Quelques exercices de probabilités corrigésintranetetu.free.fr/V5/download.php?filename=../3A_EIS/...Quelques exercices de probabilités corrigés Antoine Clerc December 12,

Quelques exercices de probabilites corriges

Antoine Clerc

December 12, 2004

1 Denombrement-Probabilites elementaires

Exercice 1On considere les lettres du mot : ANNIVERSAIRE

1. Combien de mots peut on former avec ces lettres ? (On ne se preoccupera pas du sens des mots formes)

2. Combien de mots commencant et finissant par une voyelle peut on former ?

3. Combien de mots peut on former si on veut que toutes les voyelles soient groupees ensemble ?

Correction de l’Exercice 1

1. 1er methode:

Il y a 2 A, 2 E, 2 R, 2 I et 2 N; et 1 V et 1 N.

Placons les A: il y a(

122

)facons de faire; Ensuite, il y a

(102

)facons de placer les E, puis

(82

)facons

pour les R, et ainsi de suite. Il reste ensuite le V et le N a placer sur les 2 places qui restent: on a 2 choix.

On obtient donc 2(

122

)(102

)(82

)(62

)(42

)mots possibles.

2ieme methode: Il y a 12 lettres dans le mot ANNIVERSAIRE. En les permutant, on obtient 12! motspossibles.

Cependant, il y a 2 A, 2 E, 2 R, 2 I et 2 N. Il faut donc diviser 12! par 2!2!2!2!2! ( car en permutant lesA, les E ..., on obtient les memes mots).

On obtient donc12!

2!2!2!2!2!=

12!25

= 14968800 mots possibles.

2. On va distinguer 2 cas:

1er cas: Les 2 voyelles du debut et de la fin sont identiques.

Il y a 3 types de voyelles differentes: A, E, I. On a donc 3 facons la voyelle qui commence et finit le mot.

Ensuite, il faut calculer le nombre de mots faisables avec les 2 types de voyelles identiques restantes ( 2A et 2 E par exemple si on a choisi le I pour commencer et finir le mot) et les 2N, 2R, le S et le V.

MA311 Exercices corriges 2

Avec un raisonnement identique a celui de la question 1), on obtient 2(

102

)(82

)(62

)(42

)mots possibles.

Dans ce cas, on trouve donc 3.2(

102

)(82

)(62

)(42

)=

3.10!2!2!2!2!

=3.10!24

mots

2ieme cas: Les 2 voyelles du debut et de la fin ne sont pas identiques.

Choisissons les 2 types de voyelles parmi les 3 qui seront au debut et a la fin du mot. Il y a(

32

)facons.

Ensuite on peut les permuter de 2 facons.

Ensuite il reste comme lettres: 2 N, 2 R, 1 V, 1 R, 2 ( type de voyelle non choisie pour commencer lemot), 1 voyelle identique a celle du debut , 1 voyelle identique a celle de la fin.

Avec ces lettres, on peut former(

102

)(82

)(62

)4! mots.

On obtient donc 2(

32

)(102

)(82

)(62

)4! =

3.10!22

mots.

Conclusion: Il y a donc3.10!24

+3.10!22

= 3402000

3. Le bloc des voyelles a 7 places possibles. A l’interieur de ce bloc, il y a ( cf question 1)) 6!23 facons de

ranger les voyelles. Ensuite, il y a ( cf question 1)) 6!23 facons de ranger les autres lettres.

On a donc7!6!25

= 113400 facons de ranger les lettres.

Exercice 2 (Un probleme historique: Le premier probleme du Chevalier de Mere )

Le Chevalier de Mere, adepte des jeux de hasard, posa un jour cette question a Pascal:Quel est le plus probable: obtenir au moins un 6 en lancant 4 fois de suite un de, ou obtenir au moins undouble 6 en lancant 24 fois de suite 2 des?

Que repondre au Chevalier de Mere?


Calculons P1 = P ( obtenir au moins un 6 en 4 lancers de 1 de)P2 = P ( obtenir au moins un double 6 en 24 lancers de 2 des).

Calcul de P1

P1 = P ( obtenir au moins un 6 en 4 lancers) = 1− P ( n’obtenir aucun 6 en 4 lancers )Or P (n’obtenir aucun 6 en 4 lancers )= 5.5.5.5

6.6.6.6 .

En effet, on a 5 choix pour le resultat du de a chaque lancer.D’ou

P1 = 1−(

56

)4

' 0.5

Calcul de P2

De la meme facon, P2 = 1− P ( n’obtenir aucun double 6 en 24 lancers des 2 des)Or pour chaque lancer, on a 6.6=36 possibilites, et 35 possibilites autres que le double 6.


Donc

P2 = 1−(

3536

)24

' 0.49

La premiere possibilite est donc plus probable; mais de facon si insignifiante qu’il etait impossible auchevalier de s’en apercevoir...

Exercice 3 ( Le deuxieme probleme du Chevalier de Mere)

Le Chevalier de Mere continue d’embeter Pascal. Voici le nouveau probleme qu’il lui pose:Deux joueurs jouent a un jeu de hasard en plusieurs parties: celui qui, le premier gagne trois parties gagne

le jeu et la totalite de la mise. Malheureusement, le jeu est interrompu alors que le premier a deja gagne 2parties, et le deuxieme joueur 1 partie. Comment repartir equitablement la mise?

Que repondre au Chevalier de Mere?

Correction de l’Exercice 3Placons nous dans la situation ou le premier joueur a deja gagne 2 parties et le 2eme une autre partie.Calculons P1 = P ( le 1er joueur gagne le jeu)

P2 = P ( le 2eme joueur gagne le jeu).

Calcul de P1

P1 = P ( le 1er joueur gagne le jeu )= P ( le 1er joueur gagne la partie suivante) + P (le 2eme joueur gagne la partie suivante, et le 1er celle d’apres)

=12

+12

12

D’ouP1 =

34

Calcul de P2

P1 = P ( le 2eme joueur gagne le jeu) = P ( le 2eme joueur gagne la partie suivante, et encore celle d’apres)

=12

12

DoncP2 =

14

Le premier joueur doit donc obtenir les34

de la mise, et le 2eme ce qui reste ( au passage, on verifie bien

que34

+14

= 1)

Exercice 4Robert fait ses affaires pour aller skier. Son armoire est remplie de 10 paires de gants. Il decide de prendre

4 gants.Le probleme est que Robert est un garcon dans la lune et qu’il choisit les gants au hasard.

Quelle est la probabilite qu’il tire:


1. deux paires completes? ( veinard )

2. au moins une paire?

3. une paire et une seule ?


1. On suppose qu’il choisit les gants simultanement. Il y a donc C420 possibilites.

Il a C210 facons de choisir les 2 paires.

Donc P ( il choisit 2 paires ) =C2

10

C420

' 0.009

2. On va calculer la probabilite de l’evenement contraire: { tous les gants proviennent de paires differentes}

Il y a C410 facons de choisir les 4 paires d’ou proviennent les gants. Ensuite, pour une paire, il y a 2 choix

possibles.

D’ou P ( il tire au moins 1 paire ) = 1− C4102

4

C420

' 0.307

3. En notant E1 = {il tire 2 paires}, E2 ={il tire au moins une paire} et E3 = {il tire 1 paire et 1 seule}, on a:

E2 = E1 ∪ E3. Or E1 et E3 sont disjoints, donc P (E2) = P (E1) + P (E3).

D’ou P ( il choisit 1 paire et 1 seule) = 1− C4102

4

C420

− C210

C420

' 0.297

On peut aussi le calculer directement, en ecrivant P ( il choisit 1 paire et 1 seule) =10C2

922

C204

Exercice 5On dispose d’une urne contenant n boules, dont m sont noires, le reste etant des boules blanches.On effectue un tirage sans remise de r boules parmi ces n boules. Calculer la probabilite de tirer k boules

noires dans un tel tirage.

Correction de l’Exercice 5On peut ici raisonner de deux manieres differentes. Le tirage effectue, on peut considerer le resultat comme:

1. une partie a r elements de l’ensemble des n boules, ou l’ordre n’intervient pas.

2. Une liste ordonnee de r boules.

1ere methodeL’ensemble des resultats possibles a dans ce cas Cr

n elements.il y a Ck

m facons de tirer les k boules noires, et Cr−kn−m facons de tirer les boules blanches.

Donc P ( il y a k boules noires dans le tirage)=Ck

mCr−kn−m

Crn

2eme methode


L’ensemble des resultats possibles a dans ce cas Arn elements.

Choissisons les instants ou on a tire les k boules noires. Il y a Ckr possibilites.

Ensuite, on a Akm facons de tirer les k boules noires, et Ar−k

n−m facons de tirer les r − k boules blanches.

Donc P ( il y a k boules noires dans le tirage)=Ak

mAr−kn−mCk

r

Arn

(On verifie qu’on trouve bien le meme resultat avec les 2 methodes)

Exercice 6On considere un jeu de 32 cartes truque qui possede deux dames de coeur.

1. On tire n cartes au hasard dans le jeu. Calculer la probabilite de s’apercevoir que le jeu est truque.

2. On suppose n = 4 et on renouvelle l’experience consistant a tirer 4 cartes du jeu (en remettant les 4cartes tirees a chaque fois). Quel est le nombre minimum d’experiences a realiser pour qu’on s’apercoiveque le jeu est truque avec une probabilite de 0.95?


1. P ( le jeu est truque )=P ( on tire les 2 dames, puis les n−2 cartes restantes parmi les 30 autres)=C2

2Cn−230

Cn32

2. P ( s’apercevoir que le jeu est truque en k tirages)=1-P (ne pas s’apercevoir que le jeu est truque en ktirages)

Or pour ne pas s’apercevoir que le jeu est truque en k tirages, il faut que a chaque tirage, on ne s’apercoivepas que le jeu est truque.

Notons p = P (ne pas s’apercevoir que le jeu est truque en 1 tirage)=1− Cn−230

Cn32

On a, comme les tirages sont independants, P (ne pas s’apercevoir que le jeu est truque en k tirages)= pk

On cherche donc k tel que 1− pk ≥ 0.95 ⇔ k ≥ 247

Exercice 7Le docteur M. pense avoir demontre un theoreme tres important, mais malheureusement sa demonstrationcomporte une faute. En lisant son texte, un lecteur s’apercoit de l’erreur avec une probabilite p.Pour etre sur que son article est juste, il fait effectuer n relectures de ce dernier par n lecteurs avisesindependants.

1. Soit k ∈ N∗. On note X = nombre de lecteurs ayant repere l’erreur. Calculez la probabilite que X = k.

2. Quelle est la probabilite qu’en n relectures, on s’apercevoive de l’erreur au moins deux fois?Application numerique: p = 0.2, n = 4

3. Le docteur M. est voue a un grand avenir et n’aimerait pas publier un article faux. Combien de lecturesdoit il faire effectuer si il veut que l’erreur soit decouverte avec 90% de chances ?Application numerique: p = 0.2



1. {X = k} est la probabilite que k lecteurs s’apercoivent de l’erreur.

Choisissons les k lecteurs qui s’apercoivent de l’erreur; il y a(

nk

)facons de le faire. Chaque lecteur, et

INDEPENDAMMENT des autres, s’apercoit de l’erreur avec la proba p.

Ainsi, la probabilite que les k lecteurs chosis s’apercoivent de l’erreur est pk. La probabilite que les n− kautres lecteurs ne s’apercoivent pas de l’erreur est de meme (1− p)n−k.

Donc P (X = k) =(

nk

)pk(1− p)n−k

2. On cherche donc P (X ≥ 2) = P (X = 2) + ...P (X = n) = 1− P (X = 0)− P (X = 1)

Application numerique: 1− P (X = 0)− P (X = 1) = 0, 1808

3. On cherche le plus petit entier n tel que P ( on decouvre l’erreur en k relectures) ≥ 0, 9

Or P ( on decouvre l’erreur en k relectures)= 1 − P ( personne ne decouvre l’erreur en k relectures= 1− (1− p)n

1− (1− p)n ≥ 0, 9 ⇔ 0, 1 ≥ (1− p)n

⇔ ln(0, 1) ≥ n ln(1− p)

⇔ n ≥ ln(0, 1)ln(1− p)

car ln(1− p) < 0

⇔ 10, 32 ≤ n

Il faut donc faire 11 relectures pour etre sur a 90% de s’apercevoir de l’erreur.

