THÈSES DE L’ENTRE-DEUX-GUERRES

R. DELTHEILSur la théorie des probabilités géométriquesThèses de l’entre-deux-guerres, 1920, p<http://www.numdam.org/item?id=THESE_1920__22__1_0>

L’accès aux archives de la série « Thèses de l’entre-deux-guerres » implique l’accord avec lesconditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commer-ciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou im-pression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.

Thèse numérisée dans le cadre du programmeNumérisation de documents anciens mathématiques

http://www.numdam.org/

M- D'ORDRE : 1660 ^ J J T7 Q T7 Q

PRÉSENTÉES

A LA FACULTÉ DES SCIENCES DE PARISPOUR OBTENIR

LE GRADE DE DOCTEUR ES SCIENCES MATHÉMATIQUES.

PAR M. R. DELTHEILMAITRE DL CONFfcniiiVOtuS A LA. FACULTÉ DE i SCII'SC1"È» I>H TOULOUSE.

i™ THÈSE. — SUR LA THÉORIE DES PROBABILITÉS GÉOMÉTRIQUES.

2e THÈSE. — PROPOSITIONS DONNÉES PAR LA FACULTÉ.

Soutenues le décembre 1920, d e v a n t la Commission d 'examen.

MM. PAIiNLEVÉ, Président.

ÉMÏLE BOREL, )

VESSJOT, \ Examinateurs-

TOULOUSE

IMPRIMERIE ET LIBRAIRIE EDOUARD PRIVATLibrairie de l'Université.

l 4 , RUE DES ARTS, l 4 (SQUARE DU MUSÉE, TOULOUSE)

I 9 2 O

FACULTÉ DES SCIENCES DE L'UNIVERSITÉ DE PARIS

MM.

Doyen N.

Doyen honoraire P. APPELL.

Professeurs { l*!™™*'Praires ^ ™ X E S Q .

/ LTPJ\\JAI\:V Physique.BOUTI. Physique.E. PICARD Analyse supérieure et algèbre super.Gaston BONNIER Botanique.KOEMGS. Mécanique physique et expérimentaleGOURSVT Calcul différentiel et calcul intégral.HALLER Chimie organique.JOA^MS Chimie (Enseignement P. C. N.).JANET Electrotechnique générale.WALLERAÏNT Minéralogie.ANDO\ER Âsti'onomie.PWINLEYÉ Mécan. analytique et rnécan. céleste.HAUG. Géologie.H. LE C HÂTE LIER Chimie générale.Gabriel BERTRAND. . . . Chimie biologique.Mme P. CL RIE. Physique générale.GATJLLERT Zoologie (Evolution des êtres organisés).C. GHABRTÉ Chimie appliquée.

. G. URBAIN Chimie minérale.rrojesseurs Emile BOREL Physique mathématique et calcul

des probabilités-MAUCHIS Aviation.Jean PERRIX Chimie physique.G. PIIL\OT Zoologie, anatomie, phjsiol. compar.MATHUCHOT Botanique.ABKXÏIWI Physique'.CARTAN Mécanique rationnelle.Cl. GUICHAKD. Géométrie supérieure.MOLLIARD Physiologie végétale.LEBESGUE Application de l'analyse à la géo-

métrie.LAPICQUE Physiologie.GENTIL Géographie physique.VESSTOT Calcul différentiel et calculintégral.COTTON. Physique théor. et Physique céleste.DRACH Mathématiques générales.X Histologie.

\ N Zoologie. Anatom. et physiol. comp.

LEDUC Physique,HÉROLARD Zoologie.

i Léon BERTRAND Géologie.I Kémy PERRIER. Zoologie (Enseignement P. C. >\).j LESPIEAU Chimie.

Professeurs adjoints. < SAGNAC Physique (Enseignement P. C. N.).J PERBZ Zoologie (Evolution des êtres organisés)./ RABAUD Biologie générale.f PoRTtER Physiologie.

BLUSE Chimie organique.v PÉCHARD Chimie (Enseignement P. C. N.).

Secrétaire D. TOMBECK.

SUR LA

THÉORIE DES PROBABILITÉS GÉOMÉTRIQUES

A MON MAÎTRE

M. EMILE BOREL

Hommage affectueuxet teconnaiôôant.

R. DELÏHEIL

PREMIERE THESE

SUR LA THEORIE DES PROBABILITÉS GÉOMÉTRIQUES

INTRODUCTION

La théorie des probabilités discontinues conduit à dénombrer, parmi des caspossibles en nombre fini et également vraisemblables, ceux qui réalisent certainesconditions et sont dits cas favorables. La condition d'égale vraisemblance des casenvisagés est fondamentale; seule, elle permet de faire rentrer chaque problèmeconcret dans le cadre de la théorie mathématique. Il ne subsiste ensuite que lesdifficultés du dénombrement pour lequel interviennent les ressources de l'Analysecombinatoire et les propositions fondamentales du Calcul des Probabilités propre-ment dit.

Lorsque les cas envisagés forment un ensemble infini ayant la puissance ducontinu, les deux questions se posent dans le même ordre. Il convient d'une partde préciser ce que devient, pour chaque cas concret, le principe de l'égalité deschances, « à la lumière duquel, écrivait Tannery, s'évanouissent les paradoxes »;la malice bien connue de Joseph Bertrand, relative à un problème élémentaire surles cordes d'un cercle, a fortement mis en évidence cette nécessité. D'autre part,une fois le problème bien posé, le dénombrement des cas, ou plus exactement leursommation, conduit à des calculs d'intégrales souvent laborieux, qu'il est rarementpossible de pousser jusqu'au bout.

Dans les deux ordres d'idées, les résultats obtenus, quelque brillants que soientcertains d'entre eux, sont assez isolés : la théorie des probabilités continues estconnue par de curieuses propositions particulières plutôt que par des méthodesgénérales. Une étude systématique peut n'être pas sans intérêt et sans utilité : leprésent travail apporte à cette étude une contribution où sont envisagées successi-vement les deux étapes du problème, en ce qui concerne surtout les probabilitéscontinues dites géométriques. Il se compose naturellement de deux parties.

2 R. DELTHEIL.

Envisageant dans la première Partie la « probabilité élémentaire » selon le pointde vue de Poincaré qui fait intervenir dans sa définition une fonction positive arbi-traire, je me suis surtout attaché aux problèmes pour lesquels cette fonction arbi-traire est imposée, à un facteur constant près bien entendu, par la considérationdes domaines superposables pour lesquels cette probabilité doit rester la même.Dans le chapitre Ier, j'ai essayé de poser la question sous une forme générale, enconsidérant l'invariance de la probabilité élémentaire vis-à-vis d'un groupe donné,fini et continu, de transformations. Les conclusions de cette étude sont susceptiblesde nombreuses applications, dont les plus élémentaires sont examinées au chapi-tre II, qui traite des problèmes simples de la Géométrie euclidienne : il contient unrésumé très rapide des élégants résultats de Barbier et de Crofton. Le chapitre IIIest consacré aux questions de Géométrie caylcyenne à deux et à trois dimensions;parmi les types de probabilité élémentaire qui y sont définis figure celle relative àla position d'un corps solide dans l'espace ordinaire, qui est obtenue en appliquantles équations du chapitre Ie"" au groupe paramétrique du groupe des mouvements.Le chapitre se termine par quelques aperçus sur la Géométrie réglée et le groupeconforme de l'espace.

Je me suis attaché dans la deuxième Partie aux problèmes de probabilités géo-métriques sur une figure (F) formée par n points pris au hasard dans un domaine(D) à un nombre quelconque de dimensions. La probabilité P pour que (F) réalisecertaines conditions « intrinsèques » peut être envisagée soit comme fonction dudomaine (D), soit comme fonction des conditions imposées : et la considérationd'une variation infiniment petite, soit des données, soit du domaine, peut permet-tre d'écrire des relations différentielles intéressantes. J'ai surtout cherché dans lechapitre IV à appliquer ce point de vue à la détermination même de P : et j'aiabordé deux exemples. Le premier, relatif à la distance de deux points intérieurs àune sphère de l'espace à m dimensions, est remarquable par la simplicité des résul-tats obtenus : ceux-ci admettent pour m très grand des valeurs asymptotiques con-formes aux caractères connus de la configuration d'un domaine sphérique à un trèsgrand nombre de dimensions. Le deuxième est le problème célèbre du quadrilatèrede Sylvester; en reprenant les calculs relatifs à certains cas simples j'ai obtenuquelques résultats nouveaux eten particulier discuté le problème pour un domaineayant la forme d'un quadrilatère convexe quelconque.

Enfin le chapitre V contient quelques aperçus sur la notion de probabilité géo-métrique, pour une figure formée de n points, comme fonction de ligne dans le plan.J'ai défini les délavées du premier et du second ordre sur la frontière du domaineenvisagé. La première variation de P s'exprime sous une forme simple qui m*apermis d'établir la propriété du triangle de rendre minima la probabilité envisagéedans le problème de Sylvester. La même expression fournit une propriété fondamen-tale des courbes extrémales du plan vis-à-vis d'un problème de probabilités géomé-

SUK LA THEORIE DES PROBABILITES GEOMETRIQUES. O

triques, lorsque les courbes extrémales existent : j'ai examiné l'exemple du pro-blème de Sylvester et effectué le calcul de la deuxième variation dans ce cas parti-culier.

C'est pour moi un agréable devoir que de remercier ici mes maîtres, *M. Borelqui m'a indiqué le sujet de ces recherches et n'a cessé de s'intéresser à leurs pro-grès, et M* Vessiot qui m'a témoigné sa bienveillance par ses conseils et ses pré-cieuses indications.

PREMIÈRE PARTIE

CHAPITRE PREMIER

[1] Soient E E' deux ensembles continus d'éléments géométriques de mêmeespèce, tels que chaque élément de E' appartienne à E. Le problème est le suivant :un élément étant pris au hasard dans E, quelle est la probabilité pour qu'il appar-tienne à E'?

Soient xo cc2, ..., xn les paramètres définissant un élément : le principe des proba-bilités totales nous conduit avec Poincaré à dire que cette probabilité est le rapportdes valeurs de l'intégrale :

3 = J j F(xt, a?t, . . ., x7t)dxidx1 . . . dxn

étendue à E; et à E respectivement. La fonction F n'est assujettie, en dehors desconditions rendant possible la définition de J, qu'à être supérieure ou égale à zéro.L'élément différentiel

d5 = F(xt, se., . . ., xn)dxldx„ . . . dxn

sera commodément dénommé probabilité élémentaire.Il est clair qu'en général à chaque fonction F correspondra une valeur différente

pour la probabilité cherchée : il semble donc a priori qu'en introduisant la fonctionarbitraire F, Poincaré n'a pas eu d'autre but que de nous montrer toute l'étenduede notre ignorance.

Mais il existe des problèmes pour lesquels le résultat du calcul est le mêmequelle que soit la fonction F, ceci, bien entendu, sous des réserves, d'ailleurs trèslarges, de continuité. Poincaré a lui-même donné des exemples très suggestifs :la probabilité pour qu'un nombre x pris au hasard entre a et b soit rationnel, laprobabilité limite pour que l'aiguille de la roulette s'arrête sur une couleur donnée.Appliquant ensuite ses méthodes au problème de la position des petites planètessur le zodiaque, il montre que leur répartition actuelle est uniforme quelle que soit

SUR LA THEORIE DES PROBABILITES GEOMETRIQUES. 0

la distribution initiale des paramètres définissant le mou\ement moyen de chacuned'elles (4). Poincaré n'a donc témoigné ses exigences, selon l'expression même deM. Borel, que pour se donner la joie intellectuelle de les satisfaire : il ne s'est mon-tré sceptique que pour accroître la portée des résultats qui ont pu conserver, malgréce scepticisme, toute leur certitude.

