Colles PSI1, Saint Louis, 2017-2018 Page 2

Programme de colle en PSI1

semaineS S17-S18 du 5 au 16 février 2018

Idem programme précédent +

• Organisation d’une résolution de problème de dynamique

o Tracé des outils de réflexion et de calcul : graphe d’analyse et figures de calcul.

o Énoncé argumenté d’une méthode de résolution (énergétique vs dynamique)

o Énoncé structuré et argumenté d’une stratégie d’isolements (chaîne vs boucle,

élimination vs préservation de variables, variables charnières communes aux

isolements, utilisation de l’hélicoïdale, etc.)

o Énoncé complète de l’expression vectorielle ou scalaire à calculer pour répondre à

l’objectif posé

o Calculs structurés et argumentés (point fixe, CdI, etc.)

• Équilibrage statique et dynamique : définition, condition de réalisation, technique

d’équilibrage statique et dynamique

• Vocabulaire associé aux trains d’engrenage : simple, plan, sphérique, complexe, valseur,

type des trains épicycloïdaux

• Trains simples et trains épicycloïdaux :

o schéma cinématique plan à savoir faire

o définition du rapport de transmission à calculer

o calcul du rapport de transmission par RSG et/ou application de la formule de Willis

en référentiel tournant

o résolution et vérification de la cohérence du résultat

Révisions : D’ICI LES VACANCES D’HIVER :

TOUTE LA MECANIQUE DE SUP ET DE SPE :

- Géométrie, cinématique du point, cinématique du solide,

- Modélisation des actions mécaniques (passage local-global pas revu), frottement sec

(Coulomb, adhérence, etc.),

- Mobilité et staticité des mécanismes

STRUCTURE ET COMPOSANTS DES CHAINES FONCTIONNELLES

- Mesure de position, de vitesse, de force

- Actionneur : MCC et vérin

- Pré-actionneur : hacheur, contacteur (pneumatique pas revu)

- Conversion analogique/numérique, échantillonnage

AU RETOUR DES VACANCES D’HIVER

TOUTE L’AUTOMATIQUE CONTINUE

- Modèles des signaux et des systèmes, en temporel et fréquentiel

- Performances et stabilité

- Correcteurs : P, I, PI, Avance de Phase, PIAvPh

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Programme de colle en PSI1

semaineS S14-S16 du 16 janvier au 4 février

2018

Idem programme précédent +

Quantités cinétiques et dynamiques

• définition des torseurs cinétique et dynamique pour un solide et pour un ensemble de solides ;

• calcul des résultantes cinétiques et dynamiques par dérivation ;

• calcul des moments cinétique et dynamiques dans le cas général en un point quelconque A ;

• formules de Varignon

• formules dans les cas particuliers : au centre d’inertie, en un point fixe dans le mouvement, en un point fixe du référentiel galiléen.

• calcul en projection sur un axe. Cas particulier de l’axe fixe dans un référentiel galiléen. NB : le tableau des ‘chemins de calcul’ du moment dynamique sera vu vendredi 20 janvier

Quantités inertielles

• détermination de la masse et du centre d’inertie traité en début de chapitre ;

• définition de l’opérateur d’inertie, de la matrice d’inertie dans une base liée au solide. Diagonalisabilité. Signification des moments et produits d’inertie, unité.

• définition de la matrice principale d’inertie ; conséquence sur les moments d’inertie ;

• définition de la matrice centrale d’inertie ;

• utilisation des symétries matérielles pour simplifier la matrice d’inertie ;

• utilisation de l’hypothèse de plaque ou de poutre pour simplifier la matrice d’inertie ;

• déplacement de la matrice d’inertie (Théorème de Huygens généralisé) ;

• déplacement d’un moment d’inertie autour d’une droite centrale à une droite parallèle (Théorème de Huygens)

• application à la détermination de la matrice d’inertie d’un solide composé de solides de formes simples, si la matrice d’inertie de chacun est données.

Retour sur le calcul de l’énergie cinétique

• justification claire du recours au TEC pour établir une loi de mouvement, démarche générale de calcul de Jéq et de Méq

• définition de l’Ec par le comoment des torseurs cinétique et cinématique, démonstration à connaître

• savoir retrouver les cas particuliers (calculs au centre d’inertie et en un point fixe du solide par rapport au repère de référence) et l’appliquer à des cas quelconques

Révisions

• frottement sec, frottement exponentiel sur une poulie (à partir du 23 janvier, expression,

schéma et démonstration)

• rapport de transmission et trains d’engrenages simples. Trains épicycloïdaux (à partir du 30

janvier, schéma cinématique, méthode générale par RSG, par changement de référentiel)

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Programme de colle en PSI1

semaineS S14-S15 du 22 janvier au 2 février

2018

Tout problème de dynamique :

- Loi de mouvement :

o Justification argumentée du choix de la démarche suivie (boucle, chaîne, mobilité unitaire ou non),

des isolements réalisés, des théorèmes appliqués, des projections calculées.

o Enoncé littéral complet des théorème utilisés et écriture de l’expression scalaire à établir

o Calcul structuré en partant de l’objectif

- Détermination des actions de liaison : stratégie d’isolement, choix des théorèmes, etc.

