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2018 1.iSi
Figure 1
REPUBLIQUE TUNISIENNE Ministère de l'Enseignement Supérieur et de la
Recherche Scientifique
Concours Nationaux d'Entrée aux Cycles de Formation d'Ingénieurs
Session 2018
Concours Mathématiques et Physique Epreuve de Physique
Date : Lundi 04 Juin 2018 Heure : 8H
Dur te: 4 11 Nombre de pages : 8
Barème : Problème 1: 7 pt , Problème 2: 13 pts _ L'usage d'une calculatrice non programmable est autorisé. L'épreuve comporte deux problèmes indépendants, le candidat peut les résoudre dans l'ordre qui lui convient, en respectant néanmoins la numérotation des questions. th, candidat peut toujours se servir d'un résultat fourni par l'énoncé pour continuer sa composition.
Données
sinh(x)—e—C sinc(x)—
sinx sin a — sin b =- 2 sin (f -----13) r) cos 2 x 2 2
e --- 1,6x10-9C 1 e„,--- xleFterl leV= 1,6 810-16J ; 1 MeV= 106 eV
" 364-
h=-2
h». =1,05x10-34.bs C= 3X108MS-1
i2 = — l
Problème 1 : Optique ondulatoire Le rôle d'un dispositif interférentiel est de dédoubler une source primaire pour en donner dans la plupart des cas deux sources secondaires S1 et S2 pouvant aboutir à des interférences constructives ou destructives.
I- Etude des trous d'Young Expliquer la raison pour laquelle il faut partir d'une seule source primaire S et non de deux sources indépendantes Si et S2
On s'intéressera dans ce qui suit au dispositif d'Young. S'agit-il d'un dispositif à division de front d'ondes ou à division d'amplitudes ? Justifier. Comme le montre la figure 1 qui se trouve dans le plan x0z, on dispose d'une source primaire S, supposée monochromatique et ponctuelle de longueur d'onde X et de deux trous 51 et 52 symétriques par rapport à 0' tel que SIS2 = a ; l'axe Oy étant perpendiculaire
au plan de la figure 1.
Concours Mathématiques et Physique Session 2018 Epreuve de Physique Page 1/8
astple i›.!...à.,;63* - t £1 -ântsidaael
On observe le phénomène d'interférences en un point M repéré par son abscisse x sur un écran situé dans le plan x0y à une distance D=00'. Dans tout le problème, on se
place dans le cas où a e..< D et xlescD.
Les deux vibrations scalaires issues de S1 et S2 s'écrivent en notation complexe :
So et S2 =-• So enn2)
a-Calculer la vibration résultante S au point M en fonction de S0 , w, m2 et g', où
m= 9 —m est le déphasage entre les deux ondes.
b-En déduire l'intensité I =S .S. en fonction de m et 4.s:. c-Exprimer la différence de marche 5 au point M entre les deux ondes en fonction
de a, x et D. En déduire l'expression de ç.
d-Quelle est la nature des franges d'interférences observées sur l'écran et indiquer leur direction ? Justifier votre réponse. Déterminer les positions des franges brillantes et des franges obscures. Exprimer l'interfrange i. Calculer i pour a -=-0,5ann, D=Im et Â.=0,51.trn .
g-Déterminer la position de la frange centrale et préciser si elle est brillante où
obscure. On déplace la source S parallèlement à Oy d'une faible distance par rapport à D. Que
devient la figure d'interférences ? Commenter. On remplace la source S par une fente fine parallèle à Oy, décrire la nouvelle figure
d'interférences. On déplace maintenant la source S parallèlement à Ox jusqu'au point S' repéré par
son abscisse x' tel que ixl«d avec d =50' (figure 1).
a-Calculer la nouvelle différence de marche 5' entre les deux ondes au point M en fonction de x, x', a, D et d. Déterminer la nouvelle position x0 de la frange
centrale. b-Exprimer la nouvelle interfrange i'. Expliquer ce qui se passe au niveau de la
figure d'interférences.
II- Influence de la largeur de la fente source : Cohérence spatiale On remplace maintenant la source S par une fente source fine F parallèle à Oy de
largeur , et on remplace également les trous d'Young 51 et 52 par deux fentes fines
F1 et F2 parallèles entre elles et parallèles à Oy. x' La fente F est située dans le plan médiateur
de F1 et F2. La largeur / peut varier moyennant une vis micrométrique.
