Proposition d'un formalisme comme support pour les études théoriques en systémique

Olivier MAURICE – Alain REINEIX

Olivier.maurice@gmail.com Alain.reineix@xlim.fr

De la simplicité à la complexité, construction en échelle Représenter le « réel » humainement perceptible

Faire évoluer un système de base en le transformant Identifier les évolutions, les domaines connexes

et échanger les informations Introduire une dimension de jeu

Perspectives

De la simplicité à la complexitéConstruction en échelle

Atomes - fonction d'onde – mécanique quantique

Structures rigides, matière

Minerais, roches, Terres

Gravitation

minéral

Molécules → cellules

Transmissions ioniques,hormones, gènes, ...

pensée

vivant

étoiles

supernova

Sociétés, écosystèmes

Pandémies, ...

Émergence d'unestructure de pensée*

Organisme intermédiaire ? Champignons ?

émergence

émergence

émergence

émergence

émergence

émergence

Finalement, l'univers est-il une structure vivante ?*la structure de pensée est ici une capacité à élaborer des mécanismes non seulement dépendants des forces fondamentales.

Qu'est-ce que le vivant ?

Reproduction Métabolisme (renouvellement des constituants) Auto-organisation (naissance, croissance, vieillesse, mort) Homéostasie – échanges avec l'extérieur pour maintenir dans un état identifié

Des entités peuvent présenter l'une ou l'autre de ces propriétés, mais la réunion de l'ensemble est une signature du vivant.

→ définition biologique claire.

Mais comment définir la pensée Mais comment définir la pensée (au sens entendu précédemment)(au sens entendu précédemment)??

Base formelle : résulte de l'activité neuronale, en partie « biochimiquement » matérielle et en partie issue d'interactions EM (dernières recherches : article S&V Juillet 2011).

Observables : la pensée n'est observable que par ses applications – paroles, actes etc.

La mémoire n'est pas la pensée, elle n'est que la reproduction virtuelle d'une réalité visuelle éventuellement transformée.

La pensée n'est pas un champ : on ne peut pas lui associer de loi, ni l'intégrer, etc.

La pensée n'est pas le rêve ou l'imagination qui en sont des concrétisations (même si elles paraissent très abstraites, on est déjà dans l'activité neuronale).

La pensée est ce qui pousse un individu, une communauté, dans un contexte - un environnement définis, à avoir tel comportement, telle stratégiestratégie.

De même que l'on peut définir différents types de champs, on peut définir différents types de stratégies d'un vivant :

Opportuniste De survie De conquêteEtc.

Stratégie Stratégie théorie des jeuxthéorie des jeux

L'environnement apporte des incitations et la stratégie est une réponse à ces incitationsQui conduit à un comportement dans cet environnement.

Représenter le réel humainement perceptible

A une échelle donnée, on perçoit des régions d'homogénéités dans l'espace.A ces régions on peut associer la notion de variétévariété. La variété est réductible à une branche dans un graphe.

Une variété

Une autre variété

Un graphe fait d'unagencement de variétés.

Chaque branche (variété) a ses propriétés intrinsèques. De l'accouplement, des déformations de ces branches naissent d'autres entités.

Les nœuds assurent les continuités entre variétés (notions topologiques de gluing, d'atlas, de cartes, etc.)

Le bord d'une branche est un nœud

Un ensemble fermé de branches forme une maille.

On a ici des variétés « à bords » où les champs (au sens large) sont confinés.

Moment rayonnant

Espace des branches – espace des nœuds

Espace des mailles

Espace des moments

Un réseau comportant B branches, N nœuds et M mailles a un « genre »: M=B-N+1

La réalité se représente sous la forme de graphes comportants plusieurs (de très nombreux) réseaux.

Variété sans bord

Les variétés sont orientées

L'orientation pointe la direction de déplacements de flux, de matière, de champ dans la variété.On peut donc associer aux branches, aux mailles, des grandeurs d'énergie : cinétique, potentielle, de dissipation, rayonnée...

