C. R. Acad. Sci. Paris, t. 325, SCrie I, p. 797-802, 1997

Physique math6matique/Mafhematical Physics

Propagation d’ondes hlectromag&tiques & basses frhquences

Habib AMMARI et Jean-Claude NkDIhEC

y. A. et J.-C. N. : Centre de Mathkmatiques AppliquGes, CNRS URA 756, Ecole Polytechnique, 9112X Palaisrau Cedex. France.

I H. -4. : Dipartrment d’ElrctromagnCtisme, Institut Royal de Technologie, S&de

E-mail : ammari@cmapx.polytechniyue.fr et nedelec@cmapx.polytechnique.fr

RCsumC. Nous construisons les asymptotiques par rapport B la -Fr&quence des champs Clectriques et magnktiques, solutions des tquations de Maxwell a coefficients variables 21 n’importe quel ordre et nous caractkisons complittement leur dkpendance par rapport B la topologie de I’objet.

Scattering of Maxwell’s equations in au inhomogeneous

medium at low frequencies

Abstract. A complete usymptotic andysis gf the low-frequency behavior of solutions to Max~~ell’s equations with variable co&icients is givers.

A bridged English Version

The scattering of electromagnetic waves from bounded objects whose dimensions are small compared with the length of the incident wave has been the subject of considerable study for more than a century. This problem is of interest in geophysics, astrophysics, electrical engineering physics of the atmosphere and ocean, medicine, biology, and other fields. Our basic aim in the present Note is to give a variational method for calculating higher-order terms in the asymptotics of the electric and magnetic fields solutions of Maxwell’s equations with variable coefficients and to show that these asymptotics strongly depend on the topological properties of the domains under consideration. We first formulate the scattering problem equivalently on a ball zj~ of radius R containing the inhomogeneity by making use of an adequate Dirichlet-Neumann operator on the sphere 5’~ = i3B~, called the electromagnetic operator. Then, the magnetic field, as well as the electromagnetic operator, are expanded in power series with respect to l.he frequency. Making use of some properties of the Hankel functions, we can show that in the asymptotic expansion of the electromagnetic operator with respect to the frequency, all the coefficients which are pseudodifferential operators are of order

Note p&et&e par Philippe G. CIARLET.

0764-4442/97/03250797 0 AcadCmie des SciencesMsevier. Paris 797

H. Ammari et J.-C. Nbdblec

less than the order of the electromagnetic operator. This result is an essential tool which will permit us to derive the appropriate boundary conditions satisfied by the higher order terms of the electric and magnetic fields on the sphere S R. These boundary conditions on the fictive surface SR together with a set of additional conditions if the boundary of the conducting body is non-simply connected, complete the reduction of the calculation of the higher-order terms in the asymptotic expansions of the electric and magnetic fields to canonical problems which are uniquely solvable. A variational proof of the convergence with these higher-order terms is given in Theorem 2.1. Let us note that in the addition of the difficulty coming from the asymptotic expansion of the electromagnetic operator, there is another that is due to a lack of coerciverness in the variational formulation. This difliculty is overcome by using a Hodge decomposition lemma.

1. Formulation du problhme

Soit 0 un ouvert borne rtgulier de I%’ et (1” le complementaire de 0’ dans R”. Considerons la propagation d’ondes Clectromagnetiques dans le milieu dielectrique 0’ isotrope caracterise par sa permittivite electrique E et sa permeabilite m.agnetique p. Les fonctions E et 1-1 sont complexes et veritient Re E > 0 et !Re I-L > 0. Nous supposons de plus que ces coefficients sont de classe C2 par morceaux et discontinus le long de surfaces regulieres, et nous notons ~0, ~10 respectivement la permittivite et la permeabilite du vide 52’. L’objet dielectrique Q2i contient un noyau parfaitement - conducteur W, de bord I. Soit fl le complCmentaire de R” dans R”. Nous supposons que le noyau parfaitement conducteur est connexe et nous notons N le premier nombre de Betti de son bard I. 11 existe alors N coupures de classe C”, disjointes, non-tangentes a I : Ci! . . , C,v telles que 0 \ 2 soit simplement connexe et lipschitzien, oti 2 = lJ:L, Ci. II est bien connu que l’espace vectoriel des champs de Neumann associes a I est de dimension IV et qu’il est engendre par les champs de vecteurs (grad qi)pL1, ou les qi sont solutions. dans IV’(O \ 2) des problemes aux limites suivants :

(1)

divpgrad q, = 0 dans R \ 2,

&,q, = 0 sur I’,

I [&lx, = iii,. ;; = l,... ,N.

