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Projet TraAM : Formation au calcul et

résolution de problèmes

Document rédigé par le groupe académique de la Réunion, composé de :

Matthieu Bober – collège Jean Le Toullec

Sophie Fur-Desoutter – lycée Jean Hinglo

David Michel – collège Cambuston

Thierry Nourigat – lycée professionnel Jean Hinglo

Terrence Vellard – lycée Jean Hinglo – IATICE

Sous la coordination de Philippe JANVIER, IA-IPR de mathématiques INSPECTION PEDAGOGIQUE REGIONALE DE MATHEMATIQUES

http://maths.ac-reunion.fr/

Production d’un élève de 3ème du collège Jean Le Toullec.

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« Dans la culture, les deux termes, calcul mathématique et raisonnement apparaissent comme antagonistes. Le calcul est opposé au raisonnement tant dans les démarches de pensée qu'il met en oeuvre que dans les formes d'apprentissage qu'il requiert. Le calcul renvoie à une activité mécanique, automatisable, sans intelligence, il est réduit à sa part mécanisée. Son apprentissage renvoie à l'idée d'entraînement purement répétitif. En bref, le calcul est perçu comme renvoyant aux basses oeuvres du travail mathématique, tandis que sa partie noble, celle liée au raisonnement, est plutôt associée à la résolution de problèmes géométriques. Cette image, ancrée dans la culture, est aussi portée par l'enseignement. »1 Dans le programme de Seconde, on lit : « Les activités de calcul nécessitent une certaine maîtrise technique et doivent être l’occasion de raisonner. Les élèves apprennent à développer des stratégies s’appuyant sur l’observation de courbes, l’anticipation et l’intelligence du calcul. Le cas échéant, cela s’accompagne d’une mobilisation éclairée et pertinente des logiciels de calcul formel. » De même, le document Ressource pour la classe sur le calcul au Collège réaffirme la nécessité d’un entraînement aux techniques de calcul, aussi bien mental que posé, et encourage l’utilisation de calcul instrumenté pour la modélisation, l’exploration de phénomènes numériques ou algébriques, ainsi que pour la résolution de problèmes complexes. En Lycée Professionnel, les T.I.C. doivent être utilisées afin d’expérimenter, de conjecturer ou d’émettre des hypothèses, de vérifier des résultats. L’objectif du groupe de travail est de proposer des scénarios de formation des élèves pour les conduire à mettre en œuvre de manière autonome une stratégie de résolution de problèmes ouverts (« tâches complexes ») en lien avec des capacités de calcul du programme. Une réflexion particulière sera portée sur la contribution des outils numériques (tableur, calcul formel) ainsi que sur les compétences développées et leur évaluation.

1 Extrait de « L’Enseignement des Sciences Mathématiques », Commission de réflexion sur l’enseignement des

mathématiques, sous la direction de JEAN-PIERRE KAHANE

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I. Problématique .................................................................................................................. 5

II. Thèmes choisis .................................................................................................................. 7

III. Mise en œuvre d’une tâche complexe – Différentes phases ............................................... 8

IV. Logiciels – Outils numériques utilisés ................................................................................. 9

V. Préparation de fond : Progression spiralée ....................................................................... 10 1. Piste pour l’introduction des tâches techniques ................................................................................................... 10 2. Phase de prise en main des outils numériques ..................................................................................................... 14

VI. Scénarios du Collège en 4ème et/ou 3ème ........................................................................... 15 1. Introduction ......................................................................................................................................................................... 15 2. Mise en place d’une progression ................................................................................................................................. 15 3. Réflexion sur la régulation de l’outil numérique .................................................................................................. 20 4. Grille d’évaluation pour l’élève en lien avec les items du Socle Commun .................................................. 24 5. Somme de 3 entiers consécutifs (tous niveaux du collège) ............................................................................. 26

a. Énoncé .......................................................................................................................................................................................... 26 b. Grille d’évaluation liée à cette tâche complexe......................................................................................................... 27 c. Contexte....................................................................................................................................................................................... 28 d. Prérequis ..................................................................................................................................................................................... 29 e. Objectifs et analyse a priori ............................................................................................................................................... 30 f. Différentes phases du déroulement en classe ............................................................................................................ 33 g. Blocage et aides éventuelles .............................................................................................................................................. 34 h. Analyse a posteriori ............................................................................................................................................................... 37 i. Prolongements ......................................................................................................................................................................... 48

6. Étude de « n (n + 2) + 1 » ................................................................................................................................................ 49 a. Énoncé .......................................................................................................................................................................................... 49 b. Grille d’évaluation liée à cette tâche complexe......................................................................................................... 50 c. Contexte....................................................................................................................................................................................... 51 d. Prérequis ..................................................................................................................................................................................... 52 e. Objectifs et analyse a priori ............................................................................................................................................... 54 f. Différentes phases du déroulement en classe ............................................................................................................ 58 g. Blocage et aides éventuelles .............................................................................................................................................. 59 h. Analyse a posteriori ............................................................................................................................................................... 62

7. Étude de « n² - (n-2)² » .................................................................................................................................................... 70 a. Énoncé .......................................................................................................................................................................................... 70 b. Contexte....................................................................................................................................................................................... 71 c. Prérequis ..................................................................................................................................................................................... 72 d. Objectifs et analyse a priori ............................................................................................................................................... 74 e. Différentes phases .................................................................................................................................................................. 79 f. Blocage et aides éventuelles .............................................................................................................................................. 80

8. Le nombre d’Alice et Bertrand ..................................................................................................................................... 83 a. Sujet .............................................................................................................................................................................................. 83 b. Contexte ....................................................................................................................................................................................... 84 c. Prérequis ..................................................................................................................................................................................... 85 d. Objectifs ....................................................................................................................................................................................... 85 e. Différentes phases .................................................................................................................................................................. 88 f. Blocage et aides éventuelles .............................................................................................................................................. 90 g. Analyse a posteriori ............................................................................................................................................................... 91

VII. Scénarios du Collège en 3ème ............................................................................................ 96 1. Introduction ......................................................................................................................................................................... 96 2. Petits calculs mais grande réflexion .......................................................................................................................... 97

a. Énoncé .......................................................................................................................................................................................... 97 b. Contexte....................................................................................................................................................................................... 97 c. Prérequis ..................................................................................................................................................................................... 97

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d. Objectifs et analyse a priori ............................................................................................................................................... 98 e. Différentes phases du déroulement en classe ............................................................................................................ 99 f. Blocage et aides éventuelles ............................................................................................................................................ 100 g. Proposition d’une grille d’évaluation détaillée ....................................................................................................... 100 h. Analyse a posteriori ............................................................................................................................................................. 101

3. Des calculs surprenants ................................................................................................................................................105 a. Énoncé ........................................................................................................................................................................................ 105 b. Contexte..................................................................................................................................................................................... 105 c. Prérequis ................................................................................................................................................................................... 105 d. Objectifs et analyse a priori ............................................................................................................................................. 106 e. Différentes phases du déroulement en classe .......................................................................................................... 108 f. Blocage et aides éventuelles ............................................................................................................................................ 109 g. Proposition d’une grille d’évaluation détaillée ....................................................................................................... 109 h. Analyse a posteriori ............................................................................................................................................................. 110

4. Le champ de Jean .............................................................................................................................................................116 a. Énoncé ........................................................................................................................................................................................ 116 b. Contexte..................................................................................................................................................................................... 116 c. Prérequis ................................................................................................................................................................................... 116 d. Objectifs et analyse a priori ............................................................................................................................................. 117 e. Différentes phases du déroulement en classe .......................................................................................................... 118 f. Blocage et aides éventuelles ............................................................................................................................................ 119 g. Proposition d’une grille d’évaluation détaillée ....................................................................................................... 119 h. Analyse a posteriori ............................................................................................................................................................. 121

VIII. Scénarios du Lycée Professionnel ................................................................................... 127 1. Résistance phonique et fonction logarithme........................................................................................................127 2. Nombre de poignées de mains ...................................................................................................................................133

Annexe I : Groupe académique de la Réunion ......................................................................... 139 1. Composition du groupe .................................................................................................................................................139 2. Contexte des réunions ...................................................................................................................................................139

Annexe II : Mise en œuvre d’une tâche complexe – Différentes phases ................................... 140

Annexe III : Préparation de fond : Progression spiralée ........................................................... 144 1. Piste pour l’introduction des tâches techniques .................................................................................................144 2. Phase de prise en main des outils numériques ...................................................................................................155

a. Calculatrice.............................................................................................................................................................................. 155 b. Tableur ...................................................................................................................................................................................... 156 c. Logiciels de calcul formel : Xcas, WxMaxima .......................................................................................................... 159

Annexe IV : Réflexions sur la remédiation ............................................................................... 162

Annexe V : Documents d’accompagnement des scénarios du Collège en 3ème ....................... 164

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I. Problématique

L’objectif des groupes sera de proposer des scénarios de formation des élèves pour les conduire à

mettre en œuvre de manière autonome une stratégie de résolution de problèmes ouverts (« tâches

complexes ») en lien avec des capacités de calcul du programme.

Une réflexion particulière sera portée sur la contribution des outils numériques (tableur, calcul

formel) ainsi que sur les compétences développées et leur évaluation.

L’outil instrumenté est inévitable dans notre société actuelle.

Il est également décrié par beaucoup de personnes :

« les élèves ne savent plus calculer, c’est la faute de la calculatrice ! ».

Il est vrai que les outils numériques (calculatrice, calcul formel…) permettent aux élèves d’éviter de

travailler les capacités techniques, d’exécution. Mais l’activité de calcul en Mathématiques ne se

résume pas à une activité automatisable et technique. Comme le souligne Michèle Artigue

(« L’enseignement du calcul aujourd’hui : Problèmes, défis et perspectives »), les besoins actuels en

calculs se sont « déplacés » et il convient de nos jours de développer d’autres capacités liées à

l’anticipation, le contrôle, l’interprétation.

On développe ainsi ce qu’on appelle l’intelligence de calcul clairement évoquée sous diverses formes

dans les divers programmes de l’école primaire au lycée.

Comme l’ont montré des études sérieuses (L. Trouche ; D. Guin : « Calculatrice symboliques »), les

outils numériques ne diminuent pas forcément les capacités liées aux calculs.

L’outil numérique peut ici avoir une place significative dans l’apprentissage du calcul en

mathématique :

Il doit être utilisé à bon escient, de manière régulée et non systématiquement.

Son utilisation, son intégration doit-être pensée, réfléchie ; introduite de manière progressive en

fonction des besoins, à travers des activités qui permettront à l’élève de garder une activité

mathématique et de développer cette « intelligence de calcul ».

Nous avons donc essayé de réfléchir sur l’apport de l’outil numérique dans le développement des

compétences liées au calcul.

Le projet TraAM nous a également invités à réfléchir sur la dialectique entre « sens et technique » : Citons de nouveau Michèle Artigue : « […]L’intelligence du calcul, qu’il soit numérique ou algébrique, nécessite un répertoire mémorisé […]L’intelligence du calcul, pour pouvoir se développer et s’exercer, nécessite que l’on s’autorise à sortir des seuls exercices routiniers et souvent des seules obligations du programme »

6

Nous abordons ici un problème qui touche tous les enseignants et qui entretient le débat.

« Faut-il passer son temps à entraîner les élèves à des tâches techniques en se disant ensuite

qu’ils arriveront forcément à résoudre des problèmes plus complexes ? »

« Ou au contraire, faut-il former les élèves qu’à des résolutions de problèmes permettant de

donner sens aux calculs en se disant que la partie technique « coulera de source » ? »

Sur ces deux points de vue, personne ne détient la bonne réponse. Le développement de la technique est nécessaire mais non suffisant pour la résolution d’un problème. Il est nécessaire de sortir des exercices stéréotypés, de changer de cadre, de registre… (R. Douady, R. Duval) afin qu’une notion puisse être réellement comprise par un élève. On forme ainsi les élèves à des capacités transversales liées à la résolution de problèmes (expérimenter, réaliser, raisonner, communiquer…), fondamentales notamment pour la formation de l’esprit, du citoyen.

Le sens et la technique doivent se nourrir l’un de l’autre, progressivement dans l’apprentissage, au travers la résolution de problèmes, tout en réfléchissant à l’influence, la contribution des outils numériques.

Ainsi, le professeur doit lui aussi repenser son enseignement, créer des activités qui prennent en

compte toutes ces remarques.

C’est sur ces activités, leurs mises en œuvre, les capacités de calculs développées, la réflexion autour

de toutes ces questions que nous avons travaillé.

CALCUL MANUEL CALCUL INSTRUMENTE

RESOLUTION DE PROBLEME (Tâche complexe, problème

ouvert…)

TOUT EN ASSURANT UN BON EQUILIBRE ENTRE LE SENS ET LA TECHNIQUE,

EN DEVELOPPANT L’INTELLIGENCE DE CALCUL (capacités de contrôle, d’anticipation, d’interprétation…)

7

II. Thèmes choisis

Le thème choisi pour l’académie de la Réunion est le « calcul littéral » avec un éventuel

élargissement sur les fonctions.

Nous savons tous que le passage du calcul numérique au calcul littéral constitue un obstacle majeur

au collège.

Beaucoup d’élèves ont des difficultés sur des capacités concernant le calcul littéral : développer,

factoriser, réduire une expression littérale, utiliser les identités remarquables…

Un prérequis essentiel est bien sûr la maîtrise du calcul numérique : les 4 opérations, les règles de

priorité, les tables, les puissances….

Aussi, les activités proposées commencent systématiquement par des calculs numériques et

mettent en œuvre des capacités diverses (règles de priorité, carré d’un nombre…).

Conformément au document d’accompagnement « Le calcul numérique au collège »2, nous nous

sommes intéressés aux divers types de calculs pouvant être mis en jeu :

L’aspect générique permet d’établir des conjectures et d’amener progressivement au calcul littéral

en lui donnant du sens.

Les tâches complexes vont être expérimentées progressivement dans l’année. Une réflexion a été

faite sur la contribution des logiciels utilisés, leurs influences que nous verrons plus en détails dans

les scénarios. Une attention particulière a été faite sur l’apport du calcul formel.

Elle permet notamment de développer l’intelligence de calcul, l’esprit critique sur les résultats

obtenus.

En outre, nous nous sommes intéressés au développement de l’aspect structural d’une expression algébrique, comme le document d’accompagnement « du numérique au littéral au collège3» le préconise.

2 Le calcul numérique au collège, DGESCO, Janvier 2007

3 Du numérique au littéral au collège, DGESCO, Février 2008

8

III. Mise en œuvre d’une tâche complexe – Différentes phases (Cette partie sera développée plus en détails en annexe II)

Les élèves doivent être formés à la mise en œuvre de tâches complexes. Ces dernières permettent

l’évaluation du Socle Commun.

La tâche complexe fait partie intégrante de la notion de compétence et permet son évaluation.

La mise en œuvre préconisée permettant l’autonomie et la prise d’initiative est le travail de groupe4.

Les tâches complexes peuvent également être données à la maison.

Dans les deux cas, il convient également d’inciter les élèves à laisser traces de toutes leurs

démarches, essais. Il est donc fondamental de former les élèves à une activité métacognitive très

utile et efficace : les narrations de recherche.

Elles pourront servir de diagnostic pour le professeur pour cibler les points forts des élèves ainsi que

les points où ils doivent progresser.

Elles permettent d’observer des manifestations positives des compétences du Socle Commun.

Le travail de groupe s’effectue habituellement en plusieurs phases5 :

Phase de dévolution du problème (compréhension du sujet)

Phase de recherche individuelle

Travail de groupe

Mise en commun des diverses procédures – Débat6

Synthèses – Solution du problème

4 Préconisé par la DGESCO. « Conseils pour mener un travail de groupe » : http://eduscol.education.fr/pid23228-

cid56349/banque-de-situations-d-apprentissage-a-telecharger.html 5 Pour plus de détails, nous renvoyons le lecteur sur des documents ressources :

- Les pratiques du problème ouvert, Gilbert Arsac, Michel Mante, CRDP Académie de Lyon, 2007. - MISE EN OEUVRE, GESTION ET EVALUATION DES TACHES COMPLEXES DANS LE CADRE DU SOCLE COMMUN,

Document ressource de la Réunion, mars 2011. - «Débat scientifique en cours de mathématiques et spécificité de l’analyse », Marc Legrand, Repère IREM n°10

6 Le document ressource sur la « mise en œuvre d’une tâche complexe » sur le site académique de la Réunion donne

des détails sur la gestion du débat (voir p17 à 19) http://maths.ac-reunion.fr/College/Socle-commun/Mise-en-oeuvre-gestion-et

9

IV. Logiciels – Outils numériques utilisés

Le professeur a à sa disposition un ordinateur avec vidéoprojecteur. Les productions des élèves sont prises avec un appareil photo numérique. Le transfert se fait rapidement grâce à un lecteur de carte SD. On peut également utiliser un scanner ou une tablette-PC. Les logiciels utilisés par les élèves sont :

- Le tableur : Excel ou Calc d’OpenOffice

- Calculatrice « niveau Collège »

- Un logiciel de calcul formel : Xcas7, WxMaxima8

Pour rendre des productions liées au tableur ou au logiciel de calcul formel Xcas, les élèves peuvent également donner leur fichier via une clé USB ou en l’enregistrant sur le réseau du collège. Nous expliquons comment nous avons introduit ces logiciels ainsi que les savoir-faire associés dans l’annexe III-2.

7 Pour télécharger le logiciel Xcas : http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/install_fr

8 Pour télécharger le logiciel WxMaxima : http://andrejv.github.com/wxmaxima/

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V. Préparation de fond : Progression spiralée 1. Piste pour l’introduction des tâches techniques

(Cette partie sera plus développée en Annexe III.)

Rappelons un des objectifs du projet : faire résoudre des problèmes par les élèves de manière

autonome en lien avec des capacités de calcul (« manuel » mais aussi instrumenté).

Il paraît alors indispensable de réfléchir :

Aux obstacles, difficultés concernant les capacités de calculs.

Sur les prérequis en terme de savoir-faire sur les calculs numériques, littéraux (ayant choisi

ce thème) et instrumentés.

Sur une progression permettant d’arriver aux objectifs fixés (les élèves ne seront en mesure

de résoudre en autonomie une tâche complexe si nous ne les formons pas !).

Les tâches complexes proposées ont pour but de développer des capacités liées au calcul mais aussi

de développer l’intelligence de calcul.

Elles nécessitent un répertoire automatisé (un ensemble de techniques) pour pouvoir être réalisées.

A partir de ces savoir-faire, la tâche complexe va permettre :

Soit d’introduire un nouveau savoir : on parlera alors plutôt de situation-problème.

Soit de résoudre un problème en mobilisant des connaissances, capacités et attitudes.

La question est de comment travailler ses techniques, développer ces automatismes chez l’élève

tout en l’intégrant dans nos cours de l’année sans pour autant faire « que de la technique » avant

de résoudre une tâche complexe.

Nous pensons qu’il est fondamental de mettre en place une progression spiralée

(à petites touches, comme le préconise le document ressource sur le Socle Commun) liée aux

capacités de calcul (prérequis) afin qu’elles deviennent des automatismes que l’élève devra

mobiliser lors de la tâche complexe.

Nous ne prétendons pas avoir toutes les réponses mais nous proposons quelques exemples (non

exhaustifs) de mise en œuvre de progression spiralée autour des capacités de calculs et la mise en

place d’automatismes :

Des pistes pour bâtir une progression spiralée

Il convient d’identifier toutes les connaissances et capacités à enseigner durant l’année pour chaque thème important du programme (calcul littéral, proportionnalité, calcul numérique…). La progression deviendra ensuite « spiralée » si elle permet d’aborder tous les champs, tous les thèmes majeurs du programme à un 1er niveau (en prenant par exemple comme repère les capacités du Socle Commun pour chaque thème). Puis nous reprenons ces thèmes à un 2ème niveau (capacité hors Socle) permettant de les enrichir. Le 3ème niveau (Expert) doit être une ambition pour tous mais cela dépend bien sûr du profil de la classe. Il est également important de faire ressortir dans une progression spiralée le décloisonnement des chapitres.

11

Un thème peut être vu sous plusieurs angles, en fil rouge, dans plusieurs champs de données, ce qui permet à l’occasion d’entretenir par petites touches la notion et ce qui aide aussi à la construction du savoir (changement de cadre et de registre – R. Douady, R. Duval).

Une progression spiralée se fait aussi « au quotidien », soit pour préparer des apprentissages

(évaluation diagnostique), soit pour entretenir et/ou enrichir une notion.

Plusieurs pistes sont envisageables :

Proposer des devoirs à la maison, des QCM préparant un apprentissage et revenant sur des

notions des classes antérieures.

Proposer des tâches complexes mobilisant uniquement des savoir-faire que les élèves sont

sensés connaître (ce qui permet de ne plus faire « des révisions » car ces tâches complexes mettent

en jeu des attitudes et ne sont pas de simples rappels)

Proposer des « apprentissages parallèles » (H. Staïner9) durant une séquence :

Exemples illustrant ces pistes : (le lecteur trouvera en annexe III plus de détails et d’exemples).

Exemple du calcul littéral en 4ème :

Rappelons les connaissances et capacités liées au programme de 4ème concernant le calcul

littéral (Extraits)

9 « Des maths ensembles et pour chacun », H. Staïner et JP. Rouquès.

12

Le passage du calcul numérique au calcul littéral est un obstacle pour les collégiens.

Il convient de l’aborder de manière progressive, en partant des représentations des élèves et de

revenir par petites touches sur les notions enseignées tout en les enrichissant.

1ère phase : Savoir-faire de 5ème

2ème phase : Enrichissement des savoir-faire de 5ème – Produire une expression, donner du sens au

calcul littéral, calculer la valeur d’une expression littérale

3ème phase : Réduire une expression littérale avec ou sans parenthèse

4ème phase : Double-distributivité

5ème phase : Mise en équation de problème

Remarque : les thèmes parallèles prennent ici tout leur sens dans la préparation des

apprentissages.

Exemple sur les fractions, notion de quotient : création d’automatismes

Rappelons le programme de 6ème.

L’écriture fractionnaire prend une place importante au collège. L’élève ne doit plus voir cette écriture

comme un calcul mais comme un nombre avec la notion de quotient. Cela constitue un obstacle au

collège : l’élève doit accepter le fait qu’un nombre n’est pas forcément représenté par une suite de

chiffres mais qu’il peut n’avoir qu’une écriture décimale approchée.

Cette notion de quotient a des applications essentielles dans de nombreux problèmes, notamment

pour la proportionnalité, les grandeurs quotients…

Afin que cette notion devienne un outil efficace pour ces problèmes, elle doit devenir

progressivement un automatisme pour l’élève.

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Voici un exemple de progression spiralée autour du quotient basée sur les apprentissages parallèles

qui ont permis à des élèves d’une classe de 5ème d’automatiser cette notion de quotient.

1ère phase : Calcul mental et division – Notion de quotient

Activité basée sur l’oral : on demande aux élèves de faire plusieurs divisions simples permettant de

réactiver les tables de multiplication. On demande à chaque fois quelle est la question qu’ils se

posent pour effectuer le calcul.

2ème phase : Automatismes et enrichissement

Par le biais des apprentissages parallèles, le professeur peut à tout moment reposer les questions

permettant de travailler le sens : multiplication à trou quotient.

L’avantage est que cela ne prend ensuite que très peu de temps et permet aux élèves de mieux

appréhender la notion de quotient. Progressivement, cette notion va s’automatiser.

Conclusion

Nous pouvons voir que l’apprentissage parallèle, au travers de ces exemples, est un outil puissant et

efficace dans le cadre d’une progression spiralée.

Il permet d’éviter des révisions : Il suffit d’identifier les prérequis techniques et de les

effectuer en apprentissage parallèle en amont.

Il permet de revenir par petites touches, à tout moment, régulièrement sur des techniques,

des savoirs. En cela, il favorise le développement des automatismes.

Il donne du sens aux techniques enseignées car si la progression est bien pensée, ces

techniques vont être utilisées dans la découverte d’un nouveau savoir ou vont être utilisées

dans la résolution de problèmes (tâche complexes…). Elles vont être également vues dans

divers cadres et registres.

Cet apprentissage parallèle fait office également d’évaluation diagnostique et permet de

repérer rapidement les difficultés des élèves. Après avoir repéré ces élèves, l’apprentissage

parallèle pourra servir comme outil de remédiation : il suffira d’interroger en plénière ces

élèves afin que tout le monde puisse en profiter (différenciation de la remédiation par

l’oral).

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2. Phase de prise en main des outils numériques

Afin de pouvoir résoudre de manière autonome les tâches complexes proposées, les élèves doivent

être capables d’utiliser les logiciels. Ils doivent donc acquérir des savoir-faire liés au logiciel utilisé.

Attention, il ne s’agit pas de faire un cours d’informatique aux élèves !

Ces savoir-faire doivent être au service d’une activité mathématique, notamment lors de la

résolution de problèmes.

Cette phase de prise en main des logiciels doit être intégrée dans une progression spiralée. Les

fonctionnalités sont introduites progressivement. Elles doivent être ensuite réactivées et

entretenues quotidiennement dans le cours par des exercices à la maison, devoirs maison, devoirs

surveillés… Elles permettent également de former l’élève au quotidien à l’intelligence de calcul sur

des petits exercices routiniers (voir exemples ci-dessous)

Il n’est donc pas nécessaire d’aller en salle informatique pour initier les élèves à un logiciel. Une

simple démonstration du professeur avec quelques élèves essayant le logiciel peut servir de point de

départ, ce qui permet la validation de quelques items du B2i.

(Des pistes de phase de prise en main de la calculatrice, du tableur, de logiciel de calcul formel Xcas, WxMaxima sont développées en Annexe III-2.)

15

VI. Scénarios du Collège en 4ème

et/ou 3ème

1. Introduction

Professeur : David MICHEL – Collège de Cambuston

Les tâches complexes ont été effectuées au collège de Cambuston, St André, La Réunion.

Le collège s’inscrit dans le programme ECLAIR.

Trois niveaux sont concernés : 5ème, 4ème, 3ème.

La majorité des tâches complexes ont été effectuées avec la classe de 4ème où l’apprentissage du calcul

littéral est un des thèmes majeurs de l’année.

Au niveau du matériel, la salle est équipée de 4 ordinateurs dont l’un est relié à un TNI.

Tous les élèves sont équipés d’une calculatrice « collège ».

Les ordinateurs ont les logiciels usuels dans la salle en libre-service :

Tableur

Traitement de texte

Logiciel de calcul formel

Logiciel de géométrie dynamique

2. Mise en place d’une progression

Il convient de mettre en place des tâches complexes avec exigence progressive qui amènent le déclassement du calcul manuel face à l’outil numérique. Il est fondamental de réfléchir aux capacités de calcul développées dans chaque problème et de voir l’apport au niveau de l’élève (en terme de savoir-faire technique mais aussi en terme d’intelligence de calcul). Ces tâches complexes s’intègrent dans une progression spiralée après la phase de prise en main (voir tableau ci-après). Elles utilisent des savoir-faire liés au calcul qui vont progressivement s’enrichir de nouvelles notions et de nouveaux outils (calcul formel, tableur…) tout en revenant sur ce qui a été fait auparavant. La tâche complexe sur « n²-(n-2)² » fait ainsi office de « tâche complexe bilan » car elle permettra de mobiliser tous les savoir-faire, toutes les connaissances des phases précédentes. En regardant le tableau ci-dessous, il y a également l’idée d’une progression sur l’année mais aussi entre les niveaux : Exemple :

- La tâche complexe concernant « n² - (n-2)² » sera difficile pour les 4ème mais en 3ème, avec les

nouveaux outils (identités remarquables), elle devrait être plus simple.

- La tâche complexe sur les bénéfices fait figure de « tâche complexe d’approfondissement» en

3ème alors qu’en seconde, elle entre entièrement dans le programme et permet l’utilisation de

nouveaux outils (calcul formel, algorithme…).

Cette tâche complexe ne sera pas vue dans ce projet TraAM. D’où l’idée de « tâches complexes passerelles » entre niveaux.

Remarque : certaines tâches complexes peuvent être traitées en « fil rouge » tout au long de l’année en graduant les exigences, en utilisant progressivement les outils mis en place.

16

Par exemple, la tâche complexe sur « la somme de 3 entiers consécutifs »10 en 4ème peut être traitée ainsi : - Début d’année : Résolution avec la calculatrice – calcul manuel – introduction du tableur :

conjecture et résolution non experte d’une équation.

- Milieu d’année : Après la séquence « Calcul littéral : Réduire une expression », on revient sur

l’activité et on réfléchit sur la nature de la somme pour qu’il y ait une solution à partir de

l’expression littérale obtenue.

- Fin d’année : Au cours du chapitre « Equation », on met en équation le problème et on le résout

de manière experte.

10 Voir tableau ci-dessous

17

Mise en œuvre de 4 tâches complexes11 Progression suivant les niveaux et par degré d’exigence - Tableau récapitulatif

11

Ces tâches complexes sont vues en détail (analyse a priori, fiche élève, objectifs…) dans la suite du document. 12

Pour plus de détails sur cette phase, voir l’annexe III.

5ème

4ème

3ème

Phase 112

Phase de prise en main du tableur, du logiciel de calcul formel Progressivité des exigences en terme de calcul manuel

Utilisation régulière de la calculatrice Opérations usuelles Réflexion, esprit critique sur son usage et les résultats obtenus Programme de calculs Calcul mental et/ou posé Règles de priorité Calcul instrumenté Calculatrice Tableur : résolution non experte d’équations Calculs répétitifs Conjecture

Utilisation régulière de la calculatrice Opérations usuelles Réflexion, esprit critique sur son usage et les résultats obtenus Programme de calculs Calcul mental et/ou posé Règles de priorité Nombres relatifs Fractions Calcul instrumenté Tableur : idem Exercices de développements, de factorisations simples introduisant les fonctions utiles de Xcas

Utilisation régulière de la calculatrice Opérations usuelles Réflexion, esprit critique sur son usage et les résultats obtenus Programme de calculs Calcul mental et/ou posé Règle de priorité Nombres relatifs Fractions Racines carrées Calcul instrumenté Tableur : idem Exercices de développements, de factorisations simples introduisant les fonctions utiles de Xcas

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Niveaux

Problèmes

18

Phase 2 :

1ère tâche complexe Les pointillés expriment que ces problèmes peuvent être menés à plusieurs niveaux mais le degré d’exigence concernant les savoir-faire calculatoires (mentaux, posés, instrumentés) ne sont pas les mêmes

Somme de 3 entiers consécutifs : Calcul mental et/ou posé essais au hasard ou organisés Tableur - Calculatrice Essais Calculs répétitifs Résoudre un problème (type équation) Etablir une conjecture (multiple de 3)

Somme de 3 entiers consécutifs Calcul mental et/ou posé essais au hasard ou organisés Réduire une expression littérale - factoriser Résoudre une équation du type ax+b = c Réflexion sur l’aspect structural d’une expression littérale (phase 1 – sans calcul formel) Tableur - Calculatrice Essais Calculs répétitifs Résoudre un problème (type équation) Etablir une conjecture (multiple de 3)

Phase 3 : 2ème tâche complexe

« sur n(n+2) + 1 » Calcul mental et/ou posé Essais Réduire une expression littérale - développer Réflexion sur l’aspect structural d’une expression littérale (phase 2 – avec calcul formel) Tableur Etablir une conjecture Calcul formel Indispensable Factoriser Aspect structural : Réflexion sur la nature de l’expression

« sur n(n+2) + 1 » Calcul mental et/ou posé Essais Réduire une expression littérale – développer et factoriser Réflexion sur l’aspect structural d’une expression littérale Tableur Etablir une conjecture Calcul formel Pas utile ici Elèves sensés le faire Eventuellement pour les élèves en difficulté.