Le graphe travaille sur des bilans de puissance, d'énergie. Il n'a donc pas besoin d'être en 3D. Les réductions de la réalité en graphes, sous les hypothèses adéquates sont rigoureuses.

Les cordes, également orientées entre réseaux séparés, représentent des interactions par champs non confinés (espace des moments).

corde

Dans le tenseur g qui contient toutes les propriétés des branches, les fonctions d'interactions des branches ont cette particularité d'être les seuls éléments extra-diagonaux.

A chaque branche orientée on peut associée un vecteur f et créer ainsi un espace vectoriel 'primal' des branches (énergies cinétiques et dissipatives).

On crée un espace dual des potentiels u (→ énergies potentielles).

Branche fondamentale et métrique de Kron

e

u

fg

Pour toute branche d'un réseau complexe, on peut écrire les relations déduites du bilan de circulation de la « branche de Kirchhoff » :

➢ Aux bornes de la propriété* g se développe une chute de potentiel :

➢ Le bilan des potentiels donne :

ΔV=g.f

e=u+ΔV → e−u=g.f

g est un opérateur, tenseur fondamental ou « métrique » dans l'espace des réseaux.

Lien avec Newton : F= ddtmv= d

dtf x→V= 1

mddtf ⇒ g= 1

mddt

(.)

* on entend par propriété la fonction, l'opérateur attaché à la branche, reliant flux et potentiels.

Invariant

Une représentation

Une autre Une troisième

Toujours une grenouille !

Le réseau a un caractère intrinsèque qui ne doit pas dépendre de la représentation → autant prendre la représentation la mieux adaptée à ce que l'on veut faire.

On peut même admettre que certaines propriétés n'apparaissent que sous certaines représentations → cela remet-il en cause l'invariance ?

Étudions l'espace des mailles de Kron ;regardons l'invariant en présence de cordes.

12

3

4

5

1

2

3 [1 0 00 1 01 −1 00 1 −10 0 1

] 1 2 3

1

2

3

4

5

C

Connectivité C :Un réseau connexe de genre 3 :

Faire évoluer un système de base en le transformant

L'espace naturel devient celui des flux de mailles → f a=C μa kμ

Appliquons la transformation à la branche de Kirchhoff :

ea−ua=gab fb→ ea−ua=g abC μ

b kμ

Multiplions à gauche par la transformation inverse :

Cαa ea−Cα

aua=Cαa gabC μ

b kμ

Or la somme du potentiel sur une maille est nulle (travail total nul). D'où :

Cαaua=0⇒e α=gαμ k

μ

L'invariance est conservée à une jauge u près.

L'invariant est la puissance que l'on peut toujours écrire : s=eα kα=gαμ k

μ k α

Imaginons maintenant une propriété qui n'est visible que dans l'espace des mailles, par exemple une corde entre deux mailles (elle ne peut pas exister dans l'espace sous-jacent puisque les mailles n'y existent pas).

On ajoute l'interaction de corde μ dans la métrique :

g→ g+μ

corde

1 2

μ21

g=[g11 00 g22

] μ=[ 0 −μ12

−μ21 0 ]g+μ=[ g11 −μ12

−μ21 g 22]

L'invariance est elle conservée ? Oui car dans l'espace où l'interaction n'existe pas, elle ne porte pas d'énergie. A iso-source exogène (hypothèse implicite) cette énergie va se répartir différemment en présence de cette interaction mais ne sera pas pour autant différente au global.

μ12

Imaginons des réseaux purement dissipatifs, de résistance 2R=α.

Cas sans couplage : s=α (k1 )2⇒ e1=α k1

Cas avec couplage : e1={(α−μ2

α )√1−μ2

α2 }k 1

L'invariance est conservée par le rééquilibrage des énergies. Dans une transformation, l'énergie apparaît différemment, sous diverses formes mais est conservée dans les modes établis (par exemple dans le cas précédent après réajustage de la fém totale induite).