2 Probabilites conditionnelles

Exercice 8On considere un groupe de personnes.

Parmi ces personnes figurent des medecins (8%) et des profs de maths (15%), et des gens normaux (77%)

C’est bien connu: les profs de maths ecrivent tres mal. Mais dans ce domaine ils sont battus par lesmedecins, qui ecrivent encore plus mal.

Ainsi 50% des profs de maths ecrivent de facon illisible, mais cette proportion atteint 70% des medecins.Quand aux gens normaux, seuls 30% ecrivent de facon incomprehensible.

On considere un mot ecrit par une personne du groupe.

1. Quelle est la probabilite que ce mot soit illisible ?

2. Le mot est en effet illisible. Quelle est la probabilite qu’il ait ete ecrit par une main noble ? (c’est a direpar un prof de math)



On note A1 l’evenement : ”la personne qui a ecrit le mot est un prof de math”, A2 = ”la personne qui aecrit le mot est un medecin”, A3 = ”la personne qui a ecrit le mot est normale”

On a d’apres l’enonce P (A1) = 0.15, P (A2) = 0.08, P (A3) = 0.77

Les evenements (A1, A2, A3) forment un systeme complet d’evenements.En effet, ils sont 2 a 2 disjoints, de probabilite non nulle, et recouvrent tous les cas possibles.

1. Pour cette question, on applique la formule des probabilites totales:

P ( le mot est illisible ) = P ( le mot est illisible |A1)P (A1) + P ( le mot est illisible |A2)P (A2)+ P ( le mot est illisible |A3)P (A3)= 0.5 ∗ 0.15 + 0.7 ∗ 0.08 + 0.3 ∗ 0.77= 0.362

2. On utilise ici la formule de Bayes.

P (A1| le mot est illisible ) =P ( le mot est illisible |A1)P (A1)

P ( le mot est illisible )

=0.5 ∗ 0.15

0.362= 0.207

Exercice 9On considere une maladie dont est atteinte 1% de la population.

Si on est malade, on meurt avec la probabilite 0.5. Il existe un traitement contre la maladie, qui fait qu’unindividu malade et traite n’a plus que 10% de chances de mourir.

Le test de depistage permet de detecter 80 % des malades, mais designe aussi a tort 3% de personnes saines.Or si une personne saine est traitee, elle meurt dans 2% des cas.

1. Si on effectue aucun test de depistage, quelle est la probabilite de mourir de cette maladie?

2. On decide de proceder a un depistage generalise et a un traitement des individus designes comme malades.Quelle est la probabilite de mourir dans ce cas? (a cause de la maladie ou du traitement )

Correction de l’Exercice 9Notons: M = etre malade, Mo = mourir, D = etre designe positif par le test.

D’apres l’enonce, on sait que: P (M) = 0.01, P (Mo|M,D) = 0.5, P (D|M) = 0.8, P (D|M) = 0.03,P (Mo|D,M) = 0.1, P (Mo|D,M) = 0.02

On aura besoin par la suite des valeurs suivantes:.

P (D) = P (D|M)P (M) + P (D|M)P (M) = 0.8 ∗ 0.01 + 0.03 ∗ 0.99 = .0377P (D,M) = P (D|M)P (M) = 0.8 ∗ 0.01 = 0.008P (D,M) = P (D|M)P (M) = 0.03 ∗ 0.99 = 0.0297P (M,D) = P (M)− P (D,M) = 0.01− 0.008 = 0.002


1. On cherche P (Mo).Dans ce cas, il n’y a pas de test donc P (Mo) = P (Mo|M,D)P (M,D) + P (Mo|M, D)P (M, D) = 0.5 ∗0.01 + 0 ∗ 0.99 = 0.005

2. C’est plus complique.

On a: P (Mo) = P (Mo|M)P (M) + P (Mo|M)P (M).

(a) Calculons P (Mo|M) =P (Mo,M)

P (M).

P (Mo,M) = P (Mo,M,D) + P (Mo,M,D)= P (Mo|M,D)P (M,D) + P (Mo|M,D)P (M,D)= 0.1 ∗ 0.008 + 0.5 ∗ (0.002) = 0.0018

D’ou P (Mo|M) = 0.00180.01 = 0.18

(b) Calculons P (Mo|M) =P (Mo,M)

P (M).

P (Mo,M) = P (Mo,M, D) + P (Mo,M, D)= P (Mo|M, D)P (M, D) + P (Mo|M, D)P (M, D)= 0.02 ∗ 0.0297 + 0 = .000594

D’ou P (Mo|M) = 0.0005940.99 = 0.0006

(c) D’ou le resultat: P (Mo) = 0.18 ∗ 0.01 + 0.0006 ∗ 0.99 = .002394On constate donc que la probabilite de mourir est plus faible; il vaut donc mieux faire effectuer untraitement systematique des personnes detectees. Et tant pis pour les personnes traitees a tort etqui mourront des suites du traitement...

Exercice 10Une source d’information emet un message sous forme de ” 0 ” ou de ” 1 ” avec des probabilites respectives

p0 = 0.3 et p1 = 0.7.

On souhaite transmettre ce message vers le recepteur par une liaison A. Cette liaison, a cause de defauts,transmet le contraire du message avec une probabilite d’erreur qA = 10−7.

On souhaite diminuer cette probabilite d’erreur, on considere alors le systeme suivant:Les messages sont maintenant transmis vers un recepteur par 2 canaux distincts A et B. On admet que les

2 liaisons sont independantes et que les probabilites d’erreur sur chacune de ces liaisons sont respectivementqA = 10−7 et qB = 2.10−7 (quel que soit le message emis).

1. A un instant donne, le recepteur recoit ” 0 ” sur le premier canal et ” 1 ” sur le second. On demande dedecider quel etait le message emis, en choisissant celui dont la probabilite d’emission sachant le resultata la reception (sur les 2 canaux) est maximale. (methode du maximum a posteriori)

2. Etablir une regle de decision par la methode du maximum a posteriori pour toutes les configurationspossibles en reception.

( autrement dit, que decider dans les cas suivants:

• 0 recu sur A, 0 recu sur B




)


3. Calculer approximativement la probabilite d’erreur globale de cette regle de decision. Conclusion ?


Notons:

E0 = le message initial est un 0, E1 = le message initial est un 1RA1 = le message recu sur la ligne A est un 1, RA0 = le message recu sur la ligne A est un 0RB1 = le message recu sur la ligne B est un 1, RB0 = le message recu sur la ligne B est un 0

1. On cherche donc P (E0|RA0 ∩RB1)

P (E0|RA0 ∩RB1) =P (RA0 ∩RB1|A0)P (E0)

P (RA0 ∩RB1)

=p0(1− qA)qB

P (RA0 ∩RB1|E0)P (E0) + P (RA0 ∩RB1|E1)P (E1)(formule de Bayes)

=p0(1− qA)qB

p0(1− qA)qB + (1− p0)(qA)(1− qB)

On trouve P (E0|RA0 ∩RB1) = 0, 4615

On a donc P (E1|RA0 ∩RB1)0, 5 ' 0, 54, il faut ainsi decider qu’on a emis un 1

2. On a 4 cas possibles:

• 0 recu sur A, 0 recu sur B. Dans ce cas, il est clair qu’il y a plus de chance pour que le message emissoit un 0 (on peut faire le calcul si on est pas convaincu!). On decide donc que le message initial est0.

• 1 recu sur A, 1 recu sur B. Par le meme raisonnement que ci-dessus, on decide que le message emisest un 1.

• 0 recu sur A, 1 recu sur B. C’est le cas resolu a la question precedente, on decide donc un 1

• 1 recu sur A, 0 recu sur B. La probabilite de se tromper est plus grande sur B que sur A: on decidedonc que le message initial est celui de A, c’est a dire 1.

De facon resumee:

Messages recus Decision0A, 0B 01A, 1B 10A, 1B 11A, 0B 1

3. On a P (erreur) = P (erreur|E1)P (E1) + P (erreur |E0)P (E0)

or P (erreur|E1) = P (RA0∩RB0|E1) = qAqB: en effet, si le message emis est 1, le seul cas ou notre reglede decision nous trompe est quand on recoit 0 sur A et sur B.

De meme,

P (erreur|E0) = P (RA1 ∩RB1|E0) + P (RA0 ∩RB1|E0) + P (RA1 ∩RB0|E0)= qAqB + (1− qA)qB + qA(1− qB)

Finalement,

P (erreur) = (1− p0)qAqB + p0(qAqB + (1− qA)qB + qA(1− qB)) ' 0, 9.10−7

Conclusion: On a un peu diminue la probabilite d’erreur... mais pas de beaucoup ! (on passe de 10−7

sur A a 0, 9.10−7)


Exercice 11Un quart d’une poulation a ete vaccinee. Si on est vaccine, on tombe malade avec une probabilite de

120

.Parmi les malades, il y a 4 non-vaccines pour 1 vaccine.

Quelle est la probabilite pour un non-vaccine de tomber malade?


Un petit exercice ou il faut se servir de la formule des probabilites totales, mais pas seulement.

Notons : V = etre vaccine, M = etre malade.On notera V le contraire de V .D’apres l’enonce, on peut ecrire: P (M |V ) = 1

20 , P (V |M) = 15 , P (V ) = 1

4 .

On cherche x = P (M |V ). On a:

x =P (M,V )

P (V )

=P (V |M)P (M)

P (V )

Or: P (M) = P (M |V )P (V ) + P (M |V )P (V ) ( formule des probas totales ). D’ou:

x =P (V |M)

P (V )

(P (M |V )P (V ) + P (M |V )P (V )

)=

P (V |M)P (V )

(P (M |V )P (V ) + xP (V )

)Or P (V |M) =

45.

D’ou

x =45

120

(14

1− 14

)+ x

45⇔ x =

115

3 V.a discretes

Exercice 12Le jeu americain ”chuck a luck” est le suivant: On parie sur un nombre de 1 a 6. On lance 3 des.

Si le nombre sur lequel on a parie sort :3 fois, on gagne 3$2 fois, on gagne 2 $ ;1 fois, on gagne 1 $ ;0 fois, on perd 1 $.

1. Soit X le gain lors d’une partie, determiner la loi de X.

2. En moyenne, combien gagne t-on a ce jeu lors d’une partie ?



1. Les valeurs que peut prendre X sont: 3, 2, 1 ou -1.

ATTENTION!: X ne suit donc pas une loi binomiale, car une v.a de loi binomiale ne prend que desvaleurs positives.

Si on pose Y = nombre de fois ou le nombre choisi sort, la par contre Y suit une loi binomiale.

• P (X = 3) =(

16

)3 = 1216

• P (X = 2) = C23

(16

)2 (56

)= 15

216

• P (X = 1) = C13

(16

) (56

)2 = 75216

• P (X = −1) =(

56

)3 = 125216

(on verifie que la somme fait 1)

2. On cherche E(X). Attention, X n’est pas une loi binomiale; on ne peut appliquer la formule du cours.

E(X) =∑

kP (X = k) = 31

216+ 2

15216

+75216

− 125216

=−17216

= −0.078

En moyenne, on perd 0.08 $ a ce jeu.

Exercice 13

Dans la memoire d’un ordinateur d’un ordinateur, on appelle quartet un ensemble de 4 bits (1 bit=0 ou 1).Soit Q un quartet, notons par Z le nombre tel que Q = ecriture de Z en base 2.

On suppose que la memoire de l’ordinateur n’a pas ete initialisee: ainsi, tous les bits de la memoire setrouvent, independamment, dans l’etat 1 avec probabilite p.

