Cours de Physique Ondulatoire Pour Geologues

8/21/2019 Cours de Physique Ondulatoire Pour Geologues

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Universit d'AngersDEUG STU2 - Module ST41Anne 2001-2002

S. ChaussedentBureau Db 203Tl. : 02 41 73 54 29


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-2-

PROPAGATION DES ONDES ELASTISQUES DANS LES FLUIDES ETLES SOLIDES

I - Introduction : la notion donde

II - Propagation dans les fluides (liquides ou gaz)II-1 GnralitsII-2 Equation de propagationII-3 Cas d'un gaz parfaitII-4 Densit volumique d'nergieII-5 Intensit acoustique - Impdance acoustiqueII-6 Niveau en dcibelsII-7 Effet Doppler

III - Propagation dans les solidesIII-1 Propagation dans un solide illimit isotrope

III-2 Propagation dans un solide de dimensions finies

IV - Rflexions et transmissions d'ondes planes l'interface de 2 milieuxIV-1 FluidesIV-2 Interface solide/fluideIV-3 Interface solide/solideIV-3 Application l'tude des sismes


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direction de propagationde londe

xekk

=

mouvement dune

articule

xxeUU

=

Une onde est la transmission de proche en proche (propagation) dune

perturbation. Cette transmission est fonction des caractristiques physiques dumilieu.

Ex. lumire, son, rayons X, rayons UV, ondes radio

L'onde est alors une vibration qui est propage grce au mouvement local desparticules constituant le milieu de propagation. Ces particules sont donc mises enmouvement par le passage de l'onde, mais restent globalement en place : ellesvibrent seulement, ou oscillent, autour d'une position d'quilibre fixe.

Pour un fluide, la vibration correspond un petit dplacement des particules ;pour un solide, il s'agit d'une dformation de la structure cristalline. Si la vibration alieu paralllement la direction de propagation, l'onde est dite ; enrevanche, si la vibration est perpendiculaire la direction de propagation, il s'agitd'une onde .

Considrons ces deux cas dans un espace deuxdimensions repr par les axes Ox et Oy :

Si l'onde se propage dans la direction de l'axe Ox, on dit qu'elle estlongitudinale quand les particules du milieu vibrent galement selon la direction Ox.

Une telle onde, si elle est sinusodale, a pour expression : )cos(),( 0 = .Uxest donc la vibration longitudinale, appele aussi polarisation de l'onde. U0x est

l'amplitude de la vibration (de l'longation). est la pulsation de l'onde ( f2= , f

tant la frquence). k

est le vecteur d'onde qui dfinit la direction de propagation de

l'onde. Ici, l'onde se propage suivant x, donc on a )0k,0k,kk(k zyx ===

. Enfin,

)z,y,x(r

dfinit la position o l'on fait le

calcul. Ici, on a donc kxrk =

. L'ondelongitudinale est donc polariseparallement la direction de propagation

( k// xe

).

L'onde transversale est au contrairepolarise perpendiculairement la

direction de propagation ( k// ye

). Une

telle onde a pour expression :)cos(),( 0 = , o U0yest l'amplitude de dformation transversale.

O

y

x

xey

e

direction de propagation

de londe

xekk

=

mouvement dune

articule

yyeUU

=


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-4-

Un fluide est un milieu isotrope, cest--dire que toutes ses propritsphysiques sont identiques dans toutes les directions (toutes les directions sont doncquivalentes).

Nous allons ici considrer des , c'est--dire : iln'existe aucune contrainte de cisaillement (module de cisaillement =0). L'absencede cisaillement fait que dans un fluide parfait on ne peut propager que des ondeslongitudinales, et aucune onde transversale.

Nous allons tudier lapropagation d'une onde suivantune direction donne, parexemple Ox, autrement dit l'onde

sera considre comme plane(dans le cas o la propagations'effectue dans toutes lesdirections la fois, il s'agit d'une onde sphrique). L'onde plane est une bonneapproximation d'une onde sphrique quand on est assez loign de la source.

On caractrise un fluide par sa masse volumiquedV

dm= , et par son

coefficient de compressibilit . Par exemple, pour l'eau, on a :33

eau m.kg10 = et 110eau Pa10.5 = .

D'autre part, dans un fluide, l'une des variables essentielles est la pression

acoustique p. On la nomme galement surpression car il s'agit de l'excs (ou dfaut)de pression du fluide par rapport la pression P 0 existant dans le fluide au repos. Leplus souvent, P0 est la pression atmosphrique :

P = P0+ p.Cette pression acoustique conditionne donc les carts de pression avec P0et

dpend la fois du temps et de la position : p p(x,t). Rappelons que la pression

s'exprime en pascal (Pakg.m-1.s-2).Les variations de pression induisent des variations relatives de volume dV et

l'on relie les deux grandeurs grce au coefficient de compressibilit du fluide :

dP

dV

V

1= et donc

V

dV1dPp

== .

Notons qu'ici, est le coefficient de compressibilit adiabatique car les compressionsse font trs rapidement sans change de chaleur.

On peut alors tudier les petites variations locales de pression qui rsultent dela propagation de l'onde. Ces petites variations locales de pression correspondent des dformations du milieu, c'est--dire aux petits dplacements des molcules dufluide. Le fait qu'il n'y ait pas de cisaillement implique qu'il n'y a pas de dformationhors de l'axe de propagation. Les dformations sont donc uniquement des dilatationsou des compressions se produisant selon l'axe de propagation de l'onde plane.

On associe alors la dilatationV

dV= , c--d la variation relative de volume, la

pression acoustique de la faon suivante :=p .

x


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-5-

Soit un cylindre horizontal, daxe Ox, de section S constante, rempli dun fluide non-visqueux et compressible. La tranche de fluide situe l'abscisse x subit une petitedformation U(x,t) sous l'action de l'onde (on considrera la dformation petitedevant les dimensions du cylindre).