[2] 11 y a cependant bien des problèmes de probabilités géométriques sur la solu-tion desquels tout le monde est d'accord, et qui ne conduisent pas à un résultatindépendant du type de probabilité élémentaire utilisé pour les résoudre. L'und'entre eux, le célèbre Problème de l'Aiguille par lequel Buffon doit être considérécomme le fondateur de la théorie, a été l'objet d'une vérification expérimentale mi-nutieuse, et l'expérience a remarquablement confirmé la solution classique (").

Dans les problèmes de cette catégorie, la probabilité élémentaire est imposée parla condition fondamentale suivante :

Le résultat du calcul doit rester indépendant dfun déplacement arbitraire de toute

la figure considérée.

S'il s'agit par exemple de la probabilité pour qu'un point du plan pris au hasarddans un certain domaine satisfasse à certaines conditions, la probabilité élémen-taire

F(x, y)dxdy

exprimée avec des coordonnées rectangulaires, doit rester inchangée par l'opération

x = xr cos a — y' sin a 4- a,

y — x' sin a -f- y' COS a + b .

Et comme

dxdy = dxrdyr,

il faut que F (se, y) = F (as', ƒ), ce qui exige F ~ const., le groupe des déplacementsdu plan étant transitif.On prendra donc pour probabilité élémentaire l'élément d'aire dxdy.

(4) Poincaré, Calcul des probabilités, 1912, p. 147 à i5a.(2) L'intérêt de l'expérience avait été signalé par Laplace, celle-ci aboutissant à une

détermination expérimentale du nombre 71. Laplace avait même indiqué des conditionsd'optimum qui ont été fort contestées par la suite, et d'ailleurs avec raison. Quoi qu'il ensoit. Wolf a pu obtenir, en appliquant la méthode des moindres carrés à 5o séries de cha-cune 100 épreuves, la valeur n m 3,1596 -h 0,0624.

Consulter à ce sujet : Gzuber, Probabilités et moyennes géométriques, trad. Schuermans,pages 85 et suivantes.

6 R. DELTHEIL.

Mais si Ton a affaire à des lignes droites dans le plan, et si Ton écrit

ux -+- vy + i = o

l'équation d'une droite, les paramètres u et v sont transformés par le déplacementenvisagé plus haut en

, u cos a + v sin aau + bv + i '

— u sin a + u cos a

au

On obtient ainsi :

du dv =(cm + 6t> + i)3

ce qui p^ut s'écrire

du'dv' dudv

II convient donc d*adopter en ce qui concerne les lignes droites la probabilité élé-

mentaire — j — ; et cette façon de procéder permet de choisir immédiatement

entre les solutions données par Joseph Bertrand pour son problème sur les cordesd'un cercle.

[3] Considérons d'une manière généraie un groupe G de transformations des nvariables xo œit . . ., xn. Deux domaines de l'espace (œ4l x%f . . . , x j sont dits équi-valents vis-à-vis du groupe G s'il existe au moins une transformation du groupe quiles amène à coïncider. Gela posé, s'il existe un élément différentiel

dJ = F(x,, xa, . . . , xn)dxidxt... dxn

dont l'intégrale admet la même valeur pour deux quelconques domaines équivalentsvis-à-vis de G, on pourra, en adoptant c?J comme probabilité élémentaire, définirpar rapport au groupe G les problèmes de probabilités géométriques sur les élé-ments (x4, . . . , ccw). Les problèmes de la Géométrie élémentaire sont définis parrapport au groupe des mouvements.

L'intégrale

f fm m n ( 'T1 'T* O1 ^ firP

y /dxn

SUR LA THEORIE DES PROBABILITES GEOMETRIQUES. 7

est un invariant intégral d'ordre n pour le groupe G. La recherche des groupes pos-sédant un invariant intégral unique d'ordre n présente donc, en ce qui concerne lesfondements de la théorie des probabilités géométriques, un intérêt essentiel.

Cherchons d'abord la condition d'invariance de dJ par la transformation infinité-simale :

Si nous faisons subir à xlt xa, .. ., xn les accroissements :

nous avons, en posant :

l'expression suivante de Sa> :

Or

Si nous appliquons les règles du calcul symbolique de M. Cartan, nous voyons que

(2) Bco

Dans ces conditions, pour que l'élément

= Fa>

soit inchangé par l'opération X/, il faut et il suffit que

F8o> + OJSF = o.

Or on a

SF = XF . S/.

8 R. DELTHE1L

La condition cherchée est donc

ce qui s'écrit encore

Cette condition a été indiquée par Poincare comme exprimant une propriété fon-damentale du multiplicateur, à propos du système différentiel

dxi dcc2 dxn

Poincare établit la formule (2) par un calcul de jacobien. La démonstration qui pré-cède, où intervient le calcul symbolique, m'a été indiquée par M. Vessiot.Nous pouvons poser, par analogie avec les notations de l'Analyse vectorielle :

La condition d'invariance de l'élément Fdxt dx^ . . . dxu s'écrit alors :

(4) X . Log F + div . X = o.

On peut considérer cette équation, si F(xlt #2, . . ., xn) est une fonction donnée,

comme l'équation de définition, au sens de Lie, du groupe infini admettant l'invariant,

intégral J.

[4] Dans le Gas particulier où Ton a

div . X = o,

la transformation infinitésimale X/admet pour élément invariant

Le système différentiel

ux, (lx* (ix„

SUR LA THÉORIE DES PROBABILITÉS GÉOMÉTRIQUES. 9

admet alors pour multiplicateur l'unité. C'est en particulier ce qui se passe pour unsystème d'équations canoniques : le célèbre théorème de Liouville, appliqué à la no-tion de l'extension en phase de la Mécanique statistique, permet, si Ton cherche laprobabilité pour qu'un système mécanique défini par les 2m variables canoni-ques />4 . . . pmqi ... gm satisfasse à certaines conditions à un moment donné, de ra-mener le calcul à celui d'une certaine extension en phase à l'instant initial.

[5] Considérons maintenant xtn groupe continu et fini à r paramètres, soit Gr; sice groupe admet, ce que nous supposons, la transformation identique, il est com-plètement déterminé par ses r transformations infinitésimales :

(5)

X r / = ?,,(*,> x, xn) i £ - + ... + !;,.(«., xlf . .., xa)

Pour que G admette l'invariant intégral

J = I i Ydx^x^ . . . dxu

n

il faut évidemment que chacune des X,/ l'admette pour son compte : car chaque \3f 'est une transformation du groupe. Cette condition est suffisante : nous pouvons re-marquer en effet que toute transformation du groupe peut être obtenue commetransformation d'un groupe à un paramètre, groupe engendré par la transformationinfinitésimale :

j=r

où les lj sont des coefficients constants. Il est clair que chacune des XjJ vérifiant lacondition (4), X/ la vérifie aussi. Si donc t est le paramètre du G4 considéré, on a enposant comme plus haut

la condition

d(Fio)

-dT = °'

IO R. DELTHEIL.

qüi entraîne

donc

F(asl7 xt1 . . . , xn)dxt dx% . . . dx„ = F(as't, x'2, . . . , xrn)dx\dx\ . . . cte'M.

Nous obtenons donc, en ce qui concerne le groupeGr, les équations de condition:

X, Log F + divXi = o

(6)Xr Log F + divXr = o

qui constituent un système d'équations linéaires aux dérivées partielles. Ce systèmepossède la propriété importante que si F et <ï> sont deux solutions de ce système,F

-=- est un invariant de G .Effectivement, on a quel que soit J :

FX, Log — = X7 Log F — XJ Log 'î> = o.

FPar suite — constitue une solution du système

X 1 / = o , XJ=o, . . . , Xy — o

définissant les invariants de Gr. Cette propriété correspond au fait géométrique sui-vant, à savoir que si les éléments différentiels

Fo> et $o>

Fsont invariants par rapport au groupe, leur rapport — Test aussi.

Réciproquement, si F est une solution de (6) et Q un invariant du groupe, QFest une nouvelle solution de (6).

[6] Les groupes qui nous intéressent sont ceux qui possèdent un invariant inté-gral unique d'ordre n. Ces groupes sont nécessairement, d'après ce qui précède, desgroupes transitifs. La condition de l'égale vraisemblance des cas, au point de vueprobabilités, semble d'ailleurs incompatible, sans qu'une théorie mathématiquevienne préciser pourquoi, avec la considération d'un groupe intransitif.

SUR LA THEORIE DES PROBABILITES GEOMETRIQUES. I I

Un groupe transitif n'ayant pas d'invariant, le système (6), s'il admet une solu-tion F, n'admettra que des solutions de la forme AF, X étant une constante.

Soient

(7) * ' ,=ƒ, [(*),

t)(xr xr x! )les équations finies du groupe; si l'on forme le jacobien ——-————— on a moyen-

nant (7) :4x2 . . . xn)

II suit de là que les équations

= 0

sont des équations invariantes du groupe. L'étude d'un groupe transitif donné aupoint de vue qui nous occupe commencera donc utilement par la détermination deses variétés invariantes.

Celles-ci s'obtiennent, comme on sait, en annulant les déterminants d'un mêmeordre, le plus élevé possible, tirés de la matrice :

Info» «v . •., xn)

Ç\n\Xii Xù * • • » Xn)

4, xt, . . ., xn)

|7] II est clair que si le groupe Gr défini par les équations (7) admet l'invariantintégral

f fj — j j rax1axa . . . uxn,

n

le groupe semblable obtenu par le changement de variables

admettra l'invariant intégral

^x^ a . . . u,nj ^

• ( y , y . • • • yn)

12 R, DELTHEIL.

Il est possible, d'une infinité de manières, de déterminer les formules (8) de manièreque l'invariant intégral nouveau se réduise à

j f dy.dy^ ... dytt.

Les variables yt ainsi détei minées sont des variables équiprobables.

[8] Tout ce qui précède s'applique évidemment aux groupes à une variable.L'équation de condition unique

dx

relative à une transformation infinitésimale

= o

montre que le seul invariant possible est donné par la relation

F — —50*0"

Le groupe envisagé est donc nécessairement un groupe à un paramètre : car s'il

/

doc——

montre qu'elles ne pourraient être indépendantes.Inversement, tout groupe à un paramètre admet un invariant intégral, obtenu en

cherchant la transformation infinitésimale du groupe :

et en écrivant l'équation finie du groupe sous la forme canonique

f ÈL- ÇÈL + zJ %{x')~J ?(*) •

La variable équiprobable est précisément la variable canonique y, qui permet d'écrirel'équation du groupe :

y'-y + c,

comme équation du groupe des translations.

SUR LA THÉORIE DES PROBABILITES GEOMETRIQUES. l 3

[9] Ce résultat pouvait être déduit immédiatement de la considération des types<ie groupes à une variable donnés par Lie. Les trois types obtenus sont le groupe àun paramètre engendré par la transformation infinitésimale

le groupe à deux paramètres :

p , ocp

et le groupe à trois paramètres :

p, xp, x*p.

L'équation de condition \* est vérifiée dans le premier cas en prenant F = Const.ctx

L'examen des cas suivants, où interviennent les transformations infinitésimales xp,%p, conduit à la solution illusoire

Définissant groupe J tout groupe qui admet un invariant intégral unique d'ordreégal au nombre des variables, on peut se proposer la recherche de tous les groupes Jdans le plan ou dans l'espace à trois dimensions. Un tel groupe définit une sorte degéométrie dans laquelle n'interviendrait que la notion d'aire (pour le plan) ou lanotion de volume (pour l'espace). En vertu de la remarque du § 7, on peut se bornerk chercher les divers types de groupes J; et il suffît pour cela d'utiliser les types degroupes à deux ou à trois variables tels qu'ils sont classés dans les ouvrages spéciaux.En examinant de quelle façon chaque type se comporte vis-à-vis du système deséquations de condition (6), on aboutit rapidement à la sélection désirée.

Les résultats sont particulièrement simples dans le cas de deux dimensions.On constate que tous les types de groupes J du plan sont réductibles à un groupeprojectif : la détermination des groupes J parmi les sous-groupes du groupe projectifplan, tels qu'ils sont classés dans le troisième volume de Lie-Engel (p. 106 et 107)aboutit au tableau suivant, où chacun d'eux est déterminé par ses transformationsinfinitésimales :

R. DELTHEIL.

Groupes J projectiïs dans Ie plan.

