QUELQUES PROBL]~MES SUR LES OBSTACLES PLACI~S DANS LE RAYONNEMENT ~LECTROMAGNF.TIQUE

par Maurice BOUIX D o e t e u r 6s Sciences *

SOMMAIRE. - - Apr~s avoir rappel$ quelques travaux de base sur la di/]ractlon des ondes dlectromagngtlques par les spheres et indiqu$ une nouvelle m~thode pour 6tudier ces probldmes, on gtablit ou on rappelle d'abord quelques ~.ormules math~matiques relatives d u n syst~me de coordonndes a t t a c h e s d u n e sur[ace et que lques [ormu le s d 'analyse ve~tor~elle dont on aura besoin. On dtudie ensuite d~ns une deuxidme partie les relations qui existent entre les c h a m p s inc ident , ~'dflgchi et ~'d[~aetd it la suvlace de sdparat~on de deu~ diglec- t ~ q u e s , et on donne les /ormules relati~es h une onde plane polaris~e elli~tique Iorsque la sur/ace de sJparation est un plan in~fini. On traite ensuite duns une troisiJme partiele cas de la Tdllex~an d'une onde plane pola~qsde el l ipt tque sur un plan parfaitement rgflgehissant et les remarques [aires permettent d'dtablir les relations qui existent sur une surIace queleonque entre les champs incidents et rgflgchis. La quatridme pattie traite de la dli~raetlan de let sphgre placge [fans ttne onde plane et ~tablit des ]ormules th~oriquement exactes pour le zain de rera~onnement et la sur[are de di/]usion totale. La cinquidme partie traite le m~me probl~me pour une sphgre di~leetr fque, sans aller aussi loin ~t cause de la complexitg des calculs.

I N T B O D U C T I O N

1. Histcrique. - - L'6tude de la diffraction d'une onde 61ectromagn6tique plane par une sphere a 6t6 entreprise d'une fa~on syst6matique pour la pre- miere fois, semble-t-il, par Lord RAYLEmH. L'6tude a d'abord 6t6 faite comme si l'onde incidente 6tait une onde transversale; dans ses deux premiers articles ~ On the light from the sky, its polarization and colour ~ [1] et ~ On the scattering of the light by small particles ~ [2], et dans son ouvrage Theory of Sound [3, w167 334 et 335] RAYLEIGH 6tudie la per- turbation ,~ apport6e ~ une onde sonore par une sphere soit parfaitement rigide, soit constitu6e par un gaz de compressibilit6 diff6rente de celle du milieu environnant. Ensuite son attention a 6t6 attir6e par la th6orie 61ectromagn6tique de MAXWELL et, en particulier, par une lettre de MAXWELL en date du 28 aofit t873 qui lui sugg6re quelques id6es pour essayer de d6terminer les dimensions des mol6cules atmosph6riques par l'6tude de la diffraction de la lumi6re. C'est ~ partir des 6quations donn6es par MAXWELL que I:~AYLEIGI-I fair son article r On the ~lectromagnetie theory of light ~ [4]. C'est lh qu'il 6nonce sa c61~bre loi: dans la diffraction de la lumi~re blanche par l'atmosph~re, l'intensit6 d'une composante earle comme l'inverse de la huiti~me puissance de la longueur d'onde ; ainsi la lumi~re qui vient du ciel est tr~s riche en bleu. Ce r6sultat est obtenu en supposant que la lumi~re blanche est diffract6e par les mol6cules atmosph6riques sup- pos6es sph6riques et de rayon tr~s petit par rapport

la longueur d'onde de la lumi~re. La diffraction d'une onde plane 61ectromagn6tique par une sphere a continu6 par la suite ~ etre l'objet de nombreux travaux soit de RAYLEmH, soit d'autres chercheurs dont nous citons certains en r6f6rence [5], [6], [7] ;

on a 6tudi6 ce qui se passe, d'une part si le milieu travers6 par l'onde contient plusieurs spheres par unit6 de volume, et, d'autre part, si le diam~tre de la sphere n'est pas n6gligeable vis-h-vis de la longueur d'onde.

Dans ses premiers travaux, Lord RAYLEIGH d6- composait ronde plane incidente en une somme d'ondes sph6riques partielles ; il 6crivait les condi- tions aux limites sur la sphere di61ectrique ou con- ductrice en composant chaque onde partielle avec ses ondes (~ r6fl6chie ~) et 6ventuellement c~ r6fract6e )~. L'onde rerayonn6e s'exprime alors comme la somme d'une infinit6 d'ondes sph6riques d6pendant d'un indice n. Comme les coefficients dont sont affect6es ces ondes partielles tendent rapidement vers z6ro lorsque le diam~tre de la sphere est petit par rapport

la longueur d'onde, il a sembl6 qu'on pouvait ne conserver que les premiers termes. Cette far de proc6der laisse h d6sirer car chacun des termes pr6- sente des z6ros darts certaines directions, et la somme des ondes suivantes vient plus ou moins combler ces trous. Ce calcul a n6anmoins permis d'6noncer la c61~bre loi du bleu du ciel.

Lorsque le diam~tre de la sphere n'a plus 6t6 petit par rapport h la longueur d'onde, RAYLEIGH a fait un calcul direct, mais en supposant que la constante di61ectrique de la sphere est tr~s voisine de celle du milieu ambiant, et il a abouti d6jh h des formules qui ressemblent h celles que nous 6tablirons plus loin dans le cas g6n6rah

C'est h cette 6poque que G. MIE en t908 [8] et DELBYE en 1909 [9] oat repris le probl~me pour 6tu- diet l'absorption des rayonnements 61ectromagn6- tique par des mol6cules sph6riques. Ils oat repris la d6composition de l'onde plane en ondes partielles sph6riques. H. BLUMER [10] a somm6, en 1925 et 1926, des s6ries obtenues par G. MxE et donn6 un grand nombre de diagrammes de rerayonne-

* A u C. N. E. T., l ng6n ieu r en Chef sur c o n t r a t , DxvtsioN [ ] Pour tout r envo i entre crochets se r e p o r t e r in fine h la DI~TECTION ELE CTROliIAGN IIT/QUE. b ib l iographie .

