Quelques Modestes Remarques a Propos D'une Conséquence Inattendue D'un Résultat Surprenant de Monsieur Frank Olaf Wagner

Quelques Modestes Remarques a Propos D'une Conséquence Inattendue D'un Résultat Surprenantde Monsieur Frank Olaf WagnerAuthor(s): Bruno PoizatSource: The Journal of Symbolic Logic, Vol. 66, No. 4 (Dec., 2001), pp. 1637-1646Published by: Association for Symbolic LogicStable URL: http://www.jstor.org/stable/2694966 .

Accessed: 14/06/2014 11:32

Your use of the JSTOR archive indicates your acceptance of the Terms & Conditions of Use, available at .http://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jsp

.JSTOR is a not-for-profit service that helps scholars, researchers, and students discover, use, and build upon a wide range ofcontent in a trusted digital archive. We use information technology and tools to increase productivity and facilitate new formsof scholarship. For more information about JSTOR, please contact [email protected].

.

Association for Symbolic Logic is collaborating with JSTOR to digitize, preserve and extend access to TheJournal of Symbolic Logic.

http://www.jstor.org

This content downloaded from 185.44.78.129 on Sat, 14 Jun 2014 11:32:32 AMAll use subject to JSTOR Terms and Conditions

http://www.jstor.org/action/showPublisher?publisherCode=asl

http://www.jstor.org/stable/2694966?origin=JSTOR-pdf

http://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jsp


THE JOURNAL OF SYMBOLIC LOGIC

Volume 66, Number 4, Dec. 2001

QUELQUES MODESTES REMARQUES A PROPOS D'UNE CONSEQUENCE INATTENDUE D'UN RESULTAT SURPRENANT DE

MONSIEUR FRANK OLAF WAGNER

BRUNO POIZAT

Resume. Soit K un corps de rang de Morley fini; s'il est de caract6ristique p non nulle, tout sous-

groupe simple definissable de GL, (K) est definissablement isomorphe a un groupe alg6brique sur K; en

toute caract6ristique, tout sous-groupe d6finissable de GL2(K) est r6soluble par fini, ou bien contient

SL2(K).

Un corps de rang de Morley fini, c'est une structure formee d'un corps infini (et meme algebriquement clos), muni des operations de corps et d'operations et de relations supplementaires, tout cela etant de rang de Morley fini (et meme aleph-un- categorique, quand le langage est denombrable). Ces structures ont une propriety remarquable: la cloture algebrique au sens modele-theorique y coincide avec le modele premier; on en deduit que, si l'une d'entre elles possede un automorphisme definissable non trivial, ce qui ne peut se produire qu'en caracteristique p non nulle, sa restriction elementaire premiere a pour support la cloture algebrique (au sens algebrique!) du corps Fp = Z/pZ; tout ceci est demontre dans Wagner -[2001].

Nous etudions ici les groupes definissables, surtout ceux d'entre eux qui sont simples, dans un tel corps K. Pose en toute generalite, ce problem n'a pas grand sens, car tout groupe infini simple G de rang de Morley fini est coordinatise par une quelconque de ses parties fortement minimales M; si on suppose G omega-sature, il n'y a plus qu'a' amalgamer M -a un pur corps algebriquement clos, 'a la maniere de Hrushovski [1992], pour obtenir un corps de rang de Morley fini K dans sequel une copie de G est definissable! S

Bon, d'accord: jusqu'a' nouvel ordre la construction de cet amalgame demande que le degree de Morley soit definissable dans M, ce qui n'est pas vrai dans tous les ensembles fortement minimaux. Mais c'est quand meme une raison qui nous contraint, si nous voulons pouvoir dire quelque chose de specifique, 'a nous limiter au cas ou le groupe G est sous-groupe d'un groupe algebrique, c'est-at-dire d'un groupe definissable dans le pur langage du corps K. Si G est simple, il apparait alors comme un sous-groupe definissable de GL, (K) pour un certain entier n (et meme de son derive SLn(K), l'ensemble des matrices nxn dont le determinant vaut 1); en effet, le quotient d'un groupe algebrique connexe par son centre. est lineaire, comme l'affirme un theoreme de Maxwell Rosenlicht dont on trouve une

Received March 14, 2000; revised June 13, 2000.

Q 2001, Association for Symbolic Logic 0022-4812/01/6604-0008/$2.00

1637



1638 BRUNO POIZAT

demonstration meme dans un manuel de Theorie des modules, Poizat [1987], au demeurant excellent.

