équations de Lagrange en mécanique analytiquefred.elie.free.fr/equations_de_Lagrange.pdfLa mécanique de Newton est la première formulation rationnelle pour décrire le mouvement

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Introduction aux équations de Lagrange en mécanique analytique

Frédéric Elie, octobre 2011

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- Résumé -

La mécanique de Newton est la première formulation rationnelle pour décrire le mouvement des corpssous l'action d'une force. Elle utilise les grandeurs vectorielles que sont la vitesse et l'accélération ducorps, et la force. Un de ses principes de base (ou « lois » de Newton) est de poser qu'un corps changede vitesse (donc prend une accélération) sous l'action d'une force extérieure et que le rapport entre cesdeux quantités est linéaire. Si F est la force, a l'accélération, v la vitesse du corps supposé ponctuel M,ce principe s'écrit :

F(M) = ma(M)

Il fait intervenir, dans cette relation de proportionnalité, la masse m du corps, supposée invariable : elles'appelle la masse inerte, pour la distinguer de la masse gravitationnelle qui intervient dans la loi de lagravitation universelle. On sait que ces deux masses sont égales aux précisions expérimentales trèspoussées actuelles, chose qui légitime l'un des principes fondamentaux de la Relativité Généraled'Einstein.Le principe de la dynamique newtonienne se réécrit également :

a(M) = F(M)/m

montrant qu'un corps, soumis à une force donnée, change d'autant moins facilement son mouvementqu'il est massif. Un tel résultat est expérimenté chaque jour par chacun d'entre nous : j'ai plus de mal àbouger un bahut qu'une boîte de chaussures quand j'appuie avec la même force.Remarquons d'ailleurs que la relation précédente, linéaire, pourrait être l'approximation au premier ordred'un développement plus complexe faisant intervenir des termes non linéaires de la force : après toutcette situation est assez courante en physique, pour les relations entre une source et la réponse dusystème, si l'on songe par exemple aux modèles non linéaires de phénomènes de transfert (conduction,diffusion...), d'hydrodynamique, d'acoustique non linéaire, d'optique non linéaire, etc. Mais cetteremarque reçoit partiellement une réponse positive dans la reformulation de la dynamique en relativitégénérale : en effet, dans un champ de gravitation, ou dans tout référentiel d'inertie qui lui est équivalent,l'énergie du mouvement acquise par la gravitation devient à son tour une source de gravitation, ce quiconfère la propriété de non linéarité aux équations relativistes. Mais ceci est une autre histoire !...

Revenons à la dynamique newtonienne. L'accélération étant a = dv/dt, le principe fondamental s'écrit

©Frédéric Elie – http://fred.elie.free.fr, octobre 2011 page 1/30

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aussi :

F(M) = mdv(M)/dt = d(mv(M))/dt

la masse étant supposée conservée, introduisant la grandeur vectorielle quantité de mouvement :

p(M) = mv(M)

Le principe prend alors l'expression de D'Alembert :

F(M) = dp(M)/dt

qui, plus qu'un jeu d'écriture, présente l'avantage d'étendre le principe de la dynamique aux corps demasse variable, mais prépare aussi le terrain des grandeurs appelées moments dans le formalismehamiltonien.Le caractère vectoriel de la dynamique newtonienne nécessite d'écrire les équations du mouvementdans un référentiel spatial repéré par une base de vecteurs. Tout changement de référentield'observation entraîne une modification des grandeurs vectorielles intervenant dans le mouvement,modification qui peut s'avérer rapidement peu maniable.En outre, il existe en physique des évolutions d'états de système qui ne se décrivent pas d'emblée etdirectement dans un référentiel vectoriel, et qui ne reçoivent pas une description vectorielle (exemples :transformations thermodynamiques, transferts électrodynamiques, etc.) : la description peut êtrescalaire, tensorielle, spinorielle... Certes, un scalaire peut être vu comme un vecteur particulier, et unvecteur est le cas particulier d'un tenseur ou d'un spineur.Il est donc intéressant de pouvoir ré-exprimer les principes de la dynamique par une formulationgénérale non vectorielle où les changements de référentiels sont automatiquement intégrés dans leformalisme et où apparaissent des quantités invariantes, généralisant les constantes du mouvement oules intégrales premières. Dans une telle formulation, des phénomènes pourront être décrits sans devoirêtre obligatoirement rattachés à l'espace euclidien tridimensionnel ordinaire. Elle permettra doncd'élargir les principes de la dynamique à des principes plus généraux qui permettront de traiter desprocessus non uniquement mécaniques.C'est précisément ce que permet le formalisme lagrangien, à la base de la mécanique analytique, puisson extension au formalisme hamiltonien. Ces deux formalismes sont à leur tour absorbés dans leformalisme plus général de la géométrie symplectique.

Les conditions de symétrie et d'invariances amènent à traiter ces formalismes par les outils de lagéométrie différentielle qui ne traite plus les objets et les mouvements comme des vecteurs d'un espacevectoriel, mais en décrivant les processus sur des variétés différentielles, et non plus seulement dansdes espaces vectoriels. Avec les outils de la géométrie différentielle, des passerelles entre lesformalismes lagrangien, hamiltonien et symplectique sont établies et en garantissent la cohérencemutuelle. Dit rapidement, le traitement géométrique (au sens géométrie différentielle) du formalismelagrangien en fait ressortir le caractère de contravariance, tandis qu'il fait ressortir le caractère decovariance du formalisme hamiltonien (ces notions de contravariance et de covariance sont présentées,par exemple, dans mon article « Paradoxe de la montgolfière et relativité générale »).

Nous verrons que l'état dynamique d'un système quelconque peut être donné par ses degrés de liberté(où coordonnées généralisées) qui tiennent compte des contraintes de liaison interne et des grandeurspertinentes pour la description du mouvement : ce sont les vecteurs (q) d'une variété différentielleappelée espace de configuration, généralement différent de l'espace vectoriel des coordonnéesspatiales classiques. L'espace de configuration est une variété différentielle Q. Son espace fibré tangent(c'est-à-dire l'ensemble de tous les espaces tangents à Q en tous ses points) est noté TQ : il est formédes vecteurs coordonnées généralisées (q), qui appartiennent à Q, et de leurs dérivées par rapport autemps (q°). Le formalisme lagrangien est alors relatif aux correspondances entre TQ et les grandeursscalaires :

L: TQ → R (nombres réels) ou C (nombres complexes)(q,q°) → L(q,q°)

En revanche, le formalisme hamiltonien est développé sur l'espace fibré cotangent de la variété Q des



http://fred.elie.free.fr/paradoxe_montgolfiere.pdf

coordonnées généralisées (q), il est noté TQ* (le fibré cotangent est l'ensemble des formesdifférentielles construites sur le fibré tangent, c'est-à-dire un certain type d'applications affectant à toutvecteur (q, q°) un scalaire). Les éléments de TQ* sont formés des coordonnées généralisées (q) et deleurs moments conjugués (p) (qui généralisent les quantités de mouvement vectorielles p quiinterviennent dans le principe de D'Alembert vu plus haut). Le formalisme hamiltonien, quant à lui, estrelatif aux correspondances (dites forme de Liouville) entre TQ* et les grandeurs scalaires :

H: TQ* → R ou C(q,p) → H(q,p)

L'espace des (q,p), variables canoniquement conjuguées, dont la structure géométrique est celle deTQ*, est aussi appelé espace des phases.En termes d'algèbre, on dit que TQ* est l'espace dual de TQ. Le passage de TQ à TQ* est latranformation de Legendre : elle permet de transformer le point de vue lagrangien en le point de vuehamiltonien, et donc d'assurer leur cohérence mutuelle.

Paradoxalement, l'objectif initial du formalisme lagrangien qui consistait à traduire par l'AnalyseMathématique la formulation vectorielle de la dynamique et de s'affranchir de celle-ci, a conduit, par unapprofondissement de ses propriétés de symétrie et d'invariance, à une approche de nouveaugéométrique mais élargie aux opérations sur les variétés différentielles et à leur structure symplectique.