243 - -

ment F. MOGLICtt [J_lJ a repris des calculs ana- logues pour des ellipsoides.

Nous allons exposer ici un calcul rigaureux valable darts le cas g6n6ral quel que soit le rapport du diam~tre de la sphere h la longueur d'onde et quelles que soient les valeurs des constantes di61ec- triques et des perm6abilit6s magn6tiques de l'espace et de la sphgre.

2. Idfies gfinfirales. - - Nous avons r6uni dans une suite d'articles [12] quelques r6sultats d6jh connus relatifs au rayonnement 61ectromagn6tique ; en par- ticulier les formules de KOTTLETR [13], qui expriment rigoureusement, h partir des 6quations de MAXWELL, le champ 61ectromagn6tiqne d'un syst~me de sources en fonction de la distribution des champs sur une surface ferm6e S entourant ces sources, et leur cas limite constitu6 par les formules de GOUDET [14] qui expriment le champ ~lectromagn6tique h l'infini. Ces r6sultats pourront s'appliquer h l'6tude de la diffraction d'une onde de l'espace par un obstacle fini si on peut d6terminer sur une surface S entou- rant cet obstacle une relation entre les vMeurs du champ incident en l'absence de robstacle et celles du champ de perturbation cr66 par cet obstacle; nous appellerons ce champ de perturbation le champ rd/7dchi par robstacle. Les obstacles les plus simples seront constitu6s soit par des solides di61ectriques de constante di61ectrique diff6rente de celle du milieu ambiant ind6fini, soit par des solides parfai- tement conducteurs. Dans le cas du di61ectrique les champs int6rieurs seront appel6s rd/ractds. Dans l'un ou l'autre cas, il sera le plus souvent avantageux de prendre comme surface S une surface infiniment voisine de la surface mgme de l'obstacle solide, et nous serons donc amen6s h chercher les relations entre les valeurs des champs incidents, r6fl6chis et r6fract6s au niveau de la surface de robstacle.

C'est fi partir des valeurs des champs r6flachis pris au nlveau de cette surface qu'on pourra appli- quer les formules de K(~TTLER OU de GOUDET pour calculer les champs perturbateurs. Dans le cas off l'onde incidente est une onde plane, de polarisation elliptique, arrivant sur un obstacle avec une orien- tation relative d6termin~e, l'onde rerayonn6e em- prunte h l'onde incidente une certaine puissance. On appellera airs de captation de l'obstacle l'aire d'une surface plane perpendiculaire ~ la dirac- tion de propagation de l'onde plane qul d~coupe dans celle-ci une puissance 6gale h la puissance totals emprunt6e par l'obstacle : si l'obstacle n'est pas abso~bant, cette puissance ne comports que la puissance rerayonn6e. Cette airs de captation d~pend a priori de la forms de l'ellipse de pola- risation de l'onde incidente et de l'orientation de robstacle darts l'onde plane. La surface de diffusion totale n'est pas ~gale, en g6n6ral, ~ la section de l'onde plane incidente int6rieure au contour appa- rent de robstacle parallels h la direction de propa- gation. Ainsi, pour une sphere, la surface de diffusion totals en g6n6ral est diff6rente de l'aire du grand

M. B O U I X [ANNAI~ES DES TI~LI~COMMUNICATIONS

cercle. On appelle gain de l'obstacle dans une direc- tion donn6e le produit par 4T: du rapport de la puissance ~ rinfini par unit6 d'angle solids re- rayonn6e dans cette direction h la puissance totale rerayonn6e. Le gain serait 6gal h l'unit6 si la puis- sance rerayonn6e 6tait la mgme dans toutes les directions. On appellera diagramme de rerayonnement on figure de diffusion la surface constitu6e en portant sur chaque rayon vecteur issu d'une origins fixe une longueur proportionnelle h la valeur du gain dans sa direction. Ces diagrammes de rayonnement sont des surfaces en g6n6ral tr~s compliqu6es dont la forme d6pend aussi de la fr6quence. Les obstacles les plus simples sont les spheres. Aussi nous nous proposons seulement ici d'6tudier le rerayonnement de la sphere di61ectrique non absorbante et de la sphere parfaitement conductrice.

PREMIX.RE PARTIE

LE S Y S T~.IVIE D E 1 3 O O R D O N N ~ E S F O N D A M E N T A L

ATTA(~HI~ A U N E S U B F A C E E T Q U E L Q U E S F O B M U L E S D ' A N A L Y S E V E G T O B I E L L E

Dans l' introduction l'auteur prdcise (/A) qu ' il va utiliser un systems de coordonndes cur~ilignss, ddfinit (1.2) le systems [ondamental de coordonnges attachd une surface et donne (1.3) quelques [ormules d'analyss vectorielle.

1.1. - - Introduction.

En rue d'applications h certains calculs relatifs au rayonnement 61ectromagn6tique, nous allons d6finir ici un syst~me de coordonn6es attach6 h une surface quelconque et pr6ciser quelques-unes de ses propri6t6s. Dans la pratique, nous serons amen6s n'utiliser ce syst~me qu'au voisinage de la surface donn6e, et seulement si la surface est assez r6gu- li6re, c'est-h-dire si elle admet en chacun de ses points un plan tangent et des rayons de courbure trlncipaux bien d6termin6s et non nuls. Ce systems est un syst~me de coordonn6es curvilignes ortho- gonales.

Nous 6tablirons ensuite dans tout systems de coordonn6es curvilignes orthogonales un certain nombre de formules d'analyse vectorielle.

1.2. ~ Le syst~me fondamenta l de coordonn&s attach6 ~ une surface.

l~tant donn6e une suriace S, nous appellerons systems fondamental de coordonn6es curvilignes orthogonales attach6 h cette surface un systems jouissant des propri6t6s suivantes :

a) les surfaces coordonn6es sont les surfaces parall~les ~ S et les d6veloppables orthogonales h S le long de ses lignes de courbure ; les courbes coor- donn6es sont alors les normales ~ S qui sont aussi

244

t. 10, n ~ 11, 1955]

normales a u x sur faces parall~les et les lignes de courbure de tou tes ces surfaces para l l~hs .

b) le choix des coordonn6es est tel que le ds ~ de | ' e space puisse gtre mis sous la fo rme :

(l.1) ds ~ e~du'~ + ~ = e~du , + dz ~,

la coordonn6e z 6rant une cote mesur6e su ivan t la n o r m a l e h S.