Pour tout dire, on ne sait pas de favon certaine au moment oui j'ecris ces lignes si GL, (K), K etant un corps de rang de Morley fini, peut contenir des sous-groupes definissables qui ne soient pas des fermes de Zariski, c'est-a'-dire qui ne soient pas je le repete definissables dans le pur langage des corps. Poizat [2001] donne des espoirs tries precis pour le success de la construction de tels groupes vectoriels en caracteristique p non nulle, et toriques en caracteristique nulle; il est evident qu'en caracteristique nulle les groupes vectoriels definissables sont clos Poizat [1987, p. 76]; quant aux groupes toriques en caracteristique p, le theoreme de Wagner cite ci-dessus laisse planer un tries fort doute 'a propos de leur existence: c'est pour cela queje fais parailtre cet article dans la precipitation, car mes theoremes courent le danger de parailtre bien simplets si jamais on montre que ces "mauvais corps" de caracteristique p n'existent pas.

Mon but est donc d'examiner une version edulcoree de la Conjecture de Cherlin et Zilber: si G est un sous-groupe simple definissable de GLn (K), oui K est un corps de rang de Morley fini, que peut-on dire de G ? En caracteristique p, 9a se present plutot bien.

THEORtME 1. Si K est un corps de rang de Morley fini et de caracteristique p non nulle, tout sous-groupe definissable simple G de GL, (K) est definissablement isomorphe a' un groupe algebrique sur K.

DtMONSTRATION. On suppose bien sfur G infini. D'apres le Theoreme des Inde- composables de Zilber, Poizat [1987, 2b, 2c], il existe un entier m tel que, etant donnee une quelconque classe de conjugaison C I { 1 } dans G, tout element de G s' ecrive comme produit de m elements de C: pour faire bref, nous dirons que G est m-simple. Quand on remplace K par une extension elementaire K', G est remplace par un groupe m-simple Go, si bien qu'on n'affecte pas l'hypothese en supposant K omega-sature; la conclusion non plus, car s'il existe dans K? des parametres permettant de definir un isomorphisme entre Go et un groupe algebrique sur K0, on trouvera dans la restriction elementaire K de ce dernier des parametres jouant le meme role pour G.

Si G etait d'exposant fini e, sa cloture de Zariski le serait aussi puisque la condition Xe = 1 definit un ferme; ce serait un groupe algebrique connexe sans tores, donc nilpotent, ce qui contredit la simplicity de G. Par consequent, vu la saturation, G contient un element g d'ordre infini; g se decompose en produit d'un element semi-simple (c'est-a'-dire diagonalisable) et d'un element unipotent qui commutent: c'est la un fait tries elementaire qu'un theoricien des modules bien ne montrera par simple transfert du cas oui le corps est localement fini; comme l'unipotent est d'ordre au plus pn, en remplavant g par sa puissance (pnl on obtient un element de G semi-simple d'ordre infini. Quitte 'a remplacer G par un de ses conjugues, on peut supposer que g se diagonalise dans la base canonique, qu'il fait partie du tore D des matrices diagonales, si bien que l'intersection T de D et de G est infinie.

D'apres le meme Theoreme de Zilber, applique aux conjugues de la composante connexe de T, G s'exprime comme le produit d'un nombre fini T1. TV de conjugues de T par des elements de G. Remarquons en passant que si T est un ferme de Zariski (ou meme seulement s'il contient un sous-groupe ferme infini),



CONSEQUENCE INATTENDUE D'UN RESULTAT SURPRENANT DE WAGNER 1639

on peut s'arreter la, puisque G est aussi ferme : c'est un sous-groupe algebrique de GLn(K).

Oublions tout de la structure supplementaire du corps K, sauf la relation n- aire definissant le sous-groupe T de (K* )n. Comme T est un groupe unique- ment p-divisible, l'application de Frobenius est un automorphisme de la structure (K, T), si bien que, d'apres le Theoreme de Wagner, cette structure a une restriction elementaire dont la base Ko est la cloture algebrique du corps Fp. Par consequent notre groupe G, qui est definissable avec parametres dans la structure (K, T), satis- fait tous les enonces vrais dans tous les groupes localement finis.

