Pro

babi

litées

(Rap

pels

)

“P

robab

ilit

ées&

Fin

ance

”www.master-finance.proba.jussieu.fr

théem

atiq

uede

lasp

éecia

litée

Pro

bab

ilitées

&A

pplica

tion

s

duM

aste

r2

Sci

ence

s&

Tec

hnol

ogie

s

Univ

ersi

téeP

ierr

e&

Mar

ieC

urie

(Par

is6)

Gil

les

PA

GÈES

2006

-07

2

Chap

itre

1

Intr

oduct

ion

Nou

sav

ons

tous

des

not

ions

intu

itiv

esde

pro

bab

ilitées

par

ceque

lavie

coura

nte

nou

sm

eten

prée

sence

de

phéen

omèen

esal

éeato

ires

.Il

s’ag

itde

situ

atio

nsdon

tl’is

sue

rest

ein

cer-

tain

e,m

ais

ausu

jet

des

quel

les

nou

sdis

pos

ons

néea

nm

oins

d’u

ne

cert

aine

info

rmat

ion,

par

exem

ple

grâac

eàa

laco

nnai

ssan

cedu

pas

sée.

Doi

t-on

par

exem

ple

sousc

rire

une

assu

rance

contr

ela

foudre

?O

ui,

sil’on

hab

ite

une

mai

son

isol

éeeen

hau

te-m

onta

gne,

non

sil’on

hab

ite

àaPar

isprèe

sde

laTou

rE

iffel

.M

ais,

entr

ece

sdeu

xsi

tuat

ions

extr

êemes

,on

ne

dis

pos

eque

de

peu

de

crit

èeres

obje

ctifs

pou

rpre

ndre

une

déec

isio

n.

Cep

endan

t,on

peu

tnot

erqu’a

ux

tem

ps

prée

his

tori

ques

une

éeclipse

de

sole

ilap

pa-

rais

sait

com

me

un

phéen

omèen

eal

éeato

ire

alor

squ’iln’e

nes

tri

enm

ainte

nan

tpou

rto

ut

déet

ente

ur

de

cale

ndri

erdes

Pos

tes.

De

mêem

e,en

Fra

nce

,au

jourd

’hui,

lese

xe

d’u

nen

fant

àanâıı

tre

n’a

plu

sri

end’a

léeat

oire

,éec

hog

raphie

aidan

t,sa

ufvo

lontée

explici

tedes

futu

rspar

ents

.

Ces

exem

ple

sillu

stre

nt

lefa

itque,

souve

nt,

un

phéen

omèen

en’a

ppar

âııt

aléea

toir

eàa

un

obse

rvat

eur

qu’e

nra

ison

d’u

nm

anque

d’info

rmat

ion.C

ette

info

rmat

ion

lacu

nai

rerée

sult

egée

néer

alem

ent

de

laco

mple

xitée

des

cause

srée

giss

ant

lephéen

omèen

e.

His

tori

quem

ent

les

pre

mie

rspro

blèe

mes

de

pro

bab

ilit

éesdon

ton

trou

vetr

ace

dat

ent

du

17èem

esi

èecle

etso

nt

liées

àades

jeux

de

has

ard.

Un

jeu

de

has

ard

est

un

jeu

dan

sle

quel

l’in

cert

itude

est

de

nat

ure

pure

men

tpro

bab

ilis

te:

jouer

àapile

oufa

cem

êeme

avec

une

pièe

cetr

uquéee

rest

eun

vra

ije

ude

has

ard

sich

acun

des

deu

xjo

ueu

rsen

est

info

rmée.

Par

mice

spro

blèe

mes

,on

peu

tci

ter

:

•Le

pro

blèe

me

de

Gal

iléee

(155

4-16

42)

: 3

4C

hap

itre

1.In

troduct

ion

Le

pri

nce

de

Tos

cane

dem

ande

àaG

aliléee

pou

rquoi

,en

lançca

nt

troi

sdées

,on

obti

ent

plu

sso

uve

nt

un

tota

lde

10qu’u

nto

tal

de

9,al

ors

qu’il

ya

six

façco

ns

d’o

bte

nir

ces

réesu

ltat

s.

•Le

pro

blèe

me

du

Chev

alie

rde

Méer

ée:

Le

Chev

alie

rde

Méer

éedem

ande

àaPas

cal(1

623-

1662

)s’

iles

tplu

sfa

cile

d’o

bte

nir

un

six

aum

oins

enla

nçca

nt

quat

refo

isde

suit

eun

seuldée,

oud’o

bte

nir

un

dou

ble

-six

aum

oins

enla

nçca

nt

vin

gtquat

refo

isde

suit

edeu

xdées

.

•Le

par

ide

Pas

cal:

Le

mat

héem

atic

ien

etphilos

ophe

Bla

ise

Pas

cales

t,lu

i,le

pre

mie

ràa

avoi

rin

troduit

lanot

ion

d’e

spéer

ance

mat

héem

atiq

ue

dan

sso

ncée

lèebre

“par

i”.S

onbut,

dan

s“L

esPen

séees

”,éet

ait

de

conva

incr

ele

ste

nan

tsdu

septi

scis

me

qu’ily

avai

tto

ut

àaga

gner

encr

oyan

tàa

l’ex

iste

nce

de

Die

u.

Son

rais

onnem

ent

éetai

tle

suiv

ant

:

-“D

ieu

est,

ouil

n’e

stpas

”.

-“N

ous

som

mes

inca

pab

les

de

savo

irnice

qu’iles

tnisi

iles

t”

-“N

ous

n’a

vons

pas

lech

oix,

nou

sso

mm

esem

bar

quées

dan

sla

vie

,c’

est

lase

ule

cert

itude,

nou

sdev

ons

par

ier”

sur

cett

eques

tion

-“L

avie

est

un

“jeu

”quine

com

por

tequ’u

ne

par

tie

seprée

senta

nt

com

me

suit

:.

Mis

e:

lavie

hum

aine

(finie

).

Gai

n:

labéea

titu

de

éeter

nel

le(i

nfinie

)

-D

onc,

enpar

iant

sur

lanon

-exis

tence

,de

Die

u,il

ya

un

risq

ue

non

nulde

per

tein

finie

alor

sque

lega

ines

tfo

rcéem

ent

fini.

Par

contr

e,en

par

iant

sur

son

exis

tence

onne

risq

ue

qu’u

ne

per

tefinie

face

àaun

gain

éeven

tuel

infini.

Les

solu

tion

sdes

pro

blèe

mes

de

Gal

iléee

etdu

chev

alie

rde

Méer

éeso

nt

pro

pos

éees

auch

ap.

I.3.

Chap

itre

2

Intr

oduct

ion

aum

odèel

epro

bab

ilis

te.

Var

iable

sal

éeato

ires

dis

crèet

es.

2.1

Esp

ace

pro

bab

ilis

ée:

déefi

nit

ion

etin

terp

réeta

-ti

on

Le

form

alis

me

etl’ax

iom

atiq

ue

moder

nes

des

Pro

bab

ilitées

sont,

pou

rune

larg

epar

t,l’oeu

vre

du

mat

héem

atic

ien

russ

eK

olm

ogor

ovdan

sle

san

néee

s19

30.Ils

tire

nt

l’es

senti

elde

leur

puis

sance

de

cequ’ils

(re)

pla

cent

les

Pro

bab

ilit

éesdan

sle

cadre

de

lath

éeori

ede

lam

esure

com

me

nou

sle

verr

ons

auch

ap.

II.

Une

éepre

uve

aléea

toire

est

cara

ctéer

iséee

par

l’en

sem

ble

des

réesu

ltat

sou

issu

espos

-si

ble

s,gée

néer

alem

ent

not

éeΩ

(on

par

leau

ssipar

fois

“d’ée

tats

du

mon

de”

).

Exem

ple

s:

1)Jet

d’u

ne

pièe

cede

mon

nai

e:

Ω:=

{pile,

face}

(ou{P

,F})

,2)

Lan

cer

d’u

ndée

:Ω

:={1

,...,6},

3)Jet

den

pièe

cesde

mon

nai

e:

Ω:=

{P,F

}n=

{(α

1,.

..,α

n),α

i∈{P

,F},

1≤

i≤

6},

4)N

ombre

de

pan

nes

d’u

ne

mac

hin

e:

Ω:=

IN,

5)D

urée

ede

vie

d’u

ne

mac

hin

e:

Ω:=

IR+,

6)Lan

cer

d’u

ne

fléec

het

tesu

rune

cible

:Ω

:=D

(0;1

)∪{δ}

oùuD

(0;1

)dées

igne

ledis

que

unit

éere

prée

senta

nt

laci

ble

etδ

lepoi

nt

cim

etièe

resy

mbol

isan

tle

“rat

age”

de

laci

ble

. On

const

ate

que

selo

nle

sca

s,Ω

est

fini,

infinidéen

ombra

ble

ounon

déen

ombra

ble

.