Si R,i, e t R,,, d6signen-t les r ayons de cou rbu re principat~r en un poirrt M de S (fig. 2. t) , les r ayons

OBSTACLES PLACES DANS LE EAYONNEMENT ELECTBOMAGNETIQUE 3 ] 9

/

Fro. 2-I ~ R6flexion et r6fraction d'une onde plane h la surfhee de sct'paratfon de deux di61ectriques.

d~ cou rbu re p r inc ipaux au poin t M ' de la surface parall$te S ' situ6 sur la m~me no rma le et h la dis- t ance Az se ron t R ~ , - Az et R , , - - Az. Or si da est l 'angl~ in f in iment pe t i t don t t ou rne la no rma le h S q u a n d M d6cri t un are eldU ~ de la p remibre ligne de courbure , on a :

(1.2) l / / /~ , = d~tlel(Ul, uz. z)dt h et t d~

t f . , - - A z e~(u~, u~, z + Az)du x

On en d6dui t que

e~ el(Ul, u~, z + Az) e d u . u~, z + Az) - - e~(u~, u~, z;. 1r it,,, - - A z -- A z .

A la l imite, q u a n d Az t e n d vers z6ro, on a d o n c :

t t ~e~

La cou rbu re m o y e n n e de la sur face est donc 6gale h :

(1.4) 1 1 t ~e I I ~e , I ~(e~e~)

.tl~,, + ~ .e~ bz e z bz e~e~ bz

D ' a u t r e par t , si P d6signe un poin t que lconque de

la no rma le en 3 ; /h S, et n l e v e c t e u r un i ta i t e de la normale , on a :

(t.5) P = M + n z , et

(1.6) d P = d M + n d z + z d n .

TJ~J~oM~'mm&,l, loml

En mul t ip l i an t s ea l a i r emen t ]es d e u x m e m b t e s §

de (~.6) pa r n , et en t e n a n t c o m p t e de ce que

n. d M = n. d n = 0, il v ien t n. d P = dz. C o m m e P est un po in t a rb i t r a i r e de l 'espace, il

s ' ensu i t que

(1.7) n = grad z.

D ' a u t r e par t , les coordonn6es d~ n sur ua, u~, n

sont n (0, 0, 1), et on a

(1.8) div n - ele~ ~z (e~e~) = -- c . = - - + �9

1 .8 . - - ~ e l q u e s form'u le s d ' a ~ l D e v e c t ~ r l e l l ~ ;

Nous allons r appe l e r ici quelques fo rmules d ' a n a - lvse vectoriel le qui nous ont servi dans la th6or ie pr6c6dente. Nous les 6tabl i rons en coordonn6es cur- vil ignes or thogonales . Dans un tel sys t6me de coor- donn6es, le ds ~ de l ' espace h trois d imens ions peut s '6crire :

(1.9) ds 2 = e~xdu~ + e~du~ + e~du~,

el, e2, e a & a n t des fonct ions des trois coordonn6es Ul, a2, u 8. Le symbo le $ indiquera q u ' o n fair la s o m m e par r a p p o r t aux trois radices 1, 2, 3 p e r m u t 6 s

c i rcu la i remeut . Ul, u2, u a d6signeront les v e c t e u r , uni ta i res t angen t s aux courbes.

-} 1 ~ Calcul de div m a . O n a :

div m a = - $ ~ [e2es(mt%) ] r e2e 3 ~tt 1

1 _ ot,, ~m

el e 2 e3

ou encore :

(t.10) d i v m a = m d i v a + a grad m.

2 ~ Calcu l de ro t m a .

u, [ Z r o l m ~ = Se~ea Lbu (meaau,) - - Z (m%au,) ] ,

~" ,,-~" f au, ~m au, 5m'~ = t a ro t a + , ~ u i ~ - ~ b u ~ e ~ u 3

ou encore :

(t.11) rot ma = m r o t a - - a /k grad m.

3 ~ Calcu l de d i v a A b . On pa r t de :

d i v a / X b = - - ele2(a~,bu,--a,~bu,) ] ele2e3

-4-~-f[eaex(aa, b~q - - a u , but)] -4- ~ [ e l e 2 ( au, bu, - art. but)], �9

E n d6ve loppan t les calculs, on m e t en 6vidence le d 6 v e l o p p e m e n t :

s b " , r i ) (e - - Z ( e , a ~ , ) ] , e , % [ ~ " aau')

- - 2 4 5 - - S

et on t rouve que ]'ensemble des termes restants repr6sente :

- s "au' [ ~ 2 ( ea b~) - ~ 3 ( ega~) ] a

On reconnalt dans ces expressions les produits scalaires de l 'un des vecteurs par le rotat ionnel de l 'autre. On peut donc 6crire :

(i.12) d i v a A b = b . r o t a - - a . r o t b . .~ -).

4 ~ Calcul de rot a A b . En d6veloppant :

ro ta /X b = S [ea(a~ b~ , -- a,~ob,~)] -- el e 3

on arrive h grouper les termes sous la forme :

-), .~ r -). -). -~ t o t a A b = a d i v b - - b d i v a

+ Su~ -~-~j L e x bu~ e x

[- t be 1 + su, t ~e a ]

elea bu a (au, b~ - - bu, au,) �9

La quantit6 command6e par le premier signe peut s'6crire sous la forme :

M ( a ) b - - M ( b ) a

si on appelle M ( : ) l a matrice carr6e d 'ordre 3.

[--t bto m I br t ~o~,,-]

/

L~-~~x ~-~-~ ~-~u~ j et si on d6signe par [ ~] la matrice :

i ~e, I bet7 0 elea bu a exe2 buz[

(i.14) [~t] = %%~u 3 0 el~ 2 "~UlJ I bes t bus

ezea buz ex e~ bul

la quantit6 qui contient le dernier signe S s'6crira

ts,3 A On a donc la formule :

0.1 ) to, (a = a div b -- b div a

+ M ( a ) b - - ~b). + A

Si les eoordonn6es eurvi]ignes sont remplac6es par des coordonn6es rectilignes orthogonales, on peut prendre f l - - - - e ~ = e a = l ; la matriee [tz]

M. B O U I X [ANNALES DES T~A[~COMMUNICATION$

s 'annule et le dernier terme disparalt. On peut donc consid6rer ce dernier terme comme un correetif aux deux termes pr6c6dents, qu'il faut introduire en coordonn6es curvilignes.