1. Calculer l’esperance et la variance de Z.

2. Calculer la probabilite que Z soit pair.

3. Calculer P (Z > 3).

Correction de l’Exercice 13Notons Q = b0b1b2b3 le quartet.Les bi sont les bits qui valent 0 ou 1. Leur valeur est aleatoire: P (bi = 1) = 1, P (bi = 0). Les bi sont donc desv.a de Bernoulli.

1. En base 2, Z est Q, donc Z =3∑

k=0

bi2i. Donc

E(Z) = E

(3∑

k=0

bi2i

)

=3∑

k=0

2iE(bi) (linearite de l’esperance)

=3∑

k=0

2ip car bi ∼ B(p)

= 15p


De meme,

var(Z) = var

(3∑

k=0

bi2i

)

=3∑

k=0

var(bi2i) car les bi sont independantes

=3∑

k=0

(2i)2var(bi)

=3∑

k=0

4ip(1− p)

= 85p(1− p)

On rappelle qu’en general var(X + Y ) 6= var(X) + var(Y ): on a var(X + Y ) = var(X) + var(Y ) que siX et Y sont independantes.

2. Z = b0 + 2b1 + 4b2 + 8b3 = b0 + 2(b1 + 2b2 + 4b3). Ainsi Z est pair ssi b0 = 0. Donc P (Z pair) = 1− p)

3. On cherche P (Z > 3). On peut ecrire P (Z > 3) = 1 − P (Z ≤ 3) = P (Z = 0) + P (Z = 1) + P (Z =2) + P (Z = 3). C’est un peu long.

Comme Z = b0 + 2b1 + 4b2 + 8b3, il est clair que Z ≤ 3 ⇔ b2 = b3 = 0.

Donc P (Z > 3) = 1− P (b2 = 0; b3 = 0) = 1− (1− p)2 par independance de b2 et b3.

Exercice 14Un fleuriste doit faire un bouquet de 2p + 1 roses blanches pour un client. Son stock de roses est consitue

de 4n roses, dont n sont blanches. (2p + 1 < n)

Mais, trouble par une cliente venant d’entrer, il choisit les roses au hasard. Soit Xn le nombre de rosesblanches dans le bouquet.

1. Calculer la loi de Xn

2. Que se passe t-il si n tend vers +∞?


1. On a calcule en cours: P (Xn = k) = Ck2p+1

AknA2p+1−k

3n

A2p+14n

.

Rmq: en raisonnant d’une autre maniere, on peut aussi trouver P (Xn = k) =Ck

nC2p+1−k3n

C2p+14n

(ce qui est la

meme chose !)

2. Quand n → +∞, on a : Akn ∼ nk.

En effet, Akn est un polynome en n; en +∞, il est donc equivalent a son terme de plus haut degre.

On en deduit:

P (Xn = k) ∼ Ck2p+1

nk(3n)2p+1−k

(4n)2p+1= Ck

2p+1

(14

)k (34

)2p+1−k


Donc P (Xn = k) −−−−−→n→+∞

Ck2p+1

(14

)k (34

)2p+1−k. Quand n est grand, la loi de Xn est la loi B(2p + 1, 14).

On parle de convergence en loi.

Exercice 15Le nombre N d’enfants d’une famille d’une population est une v.a de loi de Poisson de parametre λ. Chaque

enfant a la probabilite p d’avoir un gene A, et ceci de facon independante. Soit X le nombre d’enfants d’unefamille ayant le gene A et Y le nombre d’enfants de la famille ne l’ayant pas.

1. Quelle relation existe-t-il entre N , X, Y ?

2. Pour n ∈ N et k ∈ {0...n}, determiner P (X = k|N = n). Calculer la loi de X.

3. Determiner la loi de Y .

4. Montrer que X et Y sont independantes.

5. Application. λ = 2, p = 0, 4. Determiner la probabilite pour une famille d’avoir 3 enfants presentant legene A et 2 enfants ne l’ayant pas.


1. On a N = X + Y

2. Pour n ∈ N et k ∈ {0...n}, on a P (X = k|N = n) = Cknpk(1− p)n−k.

En effet, si on sait que la famille possede n enfants, que X = k, on a forcement n− k enfants avec le geneB.

On en deduit :

P (X = k) =+∞∑n=k

P (X = k|N = n)P (N = n)

=+∞∑n=k

Cknpk(1− p)n−ke−λ λn

n!

= e−λpkλk+∞∑n=k

Ckn

n!λn−k(1− p)n−k

= e−λ (λp)k

k!

+∞∑n=k

(λ(1− p))n−k

(n− k)!

Or+∞∑n=k

(λ(1− p))n−k

(n− k)!= eλ(1−p)

D’ou

P (X = k) =e−λp

k!(λp)k. Ainsi X ∼ Poi(λp)

3. Par le meme raisonnement, Y ∼ Poi(λ(1− p).

4. Soient k ∈ N, q ∈ N. calculons P (X = k, Y = q).


On a {X = k, Y = q} ⊂ {N = k + q}. Donc

P (X = k, Y = q) = P (X = k, Y = q, N = k + q)= P (X = k, Y = q|N = k + q)P (N = k + q)

=(Ck

k+qpk(1− p)q

)( e−λ

(k + q)!(λ)k+q

)= e−λp (λp)k

k!e−λ(1−p) (λ(1− p))q

q!

D’ou P (X = k, Y = q) = P (X = k)P (Y = q). QED

5. Application. λ = 2, p = 0, 4.

On cherche P (X = 3, Y = 2). Par independance, P (X = 3, Y = 2) = P (X = 3)P (Y = 2) = 0.008

Exercice 16On considere le jeu suivant: un candidat doit repondre a une question, puis quelquesoit sa reponse, tirer

une boule dans une urne. Si la boule est blanche, on remet la boule blanche, une boule noire de plus, et lejeu continue. Si elle est noire le jeu s’arrete. De plus a chaque bonne reponse il gagne 1000 euros, et il a unechance sur 2 de se tromper.

On note X = nombre de parties jouees par le candidat, et Y = gain du joueur. 0n pose par conventionX = −1 et Y = −1 si le jeu ne s’arrete jamais.

On suppose qu’au depart il n’y a qu’une boule blanche.

1. (a) Determiner la loi de X. (on calculera P (X = n) pour n ∈ N∗, puis P (X = −1))

(b) Calculer E(X)

2. determiner la loi de Y .


1. Il manque une donnee dans l’enonce: il faut connaitre le nombre de boules blanches et de boules noiresau debut du jeu. On va faire les calculs avec 1 boule blanche et 0 noire au debut.

Notons Bi =le joueur tire une boule blanche a la ieme partie.Notons Ni =le joueur tire une boule noire a la ieme partie.

Soit n ∈ N. calculons P (X = n). On a trivialement P (X = 0) = 0.Si n ≥ 1, on a: {X = n} = le candidat tire une boule blanche a chacune des n− 1 premieres parties, puisune noire lors de la nieme.Donc

P (X = n) = P (B1 ∩B2 ∩ ... ∩Bn−1 ∩Nn)

En utilisant la formule des probabilites conditionnelles en cascade (voir TD precedent), on a :

P (X = n) = P (B1)P (B2|B1)P (B3|B2 ∩B1)...P (Nn|B1 ∩ ... ∩Bn−1)

D’ouP (X = n) = 1

12

13...

1n− 1

n− 1n

=n− 1

n!


Enfin, pour calculer P (X = −1), on peut ecrire que+∞∑n=0

P (X = n) + P (X = −1) = 1.

D’ou

P (X = −1) = 1−+∞∑n=1

n− 1n!

OrK∑

n=1

n− 1n!

=K∑

n=1

1(n− 1)!

−K∑

n=1

1n!

= 1− 1K!

. En faisant K → +∞, on obtient:+∞∑n=1

n− 1n!

= 1.

D’ou

P (X = −1) = 1−+∞∑n=1

n− 1n!

= 1− 1 = 0

Conclusion: la loi de X est donnee par{

P (X = 0) = P (X = −1) = 0∀n ≥ 1, P (X = n) = n−1

n!

2. le calcul est penible.

L’ensemble des valeurs prises par Y est {0, 1000, 2000, ..., } ∪ {−1}En appliquant la formule des probas totales au systeme d’evenements X = n, on trouve:

P (Y = −1) = 0P (Y = 0) = 1−

√e

2

∀k ≥ 1, P (Y = 1000k) = (k− 12)√

e

2kk!

Exercice 17 (Calcul d’esperance et de variance)

1. Soit X une v.a de loi de Poisson Poi(λ). Calculez E(X), puis E(X(X − 1)) et en deduire var(X).

2. Soit X une v.a de loi binomiale B(n, p). Calculez E(X), puis E(X(X − 1)) et en deduire var(X).

Correction de l’Exercice 172◦) Pour le calcul de E(X) on a deux methodes:

1ere methode: La methode calculatoire.

On ne se pose pas de questions et on calcule:

E(X) =n∑

k=0

kP (X = k) =n∑

k=0

kCknpk(1− p)n−k

=n∑

k=1

kCknpk(1− p)n−k

Or kCkn = k

n!k!(n− k)!

=n!

(k − 1)!(n− k)!= n

(n− 1)!(k − 1)!(n− k)!

= nCk−1n−1.

D’ou:

E(X) =n∑

k=1

kCknpk(1− p)n−k =

n∑k=1

nCk−1n−1p

k(1− p)n−k = n

n∑k=1

Ck−1n−1p

k(1− p)n−k

= npn∑

k=1

Ck−1n−1p

k−1(1− p)n−1−(k−1)

= np

n−1∑k=0

Ckn−1p

k(1− p)n−1−k = np(p + (1− p))n−1 d’apres le binome de Newton

= np


Donc E(X) = np

2eme methode: La methode plus fine.

On sait d’apres le cours qu’une v.a qui suit la loi B(n, p) peut etre consideree comme une somme de n v.ade Bernoulli independantes.

Ainsi si X = X1 + X2 + ... + Xn, avec Xi v.a de bernoulli, on a:E(X) = E(X1 + X2 + ... + Xn) = E(X1) + E(X2) + ... + E(Xn) = p + p + ... + p = np.

Pour le calcul de var(X), on preferera bien sur la deuxieme methode:

var(X) = var(X1 + X2 + ... + Xn) = var(X1) + var(X2) + ... + var(Xn), mais attention ici l’independancedes Xi est essentielle pour pouvoir ecrire cette egalite.

Donc var(X) = nvar(X1) = np(1− p)

4 V.a continues

Exercice 18 (Minimum de 2 v.a de loi exponentielles)

1. Soient T1 et T2 2 v.a independantes de loi exponentielle de parametre λ1 et λ2.

On considere la v.a Z = min(T1, T2). Calculer la loi de Z

2. Generaliser au cas de n v.a (X1, ..., Xn) suivant respectivement des lois Exp(λi)

3. Robert attend au bureau de poste. Devant lui sont deux guichets occupes.Soient X1 et X2 les temps d’occupation respectifs des deux guichets, on suppose que X1 et X2 sontindependants st suivent des lois Exp(λ1) et Exp(λ2).

On note Y = le temps d’attente de Robert. Calculer la loi de Y .


1. Soit x ∈ R+. L’evenement (Z > x) est egal a l’evenement (T1 > x; T2 > x)

En effet, si le minimum de deux nombres est plus grand que x, cela revient a dire que ces deux nombressont plus grands que x.

Donc :

P ((Z > x) = P (T1 > x; T2 > x)= P (T1 > x)P (T2 > x) par independance= e−λ1xe−λ2x = e−(λ1+λ2)x

Donc P (Z < x) = 1− e−(λ1+λ2)x, ce qui prouve que Z ∼ Exp(λ1 + λ2) ( si x < 0, on trouve trivialementP (Z < 0) = 0)

2. Montrons par recurrence que la loi de min(T1, ..., Tn) est Exp(λ1 + λ2 + ... + λn).


• Si n = 1, c’est evidemment vrai.

• Soit n ≥ 1. Supposons que la loi de min(T1, ..., Tn−1) est la loi Exp(λ1 + ... + λn), et calculons la loide min(T1, ..., Tn) .