Pro

bab

ilis

erl’en

sem

ble

Ω,

c’es

tlu

iad

join

dre

une

trib

uA

⊂P

(Ω)

de

par

ties

(ou

éevéen

emen

ts)de

Ωet

une

mes

ure

de

pro

bab

ilit

éeIP

attr

ibuan

tàa

chaq

ue

éevéen

emen

tA

∈Aune

pro

bab

ilitée

IP(A

)∈[0

,1]ca

ract

éeris

ant

ledeg

réede

vra

isem

bla

nce

de

lasu

rven

ue

de

A.

5

6C

hap

itre

2.In

troduct

ion

aum

odèel

epro

bab

ilis

te.

Var

iable

sal

éeato

ires

dis

crèet

es.

Déefinit

ion

:(a

)U

ne

fam

ille

de

par

ties

A⊂

P(Ω

)es

tune

trib

usi

:

(i)

◦/∈A

,(i

i)A

∈A

⇒c A

∈A

[don

cΩ∈A

],

(iii

)SiA

n∈A

,n≥

0,al

ors

∪n∈I

NA

n∈A

[ etdon

c∩

n∈I

NA

n∈A

] .O

nap

pel

leéev

éenem

entto

ut

éeléem

ent

de

latr

ibuA

.

(b)

On

appel

lepr

obab

ilitée

sur

(Ω,A

)to

ute

fonct

ion

IP:A

→[0

,1]véer

ifian

t:

(i)

IP(Ω

)=

1,(i

i)SiA

n∈A

,n≥

1,av

ecA

i∩

Aj=

◦/dèes

que

i

=

jal

ors,

IP( ∪ n

An

) σ−addit

ivit

ée=

∑ n≥1IP

(An)( =

lim n

n ∑ k=1IP

(Ak)) .

(c)

Un

trip

let

(Ω,A

,IP

)es

tap

pel

éeun

espa

cepr

obab

ilisée.

On

rem

arque

auvu

de

(b)

qu’u

ne

pro

bab

ilitée

n’e

stri

end’a

utr

equ’u

ne

mes

ure

pos

itiv

ede

mas

se1

(cf.

ci-d

esso

us

:IP

(◦/)

=0)

.L’intée

rêet

d’u

ne

telle

anal

ogie

est

esse

nti

elpar

exem

ple

lors

que

Ω=

IR,IR

+ou

IRd

puis

que

laco

nst

ruct

ion

de

mes

ure

sde

pro

bab

ilitée

sur

de

tels

espac

ess’

appuie

raal

ors

sur

les

(trèe

sdéel

icat

s)th

éeorèe

mes

d’e

xis

tence

et/o

ude

pro

longe

men

tde

mes

ure

s.

2.2

Pre

mièe

res

pro

pri

éetées

On

sedon

ne

des

éevéen

emen

ts(i

.e.

des

éeléem

ents

de

latr

ibuA

)A

,B,A

n,n

≥1,

sur

un

espac

epro

bab

ilis

ée(Ω

,A,IP

).

P1.

IP(◦/

)=

0( IP

(◦/)

=lim n

nIP

(◦/)

d’a

prèe

s(b

)(i

i)d’o

ùule

réesu

ltat

) .E

npar

ticu

lier

(b)

(ii)

rest

edon

cvra

ipou

rune

fam

ille

finie

A1,.

..,A

nd’ée

véen

emen

ts.

P2.

IP(cA

)=

1−IP

(A)

(oùu

c Adées

igne

leco

mplée

men

tair

ede

A).

P3.

SiA

⊂B

,IP

(B)

=IP

(A)+

IP(B

\A)≥

IP(A

)(o

ùuB

\A:=

B∩

c A∈A

).

En

effet

B=

A∪

(B∩

c A)

avec

A∩

(B∩

c A)

=◦/.

P4.

IP(A

∪B

)=

IP(A

)+

IP(B

)−

IP(A

∩B

).

On

éecri

tA∪

B=

(A\A

∩B

)∪

(B\A

∩B

)∪

(A∩

B)

eton

applique

(b)

(ii)

etla

pro

pri

éetée

P3.

2.3.

Pro

bab

ilitées

sur

un

espac

efiniou

déen

ombra

ble

7

P5.

SiA

n⊂

An+

1

( i.e.(A

n) n

≥1

croi

ssan

te) al

ors

IP( ∪ n

An

) =lim n↑

IP(A

n).

SiA

n+

1⊂

An

( i.e.(A

n) n

≥1

déec

rois

sante

) alor

sIP

( ∩ nA

n

) =lim n↓

IP(A

n).

On

pos

eB

1:=

A1

puis

,par

réecu

rren

ce,

Bn

:=A

n\

n−

1 ∪ k=1

Bk,n

≥2.

Les

Bn

sont

clai

rem

ent

2àa

2dis

join

tset

n ∪ k=1

Bk

=A

npuis

que

An⊂

n ∪ k=1

Bk

etB

n⊂

An.

D’o

ùu

IP(A

n)

=n ∑ k=1IP

(Bk)→

+∞ ∑ k=1IP

(Bk)

=IP

( ∪ n≥1B

n

) =IP

( ∪ n≥1A

n

) .Le

réesu

ltat

anal

ogue

dan

sle

cas

déec

rois

sant

s’ob

tien

tpar

pas

sage

auco

mplée

men

tair

evia

les

lois

de

Mor

gan.

P6.

σ-s

ous-

addi

tivi

tée:

IP( ∪ n

An

) ≤∑ nIP

(An).

On

éetab

lit

d’a

bor

dpar

réecu

rren

ceque

IP( n ∪ k=1

Ak

) ≤n ∑ k=1IP

(Ak)

pou

rto

ut

n≥

1.

Sin

=2

cela

déec

oule

de

P4.

Le

pas

sage

de

nàa

n+

1se

fait

par

:

IP( n+

1 ∪ k=1A

k

) ≤IP

( n ∪ k=1A

k

) +IP

(An+

1)≤

n ∑ k=1IP

(Ak)+

IP(A

n+

1).

On

concl

ut

enpas

sant

àala

lim

ite

dan

sl’in

éegal

itée

(via

P5

“cro

issa

nte

”).

Rem

ar q

ue

:La

form

ule

P4

segée

néer

alis

een

l’id

entitée

dit

ede

Poi

nca

rée

IP( n ∪ k=1

Ak

) =n ∑ k=1

(−1)

k−

1∑

I⊂{1

,...,n}

|I|=

k

IP( ∩ i∈I

Ai)

(cf.

exer

cice

I.8)

.

2.3

Pro

bab

ilit

éessu

run

espac

efinio

udéen

ombra

ble

On

munit

canon

iquem

ent

un

ense

mble

E,su

ppos

éefiniou

déen

ombra

ble

,de

latr

ibu

de

ses

par

ties

P(E

).Il

est

clai

rpar

l’ax

iom

ede

σ-a

ddit

ivit

ée(b

)(i

i)qu’u

ne

pro

bab

ilitée

πsu

r(E

,P(E

))es

ten

tièer

emen

tdéet

erm

inéee

par

ladon

néee

des

π(e

),e

∈E

oùuπ

(e)

:=π

({e}

)puis

qu’a

lors

∀A∈P

(E),

π(A

)=

∑ e∈Aπ

(e).

Dan

sce

cas

onco

nst

ate

que

l’on

peu

tin

diff

éerem

men

tas

sim

iler

πàa

une

prob

abilitée

surP

(E)

ouàa

une

fonct

ion

sur

E.D

ans

cese

cond

cadre

onpar

lepar

fois

pou

rπ

de

densi

téedi

scrèe

te.

La

déet

erm

inat

ion,pou

rune

éepre

uve

aléea

toir

edon

néee

,des

pro

bab

ilit

éespon

ctuel

les

π(e

),e

∈E

,es

tune

ques

tion

géenéer

alem

ent

déel

icat

e,re

leva

nt

de

lath

éeori

ede

l’es

ti-

mat

ion

enSta

tist

ique.

Cep

endan

t,lo

rsque

Ees

tfini,

ilar

rive

que,

pou

rdes

rais

ons

de

8C

hap

itre

2.In

troduct

ion

aum

odèel

epro

bab

ilis

te.

Var

iable

sal

éeato

ires

dis

crèet

es.

sym

éetri

e,to

us

les

singl

eton

s{e},

e∈

E,ai

ent

lam

êeme

pro

bab

illitée

π(e

)=

p.O

ndit

alor

squ’ily

aéeq

uip

roba

bilitée

.C

omm

e

1=

∑ e∈Eπ

(e)

=∑ e∈E

p=

|E|p

,il

vie

nt

p=

1 |E|e

tpar

tant,∀A

∈P

(E),

π(A

)=

|A|

|E|.

Dan

sce

castr

èespar

ticu

lier

,la

déet

erm

inat

ion

des

pro

bab

ilitées

des

diff

éeren

tséev

éenem

ents

sera

mèen

edon

càa

des

pro

blèe

mes

de

déen

ombre

men

t.C

’est

lasi

tuat

ion

que

l’on

renco

ntr

edan

sla

plu

par

tdes

jeux

de

has

ard

(dées

,ca

rtes

,ro

ule

ttes

,...).

Exem

ple

s:

•Par

adox

edu

chev

alie

rde

Méer

ée(c

f.in

troduct

ion).