Citons Joseph Louis Lagrange lui-même (1736-1813) dans son introduction de son traité « MécaniqueAnalytique » (1811) :

« Je me suis proposé de réduire la théorie de cette Science [la mécanique], et l'art de résoudre lesproblèmes qui s'y rapportent, à des formules générales, dont le simple développement donne toutes leséquations nécessaires pour la solution de chaque problème (…). On ne trouvera point de figures danscet Ouvrage. Les méthodes que j'y expose ne demandent ni constructions, ni raisonnementsgéométriques ou mécaniques, mais seulement des opérations algébriques, assujetties à une marcherégulière et uniforme. Ceux qui aiment l'Analyse verront avec plaisir la Mécanique en devenir unenouvelle branche, et me sauront gré d'en avoir étendu ainsi le domaine. »

Nous savons surtout gré à J. L. Lagrange d'avoir révolutionné la physique moderne par ce coup degénie !

Dans cet article, nous aborderons seulement l'introduction du formalisme lagrangien dont l'une desexpressions fondamentales est l'équation de Lagrange. Je montrerai comment celle-ci peut être obtenuede trois manières différentes (ce ne sont pas les seules) :

• à partir directement de la dynamique newtonienne ;• à partir du principe des travaux virtuels de D'Alembert ;• à partir des principes du calcul variationnel (théorie d'Euler-Lagrange).

Nous verrons comment le passage de l'espace vectoriel ordinaire, qui sert de cadre à la dynamiquenewtonienne, à l'espace de configuration Q introduit la notion de forces et de moments généralisés, etcomment ceux-ci offrent une manière de résoudre élégamment un problème de mécanique dont ledéveloppement en dynamique newtonienne serait fastidieux, surtout pour tenir compte des contraintesde liaisons internes au système mécanique étudié.A propos du principe du calcul variationnel – ou principe de moindre action – nous verrons égalementcomment s'introduisent naturellement les actions de Jacobi et de Maupertuis.

Nous ne traiterons pas ici du formalisme hamiltonien, ni des aspects de la géométrie différentielleassociée aux formalismes lagrangien ou hamiltonien, ni a fortiori de la géométrie symplectique, de latransformation de Legendre, etc.

Le présent article, et sa longue introduction, serviront de base aux autres articles développant ouexploitant l'un ou l'autre de ces aspects pour toute question de physique où l'emploi de la mécaniqueanalytique s'avère le plus pertinent.



1 – LES ÉQUATIONS DE LAGRANGE COMME EXTENSION DE LA DYNAMIQUENEWTONIENNE

Soit un système de N particules, supposées ponctuelles, chacune d'elles étant numérotée par unnombre entier ou indice j = 1, 2, …, N.Leur dynamique est décrite par l'application du principe de d'Alembert (voir l'introduction ci-dessus) :

– chaque particule j, animée d'une vitesse vj mesurée dans un référentiel (O,i,j,k) où les vecteursde base i, j, k sont orthonormés, est soumise à une force Fj.

– Chaque particule acquiert alors une accélération aj = dvj/dt sous l'effet de la force Fj telle que :

Fj = d/dt (mjvj) = mj dvj/dt = mj aj

où mj est la masse inerte de la particule n°j de vecteur coordonnées spatiales OMj = xji + yjj + zjk dansle référentiel (O,i,j,k).Pour chaque particule Mj la force exercée sur elle Fj est égale à la somme :

– des forces extérieures FE,j

– et des forces d'interaction entre les N-1 autres particules du système Fkj où k = 1,2...N avec k ≠ j :

F j=F E , j+∑k≠ j

N

F kj

Calculons le travail des forces de l'ensemble du système, c'est-à-dire le travail obtenu par ledéplacement de toutes les forces sur leurs points d'appui.Pour un déplacement élémentaire drj = dxj i + dyj j + dzj k de la force Fj exercée sur Mj, le travailélémentaire est :

dT j=F j .d r j=F E , j .d r j+∑k≠ j

N

Fkj .d r j

Pour l'ensemble du système le travail élémentaire est donc la somme des travaux élémentaires dechaque particule :

dT=∑j=1

N

dT j=∑j=1

N

F E , j .d r j+∑j=1

N

∑k≠ j

N

F kj .d r j

Or d'après le principe de d'Alembert :

dT j=F j .d r j=m j

d v j

dt.d r j

avec drj = vj dt, ce qui donne :



dT j=m j v j

d v j

dtdt=m j v j .d v j=d (

p j2

2m j

)

où pj = mj vj est l'impulsion de la particule Mj. Il vient alors :

dT=∑j

d ( p j2

2m j)=∑

j

F E , j .d r j+∑j∑k≠ j

F kj .d r j

Le travail fini du système entre un état initial A et un état final B est l'intégrale sur l'intervalle (A,B) de laquantité précédente :

T AB=∫A

B

∑j

d( p j2

2m j)=∫

A

B

∑j

F E , j .d r j+∫A

B

∑j∑k≠ j

F kj .d r j

Parmi les principes fondamentaux de la dynamique newtonienne, le principe de l'égalité de l'action et dela réaction entraîne que la somme des forces d'interaction internes au système a un travail global nulpuisque selon ce principe Fkj + Fjk = 0. La dernière intégrale de l'expression précédente est donc nulle :

∫A

B

∑j∑k≠ j

F kj .d r j=0

et il reste finalement pour le travail total des forces du système :

T AB=[∑j

p j2

2m j]B−[∑j

p j2

2m j]A=∑

j∫A

B

F E , j .d r j

Désignant par Tj = p²j/2mj l'énergie cinétique de la particule j on a finalement :

T AB=∑j

(T j , B−T j , A)=∑j∫A

B

F E , j .d r j (1)

La relation (1) exprime le théorème des forces vives : le travail de toutes les forces appliquées à unsystème de N particules est égale à la somme des variations de l'énergie cinétique de chacun de sescomposants. Il est égal au travail des forces extérieures appliquées à ces composants.

L'énergie cinétique du système, T, est une fonction additive des énergies cinétiques de sescomposants :

T=∑j

T j=∑j

p j2/2m j

et ne dépend que de leurs vitesses vj = drj/dt.Pour l'ensemble des particules du système on définit un vecteur vitesse unique dont les composantssont les 3N coordonnées des vitesses des vitesses des N particules :

(x°j, y°j, z°j)j = (x°1,y°1,z°1,x°2,y°2,z°2,...,x°j,y°j,z°j,...,x°N,y°N,z°N)

avec j = 1, 2, …, N et x° = dx/dt, y° = dy/dt, z° = dz/dt sont les dérivées par rapport au temps.Comme p²j/2mj = ½ mjv²j = ½ mj (x°j² + y°j² + z°j²), on a :

T=∑j

12m j( x° j ²+ y° j ²+z° j ²)

et :



p x , j=∂T

∂ x° j

=m j x ° j

p y , j=∂T

∂ y ° j

=m j y ° j

p z , j=∂T

∂ z ° j

=m j z ° j

sont les 3 coordonnées spatiales de la j-ième quantité de mouvement pj.Notons désormais (xi), i = 1, 2, 3 les 3 coordonnées d'un point dans l'espace vectoriel ordinaire : x1 = x,x2 = y, x3 = z.Pour la j-ième particule on a donc : OMj = (xji)i = 1,2,3 = rj. De même pour les composantes de sa vitesse : vj

= dOMj/dt = (x°ji)i = drj/dt.Les relations ci-dessus s'écrivent alors :

p ji=∂T

∂ x ° ji

=m j x ° ji (2)

i=1,2,3 ; j=1,2 ...N

Du principe de d'Alembert il vient aussi :

p° j , i=ddt

∂T∂ x ° j ,i

=m j x° ° j ,i=F j ,i

(notation : x°° = d²x/dt²) où Fj,i est la coordonnée n°i (i = 1,2,3) de la force exercée sur la particule n°j.On a vu que, du point de vue énergétique, les forces internes ne sont pas à prendre en compte. Onassimile donc Fj à FE,j (forces extérieures exercées sur la particule n°j). On dit que celles-ci sontconservatives si elles ne dépendent que des coordonnées spatiales des particules : Fj = Fj (xj,i), et sielles dérivent d'un potentiel scalaire Vj(xj,i) :

F j=−∇V j=−( ∂V j

∂ x j , i )iLeur travail est donc égal à la variation de leur énergie potentielle :

T j , AB=V j , B−V j , A

et l'énergie potentielle du système est additive :

V=∑j

V j(r j)=V (r 1 , r 2 , ... , r j , ... , r N)

On a donc :

p° j , i=ddt ( ∂T

∂ x ° j ,i )=−(∂V∂ x i

)

Introduisons la fonction de Lagrange (ou lagrangien) du système total :

L(rj,r°j) = T(r°j) – V(rj)

La relation précédente se réécrit alors (équations de Lagrange) :

ddt

∂L∂ x ° j ,i

−∂L

∂ x j ,i

=0 (3)



puisque ∂L/∂xj,i = -∂V/∂xj,i (car T ne dépend pas des coordonnées spatiales rj = (xj,i)).