DEUXII~ME PARTIE

B~.FLEXION ET B~ .FBACTION A LA SURFACE DE S~ .PARATION

DE D E U X DI~.LEGTI:tIQUES

L'introduction (2.1) permet h l'auteur de poser le probl~me de la rd/raction, il dtablit (2.2) les relations aux limites sur la sur[ace de s@aration , il consid~re (2.3) le cas du plan, s'attache (2.4)' h la vdrification de l'orthogonalitd des champs, gtoupe (2.5) en un tableau les expressions des champs rd fldchis et rd/ractds en rgflexion plane. I1 gtudie ensuite (2.6) la rdflexion et la rd/raction sur la sur[ace de s@aration de deux diglectriques.

2.1. - - Introduction.

Afin de pouvoir sans difficult6 math6matique particuli~re utiliser les 6quations de MAXWELL au voisinage de la surface de s6paration de deux di61ec- triques, nous poserons le probl~me de la r6fraction de la fa~on suivante' :

Nous supposons d 'abord que la surface de s6pa- ration S est une simple surface math6matique plong6e darts un premier milieu ind6fini de par t et d 'autre de la surface, dont les constantes carac-

t6ristiques sont % et ~t o et nous d6signons par Eo,

H o les champs 61ectrique et magn6tique dans ce premier milieu. Nous supposons ensuite que la sur- face math6matique S est plong6e dans le second milieu de constantes caract6ristiques e 1 et Vtl et

nous d6signons par El , H 1 les champs 61ectrique et magn6tique dans ce second milieu. Nous super- posons ensuite les deux milieux ind6finis de fa~on que la surface S coi'ncide avec elle-mgme, et nous 6crivons la condition pour que les champs tan-

+ gentiels soient 6gaux, c'est-h-dire, si n d6signe le vecteur unitaire de la normale ~ la surface,

(2.1) EoT = E1T , HoT = H1y,

ou encore :

L o = n A E1 I (2.2) _ ~ / ~ _~ ~ t sur la surface S. n A / 4 0 = n A / / 1 )

Puis nous chercherons les relations qui existent grace aux 6quations (2.2) et a iJx 6quations de MAXWELL :

rot E o = -- i6%toHo rot E 1 = -- i t%trH 1 (2.3) ..+ __~ .__> _+

rot B o = i~r rot H~ = io:r a.

Si nous voulons ensuite 6tudier comment se corn- porte sur la surface de s6paration une onde incidente

- - 2 4 6 -

t . 10, n ~ 11, 1955] O B S T A C L E S PLACI~S D A N S LE B A Y O N N E M E N T I ~ . L E C T B O M A G N E T I Q U E 5[9

E~, H~ qui v iendra i t par exemple du c6t6 du milieu

(r ~t0), on d&ignera par E , , H , , les champs qu'i l

f aud ra superposer h E~, H~ du c6t6 du milieu (r ~t0)

pour qu 'on puisse consid6rer l 'onde E ~ + Et ,

H ~ § eomme Eo, H o. L 'onde E~, H 1 corres- p o n d a n t e sera d i te l 'onde r6fract6e.

Au voisinage de la surface de s6parat ion, on peut faire les d~veloppements de TAYLOa,

n A E o - - E 1 = z ~ l + z20~2 + �9 �9 �9 -~" / - ->" " - - '~ -->" "-->"

n A ~ H o - - H 1 ) = z ~ + z 2 ~ + . . . , (2.4)

+

et comme 5 n / 5 z = O, on peut 6crire :

(2.5) ~q = n /k ( E o - E 1 ;

">]' -9- --)- 3 2 - -~ ~2 = n A Eo E~ . . . . .

et .les relat ions analogues (entre ~3~, ~32, ... et les champs magn6t iques .

2.2. - - Relations aux limites sur la surface de sfiparation.

Appliquons aux relat ions (2.4) la formule (1.12)

de div a A b e n t enan t compte de ce que u =- grad z

et rot n = 0. Tenons aussi compte de ce que

(2.6) n . ~ q = n . ~ - n . ( x ~ = n . ~ 2 = . . . = 0 ,

et des 6quations de MAXWELL. I1 reste :

io) n (ptoHo - - [ s ) = Z div ~r + . . . (2.7) + t+__~ _ ~ _~

icon t r162 = zdiv [3~ + . . . ,

. + --~

(les vecteurs ~-1, ~3~, ... ne d6penden t pas de z, mais

d6penden t de u~ et u2, ils sent done une divergence en g6n6ral non nulle). Sur la surface S les relat ions (2.7) donnen t :

--). ---)- - ~ - - - ~

(2.8) tzon.H~ ~z~n.H[ ou ~oH~n=[z~H[~,

(2.9) eon.E~) = cxn. E[ ou r = ctE~n.

En t enan t compte de (2.1), on peu t done 6erire la re la t ion matrieiel le :

(2.t0) E[ = P(eolr HI = P(~zo/[zx)ttg,

p ( ~ ) = l .

0

avec

(2.1i)

formule (1.15) de ro t a A b , et si on t ien t compte de ce que :

(2.12) div E = div H = 0, il vient

(2.13) -- tEo -- Ex) div n ~ + M t n ) t E o - E~) i " -~ - - ~ \ - ~ "~ " -~ - ~

- M eo- + [n/X (Eo- e,)] = z r o t ~ l - - ~ q A n + z ~ r o t ~ z - 2 z a ~ A n + ....

S i on appl ique m a i n t e n a n t aux relat ions (2.4) la

et une re la t ion analogue pour les champs magn6- t iques.

l~crivons ces re la t ions sur la surface en fa isant z = 0 . O n a :

(2.~) M(II,)(Eo--E1) = O,

(;) $ car E o - E~ est colin6aire h n e t la mat r i ce M a sa troisi~me colonne form6e u n i q u e m e n t de z6ros. On a, d ' au t r e pa r t :

(2.t5) L M t E o - - EQ +n]" =

5 ( e o _ E1) ,ts.I r ~ , ~ - ~ , 1 .

