DimensionS FractaleS comme descripteurs de l'hétérogénéité spatiale: Notes de lecture et questions pratiques.

Nicolas BezIRD Sète

Question de départ :Le variogramme (d’ordre 2) permet-il de calculer la dimension fractale ?La formule

est-elle valide ?

12

D N

Ça dépendSi oui : de qui ? comment ? pourquoi ?Si non : pourquoi ? Autre solutions ?

La genèse des fractales par l’exemple.

En général, lorsqu’un objet simple (ligne droite, carré, cube, etc) est divisé en N éléments similaires chacun linéairement k fois plus petit, la dimension topologique d de l’objet est telle que :

N=kd

6 éléments identiques 6 fois plus petits

d=1 4 éléments identiques 2 fois plus petits dans chacun de leur dimensions

(homothétie de rapport ½)d=2

La mesure de ces objets (longueur, surface, volume) est finie.

log( ) log(nbre d'éléments)dlog( ) log(inverse du rapport d'homothétie)Nk

Courbe de Koch

Chaque élément contient 4 éléments 3 fois plus petits:

log(4) 1.262 1log(3)

D

Dimension fractale correspond à la dimension d’homothétie (abusivement appelée dimension de Hausdorff; il y a identité dans les cas d’objets homothétiques comme c’est le cas ici).

La mesure (longueur, surface, volume) de ces objets est infinie. Ici, la longueur de la courbe obtenue à la limite du processus est infinie.

Ensemble de Cantor

Chaque élément contient 2 éléments 3 fois plus petits:

log(2) 0.63 1log(3)

D

Le résultat du processus est un objet entre « point » (d=0) et « ligne » (d=1).

Self-similarity, auto-homothétie, Absence d’échelle caractéristique,Systèmes emboîtés, hiérarchisés

Les fractales sont auto-homothétiques

PoissonsGroupes= +sieurs poissonsBanc= +sieurs GroupesClusters= +sieurs BancsPopulation= +sieurs Clusters

Phénomènes turbulents Ex. Tourbillons, eddies, filaments, etc

Les fractales sont rugueuses

RugositéNon différentiabilité

Malgré cette dualité, Mandelbrot (1977) fournit une définition non équivoque:

« a fractal is a set in a metric space for which the Hausdorff-Besicovitch dimension is greater than the topological dimension »

« Pédagogie » des fractales basées sur des processus

auto-similaires

Dimension d’homothétie

Dimension fractale

Dimension de Hausdorff

Fractale = Deux thèmes (Dimension non entière; auto-homothétie)

Et une équivoque : toujours demander/préciser dans quel sens le mot fractal est utilisé

Par habitude les fractales sont le plus souvent associées à l’auto-homothétie.

Matheron : « On est prié de ne pas confondre :

Fractale : dimension de Hausdorff non entière (i.e. extrême rugosité), propriété purement locale

Et

Auto-homothétie : propriété globale »

1 brownien ordinaire

Quelques remarques générales

Une F.A. peut être à la fois fractale et stationnaire.

Une F.A. auto-homothétique n’est jamais stationnaire.Matheron:   « si vous êtes à la fois stationnaire et auto-homothétiques, alors chapeau : vous êtes un pur bruit blanc! »

Il existe des objets auto-homothétiques mais non fractals.Ex.: une droite dans R2 ou R3, un plan dans R3

Mesure et dimension de Hausdorff-Besicovitch

{ ( , )} inf ( )m

dMeas mZ x y g d

(1/ 2)( ) (1) 1, (2) , (3)4 6(1 )

2

d

g d g g gd

Mesure de recouvrement

0

{ ( , )} lim { ( , )}Meas MeasHB Z x y Z x y

Mesure de Hausdorff-Besicovitch

Dimension de Hausdorff-Besicovitch

tel que 0 { ( , )}Measd HB Z x y

Cas des mouvements browniens (fractionnaires)

Caractérisation géostatistique

Auto-homothétie2

( )Définition générale : ( ) ,

( ): ( ) ,

I rhI h rr

I rhBrownien I h rr

Les mouvements browniens fractionnaires sont auto-homothétiquesavec une dimension d’homothétie égale à α/2.

/ 21

( ),( ) ( ) ( ) indépendants, gaussiens, stationnaires

( ) 0.5 var ( ) , [0, 2]

1 brownien ordinaire

( ) 0.5 | ( ) ( ) | ( ) '

B x x RI h B x h B x

h I h kh

h E B x h B x h k h

max min

/2-1

Sur ,le graphe de ( ) s'inscrit dans un pavé de taille h (B (x,x+h)-B (x,x+h))

En moyenne, il peut être donc être recouvert par h boules (carrés) de diamètre h.

Sur [0,1], il y 1/h inter

x x hB x

/2-2Measvalles de taille h # h

et on trouve 2 / 2 D

Dimension de HB

Le graphe d’un processus brownien ordinaire (α=1) mono-dimensionel est une courbe de dimension topologique 1 dans un espace de dimension 2 (une dimension pour x et une dimension pour B(x)) et de dimension fractale 1.5 (1.5=2-0.5).

A 2D, on obtient des surfaces (objets de dimension topologique 2) dans un espace de dimension 3 (deux dimensions pour (x,y) et une dimension pour B(x,y)) et de dimension fractale 2.5 (2.5=3-0.5).