L'intensité élémentaire dl en un point M
de l'écran émise par une fente élémentaire tr'l
de largeur dx' repérée par son abscisse x'
(figure 2) s'écrit : dx'
dI =24 (1+ cose)—
a- Justifier l'expression de dl. Exprimer e en fonction de x et x'.
Figure 2
Concours Mathématiques et Physique Session 2018 Epreuve de Physique Page 2/8
h_ En déduire l'intensité totale I au point M. Montrer qu'elle peut se mettre forme :
1=24 [1+V(t) .cos9]
Exprimer V(/). Quel nom donne-t-on à cette fonction ? Quelle est la valeur de V(0 quand —>0 ? Conclure. Donner les valeurs de t qui annulent V(t) et tracer son allure.
En déduire la longueur de cohérence spatiale L, en fonction de X, d et a. Calculer
sa valeur pour A. =500nm, d =50 cm et a = 0,5 mm .
Décrire qualitativement la figure d'interférences pour I =L,.
III- Influence de la largeur spectrale de la source : Cohérence temporelle.
On agit de nouveau sur le dispositif de fentes d'Young pour retrouver la fente fine de la partie (I) ; F étant toujours dans le plan médiateur de F1 et F2
8- On éclaire F à l'aide d'une source polychromatique de profil spectral rectangulaire 4(v) et de largeur A v comme l'indique la figure 3, où y est la fréquence de l'onde
dans l'intervalle [v1 , v2 J. On pose A v = v2 —v1 et vo = 1/' + v2 . Soit dv une largeur 2
spectrale élémentaire dans cet intervalle. L'intensité élémentaire au point M créée par
dv s'écrit sous la forme : dl =24 (1-> cos q>)—dv
A v En déduire que l'intensité totale au point M peut s'écrire sous la forme :
1=24 [I +V(0) . cos qd
Exprimer V(P'), où fi' est à écrire en fonction de A v Que devient l'expression de I quand A v —>0 ?
Commenter. Déterminer les valeurs de fi' qui annulent O
VO V(g) et tracer son allure.
d-En déduire la longueur de cohérence temporelle Figure 3 L, en fonction de c et Av. . Calculer L, pour la lumière blanche d'intervalle spectral 0,4— 0,75pm , et pour
un laser de largeur spectrale 100 MHz. Commenter. On dispose maintenant d'une fente de largeur et d'une raie de largeur Av. . Quelles sont les conditions sur ces grandeurs pour observer des franges d'interférences ?
Iv dv
ztv
•
Concours Mathématiques et Physique Session 2018 Epreuve de Physique Page 3/8
Problème 2 : Evolution d'une particule quantique dans un potentiel
I- Partie Préliminaire On s'intéresse dans ce problème à une particule quantique de masse m astreinte à se déplacer suivant l'axe &de vecteur unitaire zi-„ . A cette particule on associe une fonction d'onde 111(x,t) qui décrit son état à l'instant t. Lorsque la particule possède une énergie potentielle V(x), la fonction d'onde W(x,t) est solution de l'équation de Schrtldinger :
h2 32T(xi + v(x)W(x, - ih "(tx't) 2m ax2 a
Casits.0 s ,!-• • il %Lisait
31.11-.6."? '"%-tessée-en
1- On pose p(x) =1T(x,t)12 . Que représente cette grandeur ? Pourquoi doit-on avoir
iy(x,t)12 d; =1? En déduire la dimension de 1111(x, 01.
2- Dans tout le problème on cherchera des fonctions d'ondes relatives à des états stationnaires d'énergie E définies par:
(x, t) = ço(x) e h
Pourquoi un tel état est appelé "état stationnaire" ? Déterminer l'équation de Schredinger indépendante du temps vérifiée par v(x).
En considérant le cas où V(x)= J';, avec Vo est une constante réelle , trouver les
solutions possibles 9(x) en comparant E à Vo .
II- Particule Libre
Considérons une particule libre de masse m, d'impulsion p évoluant suivant Ox
P2
3- Montrer que son énergie s'écrit : E=—. 2m
e, Montrer que la fonction d'onde W(x,t) de la particule libre s'écrit sous la forme :
111(x,t)-- A C*6'14') +B
A et B sont deux constantes complexes ; ci, et k deux constantes positives à exprimer en fonction de E, h et in.
Interpréter la forme générale de Illx,t) . Ecrire la relation de dispersion exprimant a,
en fonction de k. En déduire la relation entre la longueur d'onde  associée à cette particule et son impulsion p . Commenter.