L'équation de Lagrange utilise une seule fonction scalaire L, le lagrangien, l'évolution dynamique dusystème est obtenue par la résolution des 3N équations du type (3) en l'absence de liaisons internes (1).

De la connaissance du lagrangien du système (dans les cas où il est connu a priori) on déduit l'énergiecinétique et l'énergie potentielle :

∂ L∂ x ° j ,i

=∂T

∂ x ° j ,i

∂ L∂ x j ,i

=−(∂V∂ x j , i

) (4)

2 – LES ÉQUATIONS DE LAGRANGE COMME CONSÉQUENCE DU PRINCIPE DES TRAVAUXVIRTUELS

2.1 – Principe de d'Alembert et principe des Travaux Virtuels

On appelle déplacement virtuel élémentaire un déplacement possible qui soit compatible avec lesliaisons imposées au système (2). On le note δr, ses coordonnées spatiales étant δxi, i = 1,2,3.

Le travail virtuel d'une force sur un déplacement élémentaire virtuel est :

δT = F.δr

Or dans un système les forces sont la somme des :– forces extérieures appliquées au système : FE

– forces internes de liaison, responsables des contraintes de liaison au sein du système : FL.

Les forces internes de liaison sont, par définition, des forces qui maintiennent la cohésion du système.Elles ne fournissent pas de travail, ou d'énergie mécanique, vers le milieu extérieur. Par exemple, c'estle cas d'un skieur dévalant une pente neigeuse : les forces de liaison entre ses pieds et les skis nejouent aucun rôle d'apport d'énergie vers l'extérieur ; en revanche c'est la force extérieure, ici lapesanteur, et les forces de glissement, qui sont responsables de l'énergie apportée par le mouvementdu skieur. Si celui-ci percute une autre personne, l'énergie du choc provient de la force avec laquelle ilglissait et non pas de la liaison entre ses pieds et les skis.

Ces considérations qualitatives sont raisonnables au sens où elles correspondent à ce que nousexpérimentons au quotidien. Leur formulation théorique est exprimée par le Principe de d'Alembert :pour un système le travail des forces de liaison interne sur des déplacements compatibles avec lescontraintes de liaison est nul :

1 Note de réflexion personnelle : quand toutes les particules sont indépendantes, les équations de Lagrange conduisent à une évolution en fonction du temps parallèle, tel qu'il est présenté dans mon article « temps série, temps parallèle ».En présence de liaisons et d'interactions entres particules (système complexe) il y a X équations de Lagrange et Y relations de liaisons, dont la résolution donne une évolution en fonction d'un temps série t'. Si cette évolution ne conserve pas la symétrie (t', -t') alors il y a émergence d'un temps thermodynamique t' dont l'expression en fonction du temps parallèle est de type de celle de Vallée.

2 Par exemple, une bille restant au contact d'un plan incliné sur lequel elle roule ou glisse.



FL.δr = 0

A l'équilibre (configuration statique) par définition, le travail virtuel des forces imposées au système estnul :

δT = F.δr = 0

Compte tenu du principe de d'Alembert ci-dessus cette condition se réduit à :

F E .δ r=0 (5)

La relation exprime le Principe des Travaux Virtuels : à l'équilibre statique d'un système le travail virtuelde toutes les forces extérieures est nul.

Avant de continuer sur le cheminement qui mène du principe des travaux virtuels aux équations deLagrange, il nous faut faire un petit détour par la notion de coordonnées généralisées. Nous verronsqu'elles introduisent naturellement la notion de forces généralisées, très utiles en mécanique analytique.

NB : La notion de contraintes de liaison dans un système est présentée en Annexe.

2.2 – Coordonnées généralisées et moments généralisés

Il ne faut pas confondre les coordonnées spatiales x i et les degrés de liberté qj : les premièress'expriment à l'aide des seconds et permettent de repérer un système dynamique dans l'espaceordinaire :

xi = xi (q1, q2, …, qj,... ,qN) 1 ≤ i ≤ 3 ; 1 ≤ j ≤ N

où N est le nombre de degrés de liberté, déduction faite des liaisons, et l'énergie cinétique reste toujoursdéfinie par rapport à la vitesse spatiale vi = x°i.Or on a :

v i=x° i=dx idt

=∂ x i∂ t

+∂ x i∂ q j

q° j=v i(q j , q ° j , t)

où l'on a utilisé la convention de sommation d'Einstein sur la répétition des indices. Donc :

∂ v i∂q° j

=∂ x i∂q j

(6)

Son énergie cinétique peut se réexprimer en fonction des coordonnées généralisées :

T=12mx °i x °i=T (q j , q ° j)

Exemple : énergie cinétique du pendule sphérique

La masse M d'un pendule sphérique est repérée dans l'espace par ses trois coordonnées cartésiennesOM = x = (xi) = (x1, x2, x3).

Mais si la longueur du câble reliant la masse au point d'attache est fixe (hypothèse du câble tendu), lamasse M dispose seulement de deux degrés de liberté : les angles θ et φ qu'elle peut parcourir aucours de ses oscillations ; ce sont ses coordonnées généralisées q1 = θ et q2 = φ (voir figure 1).



Passage des coordonnées cartésiennes aux coordonnées généralisées (ℓ : longueur du câble):

x1(q1,q2) = x1(θ,φ) = ℓ sin θ cos φx2(q1,q2) = x2(θ,φ) = ℓ sin θ sin φx3(q1,q2) = x3(θ,φ) = ℓ cos θ

Expression de la vitesse en coordonnées généralisées :

v=∂ x∂ q1

q°1+∂ x∂ q2

q°2=∂ x∂θ

θ°+∂ x∂φ

φ°

avec :

∂ x∂θ

=(∂ x1/∂θ

∂ x2/∂θ

∂ x3/∂θ)=(l cosθ cosφl cosθsin φ−l sinθ )

∂ x∂φ

=(∂ x1/∂φ

∂ x2/∂φ

∂ x3/∂φ)=(−l sin θsin φl sin θcosφ

0 )d'où la vitesse exprimée en coordonnées généralisées :

v (θ ,φ)=(l θ° cosθ cosφ−l φ° sinθsin φl θ° cosθsin φ+l φ° sinθcosφ

−l θ°sinθ )donc :

v² (θ ,φ)=l² θ° ²+l²φ ° sin ²θ

d'où l'énergie cinétique du pendule sphérique :

T=12m l² (φ° ² sin² θ+φ° ²)=T (θ ,θ° ,φ ,φ °)

Le lagrangien du système s'exprime en fonction des coordonnées cartésiennes, mais aussi des


O

φ

θ

M

ℓ

x1

x2

x3

Figure 1


coordonnées généralisées et de leur variation par rapport au temps :

L (xi, x°i) = T(x°i) – V(xi)avec :

x°i = x°i (qj, q°j) xi = xi (qj)donc :

L(xi, x°i) = L(qj, q°j)

Le lagrangien est conservé dans le passage des coordonnées cartésiennes aux coordonnéesgénéralisées, mais comme T s'exprime avec les q° j mais aussi avec les qj (alors qu'elle ne s'exprimequ'avec les x°i en coordonnées cartésiennes) on ne peut plus séparer dans le lagrangien écrit avec lescoordonnées généralisées une partie T fonction uniquement des q° j et une partie V fonction uniquementdes qj. Autrement dit, on n'a pas :

L(qj, q°j) = T(q°j) – V(qj)mais plutôt :

L(qj, q°j) = T(q°j, qj) – V(qj)

On va le constater dans ce qui suit, après l'introduction des forces généralisées et de leur relation avecl'énergie potentielle lorsque celle-ci est exprimée en fonction des coordonnées généralisées.

