Équivalence asymptotique entre une expérience associée à un processus de …irma.math.unistra.fr/~gardes/SEMINAIRE/mariucci.pdf · 2015. 12. 1. · Processus de Lévy à sauts

Expériences statistiques Densité de Lévy Conclusions et perspectives

Équivalence asymptotique entre une expérienceassociée à un processus de Lévy à sauts purs et

un bruit blanc gaussien.

Ester Mariucci

Institut für Mathematik, Humboldt-Universität zu Berlin

Université de Strasbourg, 1 décembre 2015

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Table des matières

1 Comparaison des expériences statistiquesDistance entre modèles statistiquesComment majorer la distance de Le CamExemples

2 Équivalence asymptotique dans des modèles à sautsIntroductionDé�nition des expériencesRésultats principauxLes grandes lignes de la preuveÉquivalence asymptotique pour des modèles à densité

3 Conclusions et perspectives

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Distance entre modèles statistiques

La dé�cience

Un statisticien dispose de plusieurs expériences pour estimer uncertain paramètre θ. Comment les comparer ?

Expérience 1 : E1 =(X1, T1, (P1,θ : θ ∈ Θ)

),

).

Dé�nition

La dé�cience (le défaut) de E1 par rapport à E2 est dé�nie par

δ(E1, E2

)= inf

Ksupθ∈Θ

∥∥P2,θ −KP1,θ∥∥V Toù l'inf est pris sur l'ensemble des �transitions� K possibles.

Rappel : ‖µ1 − µ2‖V T = supA |µ1(A)− µ2(A)| = 12L1(µ1, µ2).Remarque : en particulier, les noyaux de Markov sont destransitions.

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La dé�cience

Un statisticien dispose de plusieurs expériences pour estimer uncertain paramètre θ. Comment les comparer ?

),

).

Dé�nition

La dé�cience (le défaut) de E1 par rapport à E2 est dé�nie par

δ(E1, E2

)= inf

Ksupθ∈Θ

∥∥P2,θ −KP1,θ∥∥V Toù l'inf est pris sur l'ensemble des �transitions� K possibles.

Rappel : ‖µ1 − µ2‖V T = supA |µ1(A)− µ2(A)| = 12L1(µ1, µ2).Remarque : en particulier, les noyaux de Markov sont destransitions.

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Distance de Le Cam

Dé�nition

La distance de Le Cam entre E1 et E2 est dé�nie comme

∆(E1, E2

)= max

(δ(E1, E2

), δ(E2, E1

)).

Les expériences E1 et E2 sont dites équivalentes si∆(E1, E2) = 0. Deux suites d'expériences En1 , En2 sontasymptotiquement équivalentes si lim

n→∞∆(En1 , En2 ) = 0.

Propriété : ∆ dé�nit une pseudo-métrique sur la classe detoutes les expériences ayant le même espace des paramètres.

Interprétation : ∆(E1, E2

)peut être vue comme un indicateur

numérique du coût nécessaire pour reconstruire, via destransitions, l'expérience E2 à partir de l'expérience E1 et viceversa.

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Distance de Le Cam

Dé�nition

La distance de Le Cam entre E1 et E2 est dé�nie comme

∆(E1, E2

)= max

(δ(E1, E2

), δ(E2, E1

)).

Les expériences E1 et E2 sont dites équivalentes si∆(E1, E2) = 0. Deux suites d'expériences En1 , En2 sontasymptotiquement équivalentes si lim

n→∞∆(En1 , En2 ) = 0.

Propriété : ∆ dé�nit une pseudo-métrique sur la classe detoutes les expériences ayant le même espace des paramètres.Interprétation : ∆

(E1, E2

)peut être vue comme un indicateur

numérique du coût nécessaire pour reconstruire, via destransitions, l'expérience E2 à partir de l'expérience E1 et viceversa.

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Une caractérisation de la dé�cience

Théorème (Le Cam, 1986)

Soit ε > 0 �xé. On a que δ(E1, E2) ≤ ε si et seulement si : pourtoute fonction de perte L bornée et pour toute règle de décisionπ2 dans E2, il existe une règle de décision π1 dans E1 telle que

Rθ(E1, π1, L) ≤ Rθ(E2, π2, L) + ε, ∀θ ∈ Θ.

Rappel : le risque est

Rθ(E , π, L) =∫ (∫

L(θ, z)π(y, dz)

)Pθ(dy).

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Équivalences asymptotiques

En1 =(X1,n, T1,n,

(P f1,n : f ∈ F

)),

En2 =(X2,n, T2,n,

(P f2,n : f ∈ F

)).