19

Remarque : la phase 4 n’a pas encore été faite. Son analyse a posteriori sera faite plus tard. La phase 5 (uniquement l’activité Alice et Bertrand) a déjà été faite avec une classe de 4ème l’année dernière.

13

Comme dit précédemment, cette tâche complexe ne sera pas vue dans ce projet TraAM

Phase 4 : 3ème tâche complexe : « Tâche complexe –bilan »

Exos sur n² - (n-2)² Calcul mental et/ou posé Essais Réduire une expression littérale – développer mais technique Réflexion sur l’aspect structural d’une expression littérale Tableur Etablir une conjecture Calcul formel : Aide aux calculs techniques Développer Aspect structural : Réflexion sur la nature de l’expression (ici, le calcul formel est une aide sur un calcul qui peut être technique pour des élèves de 4ème)

Exos sur n² - (n-2)² Calcul mental et/ou posé Essais Réduire une expression littérale – développer ou factoriser avec les identités remarquables Réflexion sur l’aspect structural d’une expression littérale Tableur Etablir une conjecture Calcul formel Pas utile ici Elèves sensés le faire Eventuellement pour les élèves en difficulté.

Phase 5 : En 4

ème : tâche

complexe montrant les limites de l’outil informatique – Situation-problème permettant d’introduire les équations En 3

ème : tâche

complexe utilisant le calcul littéral et les fonctions. Problème qui se prolonge en seconde avec de nouveaux outils, de nouvelles connaissances… (algorithmique, calcul formel, suite sur les fonctions…)

Activités Alice et Bertrand Calcul mental et/ou posé Essais Mise en équation Tableur Utile lors des changements de variables didactiques mais ayant également ses limites Résoudre un problème, affiner la méthode (dichotomie)

Calcul de bénéfices dans une entreprise13 Calcul mental et/ou posé Savoir calculer une expression littérale suivant une valeur donnée Connaissance sur les carrés… Calculs avec les nombres relatifs Réduire une expression littérale Calculatrice : Vérification des résultats Tableur Résoudre un problème en évitant les calculs manuels répétitifs Résolution graphique : Nuage de points Intelligence de calcul Interprétation de la courbe.

20

3. Réflexion sur la régulation de l’outil numérique

L’outil TICE devient efficace et utile pour l’apprentissage que s’il est utilisé intelligemment. Le professeur doit éveiller cela chez l’élève. Il doit donc trouver une solution pour réguler cet outil chez l’élève. Or, dans une tâche complexe, les élèves sont sensés développer autonomie et initiative en ayant libre usage des ressources externes.

La question était donc la suivante : « Comment réguler l’outil numérique lors d’une tâche complexe ? »

L’idée principale a été d’inciter les élèves par le biais d’une évaluation positive (BONUS) à avoir une réflexion sur l’outil numérique en répondant à un questionnaire :

21

Mise en œuvre pratique dans le but de réguler l’outil TICE tout en gardant « l’autonomie »

Sensibiliser les élèves aux différents outils à leur disposition :

L’outil le plus puissant : le cerveau

Le cahier de mathématiques, ressources documentaires

Les outils instrumentés :

Calculatrice

Tableur

Calcul Formel

Logiciel de géométrie dynamique

Les élèves commencent tous sans l’outil TIC, mais cela ne veut pas dire qu’ils n’ont pas droit à

ces outils. La condition est qu’ils remplissent un questionnaire (voir ci-dessus - Recherche

individuelle) ayant pour but de leur faire réfléchir sur l’utilité (ou non) de l’outil TIC utilisé. Ainsi,

tous les élèves pourront commencer sans être bloqués par une éventuelle difficulté technique. Il

leur suffit juste de remplir un questionnaire.

Lors du travail de groupe, là encore, les élèves recommencent sans l’outil TIC.

Le but est de favoriser les échanges (conflits socio-cognitifs) sur l’usage ou non de l’outil TIC (entre ceux qui l’ont utilisé et ce qui ne l’ont pas utilisé). Si Le groupe a besoin d’un outil TIC, il avertira le professeur qui leur donnera un questionnaire identique à remplir et à rendre à la fin du travail de groupe.

Laisser un temps aux élèves à la fin de la phase de débat pour finir de remplir les

questionnaires.

Interviewer quelques élèves après la phase de débat en reprenant les questions sur l’apport

du travail de groupe.

22

Remarques : 1) Un BONUS (évaluation positive pour la 1ère tâche complexe) sera attribué si le questionnaire est

rempli et les réponses sont bien pensées (ceci sera notamment explicité lors de la phase de

débat) par rapport à la problématique de l’activité.

Ensuite, éventuellement, suivant le niveau de la classe, pour les autres expérimentations, on peut graduer de manière progressive ces exigences et ne plus procéder à une évaluation positive mais intégrer l’utilisation intelligente des outils dans le barème (sans BONUS). Il est important que les élèves ne soient pas bloqués dans la résolution de la tâche complexe, qu’ils soient toujours motivés tout en ayant une réflexion sur l’apport des outils numériques.

2) Lors de la phase de débat, il sera très important de réfléchir sur l’apport des divers outils utilisés

par les groupes en s’appuyant sur les réponses des élèves.

Le but est de former les élèves progressivement à l’utilisation intelligente, pertinente des outils numériques, leurs contributions, leurs limites... Ce sera un premier pas vers une prise de conscience de l’élève sur ses capacités de calcul avec ou sans l’outil numérique, sur ses points forts mais aussi sur les points où il doit progresser. Bien sûr, cela ne suffit pas, mais c’est un premier pas pour donner du sens au calcul car on apprend aux élèves à s’auto-évaluer en calcul. Le professeur doit ensuite entretenir cette prise de conscience en poursuivant des tâches complexes similaires. Il peut ensuite à partir des réponses récoltées proposer des tâches techniques comparables ; l’élève ayant pu voir comment elles pouvaient s’agencer dans un problème plus ouvert.

Exemple de situations envisagées et rencontrées (cf. « somme de 3 entiers consécutifs ») :

- Lors de la 1ère tâche complexe, un élève en difficulté utilise sa calculatrice pour effectuer des

calculs simples pouvant se faire mentalement (tables de multiplication, distributivité…).

- Lors du travail de groupe, il réalise son point faible et l’écrit sur le questionnaire : « Je pouvais

faire sans la calculatrice, il suffisait de connaître mes tables, d’utiliser la distributivité ».

- Le professeur pourra lors du débat valoriser cet élève qui a eu une bonne réflexion (auto-

évaluation) sur l’apport de la calculatrice.

- Mais une fois après l’avoir valorisé (et au passage identifié le point en difficulté), le professeur

peut ensuite proposer des exercices techniques similaires, de remédiation qui auront

nécessairement un peu de sens pour lui car reliés à la résolution du problème sur lequel il a été

valorisé ! Le travail est ainsi différencié suivant l’élève.

Il y a ici un vrai aller-retour entre le sens et la technique, les deux se nourrissant l’un de l’autre.

23

3) Une fois les élèves sensibilisés à l’apport des outils numériques, on peut également différencier

l’utilisation de l’outil numérique suivant le niveau du groupe :

Pour un groupe « performant » : si un groupe est performant, le professeur peut à ce

moment décider de réguler lui-même l’outil TIC en expliquant à ce groupe que s’ils veulent

obtenir une excellente note (défi), le contrat change avec eux et c’est le professeur qui

impose le support.

Pour un groupe en difficulté sur une tâche technique : le professeur pourra leur suggérer

l’outil numérique (Quel outil numérique peut t’aider dans cette tâche ?).

Aux élèves ensuite de réfléchir lequel sera le plus adapté (calcul formel, tableur…). Cela permettra notamment à ces élèves de poursuivre le problème et de développer d’autres capacités (interprétation, contrôle, adaptation…) liées au calcul.

Nous retrouvons ici des idées du document ressource sur le Socle Commun sorti en mai 2011 (partie « évaluation ») :

L’idée est ici d’aider les élèves sur l’item « C2 : Réaliser, Calculer » de la compétence 3 du Socle Commun grâce à l’outil numérique. Cela permet ainsi à l’élève de poursuivre le problème et de manifester positivement d’autres compétences : « C3 : Raisonner ; C4 : Communiquer ».

24

4. Grille d’évaluation pour l’élève en lien avec les items du Socle

Commun Commentaires :

1) Les symboles ont les significations suivantes :

A : Apprendre et enrichir ses connaissances

C1, C2, C3, C4 : Items de la compétence 3 du Socle Commun

TIC : Techniques de l’information et de la communication

I : Investissement personnel (à lier aux compétences 6 et 7 du Socle Commun)

2) Les élèves doivent s’auto-évaluer à la fin de la tâche complexe. Ils pourront ensuite comparer

leur auto-évaluation à celle du professeur. Pour rester dans l’optique d’une évaluation

positive, le choix a été fait de ne mettre que du vert (si c’est réussi) ou rien (si c’est en cours

d’acquisition).

25

3) Afin de garder trace de cette évaluation, les élèves ont avec eux un outil de suivi permettant

de répertorier sous forme d’un diagramme en tuyaux d’orgue les manifestations positives

liées aux items du Socle Commun :

4) Le professeur peut prendre des notes pendant le travail de groupe qui vont lui permettre de

garder en mémoire ce qui a été fait mais aussi d’évaluer positivement à l’oral sur des

compétences du Socle Commun.

26

5. Somme de 3 entiers consécutifs (tous niveaux du collège)

a. Énoncé

FICHE ELEVE

27

Remarques

1) Toute la mise en œuvre est explicitée dans les paragraphes 3 et 4 du présent chapitre et en

annexe II.

2) Même si cette activité ne se rapporte pas à une situation concrète, on peut la considérer comme

une tâche complexe.

Elle mobilise des ressources internes (capacités, connaissances, vécu...) et externes : les élèves

ont à leur disposition leur cahier de mathématiques ainsi que les ordinateurs en libre-service.

L’énoncé est assez simple à comprendre et permet de motiver la recherche.

L’énoncé précise à l’élève ce qu'il doit faire, de façon ouverte, sans détailler, et ce qu'il doit

produire, mais sans lui dire comment s'y prendre ni lui donner de procédure.

L’activité ne se réduit pas à l’application d’une procédure automatique.

Les élèves peuvent adopter une démarche personnelle de résolution pour réaliser la tâche.

Ils doivent mobiliser, combiner plusieurs savoir-faire (voir les objectifs plus bas) pour trouver

une solution et développer de nouvelles compétences.

b. Grille d’évaluation liée à cette tâche complexe

28

Commentaires

1) L’évaluation porte aussi bien sur la résolution du problème que sur l’investissement collectif, ceci

afin de favoriser un vrai travail de groupe où tout le monde participe.

Par une évaluation positive, on incite les élèves à s’investir, à participer dans le groupe. Même si la solution n’est pas trouvée, ils peuvent avoir une bonne note par ce critère « Investissement ».

2) Cette grille d’évaluation (exhaustive) permet au professeur de noter les élèves à partir de leurs

productions à la fin de l’activité.

Elle sert uniquement de support mais en aucun cas elle ne doit être respectée à la lettre. Elle doit être utilisée comme outil de réflexion pour créer sa propre grille. Elle n’est donc pas figée. En fait, l’intérêt pédagogique de cette grille ne réside pas dans la note : Cette grille permet surtout de faire une analyse a priori des diverses démarches possibles et éventuellement de les graduer par niveau d’expertise : des démarches personnelles aux démarches expertes. Afin de motiver toujours les élèves, le barème peut être établi afin que tous les élèves ayant eu une démarche personnelle aient la totalité des points. Ceux qui seront allés plus loin (démarche experte) auront des points de bonus. Ceci permet de valoriser les élèves car le but n’est pas la note en soi mais la formation à des compétences transversales, notamment à celle de résolution de problèmes. La note n’est donc en aucun cas nécessaire. Sous forme d’évaluation positive, elle permet uniquement de motiver les élèves car même ceux en difficulté pourront avoir une bonne note, du moment qu’ils aient été en activité durant toute la tâche complexe.

c. Contexte

Cette tâche complexe peut-être donnée à tous les niveaux du collège :

En classe avec ordinateurs en libre-service

En salle informatique

Un travail de groupe a donc été effectué.

Sa mise en œuvre a été vue dans l’annexe II.

Pour gagner du temps, les élèves travaillent sur une seule table et seuls deux élèves n’ont qu’à

retourner leur chaise.

Pour l’expérimentation, la tâche complexe a été faite avec une classe de 4ème avec 4 ordinateurs en

libre-service ayant les logiciels usuels (tableur, calcul formel…)

Le professeur a constitué 5 à 6 groupes de 3 ou 4 élèves.

29

Remarque sur la constitution des groupes

Le choix des groupes peut se faire suivant plusieurs critères de plus en plus fins :

Organisation spatiale : afin de gagner du temps, on forme les groupes à partir d’élèves qui sont

proches dans la classe.

Hétérogénéité : on peut également essayer de travailler l’hétérogénéité, la différenciation.

Le professeur décide du degré d’hétérogénéité du groupe suivant la qualité des travaux de groupe réalisés tout au long de l’année : on peut avoir de bonnes surprises en créant un groupe hétérogène. Bien sûr, si cela ne marche pas, le professeur a le pouvoir de changer la constitution des groupes et de reconstituer des groupes moins hétérogènes… L’idée de constituer que des groupes homogènes peut conforter les élèves en difficulté dans leur situation d’échec. De plus, cela ne favorise pas les confrontations des diverses démarches (personnelles et expertes).

Affinités : lorsque les deux critères précédemment utilisés ne suffisent plus, le professeur peut

décider de former les groupes par affinités. Il peut demander aux élèves avec qui ils veulent

absolument travailler. Bien sûr, le professeur sera d’autant plus exigeant sur l’investissement et le

travail de ce groupe puisqu’il a accepté leur demande.

En jouant sur ces critères, avec l’expertise du professeur ayant pratiqué plusieurs travaux de groupe en cours d’année, la constitution des groupes s’affine. De plus, les élèves apprennent tout au long de l’année, lors de ces travaux de groupe, à mieux se connaître et à travailler ensemble.

d. Prérequis

En 4ème :

Ce problème s’intègre dans une progression spiralée où le calcul littéral est vu tout au long de

l’année (Voir également l’annexe III).

Séquence 1 (1er trimestre) : calcul littéral, sens, production d’une expression littérale, variable.

Séquence 2 (Début 2ème trimestre) : factorisation (rappels de 5ème), réduction d’une expression.

La résolution d’équation n’a pas encore été vue.

Cette activité sera ensuite reprise à titre d’exemple lorsque ce chapitre sera effectué.

Elle sera l’occasion également de montrer la diversité des stratégies pour résoudre un problème.

Concernant l’outil informatique utilisé, les élèves y ont été initiés en plénière progressivement, par

petites touches, en spirale.

Les élèves savent manipuler le tableur, insérer, généraliser des formules.

Ils l’ont vu notamment lors de la séquence 1, afin d’illustrer des programmes de calculs simples, puis

en devoirs à la maison et en devoirs surveillés.

Les élèves sont également habitués à la pratique des narrations de recherche et au travail de groupe.

30

e. Objectifs et analyse a priori

Généraux

Les élèves doivent « résoudre un problème » et mettre ainsi en œuvre des compétences du Socle

Commun : compétence 3 – Domaine « Résoudre un problème » - Items C1, C2, C3, C4.

La partie « narration de recherche » permet d’évaluer la compétence 1 et le travail de groupe (suivi

du débat) permet d’évaluer les compétences 6 et 7 du Socle Commun.

Il s’agit de résoudre un problème sans passer par la méthode experte de résolution d’une équation,

d’établir des conjectures, des stratégies et essayer de les prouver, de les justifier.

Les élèves doivent également apprendre à communiquer leurs résultats, leurs démarches, exprimer

dans un langage correct leurs conjectures.

Le but est également de donner du sens au chapitre « réduction d’une expression littérale », de

réfléchir sur la nature d’une expression littérale, sur le résultat d’un calcul.

Les questions 1), 2), 3) sont des cas où il y a une solution. Les questions 4) et 5) vont amener les élèves à se demander à quelle condition on peut trouver une solution. Les stratégies peuvent-être diverses :

- Essais au hasard (calcul mental, écrit, calculatrice).

- Essais organisés, mise en place d’une stratégie (papier-crayon, calculatrice, tableur).

- Calculs répétitifs et conjectures (papier-crayon, calculatrice, tableur).

- Utilisation du calcul littéral…

Les nombres (plus grands) ont été choisis afin d’inciter les élèves à affiner, diversifier leur stratégie.

Calcul mental et/ou écrit – capacités développées

Les calculs numériques sont simples à réaliser.

Les questions 1) et 4) peuvent se faire par le biais du calcul mental ou en faisant des essais au

hasard. Cela sera d’ailleurs demandé lors de la phase de débat afin de travailler le calcul mental

avec tous les élèves : « Comment avez-vous fait le 1er calcul ? Donnez d’autres exemples»

Les questions peuvent se faire à l’aide du calcul écrit, papier-crayon en faisant des essais

organisés.

Pour répondre aux questions, un élève peut éventuellement penser à chercher un ordre de

grandeur en divisant la somme par 3 puis faire des essais. Il utilisera alors aussi bien, sous forme

d’aller-retour, le calcul mental, le calcul posé (permettant d’alléger le travail de mémorisation),

le calcul approché et le calcul exact. Il convient donc de ne pas systématiquement opposer ces

types de calculs.

31

Exemple : 348, c’est 300 + 48. 300 3 = 100 et 48 3 = 16 donc 348 3 = 116.

Puis on essaye : 116 + 117+118 = 351, 115 + 116 +117 = 348.

Pour 826 : 826 3 275.

Puis on fait tous les essais « autour de 275 » pour voir que ça ne marche pas.

L’élève peut donc montrer qu’il n’y a pas de solution à un problème par des « essais exhaustifs ».

Il peut également remarquer que lorsqu’il y a une solution, il suffit de diviser la somme par 3 et de

commencer par l’entier immédiatement inférieur. Cela pourra être justifié et débattu avec la

production de l’expression littérale : (n-1) + n + (n+1).

L’élève peut également utiliser les critères de divisibilité pour répondre aux questions et anticiper

ainsi les réponses (capacité d’anticipation).

Pour formuler la conjecture, les élèves doivent connaître la notion de multiple.

Pour la prouver, ils doivent être en mesure de formaliser cette notion via le calcul littéral.

Pour la question 6), on attend que les élèves passent par le calcul littéral :

Ils doivent :

- produire une expression littérale,

- la réduire (savoir gérer une expression avec parenthèses),

- interpréter le résultat obtenu.

Suivant le choix de l’entier choisi comme inconnue, l’expression obtenue ne sera pas la même : 3n-3,

3n ou 3n+3. Un débat pourra s’en suivre.

Si l’expression choisie aboutit à 3n, on peut revenir à la notion de quotient (inutile de passer par

l’équation du type ax=b) pour retrouver les réponses aux questions 1), 2) et 3).

Le but de cette activité est également de réfléchir sur la nature d’une expression littérale obtenue

par un calcul « à la main ».

Notamment, ils vont devoir réfléchir sur l’aspect structural14 de l’expression obtenue.

On développe ici les capacités d’interprétation.

La factorisation (suivant l’entier choisi comme inconnue) pourra être ici utile pour aider au

raisonnement.

A partir de 3n-3 ou 3n+3, ou 3n…les élèves vont devoir interpréter le résultat obtenu et identifier un

multiple de 3.

Par exemple, avec 3n-3, des savoir-faire calculatoires sont développés :

- l’élève doit factoriser l’expression : Il doit être capable pour cela d’identifier une somme

algébrique dont les deux termes sont des produits avec un facteur commun (dont l’un n’est

pas apparent : 3 = 3 1).

- Comprendre le résultat 3n – 3 = 3 (n-1) : n-1 est un nombre entier, donc l’écriture 3(n-1)

exprime bien le fait d’avoir un multiple de 3.

Ici, l’intelligence de calcul est travaillée15. L’aspect technique ne fournit pas directement la réponse au problème. L’élève doit se poser des questions sur la nature des objets mis en jeu.

Calculs instrumentés – Influence des outils

14

Cf. Document ressource Eduscol : « Du numérique au littéral au collège – Février 2008 » 15

Conférence de Michèle Artigue – Repères IREM n°54 (2004) « L’enseignement du calcul aujourd’hui : Problèmes, défis et perspectives » « L’intelligence du calcul, qu’il soit numérique ou algébrique, nécessite un répertoire mémorisé […] L’intelligence de calcul pour pouvoir se développer et s’exercer nécessite que l’on s’autorise à sortir des seuls exercices routiniers et souvent des seules obligations du programme »

32

Pour les autres questions, les nombres (plus grands) ont été choisis afin d’inciter les élèves à utiliser

d’autres stratégies, d’autres outils comme la calculatrice ou le tableur.

Ils peuvent utiliser la calculatrice et effectuer des essais organisés : étude de l’écart par rapport au

résultat, prise en compte des essais antérieurs…

Après avoir compris la finalité du problème et s’être engagé dans des calculs « à la main », l’élève

peut ensuite s’approprier le tableur pour gagner du temps sur les calculs répétitifs.

Cela permettra notamment de répondre directement aux questions 1) à 5) par une stratégie

éventuellement différente des précédentes.

Pour la question 6), le tableur est un outil efficace permettant d’établir des conjectures sur la nature

de la somme.

Il peut également aider les élèves pour produire une expression littérale car les formules à insérer

s’en rapprochent.

Pour cet exercice, notons que l’utilisation de l’outil informatique n’est pas indispensable pour répondre au problème. Libre aux élèves, en autonomie, de choisir quelles stratégies ils décident d’adopter avec ou sans l’outil informatique.

Récapitulatif des savoir-faire liés au calcul qui peuvent-être observés :

Calcul automatique Calcul réfléchi ou raisonné

Cal

cul n

um

éri

qu

e

Calcul mental Sommes simples Divisions simples Utilisation des tables (celle de 3)

Division de 348 par 3 en décomposant : 348 = 300+ 48

Calcul écrit Sommes Divisions

Essais organisés Mise en place d’une stratégie Reconnaître des multiples de 3

Calcul instrumenté : Calculatrice Tableur

Sommes Divisions

Interprétation des résultats obtenus avec tableur pour établir une conjecture, répondre aux questions. Dans le cas où il n’y a pas de solution, choisir un arrondi obtenu à la calculatrice et faire ensuite des essais exhaustifs. Réflexion sur les formules à insérer dans chaque colonne pour répondre aux questions.

Calcul littéral - Produire une expression littérale. - Réduire une expression littérale avec ou sans parenthèse. - Factoriser une expression littérale. - Interpréter le résultat obtenu (aspect structural) – Notion de multiple.

33

f. Différentes phases du déroulement en classe

Durée approximative : 2h

Phases Rôle du professeur Rôles de l’élève

Phase 1 : 5 min Dévolution du problème

Demander aux élèves de lire l’énoncé Avez-vous compris le problème ? Quels sont les mots que vous ne comprenez-pas ? Bien dire aux élèves qu’ils ont droit à tous les supports (papier, calculatrice, informatique…) à condition de remplir le questionnaire

Lire l’énoncé Poser des questions concernant la compréhension du sujet

Phase 2 : 20 min Recherche individuelle

Observer les réponses d’élèves Inciter les élèves à laisser traces de tous leurs essais.

Débuter la résolution du problème sous forme d’une narration de recherche. Les élèves peuvent utiliser l’outil informatique si besoin est.

Phase 3 : 45 min Travail de groupe

Observez les différentes stratégies adoptées dans chaque groupe Laisser les groupes le plus autonome Proposer des aides (voir ci-dessous) si les élèves bloquent et avec parcimonie

Echanger, discuter des diverses solution, stratégies. Bâtir une solution commune dont le but est de convaincre les autres groupes Choisir un porte-parole pour la phase de débat Utilisation éventuelle de l’outil informatique

Phase 4 : 35 min Mise en commun des productions – Débat

Prendre les photos des productions et les visualiser via un vidéo-projecteur Orchestrer le débat en agençant dans un ordre précis les diverses productions Bien demander aux élèves quels outils ils ont utilisés (manuel, instrumentés…) et pourquoi ? Revenir sur le calcul manuel, mental lorsque cela était préconisé.

Ecouter les groupes Exprimer, décrire leurs solutions.

Phase 5 : 15 min Synthèse - Solution

Si les élèves n’y sont pas arrivés, amener les élèves à la solution par des questions.

Participer à l’animation du professeur Ecrire ce qu’ils ont retenu de l’activité

Remarque : Le document ressource sur la « mise en œuvre d’une tâche complexe » sur le site académique de la Réunion détaille également toutes ces phases, la gestion du débat… http://maths.ac-reunion.fr/College/Socle-commun/Mise-en-oeuvre-gestion-et

34

g. Blocage et aides éventuelles

Cette partie est fondamentale : Tous les groupes ne vont pas forcément aboutir à la solution.

Certains vont bloquer.

Il est fondamental de réfléchir sur ces éventuels blocages et d’anticiper des questions permettant

d’aider les élèves à avancer sans pour autant leur donner la démarche de résolution.

Les aides doivent donc être formulées sous forme de questions, en permettant toujours une

réflexion de la part de l’élève.

Elles doivent être différenciées suivant l’interlocuteur et délivrées avec parcimonie en essayant le

plus possible de ne pas induire la démarche de résolution et de favoriser ainsi la réflexion,

l’autonomie et l’initiative.

Le professeur a donc en sa possession une liste de questions qu’il va pouvoir utiliser de manière

différenciée en fonction de son interlocuteur.

Afin de former les élèves à des compétences transversales, créer des méthodologies, le professeur

peut demander aux élèves de noter l’aide du professeur ou il peut également faire coller sur la

production de l’élève des bandelettes en papier où figurent les questions (elles auront été préparées

à l’avance).

- Des élèves peuvent ne pas comprendre les consignes, ne pas utiliser des nombres entiers,

oublier le fait que les nombres se suivent, faire des essais qui ne vont pas dans le « bon sens »…

Des aides sur la capacité C1 : « extraire l’information utile » permettent à beaucoup d’élèves

d’entrer dans le sujet (comme préconisé par le document ressource EDUSCOL sur le Socle

Commun en mathématiques sorti en mai 2011)

o Avez-vous bien compris la consigne ?

o Quels sont les mots qui vous posent problème ?

o Pour la question 6) : Avez-vous trouvé des cas où il n’y a pas de nombre répondant au

problème ? Le but est de trouver une propriété, une condition permettant d’affirmer

directement si oui ou non un nombre peut être la somme de 3 entiers consécutifs.

- Des élèves peuvent avoir du mal à organiser leurs essais et ne pas trouver les réponses.

o Comment-as-tu procédé pour les questions précédentes ?

o As-tu laissé traces de tes essais ? Quelles observations peux-tu faire ?

o Comment peux-tu organiser tes calculs ? tes idées ?

35

- Des élèves peuvent avoir du mal à répondre à la question 6), à formuler une conjecture, à

l’exprimer (« ça va de 3 en 3 »…)

o As-tu fait d’autres essais ? Que remarques-tu ?

o Quel outil peux-tu utiliser pour faciliter les calculs ?

o « Ca va de 3 en 3… » : A quelle notion mathématique cela fait référence ?

- Des élèves peuvent avoir du mal à insérer les bonnes formules.

o Comment obtient-on le nombre qui « suit » ?

o Quelles formules peux-tu insérer ?

- Des élèves peuvent avoir du mal à prouver leur conjecture.

o Comment généraliser un résultat, des calculs qui se répètent ?

o Si n est le nombre choisi. Comment écrire le nombre entier qui suit en fonction de n ?

o Quelles formules avez-vous inséré dans les cellules ?

o Comment exprimer la somme des 3 entiers consécutifs en fonction de n ?

o Comment réduire une expression littérale ?

o Quel est le but voulu ?

o Comment transformer une somme en un produit ?

Des élèves peuvent également établir des conjectures fausses ou imprécises… (Exemple : il faut que

la somme soit un nombre pair…). Dans ce cas, ces solutions seront discutées lors de la phase de

débat. Le professeur fera avancer le débat, notamment au travers de contre-exemples produits par

les élèves.

Au fil des tâches complexes, des aides génériques se créent et nous pouvons au fur à mesure les

lister : ci-dessous, un document de réflexion sur ces aides génériques.

36

Aides génériques possibles (non exhaustif)

Remarques :

Débloquer C1 permet dans la plupart des cas de débloquer la situation et permet de relever des manifestations positives de C2, C3.

Il suffit souvent de traduire les critères de réussite en questions « ouvertes » pour obtenir ces aides.

Pour cela, la grille de référence du Socle Commun et l’aide au suivi de l’acquisition des connaissances et des capacités du Socle Commun peuvent beaucoup aider.

Pratiquer une démarche scientifique Apprendre et enrichir ses connaissances

Quelles connaissances peux-tu utiliser ? A quelle partie du cours cela te fait-il penser ?

Quelle(s) propriété(s) peux-tu utiliser ? Pourquoi ?

Quelles sont les hypothèses, les conditions te permettant d’appliquer cette propriété ?

C1

As-tu relu l’énoncé ?

Comprends-tu la signification de chaque mot ?

As-tu repéré, identifié, souligné les données, les mots importants ?

Quelles sont les données qui te paraissent utiles ?

Quelles sont les données numériques ? Quelles sont leurs significations ?

Peux-tu reformuler le sujet, le problème ?

Peux-tu traduire les données de ce graphique ? De ce tableau ?

Peux-tu coder la figure à partir des informations du texte ?

Peux-tu traduire les informations qui sont codées ?

Peux-tu repérer une figure-clé ?

C2 Quels calculs peux-tu faire ? Pourquoi ? Sont-ils corrects ? As-tu fait des essais ? As-tu fait des schémas pour mieux te représenter la situation ? As-tu bien appliqué la consigne pour réaliser ton schéma, ta figure, ton tableau, ton graphique ? As-tu bien appliqué le programme de calcul ?

C3 As-tu écrit ta démarche de résolution ? Présenter tes idées principales ? As-tu les traces de tes essais ? Peux-tu les expliquer ? Quelles observations peux-tu faire à partir de tes essais ? As-tu vérifié tes résultats ? Tes résultats sont-ils cohérents ? As-tu fait d’autres essais ? Sont-ils corrects ? Peux-tu trouver une autre façon de faire ? As-tu essayé d’autres pistes ? Comment exploiter tes résultats ? Peux-tu les confronter au résultat attendu ? A partir des données sûres, des hypothèses, que peux-tu en déduire ? Peux-tu prouver, valider ta conjecture ? Peux-tu généraliser le résultat ?

C4 Penses-tu que ta copie est bien présentée ? As-tu fait des paragraphes ? As-tu bien présenté tes résultats ? Tes résultats sont-ils tous rigoureusement justifiés ? As-tu utilisé un vocabulaire mathématique précis ? As-tu vérifié que tu as marqué les bonnes unités, que tu as utilisé les bons symboles ou notations (arrondis…) ? Tes schémas, tableaux, graphiques… sont-ils clairs ? As-tu bien présenté ta démarche ? Penses-tu que de la manière dont tu as présenté ta démarche, un camarade pourrait comprendre ton raisonnement ? As-tu respecté les règles de mise en forme d’une démonstration ? Fais-tu référence aux théorèmes que tu utilises ?