Pour la tranche situe l'abscisse x+dx, le champ de dformation (ou champ dedplacement) est )t,dxx(U

+pour ce mme instant t. On peut alors crire :

dxx

U)t,x(UdU)t,x(U)t,dxx(U

+=+=+ .

Au repos, le volume entre x et x+dx vaut SdxV= . Au passage de l'onde, il y adformation de ce volume qui devient : [ ])t,x(Ux)t,dxx(UdxxSdVV +++=+ ,dV tant l'excs ou le dfaut de volume par rapport au volume initial aprscompression ou dilatation. En simplifiant :

[ ]

++=++=+ )t,x(Udxx

U)t,x(UdxS)t,x(U)t,dxx(UdxSdVV

SdxxUSdxdVV

+=+

d'o l'on tire simplement :

Vx

UdV

=

ce qui permet de dfinir la variation relative de volume, ou dilatation :

x

U

V

dV

==

ou encore, la pression acoustique :

x

U1p

=

=

Considrons prsent une particule se trouvant l'abscisse x. D au champ dedformation U(x,t), elle est soumise un dplacement, et donc une certainevitesse, dite . Cette vitesse particulaire correspond simplement la variation du dplacement par rapport au temps, soit :

t

Uvp

=

Attention, ceci n'est qu'une approximation qui n'est valable que pour de petitesamplitudes de dformation. Notons galement qu'il ne faut absolument pas

confondre cette vitesse particulaire vp(qui correspond la vitesse de dplacementdes particules) avec la clrit c de l'onde (qui elle correspond la vitesse depropagation des dformations).

S

x x+dx

U(x,t) U(x+dx,t)

V

V+dV


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-6-

Isolons fictivement une tranche de fluide comprise entre x et x+dx. Lesdformations engendres par le passage de l'onde impliquent des variations depression le long de l'axe Ox. Ainsi, la pression acoustique p(x) est diffrente de

p(x+dx). Par consquent, la force qui s'exerce sur la section en x est diffrente decelle s'exerant en x+dx :

Or on sait, d'aprs le principe fondamental de la dynamique, que la somme desforces s'appliquant sur un systme est gale au produit de la masse de ce systme

par l'acclration qu'il subit.Dans le cas prsent, la masse du systme quivaut la masse volumique du

fluide multiplie par le volume Sdx. L'acclration correspond la drive parrapport au temps de la vitesse particulaire vp, soit :

2

2p

pt

U

t

v

=

=

Concernant la somme des forces, elle s'exprime comme :

( ) dxx

pSdx

x

pppSppSFFdF xxdxxxdxxx

=

+=== ++

Au total, on obtient :

2

2

pt

USdxdx

x

pSmdF

=

=

Soit encore :

2

2

t

U

x

p

=

avecx

U1p

=

Ce qui donne :

2

2

2

2

t

U

x

U

=

Ainsi, l'onde qui est solution de cette quation se propage la vitesse :

=

1c encore appele ou .

Etudions maintenant les solutions de l'quation de propagation. Elless'expriment sous la forme suivante :

tsdcroissanxlesversnpropagatio

croissantsxlesversnpropagatio

c

xtG

c

xtF)t,x(U

++

=

x x+dx

Fx = pxS px+dxS = Fx+dx

U(x,t) U(x+dx,t)


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-7-

On se limitera ici l'tude d'une onde se propageant vers les x croissants, c'est--dire au cas d'une onde dite . On supposera de plus que cette onde estsinusodale, et de la forme :

=

c

xtcosU)t,x(U 0

o U(x,t) est donc l'longation (la dformation) longitudinale. U0 est l'amplitude de

cette dformation ( 00 UUU ). est la pulsation, telle que f2= , o fest lafrquence de vibration. Et enfin, c est la clrit, c'est--dire la vitesse de

propagation de l'onde. On remarquera galement que c correspond au module du

vecteur d'onde k

.

On peut alors calculer la vitesse particulaire en drivant par rapport au tempsl'longation longitudinale :

=

=c

xtsinUv

t

Uv 0pp

ce qui correspond la vitesse d'oscillation de la particule situe l'abscisse x(position d'quilibre).

Etudions maintenant la loi de propagation de la vitesse particulaire. Pour cela,drivons l'quation de propagation par rapport au temps :

=

=

2

2

22

2

2

2

t

U

tc

1

t

U

tx

U

t

2

p2

22

p2

v

2

2

2

v

2

2

t

v

c

1

x

v

t

U

tc

1

t

U

x

pp

=

=

De mme, on peut obtenir l'quation de propagation des surpressions en

drivant l'quation de propagation par rapport x, et en multipliant le tout par

1

:

=

2

2

22

2

t

U

c

1

x

1

x

U

x

1

2

2

22

2

p

2

2

2

p

2

2

t

p

c

1

x

p

x

U1

tc

1

x

U1

x

=

=

On dit alors que l'longation U, la vitesse particulairet

Uvp

= , et la surpression

x

U1p

= sont des .


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-8-

En effet, nous avons dune part :

=

c

xtcosUU 0 ,

d'o nous pouvons tirer la vitesse particulaire :

+ = == cxtsinU

cxtsinU

tUv 00p

+

=

2c

xtcosUv 0p ,

l'amplitude de la vitesse particulaire tant : = 00p Uv . Notons ici que la vitesseparticulaire varie comme la dformation un facteur de phase 2 prs.De mme, pour la surpression, nous avons :

+

=

=

=c

xtsin

c

U

c

xtsin

c

U

x

U1p

00

+

=2c

xtcos

c

Up

0,

o l'amplitude de la surpression vaut :c

Up

00

= , les variations de surpression tant

en phase avec celles de la vitesse particulaire, et donc dphases de 2 parrapport la dformation.