L'énergie potentielle ne change pas de forme selon qu'elle s'exprime à l'aide des coordonnées spatialescartésiennes ou des coordonnées généralisées. En effet :

dV (x i)=∂V∂ x i

dx i=∑j

(∂V∂ x i

)(∂ x i

∂ q j

)dq j=∂V∂q j

dq j=dV (q j)

Donc, de même que Fi = - ∂V/∂xi est la force en coordonnées spatiales cartésiennes, les quantités ∂V/∂q j

sont les composantes de ce que l'on appelle par définition la force généralisée, c'est-à-dire expriméeavec les degrés de liberté :

F̃ j=−(∂V∂ q j

) (8)

ce que l'on note encore :F̃=−∇qV

et pour les forces ordinaires :F=−∇ xV

et donc la relation entre les deux forces :

F̃ j=−(∂V∂ x i

)∂ x i∂ q j

=F i

∂ x i∂q j

F̃ j(q)=F i( x)∂ x i∂q j

(9)

Exemple : pendule sphérique

La force appliquée à la masse M est, dans le repère euclidien :

F=(00

−mg)=(F 1

F 2

F 3)

Les coordonnées cartésiennes et généralisées sont :



x=(l sinθcosφl sinθsinφl cosθ )=(

x1

x2

x3) q=(q1

q2)=(θφ)

On calcule ensuite :

∂ x1

∂ θ=l cos θcosφ

∂ x1

∂φ=−l cosθsinφ

∂ x2

∂ θ=l cosθsin φ

∂ x2

∂φ=l sin θcos φ

∂ x3

∂θ=−l sin θ

∂ x3

∂φ=0

Les forces généralisées du pendule sphérique sont alors, d'après (9) :

F̃ 1=F1

∂ x1

∂q1

+F 2

∂ x2

∂ q1

+F3

∂ x3

∂q1

=0×(∂ x1

∂ q1

)+0×(∂ x2

∂q1

)−mg∂

∂θ( l cosθ)=mgl sinθ

F̃ 2=−mg∂ x3

∂ q2

=0 F̃ 3=−mg∂ x3

∂ q3

=0

finalement la seule composante de la force généralisée est :

F̃ 1=mgl sinθ

On en déduit l'énergie potentielle :

V (θ ,φ)=−∫ F̃.d q avec : q=(q1

q2)=(θφ)

V (θ ,φ)=−∫ F̃1d θ−∫ F̃ 2d φ=−∫ F̃1d θ car F̃2=0

V (θ ,φ)=−mgl∫sinθ d θ=mglcos θ+constanteV (0)=0 → constante =−mgl

l'énergie potentielle est donc celle bien connue :

V (θ ,φ)=mgl (cosθ−1)

Le lagrangien du pendule sphérique est donc :

L(θ ,θ° ,φ ,φ °)=T (θ ,θ° ,φ ,φ°)−V (θ ,φ)

Les résultats précédents donnent :

L=12ml² (θ° ²+φ ° ² sin² θ)−mgl (cosθ−1)

On introduit les moments généralisés, qui étendent aux coordonnées généralisées les définitions del'impulsion en coordonnées cartésiennes :

p j=∂ L

∂ q° j

= p j(q , q° ) (7)

Attention : Les moments généralisés ne sont toujours des impulsions, ils peuvent être aussi desmoments cinétiques.Nous le constatons ci-après dans l'exemple du pendule sphérique.



p1=∂ L

∂ q°1

=∂ L∂θ°

=ml² θ°

p2=∂ L

∂ q°2

=∂ L∂φ °

=ml²φ ° sin² θ

Ce sont des moments cinétiques et non pas des impulsions.

2.3 – Du principe des travaux virtuels aux équations de Lagrange

Du principe (5) on déduit :

(F E−d pdt ).δ r=0=(F −

d pdt ).δ r=0 car F L .δ r=0

où les composants de δr sont indépendantes. Or :

δ r=∂ r∂q j

δ q j

donc :

(F−d pdt ).δ r=F .δ r−

d pdt

.δ r=F .∂ r∂q j

δ q j−d pdt

∂ r∂ q j

δq j=0

D'après (9) la force généralisée a pour composantes :

F̃ j=F .∂ r∂ q j

avec : F=d pdt

d'où :d pdt

∂ r∂q j

δ q j=md vdt

∂ r∂ q j

δq j=F .∂ r∂ q j

=F̃ j δq j

Comme on a aussi :∂ r∂q j

=∂ v

∂q ° j

l'expression ci-dessus se réécrit :

F̃ jδq j−md vdt

∂ r∂ q j

δq j=0

F̃ jδq j−ddt

(m v .∂ r∂q j

)δq j+mv .∂ v∂ q j

δq j=0

F̃ jδq j−ddt

(mv .∂v

∂ q° j

)δ q j+m v .∂v∂q j

δ q j=0

( F̃ j−ddt

(m v .∂v

∂ q° j

)+mv .∂ v∂ q j

).δq j=0

Or :

T=12m v² donc :

∂T∂ q j

=m v .∂ v∂ q j

et :∂T

∂ q° j

=m v .∂v

∂ q° j

donc :

(F j−ddt ( ∂T

∂ q° j )−∂T∂ q j ).δq j=0

Puisque les δqj sont des déplacements virtuels, ils sont indépendants, il s'ensuit que les forces



généralisées sont reliées à l'énergie cinétique par :

pour tout j : F̃ j=ddt

∂T∂ q° j

−∂T∂ q j

(10)

Or la force généralisée est reliée au potentiel par :

F̃ j=−(∂V∂ q j

)

par conséquent de la définition du lagrangien L(qj, q°j) = T(q°j, qj) – V(qj), il résulte :

−(∂V∂ q j

)=ddt ( ∂T

∂ q° j)−∂T∂q j

ddt ( ∂T

∂ q° j )−∂(T−V )

∂ q j

=0

ddt (∂(T−V )

∂ q° j )−∂(T−V )

∂ q j

=0 car∂V∂ q° j

=0

En définitive il vient :ddt

∂L∂ q° j

−∂ L∂ q j

=0 (11)

Les équations de Lagrange sont donc aussi une conséquence du principe des travaux virtuels deD'Alembert.

2.4 – Exemple : le pendule double

Un pendule double est constitué de deux tiges OM et MM' reliées entre elles par une articulation parfaiteen M, la tige OM est reliée à un support O autour duquel elle peut avoir une rotation dans le plan xOy(voir figure 2).Dans cet exemple, nous allons établir les équations du mouvement du système en calculant de deuxmanières équivalentes les forces généralisées : l'une par les équations (10), l'autre par l'emploi de leurdéfinition (9), connaissant la force extérieur appliquée au système (ici la force de pesanteur appliquée aucentre de masse du système). L'égalité des deux résultats obtenus par ces deux calculs fourniradirectement l'équation du mouvement.On commence alors par identifier les degrés de liberté du système (coordonnées généralisées) sachantque le système est contraint de se mouvoir uniquement dans le plan xOy.Puis on calcule l'énergie cinétique exprimée avec les coordonnées généralisées.Par application de (10) une première expression des forces généralisées est établie.On identifie par ailleurs la force extérieure appliquée au système, l'emploi de (9) conduit alors à unedeuxième expression des forces généralisées.