Mét

hod

olog

ie

Chro

nolo

gie

37

h. Analyse a posteriori

Cette expérimentation a été faite avec une classe de 4ème.

Elle a été filmée et a duré 2h30. Elle devrait être mise en ligne sur le site académique de la Réunion

prochainement.

Les élèves n’étaient pas habitués à la nouveauté : avoir les ordinateurs en libre-service.

Cela a été l’occasion d’instaurer le nouveau dispositif concernant la régulation de l’outil

informatique (« comment réguler l’outil informatique lors d’une tâche complexe »).

Cela a eu un impact étonnant sur les élèves : la majorité des élèves l’ont pris comme un défi et lors

de la 1ère heure, aucun n’a voulu utiliser l’outil informatique. La plupart des élèves ont effectué des

calculs mentaux ou ont posé l’opération.

Lors de la fin de la 1ère séance, certains élèves ont vraiment ressenti le besoin de l’outil informatique

comme en témoigne une des élèves (sur vidéo).

En reprenant ces mots : Elle a eu « un flash » ! Avec tous ces calculs dans sa tête, elle a eu le besoin

d’utiliser le tableur pour se faciliter la tâche.

Sur 5 groupes, 3 groupes ont refusé d’utiliser l’outil numérique.

C’est un groupe avec des élèves d’un niveau modeste qui est allé le plus loin dans la résolution du

problème : ils ont trouvé l’expression littérale réduite mais n’ont pas réussi à l’interpréter.

38

Ci-dessous, des productions d’élèves avec commentaires :

Des « narrations » de groupe ou individuelle intéressantes

39

Deux groupes organisés et efficaces, où le déroulement du travail de groupe est bien décrit.

40

41

Réponses en faisant des calculs et en réajustant sa réponse (réponses 1, 4 et 5)

42

Sans outil instrumenté :

Influence et utilité des outils instrumentés

o Calculatrice

Calculs posés (« à la main ») (réponse 2).

Calcul mental (réponse 3)

43

Tableur – Conjecture : « Un nombre est la somme de trois nombres entiers consécutifs s’il est dans

la table de trois »

Remarques : d’autres formules possibles ont été créées par les groupes.

Ce groupe a inséré comme formule : En B1 : « =A1+1 » En C1 : « =B1+1 » En D1 : « = A1+B1+C1 »

Ce groupe a inséré comme formule : En B1 : « =A1+1 » En C1 : « =B1-2 » En D1 : « = A1+B1+C1 » Les nombres consécutifs ne sont pas dans l’ordre.

44

Remarque : grâce au critère de divisibilité, on peut rapidement savoir si un nombre est un multiple de 3 ou non. La plupart des élèves ont compris ici l’utilité du tableur :

- gagner du temps car il permet d’effectuer beaucoup de calculs rapidement.

- garder une trace de tous les calculs, ce qui permet ainsi d’effectuer des conjectures.

Prouver la conjecture par le calcul littéral

45

Vers l’expression littérale grâce au tableur !

Cet exemple montre clairement l’influence du tableur dans le développement

des capacités liées au calcul littéral, la cellule jouant le rôle de variable.

46

Sans le tableur

Ces élèves ont bien utilisé les aides du professeur. Ils ont utilisé leurs ressources (le cahier de mathématiques) pour réduire l’expression littérale mais n’ont pas réussi ensuite à conclure.

Autre choix possible du nombre inconnu

Cette solution a permis de voir qu’il y avait plusieurs expressions littérales possibles suivant le choix de l’inconnue.

47

Utilisation de Xcas pour ceux qui ne savent pas simplifier l’expression littérale

Aucun élève n’a pensé à Xcas (en effet, ici, cela n’était pas utile). Cela a été l’occasion de rappeler les fonctions de Xcas. De plus, la version sur les postes ne permet pas de factoriser 3x+3. Cela a permis de s’interroger sur la réponse que donnait Xcas et de revenir sur le sens de factoriser. Pour finir : deux initiatives appréciées en lien avec l’apprentissage de la démonstration !

48

i. Prolongements

Il peut être intéressant de revenir sur cette activité lors de la mise en équation de problème, de mettre en évidence le fait que la méthode experte de résolution n’était pas nécessaire…

Ce groupe a eu l’initiative d’écrire leur conjecture sous la forme d’une propriété en « si…alors ». Il faut ensuite la démontrer. Ils ont eu l’initiative de transposer leur propriété sous forme d’un organigramme et de la propriété « JAFE » (initiales de leur prénom !). Le statut des propositions (hypothèses, propriété, conclusion) est bien acquis et même appliqué dans le calcul numérique !

49

6. Étude de « n (n + 2) + 1 »

a. Énoncé

1) Effectue les calculs suivants :

7 + 1 8 + 1 9 11 + 1 …

12 14 + 1

2) a) Quelle conjecture peux-tu faire ?

b) Peux-tu prouver ta conjecture ?

3)

En 3ème : Peux-tu prévoir le résultat du calcul A = 997 999+1 sans poser l’opération, à la main ? En 4ème : Peux-tu prévoir le résultat du calcul A = 154 156 + 1 – 155² sans poser aucune opération ? Pour chaque question : Tu écriras soigneusement comment tu as procédé pour trouver la réponse, tu laisseras trace de tous tes essais, y compris ceux qui n’ont pas aboutis. Tu écriras sous forme d’une narration de recherche toutes les idées qui te viennent en tête pour résoudre ce problème.

Remarques

1) Toute la mise en œuvre est explicitée dans les paragraphes 3 et 4 du présent chapitre et en

annexe II.

2) Même si cette activité ne se rapporte pas à une situation concrète, on peut la considérer comme

une tâche complexe.

Elle mobilise des ressources internes (capacités, connaissances, vécu...) et externes : les élèves

ont à leur disposition leur cahier de mathématiques ainsi que les ordinateurs en libre-service.

L’énoncé est assez simple à comprendre et permet de motiver la recherche.

L’énoncé précise à l’élève ce qu'il doit faire, de façon ouverte, sans détailler, et ce qu'il doit

produire, mais sans lui dire comment s'y prendre ni lui donner de procédure.

L’activité ne se réduit pas à l’application d’une procédure automatique.

Les élèves peuvent adopter une démarche personnelle de résolution pour réaliser la tâche.

Ils doivent mobiliser, combiner plusieurs savoir-faire (voir les objectifs plus bas) pour trouver

une solution et développer de nouvelles compétences.

50

b. Grille d’évaluation liée à cette tâche complexe

51

Commentaires

1) L’évaluation porte aussi bien sur la résolution du problème que sur l’investissement collectif, ceci

afin de favoriser un vrai travail de groupe où tout le monde participe.

Par une évaluation positive, on incite les élèves à s’investir, à participer dans le groupe. Même si la solution n’est pas trouvée, ils peuvent avoir une bonne note par ce critère « Investissement ».

2) Cette grille d’évaluation (exhaustive) permet au professeur de noter les élèves à partir de leurs

productions à la fin de l’activité.

Elle sert uniquement de support mais en aucun cas elle ne doit être respectée à la lettre. Elle doit être utilisée comme outil de réflexion pour créer sa propre grille. Elle n’est donc pas figée. En fait, l’intérêt pédagogique de cette grille ne réside pas dans la note : Cette grille permet surtout de faire une analyse a priori des diverses démarches possibles et éventuellement de les graduer par niveau d’expertise : des démarches personnelles aux démarches expertes. Afin de motiver toujours les élèves, le barème peut être établi afin que tous les élèves ayant eu une démarche personnelle aient la totalité des points. Ceux qui seront allés plus loin (démarche experte) auront des points de bonus. Ceci permet de valoriser les élèves car le but n’est pas la note en soi mais la formation à des compétences transversales, notamment à celle de résolution de problèmes. La note n’est donc en aucun cas nécessaire. Sous forme d’évaluation positive, elle permet uniquement de motiver les élèves car même ceux en difficulté pourront avoir une bonne note, du moment qu’ils aient été en activité durant toute la tâche complexe.

c. Contexte

Cette tâche complexe peut-être donnée à tous les niveaux du collège :

En classe avec ordinateurs en libre-service

En salle informatique

Un travail de groupe a donc été effectué.

Sa mise en œuvre a été vue dans l’annexe II.

Pour gagner du temps, les élèves travaillent sur une seule table et seuls deux élèves n’ont qu’à

retourner leur chaise.

Pour l’expérimentation, la tâche complexe a été faite avec une classe de 4ème avec 4 ordinateurs en

libre-service ayant les logiciels usuels (tableur, calcul formel…)

Le professeur a constitué 5 à 6 groupes de 3 ou 4 élèves.

52

Remarque sur la constitution des groupes

Le choix des groupes peut se faire suivant plusieurs critères de plus en plus fins :

Organisation spatiale : afin de gagner du temps, on forme les groupes à partir d’élèves qui sont

proches dans la classe.

Hétérogénéité : on peut également essayer de travailler l’hétérogénéité, la différenciation.

Le professeur décide du degré d’hétérogénéité du groupe suivant la qualité des travaux de groupe réalisés tout au long de l’année : on peut avoir de bonnes surprises en créant un groupe hétérogène. Bien sûr, si cela ne marche pas, le professeur a le pouvoir de changer la constitution des groupes et de reconstituer des groupes moins hétérogènes… L’idée de constituer que des groupes homogènes peut conforter les élèves en difficulté dans leur situation d’échec. De plus, cela ne favorise pas les confrontations des diverses démarches (personnelles et expertes).

Affinités : lorsque les deux critères précédemment utilisés ne suffisent plus, le professeur peut

décider de former les groupes par affinités. Il peut demander aux élèves avec qui ils veulent

absolument travailler. Bien sûr, le professeur sera d’autant plus exigeant sur l’investissement et le

travail de ce groupe puisqu’il a accepté leur demande.

En jouant sur ces critères, avec l’expertise du professeur ayant pratiqué plusieurs travaux de groupe en cours d’année, la constitution des groupes s’affine. De plus, les élèves apprennent tout au long de l’année, lors de ces travaux de groupe, à mieux se connaître et à travailler ensemble.

d. Prérequis

En 4ème :

Ce problème s’intègre dans une progression spiralée où le calcul littéral est vu tout au long de

l’année : (Voir également l’annexe III).

Séquence 1 (1er trimestre) : calcul littéral, sens, production d’une expression littérale, variable.

Séquence 2 (Début 2ème trimestre) : factorisation (rappels 5ème), réduction d’une expression.

Concernant les outils informatiques pouvant être utilisés, les élèves y ont été initiés en plénière

progressivement, par petites touches, en spirale.

Les élèves savent notamment manipuler le tableur, insérer, généraliser des formules.

Notamment lors de la séquence 1 (ci-dessus) afin d’illustrer des programmes de calculs simples, puis

en devoirs à la maison et en devoirs surveillés.

Les élèves ont été également formés au logiciel de calcul formel : Xcas.

Ils savent en outre : simplifier, factoriser, développer une expression avec Xcas.

Ces fonctionnalités ont été vues en plénière lors d’exercices simples sur le calcul littéral

(développement, factorisation, réductions d’expressions…), puis à la maison après qu’ils ont

téléchargé le logiciel.

Les élèves sont également habitués à la pratique des narrations de recherche et au travail de groupe.

53

En 3ème :

Ce problème s’intègre dans une progression spiralée où le calcul littéral est vu tout au long de

l’année : (Voir également l’annexe III).

Séquence 1 (1er trimestre) : variable, réduction, développement (sans identité).

Séquence 2 (Début 2ème trimestre) : identités remarquables.

La notion de fonction a également été vue au 1er trimestre, permettant de revenir sur du calcul

littéral.

Dès le début d’année, les élèves ont revu également (sous forme d’exercices, devoirs à la maison,

devoirs surveillés) des programmes de calcul permettant d’illustrer ces diverses séquences ainsi que

l’utilisation du tableur.

Concernant les outils informatiques et les savoir-faire utilisés, ce sont les mêmes qu’en 4ème.

Les élèves sont également habitués à la pratique des narrations de recherche et au travail de groupe.

54

e. Objectifs et analyse a priori

Généraux

Les élèves doivent « résoudre un problème » et mettre ainsi en œuvre des compétences du Socle

Commun : compétence 3 – Domaine « Résoudre un problème » - Items C1, C2, C3, C4.

La partie « narration de recherche » permet d’évaluer la compétence 1 et le travail de groupe (suivi

du débat) permet d’évaluer les compétences 6 et 7 du Socle Commun.

Il s’agit de résoudre un problème faisant intervenir le calcul littéral, d’établir des conjectures, des

stratégies et essayer de les prouver, de les justifier.

Les élèves doivent également apprendre à communiquer leurs résultats, leurs démarches, exprimer

dans un langage correct leurs conjectures.

Le but est de donner du sens au calcul littéral.

Pour ce problème, l’élève doit utiliser le calcul littéral pour prouver un résultat général en

arithmétique. En outre, ce problème contribue à la maîtrise du développement ou la factorisation

d’expressions simples16 (cf. Commentaires du programme de 4ème et de 3ème).

Calculs manuels – « compétences » développées

Les calculs ont été choisis de telle manière à ce que les élèves puissent donner les résultats des

premiers calculs mentalement en utilisant les règles de priorité. Cela sera notamment demandé aux

élèves lors de la phase de débat afin de retravailler avec tout le monde le calcul mental. (« Comment

avez-vous effectué les premiers calculs ? »)

Les autres calculs peuvent être faits à la main.

Pour formuler la conjecture, les élèves doivent reconnaître des carrés parfaits. Cela doit faire partie

du répertoire automatisé dont dispose l’élève (Cf. Michèle Artigue17 - à travailler de manière spiralée

au cours de l’année).

Pour prouver cette conjecture, les élèves vont devoir utiliser le calcul littéral :

Produire une expression littérale

Développer l’expression obtenue (avec ou sans identité remarquable suivant le choix de

l’entier comme inconnue)

Reconnaître une identité remarquable (suivant le choix de l’entier comme inconnue) pour

pouvoir ainsi la factoriser et reconnaître le carré d’un nombre.

16

Programme du collège, BO, Aout 2008 17

Conférence de Michèle Artigue – Repères IREM n°54 (2004) : « L’enseignement du calcul aujourd’hui : Problèmes, défis et perspectives »

55

Suivant le choix de l’entier choisi comme inconnue, l’expression obtenue ne sera pas la même :

n(n+2) + 1, (n-1)(n+1) + 1... Un débat pourra s’en suivre.

L’identité remarquable choisie ne sera pas la même suivant l’entier choisi comme inconnue.

Le résultat obtenu également. La factorisation sera nécessaire dans certains cas.

Le but de cette activité est également de réfléchir sur la nature d’une expression littérale.

Notamment, ils vont devoir réfléchir sur l’aspect structural18 de l’expression obtenue.

Que représente (n+1)² ? Comment interpréter ce résultat ?

Les élèves vont devoir comprendre que n+1 est également un nombre entier et que (n+1)² est bien le

carré du nombre qui suit n.

Des compétences calculatoires sont développées ainsi que l’intelligence de calcul19.

Pour la dernière question, la méthode est imposée. Les élèves doivent calculer « à la main ».

Cela doit obliger les élèves à réfléchir et à utiliser intelligemment les résultats obtenus

(éventuellement) avec le calcul instrumenté.

Il y a ici une sorte « d’aller-retour » entre l’utilisation du calcul instrumenté et le calcul écrit.

En 4ème, un élève ayant bien compris les questions précédentes, se rendra compte de l’évidence du

résultat et de l’inutilité ici d’une calculatrice.

Il développera ici des capacités d’anticipation.

En 3ème, le but est que les élèves effectuent le calcul numérique 998² à la main, en utilisant les

identités remarquables en travaillant ainsi une capacité du programme20(et même du Socle

Commun). On revient ainsi sur un calcul « manuel » exigible de tous les élèves de 3ème où le calcul

instrumenté s’avère inutile.

18

Cf. Document ressource Eduscol : « Du numérique au littéral au collège – Février 2008 » 19

Conférence de Michèle Artigue – Repères IREM n°54 (2004) : « L’enseignement du calcul aujourd’hui : Problèmes, défis et perspectives » 20

« Dans le cadre du Socle Commun, les élèves connaissent l’existence des identités remarquables et doivent savoir les utiliser pour calculer une expression numérique »

56

Calculs instrumentés – Influence des outils

Les calculs répétitifs doivent inciter les élèves à utiliser le calcul instrumenté (calculatrice, tableur).

Les élèves doivent d’abord avoir compris le but du problème et s’être engagés sur les premiers

calculs à la main, mentalement.

Ils peuvent utiliser la calculatrice, le papier-crayon ou le tableur pour établir des conjectures.

Le tableur permet en outre de générer de plus nombreux calculs et plus rapidement en laissant la

trace des essais sur la feuille de calcul.

Il peut également servir à aider les élèves à la production d’une expression littérale car les formules

à insérer s’en rapprochent.

Le logiciel de calcul formel Xcas n’est pas utile pour les 3ème (sauf pour des élèves en difficulté) mais

s’avère indispensable pour les élèves de 4ème.

En 4ème :

L’expression littérale produite la plus trouvée devrait être : n(n+2) +1.

Les élèves ne savent pas factoriser une expression du type n² + 2n + 1.

Les élèves vont devoir ici utiliser intelligemment le logiciel de calcul formel en utilisant la fonction

« factoriser ».

Les élèves ont à disposition le logiciel de calcul formel Xcas.

Même si le professeur peut suggérer l’utilisation de l’outil informatique, les élèves vont ensuite

devoir faire preuve d’initiative et d’autonomie dans la conduite du calcul à mener avec le logiciel.

Faut-il utiliser la fonction « factoriser » ou « développer » ? Même s’ils le font au hasard, ils vont

devoir s’interroger sur le résultat obtenu et revenir sur le sens de ces notions.

On développe et forme ainsi les élèves à l’intelligence de calcul.

En 4ème, un élève pourrait également avoir formalisé la conjecture (n+1)². On pourrait alors différencier l’usage du calcul formel suivant le niveau de l’élève :

Un élève en difficulté pourra utiliser le calcul formel, il pourra par exemple demander au

logiciel de développer l’expression. Le calcul formel sera une aide pour l’élève, cela lui

permettrait de résoudre le problème dans sa globalité et ainsi le motiver et lui redonner

confiance.

Pour un élève n’ayant pas de difficulté, on peut demander à l’élève de développer à la main

l’expression sans utiliser le calcul formel, en utilisant la double-distributivité.

57

En 3ème, l’utilisation du calcul formel est inutile.

Cela doit faire partie du répertoire automatisé (cf. Michèle Artigue). Nous pouvons cependant faire

utiliser le calcul formel, dans le cadre d’une différenciation pédagogique pour des élèves en

difficulté. Cela permettrait de redonner confiance aux élèves car ils résoudraient ainsi le problème à

l’aide de l’outil informatique.

L’utilisation du calcul formel permet ici d’éviter un problème technique (qui sera malgré tout vu en

remédiation) mais il est malgré tout fondamental que l’élève s’interroge sur la nature des résultats

obtenus. La réflexion portera donc sur l’aspect structural d’une expression littérale et sur les

notions mises en jeu (factorisation, développement…)

Récapitulatif des savoir-faire (en terme de calcul) qui peuvent être observés :

Calcul automatique Calcul réfléchi ou raisonné

Cal

cul n

um

éri

qu

e

Calcul mental Calculs simples Utilisation des tables Résultats et procédures automatisés (carrés parfaits…)

Question 3) (4ème) en reconstruisant la procédure prouvée à la question 2).

Calcul écrit Techniques opératoires (calcul posé) Question 3) (3ème) en utilisant la question 2) et les identités remarquables pour calculer 998².

Calcul instrumenté Calculatrice Tableur Calcul formel

Calculs usuels, calculs de carrés Insérer des formules Fonctions « factoriser », « développer », « simplifier »

Interprétation des résultats obtenus avec tableur ou calculatrice pour établir une conjecture Réflexion sur les formules à insérer dans chaque colonne pour répondre aux questions Réflexion sur le résultat obtenu par le logiciel de calcul formel (aspect structural)

Calcul littéral - Produire une expression littérale - Réduire une expression littérale avec ou sans parenthèse - Développer, factoriser une expression littérale - Reconnaître une identité remarquable (3ème) - Interpréter le résultat obtenu (aspect structural – Reconnaître le carré d’un nombre)

58

f. Différentes phases du déroulement en classe

Durée approximative : 2h

Phases Rôle du professeur Rôles de l’élève

Phase 1 : 10 min Dévolution du problème

Demander aux élèves de lire l’énoncé Avez-vous compris le problème ? Quels sont les mots que vous ne comprenez pas ? Bien dire aux élèves qu’ils ont droit à tous les supports (papier, calculatrice, informatique…) à condition de remplir le questionnaire

Lire l’énoncé Poser des questions concernant la compréhension du sujet

Phase 2 : 20 min Recherche individuelle

Observer les réponses d’élèves Inciter les élèves à laisser des traces de tous leurs essais.

Débuter la résolution du problème sous forme d’une narration de recherche. Les élèves peuvent utiliser l’outil informatique si besoin est.

Phase 3 : 35 min Travail de groupe

Observer les différentes stratégies adoptées dans chaque groupe Laisser les groupes le plus autonome Proposer des aides (voir ci-dessous) si les élèves bloquent et avec parcimonie

Echanger, discuter des diverses solution, stratégies. Bâtir une solution commune dont le but est de convaincre les autres groupes Choisir un porte-parole pour la phase de débat Utilisation éventuelle de l’outil informatique

Phase 4 : 35 min Mise en commun des productions – Débat

Prendre les photos des productions et les visualiser via un vidéo-projecteur Orchestrer le débat en agençant dans un ordre précis les diverses productions Bien demander aux élèves quels outils ils ont utilisés (manuel, instrumentés…) et pourquoi ? Revenir sur le calcul manuel, mental lorsque cela était préconisé.

Ecouter les groupes Exprimer, décrire leurs solutions.

Phase 5 : 20 min Synthèse - Solution

Si les élèves n’y sont pas arrivés, amener les élèves à la solution par des questions.

Participer à l’animation du professeur Ecrire ce qu’ils ont retenu de l’activité

Remarque : Le document ressource sur la « mise en œuvre d’une tâche complexe » sur le site académique de la Réunion détaille également toutes ces phases, la gestion du débat… http://maths.ac-reunion.fr/College/Socle-commun/Mise-en-oeuvre-gestion-et

59

g. Blocage et aides éventuelles

Cette partie est fondamentale : tous les groupes ne vont pas forcément aboutir à la solution.

Certains vont bloquer.

Il est fondamental de réfléchir sur ces éventuels blocages et d’anticiper des questions permettant

d’aider les élèves à avancer sans pour autant leur donner la démarche de résolution.

Les aides doivent dont être formulées sous forme de questions, en permettant toujours une

réflexion de la part de l’élève.

Elles doivent être différenciées suivant l’interlocuteur et délivrées avec parcimonie en essayant le

plus possible de ne pas induire la démarche de résolution et favoriser ainsi la réflexion,

l’autonomie et l’initiative.

Le professeur a donc en sa possession une liste de questions qu’il va pouvoir utiliser de manière

différenciée en fonction de son interlocuteur.

Afin de former les élèves à des compétences transversales, créer des méthodologies, le professeur

peut demander aux élèves de noter l’aide du professeur ou il peut également faire coller sur la

production de l’élève des bandelettes en papier où figurent les questions (elles auront été préparées

à l’avance).

- Des élèves peuvent ne pas comprendre les consignes.

Des aides sur la capacité C1 : « extraire l’information utile » permet à beaucoup d’élèves d’entrer dans le sujet (comme préconisé par le document ressource EDUSCOL sur le Socle Commun en mathématiques sorti en mai 2011).

o Avez-vous compris la consigne ?

o Quels sont les mots qui vous posent problème ?

- Des élèves peuvent avoir du mal à trouver la conjecture, l’exprimer.

o As-tu bien observé tes calculs ? Comment les obtient-on ?

o Quels sont tes résultats obtenus ?

o Que remarques-tu ?

o Ne reconnais-tu pas des valeurs connues ?

o As-tu fait d’autres essais ?

o Quel outil peux-tu utiliser pour faciliter les calculs ?

o Quelles formules peux-tu insérer ?

60

- Des élèves peuvent avoir du mal à prouver leur conjecture :

o Comment généraliser un résultat, des calculs qui se répètent ?

o Quelle expression littérale traduit ces calculs ?

o Quelles formules avez-vous inséré dans les cellules du tableur ? Quel est le lien entre

les deux facteurs du produit ?

o Que peut-on faire avec une expression littérale ? Avons-nous les conditions voulues

pour développer, factoriser l’expression ?

o Quel outil peux-tu utiliser pour modifier l’expression littérale ?

o Quelles sont les fonctions que tu as utilisées sur Xcas ? Pourquoi ?

o Comment interpréter les résultats obtenus ? Quel est le but voulu ?

o Quelles sont les connaissances que tu peux ici utiliser ?

- Pour la question 3)

o Peux-tu utiliser les questions précédentes ?

o Quelles connaissances peux-tu mettre en jeu pour calculer 998²?

Au fil des tâches complexes, des aides génériques se créent et nous pouvons au fur à mesure les

lister : ci-dessous, un document de réflexion sur ces aides génériques.

61

Aides génériques possibles (non exhaustif)

Remarques :

Débloquer C1 permet dans la plupart des cas de débloquer la situation et permet de relever des manifestations positives de C2, C3.

Il suffit souvent de traduire les critères de réussite en questions « ouvertes » pour obtenir ces aides.

Pour cela, la grille de référence du Socle Commun et l’aide au suivi de l’acquisition des connaissances et des capacités du Socle Commun peuvent beaucoup aider.

Pratiquer une démarche scientifique Apprendre et enrichir ses connaissances

Quelles connaissances peux-tu utiliser ? A quelle partie du cours cela te fait-il penser ?

Quelle(s) propriété(s) peux-tu utiliser ? Pourquoi ?

Quelles sont les hypothèses, les conditions te permettant d’appliquer cette propriété ?

C1

As-tu relu l’énoncé ?

Comprends-tu la signification de chaque mot ?

As-tu repéré, identifié, souligné les données, les mots importants ?

Quelles sont les données qui te paraissent utiles ?

Quelles sont les données numériques ? Quelles sont leurs significations ?

Peux-tu reformuler le sujet, le problème ?

Peux-tu traduire les données de ce graphique ? De ce tableau ?

Peux-tu coder la figure à partir des informations du texte ?

Peux-tu traduire les informations qui sont codées ?

Peux-tu repérer une figure-clé ?

C2 Quels calculs peux-tu faire ? Pourquoi ? Sont-ils corrects ? As-tu fait des essais ? As-tu fait des schémas pour mieux te représenter la situation ? As-tu bien appliqué la consigne pour réaliser ton schéma, ta figure, ton tableau, ton graphique ? As-tu bien appliqué le programme de calcul ?

C3 As-tu écrit ta démarche de résolution ? Présenter tes idées principales ? As-tu les traces de tes essais ? Peux-tu les expliquer ? Quelles observations peux-tu faire à partir de tes essais ? As-tu vérifié tes résultats ? Tes résultats sont-ils cohérents ? As-tu fait d’autres essais ? Sont-ils corrects ? Peux-tu trouver une autre façon de faire ? As-tu essayé d’autres pistes ? Comment exploiter tes résultats ? Peux-tu les confronter au résultat attendu ? A partir des données sûres, des hypothèses, que peux-tu en déduire ? Peux-tu prouver, valider ta conjecture ? Peux-tu généraliser le résultat ?

C4 Penses-tu que ta copie est bien présentée ? As-tu fait des paragraphes ? As-tu bien présenté tes résultats ? Tes résultats sont-ils tous rigoureusement justifiés ? As-tu utilisé un vocabulaire mathématique précis ? As-tu vérifié que tu as marqué les bonnes unités, que tu as utilisé les bons symboles ou notations (arrondis…) ? Tes schémas, tableaux, graphiques… sont-ils clairs ? As-tu bien présenté ta démarche ? Penses-tu que de la manière dont tu as présenté ta démarche, un camarade pourrait comprendre ton raisonnement ? As-tu respecté les règles de mise en forme d’une démonstration ? Fais-tu référence aux théorèmes que tu utilises ?

Mét

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h. Analyse a posteriori

Cette 2ème expérimentation s’est faite environ 1 mois et demi après la 1ère expérimentation. Sur 6

groupes :

Deux groupes n’ont pas voulu utiliser d’outils numériques.

Un groupe n’a utilisé que le tableur : les élèves ont réussi à générer les calculs mais ne sont pas

arrivés à la conjecture.

Les trois autres groupes ont utilisé le tableur et Xcas.

Deux groupes sont arrivés à la solution. Tous les groupes ont établi des conjectures correctes. Notamment, des conjectures très intéressantes ont été établies : sur l’écart entre les résultats, ou sur la parité du résultat (voir productions d’élèves). Tout n’a pas été démontré lors de la synthèse car cette expérimentation a pris environ 2h – 2h15.

Ci-dessous, des productions d’élèves avec commentaires.

Réinvestissement des connaissances vues lors de la dernière expérimentation (utilisation du mot

consécutif qui avait posé problème lors de la 1ère expérimentation)

63

Utilisation des tables et du calcul mental réfléchi pour effectuer les calculs

Une conjecture intéressante sur l’écart entre les résultats

Une autre conjecture sur la parité du résultat

64

Conjecture formulée avec les mots des élèves

Etonnant : ce groupe trouve la conjecture mais ne voit pas pour autant le carré de 8 !

C’est étrangement le tableur qui va les aider à le voir.

65

Manipulation du tableur :

Création de formules littérales

Ce groupe a tapé - En C1 : = A1*B1

- En D1 : = C1+1

Ce groupe a tapé - En C1 : = A1*B1 + 1

- En E1 : = (A1+1)^2

66

Les élèves travaillent vraiment la capacité à produire une expression littérale.

Il faudra inciter les élèves à utiliser le moins de lettres possible. (le o dans n désigne la lettre

o !).

Le professeur a aidé ce groupe en demandant décrire cette formule avec le moins de lettres possible.

(cf. ci-dessous)

Ils ont également eu l’idée d’utiliser la distributivité.

Le travail de groupe a aussi permis à un élève, lors des échanges, de comprendre que dans la règle de

distributivité k (a+b)… k peut être égal à a.

67

Du calcul numérique au calcul littéral – Autre choix de la variable

Utilisation de Xcas

Lors de la synthèse, le professeur a encore invité les élèves à réfléchir sur les fonctions utilisées.

En plénière, avant de montrer les résultats sur Xcas, il les a incités à anticiper la fonction à utiliser.

Ce groupe avait utilisé directement la fonction « factoriser ». Le professeur leur a demandé pourquoi

cette fonction et pourquoi pas « développer » ?

Les élèves ont alors essayé avec la fonction « développer » et ils ont réfléchi sur le sens de développer

et factoriser en mathématiques.

Lors de la synthèse en plénière, cela a été l’occasion de revenir dessus.

Le questionnement sur les fonctions du logiciel utilisé a permis de revenir sur des capacités et

sur des connaissances liées au calcul littéral.

68

Réflexion sur l’apport des outils numériques utilisés

Tableur

69

Xcas

Exemple d’élèves qui se rendent compte que le logiciel de calcul formel était indispensable ici car

ils n’avaient pas encore les connaissances suffisantes pour pouvoir factoriser l’expression.