Ceux qui doutent encore invoqueront l'intercession de S. Thomas, qui a montre que les groupes simples de rang de Morley fini localement finis sont des groupes classiques dans Thomas [1983]; de plus, il m'a fait lui-meme remarquer la vanity de la conjecture de Poizat [1987, p. 118], puisque sa classification vaut aussi bien pour les groupes simples de rang de Morley fini qui sont modules de la theorie des groupes localement finis : en effet les groupes m-simples assez gros, localement finis, dont les longueurs de chaines de centralisateurs sont bornees par n2, se repartissent en un nombre fini de series; ils definissent un corps k dans leurs borels, et trouvent le moyen de dire, par un enonce: "Je suis isomorphe 'a ce groupe classique associe a k, ou bien 'a celui-ci, . . . ou bien 'a celui-la !". G est donc de cette sorte; comme il est de rang de Morley fini, k est algebriquement clos, sans sous-corps infinis definissables; cela exclut les groupes de Chevalley tordus, si bien qu'il ne reste que les groupes algebriques.

Ah oui! Il reste 'a voir ce que c'est que ce corps k. Pour cela on consider un borel B de G, et U un sous-groupe definissable B-minimal du centre de B'; on sait que l'action de B sur U fait de ce dernier un k-espace vectoriel de dimension un, B/CB (U) s'identifiant 'a k*, le seul corps definissable dans le pur groupe G (a' isomorphie definissable pres; Poizat [1987, p. 92, p. 150]).

Tout ceci etant plonge dans GLn (K), on consider la cloture de Zariski U de U, c'est-a'-dire le plus petit sous-groupe de GL (K) contenant U qui soit definissable dans le pur langage du corps K; elle est centralisee par B', donc aussi par sa cloture de Zariski B'; B/ B' etant commutatif, B / B' aussi, et comme le derive de B doit etre clos et contenir B', ce ne peut etre que B'; enfin, comme B normalise U. B aussi.

On remarque que U et U ont meme centralisateur dans GLn (K), et qu'un en- domorphisme de U. d6finissable dans le pur langage du corps K et nul sur U, est nul sur tout U; en consequence, l'action de B sur U en fait un k-espace vectoriel, de dimension finie 'a cause de la finitude du rang; comme l'action de B sur U est commutative, elle est aussi k-lineaire. On gardera 'a l'esprit que l'action de B sur U est definie dans la structure totale de K, tandis que l'action de B sur U est definie dans sa pure structure de corps.

Soit V un sous-groupe ferme de U qui soit B-minimal; V est normalise par B, c'est un sous k-espace vectoriel de U. et l'action (commutative) de B sur V en fait un K-espace vectoriel de dimension un, B/CB ( V) etant identified 'a K*, le seul corps definissable dans le pur corps K (a' isomorphie definissable pres).

L'anneau k des endomorphismes de V engendre par B est un sous-anneau de l'anneau K des endomorphismes de V engendres par B: nous obtenons ainsi un plongement definissable (dans le langage total de K) de k dans K; comme il s'agit



1640 BRUNO POIZAT

d'une structure de rang de Morley fini, ce plongement est surjectif. Par ailleurs, considered comme une structure dans le pur langage des groupes, G est k-interne, pour le pur corps k, c'est-a'-dire qu'il est definissablement isomorphe 'a un groupe algebrique sur k. Par suite de identification definissable de k et de K, G est, dans la structure totale, definissablement isomorphe 'a un groupe algebrique sur K. -1

Cette demonstration demande la classification des groupes simples finis, sur laquelle s'appuie celle de Monsieur Simon Thomas; il serait interessant d'en trouver une plus elementaire.

Quant 'a l'enonce du theoreme, il laisse subsister un mystere; comment est defini le plongement de G dans GLn (K) ? G est-il ferme, c'est-a'-dire definissable dans le pur langage du corps K ? La reponse 'a cette question se trouve dans le Theoreme 1.4.b de Macpherson and Pillay [1995], queje reproduis ici tout en presentant des excuses pour la brievete de ma demonstration.

THE'ORE'ME 2. Si K est un corps de rang de Morleyfini et de caracteristique p non nulle, tout sous-groupe definissable simple G de GLn (K) est definissable dans le langage du corps K augmented d'un nombrefini d'automorphismes de corps definissables.

DEMONSTRATION. Nous reprenons les notations de la fin de la demonstration du Theoreme 1. L'action lineaire de B sur le k-espace vectoriel U est celle d'un sous-groupe M de GLm (k). Comme B/Z(U) est divisible, il en est de meme de sa cloture B /Z ( U); M est donc un groupe abelien divisible, qui reste connexe dans la structure totale. D'apres le Theoreme de Lie-Kolchin-Malcev, Poizat [1987, p. 92], il admet une base triangularisante b = (b ., bm), puisqu'il en est ainsi de sa cloture de Zariski (au sens de k !). Si on eleve un element de GLm (k) 'a sa puissance (pm)o, on tue sa partie unipotente: lu dans cette base, M est donc un groupe diagonal.