Les longueurs des deux tiges sont invariables : ℓ et ℓ'. Le système possède alors deux degrés de liberté :ses coordonnées généralisées sont les angles θ et θ' ; on a donc besoin d'obtenir deux équations dumouvement pour le résoudre.Passage des 4 coordonnées spatiales (x,y) et (x',y') aux 2 coordonnées généralisées :

x=l sin θy=l cosθ

x '=x−(x− x ' )=l sin θ−(−l ' sin θ ' )=l sinθ+l ' sinθ 'y '= y+( y '− y )=l cosθ+l ' cosθ '



D'où les vitesses :

x°=l cos θ .θ° y °=−l sin θ .θ°x ' °=l cos θ.θ°+l ' cosθ ' .θ ' ° y ' °=−l sin θ .θ°−l ' sinθ ' .θ ' °

L'énergie cinétique

T=12m(x ° ²+ y ° ²)+

12m' ( x ' ° ²+ y ' ° ²)

s'écrit donc, tout calcul fait :

T=12(m+m ' ) l² θ° ²+

12m' l ' ²θ ' ° ²+m' l l ' cos (θ−θ ' )θ° θ ' ° (12)

Les forces généralisées, calculées à partir de l'énergie cinétique (12)

F̃=ddt

∂T∂θ°

−∂T∂ θ

F̃ '=ddt

∂T∂θ ' °

−∂T∂θ '

sont donc , tout calcul fait :

F̃=(m+m ' ) l² θ° °+m ' l l ' sin(θ−θ ')θ ' ° ²+m' l l ' cos(θ−θ ' )θ ' °° (13)F̃ '=m' l ' ²θ ' ° °−m ' l l ' sin(θ−θ ' )θ° ²+m' l l ' cos (θ−θ ' )θ° ° (14)

Par ailleurs, l'utilisation de (9) donne une autre façon de calculer les forces généralisées : soit F la forceexercée sur le centre de masse du système, ses composantes en coordonnées cartésiennes sont :

F=( FF ' )=( 0

(m+m' ) g)l'application de (9)

F̃=F∂ x∂θ

+F '∂ y∂θ

F̃ '=F∂ x '∂θ '

+F '∂ y '∂θ '

donne alors, compte tenu des relations de transformations entre (x,y ; x',y') et (θ,θ') obtenues plus haut :


O

y

y'

x' x

M

M'

ℓ

ℓ'

θ

θ'

Figure 2


F̃=−(m+m' ) g l sinθ (15)

F̃ '=−(m+m' )g l ' sin θ ' (16)

En égalisant les expressions des forces généralisées (13) et (15) d'une part et (14) et (16) d'autre part,on obtient les deux équations du mouvement du pendule double :

(m+m' ) l² θ° °+m' l l ' cos (θ−θ ' ) .θ ' ° °+m' l l ' sin (θ−θ ' ).θ ' ° ²+(m+m ') gl sinθ=0m ' l ' ²θ ' ° °+m ' l l ' cos(θ−θ ' ).θ° °−m' l l ' sin (θ−θ ' ).θ° ²+(m+m' )gl ' sin θ '=0

(17)

Les équations (17) sont non linéaires et leur résolution générale est très difficile. Elles ont étéprésentées dans l'article de ce même site sur le trébuchet et le mangonneau.

3 – LES ÉQUATIONS DE LAGRANGE COMME CONSÉQUENCE DU PRINCIPE DE MOINDREACTION

3.1 – Extremum d'une fonctionnelle : théorème d'Euler-Lagrange

Les équations de Lagrange, sous leurs formes (3) ou (11), sont similaires à l'équation qui détermine lafonction f(x) qui rend extrémale l'intégrale définie sur l'intervalle [a,b] :

A=∫a

b

F ( x , f ( x) , f ' (x ))dx (18)

où F est une fonction de x, de f(x) et de f'(x) = df/dx.L'intégrale (18) est calculée sur un chemin qui relie la valeur initiale a de x à la valeur finale b de x. Lechemin sur lequel (18) est calculé dépend directement du choix de la fonction f(x). Sous certaineshypothèses, avec a et b fixées, il existe un chemin [a,b], donc une fonction f(x) sur cet intervalle, qui rendl'intégrale A extrémale, c'est-à-dire égale à une valeur maximale, ou bien au contraire, à une valeurminimale. La valeur A dépendant du choix de la fonction f, pour un intervalle [a,b] donné, on dit que A(f)est une fonctionnelle, c'est-à-dire une relation de A, non pas avec x (A est indépendant de x) mais avecla fonction f, qui joue ici le rôle d'une variable.Précisons la notion d'extrémalité de A : si la fonction f varie d'un écart noté δf (attention, rappel : il s'agitd'une variation de la forme de la fonction f et non de sa variable x!), alors la quantité A(f) varie de l'écartδA pour les bornes fixées du chemin d'intégration [a,b].En supposant qu'elle existe (conditions d'existence mathématiques que nous ne développerons pas iciet que nous admettons acquises), il existe parmi les fonctions f qui parcourent l'intervalle [a,b] unefonction [f] qui rend A(f) extrémale sur ce même intervalle. Chercher cette fonction [f], c'est, pardéfinition, résoudre un problème de variation, ou problème variationnel. A la fonction [f], qui rend Aextrémale, correspond un chemin d'intégration reliant a à b appelé « extrémal » ou géodésique.Toute autre fonction f, compatible avec les bornes [a,b], qui ne rend pas A extrémale, aura avec [f] unécart noté : δf = f – [f], appelé variation. Le chemin reliant a à b par une des fonctions f est noté (C) ,tandis que le chemin reliant a à b par la fonction [f], ou chemin extrémal, est noté (C*) (figure 3).


f(x)

xa b

[f]

f = [f]+δf

(C*)

(C)

Figure 3 : variations


http://fred.elie.free.fr/armes_moyen_age.pdf

Les extrémités a et b étant fixés, le calcul des variations s'effectue à x constant. Il s'ensuit que, à toutevariation δf de la fonction f, il correspond une variation δF de la fonction F égale à :

δF = F(x, [f] + δf, [f]' + δ[f]') – F(x, [f], [f]')

La variation correspondante de l'intégrale A est donc :

δ A=∫a

b

δF dx

Si l'on suppose les variations de f très petites, on effectue un développement limité au premier ordre deδF :

δF = (∂F/∂[f]) δf + (∂F/∂[f]') δf'

d'autre part f' = df/dx d'où :

δf' (x) = f' (x) – [f]'(x) = d/dx (f(x) – [f](x)) = d/dx (δf)(x)

Il s'ensuit que la variation de A devient :

δ A=∫a

b

δF dx=∫a

b

∂ F /∂[ f ]δ f dx+∫a

b

∂ F /∂[ f ]' d /dx (δ f )dx

L'intégration par parties de la deuxième intégrale intervenant dans l'expression de δA ci-dessus donne :

∫a

b

(∂ F

∂[ f ] ')ddx

(δ f )dx=[ ∂F∂[ f ] '

δ f ]ba −∫a

b

(ddx

∂ F∂[ f ]'

)δ f dx

Or la variation s'effectue avec les bornes fixes (a, f(a)) et (b, f(b)), puisque tous les chemins passent parelles ; il s'ensuit qu'aux bornes la variation de f, δf, est nulle. Par conséquent le terme entre crochets ci-dessus est nul.δA est donc égal à :

δ A=∫a

b

[ ∂F∂ f

−ddx ( ∂ F

∂[ f ] ' )]δ f dx

La fonction f qui rend extrémale l'intégrale de chemin A est celle pour laquelle la dérivée fonctionnelleest nulle :

δ Aδ f

=0

Cette condition est donc satisfaite pour :

∂F∂ f

−ddx( ∂ F

∂[ f ]' )=0 (19)

(19) s'appelle équation d'Euler-Lagrange.Historiquement, elle fut découverte par Leonhard Euler en 1744 pour résoudre le problème de la surfaceminimale qui consistait à déterminer, parmi toutes les surfaces possibles comprises entre deux cerclesparallèles, celle dont la surface est la plus petite. La solution est la surface caténoïde, surface derévolution dont l'axe passe par les centres des deux cercles ; on la trouve par exemple dans la formationd'un film d'eau savonneuse obtenue lorsqu'on sépare progressivement deux cercles ayant trempé dansune solution savonneuse. Lagrange étendit ce résultat, onze ans plus tard, en 1755 (il était alors âgé de



19 ans) à toute surface minimale s'appuyant sur un contour fermé.