L'amplitude de la surpression peut encore s'exprimer comme :

2

001= puisque ( )= 1c

2 , et donc :

cUp 00 = .

Du point de vue physiologique, l'amplitude de surpression est importantepuisqu'elle est directement lie au seuil d'audibilit ou de douleur pour notre oreille.

Le tympan est une membrane quise dforme sous l'action de l'onde

sonore gnrant la surpression p.

Pour une frquence de 1kHz, notreseuil moyen d' est de

Pa10.2p 5min0= , alors que le seuil

de est de 20max0 = .

Notons par ailleurs que notre systme auditif est galement limit en frquence.Ainsi, les sons que nous pouvons percevoir sont compris dans le domaine spectral :

2020 .

Si la frquence est infrieure 20 Hz, il s'agit d' ; si elle est suprieure 20 kHz, il s'agit d'.

P0+p P0

extrieur de l'oreille intrieur de l'oreille

tympan = membrane


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L'quation d'tat d'un gaz parfait s'crit : nRTPV= o 11 mol.K.J314,8R = est la constante des gaz parfaits, T est la tempratureabsolue en kelvin (OC = 273,15 K), la pression P et le volume V s'exprimantrespectivement en Pa et en m3.

La masse de n moles de gaz vaut : Mnm= , M tant la masse molaire.L'quation d'tat s'crit alors :

M

mRTPV= .

La masse volumique du fluide au repos s'exprimant :V

m0= , il vient naturellement :

=

M

RTP

0

RT

PM0=

Par ailleurs, si les dformations engendres par l'onde sont adiabatiques(sans change de chaleur), nous pouvons appliquer la loi de Laplace :

CtePV = ,

o est le caractristique du gaz :

gaz monoatomique (ex. hlium, argon) 66,135 == gaz diatomique (ex. O2, N2, air) 40,157

==

gaz polyatomique (ex. CO2, NH3,) 33,168 ==

Trouvons alors la loi qui rgit les variations de pression en fonction des variations devolume :

0)PV(dCtePV ==

avec la diffrentielle dV)(V

dP)(P

)(d

+

, c--d que l'on drive par rapport

chacune des variables. On obtient :

0

V

dV

P

dP0dVPVdPV

PV pardivisanten

1 =+ =+

soit encore :

= dP

dV

V

1

P

1 d'o

P

1

=

De plus, on sait que0

2 1c

= , donc en remplaant 0 parRT

PM et par

P

1

, on

obtient :

=MRTc2

MRTc =


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Nous pouvons alors calculer la vitesse du son dans lair : On sait que pour lair = 1,4. La masse molaire de lair sexprime 0air VM = , o air = 1,293 kg.m-3 est la

masse volumique de l'air, et V0 = 22,414.10-3 m3 le volume molaire dans les

conditions normales (T = 0C et P = 1 atm = 1,013.105 Pa). Donc on a :310.29M kg.mol-1.

Finalement, pour une temprature ambiante de 22C, soit 295 K, la vitesse depropagation du son dans l'air est de :

=310.29

2953143,84,1c 1s.m344c =

Evaluons maintenant l'ordre de grandeur de l'amplitude des dformations denotre tympan soumis une onde sonore de frquence f= 800 Hz correspondant auseuil d'audibilit, c'est--dire pour une amplitude de surpression de p0 = 2.10

-5 Pa.L'amplitude des dformations s'exprime :

m10.9344293,18002

10.2

cf2

p

c

pU 12

500

0

=

=

=

On constate que cette dformation est extrmement faible, puisqu'elle correspond une distance infrieure au rayon d'un atome ! Notre oreille est par consquent unoutil extrmement sophistiqu.

Calculons de mme l'amplitude de la vitesse particulaire, c--d la vitesse dedplacement maximale des molcules de l'air :

cs.m10.5,4800210.9Uv 181200p


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-11-

On trouve :

=

c

xtsinU

2

1e 220

2C

et

C22

02

P22

2

20

2

P e

c

xtsinU

2

1e

1cc

xtsin

c

U

2

1e =

=

=

=

On a donc quipartition de l'nergie cintique et de l'nergie potentielle, autrementdit, la densit d'nergie cintique et la densit d'nergie potentielle sont les mmes tout instant au cours de la propagation de l'onde.

La densit volumique d'nergie totale instantane vaut donc :

==+=

c

xtsinUe2eee 220

2CPCT

Calculons la moyenne temporelle, ce qui revient calculer la valeur moyenne de

l'nergie totale sur une priode f1T= :

==

0

220

2

0

sin11

avec ( )a2cos12

1asin 2 =

=

00

20

2

2cos2

1

2

Ue

20

2

tT

=

L' est aussi appele et s'exprime enW.m-2. Il s'agit en fait du flux d'nergie par unit de temps et de surface, ou encoredu flux de puissance par unit de surface.

On a dj vu que la section S situeentre les abscisses x et x+dx subit de la part

de l'lment voisin situ sa gauche une forcep(x)S lorsque la propagation a lieu dans lesens des x croissants. Comme les molculesde fluide s'animent la vitesse particulaire

t

Uvp

= sous l'effet de cette pression, la

puissance mcanique moyenne reue par cette tranche de fluide vaut (Puissance =Force x Vitesse) :

t

U)x(Sp

=

x x+dx

S

P(x).S


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Dveloppons cette formule. Nous savons quex

U1p

= , et par consquent :

t

U

x

USP

= avec

=

=

c

xtsinU

t

U

c

xtsin

c

U

x

U

0

0

d'o

=

c

xtsinU

c

SP 220

2 avec cc

1=

soit :

=

c

xtsinUcSP 220

2

Remarquons que 0P> , ce qui signifie que le transfert de puissance, et doncl'nergie qui accompagne la propagation de l'onde, se fait dans le sens de la

propagation.

