Séquence Propriété de Pythagore dans le triangle rectangle (1) 1 CAP

Page 1 : extrait du référentielPage 2 : situation problème : document élève Page 3 : dessins d'écran plat à ditribuer aux élèves : document élèvePage 4 : élèment de réponse à projeter - équivalent au diaporamaPage 5 : autre proposition d'élèment de réponse pour des élèves plus en difficulté. Document élève à compléter.

Extrait du référentiel :

8- Propriétés de Pythagore et de Thalès

DOMAINES DE CONNAISSANCES

CAPACITÉSÉVALUATION

CONDITIONS EXEMPLES D'ACTIVITÉS

Propriété de Pythagore et réciproque

Calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle.

Identifier un triangle rectangle.

Les longueurs de deux côtés sont donnés, la longueur du troisième se calcule en utilisant la propriété de Pythagore.

Les longueurs des trois côtés sont données.

L’identification se fait à l’aide de la réciproque de la propriété de Pythagore.

Calcul d’une longueur à partir d’une figure géométrique.

Calcul d’une cote à partir d’un dessin technique.

Situation problème :

Nicolas souhaite acheter un écran plat ayant une diagonale de 101 cm (40 "), le vendeur propose deux modèles sur catalogue, il ne connait que la largeur et la longueur.

Modèle Longueur (cm) Largeur (cm)

A 70,60 39,71

B 88,03 49, 52

a) Quelle doit être la caractéristique de l'écran plat que veut acheter Nicolas ?

b) Proposer une méthode permettant de retrouver la longueur de la diagonale de l'écran (sans faire de mesure).

Nicolas souhaite acheter un écran plat ayant une diagonale de 101 cm (40 "), le vendeur propose deux modèles sur catalogue, il ne connait que la largeur et la longueur.

Modèle Longueur (cm) Largeur (cm)

A 70,60 39,71

B 88,03 49, 52

a) Quelle doit être la caractéristique de l'écran plat que veut acheter Nicolas ?

b) Proposer une méthode permettant de retrouver la longueur de la diagonale de l'écran (sans faire de mesure).

Nicolas souhaite acheter un écran plat ayant une diagonale de 101 cm (40 "), le vendeur propose deux modèles sur catalogue, il ne connait que la largeur et la longueur.

Modèle Longueur (cm) Largeur (cm)

A 70,60 39,71

B 88,03 49, 52

a) Quelle doit être la caractéristique de l'écran plat que veut acheter Nicolas ?

b) Proposer une méthode permettant de retrouver la longueur de la diagonale de l'écran (sans faire de mesure).

Nicolas souhaite acheter un écran plat ayant une diagonale de 101 cm (40 "), le vendeur propose deux modèles sur catalogue, il ne connait que la largeur et la longueur.

Modèle Longueur (cm) Largeur (cm)

A 70,60 39,71

B 88,03 49, 52

a) Quelle doit être la caractéristique de l'écran plat que veut acheter Nicolas ?

b) Proposer une méthode permettant de retrouver la longueur de la diagonale de l'écran (sans faire de mesure).

Différents éléments de réponse ( à choisir suivant le niveau)

Elément de réponse :

B

A C

Elément de réponse :

L'écran a la forme d'un rectangle.

On a donc quatre angles droits

On cherche la dimension de la diagonale de l'écran :

Il s'agit de l'hypoténuse du triangle ABC rectangle en A.

Pour calculer la longueur de l'hypoténuse dans un triangle rectangle on utilise la propriété de Pythagore.BC² = AB² + AC².

B

A C

B

A C

B

A C

Elément de réponse :

L'écran a la forme d'un rectangle.

Préciser à l’aide de la figure ci-dessous la nature du triangle ABC : ……………………………..……………………………...………

Indiquer sur la figure ci-contre ou se trouve l’angle droit dans le triangle ABC : ……………………………..

Quelle est l’hypoténuse du triangle ABC : …………………..

Énoncer la propriété de Pythagore dans le triangle ABC précédent.……………………………..…………………………….…………

Elément de réponse :

L'écran a la forme d'un rectangle.

Préciser à l’aide de la figure ci-dessous la nature du triangle ABC : ……………………………..……………………………...………

Indiquer sur la figure ci-contre ou se trouve l’angle droit dans le triangle ABC : ……………………………..

Quelle est l’hypoténuse du triangle ABC : …………………..

Énoncer la propriété de Pythagore dans le triangle ABC précédent.……………………………..…………………………….…………

Elément de réponse :

L'écran a la forme d'un rectangle.

Préciser à l’aide de la figure ci-dessous la nature du triangle ABC : ……………………………..……………………………...………

Indiquer sur la figure ci-contre ou se trouve l’angle droit dans le triangle ABC : ……………………………..

Quelle est l’hypoténuse du triangle ABC : …………………..