- Application à l’équilibrage dynamique de solides en rotation autour d’un axe fixe.

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Programme de colle en PSI1

semaineS S12-S13 du 8 au 19 janvier 2018

Idem programme précédent +

Loi de mouvement - démarche générale pour obtenir une loi de mouvement : choix entre PFD (théorèmes généraux) ou

TEC

Puissance - savoir définir et calculer toutes les puissances (intérieures et extérieures) d’un ensemble de solides par

comoment

- cas particuliers à identifier (liaisons énergétiquement parfaites, actionneurs, RSG, etc.)

Energie cinétique - EC d’un point, d’un solide, d’un ensemble de solides :

o recherche des trois cas particuliers, expression de l’énergie cinétique associée,

o calcul par comoment dans les autres cas.

o démarche et calcul : inertie équivalente vue par…, masse équivalente vue par…

Dynamique (approche vectorielle) - définition et expressions des éléments de réduction des torseurs cinétique et dynamique pour un point,

un solide, un ensemble de solides

- formules vectorielles de dynamique à connaître pour un point, un solide, un ensemble de solides :

o moment cinétique en A (pt quelconque) ou en G (centre d’inertie)

o moment dynamique en A ou en G

o à partir des données inertielles en A ou en G

o chemins préférentiels et arguments de choix

- calculs en projection : démarche pratique de calcul

Inertie (à traiter solide par solide) - définition de l’opérateur d’inertie

- relativement à un repère associé à un solide, structure de la matrice d’inertie, expression et

signification des moments et produits d’inertie

- utilisation des symétries pour simplifier la matrice d’inertie

- expression d’un moment d’inertie autour d’un axe à partir de la matrice

- formules de Huygens et Huygens généralisé

NB : pour les semaines 12 et 13 - les exercices ne concerneront que le TEC, argumentation comprise

- questions de cours sur les définitions, expressions et significations des quantités d’inertie, cinétiques et

dynamiques.

Les exercices de dynamique débuteront en TD la semaine 13

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Programme de colle en PSI1

semaineS S9-S11 (27/11 au 15 /12 2017)

Statique : synthèse Types de problèmes à identifier et démarches associées

• Type ‘guidage’ : nombre de PFS à écrire, degré d’hyperstaticité, détermination des inconnues de liaison en

fonction des AM imposées, résolution ‘à la main’ ou ‘matricielle’.

• Type ‘loi de mouvement’ : équilibre par actionneur, équilibre gravitaire (type balance), limite d’équilibre

(basculement), contact avec frottement (utilisation de l’hypothèse de limite du glissement)

• Chaîne ou boucle : démarche imposée ou stratégie à déterminer

Démarche commune

• Graphe d’analyse (attention aux actionneurs !)

• Modèle spatial vers modèle plan : justification puis simplification des torseurs

• Analyse

• Écriture sous forme de produits scalaires ou produits mixtes, résolution

• Vérification a posteriori de la cohérence des résultats sur des cas particuliers (homogénéité et signe)

Analyse pour une chaîne

• Structure de chaîne : démarche unique et commune aux problèmes « guidage » et « mouvement, modèle

isostatique par construction

• Équations utiles aux ‘lois de mouvement’ et équations utiles aux actions de liaison

Analyse pour des boucles

• Étude préalable : isolement du « tout » ? sinon recherche des équilibres sous « deux glisseurs »,

conséquences sur la diminution des inconnues de liaison (choix de la base adéquate pour les torseurs)

• Recherche des sous-ensembles à isoler par élection de variables conservées (servant de charnières aux

isolements) et élimination d’inconnues non cherchées (au bâti notamment);

• Choix du théorème : 1- en fonction de la nature du mouvement des pièces lors de la rupture d’équilibre, 2-

en fonction des variables « à éliminer » ou « à garder »

• Choix analytique : direction de projection et choix du point pertinent pour le TMS

Dynamique (questions de cours semaine 9) • Matière : point, solide, masse, centre de masse, symétrie matérielle, simplification uni- ou bidimensionnelle

• Énoncé du PFD : pour un point, pour un solide avec le torseur dynamique, pour un ensemble de solides

Énergétique (questions de cours semaine 10) • Energie cinétique galiléenne d’un point et d’un solide

• Moment d’inertie : signification et calcul sur formes simples (point, barre, plaque, cylindre)

• Cas particuliers : « en G », « autour d’un axe fixe », « en translation »

• Energie cinétique galiléenne d’un ensemble de solides

• Si mobilité unique : définition et calcul d’un moment d’inertie équivalent ramené sur un mouvement et

d’une masse équivalente ramenée sur un mouvement.