A1

=“O

bte

nir

aum

oins

un

6en

4la

nce

rsde

1dée”

.A

2=

“Obte

nir

aum

oins

un

dou

ble

-six

en24

lance

rsde

2dées

”.

A1∈P

(Ω1),

oùuΩ

1=

{1,.

..,6}4

etA

2∈P

(Ω2)

oùuΩ

2=

( {1,...,

6}2) 24 .

Les

dées

éetan

tsu

ppos

éesnon

pip

ées,on

sepla

cedan

sle

sdeu

xca

sso

us

l’hypot

hèes

ed’ée

qui-

pro

bab

ilitée.

Don

c,si

IP1

etIP

2dées

ignen

tre

spec

tive

men

tle

spro

bab

ilit

éessu

rΩ

1et

Ω2

:

IPi(A

i)=

|Ai|

|Ωi|,

i=

1,2.

En

fait

,il

est

plu

sco

mm

ode

de

pas

ser

aux

com

plée

men

tair

es:

cA

1=

{ne

jam

ais

obte

nir

6en

4la

nce

rs};

|Ω1|

=64

et|c A

1|

=54

don

cIP

(A1)

=

1−

( 5 6)4

=1−

625

1296

≈0,

5177

.

cA

2=

{ne

jam

ais

obte

nir

un

dou

ble

six

en24

lance

rs};

|Ω2|=

3624

et|c A

2|=

3524

don

cIP

(A2)

=1−

( 35 36) 24

≈0,

4914

.

On

const

ate

don

c,et

làase

nic

hai

tle

par

adox

e,que

de

dis

pos

erde

6fo

isplu

sde

tenta

tive

spou

rob

tenir

un

réesu

ltat

6fo

ism

oins

pro

bab

lene

réeta

blit

pas

(tou

tàa

fait

...)

l’éeq

uilib

re.

•P

roblèe

me

du

Pri

nce

de

Tos

cane

àaG

aliléee

:Ω

={1

,...,6}3

ethypot

hèes

ed’ée

quip

robab

ilitée.

|Ω|=

63=

216.

A:=

“Obte

nir

une

som

me

de

9”et

B:=

“Obte

nir

une

som

me

de

10”.

9=

1+

2+

6so

it3

!fa

çcons

(sel

onl’or

dre

)10

=1

+3

+6

soit

3!

façco

ns

=1

+3

+5

soit

3!

façco

ns

=1

+4

+5

soit

3!

façco

ns

=1

+4

+4

soit

3fa

çcons

=2

+2

+6

soit

3fa

çcons

=2

+2

+5

soit

3fa

çcons

=2

+3

+5

soit

3!

façco

ns

=2

+3

+4

soit

3!

façco

ns

=2

+4

+4

soit

3fa

çcons

=3

+3

+3

soit

1fa

çcon

=3

+3

+4

soit

3fa

çcons

=25

façco

ns

=27

façco

ns

2.4.

Var

iable

sal

éeato

ires

àava

leurs

dan

sun

espac

edis

cret

9

D’o

ùuIP

(A)

=|A

||Ω|=

25 216

etIP

(B)

=|B

||Ω|=

27 216.

2.4

Var

iable

sal

éeato

ires

àava

leurs

dan

sun

espac

edis

cret

Déefinit

ion

2:

On

appel

leva

riab

leal

éeato

ire

(v.a

.)dis

crèet

esu

run

espac

e(Ω

,A,IP

)àa

vale

urs

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sun

ense

mble

Efiniou

déen

ombra

ble

,to

ute

applica

tion

X:(Ω

,A,IP

)→

Evéer

ifian

t:

∀e∈

E,

X−

1({

e})∈A

.

Rem

arq

ues

:

•Par

com

modit

éeon

not

era{X

=e}

:=X

−1({

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l’im

age

réeci

pro

que

de{e}

par

X;plu

sgée

néer

alem

ent,

onéec

rira

{X∈

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=X

−1(B

).

•La

condit

ion

ci-d

essu

sex

pri

me

sim

ple

men

tque

X:(Ω

,A)→

(E,P

(E))

est

une

applica

tion

mes

ura

ble.

•Pou

rto

ute

par

tie

Ade

Ω,

A∈

Ass

ila

fonct

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indic

atri

cede

A,1

Aes

tune

vari

able

aléea

toir

e.

Pro

pri

éetée

:

X IK

:={X

:(Ω

,A)−→

E,E

⊂IK

,E

finiou

déen

ombra

ble}e

stun

IK-e

.v.

(IK

=IR

ouC

).

Déem

onst

rati

on:

On

consi

dèer

eX

:Ω→

E,

Y:Ω→

E′ ,

λ∈

IKet

Z:=

λX

+Y.

{Z=

e}=

∪(ε

,ε′ )∈E

×E

′λ

ε+

ε′ =

e

{X=

ε}∩{X

=ε′}

or{(

ε,ε′

)∈

E×

E′ /

λε

+ε′

=e}

⊂E

×E

′ ,il

est

don

cdéen

ombra

ble

.#

Déefinit

ion

3:

On

appel

lelo

i(o

upar

fois

densi

téedi

scrèe

te,cf

.R

emar

que

p.5

)de

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pro

bab

ilitée

πsu

r(E

,P(E

))déefi

nie

par

:∀e

∈E

,π

(e)

:=IP

(X=

e).

Rem

arq

ue

:La

pro

bab

ilitée

πes

tso

uve

nt

not

éeeIP

Xpuis

que

c’es

ten

fait

lam

esure

imag

ede

IPpar

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nvéer

ifie

que

lav.a

.X

transp

ort

ela

pro

bab

ilitée

IPsu

r(Ω

,A)

enune

pro

bab

ilit

éesu

r(E

,P(E

)).

10C

hap

itre

2.In

troduct

ion

aum

odèel

epro

bab

ilis

te.

Var

iable

sal

éeato

ires

dis

crèet

es.

2.4.

1Loi

sdis

crèet

esusu

elle

s

On

dées

igne

par

(Ω,A

,IP

)un

espac

epro

bab

ilis

ée.

•Loi

de

Ber

nou

lliB(

p),

p∈

[0,1

]:

On

consi

dèer

eun

éevéen

emen

tC

∈A

de

pro

bab

ilitée

p:=

IP(C

).

Soi

tX

:=1

Cla

fonct

ion

indic

atri

cede

C(X

(ω)

=1

siω∈

C,=

0si

non

).O

npos

eπ

:=IP

X.

π({

1})

=IP

(X=

1)=

IP(C

)=

pet

π({

0})

=1−

p.π

est

appel

éeelo

ide

Ber

nou

llide

para

mèet

rep∈

[0,1

].

•Loi

bin

omia

leB

(n;p

),p

∈[0

,1]:

Soi

tX

:(Ω

,A,IP

)−→

{0,.

..,n

}véer

ifian

t

∀k∈{0

,...,n

},IP

(X=

k)

=C

k npk

(1−

p)n−

k∈

[0,1

]·

La

loiπ

:=IP

Xsu

r{0

,...,n

}es

tbie

nune

pro

bab

ilit

éeca

r

π(k

)≥

0et

n ∑ k=0π

(k)

=n ∑ k=0

Ck npk

(1−

p)n−

k=

(p+

1−

p)n

=1·

La

loide

Xes

tap

pel

éeelo

ibi

nom

iale

,not

éeeB

(n;p

),n≥

1,p∈

[0,1

].

Lor

sque

p=

N1

N∈

Q+∩

[0,1

],on

peu

tla

réeal

iser

com

me

lenom

bre

de

bou

les

bla

nch

es

obse

rvéee

slo

rsde

nti

rage

sav

ecre

mis

edan

sune

urn

eco

nte

nan

tN

bou

les

don

tN

1so

nt

bla

nch

es.P

lus

géenéer

alem

ent

lalo

iB

(n;p

)s’

obti

ent

com

me

lalo

ide

laso

mm

ede

nv.a

.in

déep

endan

tes

de

loiB

(p)

(cf.

sect

ion

7).

•Loi

hyper

géeom

éetri

queH

(n,N

1,N

2)

:O

npro

cèede

cett

efo

isàa

nti

rage

ssa

ns

rem

ise

d’u

ne

bou

ledan

sune

urn

eco

nte

nan

tin

itia

lem

ent

Nbou

les

don

tN

1so

nt

bla

nch

eset

N2

sont

noi

res;

onsu

ppos

eque

n≤

min

(N1,N

2).

On

modéel

ise

ceti

rage

sur

l’es

pac

e:

Ω:=

{par

ties

àan

éeléem

ents

d’u

nen

sem

ble

àaN

1+

N2

éeléem

ents

don

tN

1so

nt

bla

ncs}

etl’on

sepla

ceso

us

l’hypot

hèes

ed’ée

quip

robab

ilitée

des

tira

ges.

On

dées

igne

par

:

X:

{ Ω→

{0,.

..,n

}ω�−→

X(ω

):=

card

{x∈

ω/x

est

de

type

“bla

nc”}

∀k∈{0

,...,n

},IP

(X=

k)

=C

k N1C

n−

kN

2

Cn N

1+

N2

.