Comme l'orbite de B sur le vecteur bi est k.bi, B ne peut pas faire moins; comme il ne fait pas plus, k.bi = B.bi, si bien que ce groupe est definissable dans le pur langage du corps K: c'est un sous-groupe ferme Vi, que l'action de B transformed en le groupe additif du corps K. L'action de B sur Vi definit un isomorphisme oi entre les corps k et K. Nous voyons donc que le groupe U est la somme directe des groupes fermes VI, . . ., Vm en tant que groupe algebrique, il est isomorphe au groupe additif de Km.

Maintenant que nous connaissons sa structure de groupe, voyons quelle est sa structure de k-espace vectoriel, laquelle est definie dans le langage total. La mul- tiplication de (xi, . . ., xm) par le scalaire A c k est donnee par A.(XI, . . . , X)

(aiI(A).x1, * * *, am(). xm); par identification de k et de K via aUI cela revient 'a en faire le K-espace vectoriel avec l'action scalaireu. (x . Xm) = (u j.x, T2 (u) .X2.

TM (U)- xm), OU U C~(A), -Z2 = 92aC1 , t -Cm = Cam*Ca

Par consequent le k-espace vectoriel U est definissable dans la structure (K, T2 .... Tm), ainsi que tous ses sous-espaces vectoriels, et U en particulier; d'apres le Theoreme des Indecomposables de Zil'ber, il en est de meme du groupe engendre par les U9, oui g parcourt G, qui est legal 'a G puisque ce dernier est simple. -1

En consequence, si le corps K n'a pas d'automorphismes definissables autres que ceux qui le sont dans le pur langage des corps, c'est-a'-dire le frobenius et ses puis- sances, G est necessairement un ferme de Zariski. Quand a est un automorphisme du corps K different de ces derniers -on ne sait pas s'il en existe tels que la structure (K, ca) soit de rang de Morley fini -on peut plonger GLn (K) semi-diagonalement




dans GLn (K) x GLn (K) par l'application qui 'a la matrice X associe (X, a.X). Si G est un sous-groupe simple ferme de GLn (K), cela donne un plongement de G dans GL2, (K) dont l'image n'est pas fermee.

On aura remarque que la seule propriety structurelle du groupe G utilisee dans le Theoreme 2, c'est que ses borels ont un centre fini. Comme par ailleurs, en caracteristique nulle, il est exclu qu'un corps de rang de Morley fini ait des automorphismes definissables non triviaux, on est tented d'adapter cet enonce 'a la caracteristique nulle, quitte 'a faire preuve d'un peu plus de doigte pour l'expulsion des idempotents. C'est tout-a-fait inutile 'a cause d'un fait brutal, le Theoreme 1.4.a de Macpherson and Pillay [1995], dont la demonstration est si directe que je suis bien incapable de la simplifier; je ne m'autorise 'a la reproduire ici que parce que j'y ajoute un petit complement.

THtORtME 3. Soient K un corps de rang de Morleyfini de caracteristique nulle, et G un sous-groupe simple definissable de GL, (K) qui ne soit pas un ferme de Zariski; alors G ne contient que des elements semi-simples, et tous ses sous-groupes resolubles sont commutatifsparfini.

DEMONSTRATION. En caracteristique nulle, le logarithme Log(I + X) = I( (-1 ))n / m + 1).X'+1 et l'exponentielle Exp( Y) = Y(1/m!). Y'" sont des bijections inverses l'une de l'autre, definissables dans le pur langage des corps, entre les matrices unipotentes et les matrices nilpotentes; elles echangent les sous-groupes commutatifs de GLn (K) qui sont forms de matrices unipotentes, et les sous-groupes additifs de Knxn qui sont forms de matrices nilpotentes. Par ailleurs, la finitude du rang force un sous-groupe additif definissable de KXn 'a en etre un sous K-espace vectoriel, qui est donc engendre par un nombre fini d'elements, et definissable dans le pur langage des corps. Dans notre contexte, un sous-groupe commutatif definissable de GL, (K), former d'elements unipotents, est necessairement un ferme de Zariski, isomorphe (geometriquement) au groupe additif K', pour un certain m.