B

D

E

I .

2 .

3.

4.5.

6.

7-

i .

2 .

P> q> xq, yp, xp — yq

p, q, xq, xp — yq

xq, yp, xp — yq

p, q, xp — yq

PJ q, xq

p » qq,p + xq

q, xq, axp + byq

q, axp + byq

3.

2 .

i .

q, xq,p

i. p + xq, xp -f-

i . xp

Invariants intégraux.

ffdxdy

f r dxdyJ J Ü+Ü

X «

r r dxdyJ J ~

dxdy

* — y)p + xyqJ J |2y„ X

2j

dxdyxy

dxdyff-.Ges groupes ne sont distincts qu'au point de vue projectif : il est clair, par

exemple, que E4 se réduit à A6 en posant x' = ex, y' = ey, D^autre part, B2 se réduità F, pour b = o.

Un certain nombre de groupes du tableau précédent sont des groupes de déplace*ments non-euclidiens par rapport à une certaine conique absolue. Le groupe Dt cor-respond à la conique non dégénérée ^y=^x^3 le groupe A4 à la conique formée par

SUR LA THÉORIE DES PROBABILITES GÉOMÉTRIQUES. l 5

les points à l'infini dans les directions ox, oj, le groupe B4 à la conique formée parla droite de l'infini et Taxe oy. Ce fait correspond géométriquement à ce que la no-tion de longueur entraîne nécessairement la notion d'aire.

On peut se demander si, inversement, la conservation des aires par un groupede transformations fini, continu, à trois paramètres entraîne nécessairement la coïn-cidence de ce groupe avec celui des déplacements d'une certaine géométrie quadra-tique.

L'examen du tableau qui précède fait apercevoir tout de suite qu'il n'en est rien :il existe des groupes J qui ne sont nullement des groupes de déplacements. Parexemple le groupe Ct, dont les équations finies sont

Y = eay + bx + c

admet effectivement, relativement à deux points Mt Ms, un invariant qui n'est autreque xx—x2; mais toutes les transformations :

X — x,

qui font partie de ce groupe, laissent invariants tous les points de la droite x = xQ

et déplacent tous les autres points du plan. Ce fait est incompatible avec les axiomes,même les plus généraux de la Géométrie plane(*).

[10] Pour le cas de trois dimensions, la formation d'un tableau analogue à celuidu paragraphe précédent ne présenterait pas de difficulté nouvelle : elle exigeraitseulement de plus longs calculs. Les exemples de groupes J ne rentrant dans aucunegéométrie quadratique sont bien plus nombreux. Deux d'entre eux sont à signaleren raison de leurs variétés invariantes.

i° Si l'on considère une cubique gauche, il existe un groupe projectif à troisparamètres qui admet cette cubique, et par conséquent la développable de ses tangen-tes, comme variétés invariantes. En prenant les équations de la cubique sous la forme

on a pour les coefficients des transformations infinitésimales définissant le groupela matrice suivante :

I 2ÙC 3j

x 2y 5z

— z 3xz

(!) A. Poincaré, Bulletin de la Société mathématique, 1886-87, pages 208 et suiv.

l 6 R. DELTHEIL.

Les équations (6) relatives à ces transformations infinitésimales s'écrivent

3F_

(9)

_

3F ?F ^F(3x" — 2j) —— + (3xy — z) — h 'èxz —— = —

^F ^F ^FElles constituent, par rapport à , , un système linéaire dont le déterminant

estzz — 3a y + 4 / —

Le système (9) est équivalent k la relation

d¥ _ d\

de sorte que le groupe admet l'invariant intégral

' dxdydz

On peut remarquer que l'équation A = o représente la développable des tangentesde la cubique invariante.

20 Les transformations infinitésimales :

p + 2xq + 3jr, xp + %yq + 3zr, q -\- 3xr

définissent un groupe admettant comme surface imariante la surface cubique

z — Sxy -\- 2XJ = o (surface de Cayley).

Un calcul tout semblable au précédent met en évidence l'invariant intégral

fff dxdydzJ J j {z — àxy + ix \"

[11] Je terminerai ce premier Chapitre par une remarque importante. Dans toutce qui précède, chaque fois qu'il a été question de préciser la forme de la probabilitéélémentaire

ci}x2, . .,xm)dxidx,...dxm

SUR LA THÉORIE DES PROBABILITÉS GÉOMÉTRIQUES. 17

par la considération d'un groupe de transformations, nous n'avons envisagé qu'ungroupe relatif aux seules variables xtx, . . . xm, et la probabilité élémentaire n'a étéque la généralisation simple de Vêlement de volume. Cette manière de procéder est laplus simple et la plus naturelle. Elle ne permet cependant d'envisager qu'un seulaspect de la question.

Soit, dans l'espace à m -h p dimensions xo x%, . . ., xnV zK, zo, . . ., zp une variété à mdimensions définie par les équations

La probabilité élémentaire la plus générale relativement à un point de cettevariété pourra toujours s'écrire

x2.. . dxm.

Or, imaginons que F soit assujetti à la condition que dJ reste inchangé par unetransformation quelconque d'un groupe G de l'espace xt,xs, .. ., xm,zk,Z^ . . . , zp,groupe dont d'ailleurs chaque transformation changera la variété considérée en uneautre variété (équivalente).

Il ne semble pas que la fonction F puisse être complètement déterminée par desconsidérations de ce genre, en raison de l'existence des invariants différentiels. Si, parexemple, la variété envisagée est une surface dans l'espace à trois dimensions, et sile groupe considéré est le groupe des mouvements, la probabilité élémentaire pourraêtre le produit de l'élément d'aire par une fonction quelconque des coordonnéesintrinsèques que sont, dans le cas général, les quantités cp et Acp de la théorie clas-sique des surfaces.

Il y a donc encore une large part d'arbitraire dans ce genre de questions : j'ajouteque cela ne diminue en rien leur intérêt; elles feront l'objet d'un travail ultérieur.

Je me bornerai, dans ce qui suit, à des questions rentrant dans le cadre des idéesdéveloppées dans ce Chapitre : nous rencontrerons, aussi bien en Géométrie élémen-taire qu'en Géométrie selon la métrique Cayleyenne, d'assez nombreuses applicationsauxquelles nous nous limiterons.

l 8 R. DELTHEIL.

CHAPITRE II

[12] En dehors des points, pour lesquels des coordonnées cartésiennes quelcon-ques forment un système de variables équiprobables, les éléments géométriques surlesquels portent les problèmes qui se posent le plus naturellement sont les droitesdans le plan, les droites et les plans dans l'espace. Nous allons déterminer, danschacun de ces cas, la probabilité élémentaire imposée par l'invariance des résultatsvis-à-vis du groupe des mouvements : malgré que le calcul direct par la détermina-tion d'un jacobien soit toujours assez simple, nous appliquerons les équations (6) duchapitre précédent d'une manière systématique.

En ce qui concerne les droites du plan d'équation générale

ux -h vy -h i = o,

nous apercevons facilement qu'aux transformations infinitésimales du groupe desmouvements du plan :

correspondent sur les variables uv les transformations :

Gela posé, la troisième équation de condition

— V

montre que, si l'invariant intégral

j j F(iz, v)dudv

existe, on a nécessairement

SUR LA THÉORIE DES PROBABILITES GEOMETRIQUES. 19

Les deux premières équations de condition se réduisent aune seule, qui peut s'écrire :

3xp + 2(u2 -h v')or = o.

D'où la probabilité élémentaire déjà signalée au paragraphe 2 :

Si Ton écrit l'équation d'une droite sous la forme canonique :

xcos6 + y sinô—jo = o,

on a immédiatement

C'est là la forme classique utilisée dans les travaux de Crofton : elle est connue de-puis longtemps et a permis d'obtenir des résultats remarquables. L'invariance del'intégrale

dudvr r dudv

a été signalée par M. CartanQ, ainsi que celle de la plupart des intégrales analoguesqui seront indiquées dans ce chapitre : M. Gartan ne s'est d'ailleurs pas placé aupoint de vue des probabilités.

Un calcul en tous points analogue au précédent justifie, pour les plans de l'espace

ux + vy + wz + i = o

l'emploi de la probabilité élémentaire :

, v „ dudvdw

qui peut s'écrire

<2J =1 sin 0 dpdQd®

si Ton prend l'équation d'un plan sous la forme

x sin 6 cos <p + J sin 6 sin 9 + z cos 8 — p = o.

(1). E. Gartan, Le principe de dualité et certaines intégrales multiples de Vespace tangentiel etréglé (Bulletin de la Société mathématique, 1896. p. i4o).

2O R. DELTHEIL.

Dans l'espace à m dimensions, on justifie de la même manière, pour les plans

xt cos ot + xs sin cp4 cos <p3 + . . . 4- ocm__t sin <pt sin <pa . . . sin ;pm_# cos îpm_t

+ xm s i n ?i sin <p, . . . sin <pm_t —/> = o

la probabilité élémentaire

($) <*J = s i n * " " 8 ^ s i n ™ " 3 ^ . . . s i n (f

vis-à-vis du groupe des déplacements euclidiens. Les expressions (2) et (3) s'écriventd'ailleurs

dQ désignant Vêlement d'angle solide de l'espace à 3 ou à m dimensions.

[13] En ce qui concerne les droites de l'espace, nous utiliserons les équations

x = az -f p 1y = bz + g

où intervient le nombre minimum de paramètres.Le groupe des mouvements correspond sur les variables a,b>p,q à un groupe

engendré par les transformations infinitésimales :

Si nous cherchons un élément différentiel invariant

F(a, 6,p, q)dadbdpdq,

nous avons donc six équations de condition. Les premières

5F ?F— ^=0, —=o,

montrent que F ne dépend que de a et b; la troisième se trouve vérifiée de ce fait.Quant aux rotations, la première conduit à

SUR LA THÉORIE DES PROBABILITÉS GÉOMÉTRIQUES. 2 1

•d'où il résulte que

Et les deux dernières donnent une seule équation

(i + a5 4- b1)^ 4- 2cp = o.

D*où la probabilité élémentaire :

dadbdpdq

L'élément différentiel (4) a une signification géométrique simple. Coupons ladroite (A) définie par les paramètres a, btp7 q par le plan (II)

ax + by + z = o

qui lui est perpendiculaire. Les droites parallèles à (A) découpent dans le plan (FI)rélément d'aire

d<r = -

D'autre part, les cosinus directeurs de (A) étant

a br = •

yjx + ce- + 6S }/i+ a" + b* y/i -h aü 4- b*

l'élément d'angle solide balayé par (A) quand a et 6 varient seuls est

dÙ = L = - — • — ; ...„ .Y (i -h «r 4- by 3

On peut donc écrire l'expression (4) sous la forme

Ces expressions s'étendent naturellement à l'espace à m dimensions. Une droitede cet espace dépend de am — 2 paramètres. On pourra écrire ses équations

22 R. DELTHEIL.

Dans ces conditions, aux translations du groupe des mouvements correspon-dent sur a4,a3, . . ., am_i9 p4, . . . ,ƒ>,„_,, des transformations infinitésimales qui con-duisent à prendre

fonction des a seuls. Les rotations où ne figure pas xm imposent à F la forme

F = ?(a; + < + . . . + « V J

et les rotations où figure xm conduisent enfin à

D'où la probabilité élémentaire

„ datda9 .. . dam_,dp,dp^ . . . dpm_iaJ =

w + 1

qui s'écrit encore

dQ représentant l'élément d'angle solide, et de étant, comme élément d'aire d'unplan de l'espace à m dimensions, d'ordre m — i par rapport aux longueurs.

[14] Nous allons reprendre les probabilités élémentaires (i) (2) (3) (4) et (5) desparagraphes 13 et 14, et les appliquer à la mesure des ensembles les plus simplesde droites et de plans que Ton peut définir de façon géométrique.