TEC (question de cours semaine 11) : • Puissances intérieures et extérieures pour un ensemble isolé

• Détermination de la loi de mouvement d’un mécanisme, pour des mécanismes à mobilité unique

• Rendement global d’une chaîne de transmission de puissance

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Programme de colle en PSI1

semaineS S7-S8 (13 au 24 novembre 2017)

Statique :

• Liaisons : nomenclature, schématisation, repère adapté, nombre de ddl

• Torseurs d’action mécanique transmissible par les liaisons : déduction du torseur cinématique par le

comoment, unités des éléments de réduction, point, base, simplification 2D, glisseurs, couple.

• Graphe d’analyse : liaison + paramètres géométriques des liaisons + actions mécaniques, en distinguant les

AM extérieures et intérieures entre solides d’un système isolé

• Condition de simplification d’un problème spatial en un problème plan, conséquence sur le torseur

cinématique et d’action mécanique notamment pour les liaisons pivot

• PFS galiléen

• Solides en équilibre sous deux glisseurs, trois glisseurs : conséquences graphiques et analytiques

• Lois de Coulomb en glissement, en adhérence stricte et à la limite du glissement.

• Stratégie de résolution (guidée pour la semaine 7)

Théorie des mécanismes

• Nombres cyclomatique : définition, expression et signification

• Degré (ou indice) de mobilité du modèle : définition, expression et signification

• Degré d’hyperstaticité : définition, expression et signification (à partir du rang rc de la fermeture cinématique

de boucle)

• Mobilités utiles : variables utiles indépendantes (recherchées par les actionneurs indépendants, ou les lois

entrée-sortie indépendantes)

• Mobilités internes : variables libres restantes

• Degré d’hyperstaticité : formule synthétique

• Cas multi boucle

• Restriction au cas plan.

• Formule cinématique d’estimation de h.

• Intérêts/inconvénients de l’hyperstaticité

• Rendre un modèle isostatique : proposition de modification de liaisons et vérification

Modélisation analytique « en efforts » des mécanismes.

• Énoncé du PFS pour une classe d’équivalence

• Nombre de PFS à écrire en lien avec le nombre de solides

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Programme de colle en PSI1

semaineS S5-S6 (15-10 au 10-11 2017)

Toute l’automatique de sup

Toute l’automatique de spé : précision, sensibilité, amortissement, stabilité. Critères et calculs sur FTBO et FTBF.

Choix à justifier.

Tout le programme de géométrie et de cinématique de sup :

• Modélisation graphique des mécanismes : structure et liaison

• Torseurs : signification, réduction, comoment, automoment, glisseur, couple, etc.

• Liaisons : schématisation, torseurs cinématiques et d’AM transmissibles, dualité

• Modélisation analytique cinématique des mécanismes, détermination de loi entrée-sortie géométrique ou

cinématique par dérivation

• Liaisons équivalentes série et parallèle (uniquement par la cinématique), notion d’hyperstaticité par

l’équation « 0=0 » dans une fermeture cinématique d’une boucle.

À partir de S6 :

- Tout calcul de cinématique, du point (dérivation vectorielle) et du solide, y compris RSG.

- Révision de statique de première année

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Programme de colle en PSI1

semaineS S3-S4 (02-10 au 13-10 2017)

Idem programme précédent + liaisons normalisées, outils vectoriels et torsoriels à partir de S4

Positionnement des pôles de la FTBF

• Comportement de la réponse impulsionnelle lié à la position des pôles dans le plan complexe (partie réelle…)

• Synthèse sur la simplification de modèle basé sur le positionnement relatif des pôles (réel/réel) et

(complexes conjugués/complexes conjugués)

Stabilité d’une boucle

• Critère algébrique sur la FTBF : critère de Routh et ses conséquences : condition suffisante d’instabilité, CNS

de stabilité pour les 1er, 2ème et 3ème ordres.

• Équation caractéristique d’une boucle, justification de l’étude de la FTBO pour l’analyse de la stabilité de la

FTBF (nécessité du retour unitaire).