(2.16) [ ~ ] [ n A ( E o - - E I ) ] =

o .,e,5.q -- (eo-- e,).,1

0 < Oo = 0 J

cause de la cont inui t6 des champs tangent ie ls . Dans le deuxi~me membre , on a :

(2.17) 0qA n = A ~x E ~ A n

--[.(.o-.i>] ). L ,.o -1, n r

C'est done la composan te tangent ie l le de (5/~z) [ --+ e\ F [e --~\els ~ E o - El) qui annulera celle de [ M ~ E o - E.J.n J sur

le plan tangen t , et en project ion sur n , on aura

(2.18) (Eo~ -- Elm) div n + ~(Eon -- Ex,~ ) l~n = 0

Le mgme calcul sur les champs magn6t iques donne la deuxi~me re la t ion :

q~ (2.19) ( H e n - H1,) div n + ~ ( H ~ - Hl,,)15n = O.

D'aut res re la t ions plus compliqu6es pourraient &re 6tablies par d6r iva t ion ~ par t i r des formules (2.7) ou 2.13).

Dans Ie cas des surfaces ~ courbure m o y e n n e §

nulle, et en par t icul ier pour le plan, on a d iv n = 0, et les 6quat ions (2.18) et (2.19) se r6duisent ~ :

(2.20) ~-~ ~ (Eon -- Exn ) = 0, ~-~ (H0m -- Hla ) = 0.

247

6t9 En r6sum6, par .rapport aux axes de coordonn6es

chbisies, les relations entre les champs de part et d 'autre de la surface de s6paration sont :

E o u , = E l u ' Hou, = H~, h = =

(2.21) r = r [xoHoz = ~ I H l z

(Eo~ -- E~,) div n + }(Eo~ -- EI~) I~n = O:

(Hoz- Hlz) div n + 5(Hoz - - H l Z ) ]~n = O.

I l e s t passible de t rouver d 'autres relations entre les champs et leu,s d6riv6es sur la surface S, en d ~ i y a n t ]es relations (2.4).

2 .3 . - - Cas du p l a n .

Dans le syst~me (2.21) nous devons faire :

(2.22) div n = 0.

~ t an t donn6e une onde plane incidente du c5t6 du di61ectrique (r tXo) qui se propage dans la direc-

.-).

tion du vecteur unitaire m, soit :

--), --), ~ - t * ~ --> --> -> (2.23) ~i = E~e-l~gro~..~ ~ eio )t, 2Ci = ~/r ni A ~;i,

avee r = x i + y ] + zn , --~ -),

on appellera plan d'incidence le plan n , m (fig. 2.1).

On gr~ndra Oz suivapt le vecteur normal n e t Ox dans le plan d'inci~tence, l 'axe 0 y 6tant perpen-

dieulaire h Ox et Oz. Ainsi le vecteur n~ aura les composantes :

(2.24) n~ (sin 0o, 0, - cos 00)

0 o est appel6 l'angle d'incidence. Comme l'onde est

p!ape, o~ a

(2.25) m. E~ = 0.

Nous nous proposons de chercher une oade plane

~r, 2t~, rdfldahie dans le di~lectrique (%, ?0) du c5t6 d'ofi vient l 'onde incidente, et une onde plane rd/ractde se propageant vers l 'autre milieu di6!ec-

trique (r tz:'~) de f'acon h satisfaire aux conditions (2.21) et (2:22). O n 6crira, en met tant en 6vidence

les vecteurs n, et n o qui caract6risent les directions vers lesqt~vlles se p?opageni~ ces ondes,

-(2.26) ~r E, e-~toVr ~..~', el~t, ~ i = ~/r itZo nr A ~r'

(2.27) _. --) ~p = Ep e- l~ot /e , t t, ok~ ~0 = ~/r $p,

et il faudra que les relations suivantes soient satisfaites :

�9 --~. -.), --)..--), (2.28) ,.n',.~ = 0, np.&p = 0.

M. BOUIX ]ANNAL~ D ~ TtL~COMMtrNIcATIONS

Comme les relations (2.2t) qu 'on va appliquQr doivent gtre vraies_en t ous l e s points du plan, les exposants des relations (2.23), (2.26) et (2.27)

+ doivent gtre 6gaux quel que soit r . Or, on a d'une fa~on g6n6rale

-~ 1->-'>~ "~ - ~ A ~ "~ (2.29) r = ~ , n . r , n - - n ' ( n A r ) ,

et pour un point du plan de s6paration :

(2 .30) " = - - n /X ( n ~ A 7 ) .

On dolt donc avolr :

7)] �9 --~ --~ --),

= In A ( . A 7)] .

Ou en modifiant les produits raixtes :

[(,I.,_,1) n-"]. ( .

o [( r r A n J . xn =

Pour que ees produits sealaires soient nuls quels que soient r, on devra avoir :

-.> ..> -1, (- ,--3 = o

, n ~ = O .

II s'ensuit que n, m, n,, np sont dans le mgme plan

(plan d'incidence). C o m m e n t et n, sont deux vec- teurs unitaires dont la diff6rence dqit gtr, e l~arall~le

~t n, l'angle de r~flexion est 6gal ~ l'angle d'incidenee. D'autre part, la deuxi~me relation (2.3t) fournit la loi de D~SC*nTES

(2.32) r sin 0 o = ~ sin 0~,

On peut alors 6erire :

r = x i + y ] + z n

(2.33)

i s in s in hi= % - - n c o s % n i . r = x U o - z c 0 s % ,

m - - i s i n 0 o + n c o s O o n , . r = x s i n 0 o + z c o s 0 o .

n 0 = i s i n 0 1 - n c o s 0 1 n p . r = x s i n 0 1 - z c o s 0 1 .

En portant les valeurs trouv6es dans les premieres 6quations (2.23), (2.26) et (2.27), il vient :

-). -) . ~ i = Er 8-1r ~V/'~t~(~slneo-ze~ ekot

(2.34) ~r = Er e-l~ r r el~t

&t~ = Ep e - l~ /r (zs/n Oo + zoos Oo) elmt.

