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Mec. Ind. (2001) 2, 19–22 2001 Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservésS1296-2139(00)01080-0/FLA
Quelques problemes lies a l’outil explicite : mise enevidence par l’experience
Francis Collombet *Équipe «Procédés et propriétés mécaniques des structures composites», Laboratoire de Génie Mécanique de Toulouse, IUT Paul Sabatier,
dépt. GMP, 133 Avenue de Rangueil, 31077 Toulouse cedex 4, France
(Reçu le 18 novembre 2000 ; accepté le 20 décembre 2000)
Résumé—Différentes formulations de la méthode des multiplicateurs de Lagrange sont discutées dans le cas de la modélisationnumérique du comportement à l’impact de structures, au travers d’un exemple simple : l’impact de deux barreaux élastiques et enréférence à la solution théorique attendue. Une application de cette technique de contact est proposée dans le cas de structuresstratifiées impactées pour modéliser la sollicitation d’impact et le délaminage entre plis d’orientations différentes. 2001 Éditionsscientifiques et médicales Elsevier SAS
1. INTRODUCTION
L’utilisation des codes dynamiques explicites aux élé-ments finis devient de plus en plus répandue pour la mo-délisation de la réponse de structures soumises à des im-pacts localisés. La modélisation du contact ou du contactimpact entre sous-systèmes est une étape importante pourdévelopper les calculs représentatifs des situations ex-périmentales étudiées. L’utilisation de la méthode desmultiplicateurs de Lagrange est proposée au travers dedifférentes formulations. Après un bref rappel de l’al-gorithme de calcul explicite, les différentes représenta-tions du contact par la méthode des multiplicateurs deLagrange sont discutées dans le cas de la modélisationnumérique du comportement à l’impact de structures, autravers d’un exemple simple : l’impact de deux barreauxélastiques et en référence à la solution théorique atten-due. Une application de cette technique de contact estproposée dans le cas de structures stratifiées impactées.A l’échelle globale, elle permet la représentation numé-rique de la sollicitation d’impact, à l’aide du code élé-ments finis dynamique explicite Plexus [1]. A l’échellelocale, elle modélise la perte de contact au sein du mo-dèle éléments finis, consécutive au délaminage entre plis
d’orientations différentes. L’endommagement volumiquedu composite dans chaque élément fini, situé de part etd’autre de l’interface délaminée, contrôle les conditionsde « déboutonnage » numérique du modèle en fonction decritères issus des observations expérimentales.
2. LE CODE ÉLÉMENTS FINISDYNAMIQUE EXPLICITE
Le code élément fini dynamique explicite PLEXUSutilise un schéma d’intégration numérique de Newmarkde type différence centrée. La condition de stabilitéassociée relie le pas de temps�t à la plus petitedimension du maillage et dépend du type d’élémentfini utilisé. L’algorithme fait jouer un rôle particulier audemi pas de temps et la dernière étape du calcul est ladétermination des accélérations puis des vitesses au pasde temps courant :
un+1 = [M]−1(Fn+1ext − Fn+1
int
)et
un+1 = un+1/2 + �t
2un+1
(1)
où un+1, un+1, un+1 sont les déplacements, vitesses etaccélérations,[M] la matrice masse concentrée,Fn+1
int le
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vecteur des forces internes etFn+1ext le vecteur des forces
externes au pas de tempsn + 1.
L’inversion de la matrice masse diagonale provoqueun découplage des équations et donc la transmissionnumérique de l’effet d’une force appliquée d’un élémentà l’autre à chaque pas de temps. De facto les conditionsde contact ne concerneront que les nœuds en contact.
