Publications mathématiques de Besançonpmb.univ-fcomte.fr/2016/Gras.pdf · Publications mathématiques de Besançon –2016,25-44 SURLEMODULEDEBERTRANDIAS–PAYANDANSUNE p-EXTENSION–NOYAUDECAPITULATION

Publications matheacutematiques de BesanccedilonA l g egrave b r e e t t h eacute o r i e d e s n o m b r e s

Georges GrasSur le module de BertrandiasndashPayan dans une p-extension ndash Noyau decapitulation

2016 p 25-44

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Publications matheacutematiques de Besanccedilon ndash 2016 25-44

SUR LE MODULE DE BERTRANDIASndashPAYAN DANS UNEp-EXTENSION ndash NOYAU DE CAPITULATION

Georges Gras

Reacutesumeacute mdash Pour un corps de nombres K et un nombre premier p on deacutesigne par BPK lecomposeacute des p-extensions cycliques de K plongeables dans une p-extension cyclique de degreacutearbitrairement grand Lrsquoextension BPKK est p-ramifieacutee et extension finie du composeacute K des Zp-extensions de K Le groupe BPK = Gal(BPKK) est appeleacute le module de BertrandiasndashPayanNous eacutetudions lrsquoapplication transfert jLK BPK minusrarr BPL (comme morphisme de capitulationde classes drsquoideacuteaux) dans une p-extension LK Dans le cas cyclique de degreacute p nous prouvonsque jLK est injectif sauf si LK est kummerienne p-ramifieacutee non globalement cyclotomiquemais localement cyclotomique en p (theacuteoregraveme 31) Nous donnons une formule explicite (theacuteo-regraveme 52) pour | BPG

L | | BPK |minus1 et montrons de quelle faccedilon son inteacutegraliteacute deacutepend du groupede torsion TL du groupe de Galois de la pro-p-extension abeacutelienne p-ramifieacutee maximale de L enutilisant un logarithme p-adique convenable

Abstract mdash (On the BertrandiasndashPayan module in a p-extension ndash Capitulation kernel) Fora number field K and a prime number p we denote by BPK the compositum of the cyclicp-extensions of K which are embeddable into a cyclic p-extension of arbitrary large degreeThe extension BPKK is p-ramified and is a finite extension of the compositum K of the Zp-extensions of K The group BPK = Gal(BPKK) is called the BertrandiasndashPayan module Westudy the transfer map jLK BPK minusrarr BPL (as a capitulation morphism of ideal classes) in ap-extension LK In the cyclic case of degree p we prove that jLK is injective except if LKis kummerian p-ramified non globally cyclotomic but locally cyclotomic at p (Theorem 31)We give an explicit formula (Theorem 52) for | BPG

L | | BPK |minus1 and we show how its entiretydepends on the torsion group TL of the Galois group of the maximal abelian p-ramified pro-p-extension of L by using a suitable p-adic logarithm

Ce texte bien que personnel reacutesulte drsquoun travail en lien eacutetroit avec JeanndashFranccedilois Jaulent(Bordeaux) et Thong Nguyen Quang Do (Besanccedilon) Lrsquooriginaliteacute de la deacutemarche eacutetant quetrois techniques sont proposeacutees (une par auteur) pour aborder le mecircme sujet tout en deacuteve-loppant des conseacutequences et applications diffeacuterentes Ceci nous a sembleacute neacutecessaire dans lamesure ougrave toutes ces techniques sont issues de la theacuteorie du corps de classes mais ont eacuteteacute

Classification matheacutematique par sujets (2010) mdash 11R0411R11 11R16Mots clefs mdash Class field theory p-ramification BertrandiasndashPayan module capitulation of ideal classes transfer

map Kummer theory

26 Sur le module de BertrandiasndashPayan dans une p-extension ndash Noyau de capitulation

formaliseacutees diffeacuteremment (tant au plan des notions que des notations) selon les grands axesnaturels du corps de classes (classes drsquoideacuteaux et drsquoidegraveles corps de classes global p-adique etlogarithmique cohomologie galoisienne et theacuteorie drsquoIwasawa)Ainsi le lecteur est-il inviteacute agrave comparer ces meacutethodologies qui ont a priori le mecircme potentielde reacutesultats mais avec des avantages et inconveacutenients diffeacuterents selon le but rechercheacute (allantdu plus concret et numeacuterique au plus abstrait et conceptuel) cette multipliciteacute eacutetant souventagrave lrsquoorigine de difficulteacutes eacuteditoriales drsquoanteacuterioriteacute (voir un historique au sect 12)

Remerciements je remercie mes deux partenaires pour les nombreux eacutechanges constructifsque nous avons eus

1 Geacuteneacuteraliteacutes sur le module de BertrandiasndashPayan

11 Le scheacutema de la p-ramification abeacutelienne mdash En raison de la commoditeacute queconfegravere un livre on se reacutefegraverera le plus souvent agrave [Gr1] (2003) et notamment agrave lrsquoeacuteditionSpringer 2005 corrigeacutee et augmenteacutee bien que de nombreuses reacutefeacuterences soient chaque foisconcerneacutees et seraient agrave citer (elles le sont dans le livre)Soit K un corps de nombres et soit p un nombre premier On considegravere le scheacutema ci-apregraves([Gr1] sect III2 (c) Fig 22) au sens ordinaire de la notion de classes drsquoideacuteaux dans lequelK est le composeacute des Zp-extensions de K HK le p-corps de classes de Hilbert de K Hpr

K lapro-p-extension abeacutelienne p-ramifieacutee (ie non ramifieacutee en dehors de p) maximale de KPour un corps k quelconque de caracteacuteristique 6= p on deacutesigne par microk le groupe des racinesp-iegravemes de lrsquouniteacute de kOn deacutesigne par UK =

oplusv|p Uv le Zp-module des uniteacutes locales p-principales 1 pour K ougrave

chaque Uv est le groupe des uniteacutes v-principales du compleacuteteacute Kv de K en v | p par WK =torZp

=oplusv|p microKv

et par EK lrsquoadheacuterence dans UK de lrsquoimage diagonale du groupe desuniteacutes globales (p-principales) EK de K On suppose p gt 2On pose WK = WKiK(microK) sube torZp

)sube TK = torZp

(Gal(HprK K)) (inclusions

valables sous la conjecture de Leopoldt pour p dans K) ougrave iK est lrsquoinjection diagonale

C infinK

BKUKEK

HprKKHK BPKRK

HKKcapHK

1Drsquoune maniegravere geacuteneacuterale dans un groupe de nombres algeacutebriques les eacuteleacutements p-principaux sont ceux dontlrsquoimage reacutesiduelle est eacutegale agrave 1 en toute place v | p

Publications matheacutematiques de Besanccedilon ndash 2016

G Gras 27

12 Historique de la p-ramification Abeacutelienne mdash Le p-groupe de torsion TK joue unrocircle capital dans toutes les questions de type theacuteorie du corps de classes et plus preacutecisementde type theacuteorie de la p-ramification abeacutelienne dans la mesure ougrave il met en jeu de faccedilon subtilele p-groupe des classes C K et le reacutegulateur p-adique des uniteacutes RK sous la conjecture deLeopoldt il est lieacute au groupe de Galois GK de la pro-p-extension p-ramifieacutee (non complexifieacuteesi p = 2) maximale de K via une relation de dualiteacute de la forme T lowastK H2(GK Zp)Il a eacuteteacute longuement eacutetudieacute selon la chronologie approximative suivante [Kub] (1957) [Mi] (1978) [Gr2] (1982) [Gr3] (1983) [Ja1] (1983) [Ja2] (1984) [Gr4] (1985)[Gr5] (1986) [Ng1] (1986) [MoNg1] (1987) [He] (1988) [Ja3] (1990) [Th] (1993) [Ja4] (1998)[Seo1] (2011) [Seo2] (2013) [Seo3] (2013) [Gr6] (2014) [MoNg2] (2015) [Gr7] (2015) [Seo4](2015) [Seo5] (2015) [Seo6] (2015) [Gre] (2015) [HM2] (2016)Les sujets essentiels deacuteveloppeacutes dans ce cadre sont les suivants soit au niveau laquo fini raquo drsquouncorps de nombres soit dans le cadre laquo infini raquo de la theacuteorie drsquoIwasawa (i) deacutetermination du radical initial dans les Zp-extensions lorsque microK 6= 1 agrave savoir trouverles nombres α isin KtimesKtimesp tels que K( p

radicα) sub K sachant que α est tel que (α) = ap0 ap ougrave

a0 est un ideacuteal eacutetranger agrave p et ap un produit drsquoideacuteaux premiers au-dessus de p ([CK] [Gr4][He] [MoNg2] [Th] [JaM1] [Seo1] [Seo2]) (ii) eacutetude des notions de p-rationaliteacute et p-reacutegulariteacute la p-rationaliteacute de K eacutetant la nulliteacutede TK sous la conjecture de Leopoldt et la p-reacutegulariteacute celle du p-Sylow R2(K) du noyau(dans K2(K)) des symboles reacuteguliers ([Gr1] [Gr5] [GrJ][Ja4] [JaNg] [Mo] [MoNg1]) ainsique des cas particuliers de ces notions notamment pour p = 2 (travaux de J-F JaulentF SorianondashGafiuk O Sauzet) eacutegalement la notion de groupe des classes logarithmiquesintroduite et eacutetudieacutee par J-F Jaulent et dont la finitude est eacutequivalente agrave la conjecture deB H Gross ([Ja1] [Ja2] [Ja3] [Ja4] [Ja5] et une synthegravese partielle dans [Gr1] sect III7) (iii) geacuteneacuteralisations de la notion de p-tours de corps de classes et structure du groupe deGalois de la pro-p-extension maximale drsquoun corps de nombres (eg [JaS] [JaM1] [JaM2][Ha] [HM1] [Mai1] [Mai2] [Ng2] [Seo6] [HM2] et de nombreuses reacutefeacuterences depuis le livrede H Koch [Ko] sans parler des nombreux travaux ulteacuterieurs de N Boston et de bien drsquoautresmatheacutematiciens) (iv) obtention de reacutesultats numeacuteriques sur le radical initial sur le groupe TK et sur lastructure de Gal(KabK) ougrave Kab est la pro-p-extension abeacutelienne maximale de K ([Cha][He] [PV] [Th] [AS] [Gr6]) (v) analyse drsquoaspects conjecturaux lorsque p rarr infin (eg [Gr7] conjecturant la p-rationaliteacutede tout corps de nombres pour p assez grand) Reacutecemment la notion de p-rationaliteacute et sesproprieacuteteacutes ont eacuteteacute laquo redeacutecouvertes raquo par certains auteurs et ont acquis une importance nouvelleen vue drsquoautres conjectures dans le cadre des repreacutesentations Galoisiennes (cf [Gre]) ou dela notion drsquoinvariant micro drsquoIwasawa des pro-p groupes uniformes (cf [HM2])

Les techniques utiliseacutees dans ces travaux sont de nature laquo classes drsquoideacuteaux raquo ou bien denature laquo diviseurs raquo aux sens geacuteneacuteraliseacutes des infiniteacutesimaux deacuteveloppeacutes au deacutebut par G Graset J-F Jaulent et leurs eacutelegraveves ou encore de nature laquo cohomologie galoisienne et theacuteoriedrsquoIwasawa raquo deacuteveloppeacutee par T Nguyen Quang Do et ses eacutelegraveves puis reprises plus reacutecemmentau moyen drsquoautres points de vue de type cohomologique comme par exemple par S Seosouvent indeacutependamment des travaux preacuteceacutedents