Sachant qu'on peut écrire les constantes complexes A et B sous la forme suivante : Ar- d et B = ‘F2eel avec p1 , p 2 , 01 et 02 sont des constantes réelles. Montrer
que:
p(x). p1 + p2 + 2,17,17o; cos (2kx +611 -02).
Tracer l'allure de p(x) et interpréter. Pourquoi la solution ‘15(x,t) trouvée dans la question (4) ne décrit pas la réalité ? Que
peut-on proposer ?
Concours Mathématiques et Physique Session 2018 Epreuve de Physique Page 4/8
9- En réalité l'état quantique de la particule libre est décrit par un paquet d'ondes défini par:
T(x, — 1 r k ) avec g(k) =
et Ak =k2 --Ici, déterminer W(x,0).
e (1)'-b)dk k < k < k2
ailleurs
pour Ik711:1
0
firr g (
k +k2 On ko pose =
2
En déduire la densité de probabilité p(x) (x , 0)12 . Déterminer les valeurs qui
annulent p(x) et tracer ensuite la courbe P±x2 où pp= p(x = 0). Po
e- Montrer que 11(x, 0) représente bien l'état d'une particule libre à l'instant t = 0.
On donne : fi—sin u 2du.
u 2
d- On pose Ax =x1 où xi et sont les premières valeurs de x qui annulent
p(x) de part et d'autre de l'origine des abscisses. Calculer le produit Ax • Ak . En déduire l'expression de Ar • Ap. Quel nom donne-t-on à cette relation ?
Commenter. 10- En utilisant la relation de dispersion, déterminer la vitesse de groupe vs et la vitesse
de phase vQ,. Quelle est la relation entre vs et l'impulsion p ? Conclure.
HI- Effet tunnel
La particule d'énergie E venant de la région I (x< 0) évolue dans un potentiel V(x) défini
par (figure 4) : si 0<x <a
0 ailleurs
V À V(x)
On suppose que 0 < E < Vo et on
cherche les états stationnaires de cette
particule dans les trois régions 11
(région I: x <0 , région II :0<x<a et région fi: x >a).
Figure 4
2mE On pose k = et q
—\i2m(V°—E) . Trouver les solutions ça(x) dans chaque
région. On introduira les constantes d'intégration 4, B,, Au, ; et Au/
correspondantes respectivement aux régions I, H et III.
En appliquant les conditions aux limites aux interfaces x= 0 et x = a, écrire un système de qtiatre équations dont les inconnus sont A,, B, , All , 13 et Am . Quelle
condition supplémentaire permet d'établir une cinquième équation ?
vo
0
a
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13-On définit les coefficients R= 4t et T ==j,
j -, où „ j, et j, sont les vecteurs joli
densité de courant de probabilité liés respectivement à l'onde incidente, réfléchie dans la région (I) et transmise dans la région III.
On rappelle que le vecteur densité de courant de probabilité d'une onde plane de vecteur d'onde fi s'écrit :
= itp(x,t)i _
Exprimer R et T en fonction des constantes d'intégration. Que représentent ces coefficients? Pourquoi doit-on avoir R+T =-1? La résolution du système d'équations précédent donne :
T= 1+ ° sinh2(qa)
4E(Vo -E) Calculer T dans le cas d'une barrière de potentiel atomique de hauteur vo = 2,00eV et de largeur a= 0,1nm pour les particules suivantes :
Un électron d'énergie E =1,00 eV et de masse m=9,11 10-31 Kg Un proton d'énergie E =1,00 eV de masse m 1) =2000 me.
Commenter.
Une barrière est dite épaisse si a» S =1 .
E(V -E) Montrer que dans ce cas on a : T To e-2e avec 7= 16 Vo-
Tracer l'allure de 1(E) et discuter les cas limites E= 0 et E =Vo Calculer la valeur moyenne de T 0 définie par:
(To ) = -1-vo jov° To (E)dE
e- En supposant que pour E *0 et E#170 , 1n7 = (T 0) , montrer que In T = -2 qa
1V- Radioactivité a
L'exemple le plus célèbre de l'effet tunnel est celui de l'émission des particules a (ite) de masse ma = 6,64 x10' kg par des noyaux lourds radioactifs dont l'interprétation a été
proposée par le physicien russe Georges Gamow. Ces particules sont émises avec une énergie 4 E 9 MeV . A l'intérieur du noyau de rayon ro la particule a est soumise à l'interaction nucléaire forte
de courte portée modélisée par un puits de potentiel de profondeur V, > 0 (figure 5).