Si deux suites d'expériences (En1 )n∈N et (En2 )n∈N sontasymptotiquement équivalentes au sens de Le Cam :

∆(En1 , En2 )→ 0,

alors les propriétés asymptotiques des procédures d'estimationsont identiques pour ces expériences=⇒ il su�t de choisir la suite d'expériences la plus simplelorsque l'on étudie ces propriétés.

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Comment majorer la distance de Le Cam

Distance ∆0

Soient Ej = (X , T , (Pj,θ : θ ∈ Θ)), j = 1, 2, deux modèlesstatistiques et dé�nissons

∆0(E1, E2) := supθ∈Θ‖P1,θ − P2,θ‖V T .

Propriété

∆(E1, E2) ≤ ∆0(E1, E2).

=⇒ On peut majorer la distance de Le Cam entre expériencesayant le même espace des échantillons en utilisant desmajorations classiques pour la distance en variation totale.

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Comment majorer la distance de Le Cam

Statistiques exhaustives

Soit E1 = (X1, T1, (P1,θ : θ ∈ Θ)) un modèle statistique dominépar la mesure µ. Soit S : (X1, T1)→ (X2, T2) une v.a.

S est dite statistique exhaustive si pour toute v.a.bornée Y sur X1 il existe une version de l'espéranceconditionnelle Eθ[Y |S] qui ne dépend pas de θ et dé�nieµ-p.p.

Propriété (Le Cam, 1986)

Soient Ei = (Xi, Ti, (Pi,θ : θ ∈ Θ)), i = 1, 2, deux modèlesstatistiques. Soit S : X1 → X2 une statistique exhaustive telleque la loi de S sous P1,θ est égale à P2,θ. Alors ∆(E1, E2) = 0.

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Exemples

Résultat de Brown et Low (1996)

1 Modèle de régression non paramétrique.

Yi = f( in

)+ σ

( in

)εi, (εi)1≤i≤n i.i.d. N (0, 1)

Pn =(Rn,B(Rn), (Pnf : f ∈ F )

), Pnf loi de (Y1, . . . , Yn).

2 Modèle de bruit blanc gaussien.

dyt = f(t)dt+σ(t)√ndWt, t ∈ [0, 1] (Wt) m.B.s.

Qn =(C, C, (Qnf : f ∈ F )

), Qnf loi de (yt)t∈[0,1].

Résultat : sous certaines hypothèses sur F , ∆(Pn,Qn)→ 0.

L. D. Brown, M. G. Low, Asymptotic equivalence of nonparametric re-gression and white noise. Ann. Statist. 24 (6) (1996) 2384�2398.

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Exemples

Résultat de Nussbaum (1996)

1 Modèle d'estimation de densité.

(Yi)1≤i≤n v.a. i.i.d. de densité f : [0, 1]→ R.

Pn = (Rn,B(Rn), (Pnf : f ∈ F )), Pnf loi de (Y1, . . . , Yn).

2 Modèle de bruit blanc gaussien.

dyt =√f(t)dt+

1

2√ndWt, t ∈ [0, 1], (Wt) m.B.s.

Qn =(C, C, (Qnf : f ∈ F )

), Qnf loi de (yt)t∈[0,1].

Résultat : si F = {f : f ≥ ε, |f(x)− f(y)| ≤M |x− y|γ}, lesmodèles Pn et Qn sont asymptotiquement équivalents.

M. Nussbaum, Asymptotic equivalence of density estimation and Gaus-sian white noise. Ann. Statist. 24 (6) (1996) 2399�2430.

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Exemples

Bibliographie non exhaustive

Résultats d'équivalence asymptotique dans un contexte nonparamétrique :

Régression non paramétrique (Brown et Low 1996 ; Gramaet Nussbaum 1998, 2002 ; Grama et Neumann 2006 ; Carter2006, 2009 ; Reiss 2008 ; Meister et Reiss 2013,Schmidt-Hieber 2014) ;

Modèles à densité (Nussbaum 1996 ; Carter 2002 ; Brown,Carter, Low et Zhang 2004 ; M. 2015) ;

Modèles de di�usion (Milstein et Nussbaum 1998 ; Delattreet Ho�mann, 2002 ; Genon-Catalot, Larédo et Nussbaum,2002 ; Dalalyan et Reiss 2006, 2007 ; Reiss 2011,Genon-Catalot et Larédo 2014, M. 2015) ;

Modèles de processus à sauts (Grama et Nussbaum 2002 ;M. 2015).