Dans [JaPMB] [NgPMB] et lrsquoarticle preacutesent reacuteunis dans ce volume des PMB on trouverades compleacutements et mises au point agrave ce sujet au moyen de lrsquoeacutetude du module de BertrandiasndashPayan dans une p-extension de corps de nombres eacutetude qui se precircte bien agrave lrsquoutilisationsysteacutematique de ces techniques les trois auteurs ayant conscience que ces trois approchessimilaires ont pacircti jusqursquoici de lrsquoabsence de laquo table de concordance raquo deacutetailleacutee ce qui est sansdoute agrave lrsquoorigine des difficulteacutes drsquoanalyse et de comparaison des publications

13 Le module de BertrandiasndashPayan mdashOn sait que sous la conjecture de Leopoldtdans K (pour p 6= 2 en raison du laquo cas speacutecial raquo cf [AT] Ch X Theorem 1 ou[Gr1] sect II63)WK sube torZp

)fixe lrsquoextension BPK qui est la pro-p-extension maximale de K com-

poseacutee des p-extensions cycliques plongeables dans une p-extension cyclique de K de degreacutearbitrairement grand (cf eg [Gr1] Corollary III4158) le groupe

BPK = Gal(BPKK) TKWK qui est le groupe de torsion du groupe CK = Gal(BPKK) est appeleacute depuis [Ng1] le modulede BertrandiasndashPayan agrave la suite de lrsquoarticle [BP]

On a BPK = TK pour tout p assez grand car WK 6= 1 pour p gt 2 suppose que [Kv Qp] estmultiple de pminus 1 pour au moins une place v | p ce qui suppose [K Q] assez grand

Le corps BPK est aussi le composeacute des p-extensions cycliques de K localement plongeablesen toute place finie v dans une p-extension cyclique de Kv de degreacute arbitrairement grand(premiegravere preuve dans [AT] Ch X sect 3 cf [Gr1] remarque III4157 (ii)) Ceci est encoreeacutequivalent agrave la plongeabiliteacute locale dans une Zp-extension deKv pour toute place finie v pourcela on remarque que le p-groupe de torsion du groupe de Galois de la pro-p-extension Abeacute-lienne maximale deKv est isomorphe agrave microKv

on peut aussi se reporter au scheacutema fondamentalsuivant (cf [Gr1] sect III441) dans lequel toutes les extensions sont des pro-p-extensionsHmod

Keacutetant celle qui est modeacutereacutee maximale et ougrave Fv est le corps reacutesiduel en v les projections dansGal(Hpr

K K) de torZp(EK otimes Zp) = microK et de torZp

(UK) =oplusv|p microKv

conduisent au corollaireIII4153 de [Gr1] sur le relegravevement de WK dans Gal(KabK) prod

v-p Ftimesv otimes Zp

EK otimes Zp

KabHprKH

modKHpr

HmodKHKK

De nombreux travaux comme ceux mentionneacutes dans lrsquohistorique preacuteceacutedent eacutevoquent le rocirclede BP dans la theacuteorie du corps de classes aussi nous souhaitons montrer ici que lrsquoon disposedepuis longtemps des techniques permettant drsquoeacutetudier les proprieacuteteacutes de ce moduleSoit S un ensemble fini de places de K contenant lrsquoensemble Sp = v v | p des p-places Ssera choisi en fonction de lrsquoextension LK consideacutereacutee et en particulier contiendra les placesramifieacutees dans LK Les reacutesultats ne deacutependront finalement que de Sp Notre ensemble Sjouera un rocircle diffeacuterent de celui utiliseacute dans [JaPMB] et [NgPMB]On pose Ktimes1 = Ktimes1 otimesZp ougrave Ktimes1 est le groupe des eacuteleacutements p-principaux de Ktimes eacutetrangers agrave SIK = IK otimesZp ougrave IK est le groupe des ideacuteaux de K eacutetrangers agrave S et PK = (x) x isin Ktimes1 =PK otimes Zp ougrave PK = (x) x isin Ktimes1 On pose EK = EK otimes Zp (groupe des uniteacutes)

G Gras 29

Soit iK le plongement (surjectif) de Ktimes1 dans UK =oplusv|p Uv et soit Ktimesinfin le noyau de iK (groupe

des infiniteacutesimaux eacutetrangers agrave S de Jaulent [Ja1] [Ja2] [Ja4]) on a facilement iK(EK) = EK On deacutesigne par PKinfin le groupe des ideacuteaux principaux (xinfin) xinfin isin KtimesinfinOn a alors ([Gr1] theacuteoreme III24) AK = Gal(Hpr

K K) IKPKinfin BK = Gal(HprK HK) PKPKinfin TK = torZp

Tous ces groupes de Galois sont des Zp-modules de type fini

Remarque 11 mdash De fait la theacuteorie du corps de classes deacutefinit AK = Gal(HprK K) de la

faccedilon suivante on a AK = limlarrminusn

Gal(K(pn)K) limlarrminusn

(IKPK(pn))otimes Zp limlarrminusn

(IKPK(pn))

ougrave K(pn) est le p-corps de rayon modulo (pn) PK(pn) = (x) x isin Ktimes1 x equiv 1 (mod pn) etPK(pn) = PK(pn) otimes Zp or on a

PK(pn) = PKinfin ([Gr1] Proposition III241)

Le fait de pouvoir travailler avec des groupes drsquoideacuteaux eacutetrangers agrave S provient du theacuteoregravemedrsquoapproximation ideacutelique ou simplement du fait que toute classe drsquoideacuteaux contient un repreacute-sentant eacutetranger agrave S (eg [Gr1] theacuteoregraveme I433 et remarque I512) On a alors avec desnotations eacutevidentes au niveau fini des corps de rayons

Gal(K(pn)K) IKSpPKSp(pn) IKSPKS(pn)

ougrave les isomorphismes avec le groupe de Galois sont obtenus via le symbole drsquoArtin qui estpar nature deacutefini pour les ideacuteaux de K eacutetrangers agrave Sp donc a fortiori eacutetrangers agrave S

On deacutefinit les mecircmes objets relatifs agrave toute p-extension L de K en utilisant lrsquoensemble noteacuteencore S des places de L au-dessus de S (de mecircme pour Sp) Les objets ainsi obtenus partensorisation avec Zp se comportent comme les objets drsquoorigine en raison de la platitude de ZpNous commencerons par le cas LK cyclique de degreacute p qui est en un sens universel et quipermet une plus grande effectiviteacute quant au plan numeacuteriqueOn utilisera agrave plusieurs reprises les lemmes suivants pour un corps de nombres k (ougrave lrsquoonrappelle que ik est agrave valeurs dans Uk =

oplusv|p Uv et que les structures galoisiennes de Uk sont

deacuteduites du fait que lrsquoimage diagonale de ktimes1 y est dense) le lemme 14 particuliegraverementimportant traduit de faccedilon tregraves arithmeacutetique la conjecture de Leopoldt pour le corps k

Lemme 12 mdash Soit k un corps de nombres veacuterifiant la conjecture de Leopoldt pour p Soitε isin Ek = Ek otimes Zp telle que ik(ε)p

e = 1 e ge 0 (ie ik(ε) isinWk) Alors ε isin microk et εpe = 1

Deacutemonstration mdash Caracteacuterisation tregraves classique utilisant lrsquoinjectiviteacute de ik sur Ek sous laconjecture de Leopoldt ([Gr1] theacuteoregraveme III362 (vi) et [Ja3] theacuteoregraveme 12)

Lemme 13 mdash Soit LK cyclique de degreacute p et soit s un geacuteneacuterateur de G = Gal(LK)(i) Si microK = 1 alors microL = 1 et H1(GmicroL) = 0(ii) Si microK = micropL 6= 1 (ie LK est extension cyclotomique globale de degreacute p) alorsNLK(microL) = microK et micro1minuss

L = 〈ζ1〉 ougrave ζ1 isin microK est drsquoordre p drsquoougrave H1(GmicroL) = 0Si microK = microL 6= 1 NLK(microL) = micropK micro

1minussL = 1 et H1(GmicroL) ZpZ

(iii) Si ξL isinWL veacuterifie ξ1minussL = iL(ζL) ougrave ζL isin microL alors ζL est drsquoordre 1 ou p

On a WGL = WK et W p

L subeWK

Deacutemonstration mdash (i) Si microK = 1 et si L contenait ζ1 drsquoordre p on aurait K sub K(ζ1) sube L ougraveK(ζ1)K serait de degreacute eacutegal agrave un diviseur de pminus 1 diffeacuterent de 1 (absurde)(ii) Ce point sur les racines de lrsquouniteacute est classique (eg [Wa])(iii) Soit ξL isin WL On a ξpL isin WK car si ξw isin microLw

est une composante de ξL telle queξw isin microKv

alors comme pour le cas global microKv6= 1 [Lw Kv] = p ξpw isin microKv

(Qp(micropinfin)Qp alaquo mecircme structure galoisienne raquo que Q(micropinfin)Q car p y est totalement ramifieacute)Comme WL = torZp

(UL)et que UGL = UK il en reacutesulte que WG

L = torZp

Lemme 14 mdash On a sous la conjecture de Leopoldt pour p dans le corps de nombres k lasuite exacte 1rarrWkik(microk) minusrarr torZp

) logkminusminusminusrarrRk = torZp

(logk(Uk)Zplogk(Ek)

)rarr 0

ougrave logk est le logarithme p-adique usuel ([Gr1] lemme III424) Rk est appeleacute par abus lereacutegulateur p-adique normaliseacute de k (lrsquoeacutecriture logk(Ek) signifie logk(ik(Ek))

Lemme 15 mdash Soit LK une p-extension cyclique et soit yprimeinfin isin Ltimesinfin tel que NLK(yprimeinfin) = 1Alors il existe yinfin isin Ltimesinfin tel que yprimeinfin = y1minuss

infin (Theacuteoregraveme de HilbertndashSpeiserndashNœther dans Ltimesinfin)

La preuve est donneacutee par exemple dans [Gr1] (preuve du lemme IV31) et dans [Ja1]

2 Eacutetude du laquo transfert raquo jLK CK AKWK minusrarr CL ALWL

21 Geacuteneacuteraliteacutes mdash Faisons un rappel sur le morphisme de transfert AK minusrarr AL en p-ramification Abeacutelienne ([Gr1] Theacuteoregraveme IV21)

Lemme 21 mdash Dans une extension LK quelconque de corps de nombres le morphismede transfert AK minusrarr AL est injectif sous la conjecture de Leopoldt pour p dans la clocircturegaloisienne de L sur K Il en reacutesulte lrsquoinjectiviteacute de TK = torZp

)minusrarr TL = torZp

De fait la premiegravere preuve de ce reacutesultat a eacuteteacute donneacutee en 1982 dans [Gr2] theacuteoregraveme I1deacuteveloppeacutee dans [Gr3] puis redonneacutee dans drsquoautres cadres techniques comme dans [Ja1][Ja2] [Ng1] et constitue une proprieacuteteacute classique caracteacuteristique de la conjecture de Leopoldtqui pourrait simplifier consideacuterablement lrsquoapproche de [Seo3] [Seo4] [Seo6]On suppose deacutesormais p 6= 2 On srsquointeacuteresse au noyau de lrsquoapplication qui srsquoen deacuteduit

jLK BPK = torZp

(CK)minusminusminusrarr BPL = torZp

(deacutefinitions du sect 11) dans une p-extension LK ulteacuterieurement cyclique de degreacute pDrsquoapregraves le lemme 21 et la finitude de WL lrsquoapplication CK minusrarr CL a mecircme noyau (AK eacutetantde type fini ce noyau est sous-groupe fini de CK donc de torsion) On peut alors travaillersur cette application plus simple noteacutee encore jLK

Son noyau est aussi un noyau de capitulation de classes drsquoideacuteaux puisque (relativement auchoix de S deacutefini au sect 13) AK IKPKinfin et AL ILPLinfin sont des groupes de classesdrsquoideacuteaux aussi en raison de la meacutethode utiliseacutee nous parlerons pour jLK de morphisme decapitulation et pour Ker(jLK) de noyau de capitulation comme dans [JaPMB] [NgPMB]