Si on note Z = min(T1, ...Tn−1), on a:Z et Tn independantesZ et Tn suivent des lois exponentielles de parametres (λ1 + ... + λn−1) et λn

min(T1, ..., Tn) = min(Z, Tn)

Donc d’apres la question 1), la loi de min(T1, ..., Tn) est donc la loi Exp((λ1 + ... + λn−1) + λn).

• Donc: ∀n ∈ N, la loi de min(T1, ..., Tn) est une loi exponentielle dont la parametre est la somme desparametres des Ti.

Exercice 19Toto s’impatiente a un arret d’autobus: il decide de prendre le taxi, si un taxi libre venait a passer devant

l’arret avant le prochain autobus.Soient X la variable donnant le temps d’arrivee du prochain autobus, Y la variable donnant le temps de

passage du prochain taxi libre devant l’arret. On suppose que X est une variable discrete prenant trois valeurs:

P (X = 5) = 1/4, P (X = 15) = 1/2, P (X = 25) = 1/4

que Y ∼ Exp(λ = 15) , et que X et Y sont independantes (ces temps sont exprimes en minutes).

1. Quelle est la probabilite pour que Toto attende plus de dix minutes?

2. Quelle est la probabilite pour que Toto prenne le taxi plutot que l’autobus?

3. Quelle est la probabilite pour que Toto prenne le taxi plutot que l’autobus, si l’on sait en outre qu’il aattendu plus de dix minutes?


1.

P (Toto attende plus de 10 minutes) = P (X > 10; Y > 10)= P (X > 10)P (Y > 10) car X et Y sont independantes= (P (X = 15) + P (X = 25)) P (Y ≥ 10)

=34

∫ +∞

10λe−λxdx =

34

[−e−λx

]+∞10

=34e−λ10 =

34e−2

2. On cherche donc P (Y < X).

On utilise ici la formule des probabilites totales. Les evenements {X = 5}, {X = 15}, {X = 25}forment un systeme complet d’evenements.

P (Y < X) = P (Y < X|X = 5)P (X = 5) + P (Y < X|X = 15)P (X = 15) + P (Y < X|X = 25)P (X = 25)= P (Y < 5|X = 5)P (X = 5) + P (Y < 15|X = 15)P (X = 15) + P (Y < 25|X = 25)P (X = 25)


Or P (Y < 5|X = 5) = P (Y < 5) car les evenements {X = 5} et {Y < 5} sont independants.

Donc P (Y < X) = P (Y < 5)P (X = 5) + P (Y < 15)P (X = 15) + P (Y < 25)P (X = 25)

=14

∫ 5

0λe−λxdx +

12

∫ 15

0λe−λxdx +

14

∫ 25

0λe−λxdx

=14(1− e−5λ) +

12(1− e−15λ) +

14(1− e−25λ)

3. On cherche P (Y < X|X > 10; Y > 10).

Or P (Y < X|X > 10; Y > 10) =P (Y < X;X > 10; Y > 10)

P (X > 10; Y > 10)=

P (10 < Y < X)P (X > 10; Y > 10)

Le denominateur a ete calcule a la question precedente.Calculons P (10 < Y < X) par la formule des probabilites totales.

P (10 < Y < X)=P (10 < Y < X|X = 5)P (X = 5) + P (10 < Y < X|X = 15)P (X = 15) + P (10 < Y < X|X = 25)P (X =25)

= P (10 < Y < 15|X = 15)P (X = 15) + P (10 < Y < 25|X = 25)P (X = 25)= P (10 < Y < 15)P (X = 15) + P (10 < Y < 25)P (X = 25)

=12

∫ 15

10λe−λxdx +

14

∫ 25

10λe−λxdx

=12(e−λ10 − e−λ15) +

14(e−λ10 − e−λ25)

Donc P (Y < X|X > 10; Y > 10) =12(e−λ10 − e−λ15) + 1

4(e−λ10 − e−λ25)34e−2

=12(e−2 − e−3) + 1

4(e−2 − e−5)34e−2

Exercice 20On considere une route de longueur l, joignant les villes A et B. Des incendies surviennent sur cette route.

On note X la distance entre un incendie et la ville A.

Il y a une caserne de pompiers sur cette route, elle est situee a une distance p de la ville A.

1. On suppose que les incendies se produisent au hasard sur la route [A; B], c’est a dire que X ∼ U([0, l]).Calculer la distance moyenne que doivent parcourir les pompiers pour atteindre un incendie.

2. Quelle est la valeur de p pour que cette distance soit la plus petite possible?


1. on cherche E(|X − p|). On a:

E(|X − p|) =∫

R|x− p|1

l1[0; l](x)dx

=1l

∫ l

0|x− p|dx

=1l

∫ p

0(p− x)dx +

1l

∫ l

p(x− p)dx

=1l

p2

2+

1l

(l − p)2

2


2. On devine que cette valeur est l2 , ce qui est confirme par le calcul:

On pose f(p) =1l

p2

2+

1l

(l − p)2

2, et on cherche le minimum de f .

f ′(p) =p

l− l − p

l; en etudiant les variations de f , on trouve que le minimum de f est l

2 .

Exercice 21Une entreprise fabrique du chocolat. Une presse faconne les tablettes dont le poids X (exprime en grammes

suit une loi N(m,σ2), avec σ = 3.Le reglage de la presse permet de modifier m par pas de 0.1 sans affecter σ.

Les services de controle permettent que 2.5% des articles puissent peser moins que le poids net mentionnesur l’emballage.

1. Determiner m pour respecter la loi si on indique 250 g sur l’emballage.

2. On decide de vendre les paquets par lots de 2, avec comme indication 500 g. Calculer m dans ce cas. Sion vend 100 000 plaques, quelle est en moyenne l’economie realisee ?

(On se souviendra que la loi de la somme de 2 v.a independantes de loi N(m1, σ21) et N(m2, σ

22) est la loi

N(m1 + m2, σ21 + σ2

2))


1. On cherche m tel que P (X > 250) ≥ 0.975. On a :

P (X > 250) = P (X −m

σ>

250−m

σ)

Or si X ∼ N(m,σ2),X −m

σ∼ N(0, 1).

La table nous indique que si α = 1.96, P (X−mσ > α) ≥ 0.975.

On a donc 1.96 =250−m

σ⇔ m = 250− 1.96σ ⇔ m=244.12

2. On cherche maintenant m tel que P (X1 + X2 > 500) ≥ 0975, ou X1 et X2 representent les poids de 2tablettes fabriquees. X1 et X2 sont donc independantes et suivent toutes deux des lois N(m,σ2).

X1 + X2 suit donc la loi N(2m, 2σ2). On a:

P (X > 500) = P (X − 2m√

2σ>

500− 2m√2σ

)

On a donc comme au 1)500− 2m√

2σ= 1.96 ⇔ m =

500− 1.96√

2σ

2⇔ m=245.8

En moyenne, chaque plaque pese donc m = 245.8 grammes. En moyenne, on gagne donc 4.2 g par tablettesi le reglage avait ete simplement fait sur m = 250

Ce qui fait, sur 100 000 plaques, une ecomomie de 420000 g... 420 tonnes de chocolat, ce qui n’est pasnegligeable !!!


Exercice 22Un appareil electrique fonctionne avec 3 piles P1, P2, P3. Chacune de ces piles Pi a une duree de vie Xi,

qui est une v.a de loi Exp(λ). On suppose de plus que les 3 durees de vie sont independantes.

L’appareil cesse de focntionner des que 2 de ses piles sont mortes. On note T la duree de fonctionnementde l’appareil.

1. Calculer G, la fonction de repartition de T .

2. T admet elle une densite? Si oui, la calculer.


1. Soit x ∈ R. Calculons P (T ≤ x)

• Si x < 0 , on a evidemment P (T ≤ x) = 0.

• Sinon,

P (T ≤ x) = P ( 2 piles au moins sont tombees en panne pendant l’intervalle [0, x])= P ( 2 piles exactement sont en panne ) + P ( les 3 piles sont en panne)

Notons p = P (une pile choisie au hasard tombe en panne pendant [0, x]). Les piles ayant des dureesde vie independantes, les evenements ’Pi est en panne’ et ’Pj est en panne’ sont independants. Donc:

P (T ≤ x) = C23p2(1− p) + p3

Or p = P (D1 < x) = 1− e−λx.Donc P (T ≤ x) = 3e−λx(1− e−λx)2 + (1− e−λx)3

La loi de T est donc donnee par: P (T ≤ x) ={

0 si x < 03e−λx(1− e−λx)2 + (1− e−λx)3 sinon

Remarque: en developpant, on obtient une expression plus simple: G(x) ={

0 si x < 01 + 2e−3λx − 3e−2λx sinon

2. La fonction de repartition de G, calculee a la question precedente, est continue et de classe C1 parmorceaux; ainsi T possede une densite qui est la derivee de G.

Le densite de T est donc donnee par:{

0 si x < 0−6e−3λx + 6e−2λx sinon

Exercice 23 (Lois sans memoire)Une v.a X est dite sans memoire si ∀s ∈ R+,∀t ∈ R+ P (X > t + s|X > s) = P (X > t)

1. Montrer qu’une v.a suivant la loi exponentielle est sans memoire.

2. Robert est au supermarche. On suppose que le temps que chaque client doit attendre devant une caissesuit une loi exponentielle Exp(1/6). Robert s’impatiente a sa caisse: il attend depuis 5 minutes.

A t-il interet a aller a la caisse d’a cote ??



1. Soient s ∈ R+, t ∈ R+.

P (X > t + s|X > s) =P (X > t + s,X > s)

P (X > s)

Or P (X > t + s,X > s) = P (X > t + s). Donc:

P (X > t + s|X > s) =P (X > t + s)

P (X > s)

=

∫ +∞t+s λe−λxdx∫ +∞s λe−λxdx

=

[−e−λx

]+∞t+s

[−e−λx]+∞s

=e−λ(t+s)

e−λs= e−λt

= P (X > t)

2. Notons X le temps que Robert doit attendre a sa caisse. Notons Y le temps que Robert doit attendre ala caisse voisine. X et Y suivent des lois Exp(1

6).

si Robert reste a sa caisse P (Robert attende encore t min )= P (X > t + 5|X > 5) = P (X > t) = e−16t

si Robert change de caisse P (Robert attende t min )= P (Y > t) = e−16t

Les deux situations sont donc les memes!!

Exercice 24Robert entre chez le coiffeur. Celui ci est occupe avec un client. La coupe dure (exactement) 30 min, et celleci a debute selon une duree aleatoire uniformement repartie entre 0 et 30 min.

Calculer la probabilite que t minutes apres l’entree de Robert, le coiffeur n’ait pas fini la coupe.

Correction de l’Exercice 24Notons U le temps (en minutes) que le coiffeur a deja passe avec le client qu’il coiffe a l’entree de Robert.

D’apres l’enonce, ce temps suit une loi uniforme sur [0, 30].

Ainsi, la coupe va durer encore (30− U) minutes. Soit t ≥ 0

P ( le coiffeur n’a pas fini sa coupe t minutes apres l’entree de Robert) = P (30− U > t) = P (U < 30− t)

Or P (U < 30− t) =

0 si 30− t ≤ 030−t30 si 0 ≤ 30− t ≤ 30

1 si 30 ≤ 30− t=

0 si 30 ≤ t1− t

30 si 0 ≤ t ≤ 301 si t = 0


Exercice 25

Soit λ ∈ R+∗, soit U une v.a de loi uniforme sur [0, 1]. On considere X = − ln(U)λ

.

1. Pourquoi peut on dire que X existe presque surement?

2. Calculer la loi de X


1. X est definie si U > 0. Or P (U ≤ 0) = P (U = 0) = 0 car U est une v.a a densite.Ainsi P (X n’est pas definie)= 0

2. Soit x ∈ R.

• Si x ≤ 0, on a bien sur P (X ≤ x) = 0.

• Sinon, si x ≥ 0, :

P (X ≤ x) = P (− ln(U)

λ≤ x)

= P (U ≥ e−xλ) car ln est croissante= 1− e−λx

Donc X ∼ Exp(λ).

5 Couples de variables aleatoires

Exercice 26Robert doit prendre le prochain bus.