( [,&f&., = 0: j = l)..., N,

ou l’espace IV1 (0 \ 2) est la fermeture des fonctions C’“(fl \ 2) a supports compacts pour la semi-norme 11 grad ( 1 LL, et S,, est le symbole de Rronecker. Notons n la normale sortante a I’, ur

la composante tangentielle du champ de vecteur u sur IY et R d = f12i \ W. Nous introduisons une boule de rayon R assez grand pour contenir la surface I et la zone @ oti les coefficients E et ,U varient, Nous notons Sx la sphere correspondante, BR la boule interieure a SR, EE la normale sortante a SR et llR = 12 rl Bn. Nous introduisons les operateurs differentiels du premier ordre suivants : divsR (la divergence surfacique), :rotSH (le rotationnel vectoriel surfacique), et gradSR (le gradient surfacique), et la forme (( .: .)) dlfinie par ((u, v)) = J,, rot u . rot u + J,, p u . v. Nous notons enfin les espaces :

H(rot: 0,) ={ u E (IJ2(C2~))3 ; rot u E (L’(fl,))“},

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Propagation d’ondes ClectromagtGtiques i basses fkquences

TH”(SR) ={ uE (H”(Sn))3;u. n=O . 1

TH”(div, SE) ={ u E TH”(Sn) ; divs, u E H”(Sn)},

Wdiv(Q2R) ={ u E H(rot: Q,) ; J pu. gradq = 0 RR

b’y E II’(Q

L’objet de cette Note est de construire l’asymptotique complkte B basses frkquences des champs Clectriques et magnktiques, solutions des kquations de Maxwell B coefficients variables E et p, et de dkmontrer leur dkpendance par rapport B la topologie du bord parfaitement conducteur r. Le cas d’un milieu homogkne a CtC CtudiC ti I’aide de la nkthode des Cquations intkgrales dans [2]. Cette Note complkte les rksultats dtmontrks dans [I], oti nous avons seulement consid& un objet diklectrique sans inclusion parfaitement conductrice.

2. Dkveloppements asymptotiques

Nous allons ktudier le comportement asymptotique des solutions E” et H” des Cquations de Maxwell :

(2)

(3)

rotE” = %wpH”, rot H” = -iw~ E” clans R,

EF = 0 sur I’:

(4) fi(H”-H:)r\12-&(E” - EF)) = 0.

oii (EF: H:) est une onde incidente plane. Soit I’opCrateur pseudo-diffkrentiel 6; dCfini par G:(l;r\Hl~~) = k:r\Ejs,, 04 E et H sent solutions

sortantes des kquations de Maxwell ?I l’extbieur de la boule BR. D’aprtts [ 11, nous avons le :

LEMME 2.1. - L’opPrateur Plectromagnktique $72 : TH-1/2(div! SR) + TH-‘l’(div, SR) admet le dbveloppement asymptotique suivant par rapport C? la frbquence w :

oii les ope’rateurs 6;) j 2 - 1, sont continus de TH- ‘I2 (div, SR) duns lui-mEme. De plus, nous czvons d’une part,

et d’autre part, 1 ‘opkrateur surfacique % divs, <7; rots, est l’ope’rateur de Dirichlet-Neumann SW la

sphPre SR associe’ d l’tfquation de Laplace scalaire duns W3 \ G.

En utilisant la de’composition de Hodge suivante, orthogonale au sens du produit ((.. .)) :

H(rot; a,) = Wdiv(OR) $ grad Hl(OR)/C, nous dkmontrons le :

LEMME 2.2. - La formulation variationnelle mixte suivante, dont les inconnues sont u” E Wdiv( 0,) et p” E H1(R~)/C :

(5)

Odw(Udj, U”) = W (g”; U{;R)! V Ut E H,,iY(flR)r

iLW(p”7pt) = i (g”,gradSRpt)! V pf E H’(CI,)/C,

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H. Ammari et J.-C. Nkdblec

0l.i

I

cY(u, u”) = /

1 -rot u . rot uf - (~1’

/ pu.uuf+iw g&bhl),(hhlt) A ji :

. RR E . Cl*: ( >

/ iY(pJ+) = - I’ pgradp gradI? + i Gz(jt A gradp), (k A gradI?) A j, :

* C1R >

g” = i ($(kAH~) -5iAE;).

est telle que H” = W’ + gradp” et E” = &rot H” sent solutions duns H(rot! 0,) x H(rot, a,) des bquations de Maxwell (2)-(4). De plus, le systtlme des Pquations variationnelles (5) admet une unique solution duns Wdir(OE) x H1(R~)/C.

