- Détermination de la conductivité thermique d'un matériau ...€¦ · Présentation du roblèmep Développement asymptotique Justi cation mathématique Homogénéisation périodique

Etude mathématiqueRésultats numériques

Détermination d'un volume élémentaire représentatif

Détermination de la conductivité thermique d'unmatériau composite par homogénéisation périodique

Inuence de la résistance thermique de contact

Abdelghani MATINE

MASTER 2 : Ingénierie mathématique

Dirigé par : Nicolas BOYARD Yvon JARNY

Patrice CARTRAUD Gregory LEGRAIN

Abdelghani MATINE



PLAN

1 Etude mathématique

Présentation du problème

Développement asymptotique

Justication mathématique

2 Résultats numériques

Implémentation

Validation en 1D

Validation en 2D

3 Détermination d'un volume élémentaire représentatif

Dénition

Première approche

deuxième approche

Abdelghani MATINE



Introduction généralepourquoi on s'intéresse à l'homogénéisation des composites

Les composites sont de plus en plus utilisés en aéronautique car :

1 grande résistance à la fatigue

2 faible vieillissement sous l'actionde l'humidité et de la chaleur

3 insensibles aux produitschimiques comme les graisses,huiles, liquides hydrauliques,peintures, pétrole...

Connaitre la conductivité thermique eective d'un matériau

permet :1 de calculer le champ de température dans une piéce pour des C.L données.

2 d'utiliser ce résultat pour prédire l'évolution des propriétés thermomécaniquesdans les conditions d'utilisation

Pour calculer la conductivité eective il y'a deux possibilités :1 détermination expérimentale

2 par le calcul(notre objectif)

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Présentation du problèmeDéveloppement asymptotiqueJustication mathématique

INTRODUCTION : Qu'est ce que c'est l'homogénéisation

Dénition

Calculer les propriétés d'un matériau homogéne ctif équivalent à

un matériau hétérogène à partir de sa microstructure et des

propriétés de chacune de ses constituants.

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Homogénéisation périodiqueDescription géométrique

On s'intéresse à l'homogénéisation périodique car le developpement

mathématique est connu lorsque le matériau a une structure

périodique

Fig.: Un matériau périodique Ω dans R²

Géométrie

1 Domaine Ω

2 DomaineΩm : lamatrice

3 Domaine Ωf : les fibres

Variables

1 Macroscopique x = zL

2 Microscopique y = zλ

3 Echelle ε = λL

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Equation de la chaleur

L'équation de la chaleur en régime stationnaire sans source de

chaleur et avec un contact imparfait s'écrit sous la forme :

Equations

8>>>>>>><>>>>>>>:

divy (Am (y)∇yumε (x, y)) = 0 dans Ωm

divy“Af (y)∇yufε (x, y)

”= 0 dans Ωf

−Am (y)∇yumε (x, y) .−→n = −Af (y)∇yufε (x, y) .−→n sur Ωf−m = Ωm ∩ Ωf

−Am (y)∇yumε (x, y) .−→n = hλ“umε (x, y)− ufε (x, y)

”sur ∂Ωf−m = Ωm ∩ Ωf

uε = 0 sur ∂Ω

1 h = 1Rtc

2 Bi = hλAm

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La formulation variationnelle

La formulation variationnelle est :

Formulation variationnelle(trouver uε ∈ H1

0 (Ω) tels que∀ v ∈ H10 (Ω) on a :´

Ω∇yv.A.∇yuεdΩ +´∂Ωf−m

hλ“umε (x, y)− ufε (x, y)

” `vm (x, y)− vf (x, y)

´ds = 0

On applique le théorème de LAX-MILGRAM pour prouver

l'existence et l'unicité de la solution

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Introduction

On fait l'hypothèse que le champ de température admet un développementasymptotique à l'ordre 2 :

Développement asymptotique(uε (x, y) = u0 (x, y) + εu1 (x, y) + ε2u2 (x, y) +O

`ε²´

v (x, y) = v0 (x, y) + εv1 (x, y) + ε2v2 (x, y) +O`ε²´

On injecte ce développement dans la formulation variationnelle ,et on regroupe lestermes selon leur puissance, nous obtenons :

(´Ω∇yv0.A.∇yu0dΩ +

´∂Ωf−m

λh“um0 − u

f0

” “vm0 − v

f0

”ds)ε0

(´Ω∇yv0.A.∇xu0 +∇yv0.A.∇yu1 +∇xv0.A.∇yu0 +∇yv1.A.∇yu0 +´∂Ωf−m

λh““um0 − u

f0

” “vm1 − v

f1

”+“um1 − u

f1

” “vm0 − v

f0

””= 0)ε1

(´Ω`∇xv0.A.∇xu0 +∇xv0.A.∇yu1 +∇yv1.A.∇xu0 +∇yv1.A.∇yu1

´+´

∂Ωf−mhλ“um1 − u

f1

” “vm1 − v

f1

”)ε2 = 0

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Equations

ε0 =⇒(u0 est continue

u0 (x, y) = u0 (y)

ε1 =⇒ pas d′information

ε2 =⇒

8<:1 :´Ω∇xv0.A.