70

7. Étude de « n² - (n-2)² »

a. Énoncé

1) Effectue les calculs suivants :

7² - 5² 8² - 6² 9² - 7² … 13²-11²

2) a) Quelle conjecture peux-tu faire ?

b) Peux-tu prouver ta conjecture ?

3) Peux-tu ainsi prévoir le résultat du calcul A = 2501² - 2499² sans poser l’opération, à la main ?

Pour chaque question : tu écriras soigneusement comment tu as procédé pour trouver la réponse, tu laisseras trace de tous tes essais, y compris ceux qui n’ont pas abouti. Tu écriras sous forme d’une narration de recherche toutes les idées qui te viennent en tête pour résoudre ce problème.

Remarques

1) Toute la mise en œuvre est explicitée dans les paragraphes 3 et 4 du présent chapitre et en

annexe II.

2) Même si cette activité ne se rapporte pas à une situation concrète, on peut la considérer comme

une tâche complexe.

Elle mobilise des ressources internes (capacités, connaissances, vécu...) et externes : les élèves

ont à leur disposition leur cahier de mathématiques ainsi que les ordinateurs en libre-service.

L’énoncé est assez simple à comprendre et permet de motiver la recherche.

L’énoncé précise à l’élève ce qu'il doit faire, de façon ouverte, sans détailler, et ce qu'il doit

produire, mais sans lui dire comment s'y prendre ni lui donner de procédure.

L’activité ne se réduit pas à l’application d’une procédure automatique.

Les élèves peuvent adopter une démarche personnelle de résolution pour réaliser la tâche.

Ils doivent mobiliser, combiner plusieurs savoir-faire (voir les objectifs plus bas) pour trouver une solution et développer de nouvelles compétences.

3) Cette activité n’a pas eu le temps d’être expérimentée à ce jour (fin mai 2012).

Son analyse a posteriori et les grilles d’évaluations créées seront mises en ligne sur le site académique de la Réunion et celui de l’IREM de la Réunion une fois qu’elles seront effectuées.

71

b. Contexte

Ce problème sera effectué en 4ème et en 3ème en classe entière, soit :

En classe avec ordinateurs en libre-service

En salle informatique

Les élèves auront déjà fait les deux tâches complexes « Somme de 3 nombres entiers consécutifs » et

« étude de n(n+2) + 1 ».

Cette tâche complexe joue le rôle de « tâche complexe – bilan ».

Elle sera donnée bien après la 2ème tâche complexe afin de voir si les élèves ont été capables de

transférer leurs compétences sur une nouvelle tâche complexe (3ème degré de maîtrise des

compétences21) en autonomie.

Elle utilise toutes les « compétences » liées au calcul (manuel et instrumenté) travaillées lors des

tâches complexes précédentes, notamment :

Calcul manuel : calcul mental, posé

Calcul littéral :

Produire une expression littérale

Réduire une expression littérale

Réfléchir sur la nature d’une expression littérale, son aspect structural.

Calcul instrumenté :

Calculatrice : essais…

Tableur : gérer des calculs répétitifs, émettre une conjecture

Logiciel de calcul formel : gérer des calculs techniques et les interpréter…

Elle permettra également d’évaluer l’autonomie acquise des élèves en terme de calcul, ainsi que l’intelligence de calcul développée au travers de toutes ces activités. Un travail de groupe sera effectué.

Sa mise en œuvre a été vue dans l’annexe II.

Pour gagner du temps, les élèves travaillent sur une seule table et seuls deux élèves n’ont qu’à

retourner leur chaise.

21 Cf. Document ressource « Vade-Mecum sur le Socle Commun », DGESCO

72

Remarque sur la constitution des groupes

Le choix des groupes peut se faire suivant plusieurs critères de plus en plus fins :

Organisation spatiale : afin de gagner du temps, on forme les groupes à partir d’élèves qui sont

proches dans la classe.

Hétérogénéité : on peut également essayer de travailler l’hétérogénéité, la différenciation.

Le professeur décide du degré d’hétérogénéité du groupe suivant la qualité des travaux de groupe réalisés tout au long de l’année : on peut avoir de bonnes surprises en créant un groupe hétérogène. Bien sûr, si cela ne marche pas, le professeur a le pouvoir de changer la constitution des groupes et de reconstituer des groupes moins hétérogènes… L’idée de constituer que des groupes homogènes peut conforter les élèves en difficulté dans leur situation d’échec. De plus, cela ne favorise pas les confrontations des diverses démarches (personnelles et expertes).

Affinités : lorsque les deux critères précédemment utilisés ne suffisent plus, le professeur peut

décider de former les groupes par affinités. Il peut demander aux élèves avec qui ils veulent

absolument travailler. Bien sûr, le professeur sera d’autant plus exigeant sur l’investissement et le

travail de ce groupe puisqu’il a accepté leur demande.

En jouant sur ces critères, avec l’expertise du professeur ayant pratiqué plusieurs travaux de groupe en cours d’année, la constitution des groupes s’affine. De plus, les élèves apprennent tout au long de l’année, lors de ces travaux de groupe, à mieux se connaître et à travailler ensemble.

c. Prérequis

En 4ème :

Ce problème s’intègre dans une progression spiralée où le calcul littéral est vu tout au long de

l’année (voir également l’annexe III).

Séquence 1 (1er trimestre) : calcul littéral, sens, production d’une expression littérale, variable.

Séquence 2 (Début 2ème trimestre) : factorisation (rappels 5ème), réduction d’une expression.

Concernant les outils informatiques pouvant être utilisés, les élèves y ont été initiés en plénière

progressivement, par petites touches, en spirale.

Les élèves savent notamment manipuler le tableur, insérer, généraliser des formules.

Notamment lors de la séquence 1 (ci-dessus) afin d’illustrer des programmes de calcul simples, puis

en devoirs à la maison et en devoirs surveillés.

Les élèves ont été également formés au logiciel de calcul formel : Xcas.

Ils savent en outre : simplifier, factoriser, développer une expression avec Xcas.

Ces fonctionnalités ont été vues en plénière lors d’exercices simples sur le calcul littéral

(développement, factorisation, réduction d’expressions…), puis à la maison après qu’ils ont

téléchargé le logiciel.

Les élèves sont également habitués à la pratique des narrations de recherche et au travail de groupe.

73

En 3ème :

Ce problème s’intègre dans une progression spiralée où le calcul littéral est vu tout au long de

l’année (voir également l’annexe III).

Séquence 1 (1er trimestre) : variable, réduction, développement (sans identité).

Séquence 2 (Début 2ème trimestre) : identités remarquables.

La notion de fonction a également été vue au 1er trimestre, permettant de revenir sur du calcul

littéral.

Dès le début d’année, les élèves ont revu également (sous forme d’exercices, devoirs à la maison,

devoirs surveillés) des programmes de calcul permettant d’illustrer ces diverses séquences ainsi que

l’utilisation du tableur.

Concernant les outils informatiques et les savoir-faire utilisés, ce sont les mêmes qu’en 4ème.

Les élèves sont également habitués à la pratique des narrations de recherche et au travail de groupe.

74

d. Objectifs et analyse a priori

Généraux

Les élèves doivent « résoudre un problème » et mettre ainsi en œuvre des compétences du Socle

Commun : compétence 3 – Domaine « Résoudre un problème » - Items C1, C2, C3, C4.

La partie « narration de recherche » permet d’évaluer la compétence 1 et le travail de groupe (suivi

du débat) permet d’évaluer les compétences 6 et 7 du Socle Commun.

Il s’agit de résoudre un problème faisant intervenir le calcul littéral, d’établir des conjectures, des

stratégies et essayer de les prouver, de les justifier.

Les élèves doivent également apprendre à communiquer leurs résultats, leurs démarches, exprimer

dans un langage correct leurs conjectures.

Le but est de donner du sens au calcul littéral.

Pour ce problème, l’élève doit utiliser le calcul littéral pour prouver un résultat général en

arithmétique. En outre, ce problème contribue à la maîtrise du développement ou la factorisation

d’expressions simples (cf. commentaires du programme de 4ème et de 3ème).

Calcul mental et/ou écrit – capacités développées

Les calculs ont été choisis de telle manière à ce que les élèves puissent donner les résultats des

premiers calculs mentalement ou à la main :

- En utilisant les règles de priorité, la connaissance des premiers carrés parfaits, qui font

écho à la 2ème tâche complexe.

- En 3ème, en utilisant la 3ème identité remarquable (sens factoriser) sur un exemple

numérique (conformément au programme – Compétence du Socle Commun22).

Les automatismes sur les identités remarquables, travaillés tout au long de l’année, de manière spiralée, sont ici indispensables pour faciliter la résolution, la compréhension du problème.

Les diverses stratégies de calculs seront d’ailleurs reprises avec les élèves (éventuellement reprendre

les productions d’élèves et débattre avec eux) lors de la phase de débat afin de les retravailler avec

tout le monde.

Pour formuler la conjecture, les élèves doivent connaître la notion de multiple (écho à la 1ère tâche

complexe).

Pour prouver cette conjecture, les élèves vont devoir utiliser le calcul littéral :

- Produire une expression littérale (fait lors des deux tâches complexes précédentes).

- Développer ou factoriser l’expression obtenue (avec identité remarquable en 3ème ou

double distributivité uniquement dans le sens développer en 4ème).

- Factoriser l’expression obtenue (suivant le choix de l’entier comme inconnue).

- Interpréter le résultat obtenu.

22 « Dans le cadre du Socle Commun, les élèves connaissent l’existence des identités remarquables et doivent savoir les utiliser pour calculer une expression numérique… »

75

Suivant le choix de l’entier choisi comme inconnue, l’expression obtenue ne sera pas la même :

n² - (n-2)², (n+1)² - (n-1)², (n+2)² - n²... Un débat pourra s’en suivre.

L’identité remarquable choisie ne sera pas la même suivant l’entier choisi comme inconnue.

Le résultat obtenu également. Dans certains cas, la factorisation sera nécessaire.

Le but de cette activité est également de réfléchir sur la nature d’une expression littérale.

Notamment, les élèves vont devoir réfléchir sur l’aspect structural23 de l’expression obtenue.

A partir de 4n-4, ou 4n…ils vont devoir interpréter le résultat obtenu et identifier un multiple de 4.

Notamment avec 4n - 4, des savoir-faire liés au calcul sont développés (comme pour la 1ère tâche

complexe).

- L’élève doit factoriser l’expression : il doit être capable pour cela d’identifier une somme

algébrique dont les deux termes sont des produits avec un facteur commun dont l’un n’est

pas apparent (4 = 4 1).

- Comprendre le résultat 4n – 4 = 4 (n-1) : n-1 est un nombre entier, donc l’écriture 4(n-1)

exprime bien le fait d’avoir un multiple de 4.

Ici, l’intelligence de calcul24 est travaillée. L’aspect technique ne fournit pas directement la réponse

au problème. L’élève doit se poser des questions sur la nature des objets mis en jeu.

Pour la dernière question, la méthode est imposée. Les élèves doivent calculer « à la main ».

Cela doit obliger les élèves à réfléchir et à utiliser intelligemment les résultats obtenus

(éventuellement) avec le calcul instrumenté.

Il y a ici une sorte « d’aller-retour » entre l’utilisation du calcul instrumenté et le calcul manuel.

Un élève ayant bien compris les questions précédentes, se rendra compte de l’évidence du résultat

et de l’inutilité du calcul instrumenté.

23 Cf. Document ressource Eduscol : « Du numérique au littéral au collège – Février 2008 » 24 Conférence de Michèle Artigue – Repères IREM n°54 (2004) : « L’enseignement du calcul aujourd’hui : Problèmes, défis et perspectives »

76

Calculs instrumentés – Influence des outils (prévisions)

Les calculs répétitifs doivent inciter les élèves à utiliser le calcul instrumenté (calculatrice, tableur).

Les élèves doivent d’abord avoir compris le but du problème et s’être engagés sur les premiers

calculs à la main, mentalement.

Ils peuvent utiliser la calculatrice, le papier-crayon ou le tableur pour établir des conjectures.

Le tableur permet en outre de générer de plus nombreux calculs et plus rapidement en laissant la

trace des essais sur la feuille de calcul.

Il peut également servir à aider les élèves à la production d’une expression littérale car les formules

à insérer s’en rapprochent.

Le logiciel de calcul formel Xcas n’est pas utile pour les 3ème (sauf pour des élèves en difficulté) mais

s’avère indispensable pour les élèves de 4ème.

En 4ème :

L’expression littérale produite la plus trouvée devrait-être : n² - (n-2)²

Les élèves ne savent pas factoriser une expression de ce type (vue en 3ème).

Le développement est plus délicat mais possible.

Les élèves vont devoir ici utiliser intelligemment le logiciel de calcul formel.

Les élèves ont à disposition le logiciel de calcul formel Xcas.

Même si le professeur peut suggérer l’utilisation de l’outil informatique, les élèves vont ensuite

devoir faire preuve d’initiative et d’autonomie dans la conduite du calcul à mener avec le logiciel.

Faut-il utiliser la fonction « factoriser » ou « développer » ? Même s’ils le font au hasard, ils vont

devoir s’interroger sur le résultat obtenu et revenir sur le sens de ces notions.

Notamment, si les élèves utilisent la fonction « développer » de Xcas, on obtient le résultat

-n² + 4×n – 4 +n² et avec la fonction « factoriser » on a 4×n-4. Un élève qui ne réfléchit pas sur la

nature des résultats ne verra pas que ces deux expressions sont identiques !

De plus, on peut interroger les élèves sur la réponse du logiciel Xcas pour factoriser l’expression. Le

but étant de développer l’esprit critique y compris sur un outil informatique assez performant (vu

que la réponse que donne le logiciel Xcas est fausse).

On développe et forme ainsi les élèves à l’intelligence de calcul.

Il est possible de différencier l’usage du calcul formel suivant le niveau de l’élève :

Un élève en difficulté pourra utiliser le calcul formel, il pourra par exemple demander au

logiciel de développer ou factoriser l’expression. Le calcul formel sera une aide pour

accompagner l’élève dans sa tâche. Cela lui permettrait de résoudre le problème dans sa

globalité et ainsi de le motiver et de lui redonner confiance.

Pour un élève n’ayant pas de difficulté, on peut demander à l’élève de développer à la main

l’expression sans utiliser le calcul formel en utilisant la double distributivité et la gestion des

parenthèses.

77

En 3ème :

L’utilisation du calcul formel n’est a priori pas utile.

Mais il peut servir pour des élèves en difficulté (différenciation de l’utilisation de l’outil informatique

suivant le niveau de l’élève).

Les élèves doivent factoriser ou développer une expression du type n² - (n-2)².

Ils vont devoir utiliser les identités remarquables qui font partie du répertoire automatisé

(cf. Michèle Artigue). Le calcul « technique » est ici au service de la résolution du problème.

Nous pouvons cependant faire utiliser le calcul formel, dans le cadre d’une différenciation

pédagogique pour des élèves en difficulté. Cela permettrait de redonner confiance aux élèves car ils

résoudraient ainsi le problème à l’aide de l’outil informatique.

Chaque élève pourrait ainsi résoudre le problème, certains étant accompagnés par le logiciel de

calcul formel.

L’utilisation du calcul formel permet ici d’éviter un problème technique (qui sera malgré tout vu en

remédiation) mais il est malgré tout fondamental que l’élève s’interroge sur la nature des résultats

obtenus. La réflexion portera donc sur l’aspect structural d’une expression littérale et sur les

notions mises en jeu (factorisation, développement…).

78

Récapitulatif des savoir-faire (en terme de calcul) qui peuvent être observés :

Calcul automatique Calcul réfléchi ou raisonné

Cal

cul n

um

éri

qu

e

Calcul mental Calculs simples : « différence de deux carrés » Utilisation des tables, notamment celle de 4 pour reconnaître des multiples de 4. Résultats et procédures automatisés (carrés parfaits, 4 2500…)

Utilisation de l’identité remarquable : a²-b² = (a-b)(a+b) Question 3) : Mise en œuvre de la procédure construite en question 2).

Calcul écrit Techniques opératoires (calcul posé) Calculs usuels

Utilisation de l’identité remarquable : a²-b² = (a-b)(a+b) pour effectuer les calculs.

Calcul instrumenté Calculatrice Tableur Calcul formel

Calculs usuels, calculs de carrés Insérer des formules Fonctions « factoriser », « développer », « simplifier »

Interprétation des résultats obtenus avec tableur ou calculatrice pour établir une conjecture Réflexion sur les formules à insérer dans chaque colonne pour répondre aux questions Réflexion sur le résultat obtenu par le logiciel de calcul formel (aspect structural)

Calcul littéral - Produire une expression littérale - Développer, factoriser une expression littérale avec ou sans identité remarquable (double distributivité) - Réduire une expression littérale avec ou sans parenthèse - Interpréter le résultat obtenu (aspect structural – Reconnaître un multiple de 4)

79

e. Différentes phases

Durée approximative : 2h

Phases Rôle du professeur Rôles de l’élève

Phase 1 : 10 min Dévolution du problème

Demander aux élèves de lire l’énoncé Avez-vous compris le problème ? Quels sont les mots que vous ne comprenez-pas ? Bien dire aux élèves qu’ils ont droit à tous les supports (papier, calculatrice, informatique…) à condition de remplir le questionnaire

Lire l’énoncé Poser des questions concernant la compréhension du sujet

Phase 2 : 20 min Recherche individuelle

Observer les réponses d’élèves Inciter les élèves à laisser des traces de tous leurs essais.

Débuter la résolution du problème sous forme d’une narration de recherche. Les élèves peuvent utiliser l’outil informatique si besoin est.

Phase 3 : 30 min Travail de groupe

Observer les différentes stratégies adoptées dans chaque groupe Laisser les groupes plus autonomes Proposer des aides (voir ci-dessous) si les élèves bloquent et avec parcimonie

Echanger, discuter des diverses solution, stratégies. Bâtir une solution commune dont le but est de convaincre les autres groupes Choisir un porte-parole pour la phase de débat Utilisation éventuelle de l’outil informatique

Phase 4 : 30 min Mise en commun des productions – Débat

Prendre les photos des productions et les visualiser via un vidéo-projecteur Orchestrer le débat en agençant dans un ordre précis les diverses productions Bien demander aux élèves quels outils ils ont utilisés (manuel, instrumentés…) et pourquoi ? Revenir sur le calcul manuel, mental lorsque cela était préconisé.

Ecouter les groupes Exprimer, décrire leurs solutions.

Phase 5 : 20 min Synthèse - Solution

Si les élèves n’y sont pas arrivés, amener les élèves à la solution par des questions.

Participer à l’animation du professeur Ecrire ce qu’ils ont retenu de l’activité

Remarque : Le document ressource sur la « mise en œuvre d’une tâche complexe » sur le site académique de la Réunion détaille également toutes ces phases, la gestion du débat… http://maths.ac-reunion.fr/College/Socle-commun/Mise-en-oeuvre-gestion-et

80

f. Blocage et aides éventuelles

Cette partie est fondamentale : Tous les groupes ne vont pas forcément aboutir à la solution.

Certains vont bloquer.

Il est fondamental de réfléchir sur ces éventuels blocages et d’anticiper des questions permettant

d’aider les élèves à avancer sans pour autant leur donner la démarche de résolution.

Les aides doivent dont être formulées sous forme de questions, en permettant toujours une

réflexion de la part de l’élève.

Elles doivent être différenciées suivant l’interlocuteur et délivrées avec parcimonie en essayant le

plus possible de ne pas induire la démarche de résolution et favoriser ainsi la réflexion,

l’autonomie et l’initiative.

Le professeur a donc en sa possession une liste de questions qu’il va pouvoir utiliser de manière

différenciée en fonction de son interlocuteur.

Afin de former les élèves à des compétences transversales, créer des méthodologies, le professeur

peut demander aux élèves de noter l’aide du professeur ou il peut également faire coller sur la

production de l’élève des bandelettes en papier où figurent les questions (elles auront été préparées

à l’avance).

- Des élèves peuvent ne pas comprendre les consignes…

Des aides sur la capacité C1 : « extraire l’information utile » permet à beaucoup d’élèves

d’entrer dans le sujet (comme préconisé par le document ressource EDUSCOL sur le Socle

Commun en mathématiques sorti en mai 2011).

o Avez-vous compris la consigne ?

o Quels sont les mots qui vous posent problème ?

- Des élèves peuvent avoir du mal à trouver la conjecture, l’exprimer.

o As-tu laissé des traces de tes essais ?

o Quels sont tes résultats obtenus ? Quelles observations peux-tu faire ?

o Que remarques-tu ?

o A quelle notion mathématique peux-tu faire référence ?

o As-tu fait d’autres essais ?

o Quel outil peux-tu utiliser pour faciliter les calculs ?

o Quelles formules peux-tu insérer ?

81

- Des élèves peuvent avoir du mal à prouver leur conjecture.

o Comment généraliser un résultat, des calculs qui se répètent ?

o Quelle expression littérale traduit ces calculs ?

o Quelles formules avez-vous insérer dans les cellules du tableur ? Quel est le lien entre

les deux nombres « au carré »

o Que peut-on faire avec une expression littérale ? Avons-nous les conditions voulues

pour développer, factoriser l’expression ?

o Quel outil peux-tu utiliser pour modifier l’expression littérale ?

o Quelles sont les fonctions que tu as utilisées sur Xcas ? Pourquoi ?

o Comment interpréter les résultats obtenus ? Quel est le but voulu ?

o Quelles sont les connaissances que tu peux utiliser ici?

Des élèves peuvent également établir des conjectures fausses ou imprécises… Dans ce cas, ces solutions seront discutées lors de la phase de débat. Le professeur fera avancer le débat, notamment au travers de contre-exemples produits par les élèves.

Au fil des tâches complexes, des aides génériques se créent et nous pouvons au fur à mesure les lister : ci-dessous, un document de réflexion sur ces aides génériques.

82

Aides génériques possibles (non exhaustif)

Remarques :

Débloquer C1 permet dans la plupart des cas de débloquer la situation et permet de relever des manifestations positives de C2, C3.

Il suffit souvent de traduire les critères de réussite en questions « ouvertes » pour obtenir ces aides.

Pour cela, la grille de référence du Socle Commun et l’aide au suivi de l’acquisition des connaissances et des capacités du Socle Commun peuvent beaucoup aider.

Pratiquer une démarche scientifique Apprendre et enrichir ses connaissances

Quelles connaissances peux-tu utiliser ? A quelle partie du cours cela te fait-il penser ?

Quelle(s) propriété(s) peux-tu utiliser ? Pourquoi ?

Quelles sont les hypothèses, les conditions te permettant d’appliquer cette propriété ?

C1

As-tu relu l’énoncé ?

Comprends-tu la signification de chaque mot ?

As-tu repéré, identifié, souligné les données, les mots importants ?

Quelles sont les données qui te paraissent utiles ?

Quelles sont les données numériques ? Quelles sont leurs significations ?

Peux-tu reformuler le sujet, le problème ?

Peux-tu traduire les données de ce graphique ? De ce tableau ?

Peux-tu coder la figure à partir des informations du texte ?

Peux-tu traduire les informations qui sont codées ?

Peux-tu repérer une figure-clé ?

C2 Quels calculs peux-tu faire ? Pourquoi ? Sont-ils corrects ? As-tu fait des essais ? As-tu fait des schémas pour mieux te représenter la situation ? As-tu bien appliqué la consigne pour réaliser ton schéma, ta figure, ton tableau, ton graphique ? As-tu bien appliqué le programme de calcul ?

C3 As-tu écrit ta démarche de résolution ? Présenter tes idées principales ? As-tu les traces de tes essais ? Peux-tu les expliquer ? Quelles observations peux-tu faire à partir de tes essais ? As-tu vérifié tes résultats ? Tes résultats sont-ils cohérents ? As-tu fait d’autres essais ? Sont-ils corrects ? Peux-tu trouver une autre façon de faire ? As-tu essayé d’autres pistes ? Comment exploiter tes résultats ? Peux-tu les confronter au résultat attendu ? A partir des données sûres, des hypothèses, que peux-tu en déduire ? Peux-tu prouver, valider ta conjecture ? Peux-tu généraliser le résultat ?

C4 Penses-tu que ta copie est bien présentée ? As-tu fait des paragraphes ? As-tu bien présenté tes résultats ? Tes résultats sont-ils tous rigoureusement justifiés ? As-tu utilisé un vocabulaire mathématique précis ? As-tu vérifié que tu as marqué les bonnes unités, que tu as utilisé les bons symboles ou notations (arrondis…) ? Tes schémas, tableaux, graphiques… sont-ils clairs ? As-tu bien présenté ta démarche ? Penses-tu que de la manière dont tu as présenté ta démarche, un camarade pourrait comprendre ton raisonnement ? As-tu respecté les règles de mise en forme d’une démonstration ? Fais-tu référence aux théorèmes que tu utilises ?

Mét

hod

olog

ie

Chro

nolo

gie

83

8. Le nombre d’Alice et Bertrand

a. Sujet

25

Remarque : Cette activité a été faite en juin 2011. Les élèves n’avaient pas à l’époque le tableur en libre-service. Ils n’ont pas été évalués car elle a servi à introduire la notion d’équation en 4ème (situation-problème).

25 Sujet créé à partir du document d’accompagnement EDUSCOL : « Du calcul numérique au calcul littéral ».

84

b. Contexte

Ce problème sera effectué en 4ème en classe entière, soit :

En classe avec ordinateurs en libre-service

En salle informatique

Il peut également être donné en 5ème, le but étant d’initier les élèves aux équations par des tests

d’égalités conformément au programme26.

Un travail de groupe sera effectué.

Toute la mise en œuvre est explicitée en annexe II.

Pour gagner du temps, les élèves travaillent sur une seule table et seuls deux élèves n’ont qu’à

retourner leur chaise.

Les élèves auront déjà fait les trois tâches complexes précédentes.

L’activité étant assez longue, afin qu’il n’y ait pas d’abandon de la part d’un ou de plusieurs groupes,

le professeur pourra effectuer des « plénières de régulation »27 .

Cela permettra, au travers d’un débat animé par le professeur, de mettre en commun les premières

solutions trouvées et de relancer tous les groupes.

Il y aurait donc un « aller-retour » entre le travail de groupe et des « plénières-débats ».

Remarque sur la constitution des groupes

Le choix des groupes peut se faire suivant plusieurs critères de plus en plus fins :

Organisation spatiale : afin de gagner du temps, on forme les groupes à partir d’élèves qui sont

proches dans la classe.

Hétérogénéité : on peut également essayer de travailler l’hétérogénéité, la différenciation.

Le professeur décide du degré d’hétérogénéité du groupe suivant la qualité des travaux de groupe réalisés tout au long de l’année : on peut avoir de bonnes surprises en créant un groupe hétérogène. Bien sûr, si cela ne marche pas, le professeur a le pouvoir de changer la constitution des groupes et de reconstituer des groupes moins hétérogènes… L’idée de constituer que des groupes homogènes peut conforter les élèves en difficulté dans leur situation d’échec. De plus, cela ne favorise pas les confrontations des diverses démarches (personnelles et expertes).

Affinités : lorsque les deux critères précédemment utilisés ne suffisent plus, le professeur peut

décider de former les groupes par affinités. Il peut demander aux élèves avec qui ils veulent

absolument travailler. Bien sûr, le professeur sera d’autant plus exigeant sur l’investissement et le

travail de ce groupe puisqu’il a accepté leur demande.

En jouant sur ces critères, avec l’expertise du professeur ayant pratiqué plusieurs travaux de groupe

en cours d’année, la constitution des groupes s’affine. De plus, les élèves apprennent tout au long

de l’année, lors de ces travaux de groupe, à mieux se connaître et à travailler ensemble.

26 BO du 28 août 2008 27 « Des maths, ensemble et pour chacun », Rouquès J-P et Staïner Hélène.

85

c. Prérequis

Ce problème s’intègre dans une progression spiralée où le calcul littéral est vu tout au long de

l’année (Voir Annexe III).

Séquence 1 (1er trimestre) : calcul littéral, sens, production d’une expression littérale, variable.

Séquence 2 (Début 2ème trimestre) : factorisation (rappels 5ème), réduction d’une expression.

Séquence 3 (Fin 2ème trimestre) : double distributivité.

Concernant les outils informatiques pouvant être utilisés, les élèves y ont été initiés en plénière

progressivement, par petites touches, en spirale

Les élèves savent notamment manipuler le tableur, insérer, généraliser des formules.

En fin d’année, avec toutes ces tâches complexes effectuées, la plupart des élèves devraient être

bien habitués à ce logiciel.

Les élèves sont également habitués à la pratique des narrations de recherche et au travail de groupe.

d. Objectifs

Généraux

Les élèves doivent « résoudre un problème » et mettre ainsi en œuvre des Compétences du Socle

Commun : compétence 3 – Domaine « Résoudre un problème » - Items C1, C2, C3, C4.

La partie « narration de recherche » permet d’évaluer la compétence 1 et le travail de groupe (suivi

du débat) permet d’évaluer les compétences 6 et 7 du Socle Commun.

Ce problème est une situation-problème qui permet d’introduire la notion d’équation comme un

outil qui va s’avérer progressivement indispensable pour résoudre un problème numérique.

Nous sommes ici dans une approche « constructiviste » de l’enseignement.

Les élèves doivent utiliser leurs conceptions antérieures (raisonnements arithmétiques, calculs

numériques, essais-erreurs…) qui s’avèrent efficaces au départ (Cf. problèmes 1 et 2).

Mais en changeant les variables didactiques, les élèves vont se rendre compte de l’insuffisance de

leurs conceptions antérieures, soit car elles ne sont plus « économiques » (problème 3 – solution

décimale), soit car elles ne permettent plus du tout de trouver une solution exacte mais uniquement

une valeur approchée (problème 4 – solution non décimale).

86

Calculs manuels – « compétences » développées

Pour le problème 1, on doit résoudre une équation du type ax+b = c où la méthode « experte »

s’avère inutile. L’élève peut effectuer des essais au hasard, ensuite réajuster ses essais. Il peut écrire

les calculs sur feuille (même s’il utilise la calculatrice) afin de garder une trace de ses essais. Les

capacités utilisées concernent les opérations usuelles.

Tous les élèves peuvent entrer dans le sujet avec leur propre démarche personnelle.

Pour ce problème, les opérations sont « inversibles ». Un élève ayant une bonne pratique des

programmes de calcul, du sens des opérations, pourra trouver systématiquement le nombre inconnu

par un raisonnement arithmétique.

Les autres problèmes concernent la résolution d’équations du type ax+b = cx+d.

Pour le problème 2, la solution est triviale.

Des essais au hasard peuvent rapidement permettre de trouver l’inconnue.

Ensuite, les élèves peuvent organiser des essais et travailler sur l’écart obtenu par les deux

expressions. Là encore, les capacités de calcul utilisées concernent les opérations usuelles. Mais ici,

les opérations n’étant pas inversibles, le nombre inconnu devient de plus en plus dur à trouver.

Les élèves étant initiés depuis le début de l’année au programme de calcul et au calcul littéral

pourront avoir l’idée d’introduire une lettre, de produire des expressions littérales et finalement de

mettre en équation ces problèmes. Même s’ils ne savent pas les résoudre par la méthode experte,

ce sera l’occasion d’introduire le vocabulaire associé aux équations (inconnue, mise en équation,

solution…).

Calculs instrumentés – Influence des outils

L’élève va sûrement utiliser sa calculatrice pour les premiers problèmes vu que cela est suggéré dans

le texte.