1. Robert est a l’arret de bus. Le temps d’attente avant que le bus n’arrive suit une loi Exp(0.2).

Quelle est la probabilite que Robert attende plus de 10 minutes ?

2. Robert voudrait bien prendre le bus en compagnie de sa jolie voisine, mais celle ci n’est pas encore arrivee.Le temps qu’elle met pour arriver suit une loi Exp(0.3).

Quelle est la probabilite que Robert puisse effectuer le voyage avec elle ?


1. Notons X le temps que doit attendre Robert. On cherche P (X > 10)

P (X > 10) =∫ +∞

100.2e−0.2xdx =

[−e−0.2x

]+∞10

= e−2


2. Notons Y le temps que met la jolie voisine a arriver. On cherche P (X > Y )

Si on note B ={

(x, y) ∈ R2 tq x > yx ≥ 0, y ≥ 0

}, on a P (X > Y ) = P ((X, Y ) ∈ B).

Or comme X et Y sont independantes, la densite f(X,Y ) du couple (X, Y ) est le produit des densites deX et de Y .

P (X > Y ) =∫

Bf(X,Y )(x, y) dxdy

=∫

B0.2 ∗ 0.3e−0.2xe−0.3y dxdy =

∫ +∞

0

∫ +∞

y0.2 ∗ 0.3e−0.2xe−0.3y dxdy

=∫ +∞

00.3e−0.3y

[−e−0.2x

]+∞y

dy

=∫ +∞

00.3ey(−0.2−0.3) dy =

[−0.3

0.5e−0.5y]+∞0

= 0.6

Robert a donc 6 chances sur 10 de passer le voyage avec sa voisine.

Exercice 27Soient X, Y deux v.a independantes de densite respectives:

fX(x) =1

Γ(a)xa−1e−x1[0,+∞[(x) et fY (y) =

1Γ(b)

yb−1e−y1[0,+∞[(y)

(a et b sont deux reels > 0, et on rappelle que Γ(b) =∫ +∞

0e−xxb−1dx).

On pose U = XX+Y et V = X + Y .

1. Trouver la loi du couple (U, V )

2. Les v.a U et V sont elles independantes ?

Correction de l’Exercice 27On cherche la loi du couple (U, V ). Pour cela, on doit calculer P (U ≤ u;V ≤ v).

P (U ≤ u; V ≤ v) = P (X

X + Y≤ u; X + Y ≤ v)

= P ((X;Y ) ∈ A) ou A = (x, y) ∈ R+2tq

{ x

x + y≤ u

x + y ≤ v

Or X et Y sont independantes, donc la densite du couple (X;Y ) est le produit des densites de X et Y .

Donc P (U ≤ u; V ≤ v) =∫ ∫

x

x + y≤ u et x ≥ 0; y ≥ 0

x + y ≤ v

fX(x)fY (y)dxdy


Faisons le changement de variables:

{X =

x

x + yY = x + y

⇔{

x = XYy = Y −XY

Le jacobien est:∣∣∣∣ Y X−Y 1−X

∣∣∣∣ = Y et les nouvelles bornes sont:{

X ≤ u et X ∈ [0; 1]Y ≤ v et Y ≥ 0

Donc P (U ≤ u; V ≤ v) =∫ ∫ X ≤ u

Y ≤ v

Y fX(XY )fY (Y −XY )1[0;1](X)1[0;+∞[(Y )dXdY

=1

Γ(a)Γ(b)

∫ ∫ X ≤ uY ≤ v

(XY )a−1Y b−1(1−X)b−1Y e−Y 1[0;1](X)1[0;+∞[(Y )dXdY

Ainsi la densite du couple (U ;V ) est:

f(U,V )(X, Y ) =1

Γ(a)Γ(b)Xa−1(1−X)b−1Y a+b−1e−Y 1[0;1](X)1[0;+∞[(Y )

Exercice 28Soit X et Y deux v.a independantes suivant la loi normale N(0, 1).

1. Calculer la loi de Z = X2 + Y 2

2. Calculer E(Z)


1. On peut penser a calculer d’abord les lois de X2 et Y 2, puis faire le produit de convolution de ces 2 lois.Cela ferait deux calculs a faire, c’est un peu long. Calculons directement P (X2 + Y 2 ≤ t) en utilisant lescouples de v.a.

Comme X et Y sont independantes, la densite de (X, Y ) est f(X,Y )(x, y) = fX(x)fY (y) = 12πe−

x2

2 e−y2

2

P (X2 + Y 2 ≤ t) = P ((X, Y ) ∈ A), ou A ={

(x, y) ∈ R2

x2 + y2 ≤ t

}=

∫ ∫A

f(X,Y )(x, y) dxdy

=∫ ∫

{x2+y2≤t}

12π

e−x2

2 e−y2

2 dxdy

=∫ ∫

{x2+y2≤t}

12π

e−x2+y2

2 dxdy


La presence de x2 + y2 nous incite a passer en polaire:

{x = r cos(θ)y = r sin(θ)

r2 = x2 + y2 varie de 0 a t, donc r varie de 0 a√

t. θ varie de 0 a 2π (pas de contraintes sur θ)

P (X2 + Y 2 ≤ t) =12π

∫ 2π

0

∫ √t

0e−

r2

2 r drdθ

=12π

∫ 2π

0dθ

∫ t

0e−

r2

2 r dr

=[−e−

r2

2

]√t

0

= 1− e−t2

Donc X2 + Y 2 ∼ Exp(12)

2. Comme Z ∼ Exp(12), E(Z) = 2.

Exercice 29Stephanie doit se rendre a la poste. Le temps qu’elle passe a attendre dans la queue suit une loi Exp(λ1).

Le temps qu’elle passe au guichet suit une loi Exp(λ2). Le temps qu’elle doit attendre avant que son telephoneportable sonne suit une loi Exp(λ3). Ces 3 grandeurs sont independantes.

Calculer la probabilite que le telephone portable de Stephanie sonne dans la poste.


Notons T1 = temps qu’elle passe a attendre dans la queue.Notons T2 = temps qu’elle passe a attendre au guichet.Notons T3 = temps avant que le telephone sonne.

On cherche donc P (T3 ≤ T1 + T2).

On a P (T3 ≤ T1 + T2) = P ((T1, T2, T3) ∈ A), ou A = {(x, y, z) tq x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, z ≤ x + y}

Or Ti ∼ Exp(λi), et les Ti sont independantes.

Donc

P ((T1, T2, T3) ∈ A) =∫ +∞

0

∫ +∞

0

∫ x+y

0λ1e

−λ1xλ2e−λ2yλ3e

−λ3zdzdxdy

= 1− λ2λ3

(λ1 + λ2)(λ1 + λ3)

Exercice 30 ( l’aiguille de Buffon)On possede une table, recouverte de lignes paralleles, espacees entre elles de D cm. On y jette une aiguille

de longueur l, avec l ≤ D.

On cherche la probabilite que l’aiguille rencontre une ligne.


1. On repere la position de l’aiguille avec les coordonees suivantes:

• θ est l’angle forme entre l’aiguille et une perpendiculaire aux lignes.• X est la distance entre le milieu de l’aiguille et la ligne parallele la plus proche.

Quand l’aiguille coupe t-elle une ligne?

2. Quelles lois suivent θ et X? Sont-elles independantes?

3. Trouver la probabilite cherchee.

4. Imaginez une methode pour calculer π.


1. On rappelle les notations: X est la distance entre le milieu de l’aiguille et la parallele la plus proche. θdesigne l’angle entre l’aiguille et une perpendiculaire aux lignes.

On a (faire le dessin ): l’aiguille coupe une ligne ⇔ l

2cos(θ) ≥ X

2. Les aiguilles sont lancees de facon aleatoire, on peut donc supposer que X et θ suivent des lois uniformes,et que X et θ sont independantes.

Sur quels intervalles ? On a X ∈ [0; D2 ], donc X ∼ U[0, D

2]. Notons la densite de X: fX(x) = 2

D1[0;D2

](x)

On a de meme θ ∈ [0; π2 ], donc θ ∼ U[0, π

2]. Notons la densite de θ: fθ(y) = 2

π1[0;π2](y)

3. On lance une aiguille. D’apres le 1), P ( l’aiguille coupe une ligne )= P ( l2 cos(θ) ≥ X)

P (l

2cos(θ) ≥ X) = P ((X, θ) ∈ B), ou B =

x ≤ l

2 cos(y)(x, y) tq x ∈ [0, D

2 ]y ∈ [0, π

2 ]

La densite f(X,θ) du couple (X, θ) est le produit des densites de X et de θ, par independance.

P (l

2cos(θ) ≥ X) =

∫B

fX(x)fθ(y)dxdy

=2D

2π

∫ π2

0

∫ l2

cos(y)

0dxdy

=4

πD

∫ π2

0

l

2cos(y) dy

=2l

πD

4. Si on lance n aiguilles, si on note Fn =nombre d’aiguilles touchant une ligne

n, alors Fn −−−−−→

n→+∞2l

πD

Il suffit de lancer suffisamment d’aiguilles...

Exercice 31On suppose que des coeurs arrivent a un hopital suivant le processus suivant: Le premier coeur arrive a la dateT1, le deuxieme met un temps T2 a arriver apres que le premier coeur soit arrive. T1 et T2 sont deux v.a de loiexponentielle Exp(µ)

Deux malades attendent d’etre greffes. Le premier coeur va au premier patient, si celui est encore en vie;sinon au second (s’il est encore en vie...) On suppose que leurs durees de vie (qui sont independantes) suiventdes lois exponentielles de parametre λ1 et λ2. Ces durees de vie sont independantes des arrivees des coeurs!


1. Calculer la probabilite que le premier patient soit greffe

2. Calculer la probabilite que le second soit greffe.

Correction de l’Exercice 31Notons V1 et V2 les durees de vie respectives des deux patients. D’apres l’enonce, V1 ∼ Exp(λ1), V2 ∼ Exp(λ2)et ce sont deux v.a independantes.

1. Dire que le premier patient est greffe, cela revient a dire que T1 < V1. (sa duree de vie est plus grandeque le temps que met le premier coeur a arriver)

P (T1 < V1) = P ((T1, V1) ∈ A) ou A =

{t1, v1 ∈ R+2

t1 < v1

=∫ ∫

Aµe−µt1λ1e

−λ1v1 dt1dv1

=∫ +∞

0

∫ +∞

t1

µe−µt1λ1e−λ1v1 dv1dt1

=∫ +∞

0µe−µt1

[−e−λ1v1

]+∞t1

dt1

=∫ +∞

0µe−(µ+λ1)t1 dt1

=[− µ

µ + λ1e−(µ+λ1)t1

]+∞

0

=µ

µ + λ1

2. Le deuxieme patient est greffe dans deux cas:

• le premier patient prend le premier coeur et le deuxieme survit suffisamment pour qu’on lui greffele deuxieme coeur: T1 < V1 et T1 + T2 < V2

• Le premier patient meurt avant de recevoir le premier coeur, et le deuxieme patient est greffe avecce coeur: T1 > V1 et T1 < V2

On cherche donc P (T1 < V1 ; T1 + T2 < V2) + P (T1 > V1 ; T1 < V2).