`∇xu0 +∇yu1

´= 0

2 :´Ω`∇yv1.A.

`∇xu0 +∇yu1

´´dΩ +

´∂Ωf−m

λh“um1 − u

f1

” “vm1 − v

f1

”= 0

On fait le changement pour séparer les deux variables x et y

u1 (x, y) = −∇xu0 (x)w (y)

Equation 1 :P3i=1

´Ω∇xv0.A

èi −∇ywi

´ ∂u0(x)∂xi

= 0

Equation 2´Ω

“∇yv1.A.

∂u0(x)∂xi

èi −∇ywi

´”dΩ +

´∂Ωf−m

λh“wmi − w

fi

” “vm1 − v

f1

”∂u0(x)∂xi

=

0

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Passage à la limite

=⇒︸︷︷︸ε→0

Equation 1 :P3i=1

´Ω∇xv0.A

èi −∇ywi

´ ∂u0(x)∂xi

= 0

Equation 2´Ω

“∇yv1.A.

∂u0(x)∂xi

èi −∇ywi

´”dΩ +

´∂Ωf−m

λh“wmi − w

fi

” “vm1 − v

f1

”∂u0(x)∂xi

=

0

Equationmacroscopique :divx

À∗∇xu0

´= 0

A∗i,j =1

mes(ΩCel)

´ΩCel

A (x, y) .èj −∇ywj

´.ei

Equationmicroscopique :´ΩCel

`∇yv1.A

èi −∇ywi

´´dy +

´∂ΩCel

λh“wmi − w

fi

” “vm1 − v

f1

”ds = 0

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Passage à la limite

=⇒︸︷︷︸ε→0

Equation 1 :P3i=1

´Ω∇xv0.A

èi −∇ywi

´ ∂u0(x)∂xi

= 0

Equation 2´Ω

“∇yv1.A.

∂u0(x)∂xi

èi −∇ywi

´”dΩ +

´∂Ωf−m

λh“wmi − w

fi

” “vm1 − v

f1

”∂u0(x)∂xi

=

0

Equationmacroscopique :divx

À∗∇xu0

´= 0

A∗i,j =1

mes(ΩCel)

´ΩCel


´.ei

Equationmicroscopique :´ΩCel

`∇yv1.A

èi −∇ywi

´´dy +

´∂ΩCel

λh“wmi − w

fi

” “vm1 − v

f1

”ds = 0

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Résumé

Finalement pour résoudre le problème homogénéisé :

Problème homogénéisé

divx (A∗∇xu0) = 0A∗i,j = 1

mes(ΩCel)

´ΩCel

A (x, y) . (ej −∇ywj) .ei

On suit les étapes suivantes :1 Resoudre l′equationmicroscopique´

ΩCel(∇yv1.A (ei −∇ywi)) dy +

´∂ΩCel

λh“wmi − w

fi

”“vm1 − v

f1

”ds = 0

2 Calculer les composantes du tenseur homogeneise :A∗i,j = 1

mes(ΩCel)

´ΩCel


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Introduction

On s'intéresse au cas particulier Rtc = 0(contact parfait)

problème hétérogène

Trouver uε ∈ H10 (Ω)tels que ∀v ∈ H1

0 on a :´Ω∇xv.A.∇xuεdx = 0

problème homogéne

Trouver u0 ∈ H10 (Ω)tels que ∀v ∈ H1

0 on ait´Ω∇xv.A

∗.∇xu0dx = 0A∗i,j = 1

mes(ΩCel)

´ΩCel


Le but est de démontrer que uε 7−→ u0quand ε→ 0

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Etapes de la démonstration

1 uεest borné, donc on peut extraire une sous suite qui converge vers u∗dansH1

0 (Ω)

2 Montrer que A.∇xuε → σ∗faible dans L2 (Ω)

3 limε→0

´Ω∇xv.A.∇xuε =

´Ω∇xv.σ

∗ = 0

4 σ∗ = A∗.∇u∗

5 par unicité on conclut que u∗ = u0

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ImplémentationValidation en 1DValidation en 2D

Logiciels utilisés

1 COMSOL MultiphysicsrCe logiciel utilise les éléments nis pour résoudreles équations aux dérivées partielles

2 MATLAB

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Implémentation

Algorithme 2.1 Algorithme pour calculer Ahom

programme calcul Ahom

==Création de la géométrie

==propriété thermique aux domaines

Km

Kf

==conditions de périodicité

==densité du maillage

==résoudre le problème de w :´ΩCel

`∇yv1.A

èi −∇ywi

´´dy +

´∂ΩCel

λh“wmi − w

fi

” “vm1 − v

f1

”ds = 0

==intégration

A∗i,j = 1mes(ΩCel)