Mais sur la s~r~ace de s~,paration, on a z = 0. D'autre part, la loi de DrSCARTES indique dans ce casque les arguments des exponentielles sont 6gaux.

- - 248 - -

t. 10, n ~ 11, 1955] OBSTACLES PLACES DANS

En t e n a n t compte dans les six premieres relat ions (2.21), des re la t ions (2.34) e t des relat ions :

--). ~ --+ ---). ,5i + &r - Eo &p - - E,,

(2.35)

~ o + act = Ho ;t~p H2,

on aura apr~s division par le fac teur exponcnt ie l commun : (2.36)

Ei~ + E~, = Ep, _ _ --)- -.~ -). - -) . . _ _ --~ .---).

~/~o1~.o.[(,~ A E,) -t- (n,. A E~)].,: = A -v's,/~,(,~ E~)~, E~ + E,~ = Ep~

--~ -+ ~ 3 -+ --+ A n, + (,+

r162 [n~ A E,, 4- (n,. A E~)]: : ~/z, F., (np A Ep)~.

]~crivons ces relat ions en t enan l eompte de (2.33) ; il v ient en y jo ignant aussi lcs deux derni6rcs relat ions (2.21) :

E,v + Err = E ~ . r + E ~ = s , E ~ ,

(2.37) V~c~-~ocosOo(E~,--E~,, ,+~inOo(E,~ EM

:= V'S,/~,l (cos 01Epx + sin O,lf,~zl, ~/*~o si,, Oo(E,v + E~vl- ~/~,~z, sin O,E~v.

�9 V~o~oeos 0o(E ,z - E,:! ~/r 01Epz. r 0osin0oiE,~--E~,! r 01cos 0~E~.

Pour resoudre ce syst6me, nous l irerons lcs com- .-).

posantes E~ des trois premieres 6quat ions et nous por te rons darts les autres , ce qui p e r m e t t r a de cal-

culer le, composantes de E~. Si on t i en t compte de la deuxi~me 6quat ion dans

la sixi6me, ou de la quat r i~me 6quat ion dans la hui t i6me, on r e t rouve la toi de DESCARTES. Nous ne t iendrons donc pas compte de la sixi~me ni de la hui t i~me 6qua t ion et nous aurons un syst~me de six 6quat ions h six inconnues pour d6 te rminer les com-

-) . posantes de E , et E~.

Les deuxi~me et quat r i6me 6quations pe rme t t en t d'61iminer Epv et donnent :

qr I~0 c,,,~ 0o - qs , / t~ , c,,s O, E (2.38) E ~ X/aolt~o,.OS Oo + qs , lt~, cos O ~

et on t ire de la deuxi6rne :

(2.39) E ~ = 2 ~/sa/~, c.s 0o E~. q~ott~o cos 0o + q c t l ~ , cos 0o

Le m~me calcul fair sur la troisi~me et la septi~me 6quat ion donne :

(2.40) E , , = r r176176 cos 0o - r q s , V-, cos 0, E~. s , VZotZo cos 0o + so r tz~ cos 0,

(2.41) Et~ = _ ?s,)~/r162 cos 0o E~. S 1 ~/S0~0 COS 00 -~ ~0 ~/~t p. 1 COS 01

LE BAYONNEMENT ]~LECTROMAGNI~TIQUE 7 / 9

En po r t an t ces valeurs dans la cinqui~me 6qua- t ion et en c o m p a r a n t avec la premiere , on aura E , , et Epz.

On t rouve des va[eurs un peu plus compliqu6es :

(2.42) E, , = ~ r cos 0o -- ~/s,/V-i cos 0~ E~ +

~/S 0113.0 COS 0 0 -~ gig, 113.1 C.O8 01

2 ~/~ tz, cos 0o X S 1 ~/~0 ~L0 COS 00 "4- ~:0 r [3"1 COS 01

s~ qs , Itzo sin 0o -- r ~/~ Itz~ sin 01 E~,,

v%l tzo cos 0o + ~ /sJ tz l cos 0~

2 v~-o/tZo cos 0o : : Eiz +

(2..';31 s V'%lv, oc,,s Oo + V'zll~ cos 01

2 X/s~tz~ cos 0o •

z, ~/Zo ~o cos Oo + So ~/~t, cos 01

r ~/s~/~z, sin 0o-- r ~/~-~[z~ sin 0 l Ei..

V~ol~o cos 0o + Vr cos 0,

2 . 4 . - Vfirifleation de l'orthogonalitfi.

()n va v6rifier que, sous la condi t ion E~ .n~= 0,

on t rouve bien que E ~ . n , = 0 et E ~ . n p = 0. La cond i6on d 'or thogonal i t6 du champ inc ident

-). avec lc vcc teur n~ s'6crit d 'apr~s (2.33) :

(2.441 E,i~ sin 0 o -- E~ cos 0o = 0,

et on veut mon t r e r qu 'on a

(2.45) E~ sin 0 o + E~ cos 0o = 0,

El:, sin 01 -- Ep~ cos 01 = 0.

Pour v@ifier (2.45), par tons de (2.40) et (2.42). Apr~s r6duct ion au mgme d6nomina teur , on dol t avoir :

(Wol~o cos 0o - W , I ~ , cos 01)

(r ~/% P,o c~ 0o + ~o ~/r ~,1 cos 01) E~ sin On +

Er, [2 r162 ~/~[zo sin 0o -- r ~ sin 01) x

cos 0o sin 0o + (VTo/ 0 cos 0o + r162 cos 01) x

($1 g0~/~0 COS 00 - - ~:0 ~/~:1 ~---'-~ CO$ 01) COS 003 = 0o

En d6veloppant , ii vient :

[~ls.)(c,)s 2 0o -- c,)s 2 0j) +

(s,, - s, r cos 0o cos 0,3 • E~ sin 0o + E,~ cos 0o x

[2 ~ / ~ o t st ~/r sin 0o -- so ~/r sin 0~) sin 0 o + r (cos 2 0o - - cos 2 01) Jr

CE/ , - - So cos 0o cos

. Remplaqons cos 2 0 o par 1 - - sin 2 0o et cos 2 01 par J - - sin e 01 et ensuite sin 01 par sa va leur t ir6e de

(2.32 / soit ( V q ~ o l V ' ~ . T 0 sin %. n reste :

(2.47) [~1%(r lzj - - t) sin ~ 0o +

(S 0 r ~/~1 [ - s S 1 ~ /S l /~ I r 00 COS 01]

[Ei, sin 0o -- Eu cos 0o] = 0.