P (T1 < V1 ; T1 + T2 < V2) =∫ ∫ ∫ ∫

t1, t2, v1, v2 > 0t1 < v1

t1 + t2 < v2

µe−µt1µe−µt2λ1e

−λ1v1λ2e−λ2v2 dt1dt2dv1dv2

=∫ ∞

0

∫ ∞

0

∫ ∞

t1+t2

∫ ∞

t1

µe−µt1µe−µt2λ1e−λ1v1λ2e

−λ2v2 dv1dv2dt1dt2

=∫ ∞

0

∫ ∞

0

∫ ∞

t1+t2

µe−µt1µe−µt2λ2e−λ2v2

[−e−λ1v1

]+∞t1

dv2dt1dt2

=∫ ∞

0

∫ ∞

0

∫ ∞

t1+t2

µe−(µ+λ1)t1µe−µt2λ2e−λ2v2dv2dt1dt2

=∫ ∞

0

∫ ∞

0µe−(µ+λ1)t1µe−µt2

[−e−λ2v2

]+∞t1+t2

dt1dt2

=∫ ∞

0

∫ ∞

0µe−(µ+λ1+λ2)t1µe−(µ+λ2)t2 dt1dt2

=[− µ

µ + λ1 + λ2e−(µ+λ1+λ2)t1

]+∞

0

[− µ

µ + λ2e−(µ+λ2)t2

]+∞

0

=µ

µ + λ2

µ

µ + λ1 + λ2


D’autre part,

P (T1 > V1 ; T1 < V2) =∫ ∫ ∫

t1, v1, v2 > 0t1 > v1

t1 < v2

µe−µt1λ1e

−λ1v1λ2e−λ2v2 dt1dv1dv2

=∫ ∞

0

∫ +∞

v1

∫ +∞

t1

µe−µt1λ1e−λ1v1λ2e

−λ2v2 dv2dt1dv1

=∫ ∞

0

∫ +∞

v1

µe−µt1λ1e−λ1v1

[−e−λ2v2

]+∞t1

dt1dv1

=∫ ∞

0

∫ +∞

v1

µe−(µ+λ2)t1λ1e−λ1v1

=∫ ∞

0λ1e

−λ1v1

[− µ

µ + λ2e−(µ+λ2)t1

]+∞

v1

dv1

=µ

µ + λ2

∫ ∞

0λ1e

−(λ1+µ+λ2)v1 dv1

=µ

µ + λ2

[− λ1

λ1 + µ + λ2e−(λ1+µ+λ2)v1

]+∞

0

=µ

µ + λ2

λ1

λ1 + µ + λ2

Donc P ( le deuxieme patient est greffe) =µ

µ + λ2

µ

µ + λ1 + λ2+

µ

µ + λ2

λ1

λ1 + µ + λ2

Exercice 32 (Loi de sommes de v.a)Soient X et Y deux v.a independantes, de loi Exp(λ) et Exp(α) . Montrer que la densite de X + Y est

f(x) = λα e−αx−e−λx

λ−α 1]0,+∞[(x)

Correction de l’Exercice 32On applique le cours:

Si X et Y sont independantes, si X possede une densite fX , si Y possede une densite fY , alors X + Ypossede une densite gX+Y donnee par:

gX+Y (u) =∫ +∞

−∞fX(u− t)fY (t)dt

Appliquons ce resultat ici, avec fX(t) = λe−λt1R+(t) et fY (t) = αe−αt1R+(t). On obtient:

gX+Y (u) =∫ +∞

−∞λe−λ(u−t)1R+(u− t)αe−αt1R+(t)dt

Or 1R+(t) = 0 si t < 0, donc

gX+Y (u) =∫ +∞

0λe−λ(u−t)1R+(u− t)αe−αtdt

• 1er cas : u < 0.

Alors dans l’expression∫ +∞

0λe−λ(u−t)1R+(u− t)αe−αt1R+(t)dt, u− t < 0 et ainsi 1R+(u− t) = 0.

DoncgX+Y (u) = 0


• 2ieme cas : u ≥ 0.

On a: 1R+(u− t) = 0 si u− t /∈ R+ ⇔ u < t. D’ou

gX+Y (u) =∫ u

0λe−λ(u−t)αe−αtdt

= λαe−λu

∫ u

0eλte−αtdt

= λαe−λu

[e−t(α−λ)

λ− α

]u

0

=λα

λ− αe−λu(e−u(α−λ) − 1) = λα

e−αu − e−λu

λ− α

La reunion des deux cas se note donc gX+Y (u) = λα e−αu−e−λu

λ−α 1R+(u)

Exercice 33

1. Montrer qu’il existe c tel que f(x, y) = c[1+xy(x2−y2)]1[−1,1](x)1[−1,1](y) soit une densite de probabilitesur R2.

2. Soit (X, Y ) un couple ayant f(x, y) comme densite. Expliciter les lois de X et Y .


1. pour etre une densite, f doit verifier deux conditions:

f(x, y) ≥ 0 (1)∫R2

f(x, y)dxdy = 1 (2)

Examinons la condition (2).∫R2

f(x, y)dxdy =∫ 1

−1

∫ 1

−1c(1 + xy(x2 − y2)) dxdy

=∫ 1

−1

∫ 1

−1c dxdy + c

∫ 1

−1

∫ 1

−1x3y dxdy − c

∫ 1

−1

∫ 1

−1y3x dxdy

Or par symetrie il est clair que∫ 1

−1

∫ 1

−1x3ydxdy =

∫ 1

−1

∫ 1

−1y3xdxdy

Donc ∫R2

f(x, y)dxdy =∫ 1

−1

∫ 1

−1c = 4c

ainsi (2) ⇔ c =14

On verifie qu’avec ce choix pour c, la condition (1) est aussi verifiee.

Donc f est une densite ⇔ c = 14


2. On applique le cours. La densite marginale de X est donnee par:

fX(u) =∫

Rf(u, y)dy

=∫ 1

−1

14(1 + uy(u2 − y2))1[−1;1](u)dy

= 1[−1;1](u)14

∫ 1

−1(1 + u3y + uy3)dy

= 1[−1;1](u)14

∫ 1

−1dy + 1[−1;1](u)

14

∫ 1

−1u3ydy + 1[−1;1](u)

14

∫ 1

−1uy3dy

= 2.1[−1;1](u) + +1[−1;1](u)14u3

[y2

2

]1

−1

+ +1[−1;1](u)14u

[y4

4

]1

−1

= 2.1[−1;1](u)

D’oufX(u) = 2.1[−1;1](u)

Par symetrie, on obtientfY (u) = 2.1[−1;1](u)

6 Convergence des v.a

Exercice 34On rappelle les resultats suivants:Si on jette une aiguille de longueur l sur une table rayee dont les lignes sont espacees de D cm, la probabilite

que l’aiguille coupe une ligne est2l

πD

1. Proposer une methode pour calculer π

2. Combien de lancers effectuer si on veut une valeur approchee de π a 0.1 pres, fiable a 95% ?


1. D’apres la loi des grands nombres, si on lance beaucoup d’aiguilles, le rapport nb d’aiguilles touchant une lignenb d’aiguilles lancees

va tendre vers 2lπD . Il suffit donc de lancer beaucoup d’aiguilles pour calculer une valeur approchee de

2lπD , donc de π.

2. • Le probleme qui se pose est le suivant: je vais arriver facilement, avec cette methode, a calculer unevaleur approchee de 2l

πD , donc en fait de 1π . Mais si j’approche 1

π a 0.1 pres, approcherais-je π a 0.1pres ?Ce n’est pas du tout evident, par exemple 0.4 et 0.5 sont proches a 0.1 pres, mais pas 1

0.4 et 10.5 :

10.4 −

10.5 = 0.5

En fait on a∣∣∣∣1a − 1

b

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣b− a

ba

∣∣∣∣: on s’apercoit donc du fait suivant: si∣∣ 1ba

∣∣ ≤ 1, alors 0.1ba ≤ 0.1, d’ou∣∣∣∣1a − 1

b

∣∣∣∣ ≤ 0.1 ⇒∣∣∣∣1a − 1

b

∣∣∣∣ ≤ 0.1ba

⇒ | =∣∣∣∣b− a

ba

∣∣∣∣ ≤ 0.1ba

⇒ |b− a| ≤ 0.1

Or ici, a = π et b =approximation de π. Comme on sait que π ≥ 1, on aura bien 1ba ≤ 1.


• Calculons donc une valeur approchee de 1π a 0.1 pres:

Posons Xi =

{1 si le i ieme lancer est reussi0 sinon

Les Xi sont des v.a independantes de Bernoulli, elles

verifient toutes les hypotheses du theoreme central limit et de la loi des grands nombres. On aE(Xi) = P (Xi = 1) = p = 2l

πD

Une valeur approchee de 2lπD est X1+...+Xn

n : On cherche donc n tel que

P (∣∣∣∣D(X1 + ... + Xn)

2ln− 1

π

∣∣∣∣ ≤ 0.1) ≥ 0.95

⇔ P (

∣∣∣∣∣D(X1 + ... + Xn)− n2lπ

2ln

∣∣∣∣∣ ≤ 0.1) ≥ 0.95

⇔ P (

∣∣∣∣∣D(X1 + ... + Xn − 2lπDn)

2ln

∣∣∣∣∣ ≤ 0.1) ≥ 0.95

⇔ P (

∣∣∣∣∣X1 + ... + Xn − 2lπDn

n)

∣∣∣∣∣ ≤ 0.1(2l)D

≥ 0.95

⇔ P (

∣∣∣∣∣X1 + ... + Xn − 2lπDn

√nσ

)

∣∣∣∣∣ ≤ 0.1(2l)√

n

Dσ≥ 0.95

ou σ =√

var(Xi) =√

p(1− p), ou p = 2lπD . D’apres le TCL, la loi de Y = X1+...+Xn− 2l

πDn√

nσest la loi

N(0, 1).

P (∣∣∣∣D(X1 + ... + Xn)

2ln− 1

π

∣∣∣∣ ≤ 0.1) ≥ 0.95

⇔ P (|Y | ≤ 0.1(2l)√

n

Dσ≥ 0.95

⇔ 2P (Y ≤ 0.1(2l)√

n

Dσ)− 1 ≥ 0.95

⇔ P (Y ≤ 0.1(2l)√

n

Dσ) ≥ 0.975

D’ou, en cherchant sur la table 0.1(2l)√

nDσ = 1.96 ⇔ n =

(1.96Dσ0.1(2l)

)2

σ =√

p(1− p) est inconnu, on peut le majorer en ecrivant√

p(1− p) ≤ 12 (cf exercice sur les

sondages)

Ainsi on devra effectuer n =(

1.96D0.2(2l)

)2lancers

Exercice 35Les statisticiens on etabli que la probabilite qu’un homme de 45 ans vive encore dans 60 ans est de 0.05.Une societe d’assurance vient de vendre a 300 hommes de 45 ans une police d’assurance-vie.

On note X le nombre de personnes, qui parmi ces 300, atteindront 105 ans.

1. (a) Donner la loi de X

(b) Calculer p1 la probabilite pour que l’assureur debourse de l’argent pour au moins 298 contrats.

2. On choisit d’approcher X par une loi de Poisson.

(a) Quel parametre choisir pour la loi de Poisson ?

(b) Calculer dans ce cas une valeur approchee de p1


3. On choisit d’approcher X par une loi normale.

(a) Quel parametres choisir pour la loi normale ?

(b) Calculer dans ce cas une valeur approchee de p1

4. Comparer les resultats.


1. (a) La loi de X est une loi binomiale de parametres n = 300 et p = 0.05

(b) p1 = P (X ≤ 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) = .2926752598 ∗ 10−4

2. (a) On choisit comme parametre np = 15

(b) p1 = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) = .3930844818 ∗ 10−4

3. (a) On a X = X1 + . . . X300, ou les Xi sont des lois de bernoulli independantes. On peut donc appliquerle TCL et affirmer que X ∼ N(np,

√np(1− p), car E(Xi) = p et var(Xi) = p(1− p).

(b) On pose σ =√

np(1− p) = 3.774917218

p1 = P (X ≤ 2)

= P (X − 15

σ≤ −13

σ= P (Y ≤ −3.4437) ou Y ∼ N(0, 1)= P (Y ≥ −3.4437) ou Y ∼ N(0, 1) par symetrie de la loi normale= 1− P (Y ≤ 3.4437) = 1− 0.99966= .34 ∗ 10−3

4. L’approximation par la loi normale est moins bonne que celle par la loi de Poisson, car la loi normale estcontinue et que la loi binomiale ne l’est pas.

7 Processus de Poisson

Exercice 36On considere une personne partie faire une randonnee en VTT. Les chemins etant en mauvais etat, des chutessurviennent, en moyenne une toutes les 15 minutes. La randonnee commence a 14 heures. On note Nt lenombre de chutes survenues avant t, et on suppose que Nt suit un processus de Poisson.

