quel que soit - + --~

k ~ Z , car alors il en sera de mdme de L(q3, ,T)--~p, ,LT, d'o~ notre

6. Toute distribution ~ valeurs dans un espace de Banach, ~ support compact, est d'ordre fini (Schwartz [4], p. 85).


assertion puisque LT= 0. Le fait pr6c6dent est trivial si k ~ 0. Si k < 0 ,

il existe (--k) entiers dk.~ Z tels que: - - k

-r ,-+ - +

D k ((p,, T) - - q~,, D k T : ~ , d k.~ D - J L-,[~i' D k T] o

j = l ..+

Si j > l , q0(f)(t)-----0 pour t<n, donc (~t~'D*T a son support dans t>~n - +

et il en est de m6me de Dm[~p~)D ~ T ] . C . Q . F . D . .-+

Ainsi S,, est ~ support dans la demi-droite t >~n. C'est ici que nous

utilisons (Hyp 1) et la Prop. 1.15: puisque W,,'-/ est une distribution d'ordre - +

fini, $ valeurs dans Vz, Sn est une distribution d'ordre fini ~ v a l e u r s

d a n s H z - t . Nous pouvons donc appliquer les r6sultats I et II avec z- -1

la place de z : il existe un 616ment unique de I ) ' f (V~_ t ) , U,,, tel que "-+ "+ 7~ "-)"

LU,= S~ et Un a son support dans la demi-droite t~n. Comme U, est .-+

unique, on doit avoir [ ' , = q g , T . Comme ~fln=l dans l 'ouvert t<n, on .-+ - +

doit avoir T----0 dans cet ouvert. Enfin, comme n e s t arbitraire, T doit

6tre nulle sur toute la droite. C . Q . F . D .

R e m a r q u e 1.1. La condition (Hyp I) n'a ~t6 utilis6e que dans la

partie IV de la preuve pr&6dente.

R e m a r q u e 1.2. Nous aurions pu montrer plus que nous ne l 'avons

fait: non seulement que, si le second membre S est d 'ordre fini, alors il

en est de m6me de la solution T, mais encore qu'il y a une certaine .-+

difference fixe (reli6e ~ l'entier h de la D6f. i .5) entre l 'ordre de S e t - +

celui de T. De m~me (dans le cas d 'ordre fini), il y a une relation entre .-~ .-+

la croissance ~ l'infini de S e t celle de T.

Corollaire. S o i e n t V , H d e u x e s p a c e s h i l b e r t i e n s ,

L ( t , D ) u n V - H - o p 6 r a t e u r d i f f 6 r e n t i e l p r o p r e . A l o r s

->.L(t,D)T e s t u n e a p p l i c a t i o n l i n 6 a i r e c o n t i n u e e t

b i u n i v o q u e d e D ' + ( V ) s u r D ' + ( H ) . Si LT e s t d ' o r d r e f i n i

( r e s p . a s o n s u p p o r t d a n s la d e m i - d r o i t e t>=a (a r~e l ) ) , i l - +

e n e s t de m 6 m e d e T.

4. S e c o n d s m e m b r e s i nd6 f in imen t d6r ivables .

Etant donn6 un espace de Banach E, I )+ (E) est l'espace des fonctions

ind6finiment d6rivables de t, ~ valeurs dans E, ~ support limit6 fl gauche.

PROBLEMES DE CAUCHY ET PROBLEMES MIXTES 1 3 3

Nous munirons D+(E) de la topologie limite inductive de Schwartz, qui

en fair un espace L r .

Th~or~me 1.2. S o i e n t V, H, K t r o i s e s p a c e s h i l b e r t i e n s ,

H ~ t a n t p l o n g ~ c o n t i n f i m e n t d a n s K. S o i t un V - K - o p ~ - r a t e u r d i f f ~ r e n t i e l L ( t , D) H - p r o p r e . A l o r s , p o u r t o u t e

q ~ D + ( H ) , i l e x i s t e u n ~ l ~ m e n t u n i q u e L-1~p de D + ( V ) t e l

q u ' o n a i t :

L ( t , D) (L -~ c9) ----- tp. --'t

Si cp a s o n s u p p o r t d a n s la d e m i - d r o i t e t>=a (a r e e l ) , i l en - + .-+

e s t de m 6 m e de L - l % En o u t r e , cp-->-L-Jq~ e s t u n e a p p l i c a t i o n

l i n E a i r e c o n t i n u e e t b i u n i v o q u e de D + ( H ) d a n s D + ( V ) .

Nous pouvons appliquer les rEsultats d~montr6s dans la pattie I e t

dans la pattie II de la preuve du Th. 1.1, avec V = V~, H-=/- /~ , K = K~,

compte tenu de la Remarque 1.1. D'apr~s ces r6sultats, pour route - + -at --).

q ) ~ D + ( H ) , il existe un 61~ment unique T de D'/+(V) tel que LT-=- c9;

et si cp a son support dans la demi-droite t > a (a red), il en est de

m~me de T. Montrons que T est indEfiniment d6rivable.

Soit un entier k ~ 0 arbitraire. Soient O~ (resp. R/') la fonction

(resp. le rideau) associ~s ~ k par la D~f. 1.5 ; et soit h l'entier qui figure - +

dans cette definition. Supposons que le support de cp soit contenu dans

t ~ a. Reprenons l 'argument qui nous a servi dans la partie I de la preuve -+ du Th. 1.1: il existe une fixation R k de R k ena , telle que cgEDk(Rka;H).

--).

Si, pour chaque p ( t )~ R ] , on note up l'~1~ment unique de Dk- -h (p+~/ , ;V) --+

tel que L'up = % on voit comme dans la pattie I de la preuve du Th. 1.1 --1.

que tous ces Up sont identiques: ils sont ~gaux ~. une m~me distribution

valeurs dans V, ~ support limitE ~ gauche, qui ne peut 6tre que T.

Ceci montre que T ~ D ~ - h ( p + , I 3 / , ; V ) pour p ( t ) ER2 . Comme k peut .__>

6tre arbitrairement grand, cela signifie bien que T e s t indEfiniment d6rivable.

En ce qui concerne la continuit6 de L -a, il suffit de montrer que le -at --~

graphe de L -~ est ferm6. ~7~ Or, soit un filtre de couples (cO, L-tq0) . .+ --3.

convergeant vers ( ~ , ~I r dans D+ (tf) XD+ (V) . D'une part, puisque L - + - .+

est un V-K-op&ateur diffErentiel, les L(L- ' qO convergent vers Lq r dans

7. Toute application lin~aire d'un espace LF dans un autre espace LF, dont le graphe est fermi, est continue.


_ . ) . - +

D+(K). D'autre part, puisque L (L -1 q))=,:p, ils convergent vers (I) dans --4" - ) .

D+ (H), a fortiori dans D+ (K). On doit donc avoir ~ = Lq j .

Corolla ire. S o i t L(t ,D) un V - H - o p 6 r a t e u r d i f f 6 r e n t i e l

p r o p r e ; q3-->L(t,D)q3 e s t u n i s o m o r p h i s m e v e c t o r i e l -

t o p o l o g i q u e de D+(V) s u r D+(H) .

En effet, cette application lin6aire de D+ (V) dans D+ (H) , qui est

visiblement continue, est biunivoque et surjective et l'application r~ciproque

est continue, d'apr~s le Th. 1.2.

Soit L un op6rateur diff6rentiel ordinaire (i. e. ~ coefficients scalaires,

par exemple constants). Notons L - t son inverse, lorsqu'on le consid~re

comme op6rateur biunivoque bicontinu de D~ sur lui-mSme. On peut

trouver une fonction croissante G(t) telle que e-OL-lqo~L 2 pour toute

q3 ~ D t . Nous allons g6n6raliser ce genre de fait aux op&ateurs propres

dans une situation r6guli~re.

Soit E un espace hilbertien quelconque. Nous d6signerons par S+ (E) 1- 3 .

le sous-espace de D+(E) form6 des (p(t) qui jouissent de la propri&~ suivante:

P o u r t o u t n o m b r e 8 > 0 e t t o u t e n t i e r n > 0 , i l e x i s t e

u n e c o n s t a n t e B ( e , n ) > O f i n i e t e l l e q u ' o n a i t , p o u r t o u t

t r ~ e l ,

e-~'j! D" qo (t) lie ~- B (e , n) .

Ainsi -q+(E) est l'espace des fonctions ind6finiment ddrivables ~ valeurs

dans E ~ support limit6 ~ gauche, qui sont, ainsi que chacune de leurs

d6riv~es, h croissance ~ l'infini plus lente que toute exponentielle. Quels

que soient k E Z et p (t) v6riflant (C 2), S+ (E) r D ~ (p , E).

Th6or~me 1.3. S o i t u n e s i t u a t i o n r 6 g u l i ~ r e (V,,H~,I~,L). O n s u p p o s e c/ue, p o u r t o u t z EZ, l e V~-K,-op6rateur d i f f 6 r e n t i e l L( t ,D) s o i t H ~ - p r o p r e . A l o r s , p o u r t o u t zEZ, l e f a i r s u i v a n t e s t v r a i :

P o u r c h a q u e kEZ, i l e x i s t e u n e f o n c t i o n c o n t i n u e

g~(t)>O t e l l e que , p o u r t o u t e f o n c t i o n /5(0 v 6 r i f i a n t (C2)

e t p'~gl,, o n a i t L-i8+(H,) C Dk(P ; V~).

La notation L -~ est 16gitim6e par le Th6or~me 1.2. Ecrivons

L = ~, A,(t) Dr,

et soit z E Z quelconque.

PROBLF, MES DE CAUCHY ET PROBLEMES MIXTES 135

Soit d'abord u ~ D , ( V ~ ) . Soit b ( t ) ~ E t , b ( t ) = 0 pour t < 0 , b ( t ) = t

pour r 1. Utilisons (Hyp 1) et Ie fait que Ies d6riv~es d'ordre 5 0 de .--> -.~

b(t) sont ~ support compact. Si r>O, A , D ' ( b u ) - - b A , D ' u ~ D ( H , - I ) . ._+ --->

Si r < 0 , il existe un hombre t (u)>=0 tel que, clans l'ouvert l > t ( u ) ,

D'(bu)- -bD*u soit un polyn6me, ~ coefficients clans V , , de degr6

<__--r ~ l . Ii s'ensuit que, pour chaque k E Z , il existe une fonction

continue f ~ ( i ) ~ 0, ind6pendante de u, telle que, si p( t ) v~rifie (C 2) et

p ' ~ f ~ , on ait e-~D ~ [ A , D ' ( b u ) - b A , D ' u ] E L 2(H~_ 0 quel que soit

--l <~ r <_ m, et par cons6quent : --3.

[ L (b , , ) - - b L . ] L .

Appelons h (resp. h~), ~ (resp. d#l~), R ~ (resp. R~) l'entier, la fonction

et le rideau qui figurent (pour k E Z ) dans la D6f. 1.5 lorsqu'on y choisit

V = V~ (resp. V~_~), H-----H, (resp. H~_ 0, K = K~ (resp. K~_~).

Soit P0 une fixation au point t---0 du rideau R~. Nous pouvons

supposer que toute fonction q( t )E P0 v6rifie q ' ~ fk (fl~ 6tant la fonction

introduite ci-dessus). - +

Soit alors g(t) E D+ (H~_ 0 ~ D ~ (q ; H,-1) ayant son support dans la

demi-droite t :> o. Comme on le volt par le raisonnement fait dans [a pattie - +

I de la preuve du Tia. 1.1, L -~ g est l'utdque ~l~ment de D k - - h ~ ( q + ~ ; V~_~) .-+ - +

vdrifiant L ( L - l g ) = g.

Soit maintenant q0~S+(H~); et soit b ( t ) ~ E t , b ( t ) = 0 pour t < 0 , "-9" - + --+

b ( t ) = l pour t ~ l . Posons g = L ( b L - t ~ ) - b L ( L -*qO+b~p. Comme --~ - + ..+

L -~ c9 ~ D+ (V~), on aura L(bL -~ q3)--bL(L-' r ~ D+ (Hz-1) ~ D ~ (q ; H~_~) -3,

quelle que soit q(t) ~ P0 D'autre part bq3 ~ 8+ (H~)CD+ (H~_0 N I l ~ (q ; Hg_0 --9" --~

et doric g~D+(H,_~. f~l)~(q;H~_~) pour route q ( t ) ~ P o . Comme g a so~

support dans la demi-droite t ~ 0, il s'ensuit que L - t g ~ D~-~a(q+~ ; V~-O. - + --~ .-+ .-+ . +

Mais L -~ q) = (1 -- b) L -~ ~9 + bL-1 q~ et bL-~ ~9 ---- L-* g �9 Comme - + -~.

(1 --b)L -~ ~P ~ D(V~), on a L-*~? ~ D ~-~ (q+qbv, ; V~-x) pour toute q(t) ~ P0.

Posons, pour simplifier, s = k + h--h~ + 1. Utilisons d'abord le Coroll.

3 du Lemme A.I : il existe une fonction continue h~(t)>~ 0 telle que, pour

route fonct{o~ p(t) v6rifiant (C 2) et p ' ~ f~, pour tout j ~ Z, D i ( p + ~ ; V~_~)

soit plong6 continfiment dans D i-~ ( p ; V , - O .

Ceci dit, soit q l ( t )~P0 quelconque. II existe p ( t ) ~ R ~ v6rifiant

p ' ~ l ~ et p '~q '~ Mais il existe aussi q 2 ( 0 ~ P 0 v~rifiant q2~_p . D'autre


part, d'apr~s la condition (iii) de la D6f. 1.4, il existe q ~ I I ~ v6rifiant

q - - s u p ( q l , q 2 ' > - - c (c const. ~ 0 ) . I1 est visible qu'il doit exister une

autre constante c ' ~ 0 telle qu'on ait q - - p ~ - c ' . I1 s'ensuit que, pour

tout espace hilbertien E, pour tout j ~ Z et pour toute fonction ind6finiment

diff~rentiable 43 (t) _> 0, D i (p ; E) et I )J (q~ + 43 ; E) sont plong6s continfiment

dans D ~ (q + 43 ; E ) . En particulier, ceci est vrai pour E = V,_~ , j = k - -h i

et 43 = (I)lk. --).

Soit q~ E S+ (H, ) arbitraire. Puisque L est H~-propre, en consid~rant

S+(H~) comme contenu dans D s ( # ; H ~ ) , on volt qu'il existe un 616ment

u de I~ s - h ( p 4 - 4 3 s ; V , ) tel que Lu=q~ . Or s - - h - - - - k - - h ~ + 1 et, puisque

p ' ~ h, D s-h(p + 43, ; V,) est plong6 continfiment dans D~-h l (p ; V,) lecluel ,

son tour, est plong6 continfiment dans D k - h J ( p ; V , _ l ) . D 'autre part, ._+ --). - +

il existe un 616merit unique v de D ~-ht(q + 431!~ ; Vz- l ) tel que Lv = c fl ; . -+ . -+

et nous savons que L -~ q~ED l*-ht(ql + 43~k ; V~_t). L'unicit~ de v exige - + - + --~

v = u = L - t q~. Ainsi donc L - * q ~ D ~ - ' % (p ; Vz) et, par cons6quent, ..-1.

e-~ D~-~ (L -~ q3) ~ L ~ (V~).

Mais L-~q3 est ~ support limitd ~ gauche: on aura donc aussi, pour toute .-+

fonction r (t) v~rifiant (C 2) et r ' ~ p ' , e - rDk - lq (L -~ q~) ~ L ~ (Vg), i.e.

L-tq3 ~ 11 ~-~ (r ; V2). Posons g~,_nl(t)= p'(t). En remarquant que la fonction

6tait arbitraire dans S+ (H,), on constate que les fonctions g~(t) que nous

avons construites remplissent les conditions de l'6nonc6.

w Le crit~re f o n d a m e n t a l

Ce paragraphe sera entiarement consacr6 ~ l'6nonc~ et ~ la preuve

d'un rdsultat permettant d'aflirmer que, dans une situation r6guliare

(V, , H, , K , , L) soumise ~ certaines conditions, pour tout z ~ Z le

V~-K~-op6rateur diff6rentiel L ( t , D) est H~-propre.

Nous gardons les notations des deux paragraphes pr6c6dents, no tamment

en ce qui concerne D -n, k > 0 .

1. Redef in i t ion d e s s i tua t ions .

Afin de ne pas introduire de nouvelles d6nominations, nous allons

modifier quelque peu la d6finition des situations.

Supposons donn6es trois suites d'espaces hilbertiens (V~), (Ha), (K,)

( z ~ Z ) . Nous d6sirons d 'abord que les injections canoniques soient routes


image dense; nous

conditions suivantes :

(s',)

substituerons donc respectivement ~ (S,) et (82) les

V, ( r e s p . H , , r e s p . K~) e s t p l o n g 6 c o n t i n f l m e n t e t

d e n s e d a n s Vg--1 ( r e s p . H~_, , r e s p . K~_,).

(S'2) H~ e s t p l o n g 6 c o n t i n l 3 m e n t e t d e n s e d a n s K , .

Il nous faut adjoindre une troisi~me condition g ces deux-ci:

(S'2) Q u e l s q u e s o i e n t z "~ z ' ~ z , p o u r t o u t e s u i t e (g,) d e K , ,

c o n v e r g e a n t v e r s g~K~,,, d a n s K,,, e t t e l l e q u e

(g~,f)rcv->-0 p o u r t o u t f~H~, o n d o i t a v o i r g = 0 .

Cette condition, jointe ~ ($2), implique en particulier (S'z); en g6n6ral,

elle ne lui est pas 6quivalente..Elle lui est 6quivalente dans une situation

e n t r i a n g l e , puisque dans ce cas K ~ . - ~ K v = K ~ K . On peut en

donner un autre 6nonc6: appelons j l'injection canonique de H , dans K , , ,

j " son adjointe pour les produits hermitiens. Tout d'abord, j e s t ~ image

dense, donc j* est biunivoque ; j~ est ~ image dense (car j est une application

lin~aire biunivoque). Appelons q3 l'inverse de j*, d~finie dans j*(K~,). On peut exprimer alors ainsi (S"2): si une suite (f,,) de j ' (K~,) converge

faiblement vers 0 dans H~ et si q~ (f,,) converge vers g dans K~, on dolt

avoir g = 0. Ceci est une condition n&essaire et suffisante pour qu'il existe

une application lin&ire ip d'un sous-espace vectoriel 19 de H~, j*(Kv)~ 11 (D est donc dense dans H~), coincidant avec cfl sur j '(Kv) et dont le

graphe soit ferm~ dans (H~)o X K~.. Par Eo, E &ant un espace vectoriel

topologique, nous entendons l'espace E muni de la topologie faible. Or il

revient au m~me de dire que ce graphe est ferm~ dans (H~)oXK~* ou

qu'il l'est dans H, XK~, , . C'est &ident dans un sens; si le graphe est

ferm~ dans H ~ X K ~ , il l'est aussi dans (H, XK~.,)~ puisque les sous-

espaces vectoriels ferm& sont les m~mes pour la topologie forte et pour

la faible. Or la topologie de (H~XK~,,)o est moins fine que celle de

(H~)o X K ~ , . En d'autres termes <<il existe, un prolongement ferm~ q3 de q3

considdr~ comme opdrateur, en gSndral non borne, de H, dans K~,,)) est

equivalent ~. (S~2). Une condition suffisante simple pour l'existence de q~

est qu'il existe un espace vectoriel topologique E tel que K,., soit plong~

contin0_ment dans E et que q3 soit continue sur j~ (Kv) muni de la topologie

induite par E. Cette circonstance sera toujours r&lis~e en pratique.