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Exemples

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Exemples

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Introduction

Processus de Lévy

Un processus de Lévy est un processus stochastique àaccroissements stationnaires et indépendants, à trajectoiresp.s. càdlàg.

Les processus de Lévy sont un outil fondamental pourmodéliser des situations où des changements soudainspeuvent se produire.

Ils sont largement utilisés en �nance mais aussi dansd'autres domaine comme, par exemple, lestélécommunications, la statistiques des valeurs extrêmes, lamécanique quantique et la biologie.

Les processus de Lévy à sauts purs ont été suggérés etlargement étudiés pour la modélisation des rendements desactifs.

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Introduction

Processus de Lévy à sauts purs (à variation �nie)

Xt =∑

0 0,

La dynamique des sauts d'un processus de Lévy estentièrement dictée par sa densité de Lévy, notée f .

La mesure de Lévy

ν(A) =

∫Af(x)dx =

1

tE[ ∑

0 0

est le nombre moyen des sauts (par unités de temps) dontl'amplitude appartient au borélien A.

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Introduction

Xt =∑

0 0,

La mesure de Lévy

ν(A) =

∫Af(x)dx =

1

tE[ ∑

0 0

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Introduction

Xt =∑

0 0,

La mesure de Lévy

ν(A) =

∫Af(x)dx =

1

tE[ ∑

0 0

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Introduction

Le problème

Supposons que l'on observe {Xt}t≥0 à des instants équidistants0 = t0 < · · · < tn = Tn →∞ tels que

∆n =Tnn↓ 0 lorsque n→∞.

Problème : comment estimer la densité de Lévy f à partir desobservations discrètes (Xti)

ni=0 ?

Deux questions se posent :1 Peut-on construire un modèle plus simple d'un point de vue

mathématique, mais équivalent du point de vue del'information sur f(·), à partir de l'observation de (Xti)ni=1 ?

2 Quelle quantité d'information sur f(·) perdons-nous enobservant (Xti)

ni=0 à la place de {Xt}t∈[0,Tn] ?

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Introduction

Le problème

Supposons que l'on observe {Xt}t≥0 à des instants équidistants0 = t0 < · · · < tn = Tn →∞ tels que

∆n =Tnn↓ 0 lorsque n→∞.

Problème : comment estimer la densité de Lévy f à partir desobservations discrètes (Xti)

ni=0 ?

Deux questions se posent :1 Peut-on construire un modèle plus simple d'un point de vue

mathématique, mais équivalent du point de vue del'information sur f(·), à partir de l'observation de (Xti)ni=1 ?

2 Quelle quantité d'information sur f(·) perdons-nous enobservant (Xti)

ni=0 à la place de {Xt}t∈[0,Tn] ?

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Dé�nition des expériences

Soit X un processus de Lévy à sauts purs de mesure de Lévyν � ν0, ν0 mesure de Lévy �xée, à support sur I ⊆ R etéventuellement in�nie. On notera f = dνdν0 .

P fTn : loi du processus {Xt}t∈[0,Tn] sur (D,D),Qfn : loi du vecteur (Xt0 , . . . , Xtn) sur (Rn+1,B(Rn+1)),Wfn : loi induite sur (C, C) par

dyt =√f(t)dt+

dWt

2√Tn√g(t)

, g =dν0dx

, t ∈ I.

Les modèles statistiques considérés sont :

Pν0n =(D,D , {P fTn : f ∈ F}

),

Qν0n =(Rn+1,B(Rn+1), {Qfn : f ∈ F}

),

W ν0n =(C, C, {Wfn : f ∈ F}

).

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Soit X un processus de Lévy à sauts purs de mesure de Lévyν � ν0, ν0 mesure de Lévy �xée, à support sur I ⊆ R etéventuellement in�nie. On notera f = dνdν0 .

P fTn : loi du processus {Xt}t∈[0,Tn] sur (D,D),Qfn : loi du vecteur (Xt0 , . . . , Xtn) sur (Rn+1,B(Rn+1)),Wfn : loi induite sur (C, C) par

dyt =√f(t)dt+

dWt

2√Tn√g(t)

, g =dν0dx

, t ∈ I.

Les modèles statistiques considérés sont :

Pν0n =(D,D , {P fTn : f ∈ F}

),

Qν0n =(Rn+1,B(Rn+1), {Qfn : f ∈ F}

),

W ν0n =(C, C, {Wfn : f ∈ F}

).

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Espace des paramètres F

Soit f ∈ F une classe de densités de Lévy par rapport à ν0.(H1) ∃κ,M > 0 : κ ≤ f(y) ≤M , ∀y ∈ I, ∀f ∈ F .