1
Concours Mathématiques et Physique
Session 2018 Epreuve de Physique Page 6/8
potentiel coulomblen
E > 0
vo
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Une fois que la particule a quitté le noyau (r> ro), son énergie potentielle se réduit
uniquement à son énergie potentielle coulombienne : V(r)= où K= 2(Z —2)e2 . Z 47reo r
est le numéro atomique de l'atome radioactif.
Dans la suite on se place dans le cas unidimensionnel suivant La particule a est
représentée par la fonction d'onde W(r,t) qui
vérifie l'équation de Schrtidinger :
82 84P(r,t) V(r)w(r,t)— ih
8W(r,t)
2m ôr2 16- r cas: La particule est piégée dans le puits de
potentiel et possède une énergie E< 0 On se propose de déterminer les niveaux d'énergie et les états liés de cette particule.
On suppose que ce puits est tel que :
potentiel nucléaire
Figure 5
V(r)=i'0 si 0<r <ro
-Foo ailleurs
Sachant que la fonction d'onde de la particule hors du puits est nulle, montrer que la solution de l'équation de Schrtidinger indépendante du temps paur 0< r c,o est:
ço(r)= Dsin(kr) , où D est une constante à exprimer. Exprimer k en fonction de
E et Vo .
Montrer que km 22-7r
, où n est un entier positif. En déduire l'expression de ro
l'énergie E„ correspondante. Commenter.
17- 2s" cas : La particule a possède maintenant une énergie E> 0, Justifier qu'elle a la possibilité de franchir la barrière de potentiel située entre A et B (Figure 5). Pour l'uranium'o:U de rayon ro =3,50x10-157n, l'énergie E des particules émises
est de 4,00MeV. Calculer en MeV la hauteur V de la barrière.
e- Déterminer le rayon /i correspondant au point B.
18- Etant donné que la barrière de potentiel n'a pas la forme simple que celle étudiée dans la section III, on peut, pour ro < r < r, ,
approcher la fonction V (r) par une
succession de barrières rectangulaires de hauteur V (r) et de largeur dr suffisamment
épaisses pour que l'approximation de la question 15-c soit valable (figure 6).
Figure 6
Montrer que: ln (T(r +dr))= In (T(r))-2qdr
2 En déduire la relation suivante : In T = qr 2ma E] tir
h 4neor
I On admet que: f
r9
r (d. —1)dr . r
r I ?-r--2fl. 2 r i
, en déduire que:
In T = a b--r- (Loi de Gamow).
VE
Exprimer a et b en fonction des données du problème. 19- Typiquement, pour le noyau d'uranium "9:U , on trouve T = 2x1 T39 . Par ailleurs, la
particule a effectue des allers-retours (oscillations) dans le puits de potentiel nucléaire de largeur ro à une vitesse moyenne v
En négligeant l'énergie potentielle de la particule devant son énergie cinétique,
montrer que: y = 1 — J. Calculer sa valeur. ma
Montrer que la durée moyenne entre deux rebonds successifs de la particule sur la
barrière s'écrit : ta, — 2m
. En déduire le nombre n de rebonds par unité de
temps. Calculer sa valeur numérique. Montrer que la probabilité par unité de temps d'émission d'une particule a est: fi = n•T avec /3 est la constante radioactive de l'élément radioactif.
20- Soit N(t) le nombre de noyaux radioactifs à l'instant t, et No ce nombre à t =0 O.
Justifier que: dt — =—fiN(t).
Calculer la valeur de /3 pour l'uranium U. Comparer cette valeur à celle
mesurée /39,p = 5 xlrs. Commenter.
c- Le temps de demi-vie 4/2 (ou période radioactive) de l'élément radioactif est
défini par: N(ts).- . Exprimer 4/2 en fonction de fi. 2 2
t, b En déduire en utilisant la loi de Gamow que: ln(=]= 'n(ln 2)— a +—,-- .
t,„ a
Commenter ce résultat.
(fin de tepteuve
Concours Mathématiques et Physique Session 2018 Epreuve de Physique Page 8/8
Corrigé Mis Physique
Problème 1 (35 pts)
I- Etude des trous d'Young Deux sources indépendantes sont incohérentes car la différence de phase entre les deux ondes dépend
du temps et par conséquent on ne peut pas obtenir un phénomène d'interférences 1
C'est un dispositif à division de front d'onde car il sépare spatialement le faisceau provenant de la source principale en deux faisceaux.