On

véer

ifie

que

n ∑ k=0C

k N1C

n−

kN

2=

Cn N

1+

N2en

iden

tifian

tle

sco

effici

ents

de

Yn

dan

sle

sdeu

x

déev

elop

pem

ents

de

(1+

Y)N

1+

N2

=(1

+Y

)N1(1

+Y

)N2.

2.4.

Var

iable

sal

éeato

ires

àava

leurs

dan

sun

espac

edis

cret

11

La

loide

Xa

pou

rnom

loihy

perg

éeom

éetri

que

de

par

amèet

res

n,N

1,N

2.

•Loi

géeom

éetri

que

(ou

loide

Pas

cal)G

(p),p

∈]0,

1[:

On

déefi

nit

sur

IN∗

lalo

ide

pro

bab

ilitée

:∀k

∈IN

∗ ,π

(k)

:=(1

−p)

k−

1p.

C’e

st

bie

nune

pro

bab

ilit

éesu

rIN

∗puis

que

∑k∈I

N∗

(1−

p)k−

1p

=p

1−

0

1−

(1−

p)=

1.C

ette

loi

s’ob

tien

tco

mm

ece

lle

du

“1er

succ

èes”

lors

de

larée

péet

itio

nsu

cces

sive

indéefi

nie

d’ée

pre

uve

sde

Ber

nou

lliB

(p)

“indéep

endan

tes”

(cf.

sect

ion

5).

•Loi

de

Poi

sson

P(λ

),λ

>0

:

On

déefi

nit

sur

INla

pro

bab

ilitée

:∀k

∈IN

,π

(k)

=e−

λλ

k k!.

πes

tbie

nune

pro

-

bab

ilit

éepuis

que

∑k∈

INπ

(k)

=e−

λ∑ k

λk k!

=e−

λ+

λ=

1.La

loi

de

Poi

sson

est

une

loi

“d’ée

véen

emen

tsra

res”

com

me

lem

ontr

ela

pro

pos

itio

nsu

ivan

te.

Pro

posi

tion

1:

Soi

tX

n,n

≥1,

une

suit

ede

v.a

.de

lois

B(n

;pn)

telle

que

np n

→λ

>0

(i.e

.

p n∼

λ n).

Alo

rs:

∀k∈

IN,

IP(X

n=

k)→

e−λλ

k k!,

quan

dn→

+∞

.

Déem

onst

rati

on:

Sin≥

k,

IP(X

n=

k)

=C

k npk n

(1−

p n)n

−k

=n!

k!(

n−

k)!

pk n(1

−p n

)n−

k

=n

(n−

1)×

..×

(n−

k+

1)

nk

(np n

)k

k!

( 1−np n n

) n (1−

p n)−

k

−→1k

λk k!e

−λ1−

k=

e−λλ

k k!.

#

On

renco

ntr

ed’a

utr

eslo

isdis

crèet

es(c

f.ex

erci

ces)

com

me

lalo

ibin

omia

lenéeg

ativ

e,le

slo

ism

ult

inom

iale

set

hyper

géeom

éetri

ques

mult

i-dim

ensi

onnel

les,

ces

deu

xder

nièe

res

lois

sont

d’a

ille

urs

des

pro

bab

ilitées

sur{0

,...,n

}d,d

≥2.

2.4.

2Esp

éeran

ce(m

athéem

atiq

ue)

d’u

ne

v.a

.dis

crèet

e;ap

pli-

cation

s

Déefinit

ion

4:

Soi

tX

:(Ω

,A,IP

)−→

E,

Efiniou

déenom

brab

le,E

⊂IR

ouC

.Si

•∑ x∈E

|x|I

P(X

=x)

<+∞

alor

sX

est

intée

grab

leet

l’on

déefi

nit

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sl’es

péera

nce

mat

héem

atiq

ue

de

Xpar

:

IE(X

):=

∑ x∈Ex

IP(X

=x).

12C

hap

itre

2.In

troduct

ion

aum

odèel

epro

bab

ilis

te.

Var

iable

sal

éeato

ires

dis

crèet

es.

•SiE

⊂IR

+,

onpeu

tto

ujo

urs

déefi

nir

IE(X

):=

∑ x∈Ex

IP(X

=x)∈

IR+

(et

l’on

dir

a

que

Xes

tin

téegr

able

siIE

(X)<

+∞

).

Rem

arq

ues

:•

Cet

tedéefi

nit

ion

est

just

ifiéee

par

lefa

itqu’u

ne

séeri

eab

solu

men

tco

nve

rgen

teou

àate

rmes

pos

itifs

est

com

muta

tive

men

tco

nve

rgen

te.

•SiE

⊂C

est

fin

i,X

est

toujo

urs

intée

grab

le.

•IE

(X)

est

enti

èerem

ent

déet

erm

inéee

par

lalo

ide

X;ce

pen

dan

t,si

Ωlu

i-m

êeme

est

finiou

déenom

brab

le,on

véer

ifie

aisée

men

tque

IE(X

)=

∑ ω∈ΩX

(ω)IP

({ω})

.

Pro

posi

tion

2:

SiX

,Y:

(Ω,A

,IP

)→

E⊂

IRou

Cso

nt

intée

grab

les

(res

p.≥

0)al

ors

:∀λ

,µ∈

IR(r

esp.

IR+),

λX

+µY

est

intée

grab

le(r

esp.≥

0)et

IE(λ

X+

µY

)=

λIE

(X)+

µIE

(Y).

Déem

onst

rati

on:

Siλ

=µ

=1,

X+

Yes

tàa

vale

urs

dan

sF

:=E

+E

et∑ z∈F

|z|IP

(X+

Y=

z)=

∑ z∈F∑

x,y∈E

x+

y=

z

|x+

y|IP

(X=

x,Y

=y)

≤∑ x∈E

∑ y∈E(|x

|+|y|

)IP

(X=

x,Y

=y)

≤∑ x∈E

|x|I

P(X

=x)+

∑ y∈E|y|

IP(Y

=y)<

+∞

.

L’a

ddit

ivitée

de

IE(·)

s’éet

ablit

via

lem

êeme

chem

inem

ent.

Siλ∈I

R∗ ,

∑z∈λ

E|z|

IP(λ

X=

z)=

∑ x∈E|λ

x|IP

(λX

=λx)

carx�−→

λx

est

une

bijec

tion

de

Esu

rλE

.D

onc

λX

est

intée

grab

le,et

c.Siλ

=0,

IE(λ

X)

=IE

(0)

=0

=λIE

(X).

#

Coro

llair

e:

SiX

etY

sont

intée

grab

les

etX

≤Y

alor

sIE

(X)≤

IE(Y

).

Pro

posi

tion

3:

Soi

tπ

:=(π

(x))

x∈E

une

pro

bab

ilitée

surl’en

sem

ble

déen

ombra

ble

Eet

X:(Ω

,A,IP

)−→

(E,P

(E))

une

v.a

..Les

asse

rtio

ns

suiv

ante

sso

nt

éequiv

alen

tes

:

(i)

Xa

pou

rlo

iπ

[i.e

.∀x

∈E

,π

(x)

=IP

(X=

x)]

,

(ii)

∀f:E

−→IR

+,

IE(f

(X))

=∑ x∈E

f(x

)π

(x)∈

IR+,

[ enpar

ticu

lier

π(x

)=

IP(X

=x)

=IE

( 1 {x}(X

))] ,(i

ii)

∀f:E

−→IR

,bor

néee

,f

(X)

est

intée

grab

leet

IE(f

(X))

=∑ x∈E

f(x

)π

(x).

Déem

onst

rati

on:

2.4.

Var

iable

sal

éeato

ires

àava

leurs

dan

sun

espac

edis

cret

13

(i)

=⇒

(ii)

:Soi

tY

:=f

(X)

etF

:=f

(E)⊂

IR+,IE

(Y)

=∑ y∈F

yIP

(Y=

y).

Or

(Y=

y)

=∪

x∈f

−1(y

)(X

=x)

(unio

ndis

join

te)

d’o

ùu:

IE(Y

)=

∑ y∈Fy

∑x∈f

−1(y

)IP

(X=

x)

=∑ y∈F

∑x∈f

−1(y

)f

(x)IP

(X=

x)

=∑ x∈E

f(x

)IP

(X=

x)

︸︷︷

︸=

π(x

)

.

(ii)⇒

(iii

)O

ndéec

ompos

esi

mple

men

tf

=f

+−

f−

(f+

:=m

ax(f

,0)

etf−

:=m

ax(−

f,0

));or

0≤

f±≤

|f|≤

M:=

sup

x∈E

|f(x

)|,don

c(c

f.(i

i))

IE( f±

(X)) =

∑ x∈Ef±

(x)π

(x)≤

∑ x∈EM

π(x

)=

M<

+∞

i.e.

f±(X

)so

nt

intée

grab

les.