Remarquons encore que, dans une situation en 6 c h e l l e , (S'2) est


une cons6quence de (S'1), puisque dans ce cas Kz = Hz-1. Dans une situation

e n t r i a n g l e , (S',) est trivialement v~rifi~e; (S'2) se l i t : H e s t p l o n g ~

c o n t i n f i m e n t e t d e n s e d a n s K. Quant ~ (S"2), on a vu qu'elle est

trivialement v~rifi~e. Dans une situation b a n a l e , toutes les conditions, et

aussi celles qui suivent: (Hyp 0), ($3) et (Hyp 1), sont triviales.

maintenant, pour chaque z ~ Z , le V~-K~-op~rateur Consid~rons

diff~rentiel

L,( t , D) = ~,, A, , , ( t )D ' , rm----t~

et ~ son sujet les conditions suivantes:

(Hyp O) L e s e n t i e r s mz e t l~ s o n t i n d 6 p e n d a n t s d e z.

Et, pour chaque z ~ Z :

($3) S u r V, , L,_, (t , D) c o i n c i d e a v e c L , ( t , D ) .

S i c e s deux conditions sont satisfaites, nous sommes en droit d 'omet t re

partout l 'indice z, dans l'6criture de l 'op6rateur L= ( t , D ) .

Ce que nous appellerons s i t u a t i o n et noterons ( V z , H z , K z , L ) ,

ce sera la donn6e des V , , H~, K~ et des L~ v6rifiant (Hyp 0) et, pour tout

z E Z, (S't), (S'2), (S'2) et ($3).

2. Si tuat ions tr~s r6guli~res.

Une situation (V, , H, , K, , L) est dite r ~ g u l i ~ r e si elle v6rifie:

(Hyp 1) P o u r t o u t z E Z , s i r # o , l a r e s t r i c t i o n d e A,(t)

V, e n f a i r u n 6 1 6 m e n t d e ~..(L(V,;H~_~)).

Les A,(t) sont les coefficients de l 'op~rateur L ( t , D ) :

( t , D) = ~ , A, (t) D ' . L

Nous allons consid~rer en outre la propri~t~ suivante:

(Hyp 2) P o u r t o u t z ~ Z , i l e x i s t e u n e n t i e r z ' ~ z e t u n e

f o n c t i o n c o n t i n u e a,(t)>_o t e l s q u e , p o u r t o u t t

r 6 e l , t o u t - - l ~ _ r ~ m , t o u t v~V,+l e t t o u t h~H,,+l,

o n a i t :

I(A, (0 v, I <= a, (0 II v I1 , Ii h I!,,,, �9

D6fini t ion 1.7. L a s i t u a t i o n ( V , , H , , K , , L ) s e r a d i t e t r ~ s


r ~ g u l i ~ r e s i e l l e e s t r ~ g u l i ~ r e e t s i e l l e v ~ r i f i e l a

c o n d i t i o n (Hyp 2).

La D~f. 1.7 n 'a ~ vrai dire d'int~r& pour nous qu'en ce qui concerne

les situations e n ~ c h e 11 e. Toute situation e n t r i a n g l e, e t a fortiori

b a n a I e, est tr~s r~guli~re. En effet, dans ce cas, (Hyp 2) se r~duit ~:

Il existe une fonction continue a ( t ) > ~ O telle que, pour tout t r~el, tout

- - l _ < r < _ m , tout v ~ V et tout h E H , on ait:

I(A, (t) I <= (t)H v [Iv II h H-. Or ceci est trivial, puisque H est plong5 continfiment dans K et clue

A , E ~ . ( L ( V ; K ) ) . Supposons la condition (Hyp 2) v~rifide. Soient t r~el,

z E Z . Soit h E H ~ , + I , z ' ~ z dtant associ5 ~ z par (Hyp 2). En vertu de

(S'1) pour chaque - - l ~ r < _ m , la forme sesqui-lindaire (v , h)--~ (A, (t) v , h)K,+~

peut se prolonger, de fagon unique, en une forme sesqui-lin6aire continue

a ~ , , ( t ; v , h ) sur V, X H , , . Par le rdsultat rappel5 au ddbut du n~ du w

on volt qu'il existe A x , , ( t ) EI~- (L(V, ; H, ,)) tel que, pour tout t, tout

v ~ V ~ , tout h E H , , , on ait:

a , , , ( t ; v , h) = ( A , . , ( t ) v , h)nz, .

Ceci d~finit, pour chaque z ~ Z, un Vz-H~-op~rateur diff~rentiel:

L, ( t ,D) = ~, A,,,(t) D', r=--/

auquel nous aurons recours plus tard.

3. Un cas pa r t i cu l i e r s i m p l e du cr i t~re f o n d a m e n t a l .

Aussi bien l'~nonc~ que la preuve du crit~re que nous avons en rue

sont compliqu~s. Pour permettre au lecteur de se faire une idle des arti-

culations essentielles des raisonnements, ou plus exactement de la part des

raisonnements qui est ant6rieure ~ l 'emploi des espaces D k ( p ; E ) , nous

commencerons par ~tudier une situation particuli~re tr~s simple, ou le

" temps" , c'est-~-dire la variable t, n'intervient pas, o~ les op6rateurs dif-

f~rentiels sont des op~rateurs tout court (ind~pendants de t).

Nous allons consid~rer deux situations (V~ , H , , K ~ , L) et

(Vz , H~ , K , , M), construites ~ l 'aide des m~mes suites d'espaces hilbertiens

v~rifiant (S'1), (S'2) et (S"2). L'op6rateur L (resp. M) sera de la fo rme:

L = A (resp. M = B) ,

A (resp. B) ~tant, pour chaque z ~ Z , un op6rateur de V~ dans K~. Les

140 FRANCOIS TREVES

conditions (Hyp O) et ($3) sont ici implicitement satisfaites. Quant ~t

(Hyp 1), elle est trivialement vraie. Nous supposerons que la premiere

situation, (V, , H , , K ~ , L), est tr~s r6guli~re :

(Hyp 2) P o u r t o u t z ~ Z , i l e x i s t e z ' > z e t u n e c o n s t a n t e

a , > o t e l s q u e , p o u r t o u t v~V,+l e t t o u t h~H~,+~,

on a i t :

I ca~, h),<=+, I ~ a= Ji ~ IJ~.= I1 h I1,,: �9

Nous ferons de plus les hypothPses suivantes, pour chaque z ~ Z:

(H 0) P o u r t o u t hEH~, i l e x i s t e un 6 l ~ m e n t w d e V~ t e l

q u e Bw ----- h.

(H 1) I l e x i s t e u n e s p a c e h i l b e r t i e n Q~ t e l q u e K~+, s o i t

p l o n g ~ c o n t i n f i m e n t d a n s Q~ e t q u e l e s f a i t s s u i -

v a n t s s o i e n t v r a i s :

(i) I I e x i s t e u n e c o n s t a n t e c~>0 t e l l e q u e , p o u r t o u t

v~V~+l, o n a i t :

~: (ll ~ I1~: + il B~ I[~:) ~ I (A~, BO,<:+, I. (ii) I I e x i s t e u n e c o n s t a n t e C, b 0 t e l l e q u ' o n a i t , p o u r

t o u t h~H~+t e t t o u t v~V~+~:

1@, BO~:+, I ~ c: II h I1.= (11 ~ I1~.: + !i B~ I 1 ~ ) " �9

Notre conclusion sera:

P o u r t o u t z ~ Z , ~ t o u t h~H~ c o r r e s p o n d u n ~ 1 6 m e n t

u n i q u e u de V~ t e l q u e A u = h ; e t o n a:

- - I #. N

4. Preuve de la conclusion.

Soient z ~ Z , z ' ~ z associ6 ~ z par (Hyp 2). Notons W, le sous-

espace de V~+~ form~ des w tels que B w ~ H~,+~. Nous noterons W, le compl6t6 de W~ pour la norme

W, est un espace hilbertien plong6

Pour v, w ~ W ~ , posons:

W~CV~+1 et que BW~CH~,+I, on

(I) P o u r c h a q u e w ~ W , ,

e s t c o n t i n u e s u r Wz.

continfiment dans V:.

b:(v , w) = (Av , Bw)K,+ 1 . Puisque

a, d'apr~s (Hyp 2):

l a f o r m e l i n ~ a i r e v ->-b , ( v ,w)

PROBLI~MES DE CAUCHY ET PROBLEMES MIXTES 141

D'autre part, (H 1) implique:

(II) P o u r t o u t vEmz, o n a: tbz( v ,v) l >= Gliv'2~/z.

Remarquons que la propri6td (I) nous permet de prolonger b~(v, w)

en une forme sesqui-lin~aire sur W~ X W~. Ceci fait, nous allons appliquer

le lemme suivant, dfi a Lions ([1), p. 164) :

L e m m e 1.1. S o i e n t G u n e s p a c e h i l b e r t i e n , H u n s o u s -

e s p a c e d e G. S o i t b(g,h) u n e f o r m e s e s q u i - l i n 6 a i r e s u r

G X H q u i p o s s ~ d e l e s d e u x p r o p r i 6 t 6 s s u i v a n t e s :

(1) P o u r t o u t h E H , g + b ( g , h ) e s t u n e f o r m e l i n 6 a i r e

c o n t i n u e s u r G.

(2) I1 e x i s t e u n h o m b r e c>O t e l q u e , p o u r t o u t h ~ H ,

c l th Jl~ _~ I b ( h , h) l .

D a n s c e s c o n d i t i o n s , p o u r t o u t e f o r m e s e m i - l i n 6 a i r e

h - -~k (h ) c o n t i n u e (pour ia norme de G) s u r H, i l e x i s t e u n

~ 1 6 m e n t g d e G t e l q u ' o n a i t :

b ( g , h ) : k(h) p o u r t o u t h ~ H .

Nous appliquerons ce lemme avec les choix suivants: G=:W~, H = W~, la forme b(g, h) 6tant b~(v, w). Les propri~t~s (I) et (II)

de bz(v, w) ne sont alors que les conditions (1) et (2) du Lemme 1.1.

On tire de 1~ que, pour toute forme semi-lin~aire ~.(w) sur Wz

continue pour la norme de Wz, il existe v E W~ tel que bz(v,w)= ~.(w) pour tout W EWz.

Utilisons maintenant la condition (ii) de (H 1): si h EHz+l et

wEWz, on a

I(h, J =< Ji h Jl. JJ w FJ z En particulier, w ~ ( h , Bw)tcz+, est une forme semi-lin~aire sur W~ continue

pour la norme de W~. Du r6sultat precedent il suit donc:

Pour tout h E H z + l il existe u E Wz tel que

b~ (u , z0) = ( h , Bw)t~z+~ pour tout w E W~.

II nous faut interpreter ce fair. Pour cela, posons g = A u - - h . On a g ~ K~

puisque Au~K, . Soit ( u , ) ( n = 1, 2 . . . . ) une suite de W~ qui converge

vers u dans ~ ' z . Posons, pour chaque n, g,, = Au,,--h. On a A u , ~ K ~ + t

puisque u,~V~+~. D'autre part, h~Hz+xC.K~+~, d'ofi aussi g,,~K~+~.

De plus, les g , convergent vers g dans K~.

142 FRANCOIS TREVES

Consid~rons, pour chaque n e t pour w ~ Wz arbitraire :

( g , , , e W ) K z + 1 = ( A r , Bw)l~z+ 1 -- (h , / ~ 2 s 1 = b z ( u , t , w ) - - (h , B W ) K z + 1 .

Nous savons que, lorsque n--> + 0 % w restant fixe, le dernier membre

tend vers O.Donc, pour tout w~ W , , (g,,, Bw)Kz+ t -->. 0 ou, ce qui revient

an mdme, en vertu de (H 0), pour tout f E H z , + l , (g~,f)K~+t->-O.

La condition (S"2) exige alors que g soit nul, c'est-~-dire que A u - - h .

Nous avons prouv6:

Pour tout h e Hz+l il existe u ~ Wz tel que A u = h.

Soit maintenant h E H z ; soit une suite (h~) de H~+2, h~->-h duns

H , . En vertu du r6sultat qui vient d'dtre 6tabli, pour chaque n i l existe

u,,~W2+t (CV~+I) tel que Au,~=h,,. Appliquons (H 1): r 2 E I , cz u. lw~ < I (Au. , nu.)~2+, I = i (h. , Ou.)K~+~ [ < C~ lih,,]t.~ I]"-/[%

d'ofi l 'on tire: cz IIh,,l!n pour tout n ; et l 'on aurait pu obtenir,

de la m6me fagot, pour tous n , m:

<= Cz H h,,--h, Ces deux majorations prouvent que, lorsque h,-->-h duos H~, Its u,, convergent vers un ~16ment u de W~ (duns W~) et que l 'on a:

Evidemment Au -- h.

Reste ~. prouver l'unicit6 de u (duns V~). Elle d6coule de (H 2) pour V 2 z - - 1 au lieu de z: cz-ljl Ilv~_t < 1 ( A v , Bv)~:~l pour tout v ~ V z . Ceci

montre bien que Av = 0 implique v = 0. C .q . f . d .

8. Les h y p o t h e s e s (H) et l '6noncfi du thfior~me.

II convient maintenant de passer au cas g6n~ral. Nous continuerons

de consid&er deux situations (V, , H~ , K~ , L) et (V~ . H~ , K2 , M), construites

l'aide des m6mes suites d'espaces hilbertiens v6rifiant (S'1), (S'z) et (S"2).

Ici L ( t , D) (resp. M ( t , D)) est, pour chaque z E Z , un V~-K~-op~rateur

diff~rentiel: (Hyp 0) et (S3) sont satisfaites.

Nous supposerons que la situation (V~, H~, K~ ,M) est r~guliare, ce

qui veut dire qu'elle v6rifie (Hyp 1), et que la situation (V~, Hz, K , , L)

est ttas r~guli~re, ce qui veut dire qu'elle v~rifie (Hyp 1) et (Hyp 2)

(voir n ~ 2).

I1 faut g~n6r,liser les hypotheses (H 0) et (H 1) du cas particulier.

Pour (H 0), elle se g6n6ralise ainsi:

PROBLI~MES DE CAUCHY ET PROBLEMES MIXTES 1 4 3

Pour tout z ~ Z, le V~-Kz-op~rateur diff~rentiel M ( t , D) est H~-propre.

Quant ~ (H 1), ce sera plus compliqu6. Pour chaque z~Z, nous con-

sid6rerons la propri&~ suivante:

(H 1)~ I1 e x i s t e un e s p a c e h i l b e r t i e n Q~ t e l q u e K~+t s o i t

p l o n g ~ c o n t i n f i m e n t d a n s Q~ et, p o u r c h a q u e k ~ Z , un t i d e a u P~ e t d e u x f o n c t i o n s i n d 6 f i n i m e n t d ~ r i v -

a b l e s de t, ~ v a l e u r s ~ 0 , Gk(t), H~(t), t e l s que , p o u r

t o u t e f o n c t i o n p(t) EP~, ib--Gk e t p+H~ v ~ r i f i e n t (C 2)

e t que , p o u r t o u t e q) ED(Vz+I ) , l e s f a i r s s u i v a n t s

s o i e n t v r a i s :

(i) L ( t , D ) c9 e t M ( t , D ) q~ a p p a r t i e n n e n t ~ D k ( p ; K z + l )

e t on a: - + -~ -+

[~q311v,:p+H~, ~ + !lm(t,D)tol[~;p+nk,~~ ~< I(L(t,O)~9 ,

(ii) P o u r t o u t g6D~(p-Gk;Hz+l) , o n a: -9. - ~

](g, M( t , O) W)Kz+t;p,k]

M (t, D) q~)~,+, ;p.k ].

~ (~ q2 1/2 < ([]q:[l~',;p+n,,, + I] M(t D) p Ir0,;p+/4,,, ) IJgllH~,p--~k,," Le r i d e a u l~* e t l e s f o n c t i o n s G,(t), Hk(t) d 6 p e n d e n t

d e z .

Le r6Je jou6 par les rideaux oblige ~t introduire une hypoth~se

suppl6mentaire :

(H 2) P o u r t o u t c o u p l e de f a m i l i e s f i n i e s 6 q u i p o t e n t e s

(kl . . . . . k~), (z, . . . . . zs), d ' e n t i e r s d e s i g n e s q u e l c o n q u e s ,

d i s t i n c t s o u ~ g a u x , l ' i n t e r s e c t i o n P~I f l . . . ~Pkz~

e s t un r i d e a u .

Remarque 1.3. La condition (H 2) sera trivialement satisfaite si les

rideaux pk sont tous du type suivant: il existe une fonction continue z

f ( t ) > O telle que le rideau contienne route fonction p( t ) v6rifiant (C 2)

et p ' > f (resp. p ' ~ f , p , 2 _ p - > _ 0 ) .

Nous sommes finalement en mesure d'~noncer le crit~re que nous

avions en vue:

Th6or6me 1.4. S o i e n t d e u x s i t u a t i o n s ( V : , H z , K z , L ) , ( V z , H ~ , K ~ , M ) . O n s u p p o s e q u e la p r e m i e r e e s t t r ~ s

r 6 g u l i ~ r e e t q u e la s e c o n d e e s t r ~ g u l i ~ r e .


O n f a i r de p l u s l e s h y p o t h e s e s s u i v a n t e s : p o u r t o u t

z ~ Z , le V , - K ~ - o p 4 r a t e u r d i f f 4 r e n t i e l M ( t , D ) e s t H ~ - p r o p r e

e t la c o n d i t i o n (H 1)~ e s t s a t i s f a i t e ; la c o n d i t i o n (H 2)

e s t s a t i s f a i t e .

A l o r s , p o u r t o u t z ~ Z , l e V ~ - K ~ - o p 6 r a t e u r d i f f 6 r e n t i e l

L ( t , D ) e s t H ~ - p r o p r e .

w Le critare f ondam en ta l (suite)

Ce paragraphe sera enti~rement consacr6 ~ la preuve du Th. 1.4.

1. Les sous -espaces H~(E).

Soit E un espace hilbertien, k' , k ~ Z , p(t) une fonction v6rifiant

(C 2). Nous d6signerons par H~.k,(E ) le sous-espace vectoriel (sans

topologie) de D~'(/~ ; E) form6 des u tels que D/~u ~ D (E).

Soient k " E Z , q(t) v6rifiant (C 2) arbitraires. Consid6rons la r6union

de D~'(p ;E) et de D ~ ' ( q ; E ) comme un sous-ensemble de D ' ( E ) ;

D e est une application biunivoque de cette r6union sur celle de D k ' - ~ ( p ; E )

et de D ~ - k ( q ; E ) . Il s'ensuit que l'image r6ciproque de D ( E ) par D

est contenue dans l'intersection de D ~'(/5 ; E) et de D ~ ' (q ; E) et que

H~.~0(E) et Hkq,k',(E) sont identiques. En d'autres termes, H~ k,(E) ne

d6pend ni de k' ni de /5(0 , ce qui nous autorise ~ d6signer cet espace

vectoriel par H ~(E).

Quels que soient k '~ Z et p (t) v6rifiant (C 2), Hk(E) est dense dans

D k ' ( p , E ) puisque D ~ est une isom6trie de D k ' ( p ; E ) sur D ~ ' -k ( /5 ;E)

et que D ( E ) est dense dans D '~ '-~(/5;E). Pour tout r ~ Z , D" est une

application lin6aire biunivoque de H ~ (E) sur H k- ' (E). Si k" <= k, H ~" (E)

est un sous-espace de Hk(E). En particulier, pour tout k < 0 , H ~(E) est

un sous-espace de D (E) = H ~ (E).

Enfin, il est facile de montrer que, quel que soit k ~Z , H ~(E) est un

sous-espace vectoriel de -q+ (E) (espace des fonctions ind6finiment d6rivables

valeurs dans E, ~ support limit6 ~ gauche, qui sont, ainsi que chacune

de leurs d6riv6es, ~ croissance ~ l'infini plus lente que toute exponentielle

e ~t, s .~> 0).