G Gras 31

22 Identification deWK comme groupe de classes drsquoideacuteaux mdashOn a la suite exacte1rarr KtimesinfinEKEK minusminusminusrarr Ktimes1 EK

iKminusminusminusrarrUKEK rarr 1 et les isomorphismes

UKEK Ktimes1 KtimesinfinEK PKPKinfin Gal(Hpr

Lrsquoisomorphisme UKEK minusrarr PKPKinfin est donc ainsi deacutefini agrave partir de u isin UK on prendx isin Ktimes1 drsquoimage u par iK (x est deacutefini modulo Ktimesinfin) et on considegravere la classe de lrsquoideacuteal principal(x) modulo PKinfin qui ne deacutepend pas du choix de xLa surjectiviteacute est eacutevidente et si u conduit agrave (x) = (xinfin) isin PKinfin on a x = xinfinεK εK isin EK drsquoougrave iK(x) = u = iK(εK) isin EK Inversement agrave (x) isin PK on associe iK(x) (mod EK)On suppose que la conjecture de Leopoldt est veacuterifieacutee dans toute extension L deK consideacutereacutee

Lemme 22 mdash (i) Lrsquoimage de WK = WKiK(microK) dans PKPKinfin est formeacutee des classesmodulo PKinfin des ideacuteaux de PK de la forme (x) ougrave iK(x) = ξK isin WK ce que lrsquoon peutreacutesumer par lrsquoisomorphisme WK (x) x isin Ktimes1 iK(x) isinWKPKinfin(ii) Le morphisme de capitulation jLK est lrsquoextension des laquo classes drsquoideacuteaux raquo

IK(x) x isin Ktimes1 iK(x) isinWK minusminusminusrarr IL

(y) y isin Ltimes1 iL(y) isinWL

Deacutemonstration mdash Le point (i) reacutesulte de la deacutefinition de UKEK minusrarr PKPKinfin appliqueacuteeau sous-groupe de torsionWK sube torZp

)(sous la conjecture de Leopoldt en utilisant

les Lemmes 12 14) Il en reacutesulte que CK AKWK IK(x) x isin Ktimes1 iK(x) isin WK

drsquoougrave le point (ii) du lemme

23 Caracteacuterisation du noyau de capitulation (cas cyclique de degreacute p) mdash Soita isin IK tel que par extension (a)L = (y) ougrave y isin Ltimes1 avec iL(y) = ξL isinWL (lemme 22 (ii))

Agrave partir de (a)L = (y) la norme arithmeacutetique NLK conduit en ideacuteaux agrave la relation ap =(NLK(y)) ce qui donne la relation yp = NLK(y) εL εL isin EL ou encore la relationiL(y)p = NLK(iL(y)) iL(εL) qui srsquoeacutecrit par hypothegravese ξpL = NLK(ξL) iL(εL) donc drsquoapregravesle lemme 12 on a εL = ζL isin microL drsquoapregraves le lemme 13 on a ξpL isin WK par conseacutequentiL(ζL) isinWG

L = WK et εL = ζK isin microK Posons a = NLK(y) ζK isin Ktimes1 On a donc la relation a = yp isin Ltimesp1 que lrsquoon interpregravete de lafaccedilon suivante (i) Cas y = x isin Ktimes1 On a iL(y) = iL(x) = ξL isinWG

L donc iL(x) = ξK isinWK comme a = (x)dans K ceci caracteacuterise la trivialiteacute de la classe de a dans CK (Lemme 22)(ii) Cas y isin Ktimes1 Soit s un geacuteneacuterateur de G = Gal(LK) Puisque yp = a isin Ktimes1 on estneacutecessairement dans un cas kummerien ougrave ys = ζ1 y ζ1 isin microK drsquoordre p et L = K( p

radicα)

α isin Ktimes1 (de fait on doit prendre pour α un repreacutesentant dans Ktimes1 de a modulo Ktimesp1 cequi donne lrsquoextension kummerienne L par uniciteacute du radical) Comme a donc α est pardeacutefinition eacutetranger agrave S et que la ramification modeacutereacutee se lit sur lrsquoideacuteal (α) il en reacutesulte quelrsquoextension LK est neacutecessairement p-ramifieacutee

On deacuteduit de ce qui preacutecegravede qursquoen dehors du cas kummerien p-ramifieacute il ne peut y avoircapitulation non triviale et on a donc obtenu le reacutesultat suivant remarqueacute dans [Seo6]

Theacuteoregraveme 23 mdash Soit LK une p-extension p gt 2 Sous la conjecture de Leopoldt pour pdans L si microK = 1 le morphisme de capitulation jLK BPK minusrarr BPL est injectif 2

Deacutemonstration mdash Comme LK est une p-extension on est rameneacute au cas cyclique ci-dessusen remarquant que les hypothegraveses se transmettent agrave tout corps F utiliseacute par induction etcompris entre K et L (microF = 1 et conjecture de Leopoldt)

Une condition neacutecessaire (mais non suffisante) pour que Ker(jLK) soit non trivial est doncque LK soit kummerienne et p-ramifieacutee (si LK est abeacutelienne on a L sub Hpr

K )Poursuivons lrsquoeacutetude du noyau de capitulation avec la seule hypothegravese LK cyclique p-ramifieacuteede degreacute p et par conseacutequent S = Sp (lrsquohypothegravese kummerienne nrsquoest pas neacutecessaire pourlrsquoinstant car on la retrouvera dans le calcul du noyau)On revient agrave a isin IK tel que par extension (a)L = (y) ougrave y isin Ltimes1 avec iL(y) = ξL isin WL etyp isin Ktimes1 Il vient y1minuss = ζ prime1 ougrave ζ prime1 isin microK est drsquoordre 1 ou p Alors ξ1minuss

L = iL(ζ prime1)Reacuteciproquement si ξL isinWL est tel que ξ1minuss

L = iL(ζ prime1) en prenant yprime isin Ltimes1 tel que iL(yprime) = ξLil vient iL(ζ prime1) = iL(yprime)1minuss drsquoougrave ζ prime1 = yprime1minussyprimeinfin yprimeinfin isin Ltimesinfin on a NLK(yprimeinfin) = NLK(ζ prime1) = 1drsquoapregraves ce qui preacutecegravede drsquoougrave (lemme 15) yprimeinfin = y1minuss

infin yinfin isin Ltimesinfin et on obtient une relationde la forme ζ prime1 = y1minuss ce qui conduit agrave (y) isin IGL = (IK)L car il nrsquoy a pas de ramification endehors de p et (y) est eacutetranger agrave p Lrsquoideacuteal (y) de L est lrsquoeacutetendu drsquoun ideacuteal a de K eacutetrangeragrave p dont la classe est dans le noyau de jLK On a donc deacutemontreacute agrave ce stade

Ker(jLK)=a isin IK (a)L=(y) iL(y)=ξL amp ξ1minussL isin iL(pmicroK)

(x) x isin Ktimes1 iK(x) isinWK

qursquoil reste agrave simplifier

Soit a isin IK tel que (a)L = (y) iL(y) = ξL isin WL ξ1minussL = iL(ζ prime1) si a = (x) avec iK(x) =

ξK isin WK il vient iL(y) = iL(x) iL(εL) εL isin EL soit ξL = ξK iL(εL) donc iL(εL) est de laforme iL(ζL) ζL isin microL drsquoougrave ξL isinWK iL(microL)Reacuteciproquement si ξL = ξK iL(ζL) isin WK iL(microL) (qui implique ξ1minuss

L = iL(ζ prime1)) on a iL(y) =iL(xprime) iL(ζL) pour xprime isin Ktimes1 tel que iK(xprime) = ξK drsquoougrave en ideacuteaux (y) = (xprime)L(yprimeinfin) et (a)L =(xprime)L(yprimeinfin) ougrave (yprimeinfin) isin PGLinfin = PKinfin (lemme 12) drsquoougrave a = (x) avec iK(x) isinWK La classe de a dans le noyau de jLK est nulle si et seulement si dans lrsquoeacutecriture (a)L = (y)on a iL(y) isinWK iL(microL)On a donc obtenu une premiegravere description du noyau de capitulation dans le cas LK cycliquep-ramifieacutee de degreacute p

Lemme 24 mdash On a Ker(jLK) ξL isin WL ξ1minussL isin iL(microK)WK iL(microL) Si de plus

microK = 1 on a iL(microL) = 1 ξL isin WL ξ1minussL = 1 = WK et le noyau de capitulation est nul

(ce qui redonne le theacuteoregraveme 23)

Deacutemonstration mdash Il suffit de consideacuterer lrsquoapplication qui agrave a dont la classe est dans noyaude capitulation associe ξL (qui est deacutefinie modulo lrsquoimage de microL)

2Degraves les lemmes 12 13 et 14 le reacutesultat est eacutevident car on a W = W sube torZp(UE) sube T et BP = T W

(pour K et L) donc si pour τK isin TK on a jLK(τK) = ξL isinWL on a ξL isinWGL = WK

G Gras 33

24 Eacutetude de Ker(jLK) dans le cas kummerien p-ramifieacute cyclique de degreacute p mdashOn suppose deacutesormais que ζ1 drsquoordre p est dans K On a (lemme 24) la suite exacte

1rarr Ker(jLK) minusminusminusrarrWLWK iL(microL) 1minussminusminusminusrarrW 1minussL W 1minuss

L cap iL(microK)rarr 1

qui conduit puisque W 1minussL WLWK et WK iL(microL)WK microLmicroK agrave lrsquoeacutenonceacute

Lemme 25 mdash Dans le cas kummerien p-ramifieacute cyclique de degreacute p et sous la conjecturede Leopoldt pour p dans L on a |Ker(jLK) | = |W 1minuss

L capiL(microK) |times |microK ||microL |

ougrave W 1minussL capiL(microK) sube

〈iL(ζ1)〉 est drsquoordre 1 ou pSi microK = microL 6= 1 on a |Ker(jLK) | = |W 1minuss

L cap iL(microK) |Si microK = micropL 6= 1 (ie LK est cyclotomique globale) jLK est injectif

Deacutemonstration mdash En effet drsquoapregraves le Lemme 13 (iii) on a W 1minussL cap iL(microK) sube 〈iL(ζ1)〉 ougrave

ζ1 isin microK est drsquoordre p Ainsi il y a injectiviteacute de jLK si et seulement si LK est cyclotomiqueglobale ou bien si microK = microL 6= 1 et iL(ζ1) isinW 1minuss

Ceci peut se caracteacuteriser de la premiegravere faccedilon concregravete suivante (analogue du theacuteoregraveme 21de [NgPMB] Proposition 8 et Exemple 12 de [JaPMB])

Theacuteoregraveme 26 mdash Soit LK une extension cyclique p-ramifieacutee de degreacute p gt 2 veacuterifiant laconjecture de Leopoldt pour p On suppose que microK = microL 6= 1 (ie LK est kummerienne nonglobalement cyclotomique) Le morphisme de capitulation jLK BPK minusrarr BPL est injectif siet seulement si il existe v0 | p dans K non deacutecomposeacutee dans L telle que microLw0

= microKv0pour

lrsquounique w0 | v0

Deacutemonstration mdash Eacutecrivons WL =oplusv|pWLv en un sens eacutevident On a alors trois cas pour

W 1minussLv selon que v est deacutecomposeacutee dans LK ou non puis que LwKv est une extension

cyclotomique ou non sachant que microKv6= 1 par hypothegravese puisque ζ1 isin K On calcule alors