D’a

utr

epar

t,en

repre

nan

tle

sca

lculs

de

(i)⇒

(ii)

eten

pos

ant

F:=

f(E

),il

est

imm

éedia

tque

∑ z∈F|z|

IP(f

(X)

=z)

≤=

∑ x∈E|f

(x)|I

P(X

=x)

=∑ x∈E

|f|(x

)π(x

)≤

M<

+∞

don

cf(X

)es

tin

téegr

able

.E

nfin

∑ x∈Ef

(x)π

(x)

=∑ x∈E

(f+

(x)−

f−

(x))

π(x

)=

∑ x∈Ef

+(x

)π

(x)−

∑ x∈Ef−

(x)π

(x)

=IE

(f+

(X))−

IE(f

−(X

))=

IE(f

(X))

d’a

prèe

sla

pro

pos

itio

n2.

(iii

)=⇒

(i)

:Il

suffi

tde

véer

ifier

que

IP(X

=x)

=π

(x),x

∈E

,ce

qui

déec

oule

de

l’as

sert

ion

(iii

)ap

pliquéee

aux

f x:=

1{x

}et

du

fait

que

IP(X

=x)

=IE

( 1 {x}(X

)) (cf

.

(ii)

).#

Exem

ple

:si

A∈P(

X),

IE(1

A(X

))=

∑ x∈E1A

(x)π

(x)=

∑ x∈Aπ

(x)=

π(A

)=

IP(X

∈A

).

Applica

tions

:•

D’a

prèe

s(i

i),

Xes

tin

téegr

able

ssi

IE|X

|<+∞

et,

plu

sgée

néer

alem

ent

f(X

)es

tin

téegr

able

ssiIE|f

(X)|<

+∞

.•

Si

E⊂

IRet

p∈I

N∗ ,

dèes

que

∑ x∈E|x|p I

P(X

=x)

<+∞

,on

déefi

nit

lem

omen

t

d’or

dre

pde

Xpar

IE(X

p).

•Si

p<

p′et

siIE

( |X|p′

) <+∞

,al

ors

IE(|X

|p )<

+∞

puis

que

IE(|X

|p )≤

IE( |X

|p′) +

IP(|X

|≤1)

.E

npar

ticu

lier

,X

est

intée

grab

ledèes

que

X2

l’es

t.D

’oùu

ladéefi

nit

ion

de

lava

rian

ce.

14C

hap

itre

2.In

troduct

ion

aum

odèel

epro

bab

ilis

te.

Var

iable

sal

éeato

ires

dis

crèet

es.

Déefinit

ion

5:

SiX

adm

etun

mom

ent

d’o

rdre

2,al

ors

onpos

e:

Var(X

):=

IE( (X

−IE

X)2

) ,lava

rian

cede

Xet

σ(X

):=

√ Var(X

),l’éec

art-ty

pede

X.

Pro

posi

tion

4:

(a)

Var(

X)

=IE

(X2)−

(IE

X)2

(b)∀λ

,µ∈I

R,V

ar(

λX

+µ)

=λ

2V

ar(

X).

Déem

onst

rati

on:

(a)

Var

(X)

=∑ x∈E

(x−

IEX

)2IP

(X=

x)

=∑ x∈E

x2IP

(X=

x)−

2IE

(X)

∑ x∈ExIP

(X=

x)+

(IE

X)2

=IE

(X2)−

(IE

X)2

(b)

est

imm

éedia

tpar

linéea

ritée

de

l’es

péer

ance

.#

Exem

ple

s:

Apar

tir

des

déefi

nit

ions

ci-d

essu

s,on

calc

ule

:

•XL ∼B

(p),

IEX

=p

etV

ar(X

)=

p(1

−p)

.

•XL ∼B

(n;p

),

IEX

=np

etV

arX

=np

(1−

p).

•XL ∼H

(n;N

1;N

2),IE

(X)

=n

N1

N1+

N2

etV

ar(X

)=

N1+

N2−

nN

1+

N2−

1×

n×

N1

N1+

N2

( 1−N

1

N1+

N2

)N

1+

N2−

nN

1+

N2−

1es

tap

pel

éele

fact

eur

d’e

xhau

stiv

itée.

•XL ∼P

(λ),

IE(X

)=

λet

Var(X

)=

λ.

•XL ∼G

(p),

IE(X

)=

1 pet

Var(X

)=

1−

p

p2.

2.5

Pro

bab

ilit

éesco

ndit

ionnel

leséel

éemen

tair

es.

Evéen

e-m

ents

indéep

endan

ts

2.5.

1C

onditio

nnem

ent

par

un

éevéen

emen

tnon

néeg

lige

able

Déefinit

ion

6:

Soi

t(Ω

,A,

IP)

un

espac

epro

bab

ilis

éeet

B∈

Ate

lque

IP(B

)

=

0.O

ndéefi

nit

lapro

bab

ilitée

condit

ionnel

lede

Asa

chan

t(o

u“q

uan

d”)

Bpar

:

IP(A

/B)

:=IP

(A∩

B)

IP(B

)(n

otéee

auss

iIP

B(A

)).

2.5.

Pro

bab

ilitées

condit

ionnel

les

éeléem

enta

ires

.E

véen

e-m

ents

indéep

endan

ts15

Cet

tedéefi

nit

ion

est

just

ifiéee

par

lefa

itque

siΩ

est

fini

etque

l’on

sepla

ceso

us

l’hypot

hèes

ed’éequ

ipro

babi

litée

,la

pro

bab

ilitée

que

l’on

tire

un

éeléem

ent

de

Asa

chan

tque

l’on

tire

dan

sB

est|A

∩B|

|B|

=IP

(A∩

B)

IP(B

)puis

que

IP(C

)=

|C|

|Ω|.

On

véer

ifie

auss

itôot

que

IP(.|B

)es

tune

nou

velle

prob

abilitée

sur

(Ω,A

,IP

)av

ecto

ute

sle

spro

pri

éetées

(cf.

sect

ion

2)que

cela

induit

,au

xquel

les

s’ajo

ute

nt

quel

ques

form

ule

scl

assi

ques

spéec

ifiques

.

Pro

posi

tion

5:

(a)∀A

1,.

..,A

n∈A

tels

que

IP(A

1∩

...∩

An)>

0,

IP(A

1∩

...∩

An)

=IP

(A1)IP

(A1/A

2)IP

(A3/A

1∩

A2)×

...×

IP(A

n/A

1∩

...∩

An−

1).

(b)

IP(A

)=

IP(A

/B)

IP(B

)+

IP(A

/cB

)IP

(cB

)

(c)

IP(A

/B)

=IP

(B/A

)IP

(A)

IP(B

)(f

orm

ule

de

Bay

esdit

eau

ssi“d

epro

bab

ilitées

des

cau-

ses”

).

Déem

onst

rati

on:

(a)

Rai

sonnon

spar

réecu

rren

cesu

rn.

Si

n=

2,c’

est

ladéefi

nit

ion.

D’a

utr

epar

tIP

(A1∩

...∩

An+

1)

=IP

(A1∩

...∩

An)

IP(A

n+

1/A

1∩

...∩

An)

d’o

ùule

réesu

ltat

d’a

prèe

sl’hypot

hèes

ede

réecu

rren

ce.

(b)

et(c

)so

nt

éevid

ents

.#

2.5.

2In

déep

endan

ce

Déefinit

ion

7:

Deu

xéev

éenem

ents

A,

B∈A

sontin

déependants

si

IP(A

∩B

)=

IP(A

)IP

(B).

On

véer

ifie

que,

dèes

que

IP(B

)=

0ou

1,A

etB

sont

toujo

urs

indéep

endan

ts;d’a

utr

epar

t,si

IP(B

)

=

0,1,

ladéefi

nit

ion

ci-d

essu

ses

téeq

uiv

alen

teàa

IP(A

/B)

=IP

(A/c

B)

=IP

(A).

D’o

ùula

just

ifica

tion

de

late

rmin

olog

ie“i

ndéep

endan

t”:

condit

ionner

par

Bou

son

com

plée

men

tair

ela

isse

lapro

bab

ilitée

de

Ain

chan

géee.

Rem

ar q

ue

:SiA

etB

sont

indéep

endan

ts,A

etcB

,cA

etcB

leso

nt

auss

i.

Exem

ple

:Jet

de

2pièe

ces

éequilib

réees

,Ω

={P

,F}2

,IP

(A)

=|A

||Ω|(

éequip

robab

ilitée)

.

16C

hap

itre

2.In

troduct

ion

aum

odèel

epro

bab

ilis

te.

Var

iable

sal

éeato

ires

dis

crèet

es.

Soi

tA

1:=

{les

2pièe

ces

tom

ben

tsu

rle

mêem

ecôo

tée}=

{PP,F

F},

A2

:={la

1èere

pièe

ceto

mbe

sur

pile}

={P

P,P

F},

A3

:={la

2èem

epièe

ceto

mbe

sur

face}=

{PF,F

F}.

On

véer

ifie

aisée

men

tque

IP(A

i)=

1 2,i

=1,

2,3.

IP(A

i∩

Aj)

=1 4,1

≤i

=

j≤

3don

c

les

Aiso

nt

2àa

2in

déepe

nda

nts

.

Déefinit

ion

8:

Soi

t(A

i)i∈

Iune

fam

ille

finie

d’ée

véen

emen

tsdeA

.Les

Ai

sont

(mutu

elle

men

t)in

déep

endan

tssi

∀J⊂

I,

IP( ∩ j∈J

Aj

) =∏ j∈J

IP(A

j).