2. L 'op6ra teur M -~ et I 'espace W ( p , q ; z , z~).

Comme, pour tout z, M ( t , D) est Hz-propre, le Th. 1.2 autorise


consid~rer son "inverse" M - t , op~rateur biunivoque et continu de D+ (H~)

dans D+ (V~). Comme en outre la situation (V~, H~, Ka, M) est r6guli~re,

le Th. 1.3 entralne que, pour chaque k ~ Z, il existe une fonction continue

gk (t) 5 0 telle que, s i p (t) v~rifie (C 2) et p" >~ g,~, on ait M -1 u ~ D ~ (p ; Vz) .-),

quelle que soit u ~ S+ (Ha).

I1 r6sulte de cela que l'on peut trouver une fonction continue f k ( t )>0

telle que, si p(t) v~rifie (C 2) et p'>~f~, alors p + Hk v~rifie (C 2) et .-+

p ' + H ' ~ g / , et que Yon aura donc M - ~ u ~ D ~ ( p + H k ; V ~ ) pour toute

u E S + ( H a ) . En nous appuyant sur la Prop. 1.12, nous pouvons supposer

que toute fonction p (t)E pI,2 v6rifie p ' ~ f k . C'est ce que nous ferons

d~sormais.

Fixons z E Z une lois pour toutes; soit z, ~> z + 1. Pour tout - + . -~

f E H k(H~I) C S + ( H a ) , m - t / E D / ~ ( p + H k ; V~) et, lorsque f parcourt - +

H k(H~l), M - t f parcourt un sous-espace vectoriel W ( p , k ; z , zt) de

D ~ (p + Hk ; V~), sur lequel nous placerons la norme --~ - + --9, - +

qui est bien d6finie, puisque Kz+~ est plong~ continfment dans Q~ et que

M ( t , D ) v ~ H ~(H~t)(Zs+(K2+~) (puisque z ~ z + i ) . Le compl~t6 de

W ( p , k ;z,z~) pour cette norme sera not~ W ( p , k ;z ,z t ) . C'est un espace

hilbertien, plong6 continfiment dans D ~ (p-F Hk ; V2).

--9-

;3. D6finition de la fo rme Bp, k(u , v).

Si E est un espace hilbertien quelconque, convenons de noter ( , ) E

aussi bien le produit hermitien de E que le prolongement de ce produit /l

D ' ( E ) ) Z D (E). Ce prolongement peut ~tre consid6r6 comme le crochet de

l'anti-dualit6 entre 10 (E) et D ' (E) . .-). --1.

Soit u E D (Vz+t) ; D ~ [L ( t , D) u] est une distribution ~ valeurs dans

K~+t (et ~ support limit6 ~ gauche).

Soit z' l'entier >__z que la condition (Hyp 2) associe ~ z. Pour tout

v E W ( p , k ; z , z " ~- 1) ( p E P S ) , on a M(t ,D)v~H*(Hz,+~) et donc, .-9.

e -2# D" [M ( t , D) v] ~ D (H~.+,) C D (Kz+~).

Nous pouvons donc ddfinir une forme sesqui-lin~aire sur

D (V,+,))< W ( p , k ; z , Z ' + l )

de la fagon suivante:

146 FRANCOIS TREVES

B p , k ( u , v) = (D k [ L ( t , D) u ] , e - 2 p D ~ [ M ( t , D) v])~cz+ , .

Not re propos est maintenant de prouver que, pour chaque z E Z ,

il existe un rideau M k tel que, pour tout p ( t ) E 1VI k, les diverses ~critures - + - +

ci-dessous aient un sens et que la forme Bp,k(u ,v) jouisse des deux

propri6tds suivantes :

(I) P o u r t o u t e v E W ( p , k ; z , z ' + l ) , i l e x i s t e u n e c o n s t a n t e �9 - + - -4

K ( v ) > 0 f i n i e t e l l e q u ' o n a i r , p o u r t o u t e u E D ( V z + I ) :

lBp,k(u, v)] _< KCv)[lU.,ll~,_,.p+H,~,k. Cette propri6t6 entralne que, pour chaque y E W ( p , k ; z , z ' + 1),

u ->- Bp, k ( u , v) peut se prolonger de fa~on unique en une forme lin6aire

continue sur D ~ (p+HI, ; Vz). En effet, Vz+l 6tant dense dans V~, D (V~+I)

est dense dans_~ D ( V ~ ) et donc dans D k ( p + H k ; V ~ ) . Nous noterons

encore Bp ,k (u , v) ce prolongement. On peut en particulier consid~rer

B p , k ( u , v) pour u E W ( p , k ; z , Z ' + l ) et il est clair que Yon aura, si (I)

est vraie :

(I ' ) P o u r t o u t e v E W ( p , k ; z , z ' + l ) , i l e x i s t e u n e c o n s t a n t e . - ) . - . ) , _ _

K ( v ) > O f i n i e t e l l e q u ' o n a i t , p o u r t o u t u E W ( p , k ; z , z ' + l ) : --3, - + - ~ - +

I v ) l <= KCv)[]lulll . : �9

La seconde propri~t6 que nous voulons ~tablir est la suivante:

(II) P o u r t o u t e v E W ( p , k ; z , z ' + l ) , o n a: --1. - + --1.

Iv 2 < IBc,,k(v v)[ . '., /r/, ~:z =

Pour prouver (I) et (II), il convient d'expliciter l 'op6rateur diffdrentiel

L ( t , D ) :

L ( t , D ) = ~ A , ( t ) D ' .

La propri6t6 (Hyp 2) permet (voir n ~ 2) de lui associer un Vz-H2,-op6rateur

diff6rentiel :

]hz ( t , D) = ~ , A.z,, (t) D r , r = - - t

qui est tel que, pour tout t r6el, tout - - l < _ r < _ m , tout v E V z + l , tout

h E H~.+,, on ait :

(A, (t) v , h)K~+ , = (A~., (t) v , h)Hz,.

II en r6sulte que, pour toute u E D ( V ~ + I ) et toute r on a:

PROBLISMES DE CAUCHY ET PROBLF.MES M1XTES 147

.--> .__> - ~ -+

(D * [L ( t , D) u ] , r ----- (D ~ [I~ ( t , D) u] , ~p)gz,. - + ..-> --~

Si l'on prend r e-~PD ~ [ M ( t , D ) v], avec v ~ W ( p , k ; z , z ' + l ) ,

on volt que: . -+ -~. - + -->

B ; , , (u , v) = (D ~ [!',2 (t , D) u] , q~)nv "

La propri~td (I) de la forme Bp.~(u,v) r~sulte alors du Lemme A.2

(Appendice). Plus pr6cisdment, on peut dire ceci: q u e l q u e s o i t k ~ Z ,

i l e x i s t e u n e f o n c t i o n c o n t i n u e h~( t )>0 t e l l e q u e , s i o n

a p p e l l e ~'~ le r i d e a u (voir Prop. 1.12) f o r m 6 d e s /~(t)~P~ q u i

v d r i f i e n t p ' ~ h k , a l o r s (I) e s t v r a i e p o u r t o u t e p ( t ) ~ '~.

4. Preuve de la propri6t6 (II).

Nous savons que L (t , D) et M (t , D) sont des Vz+t-Kz+l.op~rateurs

diff~rentiels. Appliquons le corollaire de la Prop. 1.9: m (resp. n) ~tant

l'ordre de L ( t , D) (resp. M ( t , D)), posons s = sup(m, n); il existe alors

une fonction ind~finiment d~rivable G ( t ) ~ 0 telle que, pour toute fonction

q(t) v6rifiant (C 2) et telle que q - - G v~rifie (C 2), L ( t , D ) et M ( t , D )

d~finissent deux op~rateurs born6s de D k+s (q--G ; Vz+l) dans D * (q ; Kz+l). -3 .

Soit d'autre part v ~ W ( p , k ; z , z ' + l ) , avec p ( t ) ~ l P 'k (voir fin

du n~ Par d~finition, il existe q3~lik(Hz.+l) C D(Hz+1) telle que

M ( t , D) v--cp. I1 y a plus: v e s t l'unique ~l~ment de D+(Vz) qui v~rifie

cette ~quation. Utilisons maintenant le fait que le Vz+~-Kz+t-op6rateur

diff~rentiel M ( t , D) est H~+,-propre: il existe un ~16ment de D+(V~+~)

qui v~rifie l'6quation ci-dessus. Cet ~Idment ne peut donc qu'6tre identique

v. Appliquons enfin le Th. 1.3: il existe une fonction continue g*~(t)

telle que si q--G v~rifie (C 2) et q'--G' ~ g'k, alors M -1 q0 ~ D k+s (q-G ; Vz+~) - 9 . ,

pour toute ~p~$+(H,+, ) . On peut donc trouver une fonction continue

f ~ ( t ) > 0 telle que si q(t) v~rifie (C 2) et q '~ f~, alors q--G v~rifie (C 2)

et q'--G'>~ g*k" Appelons M k l'ensemble des fonctions p (t) qui appartiennent * * ~t IP '~ et v~rifient P ' ~ f k , d'apr~s la Prop. 1.12, lVl ~ est un rideau.

En particulier, W ( p , k ; z , z ' + l ) ( 2 D ~ + ~ ( p - G ; V,+I) pour route - & --9, --).

p( t ) E M ~'. Si donc u, v ~ W ( p , k ; z , z ' + t ) , o n a L( t ,D)u~D~(p;Kz+~)

et par consequent: --~ --). - + - +

Bt," ~ (u , v) = (O" [L (t , D) u] , e -2p D ~ [M (t, D) V])K~+, -+ - ~

= (L( t , D)u , M ( t , D) v)~,+t;~,,.


.-+

Soit maintenant v~ W ( p , k ; z, z '+l ) quelconque ; consid~rons une ._). ._~

suite (cf3~) de D ( V , + I ) convergeant vers v dans D ~ + S ( p - - G ; V~+I). -3. - +

D'apr~s le choix de G (t), L ( t , D)q)v et M ( t , D)cgv convergent respective- . -~ . .+

ment vers L ( t , D ) v et M ( t , D) v dans D k ( p ; K ~ + l ) . Afo r t i o r i , puisque -2t .--r

K~+1 est plong6 contin~ment dans Q, , M ( t , D) q)~ converge vers M ( t , D) v - + - +

dans D~(p+Hk;Q~) (Hk(t) est ~ 0 ) ; enfin, les q)~ convergent vers v

dans I1 ~ ( p + H k ; V z ) . Or, en vertu de ce que M ~CP~ et de l 'hypoth~se

(H 1)~, (i), on a, pour tout v : - + - +

, /2 J!qJ~lt~ ;#+nz,k + IIM ( t D)t~vtlo~;p+n~,k

s [ (L ( t , D) cp~, M ( t , D) ~Pv)K,+t ;p, k I �9

Par passage ~t la limite suivant v, on obtient exactement (II).

S . Ptppl ica t ion du l e m m e d e Lions .

En prenant p t t ) ~ M ~, nous allons appliquer le Lemme 1.1 avec les

choix suivants :

comme espace G: W ( p , k ; z , z ' + l ) ;

comme sous-espace H : W ( p , k ; z , z' + 1) ; .-). . -+

comme forme sesqui-lin6aire b(g , h) : B#,h ( u , v) . - + -4-

Les propri~t6s (I ' ) et ( II) de B p , k ( u ; v ) sont les conditions (1) et (2) du

Lemme 1.1, ce qui nous permet d'affirmer ceci: - r -->

Soit p (t) ~ 1VI k quelconque. Pour toute forme semi-lin6aire v ->- ~. (v)

sur W ( p ; k ; z , z ' + l ) , continue pour la norme II I!p;k~, il existe un ...r

~l~ment u de W ( p , k ; z , z ' + 1) tel que B p , k ( u , v ) = ~ . ( v ) pour - +

tout v ~ W ( p , k ; z , z ' + 1).

Tenons compte, maintenant, de la condition (ii) de l 'hypoth~se (H 1)z: .-). --). - ) . - .+

si g ~ D k ( p - - G ~ ; Hz+l), v -->(g , M( t , D) v)Kzol:p. ~ e s t une forme semi-

lin6aire continue sur W ( p , k ; z , z ' + l ) pour la norme de W ( p , k ; z , z ' + l ) .

La fait suivant est donc vrai :

S o i t p ( t ) ~ M k q u e l c o n q u e . P o u r t o u t g~D*(p--Gk;Hz+~) , .--). _ _

i l e x i s t e u E W ( p , k ; z , z ' + l ) t e l q u ' o n a i r : - + --)- - + - ~

(a) Bp.k(u , v) = (g , M (t , D)v)Kz+l;p,~

p o u r t o u t v E W ( p , k ; z z ' + l ) .


II. In te rp re ta t ion du fait (a). - + _ _ --),

Soient p ( 0 ~ M ~, u ~ W ( p , k ; z , z ' + l ) , g ~ D k ( p ~ G k ; H , + o

tels que (a) soit vrai. --~ - + - +

Posons: f = L ( t , D ) u - - g , - +

Puisque W ( p , k ; z , z ' + l ) C D k ( p + H , ; V . ) , f E D ' ( K , ) . Soyons plus

precis: en vertu du corollaire de la Prop. 1.9, il existe une fonction

ind$finiment diff6rentiable F ( t ) ~ 0 telle que, si p-t- H , et p + H k et

p + Hk + F v~rifient (C 2), L (t , D) est un op~rateur born~ de D~(p+Hk ; Vz)

dans D~-m(pq-H1,-[-F;K,) . Or il existe dvidemment une fonction continue

f ( t ) > 0 telle que si p( t ) v~rifie (C 2) et p ' ~ f , alors p-i-H, et p+HI~q-F

vdrifient (C 2). Nous avons le droit (Prop. 1.12) de supposer que toute

fonction p ( t ) ~ M * v~rifie p ' ~ f . C'est ce que nous ferons dor~navant. - + - +

Alors L( t ,D)u ~ D~-=(p+ H~+F ; Kz) et donc aussi f ~ D~-m(p+Hk+F ; K,).

Ceci dit, consid6rons une suite (u 0 de W ( p , k ; z , z ' + 1) qui _a t

converge vers u dans W ( p , k ; z , z ' - + - l ) . D'apr~s notre choix de M *,

W ( p , k ; z , z ' + l ) C D ~ + s ( p - G ~ ; V z + I ) . En vertu de ce que s ~ m et .-).

de la signification de G (t) (voir n ~ 4), pour tout v, L (t, D) u~ ~ D k (p ; K,+I). .--> --> ~ --).

Posons fv = L (t , D) u, -- g. Comme g ~ D k (p - - Gk ; Hz+,) C D*(P ; Kz+t),

on a aussi, pour tout v, f v E D ~ ( p ; K ~ + ~ ) . Soit alors v E W ( p , k ; z ; z ' + l )

quelconque. On peut ~crire: - + . + . -+ --).

(f~ , M ( t , D) v)K~+~:t,. ~ = (L (t , D) uv , M (t , D) v)&+,: p, k - + --9. - + - + -~t .-~

- - ( g , M ( t , D) v)&+,.15,~ = Bp,k(u , , v) -- (g , M(t, D) v)~r --> . .+ .--). ---). ~ - +

On a B p . , ( u v , v ) = ( L ( t , D )u v , M ( t , D ) v)~c,+t;t,,~ car uv et v

appartiennent ~t W ( p , k ; z , z' + 1) (voir n ~ 4).

Pour v ~ W ( p , k ; z , z ' + l ) , w + B # . ~ ( w , v ) est uue forme lin~aire . . + . -+

continue sur W ( p , k ; z , Z ' + l ) . Or les uv convergent vers u dans

W ( p , k ; z , z' + 1) . I1 s'ensuit que le dernier membre des 6galit6s

pr~cddentes tend vers 0 lorsque v - ~ + oo. Autrement dit, pour chaque . -~ -9 , --~

v ~ W ( p , k ; z , z ' + 1), ( [ , , M ( t , D ) ) ~ + , ; / , , , - > - 0 ou, ce qui revient au __a t --~ .--),

m~me, pour chaque qo~D'~(H~.+~), (fv,qO)Kg+~:p,l~'~'O. Nous savons --+

d'autre part que les f~ convergent vers f darts D ' ~ - m ( p + H , + F ; I'(~). -+ Nous allons montrer que ces deux faits exigent f = 0.

Pour cela, introduisons le crochet ( < , >) ainsi d6fini: pour route

150 FRANt~OIS TREVES

q ~ D t , ( T , k ) - > - ( T , q)Sk, <, 5 &ant le crochet de la dualit6 habituelle

entre b ' et D, est une application bilin6aire de D ' X K ~ + I dans Kz+t qui

se prolonge canoniquement en une application lin&ire continue de D'(K~+~)

dans Kz+t. L'image d'une distribution T ~ valeurs dans K~+t par cette ...>

application sera notre ((2", q~55. Cette application lin6aire peut se prolonger

canoniquement en une application lin~aire continue de D ' (K~) dans Ks: - +

si maintenant T e s t une distribution ~. valeurs clans Kz, nous noterons .-). ._).

encore ( ( T , cr l ' image de T par l'application prolong&.

Ceci dit, soit q~ E Ha(C) quelconque. Posons, pour chaque v: --).

fv -- <<D ~ fv , e-2P Dk~55,

cp &ant le complexe conjugu~ de r remarquer que fv est un vecteur de

Kz+t. Soit alors * un vecteur quelconque de H~,+t; q~e E H k (Hz,+0 et l 'on a: -->

( f~ , e)&+,---- (f~ , c~e)K=+,:p.k .

I1 en r&ulte que ( f , ; e)K2+l->-o lorsque v - - > + o o . Comme e est

arbitraire dans H, .+I , il r&ulte de la condition (S"2) (volt n ~ 1) clue les

vecteurs fv convergent vers 0 dans K2. Or il est clair que Ies vecteurs

fv convergent, clans Kz, vers ___>

f ---- <(D k f , e-ZP D k q))). - +

On en conclut que, pour toute q0EH k(C), ( (D k f , e -2pD k , 9 ) ) = 0 . Mais

lorsque qv parcourt H~(C), D~q), et donc aussi e-Zt'Dkq), parcourt Dr . . -+

Par consequent, on doit avoir D k f = 0 (en rant que distribution ~ valeurs __), .2~

dans K~). Ceci n'est possible que si f = 0 car f ~ Dk--'~(p + H , + F ; K ~ )

et que D k est une isom&rie de Dk-"(p+H,+F ; K~) sur D-m(p+HI,+F ; K~). - 3 , . -+

Nous avons donc prouv6 que le fa r (a) implique L ( t , D)u = g.

Et par 1~, ceci:

S o i t p ( t ) E M k q u e l c o n q u e . P o u r t o u t gEDt'(p--Gk;H~+l) , ---). _ _ -->

i l e x i s t e u E W ( p , k ; z , z ' + l ) t e l q u e L ( t , D ) u = g .

7. S econds m e m b r e s fi va leurs d a n s H~.

Appliquons le r&ultat que nous venons d'&ablir, avec z + 1 ~ la

place de z:

P o u r t o u t k E Z , i l e x i s t e u n r i d e a u M~ e t d e u x f o n c -

t i o n s i n d ~ f i n i m e n t d i f f ~ r e n t i a b l e s G~k(t), Hlk(t), ~ v a l e u r s

PROBLF.MES DE CAUCHY ET PROBLEMES MIXTES 1 5 1

> 0 t e l s que , p o u r t o u t e p ( O ~ M ~ , p--Glk e t p - - H ~ , v 6 r i f i e n t

(C 2) e t le f a i t s u i v a n t s o i t v r a i :

P o u r t o u t g~Dk(p-Gx~;Hz+2), i l e x i s t e u~Dk(p+Hlk;V~+l) - 9 - 9

t e l q u e L( t ,D)u=g . Si l'on se reporte ~ la "gen~se" des rideaux M * et M~, on constate

que l'on peut dire ceci: il existe une fonction continue a k ( t ) > 0 (resp.

a,k(t)>O) telle que M k (resp. M~) soit form6 des fonctions p ( t ) ~ P ~

(resp. ~ " ^ Pz+l) qui v6rifient p'>_ ak (resp. p ' > alk). I1 r6sulte de lg aussltot,

compte tenu de la propri6t6 (H 2), que quels que soient les entiers k,

kl~Z, MktSM~t est un rideau.