1
La vibration résultante 5-=.5.21 +.52' -> S = So eea-"e2) [1+ e---u%--4‘) ]. So l'el ) [1+e] 1
b-L'intensité au point M est /= S.S. = S: [1+ Cfre][1+ e =210 [1+ coal)] 1
c- La différence de marche g = (S2M)-(SiM)=—ax donc 21r8 2ifrox 1 9,-- -
-i1=Lês—frin-geTs-irin't -erfère-E6eriont des seirm-ent-i-de dfolte-ialérei-illiiCe-OSTSTriTsWilWin-a-cru-e-di- X .
-
3- 1 Franges brillantes : / = Im“, =-- 4/0 -> ça=2Tut avec n
I = 40 = O-> ça=(2m+1)n- avec m EZ d'où :x„, =(2m
EZ d'où
+1)2D
.x. =—n2D Franges obscures : 1 a
2a ÂD 0.510-3 .103 .1.D i 1 L'interfrange z= x 1 -x=--.AN: = a
= 03
=Imm a
La frange centrale est caractérisée par 8 = 0->x =0. C'est une frange brillante. 1 La figure reste inchangée car la différence de marche est inchangée. 1 La fente fine peut être assimilée à une infinité de sources ponctuelles dont chacune va donner la
figure d'interférences par conséquent les intensités vont s'ajouter. Il en résulte alors une augmentation de la luminosité des franges brillantes.
même 1
a- ax' 5,. (si s2m)—(sisim)=--ra -F—. La frange centrale est tel que 8 = 0 --> xo =. _De D d d
2
b- Franges brillantes : 8 = n2=---P-+-- d'où
;44- ; =-2D
.
ax ' naD x' D l'interfrange
la source S ne modifie pas la valeur de l'interfrange mais
Le déplacement de la source S suivant la direction des dans le sens opposé.
1
1
r= Le déplacement de a
seulement la position de la frange centrale. x déplace en bloc la figure d'interférence
II- Influence de la largeur de la fente source : Cohérence spatiale a-la fente de largeur C contribue par une
dx' va contribuer par intensité élémentaire
de di
intensité lumineuse
d/0 =
avec 9.,.._____22rer =_27r 2
/0 donc dx'
la fente élément de largeur
En utiliunt (3-b et Sa):
D'
1
1
/0 —c
.
(_ax +ai). À. D
=2d4[1+ cos ç] =2/0 [1+ cos — 9]e
l'intensité totale I au point
c 2
M: 1= 5 24 c
-i
, D 2d x e „,
t— —MI= go+
2ff 2
irae
[1 ax ax' D d
uavi
dx'
2
1
e
sin(-11
)
7 -
, 24r. .a.d . ,bÀD2d
ra , x C „ . ,2na / = —LC t------+—»-
e 2ff a .1. [1 ;rat
cos( j 2D
ad
1
z V(.0=sin I = 24[1+ v(e)cos(2/ra--)i, rae c(—) . V(e) est le facteur visibilité.
Pour L-+0 anal --> 24[1+ cos(2rax--)] on retrouve l'intensité d'une fente très fine. 1
el.D V(e)=0 si
„ irae, =Itir t_ . . ,
4.4*1-4ist,S! ____—, -4,ez),
lises
,_ —
.
I
1
sink—t=ll—>— Act Ad
—> ek -Ltd avec k e Ikr
— MW
a Û le.)-t--Q4
La longueur de cohérence spatiak est = e0 =—,1 2
A.N. : A, = 0.S mm 1
Cl—
v(e =4)=0 -> I =24 Ainsi on obtient un éclairement uniforme de l'écran. Brouillage des franges d'interférences.
1
fil- Influence de la largeur spectrale d'une raie : Cohérence temporelle
Fr
2z5v dv ire 210U+ sine(
Sv °B-->V091=sinc(Ir5—)
Y Av 2g8v O )] ) cos (
2 a- i= Tee 24 [1+ COSE.—B— =
vi c Av
I = 24[1+V (ft) cos(22r
c c Av 8 Av et 131= ff
c c c z Av
h- Si Av-+0 V05")=sine(e8 on obtient : / = 24[1+ )—>1,
8 v°)] cos (
2% 0,5
0 c l'expression de l'inte:nsité pour tme raie
, onretrouve
monochromatique
V(/3 )=0 -> ft' =ng , n elkr 12
02
0 0:6
VOL) -
_ _ _
_ _. — r —
- ... ,
I.