H1(GWLv) pour obtenir W 1minussLv

(i) Cas deacutecomposeacute ie WLv =oplusw|v microKv

on a H1(GWLv) = 0 (lemme de Shapiro) etW 1minussLv = NWLv qui contient lrsquoimage de 〈ζ1〉

(ii) Cas non deacutecomposeacute et micropLw= microKv

on a H1(GWLv) = 0 et W 1minussLv = 〈iv(ζ1)〉

(iii) Cas non deacutecomposeacute et microLw= microKv

on a H1(GWLv) ZpZ et W 1minussLv = 1

Le theacuteoregraveme en reacutesulte puisque la condition diagonale contraire iL(ζ1) isin W 1minussL (jLK non

injectif) eacutequivaut agrave W 1minussLv 6= 1 pour tout v | p or seul (iii) conduit agrave une impossibiliteacute

Remarque 27 mdash Il reacutesulte de ceci que lorsque microK 6= 1 (ie ζ1 isin K) la notion usuellede p-extension cyclotomique globale locale reacutesiduelle en caracteacuteristique 6= p (ie de KKv Fv) est eacutequivalente agrave celle de p-extension contenue dans la Zp-extension cyclotomiquecorrespondanteAinsi laquo LK p-ramifieacutee et localement cyclotomique en p raquo (ie toute place v - p est nonramifieacutee et en toute place v | p non deacutecomposeacutee micropLw

= microKv) eacutequivaut agrave laquo LK partout

localement cyclotomique raquo ou laquo logarithmiquement non ramifieacutee raquo au sens plus geacuteneacuteral deacutefini

par Jaulent ([JaPMB] sect 3) En effet si v - p est non ramifieacutee crsquoest le corps de classes localpar relegravevement des extensions reacutesiduelles qui sont cyclotomiques si v | p crsquoest par hypothegraveseNoter que pour toute place finie v deacutecomposeacutee lrsquoalgegravebre

oplusw|v Lw peut aussi ecirctre qualifieacutee de

cyclotomique de faccedilon galoisienne car il existe ξLv isin WLv tel que ξ1minussLv = ζ1 et ξpLv isin microKv

pour cela prendre ξLv = (ξv ξv ζminus1

1 ξv ζminus(pminus1)1 ) pour un geacuteneacuterateur ξv de microKv

= microLw

Tout corps de nombres k admet une pro-p-extension Abeacutelienne localement cyclotomique maxi-maleH lc

k sous-corps deHprk fixe par les groupes de deacutecomposition relatifs des places v | p dans

Hprk kinfin (ougrave kinfin est la Zp-extension cyclotomique de k) et alors Gal(H lc

k kinfin) est isomorphe augroupe des classes logarithmiques introduit par Jaulent ([Ja4] [Ja5] [JaM1] [JaM2] [JaS]) voir aussi [Gr1] sect III7Dans [JaPMB] et [NgPMB] crsquoest aussi le vocabulaire adopteacute systeacutematiquement

3 Interpreacutetation de Ker(jLK) 6= 1 via un radical kummerien global

On suppose microK 6= 1 et on pose L = K( pradicα) α isin Ktimes on suppose que LK est p-ramifieacutee

non globalement cyclotomique (ie microL = microK) On a donc (α) = ap0 ap ougrave a0 est un ideacuteal deK eacutetranger agrave p et ougrave lrsquoon peut supposer que ap est un produit drsquoideacuteaux premiers au-dessusde p agrave une puissance lt p On pose ( p

radicα)1minuss = ζ1 drsquoordre p

Drsquoapregraves le Theacuteoregraveme 26 jLK est non injectif si et seulement si pour toute place v | p nondeacutecomposeacutee dans LK microKv

= micropLwpour lrsquounique place w | v de L Dans ce cas il existe

a isin IK dont la classe (drsquoordre p dans BPK donc dans IK(x) x isin Ktimes1 iK(x) isin WKet drsquoordre une puissance de p dans IKPKinfin) est dans le noyau de jLK on a (cf sect 23)(a)L = (y) avec iL(y) = ξL isinWL et yp = a isin Ktimes1 Soit v | p fixeacutee non deacutecomposeacutee on a avec des notations eacutevidentes iw(y) = ξw et iw(y)1minuss =ξ1minussw = iw(ζ1) et par conseacutequent on peut prendre ξw comme radical local autrement ditLw = Kv( p

radicξv) ougrave ξpw = ξv isin microKv

et il en reacutesulte par ldquouniciteacuterdquo drsquoun radical modulo Ktimespv que ap = 1 et que iv(a) = ξpw (bien que certaines places v|p puissent se ramifier dans LK cf [Gr1] Proposition II163 pour le calcul du v-conducteur)On a iL(y)1minuss = iL( p

radica)1minuss = iL(ζ1) = iL( p

radicα)1minuss drsquoougrave y = p

radica = p

radicα xminus1 x isin Ktimes1 ce

qui relie a et a0 via lrsquoeacutegaliteacute a = a0 (x)minus1

En reacutesumeacute α veacuterifie les conditions neacutecessaires et suffisantes suivantes

(1) (α) = ap0 et α = a xp a x isin Ktimes1 et iK(a) = ξK isinWK ξK isinW pL

Noter que iL( pradicα xminus1) = ξL et que par conseacutequent il existe une puissance pe de p telle que

( pradicα xminus1)pe isin Ktimesinfin ou encore que a = a0 (x)minus1 est tel que

(2) ape = (a0 (x)minus1)pe isin PKinfin

On peut donc agrave partir de la relation (1) eacutenoncer le reacutesultat suivant ougrave lrsquoon rappelle quepour un corps de nombres k microk est le p-groupe des racines de lrsquouniteacute k le composeacute des Zp-extensions Uk le Zp-module drsquouniteacutes locales principales en p et Wk = torZp

(Uk) On deacutesigne

par BPk la pro-p-extension abeacutelienne maximale de k composeacutee des p-extensions cycliques

G Gras 35

plongeables dans une p-extension cyclique de k de degreacute arbitrairement grand on pose BPk =Gal(BPkk)

Theacuteoregraveme 31 mdash Soit LK une extension cyclique de corps de nombres de degreacute premierp gt 2 On suppose que L veacuterifie la conjecture de Leopoldt pour p Alors le morphisme decapitulation jLK BPK minusrarr BPL est non injectif si et seulement si les deux conditionssuivantes sont satisfaites (i) microL = microK 6= 1 L = K( p

radicα) α isin Ktimes et (α) = ap0 ougrave a0 est un ideacuteal de K eacutetranger agrave p

(ie LK est kummerienne non globalement cyclotomique (ie α isin microK Ktimesp) et p-ramifieacutee(ie non ramifieacutee en dehors de p)) (ii) lrsquoimage diagonale de α dans UK est eacutegale agrave ξK upK ξK isin WK uK isin UK avec ξK isin W p

L(ie LK est localement cyclotomique en toute place v | p)

On pourrait alors obtenir le reacutesultat plus geacuteneacuteral suivant (cf [JaPMB] corollaire 11 pour lecas cyclique et [NgPMB] theacuteoregraveme 25 pour le cas abeacutelien)

Theacuteoregraveme 32 mdash Dans une p-extension abeacutelienne LK de corps de nombres contenantles racines p-iegravemes de lrsquouniteacute et satisfaisant agrave la conjecture de Leopoldt pour le nombrepremier p gt 2 le sous-groupe Ker(jLK) des eacuteleacutements de BPK qui capitulent dans BPL estdrsquoordre min

|microK | [LcapK lc K(microL)]

ougrave K lc est la pro-p-extension localement cyclotomique

maximale de K

4 Le p-groupe des classes et le reacutegulateur p-adique

41 Existence de LK cyclique de degreacute p telle que Ker(jLK) 6= 1 mdashOn considegravereune extension de Kummer L = K( p

radicα ) veacuterifiant les conditions (i) et (ii) du theacuteoregraveme 31

donc telle que jLK est non injectif On a alors (α) = ap0 a0 ideacuteal de K eacutetranger agrave p et telque iK(α) isin W p

L UpK Il y a alors deux cas qui srsquoexcluent ou bien a0 nrsquoest pas principal et

la classe (au sens usuel) de cet ideacuteal capitule dans L puisque (a0)L = ( pradicα ) ou bien a0 est

principal et modulo Ktimesp α est une uniteacute ε isin EK et L = K( pradicε ) (ε non racine de lrsquouniteacute)

(a) Dans le premier cas (cf sect 3 relation (2)) il existe a = a0 (x)minus1 x isin Ktimes1 dont la classedans IKPKinfin est drsquoordre fini et engendre Ker(jLK) dans BPK soit τK isin TK correspondantagrave cette classe dans IKPKinfin alors la restriction τK de τK agraveHK est dans Gal(HKHKcapK)) etcorrespond agrave la classe de a dans IKPK (drsquoordre p puisque a = a0 (x)minus1) et par conseacutequentcrsquoest une classe du sous-groupe C infinK Gal(HKHK cap K) de C K qui capitule (cf Scheacutema dusect 11)3

(b) Dans le cas drsquoune uniteacute ε eacutecrivons iK(ε) = ξK upK isin W p

L UpK Il vient logK(iK(ε)) =

p logK(uK) montrons que logK(uK) deacutefinit un eacuteleacutement drsquoordre p du reacutegulateur RK siau contraire logK(uK) = logK(iK(η)) pour une uniteacute η isin EK on obtient logK(iK(ε)) =p logK(iK(η)) qui implique iK(ε) = ξprimeK iK(ηp) ξprimeK isin WK ce qui conduit (lemme 12) agraveξprimeK = iK(ζ primeK) isin iK(microK) ou encore agrave ε = ζ primeK η

p On aurait donc L = K( p

radicζ primeK ) (absurde)

3Drsquoapregraves [Gr1] corollaire III261 (i) on a [HK HK cap K] = |C K |(LogK(IK) LogK(PK)) ougrave LogK IK rarroplusv | p Kv

QplogK(EK) est la fonction logarithme deacutefinie dans [Gr1] sect III22 et reprise au sect 532

Par contre dans L il est clair que logL( p

radiciK(ε)) = 1

p logL(iK(ε)) = logL(uK) montre quelogK(uK) devient drsquoordre 1 dans RL et on parlera par analogie de capitulation dans L drsquouneacuteleacutement drsquoordre p du reacutegulateur de K

Remarques 41 mdash (i) Dans les deux cas la capitulation ne concerne qursquoune classe ou uniteacuteparticuliegravere en raison de la condition suppleacutementaire LK localement cyclotomique en p Onest donc ameneacute agrave consideacuterer le sous-ensemble des pseudo-uniteacutes localement cyclotomiques

FK = α isin Ktimes1 (α) = ap0 a0 isin IK et iK(α) = ξpL upK ξL isinWL uK isin UK

Ktimesp1

dont le Fp-rang est majoreacute par r1 + r2 + c ougrave c est le Fp-rang du groupe des classes de K(ii) La condition iK(α) = ξpL u

pK est eacutequivalente agrave iK(α) = ξK u

pK ξK isin W p

L ou encore agravepradicα isin WL UK puisque W p

L sube WK (Lemme 13 (iii)) Une condition neacutecessaire mais nonsuffisante est logK(iK(α)) isin p logK(UK) elle devient suffisante si WK = W p

L(iii) La relation |BPK | = |C infinK |times|RK | montre que si jLK est non injectif neacutecessairement lrsquoundes deux facteurs au moins est non trivial et contribue agrave la capitulation (points (a) et (b)) Agravecomparer au sect 7 de [JaPMB] deacutefinition et proposition 20 et au compleacutement 26 de [NgPMB]