´ΩCel


´.ei

n programme

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On considère la cellule élémentaire suivante :

Hypothèses

1 km = 1W/m.K

2 kf = 50W/m.K

3 l = 1

4 l1 = l3 = 0.8

5 l2 = 0.2

Solution exacte

Kexacte =“kf (l1+l3)+kml2

lkfkm+ 2Rtc

l

”−1

Rtc(m2K/W ) Bi Kexacte Khom

10−4 104 1,243 1,2420.1 10 1,213 1,220103 10−3 10−4 10−4

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Inuence du nombre de Biot

Hypothèses

1 km = 0.2W/m.K

2 taux de fibre = 20%

Remarques

1 L′effet deBi sur Ahom estquasiment nulle partir 500

2 toutes les courbes convergentvers la courbe qui correspondau contact parfait

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Validation avec un composite bicouche

On considére la cellule élémentaire :

Hypothèses

1 λa = 5W/m.K

2 λb = 0.2W/m.K

3 Cb = 0, 4

4 Ca = 0, 6

Remarque

La solution exacte

dans le cas d'un

composite

bicouche est

connue

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Comparaison avec la solution exacte

Rtc : petite (1− Cb)λa + Cbλb 0

0λaλb

cbλa+(1−Cb)λb

! Rtc : grande„(1− Cb)λa + Cbλb 0

0 0

«

Rtc : moderee0@ (1− Cb)λa + Cbλb 0

0

„Cbλa+(1−Cb)λb

λaλb+ 2lRtc

«−1

1A

Rtc Bi aexactxx ahomxx aexactxy ahomxy aexactyx ahomyx aexactyy ahomyy

1 10−5 5.105 3.080 3.079 0 10−14 0 0 0.470 0.468

2 10−1 50 3.080 3.079 0 10−7 0 0 0.429 0.439

3 105 5.10−5 3.080 3.079 0 10−11 0 0 0 10−7

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Validation avec la littérature

On considère la cellule élémentaire :

Hypothèses

1 km = 1W/m.K


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Validation avec la littérature

La conductivité(W/m.K)Bi Homogénéisé Litérature

10−7 0,537 0,53710−5 0,537 0,53710−3 0,538 0,53810−2 0,542 0,54110−1 0,570 0,5711 0,789 0,77210 1,113 1,111102 1,211 1,209103 1,221 1,220105 1,222 1,222107 1,222 1,2221010 1,222 1,222

Tab.: kf = 2W/m.K

La conductivité(W/m.K)Bi Homogénéisé Litérature

10−7 0,537 0,53710−5 0,537 0,53710−3 0,538 0,53810−2 0,542 0,54110−1 0,578 0,5721 0,825 0,81510 1,490 1,474102 1,776 1,768103 1,809 1,807105 1,813 1,812107 1,813 1,8121010 1,813 1,812

Tab.: kf = 50W/m.K

Code validé en 1D

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Milieu isotrope

Hypothèses

1 km = 0.2W/m.K

2 Bi = 5000


Remarque

Lemilieu obtenu estisotrope

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Inuence du nombre de Biot

Hypothèses

1 km = 0.2W/m.K

2 taux de fibre =60%

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Inuence du taux de bre

Hypothèses

1 km = 0.2W/m.K

2 kf = 100W/m.K

Remarques

1 Apartir de bi = 500 il n′y a plusd′influence de bi sur Ahom

2 si le taux de fibre est grandalorsAhom est grande

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DénitionPremière approchedeuxième approche

Qu'est ce que c'est le VER et pourquoi le calculer ?

Dénition

On peut dénir le VER comme le volume contenant les hétérogénéités representativesde la microstructure et présentant les trois caractéristiques suivantes :

1 Ses propriétés eectives sont égales à celles du matériau hétérogène

2 Les propriétés calculées sur un VER ne doivent pas dépendre de la localisationdu VER.

3 Les résultats fournis par les descripteurs morphologiques de la microstructuredoivent être equivalents qu'ils soient appliqués au matériau hétérogène ou auVER.

Intérèts

un gain très important en terme de temps decalcul .