Calculons alors la valeur moyenne temporelle de la puissance :

2sin

1 202

0

220

2

0

=

== .

Cette puissance acoustique est donc proportionnelle au carr de l'amplitude desdformations, au carr de la frquence, et au produit c . En divisant cette puissanceacoustique par la surface, on obtient l' I :

2

UcI

20

2=

Or, nous avons vu que 00 Ucp = , d'oc2

pI

20

= .

Introduisons la notion d' Z . Il s'agit du rapport de l'amplitudede la surpression sur l'amplitude de la vitesse particulaire :

0p

0

vpZ=

Remarque : l'introduction de cette notion d'impdance acoustique se fait par analogie avec celle d'undiple lectrique qui est dfinie par le rapport de l'amplitude de la tension lectrique aux bornes dudiple sur l'amplitude de l'intensit du courant qui le traverse (pour une rsistance : Z = R = U/R)

Or, cv

pZ

Uv

Ucp

0p

0

00p

00==

==

cZ =

Z ne dpendant ni de x ni de t : c'est donc uniquement une caractristiquespcifique du milieu de propagation.


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On retiendra alors cette dfinition de l'intensit acoustique :

Z2

pI

20=

On peut tout de suite en dduire que les plus grandes intensits acoustiques serontobtenues dans un liquide avec des ultrasons.

Pour un son de frquence f = 1 kHz, d'amplitude U0 = 1 m, se propageant dansl'air (air = 1,293 kg.m-3 ; cair = 334 m.s-1) temprature ambiante, l'intensitacoustique vaut :

( ) ( )

=

=

2

10102334293,1

2

UZI

26320

2

son 23

son m.W10.8,8I

Pour un ultrason de frquence f = 100 kHz, d'amplitude U0 = 0,1 m, sepropageant dans l'eau (eau = 103kg.m-3; ceau= 1500 m.s-1), l'intensit acoustiquevaut :

( ) ( )

=

=

2

10102150010

2

UZI

275320

2

ultrason 2

ultrason m.W2960I

L'exprience montre que la sensation sonore est sensiblement proportionnelleau logarithme de l'intensit acoustique de l'onde (ce rsultat constitue la loi de

Fechner).En gnral, on utilise la quantit sans dimension dBL appele niveau (level)

d'intensit acoustique, exprime en dcibels (dB). Le niveau en dcibels d'une onde

d'intensit I est dfini par rapport l'intensit de rfrence rI par la relation :

=r

10dBI

Ilog10L ,

orZ2

pI

20= , donc

2

r0

010dB

p

plog10L

= , soit :

=

r0

010dB

p

plog20L

Remarque : une augmentation du niveau acoustique de 20 dB correspond unemultiplication par 10 de la pression acoustique. 6 dB correspondent un facteur 2.

En pratique, on prend comme rfrence l'intensit et la pression moyennecorrespondant au seuil moyen d'audibilit 1 kHz, soit :

==

Pa10.2p

m.W10I

5r0

212r


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Le niveau dB0LdB= dfinit ainsi le seuil d'audibilit puisque 01log10 = .Le seuil de douleur correspond 120 dB :

5

06

5

0105

010

10.2

p10

10.2

plog6

10.2

plog20120

=

=

=

On retrouve bien la pression acoustique correspondant au seuil de douleur :

Pa20p0 = .

douleur)deseuil(Pa20ppercstympans

dB120

)audibilitd'seuil(Pa10.2ppasn'entendon

dB0

0

50

=

=

Les dcibels sont aussi utiliss pour dfinir l'attnuation ou l'amplification. Soit

dBA l'amplification en dB :

=0

10dBI

)x(Ilog10A .

C'est la mme dfinition que pour le niveausonore sauf que maintenant la rfrence est prisepour une certaine position sur l'axe des abscisses.Il peut s'agir, par exemple, de la position parrapport une source qui met une onde sonore

d'intensit 0I . Du fait de la propagation dans

l'espace, l'intensit de cette onde s'attnue au furet mesure qu'on s'loigne de la source. Dans ce cas, on a 0I)x(I < etl'amplification dBA est ngative, ce qui traduit en fait l'attnuation. Si 0AdB> celatraduit une amplification de l'intensit de l'onde.

L'effet Doppler (physicien autrichien) correspond la modification de la

frquence d'une onde acoustique lorsqu'elle est reue par un rcepteur enmouvement ou lorsqu'elle est mise par une source en mouvement.

On suppose ici que la source se rapproche du dtecteur. Si la source taitimmobile, la priode du son reu serait la mme que la priode T du son mis. Cettepriode s'exprime :

npropagatiodevitesse

spatialeondedlongueur

c

2T

=

=

Nous allons voir ici que lorsque la source est mobile, la priode du son peru par ledtecteur est diffrente et nous la nomerons T .