(H2) limn→∞

Tn supf∈F

∫I\(−εmn ,εmn )

(√f −

√f̂mn

)2dν0 = 0,

(H3) limn→∞

Tn supf∈F

(A2mn(f) +B

2mn(f) + nC

2mn(f)

)= 0,

pour certaines suites εmn → 0 et mn →∞ quand n→∞. Ici

f̂m(x) =

m∑j=1

Vj(x)

∫Jj

f(s)ν0(ds); f̂m(x∗j ) =

1

µm

∫Jj

f(s)ν0(ds);

Jj

x∗j0 εmn

ν0(Jj) = µm

x∗j =

∫Jjxν0(dx)

µm

I

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Espace des paramètres

Pour tout m = mn, on a :

A2m(f) :=

∫I\[−εm,εm

] (√̂fm(y)−√f(y))2ν0(dy),B2m(f) :=

∑j=−m...,mj 6=−1,0,1.

(∫Jj

√f(y)√ν0(Jj)

ν0(dy)−√ν(Jj)

)2,

C2m(f) :=

∫ εm−εm

(√f(t)− 1

)2ν0(dt).

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Exemples

Soient γ ∈ (0, 1] et K,κ,M > 0 et soit

F ⊆{f : κ ≤ f(x) ≤M, |f ′(x)−f ′(y)| ≤ K|x−y|γ , ∀x, y ∈ I

}.

1. Le cas ν0 �nie : ν0 ≡ Leb([0, 1]).√∫ 10

(√f −

√f̂m

)2dν0 +Am(f)+Bm(f) = O

(m−γ−1 +m−

32

),

uniformément sur f .

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Exemples

F ⊆{f : κ ≤ f(x) ≤M, |f ′(x)−f ′(y)| ≤ K|x−y|γ , ∀x, y ∈ I

}.

2. Le cas ν0 à variation �nie :dν0dx (x) = x

−1I[0,1](x).Choisissons εm = 1m , µm =

lnmm−1 et maxj |vj−1 − vj | = O

(lnmm

).

∫ 1εm

(√f(x)−

√f̂m(x)

)2ν0(dx)+Am(f)+Bm(f) = O

(( lnmm

)γ+1),

uniformément sur f . Cm(f) dépend du comportement de fproche de 0.

(Ex : f(x) = e−λx2avec un λ uniformément majoré).

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Résultats principaux

Théorème (M., 2015)

Soit m = mn une suite véri�ant les Hypothèses (H1), (H2) et(H3) et εm → 0, m→∞. Pour n assez grand on a :

∆(Qν0n ,Wν0n ) = O

(ν0

(I \ [−εm, εm]

)√n∆2n +

m lnm√n

+√n∆n sup

f∈F

(Am(f) +Bm(f) + L2(f, f̂m)

)+√n√

∆n supf∈F

Cm(f)

).

∆(Pν0n ,Wν0n ) = O

(√n∆n sup

f∈F

(Am(f) +Bm(f) +H(f, f̂m)

)+

√m2

n∆nν0(I \ [−εm, εm])

).

E. Mariucci, Asymptotic equivalence for pure jump Lévy processes withunknown Lévy density and Gaussian white noise. À paraître dans S.P.A. 20 / 34

Remarques

Le résultat précédent reste vrai même dans le cas d'unemesure de Lévy ν0 à variation in�nie. Dans ce cas, (Xt)sera un processus de Lévy à sauts purs de fonctioncaractéristique donnée par :

E[eiuXt

]= exp

(−t(∫

I(1−eiuy)ν(dy)+

∫II|y|≤1yν0(dy)

)).

La majoration de la distance ∆(Qν0n ,Wν0n ) reste valable

sous des hypothèses plus faibles sur f .

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Le cas d'un processus de Poisson composé

Pn : Xt =Nt∑i=1

Yi, t ∈ [0, Tn], densité de Lévy f : [0, 1]→ R;

Qn : (Xti)ni=0, ti = i

Tnn, ∆n :=

Tnn−−−→n→∞

0 et Tn −−−→n→∞

∞;

Wn : dyt =√f(t)dt+

dWt

2√Tn, t ∈ [0, 1];

f ∈ F ={f : κ ≤ f(x) ≤M, |f ′(x)− f ′(y)| ≤ K|x− y|γ

}.

Résultat : les trois modèles Pn, Qn et Wn sontasymptotiquement équivalents.