A partir des problèmes 2 et 3, le changement de variables didactiques devrait amener les élèves à

changer de stratégie. Notamment, il devrait inciter les élèves à utiliser le tableur, plus performant

pour garder une trace des essais et faire des ajustements. Il sera intéressant de voir quelles sont les

stratégies adoptées par les élèves afin de « s’approcher » de la solution.

Des raisonnements de « dichotomie » pourront être observés.

Les élèves pourront également observer en situation « la monotonie » des fonctions affines. Ils pourront observer que l’on se rapproche de la solution lorsque l’écart entre les deux résultats

tend vers 0. Cette notion d’écart peut être implémentée sur tableur pour aider les élèves dans leur

recherche de la solution :

87

La manipulation du tableur offre ici une nouvelle stratégie pour trouver la solution ou du moins s’en

approcher. Les élèves doivent réfléchir sur les résultats obtenus par le logiciel afin de s’approcher de

la solution.

Ils vont également se rendre compte de l’insuffisance des procédures utilisées, ce qui permettra de

justifier pleinement la méthode experte de résolution des équations à travers ces problèmes.

L’insertion des formules dans le tableur facilite également la mise en équation du problème et la

production d’expressions littérales.

88

e. Différentes phases

Durée approximative : 2h00

Phases Rôle du professeur Rôles de l’élève

Phase 1 : 10 min Dévolution du problème

Demander aux élèves de lire l’énoncé, en priorité les problèmes 1 et 2. (car le reste est identique) Avez-vous compris le problème ? Quels sont les mots que vous ne comprenez-pas ? Bien dire aux élèves qu’ils ont droit à tous les supports (papier, calculatrice, informatique…) à condition de remplir le questionnaire Eventuellement, le professeur peut donner un exemple similaire aux problèmes 1 et 2 en faisant participer les élèves pour faciliter la compréhension.

Lire l’énoncé Poser des questions concernant la compréhension du sujet

Phase 2 : 20 min Recherche individuelle

Observer les réponses d’élèves Inciter les élèves à laisser des traces de tous leurs essais.

Débuter la résolution du problème sous forme d’une narration de recherche. Les élèves peuvent utiliser l’outil informatique si besoin est.

Phase 3 : 35 min Travail de groupe

Observer les différentes stratégies adoptées dans chaque groupe Laisser les groupes plus autonomes Proposer des aides (voir ci-dessous) si les élèves bloquent et avec parcimonie

Echanger, discuter des diverses solution, stratégies. Bâtir une solution commune dont le but est de convaincre les autres groupes Choisir un porte-parole pour la phase de débat Utilisation éventuelle de l’outil informatique

Phase 4 : 35 min Plénière de régulation Mise en commun des diverses méthodes sur les problèmes 1, 2 et 3.

Le professeur orchestre le débat et recense les diverses procédures utilisées dans chaque problème. Il est important également de comparer l’efficacité de chaque procédure en commençant par la moins efficace (mais tout en valorisant chaque méthode)

Participer au débat Exposer leur démarche.

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Phase 5 : 20 min Relance de la recherche des problèmes 3 et 4 en travail de groupe.

Le professeur, à partir des méthodes recensées ou suggérées (notamment avec « l’écart » et l’outil instrumenté) pourra relancer la recherche

Utilisation de l’outil instrumenté (calculatrice, tableur) et de raisonnements divers (dichotomie…) afin de tenter de trouver les solutions.

Phase 6 : 25 min Mise en commun des productions – Débat

Prendre les photos des productions et les visualiser via un vidéo-projecteur Orchestrer le débat en agençant dans un ordre précis les diverses productions Illustration avec le tableur. Le professeur doit bien poser les questions qui mettent en évidence les limites de l’outil instrumenté et l’intérêt d’une nouvelle méthode.

Ecouter les groupes Exprimer, décrire leurs solutions. Trouver les formules à insérer dans le tableur et expliquer comment arriver aux solutions.

Phase 7 : 25 min Synthèse - Solution

Introduction du vocabulaire lié aux équations (solution, mise en équation…) Recenser toutes les méthodes, les avantages et leurs limites.

Participer à l’animation du professeur Ecrire ce qu’ils ont retenu de l’activité

Remarque : Le document ressource sur la « mise en œuvre d’une tâche complexe » sur le site académique de la Réunion détaille également toutes ces phases, la gestion du débat… http://maths.ac-reunion.fr/College/Socle-commun/Mise-en-oeuvre-gestion-et

90

f. Blocage et aides éventuelles

Cette partie est fondamentale : Tous les groupes ne vont pas forcément aboutir à la solution.

Certains vont bloquer.

Il est fondamental de réfléchir sur ces éventuels blocages et d’anticiper des questions permettant

d’aider les élèves à avancer sans pour autant leur donner la démarche de résolution.

Les aides doivent dont être formulées sous forme de questions, en permettant toujours une

réflexion de la part de l’élève.

Elles doivent être différenciées suivant l’interlocuteur et délivrées avec parcimonie en essayant le

plus possible de ne pas induire la démarche de résolution et favoriser ainsi la réflexion,

l’autonomie et l’initiative.

Le professeur a donc en sa possession une liste de questions qu’il va pouvoir utiliser de manière

différenciée en fonction de son interlocuteur.

Afin de former les élèves à des compétences transversales, créer des méthodologies, le professeur

peut demander aux élèves de noter l’aide du professeur ou il peut également faire coller sur la

production de l’élève des bandelettes en papier où figurent les questions (elles auront été préparées

à l’avance).

- Des élèves peuvent ne pas comprendre les consignes…

Des aides sur la capacité C1 : « extraire l’information utile » permet à beaucoup d’élèves

d’entrer dans le sujet (comme préconisé par le document ressource EDUSCOL sur le Socle

Commun en mathématiques sorti en mai 2011).

o Avez-vous compris la consigne ?

o Quels sont les mots qui vous posent problème ?

- Des élèves peuvent avoir du mal à trouver une méthode pour répondre aux problèmes.

o As-tu laissé des traces de tes essais ?

o Quels sont tes résultats obtenus ? Quelles observations peux-tu faire ?

o Quelle a été ta démarche ?

o As-tu fait d’autres essais ?

o Quels sont les différents nombres que tu connais ? Les as-tu tous essayés ?

o Comment as-tu choisis tes nombres ? Que serait-il intéressant de faire ?

o Comment organiser tes essais pour éviter de « tomber dessus au hasard » ?

o Quel outil peux-tu utiliser pour faciliter les calculs ?

o Quelles formules peux-tu insérer ?

o Comment peut-on savoir si on « s’approche » du nombre cherché ou si on s’en éloigne ?

91

g. Analyse a posteriori

Vu qu’il y avait plusieurs problèmes et que la recherche a été assez longue, le professeur a effectué

des « allers-retours entre plénière et travail de groupe » afin de mutualiser les méthodes et

permettre à chacun d’avancer.

Méthode essais-réajustements

92

Opérations inversibles

Ces deux productions ont permis de comparer le type de présentation d’un calcul et de faire un rappel sur les règles de priorité.

93

Vers la dichotomie – Encadrer la solution

94

Après avoir commenté cette solution, cela a été l’occasion d’introduire le tableur avec la méthode liée à l’écart présentée dans les objectifs. Les élèves n’avaient pas à l’époque de tableur à leur disposition mais ont fait rapidement les essais à l’aide de leur calculatrice.

Vers la mise en équation – Développer les capacités liées au calcul littéral

Cette production a permis d’aborder la notion d’inconnue.

Retour sur la production d’expressions littérales.

95

Développer les capacités de contrôle.

Mise en équation du problème.

96

VII. Scénarios du Collège en 3ème

1. Introduction

On trouvera en annexe V pour chacun des scénarios :

Le document « élève ».

Le document présenté à l’issue de la tâche complexe aux élèves et présentant une méthode experte de résolution. Ce document synthétique sert de bilan et de référence aux élèves et est collé dans le cahier d’exercices. Il peut être utilisé à l’occasion pour de futures activités.

Les scénarios qui suivent ont été expérimentés dans deux classes de 3ème du Collège Jean Le Toullec au Port (Collège ECLAIR) où enseigne Matthieu BOBER. Le professeur a, à sa disposition dans la classe, trois ordinateurs dont l’un relié à un TNI. Il dispose également d’un scanner afin de pouvoir rapidement disposer de productions d’élèves. Les élèves disposent de leurs calculatrices personnelles (un lot de 15 calculatrices est également présent dans la salle en cas de besoin) et peuvent utiliser les logiciels suivants auxquels ils ont été préalablement familiarisés :

- Un logiciel de tableur : excel ou calc d’Open Office. - Un logiciel de calcul formel : Wxmaxima. - Un logiciel de géométrie dynamique : Geoplan-Geospace, Geogebra, CarMetal.

Les élèves sont déjà très familiers du tableur qu’ils utilisent à petites touches depuis la 6e ou la 5e selon les cas. Par ailleurs, depuis le début de l’année scolaire, lors des chapitres consacrés au calcul littéral, de brefs moments en classe ont été consacrés à l’utilisation du logiciel Wxmaxima, dans le but principal de vérifier les calculs. A cette occasion, les fonctions « expand » et « factor » ont été présentées ainsi que la fonction « solve » dans le cadre des équations. Depuis lors, quelques élèves ont installé le logiciel chez eux et l’utilisent pour vérifier leurs calculs. Le développement d’une certaine intelligence de calcul a déjà été observé lors de cette initiation à l’utilisation de WxMaxima. Citons deux exemples de cette manifestation. Exemple 1 :

Lors de la factorisation en classe de l’expression littérale 2

9 2 1E x , certains élèves ont trouvé

2 2 2 4x x , d’autres beaucoup plus rares ont même trouvé 4 1 2x x .

La réponse donnée par WxMaxima est 4 1 2x x , ce qui permet d’alimenter davantage le débat,

en confrontant les différentes réponses toutes exactes. Ceci concourt à l’amélioration des compétences de calcul des élèves. Exemple 2 : Les élèves devaient, dans un devoir à la maison, factoriser l’expression littérale

24 121 2 11E x x x . Cette question, certes technique, avait été donnée dans le but de faciliter

la transition avec le lycée. Ne voyant comme s'y prendre, l'un des élèves a utilisé WxMaxima pour

obtenir la forme factorisée, puis a factorisé 24 121x toujours avec le logiciel pour enfin comprendre qu'il devait utiliser une identité remarquable puis une factorisation avec facteur commun. Ici le logiciel l'a aidé à mener son calcul et l'a certainement aidé à développer une intelligence de calcul pour des exercices ultérieurs.

97

2. Petits calculs mais grande réflexion

a. Énoncé

Choisis deux nombres dont la différence est 40. Calcule le produit de ces deux nombres.

Considérant tes deux nombres choisis, soustrais 2 au plus grand des deux, ajoute 2 au plus petit des deux. Calcule le produit des deux nouveaux nombres obtenus.

De combien ce produit a-t-il augmenté par rapport au produit initial ? Est-ce toujours le cas ?

b. Contexte

Cette tâche complexe est réalisée en 3ème en classe entière. Les élèves ont à leur disposition leurs cahiers, leurs manuels, un dictionnaire, leurs calculatrices personnelles ainsi que 3 ordinateurs sur lesquels sont notamment installés un logiciel de tableur ainsi que le logiciel de calcul formel WxMaxima.

c. Prérequis

Cette tâche complexe s’intègre dans une progression spiralée où le calcul littéral est travaillé tout au long de l’année. Durant la première période (rentrée d’août à début octobre), le calcul littéral de niveau 4e a régulièrement été réinvesti notamment en devoir à la maison. Une semaine complète a également été consacrée aux équations et notamment à la mise en équations de problèmes. Des exercices relatifs aux programmes de calcul ont été travaillés en classe, à la maison (dont l’un sous forme de narration de recherche) et ont aussi été évalués en devoirs surveillés. Durant la deuxième période (mi-octobre à mi-décembre), deux temps bien distincts ont été consacrés au calcul littéral, l’un sur le développement d’expressions littérales à l’aide des identités remarquables, l’autre sur la factorisation avec facteurs communs. Durant la troisième période (fin janvier à début mars) et avant la passation de cette tâche complexe, deux temps bien distincts ont été consacrés au calcul littéral, l’un sur les factorisations avec identités remarquables, l’autre sur les équations-produits. Des connaissances de 3e ne sont pas nécessaires pour la résolution de cette tâche complexe, cependant une bonne expérience semble nécessaire, c’est pour cela qu’il a été choisi de la placer à ce moment de l’année, où bon nombre de notions relatives au calcul littéral de 3e ont déjà été étudiées.

98

d. Objectifs et analyse a priori

Objectifs :

- Analyser et comprendre un texte, émettre une conjecture. - Production d’expressions littérales dans le but de démontrer une conjecture. - Être capable de développer une expression littérale (simple et double distributivité).

Analyse a priori : Le premier objectif ici est la compréhension du programme de calcul proposé. On peut supposer que les élèves sont suffisamment familiarisés avec la gestion de tels programmes. Au travers de plusieurs calculs qui vont entretenir la pratique du calcul mental, du calcul à la main et l’utilisation raisonnée des calculatrices, les élèves devraient rapidement être en mesure d’émettre la conjecture suivante : « le produit des deux nouveaux nombres augmente de 76 par rapport au produit initial ». Certains voudront sans doute s’assurer de la solidité de leur conjecture en utilisant un logiciel de tableur. L’utilisation du tableur constitue également par le biais des formules créées en une aide dans la formalisation qui interviendra par la suite (d’où amélioration des compétences de calcul grâce aux TIC). La conjecture établie, les élèves devront ensuite s’engager dans une phase de démonstration. Celle-ci est hors socle. La première capacité visée est d’abord une traduction du problème en deux expressions littérales du type

40I x x et 2 38F x x . Les élèves devront ensuite être capables de les développer

(simple distributivité et double distributivité figurant respectivement aux programmes de 5ème et de 4ème). Les élèves pourront aussi, suivant leur manière d’aborder les calculs, être confrontés à un calcul littéral nécessitant une suppression de parenthèses précédées du signe moins (cas de l’étude de l’expression

littérale 2 38 40x x x x ).

En fonction de leurs difficultés ou dans un souci de vérification, des élèves pourront émettre le souhait d’utiliser le logiciel de calcul formel WxMaxima. De manière générale, cette tâche complexe a pour but de faire travailler les élèves dans le cadre du Socle Commun (compétences 1, 3, 4, 6 et 7). Ceci est porté à la connaissance des élèves à l’aide de la grille d’évaluation simplifiée suivante :

SOCLE COMMUN Auto-évaluation Degré d’acquisition

C1 : Analyser l’information. C2 : Calculer, réaliser, appliquer des consignes. C3 : Raisonner, déduire. C4 : Communiquer son résultat. D2 : Nombres et calculs TIC : Utilisation de calculatrices, de logiciels. Préciser lesquels : - - - I : Investissement

DA EA PA A DA EA PA A DA EA PA A DA EA PA A DA EA PA A DA EA PA A DA EA PA A

(DA : début d’acquisition, EA : en cours d’acquisition, PA : presque acquis, A : acquis.)

99

e. Différentes phases du déroulement en classe

Durée approximative : 1h30 + 15 min

Phases Rôle du professeur Rôles de l’élève

Phase 1 : 5 min Lancement de la tâche complexe

Présenter les différentes phases aux élèves, leur préciser qu’ils ont le droit à différents supports (papier, calculatrice, informatique…). Lire l’énoncé aux élèves. S’assurer qu’aucun mot ne fait obstacle. Présenter la grille d’évaluation (voir plus loin).

Prendre connaissance du problème et du contexte de travail. Poser des questions concernant la compréhension du sujet.

Phase 2 : 10 min Recherche individuelle

Observer les réponses d’élèves. Inciter les élèves à laisser des traces de tous leurs essais mais ne pas intervenir pour une quelconque aide.

Débuter la résolution du problème éventuellement sous forme d’une narration de recherche.

Phase 3 : 1h/1h05 Travail de groupe (groupes de 3 à 4 élèves)

Observer les différentes stratégies adoptées dans chaque groupe. Proposer des aides (voir ci-dessous) si les élèves bloquent et avec parcimonie. Amener les groupes à s’exprimer sur l’avancée de leurs recherches.

Echanger, discuter des diverses solution, stratégies. Utiliser éventuellement les logiciels mis à disposition. Rédiger individuellement une solution suite aux divers échanges. S’auto-évaluer.

Phase 4 : 10/15 min Mise en commun des productions – Débat

Scanner des productions d’élèves et les projeter. Orchestrer le débat en agençant dans un ordre précis les diverses productions. Bien demander aux élèves quels outils ils ont utilisés (manuel, instrumentés…) et pourquoi ?

S’organiser pour un compte-rendu oral aidé des productions projetées. Pour les élèves qui écoutent le compte-rendu d’un groupe, intervenir en cas de sollicitation pour compléter ce qui a été présenté, faire des remarques.

Phase 5 : 15 min Synthèse – Solution (la séquence suivante)

Projeter quelques exemples supplémentaires. Présenter une solution « experte » totalement rédigée.

Poser des questions.

100

f. Blocage et aides éventuelles

Les aides doivent être formulées sous forme de questions, en permettant toujours une réflexion de la part

de l’élève. Elles doivent être différenciées suivant l’interlocuteur et délivrées avec parcimonie en essayant

le plus possible de ne pas induire la démarche de résolution et favoriser ainsi la réflexion, l’autonomie et

l’initiative.

Certaines sont prévues à l’avance et sont données sous forme de bandelettes aux élèves concernés. En voici ici des exemples : Aide 1 : Peux-tu souligner et expliquer les mots importants ? Aide 2 : As-tu pensé à faire plusieurs exemples ? Aide 3 : Quelles leçons peuvent t’aider à justifier le résultat en général ? Aide 4 : Quels logiciels utiles pour t’aider à accomplir cette tâche complexe connais-tu ?

g. Proposition d’une grille d’évaluation détaillée

C1 : Analyser l’information.

/3

Compréhension de la première question (tentative de test du programme de calcul). Compréhension de la deuxième question (tentative d’un autre test, idée d’introduire du calcul littéral).

/1 /2 (1+1)

C2 : Calculer, réaliser, appliquer des consignes.

/4

Application correcte du programme de calcul.

Développement correct de 40x x .

Développement correct de 2 38x x .

/2 /1 /1

C3 : Raisonner, déduire.

/5

Emettre une conjecture correcte. Production d’expressions littérales correctes. Déduction finale suite au calcul littéral.

/2 /2 /1

C4 : Communiquer son résultat.

/2

Rédaction correcte des calculs. Rédaction des explications et conclusions.

/1 /1

D2 : Nombres et calculs. L’élève connaît-il le vocabulaire de base (différence, produit) ? Sait-il développer une expression littérale ?

2 pts au maximum peuvent être attribués ici dans le cas où l’élève ne maîtrise que très partiellement C2.

TIC /3

3 points au maximum seront attribués pour les compétences TIC. (Attribuer les 3 points aux élèves ayant mené avec succès la tâche complexe sans aucun logiciel.)

Utiliser une calculatrice. Utiliser un logiciel de tableur pour émettre une conjecture. Utiliser efficacement un logiciel de calcul formel (pour vérifier les calculs ou pour s’aider dans les calculs).

/1 /3 /2

I : Investissement

/3

Respecter les règles de la vie collective et respecter tous les autres, notamment durant les travaux de groupes et la phase de restitution. (écoute de chacun, respect des différentes phases) Être persévérant lors de la phase individuelle de recherche. (traces de la recherche initiale, efforts remarqués) S’impliquer dans un projet collectif. (échange des idées, bonne organisation du groupe, initiatives, qualité de la restitution) Savoir s’auto-évaluer.

/0,5 /1 /1 (Bonus éventuel de 1 pt pour la restitution) /0,5

101

h. Analyse a posteriori

Cette tâche complexe a été testée dans deux classes de 3ème comportant chacune 26 élèves. Il s’agit du premier scénario testé dans le cadre des TraAM (24/02/2012). Ces deux classes du Collège Jean Le Toullec au Port (programme ECLAIR) sont plutôt de bon niveau mais demeurent hétérogènes. 47 élèves étaient présents au moment de l’expérimentation. Un film de 21 minutes viendra en accompagnement de l’analyse produite ici. Après une phase individuelle de 10 minutes, les élèves ont travaillé en groupes de 3 ou 4 élèves en rédigeant individuellement leurs réponses. La séquence a duré en tout 1h30 permettant en fin de séquence la restitution du travail d’au moins un groupe. Un compte-rendu plus général des productions ainsi que des éléments de correction ont été réalisés le cours suivant. Petit bilan de l’utilisation des TIC Parmi les 47 élèves présents, tous ont utilisé une calculatrice et 30 élèves ont utilisé un des logiciels mis à disposition : 11 élèves ont utilisé un tableur, 19 ont utilisé un logiciel de calcul formel (WxMaxima), aucun élève n’a utilisé plus d’un logiciel. Tous les élèves ayant utilisé le tableur l’ont fait avec succès. Concernant le logiciel de calcul formel, 11 élèves seulement ont réellement utilisé l’outil avec efficacité, principalement pour vérifier leurs résultats, ou pour devancer des calculs qu’ils ont été capables de faire sans problème ensuite à la main. Petit bilan de l’activité Tous les élèves ont établi une conjecture correcte et 43 élèves ont pensé à utiliser le calcul littéral : 24 ont démontré parfaitement la conjecture, 8 n’étaient pas très loin de la solution (petites erreurs de calcul littéral), 11 élèves ont éprouvé davantage de difficultés parmi lesquels 7 élèves ayant utilisé le tableur (et dont certains ont par la suite manqué de temps). 4 élèves, multipliant les exemples, n’ont pas du tout engagé l’idée même d’une preuve au moyen du calcul littéral, concluant par exemple ainsi :

Extrait d’une production d’un élève ayant utilisé le tableur

102

Mais l’élève en question ne parvient pas à démontrer le résultat :

N.B. Parmi les élèves ayant utilisé le tableur, plus de la moitié ont considéré sur le coup que l’ordinateur était suffisant pour démontrer la conjecture observée (voir vidéos). Il a fallu revenir sur ce point lors du cours suivant lors du compte-rendu général. Extrait d’une production faisant référence à WxMaxima

103

Production intégrale d’un élève

N.B. Dans le groupe de cet élève, tous ont opté pour une mise en équation du problème et ont cherché à déterminer la valeur de l’inconnue y. C’est ce qui les a gênés dans l’utilisation de WxMaxima, ils sont du coup revenus à un calcul à la main, réalisé avec succès.

En effet, en classe, la fonction solve n’avait été utilisée préalablement que dans des équations comportant une unique inconnue (dans ce cas WxMaxima tolère que le nom de l’inconnue ne soit pas précisé).

104

Un exemple de deux productions au sein d’un même groupe, montrant la diversité des rédactions individuelles

105

3. Des calculs surprenants

a. Énoncé

Sylvain et Stéphanie sont des passionnés de mathématiques. Sylvain aime avant tout les nombres carrés ; Stéphanie, quant à elle, cherche à percer les mystères des nombres premiers. Jérémy, souhaitant leur faire plaisir, leur propose une série de calculs :

1 2 3 4 1 25

2 3 4 5 1 121

3 4 5 6 1 361

Quelles conjectures peuvent émettre les deux passionnés ? Démontrer si celles-ci sont vraies ou fausses.

N.B. Cette tâche complexe a été inspirée par la lecture de la brochure n°154 de l’APMEP : Pour un enseignement problématisé des mathématiques au lycée, tome 2 (Pages 161-162).

b. Contexte

Cette tâche complexe est réalisée en 3ème en classe entière. Les élèves ont à leur disposition leurs cahiers, leurs manuels, un dictionnaire, leurs calculatrices personnelles ainsi que 3 ordinateurs sur lesquels sont notamment installés un logiciel de tableur ainsi que le logiciel de calcul formel WxMaxima.

c. Prérequis

Cette tâche complexe s’intègre dans une progression spiralée où le calcul littéral est travaillé tout au long de l’année (voir scénario 1 pour davantage de détails). La notion de nombre premier est généralement connue des élèves (mais non exigée). Cette tâche complexe intervient une semaine après la tâche complexe « Petits calculs mais grande réflexion ! », le compte-rendu de la première tâche complexe a donc mis en lumière l’utilité que peuvent avoir les ordinateurs mis à disposition.

106

d. Objectifs et analyse a priori

Objectifs :

- Analyser et comprendre un texte, émettre des conjectures. - Production d’expressions littérales dans le but de démontrer une conjecture. - Être capable d’infirmer une conjecture à l’aide d’un contre-exemple (utilisation d’une calculatrice

ou d’un tableur). - Être capable de factoriser une expression littérale au moyen d’un logiciel de calcul formel. - Être capable de développer une expression littérale.

Analyse a priori : Dans un premier temps, la lecture de l’énoncé devrait permettre aux élèves de conjecturer que les résultats obtenus sont des carrés de nombres premiers. On peut penser qu’ils utiliseront également la calculatrice pour tester quelques exemples supplémentaires. Les calculs étant répétitifs, on peut penser qu’ils vont vouloir recourir à l’utilisation du tableur. Les premiers exemples leur montreront qu’une partie de la conjecture (celle relative aux nombres premiers) est fausse et leur montrera l’utilité de l’outil informatique pour infirmer une conjecture. Lors de la phase de conjecture, on peut aussi s’attendre à ce que des élèves fassent des observations supplémentaires comme celles que le nombre élevé au carré s’obtient en multipliant les deux entiers consécutifs situés au centre de la série des quatre entiers consécutifs et en soustrayant 1. (Variante : le nombre élevé au carré s’obtient en multipliant le plus petit des quatre entiers consécutifs par le plus grand et en ajoutant 1.)

Dans un second temps, lorsque les élèves seront convaincus du fait que les résultats sont des carrés des nombres entiers, ils entreront dans une phase de preuve. Le contexte des activités précédentes les amènera très probablement au calcul littéral et ils devraient arriver à une expression littérale du type

1 2 3 1n n n n . Devant la complexité du calcul à mener, les élèves devraient manifester la

volonté de factoriser l’expression obtenue à l’aide de WxMaxima. Grâce à la fonction « factor », ils

trouveront une expression littérale du type 2

2 3 1n n . Les élèves les plus à l’aise pourront alors

développer à la main les expressions 1 2 3 1n n n n et 2

2 3 1n n en vue de vérifier les

calculs (différenciation du travail). Les élèves ayant précisé dans leur conjecture comment s’obtient le nombre élevé au carré à partir des

quatre entiers consécutifs pourront alors pour terminer effectuer le développement de 1 2 1n n

ou de 3 1n n et ainsi vérifier qu’ils obtiennent bien 2 3 1n n .

Cette activité a priori très (trop même) technique en 3e montrera aux élèves l’intérêt de divers logiciels (tableur, calcul formel) dans le but de résoudre des problèmes de mathématiques. Cette tâche complexe préparera la transition avec le lycée avec la montée des exigences en 2nde puis en 1ère. De manière générale, cette tâche complexe a pour but de faire travailler les élèves dans le cadre du Socle Commun (compétences 1, 3, 4, 6 et 7).

107

Ceci est porté à la connaissance des élèves à l’aide de la grille d’évaluation simplifiée suivante :

SOCLE COMMUN Auto-évaluation

Degré d’acquisition

C1 : Analyser l’information. C2 : Calculer, réaliser, appliquer des consignes. C3 : Raisonner, déduire. C4 : Communiquer son résultat. D2 : Nombres et calculs TIC : Utilisation de calculatrices, de logiciels. Préciser lesquels : - - - I : Investissement

DA EA PA A DA EA PA A DA EA PA A DA EA PA A DA EA PA A DA EA PA A DA EA PA A

(DA : début d’acquisition, EA : en cours d’acquisition, PA : presque acquis, A : acquis.)

108

e. Différentes phases du déroulement en classe

Durée approximative : 1h30 + 15 min

Phases Rôle du professeur Rôles de l’élève

Phase 1 : 5 min Lancement de la tâche complexe

Présenter les différentes phases aux élèves, leur préciser qu’ils ont le droit à différents supports (papier, calculatrice, informatique…). Lire l’énoncé aux élèves. S’assurer qu’aucun mot ne fait obstacle. Présenter la grille d’évaluation (voir plus loin).

Prendre connaissance du problème et du contexte de travail. Poser des questions concernant la compréhension du sujet.

Phase 2 : 10 min Recherche individuelle

Observer les réponses d’élèves. Inciter les élèves à laisser des traces de tous leurs essais mais ne pas intervenir pour une quelconque aide.

Débuter la résolution du problème éventuellement sous forme d’une narration de recherche.

Phase 3 : 1h/1h05 Travail de groupe (groupes de 3 à 4 élèves)

Observer les différentes stratégies adoptées dans chaque groupe. Proposer des aides (voir ci-dessous) si les élèves bloquent et avec parcimonie. Amener les groupes à s’exprimer sur l’avancée de leurs recherches.

Echanger, discuter des diverses solution, stratégies. Utiliser éventuellement les logiciels mis à disposition. Rédiger individuellement une solution suite aux divers échanges. S’auto-évaluer.

Phase 4 : 10/15 min Mise en commun des productions – Débat

Scanner des productions d’élèves et les projeter. Orchestrer le débat en agençant dans un ordre précis les diverses productions. Bien demander aux élèves quels outils ils ont utilisés (manuel, instrumentés…) et pourquoi ?

S’organiser pour un compte-rendu oral aidé des productions projetées. Pour les élèves qui écoutent le compte-rendu d’un groupe, intervenir en cas de sollicitation pour compléter ce qui a été présenté, faire des remarques.

Phase 5 : 15 min Synthèse – Solution (la séquence suivante)

Projeter quelques exemples supplémentaires. Présenter une solution « experte » totalement rédigée.

Poser des questions.

109

f. Blocage et aides éventuelles

Les aides doivent être formulées sous forme de questions, en permettant toujours une réflexion de la part

de l’élève. Elles doivent être différenciées suivant l’interlocuteur et délivrées avec parcimonie en essayant

le plus possible de ne pas induire la démarche de résolution et favoriser ainsi la réflexion, l’autonomie et

l’initiative.

Certaines sont prévues à l’avance et sont données sous forme de bandelettes aux élèves concernés. En voici ici des exemples : Aide 1 : Peux-tu souligner et expliquer les mots importants ? Aide 2 : As-tu pensé à faire plusieurs exemples ? Aide 3 : Quelles leçons peuvent t’aider à justifier le résultat en général ? Aide 4 : Quels logiciels utiles pour t’aider à accomplir cette tâche complexe connais-tu ? Aide 5 : Un nombre premier est un nombre entier positif qui n’admet que deux diviseurs : 1 et lui-même. Peux-tu étoffer ta conjecture ?

g. Proposition d’une grille d’évaluation détaillée

C1 : Analyser l’information.

/3

Compréhension de la consigne (recherche manifeste d’au moins une conjecture). Compréhension de la consigne (souhait manifeste de démontrer, idée d’introduire du calcul littéral).

/1 /2 (1+1)

C2 : Calculer, réaliser, appliquer des consignes.

/3 L’évaluation ci-contre dépasse les 3pts (possibilité de bonus).

Mener avec succès une ou des séries de calculs supplémentaires. Développer une expression littérale (dans un souci de vérification de la factorisation réalisée avec WxMaxima, factorisation qui est ici évaluée dans la partie TIC). Développer une expression littérale (cas de la conjecture approfondie).

/2 /3 (1,5 point par expression littérale) /1

C3 : Raisonner, déduire.