Nous allons exploiter les rtsultats precedents et, en particulier, la formulation variationnelle (5) pour Ctudier la limite des champs E” et H” quand la frequence w tend vers zero. Afin de determiner les equations variationnelles limites, nous allons developper en fonction du petit parametre w la formulation (5). Le Lemme 2.1 nous permei d’ecrire :

a”(u, u”) = uO(u. u”) t- w ul(u, u”) + w2 2(u, u”) + . . . ,

fY(p,pt) = tiO(yJ?) + wiL1(p:pt)+W2iL2(p,pt)+~.~, ou la forme bilineaire UJ (resp. 6j) est continue sur Wdiv( fiB) x Wdiv(flR) (resp. H1 (s1~)/C x

H1(fld/C) et

~“,(?Au),(%Aut) A ii:

pgradp . gradpt + i GF(12 $4 gradp)! (2 A grad$) A ( 2 >

.

Nous posons a priori 1’Ansatz suivant :

{

u~=uo~~wul+w*u*~+ . ..>

p”=pqwpl+w*p*+... .

Le champ tangentiel g” admet le developpement asymptotique suivant :

g” = ig-l +g”+wg1+w2g2 f-..,

oti divs, g -l = divs go = 0. En reportant ces developpements dans la formulation (5), l’identification des term& en w donne :

U”(U3,Ut) = (gj-l,U~R)-nl(U’-l,Ut) -‘..-d(U”,Ut) VU+ E Wdiv(OR)r

~o(~-‘,$) = cgj+l ,gradSnpt) - iil(pjpl,yt) - ... - iLj(PO) p’) v pt E P(S2~)/C.

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Propagation d’ondes 6lectromagnCtiques A basses frequences

I1 est clair que la solution triviale est l’unique solution dans H1(RR)/C de l’equation variationnelle :

liO(p,pt) = 0 vpt E H1(S2Jg)/C.

Pour les inconnues uj, nous voyons apparaitre deux situations differentes, selon que l’espace vectoriel des champs de Neumann associes a r‘ est non vide ou reduit a zero. Nous avons le :

LEMME 2.3. - Les solutions duns kIdi” de l’kquation variationnelle :

CL"(UyUt) = 0 VU' E Wdiv(OR),

forment un espace vectoriel de dimension N dorzt une base est forme’e par (grad gi&, oti les & sont solutions dans H’(fl~ \ C) des problkmes aux limites suivants :

‘cliv pgrad q i = 0 clans 0~ \ 2;

&fji = 0 sur IT U Sn,

(

[(iilp3 = f&j, .j = l?...) N,

, [ ,ui),@i] c, = 0: .j = 1, . . , N.

Notons que les fonctions & different des fo:nctions qi definies par (1) et qui sont associees aux champs de Neumann par des fonctions dans Ii’(fl~~). Pour determiner les termes (u~)~>~ dans le developpement asymptotique de u”I, now avons besoin de N relations supplementaires. A-partir du

LEMME 2.4. - Nous avons l’identite’ :

I /LUW grad& = _ * RR

pour tout j allant de z&o jusqu’h N. Nous pouvons dtduire que J,, pu” grad ii, = 0, j = 0:. , . , N, et plus gt%ralement,

pui grad ij = - s

,ugrad pi grad. irj nR

+(G:,,(m radp”)+...+~;(k2.r\gradpi),(ji:Agradii,) A 2 >

:

pour tout i 2 1. Ceci permet de determiner d’une maniere unique les termes (u~)~>~. Enfin, l’analyse asymptotique des fonctions (u”>pw) dans H,i,(fl,) x H1(O&:)/(C lorsque w tend vers zero ci-dessus avec les proprietts de la formulation variationnelle (5), nous permet de demontrer le resultat principal de cette Note :

TH~OR~ME 2.1. - Soit J E h4. I1 existe wg > 0 tel clue pour tout 0 < w < wg,

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H. Ammari et J.-C. Nbdklec

oh C est une constante indbpendante de w et les champs (Ej, HJ) sont donnks par H-’ = uj + grad p”

et EJ = i/&rot Hj+’ pour j = 0,. . . , .I.

Note remise et acceptke le 28 juillet 1997.

R6Mrences bibliographiques

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