3.2 – Quelques exemples

3.2.1 – Géodésique dans un espace euclidien

Une géodésique est une courbe joignant deux points A et B et dont la longueur est minimale. Elledépend de la géométrie, plus précisément de la métrique, de l'espace dans lequel on mesure la distanceentre deux points. Dans l'espace euclidien, la distance est mesurée par la norme euclidienne d'unvecteur, cette norme étant fondée sur la relation de Pythagore : la distance AB entre deux points A et Bsitués sur deux segments AC et CB perpendiculaires, est telle que :

AB² = AC² + CB²

Lorsque les points A, C, B sont infiniment voisins, et si l'on choisit les axes Ox et Oy parallèlesrespectivement à AC et CB, la relation précédente donne la distance élémentaire ds² = AB² :

ds² = dx² + dy²

Ceci posé, le problème de la géodésique consiste à trouver le chemin entre A et B qui rend extrémale ladistance entre A et B (figure 4) :

A=∫A

B

ds

Chaque courbe reliant A à B a pour équation y = f(x), il s'ensuit que

ds²(x) = dx² + f '(x)² dx² = (1 + f '²(x))dx²

Il s'agit donc de rendre extrémale la fonctionnelle :

A=∫A

B

√1+ f ' (x ) ²dx=∫A

B

F ( x , f , f ' )dx

avec donc :F (x , f , f ' )=√1+ f ' ²

L'équation d'Euler-Lagrange (19) donne alors pour la courbe géodésique :

∂F∂ f

−ddx(

∂ F∂ f ' )=0

ddx [ f '

√1+ f ' ² ]=0 →f '

√1+ f ' ²=constante


y

x

dxdyds=√(dx²+dy²)

A

B

Figure 4 – géodésique en métrique euclidienne


il vient donc f '(x) = constante, soit y = f(x) = ax + b.C'est l'équation d'une droite dans le plan euclidien Oxy. Conclusion : dans un espace euclidien, lesgéodésiques sont des segments de droite. On l'énonce aussi, de manière plus classique : la ligne droiteest le chemin le plus court entre deux points.

3.2.2 – Géodésique sur une surface sphérique

Mais sur la surface d'une sphère sur laquelle on est condamné à nous déplacer, il n'y a pas de lignedroite, seulement des arcs de cercle ou des successions d'arcs de cercle. Ceux-ci s'assimilent à dessegments de droite sur de courtes distances, telles que le plan tangent se confonde localement avec laportion de surface sphérique. Le problème des géodésiques sur une surface sphérique (comme lasurface terrestre par exemple) nécessite donc de tenir compte de la géométrie qui permet de repérer unpoint M sur la surface (figure 5). Soit R le rayon de la sphère de centre O, soient Ox, Oy, Oz les axesdéfinissant le repère cartésien. Tout point M(θ, φ) est repéré par ses deux coordonnées généralisées (ilpossède donc deux degrés de liberté) : sa colatitude θ, et sa longitude φ.

Transformations entre coordonnées :

x=R sinθcos φy=R sinθsin φz=R cosθ

(20)

d'où :dx=Rcos θcosφ d θ−Rsinθsin φd φdy=Rcos θsinφ d θ+R sinθcosφd φ

dz=−R sin θd θ

Un arc élémentaire à la surface de la sphère a donc pour valeur :

ds²=dx²+dy²+dz²=R²d θ ²+R² sin² θd φ ²

Une géodésique rend donc extrémale l'intégrale (qui représente une longueur finie sur la sphère) :

A=∫M

M '

ds=∫M

M '

F (θ ,φ)d θ=R∫M

M '

√1+φ ' ² sin² θ d θ avec :φ '=d φ/d θ

la fonction à laquelle appliquer l'équation d'Euler-Lagrange est alors :

F (θ ,φ)=√1+φ ' ² sin² θ

et est solution de :


M(θφ)R

θ

φ

O

x

y

z

ds

Figure 5 – géométrie sphérique


∂F∂θ

−dd θ

∂F∂φ '

=0

soit :dd θ

∂F∂φ '

=0 →φ ' ² sin 4θ=C² (1+φ ' ² sin ²θ)

où C est une constante.L'équation précédente s'écrit encore :

φ '=C

sin θ√sin² θ−C²=d φ

d θ

Du changement de variable u = sin² θ l'équation différentielle précédente se réécrit :

d φ

du=

C2u√(1−u² )(u−C²)

Du nouveau changement de variable u = 1/v, l'équation précédente se transforme en :

d φ=−C

2dv

√v−1√1−C²v=

−C2

dv

√−C²v²+(C²+1)v−1

L'intégration est de la forme :

φ−φ0=−C

2∫ dv

√av²+bv+c=

−C2√−a

arcsin2av+b

√b²−4ac

où a < 0 avec a = -C², b = C²+1, c = -1. On obtient donc :

(C²−1)sin 2 (φ−φ0)=2C²v−(1+C²)

en revenant à la variable θ, l'expression précédente devient :

2C²=[(1+C²)+(C²−1)sin 2(φ−φ0)] sin² θ

En développant sin 2(φ – φ0) on obtient :

2C²=(1+C² )sin² θ−(1−C²) [cos 2φ0 sin 2φ sin² θ−sin 2φ0 cos2φ sin² θ] (21)

Par ailleurs, des relations de passage (20) on déduit :

sin² θ=x²+ y²R²

sin² θsin 2φ=2xyR²

sin² θcos2φ=x²− y²R²

ainsi que :z²R²

=1−x²+ y²R²

(équation de la sphère)

En utilisant ces relations dans (21) il vient :

1+C²1−C²

z²R²

−1=−x²− y²

R²sin 2φ0+

2 xyR²

cos 2φ0

Or on a l'astuce de calcul suivant : le 1 qui apparaît dans l'équation précédente est remplacé par :

1=x²+ y²+ z²

R²



ce qui donne :

1+C²1−C²

z²R²

−x²+ y²+ z²

R²=−(

x²− y²R²

)sin 2φ0+2 xyR²

cos2φ0

d'où z exprimé en fonction de (x,y) :

z²=12(

1C²

−1)[ x² (1−sin 2φ0)+ y² (1+sin φ0)+2 xycos φ0] (22)

L'équation (22) est identique à :

z²=(ax+by) ²avec :

a=√ 12(1−sin 2φ0)(

1C²

−1) b=√ 12(1+sin 2φ0)(

1C²

−1)

On a donc :z=±(ax+by ) (22)

(22) est l'équation des plans passant par le centre O de la sphère, formant donc des grands cercles dela sphère (un grand cercle de la sphère appartient à un plan contenant le centre O de la sphère).

Conclusion : le chemin le plus court joignant deux points de la surface sphérique est un arc de cercleappartenant à l'un des grands cercles de la sphère.

3.2.3 – Courbe brachistochrone (courbe parcourue en un temps minimal sous l'action de lapesanteur)

Soit une particule M, supposée ponctuelle, libérée à vitesse nulle depuis le point O et soumise à la seuleaction de la pesanteur g : elle parcourt une trajectoire dans le plan xOy qui l'amène à un point M'. Leproblème consiste à trouver la trajectoire y = f(x) telle que la distance soit parcourue en un tempsminimal (figure 6).

La longueur élémentaire parcourue par M sur la trajectoire en un temps dt est :

ds=√dx²+dy²

sa vitesse instantanée est : v = ds/dt. Or la particule étant supposée isolée et sans frottement sonénergie mécanique, égale à la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle, seconserve :


O

y

x

M

M'

Figure 6 - brachistochrone

ds² = dx² + dy²

g


E=12m(dsdt )²−mgy

De la conservation de l'énergie mécanique on déduit immédiatement la relation entre la vitesse etl'altitude y :

v=dsdt

=√2g y

le temps du parcours est donc :

dt=√ dx²+dy²2gy

=√ 1+ y ' ²2gy

dx

avec y' = dy/dx.Chercher la durée minimale entre O et M' équivaut donc à rendre extrémale l'intégrale :

t=∫O

M '

dt=∫O

M '

F (x , y , y ')dx=∫O

M '

√ 1+ y ' ²2gy

dx

L'équation d'Euler-Lagrange s'applique alors ici à

F (x , y , y ')=√ 1+ y ' ²2gy

et nous avons :ddx

∂F∂ y '

−∂ F∂ y

=0

On multiplie cette équation par y' :

y 'ddx

∂F∂ y '

− y '∂ F∂ y

=0

or on a :

y 'ddx

∂F∂ y '

=ddx( y '

∂ F∂ y ' )− y ' '