Le plus simple des ensembles de droites du plan est celui des droites qui cou-pent un segment rectiligne donné. Nous ne diminuerons pas la généralité en pre-nant le segment qui va de l'origine au point À d'abscisse postive / sur ox. Définis-sons une droite quelconque de l'ensemble par les paramètres canoniques p et 6 ;

l'angle Ô varie de à H— : et pour chaque valeur de 6, p varie de o à icos 6.2 2

Nous avons donc

±1f fdpd$=z f ' dû fUOhi}dp = oJ

SUR LA THÉORIE DES PROBABILITES GEOMETRIQUES. 2 3

Considérons maintenant un contour polygonal quelconque ABC ... KL : l'ensem-ble des droites qui rencontrent chaque côté a pour mesure le double de la longueurde ce côté. Dans ces conditions, l'ensemble des droites qui coupent le contour totala pour mesure le double de sa longueur totale, à la condition de compter chacuned'elles pour un nombre de fois égal à celui de ses points d'intersection.

Cette proposition s'étend naturellement à un arc de courbe, fermé ou non, delongueur L. L'intégrale

/- /*•ndpd®

étendue aux droites qui rencontrent, chacune en n fois, l'arc de courbe, a pourvaleur 2L. S'il s'agit en particulier d'un contour fermé convexe, chacune de sessécantes le coupe en deux points. Il s'ensuit que l'on a, pour les sécantes de cecontour,

dpdQ = L .

[15] A défaut d'un historique complet de la théorie des probabilités géométri-ques, qu'il eût peut-être été légitime de placer en tête de ce travail, je vais très rapi-dement passer en revue les beaux travaux qui, à propos du problème de l'aiguille,se rattachent aux propositions du paragraphe 14.

Soit un contour convexe (G), fermé, de longueur L : et soit (C')un contour ferméconvexe, de longueur L'et intérieur à (C). D'après ce qui précède, la probabilité pourqu'une sécante de (G) coupe (C) est

P — ^F ~ L #

Supposons que (G) soit un cercle de diamètre a et que (C') se réduise à un seg-ment rectiligne de longueur /. La probabilité pour qu'une sécante du cercle coupele segment est

II convient en effet de compter deux fois la longueur /. Or, imaginons un parquetrégulier dont chaque lame aurait pour largeur a : si on lance sur ce parquet uneaiguille de longueur /, et si on considère un disque circulaire de diamètre a entou-rant l'aiguille, il y a une rainure du parquet qui coupe le disque : la probabilitépour qu'elle coupe l'aiguille est

2 4 R. DELTHEIL.

Telle est la solution donnée par Barbier pour le problème de l'aiguille deBufîon.Un raisonnement ingénieux lui avait permis d'éviter tout calcul, et la considérationexplicite du groupe des mouvements est inutile à son intuitive explication. Barbierétait l'un des auditeurs, comme élève de l'École Normale, du cours de Lamé à laFaculté des Sciences en 1860. Ce dernier traitait de diverses généralisations du pro-blème de l'aiguille et envisageait en particulier le cas où l'objet lancé était un disqueelliptique. Barbier étendit le résultat obtenu par Lamé au cas général et publia dansle Journal de Liouville (1860) un très remarquable mémoire.

[16] Parmi les idées intéressantes contenues dans ce mémoire de Barbier, ilconvient de signaler tout particulièrement la suivante :

Soit un contour quelconque (C), ouvert ou fermé : la mesure de l'ensemble desdroites qui coupent ce contour, sans qu'aucun coefficient soit attribué à chacuned'elles, peut s'obtenir simplement. Imaginons en effet un fil tendu autour de (G) :toute sécante de (C) sera sécante' du contour fermé convexe réalisé par le fil et réci-proquement. Or ce dernier est coupé en deux points exactement par toute sécantede (C). On a donc

f f dpdà =

en désignant par X la longueur du fil tendu.Cette remarque a pour effet de ramener les questions relatives aux droites cou-

pant certains contours à des questions analogues sur des contours convexes. Les ré-sultats importants obtenus dans ce domaine par les continuateurs de Barbier sontexposés par Sylvester, le plus illustre d'entre eux, dans un mémoire des Acta Mathe-matica (1891) qui a pour épigraphe : « Squaintly made of chords ».

[17] Soit (F) un contour convexe fermé de périmètre L et soit S son aire inté-rieure. Étant donné deux sécantes de (F), quelle est la probabilité pour qu'elles secoupent à l'intérieur du contour?

Les couples de sécantes de (F) forment un ensemble de mesure- L2. Quelle est

la mesure de l'ensemble des couples dont le point d'intersection est intérieur à (F)?Soit (A) Tune des sécantes, G la longueur de la corde AB correspondante : les droitescoupant ÀB ont pour mesure 2C. L'ensemble des couples dont l'intersection se faitdans (F) a donc pour mesure

J f

SUR LA THÉORIE DES PROBABILITES GÉOMÉTRIQUES. 2 5

Et comme, si on fait varier 0 de o à 71, on a pour 0 donné :

rQ

l'intégrale double précédente a pour valeur TCS. D'OÙ la probabilité cherchée :

Soit maintenant M un point quelconque intérieur à (F) et G l'aire d'un petitcontour convexe entourant le point M : l'ensemble des points d'intersection, inté-rieurs au contour, des sécantes de (F) a pour mesure ira. Ceci veut dire, selonl'énoncé donné par Grof ton, que :

La « densité)) des points d'intersection des sécantes de (F) est constante et égaie à xà rintérieur du contour.

Si Ton étudie la même ce densité » en un point extérieur à (F), le résultat s'ob-tient simplement en utilisant la méthode du fil tendu de Barbier : c'est

6 — sin 6

en désignant par 6 l'angle sous lequel on voit (F) du point considéré. D'où le célèbrethéorème de Crofton :

L'intégrale I I (6 — sin §)dxdy, étendue à tout le plan en dehors de (F) a pour

valeur - L2 — TTS ,2

remarquable par son élégance et sa généralité, et dont plusieurs démonstrations ontété données indépendamment de la théorie des probabilités (4).

[18] Proposons-nous, dans le même ordre d'idées qu'au paragraphe i4, de trou-ver la mesure de l'ensemble des plans qui coupent un segment rectiligne de l'espace.Nous prendrons le segment qui va de l'origine des coordonnées au point A de cote l

sur oz •

{*) Grofton, Philosophical Transactions, 1868, p . I 8 Î .V. aussi Serretj Annales de VEcole Normale, 1869, p. 177.

Hurwitz, ïd, 1902, p. 389 et suivantes.

20 ft. DELTHEIL.

Les plans ayant pour équation générale :

x sin 8 cos cp + y sin 0 sin cp + z coê 0 — p = o,

6 varie de o à TT, cp de o à 27; et p de o à -f- 00. La ruesure cherchée a pour expres-sion

d'f f sin 8dô / dp = *xl.

On voit que le même raisonnement qu'au paragraphe 14 permet de démontrerque si AB est un arc de courbe quelconque de l'espace» de longueur L, l'intégrale

/ / f n s î

étendue aux plans de l'espace qui coupent AB chacun en a points a pour valeur TIL.L'extension de ce résultat à l'espace à m dimensions est facile à déduire de la

pcobabilité élémentaire (3) du paragraphe 12* L'intégrale ;

fndJ,

étendue à tous les plans qui coupent, chacun en n points, Tare de courbe AB de lon-gueur L dans l'espace envisagé, a pour valeur

m — i

Qm_t étant l'aire totale de la sphère de rayon 1 dans l'espace à m—i dimensions.

[19] La mesure de l'ensemble des plans de l'espace à 3 dimensions qui coupentune surface donnée n'a pas jusqu'ici été définie d'une manière aussi simple quecelles considérées plus haut. Si Ton a affaire à une surface convexe fermée, cettemesure définit un nouvel élément métrique de la surface : M. Carlan, dans le mé-

2

moire cité au paragraphe 12, propose de donner au produit de cette mesure par —

le nom de périmètre de la surface. Effectivement, si cette surface se réduit à uneportion de plan limitée par une ligne convexe fermée de longueur L, le périmètreainsi défini devient identique au périmètre de cette ligne.

Cette mesure est l'intégrale de « l'épaisseur » de la surface, c'est-à-dire la distanceentre deux plans tangents parallèles, quand ceux-ci prennent toutes les directions

SUR LA THÉORIE DES PROBABILITÉS GEOMETRIQUES. 27

possibles. Minkowski, dans ses travaux sur les « corps convexes », a montré que cette

intégrale a pour valeur

J J i\R R

d<s étant l'élément d'aire, et R, R' les rayons de courbure principaux. C'est l'intégralede la demi-courbure moyenne de la surface (*). Ce résultat est immédiatement vérifiédans le cas d'une sphère : la mesure de l'ensemble des plans est 4^R. Le périmètred'une sphère, au sens de M. Cartan, est donc 8R.

[20] La même intégrale étendue à une sphère de l'espace à m dimensions a pourvaleur RQm, en désignant par Qm l'aire de la sphère de rayon 1 dans cet espace.Considérons dans cet espace un réseau de plans parallèles (H) d'équidistance a.Et soit une aiguille de longueur /, moindre que a, mobile au hasard à travers leréseau. Quelle est la probabilité pour qu'à un moment donné l'aiguille traverse unplan (H)?

L'ensemble des plans qui coupent une sphère de diamètre a a pour mesure - Qm ;

celui des plans qui coupent l'aiguille de longueur / a pour mesure Qm __ 4.

La probabilité cherchée est donc :

(m-i)a Q

Or, soit

Jft = e si

On peut écrire

Par suite

"(m—i)aJm_, fl.mJM'

La valeur de P pour m = 2 est bien . Pour m = 3, on a P = —- : il n'est pas

absurde d'envisager dans ce cas une vérification expérimentale.

(') Minkowski, Œuvres complètes, t. 11, p. a4i.{*) Voy., par exemple, Borel, Introduction géométrique à quelques théories physiques,

p. 5g et suiv.

â 8 R. DELTHEIL.

Quelle est la valeur as} mptotique de P pour m très grand P Celle de Jm est v /—.

Donc celle de P est

CL y 27TW?

Elle tend vers zéro lorsque m augmente indéfiniment.

[21] Une autre intégrale relative aux plans qui coupent une portion quelconquede surface est susceptible d'une définition géométrique générale indiquée parBarbier.

Soit (2) une portion de surface plane : et soit C la longueur de la corde découpéepar (S) dans le plan (P) :

x sin 6 cos <p -h y sin 6 sin <p + z cos. 9 — p = o.

Proposons-nous de calculer la valeur de l'intégrale :

I = f f f C sin QdpdBdy

étendue à tous les plans qui coupent (S). Nous ne diminuerons pas la généralité enprenant (S) dans le plan xoy. La trace (A) du plan (P) a pour équation

Px cos cp + Y sin 9 r— = o ,T T sin 6

Pour 6 et cp donnés, p varie d'une quantité telle que (A) balaie Taire (2) en demeu-rant parallèle à elle-même. On a donc pour chaque valeur de 6 :

—— / / C dp d® = 7ic*hu\ § J J

en désignant par s Taire intérieure à (2). On a donc

fT -• f f f''° **Jo J J JQ 2

Ce résultat s'étend à une portion quelconque de surface gauche d'aire S et donne laproposition suivante :

Si le plan P découpe un arc de courbe de longueur \ sur la portion de surfaceconsidérée, on a

f f f \ sin QdpdQdy = — S.

SUR LA THEORIE DES PROBABILITES GÉOMÉTRIQUES. 2g

II suit de là que, dans le cas particulier d'une surface convexe fermée, la valeurmoyenne de X est

Ö désignant le « périmètre » de la surface.