Ce réajustage suppose que la variation de couplage influe sur l'environnement, en toute rigueur → notion de systémique.

Les transformations applicables aux réseaux sont très variées

Etc.Etc.

Identifier les évolutions, les domaines connexes et échanger les informations

Un système complexe caractérisé par les 4 propriétés du vivant (plus quelques autres qui en découlent), résulte forcément d'évolutions, de transformations apportées à des réseaux « primitifs » - briques fondamentales.

Un réseau ou un groupe de réseau (un sous-système) reconnu comme primitif peut être encerclé dans une jonction : opération « d'encapsulation ».

Entre chaque jonction s'opèrent des transformations du groupe.

Ces différents groupes de réseaux peuvent communiquer entre eux par des cordes, les jonctions communiquant entre elles par des tubes. L'espace des réseaux se retrouve encapsulé dans l'espace des jonctions.

Les tubes assurent les échanges d'une information de haut niveau.Les réseaux sont les supports physiques – les briques fondamentales.

Groupe primitif

Jonction

Transformation

Port communiquant en sortie

Tubes

Corde entre réseauxde jonctions #

liens

Corde dans un groupe

Espace des jonctions

Port communiquant en entrée

Espaces des jonctions et des réseaux connectés

Les sources e proviennent de composantes externes - « vecteur d'ondes en entrées p» par la connexion m

Les flux en sortie k résultent de l'application de la métrique inverse y dans l'espace des mailles

Ces flux sont connectés au vecteur d'onde en sortie q par la connexion n

Le vecteur d'onde en sortie est propagé par le propagateur gamma vers le vecteur d'onde en entrée

Au bout de N cycles :

eμ=mμa pa

kα= yαμ eμ= yαμmμ

a pa

qb=n αb k α=n α

b yαμmμa pa=ωba pa

pa=γab qb

pa(N +)=( γabωba )N pa et qb=ωba (γabωba )N pa

Le propagateur et la diffusion : technique des « gamma » matrices (Maurice - Reineix)

γ

qa=[0p1

000000

]A chaque application de la matrice de propagation, les quantités dans le vecteur d'onde se déplacent de ports en ports.La diffusion transporte les ondes dans les jonctions. Dans l'espace des réseaux la diffusion est la métrique.

Modélisations d'Alain REINEIX

L'espace du jeuL'espace du jeu

Espace physique des réseaux

Espace de la théorie des jeux en graphes

imag

e

Vecteur des probabilités en sortieVecteur des probabilités en entrée

Diffusion dans la jonction : probabilités des choix

Propagation =1

Le vecteur d'onde v de probabilités en entrée est diffusé par S

Le vecteur d'ondes de probabilités en sortie u est alors propagé par le propagateur Γ

Pour être rediffusé l'instant d'après

ub=S ab va

va+=Γ ba ub=Γ b

a S ab va

ub+=S ab va +=S a

b Γ ba S a

b vaEtc.Etc.

L'espérance de gain, produit des résultats physiques par le vecteur d'onde en sortie est l'observable pour analyser le comportement du système.

EG=hαb kαub

La matrice h est normalement l'identité, mais d'autres cas pourront être explorés.

Les résultats dans l'espace physique guide les valeurs des probabilités de choix et inversement, les choix peuvent guider les transformations opérées sur les réseaux.

En final, l'espérance de gain sur chaque sortie est

l'observable à partir de laquelle on analyse le comportement

du système complexe. Les deux équations d'échanges entre

les deux espaces sont :

{S=D (qb )T= f (EG (n))

Perspectives

Premières applications en compatibilité électromagnétique concluantes car :donnent accès à des analyses inaccessibles auparavant;ont été programmées et donc la faisabilité d'implémentation informatique est montrée.

Des applications originales sont ou seront explorées :écologie;psychologie, neurologie, ergonomie;chimie du vivantTEMPEST

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