Processus à régularité locale prescrite

C. R. Acad. Sci. Paris, t. 333, Série I, p. 233–238, 2001Probabilités/Probability Theory(Analyse mathématique/Mathematical Analysis)

Processus à régularité locale prescrite

Antoine AYACHE a, Jacques LÉVY VÉHEL b

a Laboratoire de statistique et de probabilités, Université Paul-Sabatier, 118, route de Narbonne,31062 Toulouse cedex, France

b IRCcyN, UMR 6597, B.P. 92101, 44321 Nantes cedex 03, FranceCourriel : [email protected]; [email protected]

(Reçu le 4 février 2001, accepté après révision le 23 avril 2001)

Résumé. La fonction de Hölder associée à une fonction permet de mesurer les variations locales deson irrégularité. Dans [4], il est montré queH est la fonction de Hölder d’une fonctioncontinuef si et seulement siH s’écrit comme une limite inférieure de fonctions continues.Une construction possible def repose sur une généralisation de la célèbre fonction deWeierstrass. Dans cette Note nous transposons ce résultat au cadre stochastique. 2001Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS

Processes with prescribed local regularity

Abstract. The local variations of the irregularity of a function can be measured by the associatedHölder function. It is shown in[4] thatH is the Hölder function of a continuous functionfif and only if H may be written as a lower limit of continuous functions. One possibleconstruction off consists in generalizing the well-known Weierstrass function. In this Note,this result is extended to the stochastic context. 2001 Académie des sciences/Éditionsscientifiques et médicales Elsevier SAS

Abridged English version

Let X = X(t)t∈[0,1] be a continuous and nowhere differentiable stochastic process. The Hölderprocess ofX is defined for allt as:

αX(t) = supα

limsup

h→0

|X(t+ h)−X(t)||h|α = 0

.

This process allows to measure the local variations of the irregularity ofX . It is shown in [4] in thedeterministic context, that a functionH is the Hölder function of a continuous functionf if and only ifH is of the formH(t) = lim infH(t), for all t, where theH are continuous functions (in fact, it is notrestrictive to suppose that theH are Hölder functions whose Hölder constants increase slowly whengoes to infinity, i.e.,c = O()). The aim of this Note is to construct a continuous random processWextending the well-known Weierstrass function and whose Hölder process may be, with probability1, anylower limit of continuous functions with values in a compact of]0,1[. More precisely, letL = (p)p∈N

be the sequence defined as1 = 1 and for allp 2, p =[

1−a′

1−b′ p−1

]+ 1, wherea, b, a′, b′ are fixed

Note présentée par Jean-Pierre KAHANE.

S0764-4442(01)01994-2/FLA 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés 233

A. Ayache, J. Lévy Véhel

reals satisfying1 > b′ > b > a > a′ > 0. Let (H)∈L denote a sequence of(β, c)-Hölder functions withvalues in[a, b] and such thatc = O() (we say thatf is a (β, c)-Hölder function if for allt1, t2 we have|f(t1)− f(t2)| c |t1 − t2|β ). At last, let(ε)∈L denote a sequence of real random variables such that

∞∑p=1

P(|εp | /∈

[−2p , p

])<+∞.

This last condition is satisfied when, for instance, theε are square integrable, have the same distributionand a bounded probability density. It follows from the Borel–Cantelli lemma that there exists an eventΩ∗,with probability1, such that for allω ∈ Ω∗ there existsp0 satisfying for allp p0,

−2p

∣∣εp(ω)∣∣ p.

Setλ = 4k, wherek ∈ N∗. We will show that the random, lacunary Fourier series,W (t)t∈[0,1] defined

for all t ∈ [0,1] andω ∈ Ω∗ as

W (t, ω) =∑∈L

λ−H(t) sin(λt)ε(ω)

andW (t, ω) = 0 else, satisfies almost surely, for allt, αW (t) = lim infH(t). Thus, this constructionallows to build stochastic processes with an arbitrary singularities spectrum. These processes are notobtained via a multiplicative cascade and yet they can be multifractal.

1. Introduction

Pour simplifier, nous supposons que tous les processus dont il est question dans cette Note sont indexéspar [0,1] et à valeurs réelles. L’extension de nos résultats à des processus à valeurs réelles indexés parun pavé compact deRd, ne posent pas de problèmes essentiels. Par ailleurs, nous nous intéressons àdes processus dont les trajectoires sont presque sûrement des fonctions continues et nulle-part dérivables.SoitX un processus de ce type, le processus de Hölder associé àX , est défini pour toutt par :

αX(t) = supα

limsup

h→0

|X(t+ h)−X(t)||h|α = 0

.