[22] Pour terminer la série des applications élémentaires sur les éléments diffé-rentiels définis aux paragraphes i3 et i4, proposons-nous de trouver la mesure del'ensemble des droites qui coupent Faire plane (S) considérée plus haut : soit [x cettemesure, nous avons

dadbV- = J JdpdqJ J d+«-Le premier facteur est Faire (a) elle-même. Quant au deuxième, il s'exprime enposant

a = cos cp cotg 8, b = sin cp cotg 6,

par Fintégrale / / sin 6 cos 6 dep e/8

pour

O<cp<27l, o < 6 < — ,

ce qui donne \L = TOT.D'où par extension à la portion de surface (S) la formule

f f f f ndadbdpdq

J J J J (TT^T&yn étant le nombre des points d'intersection de (s) a\ec la droite (a, 6,p, g).

Si (S) est une surface convexe fermée, on a n = 2 pour toutes ses sécantes. Lesdroites qui la coupent forment donc un ensemble de mesure

II suit de là que si l'on considère deux surfaces comexes fermées intérieuresl'une à l'autre, la probabilité pour qu'une sécante de l'une rencontre l'autre est lerapport de leurs aires. La probabilité pour qu'un plan sécant de l'une rencontrel'autre est le rapport de leurs périmètres.

3o K. DELTHEIL.

CHAPITRE III

[23] Je me propose dans le présent chapitre d'étudier, au point de ale de la pro-babilité élémentaire d5 qu'ils définissent, quelques groupes de transformations àdeux, trois, ou quatre variables, qui peuvent jouer en géométrie, à côté des groupesde déplacements euclidiens, un rôle important.

Le premier est le groupe projectif à trois paramètres d'une conique non dégé-nérée. Soit la conique (V) d'équation

x2 —- y = o.

Les équations finies du groupe sont les suivantes :

f acy 4- (ad 4- bc)x 4- bdc*y 4- 2cdx + d*

P a*y 4- labx 4- b"c'y 4 2cdx 4- d*

D'une manière tout à fait précise, l'opération (i) est une rotation nou-euclidienneautour du point w de coordonnées

x = 2Cy =

c

et, à tout point m d'abscisse x sur (F) elle fait correspondre le point M de la mêmecourbe ayant pour abscisse

. ax + bex -\- d'

Des équations (i) on déduit, en posant fl = i + a , è ^ p , C ~ Y , d = i, les quan-tités a p y étant infiniment petites, les transformations infinitésimales du groupe.Celles-ci sont réunies dans le tableau :

P+ xp 4

identique, à l'unité dans laquelle sont exprimés x et y près, au tableau D,, duparagraphe 9.

SUR LA THÉORIE DES PROBABILITES GEOMETRIQUES.

Les équations (6) du chapitre ïer, relatives à l'invariant intégral

3 i

s'écrivent ici :

J'J~F(x>y)dxdy

2X

x h ay — — — 3F,dx J sy

— y) h 2xy —- = — 6xF.ùx Oy

On tire immédiatement de là que

Tjl .

La probabilité élémentaire vis-à-vis du groupe considéré, ou l'aire non-euclidiennede la Géométrie ayant (F) pour absolue peut être prise égale à

(3) d j =•dxdy

Cette Géométrie est identique à celle d'une surface à courbure totale constanteet négative qui aurait pour élément linéaire :

ds* = — [kydoc? — kxdxdy + df\

et par conséquent pour élément d'aire :

d<s = \/EG — F* dxdy = dJ.

[24] Cherchons dans Jâ même Géométrie quelle est la probabilité élémentairepour les lignes droites. Nous obtiendrons facilement le tableau des transformationsinfiaitesi maies pour les coordonnées uv définissant la droite :

ux -f- vy -f i = o

si nous remarquoas qu'en vertu de (2) les racines de l'équation

vx% + ux + 1 = o

subissent les transformations infinitésimales : p, xp} x"p.

3 2 R. DELTHEIL.

Les transformations correspondantes pour u et v sont celles du tableau

y ¥ y y v y

et on en déduit sans difficiüté la probabilité élémentaire

~~

Cherchons quelle est dans ces conditions la mesure de l'ensemble des droites quicoupent Taxe oy entre les points A4 et Aâ d'ordonnées positives yl et y,,; supposons

Ce sera

dudv

ou, après un calcul simple :

\x = Log

cJest-à-dire précisément la distance cayleyenne A4Aa. Ce résultat étend à la Géométrienon-euclidienne actuelle une partie importante des propositions des paragraphes i4et suivants.

[25] Considérons le groupe paramétrique du groupe (1). Grâce à la formule (2),nous aurons facilement ses équations finies. Réduisons d'abord le système desquatre paramètres homogènes ab c d à trois paramètres effectifs, en prenant c/= 1.Formons la quantité

X, =osX

nous avons

X. =a'x + Uc'œ + 1'

SUR LA THÉORIE DES PROBABILITES GEOMETRIQUES. 3 3

moyennant les relations :

, a* +ci = •

by

baby

ay

-f- I

+ p+ I

+ c

(4) b' =

< • = * + , -

qui définissent le groupe paramétrique de transformations des variables a bc ena' b! c\ groupe à trois paramètres a 8 y.

Les transformations infinitésimales de ce groupe sont celles du tableau :

l e '

Gela posé, examinons si le groupe (4) est un groupe J : s'il en est ainsi, on pourradéfinir la probabilité pour que la position d'une figure de forme non-euclidienneinvariable satisfasse à certaines conditions.

Or, on obtient tout de suite l'invariant intégral :

, t M dadbdc

t5)

L'équation a — bc = o est une équation invariante du groupe : ce fait est biennaturel, puisque la condition

ad — bc 4= o

est indispensable pour que la transformation (2) ne soit pas singulière.Il est possible de tirer du résultat précédent une conclusion relative à la Géométrie

euclidienne ordinaire. On sait en effet que si l'on considère la sphère (S)

&* + y1 + £ = 1

représentée paramétriquement par les équations :

( 6) x = LlL±t y = ' tU- "A - ^ — (ƒ* /\, — — u, / ^ " • • " • t/j

le groupe des déplacements sur cette sphère, qui correspond au groupe des rotationsde l'espace (xyz) autour de l'origine des coordonnées, peut se définir au moyend'une même substitution linéaire faite sur X et p. :

Ck + 1 ' C[JL - h I '

u R. DELTHEIL.

Il en résulte que la probabilité pour qu'une figure de forme invariable sur (S) onim solide mobile autour de O satisfasse à certaines conditions doit être calculée aumoyen de la probabilité élémentaire :

dadbdcdJ = •

(a — bc)*'

Ce résultat aboutit à des expressions simples de di si l'on passe des variables abc

à celles d'Olinde Rodrigues ou aux angles d'Euler.

Nous avons en effet en posant :

i — il 1 im — n im + n(8) a = — — ^ , à = —, c = —v ; i +il i + il i +il

les équations suivantes pour un déplacement quelconque de l'espace oxyz autour dupoint o :

' Aac'= (i + l' — m — n*)ïï -I- 2(Im + ri)y + a(//i — m)z,

(9) y' — 2(lm— ri)x -f- (i — l' 4- nf — rv)y + a(/ + mn)z,

z' = 2(ln + m)x + a(m/i — l)y + (i — r — nf -f nr)z

avecA = i + V -f- m3 + n'.

Les équations (9) sont les formules classiques d'Olinde Rodrigues. Et moyennantles relations (8), la probabilité élémentaire

dadbdc(a — 6c)2

prend la forme suivante :

kdldmdn

En introduisant d'antre part les angles d'Euler définis par les relations :

cos ± L , smG

cos , smG 2 G 2

= — tg , m = tg+ + CP 2

COS -!• COS

on a l'expression

(11) dJ = | sin G

SUR LA THÉORIE DES PROBABILITES GEOMETRIQUES. 3 5

Remarquons que si Ton envisage tontes les positions possibles d'un solide au-tour du point 0, l'intégrale J étendue à l'ensemble total de ces positions a unevaleur finie.

Les angles cp <| et ô varient en effet respectivement de o à 2TT, de O à TC, et de oà 27t.

On a dans ces conditions

J = / c/cp f d<\> f | sin 0*/o */o */o

OU

J = 8TI3 .

Ce résultat peut s'obtenir d'une manière différente en partant de l'expression (io).Posons en effet

1= sin^sin

n = cos cp2 tg <pt,

nous avons

dJ = 4 sin2îpt sin «Pa^rf^dîpg.

Donc J est le quadruple de l'aire d'une sphère de rayon i dans l'espace à quatredimensions,

soit

ou, d'apiès les formules données au paragraphe 20 :

J z=z 8TT / sin uda j sin2 a du = 87c2.•/o */o

Enfin il est évident que la probabilité élémentaire relative à la position d'unsolide mobile dans l'espace avec six degrés de liberté sera

fein 8 d'j> d<\> dB dx0 dy0 d z 0 ,

x0, yQi z0 définissant les translations.

36 R. DELTHEIL.

[26] De la remarque fondamentale du paragraphe 7 il résulte que Ton peutétendre à une géométrie quadratique quelconque du plan, ayant pour conique abso-lue une conique non dégénérée, la proposition du paragraphe 23 d'après laquelleTélément différentiel

2 (y — 5c3)3/3

est invariant par rapport au groupe de la conique (P) :

x' — y = o.

Étant donné une conique quelconque non dégénérée 4>(cc, y) = o du plan, l'élé-ment d'aire non-euclidienne par rapport à cette conique est

àdxdy

en désignant par A le discriminant de la conique.Si on envisage une conique absolue dégénérée soit en deux points, soit en deux

droites, il y a lieu de prendre quelques précautions. Si nous prenons, pour le pre-mier cas, les points cycliques du plan, le groupe projectif qui les conserve est legroupe à quatre paramètres des similitudes. On le définit par les transformationsinfinitésimales :

p, q, xp + yq9 ~yp + xq.

Deux de ses sous-groupes sont à signaler en ce qui concerne l'invariance d'unélément différentiel de la forme F(x, y)dx dy ; le premier est le groupe à trois para-mètres

p> q> —yp + xq

de la géométrie élémentaire : il conserve l'élément d'aire dxdy.Le deuxième est le groupe des similitudes de centre fixe : si ce centre est l'ori-

gine, ce groupe, qui dépend de deux paramètres, est défini par les transformationsinfinitésimales

(12) xp + yq, —yp

et il admet l'invariant intégral

{dxdy

SUR LA THÉORIE DES PROBABILITES GEOMETRIQUES. 8 7

On peut donc envisager une probabilité élémentaire particulière à ce groupe, et ellen'est peut-être pas dépourvue d'intérêt.

Si nous considérons maintenant une conique absolue dégénérée en deux droites,nous pouvons prendre la conique

x% + y* = o

et reprendre les considérations précédentes en transformant dualistiquement.Le groupe projectif qui conserve ces deux droites est à quatre paramètres : deux

de ses sous-groupes sont intéressants au point de vue de l'invariance d'un élémentdifférentiel F(x, y)dxdy. Le premier est défini par les trois transformations infinité-simales :

y*q ;

il conserve l'élément différentiel

dxdy

Nous l'avons rencontré, avec les variables u et v au lieu de x et y à propos des droitesdu plan. Le deuxième est identique à son corrélatif (12).

[27] Des particularités analogues se présentent en géométrie à trois dimensions.Il y a lieu de distinguer les cas où la quadrique absolue est dégénérée en une coni-que, en un cône, ou bien n'est pas dégénérée.

Envisageons d'abord le cas où la quadrique absolue est le cercle imaginaire del'infini : nous avons le groupe projectif à sept paramètres :

p} q, r, xq — yp, yr — zq, zp—~xr} xp + yq + zr

qui est celui des similitudes. Deux de ses sous-groupes sont à signaler. D'abord legroupe des mouvements, qui admet comme invariant l'élément de volume dxdydz.Ensuite le groupe homogène

qui admet l'invariant

dxdydz

38 R. DELTHEIL.

et peut par conséquent définir une probabilité élémentaire analogue à celle du groupedes similitudes d'origine O dans le plan.

En ce qui concerne maintenant le cas d'une quadrique absolue dégénérée en uncône, nous pouvons prendre le cône

= o.