Rem

arq

ues

:

•Il

ya

don

c,se

lon

cett

edéefi

nit

ion,2|

I|re

lati

ons

(don

t|I|

sont

triv

iale

s)àa

véer

ifier

.

•On

mon

tre

aisée

men

tpar

réecu

rren

cesu

r|I|

que

l’on

peu

tsu

bst

ituer

son

com

plée

men

-ta

ire

àaun

nom

bre

arbit

rair

ed’ée

véen

emen

tsA

i,i∈

I.

Contr

e-e

xem

ple

s:

•Dan

sl’ex

emple

prée

céeden

tA

1,A

2,A

3ne

sont

pas

indéep

endan

tsca

rA

1∩

A2∩

A3

=

◦/et

3 P i=1

IP(A

i)=

1 8

=

0.E

nfa

it,

sur

Ω=

{P,F

}2,

iln’e

xis

tepas

3éev

éenem

ents

Ai

=

◦/,A

i

=

Ω,

qui

soie

nt

indéep

endan

tsca

r,quit

teàa

pas

ser

auco

mplée

men

tair

e,on

peu

tsu

ppos

erque

IP(A

i)∈

{ 1 4,1 2

} donc

3 P i=1IP

(Ai)

est

dan

s[ 1 43,

1 23

] ;or

3 ∩ i=1A

i=

◦/ou

IP( 3 ∩ i=1

Ai) ≥

1 4>

1 23.

•Si

Ω={1

,...,6},

IP({

ω})

=1 6,

A1={1

,2,3},

A2={2

,4,6}

etA

3={1

,2,4

,5}

véer

ifien

tIP

(A1∩

A2∩

A3)

=1 6

=3 P i=1IP

(Ai)

,ce

pen

dan

tIP

(A1∩

A2)

=1 6

=

IP(A

1)IP

(A2).

2.6

V.a

.dis

crèet

esin

déep

endan

tes

Déefinit

ion

9:

Soi

ent

Xi

:(Ω

,A,IP

)→

Ei,

i=

1,...,

n,

nv.a

.dis

crèet

esdéefi

nie

ssu

run

mêem

ees

pac

epro

bab

ilis

ée.Les

Xi,

i=

1,...,

nso

nt

indée

penda

nte

ssi

etse

ule

men

tsi

:

∀(x

1,.

..,x

n)∈

E1×.

..×E

n,

IP({

X1

=x

1,.

..,X

n=

xn})

=IP

(X1

=x

1)...IP

(Xn

=x

n).

Pro

posi

tion

6:

Les

asse

rtio

ns

suiv

ante

sso

nt

éequiv

alen

tes

:

2.6.

V.a

.dis

crèet

esin

déep

endan

tes

17

(i)

Les

Xi,

i=

1,...,

nso

nt

indéep

endan

tes,

(ii)

∀fi:E

i→

IR,bor

néee

oupos

itiv

e,i=

1,...,

n,

IE( n P i=1

f i(X

i)) =

n P i=1

IE(f

i(X

i)).

(iii

)∀B

i∈P

(Ei)

,1≤

i≤

n,

IP(X

1∈

B1,.

..,X

n∈

Bn)

=IP

(X1∈

B1)...IP

(Xn∈

Bn).

(iv)∀(

x1,.

..,x

n)∈

E1×

...×

En,

les

éevéen

emen

ts{X

i=

xi}

,i=

1,...,

n,

sont

indéep

endan

ts.

Déem

onst

rati

on:

(i)⇒

(ii)

D’a

prèe

sla

pro

pos

itio

n3

(ii)

(sec

tion

4.2.

)ap

pliquéee

àaX

=(X

1,.

..,X

n),

ilvie

nt

:

IE( n P i=1

f i(X

i)) =

∑(x

1,...x

n)∈

E1×

...×

En

n ∏ i=1fi(x

i)IP

((X

1,.

..,X

n)

=(x

1,.

..,x

n))

=∑

(x1,...x

n)∈

E1×

...×

En

n ∏ i=1(f i

(xi)

IP(X

i=

xi)

)

=n ∏ i=1(

∑x

i∈E

i

f i(x

i)IP

(Xi=

xi)

) =n ∏ i=1I

E(f

i(X

i)).

(ii)⇒

(iii

)P

rendre

f i:=

1B

i,1

≤i≤

n,et

not

erque

IP(X

i∈

Bi)

=IE

(1B

i(X

i)).

(iii

)⇒

(iv)

Pou

rto

ut

J⊂

{1,.

..,n

},pre

ndre

Bj=

Ej

sij

/∈J

etB

j=

{xj}

sij∈

J.

(iv)⇒

(i)

Evid

ent

via

ladéefi

nit

ion

de

l’in

déep

endan

cedes

éevéen

emen

ts.

#

18C

hap

itre

2.In

troduct

ion

aum

odèel

epro

bab

ilis

te.

Var

iable

sal

éeato

ires

dis

crèet

es.

Rem

ar q

ues

:•

On

const

ate

sur

l’as

sert

ion

(iii

)que

l’in

déep

endan

cedes

Xi

setr

aduit

par

lare

lati

onπ

=π

1⊗

...⊗

πn

oùuπ

dées

igne

lalo

ideX

=(X

1,.

..,X

n)su

rE

1×

...×

En,

πi,

1≤

i≤

n,le

slo

isdes

Xisu

rE

iet

π1⊗

...⊗

πn

lam

esure

pro

duit

corr

espon

dan

te.

•Sil’on

inte

rprèe

teπ

etπ

i,1≤

i≤

n,en

term

esde

den

sitée

sdis

crèet

es,la

rela

tion

d’indéep

endan

cese

trad

uit

par

(cf.

(ii)

):

∀(x

1,.

..,x

n)∈

E1×

...×

En,

π(x

1,.

..,x

n)

=π

1(x

1)×

...×

πn(x

n).

Coro

llair

es

:

Sile

sX

i,1≤

i≤

n,so

nt

indéep

endan

tes,

alor

s:

(a)∀I

⊂{1

,...,n

},(X

i)i∈

Iso

nt

indéep

endan

tes,

(b)

Si

I 1∪

I 2=

{1,.

..,n

},I 1

∩I 2

=◦/,

alor

sY

1=

(Xi)

i∈I 1

etY

2=

(Xi)

i∈I 2

sont

indéep

endan

tes,

(c)

Sig i

:E

i→

Fi,

1≤

i≤

n,al

ors

les

g i(X

i),

1≤

i≤

n,so

nt

indéep

endan

tes.

(d)

Les

éevéen

emen

tsA

1,···

,An

sontin

déep

endan

tsss

iles

v.a

.1

A1,···

,1A

nso

ntin

déep

en-

dan

tes.

Déem

onst

rati

on:

(a)

Pre

ndre

f i:=

1si

i/∈

I.

(b)

Suppos

ons

pou

rsi

mplifier

que

I 1=

{1,.

..,p},

I 2=

c I1;so

ient

y 1=

(x1,.

..,x

p)

ety 2

=(x

p+

1,.

..,x

n),

IP(Y

1=

y 1,Y

2=

y 2)

=IP

((X

1,.

..,X

n)

=(x

1,.

..,x

n))

=n ∏ i=1I

P(X

i=

xi)

=IP

(Y1

=y 1

)IP

(Y2

=y 2

)via

(a).

(c)

Appliquer

laca

ract

éeris

atio

n(i

i)àa

f i:=

hio

g i,h

i:F

i→

IR+,

1≤

i≤

n.

(d)

Le

sens

dir

ect

déec

oule

de

lare

mar

que

sous

ladéefi

nit

ion

8et

larée

cipro

que

du

poi

nt

(iv)

de

lapro

pos

itio

n6.

#

Pro

posi

tion

7:

(a)

Si

les

X1,.

..,X

nso

nt

indéep

endan

tes

àava

leurs

dan

sE

i⊂

IR,

intée

grab

les

(res

p.

pos

itiv

es)

alor

sX

1...X

nes

tin

téegr

able

(res

p.

pos

itiv

e)et

IE(X

1...X

n)

=IE

(X1)...IE

(Xn)

(la

“réec

ipro

que”

est

fauss

e).

(b)

Sile

sX

i,1≤

i≤

n,so

nt

indéep

endan

tes

de

carr

éein

téegr

able

,àa

vale

urs

dan

sE

i⊂I

R,

alor

sV

ar(X

1+

...+

Xn)

=V

ar(X

1)+

...+

Var

(Xn).

Déem

onst

rati

on:

(a)

On

applique

pro

pos

itio

n6

(ii)

àaf i

(xi)

:=|x

i|pou

rm

ontr

erque

:

IE|X

1...X

n|=

IE|X

1|..

.IE

|Xn|<

+∞

.

2.7.

Fon

ctio

ngée

néer

atri

ced’u

ne

v.a

.àa

vale

urs

dan

sIN

.A

pplica

tion

s19

L’ée

galitée

déec

oule

alor

sdu

théeo

rèem

esu

rle

spro

duit

sde

séeri

esab

solu

men

tco

nve

rgen

tes.