/5 L’évaluation ci-contre dépasse les 5 pts (possibilité de bonus).

Emettre une conjecture correcte (conjecture du type « on obtient le carré d’un nombre »). Conjectures supplémentaires Infirmer une conjecture à l’aide d’un contre-exemple. Production d’une expression littérale correcte correspondant à la série de calculs et relative à la conjecture supplémentaire.

/2 1 point par conjecture correcte. /1 /3 (2+1)

C4 : Communiquer son résultat.

/2

Rédaction correcte des calculs. Rédaction des explications et conclusions.

/1 /1

D2 : Nombres et calculs. L’élève connaît-il le vocabulaire de base (carré d’un nombre, notion de nombre premier) ? A-t-il des connaissances de base en calcul littéral ?

2 pts au maximum peuvent être attribués ici dans le cas où l’élève ne maîtrise que très partiellement C2/C3.

TIC /4

Utiliser une calculatrice.

/1

110

4 points au maximum seront attribués pour les compétences TIC.

Utiliser un logiciel de tableur pour émettre une conjecture (et éventuellement l’infirmer). Utiliser efficacement un logiciel de calcul formel (pour factoriser une expression, vérifier les calculs ou pour s’aider dans les calculs).

/3 /3

I : Investissement

/3

Respecter les règles de la vie collective et respecter tous les autres, notamment durant les travaux de groupes et la phase de restitution. (écoute de chacun, respect des différentes phases) Être persévérant lors de la phase individuelle de recherche. (traces de la recherche initiale, efforts remarqués) S’impliquer dans un projet collectif. (échange des idées, bonne organisation du groupe, initiatives, qualité de la restitution) Savoir s’autoévaluer.

/0,5 /1 /1 (Bonus éventuel de 1 pt pour la restitution) /0,5

h. Analyse a posteriori

Cette tâche complexe a été testée dans deux classes de 3ème comportant chacune 26 élèves. Il s’agit du deuxième scénario testé dans le cadre des TraAM (2/03/2012). Ces deux classes du Collège Jean Le Toullec au Port (programme ECLAIR) sont plutôt de bon niveau mais demeurent hétérogènes. 42 élèves étaient présents au moment de l’expérimentation. Un film de 18 minutes viendra en accompagnement de l’analyse produite ici. Après une phase individuelle de 10 minutes, les élèves ont travaillé en groupes de 3 ou 4 élèves en rédigeant individuellement leurs réponses. La séquence a duré en tout 1h30 permettant en fin de séquence la restitution du travail d’au moins un groupe. Un compte-rendu plus général des productions ainsi que des éléments de correction ont été réalisés le cours suivant. Petit bilan de l’utilisation des TIC Parmi les 42 élèves présents, tous ont utilisé une calculatrice et 39 élèves ont utilisé un des logiciels mis à disposition : 8 élèves ont utilisé un tableur, 31 ont utilisé un logiciel de calcul formel (WxMaxima), aucun élève n’a utilisé plus d’un logiciel. Tous les élèves ayant utilisé le tableur l’ont fait avec succès mais sont restés dans leurs productions écrites au niveau de conjectures plus ou moins poussées (4 de ces élèves ne font d’ailleurs aucune référence au calcul littéral). Les élèves ayant utilisé le tableur cette fois-ci ne l’avaient pas fait lors de la première tâche complexe. Concernant le logiciel de calcul formel, 27 élèves ont utilisé l’outil avec efficacité, pour factoriser

l’expression 1 2 3 1n n n n (ou une expression analogue du type

1 2 3 4 1n n n n ) et ainsi vérifier que leur conjecture était correcte. Ces 27 élèves ont

constaté ainsi la puissance de l’outil mis à disposition sans lequel ils n’auraient pu avancer. Les 3 élèves qui n’ont utilisé aucun logiciel, ont passé beaucoup de temps sur la phase de conjecture et ont

tenté sans succès de développer 1 2 3n n n n . Le compte-rendu réalisé en classe devrait les

motiver la prochaine fois.

111

Petit bilan de l’activité Tous les élèves (42) ont établi une conjecture correcte et 38 élèves ont pensé à utiliser le calcul littéral : sur les 25 élèves ayant vérifié avec succès leurs conjectures à l’aide de WxMaxima, 7 élèves plus avancés ont

ensuite entrepris avec succès les calculs à la main en développant séparément 1 2 3 1n n n n

et 2

2 3 1n n , utilisant pour la plupart WxMaxima pour vérifier certains calculs intermédiaires. 4 élèves

n’ont eu le temps que de développer avec succès 2

2 3 1n n .

Aucun élève ne s’est interrogé si les carrés obtenus étaient ceux de nombres premiers comme pouvaient le laisser penser les premiers exemples. Un seul élève a demandé des précisions concernant les nombres premiers. D’autres ont confondu tout simplement « nombres premiers » et « premiers nombres entiers naturels » comme cela peut se voir sur l’une des productions réalisées au tableur. Le compte-rendu en classe sera l’occasion de se pencher sur l’étude de cette conjecture et de rechercher un contre-exemple. Aperçu de la variété des recherches et de la formulation des conjectures Extrait de production n°1

Extrait de production n°2

Extrait de production n°3

112

Extrait de production n°4

N.B. Le dernier exemple a été affiné suite à l’utilisation de WxMaxima. Deux copies d’écran de tableurs

Dans la cellule E1, les élèves ont saisi « =A1*B1*C1*D1+1 » avant d’étendre la formule au reste de la colonne. Dans la cellule F1, les élèves ont saisi « =RACINE(E1) » avant d’étendre la formule au reste de la colonne.

113

Dans la cellule B2, les élèves ont saisi « =A2*A3*A4*A5+1 » avant d’étendre la formule au reste de la colonne. Dans la cellule C2, les élèves ont saisi « =RACINE(B2) » avant d’étendre la formule au reste de la colonne. Dans la cellule D3, les élèves ont saisi « =C3-C2 » avant d’étendre la formule au reste de la colonne. Quatre exemples de copies d’écran de WxMaxima

N.B. Cet exemple fait suite à la conjecture présentée plus haut (production n°3).

N.B. Dans cet exemple, l’élève s’aide du logiciel pour développer pas à pas l’expression 2

2 3 1n n .

114

Production brute intégrale d’un élève

115

Production brute intégrale d’une autre élève

116

A

D C

B

H

A'

B'

C'

D'

4. Le champ de Jean

a. Énoncé

Jean possède un champ rectangulaire qu’il souhaite diviser en 4 parcelles dont une parcelle carrée. Ainsi, il entreprendra des cultures diverses sur deux des parcelles et laissera les deux autres parcelles (dont la parcelle carrée) en jachère. Jean schématise la situation ci-dessous et hachure les deux parcelles qui seront en jachère.

Le champ est un rectangle ABCD tel que 50AB m et 26AD m. Sur le schéma, les points A’, B’, C’ et D’ appartiennent respectivement aux segments [AB], [BC], [CD] et [DA], de telle sorte que A’BB’H soit un carré et DC’HD’ soit un rectangle. Jean peut-il placer le point H tel que l’aire de la surface en jachère soit égale à 578 m² ?

b. Contexte

Cette tâche complexe est réalisée en 3ème en classe entière. Les élèves ont à leur disposition leurs cahiers, leurs manuels, un dictionnaire, leurs calculatrices personnelles ainsi que 3 ordinateurs sur lesquels sont notamment installés un logiciel de tableur, le logiciel de calcul formel WxMaxima ainsi que le logiciel de géométrie dynamique Geoplan-Geospace. Les dimensions du champ peuvent sembler très restreintes (surface totale de 1300 m²), on pourra donc remplacer l’unité de longueur utilisée par le décamètre. Le choix ici fait tient compte des élèves tous issus d’un milieu urbain afin qu’ils puissent visualiser la situation.

c. Prérequis

Cette tâche complexe s’intègre dans une progression spiralée où le calcul littéral est travaillé tout au long de l’année (voir scénario 1 pour davantage de détails). Cette tâche complexe (troisième de la série) est placée plusieurs semaines après les leçons consacrées à la factorisation d’expressions littérales grâce aux identités remarquables et à la résolution des équations-produits. Quelques jours avant la tâche complexe, une utilisation de Geoplan a été réalisée suite au compte-rendu d’un exercice faisant partie d’un devoir maison : Exercice 4 (Objectif Calcul littéral et géométrie) On considère la figure ci-contre dans laquelle les triangles TER et GEF sont des triangles rectangles isocèles en E. ER ET x cm (avec 0x ) ; 5RG TF cm. On souhaite déterminer x afin que l’aire du triangle TER soit égale au quart de l’aire du triangle GEF. 1) Exprimer, en fonction de x, les aires des triangles TER et GEF.

2) Montrer que le problème revient à résoudre l’équation : 22

4 5 0x x .

3) Résoudre cette équation et conclure. Le logiciel a été utilisé pour conjecturer la solution du problème. L’utilisation de Geoplan est assez régulière en classe, mais il s’agissait lors de cette utilisation en plénière (à l’aide du TBI, les élèves envoyés au tableau

117

étant guidés éventuellement), de s’assurer que chaque élève connaisse certaines fonctionnalités du logiciel utilisées peu souvent (« calculs géométriques »). Les limites d’utilisation du logiciel ont ainsi été exposées : le logiciel ne permet que d’émettre des conjectures à l’aide de valeurs approchées des solutions.

d. Objectifs et analyse a priori

Objectifs :

- Analyser et comprendre un texte. - Conjecturer éventuellement la solution à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique ou d’un

tableur. - Mettre en équation le problème. - Être capable de développer une expression littérale (double distributivité). - Être capable de factoriser une expression littérale (à l’aide d’une identité remarquable). - Être capable de résoudre une équation-produit.

Analyse a priori : Il est possible que dans un premier temps, certains élèves aient recours à un logiciel de géométrie dynamique pour conjecturer la solution du problème. A ce moment de l’année, il est ensuite très probable que les élèves aient la volonté de recourir au calcul littéral.

Après avoir choisi comme inconnue 'A B x , les élèves devraient mettre en application leurs connaissances sur l’aire d’un rectangle et l’aire d’un carré pour mettre en équation le problème et ainsi

obtenir l’équation suivante : 2 50 26 578x x x .

A ce stade, certains élèves auront peut-être à cœur de tester cette égalité à l’aide d’un tableur pour conjecturer la solution. Mais on peut surtout penser qu’un certain nombre d’élèves utiliseront alors le logiciel WxMaxima pour résoudre l’équation ou alors pour vérifier leurs calculs lors du développement du membre de gauche de

l’équation. Une fois obtenu une équation du type 22 76 1300 578x x , on peut penser que suite à

l’expérience déjà acquise, les élèves penseront à la transformer en l’équation 22 76 722 0x x , voire

l’équation 2 38 361 0x x . Les élèves chercheront alors factoriser le membre de gauche (peut-être

s’aideront-ils de WxMaxima) pour trouver une équation du type 2

2 19 0x ou 2

19 0x et enfin

conclure, à la vue de cette équation-produit particulière. De manière générale, cette tâche complexe a pour but de faire travailler les élèves dans le cadre du Socle Commun (compétences 1, 3, 4, 6 et 7).

118

Ceci est porté à la connaissance des élèves à l’aide de la grille d’évaluation simplifiée suivante :

SOCLE COMMUN Auto-évaluation

Degré d’acquisition

C1 : Analyser l’information. C2 : Calculer, réaliser, appliquer des consignes. C3 : Raisonner, déduire. C4 : Communiquer son résultat. D2 : Nombres et calculs D3 : Géométrie D4 : Grandeurs et mesures TIC : Utilisation de calculatrices, de logiciels. Préciser lesquels : - - - I : Investissement

DA EA PA A DA EA PA A DA EA PA A DA EA PA A DA EA PA A DA EA PA A DA EA PA A DA EA PA A DA EA PA A

(DA : début d’acquisition, EA : en cours d’acquisition, PA : presque acquis, A : acquis.)

e. Différentes phases du déroulement en classe

Durée approximative : 1h30 + 15 min

Phases Rôle du professeur Rôles de l’élève

Phase 1 : 5 min Lancement de la tâche complexe

Présenter les différentes phases aux élèves, leur préciser qu’ils ont le droit à différents supports (papier, calculatrice, informatique…). Lire l’énoncé aux élèves. S’assurer qu’aucun mot ne fait obstacle. Présenter la grille d’évaluation (voir plus loin).

Prendre connaissance du problème et du contexte de travail. Poser des questions concernant la compréhension du sujet.

Phase 2 : 10 min Recherche individuelle

Observer les réponses d’élèves. Inciter les élèves à laisser des traces de tous leurs essais mais ne pas intervenir pour une quelconque aide.

Débuter la résolution du problème éventuellement sous forme d’une narration de recherche.

119

Phase 3 : 1h/1h05 Travail de groupe (groupes de 3 à 4 élèves)

Observer les différentes stratégies adoptées dans chaque groupe. Proposer des aides (voir ci-dessous) si les élèves bloquent et avec parcimonie. Amener les groupes à s’exprimer sur l’avancée de leurs recherches.

Echanger, discuter des diverses solution, stratégies. Utiliser éventuellement les logiciels mis à disposition. Rédiger individuellement une solution suite aux divers échanges. S’auto-évaluer.

Phase 4 : 10/15 min Mise en commun des productions – Débat

Scanner des productions d’élèves et les projeter. Orchestrer le débat en agençant dans un ordre précis les diverses productions. Bien demander aux élèves quels outils ils ont utilisés (manuel, instrumentés…) et pourquoi ?

S’organiser pour un compte-rendu oral aidé des productions projetées. Pour les élèves qui écoutent le compte-rendu d’un groupe, intervenir en cas de sollicitation pour compléter ce qui a été présenté, faire des remarques.

Phase 5 : 15 min Synthèse – Solution (la séquence suivante)

Projeter quelques exemples supplémentaires. Présenter une solution « experte » totalement rédigée.

Poser des questions.

f. Blocage et aides éventuelles

Les aides doivent être formulées sous forme de questions, en permettant toujours une réflexion de la part

de l’élève. Elles doivent être différenciées suivant l’interlocuteur et délivrées avec parcimonie en essayant

le plus possible de ne pas induire la démarche de résolution et favoriser ainsi la réflexion, l’autonomie et

l’initiative.

Certaines sont prévues à l’avance et sont données sous forme de bandelettes aux élèves concernés. En voici ici des exemples : Aide 1 : Peux-tu souligner les mots importants ? Aide 2 : Quelles étapes faut-il prévoir pour résoudre le problème ? Aide 3 : Quelles leçons peuvent t’aider à résoudre le problème ? Aide 4 : Quels logiciels utiles pour t’aider à accomplir cette tâche complexe connais-tu ? Aide 5 : Comment résoudre une telle équation ?

g. Proposition d’une grille d’évaluation détaillée

C1 : Analyser l’information.

/2 Compréhension manifeste de la consigne. Idée d’introduire du calcul littéral.

/1 /1

C2 : Calculer, réaliser, appliquer des consignes. L’évaluation ci-contre dépasse les 4 pts (possibilité de bonus).

/4

Développement correct de 50 26x x .

Habileté technique dans la résolution d’équations. L’élève sait factoriser une expression littérale à l’aide des identités remarquables.

/1,5 /2 /1,5

C3 : Raisonner, déduire. L’élève sait émettre une conjecture. /2

120

L’évaluation ci-contre dépasse les 4 pts (possibilité de bonus).

/4

Production d’expressions littérales correctes. Production d’une équation correcte. Déduction finale suite au calcul littéral. L’élève vérifie ses résultats.

/1,5 /1,5 /1 /1

C4 : Communiquer son résultat.

/2

Rédaction correcte des calculs. Rédaction des explications et conclusions.

/1 /1

D2 : Nombres et calculs. D3 : Géométrie

Tenir compte des diverses traces de recherche liées à ces deux items et qui n’auraient pas abouti ou qui constituent de mauvaises pistes. (exemples : des calculs numériques, l’utilisation correcte du théorème de Pythagore pour calculer la longueur des diagonales du rectangle ABCD…)

3 pts au maximum peuvent être attribués ici dans le cas où l’élève ne maîtrise que très partiellement C2 et C3.

D4 : Grandeurs et mesures /2

L’élève sait calculer l’aire d’un carré. L’élève sait calculer l’aire d’un rectangle.

/1 /1

TIC /3

Un bonus de 3 pts maximum peut être attribué pour des élèves ayant recours avec succès à plusieurs logiciels. (Attribuer les 3 points aux élèves ayant mené avec succès la tâche complexe sans aucun logiciel.)

Utiliser une calculatrice. Utiliser un logiciel de géométrie dynamique pour émettre une conjecture. Utiliser un logiciel de tableur pour émettre une conjecture. Utiliser efficacement un logiciel de calcul formel (pour vérifier les calculs ou pour s’aider dans les calculs).

/1 /4 /3 /3

I : Investissement

/3

Respecter les règles de la vie collective et respecter tous les autres, notamment durant les travaux de groupes et la phase de restitution. (écoute de chacun, respect des différentes phases) Être persévérant lors de la phase individuelle de recherche. (traces de la recherche initiale, efforts remarqués) S’impliquer dans un projet collectif. (échange des idées, bonne organisation du groupe, initiatives, qualité de la restitution) Savoir s’autoévaluer.

/0,5 /1 /1 (Bonus éventuel de 1 pt pour la restitution) /0,5

121

h. Analyse a posteriori

Cette tâche complexe a été testée dans deux classes de 3ème comportant chacune 26 élèves. Il s’agit du troisième scénario testé dans le cadre des TraAM (6/04/2012). Ces deux classes du Collège Jean Le Toullec au Port (programme ECLAIR) sont plutôt de bon niveau mais demeurent hétérogènes. 49 élèves étaient présents au moment de l’expérimentation. Un petit film viendra en accompagnement de l’analyse produite ici. Après une phase individuelle de 10 minutes, les élèves ont travaillé en groupes de 3 ou 4 élèves en rédigeant individuellement leurs réponses. La séquence a duré en tout 1h30 permettant en fin de séquence la restitution du travail d’un groupe dans l’une des classes (dans l’autre classe, la restitution a été reportée au cours suivant afin que les élèves puissent finaliser dans de bonnes conditions leurs productions écrites). Un compte-rendu plus général des productions ainsi que des éléments de correction ont été réalisés le cours suivant. Petit bilan de l’utilisation des TIC Parmi les 49 élèves présents, tous ont utilisé une calculatrice et 42 élèves ont utilisé un des logiciels mis à disposition : 16 élèves ont utilisé un logiciel de géométrie dynamique (Geoplan), aucun n’a utilisé de tableur, 26 ont utilisé un logiciel de calcul formel (WxMaxima), aucun élève n’a utilisé plus d’un logiciel. Tous les élèves ayant utilisé Geoplan ont eu des difficultés d’utilisation et ne sont pas parvenus à émettre de conjectures à l’aide du logiciel. Ils se sont ensuite remis au travail sur papier, mais ayant perdu du temps, soit n’ont pas abouti dans leur calculs littéraux, soit n’ont même pas pensé à utiliser le calcul littéral (et se sont lancés dans des calculs divers : calcul de l’aire de ABCD, calcul de BD à l’aide du théorème de Pythagore…). Concernant le logiciel de calcul formel, 22 élèves (sur 26) ont utilisé l’outil avec efficacité, trouvant la solution du problème suite à leur mise en équation. Parmi les 7 élèves n’ayant utilisé aucun logiciel, un groupe de 4 élèves a complètement résolu le problème à la main tandis qu’un groupe de 3 élèves a pris beaucoup de temps pour se mettre d’accord sur la mise en équation du problème et n’a donc pas pu utiliser de logiciel. Petit bilan de l’activité 40 élèves ont eu l’idée de mettre en équation le problème. Ceux n’ayant pas eu cette idée font partie des élèves qui ont passé beaucoup de temps à utiliser Geoplan (sans succès). 31 élèves ont mis correctement le problème en équation. Parmi ceux-ci, 19 sont ensuite parvenus à déterminer la solution du problème uniquement à l’aide du logiciel WxMaxima. 3 élèves ont réussi les calculs à la main (mais après avoir utilisé WxMaxima dans un premier temps), 4 élèves ont su résoudre l’équation sans aucun logiciel.

122

Un exemple d’utilisation de Geoplan

Les élèves ayant eu recours au logiciel Geoplan n’ont pas réussi à construire correctement une figure dynamique. Voici un exemple où les élèves ont mal défini le point B’ après pourtant un bon début.

123

Deux exemples de copies d’écran de WxMaxima

Cet exemple est le plus fréquemment obtenu, les élèves ayant en général mené les développements à la

main, mais ne sachant plus que faire à la vue de l’équation 22 76 1300 578x x .

Un groupe de trois élèves s’est complètement affranchi de calculs littéraux à la main, en utilisant WxMaxima dès le début de la mise en équation. Un exemple de traces de recherche lors de la phase individuelle

Un exemple d’aide apportée lors de la phase de travail en groupes

124

Un exemple de recherche où l’élève (puis son groupe) explore différentes pistes avant d’utiliser WxMaxima pour mener les calculs littéraux.

125

Un exemple de production intégrale d’élève illustrant ce qui s’est le plus souvent passé, à savoir l’utilisation

de Wxmaxima pour résoudre l’équation 22 76 1300 578x x

126

Un exemple de production intégrale d’élève menant à bien le problème sans l’aide d’aucun logiciel (les fois précédentes, cet élève avait besoin de WxMaxima pour s’aider, mais ses compétences de calcul ont maintenant beaucoup progressé).

127

VIII. Scénarios du Lycée Professionnel

1. Résistance phonique et fonction logarithme

Présentation : deux vendredis matin de 7h40 à 8h40, durant l'heure d'Enseignement Spécialisé, le problème ci-dessous a été proposé aux deux classes de Terminale Bac Pro TGT et TBEE. Contexte : cet exercice a été créé dans le souci d'amener l'élève à utiliser l'outil informatique, et fait suite à l'étude en sciences du thème : confort et développement durable (entre autres notions, la résistance thermique et acoustique des matériaux). En mathématiques, les notions de suites arithmétiques et géométriques, l'étude des fonctions logarithmes, ainsi que l'utilisation de Geogebra et d'un tableur ont été abordées. Objectif : les mathématiques au service des sciences dans un problème La société Isophon fabrique des plaques isolantes phoniques. Elle précise que la pose d'une plaque correspond à une réduction de 20 % du niveau d'intensité sonore (L) exprimée en décibels. Le niveau d'intensité sonore d'un son émis à l'extérieur d'une habitation est de 105 dB. Dans une chambre d'enfant, il est souhaitable que ce niveau soit inférieur à 30 dB. Calculer le nombre de plaques minimum que cette société sera amenée à fixer afin de satisfaire la demande des parents. Avec les terminales Topographes (Techniciens Géomètres Topographes) Présentation générale de la séance de 35 minutes : les conditions de travail pour ce type d'activité étant maintenant rodées, chaque élève, isolé sur une table, reçoit l'énoncé du problème, ainsi que la fiche de recherche nominative. 11 élèves sont présents, dont tous ceux qui ont suivi le travail présenté le 23 mars 2012. Les premières 5 minutes : tous les élèves sont appliqués dès la réception de l'énoncé, car ils semblent apprécier cette nouvelle ' pédagogie de liberté d'expression ' et de non évaluation. Ils lisent le texte en général plusieurs fois, puis la grande majorité va alors dessiner : une maison !!! Le contrat est rempli, les élèves respectent la méthodologie mise en place pour ces activités du TraAM, ils font l'effort de schématiser, d'écrire des calculs et des réponses. Annexes 1 et 1' Dix minutes plus tard : après être passé observer le travail de chacun, sans aider, juste en motivant si nécessaire ces jeunes dans leurs démarches, il a été surprenant de constater que le calcul de 20 % des 105 dB n'était que très rarement compris. Annexes 2, 2', 2'' Remédiation n°1 : par une remarque collective suite à ces observations, et compte tenu de l'éloignement de cette recherche par rapport à l'objectif, j'ai décidé de rappeler par un exemple la méthode de calcul de la remise puis du nouveau prix, d'un article vendu 120 euros mais remisé de 15%. Vingt minutes plus tard : le calcul de L après une première plaque est maintenant juste, mais son utilisation reste erronée. En effet, tous appliquent la même méthodologie pour parvenir au seuil de 30 dB, ce qui fait que tous après plus de 20 minutes de recherche sont fiers de m'appeler et de me montrer la réponse : il faut 4 plaques. Mais là encore, le calcul est particulier, dans le sens où ils attribuent 20% à une plaque et

donc 80% à 4 plaques, d'où le calcul : 105 - 4x20

100 x105 = 21 !

Remédiation n°2 : grâce à la bivalence en LP et à l'importance du matériel de la salle B21, la simulation du début de la problématique, est proposée : on place un haut-parleur, et une plaque de placoplâtre, puis on énonce la valeur de l'intensité sonore qui existe après traversée : 84 dB. Puis il a suffi que je place une

128

seconde plaque et demande la valeur de l'intensité sonore qui arrive sur la seconde plaque pour que tous les jeunes retournent à leur place et se remettent à chercher. Certains préfèrent schématiser avant de calculer (Annexe 3), d'autres se lancent dans des calculs (Annexes 3' et 3'') et affichent un résultat juste. Analyse : Durant cette étude, il y a eu très peu d'échanges, sans doute par manque d'élève moteur, car les deux élèves très rapides d'habitude, n'ont pas réussi à trouver leur propre cheminement. Comme durant les autres séances, le travail a été réalisé avec soin, les élèves ont montré beaucoup d'application, la séance est très positive dans ce sens. Si ce groupe est composé de plusieurs élèves logiques, ils ne voient dans leur programme pas d'Enseignement Professionnel l'acoustique d'une salle. C'est sans doute la raison pour laquelle ils ont eu tant de difficultés à ' s'accaparer ' l'énoncé. D'un autre côté, j'ai été très surpris par leur manque de corrélation entre le cours de mathématiques et le cours de sciences, alors que j'exploite dès que possible cette interdisciplinarité entre ces deux matières. Enfin, force est de constater que le calcul de pourcentage n'est toujours pas acquis à un mois de l'examen, ne parlons pas de la notion de suite géométrique et encore moins de la fonction logarithme népérien. C'est aussi un point positif de ces moments, comme le travail ici est non directif, l'élève joue le jeu de noter sa démarche et de ce fait, il montre que les notions vues en cours restent encore trop scolaires, il ne les a pas adoptées !

Annexe 1

Annexe 1'

Annexe2

Annexe 2'

Annexe 2''

129

Avec les terminales TBEE (Techniciens du Bâtiment : Etude Economique) Présentation générale des séances de 45 minutes : les conditions de travail pour ce type d'activité étant maintenant rodées, chaque élève, isolé sur une table, reçoit l'énoncé du problème, ainsi que la fiche de recherche nominative. Tous sont contents de participer à cet atelier de mathématiques. 8 élèves sont présents, dont tous ceux qui ont suivi le travail présenté mi-mars 2012. Les premières 5 minutes : seuls deux élèves peu scientifiques ont schématisé le problème, les autres ont de suite calculé la réduction pour une plaque, et ont utilisé cette valeur pour obtenir un nombre inférieur à 30 dB dans la chambre. Quatre élèves ont calculé le pourcentage de 20% de 105 puis ont reporté cette réduction autant de fois que nécessaire. Annexe 1. Deux autres ont cherché ' le nombre ' de pourcentages nécessaires pour ' atténuer 105 dB ' et parvenir à un nombre inférieur à 30 décibels. Dans les deux cas les résultats sont erronés, car le nombre de plaques proposé est de 4.

Annexe 3

Annexe 3'

Annexe 3''

130

Néanmoins un élève, celui qui semble s'ennuyer en cours (absences répétées, aucun cahier) a écrit le calcul de l'annexe 1''. En dialoguant, il a montré qu'il avait compris le sens du problème et que l'exposant répondait à la question. Sur le coup, et occupé à observer les travaux des autres élèves, je lui ai proposé l'activité sur le calcul de bénéfice de l'entreprise Annexe Douze minutes après le début : toujours pas d'échanges entre les élèves qui emploient trop leur calculatrice dans le but de la voir afficher un nombre inférieur à 30 en exploitant plus la fonction random que leurs connaissances ! Ainsi, sur toutes les feuilles de recherche j'ai écrit ' faux ' avec la consigne de présenter l'énoncé à l'aide de schémas (cf. Annexe 2). Dix-huit minutes plus tard : la catastrophe ; les élèves n'ont pas pu présenter les informations schématiquement, ce qui fait que j'ai dû apporter au tableau l'aide suivante à tout le groupe : j'ai schématisé une plaque de forme rectangulaire en perspective cavalière, j'ai noté les 105 décibels sur la partie gauche de la plaque, j'ai laissé un espace et redessiné une autre plaque toujours en perspective cavalière. J'ai alors dessiné un point d'interrogation entre les deux plaques, puis un second après la deuxième plaque. J'ai alors convié tous ces jeunes à se remettre en phase de recherche. Trente minutes après : tout le monde a trouvé le résultat, mais, force est de constater que personne n'a fait l'effort de construire un schéma sur sa feuille. Même si je demande souvent en sciences dans la démarche d'investigation de proposer un schéma sur une problématique afin d'observer pour tous leurs connaissances sur la notion, il apparaît évident que cela n'est pas devenu naturel de construire un dessin aussi ' naïf ' soit- il. De plus, les calculs posés sont trop souvent mal présentés Annexe 3, et 3' malgré des efforts toujours à propos du contrat élève/prof. Néanmoins, en évitant de me répéter : les élèves jouent le jeu et font de leur mieux en s'appliquant de la sorte, en ' osant ' écrire autant en mathématiques. C'est une des observations très positive que j'ai noté grâce à ce travail du TraAM. Pour conclure cette activité, l'énoncé initial a été modifié : ...correspond à une réduction de 4,5 % du niveau d'intensité sonore ... Ainsi, il a été facile de prouver que la méthode utilisée par tous (même par le premier à avoir terminé) n'était pas exploitable dans ce nouveau cas. Donc en partant de l'équation annexe 1'', le chiffre 6 a été remplacé par n (le nombre de plaques recherché), et une résolution utilisant la fonction Ln ainsi que quelques-unes de ses propriétés a été construite. Cette nouvelle séance a permis de mettre en évidence que, si le cours de sciences semble plus stimuler ces jeunes adultes par ses nombreuses expériences, les sciences physiques, comme les mathématiques ne sont pas encore un outil, mais deux matières au programme du Bac.

131

Annexe 1

Annexe 1'

Annexe 1''

Annexe

Une entreprise française localisée en Alsace fabrique, pendant une période donnée, une poupée alsacienne. Le coût total de production, en euros, est donné en fonction du nombre q d'articles fabriqués par : C(q) = q² – 30q + 140. Chaque poupée est ensuite revendue au prix de 20 euros, le montant de la vente, en euros, est calculé par la formule : V( q ) = 20.q. Trouver le nombre de poupées qu'il faut vendre pour que l'entreprise fasse un bénéfice maximum.