1 / 2 D N

Variogramme d’ordre 1 en hα/2

Proposition:Variogramme d’ordre 1 plutôt que variogramme d’ordre 2

Même covariance Mais

variogrammes d’ordre 1 différents.

Brownien

Ambarzumian

Markov à 2 états

1 2

/ 21.5

1 / 2 1DD N N

1 2

11

DD N

1 2

11

DD N

Proposition:

La définition de la dimension fractale (dimension de HB) est peu opératoire.

La pente en log-log du variogramme d’ordre 1 est un estimateur1. Correct de la dimension fractale (i.e. de la dimension de

Hausdorff)2. Plus robuste

L’utilisation de α/2, demie pente en log-log du variogramme (d’ordre 2) n’est justifiée que pour les cas gaussiens.

On peut utiliser le variogramme d’ordre 2 pour autant que l’on connaisse le lien entre variogramme d’ordre 1 et 2:

1 2

1 2

Model mosaïque : ~

Model diffusion : ~

Dimension d’homothétie et de Hausdorff

Bruno et Raspa (1989): Pour les ensembles self similaires, la dimension de HB peut être calculée par la formule simplifiée

qui correspond aux dimensions d’homothétie définissant les premiers objets fractals.

log( ( ))log(1/ )ND

Pour tester le caractère auto homothétique d’une fonction, e donc valider l’utilisation de on peut donc tester le caractère linéaire en log-log de l’évolution de la mesure de cette fonction en fonction de la résolution.

Rq.: En pratique, la résolution nécessairement bornée des observations impose une non linéarité de ces graphes.

log( ( )) / log(1/ )D N

Quid des effets de pépites apparents (régularisation) ?

Effets de pépites

Processus non homothètique.D=N+1 (D=2 pour le graphe d’une pépite 1D)Pente log-log de γ1 = 0

Régularisation par chevauchement de supports

élémentaires. Situation pratique différente.

Dimension d’homothétie:Des exemples instructifs

Mouvement Brownien Fractionnaire:1( )

( ) ( )1

h h

Z x Z xD N

Mais :( ) ( )

( ) ( ) auto-homothétiqueet pourtant 1 ( )

Y x x B x

Z x Z xD N Matheron

Processus de Lévy( ) (log( )), ( )

( ) ( ) auto-homothétiqueet pourtant longueur finie 1 (non fractal)

Z x x Y x Y x FASt

Z x Z xD

Si le variogramme d’ordre 1 existe, alors:

1D N

Des fractales pour quoi faire ?

Bruno and Raspa : Without doubt the D is a parameter that measures an interesting aspect of the degree of irregularity of the random functions that geostatisticians have always examined through the generic « behaviour near the origin of the variogram». The D is a better synthesis because it quantifies in a simple manner some of the aspects of fuzzy statements of the type : «one function is more irregular than the other».

Des phénomènes auto-homothétiques ne se rencontrent pas dans la nature. Gammes d’échelles de validité des modèles réduites par nature et par limitations pratiques d’observations.

The number of references to fractals has been increasing regularly over the last decade (web od science).

Laurent Nottale (astrophysicien): Relativité d’échelle

La longueur L n’est plus une valeur mais une fonction L(r) qui exprime la longueur en fonction de la résolution r.

Ainsi les phénomènes naturels entrent dans une description relative à l’échelle où ils peuvent manifester des comportements fractals à petites échelles et indépendants des échelles au-delà (ou réciproquement).

On cherchera à développer des dynamiques qui peuvent ne pas être fondées sur la différentiabilité (physique classique présuppose l’existence de dérivés).

Il faut donc rendre les modèles explicitement dépendant des échelles/résolutions.

Le concept de fractal devient générateur d’une nouvelle dynamique.

Si on suppose:1. Il existe un très grand nombre de trajectoires potentielles2. Chacune est une courbe fractale3. irréversibilité au niveau infinitésimal

Alors les équations fondamentales deviennent des équations de Schrödinger dont les solutions sont des fonctions de probabilité qui sont naturellement capable de morphogénèse.

Nottale, 1999. La théorie de la relativité d’échelle: réflexions pour une application à l’halieutique. Les espaces de l’halieuique, 4ème Forum Halieumétrique, Rennes, Juin 1999, Eds Gascuel D., P. Chavance, N. Bez et A. Biseau, pp 41-54

Mandelbrot, 1977. Fractals, form, chance and dimension.

Chilès J.P. and P. Delfiner, 1999.Geostatistics, modeling spatial uncertainty. Wiley Ed..

Bruno R. and G. Raspa, 1989. Geostatistical characterisation of fractal models of surfaces. Armstrong (ed.) Geostatistics, Vol. 1, 77-89.

Frontier S, 1987. Development in numerical ecology. NATO ASI Series, Vol. G14, Springer, Berlin

Halley J.M., S. Hartley, A.S. Kallimanis, W.E. Kunin, J.J. Lennon ans S.P. Sgardellis, 2004. Uses and abuses of fractal methodology in ecology. Ecology Letters, 7: 254-271

Matheron G. ~1980. Fractals ! Transparents d’exposé, Fontainebleau.

Nottale L., 1998. La relativité dans tous ses états. Hachette.

Bibliographie utilisées