I

x0 x1

I(x1)

I0


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Soient :

222

111

22

11

enmiseondel'deDenrceptiondeinstantl':

enmiseondel'deDenrceptiondeinstantl':

Sensituesourcelademissiond'instantl':

Sensituesourcelademissiond'instantl':

La distance parcourue par l'onde mise en 1 vaut : ( ) 111 = .De mme, la distance parcourue par l'onde mise en 2 vaut : ( ) 222 = .Par ailleurs, la distance parcourue par la source entre les instants 1 et 2 vaut :

( )

1221 = .Or, en valeurs absolues, nous avons : 2121 = , ce qui s'crit encore :

( ) ( ) ( )

122211 =

( ) ( ) ( ) ( )

121212122211 ==

Si 12 correspond une priode de l'onde mise, alors = 12 est lapriode apparente peru au niveau du dtecteur, donc :

=

1

Il est alors facile de dfinir la frquence apparente = 1 :

=

1

,

o l'on peut remarquer que dans le cas considr ici, > : lorsque la source serapproche, la frquence perue est plus leve que la frquence mise. Si au

contraire la source s'loigne du dtecteur, alors

et donc


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-16-

Soient :

miseondel'derceptiondeinstant:

miseondel'derceptiondeinstant:

22

11

La distance parcourue par londe entre les instants 1 et 1 vaut : ( ) 111 = .La distance parcourue par londe entre les instants 2 et 2 vaut : ( ) 222 = .Entre les instants 1 et 2 , le dtecteur a parcouru : ( )122112 == ,

d'o :( ) ( ) ( )

+=+=

11212221112 .

Si 12 = est la priode du son mis par la source, et 12 = la priodeapparente de l'onde perue par le dtecteur, alors :

+

=

+=

1

1

+=

1

L encore, la frquence apparente est plus leve lorsqu'on s'approche de la source

sonore. Au contraire, lorsqu'on s'en loigne,

, on a ( )

= 1 et doncla frquence apparente devient plus faible, le son devenant plus "grave".

Il s'agit du cas o la fois la source et le dtecteur sont mobiles par rapport aurfrentiel fixe que constitue le milieu de propagation. Si la source se dplace la

vitesse

et le dtecteur la vitesse

, tous les deux sur un mme axe

correspondant la direction de propagation de l'onde sonore, alors la combinaisondes deux rsultats prcdents donne :

( )( ) dtecteurduderapprochesesourcelasisigne

sourceladerapprochesedtecteurlesisigne11

+

=

sens de propagation

de londe

D1(t1)

(position du dtecteur l'instant t'1)

S

(source fixe)

(position du dtecteur

l'instant t'2)

D2(t'2)

S D

( ) ( )( )

+= 11

( ) ( )( )

= 11

( ) ( )( )

+= 11

( ) ( )( )

++= 11


17/34

-17-

Nous allons nous intresser ici aux proprits mcaniques des milieuxdformables, et en particulier lorsqu'on les soumet des contraintes dynamiquestelles que celles induites par la propagation d'une onde.

Avant de traiter la propagation dans les solides de dimension finie (casraliste), nous allons considrer la propagation d'une onde lastique dans un solide"illimit" et isotrope.

Considrons un lment de volume paralllpipde rectangle. Sur chacune deses faces s'exerce une force par unit de surface qui peut se dcomposer en troiscomposantes selon les axes du tridre rectangle (Oxyz).

Ces composantes, notes ij, sont les lments du tenseur des contraintes ,indice i reprant la direction dans laquelle s'exerce la contrainte et l'indice j serfrant la face sur laquelle elle s'exerce. Chaque lment ij, reprsente alors uneforce par unit de surface (N.m-2) ou bien une pression (Pa). Les lments iisontappels , car elles agissent perpendiculairement la face. Les

lments ij=jiavec ij sont les contraintes tangentielles puisqu'elles agissent dansle plan de la surface. Le tenseur des contraintes est donc symtrique et s'crit :

=

L'application d'une contrainte provoque une dformation de l'lment de

volume solide. Cette dformation est dcrite au moyen du tenseur des dformation

qui lui aussi est symtrique :

y

x

z

O

yy

xz

zz

yz

zx

yxxx

zy

xy


18/34

-18-

=

Comme on avait dfini la dformation Ux d'un fluide selon l'axe x, on peut

dfinir ici un champ de dformation trois dimensions (Ux,Uy,Uz) le solide pouvantse dformer dans les trois directions de l'espace. Le tenseur des dformationss'crit alors :

+

+

+

+

+

+

=

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

Les lments diagonaux

,

, et

dfinissent les dformations

d', la somme de ces trois lments correspondant la :

=

+

+

=

variation relative de volume.

Les quantits

avec ,,, = et caractrisent les dformations qui ne

sont pas dans l'axe de l'longation : ce sont les dformation de .

Le tenseur des contraintes (la cause) et le tenseur des dformations

(l'effet) sont lis par le tenseur des constantes lastiques :

= .

La notation en indice contract permet d'crire cette relation :

=

:4rangdedu tenseurlmentunest



o

Remarque : le rang d'un tenseur correspond au nombre d'indices ncessaires pourdfinir un de ces lments. Ici, les tenseurs de rang 2 comptent 32=9 composantes,et le tenseur de rang 4 comprend 34=81 composantes ! Mais heureusement lesproprits de symtrie du milieu permettent de rduire considrablement le nombre

de composantes indpendantes. Nanmois, le produit tensoriel = reste trslourd manipuler ; c'est pourquoi nous allons faire appel une criture matricielle, c--d un artifice de calcul qui va permettre de simplifier les choses.


19/34

-19-

Au tenseur de rang 2, on associe un vecteur 6 composantes :

====

==

=

6

5

4

3

2

1

On obtient donc un vecteur, c--d un tenseur de rang 1 dont les composantes nesont dfinies qu' l'aide d'un seul indice. On fait de mme pour le tenseur des

dformations :

======

=

2

2

2

6

5

4

3

2

1

En notation contracte, la loi de Hooke s'exprime alors :

= avec 6,5,4,3,2,1, =

tant rduit une matrice 6x6 (tenseur de rang 2) symtrique possdant donc 21

composantes indpendantes :

=

6

5

4

3

2

1

665646362616

565545352515

464544342414

363534332313

262524232212

161514131211

6

5

4

3

2

1

On a par exemple : 6465454443432421414 +++++=

Voyons prsent comment va pouvoir tre simplifie la matrice en tenant

compte des proprits de symtrie du milieu.