Ceci dit, posons s ~ sup (m, n), m (resp. n) 6tant l'ordre de L(t,D) (resp. M(t,D)). Fixons k~Z et posons M'k~Mk/'~Mkl+~+2. D'apr~s le

coroll. 3 du Lemme A.1 (voir Appendice), il existe une fonction continue

b1( t )>0 telle que, si q(t) v6rifie (C 2) et q ' > b l , alors q+Hl~k§

v6rifie (C 2) et Dk+~+2(q + H,(k+~+2) ; Vz§ C D k+~§ (q ; V~§ . D'autre

part, il existe, d'apr~s le coroll, de la Prop. 1.9, une fonction ind~finiment

d6rivable F(t)>O telle que, pour toute fonction p(t) v6rifiant (C 2)

et telle que p + F v~rifie (C 2), L(t, D) et M(t, D) soient des

op~rateurs born6s de D ~§ (p ; V,+,) dans D k§ (p + F ; K~+~). Enfin, de

nouveau grace au coroll. 3 du Lemme A.1, i! existe une fonction continue

b2( t )>0 telle que, si p ( t ) v~rifie p ' ~ b 2 (et (C 2)), alors p + F v6rifie

(C 2) et D ~§ est plong6 contin~ment dans D *(p ;K~+,) .

Nous poserons b (t)---- sup(b, ( t ) , b~ (t)) et d6signerons par N ~ l'en-

semble des fonctions p ( t ) ~ M '~ v6rifiant p ' ~ b; N ~ est un rideau.

- ' D ~+s+2(p �9 V~+t). On a d'abord Soient alors p (t) ~ N ~, v ~ + H~ (~+~+~),

v~D~'+'§ Soit (q~) une suite de D(V~§ qui converge vers -+ --~ --9

v dans D ~§247 V~§ L ( t , D ) q~v et M ( t , D ) q~v convergent vers -+ --y

L ( t , D) v er M (t, D) v dans D ~+~ (p + F ; K~+t) et donc dans D ~ (p ; K,+~).

Or on a, pour chaque v:

[lOz;p+H k,k

Par passage ~ la limite suivant v, on obtient donc (compte tenu de ce que

Kz+~ est plong6 contin6ment dans Q~):

1 5 2 F R A N ( ~ O I S T R F . V E S

.-+ - +

Ilv + [i MCt, D)v 11 2:p+n , .--> .-~

<= [(L( t , D) v , M(t , D)v)Icz+l:p,k ] . . .+

Cette in~galit6 est valable pour toute v E I} ~+s+2 (p + Hlt~+~+2/ ; Vz+t). --).

Gardons p (t) comme ci-dessus et soit g E Dl~(p--Gk ; Hz). Consid~rons -). _+

une suite (g,) de I)(H2+2) convergeant vers g dans I ) r ' ( p - G k ; H ~ ) .

En consid~rant I ) (H~+2) comme indus dans D t'+s+2 ( p - - Gl(~+s+2) ; Hz+2), on volt, d'apr~s le d6but de ce n ~ , que, pour chaque v, il existe

-+

Uv E I} k+s+2 (p -- Ht (k+s+2) ; V~+,) tel que L ( t , D) uv - - gv. On d~duit alors

de (1), pour tout v : --). ._).

]]uv L;p+nk k + tiM( t ' h ) uvlI2Q~;i,+Uk.k

<= J (gv, M (t , h)uv)Kz+t;p.~ [

d'o~ ensuite, en appliquant la condition (ii) de (H 1)~ : - + ->. -_>

I x + ]lM(t h) uv z ~,/z= , < [Ig, l

On aurait pu d6montrer de m6me, pour tous v , ~t: - ~ -->. ->. - +

(ll~-u~,llL:p+n,e,~+l[M(t D ) u ~ - - M ( t D)'i I]2 ~1/2 , , " / t JIQzgp+Hk,k]

-% -%

.-+ -_).

Ceci montre que lorsque g~ converge vers g dans D~(p - Gk;H:) , .-.y

uv converge dans D ~ (p + Hk ; V~) (et m6me dans un espace "plus peti t")

vers un ~l~ment u de I) k(p +Hk;V~) qui v6rifie: --> -->

-~ .-+ -+

On a &idemment L ( t , D ) u : g . Noter clue les M ( t , D ) uv convergent

dans I) ~ (p + Hk;Q~) vers un ~l~ment de cet espace clue Yon peut d&igner ..->

par M ( t , D)u, cette d6signation d6finissant une sorte de prolongement de

l 'op6rateur M ( t , D ) . On a alors mieux que (1.1) : -% + +

(1.2) (IluII2v,;p+n;~,k + [I M ( t ' D) u]i~;p+Hk.k)'/2 ~ IIgllH~,.p--G;~,k"

Revenons ~ (1.1). Le coroll. 3 du Lemme A.1 permet d'affirmer

ceci: il existe une fonction continue ck ( t ) > 0 telle que s i p (t) v6rifie (C 2)

et p'>=ck, alors p- -Gk v~rifie (C 2), D '~+1 ( p , H~) est plong6 continfiment

dans Dk(p - -Gk;H2) et la norme (au sens des op~rateurs) de l 'injection

canonique de I ) ~+*(p ; H~) dans I ) ~ ( p - G ~ ; H~) est ~ 1. Finalement,

PROBLI~MES DE CAUCHY ET PROBLEMES M1XTES 1 5 3

nous avons prouv6 ceci, en appelant N 'k le rideau form6 des p ( t ) ~ N ~ - ~

qui v&ifient p ' ~ ck-1 : .-+

S o i t p( t )~N ~' q u e l c o n q u e . P o u r t o u t g~Dt'(p;Hz), i l -3. --). .-~

e x i s t e u n 6 1 6 m e n t u d e D'~-I(p+H~-I;V~) t e l q u e L ( t , D ) u = g e t q u e l ' o n a i t :

- + -->

<= �9

R e m a r q u e 1.4. Supposons que le rideau N ~ ait la propri6t6 suivante:

(P) I1 e x i s t e u n e f o n c t i o n c o n t i n u e dt~(t)>O t e l l e q u e si

p(O~N k v 6 r i f i e p'~d1,, a l o r s p+G~ a p p a r t i e n t ~ 1W'.

Alors, darts (1.1), on peut remplacer p(t) par P(O + Gk(t) et obtenir

ainsi un r6sultat plus fin que celui du cas g6n&al. Appelons N 'k le

rideau form6 des P(O ~l~lk qui v&ifient p ' ~ d ~ ; on peut alors dire ceci:

S o i t p( t )~N 'k q u e l c o n q u e . P o u r t o u t g~Dk(p;H~), i l --). - +

e x i s t e u n 6 1 6 m e n t u de Dk(p+H~+Gk;V,) t e l q u e L ( t , D ) u = g e t q u e l ' o n a i t :

--% - +

Le rideau N k poss~dera la propri&6 (P) s'il est du type suivant:

il existe une fonction continue f ( t ) 5 0 telle que le rideau contienne toute

fonction p( t ) vErifiant (C 2) et p ' ~ f . Le rideau N k sera de ce type si les

rideaux pk sont de ce type. g

13. Unicit6 de la solut ion.

Nous voulons montrer, pour flair, qu'iI existe un rideau R k C N 'k --~ - +

tel que si p( t )~R k, q u e l q u e s o i t g~Dk(p;Hz) , l ' 6 1 ~ m e n t u ---). --9.

d e Dk-l(p+Hk--1;V~) q u i v ~ r i f i e L ( t , D ) u = g e s t u n i q u e . Ceci

ach~vera de prouver le Th6or~me 1.4.

Posons s = s u p ( m , n), m = ordre de L, n-----ordre de M.

I1 existe une fonction ind6finiment d6rivable G*( t )> 0 telle que si q

et q+G* v&ifient (C 2), alors L(t , D) et M(t, D) sont des op&ateurs

born6s de D k - l ( q ; V ~ ) dans Dk-l-S(q+G*;K~). I1 existe une fonction

continue a * ( t ) > 0 telle que si p ~ N 'k v6rifie p'~a*, alors p q-Hk-~ + G* v&ifie (C 2); p+Hk-1 v6rifie (C 2) du fait mdme que p~N'kc.P~ -1. D'autre part, il existe une fonction continue b* ( t )>0 telle que si, en outre,

p v~rifie p ' ~ b * , D k - ' - s ( p + Hk_l + G* ; Ks) est plon86 continfiment


dans ]D k-~-s ( p ; K ~ ) . Nous prendrons pour R k l'ensemble des fonctions

P (0E N 'k Ir pk--z--s qui v6rifient p ' ~> sup (a* b*) II r6sulte de la

Prop. 1.12, de l 'hypoth&e (H 2) et du processus de formation de N 'k que

R k est bien un rideau.

Soit p (t) ~ R k. D'apr& ce qui pr&~de, L ( t , D) et M ( t , D) d~finissent

des op6rateurs born& de l ) k - t ( p + H k - t ; V ~ ) dans D k - 2 - s ( p ; K z ) . --1. , ~ >

Soit alors r E D k - ~ ( p + H k - ~ ; V , ) v6rifiant L ( t , D ) v = 0 . Consid6rons

une suite (q3v) de D (V~) qui converge vers v dans 1) ~-1 (p + H k - , ; V~) ; .-->

L (t , D)~Pv converge vers 0 dans D k-z-s (p ; K~), M ( t , D)q~v y converge

vers M (t , D) v .

Notons H*(t) la fonction qui joue, dans l 'hypoth&e (H 1)~- , ,

le r61e jou6 par Hg-2-s(t) dans (H 1)z. Comme k ~-2-s 11 C P 1 , ona , p o u r t o u t v : --->- _._>

II ~~ Ili,~_,;p+.* .k-~-= < I (Z(e , D)q)., M ( t , D)~O~.:p,k_._21 �9

Ceci implique q~te les q3v convergent vers 0 dans 1) k-s-2 (p + H ~ - I ; V = - t ) ,

a fortiori dans D'(Vz_ , ) . Mais il est clair que les q)v convergent vers v

dans D ' (V~_ , ) . On doit donc avoir v = 0. C . Q . F . D .

C H A P I T R E II

EXEMPLES D'APPLICATIONS

Nous conserverons, dans le pr&ent chapitre, les notations du pr&~dent.

Nous allons avoir ~ faire ~ des fonctions et ~ des distributions d~finies

dans l'espace R", dont la variable sera not& x = (xl . . . . . x.) ou y = (Yl . . . . . Y~),

etc. Nous d6signerons par N " l'ensemble des n-uplets (gt . . . . . p . ) d'entiers

O. Pour p ~ N " , nous poserons D , p = ~ . . . k--~, ] . Rappelons

que D d&igne la d~rivation par rapport ~ t : D = d--)- ou -~- .

Afin d'&iter des confusions, on indiciera souvent (mais pas toujours)

les espaces fonctionnels ~ l'aide de la variable dont leurs ~Mments sont des

fonctions ou en laquelle ce sont des distributions. Ainsi &r i ra+on L~,

D,~, $'y, etc. Cependant, nous omettrons l'indice tomes les lois que la

variable sera t. Ainsi &rirons-nous D ~ (p ; E) au lieu de D~ (/7 ; E) ou bien,

par exemple, nous noterons D'+ (L~) l'espace des distributions en t, ~ valeur,

dans L2x, ~ support limit~ ~ gauche,

PROBLI~MES DE CAUCHY ET PROBLEMES M1XTES 155

w Probl~mes aux limites de type mixte

1. Rappels sur la position du probl~me.(8)

Soit f2 un ouvert quelconque de R~; D (Q ) d~signe l'espace des

fonctions ind~finiment d6rivables, fl support compact contenu dans f2.

On appelle Hm(f2) l'espace des (classes de) fonctions mesurables dans Q,

dont les d~riv$es (au sens des distributions) d'ordre ~ m appartiennent

~t L z (f2); H"(f2) est muni de la norme:

[Pl=m ~2

pour laquelle c'est un espace hilbertien. En particulier, H ~ (f~)-= L 2 (Q).

On appelle H~(Q) l'adh~rence de D(Q) dans Hm(Q). En g6n6ral,

H~ (Q) est un sous-espace ferm~ s t r i c t de H ~ (Q).

Pour chaques p, qeN", Ipl~=m, Iq[~m, consid6rons une fonction

apq (0 ind6finiment d$rivable de t ~ valeurs dans L~ (Q) muni de la topologie

de dual faible de LI(Q) . On peut ~videmment representer apq (t) par une

fonction de x et de t, apq(x,t). On pose, pour u(x), v ( x ) ~ H re(Q):

; ,,,, v) = ( 0 (t dx. P , q o

Remarquer que a (t ; u , v) poss~de les deux propri6t6s suivantes :

(A) P o u r u , v f i x 6 s d a n s Hm(Q), a ( t ; u , v ) e s t u n e f o n c t i o n

i n d 6 f i n i m e n t d 6 r i v a b l e de g d a n s R I.

(B) I1 e x i s t e u n e f o n c t i o n c o n t i n u e M ( t ) > 0 t e l l e q u e ,

p o u r t o u t t r 6 e l e t t o u s u, v~Hm(Q), o n a i r :

[a(t ; u , v) l <=M(t) Julm Iv[,,,.

Cela r~sulte de nos hypotheses sur les a:~q (x , t).

Soient deux entiers s, s ' ~ 0. On introduit des fonctions b,(t) ( - - s '<_r <__s) ind6finiment d6rivables de t, a valeurs dans L~(Q) (toujours

muni de la topologie de dual faible de L~x(Q)). A br(O se trouve

associ6e une fonction de deux variables br(x,t) et un 61~ment B , (0 de

E (L(H~176 qui est l'op6rateur de multiplication par b,(x, O.

8. Les deux premiers num6ros de ce paragraphe ne font que rappeler des choses tr~s classiques, dont on trouve de nombreux expos6s dans la litt6rature. On pourra se reporter aux travaux de Lions, que nous suivons ici de tr~s pros,


On peut alors consid&er l'op6rateur int6gro-diff~rentiel

P(x,t ,D.,Dt)= ~, b,(x,t)D, + E(--1)fPlDP*am(x't)Dq r ~ - - s p I ) �9 q

d~fini dans I'ouvert cylindrique Q, X R e de R, nX R~.

Remarque 2.1. On aurait pu construire facilement, de mani~re

analogue, un syst~me d'op6rateurs int6gro-diff6rentiels, muni de propri6t6s

analogues ~ celles envisag&s ci-dessus pour un seul op6rateur, A ce sujet,

voir Lions [2], p, 29.

R e marque 2.2. On aurait pu aussi incorporer ~ l'op&ateur diff6rentiel

des conditions aux limites "diffdrentielles". A c e sujet, voir Lions, [2], p. 59.

On consid~re un sous-espace ferm~ V de H '~(Q), contenant H ~ ( ~ ) .

Utilisons les faits rappet6s au n~ w 1, Chap. I, et les propri6t6s (A) et (B)

de la forme sesqui-lin6aire a(t;u, v): il existe un 616merit A(t) de

1~. (L (V ; V)) tel qu'on ait, pour tous u (x). v (x) �9 V :

a(t;u, v)= E ~ DP[A(t)u(x)lDPv(x)dx" p<=m g

Ceci nous permet d'associer ~ P(x, t, D., D,) l'op~rateur diff&entiel sur la

droite ~ coefficients op6rateurs:

P ( t , D ) = ~ , B,(t) D ' + A ( t ) . I , ~ w $ t

Rappelons que t3,(0 est l'op6rateur de H ~ (Q) multiplication par br(x, O. On peut consid6rer P ( t , D) comme un V-H~ diff&entiel

et se poser ~ son sujet des probl~mes du genre de ceux que nous avons

consid6r6s au w 1 du Chapitre I. On cherche alors des solutions ~ ces

probl~mes qui soient des fonctions de t, ou plus g6n6ralement des distributions

en t, ~ valeurs dans V (~ support limit6 ~ gauche, ou bien d6finies dans la

demi-droite t ~ 0). Que V soit le domaine de valeurs de la solution, traduit

le fait que celle-ci satisfait ~ certaines conditions aux limites d'espace, i.e.

certaines conditions ~ la fronti~re de Q. Des deux cas extremes, V = H~ (f2)

et V = H '~ (Q), ie premier correspond ~ ce que l'on appelle "conditions

de Dirichlet", le second aux "conditions de Neumann". Un cas interm~diaire

typique est le suivant: un sous-ensembte ~ de la fronti~re OQ de f2 6tant

donn6, pourvu de certaines propri6t6s, on prend pour V le sous-espace de

H" ( Q) form6 des fonctions nulles "au voisinage de ~". Ce choix de V


dquivaut ~t des conditions de Dirichlet sur ~, de Neumann sur le restant

de 0Q.

A ces probl~mes aux limites pour P ( t , D) correspondent des probl~mes

mixtes pour P ( x , t , D , , D ~ ) . Les solutions que l'on obtient en raisonnant

sur P ( t , D) sont des solutions f a i b l e s en ce qui concerne les variables

d'espace x. Des techniques approprides, qui rel~vent d'autres thdories que

celles nous servant ici de cadre, permettent souvent de prouver que ces

solutions faibles sont aussi des solutions fortes. D'un autre c8t6, sous des

conditions de rdgularit~ (par rapport ~t l) des donndes, on peut obtenir des

solutions f o r t e s en ce qui concerne le temps t.

2. Probl~mes parabol iques . Probl~mes hyperbol iques .

Les mdthodes dont nous disposons donnent des rdsultats pourvu que

l'on impose ~ P ( t , D) des conditions convenables. Nous commencemns

par faire les deux hypotheses suivantes:

(K 1) I1 e x i s t e u n e f o n c t i o n c o n t i n u e de t, r d e l l e , ).(t), e t

u n e f o n c t i o n c o n t i n u e de t, c~(t)>0, t e l l e s q u ' o n a i r ,

p o u r t o u t t r d e l e t t o u t u ( x ) ~ V :

Re a(t;u,u)+~,(t)Iul~a(t)lul~. (K 2) I i e x i s t e u n e f o n c t i o n c o n t i n u e de t, ~ ( t ) > 0 , t e l l e

q u ' o n a i t , p o u r t o u t t r d e l e t p o u r p r e s q u e t o u t x E Q :

b, (x, 0 ~ ~ (0. o

La condition (K 1) est ce qu'on peut appeler 1' "indgalitd de Garding"

du probl~me aux limites d'espace. Elle traduit les donn&s aux limites et

le caract~re elliptique de l'opdrateur E (--1)*Pl DP, a~q (x, t) Da,. La condition P , q

(K 2) implique que l'dldment Bs (t) de P- (L (H ~ (~2) ; n ~ (fl))), qui reprdsente

la multiplication par la fonction bs(x, t), est, pour tout t rdel, un opdrateur > 0.

Rdsumons nos donndes e t n o s hypotheses, en nous plagant au point

de vue abstrait:

a) On donne d'abord deux espaces hilbertiens

continfiment dans H ~

(b) On donne, pour chaque t rdel, une forme

sur V X V, v&ifiant les conditions suivantes:

V , H~ ; V e s t plongd

sesqui-lindaire a (t ; u , v)

�9 158 FRANCOIS TREVES

(A) P o u r t o u s 4, v c V , a ( t ; u , v ) e s t u n e f o n c t i o n i n d ~ -

f i n i m e n t d ~ r i v a b l e de t.

t e l l e q u ' o n (B) I1 e x i s t e u n e f o n c t i o n c o n t i n u e M ( t ) > O

a i t , p o u r t o u t t r ~ e l e t t o u s u, v ~ V :

l a(t; u , v)[ _<_ M(t)IlUllv [Iv[Iv. De plus :

(K 1) I1 e x i s t e d e u x f o n c t i o n s c o n t i n u e s , ~.(t) r 6 e l l e ,

a ( t ) > 0 , t e l l e s q u ' o n a i t , p o u r t o u t t r ~ e l e t t o u t u ~ V :

(c) On donne, pour chaque r E Z , - - s '<~r<_s ( s , s ' ~ N ) , un ~l~ment

Br (t) E !~. ~L (H ~ ; H~ et i'on fait l'hypoth~se suivante :

(K 2 ) I 1 e x i s t e u n e f o n c t i o n c o n t i n u e [~(t)>0 t e l l e q u e ,

p o u r t o u t t r ~ e l e t t o u t f E H ~ o n a i t :

(Bs(t) f , f ) .o ~ ~ (t) I I f ] ]~o �9

Nous d~signerons par A (t) l'~16ment de E ( L ( V ; V)) associ6 ~. la

forme sesqui-lin~aire a ( t ; u , 0, c'est-~-dire tel qu'on air, pour tous t r~el,

u, v ~ V : a ( t ; u , v ) = ( A i t ) u , v ) v .