42 Exemples numeacuteriques mdashOn prend pour K le corps biquadratique K =Q(radic

79 j)contenant le corps Q(j) des racines cubiques de lrsquouniteacute et le corps Q(

radicminus237) on considegravere

p = 3 Comme 3 est deacutecomposeacute dans K en deux ideacuteaux premiers les deux compleacuteteacutes de Ksont eacutegaux agrave Q3(j) (voir des exemples analogues dans [JaPMB] sect 4)Le nombre de classes de Q(

radic79) est 3 celui de Q(

radicminus237) est 12

(i) Prenons lrsquouniteacute α1 = j ε ougrave ε = 80 + 9radic

79 (lrsquouniteacute fondamentale de Q(radic

79) qui est3-primaire et localement un cube en 3) Soit L1 = K( 3

radicα1) on a bien microL1

= microK 6= 1 On aα1 j

minus1 = 80 + 9radic

79 isin U3K ce qui montre que les deux compleacuteteacutes de L1 sont eacutegaux agrave Q3(ω)

ougrave ω est une racine de lrsquouniteacute drsquoordre 9 on est dans le cas microKv= micro3

L1wpour toute place

v | 3 et les deux conditions du theacuteoregraveme 31 sont donc satisfaites puisque iK(α1) = ξK u3K

avec ξK = (j j) = (ω ω)3 donc jL1Kest non injectif

(ii) On considegravere lrsquouniteacute α2 = ε = 80 + 9radic

79 et L2 = K( 3radicα2) Comme α2 est localement un

cube L2K est deacutecomposeacutee en toutes les places v | 3 Donc jL2Kest encore non injectif

Noter que par la dualiteacute de Kummer L2 est ici le composeacute du 3-corps de Hilbert Lminus2 = HKminus

et de Q(j) ougrave Kminus = Q(radicminus237) et que comme j isin Kminus j

Lminus2 Kminus est injectif et le noyau de

jL2Kest un sous-groupe non trivial de T

1minust2

K ougrave t engendre Gal(KKminus)

(iii) Si lrsquoon prend α3 = 8 + 3radicminus237 (qui est 3-primaire) et L3 = K( 3

radicα3) on a (α3) = p3

13dans Kminus pour un ideacuteal premier non principal p13 | 13 car la condition (ii) nrsquoest pas veacuterifieacutee les extensions K( 3

radicj) K( 3

radicjα3) K( 3

radicj2α3) sont ramifieacutees en 3 et dans K( 3

radicα3) (contenue

dans le 3-corps de classes de Hilbert K( 3radicε 3radicα3) de K) 3 est inerte or il faudrait une

deacutecomposition de 3 dans lrsquoune drsquoellesOn voit aussi que la condition log(α3) isin 3 log(UK) nrsquoest pas veacuterifieacutee car α3 est 3-primairesans ecirctre localement un cube Dans ce cas jL3K

est injectif bien qursquoil y ait capitulation drsquouneclasse drsquoideacuteaux dans L3 Ici aussi on peut eacutecrire L3 comme composeacute du 3-corps de HilbertHK+ et de Q(j) ougrave K+ = Q(

radic79) et les deux composantes de jL3K

sont injectives

G Gras 37

Prenons pour K le corps biquadratique K = Q(radicminus107 j) Le nombre de classes de Kminus =

Q(radicminus107) est 3 et celui de K+ = Q(

radic321) est aussi 3 lrsquouniteacute fondamentale de K+ est

ε = 215 + 12radic

321 qui est 3-primaire sans ecirctre localement un cube on a (59 + 2radic

321) = p313

dans le sous-corps reacuteel (β = 59 + 2radic

321 est non 3-primaire) Dans le sous-corps quadratiqueimaginaire Kminus on a (270+17

radicminus107) = p3

47 pour p47 non principal ougrave α = 270+17radicminus107

est 3-primaire et localement un cube car α2 equiv 1 (mod (9)) Lrsquoextension L = K( 3radicα) conduit

au mecircme raisonnement qursquoen (ii) avec ici eacutechange des sous-corpsKminus etK+ On aHK+Q(j) =K( 3radicα) etHKminusQ(j) = K( 3

radicε) lrsquoextensionK( 3radicβ) est ramifieacutee en 3 mais nrsquoest pas localement

cyclotomique

5 Points fixes du module de BertrandiasndashPayan

Dans cette section LK est une p-extension quelconque de corps de nombres (p gt 2) degroupe de Galois G que lrsquoon supposera cyclique de degreacute p agrave partir du sect 52 On supposeseulement que L veacuterifie la conjecture de Leopoldt pour p ce qui implique que T GL contientun sous-groupe isomorphe agrave TK (injectiviteacute du morphisme TK minusrarr TL lemme 21)On omet le plus souvent les plongements diagonaux iK et iLIci il nrsquoy a aucune hypothegravese sur la ramification dans LK ni sur les groupes microK microLOn a la suite exacte qui deacutefinit BPL agrave partir de TL = Gal(Hpr

1rarrWLmicroL minusrarr TL minusrarr BPL rarr 1

ougrave WL =oplusv|pWLv avec WLv =

oplusw|v microLw

pour toute place v | p de KOn a de mecircme la suite exacte

1rarrWKmicroK minusrarr TK minusrarr BPK rarr 1

51 Suites exactes fondamentales mdashOn a la suite exacte

1rarr (WLmicroL)G minusrarr T GL minusrarr BPGLθminusrarrH1(GWLmicroL) (1)

et agrave partir de 1rarr microL minusrarrWL minusrarrWLmicroL rarr 1 on a la suite exacte

1rarrWKmicroK minusrarr (WLmicroL)G ψminusrarrH1(GmicroL) νminusrarrH1(GWL) (2)

avec H1(GWL) =oplus

v|p H1(GWLv)

Dans le cas G cyclique drsquoordre p (engendreacute par s) on aura les suites exactes

1rarr (WLmicroL)G minusrarr T GL minusrarr BPGLθminusrarrN (WLmicroL)

(WLmicroL)1minuss (1prime)

1rarrWKmicroK minusrarr (WLmicroL)G ψminusrarrNmicroLmicro1minussL

νminusrarroplus

v|p NWLvW1minussLv (2prime)

Remarque 51 mdash Dans le cas G cyclique drsquoordre p les noyaux de la laquo norme raquo N = NG

sont ceux de la norme algeacutebrique (ici NG = 1 + s + middot middot middot + spminus1) Or on peut utiliser parcommoditeacute des calculs la norme arithmeacutetique NLK agrave condition que pour les objets XL etXK lrsquoapplication naturelle iLK XK minusrarr XL soit injective puisque iLK NLK = NGCrsquoest le cas ici pour les objets du type Uk Ek microk Wk Wk = Wkmicrok Ak Bk = UkEk Tkmais non neacutecessairement pour C k Ck Rk BPk

| BPGL | =| T GL | | Im(θ) || (WLmicroL)G | = | T GL | | Im(θ) |

|WKmicroK | | Im(ψ) | = | TGL || TK |

| BPK | | Im(θ) || Im(ψ) | (3)

En utilisant la formule des points fixes pour TL ([Gr1] theacuteoregraveme IV33) il vient

Theacuteoregraveme 52 mdash Soit LK une p-extension de corps de nombres (p gt 2) veacuterifiant laconjecture de Leopoldt pour p On a la formule suivante (ougrave le premier facteur est entier)

| BPGL | =prod

q - p eq( sumq - p

1eqZpLogK(q) + LogK(IK) LogK(IK)

) middot | BPK | middot | Im(θ) || Im(ψ) |

ougrave eq est lrsquoindice de ramification de q dans LK et LogK IK rarroplus

v | pKvQplogK(EK) la

fonction logarithme deacutefinie dans [Gr1] sect III22 (voir aussi le sect 532)

Corollaire 53 mdash On peut trouver une infiniteacute de p-extensions LK telles que BPGL 6= 1et mecircme telles que | BPGL | =

prodq - p

eq middot | BPK | middot| Im(θ) || Im(ψ) | ge

prodq - p

eq middot | BPK | middot1

|H1(GmicroL) |

Corollaire 54 mdash Lorsque lrsquoextension LK est p-primitivement ramifieacutee ce qui est eacutequi-valent agrave

(sumq - p

)=prod

q - p eq ([Gr1] deacutefinition IV34)on a | BPGL | ge | BPK | si et seulement si | Im(θ) | ge | Im(ψ) |

52 Caracteacuterisation de | Im(ψ) | = p pour LK p-ramifieacutee cyclique de degreacute p mdashPour un cadre plus geacuteneacuteral voir [NgPMB] et [JaPMB]On a | Im(ψ) | le |NmicroL

micro1minussL | le p On eacutecarte donc le cas trivial |NmicroL

micro1minussL | = 1 et on

suppose (cf Lemme 13) que microK = microL 6= 1 (ie LK kummerienne non globalement cy-clotomique) On a | Im(ψ) | = p si et seulement si ν = 0 dans (2prime) or lrsquoimage de ζ1 par νest la classe de lrsquoimage diagonale dans WL de ζ1 (mod W 1minuss

L ) Cette classe est nulle si etseulement si iv(ζ1) isin W 1minuss

Lv pour tout v | p Autrement dit (cf lemme 25 theacuteoregraveme 26 ouTheacuteoregraveme 31)

L |= p | WK |

Si | Im(ψ) | = p il suffit drsquoavoir | Im(θ) | ge p pour que lrsquoineacutegaliteacute | BPGL | ge | BPK | soit veacuterifieacutee or Im(θ) deacutepend du noyau de lrsquoapplication ρ H1(GWLmicroL) minusrarr H1(G TL) qui fait lrsquoobjetdu paragraphe suivant

53 Calcul de Ker(ρ) mdashOn reprend la suite exacte (1prime) en la prolongeant comme suit

1rarr (WLmicroL)Gminusrarr T GL TK minusrarr BPGLθminusminusminusrarrN (WLmicroL)

(WLmicroL)1minuss ρminusminusminusrarrNTL

T 1minussL

On est donc dans le cadre de non injectiviteacute de jLK LK eacutetant cyclique de degreacute p p-ramifieacutee kummerienne non globalement cyclotomique (ie microK = microL 6= 1) et localementcyclotomique en p (cf remarque 27)

G Gras 39

Lemme 56 mdash Sous les hypothegraveses preacuteceacutedentes on a H1(GWLmicroL) ZpZ Un geacuteneacute-rateur de ce groupe est donneacute par lrsquoimage drsquoun ξL isin WL tel que NLK(ξL) = iK(ζK) ougrave ζKest un geacuteneacuterateur de microK

Deacutemonstration mdash La suite exacte 1rarr microL minusrarrWL minusrarrWLmicroL rarr 1 conduit agrave

H1(GWL) minusrarr H1(GWLmicroL) νminusrarrH2(GmicroL) minusrarr H2(GWL)

Or H1(GWL) =oplusv|p H1(GWLv) = 0 sous les hypothegraveses preacuteceacutedentes (theacuteoregraveme 26) donc

H2(GWL) = 0 Drsquoougrave H1(GWLmicroL) H2(GmicroL) ZpZ

Comme H2(GWL) = WKNLK(WL) = 0 iK(ζK) isin NLK(WL) et lrsquoexistence de ξL (uniquemodulo W 1minuss

L microL) est immeacutediate son image dans le groupe H1(GWLmicroL) est drsquoordre p carξL isinW 1minuss

L microL

531 Caracteacuterisation de Ker(ρ) en termes drsquoideacuteaux mdashAgrave ξL isin WL tel que NLK(ξL) =iK(ζK) ougrave ζK engendre microK lrsquoapplication ρ associe lrsquoeacuteleacutement τL isin NTL deacutefini par lrsquoimage deξL dans WL sube TL Puisque ξL isin W 1minuss