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Majorations de la distance de Le Cam

Plus précisément nous obtenons :

∆(Pn,Wn) =

O(

(n∆n)− γ

4+2γ

)si γ ∈

(0, 12],

O(

(n∆n)− 1

10

)si γ ∈

(12 , 1].

Lorsque ∆n = n−β , 12 < β < 1, une borne supérieure pour lavitesse de convergence de ∆(Qn,Wn) est

∆(Qn,Wn) =

O(n− γ+β

4+2γ lnn)

si γ ∈(0, 12)et 2+2γ3+2γ ≤ β < 1,

O(n

12−β lnn

)si γ ∈

(0, 12)et 12 < β <

2+2γ3+2γ ,

O(n−

2β+110 lnn

)si γ ∈

[12 , 1]et 34 ≤ β < 1,

O(n

12−β lnn

)si γ ∈

[12 , 1]et 12 < β <

34 .

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Majorations de la distance de Le Cam

Plus précisément nous obtenons :

∆(Pn,Wn) =

O(

(n∆n)− γ

4+2γ

)si γ ∈

(0, 12],

O(

(n∆n)− 1

10

)si γ ∈

(12 , 1].

Lorsque ∆n = n−β , 12 < β < 1, une borne supérieure pour lavitesse de convergence de ∆(Qn,Wn) est

∆(Qn,Wn) =

O(n− γ+β

4+2γ lnn)

si γ ∈(0, 12)et 2+2γ3+2γ ≤ β < 1,

O(n

12−β lnn

)si γ ∈

(0, 12)et 12 < β <

2+2γ3+2γ ,

O(n−

2β+110 lnn

)si γ ∈

[12 , 1]et 34 ≤ β < 1,

O(n

12−β lnn

)si γ ∈

[12 , 1]et 12 < β <

34 .

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Les grandes lignes de la preuve

Idées principales (cas Poisson composé)

But : (Xti)ni=0

∆⇐⇒ (yt)t∈[0,1], oùX processus de Poisson composé de densité f sur [0, 1],

dyt =√f(t)dt+ 1

2√TndWt, t ∈ [0, 1].

Notation : Jj =( j−1m ,

jm ], θj =

∫Jjf(x)dx, λ =

∫ 10 f(x)dx.

Étape 1. Approximation de Bernoulli :

(Xti −Xti−1)i∆⇐⇒ (εiYi)i (εi ∼ B(α) avec α = λ∆ne−λ∆n).

Étape 2. Approximation multinomiale :

(εiYi)i∆⇐⇒M(n; (γ0, γ1, . . . , γm)), avec γ0 = 1− α et γi := α θiλ

i = 1, . . . ,m.Étape 3. Approximation gaussienne :

M(n; (γ0, γ1, . . . γm))∆⇐⇒⊗m

j=1N (2√Tnθj , 1).

Étape 4.⊗m

j=1N (2√Tnθj , 1)

∆⇐⇒ (yt)t∈[0,1].

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But : (Xti)ni=0

dyt =√f(t)dt+ 1

2√TndWt, t ∈ [0, 1].

jm ], θj =

∫Jjf(x)dx, λ =

∫ 10 f(x)dx.

M(n; (γ0, γ1, . . . γm))∆⇐⇒⊗m

j=1N (2√Tnθj , 1).

Étape 4.⊗m

j=1N (2√Tnθj , 1)

∆⇐⇒ (yt)t∈[0,1].

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But : (Xti)ni=0

dyt =√f(t)dt+ 1

2√TndWt, t ∈ [0, 1].

jm ], θj =

∫Jjf(x)dx, λ =

∫ 10 f(x)dx.

i = 1, . . . ,m.

Étape 3. Approximation gaussienne :

M(n; (γ0, γ1, . . . γm))∆⇐⇒⊗m

j=1N (2√Tnθj , 1).

Étape 4.⊗m

j=1N (2√Tnθj , 1)

∆⇐⇒ (yt)t∈[0,1].

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But : (Xti)ni=0

dyt =√f(t)dt+ 1

2√TndWt, t ∈ [0, 1].

jm ], θj =

∫Jjf(x)dx, λ =

∫ 10 f(x)dx.

M(n; (γ0, γ1, . . . γm))∆⇐⇒⊗m

j=1N (2√Tnθj , 1).

Étape 4.⊗m

j=1N (2√Tnθj , 1)

∆⇐⇒ (yt)t∈[0,1].

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But : (Xti)ni=0

dyt =√f(t)dt+ 1

2√TndWt, t ∈ [0, 1].

jm ], θj =

∫Jjf(x)dx, λ =

∫ 10 f(x)dx.