Il permet de mesurer les variations locales de l’irrégularité deX . Dans [4], il a été montré qu’unefonctionH est la fonction de Hölder d’une fonctionf déterministe et continue si et seulement siH s’écritcomme une limite inférieure de fonctions continues, i.e. pour toutt, H(t) = lim infH(t), où lesH sontcontinues (on peut supposer, sans perte de généralité, que lesH sont des fonctions höldériennes avec desconstantes de Hölder croissant lentement, i.e. enO(), voir [4]). Une construction possible repose sur unegénéralisation de la célèbre fonction de Weierstrass. L’objectif de cette note est de transposer ce résultatau cadre stochastique. Plus précisément, nous construisons un processus aléatoire continu, généralisant lafonction de Weierstrass et dont le processus de Hölder peut être, avec probabilité1, n’importe quelle limiteinférieure de fonctions continues, à valeurs dans un compact de]0,1[.

2. Construction de W

Dans toute cette partiea, b, a′, b′ sont des réels tels que1 > b′ > b > a > a′ > 0 et L = (p)p∈N est lasuite d’entiers défini par1 = 1 et pour toutp 2 parp =

[1−a′

1−b′ p−1

]+ 1 ; (H)∈L désigne une suite de

fonctions(β, c)-höldériennes à valeurs dans[a, b] et telles quec = O() etβ > b (on dit qu’une fonctionf

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est(β, c)-höldérienne si, pour toutt1, t2, on a|f(t1)− f(t2)| c |t1 − t2|β ) ; ε∈L désigne une suite devariables aléatoires réelles telles que

∞∑p=1

P(|εp | /∈

[−2p , p

])<+∞.

Cette dernière condition est par exemple vérifiée lorsque lesε sont identiquement distribuées, admettentun deuxième moment et une densité bornée. Ainsi, d’après le lemme de Borel–Cantelli, il existe unévénementΩ∗, de probabilité1, tel que : pour toutω ∈Ω∗, il existep0, vérifiant pour toutp p0

−2p

∣∣εp(ω)∣∣ p. (1)

Ces inégalités joueront un rôle essentiel dans tout ce qui va suivre. Tous les processus considérés ci-dessous seront supposés nuls en toutω /∈ Ω∗. Notre objectif sera d’établir le théorème suivant.

THÉORÈME 1. – Soitλ un entier naturel non nul divisible par4 et soitW (t)t∈[0,1], la série de Fourieraléatoire lacunaire, définie lorsqueω ∈Ω∗ par

W (t, ω) =∑∈L

λ−H(t) sin(λt)ε(ω),

alors pour toutω ∈Ω∗ et toutt ∈ [0,1], on a

αW (t, ω) = lim infp→∞

Hp(t).

Fixons un réelε > 0 arbitrairement petit,t ∈ [0,1] etω ∈ Ω∗. Il existep1 p0 tel que, pour toutp p1,Hp(t) H(t)− ε. Posons pour touts ∈ [0,1],

Wp1 (s,ω) =p1∑

p=1

λ−Hp (s)p sin(λps

)εp(ω) et W (s,ω) =W (s,ω)−Wp1(s,ω).

Il résulte du théorème des accroissements finis qu’il existeC1 > 0 une constante telle que pour touts′, s′′ ∈ [0,1], on a ∣∣Wp1(s

′, ω)−Wp1(s′′, ω)

∣∣C1 |s′ − s′′|β .

ÉTAPE 1. – Montrons qu’il existe une constanteC2 > 0, telle que, pour|h| 1,∣∣W (t+ h,ω)− W (t, ω)∣∣C2 |h|H(t)−2ε.

En utilisant (1) et le fait quesupn∈N nλ−nε <+∞, on a∣∣W (t+ h,ω)− W (t, ω)

∣∣∑∈L

∣∣λ−H(t+h) − λ−H(t)∣∣

+∑∈L

λ−(H(t)−ε)∣∣ sin(λ(t+ h)

)− sin

(λt)∣∣

C3(logλ) ·(

+∞∑n=0

n3λ−na

)|h|β

+C4

+∞∑n=0

λ−n(H(t)−2ε)∣∣ sin(λn(t+ h)

)− sin

(λnt)∣∣.