L microL on a τL isin W1minussL la nulliteacute eacuteventuelle de ρ (ie

τL isin T 1minussL ) nrsquoest donc pas triviale et concerne TL en entier

Soit z isin Ltimes1 tel que iL(z) = ξL alors on a NLK(z) = ζK xinfin xinfin isin Ktimesinfin et lrsquoimage de τLdans ILPLinfin est celle de lrsquoideacuteal (z)Comme (xinfin) est norme drsquoideacuteal et xinfin norme locale en p on a (principe des normes globalesde Hasse) xinfin = NLK(y) y isin Ltimes = Ltimes otimes Zp Par le theacuteoregraveme drsquoapproximation on peutsupposer que y isin Ltimes1 (le problegraveme venant des ideacuteaux premiers p | p deacutecomposeacutes divisant y) pour cela eacutecrire xinfin = x1 x

prime1p x1 isin Ktimes1 xprime1 isin Ktimes1 comme x1 = xinfin x

prime1minusp est partout norme

locale il existe t isin Ltimes tel que x1 = NLK(t) = NLK(t tprime1minuss) isin NLK(Ltimes1 ) pour un tprime isin Ltimesconvenable finalement xinfin = NLK(t tprime1minuss xprime1) isin NLK(Ltimes1 )On doit ensuite eacutetendre lrsquoapplication iL agrave Ltimes elle est alors agrave valeurs dans le compleacuteteacute profinioplusw|p L

timesw =

oplusw|p(πZpw oplus Uw

)deoplusw|p L

timesw ougrave πw est une uniformisante en w Lrsquoapplication

iL est surjective (de noyau Ltimesinfin) car iL(Ltimes) est dense dansoplus

w|p Ltimesw et le Zp-module engendreacute

par iL(Ltimes) (qui est eacutegal agrave iL(Ltimes)) est fermeacute dans le compleacuteteacute profini qui est un Zp-modulede type finiPuisque xinfin = NLK(y) avec iL(y) isin UL et NLK(iL(y)) = 1 il existe αL isin

oplusw|p L

timesw tel que

iL(y) = α1minussL si Y isin Ltimes est tel que αL = iL(Y ) on a y = Y 1minuss yinfin drsquoougrave xinfin = NLK(yinfin)

et NLK(z) = ζK NLK(yinfin) comme z isin Ltimes1 est deacutefini modulo Ltimesinfin on peut supposer queNLK(z) = ζK et que en ideacuteaux NLK((z)) = 1 soit

(z) = B1minuss B isin IL

Si on a une autre eacutecriture (z) = Bprime1minuss Bprime isin IL il vient B = Bprime (a)L a isin IK On aura Ker(ρ) = 〈 ξL 〉 (ie ρ = 0) si et seulement si il existe τ primeL isin TL tel que τL = τ prime1minussL donc si et seulement si il existe un ideacuteal b isin IL de la forme B (a)minus1

L tel que LogL(b) = 0(voir ci-dessous les rappels sur la fonction Log)

532 Rappels sur la fonction Log mdash Il faut pouvoir eacutetudier (pour un corps de nombres k)les groupes de torsion Tk de faccedilon effective ce qui est possible en utilisant le logarithme Logkintroduit dans [Gr1] sect III22 et qui conduit agrave la suite exacte (dans laquelle Ak = Gal(kk))

1rarr Tk minusminusminusrarr Ak IkPkinfinLogkminusminusminusrarrAk Logk(Ik) = ZpLogk(Ik)rarr 0

ougrave lrsquoon rappelle que (logk eacutetant le logarithme p-adique usuel) Logk IkPkinfin minusminusminusrarr

(oplusv|pkv

)Qplogk(Ek)

est deacutefini pour tout ideacuteal a de k eacutetranger agrave p par

Logk(a) = 1m

logk(a) (mod Qplogk(Ek))

ougrave m est nrsquoimporte quel entier tel que am est un ideacuteal principal (a)En pratique Logk(Pk) = Zp Logk(Pk) est lrsquoimage de logk(Uk) = Zp logk(ktimes1 ) dans le Qp-espace(oplus

v|p kv)Qplogk(Ek) et le Zp-module Logk(Ik) est connu numeacuteriquement degraves que le groupe

des classes lrsquoest (au moyen drsquoideacuteaux geacuteneacuterateurs b1 br modulo Pk) Logk(Ik) =

lang 1h

logk(b1) 1h

logk(br)rangZp

+ logk(Uk) + Qplogk(Ek)

avec bhi = (bi) i = 1 r ougrave h est par exemple lrsquoordre du groupe des classes de k CommeH =

lang 1h logk(b1) 1

h logk(br)rangZp

+ logk(Uk) Z[k Q]p et V = Qplogk(Ek) Qr1+r2minus1

p sousla conjecture de Leopoldt (ougrave r1 + 2 r2 = [k Q]) Logk(Ik) = (H + V )V srsquoidentifie agrave unsous-Zp-module H prime de H tel que H = H prime oplus (H cap V ) (ougrave Hminus = H prime et H+ = (H cap V ) oplus Zpavec les notations habituelles lorsque k est un corps CM)533 Calcul effectif de ρ(ξL) isin NTL mdashOn a vu au sect 531 que ρ est nulle si et seulement siil existe b isin IL tel que (z) = b1minuss avec LogL(b) = 0 comme on a obtenu (z) = B1minuss pourun B isin IL particulier on a ρ = 0 si et seulement si il existe a isin IK tel que B (a)minus1

L = b cequi est eacutequivalent agrave LogL(B) isin LogL((IK)L)Soit σL isin AL correspondant agrave lrsquoimage de B dans ILPLinfin et τL isin TL correspondant agrave cellede (z) on a seulement agrave ce stade τL = σ1minuss

L isin A1minussL ou encore lrsquoexistence de e ge 0 tel que

L isin AGL = jLK(AK) (1)

(drsquoapregraves la formule de points fixes de [Gr1] theacuteoregraveme IV32 dans le cas LK p-ramifieacutee)Par contre si b = B (a)minus1

L existe tel que LogL(b) = 0 et si σK isin AK est lrsquoimage de aon a LogL(σL jLK(σminus1

K )) = 0 ce qui est eacutequivalent agrave σL jLK(σK)minus1 isin TL ou encore agraveτL = σ1minuss

L isin T 1minussL comme attendu (puisque NLK(τL) = 1 la projection de τL dans AK est

triviale donc τL isin Gal(HprL LH

prK ))

Il reste agrave calculer B isin IL Sur un plan effectif on a besoin drsquoun renseignement globalcalculable or ζK est aussi partout norme locale et ζK = NLK(t) ougrave lrsquoon peut par le theacuteoregravemedrsquoapproximation supposer t isin Ltimes1 et lrsquoideacuteal (t) de la forme A1minuss A (ideacuteal laquo ordinaire raquo)eacutetranger agrave p De NLK(iL(z) iL(t)minus1) = 1 on deacuteduit lrsquoexistence de βL isin

oplusw|p L

timesw tel que

iL(z) iL(t)minus1 = β1minussL Soit Z isin Ltimes tel que iL(Z) = βL on a z tminus1 = Z1minuss zinfin soit

(B Aminus1)1minuss = (Z)1minuss (zinfin) donc NLK(zinfin) = ε isin EK cap Ktimesinfin drsquoougrave NLK(zinfin) = 1 etzinfin isin Ltimes1minuss

infin (lemme 15) et quitte agrave modifier Z modulo Ltimesinfin il vient B Aminus1 = (Z) (c)minus1

L c isin IK otimes Zp (2)

G Gras 41

Comme (Z) (c)minus1L isin IL on veacuterifie que βL donc Z et c peuvent ecirctre choisis eacutetrangers agrave p

Puisque (z) = B1minuss et LogL(z) = 0 il vient (1minus s) LogL(B) = 0 drsquoougrave

LogL(B) isin( oplusw|p

LwQp logL(EL)

)G=oplusv|pKvQp logK(EK)

Numeacuteriquement on aura LogL(B) isin 1peLogL(IK) e isin Z avec a priori e ge 0 (relation (1))

comme A et t sont connus il suffit de connaicirctre Z modulo une puissance de p assez grandepour savoir (cf (2)) si LogL(B) = LogL(A) + LogL(Z) isin LogK(IK) ou non dans la mesureougrave LogK(IK) se calcule facilement (cf sect 532)Or iL(Z) isin UL est donneacute par une reacutesolvante de Hilbert par exemple pour p = 3 on a (auproduit pregraves par un eacuteleacutement de

oplusv|pK

timesv ) iL(Z) = 1+ξL iL(t)minus1 +(ξL iL(t)minus1)1+s il suffit

de prendre Z prime = 1 + zprime tminus1 + (zprime tminus1)1+s isin L ougrave zprime isin L est tel que iL(zprime) approche ξL534 Autre formulation du critegravere de nulliteacute de ρ mdashOn sait que lrsquoon peut interpreacuteter lrsquoimagede AL (ou de ILPLinfin) par LogL comme eacutetant AL = Gal(LL) et que le transfert AK minusrarrAL est injectif (lemme 21) Comme la condition neacutecessaire et suffisante de nulliteacute de ρest LogL(σL) isin LogL(AK) ougrave σL correspond agrave lrsquoimage de B dans AL ILPLinfin (avec(z) = B1minuss) il vient

Une condition neacutecessaire et suffisante pour que ρ soit nulle est que la projection de σL dansGal(LL) (ougrave ρ(ξL) = τL = σ1minuss

L ) soit dans le transfert de Gal(KK)

Il paraicirct clair en raison des valeurs aleacuteatoires des logarithmes drsquoideacuteaux de t isin Ltimes tel queNLK(t) = ζK et A tel que (t) = A1minuss que numeacuteriquement tout type drsquoexemple est possible535 Une condition suffisante de nulliteacute de ρ mdashComme le quotient de Herbrand de TL estnul on a |NTL

T 1minussL | = | TK |

|NLK(TL) | Or la norme arithmeacutetique de TL dans LK correspondpar la loi de reacuteciprociteacute drsquoArtin agrave la restriction TL minusrarr TK des automorphismes et unecondition suffisante pour que ρ soit nulle est que cette norme soit surjective Drsquoougrave le reacutesultatsuivant (sous la conjecture de Leopoldt)

Theacuteoregraveme 57 mdash Soit LK une extension cyclique de degreacute p gt 2 kummerienne p-rami-fieacutee non globalement cyclotomique et localement cyclotomique en p (cf theacuteoregraveme 31)Alors une condition suffisante pour que | BPGL | ge | BPK | est que L sub K et que Hpr

K K etLK soient lineacuteairement disjointes sur K

On fera le lien avec le point de vue deacuteveloppeacute dans [NgPMB] lemme 31 proposition 32

6 Conclusion

Le cas trivial ougrave microK = 1 (theacuteoregraveme 23) permet de construire les p-tours p-ramifieacutees deacutefiniespar S Seo dans [Seo6] lesquelles sont infinies dans le cas ougrave BPK 6= 1 (sous la conjecture deLeopoldt pour p dans toute p-extension de K) mais dans les autres cas se pose le problegravemede la propagation des hypothegraveses faites au premier eacutetage Une deacutefinition plus canonique deces p-tours est proposeacutee dans [JaS] et repris dans [JaPMB] ougrave est aussi poseacutee la question deleur infinitude (cf [JaPMB] sect 8)

Si le p-groupe des classes de K est trivial (ou si HK sub K ie C infinK = 1) on a (cf lemme 14) BPK RK = torZp

(logK(UK)Zp logK(EK)

qui deacutepend simplement des proprieacuteteacutes congruentielles du groupe des uniteacutes de K et grossomodo du reacutegulateur p-adique normaliseacute usuel de KDans [Gr7] (cf conjectures 89 811) nous avons conjectureacute pour tout p assez grand la p-rationaliteacute de tout corps de nombres K (cf sect 12 (ii)) ceci entraicircnerait la nulliteacute de BPK pourtout p assez grand indeacutependamment de toute hypothegravese (conjecture de Leopoldt comprise)Il serait utile drsquoeacutetudier la laquo p-rationaliteacute faible raquo que nous avons introduite dans [Gr6] et quistipule que BPK est trivial pour K fixeacute elle nrsquoest distincte de la p-rationaliteacute que pour unnombre fini de pMais on peut dire pour conclure cette eacutetude que crsquoest bien lrsquoensemble des invariants TK quifait la synthegravese des proprieacuteteacutes classiques des classes et uniteacutes des corps de nombres K