Annexe 2

132

Annexe 3

Annexe 3'

Annexe 4

133

2. Nombre de poignées de mains

Présentation : Compte-tenu des impératifs temporels, les activités liées à ces travaux de recherche sont proposées à des moments variables et dans des groupes différents. Afin de découvrir la réactivité des différents élèves selon leur section et leur classe, j'ai décidé de proposer différents exercices dans toutes mes classes : des terminales CAP couvreurs, des secondes BAC pro en trois ans en TGT, et des terminales bac pro en trois ans en TBAA, TGT et TBEE. Ainsi, il arrive que l'activité soit menée en Aide Personnalisée où des élèves (environ 9) de trois classes de terminale Bac Professionnelle sont regroupés, ou en heure d'enseignement de spécialité où les élèves d'une même classe assistent à la séance (environ 14), ou pendant des heures où des élèves sont disponibles (enseignant absent, …), ou après un chapitre traité. Dans tous les cas, ces moments sont proposés comme des moments de ' liberté ' par rapport aux programmations annuelles et aux instructions officielles (même si les activités proposées restent très liées à ces B.O. d'autant qu'ils conseillent une utilisation des TIC pour chaque notion étudiée). La salle : la salle B 21 est une salle dans laquelle tout un matériel pédagogique amassé depuis plus de quinze années est disponible : des boîtes de thés, des objets en polystyrène, des ficelles, des feuilles de brouillon, des feuilles cartonnées, des dictionnaires, une balance de Roberval,…. mais aussi un rétroprojecteur, un vidéoprojecteur, 4 ordinateurs portables, un ordinateur sur la paillasse de l'enseignant ; en bref l'univers de Mac Gyver où beaucoup d'activités peuvent être très rapidement présentées afin d'aider à la compréhension de certaines situations. Situation : Pour la motivation : depuis la rentrée de février 2012, les élèves ont été avertis que parfois, il y aurait des séances de mathématiques particulières pour tester quelques fiches ludiques afin de proposer à des enseignants des activités originales pour leurs élèves. Tous ces jeunes ont accepté cela. La pédagogie : depuis 4 ans, je tente de mettre en place un travail proche de la démarche d'investigation complété par la recherche de M. Cariou (la phase de recherche individuelle ou aucune correction d'aucun ordre (orthographe, dessins simples, …) ne vient ' corriger ' la proposition est essentielle). Quand cela est possible, la problématique est précisée au tableau, aux élèves de chercher seuls dans leur cahier des idées d'expériences qu'ils aimeraient réaliser, puis de discuter collectivement avant de venir demander le matériel dont ils ont besoin et enfin de mener à bien leur expérience puis de conclure. D'où l'application naturelle de la démarche du TraAM dans les différentes classes. Consigne formulée oralement à la première activité : durant ces moments de recherche, aucune évaluation n'est menée, il suffit de comprendre l'énoncé et de mettre en place des stratégies pour répondre aux questions. Il faut donc écrire sur la feuille de brouillon qui sera ramassée après chaque activité, afin de m'aider à comprendre vos démarches et ainsi trouver des idées pour améliorer le choix des exercices proposés. Dans un futur proche parviendrez-vous peut-être à mieux résoudre des problèmes de mathématiques ou/et de sciences.

134

Analyse de la séance du Vendredi 23 mars 2012 Scénario n°3 Cette séance est la troisième séance réalisée avec des élèves de terminale Bac Professionnel, donc certains parmi eux ont déjà suivi une ou deux séances de TraAM depuis février 2012. Classe : Terminale TGT, soit pour cette séance 7 élèves qui sont tous majeurs. Salle : cette séance se déroule pendant une heure d'Enseignement Spécialisé en salle de physique B21, chaque élève disposant d'une paillasse personnelle, d'une feuille de brouillon, d'une calculatrice (graphique, sauf en CAP). Matériel : 5 ordinateurs portables à disposition avec le logiciel de géométrie dynamique géogebra et un logiciel tableur d'Open Office. Notions déjà traitées : les suites arithmétiques et géométriques et l'utilisation d'un tableur (en première et terminale), les équations du premier et second degré à une inconnue (exploitation d'un tableur en première et terminale), les probabilités. Les élèves A et B : les deux filles très timides ayant juste la moyenne en maths/sciences. L'élève C : a suivi une seconde générale avant d'entrer en seconde Bac Pro, une première et enfin la terminale. Très vif d'esprit et très logique mais n'aime pas écrire sans doute par ses lacunes en français écrit. L'élève D : très scolaire, a obtenu un BEP avant d'intégrer la première Bac Pro, puis la terminale Les élèves E et F : ont suivi un cursus normal, pleins de bonne volonté, obtiennent la moyenne en maths/sciences. L'élève G : le même cursus que C, mais moins travailleuse. Présentation du travail du jour Au tableau ces 5 propositions sont inscrites : Lorsque deux personnes se rencontrent combien de poignées de main échangent-elles ? Lorsque trois personnes se rencontrent combien de poignées de main échangent-elles ? Lorsque cinq personnes se rencontrent combien de poignées de main échangent-elles ? Lorsque dix personnes se rencontrent combien de poignées de main échangent-elles ? Lorsque cinq cents personnes se rencontrent combien de poignées de main échangent-elles ? Consigne orale : vous pouvez vous aider de dessins, schémas, calculatrices et d'ordinateurs (je n'ai pas parlé de communication pour observer justement le passage recherche seul, puis besoin d'échanger avec d'autres). Déroulement de la séance : Q1 signifie la première proposition, …, Q5 la cinquième. Je passe comme durant chaque séance voir chacun pour discuter de ses solutions, ou des points non compris, afin de les encourager à présenter des réponses écrites. Grâce à ces effectifs adéquats, cette méthode de travail les aide à prendre confiance en eux et à écrire leurs propres idées sans gène ni frustration, une confiance mutuelle et un respect de la culture de chacun sont instaurés. 8 minutes : travail individuel, classe sans bruit

A et B ont recopié l'énoncé et n'ont rien tenté, aucun résultat C a compris l'énoncé a déjà proposé des réponses orales pour les trois premières

135

propositions. Il bute sur la Q4 car n'a aucune méthode écrite D a compris, mais propose des réponses pour Q1, Q2 et Q3 erronées. Pas de méthode

précise E essaie de présenter ses réponses sous forme de schémas (annexe 1) F propose des schémas lisibles pour les Q1, Q2 et Q3 (Annexe 1') G présente une solution liée à une combinaison (annexe 2) car cette leçon vient d'être traitée

en cours (effet de contrat didactique entre l'élève et l'enseignant encore existant quand le doute persiste et le manque de confiance en soi existe)

12 minutes : toujours le travail est individuel, mais début de mouvement pour ceux qui éprouvent de difficultés (les chaises bougent, les têtes se tournent et interrogent du regard les autres, …) Pas de communication verbale entre eux, mais paraissent surpris, car si C et D sont les deux élèves moteurs en cours, après ce temps de recherche, eux non plus n'ont pas fini l'exercice ; ceci a sans doute encouragé les autres élèves de la classe à persévérer. Il a fallu discuter durant deux minutes avec A (puis B) pour oraliser l'exercice, le mimer, et enfin réussir à voir tracer un schéma. 18 minutes : les élèves C et D ont compris la finalité de l'exercice (Annexe 3) et s'interrogent déjà sur la Q4 tout en commençant à chercher une méthodologie généralisable pour 500 ! L'élève A a commencé à présenter la Q3 sous forme de schéma (annexe 4) mais a des difficultés pour relier toutes les personnes présentes. 22 minutes : les élèves commencent à se déplacer. Ils échangent leurs idées oralement, car trop peu de schémas ont été réalisés avec soin sur les feuilles. Des discussions par deux par affinité sont donc menées oralement, des schémas sont alors composés pour étayer les dires et argumenter. 30 minutes : l'élève E a écouté des conversations, est resté concentré sur sa feuille, et parvient à construire le schéma (annexe 6). Mais il le raye car ne semble pas avoir compris la méthode. Il va commencer à la transposer à sa manière sous une autre forme. 35 minutes : l'élève C m'appelle me dit : j'ai besoin du tableur. Je le dirige donc vers un portable et il lance le logiciel et commence à composer deux colonnes et à entrer ses valeurs (pour 2, 3, 4, 5, …, 10 personnes) Immédiatement après l'élève E m'appelle pour me demander un ordinateur. Je lui demande de quel logiciel il a besoin (le tableur bien sûr) et lui demande comment il compte l'utiliser. Là, il répond qu'il va voir, il va trouver. Ainsi pendant plus de 10 minutes, il est resté devant l'ordinateur en espérant trouver une méthode en entrant des valeurs dans des cellules de manière désordonnée. Il croit encore à 18 ans passés que l'ordinateur sait tout faire ! C'est le problème de l'utilisation quasi instantanée de la calculatrice pour le moindre calcul et la confiance absolue des résultats affichés par la machine. L'élève G par manque de motivation préfère regarder les schémas tracés par F mais ne travaillera plus personnellement, même cette activité n'a pas réussi à la mettre sérieusement au travail ! 40 minutes : l'élève D demande ' un ordinateur avec un tableur ', il rentre ses résultats présentés sous forme d'un tableau (annexe 7) et essaie d'écrire sa formule (annexe 7'). L'élève E a trouvé sa propre manière de schématiser la Q4, avec des couleurs pour bien repérer les poignées de chacune des personnes. Puis compte tous ses traits et propose 45 poignées de main. (annexe 8). Il ne trouvera pas de méthode calculatoire pour généraliser le résultat.

136

50 minutes, fin de l'activité : L'élève A, a travaillé quasiment toute seule, personne ne l'a aidée, elle n'a vu aucun des autres schémas, et elle est parvenue à répondre à Q4 à l'aide d'un schéma, mais surtout à trouver une relation entre le nombre de personnes et le nombre de poignées de main. (Annexe 9). Le contrat de confiance a abouti ! L'élève B a tracé très soigneusement un schéma similaire à celui de l'élève C L'élève C a réussi en utilisant le tableur à faire apparaître les résultats pour 10, 11, 12, 20

personnes ce qui a conforté son idée de formule, et propose :

Il n'a pas eu besoin d'écrire la

somme 1+2+3+4+... mais s'est ' rappelé ' la formule vue en cours de math lors de l'étude des suites arithmétiques. L'élève D a exploité le tableur pour faire apparaître les résultats des 500 personnes, puis a commencé d'écrire des termes de suites avec des indices (un = u1 + n-1) Les élèves E, F et G n'ont pas pu entreprendre une recherche pour 500 personnes. Conclusion Tous ont aimé l'activité et sont restés concentrés toute la séance. Il n'y a pas eu de phase collective pour que C ou D exposent leurs solutions. Mais, aucune demande lors des séances suivantes n'a montré un intérêt particulier pour cette situation. Ce manque de curiosité est trop souvent présent pour les élèves de LP, si en classe, leur esprit peut parfois être très vif, passionné même pour certaines situations, une fois sortis de la salle, leurs occupations quotidiennes les accaparent à nouveau.

137

Annexes

Annexe 1

Annexe 2

Annexe 3

Annexe 4

Annexe 5

Annexe 1'

Annexe 1''

138

Annexe 9

Annexe 6

Annexe 7

Annexe 7'

Annexe 8

Annexe 10

139

Annexe I : Groupe académique de la Réunion

1. Composition du groupe

Le groupe académique de la Réunion est composé de :

Matthieu Bober – collège Jean Le Toullec

Sophie Fur-Desoutter – lycée Jean Hinglo

David Michel – collège Cambuston

Thierry Nourigat – lycée professionnel Jean Hinglo

Terrence Vellard – lycée Jean Hinglo – IATICE

2. Contexte des réunions

Le groupe a essentiellement échangé par courrier électronique et ne s’est réuni qu’en cas de grande nécessité ou pour des moments « clés ». En effet, une première réunion a eu lieu avec M. JANVIER – IA-IPR de mathématiques – pour l’exposition de la thématique, la délimitation des attentes et la distribution des rôles : de par ses autres obligations, M. VELLARD a assuré le rôle de correspondant auprès de la DGESCO et de coordination d’équipe, tandis que les autres collègues ont pu produire des synthèses. Un mois plus tard, une première réunion s’est tenue dans une salle du lycée Jean Hinglo, suite à une radio-conférence sur « centra » (plateforme de radio conférence) afin d’échanger sur les attentes de la DGESCO et l’exposition des thèmes choisis ou premières idées de chacun. Cela a été l’occasion de présenter le collègue de lycée professionnel, nouvellement proposé pour compléter l’équipe. Suivra ensuite une dernière réunion, toujours dans le même lieu, afin de présenter les premières synthèses, et permettre à nos collègues du lycée ayant intégré le groupe de travail plus tardivement de bien cerner le sujet. La suite s’est essentiellement déroulée par des échanges courrier.

140

Annexe II : Mise en œuvre d’une tâche complexe – Différentes

phases

Les élèves doivent être formés à la mise en œuvre d’une tâche complexe. La tâche complexe

permet l’évaluation du Socle Commun.

Elle fait partie intégrante de la notion de compétence et permet son évaluation.

La mise en œuvre préconisée permettant l’autonomie et la prise d’initiative est le travail de

groupe28.

Les tâches complexes peuvent également être données à la maison.

Dans les deux cas, il convient également d’inciter les élèves à laisser des traces de toutes leurs

démarches, essais. Il est donc fondamental de former les élèves à une activité métacognitive

très utile et efficace : les narrations de recherche.

Elles pourront servir de diagnostic pour le professeur pour cibler les points forts des élèves

ainsi que les points où ils doivent progresser.

Elles permettent d’observer des manifestations positives des compétences du Socle

Commun.

Le travail de groupe s’effectue habituellement en plusieurs phases29 :

Phase de dévolution du problème (compréhension du sujet)

Il est important que l’enseignant, de par ses actes, rende les élèves responsables de la résolution du problème (dévolution du problème – G. Brousseau). Il est fondamental que les élèves comprennent donc le sujet, les consignes à respecter pour la résolution de la tâche complexe afin de ne pas entendre le fameux : « Je n’ai pas compris ce qu’il faut faire ! ». L’enseignant peut faire lire l’énoncé en plénière et demander si tout le monde a compris le problème, quels sont les mots qui posent problème etc...

Phase de recherche individuelle

Pour que le travail de groupe soit efficace et productif, il est important que les élèves s’imprègnent du sujet, que chacun ait sa propre idée du problème. Il faut donc leur laisser un temps minimum de recherche individuelle, limité tout de même, afin que l’élève n’ait pas une idée arrêtée sur le problème. Pour cette phase, les élèves se mettent en « mode narration de recherche » et écrivent tout ce qui se passe dans leur tête, y compris les questions qu’ils se posent… C’est un « espace de liberté » qui permet de favoriser les traces intermédiaires (comme préconisé par le document ressource sur le raisonnement au collège).

28 Préconisé par la DGESCO. « Conseils pour mener un travail de groupe » : http://eduscol.education.fr/pid23228-cid56349/banque-de-situations-d-apprentissage-a-telecharger.html 29 Pour plus de détails, nous renvoyons le lecteur sur des documents ressources :

- Les pratiques du problème ouvert, Gilbert Arsac, Michel Mante, CRDP Académie de Lyon, 2007. - MISE EN OEUVRE, GESTION ET EVALUATION DES TACHES COMPLEXES DANS LE CADRE DU SOCLE

COMMUN, Document ressources de la Réunion, mars 2011. - «Débat scientifique en cours de mathématiques et spécificité de l’analyse », Marc Legrand, Repère

IREM n°10.

141

Travail de groupe

Les élèves se mettent par groupe de 2 à 4 élèves. Il peut être intéressant de les mettre au moins à 3 élèves afin de favoriser le débat et l’argumentation. Durant cette phase, les élèves doivent échanger leurs idées et répondre au problème. On peut leur demander de rédiger une solution commune par groupe afin de favoriser le conflit socio-cognitif. Cette solution doit être la plus claire et convaincante possible lorsqu’ils la présenteront aux autres groupes. Les élèves peuvent également effectuer « une narration de groupe » qui permet de retracer la « vie du groupe », « la chronologie de leur recherche » (voir les productions d’élèves dans l’analyse a posteriori des synthèses proposées). Ceci permet entre autre d’évaluer les membres du groupe sur d’autres compétences transversales liées au Socle Commun. Durant cette phase, les élèves doivent apprendre à être autonomes : ils ne doivent pas discuter avec les autres groupes et doivent essayer d’appeler le moins possible le professeur qui devient une « personne-ressource ». Le professeur peut, bien entendu, après un certain temps (afin de laisser « vivre le groupe en autonomie»), aider les élèves en donnant des aides sous forme de question la plus ouverte possible, indiquant le moins possible la démarche de résolution, dans le but de maintenir les élèves en activité. Il peut être également très utile d’indiquer les critères d’évaluation aux élèves afin de les motiver. Ces critères peuvent être ciblés également sur des compétences transversales, liées au travail de groupe pour que tout le monde s’investisse dans la résolution du problème. Exemple de critères affichés :

142

Mise en commun des diverses procédures – Débat30

Le professeur affiche les productions de chaque groupe dans un ordre pertinent permettant un débat intéressant (méthode experte à la fin…). Chaque groupe choisit un rapporteur qui explique la démarche du groupe. Le professeur peut aussi choisir l’élève qui sera le rapporteur afin de l’évaluer oralement sur la compétence C4 (« communiquer à l’oral ») de la compétence 3 du Socle Commun. (Evaluation orale différenciée) On peut aussi, afin de former les élèves à l’auto-évaluation, leur demander d’évaluer eux-mêmes l’élève qui est rapporteur. Les autres élèves peuvent poser des questions au groupe, ce qui favorise l’argumentation. On favorise aussi le raisonnement car les élèves doivent comprendre, analyser les productions d’autres personnes. C’est l’occasion pour certains de voir que tout le monde ne réfléchit pas de la même manière et qu’il peut y avoir plusieurs solutions, plusieurs façons de présenter pour un même problème. Le professeur peut ainsi demander à un élève de reformuler le raisonnement d’une personne. L’élève est ainsi évalué oralement sur l’item C3 : « Raisonner » de la compétence 3 du Socle Commun (comme préconisé par le document ressource sur le Socle Commun). En résumé, le moment de mise en commun est très important. Le professeur a un rôle important : Il doit bien réfléchir à la gestion du débat (ordre des affiches, questions à poser, évaluation orale…) permettant l’analyse du problème (analyse des erreurs, des différentes démarches, des présentations…) et l’évaluation de compétences du Socle Commun. C’est ici que progressivement, le savoir prend forme, que l’on donne du sens aux choses enseignées.

Synthèses – Solution du problème

Le professeur peut s’appuyer sur les productions des élèves pour faire une synthèse des éléments à retenir (différentes démarches, erreurs à éviter…). Il peut également demander aux élèves de travailler la mise en forme : soit en devoir à la maison soit à la suite de cette séance. Concernant l’auto-évaluation, dans l’idée que l’élève médite sur sa propre façon de réfléchir (métacognition), on peut lui demander de commenter sur l’apport du travail de groupe (en terme mathématique et au niveau des compétences transversales) et plus précisément dans le cadre du projet TraAM sur l’apport des outils numériques utilisés.

30

Le document ressource sur la « mise en œuvre d’une tâche complexe » sur le site académique de la Réunion donne des détails sur la gestion du débat (voir p17 à 19) http://maths.ac-reunion.fr/College/Socle-commun/Mise-en-oeuvre-gestion-et

143

Exemples de consignes :

144

Annexe III : Préparation de fond : Progression spiralée

1. Piste pour l’introduction des tâches techniques

Rappelons un des objectifs du projet : Faire résoudre des problèmes par les élèves de manière

autonome en lien avec des capacités de calcul (« manuel » mais aussi instrumenté).

Il parait alors indispensable de réfléchir :

Aux obstacles, difficultés concernant les capacités de calculs

Sur les prérequis en terme de savoir-faire sur les calculs numériques, littéraux (ayant

choisi ce thème) et instrumentés.

Sur une progression permettant d’arriver aux objectifs fixés (les élèves ne seront en

mesure de résoudre en autonomie une tâche complexe si nous ne les formons pas !)

Les tâches complexes proposées ont pour but de développer des capacités liées au calcul mais

aussi de développer l’intelligence de calcul.

Elles nécessitent un répertoire automatisé (ensemble de techniques) pour pouvoir être

réalisées.

A partir de ces savoir-faire, la tâche complexe va permettre :

Soit d’introduire un nouveau savoir : On parlera alors plutôt de situation-problème.

La tâche complexe permettra ainsi de donner du sens à un nouveau savoir tout en

entretenant les anciens savoir-faire.

Pour que ce nouveau savoir prenne tout son sens, il est fondamental par la suite de le

travailler dans divers cadres (numérique, géométrique, algébrique, fonctionnel …) et

registres (langage naturel, graphiques, écriture symbolique, formule algébrique…) (R.

Douady, R. Duval).

Plus tard, ce savoir pourra être dépassé (car il devient alors peu économique de

l’utiliser) ou réutilisé au profit d’un nouveau savoir. Mais cette fois-ci, il devra lui aussi

être automatisé, d’où l’importance de travailler les tâches techniques.

Soit de résoudre un problème en mobilisant des connaissances, capacités et

attitudes

Là encore, l’élève aura besoin de mobiliser plusieurs savoir-faire. Pour lui permettre

d’avoir les bonnes « attitudes » (bien choisir et mobiliser les connaissances et

capacités requises) et d’éviter les blocages ou les surcharges cognitives, il est de

nouveau fondamental que l’élève ait en sa possession une gamme de répertoires

automatisés lui permettant de résoudre le problème.

La question est comment travailler ses techniques, développer ces automatismes chez l’élève

tout en l’intégrant dans nos cours de l’année sans pour autant faire « que de la technique »

avant de résoudre une tâche complexe?

145

Nous pensons qu’il est fondamental de mettre en place une progression spiralée

(à petites touches - comme le préconise le document ressource sur le Socle Commun) liée aux

capacités de calcul (prérequis) afin qu’elles deviennent des automatismes que l’élève devra

mobiliser lors de la tâche complexe.

Nous ne prétendons pas avoir toutes les réponses mais nous proposons quelques exemples

(non exhaustifs) de mise en œuvre de progression spiralée autour des capacités de calculs et la

mise en place d’automatismes :

Des pistes pour bâtir une progression spiralée

Il convient d’identifier toutes les connaissances et capacités à enseigner durant l’année pour chaque thème important du programme (calcul littéral, proportionnalité, calcul numérique…). La progression deviendra ensuite « spiralée » si elle permet d’aborder tous les champs, tous les thèmes majeurs du programme à un 1er niveau (en prenant par exemple comme repères les capacités au Socle Commun pour chaque thème). Puis nous reprenons ces thèmes à un 2ème niveau (capacité hors Socle) permettant d’enrichir chaque thème. Le 3ème niveau (Expert) doit être une ambition pour tous mais cela dépend bien sûr du profil de la classe. Il est également important de faire ressortir dans une progression spiralée le décloisonnement des chapitres. Un thème peut être vu sous plusieurs angles, en fil rouge, dans plusieurs champs de données, ce qui permet à l’occasion d’entretenir par petites touches la notion. Ce qui aide aussi à la construction du savoir (changement de cadre et de registre – R. Douady, R. Duval).

Exemple :

En 5ème sur le calcul d’une 4ème proportionnelle et la reconnaissance d’un tableau de

proportionnalité : on peut commencer par revenir sur le sens, la reconnaissance de la

proportionnalité sur des exemples concrets, en faisant ressortir les propriétés de linéarité.

Commencer par des calculs de 4ème proportionnelle, par les propriétés de linéarité (rapports

simples) et par le passage à l’unité. Procéder à des reconnaissances de tableau de

proportionnalité avec des coefficients de proportionnalité simples.

Dans un 2ème temps, on peut aborder des reconnaissances de tableau de proportionnalité plus

difficiles (coefficients décimaux) permettant d’introduire la méthode experte pour calculer une

4ème proportionnelle (avec le coefficient de proportionnalité). Dans cette phase, on se

focalisera sur cette nouvelle méthode de calcul d’une 4ème proportionnelle sans ajouter des

difficultés techniques sur le coefficient de proportionnalité.

Dans un 3ème temps, on peut résoudre des problèmes où le coefficient de proportionnalité

peut être exprimé sous forme d’un quotient. On peut effectuer des reconnaissances de

tableau de proportionnalité qui nécessiteront des connaissances sur les quotients (égalité de

deux quotients…)

Ce thème permet notamment de faire ressortir les fractions, la notion de quotient dans un

autre cadre, comme un outil utile dans la découverte de nouvelles notions.

On voit bien sur cet exemple que l’on reste sur la même problématique, abordable pour tous

les élèves (niveau « Socle » - nécessaire pour tous) pour ensuite l’enrichir progressivement

146

(« hors Socle » – ambition pour tous) au cours de l’année tout en faisant les liens avec les

autres thèmes du programme.

En s’aidant de ces quelques principes, on peut alors commencer à bâtir une progression

spiralée sur l’année, qui s’affinera au fil du temps et de l’expérience.

Elle nécessite notamment une réflexion approfondie des programmes du niveau en question

mais également des autres niveaux afin d’avoir une vue d’ensemble, d’expert, permettant de

faire les liens possibles entre tous les thèmes.

Une progression spiralée se fait aussi « au quotidien », par petites touches, soit pour préparer

des apprentissages (évaluation diagnostique), soit entretenir et/ou enrichir une notion.

Plusieurs pistes sont envisageables :

Proposer des devoirs à la maison, des QCM préparant un apprentissage et revenant sur

des notions des classes antérieures.

Proposer des tâches complexes mobilisant uniquement des savoir-faire que les élèves

sont sensés connaître (ce qui permet de ne plus faire « des révisions » car ces tâches

complexes mettent en jeu des attitudes et ne sont pas de simples rappels)

Proposer des « apprentissages parallèles » (H. Staïner31) durant une séquence :

Une séquence peut être basée sur un thème central (Théorème de Thalès…).

Mais nous pouvons proposer en thème parallèle, des tâches techniques rapides (10-15

minutes) permettant :

de préparer une nouvelle notion : on peut identifier tous les savoir-faire nécessaires

pour la nouvelle notion (prérequis) puis proposer des exercices courts et simples en

apprentissage parallèle en amont de la séquence introduisant cette notion (voir exemple

sur les vitesses moyennes). Cela permet de ne plus faire « un chapitre de révisions » avant

de commencer la séquence. Les élèves peuvent le voir plutôt comme « une pause » dans

la séquence qui est travaillée.

L’institutionnalisation pourra se faire plus tard. Les séances seront axées sur la compréhension et l’automatisation du savoir-faire.

d’entretenir et éventuellement d’enrichir un savoir-faire déjà étudié.

31 « Des maths ensembles et pour chacun », H. Staïner et JP. Rouquès.

147

Quelques exemples illustrant ces pistes :

Exemple du calcul littéral en 4ème :

Rappelons les connaissances et capacités liées au programme de 4ème concernant le calcul

littéral (extraits).

148

Le passage du calcul numérique au calcul littéral est un obstacle pour les collégiens.

Il convient de l’aborder de manière progressive, en partant des représentations des élèves et

de revenir par petites touches sur les notions enseignées tout en les enrichissant.

1ère phase : Savoir-faire de 5ème

Dès le début de l’année, lors de la séquence « Apprentissage de la démonstration », le

professeur a donné en thème parallèle un exercice de niveau 5ème : développer 4(x-3) .

Cet exercice a servi d’évaluation diagnostique, cela a permis un rappel sur la distributivité « en

situation » sans pour autant refaire un cours !

Tout au long de la séquence (2 semaines), le professeur en a profité pour proposer des petits

exercices simples (développer, factoriser…) sur ce thème parallèle (10-15 minutes maxi).

Il en a également profité pour faire le lien avec la séquence d’initiation à la démonstration

(propriété Si…Alors dans un cadre numérique).

SI l’expression est :

Une somme

Dont les deux termes sont des produits

Ayant un facteur commun

ALORS on peut factoriser l’expression.

2ème phase : Enrichissement des savoir-faire de 5ème – Produire une expression, donner du

sens au calcul littéral, calculer la valeur d’une expression littérale.

Plus tard dans l’année, le professeur a proposé la tâche complexe que l’on retrouve dans le

document ressource sur le Socle Commun : trouver le nombre total de petits carrés suivant le

nombre de carrés sur un côté. Cela a été l’occasion de produire des expressions littérales

permettant de généraliser des raisonnements, des calculs qui se répètent. Cela a permis de

donner du sens à ces calculs et de revenir sur la distributivité pour prouver l’égalité de

formules. Le professeur en a profité pour initier les élèves au tableur ainsi qu’aux programmes

de calcul et à la résolution d’équations (sans pour autant l’évoquer) par des méthodes non

expertes (arithmétiques, essais-erreurs, tableur…). Il est revenu aussi sur la capacité du Socle :

« Calculer la valeur d’une expression littérale en donnant aux variables des valeurs

numériques »

3ème phase : Réduire une expression littérale avec ou sans parenthèse.

Cette séquence a permis de revenir une nouvelle fois sur la règle de distributivité pour justifier

la règle des signes ou pour réduire une expression (factorisation).

Remarque : les thèmes parallèles prennent ici tout leur sens dans la préparation des

apprentissages.

Ils donnent également du sens à la notion de progression spiralée car les élèves revoient ainsi

des notions des classes antérieures puis les enrichissent dans divers domaines, dans divers

chapitres. Les élèves (mais aussi les parents !) peuvent d’ailleurs être perturbés au départ par

ce type de progression (Phase de déséquilibre – J. Piaget) surtout s’ils avaient l’habitude de

procéder par « chapitres ».

149

Car ici plusieurs choses peuvent être faites simultanément et peuvent même s’entrecroiser.

Il convient alors de bien expliquer aux élèves l’intérêt d’une progression spiralée mais aussi de

rassurer les parents sur ce type de mise en œuvre pas forcément développée par tous les

professeurs.

Il peut être également utile d’aider les élèves à bien s’organiser dans leur cahier notamment :

En leur donnant la progression sur l’année

En indiquant toujours quel thème est travaillé : thème central ou thème parallèle.

Intermède : le professeur a proposé quelques temps après la 1ère tâche complexe « somme des

3 entiers consécutifs – Cf. Expérimentations au collège de Cambuston» permettant de

mobiliser tous les savoir-faire vus précédemment.

4ème phase : double-distributivité.

Utilisation de la règle de distributivité. Développements plus complexes permettant de

réactiver les savoir-faire sur les gestions des parenthèses.

5ème phase : mise en équation de problème. Retour sur les programmes de calculs et les méthodes « non expertes » vues en cours d’années. Activités montrant l’insuffisance de ces méthodes (Activités « Alice et Bertrand » - Expérimentations Collège de Cambuston). Remarque :

Après chaque phase, le professeur a souvent de nouveau utilisé l’apprentissage parallèle

pour entretenir les notions par petites touches (toujours spiralées).

Dans une séquence basée sur les triangles inscrits, les élèves pouvaient avoir en début

d’heure : réduire l’expression A = (x-3) – (4x+5) + (2-5x) ».

Ce sont des exercices techniques, rapides, qui permettent aux élèves :

Soit de mieux comprendre la notion si ce n’était pas le cas. On donne ainsi la chance

et le temps aux élèves d’à nouveau comprendre.

Soit de s’entraîner pour ceux qui avaient déjà compris, de se « rafraîchir » la

mémoire. Le fait que cela soit « détaché » de la séquence initiale, proposé dans une

autre séquence faisant intervenir d’autres raisonnements oblige les élèves à avoir

une vision plus large. On les aide à apprendre leur cours et à développer ces

automatismes.

Lors de la séquence sur les calculs de volumes, les élèves avaient à effectuer des produits. Le professeur leur a interdit l’utilisation de la calculatrice. Cela a été l’occasion de rappeler de nouveau les règles de distributivité permettant de faire des calculs mentaux et ainsi d’utiliser cette règle dans un autre cadre.