249 - -

8/9 M. BOUIX [#~NN&L]~J DBS TftLftCOI~tfUNICAlelONS

Cette quantit6 est bien nulle si ou t ient compte de (4.1).

De mgme, v~rifions (2.46). I1 vient :

2 ~/So I~o cos 0o x

(s~ @ cos 0o + so ~ cos 0~) Er sin 01

+ E~, [2 ~/So izo cos 0o sin 0~ (Sl ~/~Jo/~o sin 0o --

So ~/s~/~ sin 0x) -- 2 so eV~o~o cos 0o cos 0~ qSo/P~o cos 0o

-4- ~f~-l/~l COS 01] = 0.

I1 vient en d6veloppant, et en rempla~ant sin 01 par sa valeur tir6e de (2.32):

2(SIS0COS200-4-S0 $0~/~0-0-~--~'-0 g~/~-l-~-ll~lCOS 00COS 01)

V"~,~/*~ ~~ E~ sin 0~ + 2 E ~ ' ~ L 1 COS 0o [So s~ sin ~ 0o ~ / S l ~1

So ~f~o~o z~Y~--~ s"tx~ sin 20o -- r cos Oo cos 01 - - s~ ~q

Apr~s r6duetion et multiplication par

V s~x~-V'~-o--~-oo, il reste :

(2.48) (SOS! cos ~ 0o + so qSo/~-o ~ cos 0o cos 01) (E,z sin 0 o -- Es~ cos 0o) = 0.

Cette 6galit6 est bien v6rifi6e en m~me temps que (2.44).

On retrouvc sans diflicult6.h partir des formules pr6c6dents les formu]es classiques qui correspondent h la polarisation parall61e ou perpendiculaire au plan d incidence.

Mais les formules donn6es ici ont l 'avantage de s'appliquer h une polarisation clliptique incidente quelconque.

On peut faire l '6tude classique des angles de BREWSTER O' 0 e t O" o tels que :

(2.49) tg ~ 06 s~ ~o -- So t~l st, tg ~ 0~ So ~ -- s~ t~o ~/q,

~1 [s - - S0~0 SO Sl~L1 - - S0~L0 [s

pour lesquels l'onde polaris6e soit perpendieulai- rement, soit parall~lement au plan d'incidence s'annule. Pour les milieux physiques habituels, seul 0~o est r6el. Si Do = ~1, on a :

(2.50) tg 0 0 = (Sl /So) l l l'*

et on a alors un angle r6fract6 O1 tel que :

(2.5t) Oo + O~ = 7:12

(rayons r6fl6chi et r6fract6 perpendiculaires).

2 . 5 . - Tableau des expressions des champs r~fl~chis et r~traci~s en r~flexion plane.

Nous allons grouper ici en les modifiant 16g~- rement les formules trouv6es au w 2.3 et 6crire les champs magn6tiques correspondants.

(2.54) E~ + E, = Eo, Ep = E l ,

H~ + H~ = Ho, Hp = H 1.

Supposons d'abord que l'onde incidente est plane, ,-r

et d6signons par (E,~-~',H,), (Ep'-~ ' ,~)les champs r6fl6chis et r6fract6s fictifs qui existeraient si sur chaque normale h S les champs avaient la mgme valeur que si la surface 6tait remplac6e par son plan tangent au pied de la normale. Les champs vrais pr6senteront avec ces champs fictifs des diff6rences

(2.55) E, = E; + ~,, E o = E'p + ep,

H, = H, + h,, Hp = H'p + hp.

En affectant leurs composantes sur les axes Ul, uz, z des indices u~, u~, z faisons pour routes ces quantit6s des d6veloppements de la forme :

E 8 . . .

m , = Eru~ + z + . . .

e,u, = e~ + z e~, + . . .

Les champs r6fl6chis sont donn6s par :

(2.52) R 2B E R E P

P 2B P B Hrx =-~ H~z + -Q'~ H,z, Hrv = ~) H,, , H,z = ~ H,,,

2r o A o -

(2.53) s~A 2B Hp~ - 2 o H~ + ~-~ H~,

,A 2~oAo Hpv = ?s_lff_____o Hiu, Hp~ = S H~, ;

avec :

Ao = V'r cos Oo A1 = ~/~1~1 cos 01, P = s IAo- -%A I Q = slAo + %A1, B = t~lAo-- ~oA1 S = ~lAo + ~oA1, B = So~o(sltZl -- So~o) cos 0 o sin 0o,

et 01 6tant donn6 par la loi de DESCARTES :

V'r b% sin 0o = ~Sl~s 1 sin 0 x.

2.6. - - R6flexion et r~fraction sur la surface de s6paration de deux di61ectriques.

- -~ --). --) . _-). Soient E~, Hi les champs incidents, E , , H , lcs

_--)..__~ champs que nous appellerons (( r6fl6chis )) et Ep, Hp les champs que nous appellerons (( r6fract6s )). Ces

champs seront li6s aux champs E0, H 0 El, H 1 envisages dans les paragraphes pr6c6dents par les relations :

- - 250 - -

t. 1O, n ~ 11, 1955]

Portons Eo, Ho, E1,H 1 tir6s de (2.54) dans les 6quations (2.4), (2.7) et (2.t3) en tenant compte de (2.55) et identifions suivant les puissances crois- santes de z.

t~tant donn6es its d6finitions de E~, H~, E:, H' on peut tenir compte des relations telles que :

Eiu, + E ~ , = E~u,.