Si donc notre groupe simple G contient un element unipotent u non trivial, la cloture de Zariski U du groupe engendre par u est un groupe vectoriel de dimension un, qui est contenue dans G; G est alors ferme. Nous supposons maintenant le contraire.

D'apres le Theoreme de Lie-Kolchin-Malcev, Poizat [1987, p. 93], un borel B de G est triangularisable, puisque sa cloture de Zariski l'est, si bien que son derive est unipotent: B est donc commutatif.

Il reste 'a expliquer pourquoi l'absence d'unipotents dans G force tout le monde a y etre semi-simple. Tout element g de GLn (K) s'ecrit de maniere unique g d.u, oui d et u commutent, d est diagonalisable (= semi-simple) et u unipotent; il nous suffit de montrer que, quel que soit le sous-groupe definissable G de GLn (K), si g est dans G, d et u y sont aussi.

Nous supposons que u 4 I, si bien que le plus petit sous-groupe definissable qui le contient est isomorphe au groupe additif de K; d est contenu dans un groupe diagonal, isomorphe a (K*)m pour un m < n, qui commute avec le precedent puisque u respecte les espaces propres de d (m est le nombre de valeurs propres distinctes de d). Autrement dit, g est contenu dans un groupe ferme isomorphe 'a (K*)m x K+ ; soit V l'intersection de G avec ce groupe, laquelle est definissable dans la structure totale. La projection de V sur K n'est pas triviale, puisqu'elle contient



1642 BRUNO POIZAT

celle de u: c'est donc K tout entier. S'il existe deux elements de V distincts ayant meme projection sur (K*)m, il y a un unipotent non-trivial dans V, si bien que V contient 1 x K+, et u.

Sinon V est le graphe d'un homorphisme surjectif d'un sous-groupe T de (K* )m dans K+. Montrons par induction sur m que c'est impossible, et plus precisement que tout homomorphisme p definissable d'un sous-groupe T definissable de (K*)m dans K+ est nul. Pour m = 1, le rang de Morley de p(T) est toujours strictement inferieur a celui de K, soit que T soit un sous-groupe propre de K*, lequel est connexe, soit que T = K*, auquel cas le noyau de (p est infini, puisqu'il doit contenir la torsion de K*; donc W(T) = 0. Pour m > 1, soit T1 le groupe former des elements de T dont la premiere coordonnee vaut 1; par hypothese d'induction,

W(TI) = 0, et p induit donc un homomorphisme de T/T1 dans K+, qui est aussi nul. A

Le resultat demontre dans les trois derniers paragraphes a pour consequence que tout automorphisme definissable de G dans GLm (K) envoie semi-simple sur semi- simple et unipotent sur unipotent; et aussi que tout sous-groupe abelien definissable de GL, (K) se decompose comme somme du sous-groupe de ses elements semi- simples et du sous groupe de ses elements unipotents. En caracteristique nulle, ces proprietes bien connues en Geometrie algebrique s'etendent donc au rang de Morley fini, mais pas au delay, puisque dans un corps diff6rentiellement clos de caracteristique nulle, qui est de rang de Morley omega, la derivee logarithmique etablit un homomorphisme surjectif de K* vers K+. En caracteristique p, elles restent vraies, et memes evidentes, pour un corps omega-stable, puisque tout groupe lineaire commutatif definissable se decompose alors en somme d'un p-groupe et d'un groupe p-divisible.

Dans ce Theoreme 3, nous sommes parvenus par des moyens assez diff6rents 'a une conclusion semblable 'a celle du Theoreme 1: le groupe G est definissable dans une structure (K, T), oA T est un sous-groupe du groupe diagonal (K* )n, conjugue d'un borel de G.

J'aimerais bien pouvoir eliminer ces mauvais groupes; malheureusement, je n'y arrive que dans le cas n = 2, oA la situation est totalement maitrisable, quelle que soit la caracteristique, et de favon elementaire. L'inspiration de ce dernier theoreme vient des travaux de Monsieur Tuna Altinel et de ses eleves, oA diverses caracterisations du groupe SL2(K) jouent un role considerable; il m'a appris cette verite profonde: "SL2'nin boreller ivinde, biiyiuk yer yoktur."

TH1ORtME 4. Si K est un corps de rang de Morleyfini, tout sous-groupe definissable de GL2(K) est resolubleparfini, ou bien contient SL2(K).