(b)

IE

( (n ∑ i=1X

i) 2)=

∑ i,jIE

(XiX

j)

=∑ iI

E(X

2 i)−

(IE

Xi)

2+

∑ i,jIE(X

i)IE

(Xj)

=n ∑ i=1V

ar(X

i)+

[ IE( n ∑ i=1

Xi)] 2

.#

Rem

ar q

ue

:C

omm

ele

mon

tre

ladéem

onst

rati

on,l’ad

dit

ivitée

de

lava

rian

cees

ten

fait

véer

ifiéee

dèes

que

IE(X

iXj)

=IE

(Xi)

IE(X

j),

i

=

j.

Cet

tepro

pri

éetée

est

appel

éeenon

corr

éelat

ion

des

v.a

.X

i,1≤

i≤

n.

Ain

si,d’a

prèe

s(a

),le

sX

iso

ntnon

corr

éeléee

sdèes

qu’e

lles

sont2

àa2

indéep

endan

tes.

Or,

l’in

déep

endan

ce2

àa2

n’e

ntr

âıın

epas

engée

néer

alla

mutu

elle

indéep

endan

ce(c

onsi

déer

erle

sin

dic

atri

ces

1A

i,i

=1,

2,3

const

ruit

esàa

par

tir

des

éevéen

emen

tsA

iex

plici

tées

dan

sl’ex

emple

du

par

agra

phe

5.2)

.L’e

xem

ple

ci-a

prèe

sfo

urn

itdir

ecte

men

tune

situ

atio

noùu

deu

xva

riab

les

non

corr

éeléee

sne

sont

pas

indéep

endan

tes.

Exem

ple

:Soi

tX

une

v.a

.déefi

nie

sur

un

espac

e(Ω

,A,IP

)àa

vale

urs

dan

s{−

1,0,

1}et

de

loiunifor

me

i.e.

IP(X

=−1

)=

IP(X

=0)

=IP

(X=

1)=

1/3.

On

pos

eY

:=X

2.

Com

me

XY

=X

3=

X,il

estcl

airque

IE(X

Y)

=0

etque

IE(X

)IE

(Y)

=0×

IE(Y

)=

0.Les

v.a

.so

nt

don

cnon

corr

éeléee

s.Pou

rau

tant,

elle

sne

sont

pas

indéep

endan

tes

puis

que

IE(X

2Y

)=

IE(X

4)

=1×

(2/3

)+

0×

(1/3

)=

2/3

=

IE(X

2)IE

(Y)

=IE

(X2)2

=(2

/3)2

.

2.7

Fon

ctio

ngée

néer

atri

ced’u

ne

v.a

.àa

vale

urs

dan

sIN

.A

pplica

tion

s

On

pre

nd

com

me

conve

nti

ons

dan

sce

tte

sect

ion

:

00=

1,0×

(+∞

)=

0et

:∀s

∈[−

1,1]

,s∞

=0.

Déefinit

ion

10

:Soi

tX

:(Ω

,A,IP

)→

IN=

IN∪{+

∞}.

On

appel

lefo

nct

ion

géenéer

atri

cede

Xla

fonct

ion

g Xdéefi

nie

sur

[−1,

1]par

g X(s

):=

IE( sX

) .C

ette

déefi

nit

ion

abie

nun

sens

puis

que,

sis∈

[−1,

1],

sX∈{1

,s,.

..,s

n,.

..}∪

{0}⊂

[−1,

1]et

,d’a

prèe

sla

pro

pos

itio

n3

(ii)

etla

conve

nti

onci

-des

sus

:

g X(s

)=

∑ n∈INsn

IP(X

=n).

20C

hap

itre

2.In

troduct

ion

aum

odèel

epro

bab

ilis

te.

Var

iable

sal

éeato

ires

dis

crèet

es.

Plu

sieu

rsdéem

onst

rati

ons

sur

lafo

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ion

géenéer

atri

cere

pos

ent

sur

lele

mm

e(c

las-

sique)

suiv

ant

rela

tifs

aux

séeri

esen

tièer

es.

Lem

me

:(a

)Sia

n≥

0,n≥

0et

∑ nansn

de

rayo

n(s

upéer

ieur

ouéeg

alàa)

1.A

lors

:

lim

s→1−

∑ nansn

=∑ na

n≤

+∞

.

(b)

Si

∑ n|a

n|<

+∞

alor

ss�→

∑ nansn

est

conti

nue

sur

[−1,

1].

Pre

uve

:(a

)∀n

≥0,

0≤

ansn

↑a

nquan

ds↑

1−don

c,d’a

prèe

sle

théeo

rèem

ede

Bep

po-

Léev

iap

pliquée

àala

mes

ure

de

déec

ompte

µ:=

∑ nδn,

∑ n∈INa

nsn

↑∑ n∈IN

an

quan

ds↑,

1−.

(b)

On

pro

cèede

de

mêem

een

concl

uan

tpar

conve

rgen

cedom

inéee

.#

Pro

pri

éetée

s:

(a)•

g X(0

)=

IP(X

=0)

etg X

(1)

=IP

(X<

+∞

)≤

1don

cla

séeri

een

tièer

eci

-des

sus

aun

rayo

nde

conve

rgen

ceR

gX≥

1.E

npar

ticu

lier

g X∈C∞

(]−1

,1[)

.•E

nou

tre,

g X∈C(

[−1,

1]),

g Xes

tcr

oiss

ante

sur

[0,1

]ai

nsi

que

toute

sse

sdéer

ivéee

s.

(b)

g X=

g Y⇒

XL ∼

Yet

IP(X

=n)

=g

(n)

X(0

)

n!

,n∈I

N.

Déem

onst

rati

on:

(a)

Le

pre

mie

rpoi

nt

est

éevid

ent

ainsi

que

lacr

oiss

ance

des

g(p

)X

,p∈

IN(o

ùul’on

apos

ée

g(0

)X

:=g X

).La

conti

nuitée

en±1

déec

oule

du

lem

me

(b).

(b)

Par

déer

ivat

ions

succ

essi

ves

sous

lesi

gne

som

me

:

g(n

)X

(0)

=n!IP

(X=

n),

n∈

INet

IP(X

=+∞

)=

1−∑ n∈IN

IP(X

=n).

#

Rem

arq

ue

:SiIP

(X=

+∞

)>

0,il

est

imm

éedia

t(c

f.pro

p.

3)que

IE(X

)=+∞

.

Pro

posi

tion

8:

(a)

On

suppos

eque

IP(X

=+∞

)=

0.A

lors

IE(X

)=

lim

s→1−

g′ X

(s)≤

+∞

.

En

par

ticu

lier

Xes

tin

téegr

able

ssi

lim

s→1−

g′ X

(s)

<+∞

(soi

ten

core

ssig X

est

déer

ivab

le

en1−

).

(b)

On

suppos

eto

ujo

urs

que

IP(X

=+∞

)=

0.A

lors

,pou

rto

ut

p∈I

N,

2.7.

Fon

ctio

ngée

néer

atri

ced’u

ne

v.a

.àa

vale

urs

dan

sIN

.A

pplica

tion

s21

IE(X

(X−

1)...(

X−

p+

1))

︸︷︷

︸m

om

ent

fact

ori

eld’o

rdre

p

=lim

s→1−

g(p

)X

(s)≤

+∞

.

Xad

met

un

mom

ent

d’o

rdre

p∈I

N∗

finiss

iX

aun

mom

ent

fact

orie

ld’o

rdre

pfinii.e.

lim

s→1−

g(p

)

X(s

)<

+∞

(soi

ten

core

ssig X

adm

etune

déer

ivéee

d’o

rdre

pen

1−).

En

par

ticu

lier

siX

est

de

carr

éein

téegr

able

:Var

(X)=

lim

s→1−g

′′ X(s

)−lim

s→1−

g′ X(s

)×( lim s→

1−g

′ X(s

)−1) .

(c)

SiIP

(X=

+∞

)=

0et

Rg

X>

1al

ors

g Xes

tin

déefi

nim

ent

(con

tinum

ent)

déer

ivab

lesu

r]−

Rg

X,R

gX

[,par

consée

quen

tX

ades

mom

ents

àato

ut

ordre

et

IE(X

(X−

1)...(

X−

p+

1))

=g

(p)

X(1

)≤

+∞

.

Déem

onst

rati

onde

lapro

pos

itio

n8

:(a

)-(b

)Soi

tp∈

IN.Il

vie

nt

par

déer

ivat

ions

succ

essi

ves

de

lasée

rie

enti

èere

sous

lesi

gne

som

me

sur

]−1,

1[et

lele

mm

e(a

)ci

-des

sus

:

lim 1−

g(p

)

X=

∑ k≥pAp kIP

(X=

k)≤

+∞

.

La

pro

pos

itio

n3,

IP(X

=+∞

)=0

etla

conve

nti

on0×

+∞

impliquen

tal

ors

que

IE(X

(X−

1)···(

X−

p+

1))

=lim 1−

g(p

)

X.