.0111.111,
1.° illiallr
La première valeur qui am& V08) est /3(= ft —) = -L . 1 L, Av
Pour la lumière blanche on a Av-v i
AN : Pour la lumière blanche Av =3,75
c 3108 Lt= =-- 3m Av augmente .Plus
c y - 2 Ai
1014 Hz et
plus la
c'est celle
c(.1- À1.) _ 2
le laser
14 diminue.
1
1
/1.2 A.12
L, = 8 =S-=-0,8,zenz . Pour Av
longueur de cohérence temporelle
qui correspond aux raies les
avec la lumière blanche alors
Av 108 La longueur de cohérence la plus grande est monochromatiques tel que les lasers. Il est difficile d'observer le phénomène d'interférence
avec le laser.
plus
que c'est facile
Il faut C< ro Av <—c . que =—.1.D` et 1 a Ô
F
2
Problème 2 (65 pts)
I- Partie préliminaire p(x)=IT(x, 012 est la &usité de probabilité de présence de la particule. La probabilité de trouver la
: particule dans l'espace tout entier est égale à 1 donc : f ILY(x,t)I2dx =1. liPïx,01 est Li .
1
1
a-On a p(x)=IT(x,or = le(x)I2 est indépendant du temps
h2 d2e(x)+ V(x) 9 vérifie : e(x)=
donc l'état est stationnaire. La fonction 1
1 l'équation Em(x)
2m dx2
em(x) 2m m(x)= 0
forme ço(x)= Aiœ + Be-iire
a i
b- Si V(x). Vo l'équation devient : + (E Vo ) dx2 h2
Si E >Vo la solution de cette équation est de la ...._
, où A et B
deux k (E - 70) constantes complexes et = .12e
deux constantes 1
h2
Si E <Vo la solution est de la forme m(x)= A'
•
eh' + B ' &h' , où A' et B '
2nt (V° -E)
- I complexes et q = . h2
n- Particule Libre
Laparticule est libre donc Tr(x)= O, son énergie totale est égale son énergie cinétique „2
E r = = 1 Ec 2m
e(x)=44elx + Be- avec A et B deux constantes cg:mimes
E -1-r -i(-E 4-kx) -1(-E t I' (x,t). = m(x) e h donc : ̀ 1(x,t)=Ae h + B e
. .. .
-, ' 2ME2 .
1
1
et K = , on a h
t+kx)
* ->
-4(a-h) E 2mE B k = W(x,t)= A e+ e-e«ter) Donc c o = TI et it,
Sr ondèl-planes, fé premier Mrme correspond à
deuxième terme correspond à une 0.P.P.H
- m ce qui donne la relation de dispersion
relation est appelée relation de De
une onde de longueur d'onde 2 = -h
. P
Li icilutioà-d6Piquation de tY(x,t) ést une somme de deux
une 0.P21! qui se propage dans le sens des x croissant Le
dans les inverse. On k2 2tni2E Eh
« 1
1 1
1
qui se propage sens a = et
hk2 h2k2 p2 -h
= h-2a-
Cette a)(k)=- .:E= — --> p =lik -= . 2m 2m 2m .1. À
Broglie : En MO à chaque particule d'impulsion p on associe
p(x)=(,rp7e • c'Qs-h) + ,rre,e4. • cfce+k)x(rpTilii - ir( œ°44 + 17/2e-te= • exit)) I. --> p(x)= fi+ p2 +21pily2 cos (2kx+ 4 -02)
..
1
.
Prnin= Pi - F P2 -21PIP2
Pi. = PrE P2 ± 2VPIP2 La densité de probabilité varie de façon sinusoïdale il y a des zones où elle est maximale p = pr. et des zones où
elle est minimale p = p.i., le phénomène d'interférences
entre l'onde qui se propage dans le sens des x croissants et celle qui se propage dans le sens inverse.
3
8- La probabilité totale est *1 car
ce qui n'est pas acceptable physiquement, Il faut décrire la particule par Ull paquet
f p(x)cbc=
la particule d'ondes (superposition
I (pi -1-/2 -F2Vp1p2 cos (2kx + 4 -02)) (A. diverge, libre ne peut pas être présentée par une onde plane.
d'ondes planes de pulsations différentes). 1
m
ke+- ak
2 dk= Aïr lie 2 111(x,0)= Nr272rik to—r 27r
ak ak _ 1
1
1
p(x)•=-2z
sinc2 (-2
x)
2nz
i o
p(x)=0-4-x = ak— . net
' In% Air
Po= Plu 1=-2ff 0 047 0.016
ak 2W6k 0 2rziAlc 4riAk x
-9- b-
*c.