Énoncer la propriété de Pythagore dans le triangle ABC précédent.……………………………..…………………………….…………

Trace écrite :

Pour calculer la mesure d'un côté dans un triangle rectangle, connaissant les deux autres , on utilise la propriété de Pythagore,

1) Vocabulaire :

Hypoténuse

Côtés de l'angle droit

Quelque soit le triangle rectangle, l'hypoténuse est le plus grand des trois côtés.

2) Enoncé de la propriété de Pythagore :

Si ABC est un triangle rectangle en A alors d'après la propriété de Pythagore :

BC² = AB²+AC²

Remarques : La somme des carrés de l’angle droit est égale au carré de l’hypoténuse.

Le théorème ne s'applique que dans un triangle rectangle

3) Méthodologie.

Voir page suivante :

B

A CExemple de situation

Trouver la mesure de la diagonale de l'écran rectangulaire pour le modèle A

Etapes Exemple de ce que je dois écrire

Choix et énoncé de la

propriété

Je vérifie que l'on soit en présence d'un triangle rectangle.Je construit éventuellement une figure avec des lettres.J'indique dans quel triangle j'applique la propriété.

J'applique la propriété de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en A :

Je vérifie que l'on connaisse la mesure de deux des cotés du triangle rectangle. Je repère ces mesures dans l'énoncé.J'écris les données.

Modèle Longueur (cm) Largeur (cm)A 70,60 39,71B 88,03 49, 52

AB = 39,71 cmAC = 70,60 cmBC = ?

J'énonce la propriété en l'adaptant à l'énoncé. BC² = AB² + AC²

Calcul du coté

Je remplace les longueurs connues des cotés par les

données numériques.BC² = 39,71² + 70,60²

La racine carrée (notée. √❑ ) permet "d'enlever" le carré.

La calculatrice donne une valeur approchée de la racine

carrée.

Touches de la calculatrice à connaitre :

Racine carrée : √ x ou √❑ taper 2nde puis x² .

Carré : x² ou ² .

BC = √39 ,71²+70 ,60²

BC = 81,002

(valeur arrondie au millième)

Séquence calculatrice CASIO:

39,71 + 70,70Séquence calculatrice TI 40 ou TI 30

39,71 + 70,70

Conclusion

Je reviens à la question posée pour conclure La diagonale de l'écran pour le modèle A est de 81 cm

Modèle Longueur (cm) Largeur (cm)A 70,60 39,71B 88,03 49, 52

D

E F

2 m

3 m

A

B

S

7 m

35 °

A B

S

A

T

SN

M

8 m

S

R T

5 m

J

I K

20

32 K75 cm

45 cm

L

J

?

EXERCICES Propriété de Pythagore dans le triangle rectangle 1 CAPExercice 1. C1 Pour calculer la longueur DF on utilise la propriété de Pythagore dans le triangle EDF rectangle en E : DF² = ED² + EF².Indiquer les données nécessaires permettant de calculer la mesure du segment DF.

Exercice 2. Pour pouvoir appliquer la propriété de Pythagore, je dois obligatoirement :

1. Etre en présence d'un triangle rectangle2. Posséder au minimum la mesure de 2 des côtés du triangle rectangle, pour pouvoir calculer la mesure du 3ème côté

Parmi les cas suivants , indiquer ceux ou l'on va pouvoir utiliser la propriété de Pythagore pour calculer la mesure du segment AS. Justifier la réponse. C2/C4Cas n° 1 2 3 4

situation

Soit le cylindre ci-contre, de hauteur h = 3 m et de diamètre D = 7 m.La longueur AS est en pointillée sur la figure.

Le cône de révolution ci-dessus est tel que AB = 6 cm et OS = 5 cm

AT = 80 mmTS = 75 mmMN = 15 mm

justification

Exercice 3. C1/C5

Dans les cas choisis dans l'exercice précédent indiquer les données utiles à l'utilisation de la propriété de Pythagore.

Exercice 4.Dans chaque cas compléter si nécessaire les conditions d'application de la propriété de Pythagore , les calculs permettant de connaitre la mesure, arrondie au centième, de l'hypoténuse et faire une phrase de conclusion.

C2 / C5

Les cotes sont en mm

C3

……………………………………………………………………………………………...RT² = SR² + RT² SR = 5 m et RT = 8 mRT² = 5² + 8²RT = √ (52+82)RT = 9,43……………………………………………………………………………………………….

J'applique la propriété de Pythagore dans le triangle IJK rectangle en I :JK² = …… + ……. IJ = ………. et IK = ……………JK² = …….+………JK = …………………..JK = ………………..

Le segment [JK] mesure 37,74 mm

A faire sur le cahier C2 / C3 /C5

Exercice 5. C3a) Dans le cas du cylindre(cas n°1 de l'exercice 2) , un élève trouve AS = 2 m. Cette valeur est-elle correcte ? Justifier.

b) Calculer la mesure du segment [AS] du cylindre .

Exercice 6. Un arbre a été abattu par la foudre. Quelle était sa hauteur avant (en m)