∂ F∂ y '

donc :ddx ( y '

∂F∂ y ' )− y ' '

∂F∂ y '

− y '∂ F∂ y

=0

mais les deux derniers termes de l'équation précédente sont égaux à :

y ' '∂ F∂ y '

+ y '∂F∂ y

=dF ( y , y ' )

dx=

∂F∂ y '

dy 'dx

+∂ F∂ y

dydx

puisque F dépend explicitement des seules variables (y,y'). Il vient donc :

ddx [ y ' ∂ F

∂ y '−F ]=0

soit :

F− y '∂F∂ y '

=C

où C est une constante.En remplaçant F par sa définition, l'équation précédente devient :



dydx

=1

2gC² y−1

Par le changement de variable

y=1

2gC²sin² ψ

l'équation précédente s'intègre en :

x=1

2gC² (ψ−12

sin 2 ψ)+C '

y=1

4gC²(1−cos2 ψ)

où C' nouvelle constante.Les conditions initiales : t = 0, x = 0, z = 0, conduisent finalement à :

x=1

2gC²(ψ−

12

sin 2 ψ)

y=1

4gC²(1−cos 2 ψ)

(23)

Les équations paramétriques (23) sont celles d'une cycloïde (figure 7).

Figure 7 – La brachistochrone est un arc de cycloïde

3.2.4 – Figure d'équilibre d'un câble ou d'une chaînette attaché à ses deux extrémités sous leseul effet de la pesanteur : arc de chaînette

Cet exemple nous donne l'occasion d'introduire :– l'équation de Beltrami, qui est l'équation d'Euler-Lagrange lorsque la fonction à extrémaliser F ne

dépend pas explicitement de la coordonnée x ;– les multiplicateurs de Lagrange, qui interviennent lorsque le système est soumis à des

contraintes de liaison.

3.2.4.1 – Formule de Beltrami

Si F ne dépend pas explicitement de x (donc si ∂F/∂x = 0) l'équation d'Euler-Lagrange (19) se réduit àl'équation de Beltrami :

F ( y , y ' )− y '∂F ( y , y ' )

∂ y '=C (24)

Cette équation a déjà été rencontrée dans l'exemple 3.2.3 de la brachistochrone.

PREUVE : - L'équation d'Euler-Lagrange (19) se développe comme suit :


x

y


ddx

∂F∂ y '

−∂ F∂ y

=∂

∂ x∂F∂ y '

+∂

∂ y∂F∂ y '

dydx

+∂

∂ y '∂F∂ y '

dy 'dx

−∂ F∂ y

=∂ ²F

∂ x ∂ y '+

∂ ²F∂ y∂ y '

y '+∂ ² F∂ y ' ²

y ' '−∂ F∂ y

=0

Multiplions par y', on a encore :

y ' [∂ ²F

∂ x∂ y '+

∂ ²F∂ y∂ y '

y '+∂ ² F∂ y ' ²

y ' '−∂F∂ y

]=0

Comme F ne dépend pas de x on a :

∂ ² F∂ x ∂ y '

=0

donc :

y ' [∂ ²F

∂ y ∂ y 'y '+

∂ ² F∂ y ' ²

y ' ' ]− y '∂ F∂ y

=0

que l'on peut encore écrire :

y ' [∂ ²F

∂ y ∂ y 'y '+

∂ ² F∂ y ' ²

y ' ' ]−∂ F∂ y

+∂F∂ y '

y ' '−∂F∂ y '

y ' '=0

qui est le développement de :ddx [F− y '

∂F∂ y ' ]=0

- CQFD.

3.2.4.2 – Multiplicateurs de Lagrange : contraintes de liaison

Soit une fonction f(x,y) dont on cherche l'extrémum. Les variables (x,y) ne sont pas indépendantes maissont liées par une contrainte g(x,y) = 0.Cette contrainte représente une relation entre x et y, c'est-à-dire un chemin, une trajectoire, compatibleavec la surface z = f(x,y), donc appartenant à elle. Une courbe de niveau sur cette surface est définiepar z = f(x,y) = constante. Au point (x,y) où le chemin, associé à la contrainte g(x,y) = 0, coupe la courbede niveau f(x,y) = constante, le chemin possède une pente (c'est-à-dire un gradient grad g) non nulle.Au voisinage du point extrémum de f, en revanche, le chemin est tangent aux courbes de niveauvoisins : c'est-à-dire les gradients de f et de g sont des vecteurs parallèles.Il existe donc, à l'extrémum de f avec contrainte g(x,y) = 0, un nombre scalaire λ, appelé multiplicateurde Lagrange, tel que :

grad g = λ grad f (25)

soit en projetant sur Ox et Oy :

∂ f∂ x

=λ∂ g∂ x

∂ f∂ y

=λ∂ g∂ y

(26)

La figure 8 illustre cette situation.

Figure 8 – extrémum lié à une contrainte sur la surface



Or f est extrémale pour :

df (x , y )=∂ f∂ x

dx+∂ f∂ y

dy=0

La contrainte g(x,y) = 0 implique :

dg ( x , y)=∂ g∂ x

dx+∂ g∂ y

dy=0

On peut donc exprimer la variation de l'une des variables, par exemple dy, en fonction de la variation del'autre, donc dx :

dy=−

(∂ g∂ x

)

(∂ g∂ y

)

dx

L'extrémum de f devient alors :

df =(∂ f∂ x

−

(∂ g∂ x

)

(∂ g∂ y

)

∂ f∂ y )dx=0

donc :

∂ f∂ x

=(∂ g∂ x

)

(∂ g∂ y

)

∂ f∂ y

Cette relation est compatible avec (26) si l'on identifie :

λ∂ g∂ x

=∂ g∂ x

(∂ f∂ y )

(∂ g∂ y )

soit :


M

M'

Z = f(x,y)

g(x,y)=0

y

x

chemin

surface

Courbes de niveau près de l'extrémum

grad fgrad g


λ=(∂ f∂ y )

(∂ g∂ y )

(27)

Et en remplaçant dans la deuxième relation :

∂ f∂ y

=λ∂ g∂ y

=(∂ f∂ y )

(∂ g∂ y )

∂ g∂ y

=∂ f∂ y

on a bien une identité.

Conclusion : l'extrémum de f(x,y) avec une contrainte g(x,y) = 0 est l'extrémum de la fonction :

F= f −λ g (28)

où λ est choisi comme indiqué précédemment.

3.2.4.3 – Application au câble pesant

Description de la géométrie du problème : figure 9.

Figure 9 – câble pesant

L'arc élémentaire du câble pesant a une longueur ds telle que :

ds² = dx² + dy²

Cet élément de câble, de masse infinitésimale dm, a une énergie potentielle :

dV = dm.g.y

Or, si le câble a pour masse linéique μ, cette masse élémentaire vaut :

dm = μ ds

son énergie potentielle devient donc :

dV=μ g √dx²+dy² . y=μ g √1+ y ' ² ydx


O A

xA

y

ds

g

x


avec y' = dy/dx.La position d'équilibre du câble correspond à une valeur extrémale de son énergie potentielle totale :

V=∫0

A

dV=μ g∫0

A

√1+ y ' ² ydx

S'il n'y avait pas de contraintes, la fonction à rendre extrémale serait donc :

f (x , y , y ' )= y√1+ y ' ²

Or il existe une contrainte dans le problème : elle correspond à l'hypothèse que le câble a une longueurfixe (il n'y a pas d'effet d'élasticité qui la rendrait variable) :

l=∫0

A

ds=constante=∫0

xA

√1+ y ' ² dx=∫0

x A

g ( x , y , y ' )dx

La présence de la contrainte précédente entraîne que la fonction à rendre extrémale n'est pas f maisest :

F(x,y,y') = f(x,y,y') – λg(x,y,y')

où λ est le multiplicateur de Lagrange. On a donc :

F= y √1+ y ' ²−λ√1+ y ' ²=√1+ y ' ² ( y−λ)=F ( y , y ' )

On s'aperçoit que F ne dépend pas explicitement de x. On peut donc utiliser le théorème de Beltrami(24) :

F− y '∂F∂ y '

=C

De la définition de F il suit que :

1+ y ' ²=( y−λ

C )2

Pour résoudre cette équation différentielle, faisons le changement de variable u = (y – λ)/C.Il vient donc : y = Cu + λ, d'où : y' = Cu'.L'équation se transforme alors en :

u '=dudx

=√u²−1C

de solution générale bien connue :u = cosh (ax + b) où a = 1/C,

et en revenant à y :y(x) = C cosh (x/C + b) + λ

Le multiplicateur de Lagrange λ est déterminé par les conditions aux limites : y(0) = y(xA) = 0, d'où :


Solution bien connue ?Non, mais, il va bien

le Fred ?