M(n; (γ0, γ1, . . . γm))∆⇐⇒⊗m

j=1N (2√Tnθj , 1).

Étape 4.⊗m

j=1N (2√Tnθj , 1)

∆⇐⇒ (yt)t∈[0,1].

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Approximation de Bernoulli : étape 1

∆(

(Xti −Xti−1)i, (εiYi)i)

= O(√n∆2n) : Remarquons que

Xti −Xti−1L=∑Pi

j=1 Yj avec Pi v.a. de Poisson de moyenne

λi = λ∆n. Comme λ =∫ 1

0 f(x)dx, λi ≤M∆n pour tout i.

Lemme (M., 2015)

Soient (Pi)ni=1 v.a. indépendantes de loi Poisson de paramètre

λi, (Yi)ni=1 v.a. i.i.d. et (εi)

ni=1 v.a. indépendantes de loi

Bernoulli de paramètres αi := λie−λi . Les vecteurs (Pi)

ni=1,

(Yi)ni=1 et (εi)

ni=1 sont indépendants entre eux. Si on note par

Q(Yi,Pi) (resp. Q(Yi,εi)) la loi de∑Pi

j=1 Yj (resp. εiYi), alors

∥∥∥∥ n⊗i=1

Q(Yi,Pi) −n⊗i=1

Q(Yi,εi)

∥∥∥∥V T

≤ 2

√√√√ n∑i=1

λ2i .

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Approximation multinomiale : étape 2

δ((εiYi)i,M(n; (γ0, . . . , γm)) = 0 : il su�t de considérer les v.a.

Z0 =

n∑j=1

I{0}(εjYj); Zi =n∑j=1

IJi(εjYj), i = 1, . . . ,m.

∆((εiYi)i, (εiŶi)i

)≤√n∆n supf∈F H(f, f̂m), avec Ŷi ∼ f̂m/λ :

calcul direct de la distance en variation totale.δ(M(n; γ0, . . . , γm), (εiŶi)i

)= 0 :

L∗ v.a. concentrée aux points 0, x∗i =2i−12m avec masses γi.

M(n; γ0, . . . , γm) équivaut à observer n copiesindépendantes de L∗.

On utilise le noyau :

x∗i−1 x∗i x∗i+1

mVi

K(x∗i , A) =

{IA(0) si i = 0∫A Vi(x)dx autrement.

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Z0 =

n∑j=1

IJi(εjYj), i = 1, . . . ,m.

calcul direct de la distance en variation totale.

δ(M(n; γ0, . . . , γm), (εiŶi)i

)= 0 :

mVi

K(x∗i , A) =

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Z0 =

n∑j=1

IJi(εjYj), i = 1, . . . ,m.

calcul direct de la distance en variation totale.δ(M(n; γ0, . . . , γm), (εiŶi)i

)= 0 :

mVi

K(x∗i , A) =

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Approximation gaussienne : étape 3

Résultats de Carter :Soit N (µ,Σ) la distribution normale multivariée avec lesmêmes moyens et matrice de covariance queM(n; γ0, . . . , γm). Alors,

∆(M(n; γ0, . . . , γm),N (µ,Σ)) = O(m lnm√

n

).

Comment passer de N (µ,Σ) à une expérience àcoordonnées indépendantes :

∆

(N(µ,Σ

),

m⊗j=0

N (nγi, nγi))

= O( m√

n

).

Des calculs standards combinés avec ces résultats donnent :

∆(M(n; γ0, . . . , γm),

m⊗j=1

N (2√Tnθj , 1)

)= O

(m lnm√n

+√n∆3n

).

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Approximation gaussienne : étape 3

Résultats de Carter :Soit N (µ,Σ) la distribution normale multivariée avec lesmêmes moyens et matrice de covariance queM(n; γ0, . . . , γm). Alors,

∆(M(n; γ0, . . . , γm),N (µ,Σ)) = O(m lnm√

n

).

Comment passer de N (µ,Σ) à une expérience àcoordonnées indépendantes :

∆

(N(µ,Σ

),

m⊗j=0

N (nγi, nγi))

= O( m√

n

).

Des calculs standards combinés avec ces résultats donnent :

∆(M(n; γ0, . . . , γm),

m⊗j=1

N (2√Tnθj , 1)

)= O

(m lnm√n

+√n∆3n

).

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Comment passer d'une suite de gaussiennesindépendantes à un bruit blanc : étape 4

∆(⊗m

j=1N (2√Tnθj , 1),

⊗mj=1

(y jm− y j−1

m

))→ 0 : des

calculs standards donnent une majoration de la distance deLe Cam égale à

√Tnm

−γ .

