Qu’est-ce que LTOP et que fait-il?

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Qu’est-ce que LTOP et que fait-il?

• LTOP est un programme de compensation

• LTOP va mettre en relation des « mesures » (observations) et des inconnues

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Observations et inconnues

• Observations • Inconnues directions distances angles verticaux différences de niveaux coordonnées

coordonnées Y, X altitudes orientations facteurs d’échelle constantes d’addition les paramètres de Helmert

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Principes de base

LTOP va déterminer les inconnues à partir des observations.Lorsque le nombre d’observations dépasse le strict minimum, LTOP va calculer une solution qui va minimiser le carré des erreurs résiduelles.

minimumPVVT

C’est le principe des moindres carrés.

Chaque observation intervient en fonction de sa qualité (poids, précision).

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Illustration du principe

Cinq personnes mesurent une distance au double mètres1 1.845s2 1.84s3 1.82s4 1.81s5 1.8Quelle valeur retenir ?La médiane1.82 0.00153 m2

PVVT

La première 1.845 0.00390 m2La moyenne 1.823 0.00148 m2

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Etablissement de la relation entre les observations et l’inconnue (tableau)

Dans LTOP

xxxxx

5v5l4v4l3v3l2v2l1v1l

x11111

5v5l4v4l3v3l2v2l1v1l

x11111

5v4v3v2v1v

5l4l3l2l1l

Axvl

imumminPVVT PlAPAAx T1T

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Relation entre différences de niveau et altitudes

Illustration 2

21032102

2111011100

21032102

2111011100

21032102

2111011100

HHHHHHHHHH

vvvvv

HHHHH

2221

11

103102

101100

21032102

2111011100

21032102

2111011100

HHHH

HH

HH0

HH

vvvvv

HHHHH

2H1H

1010110101

HHHH

HHHHH

vvvvv

21031032102102

2111011011100100

21032102

2111011100

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Relation entre distances et coordonnées

)c,,X,Y,X,Y(fS 221121

c)XX()YY(/1S 21221221

c)(?X)(?X)(?Y)(?Y)(?vS 22X11X22Y11Y2121

c)XX()YY(/1vS 2122122121

dcd)(?dX)(?dX)(?dY)(?dY)(? 22X11X22Y11Y

c)XX()YY(Y2?

212212

11Y

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Exemple de linéarisation

2Y4S

47.4S ?Y

5.3Y

03.4)Y(S

dyY4

Y)Y(SS2

dy03.4

5.303.447.4

506.0dy 06.4506.05.3dyYY

2Y4Y

))Y(SS(dY

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Relation entre directions et coordonnées),X,Y,X,Y(fr 221121

)XX(

)YY(arctgr12

1221

Linéarisation

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Synthèse

Etablissement de relations linéaires entre les observations et les inconnues pour former un grand « tableau ». Ce tableau définit le modèle fonctionnel

00000100000001*00****0******

XY...rS

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2121

cXYXY 2211

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Relation entre poids et erreur moyenne

Une fois le modèle fonctionnel défini, il faut définir les poids à attribuer aux observations (compensation). C’est le modèle stochastique.Plus une observation est fine, précise (erreur moyenne petite), plus son poids doit être élevé.

2ii m

1P

A chaque observation correspond une erreur moyenne.LTOP attribue « automatiquement » (sauf volonté contraire) aux observations une erreur moyenne « type ».

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Attribution des erreurs moyennes dans LTOP

2

km

cc2

km

cc2cc2cc SZZ

SZEMEMdir

Pour les

directions2mm2mm2mm2mm ZZZEMEMdist Pour les

distancesExemples

Centrage [mm] 3 50 100 200 500 1000 2000Direction [cc] 10 EM 39.48 21.56 13.83 10.70 10.18 10.05

Poids 0.00064 0.00215 0.00523 0.00873 0.00965 0.00991Dist. [mm] + [ppm] 5 5 EM 6.05 6.36 7.91 10.74 18.89 48.61

Poids 0.02735 0.02474 0.01599 0.00867 0.00280 0.00042

Distances [m]

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Influence des erreurs moyennes (poids)

En examinant l’équationqui relie les observations aux inconnues,

PlAPAAx T1T

il apparaît que les inconnues (coordonnées) sont liées à la géométrie (A) et à la précision des observations (P).De manière tout aussi directe, la précision des observations influence la précision des résultats (coordonnées), comme la géométrie.

1TPAAQ xx

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Quantification de la précision

La combinaison de tous les éléments (observations, géométrie et erreurs moyennes) conduit, au niveau des points (résultats), à une ellipse d’erreur.L’ellipse d’erreur est la figure géométrique qui recouvre avec une certaine probabilité (39 %) la véritable position du point.

Y

X

Y

X

Y

X

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Question de précision

La précision est l’élément fondamental d’un réseau (but à atteindre), mesurable grâce aux ellipses d’erreur.Pour modifier (augmenter) la précision d’un réseau, on peut:- augmenter le nombre de mesures- augmenter la précision des mesures- modifier la géométrieConnaissant la géométrie (approchée) et la précision (a priori) des mesures, il est possible d’estimer la précision des résultats sans procéder aux mesures.

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Une mesure dans la « norme »

Il est possible d’associer aux « vi » des éléments de précision

PlAPAAx T1T 1TPAAQ xx

lAxv )( 11vv TAANPQ

Wi est l’erreur résiduelle normée.

)1,0(NqVW

iviv

ii

Loi normale (en cloche)

Si Wi est < à 3.5, la mesure est dans la norme (99.95%), statistiquement correcte.