1. Quel est le parametre λ du processus de Poisson Nt ?

2. Quelle est la probabilite qu’il y ait exactement une chute dans la premiere heure? Meme question enremplacant exactement par au moins.

3. Sachant que la personne est tombee (exactement) 3 fois dans la premiere heure, quelle est la probabilitequ’elle soit tombee (exactement) une fois dans la premiere demi-heure? dans le deuxieme quart d’heure?

4. Au bout de 10 minutes, la personne est tombee deux fois. Quelle est la probabilite qu’elle tombe k foisdans les 10 minutes qui suivent?



1. Le parametre λ du PP correspond a l’inverse du temps moyen entre deux des instants du PP. Ici il s’ecouleen moyenne 15 minutes entre deux chutes (les chutes sont les instants du PP considere.) Donc λ = 1

15

2. On a: P (exactement une chute dans la premiere heure)= P (N60 = 1).

Or on sait que Nt suit une loi Poisson(λ). Donc P (exactement une chute dans la premiere heure)=e−λ60(λ60)

1!

On a: P (au moins une chute dans la premiere heure)= 1 − P (aucune chute dans la premiere heure)=1− P (N60 = 0). Donc P (au moins une chute dans la premiere heure)= 1− e−60λ.

3. La probabilite cherchee est P (N30 = 1|N60 = 3). D’apres les proprietes d’uniformite, cette probabiliteest egale a C1

3 (12)1(1

2)2

Au niveau des probabilites, tomber dans le premier quart d’heure ou dans le deuxieme est la meme chose.On cherche donc P (N15 = 1|N60 = 3) = C1

3 (14)1(3

4)2

4. Le nombre de chutes dans les 10 minutes qui suivent les 10 premieres minutes est N20−N10. On cherchedonc ici P (N20 −N10 = k|N10 = 2).

Or N20 −N10 et N10 sont independantes ( car un PP est a accroissements independants).

Donc P (N20 −N10 = k|N10 = 2) = P (N20 −N10 = k). Or la loi de N20 −N10 est la meme que celle deN10 (car un PP est a accroissements stationnaires). La probabilite cherchee est P (N10 = k) = e−10λ(10λ)k

k!

Exercice 37

On considere un serveur informatique. Pour acceder a ce serveur, le routeur dispose de 2 liaisons possibles:la liaison A et la liaison B. Le nombre de connexions Nt par le routeur suit un Processus de Poisson λ = 100(le temps est en secondes). Le routeur choisit de facon aleatoire si une connexion se fera par la liaison A ou B;la probabilite qu’une connexion se fasse par A est pA. On note NAt et NBt les processus designant le nombrede connexions passant par la liaison A et par la liaison B.

On met en marche le serveur a 9 heures

1. Que peut on dire de NAt et NBt ?

2. Quelle est la probabilite qu’il y ait au moins 100 connexions entre 9h 10 et 9h 11 ? (on ne demande pasde valeur numerique)

3. Sachant qu’on a enregistre 150 connexions en 2 secondes, quelle est la probabilite que 50 d’entre ellessoient passees par B? (on ne demande pas de valeur numerique)

4. On doit determiner la politique de routage, ie choisir pA. Le probleme est que la liaison A passe par devieux ordinateurs et que celle ci plante des que le nombre de connexions est trop eleve. Calculer pA si onveut que le nombre moyen de connexions par la liaison A en une minute soit inferieur a 200.


1. On est dans le cas d’un PP qui se decompose en deux processus de Poisson. D’apres le cours, on sait queNAt et NBt sont deux PP, de parametres respectifs λpA et λ(1− pA). De plus on peut affirmer que NAt

et NBt sont independants.

2. La probabilite cherchee est P (N60 ≥ 100) =∑+∞

k=100e−λ60(−λ60)k

k!

3. On cherche P (NB2 = 50|N2 = 150). D’apres les proprietes d’uniformite, ce nombre vaut C50150(1 −

pA)50(pA)100


4. Le nombre de connexions passant par A est egal a NA60

On cherche donc pA tel que E(NA60) ≤ 200. Comme NA60 suit une loi Poisson (λpA60), on a E(NA60) =λpA60.

Ainsi pA doit etre choisi tel que λpA60 ≤ 200, ce qui donne pA ≤ 130 .

Exercice 38On suppose que des voitures arrivent chez un garagiste suivant un processus de Poisson a un rythme λ = 11par jour en moyenne.

On suppose que le temps que passe chaque voiture dans le garage est une v.a de loi exponentielle µ = 1(ces temps sont independants pour chaque voiture)

On note Nt le nombre de voitures encore dans le garage a t = 2, et N ′t le nombre de voitures reparees

(sorties du garage) a t = 2.

1. Quelle est la probabilite que 3 voitures soient entrees au garage le premier jour?

2. Donner la loi de Nt et N ′t .

3. Le garage ne peut contenir plus de 20 voitures en meme temps. Quelle est la probabilite qu’il soit saturea t = 2 ?


1. Si on note Gt le nombre de voitures entrees au garage dans [0;t], on cherche P (G1 = 3) = e−λ(λ)3

3! =e−11(11)3

3!

2. Soit t > 0. On classe les voitures entrees pendant [0,t] en deux types: le type 1 qui correspond auxvoitures sorties avant t et le type 2 qui correspond aux voitures encore dans le garage a t.

Soit x ∈ [0, t]. Calculons g1(x) = P (une voiture arrivee a la date x est de type 1). Or:

P (une voiture arrivee a la date x est de type 1) = P (Le temps de reparation de cette voiture est ≤ t− x)=

∫ t−x0 µe−µzdz = [−e−µz]t−x

0 = 1− e−µ(t−x)

Ainsi g1(x) = 1− e−µ(t−x) et g2(x) = e−µ(t−x). (car g2 = 1− g1)

On applique ensuite le cours qui affirme que Nt et N ′t suivent des lois de Poisson de parametres respectifs

λtp et λt(1− p), ou p = 1t

∫ t0 g2(z)dz = 1

t

∫ t0 e−µ(t−z)dz = 1−e−µt

µt

En faisant t = 2 et µ = 1, on obtient: N2 suit une loi de Poisson(λ(1 − e−2)), et N ′2 suit une loi de

Poisson(λ(1 + e−2))

3. La probabilite cherchee est donc P (N2 > 20) =∑+∞

k=21e−λ(1−e−2)(λ(1−e−2))k

k!

Exercice 39 (Sur la Plage)C’est l’ete et Stephanie se rend sur la plage. Elle s’etend sur le sable chaud et etant plutot jolie, ne tarde pas

a attirer les regards... ainsi des garcons viennent l’aborder, en moyenne 1 toutes les 10 minutes. On supposeque le nombre de garcons venant la voir suit un processus de Poisson. ( On negligera le temps qu’elle passe adiscuter avec ces garcons, de toute facon elle les envoie balader tres vite)

1. Calculer la probabilite pour que plus de deux garcons viennent la voir dans le premier quart d’heure

2. Si 3 garcons sont venus la premiere heure, quelle est la probabilite que personne ne soit venu les 20premieres minutes?


3. Au bout de 10 minutes, 2 garcons sont deja venus la voir. On note Z = nombre de garcons qui viendrontdans la demi-heure suivante. Calculer la loi de Z

4. En fait si elle joue la jeune fille ennuyee par ces importuns, Stephanie apprecie la visite de ces jeuneshommes. On se place a un instant t ou elle est seule. On note R = temps qu’elle doit attendre avant lavisite du prochain courtisan. Calculer la loi de R.


1. Le parametre λ du PP correspond a l’inverse du temps moyen entre deux des instants du PP. Ici il s’ecouleen moyenne 10 minutes entre deux arrivees de garcons. Donc λ = 1

10

On note: Nt le nombre de garcons etant venus la voir pendant t minutes.

On a: P (plus de deux garcons arrivent)= P (N15 > 2) = 1− P (N15 = 0)− P (N15 = 1)− P (N15 = 2).

Or on sait que N15 suit une loi de Poisson (λ15), donc P (N15 > 2) = 1− e−32

(1 + (λ15)

1! + (λ15)2

2!

)2. La probabilite cherchee est P (N20 = 0|N60 = 3). D’apres les proprietes d’uniformite, cette probabilite

est egale a C03 (1

3)0(23)3 = 8

27

En effet, 20 minutes representent 13 d’une heure.

3. Soit Z = nombre de garcons qui viendront dans la demi-heure suivante. Soit k ∈ N, calculons P (Z = k).

P (Z = k) = P (N40 −N10 = k|N10 = 2)= P (N40 −N10 = k) car N20 −N10 et N10 sont independantes= P (N30 = k)

Ainsi la loi de Z est la loi de N30: une loi de Poisson de parametre λ30 = 3

4. R est le temps qu’il reste avant qu’un garcon arrive. D’apres le cours il s’agit du temps de vie residuel. Ce temps suit une loi Exp(λ). (revoir le cours)

8 Chaınes de Markov

Exercice 40 (Les 4 Tours) Un chateau comporte 4 tours reliees par un chemin de ronde. Le gardien effectuesa ronde de la maniere suivante: Arrive a une tour, il tire a pile ou face pour decider s’il fait demi-tour ou s’ilcontinue dans le meme sens.

1. On note Xn la nieme tour visitee. Pourquoi (Xn)n∈N est il une chaine de Markov? representer son grapheet sa matrice de transition.

2. Determiner si la chaıne est irreductible et determiner les eventuels vecteurs de probabilite stationnaire.

3. L’ennemi veut entrer dans le chateau sans etre vu . Il pense que la tour 1 est la plus propice a ce genred’exercice. Le soldat met 2 minutes pour aller d’une tour a l’autre et reste 1 min dans chaque tour. Desque le soldat quitte la tour 1, il fait une tentative. De combien de temps peut il esperer disposer pours’infiltrer dans le chateau avant que le soldat ne revienne a la tour 1?



1. (Xn)n∈N est une chaine de Markov puisque le numero de la nieme tour visitee ne depend que de la(n− 1)ieme.

Si on represente les tours de cette facon,

on obtient P =

0 1

2 0 12

12 0 1

2 00 1

2 0 12

12 0 1

2 0

2. La chaine est irreductible puisque tous les etats communiquent entre eux. Essayons de resoudre l’equationπ = πP . (en n’oubliant pas que π est un vecteur de probabilite)

On trouve le systeme:

π0 = π1

2 + π32

π1 = π02 + π2

2π0 = π1

2 + π32

π1 = π02 + π2

2π0 + π1 + π2 + π3 = 1

⇔ π0 = π1 = π2 = π3 = 14

3. Calculons le temps de sejour du soldat dans les etats 2,3 et 4 alors qu’il vient de quitter la tour 1. On a,avec les notations du cours: α = (P (X0 = 2);P (X0 = 3);P (X0 = 4)) = (1

2 , 0, 12). En effet lorsqu’il quite

la tour 1, le soldat a une chance sur 2 de se trouver dans la tour 2 ou dans la 3.

On a de plus: Q =

0 12 0

12 0 1

20 1

2 0

et e =

111

. On trouve T = 3 (apres calculs).

On a pas fini; cela veut dire qu’avant de revenir a la tour 1 le soldat visite 3 tours en moyenne; convertissonscela en temps. S’il visite 3 tours, il effectue 4 trajets; il passe 4 × 2 = 8 minutes dans les trajets; a celadoit s’ajouter les temps passe dans les tours qui est de 3× 1 = 3

L’ennemi dispose donc en moyenne de 11 minutes pour pouvoir rentrer dans le chateau par la tour 1.

Exercice 41 (Le chat et La souris)Dans une maison constituee de 4 pieces se deroule un cruel episode de la vie sauvage. Une souris se promene

pour trouver a manger. Un chat (qui lui n’a pas ce genre de soucis, c’est une larve gavee par ses maitres) decided’attraper la souris.

La souris reste 10 minutes dans chaque piece, puis ayant oublie ou elle a deja cherche, change d’endroitpour une des 3 autres pieces. Le chat, en bonne larve qu’il est, ne veut pas courir. Il se place dans la cuisineet attend la souris.