1+11F(x, Or
Ak
dr ne
2 akx (-2 )dx=--
diverge pas on vérifie bien qu il est égal à I .En effet :
Mx 1
1 .1.
représenter
2-7-r sine
l'état d'une particule
Donc le d'onde smc (u) - avec u=-Ï-. paquet peut
libre puisqu'il est nonnalisable. 4n.
1
1
Ax Az- Ak =42r 4- Ap 4erh On = xi - x_i -> -> = ->&c4zh
.=-40 --> ne peut pas mesurer
simultanément avec autant de précision que l'on veut la position et la vitesse de la particule. Ceci est
compatible avec l'inégalité de Heisenberg :4x.44 _ .
hk2 da) hk co hic v g tt 1
1
On: c0=--->v :,---,=— et V=-=—=—. =—.--..—. pr--truc=mvg =mv --->vg =v où v 2m g e m P k 2m 2
est la vitesse de la particule en mécanique classique. Donc le paquet d'onde qui se propage à la vitesse _ vs représente bien la particule libre.
DI- Effet tunnel La des équations de-Schrédingerdansies trois donne résolution régions .
- Région I : ei (x),=.4ex +Bie-'*. avec 4 et B1 deux constantes complexes.
- Région II : ÇOIT (X) = 4ex +.8„6,-qx avec Ail et BE deux constantes complexes. - Région III: e,,,(x). Axe' avec A ff est une constante complexe.
1
1 1
La fonction donne un
d'onde ainsi que sa dérivée première par rapport à x sont continues en x = 0 et x--ta equi système de 4 équations à 5 inconnues (les constates d'intégrations).
A +B =A +B 1 r fi li —2--. I 44414ii
1
ik (4 - B 1)= q(telli - B il ) illtio',, - »1 / 4 . -: r % • " a4.4aasid
Aile + B ffe-qa = Axe' alij.t.,... _ q(Affee -Bffee)=ikAggeez
it =1±/si
En utilisant
iiv
la définition
/2 iii 1A — =inni
1 2
: j, •=lqi
hic- —
,I
-).
2 hic — m
R=181-
=Ri 2 hic
j —, ,, =I\ m
T=Pirgr et
11,1 2 hi --z-=-141 m
2 hÏc — et m
1
1
1 R représente la particule
m
à travers la probabilité
la
m gr Rif
de réflexion de la particule sur la barrière et T la probabilité de transmission de barrière de potentiel ou probabilité pour que la particule franchit la barrière.
4
On doit avoir R +7' =1 , puisque la particule est soit réfléchie soit transmise : la somme des probabilités = 1.
' 14-
-
Pour l'électron on obtient T =0.78 qui représente une probabilité de passage de - 80 % . Donc l'électron est délocalisé dans l'atome et peut franchir la barrière de potentiel atomique. Dans les mêmes conditions, un proton aune probabilité T =10-19. Cette probabilité est très faible à cause de l'effet de masse. Autrement dit, un proton ou un noyau occupent un site bien déterminé (figé) dans un atome ou une molécule.
1
1
a- (ve-E)> 0 et (Vo -2E)2 0 Donc V' -->V02 4E1(V3 E) ° •.1 ->
sinh2 (qa)›.1 4E (Vo - E)
4EV - E) ( o -4 Vol ainsi T - 1
e2qa
»1 sirth2 (qa)) (
4E(Vo-E) qa -> sinh2 (qa) = — »1
4 soit T=16E(V2 7E)8-44a r-To e-2" VO-
15-
o - E) dTo b- 7(E) =16
E (V E V
°- -> =0 -> = va
n_ 1 },02 dE 2
->Tos. =4. To(E= 0)=0 -->2o(E=V)=0 CPs» •/..- ‘. Pour E ._0 on a To rt0 donc T = 0 : la particule ne franchit
pas la barrière puisqu'elle est immobile. Pour E =Vo on obtient To = O, ;nais l'approximation de la barrière épaisse
v•
c..
..
, . 1
iii
n'est plus valable en revenant à l'expression initiale de T on .4Q...te/ 1 trouve r ->1 et c'est normal la particule passe avec une -probabilité de 1:- proche - .