Nous poserons d'autre part:

R ( t , D ) = ~ , B,( t) D ' ;

I

~ - - S t

R (t, D) est un H~176 diff~rentiel. D~signons enfin par J l'injection

canonique de V dans H ~ Le probl~me que nous entendons rdsoudre est

le suivant :

E t a n t d o n n d e S~D'+(H~ t r o u v e r T e D ' + ( V ) t e l q u ' o n

a i t , p o u r t o u t v e V : - + -9- - +

(R(I , D) T , Jv)Ho + a ( t ; T , v) = (S , Jv)~o,

cette ~galit~ devant s'entendre au sens des distributions scalaires.

Pour rdsoudre ce probl~me, et les probl~mes additionnels, on doit faire

de nouvelles hypotheses. On commence par supposer s <__ 2. On distingue

alors deux catdgories de probl~mes:

P r o b l ~ m e s p a r a b o l i q u e s . On suppose s----l.

P r o b l ~ m e s h y p e r b o l i q u e s . On suppose s - 2 . En outre, on

suppose que la forme a ( t ; u , v) est hermitienne; i.e. pour tous t rdel,

PROBLEMES DE CAUCHY ET PROBLEMES MIXTES

u, v ~ V, a (t ; u , v) ---- a (t ; u , v), ou, ce qui revient au m~me, que, pour

tout t, A (t) est un op6rateur hermitien de V.

Remarque 2.3. En partant de l'op6rateur P (x, t , D, , Dr), nous venons

d'aboutir ~ une situation abstraite fort g6n6rale. Nous voulons dire par 1~

qu'il ne s'agit pas d'une simple reformulation de la situation relative

P ( x , I , D ~ , D , ) : la situation abstraite couvre bien d'autres cas particuliers

que celui de P ( x , t , D , , Dr) et des probl~mes mixtes le concernant. Elle

couvre le cas de syst~mes diff6rentiels, de conditions aux limites diff6rentielles

par rapport ~ t (cf. Remarques 2.1 et 2.2). Elle poss~de aussi un caract~re

d'invariance par rapport aux changements de coordonn6es d'espace que n'a

pas P (x , t , D~ , Dt) .

3. Deux in6galit~s.

Dans ce n ~ nous nous bornons A rappeler deux r6sultats, prouv6s

dans TrOves [1], pp. 9 0 - 1 2 3 .

Th6or~me 2.1. S u p p o s o n s le p r o b l ~ m e p a r a b o l i q u e .

A l o r s i l e x i s t e u n e f o n c t i o n i n d 6 f i n i m e n t d 6 r i v a b l e de

t, G ( t ) > 0 , e t p o u r t o u t k ~ Z , u n e f o n c t i o n c o n t i n u e g~,(t)>O

t e l l e s q u e , p o u r t o u t e f o n c t i o n p(t) v 6 r i f i a n t (C 2) e t

P'~_gk, p + G v 6 r i f i e (C 2) e t le f a i t s u i v a n t s o i t v r a i : --)- - 9

P o u r t o u t e q ~ I } ( V ) , R ( t , D ) J q ~ D ~ ( p ; H ~ e t l ' o n a: + 2 . __> ._>. + _>.

[[q~Ilg;#+o.,2 + []Jq~[l~o.#,, k = < Re [(R (t , D)J~P,JqOno;p,k+(A(t)~,q~)v.p,, k]. Rappelons que la condition (C 2) se lit:

(C 2) La f o n c t i o n P ( 0 e s t r 6 e l l e , i n d 6 f i n i m e n t d 6 r i v a b l e

c lans R t, e t i l e x i s t e un n o m b r e p 0 > 0 t e l q u e p ' ( t ) ~ p o

p o u r t o u t t r 6 e l .

Th6or~me 2.2. S u p p o s o n s le p r o b l ~ m e h y p e r b o l i q u e .

A l o r s , p o u r c h a q u e k E Z , i l e x i s t e u n e f o n c t i o n c o n t i n u e

gk(t)>O t e l l e q u e , p o u r t o u t e f o n c t i o n p ( t ) v 6 r i f i a n t (C 2)

e t p ' ~ g k , l e f a i t s u i v a n t s o i t v r a i : . + ->.

P o u r t o u t e q ~ D ( V ) , R ( t , D ) J q ~ D k ( p ; H ~ e t l ' o n a: - ~ +

.--> .-> - ~ - +

_<_ Re [ (R( t , D) flp , JDqOno;~,~ + (A(t)q~ , Dq:)v;p,k ] .


4. L 'op6 ra t eu r L ( t , D).

Pour r6soudre le probl~me que nous nous sommes pos6, nous n'allons

pas utiliser l'op6rateur P (t , D) -~ R (t , D) J + JA (t) d~fini au n ~ 1. Nous

allons construire un autre op6rateur diff6rentiel, qui nous permette de poser

le Probl~me 1.4 du n~ du w 1, Chap. I, et de r6soudre ce probl~me en

appliquant la th6orie 6difi~e dans le Chapitre I.

Rappelons que J e s t l'injection canonique de V dans H ~ Notons J*

son adjointe pour les produits hermitiens de V e t de H~ J* est un

op6rateur born6 de H ~ darts V, ~ image dense.

Pour - -s ' <~ r <_ s, posons A, (t) = J 'B, (t) J. On a Ar E P- (L (V ; V))

et, pour tous t r6el, u, vE V:

(Ar (t) u , v)v = (Br (t) J u , j~)I-1o.

Nous pouvons alors ddfinir le V-V-opdrateur diffdrentiel:

L ( t , O ) = ~ Ar(t) D r + A( t ) . r ~ - - s t

I

On peut ~crire L ( t , D) = J*R(t , D ) J -4- A (t) et l 'on volt que, pour ,.-'t

toute T E D ' + ( V ) et tout v E V : + --)- +

(L(t , D) T , V)v -- (R(t , D) T , Jv)Ho + a(t ; T , v).

Mais alors le problSme pos~ n'est autre que le suivant: - + .-~

E t a n t d o n n 6 e SED'+(H~ t r o u v e r TE]D'+(V) t e l q u ' o n

a i r - + - +

L( t , D) T = J*S.

II est presque 6vident que ceci n'est autre qu'un probl~me du type 1.4.

En rSalit6, dans le cas parabolique, nous allons r~soudre un probl~me plus

fort, du type 1.3: --,r --)-

E t a n t d o n n 6 e SEI~'+(V), t r o u v e r TED'+(V) v ~ r i f i a n t .-). .-~

L ( t , D ) T = S .

5. Les s i tua t ions et la solution des prob l~mes .

Notre propos est d'appliquer la th6orie du Chapitre I e t principalement

le Th6or~me 1.4. I1 conviendra d'6tablir, ~ cette fin, des in~galit6s du genre: .->. -_>. . - + - %

2 2 (L ( t , D) M (t , D) q:)v:p, k ll llv;p+.,k + I [ M ( t , D)r < Re q~,

pour q ~ D ( V ) et p ( t ) appartenant ~ un certain rideau; M ( t , D) dolt

PROBL~MES DE CAUCHY F.T PROBLEMES MIXTI~S 161

&re un V-V-op6rateur diff~rentiel, propre en un sens ~ pr4ciser; Q doit

&re un espace hilbertien dans lequel V e s t plong6 continfimenc

Nous ferons les choix suivants:

M ( t , D)= I (identitd de V) dans le cas parabolique;

M ( t , D ) = D dans le cas hyperbolique;

H(t) est la fonction G(t) qui figure clans le Th~or~me 2.1, dans ie

cas parabolique ;

H(t) est la fonction nulle dans le cas hyperbolique.

Nous supposerons (ce qui est 16gitime) clue la fonction g , ( t ) figurant

dans le Th. 2.1 est telle que si p(t) v6rifie (C 2) et p'>=g~, alors non

seulement p + G, mais aussi p - - G v~rifie (C 2). Ceci fait, nous appellerons

1 ~k le rideau form6 des fonctions p ( t ) v4rifiant (C 2) et p '>~gk . Ceci pour

le cas parabolique ou le cas hyperbolique, c'est-~-dire que gk est la fonction

figurant dans le Th. 2.1 on bien dans le Th. 2.2, suivant la nature du probl~me.

En nous appuyant sue les Th4or~mes 2.1 et 2.2, nous pouvons 6noncer

le r4sultat suivant : -.+

P o u r t o u t e p ( t ) ~ l P k e t t o u t e q ~ I I ( V ) , l e s f a i t s s u i v a n t s

s o n t v r a i s : L( t ,D)q3 e t M(t ,D)q ) a p p a r t i e n n e n t ~ D k ( p ; V )

e t l ' o n a: --)- -->- --9- - %

2 2 = II l[V;p+n,k + II JM (t , D)~p ]lno;#,k < R e ( L ( t , 3)q~ , M (t , D)9)v;p.,. D e u x a u t r e s f a i t s s o n t ~ s o u l i g n e r :

P o u r t o u t e f a m i l l e d ' e n t i e r s k l , . . . , k i E Z , P k l ~ . . . f ~ P k J

e s t un r i d e a u .

Ceci r6sulte de la Remarque 1.3.

Le V - V - o p 6 r a t e u r d i f f 6 r e n t i e l M ( t , D) e s t p r o p r e .

Pour poursuivre, il nous faut 6tudier s4par6ment le cas parabolique

et celui hyperbolique.

P rob l6mes mixtes p a r a b o l i q u e s : e x e m p l e d ' une s i tuat ion bana l e .

On suppose s = 1, i.e.

L (t , D) = A1 (t) D + Ao (t) + ... + A_,, (t) D -s' + A (t),

et on consid~re la situation banale: V

* L ( t , D) . V

162 I~RANr TREVES

Remarquoas que l 'on a, pour toute p ( t ) ~ P k et toute q0 ~ D (V): ..-}

P o u r t o u t g ~ D k ( p - - G ; V ) , -% -% + - 9

I(g, p, l < II llv;p+ , llglIv:p- .k. Ceci ach~ve de prouver que toutes les hypotheses du Th6or~me 1.4 sont

satisfaites ; on en d6duit :

Th6o r6m e 2.3. D a n s I e c a s p a r a b o l i q u e , l e V - V - o p 6 r a t e u r

d i f f 6 r e n t i e l L ( t , D ) e s t p r o p r e .

Le corollaire du Th6or~me 1.1 entalne alors:

Th6or~me 2.4. D a n s le c a s p a r a b o l i q u e , T - - > - L ( t , D ) T

e s t u n e a p p l i c a t i o n l i n 6 a i r e c o n t i n u e e t b i u n i v o q u e de - +

D ' + ( V ) s u r l u i - m ~ m e . Si L ( t , D ) T e s t d ' o d r e f i n i ( r e s p . a

s o n s u p p o r t d a n s l a d e m i - d r o i t e t ~ a (a r6el)), i l e n e s t d e --}

m ~ m e de T.

Les Th6or~mes 1.2 et 1.3 admettent des applications analogues.

Remarquer que la pattie essentielle du Th. 2.4 peut s'6noncer ainsi

(en n6gligeant l'injection canonique J de V dans H~ .--} .--}

P o u r t o u t S ~ D ' + ( V ) , i l e x i s t e T ~ D ' + ( V ) t e l q u ' o n a i t ,

p o u r t o u t v ~ V : + - + "9-

(R( t , D) T , v)n o + a( t ; T , v) = (S , V)v.O)

D'autre part, J*: H~ se prolonge canoniquement en une application -9- --+

lin6aire continue de D ' + ( H ~ dans D ' + ( V ) . En prenant S = J ' S o avec .2 t

So E D'+ (H~ dans l'6nonc6 pr6c6dent, on obtient le Th. 3.8 de TrOves [1]: --} .._}

P o u r t o u t So~D'+(H~ i l e x i s t e T ~ D ' + ( V ) t e l q u ' o n a i t ,

p o u r t o u t v ~ V : . + - + +

(R( t , D) T , v)No + a(t ; T , v) = (So, V)H o .0)

Prob lbmes mixtes hype rbo l iques : e x e m p l e d ' u n e s i tuat ion en

triangle.

Soit M le noyau de J* : H ~ --~ V. Si V e t H ~ gardent leur signification

"concrete" du d6but: H ~ H~ H~"( f ] )C V C H"( f2 ) , V est dense

dans H ~ puisque V contient D (ff]). Par cons6quent, J* est biunivoque et

M = {o}. Mais tenons-nous en au point de vue abstrait: V et H ~ sont

9. Au sens des distributions scalaires.

PROBLEMES DE CAUCHY ET PROBL~MES MIXTE$

deux espaces hilbertiens, V est plong~ continfiment dans H ~ Alors, en

g~n6ral, M :# {0}. Soit M ~ l'orthogonal de M dans H~ la restriction de

J* ~ M ~ est un isomorphisme vectoriel de M ~ sur J*(H ~ C V. Nous

ddsignerons par H l'espace J~ ~ muni de la norme transport~e par cet

isomorphisme; H est un espace hilbertien plong~ continfiment dans V.

En effet, pour tout h ~ H , il existe un ~l~ment unique h' de M ~ tel que

J*h'=h; or on a:

I[hllv = IlJ'h'[Iv ~ IlJ]l~r ~ Ilh'l]n ~ = [IJJ]L~v:no)Ilhll-.

Ceci dit, supposons s---2, i.e.

L ( t , D) = A2 (t) D 2 + At(t) D + A0(t) + . . . + A_s.(0 D - " + A (t),

et que A (t) soit hermitien. Et consid6rons la situation en triangle:

V \ , x L ( t , D)

H - - ~ V

I1 s'agit bien l~ d'une situation en triangle, car d'abord H est dense dans

V et qu'ensuite (Hyp 1) est satisfaite. En effet, pour tout - - s ' ~ r ~_ s,

Ar (t) ---- J* Br (t) J e t B~ ~ E (L ( n ~ ; H~ d'ofi r6suke que Ar ~ E (L (V ; H))

(voir Chap. I, w n~ et w 5, n o 2).

On a d'autre part, pour toute p ( 0 ~ P l r et toute q ~ D ( V ) : P o u r -.).

t o u t g~Dk (p ; H ) , --~ + - + ---+

I (g , D,p)v: ~,k I < [I JD~p Huo :p,k I] g I[. :~,~ ---1,

Prouvons ce point. II existe un 61~ment unique gt de D ~(p ; H ~ tel que ..+ .-->

g = jr*gt. On a + - + ~ , ~ + -->

[[g, liH0;p.k= []gl]n:p,k et (g,hc?)v;p.k= (g , , Jh , )no;p ,k .

Kemarquons enfin que le V-V-op~rateur diff6rentiel D est V-propre

donc, a fortiori, H-propre.

Ceci ach~ve de prouver que toutes les hypotheses du Th~or~me 1.4

sont satisfaites :

Th6or~me 2.5. D a n s le c a s h y p e r b o l i q u e , le V . V - o p 6 r a -

t e u r d i f f ~ r e n t i e l L(t , D) e s t H - p r o p r e .

L'analogue du Th. 2.4 peut s'~noncer ainsi:

Th~or~me 2.6. .-+

A tOUt S E D ' + ( H ~

S u p p o s o n s le p r o b l ~ m e h y p e r b o l i q u e .

c o r r e s p o n d u n 6 1 6 m e n t u n i q u e T d e

164 ~RAN~OIS TREVES

D ' + ( V ) t e l q u ' o n a i t , p o u r t o u t v ~ V : --> -_~ - +

(R( t , D) T , v)no + a(t ; T , v) = (S , v)no

(au s e n s de ]D'). - + ._~

D e p l u s , s i S e s t d ' o r d r e f i n i , i l en e s t de m 6 m e d e T.

Si S a s o n s u p p o r t d a n s la d e m i - d r o i t e t_>_a (a r6el), i l e n

e s t de m 6 m e d e T.

Ceci est Ia "partie hyperbolique" du Th. 3.8 de TrOves [1]; c'est

aussi le Th. 1.1 de Lions [2], Chap. I I I du Technical Report 1.

w P o l y n 6 m e s diff&ent ie ls r6solubles.

Dans tout ce paragraphe, nous aurons ~ faire ~ un polyn6me P ( y )

coefficients complexes sur R". Nous supposerons toujours P ( y ) d'ordre

m > 1 par rapport ~ Yl et normal (sous-entendu: par rapport ~ y,), c'est-

~-dire de la forme a y ' ~ + Q ( y ) , avec a : ~ o et d e g y t Q ( y ) ~ m - - 1 . Nous

d6signeronspar Pr(Y) p o u r r = l , 2, m lepo lyn6me ( 1 0 )" .... " 2iJr Oyl P (y)"

Rappelons que nous utiliserons tr& souvent la notation suivante :

y = (y~, ..., y~) &ant donn6 dans R n, y0 sera le point (Y2 . . . . . y~) de R ~-~.

1. P o l y n 6 m e s diff&entiels r6solubles .

D6finition 2.1. N o u s d i r o n s q u e P ( y ) e s t r 6 s o l u b l e ( p a r

r a p p o r t ~ yl) s i P ( y ) e s t de d e g r 6 m ~ l p a r r a p p o r t ~ y ,

e t n o r m a l , e t si, p o u r t o u t y~ l e s p a r t i e s i m a g i n a i r e s

d e s r a c i n e s d u p o l y n 6 m e en zl P ( z l , y ~ s o n t s u p 6 r i e u r e s

o u 6 g a l e s ~ u n n o m b r e r 6 e l r (ind6pendant de y0).

Nous pourrions d6finir aussi les polyn6mes "anti-r&olubles" en

remplagant, dans la d6finition pr6c6dente, s u p 6 r i e u r e s par i n f6 r i e u r e s.

Tous l e s 6nonc6s qui vont suivre, relatifs aux polyn6mes r6solubles, auront

un homologue relatif aux anti-r6solubles, qui s'obtiendra simplement en

remplagant yl par - y ~ dans tous les raisonnements (ceci correspondra

l'inversion du temps dans la th6orie des op6rateurs diff6rentiels). Nous nous

bornerons /~ traiter le cas des r6solubles.

Proposi t ion 2.1. Si P ( y ) e s t r 6 s o l u b l e , i l en e s t d e m ~ m e

d e P , ( y ) et , p a r c o n s 6 q u e n t de P, (y ) p o u r t o u t r ~ 1 , 2 ..... m--1.

PROBLEMES DE CAUCHY ET PROBLEMES MIXTES !65

Cela r~sulte d'un th~or~me classique de Lucas (voir par exemple

J. L. Walsh, The location of critical points... Amer. Math. Soc. Colloquium

Public., vol. XXXIV, p. 6).

L e m m e 2.l. P o u r q u e P(y) s o i t r f f s o l u b l e , i l f a u t e t i l

s u f f i t q u ' o n n e p u i s s e p a s t r o u v e r de n o m b r e r 6 e l r,

a y a n t l a p r o p r i ~ t 6 s u i v a n t e : p o u r t o u t r 6 e l t<rl , i l e x i s t e

y~ t e l q u e l e p o l y n 6 m e en zl P(Zl,y~ a i t au m o i n s u n e

r a c i n e d o n t la p a r t i e i m a g i n a i r e s o i t 6 g a l e ~ t.