1. Pourquoi peut on modeliser cette situation par une chaine de Markov?

2. Donner le graphe, la matrice de transition de cette chaine.

3. Classifier les etats de la chaıne.

4. Quelle est l’esperance de vie de la souris?

5. Determiner le regime stationnaire de la chaıne. Pouvait on predire le resultat?



1. Notons Xn = numero de la piece ou est la souris. Cette piece, d’apres l’enonce ne depend que de la pieceou est la souris a l’instant n − 1 puisque la pauvre souris n’a pas de memoire et ne se souvient pas despieces auparavant visitees.

2. Puisque la souris choisit aleatoirement une des 3 autres pieces en sortant de la piece ou elle se trouve, la

matrice de transition s’ecrit: P =

0 1

313

13

13 0 1

313

13

13 0 1

30 0 0 1

L’etat 4 etant dramatiquement absorbant, puisque il s’agit du cas ou la souris rencontre le chat.

3. Il y a deux classes: {1, 2, 3} et {4}.

La classe {1, 2, 3} est transitoire, puisque, une fois quittee, la chaıne n’y retourne jamais... en effet, quittercette classe signifie la mort de la souris. (snif)

A l’inverse la classe {4} est absorbante, donc recurrente.

4. L’esperance de la vie de la souris correspond bien sur au temps de sejour dans les etats 1,2,3.

Avec les notations du cours: α = (P (X0 = 1);P (X0 = 2);P (X0 = 3)) = (13 , 1

3 , 13). En effet n’ayant pas

de precisions sur l’endroit ou la souris commence sa quete, on suppose que c’est au hasard parmi les 3pieces.

On a de plus: Q =

0 13

13

13 0 1

313

13 0

et e =

111

. On trouve T = 3 (apres calculs).

5. On resoud le systeme :

π1 = π2

3 + π33

π2 = π13 + π3

3π3 = π1

3 + π23

π4 = π4 + π13 + π2

3 + π23

π1 + π2 + π3 + π4 = 1

. On trouve π1 = π2 = π3 = 0, et π4 = 1.

Ce qui etait previsible, tot ou tard une chaine de markov qui possede une classe recurrente et une classetransitoire finit par quitter cette derniere pour la classe recurrente; on peut interpreter ceci en disant quetot ou tard la souris finit par etre mangee...

Exercice 42Une information (de type binaire V ou F ) est transmise a travers n personnes J1, J2, ..., Jn. J1 recoit la

bonne information, la transmet a J2 et ainsi de suite jusqu’a Jn qui transmet finalement l’information. Chaquepersonne transmet ce qu’il entendu avec la probabilite p. Ce que la personne transmet est independant de ceque les autres personnes ont transmis.

Modeliser ce probleme par une chaıne de Markov. Calculer pn = la probabilite pour l’information initialesoit correctement transmise par le nieme intermediaire.

Calculer la limite de pn.


• Le message etant binaire, disons qu’il prend les valeurs 0 et 1. Notons Xn = etat du message transmis.X0 represente le message initial.(Xn)n∈N est donc un processus a valeurs dans 0;1. Ce proccessus est-il markovien??

calculons P (Xn = en, |Xn−1 = en−1, ..., X0 = e0).


P (Xn = en, |Xn−1 = en−1, ..., X0 = e0) = p si en = en−1. En effet, chaque intermediaire transmet ce qu’ila entendu avec la probabilite p. Le message ne change pas entre n et n− 1 avec cette probabilite.

P (Xn = en, |Xn−1 = en−1, ..., X0 = e0) = 1− p si en 6= en−1, pour les memes raisons.

Ainsi P (Xn = en, |Xn−1 = en−1, ..., X0 = e0) = P (Xn = en, |Xn−1 = en−1). Donc (Xn)n∈N est une chainede Markov.

• On a ainsi sa matrice de transition: P =(

p 1− p1− p p

)• On cherche P (Xn = X0).

C’est simple (?), puisque a partir de P on sait calculer la loi de Xn.

On a en effet (cours) (P (Xn = 0), P (Xn = 1)) = (P (X0 = 0), P (X0 = 1))× Pn.

• Calculons Pn. On diagonalise cette matrice (symetrique!).

On trouve P =

(1√2

1√2

1√2− 1√

2

)×(

1 00 2p− 1

)×

(1√2

1√2

1√2− 1√

2

)

D’ou Pn =

(1√2

1√2

1√2− 1√

2

)×(

1 00 (2p− 1)n

)×

(1√2

1√2

1√2− 1√

2

)

Et ainsi Pn = 12

(1 + (2p− 1)n 1− (2p− 1)n

1− (2p− 1)n 1 + (2p− 1)n

)(ouf!)

• Revenons a nos moutons et calculons P (Xn = X0).

P (Xn = X0) = P (Xn = 1|X0 = 1)P (X0 = 1) + P (Xn = 0|X0 = 0)P (X0 = 0)

Or P (Xn = 1|X0 = 1) = P (Xn = 1) si la chaine demarre de l’etat 1

Or si la chaıne demarre de cet etat, on a (P (Xn = 0), P (Xn = 1)) = (0, 1)× Pn.Donc P (Xn = 1|X0 = 1) = 1

2(1 + (2p− 1)n).

De la meme facon, on a P (Xn = 0|X0 = 0) = 12(1 + (2p− 1)n).

Donc P (Xn = X0) = 12(1 + (2p− 1)n).

• Comme (2p− 1) ∈]− 1; 1[, on a P (Xn = X0) −−−−−→n→+∞

12

Exercice 43On lance 3 pieces de monnaie. Soit X la v.a representant le nombre de pieces tombees sur pile.

1. Donner la loi de X

2. A chaque lancer, on retire les pieces tombees sur Pile, et on continue a jouer avec celles qui restent, tantqu’il reste des pieces a jouer. Modeliser ce jeu par une chaıne de Markov, et determiner sa matrice, songraphe.

3. Determiner les classes de cette chaınes, les etats recurrents et transitoires.

4. Ecrire la(les) formule(s) permettant de calculer le nombre moyen de lancers du jeu.



1. X est une loi binomiale de parametres n = 3 et p = 12 Donc

P (X = 0) =(

12

)3

=18

P (X = 1) =

(13

)(12

)3

=38

P (X = 2) =

(23

)(12

)3

=38

P (X = 3) =(

12

)3

=18

2. On pose Xn = nombre de pieces encore en jeu avant le nieme lancer. Les valeurs de Xn sont {0, 1, 2, 3}.

On a facilement la matrice de transition P =

1 0 0 012

12 0 0

14

12

14 0

18

38

38

18

3. Aucun etat ne communique avec un autre. 0 est atteignable depuis tous les autres, de maniere generale

i est atteignable depuis j si i ≤ j. Il y a donc 4 classes: {0}, {1}, {2}, {3}.

La classe {0} est absorbante, elle est donc recurrente. Quand aux autres, elles sont transitoires car si onla quitte, on ne peut pas y revenir.

4. Le nombre moyen M de lancers est le temps de sejour dans les etats {1, 2, 3}. On utilise la formule pour

le calculer: M = (0, 0, 1)

1− 12 0 0

−12 1− 1

4 0−3

8 −38 1− 1

8

−1111

= 227

En effet, la loi initiale est (0, 0, 1) car au depart, on a 3 pieces.

Exercice 44

On considere un disque dur partage en 4 zones Z1, Z2, Z3, Z4.Un logiciel antivirus scanne le disque dur de la facon suivante: Il inspecte une zone, puis, apres l’avoir

inspectee choisit au hasard une des 3 autres zones et va l’inspecter.

Le logiciel inspecte chaque zone en 3 minutes, et met 20s pour passer d’une zone a l’autre.

1. Modeliser ce systeme par une chaıne de Markov dont on calculera les probabilites de transition.

2. Un virus peut penetrer le systeme par la zone 4. Une fois que le logiciel a quitte cette zone, de combiende temps en moyenne dispose t-il pour reussir sa tentative?


1. On pose Xn= numero de la zone ou est le logiciel antivirus.

Xn est une chaıne de Markov car lorsqu’il quitte une zone, le logiciel va dans une autre zone sans sesoucier de savoir s’il l’a deja visitee ou pas.


Apres avoir quitte une zone, le logiciel choisit une zone au hasard parmi les 3 qui restent, on a donc la

matrice de transition suivante P =

013

13

13

13

013

13

13

13

013

13

13

13

0

2. Si on note N = nombre d’etapes passees dans les etats {1, 2, 3}, le temps (en secondes) dont dispose le

virus pour entrer dans le systeme est T = 180N + (N + 1)20.

En effet, une etape correspond a 3 minutes, et si il y a N etapes, il y a N + 1 transitions, qui durentchacune 20s.

On cherche E(T ) = 180E(N) + 20(E(N) + 1).

Or E(N) vaut d’apres le cours (13 , 1

3 , 13)

1 −13 −1

3−1

3 1 −13

−13 −1

3 1

−1111

= 3

La loi initiale est (13 , 1

3 , 13) car au depart le logiciel a autant de chances de se trouver dans 1, 2 ou 3.

Le virus a donc 180 ∗ 3 + 4 ∗ 20 = 620s pour reussir sa tentative.

Exercice 45 (La ruine du joueur)

Un joueur dispose d’une fortune de i euros et joue au jeu suivant.

A chaque etape du jeu (les etapes sont independantes), il joue contre le casino et s’il gagne, il gagne 1 euros;sinon il perd 1 euro. La probabilite de gagner une etape est p.

Le jeu s’arrete quand le joueur n’a plus d’argent ou quand sa fortune a atteint N euros.

1. Modeliser ce jeu par une chaıne de Markov; on donnera le graphe et la matrice de transition.

2. Ecrire la (les) formule(s) permettant de calculer le temps moyen du jeu, sachant que la fortune initialedu joueur est i (0 < i < N)

3. Ecrire la (les) formule(s) permettant de calculer la probabilite que le joueur sorte gagnant de ce jeu. (lafortune du joueur atteint N), sachant que sa fortune est i.

4. On choisit un joueur au hasard. Calculer la probabilite que ce joueur sorte gagnant de ce jeu.


1. On pose Xn = fortune du joueur au debut de la nieme etape. C’est bien une chaıne de Markov car Xn

ne depend que de Xn−1.

On obtient sans difficulte les probabilites de transitions:

{p0→0 = 1 et pN→N = 1∀1 ≤ i ≤ N − 1, pi→i+1 = p et pi→i−1 = 1− p


2. On note T = temps d’entree dans {0, N}. C’est le temps moyen du jeu. On cherche donc Ei(T ). (onnotera Ei(T ) par Ei pour simplifier)

En notant E =

E0(T )E1(T )

...EN−1(T )EN (T )

=

0

E1...

EN−1

0

, on sait que E est solution de E = 1 + P.E.

Ce qui peut se reecrire par le systeme:

E1 = 1 + pE2

E2 = 1 + (1− p)E1 + pE3

...EN−2 = 1 + (1− p)EN−3 + pEN−1

EN−1 = 1 + (1− p)EN−2

3. On note T = temps d’entree dans {0, N}. On cherche la probabilite de gagner, c’est a dire Pi(XT = N).(on notera Pi(XT = N par Pi pour simplifier)

En notant W =

P0

P1...

PN−1

PN

=

0P1...

PN−1

1

, on sait que W verifie W = P.W .

Ce qui peut se reecrire

P1 = pP2

P2 = (1− p)P1 + pP3

...PN−2 = (1− p)PN−3 + pPN−1

PN−1 = (1− p)PN−2 + p

4. Il faut utiliser la formule des probabilites totales:

P (XT = N) =N−1∑i=1

Pi(XT = N)P (X0 = i)

Comme le joueur est choisi au hasard, on a P (X0 = i) = 1N−1 ; quand aux probas Pi(XT = N), elles ont

ete calculees a la question precedentes.

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Quelques exercices de probabilités corrigésintranetetu.free.fr/V5/download.php?filename=../3A_EIS/...Quelques exercices de probabilités corrigés Antoine Clerc December 12,