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Répartition de la surabondance

Une compensation n’a de sens que s’il y a plus de mesures que d’inconnues (=surabondance).Surabondance=n-u

n=nombre d’observationsu=nombre d’inconnues

Chaque mesure reçoit une part de la surabondance en fonction de la géométrie et de son erreur moyenne (poids)

ll

vviz Q

Q unzi

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Interprétation et utilisation des Zi

Plus Zi est grand, plus l’observation est contrôlée.Cas extrêmes:Zi=0 % La mesure n’est pas du tout

contrôléeZi=100 %

La mesure est totalement contrôlée (ne sert à rien)

Zi=20 %

La mesure est suffisamment contrôlée (seuil)Le Zi, redondance partielle, est un élément de

fiabilité.Il peut être utilisé pour lui-même ou contribuer au calcul d’autres indicateurs.C’est un « convertisseur » entre le monde des observations et celui des résidus.

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Le gi ou faute probable

Si Wi est plus grand que 3.5, le résidu est hors norme et la mesure est considérée comme fausse.Grâce au Zi et à sa propriété de convertisseur, on peut relier Vi à l’observation et ainsi estimer la faute commise: gi

iii Z

Vg

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Le li ou faute détectable

ii

iVi Zl

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Utilisation de li

Il peut être utilisé, pour lui-même, au niveau de l’observation.Connaissant les relations entre les observations et les inconnues, on peut calculer l’effet de li au niveau des coordonnées. On parle alors de fiabilité externe.Chaque li influence (plus ou moins) les coordonnées. On ne retient que le plus défavorable. On cherche ensuite le li qui aura l’effet maximum perpendiculairement au premier. On forme ainsi un rectangle de fiabilité.

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Le rectangle de fiabilité

0000l

0

RXYXY i

a2

a2

a1

a1

000l

00

RXYXY

i

b2

b2

b1

b1

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Utilisation des indicateurs de fiabilité

Aide à la conception de réseau et à l’établissement de règles de base (rabattement, réseaux de PFP…)Recherche de fautes dans les observationsQualification des résultats

Les indicateurs de précision et de fiabilité traduisent en chiffres notre bon sens et notre pratique.Ils nous aident dans les cas difficiles ou notre bon sens est dépassé.

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Illustration 1: excentrique et rabattement

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Illustration 2: les polygonales

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Déroulement d’un calcul LTOP

Préparation des trois fichiers•Le fichier des

coordonnées

•Le fichier des mesures•Le fichier de commandes

définitives pour les points de rattachementprovisoires pour les points nouveaux

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Organisation du fichier de coordonnées

$$PK 09-26-1996 12:10GPSND2 583388.3022 138192.8824 1576.8883 MI 0.6863 CH -17.1 14.5GPS1 584788.6505 138022.1527 2045.1655 MI 0.7179 CH -13.2 16.4GPS2 582588.0822 135818.5599 1905.7339 MI 0.6944 CH -18.3 13.8GPS3 581222.8605 136328.8011 2171.9194 MI 0.6467 CH -20.3 8.9GPS4 581753.1048 138113.8250 2011.8897 MI 0.6397 CH -21.6 14.1GPSNG3 583160.3621 138176.0595 1544.0087 MI 0.6805 CH -13.3 12.78 583439.7366 138250.3908 1571.88549 583390.3220 138191.9730 1576.745910 583377.9104 138134.5671 1573.1343

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Organisation du fichier de mesures

C’est une préparation à la confection des tableaux:une ligne par observation

un code par type d’observation

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Organisation du fichier de mesures$$MESLSess1 YX--H--LYGPS2 582588.1083LXGPS2 135818.5424LHGPS2 1905.7356LYGPS4 581753.1303LXGPS4 138113.8109LHGPS4 2011.8870LYGPSND2 583388.3024LXGPSND2 138192.8839LHGPSND2 1576.8875LYGPSNG3 583160.4069LXGPSNG3 138176.0251LHGPSNG3 1544.0051STGPSND2 RI8 151.1505 RI10 315.9286 STGPSND2 4 1.45 DS8 77.318 1.720DS10 59.350 1.435STGPSND2 1.45ZD8 103.7917 3 1.720ZD10 103.9029 3 1.435

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Organisation du fichier de commandes

IF nom_fichier.koo nom_fichier.mesOF nom_fichier.prn nom_fichier.res nom_fichier.ipl00Commentaires 100Commentaires 201KOORD 0 20 30 10 1501RUNDUNG 4 301KAT 2 302LAGEITER 203HOEHEITE 206DIST.GR. 4 5 EDM 5 006GPS YX11H-- 1 1 1 1 1 - -07MF RI+AZ 7 209MF H.DIS 14 2810MF HW 1011MF IH-SH 32 1017PROGVERS 4 0 1 4220NULLBERN 600000 200000 021PLOT 0 021PLOT 0 0308 3010358351097ENDE

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Déroulement d’un calcul LTOP

Préparation des trois fichiersCalcul libre-libre (robuste)

Calcul libre-ajusté (01KOORD)

Calcul rattaché, compensation forcée

recherche des fautes de mesures

test et choix des points de rattachement

calcul final, analyse de précision et de fiabilité

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Analyse d’un calcul LTOP

Dans l’ordre d’impression

•la réduction des distances et les visées réciproques•les abriss, les Vi, les écarts latéraux, les indicateurs de fiabilité locale, les corrections d’échelle, les paramètres de Helmert (GPS)

•les messages d’erreur

•les quotients des erreurs moyennes

•le tableau des coordonnées finales, avec les ellipses d’erreur et les rectangles de fiabilité, les accroissements des coordonnées

•les facteurs d’échelles et la constante d’addition (y.c. les erreurs moyennes)

Documents

Qu’est-ce que LTOP et que fait-il?