20/34

-20-

Plaons nous dans un milieu symtrie . Dans ce cas prcis, la

plupart des lments sont nuls : il ne reste que 3 lments indpendants

connatre ( 441211 ,, ) pour dterminer les proprits lastique du milieu. La matrice

s'crit :

=

44

44

44

111212

121112

121211

00000

00000

00000

000

000000

Si en plus le milieu est , on a :2

121144

= . Il ne reste donc plus que 2

coefficients lastiques indpendants : :

ntcisaillemedemodule44

12

==

d'o :

++

+

=

00000

00000

00000

0002

0002

0002

Remarque : plus est grand, plus le matriau est difficile cisailler. Pour un liquide,

on a 1= , et correspond la viscosit.

Comme nous l'avons fait pour un lment de volume fluide, on peut appliquerle principe fondamental de la dynamique l'lment de volume solide considr ici.On aboutit alors un systme de trois quations faisant intervenir les contraintes etles dformations :

=

+

+

=

+

+

=

+

+

2

2

2

2

2

2

forces de contraintes

tangentielles force de contrainte

longitudinale

acclration

suivant z


21/34

-21-

D'aprs la loi de Hooke, nous avons :

( ) 3211 2 +++= ,

o

=1 ,

= 2 ,

= 3 et .

+

+

=

Donc :

( ) +++=

21 +=

21

On trouve de mme : +

=

22 et +

=

23

Pour les contraintes tangentielles, on obtient :

66 = avec

+

= 26

d'o :

+

=

De la mme faon, on obtient :

+

=

et

+

=

Pour simplifier la rsolution du systme d'quations diffrentielles, nous allonsdsormais considrer que les seules dformations possibles sont suivant les axes

Ox (dformation ) et Oy (dformation ), la propagation de l'onde se faisantsuivant l'axe Ox.

Le vecteur

+= est le champ des dformations. La composante

correspond la dformation qui a lieu selon la direction de propagation de

l'onde : cette composante est alors appele .

//

La composante

vibre au contraire dans le plan perpendiculaire la direction de

propagation : on parle alors d' , ou .

=


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-22-

Dans ces conditions, regardons comment vont se simplifier les contraintes quel'on a exprimes dans un cas plus gnral :

+

=

2 avec

=

+

+

= car 0=

et 0=

En effet, nous savons que les dformations sont des vibrations de la forme :

( )

( )

=====

0

),(cos

),(cos

0

0

Donc : ( )

+= 2 . De mme, on obtient :

==

= et 0==

La premire des trois quations du systme s'crit alors :

( )2

2

0

2

2

2

2

=

+

+=

+

+

( )2

2

2

2

2

=

+

On peut en dduire la vitesse de propagation qui est donne par :

+=

2

12

, soit :

+=

2

.

Remarque : pour un fluide parfait, c--d non-visqueux, le module de cisaillement (oula viscosit) est nul. Dans ce cas

=== 1 : on retrouve bien la clritde l'onde longitudinale dans le fluide parfait.

Cette onde longitudinale est trs importante en acoustique puisqu'elle esttoujours prsente, au contraire de l'onde transversale qui, elle, n'est pas ncessairepour qu'il y ait propagation d'une onde (prendre l'exemple du fluide parfait danslequel l'onde transversale n'existe pas du fait de la non-viscosit).


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-23-

La seconde des trois quations du systme s'crit :

2

2

0

2

2

2

=

+

=

+

+

2

2

2

2

=

On en dduit la vitesse de propagation de cette vibration :

=

Remarque : cette onde transversale, ou onde de cisaillement n'existe pas dans les

fluides parfaits puisque le module de cisaillement est nul. Notons par ailleurs quecette onde de cisaillement ne transmet pas l'onde puisque les vibrations ont lieu dansle plan perpendiculaire la direction de propagation.

Notons que nous avons trait ici le casd'un matriau isotrope (toutes les propritsphysiques sont identiques dans toutes lesdirections) : nous avons vu qu'il n'existequ'une seule polarisation transversale (on ditqu'il n'y a qu'un mode de polarisationtransversale. En revanche, si le matriau estanisotrope, il peut y avoir 2 modes de polarisation transversale : ces deux vibrationssont alors perpendiculaires entre elles (selon y et z).

Ordres de grandeurs :

La vitesse de propagation longitudinale

est souvent de l'ordre de 5000

6000 m.s-1, et dans tous les cas on a

> :

22

2

>+

=

Les coefficients de Lam et , caractristiques des proprits lastiques

des milieux isotropes, peuvent tre relis aux modules d'lasticit : le module

d'Young et le coefficient de Poisson

(dont nous verrons les dfinitions plus

loin) :

=


24/34

-24-

( )( )

+=

121 et

( )

+=

12

De ce fait :

( )( )( )

( )( )( )

( )( )

+

=+

+

+=+

121

1

121

21

1212 ,

et on constate que le rapport des deux vitesses de propagation peut sexprimer enfonction du seul coefficient de Poisson :

( )( )

( )( )

++

=+

=

121

11222

( )

( )

21

12

2

=

0 25,0 3,0 49,0

4,12 73,13 87,15,3 14,751

Nous avons tudi ici le cas d'ondes qui se propagent dans des milieuxillimits, autrement dit sans conditions aux limites. Voyons maintenant ce qu'iladvient lorsque l'on prend en compte la dimension finie du milieu de propagation.

Considrons la propagation dans une barre de hauteur et de largeur d'une onde plane de longueur d'onde telle que ,>> . On se limitera auproblme unidimensionnel, soit une propagation dans la direction Ox.