% 1 (T01=-J
V o
rr. °
' - -- - 6 E 32(E) V o Tro
dE _83 --=2,7
c- leo ) --.1n(T,0 )=1->ln(T)=111 (T0 )-2qa =1-2qa, puisque. qa»1->ln(T)=-2qa 1
1V-- Ritoadivité a
.
16-
e2(r) .?fiE+ ) ( eo =Adkr +Bekr a- La solutionde l'équation d2 4. y 9 r w_k 0 — : 1
1
k. 2m(E +Vo) litnites =0) 0 A+ B 0 = —> 2
.Condition aux : e(r h
ro fp(x) = DSill(kX).La normalisation de 9 : fige(r)1
0
2
dr =1 -> Pr
= . C,e qui donne :
-5- =1 -> D = Il 2 ro
h- La condition tp(r = ro) = 0 -> sin(k ro ) = 0 donc k„ =ri ,n E Na ro
h2 n2le: Vo. L'énergie de la --2k2 -
1
1 En = Vo = particule est quantifiée 2m 2m ro
17-
a-La particule a peut franchir la barrière par effet tunnel. 1
h- K =2(Z -2)e2 =4,62x10-36C2 -> V = K 74,25MeV - 1 4rce0 o r K e- ri est donné la V E par relation (Ji) = -> ri = -6,50x10-14m 1
4zeoE
18- a- Entre r et r +dr , le potentiel peut être approximé par une barrière rectangulaire d'épaisseur dr et de
hauteur V(r) . La probabilité pour que la particule traverse cette barrière correspond à la probabilité T(r) d'être arrivée en r multipliée par la probabilité de franchir la barrière rectangulaire d'épaisseur
2
5
dr qui est - 6-2q* • -> T(r + dr) = T(r)e 2"" --> ln (T(r+dr))= ln (T(r))-2qdr .
:-E dr))-In(T(r)).
2q (V(r)) -2qdr --•> dinT - b- ln( T(r + on ag _12ma
2
dr h'
1 ilm g reit -OE
( K E j 47rsor -
die 1 2 -12ni ( K Ej --> dr --i ----' 4zeor-
En intéira:ot sur toute la barrière : -
7,= _2 K
-hi,. fil2m (_K Ejdr
''`ittreor =-2717-tair
h rtt I( tre„E r 1)dr r 1
1
K 2 --> kr =--127-njin
• F dr = --2 frgm • r • (rt
-. -2 H -> e-Onari = 4trenE t
2 Kf1 _ b . _ 2 2maroK b _ Kfirna bar, - __ _> a et ,fmaroK . h geo 460h ft If ' —h tœo 480h
19-
a- On a E=-1
m,„v2 ->v=r - . A.N : =1,38 x107m.s-1 -107 m.s-4
2 m a 1
2ro 0,5 025 0,5
disiiiiiiié-Iro donè -ro a --:5X 10 dOne b-Entre deux rebonds la particule parcourtlà Ç - = s v E ;
1 1 x1021
E•Fj n=-
r: _ 2 tni ro a 1
c- Dans une seconde la particule effectue n rebonds Sur la barrière d'énergie potentielle à chaque - -febéliad &lei '''''''''''''''''''''''' dé liniir •du-iiii-yàii; Don e ------------ 'nié Xe-Con-dé lila iirnelkébabilité- .
nT, d'où la probabilité par unité de temps d'émettre une particule a est fl=nT 1
20-
a- Lettombre de désintégration par seconde pour un noyau est fl=n•T. Donc le nombre de noyaux
pendant une durée dt ce qui donne :N(t-Fdt)-1A t)-= •-13'N_(t)dt ......Nfotnimiç»dej3PkeLdt
. --> dN dt
e;' 13-= nx T it.---2g1021- 5(2 x10-39 = 4 x1:0-18:i4-. Gee-raté& te-dé-Met. ----hitiricTut la Valait- - . expérimentale ce qui valide le modèle de Gamow.
I - - -
b- L'intégration de l'équation : donne N(t)=-.144,e- NO:0 précédente . ( ) __>
1 2
-fit No - 1n2 Noe .2 =--479t1=1n2->ti =
2 2 2 p
. ti. c - ln - =ln —n
• _ • b ......
0,5 .•• • . • - -1 --
( j
La loi de
(ln ) ' /3
demi-vie obtenue
ln(ln2)- ln Inari 2 + = (T) - ‘___)-a . —,- - - • • - • • • 4E- "
précédemment indique qu'elle est proportionnelle à E-. ce qui est prouvé expérimentalement.
r..
4:3 1 9-1-1..-U4 4k-imbu-el
6