L’ée

quiv

alen

ceen

tre

lafinit

ude

des

mom

ents

fact

orie

lset

nat

ure

lsd’o

rdre

pse

déed

uit

des

inéeg

alit

ées

X(X

−1)

···(

X−

p+

1)≤

Xp≤

(2p+

1)(p

−1)

p+

2pX

(X−

1)···(

X−

p+

1).

La

seco

nde

inéeg

alit

ées’

obti

ent

enm

ajo

rant

Xsu

rl’éev

éenem

ent{X

<p−

1}et

endéec

ompos

ant

X=

X−

(p−

1)+

p−

1su

r{X

≥p−

1}puis

enuti

lisa

nt

(a+

b)p≤

2p(a

p+

bp).

(c)

Ce

poi

nt

est

éevid

ent

auvu

des

prée

céeden

ts.

#

Pro

posi

tion

9:

SiX

1,.

..,X

nso

nt

indéep

endan

tes,

alor

s,au

moi

ns

pou

rs∈

[−1,

1],

g X1+

...+

Xn

(s)

=g X

1(s

)...g

Xn

(s).

Déem

onst

rati

on:

Pou

rto

ut

s∈

[−1,

1],n

→sn

est

bor

néee

,don

cd’a

prèe

sla

pro

pos

itio

n6

(ii)

,

g X1+

...+

Xn

(s)

=IE

( sX 1+

...+

Xn

) =IE

( sX 1...s

Xn

) =IE

( sX 1) ...I

E( sX n

) =g X

1(s

)...g

Xn(s

).

22C

hap

itre

2.In

troduct

ion

aum

odèel

epro

bab

ilis

te.

Var

iable

sal

éeato

ires

dis

crèet

es.

Applica

tions

aux

lois

usu

elles

:

•XL ∼B

(p)

:g X

(s)

=sp

+1−

p.

•XL ∼B

(n;p

):

g X(s

)=

∑0≤

k≤

nC

k npk

(1−

p)n−

ksk

=(s

p+

1−

p)n.

D’a

prèe

sla

pro

pos

itio

n9

ci-d

essu

s,on

adon

c:

XL ∼

X1+

...+

Xn

oùuX

iL ∼B

(p),1

≤i≤

n,

sont

indéep

endan

tes.

IE(X

)=

g′ X

(1)

=np,

Var(X

)=

IE(X

(X−

1))−

IE(X

)(IE

(X)−

1)=

np

(1−

p).

•XL ∼G

(p)

:g X

(s)

=∑

k∈I

N∗p

(1−

p)k−

1sk

=ps

1−

s(1

−p)

car

∑ k≥0x

k=

1

1−

xpou

r|x|<

1.

IE(X

)=

g′ X

(1)

=1 p

etV

ar(X

)=

1−

p

p2(c

f.fo

rmule

ci-d

essu

s).

•XL ∼P

(λ)

:g X

(s)

=∑

n∈I

Ne−

λλ

n n!s

n=

e−λ(1−

s)=

eλ(s−

1) .

D’o

ùuIE

(X)

=λ

etV

ar(X

)=

λet

,pou

rto

utp≥

1,IE

[X(X

−1)···(X

−p

+1)

]=

λp.

Rem

arq

ues

:•

La

réeci

pro

que

de

lapro

pos

itio

n9

est

fauss

e.•

On

peu

tdéefi

nir

de

façco

nan

alog

ue

lafo

nct

ion

géenéer

atri

ced’u

nve

cteu

ral

éeato

ire

àava

leurs

dan

sIN

d∪{∞

}par

g (X

1,.

..,X

d)(s

1,.

..,s

d)

=IE

( sX 1 1×

...×

sXd

d

) .P

lus

géenéer

alem

ent,

lafo

nct

ion

géenéer

atri

cees

tun

outi

les

senti

elde

l’A

nal

yse

com

bin

a-to

ire.

2.8

Com

plée

men

tssu

rl’in

déep

endan

ce

Déefinit

ion

11

:U

ne

fam

ille

quel

conque

de

v.a

.(X

i)i∈

Idéefi

nie

ssu

run

espac

epro

ba-

bilis

ée(Ω

,A,IP

)es

tco

nst

ituée

de

v.a

.in

déep

endan

tes

siet

seule

men

tsi

∀J∈

P(I

),J

finie

,le

sv.a

.(X

j) j

∈Jso

nt

indéep

endan

tes.

Ain

siune

suit

e(X

n) n

≥1

de

v.a

.es

tco

nst

ituéee

de

v.a

.in

déep

endan

tessi

etse

ule

men

tsi∀n

≥1,

X1,.

..,X

nso

nt

indéep

endan

tes

(cf.

coro

llai

re(a

)de

lapro

pos

itio

n6)

.La

const

ruct

ion

de

telles

suit

esdéep

asse

larg

emen

tle

cadre

de

cech

apit

rein

troduct

if.

Vue

leur

impor

tance

enP

robab

ilitées

,c’

est

l’une

des

mot

ivat

ions

pou

rre

couri

ràa

lath

éeori

ede

lam

esure

(cf.

chap

.IV

,V

III)

.

Chap

itre

3

La

pro

bab

ilit

éeco

mm

em

esure

La

prée

senta

tion

des

Pro

bab

ilitées

que

nou

sav

ons

adop

téee

dan

sle

chap

itre

Iéet

ait

esse

n-

tiel

lem

ent

fondéee

sur

une

appro

che

intu

itiv

eet

mat

héem

atiq

uem

ent

éeléem

enta

ire

dan

sla

quel

len’inte

rvie

nnen

tque

des

espac

espro

bab

ilis

éeset

des

vari

able

sal

éeato

ires

dis

crèet

es(i

.e.ne

fais

ant

inte

rven

irqu’u

nnom

bre

finiou

déen

ombra

ble

de

vale

urs

).Les

conce

pts

mat

héem

atiq

ues

qu’e

lle

uti

lise

éetai

ent

pou

rla

plu

par

tco

nnus

dèes

1830

etce

rtai

ns

réesu

ltat

sim

por

tants

que

nou

sn’a

vons

pas

enco

reéev

oquées

(inéeg

alit

éede

Bie

nay

mée-

Tch

ebych

eff,lo

ifa

ible

des

gran

ds

nom

bre

s)av

aien

tdéej

àaéet

éeéet

ablis

dan

sce

cadre

.

C’e

stau

déeb

ut

du

20èe

sièec

le,av

ecla

géenèes

ede

lath

éeori

ede

lam

esure

due

àaB

orel

etLeb

esgu

e,qu’inte

rvie

ndra

lam

uta

tion

des

Pro

bab

ilitées

quiab

outi

ra,so

us

l’éeg

ide

de

Kol

mog

orov

(193

0),àa

son

axio

mat

ique

moder

ne.

3.1

Les

lim

ites

de

l’ap

pro

che

éeléem

enta

ire

:pro

ba-

bilit

éessu

run

ense

mble

non

déen

ombra

ble

En

déep

itde

ladéefi

nit

ion

pro

pos

éeedan

sle

chap

itre

I,nou

sn’a

vons

jusq

u’àa

mai

nte

nan

tja

mai

sco

nst

ruit

de

pro

bab

ilitées

sur

un

ense

mble

Ωnon

déenom

brab

le.O

rce

tte

ques

tion

sepos

etr

èesra

pid

emen

tdan

sdes

pro

blèe

mes

de

modéel

isat

ion

pro

bab

ilis

tepou

rtan

tan

odin

sa

pri

ori.

Ain

si,la

modéel

isat

ion

d’u

nnom

bre

infinide

par

ties

de

Pile

ouFac

ees

thor

sd’a

ttei

nte

des

seule

sm

éethodes

déev

elop

péee

sprée

céedem

men

t.E

neff

et,pou

run

nom

bre

finin

de

par

ties

onpeu

tco

nsi

déer

erΩ

={P

,F}n

,

A=

P(Ω

),IP

({ω})

:=1 2n

,dan

sle

cas

d’u

ne

pièe

cenon

truquéee

,et

∀ω=

(ω1,.

..,ω

n)∈

Ω,

IP({

ω})

:=p|

{i/ω

i=

P}|×

(1−

p)|{

i/ω

i=

F}|

lors

que

lapièe

cees

ttr

uquéee

.E

nre

vanch

e,la

mêem

edéem

arch

ees

tune

impas

selo

rs-

qu’o

nse

pla

cesu

rΩ

={P

,F}IN

:Ω

est

infini

-non

déen

ombra

ble

-puis

que

card

Ω=

card

IR.O

r,la

const

ruct

ion

d’u

nm

odèel

ein

finide

par

ties

de

pile

oufa

cees

tin

dis

-pen

sable

dèes

que

l’on

s’in

téere

sse

àades

ques

tion

sau

ssinat

ure

lles

que,

par

exem

ple

,la

23

24C

hap

itre

3.La

pro

bab

ilitée

com

me

mes

ure

loi

de

pre

mièe

reap

par

itio

nde

Pile

lors

d’u

ne

par

tie

indéefi

nie

de

Pile

ouFac

e.P

lus

géenéer

alem

ent,

l’éet

ude

de

pro

blèe

mes

asym

pto

tiques

(loi

des

gran

ds

nom

bre

s,th

éeorèe

me

Cen

tral

-Lim

ite,

..),

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