Reacutefeacuterences[AS] Angelakis A and Stevenhagen P Absolute abelian Galois groups of imaginary quadratic fields

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18 deacutecembre 2015

Georges Gras Villa la Gardette chemin Chacircteau Gagniegravere F-38520 Le Bourg drsquoOisansE-mail gmngraswanadoofr

11 Le scheacutema de la p-ramification abeacutelienne

12 Historique de la p-ramification Abeacutelienne

13 Le module de BertrandiasndashPayan

2 Eacutetude du laquo transfert raquojLK CK AKWK -4muCLAL WL

21 Geacuteneacuteraliteacutes

22 Identification de WK comme groupe de classes dideacuteaux

23 Caracteacuterisation du noyau de capitulation (cas cyclique de degreacute p)

24 Eacutetude de Ker(jLK) dans le cas kummerien p-ramifieacute cyclique de degreacute p

3 Interpreacutetation de Ker(jLK) =1 via un radical kummerien global


41 Existence de LK cyclique de degreacute p telle que Ker(jLK) =1

42 Exemples numeacuteriques


51 Suites exactes fondamentales

52 Caracteacuterisation de 026A30C Im() 026A30C = p pour LK p-ramifieacutee cyclique de degreacute p

53 Calcul de Ker()

6 Conclusion

Reacutefeacuterences

Publications matheacutematiques de Besanccedilon ndash 2016 25-44

SUR LE MODULE DE BERTRANDIASndashPAYAN DANS UNEp-EXTENSION ndash NOYAU DE CAPITULATION

Georges Gras

Reacutesumeacute mdash Pour un corps de nombres K et un nombre premier p on deacutesigne par BPK lecomposeacute des p-extensions cycliques de K plongeables dans une p-extension cyclique de degreacutearbitrairement grand Lrsquoextension BPKK est p-ramifieacutee et extension finie du composeacute K des Zp-extensions de K Le groupe BPK = Gal(BPKK) est appeleacute le module de BertrandiasndashPayanNous eacutetudions lrsquoapplication transfert jLK BPK minusrarr BPL (comme morphisme de capitulationde classes drsquoideacuteaux) dans une p-extension LK Dans le cas cyclique de degreacute p nous prouvonsque jLK est injectif sauf si LK est kummerienne p-ramifieacutee non globalement cyclotomiquemais localement cyclotomique en p (theacuteoregraveme 31) Nous donnons une formule explicite (theacuteo-regraveme 52) pour | BPG

L | | BPK |minus1 et montrons de quelle faccedilon son inteacutegraliteacute deacutepend du groupede torsion TL du groupe de Galois de la pro-p-extension abeacutelienne p-ramifieacutee maximale de L enutilisant un logarithme p-adique convenable

Abstract mdash (On the BertrandiasndashPayan module in a p-extension ndash Capitulation kernel) Fora number field K and a prime number p we denote by BPK the compositum of the cyclicp-extensions of K which are embeddable into a cyclic p-extension of arbitrary large degreeThe extension BPKK is p-ramified and is a finite extension of the compositum K of the Zp-extensions of K The group BPK = Gal(BPKK) is called the BertrandiasndashPayan module Westudy the transfer map jLK BPK minusrarr BPL (as a capitulation morphism of ideal classes) in ap-extension LK In the cyclic case of degree p we prove that jLK is injective except if LKis kummerian p-ramified non globally cyclotomic but locally cyclotomic at p (Theorem 31)We give an explicit formula (Theorem 52) for | BPG

L | | BPK |minus1 and we show how its entiretydepends on the torsion group TL of the Galois group of the maximal abelian p-ramified pro-p-extension of L by using a suitable p-adic logarithm

Ce texte bien que personnel reacutesulte drsquoun travail en lien eacutetroit avec JeanndashFranccedilois Jaulent(Bordeaux) et Thong Nguyen Quang Do (Besanccedilon) Lrsquooriginaliteacute de la deacutemarche eacutetant quetrois techniques sont proposeacutees (une par auteur) pour aborder le mecircme sujet tout en deacuteve-loppant des conseacutequences et applications diffeacuterentes Ceci nous a sembleacute neacutecessaire dans lamesure ougrave toutes ces techniques sont issues de la theacuteorie du corps de classes mais ont eacuteteacute

Classification matheacutematique par sujets (2010) mdash 11R0411R11 11R16Mots clefs mdash Class field theory p-ramification BertrandiasndashPayan module capitulation of ideal classes transfer

map Kummer theory

=oplusv|p microKv

)sube TK = torZp

C infinK

BKUKEK

HprKKHK BPKRK

HKKcapHK

G Gras 27

EK otimes Zp

KabHprKH

modKHpr

HmodKHKK

G Gras 29

(IKPK(pn))

L subeWK

L = torZp

(logk(Uk)Zplogk(Ek)

)rarr 0

jLK BPK = torZp

G Gras 31

radicα)

G Gras 33

= microKv0pour

= microLw

radica = p

G Gras 35

maximale de K

radiciK(ε)) = 1

Ktimesp1

pK ξK isin W p

L1wpour toute place

1minust2

radicj) K( 3

radicjα3) K( 3

radicα3) (contenue

sont injectives

G Gras 37

ε = 215 + 12radic

321) = p313

radicminus107) = p3

cyclotomique

oplusw|v microLw

avec H1(GWL) =oplus

v|p H1(GWLv)

νminusrarroplus

| BPK | | Im(θ) || Im(ψ) | (3)

| BPGL | =prod

q - p eq( sumq - p

prodq - p

|H1(GmicroL) |

(sumq - p

)=prod

L |= p | WK |

T 1minussL

G Gras 39

L microL

timesw =

)deoplusw|p L

oplusw|p L

timesw tel que

(oplusv|pkv

)Qplogk(Ek)

Logk(a) = 1m

lang 1h

logk(b1) 1h

logk(br)rangZp

lang 1h logk(b1) 1

h logk(br)rangZp

prK ))

oplusw|p L

timesw tel que

G Gras 41

LwQp logL(EL)

oplusv|pK

6 Conclusion

G Gras 43
















53 Calcul de Ker()

6 Conclusion


=oplusv|p microKv

)sube TK = torZp

C infinK

BKUKEK

HprKKHK BPKRK

HKKcapHK

G Gras 27

EK otimes Zp

KabHprKH

modKHpr

HmodKHKK

G Gras 29

(IKPK(pn))

L subeWK

L = torZp

(logk(Uk)Zplogk(Ek)

)rarr 0

jLK BPK = torZp

G Gras 31

radicα)

G Gras 33

= microKv0pour

= microLw

radica = p

G Gras 35

maximale de K

radiciK(ε)) = 1

Ktimesp1

pK ξK isin W p

L1wpour toute place

1minust2

radicj) K( 3

radicjα3) K( 3

radicα3) (contenue

sont injectives

G Gras 37

ε = 215 + 12radic

321) = p313

radicminus107) = p3

cyclotomique

oplusw|v microLw

avec H1(GWL) =oplus

v|p H1(GWLv)

νminusrarroplus

| BPK | | Im(θ) || Im(ψ) | (3)

| BPGL | =prod

q - p eq( sumq - p

prodq - p

|H1(GmicroL) |

(sumq - p

)=prod

L |= p | WK |

T 1minussL

G Gras 39

L microL

timesw =

)deoplusw|p L

oplusw|p L

timesw tel que

(oplusv|pkv

)Qplogk(Ek)

Logk(a) = 1m

lang 1h

logk(b1) 1h

logk(br)rangZp

lang 1h logk(b1) 1

h logk(br)rangZp

prK ))

oplusw|p L

timesw tel que

G Gras 41

LwQp logL(EL)

oplusv|pK

6 Conclusion

G Gras 43
















53 Calcul de Ker()

6 Conclusion


G Gras 27

EK otimes Zp

KabHprKH

modKHpr

HmodKHKK

G Gras 29

(IKPK(pn))

L subeWK

L = torZp

(logk(Uk)Zplogk(Ek)

)rarr 0

jLK BPK = torZp

G Gras 31

radicα)

G Gras 33

= microKv0pour

= microLw

radica = p

G Gras 35

maximale de K

radiciK(ε)) = 1

Ktimesp1

pK ξK isin W p

L1wpour toute place

1minust2

radicj) K( 3

radicjα3) K( 3

radicα3) (contenue

sont injectives

G Gras 37

ε = 215 + 12radic

321) = p313

radicminus107) = p3

cyclotomique

oplusw|v microLw

avec H1(GWL) =oplus

v|p H1(GWLv)

νminusrarroplus

| BPK | | Im(θ) || Im(ψ) | (3)

| BPGL | =prod

q - p eq( sumq - p

prodq - p

|H1(GmicroL) |

(sumq - p

)=prod

L |= p | WK |

T 1minussL

G Gras 39

L microL

timesw =

)deoplusw|p L

oplusw|p L

timesw tel que

(oplusv|pkv

)Qplogk(Ek)

Logk(a) = 1m

lang 1h

logk(b1) 1h

logk(br)rangZp

lang 1h logk(b1) 1

h logk(br)rangZp

prK ))

oplusw|p L

timesw tel que

G Gras 41

LwQp logL(EL)

oplusv|pK

6 Conclusion

G Gras 43
















53 Calcul de Ker()

6 Conclusion


EK otimes Zp

KabHprKH

modKHpr

HmodKHKK

G Gras 29

(IKPK(pn))

L subeWK

L = torZp

(logk(Uk)Zplogk(Ek)

)rarr 0

jLK BPK = torZp

G Gras 31

radicα)

G Gras 33

= microKv0pour

= microLw

radica = p

G Gras 35

maximale de K

radiciK(ε)) = 1

Ktimesp1

pK ξK isin W p

L1wpour toute place

1minust2

radicj) K( 3

radicjα3) K( 3

radicα3) (contenue

sont injectives

G Gras 37

ε = 215 + 12radic

321) = p313

radicminus107) = p3

cyclotomique

oplusw|v microLw

avec H1(GWL) =oplus

v|p H1(GWLv)

νminusrarroplus

| BPK | | Im(θ) || Im(ψ) | (3)

| BPGL | =prod

q - p eq( sumq - p

prodq - p

|H1(GmicroL) |

(sumq - p

)=prod

L |= p | WK |

T 1minussL

G Gras 39

L microL

timesw =

)deoplusw|p L

oplusw|p L

timesw tel que

(oplusv|pkv

)Qplogk(Ek)

Logk(a) = 1m

lang 1h

logk(b1) 1h

logk(br)rangZp

lang 1h logk(b1) 1

h logk(br)rangZp

prK ))

oplusw|p L

timesw tel que

G Gras 41

LwQp logL(EL)

oplusv|pK

6 Conclusion

G Gras 43
















53 Calcul de Ker()

6 Conclusion


G Gras 29

(IKPK(pn))

L subeWK

L = torZp

(logk(Uk)Zplogk(Ek)

)rarr 0

jLK BPK = torZp

G Gras 31

radicα)

G Gras 33

= microKv0pour

= microLw

radica = p

G Gras 35

maximale de K

radiciK(ε)) = 1

Ktimesp1

pK ξK isin W p

L1wpour toute place

1minust2

radicj) K( 3

radicjα3) K( 3

radicα3) (contenue

sont injectives

G Gras 37

ε = 215 + 12radic

321) = p313

radicminus107) = p3

cyclotomique

oplusw|v microLw

avec H1(GWL) =oplus

v|p H1(GWLv)