λ = - C cosh (xA/2C)

La constante d'intégration C est, quant à elle, déterminée par la contrainte :

l=∫0

x A

√1+ y ' ²dx

Tout calcul fait, on a donc l'équation transcendante en C :

l=2C sinh( x A

2C) (29)

Finalement la figure d'équilibre du câble pesant est la courbe d'équation cartésienne :

y (x )=C cosh( x− xA/ 2

C )−C cosh( x A

2C) (30)

où C vérifie (29).La figure d'équilibre d'un câble pesant inélastique est donc un arc de chaînette, comme l'illustre la photofigure 10.

Figure 10 – Photo montrant l'équilibre d'une chaîne fixée verticalement à ses deux extrémités :la forme est celle d'une chaînette (photo : F. Elie)

La figure 11 représente la forme de la chaînette pour un câble pesant de longueur l = 0,36 m, attaché àdes extrémités distantes de xA = 0,20 m (soit C = 0,05).

Figure 11 – chaînette de la configuration d'équilibre d'un câble pesant de longueur totale 36 cmfixé à des extrémités distantes de 20 cm (C = 0,05)


0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

-0,16

-0,14

-0,12

-0,1

-0,08

-0,06

-0,04

-0,02

0

x

y


3.3 – Action de Jacobi et équations de Lagrange

Nous allons voir que les équations de Lagrange résultent aussi du principe d'extremum de l'action deJacobi comme fonctionnelle : c'est le principe de moindre action.

L'action de Jacobi est, par définition, la fonctionnelle :

A=∫t1

t2

L(q ,q° , t)dt (31)

où le lagrangien est choisi égal à L(q, q°,t) = T(q,q°) - V(q), exprimé dans les coordonnées généraliséesq et leurs dérivées par rapport au temps q°.(31) est extrémale si elle vérifie l'équation d'Euler-Lagrange :

ddt (

∂ L∂ q° )−

∂ L∂q

=0 (32)

On notera la correspondance suivante entre (32) et l'équation d'Euler-Lagrange telle que formulée en(19) :

– le lagrangien L joue le rôle de la fonction F dont on cherche l'extrémale ;– les coordonnées généralisées q jouent le rôle de la fonction f.

En conséquence, les équations de Lagrange pour la dynamique sont celles d'une trajectoiresélectionnée parmi des trajectoires virtuelles, contraintes par les mêmes extrémités ; cette sélectioncorrespond à l'extrémalisation de l'action de Jacobi A le long de la trajectoire passant par ces extrémitésfixées.L'énoncé précédent exprime le principe de Lagrange-Hamilton.

Pour un système conservatif, c'est-à-dire soumis à des forces dérivant d'une énergie potentielle V,l'énoncé précédent peut se réexprimer par le principe de moindre action, et introduit l'action deMaupertuis.En effet, pour un système conservatif, l'énergie mécanique E se conserve. Comme elle vaut :

E = T + V

le lagrangien L = T – V devient :

L = 2T – E (33)

L'action de Jacobi (31) à rendre extrémale est alors égale à :

A=∫0

t

(2T−E )dt (34)

Puisque E est ici par définition une constante, rendre extrémale (34) revient à rendre extrémale l'actionde Maupertuis, notée :

S=∫0

t

2Tdt (35)

Comme :

T=12m( dsdt )

2

où s est l'abscisse curviligne (ds² = dx² + dy² + dz²), le temps s'exprime par :



dt=√ m2T

ds

et compte tenu de T = E – V, on obtient le principe de Maupertuis :

δ∫0

t

√2mT ds=δ∫0

t

√2m(E−V (s))ds=0 (36)

Remarque : analogie optique de la mécanique

Les lois de l'optique géométrique reposent sur le principe de Fermat selon lequel la lumière se propagedans un milieu d'indice variable n(s) de manière à ce que le chemin optique ℓ soit extrémal :

l=∫A

B

n (s)ds δ l=0 (37)

On rappelle que l'indice de réfraction est le rapport de la célérité de la lumière dans le vide c à celle dansun milieu quelconque v : il dépend de la distance parcourue dans un milieu d'indice variable n(s) = c/v(s).

Il est remarquable que (37) et (36) aient une forme analogue. Tout se passe comme si, en mécanique, latrajectoire d'un mobile soit assimilée à celle d'un rayon lumineux dans un milieu d'indice mécanique

n (s)=√2m(E−V (s )) (38)

Tout changement de milieu où l'énergie potentielle V(s) est différente induirait alors un changement dansle parcours de la particule mécanique, exactement comme pour un rayon lumineux qui change demilieux avec des indices de réfraction différents. On montrera d'ailleurs, dans un autre article de notresite, comment on retrouve les lois de la réfraction et de la réflexion optiques comme conséquences duprincipe de Fermat. On montrera aussi que ces lois résultent du passage à la limite où la longueurd'onde du rayonnement est très faible devant les dimensions du milieu dans la théorie ondulatoire,électromagnétique, de la lumière (équations de Maxwell-Faraday).Aux grandes longueurs d'onde, l'approximation de l'optique géométrique n'est plus légitime : il fautemployer la théorie ondulatoire.L'analogie optique géométrique-mécanique maupertuisienne suggère donc de supposer une mécaniqueondulatoire, dont la mécanique classique ne serait qu'une approximation, de la même façon quel'optique géométrique, qui suit le principe de Fermat, n'est qu'une approximation aux courtes longueursd'onde (relativement aux obstacles du milieu).Quelle est donc la théorie ondulatoire de la mécanique d'où dérive l'approximation « géométrique »fondée sur le principe de Maupertuis ? On montrera dans un article différent que c'est la mécaniquequantique dont l'équation centrale – l'équation de Schrödinger – est le pendant des équations deMaxwell pour l'optique ondulatoire. La nature de la fonction d'onde introduite dans cette mécaniqueondulatoire, ainsi que celle de l'équation de Schrödinger, entraînent un formalisme extrêmement richesur l'interprétation opératorielle et probabiliste de la mécanique quantique. Mais ceci est une autrehistoire.


Et ainsi va la Physique, par analogies et inductions, avec la prudence

à laquelle invite le principede Karl Popper...


Quelques références bibliographiques :

[Appel 2005] Walter Appel: Mathématiques pour la physique et les physiciens – H & K editions 2005

[Bausset 1990] - Max BAUSSET: mécanique des systèmes de solides, Masson, 1990

[Born 1971] - Max BORN: structure atomique de la matière, Armand Colin, Paris 1971

[Charlier, Berard 1989] - Alphonse CHARLIER, Alain BERARD, Marie-France CHARLIER: mécaniqueanalytique, ed. Marketing, 1989

[Chevalier 2004] - Luc CHEVALIER: mécanique des systèmes et des milieux déformables, Ellipses,Paris, 2004

[Elbaz 1995] - Edgard ELBAZ: quantique, éd. Marketing, coll. Ellipses, Paris 1995

[Faroux, Renault 1998] - J-P. Faroux, J. Renault: optique, éd. Dunod, 1998

[Godbillon 1969] - Claude Godbillon: Géométrie différentielle et mécanique analytique – Hermann, 1969

[Iglesias 2000] - Patrick Iglesias: Symétries et moment – Hermann, 2000

[Pérez 2001] - José-Philippe Pérez: Mécanique – Dunod 2001

[Souriau 1980] - Jean-Marie Souriau : structure des systèmes dynamiques - Dunod 1980



Documents

équations de Lagrange en mécanique analytiquefred.elie.free.fr/equations_de_Lagrange.pdfLa mécanique de Newton est la première formulation rationnelle pour décrire le mouvement