On considre une petite tranche de solide d'paisseur dx qui subit la

dformation

sous l'action des forces

sur la paroi gauche et

+ sur la paroi

droite, ces forces tant dues aux portions de solide voisines.

O x

dx

x x+dx

x ()

x x+dx


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-25-

L'application du principe fondamental de la dynamique permet d'crire :

2

2

== +

Rappel sur la dfinition du module d'Young et du coefficient de Poisson :

On considre une tige homognede diamtre initial et delongueur initiale sous l'actiond'une force applique dans lesens longitudinal (par exemple lepropre poids de la tige). Soit lapetite variation de diamtre et la petite variation de longueur. Lemodule d'Young et le coefficientde Poisson permettent alors de

dfinir :


26/34

-26-

= attention :

car + 2

Onde longitudinale Onde transversale

Milieu illimit

+

=

2

=

Milieu limit

=

=

Notons que la vitesse de propagation d'une onde transersale est la mme pour unmilieu limit que pour un milieu illimit.

Etudions prsent quelles diffrences implique le fait qu'un milieu soit

considr fini ou infini. Pour cela, valuons le rapport ( )2

:

( )( )

+

=+

=

121

122

1ercas limite : 0

Il n'y a pratiquement pas de variation des dimensions transversales, donc pasd'effet de traction latrale (comme dans le cas de la barre pendue subissantson propre poids).C'est le cas limite o lorsqu'on dforme le milieu, il n'y a pas d'effets sur lesliaisons voisines.

On a donc : lige ou ponge.

2mecas limite : 21

Dans ce cas, au contraire, toute dformation agit directement sur les liaisonscristallines voisines.

On a donc :

> : la vitesse de propagation est trs diffrente selon que lematriau est limit ou non : exemple du caoutchouc.

Voici quelques exemples :

Matriaux lige, ponge 0 1valeurs courantes 0,25 - 0,30 1,10 - 1,16Aluminium 0,35 1,27Laiton 0,45 1,95caoutchouc 0,49 4,14


27/34

-27-

Il est ici question du comportement dune onde qui, lors de la propagation,rencontre une interface, autrement dit lorsquil y a changement du milieu de

propagation. On ne traitera que les ondes planes, cest--dire que l'on se placerasuffisament loin de la source pour pouvoir considrer que le front d'ondes n'est plussphrique mais compltement plan.

Considrons deux fluides non missibles, le premier caractris par une massevolumique

et un coefficient de compressibilit

, le second par

et

. Pour

simplifier le problme, on considrera que les ondes se propagentperpendiculairement l'interface des deux fluides.

Les ondes sont ici purement longitudinales puisque la propagation a lieu dans desfluides pour lesquels il n'existe pas de contraintes de cisaillement (=0). La vitessede propagation est alors donne par :

11

1

11

==

dans le fluide 1,

22

2

12

==

dans le fluide 2.

En arrivant sur la surface de sparation, l'onde incidente U idonne naissance uneonde rflchie Ur et une onde transmise Ut. Nous allons alors utiliser la notation

complexe pour dcrire les vibrations de chacune de ces trois ondes.

La notation classique nous a permis d'crire la vibration s'effectuantparalllement l'axe de propagation dans la direction des x croissants comme :

=

cos),( 0 ,

or la notation complexe permet d'crire :

( ) sincosexp +== .Donc, dans le cas qui nous intresse ici, on voit qu'il est possible d'identifier lavibration Ux(x,t) comme la partie relle d'une vibration complexe ayant la forme :

Fluide 1

Fluide 2


28/34

-28-

=

exp),( 0

dont la partie relle correspond bien la vibration se propageant dans la directiondes x croissants. On peut alors crire les trois ondes, incidente, rflchie ettransmise, en notation complexe :

=

+=

=

2

0

1

0

1

0

exp

exp

exp

On peut en tirer les coefficients de rflexion et de transmission pour les amplitudesde vibration :

=

=

=

=

=

=

0

0

0

0

0

0

On utilise alors les conditions aux limites l'interface : Il y a continuit des amplitudes (l'interface est suppose ne rien absorber) d'o :

( ) ( )

=+== 00

soit : 000

=+

Il y a galement continuit des pressions :

( ) ( ) 00 == =+ , or += 0 o 0 est une constante, on obtient donc unerelation entre les pressions acoustique :

( ) ( ) 00 == =+

Exprimons les amplitudes en fonction des pressions acoustiques :

=

=

+=

=

=

=

2

0

222

10

111

1

0

111

exp1

exp

1

exp1

En x=0, et , la continuit des pressions s'crit alors :

( ) 022

00

11

=

soit :022

11

00

=


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-29-

On peut donc, de la mme faon que pour les amplitudes de vibration, dfinir descoefficients de rflexion et transmission pour les amplitudes de surpression (pressionacoustique) :

==

=

==

=

=

=

22

11

0

0

22

11

0

0

0

0

Rcrivons les deux conditions aux limites en fonctions des coefficients de rflexionet transmission :

=

=+

=

=+

=

=+

22

11

0

0

22

11

0

0

0

0

0

0

0

22

1100

000

1

1

1

1

par sommation :

+=

+=

22

2211

22

1112

2211

222

+=

par consquent :

= 1

1122

1122

+

=

Il s'agit prsent de faire intervenir les impdances acoustiques, dfinies comme :

1

== , d'o :11

1

1

= et22

2

1

= .