δ(

(yt)t∈[0,1],⊗m

j=1

(y jm− y j−1

m

))= 0 : évident.

δ(⊗m

j=1

(y jm− y j−1

m

), (yt)t∈[0,1]

)→ 0 : en construisant une

transition explicite, on peut trouver la même vitesse deconvergence

√Tnm

−γ .

Ceci entraîne :

∆

( m⊗j=1

N(2√Tnθj , 1

), (yt)t∈[0,1]

)= O

(√Tnm

−γ).

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∆(⊗m

j=1N (2√Tnθj , 1),

⊗mj=1

(y jm− y j−1

m

))→ 0 : des

√Tnm

−γ .

δ(

(yt)t∈[0,1],⊗m

j=1

(y jm− y j−1

m

))= 0 : évident.

δ(⊗m

j=1

(y jm− y j−1

m

), (yt)t∈[0,1]

√Tnm

−γ .

Ceci entraîne :

∆

( m⊗j=1

N(2√Tnθj , 1

), (yt)t∈[0,1]

)= O

(√Tnm

−γ).

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∆(⊗m

j=1N (2√Tnθj , 1),

⊗mj=1

(y jm− y j−1

m

))→ 0 : des

√Tnm

−γ .

δ(

(yt)t∈[0,1],⊗m

j=1

(y jm− y j−1

m

))= 0 : évident.

δ(⊗m

j=1

(y jm− y j−1

m

), (yt)t∈[0,1]

√Tnm

−γ .

Ceci entraîne :

∆

( m⊗j=1

N(2√Tnθj , 1

), (yt)t∈[0,1]

)= O

(√Tnm

−γ).

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But : (Xt)t∈[0,Tn]∆⇐⇒ (yt)t∈[0,1], où

X est un processus de Poisson composé de densité f ,dyt =

√f(t)dt+ 1

2√TndWt, t ∈ [0, 1].

Étape 1. Passer de la densité f à f̂mP fTn

∆⇐⇒ P f̂mTn (majoration de la distance en variation totale).

Étape 2. Approximation poissonienne :

P f̂mTn∆⇐⇒⊗m

j=1 P(Tnθj) (transformations de type Esscher,statistique exhaustive, contrôle distance L1, constructionexplicite d'un noyau).

Étape 3. Approximation gaussienne :⊗mj=1 P(Tnθj)

∆⇐⇒⊗m

j=1N (2√Tnθj , 1) (résultats de Brown,

Carter, Low et Zhang).

Étape 4.⊗m

j=1N (2√Tnθj , 1)

∆⇐⇒ (yt)t∈[0,1].

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But : (Xt)t∈[0,Tn]∆⇐⇒ (yt)t∈[0,1], où

√f(t)dt+ 1

2√TndWt, t ∈ [0, 1].

∆⇐⇒⊗m

Étape 4.⊗m

j=1N (2√Tnθj , 1)

∆⇐⇒ (yt)t∈[0,1].

29 / 34

But : (Xt)t∈[0,Tn]∆⇐⇒ (yt)t∈[0,1], où

√f(t)dt+ 1

2√TndWt, t ∈ [0, 1].

∆⇐⇒⊗m

Étape 4.⊗m

j=1N (2√Tnθj , 1)

∆⇐⇒ (yt)t∈[0,1].

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But : (Xt)t∈[0,Tn]∆⇐⇒ (yt)t∈[0,1], où

√f(t)dt+ 1

2√TndWt, t ∈ [0, 1].

∆⇐⇒⊗m

Étape 4.⊗m

j=1N (2√Tnθj , 1)

∆⇐⇒ (yt)t∈[0,1].29 / 34

Équivalence asymptotique pour des modèles à densité

Une extension du résultat de Nussbaum (1996)

Pgn : (Yi)ni=1 v.a. i.i.d. de densité fg : I → R,

W gn : dyt =√f(t)g(t)dt+

dWt2√n, t ∈ I.

g est connue,

f est inconnue et appartient à une certaine classe F .

Sous des conditions appropriées sur F on peut montrer quelimn→∞∆(P

gn,W

gn ) = 0.

E. Mariucci, Asymptotic equivalence for density estimation and Gaussianwhite noise : An extension. À paraître dans Ann. de l'ISUP.

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Une extension du résultat de Nussbaum (1996)

Pgn : (Yi)ni=1 v.a. i.i.d. de densité fg : I → R,

W gn : dyt =√f(t)g(t)dt+

dWt2√n, t ∈ I.

g est connue,

f est inconnue et appartient à une certaine classe F .