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Soitm ∈ N l’entier tel queλ−(m+1) |h|< λ−m. On a

+∞∑n=0

λ−n(H(t)−2ε)∣∣ sin(λn(t+ h)

)− sin

(λnt)∣∣( m∑

n=0

λ(1−H(t)+2ε)n

)|h|+ 2

+∞∑n=m+1

λ−n(H(t)−2ε)

λ(m+1)(1−H(t)+2ε)

λ(1−H(t)+2ε) − 1|h|+ 2λ−(m+1)(H(t)−2ε)

1− λ−(H(t)−2ε)

C5 |h|H(t)−2ε.

ÉTAPE 2. – SoientL = p ∈ L; p > p1 et Γε = ∈ L; H(t) − ε H(t) H(t) + ε. Montronsqu’il existe une constanteC6 > 0 et une suite(hN )

N∈Γε/4qui tend vers0 telles que: pour toutN ∈ Γε/4,∣∣W (t+ hN , ω)− W (t, ω)

∣∣C6 |hN |H(t)+ε/3.

Pour toutN ∈ Γε/4 posonshN = (−1)δ(N) π2 λ

−N , oùδ(N) ∈ 0,1 est tel que∣∣ sin(λN (t+ hN ))− sin

(λN t

)∣∣ 1. (2)

On a, en utilisant (1) et le fait quehN = (−1)δ(N) π2 λ

−N ,∣∣W (t+ hN , ω)− W (t, ω)− λ−NHN (t)(sin(λN (t+ hN )

)− sin

(λN t

))εN(ω)

∣∣A(hN ) +A′(hN ) +A′′(hN ),

où

A(h) =∑

∈LΓε

λ−H(t)∣∣ sin(λ(t+ h)

)− sin

(λt)∣∣

A′(h) =∑∈Γε

<N

λ−H(t)∣∣ sin(λ(t+ h)

)− sin

(λt)∣∣

et

A′′(h) =∑∈L

∣∣λ−H(t+h) − λ−H(t)∣∣ .

On en déduit que

A(h) +∞∑n=0

λ−n(H(t)+ε)n∣∣ sin(λn(t+ h)

)− sin

(λnt)∣∣

C7

+∞∑n=0

λ−n(H(t)+ε/2)∣∣ sin(λn(t+ h)

)− sin

(λnt)∣∣,

puisquesupn∈Nλ−nε/2n <+∞. Ensuite en raisonnant comme dans l’étape 1, on peut montrer que

A(h) C8 |h|H(t)+ε/2. (3)

SoitLN = sup∈ Γε; <N. On a

A′(h) C8

LN∑n=0

λ−n(H(t)− 32 ε)∣∣ sin(λn(t+ h)

)− sin

(λnt)∣∣C8

λ(1−H(t)+ 32 ε)(LN+1)

λ(1−H(t)+ 32 ε) − 1

|h|. (4)

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Nous supposerons que32 ε <min(a− a′, b′ − b). On a donc

1− a′ > 1−(H(t)− 3

2ε

)> 1−

(H(t) +

32ε

)> 1− b′.

Par suite, (1−

(H(t) +

32ε

))N

(1−

(H(t)− 3

2ε

))LN ,

et (4) entraîne alors

A′(hN ) C′9 λ

N(1−(H(t)+ 32 ε))|hN | C9 |hN |H(t)+ 3

2 ε. (5)

En raisonnant comme dans l’étape 1, on peut montrer que∣∣A′′(h)∣∣C10|h|. (6)

Finalement, il résulte de (1), (3), (5) et (6) que, pour toutN ∈ Γε/4, assez grand

∣∣W (t+ hN , ω)− W (t, ω)∣∣N−2λ−N(H(t)+ε/4)

∣∣ sin(λN (t+ hN ))− sin

(λN t

)∣∣−A(hN )−A′(hN )−A′′(hN )

C11|hN |(H(t)+ε/3) −C8|hN |H(t)+ε/3 −C9|hN |H(t)+(3/2)ε −C10|hN |>C12|hN |(H(t)+ε/3).