Les groupes corrélatifs des deux groupes J signalés plus haut sont : pour le premier,le groupe à six paramètres rencontré au chapitre II avec les variables avw à proposdes plans de l'espace : le deuxième, comme dans le plan, est identique à son corré-latif.

[28] Soit maintenant là quadrique absolue non dégénérée :

(Q) yz — x = o

Les déplacements non-euclidiens par rapport à cette qnadrique forment un groupeà six paramètres. Le tableau des coefficients des X/est :

zX

xy

yX

zx

I

y

f0

o

yz — x

oo

yz — x

i

z

z*

Et l'emploi de la méthode habituelle conduit à l'invariant suivant, élément de volumenon-euclidien :

04) eu =dxdydz

Nous avons donc là la probabilité élémentaire pour les points. L'équation d'unplan étant

ux i=o,

un calcul très semblable à celui du paragraphe 24 conduit, pour les plans, à la pro-

babilité élémentaire -, Ces résultats s'étendent, par substitution linéaire(vw — 11)

convenable, à une Géométrie quadratique quelconque de quadrique absolue non

SUR LA THEORIE DES PROBABILITES GEOMETRIQUES. 3g

dégénérée. Et on aperçoit tout de suite comment il faudrait écrire l'élément de YO-lume analogue à l'élément (i4) dans le cas d'une Géométrie quadratique de l'espaceà m dimensions : ce serait

Ar ias .dag , . . . d xm + i »

en désignant par <I>=o l'équation de la quadrique absolue, et A le discriminant de <I>.

[29] Revenons à la Géométrie définie par le tableau (12) : cherchons la proba-bilité élémentaire relative aux droites de l'espace

x = az 4- p,

y = bz + q,

Aux transformations infinitésimales du groupe correspondent les suivantes, sur lesparamètres abpq :

ï£+ b(a + q)^ + p(a + q)^ + (bp + q)?L,

Et les équations (6) du chapitre 1èr conduisent sans difficulté à l'invariant intégral

dadbdpdgf f f f dadbd( } J J J J [(a-qy

L'équation

(a — qf

est celle du complexe des droites tangentes à la quadrique absolue. Ce complexeest une variété invariante du groupe (i5) : il est naturel, d'après les considérationsdu paragraphe (6) que le premier membre de son équation figure dans l'expres-sion (16) de la probabilité élémentaire relative aux lignes droites.

[30] Nous terminerons ce chapitre par l'étude d'un groupe important de Géomé-trie réglée : le groupe projectif à dix paramètres d'un complexe linéaire.

4 O ft. DELTHElL.

En prenant pour équation du complexe (G) :

(17) dx + ydz — zdy — ot

on a le tableau suivant pour les transformations infinitésimales du groupe :

, ON <? — zp> r + yp3 ƒ>, yr, yq — zr, zq7 2Xp + yq + zr,

xq — z{xp -h yq ~\~ zr) 7 xr + y{j&p 4~ yq H~ Zfj» &i&p ~h yq "h zr

Cherchons, pour les droites

x = az + /i, y = 62: -{- &

le tableau dérivé de (18). On obtient sans difficulté :

la Vc' ° la + [ ' lh + îfr ' ïh

(19)

Et il en résulte pour les droites l'élément différentiel invariant :

dadbdhdk(a + ky

qui définit la probabilité élémentaire pour les lignes droites vis-à-vis du groupe (18).Ce résultat peut se justifier directement de la manière suivante. Considérons la

droite :

de coordonnées pluckériennes

a, b, c, l=zcyo —

SUR LA THÉORIE DES PROBABILITES GEOMETRIQUES. (\\

Le complexe (G) a pour équation a + / = o. Employons les coordonnées :

.6 + m

aa

— /

+ l 'c

a —

— n

b- —

a

•f m

TT'. c + n

La droite (A) correspond au point de coordonnées Xfjivp? sur la sphère :

Or, le complexe (G) correspond à la section de cette sphère par le plan de l'infinide l'espace X^vps. Dans ces conditions, les transformations projectîves de l'espacexyz qui conservent les droites du complexe (C) correspondent aux substitutions or-thogonales sur les variables >JJUVp<J. Le groupe à dix paramètres correspondantconserve'donc sur la sphère l'élément d'aire

qu'on ramène sans difficulté à la forme (19) en prenant

c = i , z» = o, ^, = h, yo = k.

Si, pour terminer, à la droitex = az + h,y = bz -(- k

nous associons la sphère

(x - «ƒ + (y - p)2 + (z - y)2 = R3

au moyen des formules de la transformation de Lie :

h = a —1£, /c = R — iy,

le résultat établi plus haut en ce qui concerne les droites permet de définir la pro-babilité élémentaire

pour les sphères de l'espace vis-à-vis du groupe conforme de l'espace, que la trans-formation de Lie fait correspondre au groupe projectif du complexe (G).

DEUXIEME PARTIE

CHAPITRE IV

[31] La première partie de ce travail ouvre la voie à toute une catégorie de pro-blèmes bien posés, où interviennent des probabilités élémentaires bien déterminées.Nous admettrons, pour tous ceux dout il sera question dans la suite, qu'un systèmede variables équiprobables xt, xv .. , œm a été effectivement déterminé : et nous em-ploierons le langage géométrique, en considérant une figure (F) de l'espace{xtx%...xj.

Le problème consiste à chercher la probabilité pour que (F) satisfasse à certainesconditions. Cette figure est formée d'un point pris au hasard dans un certaindomaine (D), ou bien de a points pris au hasard indépendamment les uns des autres,ou encore d'une infinité de points. C'est surtout le deuxième cas qui nous intéressera.

Nous supposerons essentiellement le volume Y du domaine (D) fini. Dans cesconditions, la probabilité cherchée P s'écrit

U exprimant la mesure de l^ensemble des cas favorables.Le calcul de U peut être fort laborieux, même pour des questions tout à fait

élémentaires. Le but du présent chapitre est de montrer le parti que l'on peut tirer,dans certains cas, de la notion de variation infiniment petite des données du pro-blème. Cette variation pourra porter sur les conditions imposées et aussi modifierla seule quantité U. Elle pourra porter aussi sur le domaine (D; et ainsi modifiersimultanément U et V.

[32] Je traiterai d'abord un exemple où vont intervenir simultanément les deuxprocédés :

Probabilité pour que la distance de deux points pris au hasard à l'intérieur d*une

sphère de rayon R de Vespace à m dimensions soit moindre que a (*).

(*) M. Borel a donné les valeurs de cette probabilité pour quelques domaines simples duplan et de l'espace à 3 dimensions. [Voy. Bulleiinde la Société mathématique, 1919, p. 119.]

SUR LA THÉORIE DES PROBABILITES GEOMETRIQUES. &3

Soient A et B les deux points considérés. La probabilité pour que AB soit com-pris entre x et x + dx étant p(x)dx, nous avons pour la probabilité cherchée :

faP = / p(x) dx.

Or__U

V désignant le volume de la sphère et U un certain numérateur. Examinons quel estl'accroissement de U qui résulte d'un accroissement dR du rayon. Cet accroissementde U correspond à la sommation des segments AB ayant une, ou deux extrémitésdans Tespace compris entre les sphères concentriques de rayons R et R-j- dR.Sa partie principale est donc

a étant Taire de la calotte spherique de rayon x centrée sur la surface de la sphère (S)et intérieure à (S).

Comme U est nul pour x = 2R, nous voyons que

U = 2 / <r —- do.Jx do

3

Or nous avons dans l'espace à m dimensions :

m

II suffît de remplacer p par x dans l'expression précédente de — pour avoir la sur-P

face S de la sphère de rayon ce. Quant à la calotte a, son aire a pour valeur

m1

(71X2) 3 TtX , / X \

° = 77^ * ( ~ )

avec- - e

H sin"-1

X\ Jo)

kk R. DELTHEIL.

l'angle 9 étant défini par la condition

x == ap sin Ô.

Nous avons donc

et par conséquent

(0

Une nouvelle intégration donne l'expression générale suivante pour P :

( x—

c'est-à-dire sur le calcul de l'intégrale

arc cos

i/

a?sin"1 l cp d<p,

l'intégrale J du dénominateur de <ï> — ) étant bien connue en fonction de m.N P /

Examinons d'abord les deux cas simples du cercle et de la sphère :— Pour m = a, on a tout d'abord

et

Posons x= aR sin a et intégrons par parties. Nous avons

X2

SUR LA THÉORIE DES PROBABILITES GEOMETRIQUES. 4 5

Le calcul s'achève sans difficulté en utilisant a comme variable d'intégration.

On obtient en posant a = 3R sin \ :

7ia2 + 2X(R2 — <f) — (aR* + a2) sin 1 cos X(3) P - ^ ,

— Pour m = 3, le calcul est particulièrement simple. On a

donc

ce qui conduit à

a3 o aA 1 a6

<4> P ^ +

II est à peine nécessaire de remarquer que les expressions (3) et (4) s'annulent avec a

et prennent la valeur 1 pour a = 2R.

Le calcul peut s'achever dans le cas le plus général, puisqu'on sait développersinm~2<p suivant les sinus et cosinus des arcs multiples de cp. Mais les résultats sontplus simples pour les valeurs impaires de m que pour les valeurs paires.

— ) sous formeP /

t* a "entière en —. Et P est un polynôme de degré 2m en [i== —. Les résultats sont les

p Ksuivants pour les cas les plus simples :

m = 5. P = -^[5 ia (i.1-— Aoojjt. + 5ojxs —3(x10J.

m = 7. P = 4 [4.096^ - 3.930p.* + 784ta10 - 98^12 + 5JI.MJ .

2

Ces deux valeurs de P sont, comme il convient, nulles pour tx = o et égales à 1

pour [x = 2.

/ oc \[34] 11 peut être intéressant de connaître l'allure de la fonction $u — ) pour m

\ p /très grand, de Tordre de grandeur des nombres qui interviennent dans les théoriesmoléculaires (4).

(*) Borel, Introduction géométrique à quelques théories physiques, pp. 55 et suiv.

46 R. BELTHEIL.

Le rapport —-—, si <ï> — —, admet pour valeur asymptotique9 J

e[ï7en désignant par @(a) la fonction

m — 3

JZJO e

Dans ces conditions, comme Ie minimum de — est -7-, nous voyons que la fonc-P R

tion (I> reste très petite tant que-—- n'est pas lui-même extrêmement petit. D'uneR

manière précise, il faut que ~ - soit inférieur à îo"11, en prenant m = ioî4, pour

que <ï> dépasse io~10.Il s'ensuit que la courbe

reste extrêmement voisine de l'axe ox, sauf pour les valeurs très petites de l'argu-

ment — . Et par conséquent que P est presque égal à i dès que a dépasse les valeurs

de l'ordre de R.io~10.

x

FlG. I.

La valeur moyenne de AB tend donc vers zéro quand m devient très grand.Ce résultat est à comparer avec ceux indiqués par M. Borel, dans l'ouvrage cité plushaut, au sujet de la configuration d'un domaine sphérique dans l'espace à un trèsgrand nombre de dimensions.

[35] Dans l'exemple que nous venons d'étudier, le domaine (D) est sphérique,la variation envisagée résulte simplement d'un accroissement dR du rayon de lasphère, et les calculs qui en résultent sont de simples intégrations.

SUR LA THÉORIE DES PROBABILITES GÉOMÉTRIQUES. k*]

On peut se placer d'une manière plus générale au point de vue du Calculfonctionnel et considérer P comme une fonction de l'hypersurface qui limite ledomaine (D).

Dans ce qui suit» nous traiterons de questions pour lesquelles les conditionsimposées à la figure (F) sont des conditions intrinsèques, c'est-à-dire dépendantseulement de la figure (F) elle-même et demeurant tout à fait indépendantes dudomaine (D). Si par exemple la figure (F) est déterminée par deux points A, B inté-rieurs à une courbe (C) dans le plan, la condition que leur distance est infériemeà a est une condition intrinsèque; mais la condition* que le cercle de diamètre ABest tout entier intérieur à la courbe (C) n'est pas une condition intrinsèque.