DE'MONSTRATION. Pour l'instant, nous considerons un groupe G infini, qui est de rang de Morley fini dans son langage propre, et connexe, et qui est plonge dans GL2 (K), sans supposer de proprietes modele-theoriques particulieres 'a ce plongement.

Nous observons que tout element g de G y a un centralisateur infini; sinon, g est d'exposant fini e, et sa classe de conjugaison dans G est generique: ce groupe est largement d'exposant e, c'est-a'-dire que la formule xe :& 1 n'y est pas generique; comme nous n' avons rien suppose sur la structure (GL2(K), G), nous ne sommes pas certains que la cloture de Zariski G de G soit connexe, si bien que nous devons




recourir 'a la theorie wagnerienne des types generiques pour les sous-groupes non- definissables, Wagner [1990], pour pouvoir affirmer que cette equation est aussi largement satisfaite dans G; comme une equation definit un ferme de Zariski, elle y est satisfaite partout, G est d'exposant e, il est nilpotent par fini. G est donc nilpotent, avec un centre infini, ce qui est une contradiction.

Comme G' est un groupe definissable (dans G !) connexe contenu dans SL2(K), nous sommes ramenes au cas oui G est inclus dans SL2 (K), ce que nous supposons dorenavant.

Si G a un sous groupe resoluble normal infini R, il est contenu dans le normalisateur de la cloture de Zariski de R, qui est un sous-groupe Zariski-clos et propre de SL2 (K); G est donc resoluble.

Si G n'est pas resoluble et contient un sous-groupe infini Zariski-clos F, G SL2(K); en effet, d'apres le Theoreme de Zilber applique dans le pur langage des corps, le groupe engendre par les (FO)g, g e G, est ferme et connexe; comme il nest pas resoluble, c'est SL2(K).

Dans SL2(K) on distingue deux sortes d'elements: - les unipotents ou opposes d'unipotents, qui ont une valeur propre double,

valant 1 ou -1; (les elements centraux I et -I sont dans cette categorie); les diagonalisables ayant deux valeurs propres distinctes, ae et ac.

Si G n'est compose que d'elements de la premiere espece, sa cloture de Zariski aussi; elle est nilpotente par finie, et G est nilpotent.

On suppose maintenant G non resoluble et distinct de SL2(K). Il contient un element semi-simple non trivial; quitte 'a conjuguer G, on peut supposer qu'il se diagonalise dans la base canonique; son centralisateur C dans G est former des matrices 2x2 qui respectent ses deux droites propres elles s'ecrivent (a 0; O a - 1), ou a parcourt un sous-groupe T de K* (notre notation lineaire des

matrices 2x2 sous la forme (premiere ligne; deuxieme ligne) obeit a un souci ecologique d'economie de papier). Un element normalisant C doit fixer les deux droites propres ou bien les changer, si bien que C est d'indice un ou deux dans son normalisateur dans G; comme deux conjugues de C distincts ont pour intersection le centre de G, qui est compose de un ou de deux elements, la formule d'addition du rang de Morley au sens de G montre que la reunion des C9, g c G, est generique dans G.

On voit donc que si G n'a pas d'unipotents (differents de I et -I), il est muni d'une structure de mauvais groupe. Il est dans ce cas impossible que deux elements de G aient un seul vecteur propre en commun: sinon, leur commutateur serait unipotent. Si la caracteristique nest pas 2, on suit alors la strategic de Ali Effendi (Cumuriyetli turkce: Bay Ali NESIN) pour bannir les involutions des mauvais groupes simples, ce qui assure que C est autonormalisant dans G (voir Poizat [1987, p. 105]); ce resultat s'appuie sur un theoreme de Bachmann j'aurais aimed, pour affronter la situation present, trouver quelque chose de plus simple (Bachmann sera difficilement evitable quand n > 3, car il faudra bien tenir compte du sous-groupe S03 (R) de GL3 (C)).

Si G a un unipotent non central u, on se ramene par conjugaison a un element de la forme u = (1 1; 0 1); la partie unipotente de son centralisateur est de la forme U = (1 /B; 0 1), ou /3 parcourt un sous-groupe additif de K; si -I E G, le centralisateur de u contient egalement - U. Comme dans SL2 (K) les centralisateurs



1644 BRUNO POIZAT

d'unipotents sont disjoints, il n'est pas possible que U soit d'indice fini dans son normalisateur dans G, car la connexite de G interdit d'y trouver une deuxieme partie definissable generique, disjointed de celle des semi-simples. Il y a donc dans le normalisateur de U un morceau infini de tore, et, comme il y a tries peu de place dans les borels de SL2(K), on montre que c'est un sous-groupe du groupe multiplicatif d'un sous-corps algebriquement clos k de K, et que U est un espace vectoriel de dimension finie sur k. Ce dernier est un sous-corps propre de K, car sinon U serait ferme.