νminusrarroplus

| BPK | | Im(θ) || Im(ψ) | (3)

| BPGL | =prod

q - p eq( sumq - p

prodq - p

|H1(GmicroL) |

(sumq - p

)=prod

L |= p | WK |

T 1minussL

G Gras 39

L microL

timesw =

)deoplusw|p L

oplusw|p L

timesw tel que

(oplusv|pkv

)Qplogk(Ek)

Logk(a) = 1m

lang 1h

logk(b1) 1h

logk(br)rangZp

lang 1h logk(b1) 1

h logk(br)rangZp

prK ))

oplusw|p L

timesw tel que

G Gras 41

LwQp logL(EL)

oplusv|pK

6 Conclusion

G Gras 43
















53 Calcul de Ker()

6 Conclusion


L = torZp

(logk(Uk)Zplogk(Ek)

)rarr 0

jLK BPK = torZp

G Gras 31

radicα)

G Gras 33

= microKv0pour

= microLw

radica = p

G Gras 35

maximale de K

radiciK(ε)) = 1

Ktimesp1

pK ξK isin W p

L1wpour toute place

1minust2

radicj) K( 3

radicjα3) K( 3

radicα3) (contenue

sont injectives

G Gras 37

ε = 215 + 12radic

321) = p313

radicminus107) = p3

cyclotomique

oplusw|v microLw

avec H1(GWL) =oplus

v|p H1(GWLv)

νminusrarroplus

| BPK | | Im(θ) || Im(ψ) | (3)

| BPGL | =prod

q - p eq( sumq - p

prodq - p

|H1(GmicroL) |

(sumq - p

)=prod

L |= p | WK |

T 1minussL

G Gras 39

L microL

timesw =

)deoplusw|p L

oplusw|p L

timesw tel que

(oplusv|pkv

)Qplogk(Ek)

Logk(a) = 1m

lang 1h

logk(b1) 1h

logk(br)rangZp

lang 1h logk(b1) 1

h logk(br)rangZp

prK ))

oplusw|p L

timesw tel que

G Gras 41

LwQp logL(EL)

oplusv|pK

6 Conclusion

G Gras 43
















53 Calcul de Ker()

6 Conclusion


G Gras 31

radicα)

G Gras 33

= microKv0pour

= microLw

radica = p

G Gras 35

maximale de K

radiciK(ε)) = 1

Ktimesp1

pK ξK isin W p

L1wpour toute place

1minust2

radicj) K( 3

radicjα3) K( 3

radicα3) (contenue

sont injectives

G Gras 37

ε = 215 + 12radic

321) = p313

radicminus107) = p3

cyclotomique

oplusw|v microLw

avec H1(GWL) =oplus

v|p H1(GWLv)

νminusrarroplus

| BPK | | Im(θ) || Im(ψ) | (3)

| BPGL | =prod

q - p eq( sumq - p

prodq - p

|H1(GmicroL) |

(sumq - p

)=prod

L |= p | WK |

T 1minussL

G Gras 39

L microL

timesw =

)deoplusw|p L

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(oplusv|pkv

)Qplogk(Ek)

Logk(a) = 1m

lang 1h

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logk(br)rangZp

lang 1h logk(b1) 1

h logk(br)rangZp

prK ))

oplusw|p L

timesw tel que

G Gras 41

LwQp logL(EL)

oplusv|pK

6 Conclusion

G Gras 43
















53 Calcul de Ker()

6 Conclusion


G Gras 33

= microKv0pour

= microLw

radica = p

G Gras 35

maximale de K

radiciK(ε)) = 1

Ktimesp1

pK ξK isin W p

L1wpour toute place

1minust2

radicj) K( 3

radicjα3) K( 3

radicα3) (contenue

sont injectives

G Gras 37

ε = 215 + 12radic

321) = p313

radicminus107) = p3

cyclotomique

oplusw|v microLw

avec H1(GWL) =oplus

v|p H1(GWLv)

νminusrarroplus

| BPK | | Im(θ) || Im(ψ) | (3)

| BPGL | =prod

q - p eq( sumq - p

prodq - p

|H1(GmicroL) |

(sumq - p

)=prod

L |= p | WK |

T 1minussL

G Gras 39

L microL

timesw =

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lang 1h

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logk(br)rangZp

lang 1h logk(b1) 1

h logk(br)rangZp

prK ))

oplusw|p L

timesw tel que

G Gras 41

LwQp logL(EL)

oplusv|pK

6 Conclusion

G Gras 43
















53 Calcul de Ker()

6 Conclusion


G Gras 33

= microKv0pour

= microLw

radica = p

G Gras 35

maximale de K

radiciK(ε)) = 1

Ktimesp1

pK ξK isin W p

L1wpour toute place

1minust2

radicj) K( 3

radicjα3) K( 3

radicα3) (contenue

sont injectives

G Gras 37

ε = 215 + 12radic

321) = p313

radicminus107) = p3

cyclotomique

oplusw|v microLw

avec H1(GWL) =oplus

v|p H1(GWLv)

νminusrarroplus

| BPK | | Im(θ) || Im(ψ) | (3)

| BPGL | =prod

q - p eq( sumq - p

prodq - p

|H1(GmicroL) |

(sumq - p

)=prod

L |= p | WK |

T 1minussL

G Gras 39

L microL

timesw =

)deoplusw|p L

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lang 1h

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logk(br)rangZp

lang 1h logk(b1) 1

h logk(br)rangZp

prK ))

oplusw|p L

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G Gras 41

LwQp logL(EL)

oplusv|pK

6 Conclusion

G Gras 43
















53 Calcul de Ker()

6 Conclusion


= microLw

radica = p

G Gras 35

maximale de K

radiciK(ε)) = 1

Ktimesp1

pK ξK isin W p

L1wpour toute place

1minust2

radicj) K( 3

radicjα3) K( 3

radicα3) (contenue

sont injectives

G Gras 37

ε = 215 + 12radic

321) = p313

radicminus107) = p3

cyclotomique

oplusw|v microLw

avec H1(GWL) =oplus

v|p H1(GWLv)

νminusrarroplus

| BPK | | Im(θ) || Im(ψ) | (3)

| BPGL | =prod

q - p eq( sumq - p

prodq - p

|H1(GmicroL) |

(sumq - p

)=prod

L |= p | WK |

T 1minussL

G Gras 39

L microL

timesw =

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lang 1h

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logk(br)rangZp

lang 1h logk(b1) 1

h logk(br)rangZp

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oplusw|p L

timesw tel que

G Gras 41

LwQp logL(EL)

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6 Conclusion

G Gras 43
















53 Calcul de Ker()

6 Conclusion


G Gras 35

maximale de K

radiciK(ε)) = 1

Ktimesp1

pK ξK isin W p

L1wpour toute place

1minust2

radicj) K( 3

radicjα3) K( 3

radicα3) (contenue

sont injectives

G Gras 37

ε = 215 + 12radic

321) = p313

radicminus107) = p3

cyclotomique

oplusw|v microLw

avec H1(GWL) =oplus

v|p H1(GWLv)

νminusrarroplus

| BPK | | Im(θ) || Im(ψ) | (3)

| BPGL | =prod

q - p eq( sumq - p

prodq - p

|H1(GmicroL) |

(sumq - p

)=prod

L |= p | WK |

T 1minussL

G Gras 39

L microL

timesw =

)deoplusw|p L

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)Qplogk(Ek)

Logk(a) = 1m

lang 1h

logk(b1) 1h

logk(br)rangZp

lang 1h logk(b1) 1

h logk(br)rangZp

prK ))

oplusw|p L

timesw tel que

G Gras 41

LwQp logL(EL)

oplusv|pK

6 Conclusion

G Gras 43
















53 Calcul de Ker()

6 Conclusion


radiciK(ε)) = 1

Ktimesp1

pK ξK isin W p

L1wpour toute place

1minust2

radicj) K( 3

radicjα3) K( 3

radicα3) (contenue

sont injectives

G Gras 37

ε = 215 + 12radic

321) = p313

radicminus107) = p3

cyclotomique

oplusw|v microLw

avec H1(GWL) =oplus

v|p H1(GWLv)

νminusrarroplus

| BPK | | Im(θ) || Im(ψ) | (3)

| BPGL | =prod

q - p eq( sumq - p

prodq - p

|H1(GmicroL) |

(sumq - p

)=prod

L |= p | WK |

T 1minussL

G Gras 39

L microL

timesw =

)deoplusw|p L

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(oplusv|pkv

)Qplogk(Ek)

Logk(a) = 1m

lang 1h

logk(b1) 1h

logk(br)rangZp

lang 1h logk(b1) 1

h logk(br)rangZp

prK ))

oplusw|p L

timesw tel que

G Gras 41

LwQp logL(EL)

oplusv|pK

6 Conclusion

G Gras 43
















53 Calcul de Ker()

6 Conclusion


G Gras 37

ε = 215 + 12radic

321) = p313

radicminus107) = p3

cyclotomique

oplusw|v microLw

avec H1(GWL) =oplus

v|p H1(GWLv)

νminusrarroplus

| BPK | | Im(θ) || Im(ψ) | (3)

| BPGL | =prod

q - p eq( sumq - p

prodq - p

|H1(GmicroL) |

(sumq - p

)=prod

L |= p | WK |

T 1minussL

G Gras 39

L microL

timesw =

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)Qplogk(Ek)

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lang 1h

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lang 1h logk(b1) 1

h logk(br)rangZp

prK ))

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timesw tel que

G Gras 41

LwQp logL(EL)

oplusv|pK

6 Conclusion

G Gras 43
















53 Calcul de Ker()

6 Conclusion


| BPK | | Im(θ) || Im(ψ) | (3)

| BPGL | =prod

q - p eq( sumq - p

prodq - p

|H1(GmicroL) |

(sumq - p

)=prod

L |= p | WK |

T 1minussL

G Gras 39

L microL

timesw =

)deoplusw|p L

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(oplusv|pkv

)Qplogk(Ek)

Logk(a) = 1m

lang 1h

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lang 1h logk(b1) 1

h logk(br)rangZp

prK ))

oplusw|p L

timesw tel que

G Gras 41

LwQp logL(EL)

oplusv|pK

6 Conclusion

G Gras 43
















53 Calcul de Ker()

6 Conclusion


G Gras 39

L microL

timesw =

)deoplusw|p L

oplusw|p L

timesw tel que

(oplusv|pkv

)Qplogk(Ek)

Logk(a) = 1m

lang 1h

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logk(br)rangZp

lang 1h logk(b1) 1

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G Gras 41

LwQp logL(EL)

oplusv|pK

6 Conclusion

G Gras 43
















53 Calcul de Ker()

6 Conclusion


(oplusv|pkv

)Qplogk(Ek)

Logk(a) = 1m

lang 1h

logk(b1) 1h

logk(br)rangZp

lang 1h logk(b1) 1

h logk(br)rangZp

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oplusw|p L

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G Gras 41

LwQp logL(EL)

oplusv|pK

6 Conclusion

G Gras 43
















53 Calcul de Ker()

6 Conclusion


G Gras 41

LwQp logL(EL)

oplusv|pK

6 Conclusion

G Gras 43
















53 Calcul de Ker()

6 Conclusion


G Gras 43
















53 Calcul de Ker()

6 Conclusion


G Gras 43
















53 Calcul de Ker()

6 Conclusion


Documents

Publications mathématiques de Besançonpmb.univ-fcomte.fr/2016/Gras.pdf · Publications mathématiques de Besançon –2016,25-44 SURLEMODULEDEBERTRANDIAS–PAYANDANSUNE p-EXTENSION–NOYAUDECAPITULATION