[36] Considérons dans ces conditions un domaine (D') contenant à son intérieurle domaine (D) : soit V le volume de (D) et V -f- AV le volume de (D'). Examinonsce que l'on peut dire de la variation AP de P lorsque l'on passe de (D) à (D').

On a :U-f-AU

+ 'A ~~(V + AV)n'

Le nouveau numérateur U + AU se compose de la mesure des cas favorablesqu'il est possible de constituer en prenant :

n points dans le domaine (D),n — i points dans(D) et i point dans le domaine additionnel (D") de volume AV,n — 2 points dans (D) et 2 points dans (D").

n points dans (D").

On a ainsi

AU = U + U -|- . . . + U .

Or, soit PA la probabilité de réalisation des conditions du problème par unefigure (F) qui serait formée de n — k points pris au hasard dans (D) et de k pointspris au hasard dans, (D"). On a

D'où la relation :

(P + AP) (V + AV)" = P . V + nP, V"-' AV

48 tl. DELTHEIL.

que l'on peut mettre sous la forme :

(5) (V + AY)" AP = nV-1 A V(P, — P) + ra('l~l) V""-(AV)!(Pe - P)

Imaginons que AV soit infiniment petit. Alors la formule (5) permet de déve-lopper AP suivant les puissances de AV. Et la partie principale de AP est

(6)

Cette formule fondamentale est indiquée par Crofton dans l'article Probabilityi édigé pour la 9" édition de Y Encyclopmdia britannica.

[37] La formule (6) est susceptible de rendre de grands services en ce qui con-cerne le calcul de P, qu'elle permet de ramener d'une manière plus ou moins simpleà celui de P,.

Il existe une catégorie de problèmes particulièrement intéressants dans cet ordred'idées. Ce sont ceux pour lesquels on sait construire le domaine (D') de telle façonque P reste inchangé. Il résulte alors de la formule (6) que

Le plus connu des problèmes de cette espèce est celui du quadrilatère convexede Sylvester. C'est, historiquement, le premier problème de probabilités géométri-ques qui ait été posé sous une forme assez générale depuis le problème de l'aiguille.

Son énoncé est le suivant :

Étant donné un domaine convexe dans le plan, quelle est la probabilité pour que

quatre points pris au hasard dans ce domaine forment un quadrilatère convexe ?

Le problème a été résolu dans quelques cas simples (*) par Sylvester lui-même etses élèves. J'ai obtenu quelques résultats nouveaux en reprenant la question d'aprèsles niâmes principes.

(4) Grofton, dans l'article cité au paragraphe 36, indique les résultats pour le triangle,le parallélogramme, l'hexagone régulier et le cercle. Les solutions ont paru dans YEduca-iional Times, que je n'ai pas réussi à me procurer.

SUR LA. THÉORIE DES PROBABILITES GEOMETRIQUES. 4 9

[38] Désignons par A, B, G trois points pris au hasard dans le d'omaine consi-déré. La probabilité pour qu'un quatrième point, pris au hasard indépendammentdes trois premiers, tombe dans le triangle ABC est égale au rapport de Taire ABCà Taire S du domaine. Si T est Taire moyenne de ABC, la probabilité d'un quadri-

ïlatère concave sera, en vertu du principe des probabilités totales, égale à k -$• Doncnous aurons pour la probabilité P d'un quadrilatère convexe

Il est facile de construire un accroissement infinitésimal de (D) tel que P nechange pas; il suffit par exemple de faire subir à tous les points une transformationdu type

X = ax + by + e,

Y = cx + dy+f,

transformation qui multiplie T et S par le même facteur constant; il est toujourspossible de déterminer Toperation de manière que le nouveau contour de (D) entourele contour primitif.

Nous aurons dans ces conditions :

Tp p f 3 *

4 S

en désignant par T4 Taire moyenne d'un triangle qui aurait deux sommets à Tinté-rieur de (D), et un sommet dans la portion du plan qui constitue l'accroissementinfiniment petit de (D).

Tout se ramène donc au calcul deT4 ; et ce calcul exige d'abord la déterminationde Taire moyenne ABC dans le cas où le sommet A est fixe sur le contour de (D).

[39] Le calcul de cette aire moyenne T est en principe fort simple dans le casd'un domaine polygonal. En joignant le point A aux sommets du polygone, nousdécomposons celui-ci en n — i triangles d'aires Sd S3 . . Sn_t.

Désignons, dans ces conditions, par xl la valeur moyenne de Taire ABC lorsqueles sommets B et C sont tous deux dans le triangle de rang i, et par xZJ la valeurmoyenne de cette aire lorsque les sommets B et C sont respectivement dans lestiiangles de rangs i etj.

Nous avons la relation fondamentale :

5o R. DELTHEIL.

qui ramène la question au calcul des mpyennes élémentaires T( et TtJ. Le théorèmedes moments indique immédiatement que xtJ est Faire du triangle AG G dont lessommets Gt et G; sont les centres de gravité des triangles de rang i et de rangj.

Quant à rl7 il est clair que c'est une quantité proportionnelle à St. Étant donnédeux triangles dans le plan, on peut en effet toujours passer de l'un à l'autre enutilisant une opération du type (7).

On a donc vl = XSt, 1 étant un nombre à déterminer.

FIG. 2.

Or, soit AKL le triangle de rang i ; et soit o> le milieu du côté KL. Appliquons larelation fondamentale (8) au triangle AKL, somme des triangles AwK, AcoL, nousavons :

a / 2 22

k et l étant les centres de gravité des deux triangles partiels. On a

A W = - S9

et

d'où

27

• 2 7 •

SUR LA THÉORIE DES PROBABILITES GEOMETRIQUES. 5 l

Les valeurs de P relatives à quelques domaines simples et données dans VEdu-cational Times sont :

Triangle : P = § .o25

Parallélogramme : P = —.ouçtoo

Hexaaonexêqulier : P = .J 973

Nous allons traiter la question dans le cas le plus général d'un quadrilatère, etdiscuter le résultat suivant la forme du quadrilatère considéré.

[40] Nous pouvons d'abord transformer, par une opération linéaire du type (7),le quadrilatère proposé en celui de la figure (3), formé des sommets 0, At A2 A3 telsque les coordonnées de A, As A3 sont, par rapport aux axes ox, oy :

A, ; a ? = i , y = o;

A,: x = a, y = b\ ( a > o , 6 > o ) ;

A3 : x = o, y=i.

01 * *"A

FIG. 3 .

Cela posé, fixons sur le côtéOiVi un point À (OA = JC) et calculons Faire moyenne xcorrespondant à ce point par la méthode indiquée au paragraphe 4o.

Nous avons

aire A, AAS= S, = - b(i —x)

aire A A A , = S, = -f(6 — i)x-\~ a]s 2 L V } J

aireA,AO = S , = -3 2

S, + S2 4- S3 = S == a -h b

d'où les quantités T4TtT3.

O2 R. DELTHEIL-

Nous avons ensuite :

ri,^ — (2bx— 2X + a + 0 ,

D'où la valeur de x par la relation :

Lorsque le point A varie de O à A(, Faire x a une valeur moyenne

On calcule de la même façon la valeur moyenne xa du triangle ABC lorsque lesommet A varie sur le côté O A : il suffît d'ailleurs d'échanger a et 6 pour passerde x6 à ra

[41] Cela posé, remarquons qu'une homothétie de rapport i + M ne changepas P. Si nous faisons cette homothétie avec Aâ pour pôle, nous sommes ramenésau calcul de l'aire moyenne Tt, comme il est indiqué plus haut, avec

Le calcul est immédiat étant donné les déterminations préalables de ti xs x3 et

de x12 xM x23. Le résultat est

< • • >

Le quadrilatère étant convexe, on a

a + b—i

2

et par suite P est la somme de - et d'une quantité positive. Cette dernière quantitéo

ne s'annule que si le quadrilatère se téduit à un triangle : et nous retrouvons bienla valeur de P qui convient à ce dernier domaine.

SUR LA THEORIE DES PROBABILITES GEOMETRIQUES. 53

[42] La méthode la plus simple pour discuter les valeurs de P consiste, en rem-plaçant a et 6 par des coordonnées courantes, à construire le lieu géométrique duquatrième sommet A lorsque sont donnés les trois premiers sommets et la valeurde P. Les courbes obtenues forment un faisceau d'équation générale :

y — i ) ,

parmi lesquelles seules nous intéressent celles qui correspondent à X > o .Coupons la courbe (12) par la droite

Les deux points d'intersection, symétriques par rapport à la première bissectrice,auront des coordonnées racines de l'équation

: = o.

Us ne seront réels que si, pour X donné, ^ est compris entre les racines [*/ [/." deréauation

x,

et celles-ci ne sont réelles que pour X > 16. Le maximum de P correspond au mini-mum de X : pour X 1= 16 onap. '=p; f f=:2; le point Aw est alors le quatrième som-

25met o> du carré construit sur OÀ1 et OÀ3 : la valeur correspondante de P est —.

Les diverses valeurs de X donnent des courbes fermées qui entourent le point co :sur chacune d'elles, les sommets at ai2 sont conjugués harmoniques par rapport à Oet co : <r2 s'éloigne indéfiniment quand at se rapproche de la droite A4 A3.

O

11 est clair qu'on pourrait dessiner un réseau de courbes analogue à celui de lafigure (4) en partant de trois sommets O, A4, X6 absolument quelconques. Une pro-jection oblique permettrait de passer^de l'un à l'autre réseau.

5 4 R. DELTHEIL.

La valeur

36

relative an point o> est donc valable pour tous les parallélogrammes. Et on voit

que P, pour^un quadrilatère quelconque, est compris entre la valeur - relative auo

25triangle et la valeur — relative à un parallélogramme.

[43] Parmi les domaines polygonaux à plus de quatre sommets, ce sont lesdomaines réguliers qui donnent évidemment les calculs les plus simples. La proba-bilité P reste en effet inchangée par une homothétie centrale de rapport i + S£. Etpour le calcul de T4, on peut se borner à prendre îa valeur moyenne de T(SC) lorsqueA décrit un côté du polygone, x étant l'abscisse de A le long de ce côté.

Si, passant à la limite, nous envisageons le cas d'un domaine circulaire, T estconstant le long de la circonférence, et Ton a

On obtient ainsi le résultat

35P=i —

I37C

indiqué dans tous les ouvrages qui traitent de la question.Nous sommes ainsi conduits à considérer les valeurs de P relatives aux poly-

35

gones réguliers comme des valeurs approchées de la quantité i - : Jes résul-

tats déjà indiqués, dans leb cas du triangle, du carié, et de l'hexagone régulier four-

nissent les valeurs approchées rationnelles suivantes pour 7t2 :

5^7 3 . 5 . 7 5 .7 .9-

172

Ces polygones sont à la vérité les plus simples : nous allons constater, par le casde l'octogone régulier, que les valeurs de P ne demeurent pas rationnelles lorsqu'onaugmente le nombre de côtés.

SUR LA THÉORIE DES PROBABILITES GEOMETRIQUES. 55

[44] Soit le point A d'abscisse x sur le côté 0A4 = a d'un octogone régulier.Formons, en joignant le point A aux sommets non adjacents, les sept trianglesnumérotés de i à 7 sur la figure (5). Leurs aires ont pour valeurs en posant a y/2 = 6 :

-~b(a x),

4

i

i

Ta + 6),

-a(6 +205),

S = 2 3 S, = 6).

a* a '*A A

FIG. 5.

Les valeurs de TV à calculer se réduisent, pour des raisons visibles de symétrie,aux douze suivantes :

36'

i ,

. 1 i' 36 '

b) + 6(3a + 26)],

b) + 6 (3a + 26)],

36 'b) + 36 (3a

56 R. DELTHEIL.

Dans ces conditions, T, est donné par l'équation :

(i3) S*T = - f \ A [aS; + 2S: + 2S^ + sy + 4f \ [ ; + : + ^ + y + 4 [ k , „ + . . . + S4S. V.l

Le second membre se présente ainsi comme la somme « + p + Y de trois quan-

tités : on trouve

.8 = T^-(17660+ I 3 I O 6 ) ,

v = —-(226a 4- 1606),2 1 0

d'où finalement

2861 + 2Oi3 y/aP =

4o3a + 2880 y/a'

soit 0,703, à un millième près : pour le cercle, o n a P - 0,704, et pour l'hexagoneP = 0,702.