150

Exemple sur les fractions, notion de quotient : création d’automatismes

Rappelons le programme de 6ème.

L’écriture fractionnaire prend une place importante au collège. L’élève ne doit plus voir cette

écriture comme un calcul mais comme un nombre avec la notion de quotient, ce qui constitue

un obstacle au collège car l’élève doit accepter le fait qu’un nombre n’est pas forcément

représenté par une suite de chiffres, qu’il peut n’avoir qu’une écriture décimale approchée.

Cette notion de quotient a des applications essentielles dans de nombreux problèmes,

notamment pour la proportionnalité, les grandeurs quotients…

Afin que cette notion devienne un outil efficace pour ces problèmes, elle doit devenir

progressivement un automatisme pour l’élève.

Voici un exemple de progression spiralée autour du quotient basé sur les apprentissages

parallèles qui a permis à des élèves d’une classe de 5ème d’automatiser cette notion de

quotient.

151

1ère phase : Calcul mental et division – Notion de quotient

Activité basée sur l’oral : On demande aux élèves de faire plusieurs divisions simples

permettant de réactiver les tables de multiplication. On demande à chaque fois quelle est la

question qu’ils se posent pour donner le résultat.

Exemple : Pour obtenir le résultat de 27 3 on se pose la question « dans 27, combien de fois

3, ou encore 3 fois combien égale 27 ? Ce qui se traduit par 3 ? = 27 (multiplication à trou)

On en travaille plusieurs dans le sens : divisions multiplications à trou.

Ensuite on travaille dans l’autre sens : multiplications à trou divisions en changeant les

variables didactiques :

1) Quel est le nombre tel que 9 ? = 81 ?

2) Quel est le nombre tel que 2 ? = 5 ?

3) Quel est le nombre tel que 0 ? = 3 ?

4) Quel est le nombre tel que 3 ? = 2 ?

Les questions 1) et 2) sont faciles à trouver et permettent de déterminer des nombres entiers

ou décimaux. Les élèves feront le lien avec la division.

Ils verront aussi par la question 3) que l’on ne peut pas diviser par 0.

Pour la question 4), certains élèves pensent que cela est impossible car ils croient que la

multiplication agrandit toujours.

Le caractère générique de ces exemples fait que beaucoup d’élèves proposent la solution

2 3. Mais pour eux, bien sûr, cela ne leur suffit pas, ils doivent donner une écriture décimale

de 2 3 (qui représente une opération pour eux). Il est alors intéressant de les laisser utiliser

la calculatrice. Commence alors une réflexion sur les résultats affichés par une calculatrice

(développer les capacités d’interprétation).

Suivant la calculatrice utilisée, on peut avoir : 0,66666 (pas le même nombre de chiffres

suivant la calculatrice !) ; 0,6666667 ; ou encore 2/3 (avec les nouvelles calculatrices proche du

calcul formel). Il est très intéressant d’instaurer un débat et de faire réfléchir sur ces différents

types de résultats.

Tout d’abord, certains élèves développent leur capacité de contrôle : ils vérifient la

multiplication à trou avec le nombre affiché par la calculatrice pour s’apercevoir que cela ne

marche pas ! Cela permet d’avoir un regard critique sur la calculatrice qui ne donne pas

forcément la réponse. On trouve souvent un élève qui évoque ensuite la notion d’arrondi.

Il est temps ensuite d’accompagner les élèves en leur donnant la solution : le nombre cherché

est 2/3 appelé quotient de 2 par 3 (qui justifie le résultat affiché par certaine calculatrice). On

introduit ainsi une nouvelle écriture d’un nombre. La justification peut se faire notamment par

le biais d’une droite graduée (3

).

152

Cette activité permet notamment d’utiliser la calculatrice afin de développer des capacités de

contrôle et d’interprétation. Elle permet aux élèves d’avoir un esprit critique sur les résultats

affichés par la calculatrice. Elle peut être traitée à tout moment, sans forcément l’intégrer dans

un « chapitre ». L’institutionnalisation pourra se faire que bien plus tard.

Ces capacités peuvent être développées à la calculatrice lors de la découverte de nouveaux

nombres : le nombre Pi, les racines carrées… où l’on retrouvera le même genre de problème.

2ème phase : Automatisme et enrichissement.

Par le biais des apprentissages parallèles, le professeur peut à tout moment reposer les

questions permettant de travailler le sens : multiplication à trou quotient.

L’avantage est que cela ne prend ensuite que très peu de temps et permet aux élèves de

mieux appréhender la notion de quotient. Progressivement, cette notion va s’automatiser.

Le professeur peut aider à cette automatisation en créant des images mentales aux élèves :

« 9 ? = 17 : Réflexe : ? est le quotient de 17 par 9 : 17/9 ».

Attention, il faut toujours être vigilant sur le fait que les réflexes ne perdent pas totalement de

leur sens en proposant toujours des contre-exemples : 9 + ? = 17 ».

La notion de quotient va ensuite s’enrichir lorsque l’on va l’utiliser comme outil dans la

résolution de problèmes, par exemple en proportionnalité ou pour le calcul de grandeurs

quotients... Notamment pour justifier que le coefficient de proportionnalité s’obtient en

divisant le nombre de la 2ème ligne par celui de la 1ère ligne. Les élèves ayant automatisé la

notion de quotient ne présentent aucune difficulté à comprendre cette propriété. On la

retrouve aussi lorsque l’on reparle des fractions, d’égalité de quotients…

Apprentissage parallèle et préparation des apprentissages : exemple de la vitesse

moyenne.

En 4ème, la notion de vitesse moyenne est introduite. Les prérequis « techniques » pour les

calculs liés à cette notion sont les conversions de durée, les calculs de durées ou d’horaires.

Les élèves seront amenés à convertir un nombre décimal d’heures en nombre sexagésimal

d’heures et vice-versa… Au lieu d’effectuer tous ses prérequis lors d’une séquence liée à la

vitesse moyenne, le professeur peut effectuer ces prérequis par petites touches en

apprentissage parallèle le long de plusieurs séquences en amont.

Il peut également effectuer une tâche complexe, un devoir à la maison (calculs d’horaires en

utilisant des horaires de bus…) utilisant ses prérequis afin de développer également des

compétences liées à la compétence 3 (et donc pas que de la technique).

L’avantage est que cela permet d’aborder ensuite la séquence « vitesse moyenne » sans avoir

l’impression de commencer par faire des révisions.

On entre directement dans le vif du sujet et c’est l’occasion pour les élèves de réactiver de

nouveau cette technique qui prend sens dans l’enrichissement d’une nouvelle notion.

153

Apprentissage parallèle : fin des « chapitres révisions » et développement de

compétences – Pourcentage – Représentations de données en 5ème.

On peut décider de ne pas faire de chapitre sur ces thèmes en 5ème.

Tout sera traité en fil rouge par le biais d’apprentissages parallèles ou de devoirs à la maison :

les élèves ont des ressources internes (vécu, culture…) et externes (documents, internet…)

qu’ils peuvent exploiter (initiative) en devoirs à la maison.

Dès le début de l’année, des sondages peuvent être l’occasion de calculer des pourcentages.

Cela se fait très rapidement et dans n’importe quelle séquence.

Exemple : « Pourcentage d’élèves ayant réussi cette question ? ».

On peut ainsi entretenir ce savoir-faire très régulièrement afin que cela devienne un

automatisme.

On peut également revenir sur le savoir-faire « appliquer un taux de pourcentage » au Socle de

6ème.

Ensuite, il peut être intéressant, après avoir revu plusieurs savoir-faire « techniques » de voir si

les élèves sont capables de les mobiliser dans une tâche complexe.

Cela permettra d’évaluer ainsi des compétences du Socle Commun et de les former ainsi au

quotidien au prochain DNB (2013).

http://www.education.gouv.fr/pid25535/bulletin_officiel.html?cid_bo=59427

On travaille ainsi la dialectique « sens et technique ».

En exemple ci-dessous, un exercice de devoir surveillé donné aux élèves après avoir procédé

aux apprentissages parallèles travaillant les savoir-faire prérequis :

154

On peut procéder de la même manière pour des savoir-faire déjà vus par les élèves.

L’avantage est que l’on ne fait pas de « chapitre révisions », cela peut être fait à tout moment.

Cela ne prend pas trop de temps et peut être effectué en continuant le programme, la

progression annuelle. La tâche complexe permet ensuite d’évaluer et de développer des

compétences du Socle Commun.

Conclusion

Nous pouvons voir que l’apprentissage parallèle, au travers de ces exemples, est un outil

puissant et efficace dans le cadre d’une progression spiralée.

Il permet d’éviter de faire des révisions : il suffit d’identifier les prérequis techniques

et de les effectuer en apprentissage parallèle en amont.

Il permet de revenir par petites touches, à tout moment, régulièrement sur des

techniques, savoirs. En cela, il favorise le développement des automatismes.

Il donne du sens aux techniques enseignées car si la progression est bien pensée, ces

techniques vont être utilisées dans la découverte d’un nouveau savoir ou vont être

utilisées dans la résolution de problèmes (tâche complexes…). Elles vont être

également vues dans divers cadres et registres.

Cet apprentissage parallèle fait office également d’évaluation diagnostique et permet

de repérer rapidement les difficultés des élèves. Après avoir repéré ces élèves,

l’apprentissage parallèle pourra servir comme outil de remédiation : il suffira

d’interroger en plénière ces élèves (afin que tout le monde puisse en profiter).

(différenciation de la remédiation par l’oral).

155

2. Phase de prise en main des outils numériques

Afin de pouvoir résoudre de manière autonome les tâches complexes proposées, les élèves

doivent être capables d’utiliser les logiciels. Ils doivent donc acquérir des savoir-faire liés au

logiciel utilisé.

Attention, il ne s’agit pas de faire un cours d’informatique aux élèves !

Ces savoir-faire doivent être au service d’une activité mathématique, notamment lors de la

résolution de problème.

Cette phase de prise en main des logiciels doit être intégrée dans une progression

spiralée.

Les fonctionnalités sont introduites progressivement. Elles doivent être ensuite réactivées

et entretenues quotidiennement dans le cours par des exercices à la maison, devoirs

maison, devoirs surveillés… Elles permettent également de former l’élève au

quotidien à l’intelligence de calcul sur des petits exercices routiniers (voir exemples

ci-dessous)

Il n’est donc pas nécessaire d’aller en salle informatique pour initier les élèves à un

logiciel. Une simple démonstration du professeur avec quelques élèves essayant le logiciel

peut servir de point de départ, ce qui permet la validation de quelques items du B2i.

a. Calculatrice

- Savoir-faire liés à la calculatrice utiles à l’accomplissement des tâches complexes en

autonomie :

Les élèves doivent connaître les opérations usuelles sur la calculatrice (les 4 opérations, carré

d’un nombre…).

Ils doivent également avoir un esprit critique sur les résultats obtenus (différence entre valeur

exacte et approchée, réflexion sur les divers nombres vus au collège, écriture d’un quotient et

nécessité des parenthèses…).

- Activités mises en place

Activité sur la notion de quotient : « Trouver le nombre manquant tel que 3 … = 1 »

Réflexion sur la valeur approchée et la valeur exacte, ainsi que sur l’écriture exacte du

nombre

…. (Voir annexe III. 1))

Activités sur les règles de priorités : « Ecriture de quotients

à la calculatrice »

Etc…..

156

b. Tableur

- Savoir-faire liés au tableur utiles à l’accomplissement des tâches complexes en

autonomie :

Les élèves doivent utiliser un tableur, en connaitre les principales fonctions :

Créer une feuille de calcul, insérer une formule, utiliser des fonctions32, effectuer des

représentations graphiques…

- Activités mises en place

Les élèves sont initiés rapidement aux programmes de calcul (effectuer des programmes de

calcul, établir des conjectures, trouver le nombre « au départ »…).

C’est l’occasion d’introduire le tableur (insérer des formules) pour faciliter des calculs répétitifs

(bon outil pour garder trace de tous ses essais sans papier-crayon, en pouvant changer

directement les résultats en agissant sur les cellules).

Certaines narrations de recherche (comme « les poules et les lapins »33, également celles

faisant intervenir du dénombrement : nombres de diagonales d’un polygone convexe…) faites

en devoir à la maison peuvent également inciter à introduire le tableur.

Les statistiques (calculs de moyennes…) permettent l’introduction des fonctions et les savoir-

faire liés aux représentations graphiques.

Quelques exemples d’activités :

En 5ème :

32 On peut en montrer que quelques fonctions. Le but est que les élèves ensuite se « débrouillent seuls » pour en chercher d’autres qui pourrait leur être utiles. On développe ainsi l’initiative des élèves. 33 Les narrations de recherche – IREM de Montpellier - Freddy Bonafé, Arlette Chevalier, Marie-Claire Combes, Mireille Sauter et al.

157

En 4ème :

158

Exemples de narrations de recherche permettant d’introduire ou de réinvestir le tableur :

159

c. Logiciels de calcul formel : Xcas, WxMaxima

- Savoir-faire liés à ces logiciels de calcul formel utiles à l’accomplissement des tâches

complexes en autonomie :

Les élèves doivent connaître les fonctions de base : développer, factoriser, simplifier, écrire un

calcul…

- Activités mises en place :

Les fonctions de base sont introduites en classe entière dès le début de l’année. Les élèves

utiliseront ici le logiciel comme outil de vérification.

Cela n’empêche pas pour autant de travailler l’intelligence de calcul par petites touches avec

les élèves comme le montre les exemples ci-dessous.

La prise en main se fera ensuite par le biais de travaux à la maison et de manière régulière et

quotidienne dans les cours.

Exemple 1 :

Suivant le logiciel utilisé, les réponses ne sont pas les mêmes et peuvent porter à réflexion :

Lors de la correction d’un exercice, le professeur a utilisé le logiciel Xcas pour

développer l’expression : A = (4x-3)(2-5x).

Pour évaluer leur capacité d’anticipation et vérifier si les élèves comprenaient la notion de

développer/factoriser, il leur a ensuite demandé de deviner ce qui allait se passer avec Xcas

lors de la factorisation de l’expression -20x² + 23x – 6.

Les élèves ont ensuite dû expliquer et interpréter (capacité d’interprétation) le résultat donné

par Xcas.

Cela a permis notamment de revenir sur des propriétés liées au calcul littéral (-(5x-2)=2-5x) et

au produit (commutativité) puis d’expliquer pourquoi Xcas faisait cela (ordonner les termes

d’une somme algébrique).

On retravaille ainsi les savoir-faire liés au calcul en interprétant des résultats d’un logiciel.

160

Exemple 2 :

Les élèves avaient à faire ces deux calculs (Ligne 23 et 24) à la main.

Xcas a ensuite servi d’outil de vérification mais a également servi de support pour développer

l’intelligence de calcul.

Le premier exemple (Ligne 23) a permis de comprendre pourquoi dans les exercices on parle

de développer et de réduire.

Ici, les élèves ont rapidement compris que Xcas développait sans pour autant réduire

l’expression.

Dans le 2ème exemple (lignes 24 et 25), nous retrouvons la même idée. Une réflexion a été

portée sur la fonction « simplifier » qui finalement fait deux actions ici : développer et réduire.

Une autre réflexion intéressante a été de demander aux élèves :

« Xcas a utilisé quelle identité remarquable ? ».

Les questions du professeur ont amené aux réflexions suivantes sur les savoir-faire liés au

calcul littéral :

En observant (-3x)² : on suppose que Xcas utilise la 1ère identité remarquable en pensant 5-3x

comme une somme 5 + (-3x).

Ensuite le -30x suppose que Xcas utilise l’écriture simplifiée au lieu d’écrire :

(-3x)² + (-30x) + 25.

Pour conclure, le professeur a développé puis simplifié (a-b)² pour voir ce que Xcas faisait pour

la 2ème identité remarquable (lignes 26 et 27). Cela a permis (ligne 26), en comparant le résultat

de la ligne 24, d’évoquer le fait que l’ordre des termes ne compte pas dans une somme.

Là encore, on retravaille ainsi des savoir-faire liés au calcul en interprétant des résultats d’un logiciel.

De plus, les élèves prennent conscience qu’il faut réfléchir aux résultats d’un logiciel, qu’il a été programmé par l’homme et que certaines « propriétés implicites liées au

logiciel » ont été implémentées.

161

Exemple 3 :

On peut également proposer aux élèves ce genre d’exercice en approfondissement :

Avec Xcas : développer, simplifier l’expression (

.

1) Avec la fonction « développer », obtient-on le même résultat qu’avec papier crayon ?

Ces deux expressions sont-elles égales ? Prouvez-le. 2) Que fait la fonction « simplifier » ? Obtient-on le même résultat qu’avec papier crayon ?

Ces deux expressions sont-elles égales ? Prouvez-le.

Une telle activité permettra de réfléchir sur l’action de la fonction « simplifier » qui

ne simplifie pas forcément toujours. Xcas ne simplifie pas 6x/2 mais écrit ici l’expression sous

forme fractionnaire.

Elle permettra également de retravailler des savoir-faire liés au calcul littéral mais aussi au calcul numérique (fractions…).

162

Annexe IV : Réflexions sur la remédiation

Une fois que l’on a donné du sens aux techniques enseignées au travers des tâches complexes, on ne

peut bien sûr prétendre que tous les élèves sauront appliquer ces savoir-faire de manière

automatiques. Il convient de les entraîner de manière régulière et même de procéder à de la

remédiation pour des élèves en difficulté.

Ci-dessous quelques pistes dans le cadre d’une remédiation :

Evaluation diagnostique : si l’on a bien formé les élèves à la narration de recherche, le

statut de l’erreur aura changé pour les élèves. Aussi, ils seront tentés de laisser des

traces des « écrits intermédiaires ». Cela constitue une véritable évaluation

diagnostique pour le professeur. Cette évaluation diagnostique peut également se

faire par le biais de QCM, devoirs à la maison… On peut aussi évaluer rapidement les

élèves, à l’oral sous forme de sondages sur un thème donné.

Après avoir identifié les élèves en difficulté, nous pouvons mettre en œuvre une

pédagogie différenciée :

o Oralement : toutes les occasions sont bonnes dans une séance pour interroger

l’élève en difficulté. Lui permettre de verbaliser, d’aller corriger au tableau

l’exercice l’aidera nécessairement dans la compréhension tout en permettant

aux autres de participer. Le professeur pourra à juste titre évaluer

positivement, à l’oral, la réussite de cet élève en difficulté afin de le motiver.

Pour beaucoup d’élèves (mais pas forcément tous…), valoriser leurs réussites

leur permet de retrouver goût à la matière et de se remettre au travail.

o A l’écrit : il est facile pour un expert comme le professeur d’identifier les

points où l’élève est en difficulté. Aussi, il peut mettre en œuvre un suivi

personnalisé avec l’élève une fois qu’il a identifié avec lui ses points faibles.

Par exemple, le professeur, lors d’une correction d’un devoir surveillé (ou

autre…) peut décider de ne pas donner toutes les étapes des exercices. Il peut

ensuite demander aux élèves de refaire la correction détaillée avec comme

récompense des points de bonus. Le but est que le devoir surveillé et la note

ne soient pas une fin en soi mais constituent une nouvelle chance donnée à

l’élève de se rattraper et de progresser. On peut également procéder à un

travail de groupe où chaque membre du groupe hétérogène va participer à la

correction du devoir. Le professeur en tant que membre ressource aiderait les

élèves. A la fin, il ramasserait les copies et pourrait attribuer des points de

bonus aux copies bien corrigées.

163

o A la maison : on peut toujours donner des exercices, des devoirs à la maison

techniques, des exerciseurs (Mathenpoche…) en temps libre. Mais avant tout

ça, il est nécessaire de rendre l’élève autonome, conscient de ses difficultés et

de l’intérêt de travailler, ce qui n’est pas chose facile….

o En PPRE ou AP : l’accompagnement personnalisé peut prendre tout sens si

l’élève est vraiment accompagné dans cette démarche par le professeur. Il est

fondamental que le professeur, en tant qu’expert, si ce n’est pas lui qui fait cet

accompagnement, explique à l’encadrant les points fondamentaux sur lequel il

doit travailler avec l’élève. Un vrai travail d’équipe se crée alors au service de

la réussite de l’élève.

164

Annexe V : Documents d’accompagnement des scénarios du

Collège en 3ème

165

Tâche complexe : Petits calculs mais grande réflexion !

Nom : Prénom : Classe :

Noms des autres élèves qui ont collaboré pendant la phase de recherche :

Enoncé

Choisis deux nombres dont la différence est 40.

Calcule le produit de ces deux nombres.

Considérant tes deux nombres choisis, soustrais 2 au plus grand des deux, ajoute 2 au plus

petit des deux.

Calcule le produit des deux nouveaux nombres obtenus.

De combien ce produit a-t-il augmenté par rapport au produit initial ? Est-ce toujours le cas ?

SOCLE COMMUN Auto-évaluation

Degré d’acquisition

C1 : Analyser l’information. C2 : Calculer, réaliser, appliquer des consignes. C3 : Raisonner, déduire. C4 : Communiquer son résultat. D2 : Nombres et calculs TIC : Utilisation de calculatrices, de logiciels. Préciser lesquels : - - - I : Investissement

DA EA PA A DA EA PA A DA EA PA A DA EA PA A DA EA PA A DA EA PA A DA EA PA A

Rédaction individuelle de la solution :

166

Tâche complexe : Petits calculs mais grande réflexion !

Enoncé Choisis deux nombres dont la différence est 40.

Calcule le produit de ces deux nombres.

Considérant tes deux nombres choisis, soustrais 2 au plus grand des deux, ajoute 2 au plus petit des deux.

Calcule le produit des deux nouveaux nombres obtenus.

De combien ce produit a-t-il augmenté par rapport au produit initial ? Est-ce toujours le cas ?

Solution et commentaires

Première étape : phase de conjecture

Cette phase n’est pas indispensable si on est parfaitement à l’aise en calcul littéral mais elle est fortement

conseillée !

Il suffit d’appliquer les consignes avec deux nombres dont la différence est 40.

Par exemple, prenons 42 et 2.

Le produit initial vaut donc 42 2 84 .

On obtient alors les deux nouveaux nombres en faisant : 42 2 40 et 2 2 4 .

Le nouveau produit vaut 40 4 160 .

La différence avec le produit initial est ainsi de 160 84 76 .

D’autres exemples donnent le même résultat et permettent d’émettre la conjecture suivante : le produit des

deux nouveaux nombres augmente de 76 par rapport au produit initial.

L’utilisation du tableur permet l’étude rapide d’un grand nombre d’exemples et permet ainsi de

conforter la conjecture.

Seconde étape : démonstration à l’aide du calcul littéral

Soit x le plus petit nombre choisi au départ.

Les deux nombres initiaux ayant une différence de 40, le plus grand nombre choisi au départ est 40x .

Le produit initial correspond à l’expression littérale suivante :

2

40

40

40

I x x

I x x x

I x x

D’après l’énoncé, les deux nouveaux nombres sont 2x et 40 2 38x x .

Le produit final correspond à l’expression littérale suivante :

2

2

2 38

38 2 2 38

38 2 76

40 76

F x x

F x x x x

F x x x

F x x

La différence entre ces deux produits correspond à l’expression littérale suivante :

2 2

2 2

40 76 40

40 76 40

76

D F I

D x x x x

D x x x x

D

En conclusion, le produit a augmenté de 76 par rapport au produit initial.

Remarque

Avec le logiciel wxMaxima, on peut trouver une aide au calcul littéral grâce à la fonction expand.

Rappel : la fonction factor permet de factoriser une expression littérale, la fonction solve permet de résoudre une équation.

167

Tâche complexe : Des calculs surprenants.

Nom : Prénom : Classe :

Noms des autres élèves qui ont collaboré pendant la phase de recherche :

Enoncé

Sylvain et Stéphanie sont des passionnés de mathématiques.

Sylvain aime avant tout les nombres carrés ; Stéphanie, quant à elle, cherche à percer les

mystères des nombres premiers.

Jérémy, souhaitant leur faire plaisir, leur propose une série de calculs :

1 2 3 4 1 25

2 3 4 5 1 121

3 4 5 6 1 361

Quelles conjectures peuvent émettre les deux passionnés ?

Démontrer si celles-ci sont vraies ou fausses.

SOCLE COMMUN Auto-évaluation

Degré d’acquisition

C1 : Analyser l’information. C2 : Calculer, réaliser, appliquer des consignes. C3 : Raisonner, déduire. C4 : Communiquer son résultat. D2 : Nombres et calculs TIC : Utilisation de calculatrices, de logiciels. Préciser lesquels : - - - I : Investissement

DA EA PA A DA EA PA A DA EA PA A DA EA PA A DA EA PA A DA EA PA A DA EA PA A

Rédaction individuelle de la solution :

168

Tâche complexe : Des calculs surprenants.

Enoncé

Sylvain et Stéphanie sont des passionnés de mathématiques.

Sylvain aime avant tout les nombres carrés ; Stéphanie, quant à elle, cherche à percer les mystères des nombres premiers. Jérémy, souhaitant leur faire plaisir, leur propose une série de calculs :

1 2 3 4 1 25

2 3 4 5 1 121

3 4 5 6 1 361

Quelles conjectures peuvent émettre les deux passionnés ? Démontrer si celles-ci sont vraies ou fausses.

Solution et commentaires

Première étape : phase de conjecture

On remarque que 25, 121 et 361 sont les carrés des nombres 5, 11 et 19.

En étudiant un calcul similaire, on obtient :

4 5 6 7 1 841 et on remarque que 2841 29 .

Une première conjecture serait donc « lorsqu’on multiplie quatre entiers consécutifs et qu’on

ajoute 1, on obtient le carré d’un nombre ».

A la lecture des premiers calculs, on peut affiner la conjecture de deux manières différentes :

- Le nombre dont on obtient le carré s’obtient en multipliant les deux entiers consécutifs

situés au centre de la série des quatre entiers consécutifs et en soustrayant 1.

- Il semble que l’on obtienne le carré de nombres premiers.

L’utilisation du tableur permet l’étude rapide d’un grand nombre d’exemples et permet

ainsi de conforter ou pas les conjectures.

Le tableur permet en l’occurrence d’exhiber un contre-exemple qui montre que les carrés

obtenus ne sont pas de manière générale les carrés nombres premiers.

En effet : 26 7 8 9 1 3025 55 mais 55 n’est pas un nombre premier car il admet 4

diviseurs : 1, 5, 11 et 55.

Seconde étape : démonstration à l’aide du calcul littéral

Soit n le plus petit des quatre entiers consécutifs.

Il s’agit donc maintenant de démontrer que l’expression littérale

1 2 3 1E n n n n est le carré d’un nombre. Il suffirait donc de factoriser cette

expression.

L’utilisation de WxMaxima est impérative ici, vu la difficulté du calcul.

Grâce à la fonction factor, on obtient :

Le logiciel nous montre donc bien que lorsqu’on multiplie quatre entiers consécutifs et qu’on

ajoute 1, on obtient le carré d’un nombre.

169

A la main, on peut vérifier les calculs en développant séparément 1 2 3 1n n n n et

en trouvant la même forme développée, à savoir 4 3 26 11 6 1n n n n .

2 2

2 2

4 3 2 3 2

4 3 2

1 2 3 1

3 2 6 1

5 6 1

5 6 5 6 1

6 11 6 1

E n n n n

E n n n n n

E n n n n

E n n n n n n

E n n n n

22

2 2

4 3 2 3 2 2

4 3 2

3 1

3 1 3 1

3 3 9 3 3 1

6 11 6 1

F n n

F n n n n

F n n n n n n n n

F n n n n

Enfin, on vérifie la dernière partie de la conjecture en développant :

2

2

1 2 1

2 2 1

3 1

A n n

A n n n

A n n

Le nombre qui est élevé au carré s’obtient donc bien en multipliant les deux entiers

consécutifs centraux et en soustrayant 1.

170

A

D C

B

H

A'

B'

C'

D'

Tâche complexe : Le champ de Jean.

Nom : Prénom : Classe :

Noms des autres élèves qui ont collaboré pendant la phase de recherche :

Enoncé

Jean possède un champ rectangulaire qu’il souhaite diviser en 4 parcelles dont une parcelle

carrée.

Ainsi, il entreprendra des cultures diverses sur deux des parcelles et laissera les deux autres

parcelles (dont la parcelle carrée) en jachère.

Jean schématise la situation ci-dessous et hachure les deux parcelles qui seront en jachère.

Le champ est un rectangle ABCD tel que 50AB m et 26AD m.

Sur le schéma, les points A’, B’, C’ et D’ appartiennent respectivement aux segments [AB],

[BC], [CD] et [DA], de telle sorte que A’BB’H soit un carré et DC’HD’ soit un rectangle.

Jean peut-il placer le point H tel que l’aire de la surface en jachère soit égale à 578 m² ?

SOCLE COMMUN Auto-évaluation

Degré d’acquisition

C1 : Analyser l’information. C2 : Calculer, réaliser, appliquer des consignes. C3 : Raisonner, déduire. C4 : Communiquer son résultat. D2 : Nombres et calculs D3 : Géométrie D4 : Grandeurs et mesures TIC : Utilisation de calculatrices, de logiciels. Préciser lesquels : - - - I : Investissement

DA EA PA A DA EA PA A DA EA PA A DA EA PA A DA EA PA A DA EA PA A DA EA PA A DA EA PA A DA EA PA A

Rédaction individuelle de la solution :

171

A

D C

B

H

A'

B'

C'

D'

Tâche complexe : Le champ de Jean.

Enoncé

Jean possède un champ rectangulaire qu’il souhaite diviser en 4 parcelles dont une parcelle carrée.

Ainsi, il entreprendra des cultures diverses sur deux des parcelles et laissera les deux autres parcelles (dont la parcelle carrée) en jachère.

Jean schématise la situation ci-dessous et hachure les deux parcelles qui seront en jachère.

Le champ est un rectangle ABCD tel que 50AB m et 26AD m.

Sur le schéma, les points A’, B’, C’ et D’ appartiennent respectivement aux segments [AB], [BC], [CD] et [DA], de telle sorte que A’BB’H

soit un carré et DC’HD’ soit un rectangle.

Jean peut-il placer le point H tel que l’aire de la surface en jachère soit égale à 578 m² ?

Solution et commentaires

Première étape : mise en équation du problème

Soit x la longueur du côté du carré A’BB’H.

On a :

' '

' '

2

' '

' '

A BB H

A BB H

A BB H

c c

A B A B

x

et

' '

' '

' '

' '

50 26

DC HD

DC HD

DC HD

A L l

A D H D D

A x x

On obtient l’équation suivante :

2 50 26 578x x x .

Deuxième étape : résolution de l’équation

On développe le membre de gauche de l’équation et on obtient :

2

2 2

2

2

2

2

2

50 26 50 26 578

1300 50 26 578

2 76 1300 578 0

2 76 722 0

2 76 722 0

2 2

38 361 0

19 0

19 0

19

x x x x x

x x x x

x x

x x

x x

x x

x

x

x

172

Troisième étape : conclusion

Pour disposer d’une surface en jachère de 578 m², Jean doit placer le point H de telle sorte

que le carré A’BB’H ait 19 cm de côté.

Remarques :

Le logiciel Geoplan permet de conjecturer une solution.

Une fois le problème mis en équation, le tableur peut permettre de tester l’égalité

2 50 26 578x x x pour trouver une solution.

Le logiciel WxMaxima peut aider à la résolution, soit directement en utilisant la fonction

solve, soit pour des calculs intermédiaires avec les fonctions expand ou factor.