Nous assumons maintenant l'hypothese du theoreme, a savoir que le corps K, muni en outre de la relation quaternaire definissant G, est une structure de rang de Morley fini. Cette hypothese elimine immediatement le deuxieme cas, car la finitude du rang empeche le corps K d'avoir un sous-corps propre infini definissable.

Reste 'a eliminer le mauvais groupe, que nous pouvons nous permettre de supposer de rang de Morley minimal. Nous considerons donc le sous-groupe definissable T de K*, le sous-groupe diagonal C associe, et un element g de G qui ne normalise pas C ; par hypothese de minimalite (et Theoreme de Zilber applique 'a la composante connexe de C), G est engendre par C et C9.

Si on est en caracteristique p, on raisonne comme dans la demonstration du Theoreme 1, pour se ramener au cas localement fini: cette fois la contradiction est obtenue de facon tout-a'-fait elementaire, puisque la structure des centralisateurs de G lui interdit d'etre localement fini (Poizat [1987, p. 106]: il n'y a pas de groupe fini recouvert par des sous-groupes propres, disjoints et autonormalisants; c'est un tout petit calcul, pas besoin de Feit et Thomson pour ca).

Pour detruire les mauvais groupes en caracteristique nulle, nous allons etudier les traces de nos matrices. On consider la surjection -r de K* dans K qui a x associe

(x) -x + x - 1; c'est bien une surjection car l'equation x2 _ a.x + 1 = 0 a toujours deux raciness, confondues si a = 2 ou a = -2; T(T) = 0 est l'ensemble des traces ae + ae - 1 des elements de C; c'est aussi l'ensemble des traces des elements de G, qui ont tous un conjugue dans C; comme les fibres de - ont un ou deux elements, T et 0 ont meme rang de Morley.

Nous notons (a b; c d), ou ad - bc = 1, la matrice de g, dont l'inverse est (d -b; -c a); je laisse au lecteur le soin de calculer le conjugue de (a 0; 0 a - 1) par cette matrice, et de se rendre compte qu'il faut que ad :& 0 et bc + 0, soit encore abcd & 0, .si on ne veut pas mettre d'unipotents dans le groupe; il multiplier le resultat par (,B 0; 0 /B - 1), et constatera que la trace de ce produit vaut ad (ac4 + acIIfl1-) - bc(ca'l + a-1 fl) - A.- (c43) + (1 - A).( ,Bafl ou A = ad # 0, A- 1 = bc #8 0.

Prenons ae et ,B generiques dans T (disons: generiques principaux), et independ- ants au-dessus de A; ae est algebrique sur {c4af, cak' }, dont le produit vaut ac2

autrement dit (ar, /B) et (cafl, a4l1), etant co-algebriques, ont meme rang de Morley, si bien que a4? et afl -f sont generiques et independents dans T, et que leurs images par -r sont independantes et de rang maximal dans 0.

Changeons de notations: nous avons x et y de rang maximal dans 0 et independ- ants (au-dessus de A), tels que z = A.x + (1 - A).y soit aussi dans 0; comme z et y ont meme rang au-dessus de x, rang legal 'a celui de 0, il est necessaire que z et x soient independents, ainsi d'ailleurs, par symetrie, que z et y. Nous voyons




donc que (A - l).y translate le type de z sur celui de A.x; les elements qui ont cette propriety forment un ensemble definissable 'a partir des parametres (imaginaires) intervenant dans la definition de ces types, qui sont algebriques sur A au sens de la structure (K, T); cet ensemble est par ailleurs une cossette modulo le stabilisateur additif du type de z, dont nous voyons qu'il n'est pas reduit 'a 0. Mais, comme nous sommes en caracteristique nulle, et qu'il n'y a pas de sous-groupe additif propre definissable, le type de z est generique dans K, si bien que 0 et K, ainsi que T et K, ont meme rang de Morley. Conclusion: T = K; si vous souffrez d'encephalite spongiforme constructiviste, il ne vous reste qu'a eliminer la coupure dans cette reduction 'a l'absurde. A

REMARQUE 1. Dans la demonstration du Theoreme 4, j'ai isole le plus possible les proprietes du groupe G, simple et de rang de Morley fini, qu'on obtenait du seul fait qu'il etait plonge dans GL2 (K). On constate qu'un environnement lineaire elimine certaines des pathologies sauvages qui s'opposent 'a la Conjecture de Cherlin et Zilber, mais que je n'ai pas su faire apparaitre d'obstacle convaincant 'a l'existence d'un mauvais sous-groupe de SL2(K).