On peut donc exprimer les coefficients de rflexion et transmission en fonction desseules impdances acoustiques des deux milieux fluides en contact :

+

==

+=

+=

21

21

21

1

21

2

1

2

11

2

De mme, pour les coefficients de rflexion et transmission des amplitudes desurpression :

+==

+==

21

2

22

11

21

12

2

Bilan :

21

2

21

1

21

12

21

21

22

+=

+=

+

=+

=


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-30-

Dfinissons prsent des coefficients de rflexion et transmission propres auxintensits des ondes. L'intensit acoustique, ou encore la puissance surfacique, a tdfinie comme :

2

20= .

Or, l'amplitude de pression acoustique s'exprime : 000 == . L'intensitpeut donc s'crire galement comme :

0000

2

1

2

1

==

On dfinit alors les facteurs de rflexion et de transmission :

===

00

00

2

21

21

+

=

===

00

00

( )221

214

+=

Et on vrifie bien que 1=+ , ce qui traduit le fait que l'interface n'absorbe pas.

On peut alors tudier les cas limites :

Si les impdances acoustiques des deux milieux sont identiques ( 21 = ), alorson remarque que 0= et 1= . Il n'y a donc pas de rflexion, l'onde esttotalement transmise d'un milieu l'autre. On dit qu'il y a adaptation d'impdancedes deux milieux.

Si 21


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-31-

Nous allons considr cette fois-ci une incidence non plus normale mais. On aura alors coup sr rflexion totale de l'onde acoustique

( fluidesolide >> ).

L'onde incidente est transversale,autrement dit les vibrations ont lieu dans unplan perpendiculaire au plan d'incidence :

. Par rflexion sur l'interface, elledonne naissance une autre onde

transversale telle que

, ainsi qu'

une onde longitudinale telle que

.

La loi de rfraction de permet de dire que = puisquel'onde transversale rflchie se propage la mme vitesse que l'onde transversaleincidente.

D'autre part, on doit vrifier :

sinsin= (loi de ).

Or

> , donc sinsin > , et a fortiori on a : >

L'onde incidente est longitudinale,donc les vibrations ont lieu dans le sens de

la propagation (

// ). Par rflexion, il se

cr une onde longitudinale (

// ) ainsi

qu'une onde transversale (

)perpendiculaire au plan d'incidence.

On a encore = , mais cette fois

sinsin= . Comme on a toujours

> , alors sinsin < , et donc < .

O

O


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-32-

Considrons deux milieux solides (1) et (2) caractriss par les vitesses depropagations longitudinales et transversales (

,

) et (

,

).

L'onde incidente est longitudinale : (on suppose


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-33-

On a vu que dans un milieu solide, il pouvait y avoir la fois propagationd'ondes longitudinales et propagation d'ondes transversales, les premires tanttoujours plus rapides que les secondes (

>

).

Ainsi, les premires secousses sismiques enregistres par un sismographesseront toujours les : on les appelle " " (du latinprimae). Les parviennent alors avec un dcalage d'autant plusgrand que l'picentre du sisme est loign de la station d'enregistrement : on lesappelle " " (du latin secundae).

Les ondes les plus intenses sont gnralement les transversales (ondes S) :ce sont les plus destructrices. Il est heureux qu'elles parviennent avec un dcalagepar rapport aux ondes P qui peuvent ainsi servir d'avertissement l'arrive dessecousses plus intenses que sont les ondes S.

Les ondes sismiques sont gnralement de trs basse frquence (de l'ordredu hertz).

Il est difficile d'appliquer directement les rsultats que l'on vient d'tablir dansce cours pour tudier la propagation des ondes sismiques dans le globe terrestre ;ceci pour diffrentes raisons :La terre n'est pas un matriau homogne : la diversit gologique de la crouteterrestre implique des vitesses de propagation diffrentes selon les matriauxtransverss. Plus en profondeur, la diversit est moindre (le manteau estessentiellement constitu d'un mme matriau) mais la pression augmente avec laprofondeur ce qui a pour effet d'augmenter d'autant la vitesse de propagation. Nousverrons galement que la traverse de discontinuits implique galement des effetscomplexes dont le plus simple est par exemple l'extinction d'une onde S l'interfacemanteau-noyau externe, ce dernier tant liquide.

MANTEAU

(solide)

NOYAU

EXTERNE

(liquide)

NOYAUINTERNE

(solide)

Crote

(grande diversit

gologique)


34/34

Laugmentation continue de la vitesse de propagation avec la profondeur a parailleurs pour effet la . Pour expliquer cephnomne, considrons l'interface solide-solide entre deux milieux de vitessesinfiniment voisines, celle de la couche infrieure tant lgrement suprieure cellede la couche suprieure. Regardons ce qu'il advient du trajet d'une onde sismiqueattaquant la discontinuit de faon oblique :

sin1sinsin

sinsin

+=

+=

+=

Donc

est trs lgrement suprieur

, d'o

l'apparition d'une courbure du rai sismique.

Remarque : les vitesses tant trs proches, lesimpdances le sont galement, ce qui implique qu'il n'y apas de rai rflchi.

A l'chelle du globe, voici ce qu'on observerait s'il n'y avait pas dediscontinuit :

Le problme se complique encore puisqu'il existe des discontinuits trs marquestelles que les passages du manteau au noyau externe, du noyau externe au noyauinterne La prise en compte de toutes ces particularits ncessite une dnominationprcise des ondes sismiques rendant compte de leurs trajets au sein du globe :

P : onde directePP : 1 rflexion en surfacePcP : 1 rflexion sur le noyau externe(en anglais)PkP : transmission par le noyauexterne (en allemand)

Remarque : on utilise Ipour reprer lenoyau interne ().La combinaison de tous ces symbolespermet de dcrire le trajet le plus

bizarre qui soit !

Globe compltement homogne La vitesse augmente avec la profondeur

P

PP

PcP

PkP

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Cours de Physique Ondulatoire Pour Geologues