Les relations g6n6rales (2.1) montrent qu'on peut p r e n d r e :

,o = e o = , 0 = ~ . , = l o , = h ~ , o = h o = o . ru~ pu~ ru, . = h~'u~ pu~

L ' i d e n t i f i c a t i o n des t e r m e s i n d 6 p e n d a n t s d a n s les

r e l a t i o n s (2.7) e t (2.13) d o n n e :

+ [(E,. + e ; , - - E'oz', s + e~ - - e ~ ] ' d iv n + e~ - - e~z = 0,

->. [ (H~ * H '

Si on identifie les termes en z, il apparaltra quatre nouvelles relations et quatre nouvelles quantit6s

e~~ ~,, h~, ~L,

et ainsi de suite. On peut done choisir arbitrairement

,o = ~o = ho = / , L = o

et on volt ais6ment que le syst~me est possible et donne une solution unique. No,us dirons que cette solution correspond aux ondes r6fl6chie et r6fraet6e correspondant h l'onde ineidente plane donn6e, et

OBSTACLES PLACI~S DANS LE RAYONNEMENT ]~LECTROMAGNETIQUE 9/9

s u r la sur /ace , les c h a m p s rdfldchi e t rd[ract~ s o n t lds

m g m e s q u e si la s u r f a c e 6 t a i t p l a n e . Les f o r m u l e s

(2.52) e t (2.53) s o n t e n c o r e v a l a b l e s . Si l ' o n d e inc i -

d e n t e n ' 6 t a i t pus p l a n t , on p o u r r a i t la d 6 c o m p o s e r

en u n e s u p e r p o s i t i o n d ' o n d e s p l a n t s . Les f o r m u l e s

(2.52) et (2.53) ne s e r a i e n t pas v a l a b l e s ca r les 0 o

e t 0 x ne s o n t pas tes m 6 m e s en c h a q u e p o i n t p o u r

c h a q u e o n d e p l a n e i n c i d e n t e 616menta i re . Mais on

p o u r r a i t 6er i re des f o r m u l e s sous f o r m e i n t 6 g r a l e .

La p r e m i e r e f o r m u l e (2.52) s ' 6 c r i r a i t en d 6 s i g n a n t

par E~(0oq>o) sin 0~ d0odq% un coefficient complexe caract6risant l'amplitude et la phase de l'onde incidente qui arrive de la direction 0o, ~o rep6r6e par rapport au tribdre Muxu2z attach6 au point M de la surface :

R E B q~o)] E ~ = f f [ ~ ~(0o, q~ 0) + ~--~ E~(0o,

sin 0o d0o dq~o,

l ' i n t 6 g r a l e d o u b l e 6 r a n t 6 t e n d u e de 0 h r~/2 p o u r 0 o e t de 0 h 2r~ p o u r % .

2 . 7 . - R e m a r q u e .

Nous avons gard6, au paragraphe pr6c6dent, une solution particuli~re convenant au d6veloppement fait suivant les puissances de z. Les autres solutions correspondent aux syst~mes de champs compatibles avec la surface S qu'on peut superposer aux champs incident, r6fl6chi et r6fract6 que nous avons 6tudi6s.

(a suivre)

NOTES, INFORMATIONS, ACTUALIT~ (Cette rubrique s'Jchelonne pp. 236, 241 251)

V / / / N / ~ / / ~ / / / / / / f ~ f / / ~ / / ~ / / / ~ ~ / / / / / / / _ / / / / / / / / / f / / / / d f ~ ~

Col loque et expos i t i on sur 1'(r A u t o m a t i q u e ~, *. - - Pr6- s ident de l 'Association des Ingdnieurs JElectroniciens et de la 8 e Section (61ectronique appliqu6e) de la Socidtd des Radio- dlectriciens, M. F. H. RAYMOr~D annonce en cette qualit6, dans les termes suivants, l 'organisation de ce colloque :

(( Nous avons pens6 que les 61ectroniciens se devaient de prendre l ' init iative d'organiser un colloque, h Paris, sur l'(( Automatique ~. Nous avons choisi la semaine du 18 au 2~ juin 1956. Il est clair que cette init iative Iait appel pour sa r6ussite h toutes les personnalit6s, associations et soci6t6s savantes, et nous avons la certitude qu'elle suscitera un int6r~t assez vii pour que le cadre dans lequel se d6veloppera ce colloque soit d6fini par un large comit6, auquel d'ailleurs ont promis d 'apporter leur concours un certain nombre de personnalit6s scientifiques et techniques, frangaises et 6trang6res.

Pour d6finir ce que nous entendons par (~ automatique )), si l 'on n'en donne pas une d6finition claire et convenable en disant que c'est la science des (c automatismes )~, on laisse tout au moins entendre de quoi il s'agit. Ce substantif n'est d'ailleurs pas nouveau. D6jh un int6r6t consid6rable s 'est manifest6 pour ce qu'on a appel6 (c l 'automation ~ : convenons d'entendre par 1~ l 'application de l 'automatique h la (~ pro- duction-industrielle ~.

[~NNALES DES TJ~L~COMMUNICATION$

Si nous pensons que les ing6nieurs ont h prendre conscience de l ' importance de cette automation - - d 'oh l ' ini t iat ive des ing6nieurs 61ectroniciens - - l ' automat ique offre aux savants des sujets de pr6occupations, de telle sorte que notre congr6s devra d6passer le seul cadre de l 'automation, tel que d6fini plus haut.

I1 n'6chappera h personne qu 'un travail constructif est h entreprendre, aussi ce congr6s sera-t-il l 'occasion de con- frontations g6n6ratrices des syntheses n6cessaires. Les aspects 6conomiques et sociaux entreront dans notre pro- gramme. Enfin, nous organiserons une exposition dont le caract6re documcntaire, nous allions dire didactique, s 'appuiera sur des r6alisations industrietles. ))

Voici le programme provisoire :

L ' a u t o m a t i q u e : - D6finition. - - Concepts th6oriques actuels (points de vue de la m6canique et de l '6ectronique). - - Domaines d'applieations (technique, science, 6conom6trie).

L ' a u t o m a t i o n : - - Relation entre l 'automat ique et la pro- duction. - - D6finition. - - Bases th6oriques. - - Structure (( fonctionnelle ~) et structure technologique des automatismer de production. - - Domaines d'applications. Influences sus la production sous les aspects technique (productivit6, qualit6 des produits), 6conomique, social.

* D'apr~s un communiqu6 regu avee pri~re d'ins6rer. S'adresser h : Secr6tariat du Colloque sur l'(c Automatique ~, Chaire de M6canique, Conservatoire National des Arts et M6tiers, 292, rue Saint-Martin, Paris (IIIe}.

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