3. CONTACT–IMPACT ETMULTIPLICATEURS DE LAGRANGE
Dans les problèmes d’impact étudiés, les frottementsentre l’impacteur et la cible ne sont pas pris en consi-dération. L’utilisation de la technique des multiplicateursde Lagrange nécessite la représentation de contacts no-daux et PLEXUS utilise à cette fin des techniques nu-mériques de type « élément maître–nœud esclave » [2].La représentation des conditions de contact, dans lecadre discret « éléments finis », conduit à trois condi-tions possibles sur les déplacements et les vitesses desnœuds en contact. Il s’agit, soit d’une égalité des dé-placements [3], d’une égalité des vitesses à la fin dupas de temps ou d’une égalité des vitesses au demipas de temps [4]. Il est connu [5] que le problème del’équilibre d’un corps élastique avec contact unilatéralsans frottement peut s’écrire sous forme d’un problèmede minimisation sous contraintes, la variable étant lechamp de déplacementsu. Ceci est équivalent à la ré-solution d’un système linéaire sous contraintes. Il en estde même du problème discrétisé. D’une manière simi-laire, à chaque pas de temps, le problème dynamiqued’un milieu discrétisé et linéarisé avec contact unilaté-ral sans frottement, peut aussi se ramener à la résolu-tion d’un système linéaire sous contraintes, la variableétant le champ de déplacementsun, ou plutôt l’accrois-sement de déplacements, c’est à dire une approximationdu champ des vitesses. En effet, l’équation de la dyna-mique :
[M]un = Fnext − Fn
int + Fnliais (2)
lorsque les termesFnext et Fn
int, sont linéarisés et lors-qu’une méthode de différence finie, employée pour ap-proximer un et un, conduit à une relation linéaire entreles déplacementsun et les forces de liaisonFn
liais. Si lesnœudsi et j sont en contact, la condition de liaison estxi = xj ou xk est, soit le déplacement ou la vitesse à lafin du pas de temps, soit la vitesse au demi-pas de temps.
Figure 1. Forces de contact de l’impact élastique de deuxbarreaux longs en fonction du temps. Comparaison entre lemodèle analytique et les calculs EF.
De plus le multiplicateur doit remplir la condition (3) :
Fnliaisi
= −Fnliaisj
= λnij
{> 0 si contact= 0 si pas de contact (3)
etλnij le multiplicateur de Lagrange associé à la condition
de contact entre les nœudsi et j (la détermination deλnij
assure la vérification de la contraintexi = xj ).
La formulation des multiplicateurs de Lagrange àpartir de l’égalité des déplacements impose un traitementnumérique sur deux pas de temps [6]. Elle n’est pasretenue compte tenu du coût du calcul en explicite. Lesrésultats des deux autres formulations sont analysés àl’aide de l’exemple unidimensionnel de l’impact de deuxbarreaux élastiques de 1 m de long et 2 cm de diamètre(lors de l’impact le premier a une vitesse de 5 m·s−1
et le second est immobile). Les barres sont représentéeschacune à l’aide de 200 élémentsC0 à deux nœuds, deuxdegrés de liberté en translation et un point de Gauss.
La figure 1 montre que la formulation basée sur l’éga-lité des vitesses à la fin du pas de temps provoque unesérie de « contact–perte de contact ». L’amplitude despics est supérieure à la valeur théorique(1/2)ρcui
n+1/2.Dans [6], on montre que la séquence « contact–perte decontact » dépend de la finesse du maillage. La formula-tion basée sur l’égalité des vitesses au demi pas de tempsest, par contre, bien en accord avec le calcul analytique.Ces conclusions rejoignent celles présentées et dévelop-pées dans [7]. De plus, en référence aux travaux de [8],on met en évidence que ces conditions sont particulièresau traitement d’un contact–impact entre deux nœuds, à ladifférence des conditions en vitesse entre sous domainesd’un même modèle numérique.
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Figure 2. Maillage des plaques composites à l’aide de 924éléments hexaédriques.
4. MODÉLISATION DU DÉLAMINAGE :CAS DE COMPOSITES STRATIFIÉSIMPACTÉS
Les plaques composites stratifiées fibres de verre–matrice époxyde sont circulaires et fixées à leur périphé-rie (diamètre de la portée 160 mm, épaisseur 1,8 mm,10 plis pour une séquence d’empilement du type[0n/90m/0n] où 2n + m = 10 avecn = 2, 3 et 4). L’im-pact est appliqué au centre de la plaque par un projectilede 2,3 kg (diamètre 25 mm) à une vitesse de 4,85 m·s−1.Sur la figure 2, la plaque étudiée est représentée par924 éléments hexaédriques à 4 et 8 points d’intégration(dans la zone de l’impact) et l’impacteur est un point ma-tériel.