• Définition (abscisses-ordonnées) des trois lieux représentant la FTBO (Bode, Nyquist, Black), position du

point critique.

• Connaître les conséquences de l’ordre et de la classe de la FTBO sur chacun des lieux (valeurs ou asymptotes

en basse pulsation et asymptote en haute pulsation).

• Définir les marges de stabilité graphiquement sur les diagrammes de Bode (un plus est de connaître aussi

Black). Connaître les ordres de grandeurs de la marge de gain et de la marge de phase attendues.

• Synthèse sur l’influence d’une modification de gain, d’un déphasage, d’un retard, d’une intégration sur

chacun des lieux. En déduire l’influence qualitative sur la stabilité de la boucle.

• Savoir calculer une valeur optimale de correcteur proportionnel étant imposée la marge de phase ou la

marge de gain : insuffisance dans le cas général de ce type de correction.

• Synthèse sur le compromis nécessaire entre réactivité et stabilité

Précision

• Contexte : boucle (consigne→valeur contrôlée) mise conventionnellement à retour unitaire.

• Définition, à partir du signal d’écart, de l’erreur statique, de l’erreur en réponse à une rampe (ou de traînage,

ou en ‘vitesse’), ou en parabole (ou en ‘accélération’). Erreur en valeur ou erreur relative à la valeur de

consigne.

• Déterminer la transmittance donnant l’écart en fonction de la consigne

• Connaître le tableau de précision (signification de tous les paramètres !).

• Synthèse sur l’influence du gain de boucle ouverte et des intégrateurs sur la précision.

• Synthèse sur le compromis nécessaire entre performances et stabilité.

Sensibilité aux perturbations

• Contexte : perturbation additive dans la chaîne directe d’une boucle. Point de vue indépendant de la

performance de précision par application du principe de superposition.

• Déterminer la transmittance donnant l’écart en fonction de la perturbation + démarche complète de calcul

de l’erreur statique dans le cas de la perturbation en échelon.

• Synthèse sur l’influence du gain de boucle ouverte et des intégrateurs sur la sensibilité en fonction de leur

position relative par rapport au point d’entrée de la perturbation dans la chaîne directe.

Technique : fonctionnement et transmittance des hacheurs, codeurs incrémentaux, transmetteurs linéaires, MCC

semaineS S1-S2 (18 au 30 septembre 2017)

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Révision sur les systèmes

- Lecture des diagrammes SysML : noms et rôles de chaque diagramme (des exigences, des cas d’utilisation, de définition de blocs, de blocs interne, de séquence)

- Chaîne fonctionnelle : fonctions et systèmes élémentaires classiques (MCC, réducteur, codeur, hacheur, etc.)

- De la chaîne au schéma fonctionnel puis au schéma-blocs

- Modèles de connaissance et de comportement

- Poursuite et régulation, consigne, perturbation, ordre, écart

- SLCI et Intérêt/nécessité de passer dans le domaine de Laplace Signaux

- Tracé, expression des signaux usuels, retardés et non retardés - Identification de signaux

Systèmes - Hypothèses pour passer dans le domaine de Laplace et théorèmes généraux (avec hypothèses)

- Définition et forme canonique (normalisée) des transmittances : ordre, classe, généralisé, pôles, zéros, gain, gain statique

- Paramètres canoniques (intégrateur, premier et second ordre) avec unités

- Définition des réponses impulsionnelle, indicielle et harmonique ; expressions dans le domaine de Laplace

- Identification des systèmes intégrateur, du 1er et du 2nd ordre par leur réponse indicielle sans et avec abaques

- Évaluation des performances d’un système bouclé sur sa réponse indicielle : précision, rapidité, amortissement

- Stabilité des systèmes (« si entrée bornée alors sortie bornée »), conséquence sur la partie réelle des pôles

- Calcul du gain et de la phase des modèles proportionnel, intégrateur, du 1er et du 2nd ordre, généralisé.

- Tracé des diagrammes de Bode asymptotiques en gain et en phase des modèles intégrateur, du premier et du second ordre ; allure du tracé réel

- Tracé des diagrammes de Bode asymptotiques en gain et en phase pour une transmittance factorisée quelconque ; allure du tracé réel

- Identification des systèmes par leur réponse harmonique : transmittance + paramètres choisis

- Détermination de tout transfert sur un schéma-bloc

- Énoncé et utilisation du principe de superposition.

- FTBO et FTBF d’une boucle : définition et expression ; retour unitaire comme forme unique d’expression des questions d’analyse et de conception

- Équation caractéristique et détermination graphique des marges de stabilité si elles existent : très guidé dans les deux premières semaines.