Sous des conditions appropriées sur F on peut montrer quelimn→∞∆(P

gn,W

gn ) = 0.

E. Mariucci, Asymptotic equivalence for density estimation and Gaussianwhite noise : An extension. À paraître dans Ann. de l'ISUP.

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Nouveauté par rapport aux travaux antérieurs

Remarque : on retrouve le résultat de Nussbaum (1996) au casoù g(x) = 1 et I = [0, 1].

Avantages :

Les v.a. Yi sont dé�nies sur un intervalle I ⊆ R, pasforcément borné.

Nous pouvons traiter le cas des v.a. à densité (h = fg) nonnécessairement bornées ni lisses.

Techniques de preuve : approximation multinomiale-normalemultivariée (associée à un choix d'une partition adéquate de I),construction explicite des noyaux réalisant l'équivalenceasymptotique.

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Avantages :

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Avantages :

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Soit (Jj)1≤j≤m une partition de I telle que∫Jjg(x)dx ne dépend

pas de j et soit f̂m une approximation adéquate de f .

Étape 1. Passer de f à f̂m : ∆(Pgn, P̂

gn)→ 0 où P̂gn est le

modèle statistique associé aux v.a. i.i.d. Ŷi ayant densité f̂mg.

(Ŷi)i∆⇐⇒M(n; γ1, . . . , γm), où γi :=

∫Jif(x)g(x)dx

i = 1, . . . ,m.

M(n; γ1, . . . γm)∆⇐⇒⊗m

j=1N (2√nγj , 1).

Étape 4 :⊗m

j=1N (2√nγj , 1)

∆⇐⇒ (yt)t∈I .

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(Ŷi)i∆⇐⇒M(n; γ1, . . . , γm), où γi :=

∫Jif(x)g(x)dx

i = 1, . . . ,m.

M(n; γ1, . . . γm)∆⇐⇒⊗m

j=1N (2√nγj , 1).

Étape 4 :⊗m

j=1N (2√nγj , 1)

∆⇐⇒ (yt)t∈I .

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(Ŷi)i∆⇐⇒M(n; γ1, . . . , γm), où γi :=

∫Jif(x)g(x)dx

i = 1, . . . ,m.

M(n; γ1, . . . γm)∆⇐⇒⊗m

j=1N (2√nγj , 1).

Étape 4 :⊗m

j=1N (2√nγj , 1)

∆⇐⇒ (yt)t∈I .

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(Ŷi)i∆⇐⇒M(n; γ1, . . . , γm), où γi :=

∫Jif(x)g(x)dx

i = 1, . . . ,m.

M(n; γ1, . . . γm)∆⇐⇒⊗m

j=1N (2√nγj , 1).

Étape 4 :⊗m

j=1N (2√nγj , 1)

∆⇐⇒ (yt)t∈I .

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Conclusions et perspectives

Conclusions.

Nous avons prouvé un résultat d'équivalence asymptotiqueentre un modèle statistique associé à l'observation discrèted'un processus de Lévy à sauts purs et un modèle de bruitblanc gaussien.

La preuve est constructive.

Certaines techniques utilisés dans les preuves peuvent êtreexploités pour obtenir une extension du résultat deNussbaum.

Perspectives. Des extensions possibles de ce travail sont :

Estimation non paramétrique de la densité de Lévy.

Équivalence asymptotique pour des modèles de Lévydépendant aléatoirement du temps.

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Conclusions.

Nous avons prouvé un résultat d'équivalence asymptotiqueentre un modèle statistique associé à l'observation discrèted'un processus de Lévy à sauts purs et un modèle de bruitblanc gaussien.

La preuve est constructive.

Certaines techniques utilisés dans les preuves peuvent êtreexploités pour obtenir une extension du résultat deNussbaum.

Perspectives. Des extensions possibles de ce travail sont :

Estimation non paramétrique de la densité de Lévy.

Équivalence asymptotique pour des modèles de Lévydépendant aléatoirement du temps.

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Merci pour votre attention !

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Comparaison des expériences statistiquesDistance entre modèles statistiquesComment majorer la distance de Le CamExemples

Équivalence asymptotique dans des modèles à sautsIntroductionDéfinition des expériencesRésultats principauxLes grandes lignes de la preuveÉquivalence asymptotique pour des modèles à densité

Documents

Équivalence asymptotique entre une expérience associée à un processus de …irma.math.unistra.fr/~gardes/SEMINAIRE/mariucci.pdf · 2015. 12. 1. · Processus de Lévy à sauts