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Principe

principe

L'idée consiste àréaliser des calculs despropriétés eectives surune fenêtre dont lataille augmente, etd'étudier la convergencedes propriétés calculéesen fonction de la taillede la fenêtre

Erreur relative

2 ∗ ecart−typemoyenne×

√n

dénition

V ER = max L ⊂ Ω/n = 1 et erreur relative ≤ valeur de tolerance

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Algorithme

Algorithme 3.1 Algorithme pour calculer le V ER

programme calcul VER

==une boucle pour découper l'image en sous images

==Conserver que les bres et les parties des bres qui

sont à l'intérieur de la petite fenêtre

==Imposer les proriétées thermiques

Km

Kf

==proprieté thermique aux limites

==Conditions de périodicités

==Calculer Ahom

==calculer le taux de fibren programme

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Image aléatoire

Carctéristiques

1 taille = 3000∗3000pixels2


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VER taux de bre

Remarques

1 On observe que le taux de bre est légèrement supérieur à 52% ce qui est unpeu moins de ce qu'on attendait

2 L'erreur relative tend à diminuer lorsque la taille d'image considérée augmente,ce qui est normal car on se rapproche du VER

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VER conductivité thermique

Remarques

1 Le milieu obtenu est isotrope

2 L'erreur relative de axx diminue lorsque la taille de l'image augmente

3 pas d'inuence de Bi sur le VER

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Image réelle

Caractéristiques

1 taille = 3475∗2865pixels2

2 taux de fibre = 52.5%

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VER taux de bre

Remarques

1 L'erreur relative est plus elevée par rapport celle de l'image aléatoire. Ceci peutêtre expliqué par la présence des interplis

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VER Conductivité thermique

Remarques

1 Contrairement à cequi a été observéavec l'imagealéatoire, axx et ayyn'ont pas les mêmesvaleurs (axx < ayy )

2 l'erreur relativeassociée à axx n'apas le mêmecomportement quecelle de ayy

3 dans ce casVER=max(VER(axx),

VER(ayy))

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comparaison

Le tableau ci-dessous résume les VER déterminés pour l'image aléatoire et l'imageréelle pour lesquels l'erreur relative tolérée est inférieure ou égale à 9%

Image VER(Vf)(pixels2) VER pour Ahom( kfkm

= 50,50<Bi<50000)(pixels2)

aléatoire(Vf=53%) 300× 300 300× 300réelle(Vf=52,5%) 700× 700 900× 900

Remarques

La diérence entre les VER des deux images peut être expliquée par :

1 Les bres dans l'image aléatoire sont proches les unes des autres, donc ladispersion du taux de bre et de la conductivité est plus faible pour des imagesde petites tailles, contrairement à l'image réelle où les interplis augmente ladispersion des paramètres calculés

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principe

principe

On génère des images de tailles200,300,600,800,1200 complètementindépendantes et qui ne se recouvrent pas,chaque image ayant un taux de bre de 40%, eton calcule les propriétés eectives. Cetteapproche a été eectuée pour des imagesaléatoires

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VER conductivité thermique

Remarques

1 Le milieu est isotrope

2 L'erreur relative est très faible en comparaison avec la première approche

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comparaison avec la première approche

Le tableau ci-dessous résume le VER associé à la conductivité homogénéiséedéterminées pour l'image aléatoire issue de la première approche et l'image issue de ladeuxième approche. L'erreur relative tolérée est inférieure ou égale à 6% :

Image VER pour Ahom( kfkm

= 50,5<Bi<50000)(pixels2)

Première approche(Vf=40%) 400× 400Image(deuxème approche)(Vf=40%) 200× 200

Remarques

On remarque que le VER associé à la conductivité homogénéisée de deuxièmeapproche a été divisé par 2 par rapport à la première approche. On peut supposer quecette diérence est lié au caractère totalement indépendant des images utilisée lors decette deuxième approche

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Conclusion

Conclusion

Lors de ce travail nous avons eectué :1 Développement d'un modèle d'homogénéisation périodique à l'aide du

developpement asymptotique pour estimer le tenseur de conductivité thermiqueéquivalent d'un composite unidirectionnel dans le cas d'un contact imparfait

2 Implémentation des équations obtenus dans le logiciel Comsol parprogrammation MATLAB

3 Validation des résultats numériques avec les solutions exactes et des résultatsprovenant de la littérature dans le cas 1D et 2D

4 Détermination du volume élémentaire représentatif (VER)d'un matériau

composite unidirectionnel, pour cela :

1 Developper des programmes sous MATLAB permettant de calculer lesdiérentes propriétés étudiées

2 Appliquer la première approche sur des images aléatoires et des imagesréelles

3 Appliquer la deuxième approche sur des images aléatoires

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Perspectives

1 Dans cette étude le modèle homogénéisé a été établi dans le cas d'un matériautrès grand, il serait interessant de prendre en compte l'eet des bords pour desmatériaux de taille nie

2 La détermination du VER avec le modèle d'homogénéisation a été établi pourdes images en 2D. La généralisation en 3D devrait suivre les mêmes étapes pourobtenir le tenseur homogénéisé dans les trois directions principales, nous devonsutiliser des images otenues par microtomographie par rayon X. Ceci impliquetout un travail préalable de traitement d'images.

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Documents

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