CHAPITRE V

[45] Revenons au problème général sur une figure (F) formée de a points pris auhasard à l'intérieur d'un domaine (D) : nous désignons par P la probabilité pourque (F) réalise certaines conditions intrinsèques.

Bornons-nous au cas simple d'un domaine (D) à deux dimensions, comprenantles points intérieurs à une courbe (G) : P est une fonction de ligne au sens de M. Vol-terra. Nous écrirons

SUR LA THÉORIE DES PROBABILITES GEOMETRIQUES. 5 7

Par hypothèse, nous aurons affaire à des courbes (G) fermées limitant des domai-nes (D) d'un seul tenant. Nous pourrons définir chaque point M de (C) par son abs-cisse curvilignes; il peut même être avantageux dans certains cas d'introduire leparamètre angulaire

L désignant la longueur totale de (C). Les coordonnées ce et y du point M sont alorsdes fonctions périodiques, de période 271, de l'argument <p ainsi défini. Soit S l'airedu domaine D; la formule fondamentale(6) du paragraphe 36 s'écrit si nous envisa-geons l'accroissement SS délimité entre (G) et une courbe extérieure (C') infinimentvoisine :

( 1 )

Imaginons que (C') coïncide partout avec (C), sauf dans le voisinage d'un pointoP

déterminé M, de paramètre^ sur (G). Le rapport — a pour limite, lorsque SS tendSS

vers zéro sans cesser d'englober le point M, la quantité

où p± désigne la probabilité de réalisation des conditions du problème par unefigure (F) qui serait formée du point M et de n — i points pris au hasard à l'inté-rieur de (G).

Cette limite est, au sens de M. Volterra, la dérivée de P au point M. On a avecles notations de M. Volterra :

Soit maintenant une ligne (G') infiniment voisine de (G) mais intérieure à (C).Bes considérations analogues à celles du paragraphe 36 permettent d'écrire, endésignant par P + AP la probabilité relative à (G') et par S — BS Taire intérieure àcette courbe :

P . S" = (P + AP)(S — oS)M + nVt (S — SS)""1 SS + . . . ,

58 R. DELTHEIL.

d'où, pour la partie principale de AP :

= _-1(P4_P)SS,

formule identique à la formule (6) dans laquelle on considérerait SS comme négatif.Il résulte de là que la notion de dérivée au point M définie plus haut est valable

quelle que soit la déformation considérée de (G) dans le voisinage du point M, à lacondition de compter négativement les éléments d'aire intérieurs à (C).

Aussi peut-on écrire, dans le cas le plus général d'une courbe (G') infinimentvoisine de (G) [voisinage d'ordre zéro] la formule :

(3) 8P =

la valeur de la fonction G(<p) étant telle, en chaque point M de (G), que Ton ait :

= — oo,

ôp étant la portion MM' de la normale à (G) au point M, comptée positivement versl'extérieur.

FIG. 6.

Cette expression (3) est celle de la première variation de P. Une courbe (C) étantdonnée, les lignes (C') infiniment voisines qui annulent BP sont définies par l'équa-tion

Elles forment un ensemble de puissance supérieure à celle du continu, qui cepen-dant ne compiend pas la totalité des courbes (G) infiniment voisines de (G), à moinsque l'on n'ait

SUR LA THÉORIE DES PROBABILITES GEOMETRIQUES. 6 9

Les lignes (C) qui réalisent cette condition sont des courbes extrémales pour leproblème considéré. On a, tout le long d'une telle courbe,

[46] Cette propriété n'entraîne nullement l'existence des courbes extrémalespour un problème quelconque. Mais on peut trouver toute une classe de problèmesparticuliers pour lesquels il est possible de déterminer certaines de ces courbes.

Ce sont par exemple ceux relatifs à n points pris dans un cercle, et dont lerésultat est indépendant du rayon de ce cercle. Ou a en effet p1 = const. le long ducercle par raison de symétrie; et d'autre part cette constante est égale à P, puisqueà une augmentation dR de R correspond, d'après la formule (3),

Le problème de Sylvester satisfait à ces deux conditions : les cercles du plan, etaussi toutes les ellipses, puisque toute ellipse est évidemment transformable en uncercle par une projection cylindrique oblique, sont des courbes extrémales vis-à-vis

35de ce problème. Effectivement, la valeur P = 1 — -relative au cercle est la plus

12 71 r

grande des valeurs calculées : elle dépasse de quelques millièmes celles relativesaux polygones réguliers que nous avons considérés. L'extremum est donc vraisem-blablement un maximum.

[47] En ce qui concerne le cas d'un domaine triangulaire, nous avons constaté

que la valeur correspondante P = - est un minimum parmi celles qui corres-

pondent à des quadrilatères. ïl est facile de constater, en appliquant la formule (3),que ce minimum est valable pour tous les domaines convexes, et que, de plus, cen'est point un extremum, au sens des paragraphes précédents.

Considérons, en effet, l'accroissement SS ajouté à Taire du triangle A4A2 A3 parla substitution au côté A2À3 de l'arc A'aA'aJ convexe et extérieur au triangle.

Posons

A,A = x,

nous aurons

AA'=G(aï)8*.

6o R. BELTHEIL.

Or soient

Nous pouvons écrire avec les notations du chapitre IV

2CL"

A;

FIG. 7.

D'où

et par conséquent, comme P = - ,o

-à [ i - !•«]•ce qui permet d'exprimer BP sous la forme suivante :

Je dis que, moyennant Vhypothèse que Varc A'BA'3Cela revient à démontrer, en effet, que

convexe, on a

(4)

Or, faisons le changement de variable

a 2

et soitG(»)=U(Ö.

SUR LA THÉORIE DES PROBABILITÉS GÉOMÉTRIQUES. 6 l

Nous avons

Et rinegalité (4) à démontrer prend la forme :

(5) (!a?

ou encore

Posons

f2 a y_

nous avons en dérivant :

'(«) = 8a - a[U(a) + U(—

Or, il résulte de l'hypothèse faite sur la convexité de l'arc A', A'3 (Jîg. 7) quedans le plan des axes Oç, Ovj, la courbe

possède la propriété d'avoir sa concavité dirigée vers Taxe O .On a, dans ces conditions (fig. 8), si M et M' ont pour abscisses + a, — a :

M

FIG. 8.

Aire mixtiligne QMXM'Q'> Aire du trapèze QMM'Q'

pour toutes les valeurs de a comprises entre et H—.

6 2 R. DELTHEIli.

11 s'ensuit que

* ' («)> o,

donc que <1> ( - J ^ o puisque <ï> (o) = o.

Le signe ^> ne devient celui de l'égalité que si les aires envisagées plus haut surla figure (8) sont identiques, c'est-à-dire si A'. A'3 est une droite. Le triangle conservealors sa qualité de triangle.

Cette propriété est indiquée comme seulement vraisemblable par Crofton et parCzuber qui sont les auteurs classiques ayant traité le problème. Elle présente laparticularité importante, qui la distingue de celle du cercle, de n'être pas une pro-priété extrémale, mais de correspondre à un minimum véritable réalisé parle trian-gle parmi les domaines convexes.

[48] Revenons au problème général défini au paragraphe 36. La formule (5) dece paragraphe nous a permis, en considérant la partie principale SP de AP, de défi-nir la dérivée première

et d'aboutir à la formule fondamentale

(3) BP = 8i /"1™

Considérons la dérivée P' au point M4 de paramètre <pt sur (C). Et faisons subirau domaine (D) un accroissement SS dans le voisinage immédiat du point M9 deparamètre cp5. Nous aurons

P'8S + S8P'=/i(8p4 —8P).

Or, les parties principales de opi et 6P sont, d'après la formule (5) du paragra-phe 36 :

/>E étant la valeur de P obtenue avec un des n points constituant (F) immobiliséen M#, et pit la même valeur obtenue avec deux points immobilisés, l'un en M, etl'autre en Ma.

SUR LA THÉORIE DES PROBABILITES GEOMETRIQUES.

On a donc

BP'S2 = n (n - i)(p„ - ƒ>,) - n ' ( A - P) - n ( A - P),

SP'de sorte que la limite de —-, quand BS tend vers zéro, est

63

i j [n(n - i ) / > „ - «'(/>, + ƒ>,) + «(« + i)P].

Cette quantité est, au sens du Calcul fonctionnel, la dérivée seconde

et on a

0P1.

d'où il résulte en paTticulier que

Les dérivées d'ordre supérieur au second se définissent évidemment d'après lesmêmes principes. Il serait intéressant de faire intervenir les dérivées successivesdans le développement général de AP suivant les puissances de Zt, et, en particulier,de faire le calcul de la deuxième variation o3P.

L'examen, à ce point de vue, du problème de Sylvester dans le cas du cerclepermet d'apercevoir quelques-unes des difficultés de la question ; c'est par ces quel-ques considérations que je terminerai.

FLG. 9.

[49] II est nécessaire de calculer d'abord la quantité pi%. Or, on a, dans le caactuel :

— _ f î Z

en désignant par T Taire moyenne du triangle M M4 Mg lorsque le point M varied'une manière quelconque à l'intérieur du cercle, les points Mt et Ms demeurantfixes sur ce cercle (Jig. 9),

R. DELTHEIL.

Soit 26 l'angle, moindre que 71, des deux rayons 0Mt 0Ma : désignons par Ti

Taire moyenne du triangle M M, Ma quand M reste dans le segment circulaire M4 AM2

d'aire S4 : soit T2 Taire moyenne lorsque M est dans le segment M4 BMa d'aire S,.On a

Or, Tt et TB sont respectivement les aires des triangles de base MtM2 ayant poursommets les centres de gravité G4, Gs des aires S, et Sa On obtient en prenant pourunité le rayon du cercle O :

2 sin2 Ô + sin2 6 cos2 0 — 36 sin 6 cos O1 ~ 3(0 —sin 6 cos 6) 7

2 sin2 6 + sin2 ô cos2 Ô + 3(TC — ô) sin 6 cos ô

a 3(TC — 6 + sin ô cos 6) *

D'où

(4) pi% = 1 — Ô - Î [ 4 sin2 G + 2 sina ô cos2 6 + 3(w — 26) sin D cos 6].071

Gomme première application de ce calcul, imaginons que le rayon du cercle (O)

passe de 1 à 1 + 8£. Les considérations du paragraphe 36 permettent d'écrire :

(5) (S + 8S)4(P 4- AP) = P . S4 + 4S3P48S 4- 6S"P,(SS)a 4- 4S. P3(SS)3 4 P4(SS)4.

Gomme AP est nul dans le cas actuel, la relation (5) doit fournir une identitéen 8*.

La partie principale de Pt est P ; on a

Quant à Pffi> sa partie principale est la valeur moyenne de p ia tiré de (4)

soit

+ 3(-ïr —a6)sinöcos6]rf6,

ce qui donne, tous calculs faits :

p - = 1 - ^ -

SUR LA THÉORIE DES PROBABILITÉS GÉOMÉTRIQUES. 6 5

On a par conséquent :

et Tidentification des termes en of permet d'écrire :

228P = 4P + 8a + 24 ( i «

d'où, en remplaçant P par sa valeur :

Soit maintenant un accroissement du cercle (0) défini par la correspondance àchaque point M de paramètre cp sur ce cercle d'un point M' à une distance G(cp)5/ surle rayon OM.

La partie principale de AP est du second ordre en ot, puisque SP = o d'après leparagraphe 46. Et cette par lie BaP se composera de deux termes, l'un provenant dela sommation des termes en ot dans Pd, l'autre delà considération de p15.

On aura d'une manière précise :

(6) SSP= G*(?)dp+— / / (pti —