Que la condition soit n~cessaire est trivial. Pour prouver qu'elle est

suffisante supposons que P ( y ) ne soit pas r6soluble. Alors, pour tout entier

k assez grand, on peut trouver y ~ R ~-1 tel que P(zl , y o) ait une racine

dont la pattie imaginaire soit comprise entre - -k et - -k - -1 . Du fait que

P ( y ) est normal, ces points y~ doivent s'61oigner vers l'infini (dans R n-l)

lorsque k --~ + oo. I1 s'ensuit qu'on peut en extraire une suite {Yk~} ( k ~ + ~ )

telle que la ligne L obtenue en joignant par un segment de droite Y~i et

Ykr soit simple, i .e. n'ait aucun point multiple. Mais alors on peut d6finir

m fonctions r6elles sj(y~ ( j = l . . . . . m) sur L, c o n t i n u e s s u r L e t qui

repr6sentent, en chaque point y ~ les parties imaginaires des racines de

P(zl ,yO). Comme en chaque yl, i , l 'une des fonctions sj a une valeur

comprise entre --ki et --ki--1, il faut que l'une au moins de ces fonctions

sj(y~ prenne des valeurs tendant vers - - ~ lorsque y0 s'~loigne ind6finiment

sur la ligne L; mais alors cette fonction prendra toutes valeurs r6elles

comprises e n t r e - - o o et son minimum sur L (c'est ce minimum qu'on

pourra prendre comme nombre rl).

Th~or~rne 2.7. L e s p r o p r i 6 t 6 s s u i v a n t e s s o n t ~ q u i v a -

l e n t e s :

(a) P ( y ) e s t r 6 s o l u b l e .

(b) P o u r t o u t ~ > 0 i l e x i s t e un n o m b r e t ~ 0 t e l q u ' o n a i t ,

p o u r t o u t yER":

I P1 (Y, - - i & , yO) I <= e [ P (y , - - i t s , y ~ .

(c) I I e x i s t e te2>0 t e l q u e , p o u r t o u t t~to e t t o u t y ~ R " : 2 m

I P' (Y~ - - it , y0) 12 <_= t - - Re P (y~ - - i t , yO) p , (y~ _ i t , NO).

(c) implique trivialement (b). Nous prouverons que (b) implique (a)

et que (a) implique (c).


(b) + (a)

Utilisant le fair que P(y) et PI (Y) sont normaux, on volt que lorsque

+ 0, te dolt ter, dre vers + c ~ . Supposons alors P ( y ) non r6soluble et

soit rl le nombre r6el qu 'on peut associer h P(y) par le Lemme 2.1.

Pour e > 0 assez petit, on pourra avoir --te < ra et il y aura donc un point

y~ R n-I tel que P(z, , y0) ait une racine de la forme ct +i(- l~) : supposons

que l 'ordre de cette racine soit k (~_ 1). Nous pouvons diviser les deux

membres de l'in~galit6 de (b) par ( y l - - a ) k - ' . Nous obtenons une in6galit~

dans laquelle le premier membre ne s'annule pas pour y, = a, alors que

le second, qui majore le premier pour toute valeur de y t , s'annule pour

y , = a, ce qui est absurde.

(a) + (m

Fixons arbitrairement yO dans R "-1 et notons aj (yO) + ifSi (yO)

( t <=j<=m) les m racines du polyn6me P(zt ,yO). Pour chaque i - - : l . . . . . m,

p o s o n s :

Q, (z , , y0) = I - [ [z, - - a t (y0) _ i~ i (y0)]

1 ~ j ~ m

(remarquer que ceci ne d6finit pas une fonction de y0 dans R ' - ' ) .

chaque i = 1, ..., m, on a:

P (z,, y") = [z, - - ai (yO) _ i~i (y0)] Oi (z t , yO)

Pour

(ceci pour tout y ~ et :

2in P, (z, , y~ = E Qi(z, , y~ , 1 < _ i ~ . m

de sotte que:

Re P (zt , y0) Pt (zl , yO) _ 1 2~r Z [~i(Y~ Imzl] l Qi(z" Y~ ]2"

1 ~ j ~ m

Prenons z l = y l - - i t et soit r le r~el associ6 ~. P(y) par la Definition 2.1.

Si nous choisissons g ~ 2 Irl, on d6duit de l'in~galit~ pr&6dente:

R e P ( y ~ ' i t y~176 1 t S [Qs(yl - i t y~ ' - 4 ~ '

! " < j ~ m

Mais :


19J (y, - i t , y0) 12 (2 )2 i p ' ( y , _ i t , yO) 12, t<j<=m

d'ofi l'in6galit6 de (c).

Donnons un coup d'oeil A deux cat6gories )articuli~res de polyn6mes

r6solubles.

[3~finition 2.2. N o u s d i r o n s q u e l e p o l y n 6 m e P(y) e s t

p s e u d o - h o m o g ~ n e s ' i l e x i s t e u n e n t l e r d > - I e t n e n t i e r s

pi~_l ( l ~ i ~ n ) t e l s q u e , p o u r t o u t y ~ R ~ e t t o u t t>_~0,

P (tP,yl, tP2y2 . . . . . tP, y,) = t"aP (y).

Il est alors ais~ de prouver la proposition suivante:

Proposit ion 2.2. Si P ( y ) e s t r 6 s o u b l e e t p s e u d o - h o r n o -

g ~ n e , p o u r t o u t y~ l e s p a r t i e s i m a g i n a i r e s d e s r a c i n e s

d u p o l y n S m e e n Zl P(gt ,y0) s o n t > 0 .

II r6sulte de lh qui si P 0 ' ) est r6soluble et pseudo-homog~ne, le

hombre t0 qui figure dans la condition (c) du Th6or~me 2.1 peut dtre pris

6gal A 0 (cela se voit dans la derni~re partie de la preuve du Th. 2.1).

D~finit ion2.3. N o u s d i r o n s q u e P(y) e s t s y m 6 t r i q u e m e n t

r 6 s o l u b l e ( pa r r a p p o r t ~ Yl) s ' i l e x i s t e u n n o m b r e M~_O t e l q u e , p o u t t o u t y~ l e s p a r t i e s i m a g i n a i r e s d e s

r a c i n e s d u p o l y n 6 m e e n zl P(z l , y~ a p p a r t i e n n e n t

l ' i n t e r v a l l e ( - - M , M ) de la d r o i t e r 6 e l l e .

Dire que P ( y ) est sym6triquement r6soluble revient d o n c $ dire que

P (y) est ~ la fois r6soluble et anti-r6soluble. De la mdme fa~on que nous

avons prouv6 le Th. 2.7, on pourrait prouver le th6or~me suivant:

Th~or~me 2.8. L e s p r o p r i 6 t 6 s s u i v a n t e s s o n t 6 q u i -

v a l e n t e s :

(a) P(y) e s t s y m 6 t r i q u e m e n t r 6 s o l u b l e .

(b) P o u r t o u t r>o i l e x i s t e un n o m b r e t~>O t e l q u ' o n a i t

p o u r t o u t y~R*:

[ P, (y, -- i ts , yO) ] ~ ~ lp ( Y t - - i t s , yO) ]

e t

] P, (y, +its ,y~ <= r I p ( y , + i t s , yO)] .

(c) I1 e x i s t e t 0 ~ o t e l q u e p o u r t o u t r 6 e l t, ltl >to, e t

t o u t yERn:


2 m 1P1 (yl -- i t , yO) [2 ~ - [ - Re P (Yt -- i t , yO) P1 (", -- i t , yO)

Introduisons maintenant les op~rateurs diff6rentiels. Rappelons qu'au

polyn6me P (y) est associ~ le polyn6me diffdrentiel P (D) par substitution

1 0 de 2i3t dxj a Yi pour chaque j = 1 . . . . . n . Remarquons que si Pt (D)

est l'op6rateur diff6rentiel associ6 ~t P1 (Y), on a:

(2.1) P, (D) q0 (x) =: P (D) [xl cp (x)] -- xl P (D) q~ (x).

Plus g~n&alement :

1 cz(q) (Xl) Pq (D) cp (x) (2.2) ] 9 (D) [c~ (&) (i9 (x)] = YT, q--T

m

ogq<=m

Dans ceci, qv(x) (resp. c~(x0) est une fonction ddfinie et suffisamment

diff~rentiable dans R" (resp. R').

D~finition 2.4. N o u s d i r o n s q u e P(D) e s t r 6 s o l u b l e (resp.

sym~triquement r~soluble) s t P (y) 1' e s t. O

Exemple 2.1. Si P(D) est hyperbolique (au sens de Garding), ^

P (D) est sym6triquement rdsoluble. Remarquer clue tout polynome diff~rentiel

hyperbolique et pseudo-homog~ne est n6cessairement homog~ne (i. e.

P (tyl . . . . . ty,,) = traP (y) pour tout t > 0).

Exemple 2.2. Si P(D) est p-parabolique (au sens de Petrowsky),

P ( D) est r6soluble. Kemarquons que P (D) n'est alors jamais sym~triquement

rdsoluble.

1 O Exemple 2.3. L'op~rateur de Schr6dinger i 0xl A~ (A~ laplacien

par rapport ~ x 2 , , . , x~) est sym6triquement r6soluble, puisque le polyn6me

qui lui est associ6 est 2=yl + 4a 2 [y0],-, dont toutes les racines (en taut que

polyn6me en y~) sont r6elles quel que soit y0E R"-I. De plus, ce polyn6me

est pseudo-homog~ne.

R e m a r q u e 2.4. A la difference de l'hyperbolicit6 ou de la parabolicit6,

la r6solubilit~ peut &re influenc6e par des termes d'ordre inf6rieur. Ainsi

le polyn6me diff6rentiel:

1 0 0 i Ox, § ('* + i~)--y;~ A ~

n'est r6soluble que si ~x = 0.


R e m a r q u e 2.5. Si n > l , aucun op6rateur elliptique dans R ~ n'est

r6soluble.

Remarque 2.6. Si P ( D ) et Q(D) sont r6solubles, P ( D ) Q(D) est

aussi r6soluble (d'ailleurs la r6ciproque aussi est vraie).

Proposi t ion 2.3. Si P(D) e s t r 6 s o l u b l e , i l e x i s t e t 0 ~ 0

t e l q u e , p o u r t o u t t>to e t t o u t e q~(x)~D(Ra) , o n a i t :

2*s LI e~p (--t.~,.) P~ (D) q~ H~ ~ ~ Re (e~v C-t, , ) P (D) ~'. e~v ( - - ~ ) P~ (D) 'P)L~ �9

Supposons donc P ( v ) rdsoluble. On a alors, d'apr~s Ja toute derni~re

partie de la preuve du Th. 2.1, pour y ~ R ~ et tout t > t 0 > 0 (to 6rant

d6termin6 clans cette preuve):

2m-1 (2.3) [P, (5', - i t , y~ [* ~_ - ~ - Re P (y, - - i t , yO) p , Cyt - i t , 3,~

Soit alors ~(x) E D ( R * ) ; si

,p (z) = f w ('0 exv ( - -2 ia ( x , z) ) dx

pour z ~ C a, on aura :

( y , - it, y0) _ f [~ (x) exv (-2~tx,)] e~p (--2i~ (~, y>) a~.

Multiplions les deux membres de (2.3) par [ ~ ( Y t - - i t , y0)I* et int6grons

ensuite par rapport ~ y sur R a. En appliquant le th6or~me de Parseval aux

deux membres de l'in6gaht6 ainsi obtenue, et en posant t ' = 2nt, on volt

que, pour tout t ' ~ 2 a / 0 et route cp(x)ED(Ra) , on a:

H exp ( - e ' x , ) n , (O)cp t 2, L 21P/,I-- i

- ~ Re (exp ( - t ' ~,) P (D) q~, exp (--t' x,) P,. (D)~r0L".

Si donc on pose f0=-2nt0 et si on supprime toutes les apostrophes, on

obtient exactement le r6sultat d6sir6.

2. L' in6gali t6 f o n d a m e n t a l e .

Dans ce num6ro, nous allons 6tablir, pour les polynSmes diff6rentiels

r6solubles, une in6galit6 qui va constituer, eta quetque sorte, une g6n6ralisation

de la Prop. 2.3.

Pour cela, nous allons consid6rer provisoirement un polynSme dif-

f6rentlel P ( D ) sur la droite R 1. Pour simplifier, la variable dans R 1 ser~

170 FRANCOIS TREVES

1 d notre t et nous poserons D = 2i~ dt " Nous pouvons ~crire, m 6tant

l 'ordre de P ( D ) :

P ( D ) = a ( D - - a t - - i ~ , ) . . . ( D - - a,~ - - i~.,) ;

ainsi les a j + i~t sont les racines du polynSme associ~ ~ P ( D ) ; a est un

nombre complexe non nul.

Nous poserons, pour chaque ] = 1 . . . . . m,

2i~rl E Qi(D)= a H ( D - a , - i ~ , ) et P , ( D ) = Q j ( D ) .

1 ~ k s 1 ~.j<_~m k#y

Pour tout j = 1, ..., m, on a:

P (D) = (D - - a j - - il~l) Qj ( D ) .

Considdrons maintenant une fonction h(t) d~finie et localement

int6grable dans R1; d6signons par H(t) l 'une de ses primitives (qui sera

donc une fonction continue). Soit R (D) un polynSme diffdrentiel quelconque

sur R t. En posant h ( t ) = h (t__~) 2~ ' on a, pour toute q) (t) E I) ' t :

exp ( - - H (t)) R (D) [q~ (t) exp n (0] = R (O - - ih (t)) q~ (t)

toutes les d~rivations ~tant prises au sens des distributions.

On peut alors dcrire:

P ( h - - i h ) c9 �9 P1 (D - - ih) r

Qj(O--ih)q . 2~ l=j m

Prenons q~ (t) = tit (t) �9 exp ( - - H (l)) avec tit (t) E Dr . L'~galit6 pr~c~dente

devient :

e -nr P (D) �9 (t) �9 e -rico P1 (D) �9 (t)

--1 -- 2i~ E [ ( D - i h - - a i - - i ~ i ) e - m ' ~ 1 7 6

t ~ j s

Le premier membre de cette in6galit~ est une fonction continue de t,

donc int~grable. Dans le second membre, chaque terme

- -1 2i~ [h- - ih - -~- - i~s ) e-nC*) Qi (O) qr (t)] �9 e-nr Oj (D) * (t)

est aussi int~grable. Supposons H (t) ~ v a I eu r s r 6 e 11 e s (donc aussi h (t))

et calculons la partie r~elle de l'int~grale d'un tel terme ; nous ob tenons :

PROBLI3MES DE CAUCHY ET PROBLEMES M1XTES 17t

i f 2,~ [h ( t ) ~- 13j] le-U~t)Qi(D)qJ(t)[2dt,

par consequent :

Re ; e -Hp(D)~ �9 e-HPl(D)~gdt v

1 -

l~j~m Posons maintenant B = inf [3 i e t prenons h > sup(0 , --2B). II vient:

Re f e-nP(D) tF'e-nP*(D)tFdt~ 1 E f 1 2~ 2 h I e-n QJ (D) tF [ 2 dt l ~_~j~m

>= - ~ h l e-U P, (D) W l~ dt ,

compte tenu de ce que:

t e -n 2i~t P , (D) W 12 <= 2 r~-'

R$sumons notre r~sultat:

Pour toute fonction h(t)

R 1, telle que h (t) ~ 2Jr sup (0 ,

(2.4)

r~elle, d~finie et localement int~grable dans

--2B), et toute fonction ~F(t)~Dt, on a:

j " h (t) I e-Z~ ,0 p, (D) qt ]2 dt

2 *n Re { " e -u(t) P (D) �9 �9 e-n~o P, (D) < dr, ,J

H ( 0 6tant une primitive r6elle quelconque de h(0.

Rappelons que B = inf ~j, les ~3j &ant les parties imaginaires l~j~m

des racines du polynSme associ~ ~ P ( D ) .

Nous allons maintenant retourner ~ l'espace R% Nous appliquerons

l'in~galit~ (2.4), en remplaqant t par x , , aux polyn6mes P ( 2i~10xlO , yO)

I 0 tels que si on substitue 2r Oxj a yj pour j = 2 . . . . , n , on obtienne

un polyn6me diff~rentiel P ( D ) normal et r~soluble par rapport ~ xt (ici D

1 d n'a plus la signification 2i~ dt du d~but de ce paragraphe; il reprend

la signification qu'il avait au n o 1).


Remarquons aussi clue l'in~galit6 (2.4) est valable pour toute �9 ( t )~ De ;

nous pouvons donc l'appliquer ~ toute fonction ~(xt ,y0) telle que

c?(xt , yO)~D,1 pour tout y~ On obtient le r6sultat suivant:

Th6or~me 2.9. S u p p o s o n s P(D) r ~ s o l u b l e . I1 e x i s t e u n

n o m b r e M ~ 0 t e l q u ' o n ai t , p o u r t o u t e f o n c t i o n r ~ e l l e

h(xl) , d ~ f i n i e e t l o c a l e m e n t i n t ~ g r a b l e d a n s R t, v ~ r i f i a n t

h(xt)>M p o u r t o u t xl r 6 e l , p o u r t o u t e f o n c t i o n ~ ( x , , y ~

v 6 r i f i a n t ~ ( x , , y ~ p o u r t o u t y~ e t p o u r t o u t yO ~ R ~- 1 :

f h(x~)le-nC~t~P~ 2irt Ox~ 'Y~ ~(x~,y~

j ( ) < 2raRe e_n(~t)p 1 0 = 2i~ Oxl 'Y~ ~p(xt,yO)

. e-U(xt)P( t 0 ) 2i~ Ox~ ' yO ~; (x~, yO). dx~

off H(xl) e s t u n e p r i m i t i v e r ~ e l l e q u e l c o n q u e de h(xl). On peut prendre, pour M, le nombre suivant: pour chaque y0~ R~-t,

notons ~i(y ~ ( j = 1 . . . . , m) les parties imaginaires des racines du polynSme

en zt P(z~, yO) et posons B(y ~ = inf ~i(y0); lorsque yO parcourt R "-~, 1 <~] < ' m

ces nombres r~els B(y ~ restent born6s inf6rieurement; soit B leur borne

inf~rieure; on peut prendre M = 2n s u p ( 0 , - - 2 B ) .

R e marque 2.7. Si P(D) est hyperbolique, parabolique ou bien est

l'op6rateur de Schr6dinger, on peut prendre M = 0.

Choisissons, dans l'6nonc6 du Th. 2., ~:9(xl, y0) telle que

(x) = f ff (x , , yO) exp (2izt (x ~ , yOS) dyO E D qo (R").

Int~grons ensuite les deux membres de l'in~galit6 du Th. 2.3 par rapport

yO et appliquons le th~orame de Parseval. Nous obtenons la g~n~ralisation

annonc~e de la Prop. 2.3:

CorolMire 1. Si P(D) e s t r ~ s o l u b l e e t si M e s t l e n o m b r e

q u i f i g u r e d a n s l ' ~ n o n c ~ du T h 6 o r ~ m e 2.9, p o u r t o u t e

f o n c t i o n r ~ e l l e h(x~), d 6 f i n i e e t l o c a l e m e n t i n t ~ g r a b l e

d a n s R t, v 6 r i f i a n t h(x~)>M p o u r t o u t xt r~e l , e t p o u r t o u t e

f o n c t i o n q o ( x ) ~ D ( R " ) , o n a:


n ]/-h--(-~l) e -n (,1)p1 (D) cp [1~2 ~ 2 " Re (e -~ c*, )p (D) q~, e-m( x, 'P~ (D) Cg)L~ ,

00. H(x~) e s t u n e p r i m i t i v e r ~ e l l e q u e l c o n q u e de h(x~).

L'espace L 2 consid~r~ dans ce corollaire est celui relatif ~ R*;

puisque h(xl) est > 0 et localement int~grable, ]/-h(x,) a un sens et est

localement de cart6 int6grable.

w Probl~me de Cauchy pour ies polyn6mes diff~rentiels r~solubles 1. L'in~galit~ fondamentale.