Les différentes couches sont assemblées numérique-ment via des nœuds doubles par des forces de liaisonF nœud double. En première approximation, un critère encontrainte de cisaillementτ critique
α est proposé dans la di-rection de délaminageα (direction des fibres du pli du
dessous par rapport à l’impact) :τnœud doubleα > τ
critiqueα =
6 MPa. Les conditions du « déboutonnage » numériquetiennent compte des observations expérimentales [9] etnotamment de l’effet précurseur de l’endommagementpar fissuration des couches de part et d’autre de l’inter-face (cf.figure 3). La séparation d’un nœud double estnumériquement déclarée si :
• pour le pli du dessous, le matériau composite contenudans tous les éléments finis adjacents est fissuré,
• pour le pli du dessus, le matériau composite contenudans un élément fini adjacent est fissuré ou un nœuddouble adjacent est déjà séparé.
De plus comme l’illustre lafigure 4, la surface déla-minée ne dépend pas de la finesse du maillage [6].
5. CONCLUSIONS
La mécanique du contact joue un rôle majeur dansla représentation numérique d’un chargement dynamique(impact) et de ses effets, notamment signalés par la ré-férence expérimentale [10]. De plus, dans le cadre d’unereprésentation discrète des conditions d’adhérence entresous-systèmes d’une même structure, la mécanique ducontact peut être un outil de représentation du délami-nage. Cette situation peut d’autant s’imposer que l’utili-sation d’éléments finis d’interface n’est pas très appro-priée dans le cas d’un calcul numérique de type explicite.
Remerciements
Merci à Michel Jean (LMA et ESMM, Technopole deChâteau-Gombert, 13451 Marseille cedex 20) pour sesprécieux conseils.
Figure 3. Vue de la zone centrale de la plaque d’un [02/906/02], délaminage de l’interface la plus éloignée du point d’impact.
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Figure 4. Influence de la finesse du maillage sur le délaminage de l’interface la plus éloignée du point d’impact d’un [02/906/02]respectivement, pour 460, 924 et 1248 éléments hexaédriques.
Ce travail a été réalisé dans le cadre de la thèse de Xa-vier Lalbin, lorsque l’auteur était membre du LAMEFIP(Esplanade des Arts et Métiers, 33405 Talence).
RÉFÉRENCES
[1] Verpaux P., Formulation théorique et organisation générale dePLEXUS, Rapport CEA/DEMT/78/60, 1978.
[2] Galon R., Bung H., Lepareux M., Algorithme pourle traitement des surfaces de glissement (3D), RapportCEA/DEMT/90/092, 1990.
[3] Zhong Z., Nilsson L., Lagrange multiplier approach forevaluation of friction in explicit finite element analysis, Int.J. Numer. Methods Engrg. 10 (1994) 249–255.
[4] Bonini J., Bung H., Modélisation des problèmes de contact–impact avec frottement en explicite par la méthode desmultiplicateurs de Lagrange, in : 3ème Col. Nat. en Calculdes Structures, Giens, Pres. Acad. de l’Ouest, Vol. I, 1997,pp. 411–416.
[5] Duvaut G., Lions J.L., Les inéquations en mécanique et enphysique, Dunod, Paris, 1972.
[6] Lalbin X., Outils numériques pour l’étude et la représentationde la réponse au choc de structures impactées, Thèse dedocteur, ENSAM, CER de Bordeaux, 1998.
[7] Vola D., Pratt E., Jean M., Raous M., Consistent time discre-tization for a dynamical frictional contact problem and com-plementarity techniques, La Revue Européenne des ÉlémentsFinis (1998).
[8] Combescure A., Gravouil A., Méthode multi-échelles entemps avec décomposition de domaines pour la dynamiquenon-linéaire des structures, in : 4ème Col. Nat. en Calcul desStructures, Giens, Teknea, Toulouse, Vol. I, 1999, pp. 185–190.
[9] Collombet F., Lalbin X., Lataillade J.L., Impact behaviorof laminated composites : physical basis for finite elementanalysis, Composites Science and Technology 58 (1998) 463–478.
[10] Martin-Llorca V., Identification des mécanismes d’endomma-gement dans des plaques composites soumises à des impactslocalisés de faible ou moyenne énergie, Thèse de docteur,ENSAM, CER de Bordeaux, 1995.
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