REMARQUE 2. Si on suppose que la loi de groupe de GLn (K), avec un predicat pour son sous-groupe G simple, constitue une structure de rang de Morley fini, cela revient au point-de-vue adopted ici. En effet, G est contenu dans SL, (K); ce dernier, etant le derive de GLn (K), y est definissable dans le pur langage des groupes. Consider dans ce langage, SL, (K) permet de definir une copie L du corps K, et il est L-interne, c'est-a'-dire definissablement isomorphe 'a SLn (L). Cette isomorphie induit un transport de G dans GL, (L), definissant une relation n2-aire RG sur L: la structure (L, RG) est de rang de Morley fini.

REMARQUE 3. Du Theoreme 1 on deduit facilement, en caracteristique p, que si G est un sous-groupe definissable d'un groupe algebrique sur K, ses facteurs simples sont algebriques (il faut savoir que, dans une situation de rang de Morley fini, un groupe algebrique simple n'a pas de groupe infini definissable d'automorphismes exterieurs); en caracteristique nulle, c'est une consequence directe du Theoreme 3, sauf si on rencontre un mauvais groupe!

REMARQUE 4. Les arguments developpes dans les Theoremes I et 3-l'influence du frobenius en caracteristique p, l'inexistence de groupes additifs en caracteristique nulle - ont un cote fragile, tries dependent de la finitude du rang. I1 en faudrait de plus robustes pour s'en affranchir, et traiter des corps superstables, ou des R-corps, ou plus generalement pour caracteriser par des proprietes modele-theoriques les groupes qu'on peut raisonnablement appeler "groupes simples classiques".

Je prends le risque d'une prophetic en conclusion de cet article: les quelques resultats que j'ai montres ici assombrissent l'espoir exprime dans Cherlin [1999], et invitent au pessimism en ce qui concerne la possibility de construire des contre- exemples 'a la Conjecture de Cherlin et Zilber par amalgame de Hrushovski; ce nest pas en agglutinant de cette facon des corps enrichis qu'on pourra affecter pro- fondement leur comportement algebrique, 'a moins que la limitation du Theoreme 4 au cas n = 2 ait une cause plus serieuse que la faiblesse de mes competences en Geometrie, qui ne vont pas bien au-delat de la faculty d'effectuer le produit de quatre



1646 BRUNO POIZAT

matrices 2 x 2: en ce qui me concerne, je suis persuade que mes collegues plus savants sauront le generaliser.

References

GREGORY CHERLIN [1999], Revue de A new uncountably categorical group, d'Andreas Baudisch, this

JOURNAL, vol. 64, pp. 905-906.

EHUD HRUSHOVSKI [1992], Strongly minimalexpansions of algebraically closedfields, Israel Journal of Mathematics, vol. 79, pp. 129-151.

DUGALD MACPHERSON AND ANAND PILLAY [1995], Primitive permutation groups of finite Morley

rank, Proceedings of the London Mathematical Society, vol. 70, pp. 481-504.

BRUNO POIZAT [1987], Groupes stables, Nur al-Mantiq wal-Ma'rifah, Villeurbanne.

BRUNO PoIZAT [2001], L'egalit au cube, this JOURNAL, pp. 1647-1676, (this issue).

SIMON THOMAS [1983], The classification of simple periodic linear groups, Archiv der Mathematik, vol. 41, pp. 103-116.

FRANK 0. WAGNER [1990], Subgroups of stable groups, this JOURNAL, vol. 55, pp. 349-446.

FRANK 0. WAGNER [2001], Fields offinite Morley rank, this JOURNAL, vol. 66, pp. 703-706.

INSTITUT GIRARD DESARGUES MATHEMATIQUES, BATIMENT 101

UNIVERSITE CLAUDE BERNARD (LYON-1) 43, BOULEVARD DU 11 NOVEMBRE 1918

69622 VILLEURBANNE CEDEX, FRANCE

E-mail: poizatgdesargues.univ-lyonl.fr



Documents

Quelques Modestes Remarques a Propos D'une Conséquence Inattendue D'un Résultat Surprenant de Monsieur Frank Olaf Wagner