Nous allons de nouveau consid6rer une variable de temps t et n

variables d'espace xl . . . . . x , ; nous poserons x = ( x t . . . . . x , ) ; x (resp.

y = ( y l , . . . , Y,)) va jouer le r61e que tenait x ~ (resp. yO) dans le w

Ainsi allons-nous consid~rer un polyn6me P ( s , y) ~ n + 1 ind6termin~es

s , y l . . . . . y~ (~ coefficients complexes) de degr~ m ~ l et normal par

rapport ~ s. R~ppelons que P(s , y) est dit r~soluble (par rapport ~ s)

si, pour tout y ~ R ", les parties imaginaires des racines du polyn6me en s,

P ( s , y), sont sup~rieures ~ un nombre r ind~pendant de y.

i 0 Nous poserons D ~ 2 i ~ 0~- et P ( D , D~) repr~sentera le polyn6me

1 6) diff~rentiel obtenu en substituant D ~ s e t 2iJr Oxj ~ yj ( l ~ _ j < = n )

dans P (s, y). La signification de P ( D , y) est claire.

Nous d~sign~rons par DtFy l'espace vectoriel des fonctions q0 ( t , y)

d~finies dans R~XR~ telles que, pour tout y ~ R " , q~(t, y ) ~ D t .

On d~duit du Th~or~me 2.9:

Th~or6me 2.9'. S u p p o s o n s P ( D , Dx) r ~ s o l u b l e . I1 e x i s t e

u n n o m b r e M ~ O t e l q u e , p o u r t o u t e f o n c t i o n p(t) v ~ r i -

f i a n t (C 2) e t p ' ~ M , e t p o u r t o u t e q 0 ( t , y ) ~ D t F y , o n a i t ,

p o u r t o u t y ~ R " :

f p'(t) le-P~*)P, (D y)q~(t, y)12dt

2" Re f e -'~ P (D , y)q~ (t , y) �9 e-PrOP1 (D , y)cp (t , Y) dt.

Rappelons que (C 2) s'Enonce: p(t) est une fonction ind6finiment d6rivable

de t, ~ valeurs r~elles, telle qu'il existe un nombre P0 > 0 tel que p ' (t)>_p0

174

pour tout t r6el.

FRAN{OIS TREVES

D'autre part, P , ( s , y) = 1 0

2in 0s P ( s , y ) ; ou encore:

P , ( D , y) = P(D , y) t - - tP(D , y) .

Z, Utilisation des espaces D k ( p ; E ) et H :,~.

Comme d'habitude, posons, pour k < 0 , D k--~ y * ( - k ) , .

Puisque p'>po>O, il est clair que l'in6galit6 du Th. 2.9' peut &re

prolong& aux fonctions de la forme

z ( t , y ) ~ D t F y . Comme

P ( D , y ) D k = D k P ( D , y ) et

on obtient :

q) (t , y) = D k )~ (t , y) avec k ~ Z et

P~ (D, y) D k = D kP~(D, y ) ,

(2.5) J p ' ( t ) le-PC')Dk[pl(D,y)z( t ,y)]I2dt

2" Re / e-P(O D k [P (D, y) X (t, y)] �9 e-P(o O k [Pl (D, y) g ( t , y)] dt

Soit maintenant une fonction continue f ( y ) > 0 sur R n; soit sER

quelconque. Il est 6vident que l'on peut prendre, dans l'indgalit6 (2.5/,

z ( t , y) = (1 + lyl2) "12 f f ( Y ) 9 ( t , y), avec q~(t, y ) e D t , y . Avec ce choix

de x( t , y), les deux membres de l'in6galit6 (2.5) sont des fonctions int&

grables de y dans R', de sorte que l'on obtient, apr& interversion des

int6grations :

f p ' (t) f (t +[yl2)' f (y) le-P(o O k [Pl (D, y) cp ( t , y)] ]2 dy dt

Rn

2r~ Re / dt f (1 +lyl2) ' f (y) [e-P(t) O k [p (D, y) r ( t , y)]]

R, e-P C*) D k [p: (D, y) q0 ( t , y)] dy.

Introduisons maintenant l'espace $Ex d6fini dans l'Appendice, w 2 : r (x) E SEx

6quivaut ~ dire que la transform~e de Fourier ~(y) de r (x) appartient

Dy. Nous d6signerons par Dt($Ex) l'espace des fonctions u (t ,x) ~St, ,

dont la transform& de Fourier partielle par rapport ~ x : / / ( t , y), appartient

Dt.~. Introduisons enfin l'espace HS,' d6fini dans l'Appendice, w Exemple

A.2. Le Th6or~me 2.9' et l'in6galit6 pr&6dente impliquent:

Th6or~me 2.10. S u p p o s o n s P ( D , D~) r 6 s o l u b l e . II e x i s t e

un n o m b r e M > 0 t e l que, p o u r t o u t e f o n c t i o n P(0 v 6 r i f i a n t

PROBLEMES DE CAUCHY ET PROBLEMES MIXTES 17~

(C 2) e t p '~M, p o u r t o u t k~Z , p o u r t o u t e f o n c t i o n c o n t i n u e

f ( y ) > 0 d a n s R ", p o u r t o u t s r 6 e l , e t p o u r t o u t e f o n c t i o n

u(t ,x)~Dt(SEx) o n a i t :

]l v ' ( D , D.) u ( t , x ) l l~ / : ;p ,k

2 m -~- Re (P (D, Dx) u (t, x), P, (D, D.) u (t , x)).:,,; t,, k .

3, La s i t u a t i o n .

Nous supposerons que ['ordre par rapport ~ x du polyn6me diff6rentiel

P(D, D.) est inf6rieur ou 6gal ~ un entier d > 0. II est clair que P(D, D~) d6finit un op6rateur born6 de H/ ,s dans H/'s-a.

Pour tout z ~ Z, nous poserons H, -- Hf, za ; ainsi, pour tout z ~ Z,

P(D, D.) est un HrH,_l-op6rateur diff6rentiel.

On al

(S',) (et (S'2)) H~ e s t p l o n g 6 c o n t i n f l m e n t e t d e n s e d a n s H:_ , .

(S'2) Q u e l s q u e s o i e n t z"<_z'~z, p o u r t o u t e s u i t e (g.) d e

H~,_,, c o n v e r g e a n t v e r s g~Hz,,-1 d a n s H:,_~ e t t e l l e q u e

{gn,f)iG,_,-->-O p o u r t o u t f E H z , o n d o i t a v o i r g = 0 .

Prouvons (S"2). Notons j l'injection canonique de H~ dans -Hz,-t; j e s t biunivoque et ~ image dense, donc j*, adjointe de j, est aussi biunivoque

et ~ image dense. Appelons q~ l'inverse de j*, inverse d6finie sur j* (H~_,)CHz.

Nous pouvons expliciter r puisqu'on a, pour tous u (x) ~ H~, v (x) ~ H:,_, :

f ^ ^ ( j u , v)H:,_, = (t + [yl2)~'-Oa f (y) u (y) v (y) dy

= ( u , :'v)H~

---- f (1 -k ]Yl2)~a f (y) u (y) j*v(y) dy,

w

d'o~: j'~v(y)----(1-4-]yl2)Cz-~-Oav(y). Appelons ]g la transformation de

Fourier, 1[' la transformation de Fourier r~ciproque; on sait que quelle que

soit la fonction continue h ( y ) > 0 , r est une isom6trie de H n sur L~y

(volt Appendice, w 2).

On a:

~p (i*v (x)) = r ( l+lyl~)~c~-, '+l~ar C/*v (x)).

Ceci montre que q~ peut se prolonger en une isom6trie de H, sur

176 FRANCOIS TREVES

H2(,,_x)-,. Mais alors il existe un espace vectoriel topologique E, dans

lequel H~,,-t est plongd continfiment, et tel que q)se prolonge en une

application lin6aire continue de H, clans E. On peut prendre E--H..,._t

si z " - - l < = 2 ( z ' - - l ) - - z , E=H2(~,_,)_: autrement. Nous savons (voir

Chap. I, w 5, n o 1) que cette circonstance implique (S"2).

Nous sommes maintenant en droit de c0nsidGrer la situation

. . . - - - ~ H.+i - - -~ Hz - - -~ H . _ 1 - - -+

\ ' x \ " a P ( h , D.) \".a P (O, D.) \ " x

. . . - - -~ H~+~ - - ~ H~ ---+ H~_~ ,

qui est une situation e n ~ c h e l l e , car il est &ident que (Hyp 1) est

satisfaite (voir Chap. I, w n o 2). Montrons qu'elle est t r ~ s r 6 g u l i ~ r e .

Les "coefficients" du H~-H2_,-op~rateur diffGrentiel P ( D , D,) sont

des polyn6mes diff6rentiels sur R", d'ordre ~ d ; soit Q (D~) un tel polyn6me

diff&entiel. Notons (~ (D,) son adjoint, au sens usuel:

f 0 (D,) ~ (~). z (~) e, = f ~ (x). () (D,) Z (*) ax, ~ , Z ~ D , .

Bien entendu, Q(Dx) d~finit aussi un op~rateur born6 de H , clans Hz-J

(quel que soit z EZ). Notons a la norme de Q(D,), qui est aussi celle

de Q(Dx), en rant qu'616ment de L(H, ; Hz-1); cette norme ne d~pend pas

de z. On a:

(Q (Ox) v , h)n, = (v , Q (O,) h)n~ pour tous v, h ~ Hz+l.

On en d~duit:

pour ces m6mes v . h .

(Chap. I, w n o 2).

Ceci prouve que la condition (Hyp 2) est satisfaite

4. Enonc6 et solut ion du probl(~me de Cauchy.

Commen~ons par (~noncer le problSme que nous d&irons r&oudre.

C'est un probl~me du type 1.4:

Probl~me. E t a n t d o n n 6 e S ~ I } ' + ( H I , ) , t r o u v e r T ~ I } ' + ( H ~ )

v 6 r i f i a n t : ---).

P ( D t , D , ) T = S .

Se rappeler que P ( D , D,) est un Hf-Hf,-a-op6rateur diffGr6ntiel. Pour


r6soudre le probl~me ci-dessus, nous allons utiliser la situation que nous

venons de construire en m~me temps que le Th. 2.1.0. Nous pouvons

prolonger l'in6galit6 de ce th~or~me de Dt(SE,) ~ Dt(Hf.s+d). Changeons .-). .-2.

de notations : nOtons q~ (t) , ~((t), etc. les 61~ments de Dt(Hf 's+d) et L (D)

le H2-H~-l-op~rateur diff6rentiel P(D, D,), L1(D) le H~-H~_l-op~rateur

diff~rentiel PI(D, Dx). On d~duit du Th. 2.10 le fait suivant:

I1 e x i s t e M > O t e l q u e , p o u r t o u t e f o n c t i o n p(t) v ~ r i -

f i a n t (C 2) e t p ' ~ M , p o u r t o u t k ~ Z e t p o u r t o u t e -+

c? (0 ~ Dt (H~+I), o n a :

+ 2 m -~ (2.6) ]IL,(D) q~ ZH~;p k G ~-Re(L(D)cp,L,(D)Cp)H~:p,k .

Remarquons alors que P1 ( D , D~) est lui-mdme r6soluble, et que cela

est aussi vrai de tous les P r ( D , D x ) ( r = 1, 2 . . . . . m - - l ) , en vertu de la

Prop. 2.1. Posons L(D)= P~(D, Dx). En attribuant 6ventuellement a M

une valeur plus grande, on voit que l 'on a, pour tout r = 0, 1, ..., m - - 1

et pour p (t), k , z, c9 comme pr&~demment:

+ 12 2m-r -~ -> [ [ L r + 1 ( D ) q ) l H z ; p , k ~= ~ R e (Lr(D) cp, Lr+, (D) q~)m;p,k.

De ces in~galit~s on d6duit en particulier:

+ 2ra-r + II L,+, (D)tp IIHz:p,k < ~ ][ Lr (D)cp IIHz:p,k.

Remarquons que Lra ( D ) = m! de sorte qu'on obtient, par r6currence: + m (m-O +

(2.7) ][q~lIH~;p.k <m-Cm-,~ 2 z Ht,(O) q~lIm;p.k.

En choisissant M>_ 2 "+a, et en combinant les in6galit6s ( 2 . 6 ) e t (2.7),

on voit que: --~ .+ +

II �9 + IIL,(D)~l]h~;p,~ <= Re(L (D)q0, L t ( D ) ~ p ) n ~ ; p , k .

Soit d'autre part g E D k ( p ; Hz). On a, quelle que soit q : E D ( H z + I ) : + --~ --~ . + -->.

2 ,, ~/2 [ ( g , L, (D) q~)u~ ; ~.k I --- (I I~11k: , ,~ + I I L, (D) q0 [In,; ~, ~) I lg[In~; , . t , .

Ceci ach~ve de prouver que l'hypoth~se (H 1)z du n~ du w 5, Chap. I,

est satlsfaite; pour l'hypoth~se (H 2), c'est trivial, le rideau P~ 6tant clans

le cas actuel l'ensemble des fonctions p(t) qui v6rifient (C 2) et p'>M. Notons ]R~ l'ensemble des polyn6mes diff6rentiels P(Dt, D,) sur

178 I~RAN~OIS TREVE$

R~XR~ qui sont r6solubles par rapport ~ t et d'ordre <Qd par rapport

x. On peut d6finir, comme nous l'avons fait, P(Dt, D~) comme un

H~-Hz_t-op6rateur diff6rentiel, cela quel que soit z~Z. Nous ferons les

deux hypotheses de r6currence suivantes, pour rn entier ;> 1:

(R 1)," Si l ' o r d r e de P(D,,D,)~Ra, p a r r a p p o r t A t, e s t <=m,

PI(Dt,D~) e s t H z - p r o p r e .

(R 2)," Si l ' o r d r e de P(D~,D,)EIta, p a r r a p p o r t ~ t, e s t <__m,

P(Dt,D,) e s t H ~ - p r o p r e .

Remarquons que (R 1)1 est trivialement v6rifi6e et que (R 1),"+1 est

cons6quence de (R 2),", d'apr~s la Prop. 2.1. Compte tenu de ce que nous

avons vu, g propos des op6rateurs L(D) et LI(D), et compte tenu du

Th. 1.4, (R 1)," implique (R 2),.. Ceci d6montre (R 1),. et (R 2)m pour

tout entier m___ 1.

Ainsi: q u e l q u e s o i t z~Z, l e H z - H ~ - l - o p 6 r a t e u r d i f -

f 6 r e n t i e l L(D) e s t H , - p r o p r e .

Nous pouvons alors traduire le Th6or~me 1.1, pour le cas z = 0

(qui inclut, remarquons-le, t o u s l e s autres, puisqu'on peut modifier la

fonction f (y)) :

Th~or6me 2.11. S u p p o s o n s q u e l e p o l y n 6 m e d i f f 6 r e n t i e l

P(Dt,D,) s u r R~XR ~. s o i t r 6 s o l u b l e p a r r a p p o r t ~ t. A l o r s ,

q u e l l e q u e s o i t la f o n c t i o n c o n t i n u e f ( y ) > 0 d a n s R", l e

f a i r s u i v a n t e s t v r a i : . .+

P o u r t o u t S e D ' + ( H , / ) , i l e x i s t e u n 6 1 4 m e n t u n i q u e T

de D ' . ( H ~ ) t e l q u ' o n a i t , au s e n s d e s d i s t r i b u t i o n s en t

v a l e u r s d a n s //Ix: .-.). - ~

P ( D t , D~) T = S .

D e p l u s : si S e s t d ' o r d r e f i n i , i l en e s t de m S m e de T ;

si S a s o n s u p p o r t d a n s la d e m i - d r o i t e t?>a (a rdel), i l en

e s t de m ~ m e de T.

Rappelons que D'+ (H~ est l'espace des distributions sur la droite,

en la variable t, /i valeurs dans H~. Dans l'dnonc~ precedent, "d'ordre

fini" doit s'entendre au sens des distributions ~ valeurs dans H,/.

Les Th$or~mes 1.2 et 1.3 admettent des traductions analogues.

PKOBLEMES DE CAUCHY" ET PROBLEMES MIXTES t?9

A P P E N D I C E

w 1. L e m m e s t e c h n i q u e s

On consid~re ici deux espaces hilbertiens E , F.

L e m m e A.1. S o i t B ( t ) ~ E ( L ( E , F ) ) . I1 e x i s t e u n e f o n c t i o n

c o n t i n u e g _ ~ ( t ) > O t e l l e q u e , p o u r t o u t k ~ Z , p o u r t o u t e

f o n c t i o n p(t) v 6 r i f i a n t (C 2) e t p'>-g-1, e t p o u r t o u t e ._+ .-+

f ( t ) E D ~ ( p ; E), o n a i t B(t) Dk f ( t ) E D - l ( p ; F ) e t :

II BD~ fIIv:#,- ' ~ Il f [IE;P,k.

Deux remarques simplificatrices: comme D k est une isom6trie de

D k ( p ; E ) sur D ~ il suffit de prouver le lemme pour k = 0 ; --+

il suffit ensuite de prouver l'in6galit6 de l 'dnonc6 pour f ~ D (E) , et de la

prolonger par continuitY.

Soit donc r p ~ D ( E ) ; comme B q o ~ D ( F ) , on a 6videmment -tp

B T ~ D - t ( p ; F) quelle que soit p(t) vdrifiant (C 2). En particulier, 6tant

donn6e une telle p(t), Bop ~ D -1 ; F , ce qui signifie que

exp - D -1 ( B q 0 e ( F ) .

De plus, D -1 (Bq)) a son support dans un intervalle de la forme (c,-1-~)

(c r6el quelconque fini); or, sur un tel intervalle, ],/-~ exp ( - - ~ - ) e s t une

fonction continue bom6e de t. I I e n r6sulte que ] , / 'p;e-P D - t (Bq~) ~ L 2 ( F ) .

Ceci nous autorise ~ 6crire:

P'II e-P D-'(Bop) ll ~ dt = 2 / ( e - p D [ D - ' (Bcp)] , e-P D-t(Bq~))L2 {p)

+ --~ --% -->

+ (e-i' D-' (Bep), c-t' D [D -t (Bqo)])z2(F)} = Re (e-P Btp , e -P 0 -1 (BT))r2w}

= Re e-PD-I(Bco) , e-P(B~p L2W)

De 1~ aussit6t, par l'in6galit6 de Schwarz:

II1/~ e-P D-t(Bw)llL2tF ) <= ~7-p, e-PW L2w, .

C o m m e p(t) v6rifie (C 2), il existe p 0 > 0 tel que p'( t )~po pour tout t.

Choisissons alors la fonction g - t (t) de sorte que, pour tout t r6el,

180 PRAN(~OIS TRF.VE$

1

I1 est clair que g_l(t) remplit ainsi les conditions requises.

Coro l la i re 1. S o i e n t B(t), g_t ( t ) , k e t p(t) c o m m e d a n s l e - +

L e m m e A.1. P o u r t o u t e n t i e r k '<o e t t o u t e f ( t ) E D k ( p ; E ) , o n a B ( t ) O k f ( t ) ~ D k ' ( p ; F) e t :

+ l --~ II BDk f tlv;P,k" <--- sup li fJ]E;P,k

- R [ p ' ( 0 ] - k ' - '

Consequence immediate du Lemme A.1 et de la Prop. 1.2.

Coro l la i re 2. S o i t A ( t ) ~ V - ( L ( E ; F ) ) . P o u r c h a q u e e n t i e r

k'<O, i l e x i s t e u n e f o n c t i o n c o n t i n u e g k , ( t ) > 0 t e l l e q u e ,

p o u r t o u t k E Z , p o u r t o u t e f o n c t i o n p(t) v 6 r i f i a n t (C 2) e t

p'~_gk', e t p o u r t o u t e f ( t ) ~ D k ( p ; E ) , o n a i t A( t )D* f ( t )~Dk(p ;F)

e t :

-> -->

It ADk f IIF;P.k" ~ I[ f II~;#,k+*'+, .