3. Conclusion

Nos remarques concernent l’analyse multifractale (voir par exemple [3]). En effet, dans le cas oùH esttrès irrégulière, ce qui est possible avec la construction ci-dessus, on préfère souvent décrire la régularitédeW de façon globale, à travers son spectre de singularité. Rappelons que ce spectre est la fonctionf quià toutα associef(α) = dimHEα, où dimH désigne la dimension de Hausdorff etEα = t :H(t) = α.Pour une fonction de Weierstrass standard ou un mouvement brownien fractionnaire, le spectre est réduit àun point et ces fonctions sont parfois qualifiées de « monofractales ». L’exemple paradigmatique de fonctionmultifractale est la fonction de répartition d’une mesure binomiale : on se fixe un réelm0 dans[0,1/2] eton définit la suite de mesures(µn) par :

µn

(Ikn

)=m

nϕ0(k,n)0 m

nϕ1(k,n)1 ,

oùm1 = 1−m0, Ikn = [k2−n, (k+1)2−n[,ϕ0(k,n) est la proportion de0 dans le développement en base2

d’un réel deIkn jusqu’à l’ordren, etϕ1(k,n) = 1−ϕ0(k,n) (i.e.

ϕ0(k,n) =∑n

i=1(1− ti)n

, pourt=∞∑

i=1

ti2−i, t1 = 0 ou1 et t ∈ Ikn).

La suite (µn)n converge faiblement vers une mesureµ appelée mesure binomiale ;µ et sa fonctionde répartition ont un spectre multifractal en forme de∩, et la fonction de Hölder associée est partoutdiscontinue. Elle est donnée par

H(t) = −ϕ0(t) log2m0 − ϕ1(t) log2m1,

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où

ϕ0(t) = lim infn→∞

∑ni=1(1− ti)

net ϕ1(t) = 1−ϕ0(t).

On peut généraliser cette construction en rendant les « poids »m0 et m1 aléatoires, de façon à obtenirun processus stochastique multifractal, c’est-à-dire dont le spectre n’est pas réduit à un point. On parlealors de cascade aléatoire, et ce type de processus est presque systématiquement invoqué quand il s’agit demodéliser des phénomènes stochastiques multifractals.

De ce point de vue, l’avantage de la construction présentée dans cette Note est qu’elle permet d’obtenir,de façon élémentaire, un processus dont le spectre multifractal est le plus général possible, puisque leprocessus de Hölder deW est de la forme la plus générale. Ainsi, pour obtenir un spectre du même typeque celui d’une mesure binomiale, c’est-à-dire en∩, il suffit de prendre une suite de fonctions continues,dont la limite inférieure est de la formeH(t) = −ϕ0(t) log2m0 − ϕ1(t) log2m1. Mais des spectres trèsdifférents sont aussi possibles. Notons que l’obtention d’un spectre prescrit est crucialement liée au faitque notre construction garantit que, presque sûrement, pour toutt, l’exposant de Hölder est bienH(t), etpas seulement le résultat moins fort que, quel que soitt, presque sûrement l’exposant de Hölder estH(t).En particulier, les ensemblesEα sont, dans notre cas, «déterministes », alors qu’ils sont aléatoires pour lamesure binomiale stochastique. On pourrait rendre lesEα pourW aléatoires en choisissant unH aléatoire.D’ailleurs, la détermination du spectre presque sûr des cascades aléatoires est beaucoup plus difficile quepourW [2].

En résumé, notre construction fournit un procédé simple pour obtenir un processus aléatoire dont leprocessus de Hölder peut être prescrit dans le cadre le plus général, ce qui autorise en principe l’obtentionde n’importe quel spectre multifractal presque sûr. Cette construction n’est pas à base de cascade, et ellepourrait donc permettre de modéliser des phénomènes multifractals dans lesquels aucun mécanisme decascade ne semble à l’œuvre (comme par exemple certains trafics sur Internet).

Remerciements. Les auteurs tiennent à remercier vivement Julien Barral et Jacques Peyrière pour leurs importantscommentaires sur les versions précédentes de cette Note.

Références bibliographiques

[1] Ayache A., Lévy Véhel L., The generalized multifractional Brownian motion, SISP 1 (2) (2000) 7–18.[2] Barral J., Continuity of the multifractal spectrum of a random statistically self-similar measure, J. Theor.

Probab. 13 (4) (2000) 1027–1060.[3] Brown G., Michon G., Peyrière J., On the multifractal analysis of measures, J. Statis. Phys. 66 (3–4) (1992) 775–

790.[4] Daoudi K., Lévy Véhel J., Meyer Y., Construction of continuous functions with prescribed local regularity, Const.

Approx. 14 (3) (1998) 349–385.

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