Posons c t = - -k ' - - 1; on peut trouver a + l entiers ( ~ 0 ou < 0 )

d~ (~ = 0, 1, ..., a ) tels que

._>. c~ + __>.

AD T= ,

~_-o . .+ .._).

Prenons T = D k+k'+l f ; il vient :

+ + c~ ._>

D~" (ADk f ) = Dk" (ADuT) = E D~'+~ [d~ A(g-~)T] . f l = 0

On remarque que, pour 0<=[3<=a , k ' + ~ = < - - l . Appliquons alors le

Coroll. 1 avec B = (--k') d~ A(~-~) pour chaque ~ = 0 . . . . . 0t. II existe une

fonction h~ (T) ind~finiment d6rivable de t, ~ valeurs > 1, telle que, pour ..+

toute p ( t ) v~rifiant (C 2) et p ' > - h ~ et toute T ( t ) E D ~

( - -k ' ) d~ A(~-~) (t) T (t) ~ D*'+~ (p ; F ) ;

11 (--k')d~ A(~-~)TllF;#,k'+~ <= I] T[]e:#,o .

Choisissons gl,.(t) de sorte que, pour tout t, gk,(t)~ sup hp(t). Alors,

si p ( t ) v6rifie (C 2) et p'( t)~gk'( t ) pour tout t, f ( t ) E D ~ p ; E ) entraine --r ..+

T = D k'+t D ~ f ~ D ~ (p ; E) (car k' + 1 ~ 0) et, puisque --k" = a + 1 :

PROBLF, MES DE CAUCHY ET PROBLEMES MIXTES 181

+ 1 a [IADk fllF;~.k, < _ _ y [l (--k') d~ A('~-~' T HF ; p,k,§ ~

13=0

<~ lITtlE;*.0 = II fll~;p,~+~'+, �9

Corollaire 3. S o i t H(t) u n e f o n c t i o n i n d 6 f i n i m e n t d 6 r i v -

a b l e de t, ~ v a l e u r s > 0 . I i e x i s t e u n e f o n c t i o n c o n t i n u e

h(t)>O t e l l e que , p o u r t o u t e f o n c t i o n p(t) v 6 r i f i a n t (C 2)

e t v ~ r i f i a n t p ' ~ h , p + H v 6 r i f i e (C 2) e t l ' o n a i r , p o u r t o u t

k E Z e t t o u t f ( t ) ~ D k ( p ; E ) :

< IITI[ ;p+H, �9

Soit B( t )~E(L(E ; E)). D'apr~s le Lemme A.1, il existe une fonction

continue g ~ 0 telle que, si p(t) v6rifie (C 2) et p ' ~ g , alors on aura, .-+

pour toute f (t) ~ D t' (p ; E) (et ceci, quel que soit k ~ Z) : --).

BDk f ED-~(p ;E) , B'Dk-a f ~ D - ' ( p ; E),

e t :

Or :

I1 BDk f lie;t,,-, + 11 B'Dk- ' f Ilfll~,,p,~ �9

D[BD k-' f] --- BDk f + B'Dk-' f .

Par cons6quent :

[] D [BD k-' f ] ll~ ;p , - , = [] e-PBDk-' ?[]L2(e)<= [Iflle;P,k.

Prenons B(t) = e x p H ( t ) . I ( I : id6ntit6 de E) et p ( t ) = q ( t ) q - H ( t ) .

On peut trouver une fonction continue h(t)>O telle que q'>h entralne

que q + H v6rifie (C 2) et q ' + H ' > g . Si donc q(t) v6rifie (C 2) et q' ~ h,

on aura, pour toute f E D k ( q + H ; E ) et donc, afor t ior i (puisque H ~ 0), ..+

pour toute f E D k(p ; E) :

'lf]le ; q.k-' = II e" / IrL2, , <= [ ] fHg;q+n .k �9

c. q. f.d.

Rappelons que si H est un espace hilbertien, ( , )n d6signe aussi bien

le produit hermitien dans H que le prolongement de ce produit h

D ' ( H ) X D ( H ) . Nous utilisons ici la convention: D k = y *(-kl* pour k

entier < 0 . Si u ~ D ( E ) , ~uel que soit r ~ Z , D r u ~ D + ( E ) . Si

A(t) E E ( L ( E ; F ) ) , A( t ) D r u E D +(F) et, pour k E Z , quelconque,

D ~[A(t) D[ u] ~ D+ (F) . Si c p ~ D ( F ) et si c t( t )~De est 6gale ~ I sur le .-),

support de % on a;


(D k [A (t) D r u ] , (V)• = ( (xDk [A (t) D r u ] , q0)L2w).

L e m m e A.2. S o i e n t k , k ' , r E Z e t A ( t ) E E ( L ( E ; F ) ) q u e l -

c o n q u e s . I I e x i s t e u n e f o n c t i o n c o n t i n u e h ( t ) > 0 t e l l e q u e ,

p o u r t o u t e f o n c t i o n p( t ) v ~ r i f i a n t (C 2) e t p ' > h , l e f a i t

s u i v a n t s o i t v r a i : .-+

P o u r c h a q u e q J E I ) ( F ) , i l e x i s t e u n e c o n s t a n t e f i n i e -9. --~

K(q0)>0 t e l l e q u ' o n a i t , p o u r t o u t e u ~ D ( E ) :

[ (Dk [A (t) D" u] , (P)p l <- K (tp) I[ u l[~ ; p,k, .

1 - e r c a s : k ~ 0 .

Notons A ' ( t ) l ' a d j o i n t de A( t ) pour les produits hermitiens canoni-

ques de E et de F. On a A*(t) E E ( L ( F ; E)) .

Si k > o , -9" --+ --),

(D k [A (t) D' u ] , q~)~ -- (--1) k (D' u , A* (t) D k q~)u

qui a un sens puisque A*(t) D k q o E i ) ( E ) . Nous sommes ainsi ramen~s

prouver le rSsultat pour E = F, A ( t ) = idSntit6 de E, k = 0. Consid&ons .-). ..0, - + .-+

donc (D r u , cp)E, u , qo E ]D (E).

Supposons d'abord r > k' et posons s = r - - k'. On a:

(D'u , cr e = (D k" u , D s r = (e-P D k" u , eP D" q~)E = (e-P D t" u , eP D s q,)L2(E) --}

si p( t ) v~rifie (C 2), car alors (Prop. 1.1) e - t ~ D k ' u ~ L 2 ( E ) ; comme s

est =>._0, on a e P D * q ~ D ( E ) . L'in~galit~ de Schwarz donne alors le

r~sultat cherchd.

Supposons maintenant r< k ' . On a, p( t )v~r i f ian t (C 2): --+ - + --). .-~ .-+ - ) .

] (D r u , cp)~ I = [ (e-t' D r u , eP Cp)L~ W) <= ]IUlIE: P,, [[ eP (p ][D(~,

g i n f 1 ~ "* tE R [p'(t)] a'-r I[ull~;P'k' He~ I1~*~)

par application de la Prop. 1.2. O~

2 - ~ m e c a s : k < o .

Supposons d'abord k + r ~ k ' - - 1. On peut ~crire : - + - ~ - +

(D a [A (t) D' u] qo) r (e-# D a [A (t) D r u~ , = , e~ q))~

p ( t ) vdrifiant, pour commencer, (C 2).

D'apr~s le Coroll. 2 du Lemme A.1, il existe une fonction continue

gk (t) > 0 telle que s i p (t) v6rifie (C 2) et p" > gk, A (t) Dru ~ D ~ (p ; F) et :

10. Ainsi, si k _~> 0, on peut prendre pour h (t) n'importe quelle constante ~_> 0.


[l e-t' Dk [ A (t) Dr u] l]L2(F) = [lAD" u ]l~; p.k =< II u II~;p,,+k+,

La Prop. 1.2 et l'in6galit~ de Schwarz donnent alors le r~sultat, en choisis-

sam h(t)=gk(t) , car si p(t) v6rifie (C 2) et P ' ~ g k , on a: q ..+ -+ --1.

(e-P D t [A (t) D' , eP q3)F _--_ (e-10 D k [A (t) D' u] , : 'F)L 2 (/~1 �9

Supposons, pour terminer, k + r ~ k'. Quel que soit l'entier s > 0 ,

o n a :

AD r u = (--1) s-" D" [A(s-') D r-S u]. n

n..~_.o

On d~duit de cette formule, en y choisissant s = r + k - - k ' + 1, que

( D k [ A D r u ] , cp)F est une somme finie de termes de la forme

(Dt'[B,,Dk'-l ' - tu], D"op)F oil B ~ D ( L ( E ; F ) ) et oil n e s t un entier > 0 .

Comme ( k ' - - k - - 1 ) + k - ~ k ' - - 1 , nous nous retrouvons dans le cas

pr~c6dent (k + r < k ' - - 1).

w 2. Espaces 1-1I

Nous d~sign~rons par SE (R") (ou plus simplement par SE) l'espace

des fonctions ind~finiment d6rivables q3 (x) dans R", qui poss~dent les deux

propri6t~s suivantes :

(i) q3 (x), ainsi que chacune de ses d6riv6es, d6croit ~ l'infini plus vite

que toute puissance de Ix[ -1 (i.e. est ~ d~croissance rapide /l l'infini);

(ii) cO (x) peut ~tre prolong6e ~ C" en une fonction analytique enti~re de

type exponentiel.

On peut aussi d6finir SE comme 6tant l'espace des fonctions c p ( x ) e L 2

dont la transform6e de Fourier ~ (y ) appartient h Dy.

D~finition A.1. S o i t u n e f o n c t i o n f ( y ) c o n t i n u e d a n s R",

v a l e u r s >0 . N o u s d ~ s i g n e r o n s p a r HZ(R n) (ous implementH/)

l e c o m p l ~ t ~ d e SE(R n) p o u r la s t r u c t u r e p r 6 - h i l b e r t i e n n e

d 6 f i n i e p a r le p r o d u i t h e r m i t i e n

q~ (y) ~ (y) f (y) dy , q~ , ~p ~ SE (R') .

HI est un espace hilbertien; le produit hermitien y sera not6 ( , ) / ,

la norme II II:. Soient f ( y ) , h(y) deux fonctions continues > 0 dans Rn; convenons

de dire que H / est plong~ continfiment dans H h si l'identit6 de SE se

184 FRAN(~OIS TRF.VES

prolonge en une application lin~aire continue et biunivoque de HI dans H h.

Le r~sultat suivant est 6vident:

P ropos i t ion A. I . P o u r q u e H f s o i t p l o n g ~ c o n t i n ~ m e n t

d a n s H h, i l f a u t e t i l s u f f i t q u ' i l e x i s t e u n e c o n s t a n t e

f i n i e M > 0 t e l l e q u e h ( y ) ~ M f ( y ) p o u r t o u t y ~ R ' k

Notons L 2 l'espace des fonctions de carr6 int6grable sur R" pour fdy y

la mesure f (y) dy. La transformation de Fourier q0 (x) ->- ~ (y) constitue

une isom&rie de SE~, muni de la norme de H/ , sur Dy , muni de la

norme de L 2 Elle se prolonge donc en une isom~trie de H f sur L 2 ldy " /dy

que nous appellerons encore transformation de Fourier.

1 Si nous posons g ( y ) - f ( y ) , il est clair que le crochet

<u, vS: = / ~ (y) I:/(Y) v(y) V-g (y) dy, u ~ H/ , v ~ Hg,

d~finit un anti-isomorphisme (qui sera dit canonique) de Hg sur le dual

fort de Hf; cet anti-isomorphisme est une anti-isom~trie sur (pour les

normes hilbertiennes). Dor6navant, nous identifierons H g au dual de Hr.

Nous dirons avec Schwartz ([4], p. 7) qu'un sous-espace vectoriel K

de D' , muni d 'une certaine topologie, est un e s p a c e d e d i s t r i b u t i o n s

si la topologie de K est plus fine que celle induite sur K par D ' ; que c'est

un e s p a c e n o r m a l de d i s t r i b u t i o n s s'il contient D comme sous-

espace dense, et si la topologie de D est plus fine que celle induite sur

D par K.

Dans la situation qui nous int~resse, nous dirons que /-/1 est un espace

de distributions si l'injection canonique de SE dans D ' se prolonge en une

application lin~aire continue et biunivoque de H / dans D' . Dans ce cas,

nous identifierons I-I/ ~. son image par cette application dans D' .

P ropos i t i on A.2. S u p p o s o n s q u ' i l e x i s t e u n p o l y n 6 m e

P(y) s u r R n t e l q u ' o n a i t , p o u r t o u t y~R'~:

< I P ( y ) I . f (Y) =

A l o r s H / e s t u n e s p a c e de d i s t r i b u t i o n s t e m p ~ r S e s .

La conclusion de l '~nonc6 signifie ceci: 1 ' i n j e c t i o n c a n o n i q u e

d e SE d a n s S' s e p r o l o n ~ e e n u n e a p p l i c a t i o n l i n ~ a i r e


c o n t i n u e e t b i u n i v o q u e de Hf d a n s S'. Dans ce cas, H i est un

espace de distributions contenu dans S'.

Nous poserons g (y ) = [ f (y ) ] - ' et supposerons donc g (y ) s P ( y ) [

pour tout y ~ R ~. ]~videmment, ~p ~ fh - (~ cp (x) dx d6finit une forme lin~aire

continue sur S, quelle que soit a ( x ) ~ SE. On a:

I f h(x)q)(x)dx [ = I f h(y)~(y)dy 1 ~ rrhH (/ I (Y)l g(y)dy) " n .

Si q~(x) reste bom6e dans S, , ~ ( y ) reste bom6e dans Sy e t a fortiori dans

L2gay. Si donc h(x)--~ 0 dans H/, ceci est vrai aussi dans S', en vertu de

l'in6galit6 pr&6dente. Ceci signifie clue l'injection canonique de SE dans S'

se prolonge en une application lin6aire continue J de /-/I dans S'. Reste

prouver clue J est biunivoque. Or sa transpos6e ~ : S ~ H g coincide

avec l'identit6 sur SE, lequel est dense dans He, d'ofi le r6sultat.

D6finition A.2. N o u s d i r o n s q u e

e s t u n e f o n c t i o n - p o i d s s ' i l e x i s t e

q u ' o n a i t , p o u r t o u t y~R":

f ( y ) ( c o n t i n u e e t > 0 )

u n p o l y n 6 m e P(y) t e l

1 f ( Y ) ~ l P ( y ) I, f ( y ) <= ] P ( y ) ] .

Proposi t ion A.3. Si fop) e s t u n e f o n c t i o n - p o i d s , H i e s t

u n e s p a c e n o r m a l d e d i s t r i b u t i o n s (temp~r~es).

Posons encore g(y)=[f(y)]- l . Si f ( y ) est une fonction-poids, HJ

et Hg sont tous deux des espaces de distributions. L'injection canoniclue de

Hg dans D ' se transpose en une application lin~aire continue de D dans H[ ,

laquelle est biunivoclue, car Hg, contenant SE, est dense dans ]D'. On volt

aussit6t que ladite application coincide avec l'injection canonique de D

dans D'. Enfin, D est dense dans H I car la transposSe de l'injection de ]D

dans H f est l'injection de Hg dans D', donc est biunivoque.

Parmi les espaces normaux de distributions, du type / / I , on distingue

ceux de t y p e l o c a l : /-/I est de type local si pour toute a E D et tout

u~HS, on a e~u~H/. Pour une ~tude de ces espaces, voir Malgrange [1]

(pp. 284-290) .

E x e m p l e A.1. Les plus importants des espaces / / I sont ceux qui

correspondent aux fonctions f ( y ) = (1 + ly12) ~, s r~el quelconque. I1 est

coutume de noter H ~ l'espace en question. Ii est manifeste clue les espaces


H ' sont des espaces normaux de distributions temp~r~es; on peut montrer

qu'ils sont de type local (voir Malgrange [1], loc. cit.).O~)

E x e m p l e A.2. On s'int~resse aux espaces que nous notons Hi '~"

s est un r~el quelconque, f (y) une fonction continue ~ 0 ; H/'~ est l 'espace

H h avec h ( y ) = ( t + ] y l 2 ) ~ f ( y ) . Bien entendu, les espaces H r ne sont

pas en g~n~ral des espaces de distributions.

Ex e m p 1 e A.3. I1 est parfois int6ressant de voir quelle interpr&ation

"concrete" on peut donner aux ~l~ments d 'un espace H: qui n 'est pas un

espace de distributions, comme c'est le cas, par exemple, si

f (y) - - exp (--2~r [y[2).

Naturellement,

g (y) = [ f (y ) ] - ' = exp (2~ lyl 2)

n 'est pas temp6r~e.

Notons H l 'espace des fonctions enti~res dans C ~, muni de la topologie

de la convergence uniforme sur les compacts de C". Notons DL2 l'espace

des fonctions ind6finiment d6rivables dans R ~, appartenant ~ L 2 ainsi que

chacune de leurs d6riv6es, muni de la topologie la moins fine qui rende

continus tous les op6rateurs diff6rentiels ~ coefficients constants op6rant de

DL2 dans L 2. Un th6or~me de Schwartz ([~L], T. II) caract6rise les 616merits

du dual D'L2 de DL2: ce sont les sommes finies de d6riv6es (au sens des

distributions) de fonctions de L 2.

I1 n 'est pas difficille de montrer que le dual Hg de H: est un espace

de fonctions plong6 continfiment ~ la fois dans H e t dans DL2 et d e n s e

dans ce dernier puisque SECHg. Ceci est d'ailleurs vrai aussi pour H V'i.

D 'un autre c6t6, on peut voir que les translations complexes

q0 (x) H q~ ( x - - z ) , z ~ C", d~finissent des applications lin6aires continues de

ttg dans HVf, ~t image dense. Elles se transposent donc en applications

lin6aires continues et biunivoques de H v'-? dans H / . Comme D'L2 est plong6

continfiment darts H 1/'-? (et a fortiori dans HY), les translations complexes

transpos6es d6finissent des applications lin6aires continues et biunivoques de

D'L2 dans Hi. Ceci fournit un certain genre d'616ments de H / : des sortes

de distributions port6es par des sous-vari6t6s de C" paraU~les ~ R ". On peut

11. L'id6e d'utiliser ces espaces dans l'&ude de certains probl~mes d'6quatioas aux d6fiv6es partielles est due ~ P. Lax (voir [1]).

PROBLP.MES DE C A U C H Y ET PROBLEMES MIXTES 187

int~grer dans C", identifi~ pour ce propos ~ R 2", par rapport ~ des densit6s

convenabIes, les op6rateurs de translation; et appliquer aux 616ments de

DL2 les op6rateurs que l 'on obtient ainsi: cela fournit de nouveaux 616ments

de Hr.

B I B L 1 O G R A P H I E

P. D. L a x I t ] . O n Cauchy prob lem for hyperbol ic equat ions . . . Comm. Pure AppL Math., 1955, p. 615.

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D e p a r t m e n t o f Mathemat ics

Univers i ty o f California

Berkeley, California

(Re~u le 30.X.1939)

ISote a jout~e fi 1 '6preuve

Alors que l ' impression du pr6sent article 6tait en cours, Monsieur

J. L. L i o n s m'a appris que les polyn6mes diff6rentiels, que j'appelle

r 6 s o 1 u b 1 e s, ne sont pas autre chose que les syst~mes diff6rentiels 6tudi6s

par Gelfand et Silov sous le nora de c o r r e c t s , dont ces auteurs ont

d6couvert d'int6ressantes propri~t6s (diff6rentes, d'ailleurs, de celles con-

sid6r6es ici). C'est pour des raisons strictement typographiques que nous

conservons, dans ce travail, la d6nomination r 6 s o 1 u b I e.

Documents

Problèmes de Cauchy et problèmes mixtes en théorie des distributions